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रेखीय समीकरण। पूरी गाइड (2019)

"रैखिक समीकरण" क्या हैं

या मौखिक रूप से - तीन दोस्तों को सेब दिए गए, इस तथ्य के आधार पर कि वास्या के पास सभी सेब हैं।

और अब आपने तय कर लिया है रेखीय समीकरण
आइए अब इस शब्द को गणितीय परिभाषा दें।

रेखीय समीकरण - एक बीजीय समीकरण है जिसके घटक बहुपदों की कुल घात है. यह इस तरह दिख रहा है:

कोई संख्या कहां और कहां हैं और

वास्या और सेब के मामले में हम लिखेंगे:

- "अगर वास्या तीनों दोस्तों को समान संख्या में सेब देती है, तो उसके पास कोई सेब नहीं बचेगा"

"छिपे हुए" रैखिक समीकरण, या समान परिवर्तनों का महत्व

इस तथ्य के बावजूद कि पहली नज़र में सब कुछ बेहद सरल है, समीकरणों को हल करते समय, आपको सावधान रहने की आवश्यकता है, क्योंकि रैखिक समीकरणों को न केवल रूप के समीकरण कहा जाता है, बल्कि किसी भी समीकरण को परिवर्तन और सरलीकरण द्वारा इस रूप में कम किया जाता है। उदाहरण के लिए:

हम देखते हैं कि यह दाईं ओर है, जो, सिद्धांत रूप में, पहले से ही इंगित करता है कि समीकरण रैखिक नहीं है। इसके अलावा, यदि हम कोष्ठक खोलते हैं, तो हमें दो और पद मिलेंगे जिनमें यह होगा, लेकिन निष्कर्ष पर मत पहुंचो! यह निर्धारित करने से पहले कि क्या समीकरण रैखिक है, सभी परिवर्तन करना और इस प्रकार मूल उदाहरण को सरल बनाना आवश्यक है। इस मामले में, परिवर्तन उपस्थिति को बदल सकते हैं, लेकिन समीकरण का सार नहीं।

दूसरे शब्दों में, ये परिवर्तन होना चाहिए सदृशया समकक्ष. ऐसे केवल दो परिवर्तन हैं, लेकिन वे समस्याओं को हल करने में एक बहुत ही महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। आइए ठोस उदाहरणों पर दोनों परिवर्तनों पर विचार करें।

बाएं - दाएं ले जाएं।

मान लें कि हमें निम्नलिखित समीकरण को हल करने की आवश्यकता है:

प्राथमिक विद्यालय में वापस, हमें बताया गया था: "एक्स के साथ - बाईं ओर, एक्स के बिना - दाईं ओर।" x के साथ कौन सा व्यंजक दायीं ओर है? ठीक है, कैसे नहीं। और यह महत्वपूर्ण है, क्योंकि यदि यह सरल प्रतीत होने वाला प्रश्न गलत समझा जाता है, तो गलत उत्तर सामने आता है। और बाईं ओर x वाला व्यंजक क्या है? सही ढंग से, .

अब जब हमने इसे निपटा लिया है, तो हम सभी शर्तों को अज्ञात के साथ बाईं ओर स्थानांतरित कर देते हैं, और जो कुछ भी ज्ञात है वह दाईं ओर, यह याद करते हुए कि यदि संख्या के सामने कोई संकेत नहीं है, उदाहरण के लिए, तो संख्या सकारात्मक है, कि है, यह चिन्ह "" से पहले है।

ले जाया गया? तुम्हें क्या मिला?

जो कुछ किया जाना बाकी है वह समान शर्तों को लाना है। हम उपस्थित है:

इसलिए, हमने पहले समान परिवर्तन को सफलतापूर्वक पार्स किया है, हालांकि मुझे यकीन है कि आप इसे पहले से ही जानते थे और मेरे बिना सक्रिय रूप से इसका इस्तेमाल करते थे। मुख्य बात - संख्याओं के संकेतों के बारे में मत भूलना और समान चिह्न के माध्यम से स्थानांतरित करते समय उन्हें विपरीत में बदलें!

गुणा - भाग।

आइए एक उदाहरण के साथ तुरंत शुरू करें

हम देखते हैं और सोचते हैं: इस उदाहरण में हमें क्या पसंद नहीं है? अज्ञात सब एक भाग में है, ज्ञात दूसरे में है, लेकिन कुछ हमें रोक रहा है ... और यह कुछ है - एक चार, क्योंकि अगर यह नहीं होता, तो सब कुछ सही होता - x एक संख्या के बराबर होता है - ठीक वैसे ही जैसे हमें चाहिए!

आप इससे कैसे छुटकारा पा सकते हैं? हम दाईं ओर स्थानांतरित नहीं कर सकते, क्योंकि तब हमें पूरे गुणक को स्थानांतरित करने की आवश्यकता होती है (हम इसे नहीं ले सकते हैं और इसे दूर नहीं कर सकते हैं), और पूरे गुणक को स्थानांतरित करने का भी कोई मतलब नहीं है ...

यह उस विभाजन के बारे में याद रखने का समय है, जिसके संबंध में हम सब कुछ विभाजित करेंगे! सब - इसका अर्थ है बाएँ और दाएँ दोनों ओर। तो और केवल इतना! हमें क्या मिलता है?

यहाँ उत्तर है।

आइए अब एक और उदाहरण देखें:

सोचो इस मामले में क्या करना है? यह सही है, बाएँ और दाएँ पक्षों को गुणा करें! आपको क्या जवाब मिला? सही ढंग से। .

निश्चित रूप से आप पहले से ही समान परिवर्तनों के बारे में सब कुछ जानते थे। विचार करें कि हमने इस ज्ञान को आपकी स्मृति में ताज़ा कर दिया है और यह कुछ और करने का समय है - उदाहरण के लिए, हमारे बड़े उदाहरण को हल करने के लिए:

जैसा कि हमने पहले कहा, इसे देखते हुए, आप यह नहीं कह सकते कि यह समीकरण रैखिक है, लेकिन हमें कोष्ठक खोलने और समान परिवर्तन करने की आवश्यकता है। तो चलो शुरू करते है!

आरंभ करने के लिए, हम संक्षिप्त गुणन के सूत्रों को याद करते हैं, विशेष रूप से, योग का वर्ग और अंतर का वर्ग। यदि आपको यह याद नहीं है कि यह क्या है और कोष्ठक कैसे खोले जाते हैं, तो मैं दृढ़ता से इस विषय को पढ़ने की सलाह देता हूँ, क्योंकि परीक्षा में पाए गए लगभग सभी उदाहरणों को हल करते समय ये कौशल आपके लिए उपयोगी होंगे।
प्रकट किया? तुलना करना:

अब समान शर्तें लाने का समय आ गया है। क्या आपको याद है कि कैसे हमें एक ही प्राथमिक कक्षाओं में बताया गया था कि "हम कटलेट के साथ मक्खियाँ नहीं डालते"? यहां मैं आपको इसकी याद दिला रहा हूं। हम सब कुछ अलग-अलग जोड़ते हैं - कारक जो हैं, कारक हैं, और अन्य कारक जिनके पास अज्ञात नहीं है। जैसे ही आप समान शब्द लाते हैं, सभी अज्ञात को बाईं ओर ले जाएं, और जो कुछ भी ज्ञात है उसे दाईं ओर ले जाएं। तुम्हें क्या मिला?

जैसा कि आप देख सकते हैं, एक्स-स्क्वायर गायब हो गया है, और हम पूरी तरह से सामान्य देखते हैं रेखीय समीकरण. ढूँढना ही रह जाता है !

और अंत में, मैं समान परिवर्तनों के बारे में एक और बहुत महत्वपूर्ण बात कहूंगा - समान परिवर्तन न केवल रैखिक समीकरणों के लिए लागू होते हैं, बल्कि वर्ग, भिन्नात्मक तर्कसंगत और अन्य के लिए भी लागू होते हैं। आपको बस यह याद रखने की जरूरत है कि समान चिह्न के माध्यम से कारकों को स्थानांतरित करते समय, हम संकेत को विपरीत में बदलते हैं, और किसी संख्या से विभाजित या गुणा करते समय, हम समीकरण के दोनों पक्षों को एक ही संख्या से गुणा / विभाजित करते हैं।

आपने इस उदाहरण से और क्या लिया? कि एक समीकरण को देखते हुए यह हमेशा सीधे और सटीक रूप से निर्धारित करना संभव नहीं है कि यह रैखिक है या नहीं। आपको पहले अभिव्यक्ति को पूरी तरह से सरल बनाना होगा, और उसके बाद ही यह तय करना होगा कि यह क्या है।

रेखीय समीकरण। उदाहरण।

आपके लिए स्वयं अभ्यास करने के लिए यहां कुछ और उदाहरण दिए गए हैं - निर्धारित करें कि क्या समीकरण रैखिक है और यदि ऐसा है, तो इसकी जड़ें खोजें:

उत्तर:

1. एक।

2. क्या नहीं है।

आइए कोष्ठक खोलें और समान पद दें:

आइए एक समान परिवर्तन करें - हम बाएँ और दाएँ भागों को विभाजित करते हैं:

हम देखते हैं कि समीकरण रैखिक नहीं है, इसलिए इसकी जड़ों को देखने की कोई आवश्यकता नहीं है।

3. एक।

आइए एक समान परिवर्तन करें - हर से छुटकारा पाने के लिए बाएँ और दाएँ पक्षों को गुणा करें।

