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फैलाव शब्द का अर्थ

क्रॉसवर्ड डिक्शनरी में भिन्नता

शब्दों की आर्थिक शब्दावली

फैलाव

एक मान जो इस नमूने के औसत मूल्य के सापेक्ष एक सांख्यिकीय नमूने (यादृच्छिक चर) में व्यक्तिगत प्रतिभागियों के मात्रात्मक माप के फैलाव की डिग्री को दर्शाता है।

रूसी भाषा का व्याख्यात्मक शब्दकोश। डी.एन. उशाकोव

फैलाव

फैलाव, pl। अभी। (लैटिन फैलाव)।

अपवर्तक माध्यम (ऑप्टि.) से गुजरने पर विभिन्न रंगों की प्रकाश किरणों का विचलन।

पदार्थ के अधिक या कम विखंडन की अवस्था (स्था।)

रूसी भाषा का नया व्याख्यात्मक और व्युत्पन्न शब्दकोश, टी। एफ। एफ्रेमोवा।

फैलाव

कुंआ। अपघटन, फैलाव, पृथक्करण।

विश्वकोश शब्दकोश, 1998

फैलाव

गणितीय सांख्यिकी और संभाव्यता सिद्धांत में फैलाव (अक्षांश से। फैलाव - बिखरने से), फैलाव का एक उपाय (माध्य से विचलन)। आँकड़ों में, विचरण उनके अंकगणितीय माध्य से एक यादृच्छिक चर के प्रेक्षित मानों (x1, x2,...,xn) के वर्ग विचलन का अंकगणितीय माध्य है। संभाव्यता सिद्धांत में, एक यादृच्छिक चर का विचरण इसकी गणितीय अपेक्षा से एक यादृच्छिक चर के वर्ग विचलन की गणितीय अपेक्षा है।

फैलाव

(अक्षांश से। फैलाव फैलाव), गणितीय सांख्यिकी और संभाव्यता सिद्धांत में, फैलाव का सबसे सामान्य उपाय, यानी, माध्य से विचलन। सांख्यिकीय अर्थ में, डी।

उनके अंकगणितीय माध्य से xi के मानों के वर्ग विचलन का अंकगणितीय माध्य है

संभाव्यता सिद्धांत में, एक यादृच्छिक चर X को गणितीय अपेक्षा E (X mx)2 कहा जाता है, जो कि X के गणितीय अपेक्षा mx = E (X) से विचलन के वर्ग का है। एक यादृच्छिक चर X का d. D(X) या s2X द्वारा निरूपित किया जाता है। D. का वर्गमूल (अर्थात, s, यदि D. s2 है) को मानक विचलन (वर्ग विचलन देखें) कहा जाता है।

एक यादृच्छिक चर एक्स के लिए एक सतत संभाव्यता वितरण के साथ एक संभाव्यता घनत्व पी (एक्स) द्वारा विशेषता, डी की गणना सूत्र द्वारा की जाती है

अवलोकन के परिणामों के आधार पर डी. के आकलन के लिए, सांख्यिकीय अनुमान देखें।

संभाव्यता सिद्धांत में, प्रमेय का बहुत महत्व है: स्वतंत्र शब्दों के योग का मूल्य उनके मूल्य के योग के बराबर है। चेबीशेव असमानता कोई कम महत्वपूर्ण नहीं है, जो एक यादृच्छिक के बड़े विचलन की संभावना का अनुमान लगाना संभव बनाता है इसकी गणितीय अपेक्षा से चर X।

लिट।: गेडेन्को बी.वी., कोर्स ऑफ़ प्रोबेबिलिटी थ्योरी, 5 वां संस्करण।, एम।, 1969।

विकिपीडिया

फैलाव

फैलावसंदर्भ के आधार पर इसका अर्थ हो सकता है:

• तरंग फैलाव - भौतिकी में, इसकी आवृत्ति पर तरंग के चरण वेग की निर्भरता, वे भेद करते हैं:
  • प्रकाश फैलाव
  • ध्वनि फैलाव
• फैलाव कानून भौतिकी में एक कानून है जो इसकी आवृत्ति पर एक तरंग के चरण वेग की निर्भरता को व्यक्त करता है।
• एक यादृच्छिक चर का फैलाव एक यादृच्छिक चर की औसत विशेषताओं में से एक है।
• फैलाव - दो या दो से अधिक चरणों का निर्माण जो बिल्कुल या व्यावहारिक रूप से मिश्रित नहीं होते हैं और एक दूसरे के साथ रासायनिक रूप से प्रतिक्रिया नहीं करते हैं
• फैलाव एक शब्द है जो जनसंख्या में लक्षणों की विविधता को दर्शाता है।
• फैलाव
• दूसरा चिपचिपापन फैलाव

फैलाव (जीव विज्ञान)

फैलावएक शब्द है जो जनसंख्या में लक्षणों की विविधता को दर्शाता है।

जनसंख्या की मात्रात्मक विशेषताओं में से एक। विवरण के लिए अलैंगिकऔर उभयलिंगीआबादी, प्रत्येक सुविधा के लिए भिन्नताओं को छोड़कर ( σ ) आपको व्यक्तियों की संख्या जानने की भी आवश्यकता है ( एन) और सुविधाओं के माध्य मान ( x).

पर dioeciousजनसंख्या, प्रत्येक लिंग का अपना विचरण होता है - . अन्य पैरामीटर व्यक्तियों की संख्या हैं ( एन), लिंग अनुपात और यौन द्विरूपता।

साहित्य में फैलाव शब्द के उपयोग के उदाहरण।

इसमें विवर्तन, हस्तक्षेप, ध्रुवीकरण, विषम पर वुड के लगभग असंख्य परिणाम शामिल हैं फैलाव, अवशोषण।

रास्ते में की गई सभी गणनाओं के बाद, अनगिनत सुधारों और गणनाओं की जाँच के बाद, इरविन आसानी से गणितीय अपेक्षा की गणना कर सकता था और फैलावएक और भाग्यशाली व्यक्ति के लकी द्वीपों पर उपस्थिति का समय जो बच गया था - और परिणाम की भविष्यवाणी करते हुए, गणना शुरू करने के लिए खुद को नहीं ला सका।

