हमारी सदी में पहले से ही खोजे गए विरोधाभासों में सबसे प्रसिद्ध बी। रसेल द्वारा खोजा गया एंटीनॉमी है। विचार हवा में था, और इसके प्रकाशन ने एक विस्फोट बम की छाप पैदा की। डी. हिल्बर्ट के अनुसार, "पूर्ण तबाही का प्रभाव" के अनुसार, गणित में यह विरोधाभास उत्पन्न हुआ। सबसे सरल और सबसे महत्वपूर्ण तार्किक तरीके, सबसे आम और उपयोगी अवधारणाएं खतरे में हैं। यह तुरंत स्पष्ट हो गया कि न तो तर्क में और न ही गणित में, उनके अस्तित्व के पूरे लंबे इतिहास में, कुछ भी निश्चित रूप से काम किया गया था जो कि एंटीनॉमी को खत्म करने के आधार के रूप में काम कर सकता था। स्पष्ट रूप से सोचने के अभ्यस्त तरीकों से प्रस्थान आवश्यक था।

रसेल का विरोधाभास अपने मूल रूप में एक सेट, या एक वर्ग की अवधारणा से जुड़ा है। हम विभिन्न वस्तुओं के समुच्चय के बारे में बात कर सकते हैं, उदाहरण के लिए, सभी लोगों के समुच्चय के बारे में या प्राकृत संख्याओं के समुच्चय के बारे में। पहले सेट का एक तत्व कोई भी व्यक्ति होगा, दूसरे का एक तत्व - प्रत्येक प्राकृतिक संख्या। समुच्चय को कुछ वस्तु मानना ​​और समुच्चयों के समुच्चय की बात करना भी संभव है। कोई भी इस तरह की अवधारणाओं को सभी सेटों के सेट या सभी अवधारणाओं के सेट के रूप में पेश कर सकता है। मनमाने ढंग से लिए गए किसी भी सेट के संबंध में, यह पूछना उचित लगता है कि यह उसका अपना तत्व है या नहीं। सेट जो स्वयं को एक तत्व के रूप में शामिल नहीं करते हैं उन्हें सामान्य कहा जाएगा। उदाहरण के लिए, सभी लोगों का समूह एक व्यक्ति नहीं है, जैसे परमाणुओं का समूह एक परमाणु नहीं है। सेट जो उचित तत्व हैं वे असामान्य होंगे। उदाहरण के लिए, एक समुच्चय जो सभी समुच्चयों को जोड़ता है वह एक समुच्चय है और इसलिए स्वयं को एक तत्व के रूप में समाहित करता है। जाहिर है, हर सेट या तो सामान्य है या असामान्य।

अब सभी सामान्य समुच्चयों के समुच्चय पर विचार करें। चूंकि यह एक समुच्चय है, इसलिए कोई भी इसके बारे में पूछ सकता है कि यह सामान्य है या असामान्य। हालांकि, जवाब हतोत्साहित करने वाला है। यदि यह सामान्य है, तो परिभाषा के अनुसार इसमें स्वयं को एक तत्व के रूप में शामिल होना चाहिए, क्योंकि इसमें सभी सामान्य सेट शामिल हैं। लेकिन इसका मतलब है कि यह एक असामान्य सेट है। यह धारणा कि हमारा समुच्चय एक साधारण समुच्चय है, इस प्रकार एक विरोधाभास की ओर ले जाता है। तो यह सामान्य नहीं हो सकता। दूसरी ओर, यह असामान्य भी नहीं हो सकता है: एक असामान्य सेट में खुद को एक तत्व के रूप में शामिल किया जाता है, और हमारे सेट के तत्व केवल सामान्य सेट होते हैं। परिणामस्वरूप, हम इस निष्कर्ष पर पहुँचते हैं कि सभी साधारण समुच्चयों का समुच्चय न तो सामान्य हो सकता है और न ही असाधारण।

इस प्रकार, सभी समुच्चयों का समुच्चय जो उचित तत्व नहीं हैं, एक उचित तत्व है यदि और केवल यदि वह ऐसा तत्व नहीं है। यह एक स्पष्ट विरोधाभास है।

विरोधाभास कहता है कि ऐसा सेट बस मौजूद नहीं है। लेकिन यह अस्तित्व में क्यों नहीं हो सकता? आखिरकार, इसमें ऐसी वस्तुएं होती हैं जो एक अच्छी तरह से परिभाषित स्थिति को पूरा करती हैं, और यह स्थिति किसी तरह असाधारण या अस्पष्ट नहीं लगती है। यदि इतना सरल और स्पष्ट रूप से परिभाषित एक सेट मौजूद नहीं हो सकता है, तो वास्तव में, संभव और असंभव सेट के बीच क्या अंतर है? माना सेट की गैर-मौजूदगी के बारे में निष्कर्ष अप्रत्याशित लगता है और चिंता को प्रेरित करता है। यह एक सेट की हमारी सामान्य धारणा को अनाकार और अराजक बनाता है, और इस बात की कोई गारंटी नहीं है कि यह कुछ नए विरोधाभासों को जन्म नहीं दे सकता है।

रसेल का विरोधाभास इसकी चरम व्यापकता के लिए उल्लेखनीय है। इसके निर्माण के लिए, किसी जटिल तकनीकी अवधारणाओं की आवश्यकता नहीं है, जैसा कि कुछ अन्य विरोधाभासों के मामले में, "सेट" और "सेट के तत्व" की अवधारणाएं पर्याप्त हैं। लेकिन यह सादगी केवल इसकी मौलिक प्रकृति की बात करती है: यह सेट के बारे में हमारे तर्क की गहरी नींव को छूती है, क्योंकि यह कुछ विशेष मामलों के बारे में नहीं, बल्कि सामान्य रूप से सेट के बारे में बोलती है।

रसेल का विरोधाभास विशेष रूप से गणितीय नहीं है। यह एक सेट की अवधारणा का उपयोग करता है, लेकिन विशेष रूप से गणित से जुड़े किसी विशेष गुण को नहीं छूता है। यह तब स्पष्ट हो जाता है जब विरोधाभास को विशुद्ध रूप से तार्किक शब्दों में सुधारा जाता है।

प्रत्येक संपत्ति में से, सभी संभावना में, यह पूछ सकता है कि यह स्वयं पर लागू है या नहीं। उदाहरण के लिए, गर्म होने का गुण स्वयं पर लागू नहीं होता, क्योंकि यह स्वयं गर्म नहीं होता है; ठोस होने की संपत्ति भी खुद को संदर्भित नहीं करती है, क्योंकि यह एक अमूर्त संपत्ति है। लेकिन अमूर्त होने, अमूर्त होने का गुण स्वयं पर लागू होता है। आइए हम इन गुणों को स्वयं के लिए अनुपयुक्त कहते हैं। क्या स्वयं के लिए अनुपयुक्त होने की संपत्ति लागू होती है? यह पता चला है कि एक अनुपयुक्तता केवल तभी लागू होती है जब वह नहीं होती है। यह, निश्चित रूप से, विरोधाभासी है रसेल की एंटीनोमी की तार्किक, संपत्ति-संबंधी विविधता गणितीय, सेट-संबंधित विविधता के समान ही विरोधाभासी है।

बी. रसेल ने अपने द्वारा खोजे गए विरोधाभास के निम्नलिखित लोकप्रिय संस्करण का भी प्रस्ताव रखा। “नाई उन सभी को और केवल शहर के निवासियों को मुंडाता है जो खुद को मुंडा नहीं करते हैं। नाई को कौन शेव करता है?" नाई का विरोधाभास इस तथ्य में निहित है कि, कथित तौर पर, इस प्रश्न का उत्तर देना असंभव है।

स्थिति को समझने के लिए हम शहर के निवासियों को तीन समूहों में बांटेंगे। यह टूटना बाईं आकृति में दिखाया गया है: जो खुद को शेव करते हैं वे शीर्ष पर हैं; जो मुंडा हैं - नीचे से; जो लोग बिल्कुल भी दाढ़ी नहीं बनाते (भिक्षु, बच्चे, औरतें...) दीर्घवृत्त से बाहर हैं।

पहले स्थिति (1) की क्रिया पर विचार करें। नाई को उन सभी को शेव करने दें जो खुद को शेव नहीं करते हैं, यानी दीर्घवृत्त का पूरा निचला आधा भाग (हैचिंग नाई के ग्राहकों को चिह्नित करता है)। लेकिन शर्त (1) उसे दाढ़ी बनाने की अनुमति देती है और जो खुद को शेव करता है, यानी खुद। शर्त (1) उसे खुद को दीर्घवृत्त के ऊपरी आधे हिस्से में रखने की अनुमति देती है, जहां के निवासी खुद को शेव करते हैं, और वहां खुद को शेव करते हैं। यह बीच की तस्वीर में दिखाया गया है।

यदि शर्त (2) लागू होती है, और नाई केवल उन लोगों को शेव करता है जो खुद को शेव नहीं करते हैं, तो इसका मतलब है कि वह दीर्घवृत्त के निचले आधे हिस्से को शेव करता है और खुद को शेव नहीं करता है, यानी दीर्घवृत्त के ऊपरी आधे हिस्से में नहीं है। . लेकिन निचले हिस्से के निवासियों को नाई द्वारा नहीं, बल्कि किसी और द्वारा मुंडाया जा सकता है। और इन लोगों में एक नाई भी हो सकता है (सही आंकड़ा)। तो नाई अपने दोस्त को दाढ़ी बना सकता है, और नाई अंडाकार के निचले आधे हिस्से के छायांकित हिस्से को दाढ़ी देगा।

लेकिन अगर दोनों शर्तें (1) और (2) लागू होती हैं, तो दीर्घवृत्त में नाई का कोई स्थान नहीं है। वह बिल्कुल भी शेव नहीं करता है। और यहाँ कोई विरोधाभास नहीं है। इसलिए, वह या तो एक साधु है, या एक रोबोट है, या एक बच्चा है, या एक महिला है, या शहर का एक अनिवासी है ... और अगर शहर में पुरुषों को शेव करने के अलावा कोई नहीं है, और इसलिए, अंडाकार की उपस्थिति खाली है, तो एक नाई जो शर्तों को पूरा करता है (1) और (2) बस अस्तित्व में नहीं है। इस मामले में यह पूछना बेतुका है कि उसे कौन मुंडाता है। ऐसे कई नाई खाली हैं।

