यदि किसी पिंड को एक बल द्वारा घूर्णन में लाया जाता है, तो उसकी ऊर्जा खर्च किए गए कार्य की मात्रा से बढ़ जाती है। जैसा कि स्थानांतरीय गति में होता है, यह कार्य उत्पन्न बल और विस्थापन पर निर्भर करता है। हालांकि, विस्थापन अब कोणीय है और भौतिक बिंदु को स्थानांतरित करते समय काम करने के लिए अभिव्यक्ति लागू नहीं होती है। क्योंकि शरीर पूरी तरह से कठोर है, तो बल का कार्य, हालांकि इसे एक बिंदु पर लगाया जाता है, पूरे शरीर को घुमाने में खर्च किए गए कार्य के बराबर होता है।

कोण से मुड़ते समय, बल लगाने वाला बिंदु एक पथ की यात्रा करता है। इस मामले में, कार्य विस्थापन के परिमाण द्वारा विस्थापन की दिशा पर बल के प्रक्षेपण के गुणनफल के बराबर है: ; अंजीर से। यह देखा जा सकता है कि बल की भुजा है, और बल का क्षण है।

फिर प्राथमिक कार्य: . तो अगर ।

घूर्णन का कार्य शरीर की गतिज ऊर्जा को बढ़ाने के लिए जाता है

; प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं: या गतिकी के समीकरण को ध्यान में रखते हुए: यह स्पष्ट है कि, अर्थात्। एक ही अभिव्यक्ति।

6. संदर्भ के गैर-जड़त्वीय फ्रेम

काम का अंत -

यह विषय संबंधित है:

ट्रांसलेशनल मोशन की कीनेमेटीक्स

यांत्रिकी की भौतिक नींव .. अनुवाद गति की गतिज .. अस्तित्व के रूप में यांत्रिक गति ..

यदि आपको इस विषय पर अतिरिक्त सामग्री की आवश्यकता है, या आपको वह नहीं मिला जिसकी आप तलाश कर रहे थे, तो हम अपने कार्यों के डेटाबेस में खोज का उपयोग करने की सलाह देते हैं:

प्राप्त सामग्री का हम क्या करेंगे:

यदि यह सामग्री आपके लिए उपयोगी साबित हुई, तो आप इसे सामाजिक नेटवर्क पर अपने पेज पर सहेज सकते हैं:

कलरव

इस खंड के सभी विषय:

यांत्रिक गति
पदार्थ, जैसा कि ज्ञात है, दो रूपों में मौजूद है: पदार्थ और क्षेत्र के रूप में। पहले प्रकार में परमाणु और अणु शामिल हैं, जिनसे सभी निकायों का निर्माण होता है। दूसरे प्रकार में सभी प्रकार के क्षेत्र शामिल हैं: गुरुत्वाकर्षण

स्थान और समय
सभी शरीर मौजूद हैं और अंतरिक्ष और समय में चलते हैं। ये अवधारणाएं सभी प्राकृतिक विज्ञानों के लिए मौलिक हैं। किसी भी शरीर के आयाम होते हैं, अर्थात। इसकी स्थानिक सीमा

संदर्भ प्रणाली
समय में एक मनमाना बिंदु पर शरीर की स्थिति को स्पष्ट रूप से निर्धारित करने के लिए, एक संदर्भ प्रणाली चुनना आवश्यक है - एक घड़ी से लैस एक समन्वय प्रणाली और सख्ती से एक बिल्कुल कठोर शरीर से जुड़ा हुआ है, के अनुसार

गति के गतिज समीकरण
जब t.M गति करता है, इसके निर्देशांक और समय के साथ बदलते हैं, इसलिए, गति के नियम को निर्धारित करने के लिए, के प्रकार को निर्दिष्ट करना आवश्यक है

आंदोलन, प्राथमिक आंदोलन
बिंदु M को वक्र पथ AB के अनुदिश A से B तक जाने दें। प्रारंभिक क्षण में, इसकी त्रिज्या वेक्टर के बराबर है

त्वरण। सामान्य और स्पर्शरेखा त्वरण
एक बिंदु की गति भी त्वरण की विशेषता है - गति में परिवर्तन की गति। यदि किसी बिंदु की गति एक मनमाना समय

अनुवाद आंदोलन
किसी कठोर पिंड की यांत्रिक गति का सरलतम रूप है ट्रांसलेशनल मोशन, जिसमें पिंड के किन्हीं दो बिंदुओं को जोड़ने वाली सीधी रेखा पिंड के साथ चलती रहती है, जो समानांतर रहती है | इसका

जड़ता का नियम
शास्त्रीय यांत्रिकी न्यूटन के तीन कानूनों पर आधारित है, जो उनके द्वारा 1687 में प्रकाशित "प्राकृतिक दर्शन के गणितीय सिद्धांतों" के काम में तैयार किया गया था। ये कानून एक प्रतिभा का परिणाम थे

संदर्भ का जड़त्वीय ढांचा
यह ज्ञात है कि यांत्रिक गति सापेक्ष होती है और इसकी प्रकृति संदर्भ फ्रेम की पसंद पर निर्भर करती है। न्यूटन का पहला नियम संदर्भ के सभी फ्रेमों में मान्य नहीं है। उदाहरण के लिए, एक चिकनी सतह पर पड़े पिंड

वज़न। न्यूटन का दूसरा नियम
गतिकी का मुख्य कार्य उन पर लागू बलों की कार्रवाई के तहत निकायों की गति की विशेषताओं को निर्धारित करना है। अनुभव से ज्ञात होता है कि बल के प्रभाव में

भौतिक बिंदु की गतिशीलता का मूल नियम
समीकरण विरूपण की अनुपस्थिति में एक बल की कार्रवाई के तहत परिमित आयामों के शरीर की गति में परिवर्तन का वर्णन करता है और यदि यह

न्यूटन का तीसरा नियम
टिप्पणियों और प्रयोगों से पता चलता है कि एक शरीर की दूसरे पर यांत्रिक क्रिया हमेशा एक अंतःक्रिया होती है। यदि शरीर 2 शरीर 1 पर कार्य करता है, तो शरीर 1 आवश्यक रूप से उन का प्रतिकार करता है

गैलीलियन परिवर्तन
वे एक को संदर्भ के एक जड़त्वीय फ्रेम से दूसरे में संक्रमण में गतिज मात्रा निर्धारित करने की अनुमति देते हैं। चलो ले लो