सोचो यह इतना महत्वपूर्ण क्यों है? यदि आप इस प्रश्न का उत्तर जानते हैं, तो हम आगे समीकरण को हल करने के लिए आगे बढ़ते हैं, यदि नहीं, तो विषय को देखना सुनिश्चित करें ताकि अधिक जटिल उदाहरणों में गलती न हो। वैसे, जैसा कि आप देख सकते हैं, ऐसी स्थिति जहां यह असंभव है। क्यों?
तो चलिए आगे बढ़ते हैं और समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करते हैं:

यदि आपने बिना किसी कठिनाई के हर चीज का सामना किया है, तो आइए दो चर वाले रैखिक समीकरणों के बारे में बात करते हैं।

दो चर वाले रैखिक समीकरण

अब चलिए थोड़ा अधिक जटिल एक - दो चरों वाले रैखिक समीकरणों पर चलते हैं।

रेखीय समीकरणदो चर के साथ इस तरह दिखते हैं:

कहां, और कोई संख्या है और।

जैसा कि आप देख सकते हैं, अंतर केवल इतना है कि समीकरण में एक और चर जोड़ा जाता है। और इसलिए सब कुछ समान है - कोई x वर्ग नहीं है, एक चर द्वारा कोई विभाजन नहीं है, आदि। आदि।

आपको देने के लिए क्या एक जीवन उदाहरण है ... चलो वही वास्या लेते हैं। मान लीजिए कि उसने फैसला किया कि वह अपने 3 दोस्तों में से प्रत्येक को समान संख्या में सेब देगा, और सेब अपने पास रखेगा। यदि वास्या प्रत्येक मित्र को एक सेब देता है तो उसे कितने सेब खरीदने होंगे? व्हाट अबाउट? क्या होगा अगर द्वारा?

प्रत्येक व्यक्ति को खरीदे जाने वाले सेबों की कुल संख्या पर प्राप्त होने वाले सेबों की संख्या की निर्भरता समीकरण द्वारा व्यक्त की जाएगी:

• - एक व्यक्ति को प्राप्त होने वाले सेबों की संख्या (, या, या);
• - सेब की संख्या जो वास्या अपने लिए लेगी;
• - प्रति व्यक्ति सेब की संख्या को ध्यान में रखते हुए, वास्या को कितने सेब खरीदने की जरूरत है।

इस समस्या को हल करते हुए, हम पाते हैं कि अगर वास्या एक दोस्त को एक सेब देता है, तो उसे टुकड़े खरीदने की जरूरत है, अगर वह सेब देता है - और इसी तरह।

और आम तौर पर बोल रहा हूँ। हमारे पास दो चर हैं। इस निर्भरता को एक ग्राफ पर क्यों नहीं चित्रित करते? हम अपने मूल्य का निर्माण और अंकन करते हैं, अर्थात अंक, निर्देशांक के साथ, और!

जैसा कि आप देख सकते हैं, और एक दूसरे पर निर्भर हैं रैखिक, इसलिए समीकरणों का नाम - " रैखिक».

हम सेब से सार निकालते हैं और ग्राफिक रूप से भिन्न समीकरणों पर विचार करते हैं। दो निर्मित रेखांकन को ध्यान से देखें - एक सीधी रेखा और एक परवलय, जो मनमाने कार्यों द्वारा दिए गए हैं:

दोनों आकृतियों पर संबंधित बिंदुओं को खोजें और चिह्नित करें।
तुम्हें क्या मिला?

आप देख सकते हैं कि पहले फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर अकेलामेल खाती है एक, अर्थात्, और रैखिक रूप से एक दूसरे पर निर्भर करते हैं, जिसे दूसरे फ़ंक्शन के बारे में नहीं कहा जा सकता है। बेशक, आप इस पर आपत्ति कर सकते हैं कि दूसरे ग्राफ़ पर, x भी - से मेल खाता है, लेकिन यह केवल एक बिंदु है, यानी एक विशेष मामला है, क्योंकि आप अभी भी एक से अधिक से मेल खाने वाले को ढूंढ सकते हैं। और निर्मित ग्राफ किसी भी तरह से एक रेखा जैसा नहीं है, बल्कि एक परवलय है।

मैं दोहराता हूं, एक बार और: एक रैखिक समीकरण का आलेख एक सीधी रेखा होना चाहिए.

इस तथ्य के साथ कि समीकरण रैखिक नहीं होगा, अगर हम किसी भी हद तक जाते हैं - यह एक परवलय के उदाहरण का उपयोग करके समझ में आता है, हालांकि अपने लिए आप कुछ और सरल रेखांकन बना सकते हैं, उदाहरण के लिए या। लेकिन मैं आपको विश्वास दिलाता हूं - इनमें से कोई भी सीधी रेखा नहीं होगी।

विश्वास नहीं करते? मुझे जो मिला उसके साथ बनाएं और फिर तुलना करें:

और क्या होता है यदि हम किसी चीज़ को, उदाहरण के लिए, किसी संख्या से भाग दें? क्या एक रैखिक निर्भरता होगी और? हम बहस नहीं करेंगे, लेकिन हम निर्माण करेंगे! उदाहरण के लिए, आइए एक फ़ंक्शन ग्राफ़ प्लॉट करें।

किसी तरह यह निर्मित सीधी रेखा की तरह नहीं दिखता ... तदनुसार, समीकरण रैखिक नहीं है।
आइए संक्षेप करें:

1. रेखीय समीकरण -एक बीजीय समीकरण है जिसमें इसके घटक बहुपदों की कुल घात बराबर होती है।
2. रेखीय समीकरणएक चर के साथ जैसा दिखता है:
   , जहां और कोई संख्याएं हैं;
   रेखीय समीकरणदो चर के साथ:
   , कहाँ, और कोई संख्या है।
3. यह निर्धारित करना हमेशा संभव नहीं होता है कि कोई समीकरण रैखिक है या नहीं। कभी-कभी, इसे समझने के लिए, समान परिवर्तन करना आवश्यक है, समान शब्दों को बाएँ / दाएँ ले जाएँ, चिह्न बदलना न भूलें, या समीकरण के दोनों भागों को एक ही संख्या से गुणा / विभाजित करें।

रेखीय समीकरण। संक्षेप में मुख्य के बारे में

1. रैखिक समीकरण

यह एक बीजीय समीकरण है जिसमें इसके घटक बहुपदों की कुल घात बराबर होती है।

2. एक चर के साथ रैखिक समीकरणकी तरह लगता है:

कोई संख्या कहां और हैं;

3. दो चरों वाला रैखिक समीकरणकी तरह लगता है:

कहां, और कोई संख्या है।

4. पहचान परिवर्तन

यह निर्धारित करने के लिए कि समीकरण रैखिक है या नहीं, समान परिवर्तन करना आवश्यक है:

• बाएँ/दाएँ समान पदों पर जाएँ, चिह्न बदलना न भूलें;
• समीकरण के दोनों पक्षों को एक ही संख्या से गुणा/भाग दें।

समीकरणों को हल करना सीखना मुख्य कार्यों में से एक है जो बीजगणित छात्रों को प्रस्तुत करता है। सबसे सरल से शुरू करते हुए, जब इसमें एक अज्ञात होता है, और अधिक से अधिक जटिल लोगों की ओर बढ़ता है। यदि आपने पहले समूह के समीकरणों के साथ की जाने वाली क्रियाओं में महारत हासिल नहीं की है, तो दूसरों के साथ व्यवहार करना मुश्किल होगा।

बातचीत जारी रखने के लिए, हमें अंकन पर सहमत होना होगा।

एक अज्ञात के साथ एक रैखिक समीकरण का सामान्य रूप और इसके समाधान का सिद्धांत

कोई भी समीकरण जिसे इस तरह लिखा जा सकता है:

ए * एक्स = इन,

बुलाया रैखिक. यह सामान्य सूत्र है। लेकिन अक्सर असाइनमेंट में, रैखिक समीकरण एक निहित रूप में लिखे जाते हैं। फिर आम तौर पर स्वीकृत अंकन प्राप्त करने के लिए समान परिवर्तन करने की आवश्यकता होती है। इन क्रियाओं में शामिल हैं:

• उद्घाटन कोष्ठक;
• सभी पदों को एक चर मान के साथ समानता के बाईं ओर ले जाना, और शेष को दाईं ओर ले जाना;
• समान शर्तों में कमी।

मामले में जब एक अज्ञात मूल्य एक अंश के हर में होता है, तो उसके मूल्यों को निर्धारित करना आवश्यक होता है जिसके लिए अभिव्यक्ति का कोई मतलब नहीं होगा। दूसरे शब्दों में, यह समीकरण के क्षेत्र को जानने वाला है।

वह सिद्धांत जिसके द्वारा सभी रैखिक समीकरण हल किए जाते हैं, समीकरण के दाईं ओर के मान को चर के सामने गुणांक से विभाजित करना है। यानी "x" / a के बराबर होगा।

रैखिक समीकरण के विशेष मामले और उनके समाधान

तर्क के दौरान, ऐसे क्षण आ सकते हैं जब रैखिक समीकरण एक विशेष रूप धारण कर लेते हैं। उनमें से प्रत्येक का एक विशिष्ट समाधान है।

पहली स्थिति में:

ए * एक्स = 0, और एक 0.

इस समीकरण का हल हमेशा x = 0 होगा।

दूसरे मामले में, "ए" शून्य के बराबर मान लेता है:

0 * एक्स = 0.