और यहाँ हम देखते हैं कि पूछा गया प्रश्न, "नाई को कौन शेव करता है?", शुरू से ही गलत था, ठीक उसी तरह जैसे कि क्लासिक प्रश्न: "आप अपने पिता को क्यों मारते हैं?" यह पूछने से पहले कि नाई को कौन मुंडाता है, किसी को यह सहमति प्राप्त करनी चाहिए कि कोई उसे मुंडाता है।

नाई के बारे में तर्क को छद्म-विरोधाभास कहा जा सकता है। अपने पाठ्यक्रम में, यह रसेल के विरोधाभास के समान है, और यही इसे दिलचस्प बनाता है। लेकिन यह अभी भी एक सच्चा विरोधाभास नहीं है।

उसी छद्म-विरोधाभास का एक अन्य उदाहरण प्रसिद्ध कैटलॉग तर्क है।

एक निश्चित पुस्तकालय ने एक ग्रंथ सूची सूची को संकलित करने का निर्णय लिया जिसमें वे सभी और केवल वे ग्रंथ सूची शामिल होंगे जिनमें स्वयं के संदर्भ शामिल नहीं हैं। क्या ऐसी निर्देशिका में स्वयं के लिए एक लिंक शामिल होना चाहिए? यह दिखाना आसान है कि ऐसा कैटलॉग बनाने का विचार संभव नहीं है; यह बस अस्तित्व में नहीं हो सकता है, क्योंकि इसमें एक साथ स्वयं का संदर्भ शामिल होना चाहिए और इसमें शामिल नहीं होना चाहिए। यह ध्यान रखना दिलचस्प है कि सभी निर्देशिकाओं को सूचीबद्ध करना जो स्वयं को संदर्भित नहीं करते हैं, उन्हें एक अंतहीन, कभी न खत्म होने वाली प्रक्रिया के रूप में सोचा जा सकता है।

मान लें कि किसी बिंदु पर एक निर्देशिका संकलित की गई थी, K1 कहें, जिसमें अन्य सभी निर्देशिकाएं शामिल थीं जिनमें स्वयं के संदर्भ नहीं थे। K1 के निर्माण के साथ, एक और निर्देशिका दिखाई दी जिसमें स्वयं का संदर्भ नहीं है। चूंकि लक्ष्य उन सभी निर्देशिकाओं की पूरी सूची बनाना है जो स्वयं का उल्लेख नहीं करते हैं, यह स्पष्ट है कि K1 समाधान नहीं है। वह उन निर्देशिकाओं में से एक का उल्लेख नहीं करता - स्वयं। K1 में स्वयं के इस उल्लेख को शामिल करते हुए, हमें K2 कैटलॉग मिलता है। इसमें K1 का उल्लेख है लेकिन K2 का ही नहीं। K2 में इस तरह के उल्लेख को जोड़ने पर, हमें K3 मिलता है, जो इस तथ्य के कारण फिर से अधूरा है कि यह स्वयं का उल्लेख नहीं करता है। और इसी तरह बिना अंत के।

काम से संक्षिप्त और संशोधित अध्याय
"तार्किक विरोधाभास। समाधान"

बी रसेल का विरोधाभास "नाई के बारे में (नाई, नाई)"

मुंडा नाई या फिर नाई के बारे में

20वीं सदी की शुरुआत में, बर्ट्रेंड रसेल ने एक तार्किक विरोधाभास की खोज की। उन्होंने इसके बारे में प्रसिद्ध गणितज्ञ, दार्शनिक और तर्कशास्त्री गोटलोब फ्रेज - आधुनिक तार्किक शब्दार्थ के संस्थापक को अपने पत्र में रिपोर्ट किया - जब उन्होंने "1902 में पहले से ही मुद्रण के लिए अंकगणित की नींव का दूसरा खंड प्रस्तुत किया था।" पत्र ने "अंकगणित (रसेल के विरोधाभास) के लिए फ्रेज के प्रस्तावित औचित्य में एक औपचारिक विरोधाभास की सूचना दी, जिसे फ्रेज ने अपने जीवन के अंत तक हल करने की व्यर्थ कोशिश की। हालांकि, रसेल ही थे जिन्होंने फ्रेज को व्यापक प्रसिद्धि दिलाई, क्योंकि रसेल की प्रस्तुति (गणित की नींव के लिए विशेष पूरक, 1903) में फ्रेज की अवधारणा पाठकों के एक विस्तृत समूह के लिए सुलभ हो गई। उद्धरण का अंत http://www.krugosvet.ru/articles/92/1009213/1009213a1.htm)।
न केवल फ्रीज, बल्कि सौ साल से अधिक समय से आज तक कोई भी इस तार्किक विरोधाभास को हल नहीं कर पाया है। मेरे सिवा कोई नहीं।

"रसेल का विरोधाभास अपने मूल रूप में एक सेट, या वर्ग की अवधारणा से जुड़ा है" (इविन ए। ए। सही ढंग से सोचने की कला। - एम।: शिक्षा। - 1998)। इस रूप में समाधान एक अन्य लेख में है: रसेल का विरोधाभास - मूल संस्करण - सेट के बारे में, लेकिन पूरी दुनिया इसे एक अलग फॉर्मूलेशन में जानती है। रसेल ने "गणितीय सेट सिद्धांत में खोजे गए विरोधाभास के निम्नलिखित लोकप्रिय संस्करण की पेशकश की।
आइए हम कल्पना करें कि एक गांव की परिषद ने उस गांव के नाई के कर्तव्यों को इस प्रकार परिभाषित किया: गांव के सभी पुरुषों को दाढ़ी बनाने के लिए जो खुद को दाढ़ी नहीं करते हैं, और केवल इन पुरुषों को। क्या उसे खुद को शेव करना चाहिए? (इविन ए। ए। सही ढंग से सोचने की कला। - एम।: शिक्षा। - 1990, पीपी। 205 - 206, http://www.koob.ru/books/iskusstvo_pravilno_mislit.rar)।

विरोधाभास की कई विकृतियां थीं, साथ ही इस विरोधाभास को हल करने के प्रयास भी थे, लेकिन मूल रूप से सभी समाधान नीचे आ गए।
"यदि हाँ (अर्थात नाई को अपने आप को शेव करना चाहिए - मेरा इंसर्ट), तो वह उन लोगों का उल्लेख करेगा जो खुद को शेव करते हैं, और जो खुद को शेव करते हैं, उन्हें शेव नहीं करना चाहिए। यदि नहीं, तो वह उन लोगों में से होगा जो अपनी दाढ़ी नहीं बनाते हैं, और इसलिए, उसे खुद को मुंडाना होगा। इस प्रकार हम इस निष्कर्ष पर पहुँचते हैं कि यह नाई खुद को शेव करता है अगर और केवल अगर वह खुद को शेव नहीं करता है। जो, ज़ाहिर है, असंभव है।

नाई के बारे में तर्क इस धारणा पर आधारित है कि ऐसा नाई मौजूद है। परिणामी अंतर्विरोध का अर्थ है कि यह धारणा झूठी है और ऐसा कोई ग्रामीण नहीं है जो उन सभी लोगों को और केवल उन लोगों को दाढ़ी देगा जो खुद को दाढ़ी नहीं देते हैं। एक नाई के कर्तव्य पहली नज़र में विरोधाभासी नहीं लगते हैं, इसलिए यह निष्कर्ष कि कोई कुछ अप्रत्याशित नहीं हो सकता है। हालाँकि, यह निष्कर्ष विरोधाभासी नहीं है। गाँव के नाई को जिस शर्त को पूरा करना चाहिए, वह वास्तव में आत्म-विरोधाभासी है और इसलिए असंभव है। एक गाँव में ऐसा नाई नहीं हो सकता है कि एक ही कारण से उसमें कोई ऐसा व्यक्ति न हो जो अपने से बड़ा हो या जो उसके जन्म से पहले पैदा हो। नाई के बारे में तर्क को छद्म-विरोधाभास कहा जा सकता है।" बोली का अंत (ibid।)

फेसला

1992 में, 19 दिसंबर को, टीवी गेम “क्या? कहाँ? कब?"। स्कोर 2:6 के साथ, जैसा कि अक्सर होता है, एक विवादित, यहां तक ​​कि संघर्ष की स्थिति उत्पन्न हो गई। और फिर व्लादिमीर याकोवलेविच वोरोशिलोव ने एक सवाल पूछा जो विशेषज्ञों को जीत या हार लाने वाला था। यह नाई का सवाल था, रसेल का विरोधाभास। बेशक, विशेषज्ञ हार गए, हालांकि वे जीत सकते थे। क्योंकि उन्होंने प्रश्न का थोड़ा विकृत संस्करण पूछा: "सवाल यह है: क्या नाई खुद को शेव करता है अगर नाई उन सभी को शेव करता है जो खुद को शेव नहीं करते हैं?
विशेषज्ञों का जवाब: नहीं, वह शेव नहीं करता है। (क्रॉनिकल / "क्या? कहाँ? कब? प्रोडक्शन सेंटर IGRA-TV", http://chgk.tvigra.ru/letopis/?19921219#cur)। उन्हें जवाब देना था: "इस जानकारी से कि एक नाई हर किसी को दाढ़ी नहीं बनाता है, यह निष्कर्ष निकालना असंभव है कि क्या वह खुद को दाढ़ी देता है, क्या कोई और उसे दाढ़ी देता है, या वह बिल्कुल दाढ़ी नहीं करता है। क्योंकि इस तरह के निष्कर्षों के लिए पर्याप्त आधार नहीं हैं।
लेकिन इस विरोधाभास ने मुझे परेशान किया। ऐसा लग रहा था कि उत्तर मेरे सिर में घूम रहा था, आपको बस इसे "पूंछ से पकड़ना" है। और कुछ समय बाद मैं सफल हुआ।

निर्णय, जैसा कि अक्सर होता है, बस पागलपन है। पूरी चर्चा विस्तार से और विकृत विकल्पों पर विचार के साथ कई पृष्ठ लेती है। मैं तर्क का केवल एक संक्षिप्त संस्करण दूंगा।

