रैखिक रिक्त स्थान के सिद्धांत में सबसे महत्वपूर्ण अवधारणा वैक्टर की रैखिक निर्भरता है। इस अवधारणा को परिभाषित करने से पहले, आइए कुछ उदाहरण देखें।

उदाहरण। 1. स्पेस Tk से तीन सदिशों की निम्नलिखित प्रणाली को देखते हुए:

यह देखना आसान है कि या तो

2. आइए, अब हम सदिशों का एक अन्य निकाय लें

वैक्टर की इस प्रणाली के लिए समानता (1) के समान संबंध देखना मुश्किल है। हालांकि, यह जांचना आसान है कि

संबंध (2) के गुणांक 4, -7.5 को निम्नानुसार पाया जा सकता है। आइए हम उन्हें अज्ञात के रूप में निरूपित करें, हम सदिश समीकरण को हल करेंगे:

गुणा और जोड़ के संकेतित संचालन को करने के बाद और वेक्टर घटकों की समानता को पारित करने के लिए (2), हम के संबंध में रैखिक समीकरणों की एक सजातीय प्रणाली प्राप्त करते हैं

इस प्रणाली का एक समाधान है:

3. वैक्टर की प्रणाली पर विचार करें:

समानता

समीकरणों की एक प्रणाली की ओर जाता है जिसमें एक अद्वितीय - शून्य - समाधान होता है। (चेक!) इस प्रकार, समानता (3) से यह निम्नानुसार है,

जो दूसरे शब्दों में, समानता (3) केवल के लिए संतुष्ट है

उदाहरण 1-2 में वेक्टर सिस्टम रैखिक रूप से निर्भर हैं, उदाहरण 3 की प्रणाली रैखिक रूप से स्वतंत्र है।

परिभाषा 3. एक क्षेत्र के ऊपर एक रैखिक स्थान में वैक्टर की एक प्रणाली को रैखिक रूप से निर्भर कहा जाता है यदि क्षेत्र R की सभी संख्याएँ शून्य के बराबर नहीं हैं जैसे कि

यदि केवल सदिशों के लिए समानता होती है तो सदिशों के निकाय को रैखिकतः स्वतंत्र कहा जाता है।

ध्यान दें कि रैखिक निर्भरता और स्वतंत्रता की संपत्ति वैक्टर की एक प्रणाली की संपत्ति है। हालांकि, वही विशेषण साहित्य में व्यापक रूप से उपयोग किए जाते हैं जब सीधे वैक्टर पर लागू होते हैं, और वे कहते हैं, भाषण की स्वतंत्रता के साथ, "रैखिक रूप से स्वतंत्र वैक्टर की एक प्रणाली" और यहां तक ​​​​कि "वैक्टर रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं।"

यदि सिस्टम में केवल एक वेक्टर है, तो संपत्ति 6 ​​(§ 2) के लिए यह निम्नानुसार है कि एक गैर-शून्य वेक्टर से युक्त सिस्टम रैखिक रूप से स्वतंत्र है। इसके विपरीत, शून्य सदिश 0 वाले सदिशों की कोई भी प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर होती है। उदाहरण के लिए, यदि तब

यदि दो सदिशों का निकाय रैखिकतः आश्रित है, तो समानता (या . तब .) के लिए है

यानी वैक्टर आनुपातिक हैं। विलोम भी सत्य है, क्योंकि यह से अनुसरण करता है। इसलिए, दो वैक्टरों की एक प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर होती है यदि और केवल यदि वेक्टर आनुपातिक हैं।

आनुपातिक वैक्टर एक ही सीधी रेखा पर झूठ बोलते हैं; इस संबंध में और सामान्य स्थिति में, आनुपातिक सदिशों को कभी-कभी संरेख कहा जाता है।

हम वैक्टर की रैखिक निर्भरता के कुछ गुणों पर ध्यान देते हैं।

संपत्ति 1. एक रैखिक रूप से निर्भर उपप्रणाली वाले वैक्टर की एक प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर है।

चलो एक रैखिक रूप से निर्भर उपप्रणाली

तब सभी शून्य संख्याएँ ऐसी नहीं होती हैं कि

इस समानता के बाईं ओर दिए गए सिस्टम के शेष वैक्टर को शून्य गुणांक के साथ जोड़कर, हम आवश्यक एक प्राप्त करते हैं।

गुण 1 से यह पता चलता है कि सदिशों की एक रैखिक रूप से स्वतंत्र प्रणाली का कोई भी उपतंत्र रैखिक रूप से स्वतंत्र होता है।

संपत्ति 2. यदि वैक्टर की प्रणाली

रैखिक रूप से स्वतंत्र है, और वैक्टर की प्रणाली

रैखिक रूप से निर्भर है, तो वेक्टर को सिस्टम (4) के वैक्टर के रूप में रैखिक रूप से व्यक्त किया जाता है।

चूँकि सदिशों का निकाय (5) रैखिक रूप से निर्भर है, शून्य के बराबर सभी संख्याएँ ऐसी नहीं हैं कि

यदि तब और फिर गैर-शून्य गुणांक उनमें से होंगे, जिसका अर्थ होगा प्रणाली की रैखिक निर्भरता (4)। इसलिए, और

संपत्ति 3. गैर-शून्य वैक्टर की आदेशित प्रणाली

रैखिक रूप से निर्भर है यदि और केवल अगर कुछ वेक्टर पिछले वैक्टरों का एक रैखिक संयोजन है।

सिस्टम को रैखिक रूप से निर्भर होने दें। क्योंकि वेक्टर रैखिक रूप से स्वतंत्र है। सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या से निरूपित करें जिसके लिए प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर है। (यह मौजूद है: चरम मामले में, यदि सिस्टम रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं, तो फिर सभी संख्याएं शून्य के बराबर नहीं हैं जैसे कि समानता