इस समीकरण का उत्तर कोई भी संख्या है। यानी इसकी अनंत संख्या में जड़ें हैं।

तीसरी स्थिति इस तरह दिखती है:

0*x=में, जहां 0.

यह समीकरण समझ में नहीं आता है। क्योंकि ऐसी कोई जड़ें नहीं हैं जो उसे संतुष्ट करती हों।

दो चरों वाले रैखिक समीकरण का सामान्य रूप

इसके नाम से यह स्पष्ट हो जाता है कि इसमें पहले से ही दो अज्ञात मात्राएँ हैं। दो चर वाले रैखिक समीकरणऐसे दिखते हैं:

ए * एक्स + बी * वाई = सी.

चूंकि प्रविष्टि में दो अज्ञात हैं, उत्तर संख्याओं की एक जोड़ी की तरह दिखेगा। अर्थात्, केवल एक मान निर्दिष्ट करना पर्याप्त नहीं है। यह अधूरा उत्तर होगा। मात्राओं का वह युग्म जिस पर समीकरण एक सर्वसमिका बन जाता है, समीकरण का एक हल होता है। इसके अलावा, उत्तर में, वर्णमाला में पहले आने वाले चर को हमेशा पहले लिखा जाता है। कभी-कभी यह कहा जाता है कि ये संख्याएँ उसे संतुष्ट करती हैं। इसके अलावा, ऐसे जोड़े की अनंत संख्या हो सकती है।

दो अज्ञात के साथ एक रैखिक समीकरण को कैसे हल करें?

ऐसा करने के लिए, आपको बस किसी भी संख्या के जोड़े को चुनना होगा जो सही साबित हो। सरलता के लिए, आप अज्ञात में से किसी एक को अभाज्य संख्या के बराबर ले सकते हैं, और फिर दूसरा ज्ञात कर सकते हैं।

हल करते समय, आपको अक्सर समीकरण को सरल बनाने के लिए कार्य करने पड़ते हैं। उन्हें समान परिवर्तन कहा जाता है। इसके अलावा, निम्नलिखित गुण समीकरणों के लिए हमेशा सत्य होते हैं:

• प्रत्येक पद को समानता के विपरीत भाग में उसके चिन्ह को विपरीत के साथ बदलकर स्थानांतरित किया जा सकता है;
• किसी भी समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों को एक ही संख्या से विभाजित करने की अनुमति है, यदि यह शून्य के बराबर नहीं है।

रैखिक समीकरणों वाले कार्यों के उदाहरण

पहला कार्य।रैखिक समीकरण हल करें: 4x \u003d 20, 8 (x - 1) + 2x \u003d 2 (4 - 2x); (5x + 15) / (x + 4) = 4; (5x + 15) / (एक्स + 3) = 4।

इस सूची में सबसे पहले आने वाले समीकरण में, यह केवल 20 को 4 से विभाजित करने के लिए पर्याप्त है। परिणाम 5 होगा। यह उत्तर है: x \u003d 5.

तीसरे समीकरण के लिए आवश्यक है कि पहचान परिवर्तन किया जाए। इसमें कोष्ठकों को खोलना और समान पदों को लाना शामिल होगा। पहली क्रिया के बाद, समीकरण रूप लेगा: 8x - 8 + 2x \u003d 8 - 4x। फिर आपको सभी अज्ञातों को समानता के बाईं ओर और बाकी को दाईं ओर स्थानांतरित करने की आवश्यकता है। समीकरण इस तरह दिखेगा: 8x + 2x + 4x \u003d 8 + 8। समान पदों को लाने के बाद: 14x \u003d 16. अब यह पहले जैसा ही दिखता है, और इसका समाधान खोजना आसान है। उत्तर x=8/7 है। लेकिन गणित में यह माना जाता है कि यह पूरे भाग को एक अनुचित भिन्न से अलग करता है। तब परिणाम रूपांतरित हो जाएगा, और "x" एक पूर्ण और एक सातवें के बराबर होगा।

शेष उदाहरणों में, चर हर में हैं। इसका मतलब है कि आपको सबसे पहले यह पता लगाना होगा कि समीकरणों को किन मूल्यों से परिभाषित किया गया है। ऐसा करने के लिए, आपको उन संख्याओं को बाहर करना होगा जिन पर हर शून्य हो जाता है। पहले उदाहरणों में यह "-4" है, दूसरे में यह "-3" है। यानी इन मूल्यों को उत्तर से बाहर रखा जाना चाहिए। उसके बाद, आपको हर के भावों से समानता के दोनों पक्षों को गुणा करना होगा।

कोष्ठक खोलने और समान पदों को लाने पर, इनमें से पहले समीकरण में यह निकलता है: 5x + 15 = 4x + 16, और दूसरे में 5x + 15 = 4x + 12। परिवर्तनों के बाद, पहले समीकरण का समाधान x होगा। = -1। दूसरा "-3" के बराबर निकलता है, जिसका अर्थ है कि अंतिम के पास कोई समाधान नहीं है।

दूसरा कार्य।समीकरण को हल करें: -7x + 2y = 5।

मान लीजिए कि पहले अज्ञात x \u003d 1, तो समीकरण -7 * 1 + 2y \u003d 5 का रूप लेगा। गुणक "-7" को समानता के दाईं ओर स्थानांतरित करना और इसके संकेत को प्लस में बदलना, यह बदल जाता है उस 2y \u003d 12 से बाहर। तो, y =6। उत्तर: समीकरण x = 1, y = 6 के हलों में से एक।

एक चर के साथ असमानता का सामान्य रूप

असमानताओं के लिए सभी संभावित स्थितियों को यहाँ प्रस्तुत किया गया है:

• ए * एक्स> बी;
• ए*एक्स< в;
• ए * एक्स वी;
• ए * एक्स सी।

सामान्य तौर पर, यह सबसे सरल रैखिक समीकरण जैसा दिखता है, केवल समान चिह्न को एक असमानता से बदल दिया जाता है।

असमानता के समान परिवर्तन के नियम

रैखिक समीकरणों की तरह ही, कुछ नियमों के अनुसार असमानताओं को संशोधित किया जा सकता है। वे इसके लिए नीचे आते हैं:

1. असमानता के बाएँ और दाएँ भागों में कोई भी शाब्दिक या संख्यात्मक व्यंजक जोड़ा जा सकता है, और असमानता का चिह्न वही रहेगा;
2. उसी धनात्मक संख्या से गुणा या भाग करना भी संभव है, इससे फिर से चिन्ह नहीं बदलता है;
3. जब एक ही ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग किया जाता है, तो समानता सही रहेगी, बशर्ते कि असमानता का चिन्ह उलट दिया गया हो।

दोहरी असमानताओं का सामान्य रूप

कार्यों में, असमानताओं के निम्नलिखित रूप प्रस्तुत किए जा सकते हैं:

• में< а * х < с;
• सी ए * एक्स< с;
• में< а * х ≤ с;
• सी ए * एक्स ≤ सी।

इसे दोहरा कहा जाता है क्योंकि यह दोनों तरफ असमानता के संकेतों से सीमित है। इसे सामान्य असमानताओं के समान नियमों का उपयोग करके हल किया जाता है। और उत्तर खोजना समान परिवर्तनों की एक श्रृंखला के लिए नीचे आता है। जब तक सरलतम प्राप्त नहीं हो जाता।

दोहरी असमानताओं को हल करने की विशेषताएं

इनमें से पहला निर्देशांक अक्ष पर इसकी छवि है। साधारण असमानताओं के लिए इस पद्धति का उपयोग करने की कोई आवश्यकता नहीं है। लेकिन मुश्किल मामलों में, यह बस आवश्यक हो सकता है।

असमानता को दर्शाने के लिए, तर्क के दौरान प्राप्त सभी बिंदुओं को अक्ष पर अंकित करना आवश्यक है। ये दोनों अमान्य मान हैं, जिन्हें डॉट्स द्वारा दर्शाया गया है, और परिवर्तन के बाद प्राप्त असमानताओं से मूल्य। यहां भी, बिंदुओं को सही ढंग से खींचना महत्वपूर्ण है। यदि असमानता सख्त है, तो< или >, तो ये मान पंचर हो जाते हैं। गैर-सख्त असमानताओं में, बिंदुओं को चित्रित किया जाना चाहिए।

फिर असमानताओं के अर्थ को इंगित करना आवश्यक है। यह हैचिंग या आर्क्स के साथ किया जा सकता है। उनका चौराहा उत्तर इंगित करेगा।

दूसरा फीचर इसकी रिकॉर्डिंग से जुड़ा है। यहां दो विकल्प दिए गए हैं। पहली परम असमानता है। दूसरा अंतराल के रूप में है। यहीं वह मुश्किल में पड़ जाता है। अंतराल में उत्तर हमेशा एक स्वामित्व चिह्न और संख्याओं के साथ कोष्ठक के साथ एक चर की तरह दिखता है। कभी-कभी कई अंतराल होते हैं, फिर आपको कोष्ठक के बीच "और" प्रतीक लिखने की आवश्यकता होती है। ये संकेत इस तरह दिखते हैं: और । रिक्ति कोष्ठक भी एक भूमिका निभाते हैं। जब बिंदु को उत्तर से हटा दिया जाता है तो गोल रखा जाता है, और आयताकार में यह मान शामिल होता है। अनंत चिह्न हमेशा कोष्ठक में होता है।

असमानताओं को हल करने के उदाहरण

1. असमानता को हल करें 7 - 5x 37.