रसेल के विरोधाभास के प्रश्न का उत्तर संभव है यदि हम नाई को पुरुषों के किसी भी वर्ग के लिए कहते हैं: "वे खुद को शेव करते हैं" या "वे खुद को शेव नहीं करते हैं।" लेकिन इन वर्गों को पुरुषों के समूह सौंपने के संभावित आधारों के तार्किक विश्लेषण के बाद, केवल एक ही निष्कर्ष निकलता है कि यह असंभव है, क्योंकि ऐसा तार्किक रूप से उचित आधार मौजूद नहीं है। इस निष्कर्ष के आधार पर, ए.ए. इविन सहित कई, इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि विरोधाभास अघुलनशील है, इसे छद्म-विरोधाभास कहते हैं। लेकिन फिर अन्य सभी विरोधाभासों को हमेशा के लिए इस तरह "हल" किया जाना चाहिए। आखिर कोई नहीं सोचता कि वास्तव में एक मां और एक मगरमच्छ, एक मिशनरी और नरभक्षी और अन्य के बीच बातचीत की स्थिति हो सकती है। इसलिए, तार्किक धारणा का निषेध समाधान नहीं है। और समाधान है:

यदि किसी नाई को "खुद को शेव करना" और "खुद को शेव न करना" वर्ग के लिए विशेषता देना असंभव है, तो उसे तीसरे वर्ग में शामिल किया जाना चाहिए - "शेव न करें"। और फिर नाई किसी भी तार्किक स्थिति का उल्लंघन नहीं करता है, क्योंकि वे पुरुषों के इस वर्ग पर लागू नहीं होते हैं।

गांव के सभी पुरुष

ए. शेविंग 1 - स्वयं, 2- स्वयं नहीं बी. शेविंग न करें

और अब नाई का दाढ़ी-मूंछ मरना तय है।

इस कार्य की सही समझ के लिए, क्रिया "शेव" से पहले "नहीं" कण को ​​​​इसके बाद के स्थान पर मानसिक रूप से पुनर्व्यवस्थित करना आवश्यक था। और फिर समस्या की विरोधाभासी स्थिति का अर्थ दिखाई देगा, जैसा कि मुद्रण के दौरान फोटोग्राफिक पेपर पर होता है। आखिरकार, "खुद को शेव न करें" वाक्यांश ने तुरंत बिल्कुल सरल रूप ले लिया, किसी को भी भ्रमित और समझने योग्य नहीं। अर्थात् - "खुद को शेव न करें" का अर्थ है "खुद को शेव न करें", यानी वे अभी भी शेव करते हैं, हालांकि अपने हाथों से नहीं। और इस प्रकार, इस विरोधाभास को हल करने की कोशिश करने वाले सभी लोगों के तार्किक तर्क में एक स्पष्ट और घोर त्रुटि तुरंत प्रकट होती है। मैंने इस प्रकार की त्रुटि को "गलत निष्कर्ष" कहा, जब तार्किक रूप से आवश्यक निष्कर्ष ("तार्किक विरोधाभास। समाधान", अध्याय "तर्क की त्रुटियां - गलत निष्कर्ष") से बिल्कुल गलत और यहां तक ​​​​कि विपरीत निष्कर्ष निकाला जाता है। इस समस्या में, "झूठा निष्कर्ष" यह है कि तार्किक तर्क में वाक्यांश ऐसा नहीं होना चाहिए: "यदि नाई को खुद को दाढ़ी नहीं देनी चाहिए, तो वह उन लोगों को संदर्भित करेगा जो खुद को दाढ़ी नहीं बनाते हैं", जो गलत है, लेकिन में फॉर्म: "यदि एक नाई को खुद को शेव नहीं करना चाहिए, तो वह उन लोगों को संदर्भित करेगा जो खुद को शेव नहीं करते हैं या शेव नहीं करते हैं।"

"रसेल विरोधाभास" को हल करने के बाद, मैंने अन्य प्रसिद्ध विरोधाभासों को भी दो सामान्य अभिधारणाओं को लागू करके हल किया: 1. किसी भी समस्या के समाधान के लिए, उसके सभी विवरणों में समस्या की स्पष्ट समझ आवश्यक है; 2. ज्ञान एक सापेक्ष अवधारणा है ("तार्किक विरोधाभास। समाधान के तरीके", अध्याय "विरोधाभासों को सुलझाने के सिद्धांतों पर",

पिछली शताब्दी में पहले से ही खोजे गए विरोधाभासों में सबसे प्रसिद्ध बर्ट्रेंड रसेल द्वारा खोजा गया एंटीनॉमी है और जी। फर्ज को लिखे एक पत्र में उनके द्वारा संप्रेषित किया गया है। रसेल ने 1902 में तर्क और गणित के क्षेत्र से संबंधित अपने विरोधाभास की खोज की। जर्मन गणितज्ञों जेड ज़र्मेलो (1871-1953) और डी हिल्बर्ट द्वारा गोटिंगेन में एक ही एंटीनॉमी पर एक साथ चर्चा की गई थी। विचार हवा में था, और इसके प्रकाशन ने एक विस्फोट बम मिरोशनिचेंको पी.एन. फ्रेज की प्रणाली में रसेल के विरोधाभास को किसने नष्ट किया? // आधुनिक तर्क: विज्ञान में सिद्धांत, इतिहास और अनुप्रयोग की समस्याएं। - एसपीबी।, 2000। - एस। 512-514। . हिल्बर्ट के अनुसार, गणित में यह विरोधाभास पूर्ण तबाही के प्रभाव का कारण बना। सबसे सरल और सबसे महत्वपूर्ण तार्किक तरीके, सबसे आम और उपयोगी अवधारणाएं खतरे में हैं। यह पता चला कि कैंटर के सेट सिद्धांत में, जिसे अधिकांश गणितज्ञों द्वारा उत्साहपूर्वक स्वीकार किया गया था, ऐसे अजीब विरोधाभास हैं जिनसे छुटकारा पाना असंभव है, या कम से कम बहुत मुश्किल है। रसेल के विरोधाभास ने इन अंतर्विरोधों को विशेष स्पष्टता के साथ प्रकाश में लाया। उन वर्षों के सबसे उत्कृष्ट गणितज्ञों ने इसके संकल्प पर काम किया, साथ ही कैंटर के सेट सिद्धांत के अन्य पाए गए विरोधाभासों के समाधान पर भी काम किया। यह तुरंत स्पष्ट हो गया कि न तो तर्क में और न ही गणित में, उनके अस्तित्व के पूरे लंबे इतिहास में, कुछ भी निश्चित रूप से काम किया गया था जो कि एंटीनॉमी को खत्म करने के आधार के रूप में काम कर सकता था। स्पष्ट रूप से सोचने के अभ्यस्त तरीकों से प्रस्थान आवश्यक था। लेकिन कहाँ से और किस दिशा में? कूरेंट आर., रॉबिंस जी. गणित क्या है? - चौ. द्वितीय, 4.5।

सिद्धांत बनाने के स्थापित तरीकों को अस्वीकार करना कितना आमूलचूल था? एंटीनॉमी के आगे के अध्ययन के साथ, मौलिक रूप से नए दृष्टिकोण की आवश्यकता में विश्वास लगातार बढ़ता गया। इसकी खोज के आधी सदी बाद, तर्क और गणित की नींव के विशेषज्ञ एल। फ्रेनकेल और आई। बार-हिलेल ने पहले ही बिना किसी आरक्षण के कहा: , अब तक हमेशा असफल रहे, इस उद्देश्य के लिए स्पष्ट रूप से अपर्याप्त हैं। आधुनिक अमेरिकी तर्कशास्त्री एच। करी ने इस विरोधाभास के बारे में थोड़ी देर बाद लिखा: "19 वीं शताब्दी में ज्ञात तर्क के संदर्भ में, स्थिति ने केवल स्पष्टीकरण को खारिज कर दिया, हालांकि, निश्चित रूप से, हमारे शिक्षित युग में ऐसे लोग हो सकते हैं जो देखते हैं (या लगता है कि वे देखते हैं ), क्या गलती है" मिरोशनिचेंको पी.एन. फ्रेज की प्रणाली में रसेल के विरोधाभास को किसने नष्ट किया? // आधुनिक तर्क: विज्ञान में सिद्धांत, इतिहास और अनुप्रयोग की समस्याएं। - एसपीबी।, 2000। - एस। 512-514 ..

रसेल का विरोधाभास अपने मूल रूप में एक सेट, या एक वर्ग की अवधारणा से जुड़ा है। हम विभिन्न वस्तुओं के समुच्चय के बारे में बात कर सकते हैं, उदाहरण के लिए, सभी लोगों के समुच्चय के बारे में या प्राकृत संख्याओं के समुच्चय के बारे में। पहले सेट का एक तत्व कोई भी व्यक्ति होगा, दूसरे का एक तत्व - प्रत्येक प्राकृतिक संख्या। समुच्चय को कुछ वस्तु मानना ​​और समुच्चयों के समुच्चय की बात करना भी संभव है। कोई भी इस तरह की अवधारणाओं को सभी सेटों के सेट या सभी अवधारणाओं के सेट के रूप में पेश कर सकता है। मनमाने ढंग से लिए गए किसी भी सेट के संबंध में, यह पूछना उचित लगता है कि यह उसका अपना तत्व है या नहीं। सेट जो स्वयं को एक तत्व के रूप में शामिल नहीं करते हैं उन्हें सामान्य कहा जाएगा। उदाहरण के लिए, सभी लोगों का समूह एक व्यक्ति नहीं है, जैसे परमाणुओं का समूह एक परमाणु नहीं है। सेट जो उचित तत्व हैं वे असामान्य होंगे। उदाहरण के लिए, एक समुच्चय जो सभी समुच्चयों को जोड़ता है वह एक समुच्चय है और इसलिए स्वयं को एक तत्व के रूप में समाहित करता है।

चूंकि यह एक समुच्चय है, इसलिए कोई भी इसके बारे में पूछ सकता है कि यह सामान्य है या असामान्य। हालांकि, जवाब हतोत्साहित करने वाला है। यदि यह सामान्य है, तो परिभाषा के अनुसार इसमें स्वयं को एक तत्व के रूप में शामिल होना चाहिए, क्योंकि इसमें सभी सामान्य सेट शामिल हैं। लेकिन इसका मतलब है कि यह एक असामान्य सेट है। यह धारणा कि हमारा समुच्चय एक साधारण समुच्चय है, इस प्रकार एक विरोधाभास की ओर ले जाता है। तो यह सामान्य नहीं हो सकता। दूसरी ओर, यह असामान्य भी नहीं हो सकता है: एक असामान्य सेट में खुद को एक तत्व के रूप में शामिल किया जाता है, और हमारे सेट के तत्व केवल सामान्य सेट होते हैं। परिणामस्वरूप, हम इस निष्कर्ष पर पहुँचते हैं कि सभी साधारण समुच्चयों का समुच्चय न तो सामान्य हो सकता है और न ही असाधारण।