सोचने के लिए सामान्य है फैलावनींद, दिवास्वप्न, अतार्किकता, केंद्रीय नियंत्रण के बिना विभिन्न विचार केंद्रों की एक साथ कार्रवाई।

अवशोषण, प्रतिदीप्ति, चुंबकीय रोटेशन और विषम फैलावपारा वाष्प।

जूलियस, एक डच खगोलशास्त्री, जिन्होंने बोल्ड सिद्धांत को सामने रखा कि क्रोमोस्फेरिक विस्फोट का स्पेक्ट्रम एक विसंगति के कारण होता है फैलावसूर्य की तरल सतह से निकलने वाली सफेद रोशनी।

मैडिसन में व्याख्यान देते समय, मैं विसंगति की बात पर पहुँच गया फैलावमीडिया को दृढ़ता से अवशोषित करने के कारण।

फिर मैंने अपना लंबा गैस बर्नर निकाला और आधे घंटे के बाद मैंने एक विसंगति के साथ एक प्रदर्शन किया फैलावएक लंबी सोडियम वाष्प ट्यूब में।

साइनाइन प्रिज्म पर और विषम प्रदर्शित करने की एक नई विधि फैलाव.

विषम के बारे में फैलाव, नाइट्रोसोडिमेथिलैनिलिन का अवशोषण और सतह का रंगाई पर टिप्पणी के साथ फैलावटोलुइन

असामान्य की मात्रा फैलावदृश्य और पराबैंगनी क्षेत्रों में सोडियम वाष्प।

मैं तेजी से उच्च आवृत्ति वाले मैट्रिक्स का उपयोग करता हूं फैलावऔर द्विध्रुवी एम्पलीफायरों।

एक यादृच्छिक चर का फैलाव इस चर के मूल्यों के प्रसार का एक उपाय है। छोटे विचरण का अर्थ है कि मान एक दूसरे के करीब क्लस्टर किए गए हैं। एक बड़ा विचरण मूल्यों के एक मजबूत बिखराव को इंगित करता है। एक यादृच्छिक चर के फैलाव की अवधारणा का उपयोग सांख्यिकी में किया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि आप दो मात्राओं के मूल्यों के विचरण की तुलना करते हैं (जैसे कि पुरुष और महिला रोगियों के अवलोकन के परिणाम), तो आप कुछ चर के महत्व का परीक्षण कर सकते हैं। सांख्यिकीय मॉडल बनाते समय भिन्नता का भी उपयोग किया जाता है, क्योंकि छोटा विचरण इस बात का संकेत हो सकता है कि आप मूल्यों से अधिक हैं।

कदम

नमूना प्रसरण गणना

1. नमूना मान रिकॉर्ड करें।ज्यादातर मामलों में, सांख्यिकीविदों के लिए केवल कुछ आबादी के नमूने ही उपलब्ध होते हैं। उदाहरण के लिए, एक नियम के रूप में, सांख्यिकीविद रूस में सभी कारों की आबादी को बनाए रखने की लागत का विश्लेषण नहीं करते हैं - वे कई हजार कारों के यादृच्छिक नमूने का विश्लेषण करते हैं। ऐसा नमूना प्रति कार औसत लागत निर्धारित करने में मदद करेगा, लेकिन सबसे अधिक संभावना है, परिणामी मूल्य वास्तविक से बहुत दूर होगा।

   • उदाहरण के लिए, आइए यादृच्छिक क्रम में लिए गए 6 दिनों में एक कैफे में बेचे गए बन्स की संख्या का विश्लेषण करें। नमूने का निम्न रूप है: 17, 15, 23, 7, 9, 13. यह एक नमूना है, जनसंख्या नहीं, क्योंकि हमारे पास प्रत्येक दिन के लिए बेचे जाने वाले बन्स का डेटा नहीं है, कैफे खुला है।
   • यदि आपको जनसंख्या दी गई है और मूल्यों का नमूना नहीं दिया गया है, तो अगले भाग पर जाएं।

2. नमूना विचरण की गणना के लिए सूत्र लिखिए।फैलाव कुछ मात्रा के मूल्यों के प्रसार का एक उपाय है। फैलाव मान शून्य के जितना करीब होता है, मानों को एक साथ समूहीकृत किया जाता है। मूल्यों के नमूने के साथ काम करते समय, विचरण की गणना के लिए निम्न सूत्र का उपयोग करें:

   • एस 2 (\displaystyle एस^(2)) = ∑[(x i (\displaystyle x_(i))-एक्स) 2 (\displaystyle ^(2))] / (एन -1)
   • एस 2 (\displaystyle एस^(2))फैलाव है। फैलाव को वर्ग इकाइयों में मापा जाता है।
   • x i (\displaystyle x_(i))- नमूने में प्रत्येक मान।
   • x i (\displaystyle x_(i))आपको x̅ घटाना है, उसका वर्ग करना है, और फिर परिणाम जोड़ना है।
   • x̅ - नमूना माध्य (नमूना माध्य)।
   • n नमूने में मानों की संख्या है।

3. नमूना माध्य की गणना करें।इसे x̅ के रूप में दर्शाया गया है। नमूना माध्य की गणना सामान्य अंकगणितीय माध्य की तरह की जाती है: नमूने में सभी मानों को जोड़ें, और फिर परिणाम को नमूने में मानों की संख्या से विभाजित करें।

   • हमारे उदाहरण में, नमूने में मान जोड़ें: 15 + 17 + 23 + 7 + 9 + 13 = 84
     अब परिणाम को नमूने में मानों की संख्या से विभाजित करें (हमारे उदाहरण में 6 हैं): 84 6 = 14.
     प्रतिदर्श माध्य x̅ = 14.
   • नमूना माध्य केंद्रीय मान है जिसके चारों ओर नमूने में मान वितरित किए जाते हैं। यदि नमूना क्लस्टर में नमूने के आसपास के मूल्यों का मतलब है, तो विचरण छोटा है; अन्यथा, फैलाव बड़ा है।

4. नमूने में प्रत्येक मान से नमूना माध्य घटाएं।अब अंतर की गणना करें x i (\displaystyle x_(i))- x̅, जहां x i (\displaystyle x_(i))- नमूने में प्रत्येक मान। प्रत्येक परिणाम नमूना माध्य से किसी विशेष मान के विचलन की डिग्री को इंगित करता है, अर्थात यह मान नमूना माध्य से कितनी दूर है।