सरल परिवर्तनों के बाद, यह पता चला है: -5x 30. "-5" से विभाजित करके, आप निम्न अभिव्यक्ति प्राप्त कर सकते हैं: x -6। यह पहले से ही एक उत्तर है, लेकिन इसे दूसरे तरीके से लिखा जा सकता है: x (-∞; -6]।

2. दोहरी असमानता को हल करें -4< 2x + 6 ≤ 8.

पहले आपको हर जगह 6 घटाना होगा। यह पता चला है: -10< 2x ≤ 2. Теперь нужно разделить на 2. Неравенство примет вид: -5 < x ≤ 1. Изобразив ответ на числовой оси, сразу можно понять, что результатом будет промежуток от -5 до 1. Причем первая точка исключена, а вторая включена. То есть ответ у неравенства такой: х ∈ (-5; 1].

विभिन्न प्रक्रियाओं के गणितीय मॉडलिंग में आर्थिक उद्योग में समीकरणों की प्रणाली का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, उत्पादन प्रबंधन और योजना, रसद मार्ग (परिवहन समस्या) या उपकरण प्लेसमेंट की समस्याओं को हल करते समय।

समीकरण प्रणालियों का उपयोग न केवल गणित के क्षेत्र में, बल्कि भौतिकी, रसायन विज्ञान और जीव विज्ञान में भी किया जाता है, जब जनसंख्या के आकार को खोजने की समस्याओं को हल किया जाता है।

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली कई चर वाले दो या दो से अधिक समीकरणों के लिए एक शब्द है जिसके लिए एक सामान्य समाधान खोजना आवश्यक है। संख्याओं का ऐसा क्रम जिसके लिए सभी समीकरण वास्तविक समानताएँ बन जाते हैं या यह सिद्ध करते हैं कि अनुक्रम मौजूद नहीं है।

रेखीय समीकरण

ax+by=c रूप के समीकरण रैखिक कहलाते हैं। पदनाम x, y अज्ञात हैं, जिनका मान ज्ञात होना चाहिए, b, a चर के गुणांक हैं, c समीकरण का मुक्त पद है।
इसका ग्राफ बनाकर समीकरण को हल करना एक सीधी रेखा की तरह दिखाई देगा, जिसके सभी बिंदु बहुपद का हल हैं।

रैखिक समीकरणों की प्रणालियों के प्रकार

सबसे सरल दो चर X और Y वाले रैखिक समीकरणों के सिस्टम के उदाहरण हैं।

F1(x, y) = 0 और F2(x, y) = 0, जहां F1,2 फलन हैं और (x, y) फलन चर हैं।

समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें - इसका अर्थ है ऐसे मान (x, y) को खोजना जिसके लिए प्रणाली एक सच्ची समानता बन जाती है, या यह स्थापित करना कि x और y के कोई उपयुक्त मान नहीं हैं।

बिंदु निर्देशांक के रूप में लिखे गए मानों (x, y) की एक जोड़ी को रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली का समाधान कहा जाता है।

यदि सिस्टम का एक सामान्य समाधान है या कोई समाधान नहीं है, तो उन्हें समकक्ष कहा जाता है।

रैखिक समीकरणों की समांगी प्रणालियाँ ऐसी प्रणालियाँ हैं जिनका दायाँ पक्ष शून्य के बराबर है। यदि "बराबर" चिह्न के बाद दाहिने भाग का मान है या किसी फ़ंक्शन द्वारा व्यक्त किया गया है, तो ऐसी प्रणाली सजातीय नहीं है।

चरों की संख्या दो से अधिक हो सकती है, तो हमें तीन या अधिक चर वाले रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली के उदाहरण के बारे में बात करनी चाहिए।

सिस्टम का सामना करते हुए, स्कूली बच्चे मानते हैं कि समीकरणों की संख्या आवश्यक रूप से अज्ञात की संख्या के साथ मेल खाना चाहिए, लेकिन ऐसा नहीं है। सिस्टम में समीकरणों की संख्या चर पर निर्भर नहीं करती है, उनमें से एक मनमाने ढंग से बड़ी संख्या में हो सकती है।

समीकरणों के निकाय को हल करने की सरल और जटिल विधियाँ

ऐसी प्रणालियों को हल करने का कोई सामान्य विश्लेषणात्मक तरीका नहीं है, सभी विधियाँ संख्यात्मक समाधानों पर आधारित हैं। स्कूल गणित पाठ्यक्रम में क्रमपरिवर्तन, बीजगणितीय जोड़, प्रतिस्थापन, साथ ही ग्राफिकल और मैट्रिक्स विधि, गॉस विधि द्वारा समाधान जैसी विधियों का विस्तार से वर्णन किया गया है।

हल करने के तरीकों को पढ़ाने में मुख्य कार्य यह सिखाना है कि सिस्टम का सही विश्लेषण कैसे करें और प्रत्येक उदाहरण के लिए इष्टतम समाधान एल्गोरिदम खोजें। मुख्य बात प्रत्येक विधि के लिए नियमों और क्रियाओं की प्रणाली को याद रखना नहीं है, बल्कि किसी विशेष विधि को लागू करने के सिद्धांतों को समझना है।

सामान्य शिक्षा स्कूल कार्यक्रम के 7 वीं कक्षा के रैखिक समीकरणों की प्रणालियों के उदाहरणों का समाधान काफी सरल है और इसे बहुत विस्तार से समझाया गया है। गणित की किसी भी पाठ्यपुस्तक में इस खंड पर पर्याप्त ध्यान दिया जाता है। उच्च शिक्षण संस्थानों के पहले पाठ्यक्रमों में गॉस और क्रैमर की विधि द्वारा रैखिक समीकरणों की प्रणालियों के उदाहरणों के समाधान का अधिक विस्तार से अध्ययन किया जाता है।

प्रतिस्थापन विधि द्वारा प्रणालियों का समाधान

प्रतिस्थापन विधि की क्रियाओं का उद्देश्य एक चर के मान को दूसरे के माध्यम से व्यक्त करना है। व्यंजक को शेष समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाता है, फिर इसे एक चर रूप में घटाया जाता है। सिस्टम में अज्ञात की संख्या के आधार पर कार्रवाई दोहराई जाती है

आइए प्रतिस्थापन विधि द्वारा 7वीं कक्षा के रैखिक समीकरणों की प्रणाली का एक उदाहरण दें:

जैसा कि उदाहरण से देखा जा सकता है, चर एक्स को एफ (एक्स) = 7 + वाई के माध्यम से व्यक्त किया गया था। परिणामी अभिव्यक्ति, एक्स के स्थान पर सिस्टम के दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित, ने दूसरे समीकरण में एक चर वाई प्राप्त करने में मदद की . इस उदाहरण का समाधान कठिनाइयों का कारण नहीं बनता है और आपको Y मान प्राप्त करने की अनुमति देता है। अंतिम चरण प्राप्त मूल्यों की जांच करना है।

प्रतिस्थापन द्वारा रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली के उदाहरण को हल करना हमेशा संभव नहीं होता है। समीकरण जटिल हो सकते हैं और दूसरे अज्ञात के संदर्भ में चर की अभिव्यक्ति आगे की गणना के लिए बहुत बोझिल होगी। जब सिस्टम में 3 से अधिक अज्ञात होते हैं, तो प्रतिस्थापन समाधान भी अव्यावहारिक होता है।

रैखिक अमानवीय समीकरणों की एक प्रणाली के उदाहरण का समाधान:

बीजगणितीय जोड़ का उपयोग करके समाधान

जोड़ विधि द्वारा सिस्टम के समाधान की खोज करते समय, टर्म-दर-टर्म जोड़ और विभिन्न संख्याओं द्वारा समीकरणों का गुणन किया जाता है। गणितीय संक्रियाओं का अंतिम लक्ष्य एक चर वाला समीकरण है।

इस पद्धति के अनुप्रयोगों के लिए अभ्यास और अवलोकन की आवश्यकता होती है। 3 या अधिक चरों की संख्या के साथ योग विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करना आसान नहीं है। बीजगणितीय योग तब उपयोगी होता है जब समीकरणों में भिन्न और दशमलव संख्याएँ हों।

समाधान क्रिया एल्गोरिथ्म:

1. समीकरण के दोनों पक्षों को किसी संख्या से गुणा करें। अंकगणितीय ऑपरेशन के परिणामस्वरूप, चर के गुणांकों में से एक को 1 के बराबर होना चाहिए।
2. परिणामी व्यंजक पद को पद के अनुसार जोड़ें और अज्ञात में से एक का पता लगाएं।
3. शेष चर को खोजने के लिए परिणामी मान को सिस्टम के दूसरे समीकरण में रखें।

एक नया चर पेश करके समाधान विधि

एक नया चर पेश किया जा सकता है यदि सिस्टम को दो से अधिक समीकरणों के लिए समाधान खोजने की आवश्यकता होती है, तो अज्ञात की संख्या भी दो से अधिक नहीं होनी चाहिए।

इस विधि का प्रयोग किसी एक समीकरण को एक नए चर का परिचय देकर सरल बनाने के लिए किया जाता है। नया समीकरण दर्ज अज्ञात के संबंध में हल किया जाता है, और परिणामी मूल्य का उपयोग मूल चर को निर्धारित करने के लिए किया जाता है।

यह उदाहरण से देखा जा सकता है कि एक नया चर टी पेश करके, सिस्टम के पहले समीकरण को मानक वर्ग ट्रिनोमियल में कम करना संभव था। आप विभेदक का पता लगाकर बहुपद को हल कर सकते हैं।