इस प्रकार, सभी समुच्चयों का समुच्चय जो उचित तत्व नहीं हैं, एक उचित तत्व है यदि और केवल यदि वह ऐसा तत्व नहीं है। यह एक स्पष्ट विरोधाभास है। और यह सबसे प्रशंसनीय मान्यताओं के आधार पर और निर्विवाद रूप से निर्विवाद कदमों की मदद से प्राप्त किया गया था। विरोधाभास कहता है कि ऐसा सेट बस मौजूद नहीं है। लेकिन यह अस्तित्व में क्यों नहीं हो सकता? आखिरकार, इसमें ऐसी वस्तुएं होती हैं जो एक अच्छी तरह से परिभाषित स्थिति को पूरा करती हैं, और यह स्थिति किसी तरह असाधारण या अस्पष्ट नहीं लगती है। यदि इतना सरल और स्पष्ट रूप से परिभाषित एक सेट मौजूद नहीं हो सकता है, तो वास्तव में, संभव और असंभव सेट के बीच क्या अंतर है? यह निष्कर्ष कि विचाराधीन सेट मौजूद नहीं है, अप्रत्याशित और चिंताजनक लगता है। यह एक सेट की हमारी सामान्य धारणा को अनाकार और अराजक बना देता है, और इस बात की कोई गारंटी नहीं है कि यह कुछ नए विरोधाभासों को जन्म नहीं दे सकता है।

रसेल का विरोधाभास इसकी चरम व्यापकता के लिए उल्लेखनीय है Courant R., Robbins G. गणित क्या है? - चौ. द्वितीय, 4.5। . इसके निर्माण के लिए, किसी जटिल तकनीकी अवधारणाओं की आवश्यकता नहीं है, जैसा कि कुछ अन्य विरोधाभासों के मामले में, "सेट" और "सेट के तत्व" की अवधारणाएं पर्याप्त हैं। लेकिन यह सादगी केवल इसकी मौलिक प्रकृति की बात करती है: यह सेट के बारे में हमारे तर्क की गहरी नींव को छूती है, क्योंकि यह कुछ विशेष मामलों के बारे में नहीं, बल्कि सामान्य रूप से सेट के बारे में बोलती है।

विरोधाभास के अन्य रूप रसेल के विरोधाभास विशेष रूप से गणितीय नहीं हैं। यह एक सेट की अवधारणा का उपयोग करता है, लेकिन विशेष रूप से गणित से जुड़े किसी विशेष गुण को नहीं छूता है।

यह तब स्पष्ट हो जाता है जब विरोधाभास को विशुद्ध रूप से तार्किक शब्दों में सुधारा जाता है। प्रत्येक संपत्ति में से, सभी संभावना में, यह पूछ सकता है कि यह स्वयं पर लागू है या नहीं। उदाहरण के लिए, गर्म होने का गुण स्वयं पर लागू नहीं होता, क्योंकि यह स्वयं गर्म नहीं होता है; ठोस होने की संपत्ति भी खुद को संदर्भित नहीं करती है, क्योंकि यह एक अमूर्त संपत्ति है। लेकिन अमूर्त होने, अमूर्त होने का गुण स्वयं पर लागू होता है।

आइए हम इन गुणों को स्वयं के लिए अनुपयुक्त कहते हैं। क्या स्वयं के लिए अनुपयुक्त होने की संपत्ति लागू होती है? यह पता चला है कि अनुपयुक्तता केवल तभी लागू होती है जब यह नहीं है। यह, ज़ाहिर है, विरोधाभासी है। रसेल के एंटीनॉमी का तार्किक, संपत्ति-संबंधी संस्करण उतना ही विरोधाभासी है जितना कि गणितीय, सेट-संबंधित संस्करण।

रसेल ने उनके द्वारा खोजे गए विरोधाभास के निम्नलिखित लोकप्रिय संस्करण का प्रस्ताव भी कैटरेचको एस.एल. रसेल का नाई का विरोधाभास और प्लेटो-अरस्तू का द्वंद्वात्मक // आधुनिक तर्क: विज्ञान में सिद्धांत, इतिहास और अनुप्रयोग की समस्याएं। - एसपीबी।, 2002। - एस। 239-242 .. आइए कल्पना करें कि एक गांव की परिषद ने नाई के कर्तव्यों को इस तरह परिभाषित किया: गांव के सभी पुरुषों को दाढ़ी बनाने के लिए जो खुद को दाढ़ी नहीं करते हैं, और केवल ये पुरुष। क्या उसे खुद को शेव करना चाहिए? यदि ऐसा है, तो यह उन लोगों को संदर्भित करेगा जो खुद को मुंडाते हैं, और जो खुद को मुंडाते हैं, उन्हें दाढ़ी नहीं रखनी चाहिए। यदि नहीं, तो वह उन लोगों में से होगा जो अपनी दाढ़ी नहीं बनाते हैं, और इसलिए उन्हें खुद को मुंडाना होगा। इस प्रकार हम इस निष्कर्ष पर पहुँचते हैं कि यह नाई खुद को शेव करता है अगर और केवल अगर वह खुद को शेव नहीं करता है। यह, ज़ाहिर है, असंभव है।

नाई के बारे में तर्क इस धारणा पर आधारित है कि ऐसा नाई मौजूद है। परिणामी विरोधाभास का मतलब है कि यह धारणा झूठी है, और ऐसा कोई ग्रामीण नहीं है जो उन सभी को दाढ़ी देगा और केवल वे ग्रामीण जो खुद को दाढ़ी नहीं बनाते हैं। एक नाई के कर्तव्य पहली नज़र में विरोधाभासी नहीं लगते हैं, इसलिए यह निष्कर्ष कि कोई कुछ अप्रत्याशित नहीं हो सकता है। हालाँकि, यह निष्कर्ष विरोधाभासी नहीं है। गाँव के नाई को जिस शर्त को पूरा करना चाहिए, वह वास्तव में आत्म-विरोधाभासी है और इसलिए असंभव है। गाँव में ऐसा कोई नाई नहीं हो सकता है कि उसमें कोई ऐसा व्यक्ति न हो जो खुद से बड़ा हो या जो अपने जन्म से पहले पैदा हुआ हो मिरोशनिचेंको पी.एन. फ्रेज की प्रणाली में रसेल के विरोधाभास को किसने नष्ट किया? // आधुनिक तर्क: विज्ञान में सिद्धांत, इतिहास और अनुप्रयोग की समस्याएं। - एसपीबी।, 2000। - एस। 512-514 ..

नाई के बारे में तर्क को छद्म-विरोधाभास कहा जा सकता है। अपने पाठ्यक्रम में, यह रसेल के विरोधाभास के समान है, और यही इसे दिलचस्प बनाता है। लेकिन यह अभी भी एक सच्चा विरोधाभास नहीं है।

उसी छद्म-विरोधाभास का एक अन्य उदाहरण प्रसिद्ध कैटलॉग तर्क है। एक निश्चित पुस्तकालय ने एक ग्रंथ सूची सूची को संकलित करने का निर्णय लिया जिसमें वे सभी और केवल वे ग्रंथ सूची शामिल होंगे जिनमें स्वयं के संदर्भ शामिल नहीं हैं। क्या ऐसी निर्देशिका में स्वयं के लिए एक लिंक शामिल होना चाहिए? यह दिखाना आसान है कि ऐसा कैटलॉग बनाने का विचार संभव नहीं है; यह बस अस्तित्व में नहीं हो सकता है, क्योंकि इसमें एक साथ स्वयं का संदर्भ शामिल होना चाहिए और इसमें शामिल नहीं होना चाहिए।

यह ध्यान रखना दिलचस्प है कि सभी निर्देशिकाओं को सूचीबद्ध करना जो स्वयं को संदर्भित नहीं करते हैं, उन्हें एक अंतहीन, कभी न खत्म होने वाली प्रक्रिया के रूप में सोचा जा सकता है। मान लीजिए कि किसी बिंदु पर एक निर्देशिका, जैसे K1 को संकलित किया गया था, जिसमें अन्य सभी निर्देशिकाएं शामिल हैं जिनमें स्वयं के संदर्भ नहीं हैं। K1 के निर्माण के साथ, एक और निर्देशिका दिखाई दी जिसमें स्वयं के लिए कोई लिंक नहीं है। चूंकि लक्ष्य उन सभी निर्देशिकाओं की पूरी सूची बनाना है जो स्वयं का उल्लेख नहीं करते हैं, यह स्पष्ट है कि K1 समाधान नहीं है। वह उन निर्देशिकाओं में से एक का उल्लेख नहीं करता - स्वयं। K1 में स्वयं के इस उल्लेख को शामिल करते हुए, हमें K2 कैटलॉग मिलता है। इसमें K1 का उल्लेख है, लेकिन K2 का ही नहीं। K2 में इस तरह के उल्लेख को जोड़ने पर, हमें KZ मिलता है, जो इस तथ्य के कारण फिर से पूरा नहीं होता है कि यह स्वयं का उल्लेख नहीं करता है। और बिना अंत के।

एक और तार्किक विरोधाभास का उल्लेख किया जा सकता है - डच महापौरों का विरोधाभास, नाई के विरोधाभास के समान। हॉलैंड में प्रत्येक नगर पालिका में एक महापौर होना चाहिए और दो अलग-अलग नगर पालिकाओं में एक ही महापौर नहीं हो सकता। कई बार पता चलता है कि मेयर अपने नगर पालिका में नहीं रहते हैं। मान लीजिए कि एक कानून पारित किया गया है जिसके द्वारा कुछ क्षेत्र एस विशेष रूप से ऐसे महापौरों को आवंटित किया जाता है जो उनकी नगर पालिकाओं में नहीं रहते हैं, और इन सभी महापौरों को इस क्षेत्र में बसने का निर्देश देते हैं। आगे मान लीजिए कि इन महापौरों की संख्या इतनी अधिक है कि क्षेत्र S स्वयं एक अलग नगरपालिका बनाता है। इस विशेष नगर पालिका एस के मेयर को कहाँ रहना चाहिए? सरल तर्क से पता चलता है कि यदि किसी विशेष नगर पालिका का महापौर क्षेत्र S में रहता है, तो उसे वहाँ नहीं रहना चाहिए, और इसके विपरीत, यदि वह क्षेत्र में नहीं रहता है, तो उसे इस क्षेत्र में रहना चाहिए। यह विरोधाभास नाई के विरोधाभास के अनुरूप है, यह काफी स्पष्ट है।

रसेल "अपने" विरोधाभास के समाधान का प्रस्ताव देने वाले पहले लोगों में से एक थे। उनके द्वारा प्रस्तावित समाधान को "टाइप थ्योरी" कहा जाता था: एक सेट (वर्ग) और इसके तत्व विभिन्न तार्किक प्रकारों से संबंधित होते हैं, एक सेट का प्रकार इसके तत्वों के प्रकार से अधिक होता है, जो रसेल के विरोधाभास को समाप्त करता है (प्रकार सिद्धांत का भी उपयोग किया गया था रसेल प्रसिद्ध "झूठे" विरोधाभास को हल करने के लिए)। हालांकि, कई गणितज्ञों ने रसेल के समाधान को स्वीकार नहीं किया, यह मानते हुए कि यह कैटरेको एस.एल. रसेल का नाई का विरोधाभास और प्लेटो-अरस्तू का द्वंद्वात्मक // आधुनिक तर्क: विज्ञान में सिद्धांत, इतिहास और अनुप्रयोग की समस्याएं। - सेंट पीटर्सबर्ग, 2002। - एस। 239-242 ..

