मुख्य त्रिकोणमितीय कार्यों के बीच अनुपात - साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट - दिए गए हैं त्रिकोणमितीय सूत्र. और चूँकि त्रिकोणमितीय फलनों के बीच काफी संबंध हैं, यह त्रिकोणमितीय सूत्रों की प्रचुरता की व्याख्या भी करता है। कुछ सूत्र एक ही कोण के त्रिकोणमितीय कार्यों को जोड़ते हैं, अन्य - एक से अधिक कोण के कार्य, अन्य - आपको डिग्री कम करने की अनुमति देते हैं, चौथा - आधे कोण के स्पर्शरेखा के माध्यम से सभी कार्यों को व्यक्त करने के लिए, आदि।

इस लेख में, हम सभी मूल त्रिकोणमितीय सूत्रों को क्रम में सूचीबद्ध करते हैं, जो त्रिकोणमिति की अधिकांश समस्याओं को हल करने के लिए पर्याप्त हैं। याद रखने और उपयोग में आसानी के लिए, हम उन्हें उनके उद्देश्य के अनुसार समूहित करेंगे, और उन्हें तालिकाओं में दर्ज करेंगे।

पृष्ठ नेविगेशन।

मूल त्रिकोणमितीय पहचान

मूल त्रिकोणमितीय पहचानएक कोण के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के बीच संबंध स्थापित करें। वे साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटेंजेंट की परिभाषा के साथ-साथ यूनिट सर्कल की अवधारणा का पालन करते हैं। वे आपको एक त्रिकोणमितीय फलन को किसी अन्य के माध्यम से व्यक्त करने की अनुमति देते हैं।

इन त्रिकोणमिति सूत्रों, उनकी व्युत्पत्ति और अनुप्रयोग उदाहरणों के विस्तृत विवरण के लिए, लेख देखें।

कास्ट सूत्र

कास्ट सूत्रसाइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटेंजेंट के गुणों से अनुसरण करें, यानी, वे त्रिकोणमितीय कार्यों की आवधिकता की संपत्ति, समरूपता की संपत्ति, और किसी दिए गए कोण द्वारा शिफ्ट की संपत्ति को भी दर्शाते हैं। ये त्रिकोणमितीय सूत्र आपको मनमाने कोणों के साथ काम करने से शून्य से 90 डिग्री तक के कोणों के साथ काम करने की अनुमति देते हैं।

इन फ़ार्मुलों का औचित्य, उन्हें याद रखने का एक स्मरणीय नियम और उनके आवेदन के उदाहरणों का अध्ययन लेख में किया जा सकता है।

जोड़ सूत्र

त्रिकोणमितीय जोड़ सूत्रदिखाएँ कि इन कोणों के त्रिकोणमितीय कार्यों के संदर्भ में दो कोणों के योग या अंतर के त्रिकोणमितीय कार्य कैसे व्यक्त किए जाते हैं। ये सूत्र निम्नलिखित त्रिकोणमितीय सूत्रों की व्युत्पत्ति के आधार के रूप में कार्य करते हैं।

डबल, ट्रिपल, आदि के लिए सूत्र। कोना

डबल, ट्रिपल, आदि के लिए सूत्र। कोण (इन्हें बहुकोण सूत्र भी कहा जाता है) यह दर्शाता है कि कैसे दोहरे, तिहरे, आदि के त्रिकोणमितीय फलन कार्य करते हैं। कोण () को एक कोण के त्रिकोणमितीय फलनों के रूप में व्यक्त किया जाता है। उनकी व्युत्पत्ति योग सूत्रों पर आधारित है।

डबल, ट्रिपल आदि के लिए लेख सूत्रों में अधिक विस्तृत जानकारी एकत्र की जाती है। कोण ।

आधा कोण सूत्र

आधा कोण सूत्रदिखाएँ कि एक पूर्णांक कोण के कोज्या के रूप में एक आधे कोण के त्रिकोणमितीय कार्य कैसे व्यक्त किए जाते हैं। ये त्रिकोणमितीय सूत्र दोहरे कोण वाले सूत्रों का अनुसरण करते हैं।