गैलीलियो का सापेक्षता का सिद्धांत
संदर्भ के सभी फ़्रेमों में किसी भी बिंदु का त्वरण एक दूसरे के सापेक्ष एक सीधी रेखा में और समान रूप से समान होता है:

संरक्षित मात्रा
कोई भी पिंड या पिंडों की प्रणाली भौतिक बिंदुओं या कणों का एक संग्रह है। यांत्रिकी में किसी समय इस तरह की प्रणाली की स्थिति निर्देशांक और वेगों को सेट करके निर्धारित की जाती है

सेंटर ऑफ मास
कणों की किसी भी प्रणाली में, आप एक बिंदु पा सकते हैं जिसे द्रव्यमान का केंद्र कहा जाता है

द्रव्यमान केंद्र की गति का समीकरण
सिस्टम के द्रव्यमान के केंद्र की अवधारणा को जानकर, गतिकी के मूल नियम को एक अलग रूप में लिखा जा सकता है:

रूढ़िवादी ताकतें
यदि अंतरिक्ष में प्रत्येक बिंदु पर वहां स्थित कण पर कोई बल कार्य करता है, तो यह कहा जाता है कि कण बलों के क्षेत्र में है, उदाहरण के लिए, गुरुत्वाकर्षण, गुरुत्वाकर्षण, कूलम्ब और अन्य बलों के क्षेत्र में। खेत

केंद्रीय बल
कोई भी बल क्षेत्र एक निश्चित शरीर या निकायों की प्रणाली की कार्रवाई के कारण होता है। इस क्षेत्र में एक कण पर कार्य करने वाला बल लगभग है

बल क्षेत्र में किसी कण की स्थितिज ऊर्जा
तथ्य यह है कि एक रूढ़िवादी बल का कार्य (स्थिर क्षेत्र के लिए) केवल क्षेत्र में कण की प्रारंभिक और अंतिम स्थिति पर निर्भर करता है, हमें संभावित की महत्वपूर्ण भौतिक अवधारणा को पेश करने की अनुमति देता है

एक रूढ़िवादी क्षेत्र के लिए संभावित ऊर्जा और बल के बीच संबंध
आस-पास के निकायों के साथ एक कण की बातचीत को दो तरीकों से वर्णित किया जा सकता है: बल की अवधारणा का उपयोग करना या संभावित ऊर्जा की अवधारणा का उपयोग करना। पहली विधि अधिक सामान्य है, क्योंकि यह बलों पर लागू होता है

बल क्षेत्र में कण की गतिज ऊर्जा
द्रव्यमान वाले एक कण को ​​बलों में चलने दें

एक कण की कुल यांत्रिक ऊर्जा
यह ज्ञात है कि किसी बल क्षेत्र में गति करते समय किसी कण की गतिज ऊर्जा में वृद्धि कण पर कार्य करने वाले सभी बलों के प्रारंभिक कार्य के बराबर होती है:

कण की यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण का नियम
यह अभिव्यक्ति से निम्नानुसार है कि रूढ़िवादी बलों के एक स्थिर क्षेत्र में, एक कण की कुल यांत्रिक ऊर्जा बदल सकती है

गतिकी
शरीर को किसी कोण से घुमाएं

कण का कोणीय संवेग। शक्ति का क्षण
ऊर्जा और संवेग के अतिरिक्त एक और भौतिक राशि है जिससे संरक्षण नियम जुड़ा हुआ है - यह कोणीय संवेग है। कण कोणीय गति

अक्ष के परितः संवेग का आघूर्ण और बल का आघूर्ण
आइए हम संदर्भ के फ्रेम में लें कि हम एक मनमाना निश्चित अक्ष में रुचि रखते हैं

प्रणाली के संवेग के संरक्षण का नियम
आइए हम दो परस्पर क्रिया करने वाले कणों से युक्त एक प्रणाली पर विचार करें, जिस पर बाहरी बलों द्वारा भी कार्य किया जाता है और

इस प्रकार, कणों के एक बंद निकाय का कोणीय संवेग स्थिर रहता है, समय के साथ नहीं बदलता है
यह संदर्भ के जड़त्वीय फ्रेम में किसी भी बिंदु के लिए सही है:। सिस्टम के अलग-अलग हिस्सों के कोणीय क्षण m

एक कठोर शरीर की जड़ता का क्षण
एक कठोर शरीर पर विचार करें जो कर सकता है

कठोर शारीरिक रोटेशन गतिशीलता समीकरण
एक कठोर पिंड के घूर्णन की गतिकी का समीकरण एक मनमानी धुरी के चारों ओर घूमने वाले कठोर शरीर के लिए क्षणों के समीकरण को लिखकर प्राप्त किया जा सकता है

एक घूर्णन पिंड की गतिज ऊर्जा
एक निश्चित धुरी के चारों ओर घूमते हुए एक बिल्कुल कठोर शरीर पर विचार करें। आइए इसे छोटे आयतन और द्रव्यमान वाले कणों में तोड़ दें

जड़ता का केन्द्रापसारक बल
एक डिस्क पर विचार करें जो स्प्रिंग पर गेंद के साथ घूमती है, स्पोक पर रखी जाती है, चित्र 5.3। गेंद है

कोरिओलिस बल
जब कोई पिंड घूर्णन CO के सापेक्ष गति करता है, इसके अतिरिक्त, एक अन्य बल प्रकट होता है - कोरिओलिस बल या कोरिओलिस बल

छोटे उतार-चढ़ाव
एक यांत्रिक प्रणाली पर विचार करें जिसकी स्थिति एकल मात्रा, मान लीजिए x का उपयोग करके निर्धारित की जा सकती है। इस मामले में, सिस्टम को एक डिग्री स्वतंत्रता कहा जाता है। x का मान हो सकता है

हार्मोनिक कंपन
एक अर्ध-लोचदार बल के लिए घर्षण बलों की अनुपस्थिति में न्यूटन के दूसरे नियम के समीकरण का रूप है:

गणितीय लोलक
यह एक लंबवत विमान में दोलन करने वाली लंबाई के साथ एक अविभाज्य धागे पर निलंबित एक भौतिक बिंदु है।