स्थिति अन्य तार्किक विरोधाभासों के समान है। वॉन राइट लिखते हैं, "तर्क के विरोधाभासों ने हमें उनकी खोज के बाद से हैरान कर दिया है और शायद हमेशा हमें पहेली बना देगा। मुझे लगता है, हमें उन्हें इतना नहीं समझना चाहिए जितना कि हल होने की प्रतीक्षा में, बल्कि विचार के लिए अटूट कच्चे माल के रूप में। वे महत्वपूर्ण हैं क्योंकि उनके बारे में सोचना सभी तर्कों के सबसे बुनियादी सवालों को छूता है, और इसलिए सभी सोच ”लेख जी.के. पार्श्वभूमि। XX सदी में तर्क और दर्शन // Vopr। दर्शन। 1992. नंबर 8..

रसेल का विरोधाभास (रसेल की एंटीनॉमी, भी रसेल-ज़र्मेलो विरोधाभास) 1901 में बर्ट्रेंड रसेल द्वारा खोजा गया एक सेट-सैद्धांतिक विरोधाभास (एंटीनॉमी) है, जो फ्रेज की तार्किक प्रणाली की असंगति को प्रदर्शित करता है, जो जॉर्ज कैंटर के भोले सेट सिद्धांत को औपचारिक रूप देने का एक प्रारंभिक प्रयास था। पहले खोजा गया था लेकिन अर्न्स्ट-ज़र्मेलो द्वारा प्रकाशित नहीं किया गया था।

अनौपचारिक भाषा में, विरोधाभास को निम्नानुसार वर्णित किया जा सकता है। आइए हम एक समुच्चय को "साधारण" कहने के लिए सहमत हों, यदि वह उसका अपना तत्व नहीं है। उदाहरण के लिए, सभी लोगों का सेट "साधारण" है, क्योंकि सेट ही एक व्यक्ति नहीं है। "असामान्य" समुच्चय का एक उदाहरण सभी समुच्चयों का समुच्चय है, क्योंकि यह स्वयं एक समुच्चय है, और इसलिए स्वयं एक उचित तत्व है।

कोई एक ऐसे समुच्चय पर विचार कर सकता है जिसमें केवल सभी "साधारण" समुच्चय हों, ऐसे समुच्चय को कहा जाता है रसेल सेट . यह निर्धारित करने का प्रयास करते समय एक विरोधाभास उत्पन्न होता है कि यह सेट "साधारण" है या नहीं, यानी इसमें स्वयं को एक तत्व के रूप में शामिल किया गया है या नहीं। दो संभावनाएं हैं।

• एक ओर, यदि यह "साधारण" है, तो इसे स्वयं को एक तत्व के रूप में शामिल करना चाहिए, क्योंकि परिभाषा के अनुसार इसमें सभी "साधारण" सेट होते हैं। लेकिन तब यह "साधारण" नहीं हो सकता, क्योंकि "साधारण" सेट वे होते हैं जिनमें स्वयं शामिल नहीं होते हैं।
• यह माना जाना बाकी है कि यह सेट "असामान्य" है। हालाँकि, यह स्वयं को एक तत्व के रूप में शामिल नहीं कर सकता है, क्योंकि परिभाषा के अनुसार इसमें केवल "साधारण" सेट शामिल होने चाहिए। लेकिन अगर यह खुद को एक तत्व के रूप में शामिल नहीं करता है, तो यह एक "साधारण" सेट है।

किसी भी मामले में, एक विरोधाभास परिणाम।

विश्वकोश YouTube

1 / 5

व्याख्यान 1. समुच्चय की परिभाषा। डी मॉर्गन के नियम। रसेल का विरोधाभास। वीयरस्ट्रैस प्रमेय

3 रसेल का विरोधाभास

भावी पीढ़ियों के लिए बर्ट्रेंड रसेल सलाह

लेक्चर 21: नैव सेट थ्योरी और फजी लॉजिक

मोंटी हॉल विरोधाभास - नंबरफाइल

उपशीर्षक

विरोधाभास का निरूपण

रसेल के विरोधाभास को भोले सेट सिद्धांत में तैयार किया जा सकता है। इसलिए, अनुभवहीन सेट सिद्धांत असंगत है। भोले सेट सिद्धांत का एक विरोधाभासी टुकड़ा, जिसे द्विआधारी सदस्यता संबंध के साथ पहले क्रम के सिद्धांत के रूप में परिभाषित किया जा सकता है (\displaystyle \in )और चयन योजना: भोले सेट सिद्धांत में एक मुक्त चर के साथ प्रत्येक तार्किक सूत्र के लिए एक स्वयंसिद्ध है

y ∀ x (x ∈ y ⟺ P (x)) (\displaystyle \अस्तित्व y\forall x(x\in y\iff P(x))).

यह स्वयंसिद्ध योजना कहती है कि किसी भी शर्त के लिए पी (एक्स) (\ डिस्प्लेस्टाइल पी (एक्स))वहां कई हैं y , (\displaystyle y,)उन से मिलकर x , (\displaystyle x,)जो शर्त को पूरा करता है पी (एक्स) (\ डिस्प्लेस्टाइल पी (एक्स)) .

यह रसेल के विरोधाभास को निम्नानुसार तैयार करने के लिए पर्याप्त है। रहने दो पी (एक्स) (\ डिस्प्लेस्टाइल पी (एक्स))एक सूत्र है एक्स एक्स। (\displaystyle x\notin x.)(अर्थात पी (एक्स) (\ डिस्प्लेस्टाइल पी (एक्स))इसका मतलब है कि कई एक्स (\डिस्प्लेस्टाइल एक्स)स्वयं को एक तत्व के रूप में शामिल नहीं करता है, या, हमारी शब्दावली में, एक "साधारण" सेट है।) फिर, चयन के स्वयंसिद्ध द्वारा, एक सेट है y (\displaystyle y)(रसेल सेट) ऐसा कि

∀ x (x ∈ y ⟺ x ∉ x) (\displaystyle \forall x(x\in y\iff x\notin x)).

चूंकि यह किसी के लिए भी सच है x , (\displaystyle x,)यह भी सच है एक्स = वाई। (\ डिस्प्लेस्टाइल एक्स = वाई।)अर्थात

y y y y . (\displaystyle y\in y\iff y\notin y.)

इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि भोले सेट सिद्धांत में एक विरोधाभास का अनुमान लगाया जाता है।

यदि हम यह मान लें कि रसेल सेट मौजूद नहीं है, तो विरोधाभास उत्पन्न नहीं होगा। हालांकि, यह धारणा अपने आप में विरोधाभासी है: कैंटर के सेट सिद्धांत में, यह माना जाता है कि कोई भी संपत्ति उन तत्वों के समूह को निर्धारित करती है जो इस संपत्ति को संतुष्ट करते हैं। चूँकि एक समुच्चय का "साधारण" होना अच्छी तरह से परिभाषित प्रतीत होता है, सभी "साधारण" समुच्चयों का एक समुच्चय होना चाहिए। इस सिद्धांत को अब कहा जाता है भोले सेट सिद्धांत .

विरोधाभास के लोकप्रिय संस्करण

रसेल के विरोधाभास के कई संस्करण हैं। विरोधाभास के विपरीत, उन्हें, एक नियम के रूप में, औपचारिक भाषा में व्यक्त नहीं किया जा सकता है।

झूठा विरोधाभास

रसेल का विरोधाभास प्राचीन काल से ज्ञात झूठे के विरोधाभास से संबंधित है, जो निम्नलिखित प्रश्न है। एक बयान दिया:

यह कथन असत्य है।

क्या यह कथन सत्य है या नहीं? यह दिखाना आसान है कि यह कथन न तो सत्य हो सकता है और न ही असत्य।

रसेल ने इस विरोधाभास के बारे में लिखा:

रसेल ने खुद झूठे विरोधाभास को इस तरह समझाया। कथनों के बारे में कुछ कहने के लिए, किसी को पहले "उच्चारण" की अवधारणा को परिभाषित करना चाहिए, जबकि उन अवधारणाओं का उपयोग नहीं करना चाहिए जिन्हें अभी तक परिभाषित नहीं किया गया है। इस प्रकार, पहले प्रकार के कथनों को परिभाषित किया जा सकता है जो कथनों के बारे में कुछ नहीं कहते हैं। फिर कोई दूसरे प्रकार के बयानों को परिभाषित कर सकता है जो पहले प्रकार के बयानों की बात करते हैं, और इसी तरह। कथन "यह कथन असत्य है" इनमें से किसी भी परिभाषा के अंतर्गत नहीं आता है, और इस प्रकार इसका कोई अर्थ नहीं है।

नाई का विरोधाभास

रसेल विरोधाभास के निम्नलिखित संस्करण का उल्लेख करता है, जिसे एक पहेली के रूप में तैयार किया गया है जिसे किसी ने उसे सुझाया था।

एक नाई को एक निश्चित गाँव में रहने दो, जो गाँव के सभी निवासियों को, जो खुद को नहीं शेव करते हैं, और केवल उन्हें। क्या नाई खुद को शेव करता है?