उनके निष्कर्ष और आवेदन के उदाहरण लेख में पाए जा सकते हैं।

कमी सूत्र

डिग्री घटाने के लिए त्रिकोणमितीय सूत्रत्रिकोणमितीय कार्यों की प्राकृतिक शक्तियों से पहली डिग्री में साइन और कोसाइन में संक्रमण की सुविधा के लिए डिज़ाइन किए गए हैं, लेकिन कई कोण हैं। दूसरे शब्दों में, वे त्रिकोणमितीय कार्यों की शक्तियों को पहले तक कम करने की अनुमति देते हैं।

त्रिकोणमितीय कार्यों के योग और अंतर के लिए सूत्र

मुख्य उद्देश्य त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए योग और अंतर सूत्रकार्यों के उत्पाद में संक्रमण शामिल है, जो त्रिकोणमितीय अभिव्यक्तियों को सरल करते समय बहुत उपयोगी होता है। त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने में इन सूत्रों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, क्योंकि वे साइन और कोसाइन के योग और अंतर को फैक्टरिंग करने की अनुमति देते हैं।

कोज्या द्वारा ज्या, कोज्या और ज्या के गुणनफल के सूत्र

त्रिकोणमितीय फलनों के गुणनफल से योग या अंतर में संक्रमण, कोज्या द्वारा ज्या, कोज्या और ज्या के गुणनफल के सूत्रों के माध्यम से किया जाता है।

सार्वभौमिक त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन

हम त्रिकोणमिति के मूल सूत्रों की समीक्षा को आधे कोण के स्पर्शरेखा के संदर्भ में त्रिकोणमितीय कार्यों को व्यक्त करने वाले सूत्रों के साथ पूरा करते हैं। इस प्रतिस्थापन को कहा जाता है सार्वभौमिक त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन. इसकी सुविधा इस तथ्य में निहित है कि सभी त्रिकोणमितीय फलन बिना जड़ों के तर्कसंगत रूप से आधे कोण के स्पर्शरेखा के रूप में व्यक्त किए जाते हैं।

ग्रंथ सूची।

• बीजगणित:प्रोक। 9 कोशिकाओं के लिए। औसत स्कूल / यू. एन। मकारिचेव, एन। जी। मिंड्युक, के। आई। नेशकोव, एस। बी। सुवोरोवा; ईडी। एस.ए. तेल्याकोवस्की.- एम.: एनलाइटेनमेंट, 1990.- 272 पी.: बीमार.- आईएसबीएन 5-09-002727-7
• बश्माकोव एम.आई.बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत: प्रोक। 10-11 कोशिकाओं के लिए। औसत विद्यालय - तीसरा संस्करण। - एम .: ज्ञानोदय, 1993. - 351 पी .: बीमार। - आईएसबीएन 5-09-004617-4।
• बीजगणितऔर विश्लेषण की शुरुआत: प्रोक। 10-11 कोशिकाओं के लिए। सामान्य शिक्षा संस्थान / ए। एन। कोलमोगोरोव, ए। एम। अब्रामोव, यू। पी। डुडनित्सिन और अन्य; ईडी। ए.एन. कोलमोगोरोवा.- 14वां संस्करण.- एम.: एनलाइटेनमेंट, 2004.- 384 पी.: बीमार.- आईएसबीएन 5-09-013651-3।
• गुसेव वी.ए., मोर्दकोविच ए.जी.गणित (तकनीकी स्कूलों के आवेदकों के लिए एक मैनुअल): प्रोक। भत्ता।- एम।; उच्चतर स्कूल, 1984.-351 पी।, बीमार।

चतुर छात्रों द्वारा कॉपीराइट

सर्वाधिकार सुरक्षित।
कॉपीराइट कानून द्वारा संरक्षित। आंतरिक सामग्री और बाहरी डिज़ाइन सहित साइट का कोई भी हिस्सा किसी भी रूप में पुन: प्रस्तुत नहीं किया जा सकता है या कॉपीराइट धारक की पूर्व लिखित अनुमति के बिना उपयोग किया जा सकता है।

पर समान परिवर्तन त्रिकोणमितीय भावनिम्नलिखित बीजीय तरकीबों का उपयोग किया जा सकता है: समान पदों को जोड़ना और घटाना; कोष्ठक से उभयनिष्ठ गुणनखंड निकालना; एक ही मूल्य से गुणा और भाग; संक्षिप्त गुणन सूत्रों का अनुप्रयोग; एक पूर्ण वर्ग का चयन; एक वर्ग त्रिपद का गुणनखंडन; परिवर्तनों को सरल बनाने के लिए नए चरों की शुरूआत।