   • हमारे उदाहरण में:
     x 1 (\displaystyle x_(1))- x̅ = 17 - 14 = 3
     x 2 (\displaystyle x_(2))- x̅ = 15 - 14 = 1
     x 3 (\displaystyle x_(3))- x̅ = 23 - 14 = 9
     x 4 (\displaystyle x_(4))- x̅ = 7 - 14 = -7
     x 5 (\displaystyle x_(5))- x̅ = 9 - 14 = -5
     x 6 (\displaystyle x_(6))- x̅ = 13 - 14 = -1
   • प्राप्त परिणामों की शुद्धता को सत्यापित करना आसान है, क्योंकि उनका योग शून्य के बराबर होना चाहिए। यह औसत मान के निर्धारण से संबंधित है, क्योंकि ऋणात्मक मान (औसत मान से छोटे मानों की दूरी) पूरी तरह से सकारात्मक मानों (औसत मान से बड़े मानों की दूरी) से ऑफसेट होते हैं।

5. जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, मतभेदों का योग x i (\displaystyle x_(i))- x̅ शून्य के बराबर होना चाहिए। इसका अर्थ है कि माध्य विचरण हमेशा शून्य होता है, जिससे किसी मात्रा के मूल्यों के प्रसार का कोई अंदाजा नहीं होता है। इस समस्या को हल करने के लिए, प्रत्येक अंतर का वर्ग करें x i (\displaystyle x_(i))- एक्स। इसका परिणाम यह होगा कि आपको केवल धनात्मक संख्याएँ प्राप्त होंगी, जिन्हें एक साथ जोड़ने पर, कभी भी 0 का योग नहीं होगा।

   • हमारे उदाहरण में:
     (x 1 (\displaystyle x_(1))-एक्स) 2 = 3 2 = 9 (\displaystyle ^(2)=3^(2)=9)
     (x 2 (\displaystyle (x_(2))-एक्स) 2 = 1 2 = 1 (\displaystyle ^(2)=1^(2)=1)
     9 2 = 81
     (-7) 2 = 49
     (-5) 2 = 25
     (-1) 2 = 1
   • आपको अंतर का वर्ग मिल गया है - x̅) 2 (\displaystyle ^(2))नमूने में प्रत्येक मान के लिए।

6. वर्ग अंतर के योग की गणना करें।अर्थात्, सूत्र का वह भाग ज्ञात कीजिए जो इस प्रकार लिखा गया है: [( x i (\displaystyle x_(i))-एक्स) 2 (\displaystyle ^(2))]. यहाँ चिह्न का अर्थ है प्रत्येक मान के लिए चुकता अंतरों का योग x i (\displaystyle x_(i))नमूने में। आप पहले ही चुकता अंतर पा चुके हैं (x i (\displaystyle (x_(i)))-एक्स) 2 (\displaystyle ^(2))प्रत्येक मान के लिए x i (\displaystyle x_(i))नमूने में; अब बस इन वर्गों को जोड़ें।

   • हमारे उदाहरण में: 9 + 1 + 81 + 49 + 25 + 1 = 166 .

7. परिणाम को n-1 से विभाजित करें, जहां n नमूने में मानों की संख्या है।कुछ समय पहले, नमूना विचरण की गणना करने के लिए, सांख्यिकीविदों ने परिणाम को n से विभाजित किया; इस मामले में, आपको वर्ग विचरण का माध्य मिलेगा, जो किसी दिए गए नमूने के विचरण का वर्णन करने के लिए आदर्श है। लेकिन याद रखें कि कोई भी नमूना मूल्यों की सामान्य आबादी का केवल एक छोटा सा हिस्सा है। यदि आप एक अलग नमूना लेते हैं और समान गणना करते हैं, तो आपको एक अलग परिणाम मिलेगा। जैसा कि यह पता चला है, n - 1 (सिर्फ n के बजाय) से विभाजित करने से जनसंख्या विचरण का बेहतर अनुमान मिलता है, जो कि आप के बाद है। n-1 से भाग देना आम बात हो गई है, इसलिए इसे नमूना प्रसरण की गणना के सूत्र में शामिल किया गया है।

   • हमारे उदाहरण में, नमूने में 6 मान शामिल हैं, अर्थात n = 6।
     नमूना विचरण = s 2 = 166 6 - 1 = (\displaystyle s^(2)=(\frac (166)(6-1))=) 33,2

8. विचरण और मानक विचलन के बीच का अंतर।ध्यान दें कि सूत्र में एक घातांक होता है, इसलिए विचरण को विश्लेषण किए गए मान की वर्ग इकाइयों में मापा जाता है। कभी-कभी ऐसा मूल्य संचालित करना काफी कठिन होता है; ऐसे मामलों में, मानक विचलन का उपयोग किया जाता है, जो विचरण के वर्गमूल के बराबर होता है। यही कारण है कि नमूना विचरण को के रूप में दर्शाया गया है एस 2 (\displaystyle एस^(2)), और नमूना मानक विचलन के रूप में s (\displaystyle s).

   • हमारे उदाहरण में, नमूना मानक विचलन है: s = √33.2 = 5.76।

   जनसंख्या विचरण गणना

   1. मूल्यों के कुछ सेट का विश्लेषण करें।सेट में विचाराधीन मात्रा के सभी मान शामिल हैं। उदाहरण के लिए, यदि आप लेनिनग्राद क्षेत्र के निवासियों की आयु का अध्ययन कर रहे हैं, तो जनसंख्या में इस क्षेत्र के सभी निवासियों की आयु शामिल है। समुच्चय के साथ काम करने के मामले में, एक तालिका बनाने और उसमें समुच्चय के मूल्यों को दर्ज करने की सिफारिश की जाती है। निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें:

      • एक निश्चित कमरे में 6 एक्वैरियम हैं। प्रत्येक एक्वेरियम में निम्नलिखित संख्या में मछलियाँ होती हैं:
        x 1 = 5 (\displaystyle x_(1)=5)
        x 2 = 5 (\displaystyle x_(2)=5)
        x 3 = 8 (\displaystyle x_(3)=8)
        x 4 = 12 (\displaystyle x_(4)=12)
        x 5 = 15 (\displaystyle x_(5)=15)
        x 6 = 18 (\displaystyle x_(6)=18)