जाने-माने सूत्र का उपयोग करके विवेचक का मान ज्ञात करना आवश्यक है: D = b2 - 4*a*c, जहाँ D वांछित विभेदक है, b, a, c बहुपद के गुणक हैं। दिए गए उदाहरण में, a=1, b=16, c=39, इसलिए D=100। यदि विवेचक शून्य से बड़ा है, तो दो समाधान हैं: t = -b±√D / 2*a, यदि विवेचक शून्य से कम है, तो केवल एक ही समाधान है: x= -b / 2*a।

परिणामी प्रणालियों का समाधान अतिरिक्त विधि द्वारा पाया जाता है।

सिस्टम को हल करने के लिए एक दृश्य विधि

3 समीकरणों वाले सिस्टम के लिए उपयुक्त। इस पद्धति में समन्वय अक्ष पर प्रणाली में शामिल प्रत्येक समीकरण के आलेखों को आलेखित करना शामिल है। वक्रों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के निर्देशांक निकाय का सामान्य हल होंगे।

ग्राफिक विधि में कई बारीकियां हैं। एक दृश्य तरीके से रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के कई उदाहरणों पर विचार करें।

जैसा कि उदाहरण से देखा जा सकता है, प्रत्येक पंक्ति के लिए दो बिंदुओं का निर्माण किया गया था, चर x के मान मनमाने ढंग से चुने गए थे: 0 और 3. x के मानों के आधार पर, y के मान पाए गए: 3 और 0. निर्देशांक (0, 3) और (3, 0) वाले बिंदुओं को ग्राफ पर चिह्नित किया गया और एक रेखा से जोड़ा गया।

दूसरे समीकरण के लिए चरणों को दोहराया जाना चाहिए। रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु निकाय का समाधान है।

निम्नलिखित उदाहरण में, रैखिक समीकरणों की प्रणाली के लिए एक ग्राफिकल समाधान खोजना आवश्यक है: 0.5x-y+2=0 और 0.5x-y-1=0.

जैसा कि उदाहरण से देखा जा सकता है, सिस्टम का कोई समाधान नहीं है, क्योंकि ग्राफ़ समानांतर हैं और उनकी पूरी लंबाई के साथ प्रतिच्छेद नहीं करते हैं।

उदाहरण 2 और 3 के सिस्टम समान हैं, लेकिन जब निर्माण किया जाता है, तो यह स्पष्ट हो जाता है कि उनके समाधान अलग हैं। यह याद रखना चाहिए कि यह कहना हमेशा संभव नहीं है कि सिस्टम के पास कोई समाधान है या नहीं, एक ग्राफ बनाना हमेशा आवश्यक होता है।

मैट्रिक्स और इसकी किस्में

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को संक्षेप में लिखने के लिए मैट्रिक्स का उपयोग किया जाता है। मैट्रिक्स एक विशेष प्रकार की तालिका होती है जो संख्याओं से भरी होती है। n*m में n-पंक्तियाँ और m-स्तंभ हैं।

एक मैट्रिक्स वर्गाकार होता है जब स्तंभों और पंक्तियों की संख्या समान होती है। एक मैट्रिक्स-वेक्टर एक एकल-स्तंभ मैट्रिक्स है जिसमें असीमित संभव पंक्तियों की संख्या होती है। एक विकर्ण और अन्य शून्य तत्वों के साथ इकाइयों के साथ एक मैट्रिक्स को पहचान कहा जाता है।

व्युत्क्रम मैट्रिक्स एक ऐसा मैट्रिक्स है, जिसे गुणा करने पर मूल एक इकाई में बदल जाता है, ऐसा मैट्रिक्स केवल मूल वर्ग एक के लिए मौजूद होता है।

समीकरणों की प्रणाली को मैट्रिक्स में बदलने के नियम

समीकरणों की प्रणालियों के संबंध में, समीकरणों के गुणांक और मुक्त सदस्यों को मैट्रिक्स की संख्या के रूप में लिखा जाता है, एक समीकरण मैट्रिक्स की एक पंक्ति है।

एक मैट्रिक्स पंक्ति को गैर-शून्य कहा जाता है यदि पंक्ति का कम से कम एक तत्व शून्य के बराबर नहीं है। इसलिए, यदि किसी भी समीकरण में चर की संख्या भिन्न होती है, तो लापता अज्ञात के स्थान पर शून्य दर्ज करना आवश्यक है।

मैट्रिक्स के कॉलम सख्ती से चर के अनुरूप होने चाहिए। इसका मतलब है कि चर x के गुणांक केवल एक कॉलम में लिखे जा सकते हैं, उदाहरण के लिए पहला, अज्ञात y का गुणांक - केवल दूसरे में।

मैट्रिक्स को गुणा करते समय, सभी मैट्रिक्स तत्वों को क्रमिक रूप से एक संख्या से गुणा किया जाता है।

व्युत्क्रम मैट्रिक्स खोजने के विकल्प

व्युत्क्रम मैट्रिक्स को खोजने का सूत्र काफी सरल है: K -1 = 1 / |K|, जहाँ K -1 व्युत्क्रम मैट्रिक्स है और |K| - मैट्रिक्स निर्धारक। |के| शून्य के बराबर नहीं होना चाहिए, तो सिस्टम के पास एक समाधान है।

निर्धारक की गणना दो-दो-दो मैट्रिक्स के लिए आसानी से की जाती है, केवल तत्वों को एक दूसरे से तिरछे गुणा करना आवश्यक है। "तीन बटा तीन" विकल्प के लिए, एक सूत्र है |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + ए 3 बी 2 सी 1। आप सूत्र का उपयोग कर सकते हैं, या आप याद रख सकते हैं कि आपको प्रत्येक पंक्ति और प्रत्येक स्तंभ से एक तत्व लेने की आवश्यकता है ताकि उत्पाद में तत्वों के स्तंभ और पंक्ति संख्या दोहराई न जाए।

मैट्रिक्स विधि द्वारा रैखिक समीकरणों के सिस्टम के उदाहरणों का समाधान

समाधान खोजने की मैट्रिक्स विधि बड़ी संख्या में चर और समीकरणों के साथ सिस्टम को हल करते समय बोझिल प्रविष्टियों को कम करना संभव बनाती है।

उदाहरण में, एक एनएम समीकरणों के गुणांक हैं, मैट्रिक्स एक वेक्टर है x n चर हैं, और b n मुक्त शब्द हैं।

गॉस विधि द्वारा प्रणालियों का समाधान

उच्च गणित में, गॉस विधि का अध्ययन क्रैमर विधि के साथ किया जाता है, और सिस्टम का समाधान खोजने की प्रक्रिया को गॉस-क्रैमर विधि को हल करने के लिए कहा जाता है। इन विधियों का उपयोग बड़ी संख्या में रैखिक समीकरणों वाले सिस्टम के चर को खोजने के लिए किया जाता है।

गाऊसी विधि प्रतिस्थापन और बीजीय जोड़ समाधान के समान है, लेकिन अधिक व्यवस्थित है। स्कूल के पाठ्यक्रम में, गाऊसी समाधान का उपयोग 3 और 4 समीकरणों के सिस्टम के लिए किया जाता है। विधि का उद्देश्य प्रणाली को एक उल्टे ट्रेपोजॉइड के रूप में लाना है। बीजगणितीय परिवर्तनों और प्रतिस्थापन द्वारा, एक चर का मान सिस्टम के समीकरणों में से एक में पाया जाता है। दूसरा समीकरण 2 अज्ञात के साथ एक अभिव्यक्ति है, और 3 और 4 - क्रमशः 3 और 4 चर के साथ।

सिस्टम को वर्णित रूप में लाने के बाद, सिस्टम के समीकरणों में ज्ञात चर के क्रमिक प्रतिस्थापन के लिए आगे का समाधान कम हो जाता है।

कक्षा 7 की स्कूली पाठ्यपुस्तकों में गाऊसी समाधान का एक उदाहरण इस प्रकार वर्णित है:

जैसा कि उदाहरण से देखा जा सकता है, चरण (3) में दो समीकरण 3x 3 -2x 4 =11 और 3x 3 +2x 4 =7 प्राप्त हुए। किसी भी समीकरण का हल आपको x n में से किसी एक चर का पता लगाने की अनुमति देगा।

प्रमेय 5, जिसका उल्लेख पाठ में किया गया है, में कहा गया है कि यदि सिस्टम के समीकरणों में से एक को समकक्ष द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, तो परिणामी प्रणाली भी मूल के बराबर होगी।

गॉस विधि मध्य विद्यालय के छात्रों के लिए समझना मुश्किल है, लेकिन गणित और भौतिकी कक्षाओं में उन्नत अध्ययन कार्यक्रम में पढ़ रहे बच्चों की सरलता को विकसित करने के सबसे दिलचस्प तरीकों में से एक है।

गणनाओं को रिकॉर्ड करने में आसानी के लिए, यह निम्नलिखित करने के लिए प्रथागत है:

समीकरण गुणांक और मुक्त शब्द एक मैट्रिक्स के रूप में लिखे जाते हैं, जहां मैट्रिक्स की प्रत्येक पंक्ति सिस्टम के समीकरणों में से एक से मेल खाती है। समीकरण के बाएँ पक्ष को दाएँ पक्ष से अलग करता है। रोमन अंक प्रणाली में समीकरणों की संख्या को दर्शाते हैं।