कोई भी उत्तर विरोधाभास की ओर ले जाता है। रसेल ने नोट किया कि यह विरोधाभास उनके विरोधाभास के बराबर नहीं है और आसानी से हल हो जाता है। दरअसल, जिस तरह रसेल के विरोधाभास से पता चलता है कि कोई रसेल सेट नहीं है, नाई के विरोधाभास से पता चलता है कि ऐसा कोई नाई मौजूद नहीं है। अंतर यह है कि इस तरह के नाई के न होने में कोई आश्चर्य की बात नहीं है: किसी संपत्ति के लिए नहीं एक नाई है जो इस संपत्ति के साथ लोगों को दाढ़ी देता है। हालांकि, तथ्य यह है कि कुछ अच्छी तरह से परिभाषित संपत्ति द्वारा दिए गए तत्वों का कोई सेट नहीं है, सेट के अनुभवहीन विचार का खंडन करता है और स्पष्टीकरण की आवश्यकता होती है।

निर्देशिकाओं के बारे में विकल्प

रसेल के विरोधाभास का निकटतम शब्द उनकी प्रस्तुति का निम्नलिखित संस्करण है:

ग्रंथ सूची कैटलॉग वे पुस्तकें हैं जो अन्य पुस्तकों का वर्णन करती हैं। कुछ निर्देशिकाएं अन्य निर्देशिकाओं का वर्णन कर सकती हैं। कुछ निर्देशिकाएं स्वयं का वर्णन भी कर सकती हैं। क्या सभी कैटलॉग को सूचीबद्ध करना संभव है जो स्वयं का वर्णन नहीं करते हैं?

यह तय करने का प्रयास करते समय एक विरोधाभास उत्पन्न होता है कि क्या इस निर्देशिका को स्वयं का वर्णन करना चाहिए। सूत्रों की स्पष्ट निकटता के बावजूद (यह वास्तव में रसेल का विरोधाभास है, जिसमें सेट के बजाय कैटलॉग का उपयोग किया जाता है), इस विरोधाभास को, नाई के विरोधाभास की तरह, आसानी से हल किया जाता है: ऐसी सूची को संकलित नहीं किया जा सकता है।

ग्रीलिंग-नेल्सन विरोधाभास

यह विरोधाभास जर्मन गणितज्ञों द्वारा तैयार किया गया था कर्ट ग्रीलिंगऔर 1908 में लियोनार्ड-नेल्सन। यह वास्तव में रसेल के विरोधाभास के मूल संस्करण का अनुवाद है, जो उनके द्वारा विधेय तर्क (फ्रीज को पत्र देखें) के संदर्भ में गैर-गणितीय भाषा में कहा गया है।

आइए विशेषण कहते हैं चिंतनशीलयदि इस विशेषण में इस विशेषण द्वारा परिभाषित संपत्ति है। उदाहरण के लिए, विशेषण "रूसी", "पॉलीसिलेबिक" - में वे गुण होते हैं जो वे परिभाषित करते हैं (विशेषण "रूसी" रूसी है, और विशेषण "पॉलीसिलेबिक" पॉलीसिलेबिक है), इसलिए वे रिफ्लेक्टिव हैं, और विशेषण "जर्मन" हैं। "मोनोसिलेबिक" - हैं गैर-चिंतनशील. क्या विशेषण "नॉन-रिफ्लेक्सिव" रिफ्लेक्टिव होगा या नहीं?

कोई भी उत्तर विरोधाभास की ओर ले जाता है। नाई के विरोधाभास के विपरीत, इस विरोधाभास का समाधान इतना आसान नहीं है। कोई केवल यह नहीं कह सकता कि ऐसा विशेषण ("गैर-रिफ्लेक्सिव") मौजूद नहीं है, क्योंकि हमने इसे अभी परिभाषित किया है। विरोधाभास इस तथ्य से उत्पन्न होता है कि "गैर-रिफ्लेक्सिव" शब्द की परिभाषा अपने आप में गलत है। इस शब्द की परिभाषा पर निर्भर करता है मूल्योंजिस विशेषण पर यह लागू होता है। और चूंकि "गैर-प्रतिवर्त" शब्द स्वयं परिभाषा में एक विशेषण है, इसलिए एक दुष्चक्र शुरू हो जाता है।

कहानी

रसेल ने शायद मई या जून 1901 में अपने विरोधाभास की खोज की। स्वयं रसेल के अनुसार, वह कैंटर के विरोधाभासी तथ्य (जिसे कैंटर के विरोधाभास के रूप में जाना जाता है) के प्रमाण में एक त्रुटि खोजने की कोशिश कर रहा था कि कोई अधिकतम कार्डिनल नंबर (या सभी सेटों का सेट) नहीं है। नतीजतन, रसेल को एक सरल विरोधाभास मिला। रसेल ने अपने विरोधाभास को अन्य तर्कशास्त्रियों, विशेष रूप से व्हाइटहेड और पीनो को बताया। 16 जून, 1902 को फ्रेज को लिखे अपने पत्र में उन्होंने लिखा था कि उन्होंने "इसमें एक विरोधाभास पाया है" संकल्पना पथरी”- फ्रेज की एक किताब, जो 1879 में प्रकाशित हुई थी। उन्होंने अपने विरोधाभास को तर्क के संदर्भ में और फिर सेट सिद्धांत के संदर्भ में, फ्रेज की फ़ंक्शन की परिभाषा का उपयोग करते हुए निर्धारित किया:

मैंने केवल एक ही स्थान पर कठिनाइयों का अनुभव किया। आप दावा करते हैं (पृष्ठ 17) कि एक फ़ंक्शन स्वयं अज्ञात के रूप में कार्य कर सकता है। मैं भी ऐसा सोचता था। लेकिन अब निम्नलिखित विरोधाभास के कारण यह विचार मुझे संदेहास्पद लगता है। रहने दो वूविधेय: "एक विधेय होना जो स्वयं पर लागू नहीं किया जा सकता है।" कर सकना वूखुद पर लागू हो? किसी भी उत्तर का अर्थ विपरीत होता है। इसलिए, हमें यह निष्कर्ष निकालना चाहिए कि वूविधेय नहीं है। इसी तरह, उन वर्गों का कोई वर्ग (समग्र रूप से) नहीं है, जो समग्र रूप से लिया जाता है, वे स्वयं से संबंधित नहीं हैं। इससे मैं यह निष्कर्ष निकालता हूं कि कभी-कभी एक निश्चित समुच्चय एक समग्र संरचना नहीं बनाता है।

मूल पाठ (जर्मन)

नूर इन ईनेम पंकटे इस्त मीर ईन श्विएरिगकेइट बेगनेट। सी बेहोप्टेन (एस. 17) एस कोन आउच डाई फंकशन दास अनबेस्टिम्टे एलिमेंट बिल्डेन। डाइस हैब इच फ्रूहर गेग्लॉबट, जेडोक जेट्ज़्ट स्कींट मीर डाइस अंसिच्ट ज्वेइफ़ेलहाफ़्ट, वेगेन डेस फोल्गेंडेन वाइडर्सप्रुच्स: सेई डब्ल्यू दास प्रैडिकट, ईन प्रैडिकैट ज़ू सीन वेलचेस वॉन सिच सेलबस्ट निच्ट प्रेडिर्ट। कन्न मैन व वॉन सिच सेल्बस्ट प्रैडिसिरेन? ऑस जेडर एंटवर्ट फोल्गट दास गेगेंथिल। देशलब मुस मैन श्लीसेन दास व केन प्रैडिकैट इस्त। एबेन्सो गिएबट एस केइन क्लासे (अल्स गैंज़ेस) डेरजेनिगन क्लासेन डाई अल्स गांज़े सिच सेलबर निच्ट एंजहोरेन। दारौस स्कलीसे इच दास उन गेविसेन उम्स्टैन्डेन ईइन डेफिनियरबेयर मेंगे केन गेंजेस बिल्डेट .

फ्रेगे को यह पत्र ठीक उसी समय प्राप्त हुआ जब उन्होंने अंकगणित के मौलिक नियमों के दूसरे खंड (जर्मन: ग्रंडगेसेट्ज़ डेर अरिथमेटिक) पर काम पूरा किया। फ्रीज के पास अपने सेट थ्योरी को सही करने का समय नहीं था। उन्होंने दूसरे खंड में केवल एक प्रदर्शनी और विरोधाभास के अपने विश्लेषण के साथ एक परिशिष्ट जोड़ा, जो प्रसिद्ध टिप्पणी के साथ शुरू हुआ:

यह संभावना नहीं है कि एक वैज्ञानिक के साथ कुछ भी बुरा हो सकता है, अगर उसके पैरों के नीचे से जमीन को उसी क्षण खींचा जाता है जब वह अपना काम पूरा करता है। यह इस स्थिति में था कि मैंने खुद को तब पाया जब मुझे बर्ट्रेंड रसेल का एक पत्र मिला, जब मेरा काम पहले ही पूरा हो चुका था।

मूल पाठ (जर्मन)

ईनेम विसेंसचाफ्टलिचेन श्रिफ्टस्टेलर कन्न कौम और उनरवुन्स्चटेरस बेगेग्नेन, अल्स द इहम नच वोलेन्दुंग आइनर अर्बीट ईइन डेर ग्रंडलागेन सेइन्स बाउज़ एर्सचुटर्ट विर्ड। इन डायज़ लेज वुर्डे इच डर्च ईइनन ब्रीफ डेस हेरन बर्ट्रेंड रसेल वर्सेट्ज़्ट, अल्स डेर ड्रक डेसेज़ बैंडेस सिच सीनेम एंडे नाहर्टे।

z ∈ ( x: P (x) ) ⟺ P (z) (\displaystyle z\in \(x\colon P(x)\)\iff P(z)),

जिसमें कहा गया है कि संपत्ति को संतुष्ट करने वाले तत्वों का एक सेट बनाना संभव है पी (एक्स) , (\displaystyle पी(एक्स),)उन्होंने निम्नलिखित स्वयंसिद्ध का उपयोग करने का सुझाव दिया:

z ∈ ( x: P (x) ) ⟺ P (z) और z ≠ ( x: P (x) ) (\displaystyle z\in \(x\colon P(x)\)\iff P(z)\ \&\ z\neq \(x\colon P(x)\)),

इस प्रकार समुच्चय के स्वयं का सदस्य होने की संभावना समाप्त हो जाती है। हालांकि, एक छोटा [ कौन सा?] रसेल के विरोधाभास का संशोधन साबित करता है कि यह स्वयंसिद्ध भी एक विरोधाभास की ओर ले जाता है।

रसेल ने अपने विरोधाभास को अपनी पुस्तक में प्रकाशित किया " गणित के सिद्धांत"1903 में।

नीचे रसेल के विरोधाभासों से मुक्त स्वयंसिद्ध प्रणाली के निर्माण के कुछ संभावित दृष्टिकोण दिए गए हैं।