भौतिक लोलक
यह एक कठोर पिंड है जो शरीर से जुड़े एक निश्चित अक्ष के चारों ओर दोलन करता है। अक्ष रेखाचित्र के लंबवत है और

नम कंपन
एक वास्तविक ऑसिलेटरी सिस्टम में, प्रतिरोध बल होते हैं, जिसकी क्रिया से सिस्टम की संभावित ऊर्जा में कमी आती है, और दोलनों को कम कर दिया जाएगा। सरलतम मामले में

आत्म-दोलन
नम दोलनों के साथ, सिस्टम की ऊर्जा धीरे-धीरे कम हो जाती है और दोलन बंद हो जाते हैं। उन्हें अप्रकाशित बनाने के लिए, एक निश्चित समय पर बाहर से सिस्टम की ऊर्जा को फिर से भरना आवश्यक है

मजबूर कंपन
यदि ऑसिलेटरी सिस्टम, प्रतिरोध बलों के अलावा, एक बाहरी आवधिक बल की कार्रवाई के अधीन है जो हार्मोनिक कानून के अनुसार बदलता है

गूंज
मजबूर दोलनों के आयाम की निर्भरता का वक्र इस तथ्य की ओर जाता है कि किसी दिए गए सिस्टम के लिए कुछ विशिष्ट के लिए

लोचदार माध्यम में तरंग प्रसार
यदि दोलनों का स्रोत लोचदार माध्यम (ठोस, तरल, गैसीय) के किसी भी स्थान पर रखा जाता है, तो कणों के बीच परस्पर क्रिया के कारण, कण से घंटे तक माध्यम में दोलन का प्रसार होगा

समतल और गोलाकार तरंगों का समीकरण
तरंग समीकरण अपने निर्देशांक पर एक दोलन कण के विस्थापन की निर्भरता को व्यक्त करता है,

तरंग समीकरण
तरंग समीकरण एक अवकल समीकरण का समाधान है जिसे तरंग समीकरण कहा जाता है। इसे स्थापित करने के लिए, हम समय के संबंध में दूसरा आंशिक व्युत्पन्न पाते हैं और समीकरण से समन्वय करते हैं

यहां, रोटेशन की धुरी के सापेक्ष कोणीय गति है, अर्थात, कोणीय गति के अक्ष पर प्रक्षेपण, अक्ष से संबंधित किसी बिंदु के सापेक्ष परिभाषित किया गया है (व्याख्यान 2 देखें)। - यह रोटेशन की धुरी के सापेक्ष बाहरी बलों का क्षण है, अर्थात, बाहरी बलों के परिणामी क्षण की धुरी पर प्रक्षेपण, अक्ष से संबंधित किसी बिंदु के सापेक्ष परिभाषित, और अक्ष पर इस बिंदु का चुनाव , जैसा कि c के मामले में है, कोई फर्क नहीं पड़ता। वास्तव में (चित्र। 3.4), घूर्णन की धुरी के लंबवत कठोर शरीर पर लागू बल का घटक कहां है, अक्ष के सापेक्ष बल का कंधा है।

चावल। 3.4.

चूंकि ( घूर्णन की धुरी के सापेक्ष शरीर की जड़ता का क्षण है), तो हम इसके बजाय लिख सकते हैं

(3.8)

वेक्टर हमेशा रोटेशन की धुरी के साथ निर्देशित होता है, और अक्ष के साथ बल के क्षण के वेक्टर का घटक होता है।

मामले में, हम क्रमशः प्राप्त करते हैं, और अक्ष के बारे में कोणीय गति संरक्षित होती है। उसी समय, वेक्टर ही ली, रोटेशन की धुरी पर किसी बिंदु के सापेक्ष परिभाषित, भिन्न हो सकते हैं। इस तरह के आंदोलन का एक उदाहरण अंजीर में दिखाया गया है। 3.5.

चावल। 3.5.

रॉड एबी, बिंदु ए पर टिका हुआ है, जड़ता द्वारा एक ऊर्ध्वाधर अक्ष के चारों ओर इस तरह से घूमता है कि अक्ष और रॉड के बीच का कोण स्थिर रहता है। गति वेक्टर ली, बिंदु A के सापेक्ष एक शंक्वाकार सतह के साथ आधा उद्घाटन कोण के साथ चलता है, हालांकि, प्रक्षेपण लीऊर्ध्वाधर अक्ष पर स्थिर रहता है, क्योंकि इस अक्ष के बारे में गुरुत्वाकर्षण का क्षण शून्य है।

एक घूर्णन पिंड की गतिज ऊर्जा और बाहरी बलों का कार्य (घूर्णन की धुरी स्थिर है)।

पिंड के i-वें कण का वेग

(3.11)

घूर्णन के अक्ष से कण की दूरी कहाँ है गतिज ऊर्जा

(3.12)

जैसा कोणीय गतिसभी बिंदुओं के लिए रोटेशन समान है।

के अनुसार यांत्रिक ऊर्जा के परिवर्तन का नियमप्रणाली, सभी बाहरी बलों का प्रारंभिक कार्य शरीर की गतिज ऊर्जा की वृद्धि के बराबर है:

आइए हम यह छोड़ दें कि ग्राइंडस्टोन डिस्क कोणीय वेग के साथ जड़ता से घूमती है और हम एक स्थिर बल के साथ डिस्क के किनारे पर किसी वस्तु को दबाकर इसे रोकते हैं। इस मामले में, अपनी धुरी के लंबवत निर्देशित निरंतर परिमाण का बल डिस्क पर कार्य करेगा। इस बल का कार्य

जहां इलेक्ट्रिक मोटर के आर्मेचर के साथ डिस्क की जड़ता का क्षण तेज होता है।

टिप्पणी।अगर ताकतें ऐसी हैं कि वे काम नहीं करती हैं।

मुक्त धुरी। मुक्त रोटेशन की स्थिरता।

जब कोई पिंड एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूमता है, तो यह अक्ष बेयरिंग द्वारा स्थिर स्थिति में रहता है। जब तंत्र के असंतुलित हिस्से घूमते हैं, तो एक्सल (शाफ्ट) एक निश्चित गतिशील भार का अनुभव करते हैं, कंपन, कंपन होते हैं, और तंत्र ढह सकता है।

यदि एक कठोर शरीर एक मनमानी धुरी के चारों ओर घूमता है, शरीर से कठोरता से जुड़ा होता है, और धुरी को बीयरिंग से मुक्त किया जाता है, तो अंतरिक्ष में इसकी दिशा, आम तौर पर बोलती है, बदल जाएगी। अपनी दिशा को अपरिवर्तित रखने के लिए शरीर के घूर्णन की मनमानी धुरी के लिए, कुछ बलों को उस पर लागू किया जाना चाहिए। परिणामी स्थितियों को अंजीर में दिखाया गया है। 3.6.