यदि तब गैर-शून्य गुणांक बीच में होंगे और समानता होगी

जिसका अर्थ होगा प्रणाली की एक रैखिक निर्भरता, लेकिन यह संख्या की पसंद के विपरीत होगा। इसलिए, और इसलिए

इसके विपरीत, समानता (7) संपत्ति 1 से सिस्टम की रैखिक निर्भरता का तात्पर्य है

संपत्ति 3 का आसानी से तात्पर्य है कि वैक्टर की एक प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर होती है यदि और केवल तभी जब इसके कम से कम एक वैक्टर को अन्य के संदर्भ में रैखिक रूप से व्यक्त किया जाता है। इस अर्थ में, वे कहते हैं कि रैखिक निर्भरता की अवधारणा रैखिक अभिव्यक्ति की अवधारणा के बराबर है।

गुण 4. यदि सदिश x को निकाय के सदिशों के पदों में रैखिक रूप से व्यक्त किया जाता है

और वेक्टर को सिस्टम के शेष वैक्टर (8) के संदर्भ में रैखिक रूप से व्यक्त किया जाता है, फिर वेक्टर को सिस्टम के इन वैक्टर (8) के संदर्भ में भी रैखिक रूप से व्यक्त किया जाता है।

वास्तव में,

अब हम सदिशों की रैखिक निर्भरता के बारे में सबसे महत्वपूर्ण प्रमेयों में से एक को सिद्ध कर सकते हैं।

प्रमेय 1. यदि एक रैखिक रूप से स्वतंत्र प्रणाली का प्रत्येक वेक्टर

वैक्टर का एक रैखिक संयोजन है

तो दूसरे शब्दों में, सदिशों की एक रैखिक रूप से स्वतंत्र प्रणाली में, जो सदिशों के रैखिक संयोजन हैं, सदिशों की संख्या इससे अधिक नहीं हो सकती है

प्रमाण। पहला कदम। आइए एक सिस्टम बनाएं

धारणा से, सिस्टम के प्रत्येक वेक्टर (9), विशेष रूप से, वेक्टर को वैक्टर (10) के रूप में रैखिक रूप से व्यक्त किया जाता है, और इसलिए सिस्टम (11) रैखिक रूप से निर्भर होता है। सिस्टम में संपत्ति 3 (11) द्वारा, कुछ वेक्टर जहां पिछले वैक्टर के संदर्भ में रैखिक रूप से व्यक्त किया जाता है, और इसलिए सिस्टम के वैक्टर के संदर्भ में भी।

(11) से प्राप्त सदिश को हटाकर यहाँ से, गुण 4 से, हमारे पास है: प्रणाली का प्रत्येक सदिश (9) प्रणाली के सदिशों (12) के रूप में रैखिक रूप से व्यक्त किया जाता है।

दूसरा चरण। वैक्टर के सिस्टम के चरण में उसी तर्क को लागू करना

और (12) और यह ध्यान में रखते हुए कि वैक्टर की प्रणाली रैखिक रूप से स्वतंत्र है, हम वैक्टर की एक प्रणाली प्राप्त करते हैं

जिसके माध्यम से प्रणाली के सभी वैक्टर (9) रैखिक रूप से व्यक्त किए जाते हैं।

यदि हम यह मान लें कि इस प्रक्रिया को जारी रखते हुए, हम चरणों के माध्यम से सभी वैक्टर को समाप्त कर देंगे और सिस्टम प्राप्त करेंगे

ऐसा है कि प्रणाली का प्रत्येक वेक्टर (9), विशेष रूप से, सिस्टम के वैक्टर (14) के संदर्भ में रैखिक रूप से व्यक्त किया जाता है। तब प्रणाली (9) रैखिक रूप से निर्भर हो जाती है, जो स्थिति का खंडन करती है। यह स्वीकार करना बाकी है

आइए अब विचार करें कि विभिन्न स्थानों में सदिशों की रैखिक निर्भरता का क्या अर्थ है।

1. अंतरिक्ष यदि दो सदिशों का निकाय रैखिक रूप से आश्रित है, तो या, अर्थात सदिश संरेख हैं। विपरीत भी सही है। तीन अंतरिक्ष सदिशों की एक प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर होती है यदि और केवल यदि वे एक ही तल में स्थित हों। (साबित करें!) चार अंतरिक्ष सदिशों की प्रणाली हमेशा रैखिक रूप से निर्भर होती है। दरअसल, अगर हमारे सिस्टम का कोई सबसिस्टम रैखिक रूप से निर्भर है, तो पूरी प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर है। यदि कोई eigensubsystem रैखिक रूप से निर्भर नहीं है, तो, पिछले एक के अनुसार, इसका मतलब है कि हमारे सिस्टम के तीन वैक्टर एक ही तल पर नहीं हैं। फिर यह ज्यामितीय विचारों से इस प्रकार है कि वास्तविक संख्याएं हैं जैसे कि किनारे-वैक्टर के साथ समानांतर चतुर्भुज में एक विकर्ण होगा, यानी, समानता में

आइए हम रैखिक रिक्त स्थान के गुणों के विवरण के लिए आगे बढ़ें। सबसे पहले, वे इसके तत्वों के बीच संबंधों को शामिल करते हैं।

रैखिक संयोजन वास्तविक संख्या के क्षेत्र में तत्व आरतत्व कहा जाता है

परिभाषा।तत्वों के एक समुच्चय को रैखिक रूप से स्वतंत्र कहा जाता है, यदि समानता से

यह अनिवार्य रूप से इसका अनुसरण करता है। यह स्पष्ट है कि तत्वों का कोई भी भाग रैखिक रूप से स्वतंत्र भी है। यदि इनमें से कम से कम एक है, तो समुच्चय को रैखिक रूप से आश्रित कहा जाता है।