सबसे पहले, वे उस मैट्रिक्स को लिखते हैं जिसके साथ काम करना है, फिर सभी क्रियाओं को पंक्तियों में से एक के साथ किया जाता है। परिणामी मैट्रिक्स "तीर" चिह्न के बाद लिखा जाता है और परिणाम प्राप्त होने तक आवश्यक बीजगणितीय संचालन करना जारी रखता है।

नतीजतन, एक मैट्रिक्स प्राप्त किया जाना चाहिए जिसमें विकर्णों में से एक 1 है, और अन्य सभी गुणांक शून्य के बराबर हैं, अर्थात मैट्रिक्स को एक ही रूप में घटाया गया है। हमें समीकरण के दोनों पक्षों की संख्याओं के साथ गणना करना नहीं भूलना चाहिए।

यह संकेतन कम बोझिल है और आपको कई अज्ञात को सूचीबद्ध करके विचलित नहीं होने देता है।

समाधान के किसी भी तरीके के मुफ्त आवेदन के लिए देखभाल और एक निश्चित मात्रा में अनुभव की आवश्यकता होगी। सभी तरीके लागू नहीं होते हैं। मानव गतिविधि के किसी विशेष क्षेत्र में समाधान खोजने के कुछ तरीके अधिक बेहतर होते हैं, जबकि अन्य सीखने के उद्देश्य से मौजूद होते हैं।

समीकरणों को हल करना सीखना मुख्य कार्यों में से एक है जो बीजगणित छात्रों को प्रस्तुत करता है। सबसे सरल से शुरू करते हुए, जब इसमें एक अज्ञात होता है, और अधिक से अधिक जटिल लोगों की ओर बढ़ता है। यदि आपने पहले समूह के समीकरणों के साथ की जाने वाली क्रियाओं में महारत हासिल नहीं की है, तो दूसरों के साथ व्यवहार करना मुश्किल होगा।

बातचीत जारी रखने के लिए, हमें अंकन पर सहमत होना होगा।

एक अज्ञात के साथ एक रैखिक समीकरण का सामान्य रूप और इसके समाधान का सिद्धांत

कोई भी समीकरण जिसे इस तरह लिखा जा सकता है:

ए * एक्स = इन,

बुलाया रैखिक. यह सामान्य सूत्र है। लेकिन अक्सर असाइनमेंट में, रैखिक समीकरण एक निहित रूप में लिखे जाते हैं। फिर आम तौर पर स्वीकृत अंकन प्राप्त करने के लिए समान परिवर्तन करने की आवश्यकता होती है। इन क्रियाओं में शामिल हैं:

• उद्घाटन कोष्ठक;
• सभी पदों को एक चर मान के साथ समानता के बाईं ओर ले जाना, और शेष को दाईं ओर ले जाना;
• समान शर्तों में कमी।

मामले में जब एक अज्ञात मूल्य एक अंश के हर में होता है, तो उसके मूल्यों को निर्धारित करना आवश्यक होता है जिसके लिए अभिव्यक्ति का कोई मतलब नहीं होगा। दूसरे शब्दों में, यह समीकरण के क्षेत्र को जानने वाला है।

वह सिद्धांत जिसके द्वारा सभी रैखिक समीकरण हल किए जाते हैं, समीकरण के दाईं ओर के मान को चर के सामने गुणांक से विभाजित करना है। यानी "x" / a के बराबर होगा।

रैखिक समीकरण के विशेष मामले और उनके समाधान

तर्क के दौरान, ऐसे क्षण आ सकते हैं जब रैखिक समीकरण एक विशेष रूप धारण कर लेते हैं। उनमें से प्रत्येक का एक विशिष्ट समाधान है।

पहली स्थिति में:

ए * एक्स = 0, और एक 0.

इस समीकरण का हल हमेशा x = 0 होगा।

दूसरे मामले में, "ए" शून्य के बराबर मान लेता है:

0 * एक्स = 0.

इस समीकरण का उत्तर कोई भी संख्या है। यानी इसकी अनंत संख्या में जड़ें हैं।

तीसरी स्थिति इस तरह दिखती है:

0*x=में, जहां 0.

यह समीकरण समझ में नहीं आता है। क्योंकि ऐसी कोई जड़ें नहीं हैं जो उसे संतुष्ट करती हों।

दो चरों वाले रैखिक समीकरण का सामान्य रूप

इसके नाम से यह स्पष्ट हो जाता है कि इसमें पहले से ही दो अज्ञात मात्राएँ हैं। दो चर वाले रैखिक समीकरणऐसे दिखते हैं:

ए * एक्स + बी * वाई = सी.

चूंकि प्रविष्टि में दो अज्ञात हैं, उत्तर संख्याओं की एक जोड़ी की तरह दिखेगा। अर्थात्, केवल एक मान निर्दिष्ट करना पर्याप्त नहीं है। यह अधूरा उत्तर होगा। मात्राओं का वह युग्म जिस पर समीकरण एक सर्वसमिका बन जाता है, समीकरण का एक हल होता है। इसके अलावा, उत्तर में, वर्णमाला में पहले आने वाले चर को हमेशा पहले लिखा जाता है। कभी-कभी यह कहा जाता है कि ये संख्याएँ उसे संतुष्ट करती हैं। इसके अलावा, ऐसे जोड़े की अनंत संख्या हो सकती है।

दो अज्ञात के साथ एक रैखिक समीकरण को कैसे हल करें?

ऐसा करने के लिए, आपको बस किसी भी संख्या के जोड़े को चुनना होगा जो सही साबित हो। सरलता के लिए, आप अज्ञात में से किसी एक को अभाज्य संख्या के बराबर ले सकते हैं, और फिर दूसरा ज्ञात कर सकते हैं।

हल करते समय, आपको अक्सर समीकरण को सरल बनाने के लिए कार्य करने पड़ते हैं। उन्हें समान परिवर्तन कहा जाता है। इसके अलावा, निम्नलिखित गुण समीकरणों के लिए हमेशा सत्य होते हैं:

• प्रत्येक पद को समानता के विपरीत भाग में उसके चिन्ह को विपरीत के साथ बदलकर स्थानांतरित किया जा सकता है;
• किसी भी समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों को एक ही संख्या से विभाजित करने की अनुमति है, यदि यह शून्य के बराबर नहीं है।

रैखिक समीकरणों वाले कार्यों के उदाहरण

पहला कार्य।रैखिक समीकरण हल करें: 4x \u003d 20, 8 (x - 1) + 2x \u003d 2 (4 - 2x); (5x + 15) / (x + 4) = 4; (5x + 15) / (एक्स + 3) = 4।

इस सूची में सबसे पहले आने वाले समीकरण में, यह केवल 20 को 4 से विभाजित करने के लिए पर्याप्त है। परिणाम 5 होगा। यह उत्तर है: x \u003d 5.

तीसरे समीकरण के लिए आवश्यक है कि पहचान परिवर्तन किया जाए। इसमें कोष्ठकों को खोलना और समान पदों को लाना शामिल होगा। पहली क्रिया के बाद, समीकरण रूप लेगा: 8x - 8 + 2x \u003d 8 - 4x। फिर आपको सभी अज्ञातों को समानता के बाईं ओर और बाकी को दाईं ओर स्थानांतरित करने की आवश्यकता है। समीकरण इस तरह दिखेगा: 8x + 2x + 4x \u003d 8 + 8। समान पदों को लाने के बाद: 14x \u003d 16. अब यह पहले जैसा ही दिखता है, और इसका समाधान खोजना आसान है। उत्तर x=8/7 है। लेकिन गणित में यह माना जाता है कि यह पूरे भाग को एक अनुचित भिन्न से अलग करता है। तब परिणाम रूपांतरित हो जाएगा, और "x" एक पूर्ण और एक सातवें के बराबर होगा।

शेष उदाहरणों में, चर हर में हैं। इसका मतलब है कि आपको सबसे पहले यह पता लगाना होगा कि समीकरणों को किन मूल्यों से परिभाषित किया गया है। ऐसा करने के लिए, आपको उन संख्याओं को बाहर करना होगा जिन पर हर शून्य हो जाता है। पहले उदाहरणों में यह "-4" है, दूसरे में यह "-3" है। यानी इन मूल्यों को उत्तर से बाहर रखा जाना चाहिए। उसके बाद, आपको हर के भावों से समानता के दोनों पक्षों को गुणा करना होगा।

कोष्ठक खोलने और समान पदों को लाने पर, इनमें से पहले समीकरण में यह निकलता है: 5x + 15 = 4x + 16, और दूसरे में 5x + 15 = 4x + 12। परिवर्तनों के बाद, पहले समीकरण का समाधान x होगा। = -1। दूसरा "-3" के बराबर निकलता है, जिसका अर्थ है कि अंतिम के पास कोई समाधान नहीं है।

दूसरा कार्य।समीकरण को हल करें: -7x + 2y = 5।

मान लीजिए कि पहले अज्ञात x \u003d 1, तो समीकरण -7 * 1 + 2y \u003d 5 का रूप लेगा। गुणक "-7" को समानता के दाईं ओर स्थानांतरित करना और इसके संकेत को प्लस में बदलना, यह बदल जाता है उस 2y \u003d 12 से बाहर। तो, y =6। उत्तर: समीकरण x = 1, y = 6 के हलों में से एक।

एक चर के साथ असमानता का सामान्य रूप

असमानताओं के लिए सभी संभावित स्थितियों को यहाँ प्रस्तुत किया गया है:

• ए * एक्स> बी;
• ए*एक्स< в;
• ए * एक्स वी;
• ए * एक्स सी।

सामान्य तौर पर, यह सबसे सरल रैखिक समीकरण जैसा दिखता है, केवल समान चिह्न को एक असमानता से बदल दिया जाता है।