   2. जनसंख्या प्रसरण की गणना के लिए सूत्र लिखिए।चूंकि जनसंख्या में एक निश्चित मात्रा के सभी मान शामिल होते हैं, इसलिए निम्न सूत्र आपको जनसंख्या के विचरण का सटीक मान प्राप्त करने की अनुमति देता है। नमूना भिन्नता (जो केवल एक अनुमान है) से जनसंख्या भिन्नता को अलग करने के लिए, सांख्यिकीविद विभिन्न चर का उपयोग करते हैं:

      • σ 2 (\displaystyle ^(2)) = (∑(x i (\displaystyle x_(i)) - μ) 2 (\displaystyle ^(2))) / एन
      • σ 2 (\displaystyle ^(2))- जनसंख्या भिन्नता ("सिग्मा चुकता" के रूप में पढ़ें)। फैलाव को वर्ग इकाइयों में मापा जाता है।
      • x i (\displaystyle x_(i))- कुल में प्रत्येक मूल्य।
      • राशि का चिन्ह है। यानी प्रत्येक मान के लिए x i (\displaystyle x_(i))μ घटाएं, इसका वर्ग करें, और फिर परिणाम जोड़ें।
      • μ जनसंख्या माध्य है।
      • n सामान्य जनसंख्या में मूल्यों की संख्या है।

   3. जनसंख्या माध्य की गणना करें।सामान्य आबादी के साथ काम करते समय, इसका औसत मूल्य μ (म्यू) के रूप में दर्शाया जाता है। जनसंख्या माध्य की गणना सामान्य अंकगणितीय माध्य के रूप में की जाती है: जनसंख्या में सभी मूल्यों को जोड़ें, और फिर परिणाम को जनसंख्या में मूल्यों की संख्या से विभाजित करें।

      • ध्यान रखें कि औसत की गणना हमेशा अंकगणितीय माध्य के रूप में नहीं की जाती है।
      • हमारे उदाहरण में, जनसंख्या का मतलब है: μ = 5 + 5 + 8 + 12 + 15 + 18 6 (\displaystyle (\frac (5+5+8+12+15+18)(6))) = 10,5

   4. जनसंख्या के प्रत्येक मान से जनसंख्या माध्य घटाएं।अंतर मान शून्य के जितना करीब होता है, विशेष मान जनसंख्या माध्य के जितना करीब होता है। जनसंख्या में प्रत्येक मान और उसके माध्य के बीच का अंतर ज्ञात करें, और आप मानों के वितरण पर पहली नज़र डालेंगे।

      • हमारे उदाहरण में:
        x 1 (\displaystyle x_(1))- μ = 5 - 10.5 = -5.5
        x 2 (\displaystyle x_(2))- μ = 5 - 10.5 = -5.5
        x 3 (\displaystyle x_(3))- μ = 8 - 10.5 = -2.5
        x 4 (\displaystyle x_(4))- μ = 12 - 10.5 = 1.5
        x 5 (\displaystyle x_(5))- μ = 15 - 10.5 = 4.5
        x 6 (\displaystyle x_(6))- μ = 18 - 10.5 = 7.5

   5. आपको मिलने वाले प्रत्येक परिणाम को स्क्वायर करें।अंतर मान सकारात्मक और नकारात्मक दोनों होंगे; यदि आप इन मानों को एक संख्या रेखा पर रखते हैं, तो वे जनसंख्या माध्य के दायीं और बायीं ओर झूठ बोलेंगे। यह विचरण की गणना के लिए अच्छा नहीं है, क्योंकि धनात्मक और ऋणात्मक संख्याएँ एक-दूसरे को रद्द कर देती हैं। इसलिए, विशेष रूप से सकारात्मक संख्या प्राप्त करने के लिए प्रत्येक अंतर को वर्ग करें।

      • हमारे उदाहरण में:
        (x i (\displaystyle x_(i)) - μ) 2 (\displaystyle ^(2))प्रत्येक जनसंख्या मान के लिए (i = 1 से i = 6 तक):
        (-5,5)2 (\displaystyle ^(2)) = 30,25
        (-5,5)2 (\displaystyle ^(2)), कहाँ पे x n (\displaystyle x_(n))जनसंख्या में अंतिम मूल्य है।
      • प्राप्त परिणामों के औसत मूल्य की गणना करने के लिए, आपको उनका योग ज्ञात करना होगा और इसे n से विभाजित करना होगा: (( x 1 (\displaystyle x_(1)) - μ) 2 (\displaystyle ^(2)) + (x 2 (\displaystyle x_(2)) - μ) 2 (\displaystyle ^(2)) + ... + (x n (\displaystyle x_(n)) - μ) 2 (\displaystyle ^(2))) / एन
      • अब उपरोक्त व्याख्या को चरों का प्रयोग करते हुए लिखते हैं: (∑( x i (\displaystyle x_(i)) - μ) 2 (\displaystyle ^(2))) / n और जनसंख्या विचरण की गणना के लिए एक सूत्र प्राप्त करें।

फैलाव

अंकगणित माध्य से इन आंकड़ों के विचलन के माध्य वर्ग के अनुरूप डेटा के प्रसार का एक संकेतक। मानक विचलन के वर्ग के बराबर।

व्यावहारिक मनोवैज्ञानिक का शब्दकोश। - एम .: एएसटी, हार्वेस्ट. एस यू गोलोविन। 1998.

फैलाव

परिणामों की एक श्रृंखला में प्रसार की डिग्री। इन परिणामों की परिवर्तनशीलता की एक निश्चित धारणा देते हुए। विचरण जितना अधिक होता है, उतने ही अधिक परिणाम माध्य के चारों ओर बिखरे होते हैं (बजाय एक केंद्रीय परिणाम के आसपास क्लस्टर किए जाने के)।

मनोविज्ञान। और मैं। शब्दकोश-संदर्भ पुस्तक / प्रति। अंग्रेज़ी से। के एस टकाचेंको। - एम.: फेयर-प्रेस. माइक कॉर्डवेल। 2000.