उदाहरणतृतीय.6. मान लीजिए कि एक वेक्टर सेट दिया गया है। उदाहरण के लिए, यदि वैक्टर में से एक है, तो वैक्टर की ऐसी प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर है। दरअसल, समुच्चय,,…,,,…, रैखिक रूप से स्वतंत्र होने दें, तो यह समानता से अनुसरण करता है।

इस सेट में वेक्टर को गुणा करने पर, हमारे पास अभी भी समानता है

इसलिए, सदिशों का समुच्चय, साथ ही साथ कोई भी अन्य तत्व जिसमें एक शून्य तत्व होता है, हमेशा रैखिक रूप से पर निर्भर होता है।

टिप्पणी।यदि वैक्टर का सेट खाली है, तो यह रैखिक रूप से स्वतंत्र है। वास्तव में, यदि कोई सूचकांक नहीं हैं, तो उनके लिए संबंधित गैर-शून्य संख्याओं को चुनना असंभव है ताकि फॉर्म का योग (III.2) 0 के बराबर हो। रैखिक स्वतंत्रता की इस तरह की व्याख्या को एक के रूप में लिया जा सकता है सबूत, खासकर जब से ऐसा परिणाम 11 सिद्धांत के साथ अच्छे समझौते में है।

उपरोक्त के संबंध में, रैखिक स्वतंत्रता की परिभाषा निम्नानुसार तैयार की जा सकती है: तत्वों का एक समूह रैखिक रूप से स्वतंत्र है यदि कोई सूचकांक नहीं है जिसके लिए। विशेष रूप से, यह सेट खाली भी हो सकता है।

उदाहरणतृतीय.7. कोई भी दो स्लाइडिंग वैक्टर रैखिक रूप से निर्भर हैं। याद रखें कि स्लाइडिंग सदिश वे सदिश होते हैं जो एक सीधी रेखा पर स्थित होते हैं। एक इकाई वेक्टर लेते हुए, आप संबंधित वास्तविक संख्या से गुणा करके कोई अन्य वेक्टर प्राप्त कर सकते हैं, यानी, या। इसलिए, पहले से ही एक-आयामी अंतरिक्ष में कोई भी दो वैक्टर रैखिक रूप से निर्भर हैं।

उदाहरणतृतीय.8. बहुपदों के स्थान पर विचार करें, जहाँ ,,,। आइए लिखते हैं

मान लीजिए ,,, हम समान रूप से प्राप्त करते हैं टी

अर्थात् समुच्चय रैखिक रूप से निर्भर है। ध्यान दें कि फॉर्म का कोई भी परिमित सेट रैखिक रूप से स्वतंत्र है। सबूत के लिए मामले पर विचार करें, फिर समानता से

इसकी रैखिक निर्भरता की धारणा के मामले में, यह अनुसरण करेगा कि सभी संख्याएँ शून्य के बराबर नहीं हैं  1 ,  2 ,  3 , जो किसी भी (III.3) के लिए समान है, लेकिन यह बीजगणित के मौलिक प्रमेय का खंडन करता है: कोई भी बहुपद एन-th डिग्री से अधिक नहीं है एनअसली जड़ें। हमारे मामले में, इस समीकरण के केवल दो मूल हैं, और उनकी अनंत संख्या नहीं है। हमें एक विरोधाभास मिला।

§ 2. रैखिक संयोजन। अड्डों

रहने दो । हम कहेंगे कि वहाँ रैखिक संयोजन तत्व।

प्रमेयतृतीय.1 (मुख्य)।गैर-शून्य तत्वों का सेट रैखिक रूप से निर्भर होता है यदि और केवल तभी जब कुछ तत्व पूर्ववर्ती तत्वों का रैखिक संयोजन हो।

प्रमाण. जरुरत. मान लीजिए कि तत्व, ..., रैखिक रूप से निर्भर हैं और मान लीजिए कि पहली प्राकृतिक संख्या है जिसके लिए तत्व, ..., रैखिक रूप से निर्भर हैं, तो

सभी के लिए शून्य के बराबर और जरूरी नहीं (अन्यथा यह गुणांक होगा, जो कहा गया खंडन करेगा)। इसलिए हमारे पास एक रैखिक संयोजन है

पर्याप्ततास्पष्ट है क्योंकि रैखिक रूप से आश्रित समुच्चय वाला प्रत्येक समुच्चय स्वयं रैखिक रूप से आश्रित होता है।

परिभाषा।एक रैखिक स्थान का आधार (समन्वय प्रणाली) लीएक सेट कहा जाता है एरैखिक रूप से स्वतंत्र तत्व, जैसे कि प्रत्येक तत्व लीसे तत्वों का एक रैखिक संयोजन है ए, 11.

हम परिमित-आयामी रैखिक रिक्त स्थान पर विचार करेंगे।

उदाहरणतृतीय.9. एक त्रि-आयामी वेक्टर स्थान पर विचार करें। यूनिट वैक्टर लें,। वे आधार बनाते हैं

आइए हम दिखाते हैं कि वेक्टर रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं। दरअसल, हमारे पास

या । यहाँ से, किसी सदिश को किसी संख्या से गुणा करने और सदिशों के योग के नियमों के अनुसार (उदाहरण III.2), हम प्राप्त करते हैं

इसलिए,,,▼.