असमानता के समान परिवर्तन के नियम

रैखिक समीकरणों की तरह ही, कुछ नियमों के अनुसार असमानताओं को संशोधित किया जा सकता है। वे इसके लिए नीचे आते हैं:

1. असमानता के बाएँ और दाएँ भागों में कोई भी शाब्दिक या संख्यात्मक व्यंजक जोड़ा जा सकता है, और असमानता का चिह्न वही रहेगा;
2. उसी धनात्मक संख्या से गुणा या भाग करना भी संभव है, इससे फिर से चिन्ह नहीं बदलता है;
3. जब एक ही ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग किया जाता है, तो समानता सही रहेगी, बशर्ते कि असमानता का चिन्ह उलट दिया गया हो।

दोहरी असमानताओं का सामान्य रूप

कार्यों में, असमानताओं के निम्नलिखित रूप प्रस्तुत किए जा सकते हैं:

• में< а * х < с;
• सी ए * एक्स< с;
• में< а * х ≤ с;
• सी ए * एक्स ≤ सी।

इसे दोहरा कहा जाता है क्योंकि यह दोनों तरफ असमानता के संकेतों से सीमित है। इसे सामान्य असमानताओं के समान नियमों का उपयोग करके हल किया जाता है। और उत्तर खोजना समान परिवर्तनों की एक श्रृंखला के लिए नीचे आता है। जब तक सरलतम प्राप्त नहीं हो जाता।

दोहरी असमानताओं को हल करने की विशेषताएं

इनमें से पहला निर्देशांक अक्ष पर इसकी छवि है। साधारण असमानताओं के लिए इस पद्धति का उपयोग करने की कोई आवश्यकता नहीं है। लेकिन मुश्किल मामलों में, यह बस आवश्यक हो सकता है।

असमानता को दर्शाने के लिए, तर्क के दौरान प्राप्त सभी बिंदुओं को अक्ष पर अंकित करना आवश्यक है। ये दोनों अमान्य मान हैं, जिन्हें डॉट्स द्वारा दर्शाया गया है, और परिवर्तन के बाद प्राप्त असमानताओं से मूल्य। यहां भी, बिंदुओं को सही ढंग से खींचना महत्वपूर्ण है। यदि असमानता सख्त है, तो< или >, तो ये मान पंचर हो जाते हैं। गैर-सख्त असमानताओं में, बिंदुओं को चित्रित किया जाना चाहिए।

फिर असमानताओं के अर्थ को इंगित करना आवश्यक है। यह हैचिंग या आर्क्स के साथ किया जा सकता है। उनका चौराहा उत्तर इंगित करेगा।

दूसरा फीचर इसकी रिकॉर्डिंग से जुड़ा है। यहां दो विकल्प दिए गए हैं। पहली परम असमानता है। दूसरा अंतराल के रूप में है। यहीं वह मुश्किल में पड़ जाता है। अंतराल में उत्तर हमेशा एक स्वामित्व चिह्न और संख्याओं के साथ कोष्ठक के साथ एक चर की तरह दिखता है। कभी-कभी कई अंतराल होते हैं, फिर आपको कोष्ठक के बीच "और" प्रतीक लिखने की आवश्यकता होती है। ये संकेत इस तरह दिखते हैं: और । रिक्ति कोष्ठक भी एक भूमिका निभाते हैं। जब बिंदु को उत्तर से हटा दिया जाता है तो गोल रखा जाता है, और आयताकार में यह मान शामिल होता है। अनंत चिह्न हमेशा कोष्ठक में होता है।

असमानताओं को हल करने के उदाहरण

1. असमानता को हल करें 7 - 5x 37.

सरल परिवर्तनों के बाद, यह पता चला है: -5x 30. "-5" से विभाजित करके, आप निम्न अभिव्यक्ति प्राप्त कर सकते हैं: x -6। यह पहले से ही एक उत्तर है, लेकिन इसे दूसरे तरीके से लिखा जा सकता है: x (-∞; -6]।

2. दोहरी असमानता को हल करें -4< 2x + 6 ≤ 8.

पहले आपको हर जगह 6 घटाना होगा। यह पता चला है: -10< 2x ≤ 2. Теперь нужно разделить на 2. Неравенство примет вид: -5 < x ≤ 1. Изобразив ответ на числовой оси, сразу можно понять, что результатом будет промежуток от -5 до 1. Причем первая точка исключена, а вторая включена. То есть ответ у неравенства такой: х ∈ (-5; 1].

और इसी तरह, अन्य प्रकार के समीकरणों से परिचित होना तर्कसंगत है। अगली पंक्ति में हैं रेखीय समीकरण, जिसका उद्देश्यपूर्ण अध्ययन कक्षा 7 में बीजगणित के पाठों में शुरू होता है।

यह स्पष्ट है कि पहले आपको यह समझाने की आवश्यकता है कि एक रैखिक समीकरण क्या है, एक रैखिक समीकरण की परिभाषा दें, इसके गुणांक, इसका सामान्य रूप दिखाएं। फिर आप यह पता लगा सकते हैं कि गुणांक के मूल्यों के आधार पर एक रैखिक समीकरण के कितने समाधान हैं, और जड़ें कैसे पाई जाती हैं। यह आपको उदाहरणों को हल करने के लिए आगे बढ़ने की अनुमति देगा, और इस तरह अध्ययन किए गए सिद्धांत को मजबूत करेगा। इस लेख में हम यह करेंगे: हम रैखिक समीकरणों और उनके समाधान के संबंध में सभी सैद्धांतिक और व्यावहारिक बिंदुओं पर विस्तार से ध्यान देंगे।

आइए तुरंत कहें कि यहां हम केवल एक चर के साथ रैखिक समीकरणों पर विचार करेंगे, और एक अलग लेख में हम हल करने के सिद्धांतों का अध्ययन करेंगे दो चरों में रैखिक समीकरण.

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एक रैखिक समीकरण क्या है?

एक रैखिक समीकरण की परिभाषा इसके संकेतन के रूप में दी गई है। इसके अलावा, गणित और बीजगणित की विभिन्न पाठ्यपुस्तकों में, रैखिक समीकरणों की परिभाषाओं के निर्माण में कुछ अंतर होते हैं जो मुद्दे के सार को प्रभावित नहीं करते हैं।

उदाहरण के लिए, यू.एन. मकारिचेवा और अन्य द्वारा ग्रेड 7 के लिए बीजगणित पाठ्यपुस्तक में, एक रैखिक समीकरण को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:

परिभाषा।

समीकरण टाइप करें कुल्हाड़ी = बीजहाँ x एक चर है, a और b कुछ संख्याएँ हैं, कहलाती हैं एक चर के साथ रैखिक समीकरण.

आइए हम स्वरित परिभाषा के अनुरूप रैखिक समीकरणों के उदाहरण दें। उदाहरण के लिए, 5 x=10 एक चर x वाला एक रैखिक समीकरण है, यहां गुणांक a 5 है, और संख्या b 10 है। एक अन्य उदाहरण: −2.3 y=0 भी एक रैखिक समीकरण है, लेकिन चर y के साथ, जहां a=−2.3 और b=0 । और रैखिक समीकरणों में x=−2 और −x=3.33 a स्पष्ट रूप से मौजूद नहीं हैं और क्रमशः 1 और −1 के बराबर हैं, जबकि पहले समीकरण b=−2 , और दूसरे में - b=3.33 ।

और एक साल पहले, एन। या। विलेनकिन द्वारा गणित की पाठ्यपुस्तक में, एक अज्ञात के साथ रैखिक समीकरण, एक एक्स = बी के रूप के समीकरणों के अलावा, ऐसे समीकरण भी माने जाते थे जिन्हें एक से शब्दों को स्थानांतरित करके इस रूप में कम किया जा सकता है। समीकरण का एक हिस्सा विपरीत चिह्न के साथ, साथ ही समान पदों को कम करके। इस परिभाषा के अनुसार, 5 x=2 x+6, आदि के रूप के समीकरण। रैखिक भी हैं।

बदले में, एजी मोर्दकोविच द्वारा 7 कक्षाओं के लिए बीजगणित पाठ्यपुस्तक में निम्नलिखित परिभाषा दी गई है:

परिभाषा।

एक चर x . के साथ रैखिक समीकरण a x+b=0 रूप का एक समीकरण है, जहां a और b कुछ संख्याएं हैं, जिन्हें रैखिक समीकरण के गुणांक कहा जाता है।

उदाहरण के लिए, इस प्रकार के रैखिक समीकरण 2 x−12=0 हैं, यहां गुणांक a 2 है, और b −12 के बराबर है, और 0.2 y+4.6=0 गुणांक a=0.2 और b =4.6 के साथ है। लेकिन साथ ही, ऐसे रैखिक समीकरणों के उदाहरण हैं जिनका रूप नहीं है a x+b=0 , लेकिन a x=b , उदाहरण के लिए, 3 x=12 ।

आइए, ताकि भविष्य में हमारे पास कोई विसंगति न हो, एक चर x और गुणांक a और b के साथ एक रैखिक समीकरण के तहत हम फॉर्म के एक समीकरण को समझेंगे a x+b=0 । इस प्रकार का रैखिक समीकरण सबसे अधिक न्यायसंगत प्रतीत होता है, क्योंकि रैखिक समीकरण हैं बीजीय समीकरणप्रथम श्रेणी। और ऊपर बताए गए अन्य सभी समीकरण, साथ ही समीकरण जो तुल्य परिवर्तनों की सहायता से x+b=0 के रूप में कम हो जाते हैं, कहलाएंगे रैखिक समीकरणों को कम करने वाले समीकरण. इस दृष्टिकोण के साथ, समीकरण 2 x+6=0 एक रैखिक समीकरण है, और 2 x=−6 , 4+25 y=6+24 y , 4 (x+5)=12, आदि। रैखिक समीकरण हैं।

रैखिक समीकरणों को कैसे हल करें?