चावल। 3.6.

एक विशाल सजातीय छड़ AB का उपयोग यहां एक घूर्णन पिंड के रूप में किया जाता है, जो पर्याप्त रूप से लोचदार अक्ष (डबल धराशायी रेखाओं द्वारा दर्शाया गया) से जुड़ा होता है। एक्सल की लोच उसके द्वारा अनुभव किए जाने वाले गतिशील भार की कल्पना करना संभव बनाती है। सभी मामलों में, रोटेशन की धुरी लंबवत होती है, रॉड से सख्ती से जुड़ी होती है और बीयरिंग में तय होती है; छड़ इस धुरी के चारों ओर घूमती है और अपने आप छोड़ दी जाती है।

छवि में दिखाये गये मामले में। 3.6a, रॉड के बिंदु B के लिए रोटेशन की धुरी मुख्य है, लेकिन केंद्रीय नहीं है, अक्ष झुकता है, अक्ष के किनारे से बल जो इसके रोटेशन को सुनिश्चित करता है रॉड पर कार्य करता है (एनआईएसओ से जुड़े में) रॉड के साथ, यह बल जड़ता के केन्द्रापसारक बल को संतुलित करता है)। रॉड की तरफ से, बेयरिंग की तरफ से बलों द्वारा संतुलित अक्ष पर एक बल कार्य करता है।

आंकड़ों के मामले में। 3.6b, घूर्णन की धुरी छड़ के द्रव्यमान के केंद्र से होकर गुजरती है और इसके लिए केंद्रीय है, लेकिन मुख्य नहीं है। द्रव्यमान के केंद्र के बारे में कोणीय गति संरक्षित नहीं है और एक शंक्वाकार सतह का वर्णन करता है। धुरी एक जटिल तरीके से विकृत (टूट जाती है), बल अक्ष के किनारे से छड़ पर कार्य करते हैं और जिस क्षण में वृद्धि होती है (रॉड से जुड़े एनआईएसओ में, लोचदार बलों का क्षण उस क्षण के लिए क्षतिपूर्ति करता है जड़ता के केन्द्रापसारक बल छड़ के एक और दूसरे हिस्सों पर कार्य करते हैं)। छड़ की ओर से, बल अक्ष पर कार्य करते हैं और बलों और बलों के क्षण के विपरीत निर्देशित होते हैं और बलों के क्षण और बीयरिंगों में उत्पन्न होने से संतुलित होते हैं।

और केवल उस स्थिति में जब रोटेशन की धुरी शरीर की जड़ता के मुख्य केंद्रीय अक्ष (चित्र। 3.6c) के साथ मेल खाती है, रॉड को बिना मुड़े और अपने आप छोड़ दिया, बीयरिंग पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है। ऐसे एक्सल को फ्री एक्सल कहा जाता है, क्योंकि अगर बेयरिंग को हटा दिया जाता है, तो वे अंतरिक्ष में अपनी दिशा अपरिवर्तित रखेंगे।

यह दूसरी बात है कि क्या यह घुमाव छोटे-छोटे झंझटों के संबंध में स्थिर रहेगा, जो हमेशा वास्तविक परिस्थितियों में होते हैं। प्रयोगों से पता चलता है कि जड़ता के सबसे बड़े और सबसे छोटे क्षणों के साथ मुख्य केंद्रीय अक्षों के चारों ओर घूर्णन स्थिर है, और जड़ता के क्षण के मध्यवर्ती मूल्य के साथ धुरी के चारों ओर घूर्णन अस्थिर है। यह तीन परस्पर लंबवत मुख्य केंद्रीय अक्षों में से एक के चारों ओर एक समानांतर चतुर्भुज के रूप में एक शरीर को फेंक कर सत्यापित किया जा सकता है (चित्र 3.7)। एक्सिस एए" सबसे बड़े, धुरी बीबी से मेल खाती है" - औसत से, और धुरी सीसी" - समानांतर चतुर्भुज की जड़ता के सबसे छोटे क्षण के लिए। काफी स्थिर। शरीर को धुरी बीबी के चारों ओर घुमाने के प्रयास "सफलता नहीं लेते हैं - शरीर एक जटिल तरीके से चलता है, उड़ान में लड़खड़ाता है।

- कठोर शरीर - यूलर कोण

यह सभी देखें:

रोटरी कार्य। शक्ति का क्षण

विस्थापन (बल के स्पर्शरेखा घटक) पर अभिनय बल के प्रक्षेपण की क्रिया के तहत एक वृत्त के चारों ओर एक भौतिक बिंदु के रोटेशन के दौरान किए गए कार्य पर विचार करें। (3.1) और अंजीर के अनुसार। 4.4, ट्रांसलेशनल मोशन के मापदंडों से घूर्णी गति के मापदंडों तक गुजरना (डीएस = आरडीसीपी)

यहां, रोटेशन की धुरी के बारे में बल के क्षण की अवधारणा OOi को बल के उत्पाद के रूप में पेश किया जाता है एफ सीबल के कंधे पर R:

जैसा कि संबंध (4.8) से देखा जा सकता है, घूर्णी गति में बल का क्षण अनुवाद गति में बल के अनुरूप होता है, दोनों मापदंडों के बाद से जब एनालॉग्स द्वारा गुणा किया जाता है डीसीपीऔर डी एसकाम दो। जाहिर है, बल के क्षण को भी वेक्टर रूप से निर्दिष्ट किया जाना चाहिए, और बिंदु ओ के संबंध में, इसकी परिभाषा वेक्टर उत्पाद के माध्यम से दी गई है और इसका रूप है

आखिरकार: घूर्णी गति के दौरान कार्य बल के क्षण और कोणीय विस्थापन के अदिश गुणनफल के बराबर होता है:

घूर्णी गति के दौरान गतिज ऊर्जा। निष्क्रियता के पल

एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूमते हुए एक बिल्कुल कठोर शरीर पर विचार करें। आइए मानसिक रूप से इस शरीर को असीम रूप से छोटे टुकड़ों में विभाजित करें, असीम रूप से छोटे आकार और द्रव्यमान mi, m2, Shz..., दूरी पर स्थित R b R 2 , R3 ... अक्ष से। हम एक घूर्णन पिंड की गतिज ऊर्जा को उसके छोटे भागों की गतिज ऊर्जाओं के योग के रूप में पाते हैं

जहाँ Y किसी दिए गए अक्ष के सापेक्ष एक कठोर पिंड की जड़ता का क्षण है ओओज।

अनुवाद और घूर्णी गतियों की गतिज ऊर्जा के सूत्रों की तुलना से, यह देखा जा सकता है कि घूर्णी गति में जड़ता का क्षण अनुवाद गति में द्रव्यमान के अनुरूप होता है।व्यक्तिगत सामग्री बिंदुओं से युक्त सिस्टम की जड़ता के क्षण की गणना के लिए फॉर्मूला (4.12) सुविधाजनक है। ठोस निकायों की जड़ता के क्षण की गणना करने के लिए, अभिन्न की परिभाषा का उपयोग करके, हम (4.12) को रूप में बदल सकते हैं

यह देखना आसान है कि जड़ता का क्षण धुरी की पसंद पर निर्भर करता है और इसके समानांतर अनुवाद और रोटेशन के साथ बदलता है। हम कुछ सजातीय निकायों के लिए जड़ता के क्षणों के मूल्यों को प्रस्तुत करते हैं।

(4.12) से यह देखा गया है कि एक भौतिक बिंदु की जड़ता का क्षणबराबरी

कहाँ पे टी- बिंदु द्रव्यमान;

आर- रोटेशन की धुरी से दूरी।

जड़ता के क्षण की गणना करना आसान है खोखली पतली दीवार वाला सिलेंडर(या छोटी ऊंचाई वाले सिलेंडर का एक विशेष मामला - पतली अंगूठी)त्रिज्या R समरूपता की धुरी के बारे में। इस तरह के एक शरीर के लिए सभी बिंदुओं के रोटेशन की धुरी की दूरी त्रिज्या के बराबर होती है और इसे योग (4.12) के संकेत के तहत निकाला जा सकता है:

ठोस सिलेंडर(या छोटी ऊंचाई वाले सिलेंडर का एक विशेष मामला - डिस्क)त्रिज्या R समरूपता की धुरी के बारे में जड़ता के क्षण की गणना करने के लिए अभिन्न (4.13) की गणना की आवश्यकता है। इस मामले में द्रव्यमान, औसतन, एक खोखले सिलेंडर के मामले की तुलना में कुछ हद तक करीब केंद्रित है, और सूत्र (4.15) के समान होगा, लेकिन इसमें एक से कम गुणांक दिखाई देगा। आइए इस गुणांक को खोजें।

माना एक ठोस बेलन का घनत्व होता है आरऔर ऊंचाई एच।आइए इसे तोड़ दें

खोखले सिलेंडर (पतली बेलनाकार सतह) मोटी डॉ.(चित्र 4.5) सममिति के अक्ष के लंबवत प्रक्षेपण को दर्शाता है। त्रिज्या के ऐसे खोखले बेलन का आयतन जीमोटाई से गुणा सतह क्षेत्र के बराबर है: वजन: और पल

(4.15) के अनुसार जड़ता: कुल क्षण

एक ठोस सिलेंडर की जड़ता खोखले सिलेंडरों की जड़ता के क्षणों को एकीकृत (योग) करके प्राप्त की जाती है:

. यह देखते हुए कि एक ठोस सिलेंडर का द्रव्यमान संबंधित है

घनत्व सूत्र टी = 7iR 2 hpहमारे पास अंत में एक ठोस सिलेंडर की जड़ता का क्षण है:

इसी तरह खोजा एक पतली छड़ की जड़ता का क्षणलंबाई लीऔर जनता टी,यदि घूर्णन की धुरी छड़ के लंबवत है और इसके मध्य से होकर गुजरती है। आइए हम ऐसी छड़ को अंजीर के अनुसार विभाजित करें। 4.6

मोटे टुकड़ों में डीएलऐसे टुकड़े का द्रव्यमान है डीएम = एम डीएल / एल,और पॉल के अनुसार जड़ता का क्षण

एक पतली छड़ की जड़ता का नया क्षण टुकड़ों की जड़ता के क्षणों को एकीकृत (योग) करके प्राप्त किया जाता है:

यदि एम.टी. एक सर्कल में घूमता है, फिर उस पर एक बल कार्य करता है, फिर एक निश्चित कोण से मुड़ने पर प्राथमिक कार्य किया जाता है:

(22)

यदि अभिनय बल संभावित है, तो

तब (24)

घूर्णन शक्ति

शरीर के घूमने के दौरान विकसित होने वाली तात्कालिक शक्ति:

घूर्णन पिंड की गतिज ऊर्जा

एक भौतिक बिंदु की गतिज ऊर्जा। भौतिक बिंदुओं की गतिज ऊर्जा बहन . क्योंकि , हम घूर्णन की गतिज ऊर्जा के लिए व्यंजक प्राप्त करते हैं:

समतल गति में (सिलेंडर एक झुके हुए तल पर लुढ़कता है), कुल गति है:

सिलेंडर के द्रव्यमान के केंद्र की गति कहां है।

कुल द्रव्यमान के केंद्र के स्थानान्तरण गति की गतिज ऊर्जा और द्रव्यमान के केंद्र के सापेक्ष शरीर की घूर्णी गति की गतिज ऊर्जा के योग के बराबर है, अर्थात:

(28)

निष्कर्ष:

और अब, सभी व्याख्यान सामग्री पर विचार करने के बाद, आइए संक्षेप में, शरीर की घूर्णी और अनुवाद गति की मात्राओं और समीकरणों की तुलना करें:

अनुवाद आंदोलन	घूर्णी गति
वज़न	एम	निष्क्रियता के पल	मैं
मार्ग	एस	रोटेशन का कोण
रफ़्तार		कोणीय गति
धड़कन		कोनेदार गति
त्वरण		कोणीय त्वरण
बाहरी ताकतों का परिणाम	एफ	बाह्य बलों के आघूर्णों का योग	एम
गतिकी का मूल समीकरण		गतिकी का मूल समीकरण
कार्य	एफडी	घूर्णन कार्य
गतिज ऊर्जा		घूर्णन की गतिज ऊर्जा