आज्ञा देना एक मनमाना अंतरिक्ष सदिश हो; फिर, रैखिक अंतरिक्ष स्वयंसिद्धों के आधार पर, हम प्राप्त करते हैं

इसी तरह का तर्क एक आधार के साथ एक स्थान के लिए मान्य है, . यह मुख्य प्रमेय से इस प्रकार है कि एक मनमाना परिमित-आयामी रैखिक स्थान में लीकिसी भी तत्व को उसके मूल तत्वों के रैखिक संयोजन के रूप में निरूपित किया जा सकता है, ...,, अर्थात।

इसके अलावा, ऐसा अपघटन अद्वितीय है। दरअसल, आइए हम

तो घटाव के बाद हमें मिलता है

इसलिए, तत्वों की स्वतंत्रता के कारण,

यानी .

प्रमेयतृतीय.2 (आधार के अतिरिक्त)।आज्ञा देना एक परिमित-आयामी रैखिक स्थान हो और रैखिक रूप से स्वतंत्र तत्वों का कुछ सेट हो। यदि वे आधार नहीं बनाते हैं, तो ऐसे तत्वों को खोजना संभव है, ...,, जिसमें तत्वों का समूह आधार बनाता है। यही है, एक रैखिक अंतरिक्ष के तत्वों के प्रत्येक रैखिक रूप से स्वतंत्र सेट को एक आधार पर पूरा किया जा सकता है।

प्रमाण. चूंकि अंतरिक्ष परिमित-आयामी है, इसका एक आधार है, उदाहरण के लिए, का एनतत्वों, इन तत्वों को होने दें। तत्वों के एक सेट पर विचार करें।

आइए मुख्य प्रमेय को लागू करें। तत्वों के क्रम में, सेट पर विचार करें ए. यह स्पष्ट रूप से रैखिक रूप से निर्भर है, क्योंकि कोई भी तत्व एक रैखिक संयोजन है,। चूंकि तत्व, ..., रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं, फिर इसमें तत्वों को क्रमिक रूप से तब तक जोड़ना जब तक कि पहला तत्व प्रकट न हो जाए, उदाहरण के लिए, जैसे कि यह इस सेट के पिछले वैक्टर का एक रैखिक संयोजन है, अर्थात। इस तत्व को सेट से हटा रहा है ए, हम पाते हैं । हम इस प्रक्रिया को तब तक जारी रखते हैं जब तक कि इस सेट में शामिल न हो एनरैखिक रूप से स्वतंत्र तत्व, जिनमें से सभी तत्व ,,…, तथा एन-एमतत्वों से। परिणामी सेट आधार होगा।

उदाहरणतृतीय.10. सिद्ध कीजिए कि सदिश, और एक रैखिक रूप से आश्रित समुच्चय बनाते हैं, और उनमें से कोई भी तीन रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं।

आइए हम दिखाते हैं कि ऐसी सभी शून्य संख्याएँ नहीं हैं जिनके लिए

दरअसल, हमारे पास

रैखिक निर्भरता सिद्ध होती है। आइए हम दिखाते हैं कि सदिशों का एक तिहाई, उदाहरण के लिए, एक आधार बनाता है। आइए एक समानता करें

वैक्टर के साथ क्रिया करते हुए, हम प्राप्त करते हैं

अंतिम समानता के दाएं और बाएं हिस्सों में संबंधित निर्देशांक की बराबरी करते हुए, हम समीकरणों की प्रणाली प्राप्त करते हैं, इसे हल करते हुए, हम प्राप्त करते हैं।

एक समान तर्क सदिश , या ,, के शेष त्रिगुणों के लिए मान्य है।

प्रमेयतृतीय.3 (अंतरिक्ष के आयाम पर)।एक परिमित-आयामी रैखिक स्थान के सभी आधार लीमूल तत्वों की समान संख्या से मिलकर बनता है।

प्रमाण. दो सेट दिए जाने दें, जहां;,। हम उनमें से प्रत्येक को दो गुणों में से एक प्रदान करते हैं जो आधार निर्धारित करते हैं: 1) सेट के तत्वों के माध्यम से एसे कोई तत्व ली, 2) सेट के तत्व बीएक रैखिक रूप से स्वतंत्र सेट का प्रतिनिधित्व करते हैं, लेकिन जरूरी नहीं कि वे सभी हों। ली. हम मान लेंगे कि तत्व एऔर बीआदेश दिया।

सेट पर विचार करें एऔर इसके तत्वों पर लागू करें एमबार मुख्य प्रमेय से विधि। चूंकि के तत्व बीरैखिक रूप से स्वतंत्र हैं, तो हम पहले की तरह, एक रैखिक रूप से निर्भर सेट प्राप्त करते हैं

वास्तव में, यदि , तो हमें एक रैखिक रूप से स्वतंत्र समुच्चय प्राप्त होगा, और शेष एनतत्वों को सेट करें बीउनके माध्यम से रैखिक रूप से व्यक्त किया जाएगा, जो असंभव है, जिसका अर्थ है। लेकिन यह भी नहीं हो सकता, क्योंकि निर्माण द्वारा सेट (III.4) में सेट के आधार का गुण होता है ए. क्योंकि अंतरिक्ष लीपरिमित-आयामी, तब केवल , यानी अंतरिक्ष के दो अलग-अलग आधार लीतत्वों की समान संख्या से मिलकर बनता है ।

परिणाम।किसी में एन-आयामी रैखिक स्थान () आप असीम रूप से कई आधार पा सकते हैं।

प्रमाणएक संख्या से एक रैखिक (वेक्टर) स्थान के तत्वों के गुणन के नियम का अनुसरण करता है।

परिभाषा।एक रैखिक स्थान का आयाम लीतत्वों की संख्या है जो इसका आधार बनाते हैं।

यह परिभाषा से निम्नानुसार है कि तत्वों का खाली सेट - एक तुच्छ रैखिक स्थान - का आयाम 0 है, जो, जैसा कि यह ध्यान दिया जाना चाहिए, रैखिक निर्भरता की शब्दावली को सही ठहराता है और हमें यह बताने की अनुमति देता है: एन-आयामी अंतरिक्ष का आयाम है एन, .