भिन्नों वाले त्रिकोणमितीय व्यंजकों को परिवर्तित करते समय, आप अनुपात के गुणों, भिन्नों में कमी, या भिन्नों को घटाकर एक सामान्य हर में उपयोग कर सकते हैं। इसके अलावा, आप अंश के पूर्णांक भाग के चयन का उपयोग कर सकते हैं, अंश के अंश और हर को समान मान से गुणा कर सकते हैं, और यदि संभव हो तो अंश या हर की एकरूपता को भी ध्यान में रख सकते हैं। यदि आवश्यक हो, तो आप भिन्न को कई सरल भिन्नों के योग या अंतर के रूप में निरूपित कर सकते हैं।

इसके अलावा, त्रिकोणमितीय अभिव्यक्तियों को परिवर्तित करने के लिए सभी आवश्यक तरीकों को लागू करते समय, परिवर्तित अभिव्यक्तियों के अनुमेय मूल्यों की सीमा को लगातार ध्यान में रखना आवश्यक है।

आइए कुछ उदाहरण देखें।

उदाहरण 1

ए = (sin (2x - π) cos (3π - x) + sin (2x - 9π/2) cos (x + /2)) 2 + (cos (x - /2) cos ( 2x - 7π) की गणना करें। / 2) +
+ पाप (3π/2 - x) पाप (2x -5π/2)) 2

फेसला।

यह कमी सूत्रों से निम्नानुसार है:

पाप (2x - ) \u003d -sin 2x; cos (3π - x) \u003d -cos x;

पाप (2x - 9π / 2) \u003d -cos 2x; cos (x + /2) = -sin x;

कॉस (एक्स - / 2) \u003d पाप एक्स; cos (2x - 7π/2) = -sin 2x;

पाप (3π / 2 - x) \u003d -cos x; पाप (2x - 5π / 2) \u003d -cos 2x।

जहां से, तर्कों को जोड़ने और मूल त्रिकोणमितीय पहचान के सूत्रों के आधार पर, हम प्राप्त करते हैं

ए \u003d (पाप 2x cos x + cos 2x sin x) 2 + (-sin x sin 2x + cos x cos 2x) 2 \u003d sin 2 (2x + x) + cos 2 (x + 2x) \u003d
= sin 2 3x + cos 2 3x = 1

उत्तर 1।

उदाहरण 2

व्यंजक M = cos α + cos (α + β) cos + cos β - sin (α + β) sin γ + cos को उत्पाद में बदलें।

फेसला।

तर्कों को जोड़ने के सूत्रों से और त्रिकोणमितीय कार्यों के योग को उत्पाद में बदलने के लिए, उपयुक्त समूहन के बाद, हमारे पास है

М = (cos (α + β) cos γ - sin (α + β) sin γ) + cos α + (cos β + cos ) =

2cos ((β + γ)/2) cos ((β - )/2) + (cos α + cos (α + β + γ)) =

2cos ((β + )/2) cos ((β - )/2) + 2cos (α + (β + γ)/2) cos ((β + )/2)) =

2cos ((β + )/2) (cos ((β - )/2) + cos (α + (β + γ)/2)) =

2cos ((β + γ)/2) 2cos ((β - )/2 + α + (β + )/2)/2) cos ((β - )/2) - (α + ( β + )/2)/2) =

4cos ((β + )/2) cos ((α + β)/2) cos ((α + )/2)।

उत्तर: М = 4cos ((α + β)/2) cos ((α + )/2) cos ((β + γ)/2)।

उदाहरण 3.

दिखाएँ कि व्यंजक A \u003d cos 2 (x + / 6) - cos (x + / 6) cos (x - / 6) + cos 2 (x - / 6) R से सभी x के लिए लेता है। और एक ही मूल्य। यह मान ज्ञात कीजिए।

फेसला।

हम इस समस्या को हल करने के लिए दो तरीके प्रस्तुत करते हैं। पहली विधि को लागू करते हुए, पूर्ण वर्ग को अलग करके और संबंधित मूल त्रिकोणमितीय सूत्रों का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं

ए \u003d (cos (x + / 6) - cos (x - / 6)) 2 + cos (x - / 6) cos (x - π / 6) \u003d

4sin 2 x sin 2 /6 + 1/2(cos 2x + cos π/3) =

पाप 2 x + 1/2 cos 2x + 1/4 = 1/2 (1 - cos 2x) + 1/2 cos 2x + 1/4 = 3/4।

समस्या को दूसरे तरीके से हल करते हुए, A को R से x का एक फलन मानें और इसके अवकलज की गणना करें। परिवर्तन के बाद, हम प्राप्त करते हैं