परिशिष्ट 1:

एक व्यक्ति ज़ुकोवस्की बेंच के केंद्र में खड़ा होता है और इसके साथ जड़ता से घूमता है। रोटेशन आवृत्ति एन 1 \u003d 0.5 एस -1। निष्क्रियता के पल जे ओमानव शरीर के सापेक्ष

रोटेशन की धुरी के सापेक्ष 1.6 किलो मीटर 2 है। भुजाओं को भुजाओं तक फैलाकर, एक व्यक्ति एक द्रव्यमान के साथ केटलबेल रखता है एम= 2 किग्रा प्रत्येक। वजन के बीच की दूरी मैं 1 \u003d l.6 मीटर। गति निर्धारित करें एन 2 , एक व्यक्ति के साथ बेंच जब वह अपने हाथ नीचे और दूरी रखता है मैंवजन के बीच 2 0.4 मीटर के बराबर होगा बेंच की जड़ता के क्षण की उपेक्षा करें।

समरूपता गुण और संरक्षण कानून।

ऊर्जा की बचत।

यांत्रिकी में माने जाने वाले संरक्षण कानून स्थान और समय के गुणों पर आधारित हैं।

ऊर्जा का संरक्षण समय की एकरूपता से संबंधित है, संवेग का संरक्षण अंतरिक्ष की समरूपता से संबंधित है, और अंत में, कोणीय गति का संरक्षण अंतरिक्ष की समरूपता से संबंधित है।

हम ऊर्जा के संरक्षण के नियम से शुरू करते हैं। कणों की प्रणाली को स्थिर स्थितियों में रहने दें (यह तब होता है जब सिस्टम बंद हो या निरंतर बाहरी बल क्षेत्र के अधीन हो); कनेक्शन (यदि कोई हो) आदर्श और स्थिर हैं। इस मामले में समय, इसकी समरूपता के कारण, लैग्रेंज फ़ंक्शन में स्पष्ट रूप से प्रवेश नहीं कर सकता है। सच में समरूपता का अर्थ है समय के सभी क्षणों की समानता। इसलिए, निर्देशांक और कण वेगों के मूल्यों को बदले बिना समय के एक क्षण को दूसरे द्वारा प्रतिस्थापित करने से सिस्टम के यांत्रिक गुणों को नहीं बदलना चाहिए। यह निश्चित रूप से सच है यदि समय के एक क्षण को दूसरे द्वारा प्रतिस्थापित करने से उन स्थितियों में परिवर्तन नहीं होता है जिनमें सिस्टम स्थित है, अर्थात, यदि बाहरी क्षेत्र समय से स्वतंत्र है (विशेष रूप से, यह क्षेत्र अनुपस्थित हो सकता है)।

तो एक बंद बल क्षेत्र में स्थित एक बंद प्रणाली के लिए, .

कठोर शरीर के घूर्णन के दौरान कार्य और शक्ति।

आइए शरीर के घूर्णन के दौरान काम के लिए एक अभिव्यक्ति खोजें। बल को अक्ष से दूरी पर स्थित एक बिंदु पर लागू करने दें - बल की दिशा और त्रिज्या वेक्टर के बीच का कोण। चूँकि शरीर बिल्कुल कठोर है, इस बल का कार्य पूरे शरीर को घुमाने में किए गए कार्य के बराबर है। जब पिंड एक असीम रूप से छोटे कोण से घूमता है, तो अनुप्रयोग का बिंदु पथ से गुजरता है और कार्य विस्थापन की दिशा में विस्थापन की दिशा पर बल के प्रक्षेपण के उत्पाद के बराबर होता है:

बल के क्षण का मापांक बराबर है:

तब हमें कार्य की गणना के लिए निम्नलिखित सूत्र प्राप्त होता है:

इस प्रकार, एक कठोर शरीर के घूर्णन के दौरान कार्य अभिनय बल के क्षण और घूर्णन कोण के गुणनफल के बराबर होता है।

एक घूर्णन पिंड की गतिज ऊर्जा।

जड़ता का क्षण mat.t. बुलाया शारीरिक मान संख्यात्मक रूप से mat.t के द्रव्यमान के गुणनफल के बराबर है। रोटेशन की धुरी के लिए इस बिंदु की दूरी के वर्ग द्वारा। डब्ल्यू की \u003d एम आई वी 2 आई / 2 वी आई -डब्ल्यूआर आई वाई \u003d मिव 2 आर 2 आई / 2 \u003d डब्ल्यू 2/2 * एम आई आर आई 2 आई i \u003d m i r 2 i कठोर पिंड की जड़ता का क्षण सभी mat.t के योग के बराबर होता है। I=S i m i r 2 i कठोर शरीर की जड़ता का क्षण कहलाता है। भौतिक मूल्य mat.t के उत्पादों के योग के बराबर। इन बिंदुओं से अक्ष तक की दूरी के वर्गों द्वारा। डब्ल्यू आई-आई आई डब्ल्यू 2 /2 डब्ल्यू के \u003d आईडब्ल्यू 2 /2

घूर्णी गति yavl के दौरान W k \u003d S i W ki जड़ता का क्षण। ट्रांसलेशनल मोशन में द्रव्यमान का एनालॉग। मैं = एमआर 2 / 2

21. गैर जड़त्वीय संदर्भ प्रणाली। जड़ता की ताकतें। तुल्यता का सिद्धांत। संदर्भ के गैर-जड़त्वीय फ्रेम में गति का समीकरण।

संदर्भ के गैर-जड़त्वीय फ्रेम- एक मनमाना संदर्भ प्रणाली जो जड़त्वीय नहीं है। संदर्भ के गैर-जड़त्वीय फ्रेम के उदाहरण: निरंतर त्वरण के साथ एक सीधी रेखा में चलने वाला फ्रेम, साथ ही एक घूर्णन फ्रेम।

संदर्भ के गैर-जड़त्वीय फ्रेम में शरीर की गति के समीकरणों पर विचार करते समय, अतिरिक्त जड़त्वीय बलों को ध्यान में रखना आवश्यक है। न्यूटन के नियम केवल संदर्भ के जड़त्वीय फ्रेम में मान्य हैं। गैर-जड़त्वीय संदर्भ फ्रेम में गति के समीकरण को खोजने के लिए, एक जड़त्वीय फ्रेम से किसी भी गैर-जड़त्वीय फ्रेम में संक्रमण के दौरान बलों और त्वरण के परिवर्तन के नियमों को जानना आवश्यक है।