इस प्रकार, जो कहा गया है उसे संक्षेप में, हम प्राप्त करते हैं कि का प्रत्येक सेट एन+1 आइटम एन-आयामी रैखिक स्थान रैखिक रूप से निर्भर है; समुच्चय एनएक रैखिक अंतरिक्ष के तत्व एक आधार है यदि और केवल अगर यह रैखिक रूप से स्वतंत्र है (या अंतरिक्ष का प्रत्येक तत्व इसके आधार के तत्वों का एक रैखिक संयोजन है); किसी भी रैखिक स्थान में, आधारों की संख्या अनंत होती है।

उदाहरणतृतीय.11 (क्रोनकर-कैपेली प्रमेय)।

आइए हमारे पास रैखिक बीजीय समीकरणों की एक प्रणाली है

कहाँ पे ए - प्रणाली के गुणांकों का मैट्रिक्स, प्रणाली के गुणांकों का विस्तारित मैट्रिक्स

कहाँ , (III.6)

यह संकेतन समीकरणों की प्रणाली (III.5) के बराबर है।

प्रमेयतृतीय.4 (क्रोनकर - कैपेली)।रैखिक बीजगणितीय समीकरणों (III.5) की प्रणाली सुसंगत है यदि और केवल यदि मैट्रिक्स ए की रैंक मैट्रिक्स की रैंक के बराबर है, अर्थात।

प्रमाण.जरुरत. चलो प्रणाली (III.5) सुसंगत हो, तो इसका एक समाधान है: ,,। (III.6) को ध्यान में रखते हुए, लेकिन इस स्थिति में सदिशों का एक रैखिक संयोजन होता है,,…,। इसलिए, सदिशों के समुच्चय के माध्यम से, कोई भी सदिश को व्यक्त कर सकता है। इसका मतलब है कि।

पर्याप्तता. रहने दो । हम ,,…, में से कोई भी आधार चुनते हैं, तो इसे आधार के माध्यम से रैखिक रूप से व्यक्त किया जाता है (यह सभी वैक्टर और उनके हिस्से दोनों हो सकते हैं) और इस प्रकार, सभी वैक्टरों के माध्यम से। इसका मतलब है कि समीकरणों की प्रणाली संगत है ।

विचार करना एन-आयामी रैखिक स्थान ली. प्रत्येक वेक्टर को एक रैखिक संयोजन के रूप में दर्शाया जा सकता है, जहां सेट में आधार वैक्टर होते हैं। हम रैखिक संयोजन को फॉर्म में फिर से लिखते हैं और तत्वों और उनके निर्देशांक के बीच एक-से-एक पत्राचार स्थापित करते हैं

इसका मतलब है कि बीच एनसदिशों का -आयामी रैखिक सदिश स्थान एनवास्तविक संख्याओं के आयामी क्षेत्र ने एक-से-एक पत्राचार स्थापित किया।

परिभाषा।दो रैखिक रिक्त स्थान और एक ही अदिश क्षेत्र के ऊपर समरूपी यदि उनके तत्वों के बीच एक-से-एक पत्राचार स्थापित करना संभव है एफ, ताकि

अर्थात्, एक समरूपता को एक-से-एक पत्राचार के रूप में समझा जाता है जो सभी रैखिक संबंधों को संरक्षित करता है। यह स्पष्ट है कि आइसोमॉर्फिक रिक्त स्थान का आयाम समान होता है।

यह उदाहरण और समरूपता की परिभाषा से इस प्रकार है कि रैखिकता की समस्याओं के अध्ययन के दृष्टिकोण से, समरूपी रिक्त स्थान समान हैं, इसलिए औपचारिक रूप से के बजायएन-आयामी रैखिक स्थानलीक्षेत्र के ऊपर, केवल क्षेत्र का अध्ययन किया जा सकता है।

कार्य 1।पता लगाएँ कि क्या वैक्टर की प्रणाली रैखिक रूप से स्वतंत्र है। वैक्टर की प्रणाली को सिस्टम के मैट्रिक्स द्वारा परिभाषित किया जाएगा, जिसके कॉलम में वैक्टर के निर्देशांक होते हैं।

फेसला।माना रैखिक संयोजन शून्य के बराबर है। इस समानता को निर्देशांक में लिखने के बाद, हम समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली प्राप्त करते हैं:

समीकरणों की ऐसी प्रणाली को त्रिकोणीय कहा जाता है। इसका एक ही उपाय है। इसलिए, वैक्टर रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं।

कार्य 2.पता लगाएँ कि क्या वैक्टर की प्रणाली रैखिक रूप से स्वतंत्र है।

फेसला।सदिश रैखिकतः स्वतंत्र होते हैं (देखिए समस्या 1)। आइए साबित करें कि वेक्टर वैक्टर का एक रैखिक संयोजन है। वैक्टर में विस्तार गुणांक समीकरणों की प्रणाली से निर्धारित होते हैं

त्रिकोणीय प्रणाली की तरह इस प्रणाली का एक अनूठा समाधान है।

इसलिए, वैक्टर की प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर है।

टिप्पणी. समस्या 1 जैसे आव्यूह कहलाते हैं त्रिकोणीय , और समस्या 2 में - चरणबद्ध त्रिकोणीय . वैक्टर की एक प्रणाली की रैखिक निर्भरता का प्रश्न आसानी से हल हो जाता है यदि इन वैक्टरों के निर्देशांक से बना मैट्रिक्स चरणबद्ध त्रिकोणीय है। यदि मैट्रिक्स का कोई विशेष रूप नहीं है, तो उपयोग करना प्राथमिक स्ट्रिंग परिवर्तन , स्तंभों के बीच रैखिक संबंधों को बनाए रखते हुए, इसे चरणबद्ध त्रिकोणीय रूप में कम किया जा सकता है।