रसेल का प्रकार सिद्धांत

रसेल खुद रसेल के विरोधाभास से मुक्त सिद्धांत का प्रस्ताव करने वाले पहले व्यक्ति थे। उन्होंने प्रकारों का एक सिद्धांत विकसित किया, जिसका पहला संस्करण रसेल और व्हाइटहेड की पुस्तक में दिखाई दिया गणित के सिद्धांत"1903 में। यह सिद्धांत निम्नलिखित विचार पर आधारित है: इस सिद्धांत में साधारण वस्तुओं का प्रकार 0 होता है, साधारण वस्तुओं के सेट में प्रकार 1 होता है, साधारण वस्तुओं के सेटों का प्रकार 2 होता है, और इसी तरह। इस प्रकार, कोई भी समुच्चय स्वयं को एक अवयव के रूप में नहीं रख सकता है। इस सिद्धांत में न तो सभी समुच्चयों का समुच्चय और न ही रसेल सेट को परिभाषित किया जा सकता है। बयानों और गुणों के लिए एक समान पदानुक्रम पेश किया गया है। साधारण वस्तुओं के बारे में प्रस्ताव टाइप 1 से संबंधित हैं, टाइप 1 के प्रस्तावों के गुणों के बारे में प्रस्ताव टाइप 2 से संबंधित हैं, और इसी तरह। सामान्य तौर पर, एक फ़ंक्शन, परिभाषा के अनुसार, उन चरों की तुलना में उच्च प्रकार का होता है, जिन पर वह निर्भर करता है। यह दृष्टिकोण आपको न केवल रसेल विरोधाभास से छुटकारा पाने की अनुमति देता है, बल्कि झूठे विरोधाभास (), ग्रीलिंग-नेल्सन विरोधाभास, बुराली-फोर्टी विरोधाभास सहित कई अन्य विरोधाभासों से भी छुटकारा दिलाता है। रसेल और व्हाइटहेड ने दिखाया कि 1910-1913 में प्रकाशित अपने तीन-खंड प्रिंसिपिया मैथमैटिका में सभी गणित को टाइप थ्योरी के सिद्धांतों के लिए कैसे कम किया जाए।

हालाँकि, इस दृष्टिकोण को कठिनाइयों का सामना करना पड़ा। विशेष रूप से, ऐसी अवधारणाओं को वास्तविक संख्याओं के सेट के लिए सर्वोत्तम 'ऊपरी' के रूप में परिभाषित करने में समस्याएं उत्पन्न होती हैं। परिभाषा के अनुसार, कम से कम ऊपरी सीमा सभी ऊपरी सीमाओं में सबसे छोटी है। इसलिए, कम से कम ऊपरी सीमा निर्धारित करते समय, वास्तविक संख्याओं के सेट का उपयोग किया जाता है। इसलिए, कम से कम ऊपरी सीमा वास्तविक संख्याओं की तुलना में उच्च प्रकार की वस्तु है। इसका अर्थ है कि यह स्वयं एक वास्तविक संख्या नहीं है। इससे बचने के लिए, तथाकथित परिचय देना आवश्यक था न्यूनीकरण अभिगृहीत. इसकी मनमानी के कारण, कई गणितज्ञों ने रिड्यूसिबिलिटी स्वयंसिद्ध को स्वीकार करने से इनकार कर दिया, और रसेल ने खुद इसे अपने सिद्धांत में एक दोष कहा। इसके अलावा, सिद्धांत बहुत जटिल निकला। नतीजतन, इसे व्यापक आवेदन प्राप्त नहीं हुआ है।

ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट थ्योरी

गणित के स्वयंसिद्धता के लिए सबसे प्रसिद्ध दृष्टिकोण ज़र्मेलो-फ्रेंकेल (जेडएफ) सेट सिद्धांत है, जो कि विस्तार के रूप में उत्पन्न हुआ था ज़र्मेलो के सिद्धांत(1908)। रसेल के विपरीत, ज़र्मेलो ने तार्किक सिद्धांतों को बरकरार रखा और सेट सिद्धांत के केवल स्वयंसिद्धों को बदल दिया। इस दृष्टिकोण का विचार यह है कि इसे केवल पहले से निर्मित सेटों से निर्मित सेटों के एक निश्चित सेट का उपयोग करने की अनुमति है। उदाहरण के लिए, ज़र्मेलो के स्वयंसिद्धों में से एक कहता है कि किसी दिए गए सेट (बूलियन स्वयंसिद्ध) के सभी उपसमुच्चय का एक सेट बनाना संभव है। एक और स्वयंसिद्ध ( चयन योजना) का कहना है कि प्रत्येक सेट से उन तत्वों के सबसेट का चयन करना संभव है जिनके पास दी गई संपत्ति है। ज़र्मेलो सेट थ्योरी और भोले सेट थ्योरी के बीच यह मुख्य अंतर है: भोले सेट सिद्धांत में, आप उन सभी तत्वों के सेट पर विचार कर सकते हैं जिनके पास एक संपत्ति है, और ज़र्मेलो सेट सिद्धांत में, आप केवल पहले से निर्मित सेट से एक सबसेट का चयन कर सकते हैं . ज़र्मेलो सेट सिद्धांत में, सभी सेटों का एक सेट बनाना असंभव है। इस प्रकार, रसेल सेट का निर्माण वहां भी नहीं किया जा सकता है।

कक्षाओं

कभी-कभी गणित में सभी समुच्चयों को समग्र रूप में लेना उपयोगी होता है, उदाहरण के लिए, सभी समूहों की समग्रता पर विचार करना। ऐसा करने के लिए, सेट सिद्धांत को वर्ग की धारणा द्वारा बढ़ाया जा सकता है, उदाहरण के लिए, न्यूमैन-एबर्नैस-ओगोडेल (एनबीजी) प्रणाली में। इस सिद्धांत में, सभी सेटों का संग्रह है कक्षा. हालांकि, यह वर्ग एक सेट नहीं है और किसी भी वर्ग का सदस्य नहीं है, इस प्रकार रसेल के विरोधाभास से बचा जाता है।

उदाहरण के लिए, एक मजबूत प्रणाली जो किसी को केवल सेटों पर नहीं, बल्कि कक्षाओं पर क्वांटिफायर लेने की अनुमति देती है, मोर्स सेट सिद्धांत - केली(एमके)। इस सिद्धांत में, मुख्य अवधारणा अवधारणा है कक्षा, लेकिन नहीं सेट. इस सिद्धांत में समुच्चय ऐसे वर्ग माने गए हैं जो स्वयं कुछ वर्गों के तत्व हैं। इस सिद्धांत में, सूत्र z ( x: P (x) ) (\displaystyle z\in \(x\colon P(x)\))सूत्र के बराबर माना जाता है

पी (जेड) और ∃ वाई। z y (\displaystyle P(z)\ \&\ \मौजूद y.z\in y).

जैसा वाई। z y (\displaystyle \मौजूद y.z\in y)इस सिद्धांत में इसका अर्थ है कि वर्ग z (\displaystyle z)एक अनेक, इस सूत्र को इस प्रकार समझा जाना चाहिए ( x: P (x) ) (\displaystyle \(x\colon P(x)\))सभी का वर्ग है सेट(वर्ग नहीं) z (\displaystyle z), ऐसा है कि पी (जेड) (\ डिस्प्लेस्टाइल पी (जेड)). इस सिद्धांत में रसेल के विरोधाभास का समाधान इस तथ्य से होता है कि प्रत्येक वर्ग एक समुच्चय नहीं है।

कोई आगे जाकर कक्षाओं के संग्रह पर विचार कर सकता है - कंपनियों के संगठन, समूहों का संग्रह, और इसी तरह।

गणित पर प्रभाव

गणित का स्वयंसिद्धीकरण

20 वीं शताब्दी की शुरुआत में खोजे गए अन्य गणितीय विरोधाभासों के साथ रसेल के विरोधाभास ने गणित की नींव के संशोधन को प्रेरित किया, जिसके परिणामस्वरूप गणित को सही ठहराने के लिए स्वयंसिद्ध सिद्धांतों का निर्माण हुआ, जिनमें से कुछ का उल्लेख ऊपर किया गया है।

निर्मित सभी नए स्वयंसिद्ध सिद्धांतों में, 20 वीं शताब्दी के मध्य तक ज्ञात विरोधाभास (रसेल के विरोधाभास सहित) को समाप्त कर दिया गया था। हालांकि, यह साबित करने के लिए कि भविष्य में नए समान विरोधाभासों की खोज नहीं की जा सकती है (यह निर्मित स्वयंसिद्ध सिद्धांतों की स्थिरता की समस्या है), यह इस समस्या की आधुनिक समझ में असंभव है (अपूर्णता पर गोडेल के प्रमेय देखें) .

सहज-ज्ञान

समानांतर में, गणित में एक नई प्रवृत्ति उत्पन्न हुई, जिसे अंतर्ज्ञानवाद कहा जाता है, जिसके संस्थापक एल.ई. या। ब्रौवर हैं। रसेल के विरोधाभास और अन्य विरोधाभासों से स्वतंत्र रूप से अंतर्ज्ञानवाद उत्पन्न हुआ। हालांकि, सेट थ्योरी में एंटीनोमी की खोज ने अंतर्ज्ञानवादियों के तार्किक सिद्धांतों के अविश्वास को बढ़ा दिया और अंतर्ज्ञानवाद के गठन को तेज कर दिया। अंतर्ज्ञानवाद की मुख्य थीसिस कहती है कि किसी वस्तु के अस्तित्व को साबित करने के लिए, उसके निर्माण के लिए एक विधि प्रस्तुत करना आवश्यक है। अंतर्ज्ञानवादी इस तरह की अमूर्त अवधारणाओं को सभी सेटों के सेट के रूप में अस्वीकार करते हैं। अंतर्ज्ञानवाद बहिष्कृत मध्य के कानून से इनकार करता है, हालांकि, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि बहिष्कृत मध्य के कानून को रसेल के एंटीनोमी या किसी अन्य से विरोधाभास प्राप्त करने की आवश्यकता नहीं है (किसी भी एंटीनोमी में यह साबित होता है कि ए (\ डिस्प्लेस्टाइल ए)निषेध शामिल है ए (\ डिस्प्लेस्टाइल ए)और इनकार ए (\ डिस्प्लेस्टाइल ए)जरूरत पर जोर देता ए , (\ डिस्प्लेस्टाइल ए,)हालांकि, से (A A) और (¬ A ⇒ A) (\displaystyle (A\Rightarrow \neg A)\&(\neg A\Rightarrow A))अंतर्ज्ञानवादी तर्क में भी एक विरोधाभास इस प्रकार है)। यह भी ध्यान देने योग्य है कि अंतर्ज्ञानवादी गणित के बाद के स्वयंसिद्धीकरण में, रसेल के समान विरोधाभास पाए गए, जैसे, उदाहरण के लिए, गिरार्ड का विरोधाभासमूल शब्द में मार्टिन लोफ।