А´ \u003d -2cos (x + /6) sin (x + /6) + (sin (x + /6) cos (x - /6) + cos (x + /6) sin ( x + π/6)) - 2cos (x - π/6) sin (x - π/6) =

पाप 2(x + /6) + पाप ((x + /6) + (x - π/6)) - पाप 2(x - π/6) =

पाप 2x - (पाप (2x + π/3) + पाप (2x - π/3)) =

पाप 2x - 2sin 2x cos /3 = sin 2x - sin 2x 0.

इसलिए, एक अंतराल पर भिन्न फलन की स्थिरता की कसौटी के आधार पर, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि

A(x) ≡ (0) = cos 2 π/6 - cos 2 /6 + cos 2 /6 = (√3/2) 2 = 3/4, x ∈ R.

उत्तर: ए = 3/4 x € R के लिए।

त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं को सिद्ध करने की मुख्य विधियाँ हैं:

ए)उपयुक्त परिवर्तनों द्वारा पहचान के बाईं ओर दाईं ओर की कमी;
बी)पहचान के दाईं ओर बाईं ओर की कमी;
में)पहचान के दाएं और बाएं हिस्सों को एक ही रूप में कम करना;
जी)पहचान के बाएँ और दाएँ भागों के बीच के अंतर को शून्य करने के लिए सिद्ध किया जा रहा है।

उदाहरण 4

जाँच कीजिए कि cos 3x = -4cos x cos (x + /3) cos (x + 2π/3)।

फेसला।

इस सर्वसमिका के दाईं ओर को संगत त्रिकोणमितीय सूत्रों के अनुसार बदलने पर, हमारे पास है

4cos x cos (x + /3) cos (x + 2π/3) =

2cos x (cos ((x + /3) + (x + 2π/3)) + cos ((x + π/3) - (x + 2π/3))) =

2cos x (cos (2x + π) + cos π/3) =

2cos x cos 2x - cos x = (cos 3x + cos x) - cos x = cos 3x।

पहचान का दाहिना भाग बाईं ओर कम हो जाता है।

उदाहरण 5

सिद्ध कीजिए कि sin 2 α + sin 2 β + sin 2 – 2cos α cos β cos = 2 यदि α, β, किसी त्रिभुज के आंतरिक कोण हैं।

फेसला।

यह ध्यान में रखते हुए कि α, β, किसी त्रिभुज के आंतरिक कोण हैं, हम प्राप्त करते हैं कि

α + β + γ = और इसलिए γ = - α - β।

पाप 2 α + पाप 2 β + पाप 2 γ - 2cos α cos β cos =

पाप 2 α + पाप 2 β + पाप 2 (π - α - β) - 2cos α cos β cos (π - α - β) =

sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (α + β) + (cos (α + β) + cos (α - β) (cos (α + β) =

sin 2 α + sin 2 β + (sin 2 (α + β) + cos 2 (α + β)) + cos (α - β) (cos (α + β) =

1/2 (1 - cos 2α) + ½ (1 - cos 2β) + 1 + 1/2 (cos 2α + cos 2β) = 2.

मूल समानता सिद्ध होती है।

उदाहरण 6

सिद्ध करें कि त्रिभुज के कोणों α, β, में से एक के लिए 60° के बराबर होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0.

फेसला।

इस समस्या की स्थिति आवश्यकता और पर्याप्तता दोनों का प्रमाण मानती है।

पहले हम सिद्ध करते हैं जरुरत.

यह दिखाया जा सकता है कि

sin 3α + sin 3β + sin 3γ = -4cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2)।

इसलिए, इस बात को ध्यान में रखते हुए कि cos (3/2 60°) = cos 90° = 0, हम पाते हैं कि यदि α, β या में से कोई एक कोण 60° के बराबर है, तो

cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2) = 0 और इसलिए sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0।

आइए अब साबित करें पर्याप्ततानिर्दिष्ट शर्त।

यदि sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0, तो cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2) = 0, और इसलिए

या तो cos (3α/2) = 0, या cos (3β/2) = 0, या cos (3γ/2) = 0।

इसलिये,

या 3α/2 = /2 + πk, यानी। α = π/3 + 2πk/3,

या 3β/2 = /2 + πk, यानी। β = /3 + 2πk/3,

या 3γ/2 = /2 + πk,

वे। = π/3 + 2πk/3, जहां k Z.