प्राथमिक स्ट्रिंग परिवर्तनमैट्रिक्स (EPS) को मैट्रिक्स पर निम्नलिखित ऑपरेशन कहा जाता है:

1) लाइनों का क्रमपरिवर्तन;

2) एक स्ट्रिंग को एक गैर-शून्य संख्या से गुणा करना;

3) स्ट्रिंग में एक और स्ट्रिंग जोड़ना, एक मनमानी संख्या से गुणा करना।

कार्य 3.अधिकतम रैखिक रूप से स्वतंत्र सबसिस्टम खोजें और वैक्टर की प्रणाली के रैंक की गणना करें

फेसला।आइए हम ईपीएस की मदद से सिस्टम के मैट्रिक्स को चरणबद्ध-त्रिकोणीय रूप में कम करें। प्रक्रिया की व्याख्या करने के लिए, रूपांतरित होने वाले मैट्रिक्स की संख्या वाली रेखा को प्रतीक द्वारा दर्शाया जाएगा। तीर के बाद का कॉलम नए मैट्रिक्स की पंक्तियों को प्राप्त करने के लिए परिवर्तित मैट्रिक्स की पंक्तियों पर की जाने वाली क्रियाओं को दिखाता है।

जाहिर है, परिणामी मैट्रिक्स के पहले दो कॉलम रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं, तीसरा कॉलम उनका रैखिक संयोजन है, और चौथा पहले दो पर निर्भर नहीं है। वैक्टर को बेसिक कहा जाता है। वे सिस्टम का अधिकतम रैखिक रूप से स्वतंत्र सबसिस्टम बनाते हैं, और सिस्टम का रैंक तीन होता है।

आधार, निर्देशांक

कार्य 4.इस आधार पर सदिशों का आधार और निर्देशांक ज्यामितीय सदिशों के समुच्चय पर ज्ञात कीजिए जिनके निर्देशांक शर्त को पूरा करते हैं।

फेसला. सेट मूल से गुजरने वाला एक विमान है। समतल पर एक मनमाना आधार में दो असंरेखीय सदिश होते हैं। चयनित आधार में वैक्टर के निर्देशांक रैखिक समीकरणों की संबंधित प्रणाली को हल करके निर्धारित किए जाते हैं।

इस समस्या को हल करने का एक और तरीका है, जब आप निर्देशांक द्वारा आधार ढूंढ सकते हैं।

अंतरिक्ष निर्देशांक विमान पर निर्देशांक नहीं हैं, क्योंकि वे संबंध से संबंधित हैं, अर्थात वे स्वतंत्र नहीं हैं। स्वतंत्र चर और (उन्हें मुक्त कहा जाता है) विमान पर वेक्टर को विशिष्ट रूप से निर्धारित करते हैं और इसलिए, उन्हें निर्देशांक के रूप में चुना जा सकता है। फिर आधार में वैक्टर होते हैं और मुक्त चर के सेट के अनुरूप होते हैं और, यानी,।

कार्य 5.अंतरिक्ष में सभी सदिशों के समुच्चय पर इस आधार पर सदिशों का आधार और निर्देशांक ज्ञात कीजिए, जिनके विषम निर्देशांक एक दूसरे के बराबर हैं।

फेसला. पिछली समस्या की तरह, हम अंतरिक्ष में निर्देशांक चुनते हैं।

चूंकि, मुक्त चर विशिष्ट रूप से सदिश को निर्धारित करते हैं और इसलिए, निर्देशांक हैं। संबंधित आधार में वैक्टर होते हैं।

कार्य 6.फॉर्म के सभी मैट्रिक्स के सेट पर इस आधार पर वैक्टर के आधार और निर्देशांक खोजें, जहां मनमानी संख्याएं हैं।

फेसला. से प्रत्येक मैट्रिक्स को विशिष्ट रूप से दर्शाया जा सकता है:

यह संबंध निर्देशांक के साथ आधार के संदर्भ में वेक्टर का विस्तार है।

टास्क 7.वैक्टर की एक प्रणाली के रैखिक अवधि के आयाम और आधार का पता लगाएं

फेसला।ईपीएस का उपयोग करते हुए, हम मैट्रिक्स को सिस्टम वैक्टर के निर्देशांक से एक चरणबद्ध-त्रिकोणीय रूप में बदलते हैं।

अंतिम मैट्रिक्स के कॉलम रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं, और कॉलम उनके माध्यम से रैखिक रूप से व्यक्त किए जाते हैं। इसलिए, वैक्टर एक आधार बनाते हैं, और।

टिप्पणी. में आधार अस्पष्ट रूप से चुना जाता है। उदाहरण के लिए, वैक्टर भी एक आधार बनाते हैं।

मान लीजिए कि अदिश का क्षेत्र है और F इसका आधार समुच्चय है। चलो - -आयामी अंकगणितीय स्थान खत्म हो गया - अंतरिक्ष वैक्टर की मनमानी प्रणाली

परिभाषा। वैक्टर की एक प्रणाली का एक रैखिक संयोजन उस रूप का योग है जहां . अदिश रैखिक संयोजन के गुणांक कहलाते हैं। एक रैखिक संयोजन को गैर-तुच्छ कहा जाता है यदि इसका कम से कम एक गुणांक गैर-शून्य है। एक रैखिक संयोजन को तुच्छ कहा जाता है यदि इसके सभी गुणांक शून्य के बराबर हों।

परिभाषा। एक प्रणाली के सदिशों के सभी रैखिक संयोजनों के समुच्चय को इस प्रणाली का रैखिक स्पैन कहा जाता है और इसे द्वारा निरूपित किया जाता है। एक खाली प्रणाली की रैखिक अवधि को एक शून्य वेक्टर से युक्त एक सेट माना जाता है।