समानार्थक शब्द:

देखें कि "फैलाव" अन्य शब्दकोशों में क्या है:

फैलाव- कुछ बिखेरना। गणित में, विचरण माध्य से मानों के विचलन को मापता है। श्वेत प्रकाश के प्रकीर्णन से उसका अपघटन घटकों में हो जाता है। ध्वनि का विक्षेपण इसके प्रसार का कारण है। संग्रहीत डेटा को चारों ओर बिखेरना…… तकनीकी अनुवादक की हैंडबुक

फैलाव आधुनिक विश्वकोश

फैलाव- (विचरण) डेटा के बिखराव का एक उपाय। N पदों के एक समुच्चय का विचरण माध्य से उनके विचलन के वर्गों को जोड़कर और N से विभाजित करके पाया जाता है। इसलिए, यदि पद xi हैं i = 1, 2, ..., N, और उनका माध्य m है , भिन्नता ... ... आर्थिक शब्दकोश

फैलाव- (लैटिन डिस्पर्सियो स्कैटरिंग से) तरंगें, तरंग दैर्ध्य (आवृत्ति) पर किसी पदार्थ में तरंगों के प्रसार की गति की निर्भरता। फैलाव उस माध्यम के भौतिक गुणों से निर्धारित होता है जिसमें तरंगें फैलती हैं। उदाहरण के लिए, निर्वात में...... सचित्र विश्वकोश शब्दकोश

फैलाव- (अक्षांश फैलाव से) गणितीय सांख्यिकी और संभाव्यता सिद्धांत में, फैलाव का एक उपाय (माध्य से विचलन)। आँकड़ों में, विचरण एक यादृच्छिक ... ... के प्रेक्षित मानों (x1, x2,...,xn) के वर्ग विचलन का अंकगणितीय माध्य है। बड़ा विश्वकोश शब्दकोश

फैलाव- संभाव्यता सिद्धांत में, माध्य (बिखरने का उपाय) से विचलन का सबसे सामान्य उपाय। अंग्रेजी में: फैलाव समानार्थक शब्द: सांख्यिकीय फैलाव अंग्रेजी पर्यायवाची शब्द: सांख्यिकीय फैलाव यह भी देखें: नमूना आबादी वित्तीय ... ... वित्तीय शब्दावली

फैलाव- [अव्य। बिखरा हुआ बिखरा हुआ, बिखरा हुआ] 1) बिखरना; 2) रसायन।, भौतिक। किसी पदार्थ को बहुत छोटे कणों में तोड़ना। डी। एक प्रिज्म का उपयोग करके एक स्पेक्ट्रम में सफेद प्रकाश का प्रकाश अपघटन; 3) चटाई। औसत से विचलन। विदेशी शब्दों का शब्दकोश। कोमलेव एनजी,…… रूसी भाषा के विदेशी शब्दों का शब्दकोश

फैलाव- बिखराव, फैलाव रूसी समानार्थक शब्द का शब्दकोश। संज्ञा फैलाव, समानार्थक शब्द की संख्या: 6 नैनोडिस्पर्शन (1) ... पर्यायवाची शब्दकोश

फैलावएक यादृच्छिक चर के मूल्यों की फैलाव विशेषता है, जो उनके विचलन के वर्ग द्वारा माध्य मान (डी 2 द्वारा चिह्नित) द्वारा मापा जाता है। डी सैद्धांतिक (निरंतर या असतत) और अनुभवजन्य (भी निरंतर और ... ... आर्थिक और गणितीय शब्दकोश

फैलाव- * फैलाव * फैलाव 1. बिखराव; बिखराव; भिन्नता (देखें)। 2. एक सैद्धांतिक रूप से संभाव्य अवधारणा जो एक यादृच्छिक चर के विचलन की डिग्री को उसकी गणितीय अपेक्षा से दर्शाती है। बायोमेट्रिक अभ्यास में, नमूना विचरण s2 ... आनुवंशिकी। विश्वकोश शब्दकोश

पुस्तकें

• व्यापक अवशोषण बैंड में विषम फैलाव, डी.एस. क्रिसमस। 1934 के संस्करण के मूल लेखक की वर्तनी में पुनरुत्पादित (प्रकाशन गृह `यूएसएसआर की विज्ञान अकादमी की कार्यवाही`)। पर…

हालांकि, यादृच्छिक चर के अध्ययन के लिए अकेले यह विशेषता अभी तक पर्याप्त नहीं है। दो निशानेबाजों की कल्पना करें जो एक लक्ष्य पर शूटिंग कर रहे हैं। एक सटीक रूप से शूट करता है और केंद्र के करीब हिट करता है, और दूसरा ... केवल मज़े करना और लक्ष्य बनाना भी नहीं। लेकिन मजे की बात यह है कि औसतपरिणाम बिल्कुल पहले शूटर जैसा ही होगा! यह स्थिति सशर्त रूप से निम्नलिखित यादृच्छिक चर द्वारा सचित्र है:

"स्नाइपर" गणितीय अपेक्षा के बराबर है, हालांकि, "दिलचस्प व्यक्ति" के लिए: - यह भी शून्य है!

इस प्रकार, यह निर्धारित करने की आवश्यकता है कि कितनी दूर छितरा हुआलक्ष्य (उम्मीद) के केंद्र के सापेक्ष गोलियां (एक यादृच्छिक चर के मान)। ठीक और बिखरनेलैटिन से केवल के रूप में अनुवादित फैलाव .