इस तथ्य से कि α, β, एक त्रिभुज के कोण हैं, हमारे पास है

0 < α < π, 0 < β < π, 0 < γ < π.

इसलिए, α = π/3 + 2πk/3 या β = π/3 + 2πk/3 or . के लिए

= π/3 + 2πk/3 सभी kϵZ में से केवल k = 0 फिट बैठता है।

यह इस प्रकार है कि या तो α = /3 = 60°, या β = /3 = 60°, या = /3 = 60°।

अभिकथन सिद्ध हो चुका है।

क्या आपका कोई प्रश्न है? त्रिकोणमितीय व्यंजकों को सरल बनाना नहीं जानते?
ट्यूटर की मदद लेने के लिए - रजिस्टर करें।
पहला सबक मुफ्त है!

साइट, सामग्री की पूर्ण या आंशिक प्रतिलिपि के साथ, स्रोत के लिए एक लिंक आवश्यक है।

कुछ समस्याओं को हल करने के लिए, त्रिकोणमितीय पहचान की एक तालिका उपयोगी होगी, जिससे फ़ंक्शन रूपांतरण करना बहुत आसान हो जाएगा:

सबसे सरल त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ

कोण अल्फा की ज्या को उसी कोण की कोज्या से विभाजित करने का भागफल इस कोण की स्पर्श रेखा के बराबर होता है (सूत्र 1)। सरलतम त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं के परिवर्तन की शुद्धता का प्रमाण भी देखें।
कोण अल्फा के कोज्या को उसी कोण की ज्या से विभाजित करने का भागफल उसी कोण के कोटैंजेंट के बराबर होता है (सूत्र 2)
एक कोण का छेदक उसी कोण के कोज्या द्वारा विभाजित एक के बराबर होता है (सूत्र 3)
एक ही कोण की ज्या और कोज्या के वर्गों का योग एक के बराबर होता है (सूत्र 4)। कोज्या और ज्या के वर्गों के योग का प्रमाण भी देखें।
कोण की इकाई और स्पर्शरेखा का योग इस कोण की कोज्या के इकाई के वर्ग के अनुपात के बराबर होता है (सूत्र 5)
इस कोण के ज्या वर्ग द्वारा इकाई को विभाजित करने के भागफल के बराबर होता है (सूत्र 6)
एक ही कोण के स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट का गुणनफल एक (सूत्र 7) के बराबर होता है।

त्रिकोणमितीय फलनों के ऋणात्मक कोणों को परिवर्तित करना (सम और विषम)

साइन, कोसाइन या स्पर्शरेखा की गणना करते समय कोण के डिग्री माप के नकारात्मक मूल्य से छुटकारा पाने के लिए, आप सम या विषम त्रिकोणमितीय कार्यों के सिद्धांतों के आधार पर निम्नलिखित त्रिकोणमितीय परिवर्तनों (पहचान) का उपयोग कर सकते हैं।

जैसा देख गया, कोज्याऔर secant is यहां तक ​​कि समारोह, ज्या, स्पर्शरेखा और कोटांगेंट विषम फलन हैं.

एक ऋणात्मक कोण की ज्या उसी धनात्मक कोण की ज्या के ऋणात्मक मान के बराबर होती है (अल्फा की ज्या घटाकर)।
कोसाइन "माइनस अल्फा" कोण अल्फा के कोसाइन के समान मान देगा।
टेंगेंट माइनस अल्फा माइनस टेंगेंट अल्फा के बराबर है।

दोहरे कोण में कमी के सूत्र (साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और दोहरे कोण के कोटेंगेंट)

यदि आपको कोण को आधे में विभाजित करने की आवश्यकता है, या इसके विपरीत, दोहरे कोण से एकल कोण पर जाएं, तो आप निम्न त्रिकोणमितीय पहचान का उपयोग कर सकते हैं:

दोहरा कोण रूपांतरण (डबल एंगल साइन, डबल एंगल कोसाइन और डबल एंगल टेंगेंट) एकल में निम्नलिखित नियमों के अनुसार होता है:

दोहरे कोण की ज्याएक कोण की ज्या और कोज्या के गुणनफल के दुगुने के बराबर है

दोहरे कोण की कोज्याएक कोण की कोज्या के वर्ग और इस कोण की ज्या के वर्ग के बीच के अंतर के बराबर है