शास्त्रीय यांत्रिकी निम्नलिखित दो सिद्धांतों को निरूपित करता है:

समय निरपेक्ष है, अर्थात किन्हीं दो घटनाओं के बीच का समय अंतराल संदर्भ के सभी मनमाने ढंग से चलने वाले फ़्रेमों में समान है;

अंतरिक्ष निरपेक्ष है, अर्थात किन्हीं दो भौतिक बिंदुओं के बीच की दूरी संदर्भ के सभी मनमाने ढंग से चलने वाले फ़्रेमों में समान है।

ये दो सिद्धांत किसी भी गैर-जड़त्वीय संदर्भ के संदर्भ में भौतिक बिंदु की गति के समीकरण को लिखना संभव बनाते हैं जिसमें न्यूटन का पहला नियम पूरा नहीं होता है।

किसी भौतिक बिंदु की सापेक्ष गति की गतिकी के मूल समीकरण का रूप है:

पिंड का द्रव्यमान कहां है, संदर्भ के गैर-जड़त्वीय फ्रेम के सापेक्ष शरीर का त्वरण है, शरीर पर अभिनय करने वाले सभी बाहरी बलों का योग है, शरीर का पोर्टेबल त्वरण है, का कोरिओलिस त्वरण है तन।

काल्पनिक जड़त्वीय बलों का परिचय देकर इस समीकरण को न्यूटन के दूसरे नियम के परिचित रूप में लिखा जा सकता है:

पोर्टेबल जड़ता बल

कोरिओलिस बल

जड़ता बल- काल्पनिक बल जिसे संदर्भ के गैर-जड़त्वीय फ्रेम में पेश किया जा सकता है ताकि इसमें यांत्रिकी के नियम जड़त्वीय फ्रेम के नियमों के साथ मेल खाते हों।

गणितीय गणनाओं में, इस बल का परिचय समीकरण को बदलकर होता है

F 1 +F 2 +…F n = ma के रूप में

F 1 + F 2 + ... F n -ma = 0 जहाँ F i वास्तविक बल है, और -ma "जड़त्व का बल" है।

जड़ता के बलों में निम्नलिखित हैं:

सरलजड़ता का बल;

केन्द्रापसारक बल, जो संदर्भ के घूर्णन फ्रेम में केंद्र से दूर उड़ने के लिए निकायों की प्रवृत्ति की व्याख्या करता है;

कोरिओलिस बल, जो संदर्भ के घूर्णन फ्रेम में रेडियल गति के दौरान त्रिज्या से विचलन करने के लिए निकायों की प्रवृत्ति की व्याख्या करता है;

सामान्य सापेक्षता की दृष्टि से, किसी भी बिंदु पर गुरुत्वाकर्षण बलआइंस्टीन के वक्र स्थान में दिए गए बिंदु पर जड़ता के बल हैं

अभिकेन्द्रीय बल- जड़ता का बल, जो संदर्भ के घूर्णन (गैर-जड़त्वीय) फ्रेम में पेश किया जाता है (न्यूटन के नियमों को लागू करने के लिए, केवल जड़त्वीय एफआर के लिए गणना की जाती है) और जो रोटेशन की धुरी (इसलिए नाम) से निर्देशित होती है।

गुरुत्वाकर्षण और जड़ता के बलों की तुल्यता का सिद्धांत- सापेक्षता के सामान्य सिद्धांत को प्राप्त करने में अल्बर्ट आइंस्टीन द्वारा प्रयुक्त एक अनुमानी सिद्धांत। उनकी प्रस्तुति के विकल्पों में से एक: "गुरुत्वाकर्षण बातचीत की ताकतें शरीर के गुरुत्वाकर्षण द्रव्यमान के समानुपाती होती हैं, जबकि जड़ता की ताकत शरीर के जड़त्वीय द्रव्यमान के समानुपाती होती है। यदि जड़त्वीय और गुरुत्वाकर्षण द्रव्यमान समान हैं, तो यह भेद करना असंभव है कि किसी दिए गए शरीर पर कौन सा बल कार्य करता है - गुरुत्वाकर्षण या जड़त्वीय बल।

आइंस्टीन का सूत्रीकरण

ऐतिहासिक रूप से, आइंस्टीन द्वारा सापेक्षता का सिद्धांत निम्नानुसार तैयार किया गया था:

गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में सभी घटनाएं ठीक उसी तरह होती हैं जैसे कि जड़त्वीय बलों के संबंधित क्षेत्र में, यदि इन क्षेत्रों की ताकत मेल खाती है और सिस्टम के निकायों के लिए प्रारंभिक स्थितियां समान हैं।

22. गैलीलियो का सापेक्षता का सिद्धांत। गैलीलियन परिवर्तन। शास्त्रीय वेग जोड़ प्रमेय। संदर्भ के जड़त्वीय फ्रेम में न्यूटन के नियमों का आक्रमण।

गैलीलियो का सापेक्षता का सिद्धांत- यह शास्त्रीय यांत्रिकी में जड़त्वीय संदर्भ प्रणालियों की भौतिक समानता का सिद्धांत है, जो इस तथ्य में प्रकट होता है कि ऐसी सभी प्रणालियों में यांत्रिकी के नियम समान हैं।