आइए देखें कि पाठ के पहले भाग के उदाहरणों में से एक में यह संख्यात्मक विशेषता कैसे निर्धारित की जाती है:

वहां हमें इस खेल की निराशाजनक गणितीय अपेक्षा मिली, और अब हमें इसके विचरण की गणना करनी है, जो लक्षितके माध्यम से ।

आइए जानें कि औसत मूल्य के सापेक्ष जीत/हार कितनी दूर "बिखरे हुए" हैं। जाहिर है, इसके लिए हमें गणना करने की आवश्यकता है मतभेदके बीच एक यादृच्छिक चर के मूल्यऔर उसकी गणितीय अपेक्षा:

–5 – (–0,5) = –4,5
2,5 – (–0,5) = 3
10 – (–0,5) = 10,5

अब परिणामों का योग करना आवश्यक प्रतीत होता है, लेकिन यह तरीका अच्छा नहीं है - इस कारण से कि बाईं ओर के दोलन एक दूसरे को दाईं ओर के दोलनों के साथ रद्द कर देंगे। तो, उदाहरण के लिए, "शौकिया" शूटर (उपरोक्त उदाहरण)मतभेद हो जाएगा , और जब जोड़ा जाएगा तो वे शून्य देंगे, इसलिए हमें उसकी शूटिंग के बिखरने का कोई अनुमान नहीं मिलेगा।

इस झुंझलाहट को दूर करने के लिए, विचार करें मॉड्यूलमतभेद, लेकिन तकनीकी कारणों से, चुकता होने पर दृष्टिकोण ने जड़ें जमा ली हैं। तालिका में समाधान की व्यवस्था करना अधिक सुविधाजनक है:

और यहाँ यह गणना करने के लिए भीख माँगता है भारित औसतवर्ग विचलन का मान। यह क्या है? यह उनका है अपेक्षित मूल्य, जो बिखरने का उपाय है:

– परिभाषाफैलाव। परिभाषा से यह तुरंत स्पष्ट हो जाता है कि विचरण ऋणात्मक नहीं हो सकता- अभ्यास के लिए ध्यान दें!

आइए याद रखें कि अपेक्षा कैसे प्राप्त करें। चुकता अंतरों को संबंधित संभावनाओं से गुणा करें (तालिका निरंतरता):
- लाक्षणिक रूप से बोलना, यह "कर्षण बल" है,
और परिणामों को सारांशित करें:

क्या आपको नहीं लगता कि जीत की पृष्ठभूमि में परिणाम बहुत बड़ा निकला? यह सही है - हम वर्ग कर रहे थे, और अपने खेल के आयाम पर लौटने के लिए, हमें वर्गमूल लेने की आवश्यकता है। इस मान को कहा जाता है मानक विचलन और ग्रीक अक्षर "सिग्मा" द्वारा दर्शाया गया है:

कभी-कभी इस अर्थ को कहा जाता है मानक विचलन .

इसका अर्थ क्या है? यदि हम मानक विचलन द्वारा गणितीय अपेक्षा से बाईं ओर और दाईं ओर विचलन करते हैं:

- तो इस अंतराल पर यादृच्छिक चर के सबसे संभावित मान "केंद्रित" होंगे। हम वास्तव में क्या देख रहे हैं:

हालांकि, ऐसा हुआ कि बिखरने के विश्लेषण में लगभग हमेशा फैलाव की अवधारणा के साथ काम करते हैं। आइए देखें कि खेलों के संबंध में इसका क्या अर्थ है। यदि निशानेबाजों के मामले में हम लक्ष्य के केंद्र के सापेक्ष हिट की "सटीकता" के बारे में बात कर रहे हैं, तो यहां फैलाव दो चीजों की विशेषता है:

सबसे पहले, यह स्पष्ट है कि जैसे-जैसे दरें बढ़ती हैं, विचरण भी बढ़ता है। इसलिए, उदाहरण के लिए, यदि हम 10 गुना वृद्धि करते हैं, तो गणितीय अपेक्षा 10 गुना बढ़ जाएगी, और विचरण 100 गुना बढ़ जाएगा (जैसे ही यह एक द्विघात मान होता है). लेकिन ध्यान दें कि खेल के नियम नहीं बदले हैं! केवल दरें बदल गई हैं, मोटे तौर पर बोलते हुए, हम 10 रूबल की शर्त लगाते थे, अब 100।

दूसरा, अधिक दिलचस्प बिंदु यह है कि विचरण खेल की शैली की विशेषता है। खेल दरों को मानसिक रूप से ठीक करें किसी निश्चित स्तर पर, और देखें कि यहाँ क्या है:

एक कम विचरण खेल एक सतर्क खेल है। खिलाड़ी सबसे विश्वसनीय योजनाओं का चयन करता है, जहां वह एक समय में बहुत अधिक नहीं हारता/जीतता है। उदाहरण के लिए, रूले में लाल/काली प्रणाली (लेख का उदाहरण 4 देखें यादृच्छिक चर) .

उच्च विचरण खेल। उसे अक्सर कहा जाता है फैलावखेल। यह खेल की एक साहसिक या आक्रामक शैली है जहां खिलाड़ी "एड्रेनालाईन" योजनाओं को चुनता है। चलो कम से कम याद करते हैं "मार्टिंगेल", जिसमें दांव पर लगी रकम पिछले पैराग्राफ के "शांत" खेल से अधिक परिमाण के आदेश हैं।

पोकर में स्थिति सांकेतिक है: तथाकथित हैं तंगजो खिलाड़ी सतर्क रहते हैं और अपने खेल कोष से "हिलाते" हैं (बैंकरोल). आश्चर्य नहीं कि उनके बैंकरोल में ज्यादा उतार-चढ़ाव नहीं होता (कम विचरण)। इसके विपरीत, यदि किसी खिलाड़ी का विचरण अधिक है, तो वह आक्रामक है। वह अक्सर जोखिम लेता है, बड़े दांव लगाता है और दोनों एक बड़े बैंक को तोड़ सकता है और टुकड़ों में जा सकता है।

विदेशी मुद्रा में भी यही होता है, और इसी तरह - बहुत सारे उदाहरण हैं।

इसके अलावा, सभी मामलों में इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि खेल एक पैसे के लिए है या हजारों डॉलर के लिए है। हर स्तर के अपने निम्न और उच्च विचरण वाले खिलाड़ी होते हैं। खैर, औसत जीत के लिए, जैसा कि हम याद करते हैं, "जिम्मेदार" अपेक्षित मूल्य.