विकर्ण तर्क (स्व-प्रयोज्यता)

इस तथ्य के बावजूद कि रसेल का तर्क एक विरोधाभास की ओर जाता है, इस तर्क का मुख्य विचार अक्सर गणितीय प्रमेयों के प्रमाण में उपयोग किया जाता है। जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, रसेल ने कैंटर के सबसे बड़े कार्डिनल नंबर के गैर-अस्तित्व के प्रमाण का विश्लेषण करके अपना विरोधाभास प्राप्त किया। यह तथ्य सभी समुच्चयों के अस्तित्व का खंडन करता है, क्योंकि इसकी कार्डिनैलिटी अधिकतम होनी चाहिए। हालांकि, कैंटर प्रमेय के अनुसार, किसी दिए गए सेट के सभी सबसेट के सेट में सेट की तुलना में अधिक कार्डिनैलिटी होती है। इस तथ्य का प्रमाण निम्नलिखित पर आधारित है: विकर्ण तर्क ?!:

एक-से-एक पत्राचार होने दें, जो प्रत्येक तत्व के लिए हो एक्स (\डिस्प्लेस्टाइल एक्स)सेट एक्स (\डिस्प्लेस्टाइल एक्स)एक सबसेट से मेल खाता है एस एक्स (\displaystyle s_(x))सेट एक्स। (\ डिस्प्लेस्टाइल एक्स।)रहने दो d (\displaystyle d)तत्वों का एक सेट होगा एक्स (\डिस्प्लेस्टाइल एक्स)ऐसा है कि x s x (\displaystyle x\in s_(x)) (विकर्ण सेट) फिर इस सेट का पूरक s = d (\displaystyle s=(\overline (d)))में से एक नहीं हो सकता एस एक्स। (\displaystyle s_(x).)इसलिए, पत्राचार एक-से-एक नहीं था।

कैंटर ने 1891 में वास्तविक संख्याओं की बेशुमारता साबित करने के लिए विकर्ण तर्क का इस्तेमाल किया। (यह वास्तविक संख्याओं की बेशुमारता का उनका पहला प्रमाण नहीं है, बल्कि सबसे सरल है)।

संबंधित विरोधाभास

ऊपर चर्चा किए गए लोगों के अलावा कई विरोधाभासों में स्व-प्रयोज्यता का उपयोग किया जाता है:

• सर्वशक्तिमान विरोधाभास एक मध्ययुगीन प्रश्न है: "क्या एक सर्वशक्तिमान ईश्वर एक ऐसा पत्थर बना सकता है जिसे वह स्वयं नहीं उठा सकता?"
• विरोधाभास-बुराली-फोर्टी (1897) क्रमिक संख्याओं के लिए विरोधाभास-कैंटोर का एक एनालॉग है।
• मिरिमानोव का विरोधाभास (1917) सभी अच्छी तरह से स्थापित वर्गों के वर्ग के लिए बुराली-फोर्टी विरोधाभास का एक सामान्यीकरण है।
• रिचर्ड का विरोधाभास (1905) एक शब्दार्थ विरोधाभास है जो गणित और मेटामैथमैटिक्स की भाषा को अलग करने के महत्व को दर्शाता है।
• बेरी का विरोधाभास (1906) रसेल द्वारा प्रकाशित रिचर्ड के विरोधाभास का एक सरलीकृत संस्करण है।
• क्लेन-रॉसर विरोधाभास(1935) - -कैलकुलस के संदर्भ में रिचर्ड के विरोधाभास का सूत्रीकरण।
• करी (1941) विरोधाभास क्लेन-रॉसर विरोधाभास का सरलीकरण है।
• गिरार्ड का विरोधाभास(1972) - बुराली-फोर्टी विरोधाभास का सूत्रीकरण के संदर्भ में अंतर्ज्ञानवादी प्रकार सिद्धांत .
• एक अर्ध-मजाक वाला विरोधाभास बेरी के विरोधाभास की याद दिलाता है।

टिप्पणियाँ

1. गोडहार्ड लिंक (2004) रसेल के विरोधाभास . के सौ साल, साथ। 350, आईएसबीएन 9783110174380 , .
2. रसेल की एंटीनॉमी // डिक्शनरी ऑफ लॉजिक। इविन ए.ए., निकिफोरोव ए.एल.- एम .: तुमानित, VLADOS, 1997. - 384 पी। - आईएसबीएन 5-691-00099-3।
3. एंड्रयू डेविड इरविन, हैरी डिक्शन।रसेल "एस पैराडॉक्स // द स्टैनफोर्ड इनसाइक्लोपीडिया ऑफ फिलॉसफी / एडवर्ड एन। ज़ाल्टा। - 2014-01-01।
4. अधिकार-विरोध- गणितीय विश्वकोश से लेख। ए. जी. ड्रैगालिन
5. ए एस गेरासिमोव।पाठ्यक्रम: गणितीय, तर्क, और सिद्धांत, संगणनीयता। - तीसरा संस्करण, संशोधित और बड़ा। - सेंट पीटर्सबर्ग: LEMA, 2011. - S. 124-126। - 284 पी।

अधिकांश में आमविरोधाभास रूप बर्ट्रेंड रसेलऐसा दिखता है:

मान लीजिए M उन सभी समुच्चयों का समुच्चय है जो स्वयं को उनके तत्व के रूप में शामिल नहीं करते हैं। प्रश्न: क्या M स्वयं को एक तत्व के रूप में समाहित करता है?

यदि उत्तर "हाँ" है, तो, M की परिभाषा के अनुसार, यह M का एक तत्व नहीं होना चाहिए, और हमारे पास एक विरोधाभास है।

यदि उत्तर "नहीं" है - तो, ​​एम की परिभाषा के अनुसार, यह एम का एक तत्व होना चाहिए - फिर से एक विरोधाभास ...

"विरोधाभास का सार क्या है? एक वर्ग कभी-कभी होता है और कभी-कभी स्वयं का सदस्य नहीं होता है। " कक्षाचम्मच, उदाहरण के लिए, एक और चम्मच नहीं है, लेकिन उन चीजों के वर्ग जो चम्मच नहीं हैं, कुछ ऐसी चीजें हैं जो चम्मच नहीं हैं।"

रसेल का विरोधाभास सभी उचित वर्गों के एक वर्ग की धारणा के उपयोग से संबंधित है। "स्वयं" एक ऐसा वर्ग है जिसमें स्वयं को इसके सदस्य के रूप में शामिल नहीं किया गया है। "अनुचित" एक ऐसा वर्ग है जिसे स्वयं को इसके सदस्य के रूप में शामिल करना चाहिए। माना जाता है कि यह सभी वर्गों का वर्ग है। सभी उचित वर्गों ("रसेल वर्ग") के वर्ग के संबंध में, प्रश्न उठाया जाता है: यह क्या है - उचित या अनुचित? यदि हम मानते हैं कि यह स्वयं का है, तो इसे गैर-स्वयं वर्गों को सौंपा जाना चाहिए, और इसके विपरीत।

एक अर्ध-मजाक में, रसेल इस विरोधाभास को तथाकथित "नाई" विरोधाभास के माध्यम से गणित के दर्शन के लिए एक परिचय (1919) में प्रस्तुत करता है। गाँव के नाई को अपने गाँव के उन सभी लोगों को और केवल उन लोगों को मुंडवाना चाहिए जो खुद को मुंडन नहीं करते हैं। क्या उसे खुद को शेव करना चाहिए? अगर वह खुद को शेव करता है, तो वह खुद को शेव करता है और उसे खुद को शेव करने का कोई अधिकार नहीं है। लेकिन अगर वह खुद को शेव नहीं करता है, तो उसे खुद को शेव करने का अधिकार है। इस तरह, कोई भी "सभी सेटों का सेट जो उचित तत्व नहीं हैं" के विरोधाभास को प्रदर्शित कर सकता है। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि "नाई" एक "शुद्ध विरोधाभास" नहीं है, क्योंकि यह केवल इसका अनुसरण करता है कि ऐसा हेयरड्रेसर बिल्कुल भी मौजूद नहीं हो सकता है, अर्थात "सिद्धांत रूप में, तत्वों वाले इस सेट के लिए कोई स्पष्ट और सुसंगत निश्चितता नहीं मिल सकती है। केवल इस समग्रता के साथ-साथ ऐसे तत्वों के संदर्भ में परिभाषित किया गया है जो इस समग्रता को शामिल करते हैं या इंगित करते हैं। विरोधाभास इस निष्कर्ष से समाप्त होता है कि यदि कुछ परिसर एक विरोधाभास को जन्म देते हैं, तो वे गलत हैं।

रसेल के एंटीनॉमी ने गणित की नींव के विकास में महत्वपूर्ण भूमिका निभाई। इसने सेट थ्योरी की नींव को कमजोर कर दिया, बहुत नया तर्क, एक वास्तविक आपदा बन गया और उन लोगों की आशाओं का पतन हो गया जिन्होंने 19 वीं -20 वीं शताब्दी के मोड़ पर गणित और तर्क को प्रमाणित करने की समस्याओं का सामना किया।

1903 में रसेल ने खुले तौर पर यह स्वीकार नहीं किया कि उन्होंने विरोधाभास का समाधान खोज लिया है। "गणित के सिद्धांतों" की "प्रस्तावना" में, उन्होंने नोट किया कि एक ऐसे काम को प्रकाशित करने का एकमात्र औचित्य जिसमें कई अनसुलझे प्रश्न थे, इस अध्ययन ने कक्षाओं की प्रकृति में गहराई से प्रवेश करना संभव बना दिया। रसेल ने इस पेपर के "परिशिष्ट बी" में एक संभावित समाधान के रूप में एक सरल प्रकार के सिद्धांत का प्रस्ताव रखा। भविष्य में, वह इस निष्कर्ष पर पहुंचता है कि यह सिद्धांत है, जिसे एक प्रणाली में विकसित किया गया है, जो विरोधाभास को खत्म करना संभव बनाता है।

कोलेसनिकोव ए.एस., बर्ट्रेंड रसेल का दर्शन, एल।, लेनिनग्राद यूनिवर्सिटी प्रेस, 1991, पी। 84-85.