दोहरे कोण की कोज्याएक कोण की कोज्या के वर्ग के दोगुने के बराबर माइनस एक

दोहरे कोण की कोज्याएक कोण के दोहरे ज्या वर्ग के एक ऋण के बराबर होता है

दोहरा कोण स्पर्शरेखाएक भिन्न के बराबर है जिसका अंश एक कोण के स्पर्शरेखा का दोगुना है, और जिसका हर एक कोण के वर्ग के स्पर्शरेखा के एक ऋण के बराबर है।

दोहरा कोण कोटैंजेंटएक भिन्न के बराबर है जिसका अंश एक कोण के कोटेंगेंट का वर्ग माइनस एक है, और हर एक कोण के कोटेंजेंट के दोगुने के बराबर है

सार्वभौमिक त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन सूत्र

नीचे दिए गए रूपांतरण सूत्र तब उपयोगी हो सकते हैं जब आपको त्रिकोणमितीय फलन (sin α, cos α, tg α) के तर्क को दो से विभाजित करने और व्यंजक को आधे कोण के मान पर लाने की आवश्यकता होती है। α के मान से हमें α/2 प्राप्त होता है।

इन सूत्रों को कहा जाता है सार्वभौमिक त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन के सूत्र. उनका मूल्य इस तथ्य में निहित है कि उनकी मदद से त्रिकोणमितीय अभिव्यक्ति आधे कोण के स्पर्शरेखा की अभिव्यक्ति तक कम हो जाती है, भले ही त्रिकोणमितीय कार्य (sin cos tg ctg) मूल रूप से अभिव्यक्ति में थे। उसके बाद, आधे कोण के स्पर्शरेखा वाले समीकरण को हल करना बहुत आसान है।

त्रिकोणमितीय आधा कोण परिवर्तन पहचान

किसी कोण के आधे मान को उसके पूर्णांक मान में त्रिकोणमितीय रूपान्तरण के सूत्र निम्नलिखित हैं।
त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन α/2 के तर्क का मान त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन α के तर्क के मान तक कम हो जाता है।

कोण जोड़ने के लिए त्रिकोणमितीय सूत्र

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α

पाप (α - β) = पाप α cos β - sin β cos α
cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β

कोणों के योग की स्पर्श रेखा और कोटंगेंटत्रिकोणमितीय कार्यों को परिवर्तित करने के लिए अल्फा और बीटा को निम्नलिखित नियमों के अनुसार परिवर्तित किया जा सकता है:

कोणों के योग की स्पर्शरेखाएक भिन्न के बराबर होता है जिसका अंश पहले कोण की स्पर्शरेखा और दूसरे कोण की स्पर्शरेखा का योग होता है, और हर पहले कोण की स्पर्शरेखा और दूसरे कोण की स्पर्शरेखा के गुणनफल का एक ऋण होता है।

कोण अंतर स्पर्शरेखाएक भिन्न के बराबर होता है, जिसका अंश घटाए गए कोण की स्पर्शरेखा और घटाए जाने वाले कोण की स्पर्शरेखा के बीच के अंतर के बराबर होता है, और हर इन कोणों की स्पर्शरेखाओं का गुणनफल होता है।

कोणों के योग का स्पर्शज्याएक भिन्न के बराबर होता है जिसका अंश इन कोणों के जोड़ एक के गुणनफल के बराबर होता है, और हर दूसरे कोण के कोटैंजेंट और पहले कोण के कोटैंजेंट के बीच के अंतर के बराबर होता है।

कोण अंतर का कोटैंजेंटएक भिन्न के बराबर होता है जिसका अंश इन कोणों के माइनस एक के कोटैंजेंट का गुणनफल होता है, और हर इन कोणों के कोटंगेंट के योग के बराबर होता है।

जब आपको गणना करने की आवश्यकता होती है, तो इन त्रिकोणमितीय पहचानों का उपयोग करना सुविधाजनक होता है, उदाहरण के लिए, 105 डिग्री (tg 105) की स्पर्शरेखा। यदि इसे tg (45 + 60) के रूप में दर्शाया जाता है, तो आप कोणों के योग के स्पर्शरेखा के दिए गए समान परिवर्तनों का उपयोग कर सकते हैं, जिसके बाद आप केवल 45 की स्पर्शरेखा और स्पर्शरेखा के सारणीबद्ध मानों को प्रतिस्थापित कर सकते हैं। 60 डिग्री का।