आपने शायद ध्यान दिया होगा कि विचरण का पता लगाना एक लंबी और श्रमसाध्य प्रक्रिया है। लेकिन गणित उदार है:

प्रसरण ज्ञात करने का सूत्र

यह सूत्र सीधे विचरण की परिभाषा से लिया गया है, और हम इसे तुरंत प्रचलन में लाते हैं। मैं ऊपर से हमारे खेल के साथ प्लेट की नकल करूंगा:

और मिली उम्मीद।

हम दूसरे तरीके से विचरण की गणना करते हैं। सबसे पहले, आइए गणितीय अपेक्षा खोजें - यादृच्छिक चर का वर्ग। द्वारा गणितीय अपेक्षा की परिभाषा:

इस मामले में:

इस प्रकार, सूत्र के अनुसार:

जैसा कि वे कहते हैं, अंतर महसूस करें। और व्यवहार में, निश्चित रूप से, सूत्र को लागू करना बेहतर है (जब तक कि शर्त की आवश्यकता न हो)।

हम हल करने और डिजाइन करने की तकनीक में महारत हासिल करते हैं:

उदाहरण 6

इसकी गणितीय अपेक्षा, प्रसरण और मानक विचलन ज्ञात कीजिए।

यह कार्य हर जगह पाया जाता है, और, एक नियम के रूप में, सार्थक अर्थ के बिना चला जाता है।
आप संख्या के साथ कई प्रकाश बल्बों की कल्पना कर सकते हैं जो कुछ संभावनाओं के साथ पागलखाने में प्रकाश करते हैं :)

फेसला: तालिका में मुख्य गणनाओं को संक्षेप में प्रस्तुत करना सुविधाजनक है। सबसे पहले, हम प्रारंभिक डेटा को शीर्ष दो पंक्तियों में लिखते हैं। फिर हम उत्पादों की गणना करते हैं, फिर और अंत में सही कॉलम में रकम:

दरअसल, लगभग सब कुछ तैयार है। तीसरी पंक्ति में, एक तैयार गणितीय अपेक्षा तैयार की गई थी: .

फैलाव की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

और अंत में, मानक विचलन:
- व्यक्तिगत रूप से, मैं आमतौर पर 2 दशमलव स्थानों तक घूमता हूं।

सभी गणना एक कैलकुलेटर पर की जा सकती है, और इससे भी बेहतर - एक्सेल में:

यहां गलत होना मुश्किल है :)

जवाब:

जो चाहते हैं वे अपने जीवन को और भी सरल बना सकते हैं और मेरा लाभ उठा सकते हैं कैलकुलेटर (प्रदर्शन), जो न केवल इस समस्या को तुरंत हल करता है, बल्कि निर्माण भी करता है विषयगत ग्राफिक्स (जल्दी आ). कार्यक्रम कर सकते हैं पुस्तकालय में डाउनलोड करें- यदि आपने कम से कम एक अध्ययन सामग्री डाउनलोड की है, या प्राप्त करते हैं एक और तरीका. परियोजना का समर्थन करने के लिए धन्यवाद!

स्वतंत्र समाधान के लिए कुछ कार्य:

उदाहरण 7

परिभाषा के अनुसार पिछले उदाहरण के यादृच्छिक चर के प्रसरण की गणना करें।

और एक समान उदाहरण:

उदाहरण 8

एक असतत यादृच्छिक चर अपने स्वयं के वितरण कानून द्वारा दिया जाता है:

हां, यादृच्छिक चर के मान काफी बड़े हो सकते हैं (वास्तविक काम से उदाहरण), और यहां, यदि संभव हो तो, एक्सेल का उपयोग करें। वैसे, उदाहरण 7 में - यह तेज़, अधिक विश्वसनीय और अधिक सुखद है।

समाधान और उत्तर पृष्ठ के निचले भाग में।

पाठ के दूसरे भाग के अंत में, हम एक और विशिष्ट कार्य का विश्लेषण करेंगे, एक छोटा रिबास भी कह सकता है:

उदाहरण 9

एक असतत यादृच्छिक चर केवल दो मान ले सकता है: और , तथा । संभाव्यता, गणितीय अपेक्षा और विचरण ज्ञात हैं।

फेसला: आइए अज्ञात संभावना से शुरू करते हैं। चूंकि एक यादृच्छिक चर केवल दो मान ले सकता है, तो संबंधित घटनाओं की संभावनाओं का योग:

और तब से ।

यह खोजना बाकी है ..., कहना आसान है :) लेकिन ओह ठीक है, यह शुरू हो गया। गणितीय अपेक्षा की परिभाषा के अनुसार:
- ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करें:

- और इस समीकरण से और कुछ नहीं निकाला जा सकता है, सिवाय इसके कि आप इसे सामान्य दिशा में फिर से लिख सकते हैं:

या:

आगे की कार्रवाइयों के बारे में, मुझे लगता है कि आप अनुमान लगा सकते हैं। आइए सिस्टम बनाएं और हल करें:

दशमलव, निश्चित रूप से, एक पूर्ण अपमान है; दोनों समीकरणों को 10 से गुणा करें:

और 2 से विभाजित करें:

यह ज़्यादा बेहतर है। पहले समीकरण से हम व्यक्त करते हैं:
(यह आसान तरीका है)- दूसरे समीकरण में स्थानापन्न करें:

हम निर्माण कर रहे हैं वर्गऔर सरलीकरण करें:

हम इससे गुणा करते हैं:

नतीजतन, द्विघात समीकरण, इसका विभेदक ज्ञात कीजिए:
- पूरी तरह से ठीक!

और हमें दो समाधान मिलते हैं:

1) अगर , तब ;

2) अगर , तब ।

मूल्यों की पहली जोड़ी शर्त को संतुष्ट करती है। उच्च संभावना के साथ, सब कुछ सही है, लेकिन, फिर भी, हम वितरण कानून लिखते हैं:

और एक जाँच करें, अर्थात्, अपेक्षा का पता लगाएं:

आंकड़ों में फैलावके वर्ग में विशेषता के व्यक्तिगत मूल्यों के रूप में पाया जाता है। प्रारंभिक डेटा के आधार पर, यह सरल और भारित विचरण सूत्रों द्वारा निर्धारित किया जाता है:

1. (अवर्गीकृत डेटा के लिए) की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

2. भारित विचरण (भिन्नता श्रृंखला के लिए):

जहां n आवृत्ति है (दोहराव कारक X)

विचरण खोजने का एक उदाहरण

यह पृष्ठ विचरण को खोजने के एक मानक उदाहरण का वर्णन करता है, आप इसे खोजने के लिए अन्य कार्यों को भी देख सकते हैं