गणितीय रूप से, गैलीलियो का सापेक्षता का सिद्धांत एक जड़त्वीय फ्रेम से दूसरे - गैलीलियन परिवर्तनों में चलते समय गतिमान बिंदुओं (और समय) के निर्देशांक के परिवर्तनों के संबंध में यांत्रिकी के समीकरणों के अपरिवर्तनीय (अपरिवर्तनीय) को व्यक्त करता है।
मान लीजिए कि संदर्भ के दो जड़त्वीय फ्रेम हैं, जिनमें से एक, एस, हम आराम करने पर विचार करने के लिए सहमत होंगे; दूसरी प्रणाली, एस", एस के संबंध में एक स्थिर गति के साथ चलती है जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। फिर सिस्टम एस और एस में एक भौतिक बिंदु के निर्देशांक के लिए गैलीलियन परिवर्तनों का रूप होगा:
एक्स" = एक्स - यूटी, वाई" = वाई, जेड" = जेड, टी" = टी (1)
(प्राइमड मात्राएं एस फ्रेम को संदर्भित करती हैं, अप्रकाशित मात्रा एस को संदर्भित करती है। इस प्रकार, शास्त्रीय यांत्रिकी में समय, साथ ही साथ किसी भी निश्चित बिंदुओं के बीच की दूरी को संदर्भ के सभी फ़्रेमों में समान माना जाता है।
गैलीलियन परिवर्तनों से, कोई एक बिंदु के वेग और दोनों प्रणालियों में उसके त्वरण के बीच संबंध प्राप्त कर सकता है:
वी" = वी - यू, (2)
ए" = ए।
शास्त्रीय यांत्रिकी में, भौतिक बिंदु की गति न्यूटन के दूसरे नियम द्वारा निर्धारित की जाती है:
एफ = मा, (3)
जहाँ m बिंदु का द्रव्यमान है, और F उस पर लागू सभी बलों का परिणाम है।
इस मामले में, बल (और द्रव्यमान) शास्त्रीय यांत्रिकी में अपरिवर्तनीय हैं, अर्थात, मात्राएं जो संदर्भ के एक फ्रेम से दूसरे में जाने पर नहीं बदलती हैं।
इसलिए, गैलीलियन परिवर्तनों के तहत, समीकरण (3) नहीं बदलता है।
यह सापेक्षता के गैलीलियन सिद्धांत की गणितीय अभिव्यक्ति है।

गैलीलियो के परिवर्तन।

किनेमेटिक्स में, संदर्भ के सभी फ्रेम एक दूसरे के बराबर होते हैं और उनमें से किसी में गति का वर्णन किया जा सकता है। आंदोलनों के अध्ययन में, कभी-कभी एक संदर्भ प्रणाली (समन्वय प्रणाली OXYZ के साथ) से दूसरे में जाना आवश्यक होता है - (О`Х`У`Z`)। आइए उस मामले पर विचार करें जब संदर्भ का दूसरा फ्रेम V=const की गति के साथ समान रूप से और सीधे पहले के सापेक्ष चलता है।

गणितीय विवरण को सुविधाजनक बनाने के लिए, हम मानते हैं कि संबंधित समन्वय अक्ष एक दूसरे के समानांतर हैं, कि वेग एक्स अक्ष के साथ निर्देशित है, और प्रारंभिक समय (टी = 0) पर दोनों प्रणालियों की उत्पत्ति एक दूसरे के साथ मेल खाती है। दोनों प्रणालियों में समय के समान प्रवाह के बारे में शास्त्रीय भौतिकी में उचित धारणा का उपयोग करते हुए, कुछ बिंदु A(x, y, z) और A (x`, y) के निर्देशांक को जोड़ने वाले संबंधों को लिखना संभव है। `, z`) दोनों प्रणालियों में। एक संदर्भ प्रणाली से दूसरे में इस तरह के संक्रमण को गैलीलियन परिवर्तन कहा जाता है):

OXYZ O`X`U`Z`

x = x` + V x t x` = x - V x t

एक्स = वी` एक्स + वी एक्स वी` एक्स = वी एक्स - वी एक्स

एक एक्स = एक `एक्स ए` एक्स = एक एक्स

दोनों प्रणालियों में त्वरण समान है (V=const)। गतिकी में गैलीलियो के परिवर्तनों के गहरे अर्थ को स्पष्ट किया जाएगा। गैलीलियो के वेग का परिवर्तन शास्त्रीय भौतिकी में होने वाले विस्थापन की स्वतंत्रता के सिद्धांत को दर्शाता है।

SRT . में गति का जोड़

वेगों के योग का शास्त्रीय नियम मान्य नहीं हो सकता, क्योंकि यह निर्वात में प्रकाश की गति की स्थिरता के बारे में कथन का खंडन करता है। अगर ट्रेन गति से चल रही है वीऔर एक प्रकाश तरंग कार में ट्रेन की दिशा में फैलती है, तो पृथ्वी के सापेक्ष इसकी गति स्थिर होती है सी, लेकिन नहीं वी+सी.

आइए दो संदर्भ प्रणालियों पर विचार करें।

सिस्टम में क 0 शरीर गति से आगे बढ़ रहा है वीएक । प्रणाली के लिए के रूप में कयह गति से चलता है वी 2. SRT में गति जोड़ने के नियम के अनुसार:

यदि एक वी<<सीऔर वी 1 << सी, तब शब्द की उपेक्षा की जा सकती है, और फिर हम वेगों के योग का शास्त्रीय नियम प्राप्त करते हैं: वी 2 = वी 1 + वी.

पर वी 1 = सीरफ़्तार वी 2 बराबर सी, जैसा कि सापेक्षता के सिद्धांत के दूसरे अभिधारणा द्वारा अपेक्षित है:

पर वी 1 = सीऔर कम से वी = सीरफ़्तार वी 2 फिर से गति के बराबर है सी.

जोड़ के नियम की एक उल्लेखनीय संपत्ति यह है कि किसी भी गति से वी 1 और वी(अधिक नहीं सी), परिणामी गति वी 2 से अधिक नहीं है सी. वास्तविक पिंडों की गति की गति प्रकाश की गति से अधिक होती है, यह असंभव है।

गति का जोड़

एक जटिल गति पर विचार करते समय (अर्थात, जब कोई बिंदु या शरीर संदर्भ के एक फ्रेम में चलता है, और यह दूसरे के सापेक्ष चलता है), तो संदर्भ के 2 फ्रेम में वेगों के संबंध के बारे में सवाल उठता है।

शास्त्रीय यांत्रिकी

शास्त्रीय यांत्रिकी में, एक बिंदु का निरपेक्ष वेग उसके सापेक्ष और अनुवाद संबंधी वेगों के सदिश योग के बराबर होता है:

सीधी भाषा में: संदर्भ के एक निश्चित फ्रेम के सापेक्ष एक शरीर की गति संदर्भ के एक चलती फ्रेम के सापेक्ष इस शरीर की गति के वेक्टर योग के बराबर होती है और एक निश्चित फ्रेम के सापेक्ष संदर्भ के सबसे मोबाइल फ्रेम की गति होती है।