त्रिकोणमितीय कार्यों के योग या अंतर को परिवर्तित करने के सूत्र

पाप α + sin β के योग का प्रतिनिधित्व करने वाले व्यंजकों को निम्नलिखित सूत्रों का उपयोग करके परिवर्तित किया जा सकता है:

ट्रिपल कोण सूत्र - sin3α cos3α tg3α को sinα cosα tgα में बदलें

कभी-कभी कोण के ट्रिपल मान को परिवर्तित करना आवश्यक होता है ताकि कोण α 3α के बजाय त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन का तर्क बन जाए।
इस मामले में, आप त्रिकोण के परिवर्तन के लिए सूत्रों (पहचान) का उपयोग कर सकते हैं:

त्रिकोणमितीय कार्यों के उत्पाद को बदलने के सूत्र

यदि विभिन्न कोणों के कोसाइन के विभिन्न कोणों की ज्या के गुणनफल को परिवर्तित करना आवश्यक हो जाता है, या यहाँ तक कि साइन और कोसाइन के उत्पाद को भी परिवर्तित करना आवश्यक हो जाता है, तो आप निम्नलिखित त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग कर सकते हैं:


इस मामले में, विभिन्न कोणों के साइन, कोसाइन या स्पर्शरेखा कार्यों का उत्पाद योग या अंतर में परिवर्तित हो जाएगा।

त्रिकोणमितीय कार्यों को कम करने के सूत्र

आपको निम्नानुसार कास्ट टेबल का उपयोग करने की आवश्यकता है। पंक्ति में, उस फ़ंक्शन का चयन करें जिसमें हमें रुचि हो। स्तंभ एक कोण है। उदाहरण के लिए, पहली पंक्ति और पहले कॉलम के चौराहे पर कोण (α+90) की साइन, हम पाते हैं कि sin (α+90) = cos α ।

तर्क के सभी मूल्यों के लिए निष्पादित (सामान्य दायरे से)।

सार्वभौमिक प्रतिस्थापन सूत्र।

इन सूत्रों के साथ, किसी भी अभिव्यक्ति को एक तर्क के विभिन्न त्रिकोणमितीय कार्यों को एक फ़ंक्शन की तर्कसंगत अभिव्यक्ति में बदलना आसान है। टीजी (α / 2):

रकम को उत्पादों और उत्पादों को रकम में बदलने के लिए सूत्र।

पहले, उपरोक्त सूत्रों का उपयोग गणनाओं को सरल बनाने के लिए किया जाता था। उन्होंने लॉगरिदमिक तालिकाओं का उपयोग करके गणना की, और बाद में - एक स्लाइड नियम, क्योंकि लॉगरिदम संख्याओं को गुणा करने के लिए सबसे उपयुक्त हैं। यही कारण है कि प्रत्येक मूल अभिव्यक्ति को एक ऐसे रूप में कम कर दिया गया जो लॉगरिदम के लिए सुविधाजनक होगा, यानी उत्पादों के लिए, उदाहरण के लिए:

2 पाप α पाप बी = क्योंकि (α - बी) - क्योंकि (α + बी);

2 क्योंकि α क्योंकि बी = क्योंकि (α - बी) + क्योंकि (α + बी);

2 पाप α क्योंकि बी = पाप (α - बी) + पाप (α + बी).

वह कोण कहाँ है जिसके लिए, विशेष रूप से,

स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट कार्यों के सूत्र ऊपर से आसानी से प्राप्त किए जाते हैं।

डिग्री में कमी के सूत्र।

पाप 2 α \u003d (1 - cos 2α) / 2;	cos2α = (1 + cos2α)/2;
पाप 3α = (3 पापα -पाप 3α )/4;	cos 3 a = (3 cosα + क्योंकि 3α )/4.

इन सूत्रों की मदद से, त्रिकोणमितीय समीकरण आसानी से कम डिग्री वाले समीकरणों में कम हो जाते हैं। उसी तरह, कम करने वाले सूत्र उच्च डिग्री के लिए व्युत्पन्न होते हैं पापऔर क्योंकि.

उनमें से एक के माध्यम से एक ही तर्क के त्रिकोणमितीय कार्यों की अभिव्यक्ति।

जड़ के सामने का चिन्ह कोण के चौथाई पर निर्भर करता है α .