तो, परिभाषा के अनुसार,

यह देखना आसान है कि सदिशों की दी गई प्रणाली की रैखिक अवधि सदिश जोड़, सदिश घटाव, और अदिशों द्वारा सदिशों के गुणन के संचालन के तहत बंद है।

परिभाषा। वैक्टर की एक प्रणाली को रैखिक रूप से स्वतंत्र कहा जाता है, यदि किसी भी अदिश के लिए, समानता से समानताएं आती हैं। खाली वेक्टर सिस्टम

रैखिक रूप से स्वतंत्र माना जाता है।

दूसरे शब्दों में, वैक्टर की एक परिमित प्रणाली रैखिक रूप से स्वतंत्र होती है यदि और केवल अगर सिस्टम में वैक्टर का कोई गैर-तुच्छ रैखिक संयोजन शून्य वेक्टर के बराबर नहीं है।

परिभाषा। वैक्टर की एक प्रणाली को रैखिक रूप से निर्भर कहा जाता है यदि सभी स्केलर शून्य के बराबर नहीं हैं जैसे कि

दूसरे शब्दों में, वैक्टर की एक परिमित प्रणाली को रैखिक रूप से निर्भर कहा जाता है यदि शून्य वेक्टर के बराबर सिस्टम के वैक्टर का एक गैर-तुच्छ रैखिक संयोजन मौजूद है।

वेक्टर सिस्टम

सदिश समष्टि के इकाई सदिशों का निकाय कहलाता है। सदिशों की यह प्रणाली रैखिकतः स्वतंत्र है। दरअसल, किसी भी अदिश राशि के लिए समानता का अर्थ समानता है, और इसलिए समानताएं

रैखिक निर्भरता और वैक्टर की एक प्रणाली की स्वतंत्रता के गुणों पर विचार करें।

संपत्ति 1.1. शून्य वेक्टर वाले वैक्टर की प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर है।

प्रमाण। यदि वैक्टर की प्रणाली में वैक्टर में से एक, उदाहरण के लिए, वेक्टर शून्य है, तो सिस्टम के वैक्टर का रैखिक संयोजन, जिनमें से सभी गुणांक शून्य हैं, गुणांक को छोड़कर, शून्य वेक्टर के बराबर है। इसलिए, वैक्टर की ऐसी प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर है।

संपत्ति 1.2. वैक्टर की एक प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर होती है यदि इसका कोई सबसिस्टम रैखिक रूप से निर्भर होता है।

प्रमाण। आज्ञा देना प्रणाली का एक रैखिक रूप से निर्भर उपतंत्र हो, और कम से कम एक गुणांक को गैर-शून्य होने दें। फिर नतीजतन, वैक्टर की प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर है।

परिणाम। रैखिक रूप से स्वतंत्र प्रणाली का कोई भी उपतंत्र रैखिक रूप से स्वतंत्र होता है।

संपत्ति 1.3. वेक्टर सिस्टम

जिसमें रैखिक रूप से निर्भर है यदि और केवल यदि कम से कम एक वैक्टर पूर्ववर्ती वैक्टर का एक रैखिक संयोजन है।

प्रमाण। सिस्टम (1) को रैखिक रूप से निर्भर होने दें और फिर ऐसे स्केलर मौजूद हैं जो शून्य के बराबर नहीं हैं जैसे कि

शर्त को संतुष्ट करने वाली सबसे बड़ी संख्या k से निरूपित करें। तब समानता (2) को इस प्रकार लिखा जा सकता है

ध्यान दें कि अन्यथा के लिए, इसलिए, चूंकि . से (3) समानता का अनुसरण करता है

आइए अब मान लें कि सदिश अपने पूर्ववर्ती सदिशों का एक रेखीय संयोजन है, अर्थात् तब, अर्थात, निकाय का उपतंत्र (1) रैखिक रूप से निर्भर है। इसलिए, संपत्ति 1.2 से, मूल प्रणाली (1) भी रैखिक रूप से निर्भर है।

संपत्ति 1.4. यदि वैक्टर की प्रणाली रैखिक रूप से स्वतंत्र है, और वैक्टर की प्रणाली

रैखिक रूप से निर्भर है, तो वेक्टर वी वैक्टर के संदर्भ में रैखिक रूप से व्यक्त किया जाता है

और एक अनोखे तरीके से।

प्रमाण। धारणा के अनुसार, सिस्टम (2) रैखिक रूप से निर्भर है, यानी, ऐसे स्केलर हैं जो सभी शून्य के बराबर नहीं हैं, जैसे कि

इसके अलावा, जिस पर सिस्टम की रैखिक स्वतंत्रता (1) का खंडन करता है। से (3) समानता का अनुसरण करता है

प्रणाली की रैखिक स्वतंत्रता के आधार पर (1), इसका तात्पर्य है कि

संपत्ति 1.5. अगर

प्रमाण। शर्त का मतलब है कि ऐसे अदिशियां हैं जो

शर्त का मतलब है कि ऐसे अदिशियां हैं जो

(1) और (2) के आधार पर हम प्राप्त करते हैं

प्रमेय 1.2. यदि एक

तो वैक्टर की प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर है। सबूत (प्रेरण द्वारा किया गया)।

वैक्टर की प्रणाली को कहा जाता है रैखिक रूप से आश्रित, यदि ऐसी संख्याएँ हैं, जिनमें से कम से कम एक शून्य से भिन्न है, तो वह समानता https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif" width="57" height="24 src =" >.

यदि यह समानता केवल तभी धारण करती है जब सभी , तो सदिशों का निकाय कहलाता है रैखिक रूप से स्वतंत्र.