उदाहरण 1. हमारे पास 20 पत्राचार छात्रों के समूह के लिए निम्नलिखित आंकड़े हैं। सुविधा वितरण की अंतराल श्रृंखला बनाना, सुविधा के औसत मूल्य की गणना करना और इसके विचरण का अध्ययन करना आवश्यक है

आइए एक अंतराल समूह बनाते हैं। आइए सूत्र द्वारा अंतराल की सीमा निर्धारित करें:

जहां एक्स मैक्स ग्रुपिंग फीचर का अधिकतम मूल्य है;
X मिनट समूहीकरण सुविधा का न्यूनतम मान है;
n अंतराल की संख्या है:

हम एन = 5 स्वीकार करते हैं। चरण है: ज \u003d (192 - 159) / 5 \u003d 6.6

आइए एक अंतराल समूह बनाते हैं

आगे की गणना के लिए, हम एक सहायक तालिका बनाएंगे:

X'i अंतराल का मध्य है। (उदाहरण के लिए, अंतराल के बीच में 159 - 165.6 = 162.3)

छात्रों की औसत वृद्धि अंकगणितीय भारित औसत के सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है:

हम सूत्र द्वारा फैलाव निर्धारित करते हैं:

विचरण सूत्र को निम्नानुसार परिवर्तित किया जा सकता है:

इस सूत्र से यह इस प्रकार है कि भिन्नता है विकल्पों के वर्गों के माध्य और वर्ग और माध्य के बीच का अंतर।

भिन्नता श्रृंखला में भिन्नताक्षणों की विधि के अनुसार समान अंतराल के साथ, फैलाव की दूसरी संपत्ति का उपयोग करके निम्नलिखित तरीके से गणना की जा सकती है (अंतराल के मूल्य से सभी विकल्पों को विभाजित करना)। विचरण की परिभाषा, क्षणों की विधि द्वारा गणना, निम्न सूत्र के अनुसार कम समय लगता है:

जहां i अंतराल का मान है;
ए - सशर्त शून्य, जो उच्चतम आवृत्ति के साथ अंतराल के मध्य का उपयोग करने के लिए सुविधाजनक है;
m1 पहले क्रम के क्षण का वर्ग है;
एम 2 - दूसरे क्रम का क्षण

(यदि सांख्यिकीय जनसंख्या में विशेषता इस तरह से बदलती है कि केवल दो परस्पर अनन्य विकल्प हैं, तो ऐसी परिवर्तनशीलता को वैकल्पिक कहा जाता है) की गणना सूत्र द्वारा की जा सकती है:

इस फैलाव सूत्र q = 1-p में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

फैलाव के प्रकार

कुल विचरणइस भिन्नता का कारण बनने वाले सभी कारकों के प्रभाव में संपूर्ण जनसंख्या पर एक विशेषता की भिन्नता को मापता है। यह कुल माध्य मान x से फीचर x के व्यक्तिगत मूल्यों के विचलन के माध्य वर्ग के बराबर है और इसे साधारण विचरण या भारित विचरण के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।

यादृच्छिक भिन्नता की विशेषता है, अर्थात। भिन्नता का एक भाग, जो कारकों के लिए बेहिसाब प्रभाव के कारण होता है और समूह में अंतर्निहित संकेत-कारक पर निर्भर नहीं करता है। ऐसा विचरण समूह के अंकगणितीय माध्य से X समूह के भीतर एक विशेषता के व्यक्तिगत मूल्यों के विचलन के माध्य वर्ग के बराबर है और इसकी गणना एक साधारण विचरण या भारित विचरण के रूप में की जा सकती है।

इस प्रकार, समूह के भीतर विचरण के उपायएक समूह के भीतर एक विशेषता की भिन्नता और सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है:

जहां xi - समूह औसत;
नी समूह में इकाइयों की संख्या है।

उदाहरण के लिए, एक दुकान में श्रम उत्पादकता के स्तर पर श्रमिकों की योग्यता के प्रभाव का अध्ययन करने के कार्य में निर्धारित किए जाने वाले अंतर-समूह भिन्नताएं सभी संभावित कारकों (उपकरण की तकनीकी स्थिति) के कारण प्रत्येक समूह में उत्पादन में भिन्नता दिखाती हैं। उपकरण और सामग्री की उपलब्धता, श्रमिकों की आयु, श्रम तीव्रता, आदि), योग्यता श्रेणी में अंतर को छोड़कर (समूह के भीतर, सभी श्रमिकों की समान योग्यता है)।

इन-ग्रुप वेरिएंस का औसत रैंडम को दर्शाता है, यानी, वेरिएशन का वह हिस्सा जो ग्रुपिंग फैक्टर के अपवाद के साथ अन्य सभी कारकों के प्रभाव में हुआ। इसकी गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

यह परिणामी गुण की व्यवस्थित भिन्नता की विशेषता है, जो समूह में अंतर्निहित विशेषता-कारक के प्रभाव के कारण है। यह कुल माध्य से समूह के विचलन के माध्य वर्ग के बराबर है। इंटरग्रुप विचरण की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

आंकड़ों में प्रसरण जोड़ नियम

इसके अनुसार विचरण जोड़ नियमकुल विचरण इंट्राग्रुप और इंटरग्रुप वेरिएंस के औसत के योग के बराबर है:

इस नियम का अर्थयह है कि सभी कारकों के प्रभाव में होने वाली कुल भिन्नता अन्य सभी कारकों के प्रभाव में उत्पन्न होने वाली भिन्नताओं और समूहीकरण कारक के कारण उत्पन्न होने वाली भिन्नता के योग के बराबर होती है।

प्रसरणों को जोड़ने के लिए सूत्र का उपयोग करके, दो ज्ञात प्रसरणों से तीसरे अज्ञात को निर्धारित करना संभव है, और समूहीकरण विशेषता के प्रभाव की ताकत का न्याय करना भी संभव है।

फैलाव गुण

1. यदि विशेषता के सभी मान समान स्थिर मान से कम (बढ़े हुए) हैं, तो इससे विचरण नहीं बदलेगा।
2. यदि विशेषता के सभी मानों को n की समान संख्या से घटाया (बढ़ाया) जाता है, तो विचरण तदनुसार n^2 गुना कम (वृद्धि) होगा।