अब यह पता लगाने का समय आ गया है कि रैखिक समीकरण a x+b=0 कैसे हल किए जाते हैं। दूसरे शब्दों में, यह पता लगाने का समय है कि क्या रैखिक समीकरण की जड़ें हैं, और यदि हां, तो कितनी और उन्हें कैसे खोजना है।

एक रैखिक समीकरण की जड़ों की उपस्थिति गुणांक a और b के मानों पर निर्भर करती है। इस मामले में, रैखिक समीकरण a x+b=0 है

• a≠0 पर एकमात्र जड़,
• a=0 और b≠0 के लिए कोई मूल नहीं है,
• a=0 और b=0 के लिए अपरिमित रूप से कई मूल हैं, इस स्थिति में कोई भी संख्या एक रैखिक समीकरण का मूल है।

आइए हम बताते हैं कि ये परिणाम कैसे प्राप्त हुए।

हम जानते हैं कि समीकरणों को हल करने के लिए, मूल समीकरण से समतुल्य समीकरणों में जाना संभव है, यानी समान जड़ों वाले समीकरणों में या मूल की तरह, बिना जड़ों के। ऐसा करने के लिए, आप निम्नलिखित समकक्ष परिवर्तनों का उपयोग कर सकते हैं:

• समीकरण के एक भाग से दूसरे में विपरीत चिन्ह के साथ एक पद का स्थानांतरण,
• और समीकरण के दोनों पक्षों को एक ही गैर-शून्य संख्या से गुणा या विभाजित करना।

तो, a x + b=0 रूप के एक चर के साथ एक रैखिक समीकरण में, हम शब्द b को बाईं ओर से दाईं ओर विपरीत चिह्न के साथ स्थानांतरित कर सकते हैं। इस मामले में, समीकरण एक x=−b रूप लेगा।

और फिर समीकरण के दोनों भागों को संख्या a से विभाजित करने से स्वयं पता चलता है। लेकिन एक बात है: संख्या ए शून्य के बराबर हो सकती है, ऐसी स्थिति में ऐसा विभाजन असंभव है। इस समस्या से निपटने के लिए, हम पहले मान लेंगे कि संख्या a शून्य से भिन्न है, और थोड़ी देर बाद शून्य के मामले पर अलग से विचार करें।

इसलिए, जब a शून्य के बराबर नहीं है, तो हम समीकरण के दोनों भागों a x=−b को a से विभाजित कर सकते हैं, उसके बाद इसे x=(−b) के रूप में परिवर्तित किया जाता है: a, यह परिणाम a का उपयोग करके लिखा जा सकता है ठोस रेखा के रूप में।

इस प्रकार, a≠0 के लिए, रैखिक समीकरण a·x+b=0 उस समीकरण के समतुल्य है, जिससे इसका मूल दिखाई देता है।

यह दिखाना आसान है कि यह मूल अद्वितीय है, यानी रैखिक समीकरण की कोई अन्य जड़ें नहीं हैं। यह आपको विपरीत विधि करने की अनुमति देता है।

आइए मूल को x 1 के रूप में निरूपित करें। मान लीजिए कि रैखिक समीकरण का एक और मूल है, जिसे हम x 2 और x 2 x 1 निरूपित करते हैं, जिसके कारण अंतर के माध्यम से समान संख्याओं की परिभाषास्थिति x 1 - x 2 ≠0 के समतुल्य है। चूँकि x 1 और x 2 रैखिक समीकरण a x+b=0 के मूल हैं, तो संख्यात्मक समानताएँ a x 1 +b=0 और a x 2 +b=0 होती हैं। हम इन समानताओं के संगत भागों को घटा सकते हैं, जो संख्यात्मक समानता के गुण हमें करने की अनुमति देते हैं, हमारे पास a x 1 +b−(a x 2 +b)=0−0 है, जहां से a (x 1 −x 2)+( b−b)=0 और फिर a (x 1 - x 2)=0 । और यह समानता असंभव है, क्योंकि a≠0 और x 1 - x 2 ≠0 दोनों। तो हम एक विरोधाभास पर आ गए हैं, जो रैखिक समीकरण a·x+b=0 के लिए a≠0 के मूल की विशिष्टता को साबित करता है।

इसलिए हमने रैखिक समीकरण a x+b=0 को a≠0 के साथ हल किया है। इस उपधारा की शुरुआत में दिया गया पहला परिणाम उचित है। दो और हैं जो a=0 शर्त को पूरा करते हैं।

a=0 के लिए रैखिक समीकरण a·x+b=0 0·x+b=0 बन जाता है। इस समीकरण और संख्याओं को शून्य से गुणा करने के गुण से, यह इस प्रकार है कि चाहे हम किसी भी संख्या को x के रूप में लें, जब हम इसे समीकरण 0 x+b=0 में प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें संख्यात्मक समानता b=0 प्राप्त होती है। यह समानता सत्य है जब b=0 , और अन्य मामलों में जब b≠0 यह समानता झूठी है।

इसलिए, a=0 और b=0 के साथ, कोई भी संख्या रैखिक समीकरण a x+b=0 का मूल है, क्योंकि इन शर्तों के तहत, x के बजाय किसी भी संख्या को प्रतिस्थापित करने से सही संख्यात्मक समानता 0=0 प्राप्त होती है। और a=0 और b≠0 के लिए, रैखिक समीकरण a x+b=0 की कोई जड़ नहीं है, क्योंकि इन शर्तों के तहत, x के बजाय किसी भी संख्या को प्रतिस्थापित करने से एक गलत संख्यात्मक समानता b=0 हो जाती है।

उपरोक्त औचित्य क्रियाओं का एक क्रम बनाना संभव बनाता है जो किसी भी रैखिक समीकरण को हल करने की अनुमति देता है। इसलिए, एक रैखिक समीकरण को हल करने के लिए एल्गोरिथ्महै:

• सबसे पहले, एक रैखिक समीकरण लिखकर, हम गुणांक a और b के मान ज्ञात करते हैं।
• यदि a=0 और b=0 , तो इस समीकरण के अपरिमित रूप से कई मूल हैं, अर्थात् कोई भी संख्या इस रैखिक समीकरण का मूल है।
• यदि a शून्य से भिन्न है, तो
• गुणांक b को विपरीत चिह्न के साथ दाईं ओर स्थानांतरित किया जाता है, जबकि रैखिक समीकरण a x=−b के रूप में परिवर्तित हो जाता है,
• जिसके बाद परिणामी समीकरण के दोनों भागों को एक गैर-शून्य संख्या a से विभाजित किया जाता है, जो मूल रैखिक समीकरण का वांछित मूल देता है।

लिखित एल्गोरिथम रैखिक समीकरणों को कैसे हल किया जाए, इस प्रश्न का एक विस्तृत उत्तर है।

इस अनुच्छेद के अंत में, यह कहने योग्य है कि एक समान एल्गोरिथ्म का उपयोग x = b के रूप के समीकरणों को हल करने के लिए किया जाता है। इसका अंतर इस तथ्य में निहित है कि जब a≠0, समीकरण के दोनों भागों को तुरंत इस संख्या से विभाजित किया जाता है, यहाँ b पहले से ही समीकरण के वांछित भाग में है और इसे स्थानांतरित करने की आवश्यकता नहीं है।

फॉर्म के समीकरणों को हल करने के लिए एक्स = बी, निम्नलिखित एल्गोरिदम का उपयोग किया जाता है:

• यदि a=0 और b=0 , तो समीकरण के अपरिमित रूप से कई मूल हैं, जो कि कोई भी संख्या है।
• यदि a=0 और b≠0 , तो मूल समीकरण का कोई मूल नहीं है।
• यदि a गैर-शून्य है, तो समीकरण के दोनों पक्षों को एक गैर-शून्य संख्या a से विभाजित किया जाता है, जिससे b / a के बराबर समीकरण का एकमात्र मूल मिलता है।

रैखिक समीकरणों को हल करने के उदाहरण

आइए अभ्यास के लिए आगे बढ़ें। आइए विश्लेषण करें कि रैखिक समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिदम कैसे लागू किया जाता है। आइए हम रैखिक समीकरणों के गुणांकों के विभिन्न मूल्यों के अनुरूप विशिष्ट उदाहरणों के समाधान प्रस्तुत करते हैं।

उदाहरण।

रैखिक समीकरण 0 x−0=0 को हल करें।

फेसला।

इस रैखिक समीकरण में, a=0 और b=−0 , जो कि b=0 के समान है। अतः इस समीकरण के अपरिमित रूप से अनेक मूल हैं, कोई भी संख्या इस समीकरण का मूल है।

जवाब:

x कोई संख्या है।

उदाहरण।

क्या रैखिक समीकरण 0 x+2.7=0 के हल हैं?

फेसला।

इस मामले में, गुणांक ए शून्य के बराबर है, और इस रैखिक समीकरण का गुणांक बी 2.7 के बराबर है, अर्थात यह शून्य से अलग है। इसलिए, रैखिक समीकरण की कोई जड़ें नहीं होती हैं।