प्रमेय।वैक्टर की प्रणाली होगी रैखिक रूप से आश्रितयदि और केवल यदि इसका कम से कम एक सदिश अन्य का रैखिक संयोजन है।

उदाहरण 1बहुपद बहुपदों का एक रैखिक संयोजन है https://pandia.ru/text/78/624/images/image010_46.gif" width="88 height=24" height="24">। बहुपद एक रैखिक रूप से स्वतंत्र प्रणाली का गठन करते हैं, चूंकि https बहुपद ://pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" width="129" height="24">.

उदाहरण 2मैट्रिक्स सिस्टम, https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" width="51" height="48 src="> रैखिक रूप से स्वतंत्र है, क्योंकि रैखिक संयोजन के बराबर है शून्य मैट्रिक्स केवल तभी जब https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif" width="69" height="21">, https://pandia.ru/text/78/ 624 /images/image022_26.gif" width="40" height="21"> रैखिक रूप से निर्भर।

फेसला।

इन वैक्टरों का एक रैखिक संयोजन लिखें https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" width="97" height="24">=0..gif" width="360" ऊंचाई =" 22 ">।

समान सदिशों के समान-नामित निर्देशांकों की तुलना करते हुए, हमें प्राप्त होता है https://pandia.ru/text/78/624/images/image027_24.gif" width="289" height="69">

अंत में हमें मिलता है

सिस्टम का एक अनूठा तुच्छ समाधान है, इसलिए इन वैक्टरों का रैखिक संयोजन केवल शून्य है यदि सभी गुणांक शून्य हैं। इसलिए, वैक्टर की यह प्रणाली रैखिक रूप से स्वतंत्र है।

उदाहरण 4वैक्टर रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं। वैक्टर के सिस्टम क्या होंगे

फेसला।

ए)।एक रैखिक संयोजन की रचना करें और इसे शून्य के बराबर करें

रैखिक अंतरिक्ष में वैक्टर के साथ संचालन के गुणों का उपयोग करते हुए, हम अंतिम समानता को फॉर्म में फिर से लिखते हैं

चूँकि सदिश रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं, के लिए गुणांक शून्य के बराबर होना चाहिए, अर्थात..gif" width="12" height="23 src=">

समीकरणों की परिणामी प्रणाली का एक अनूठा तुच्छ समाधान है।

समानता के बाद से (*) केवल https://pandia.ru/text/78/624/images/image031_26.gif" width="115 height=20" height="20"> पर निष्पादित - रैखिक रूप से स्वतंत्र;

बी)।समानता लिखें https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" width="265" height="24 src="> (**)

इसी तरह के तर्क को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं

गॉस विधि द्वारा समीकरणों के निकाय को हल करने पर, हम प्राप्त करते हैं

अंतिम प्रणाली में अनंत समाधान हैं https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" width="149" height="24 src=">। इस प्रकार, एक गैर- गुणांक का शून्य सेट जिसके लिए समानता (**) . इसलिए, वैक्टर की प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर है।

उदाहरण 5वेक्टर सिस्टम रैखिक रूप से स्वतंत्र है, और वेक्टर सिस्टम रैखिक रूप से निर्भर है..gif" width="80" height="24">.gif" width="149 height=24" height="24"> (***)

समानता में (***) . दरअसल, के लिए, सिस्टम रैखिक रूप से निर्भर होगा।

रिश्ते से (***) हम पाते हैं या निरूपित करते हैं।

स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य (कक्षा में)

1. एक शून्य वेक्टर वाला सिस्टम रैखिक रूप से निर्भर होता है।

2. सिंगल वेक्टर सिस्टम ए, रैखिक रूप से निर्भर है यदि और केवल यदि, ए = 0.

3. दो वैक्टरों से युक्त एक प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर होती है यदि और केवल तभी वेक्टर आनुपातिक होते हैं (अर्थात, उनमें से एक दूसरे से एक संख्या से गुणा करके प्राप्त किया जाता है)।

4. यदि एक रैखिक रूप से निर्भर प्रणाली में एक वेक्टर जोड़ा जाता है, तो एक रैखिक रूप से निर्भर प्रणाली प्राप्त होती है।

5. यदि एक रैखिक रूप से स्वतंत्र प्रणाली से एक वेक्टर को हटा दिया जाता है, तो वैक्टर की परिणामी प्रणाली रैखिक रूप से स्वतंत्र होती है।

6. अगर सिस्टम एसरैखिक रूप से स्वतंत्र, लेकिन एक वेक्टर जोड़े जाने पर रैखिक रूप से निर्भर हो जाता है बी, फिर वेक्टर बीसिस्टम के वैक्टर के संदर्भ में रैखिक रूप से व्यक्त किया गया एस.

सी)।दूसरे क्रम के आव्यूहों के स्थान में आव्यूहों की प्रणाली।

10. चलो वैक्टर की प्रणाली ए,बी,सीवेक्टर अंतरिक्ष रैखिक रूप से स्वतंत्र है। वैक्टर की निम्नलिखित प्रणालियों की रैखिक स्वतंत्रता साबित करें:

ए)।ए+बी, बी, सी।

बी)।ए+https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" width="15" height="19">–मनमाना संख्या

सी)।ए+बी, ए+सी, बी+सी।

11. रहने दो ए,बी,सीतल में तीन सदिश हैं जिनका उपयोग त्रिभुज बनाने के लिए किया जा सकता है। क्या ये वेक्टर रैखिक रूप से निर्भर होंगे?

12. दो वैक्टर दिए गए a1=(1, 2, 3, 4),a2=(0, 0, 0, 1). दो और 4D वैक्टर उठाओ ए3 औरए4ताकि सिस्टम ए1,ए 2,ए 3,ए4रैखिक रूप से स्वतंत्र था .