गणितीय वर्णमाला के प्रतीक। बुनियादी गणितीय संकेत और प्रतीक

बालागिन विक्टर

गणितीय नियमों और प्रमेयों की खोज के साथ, वैज्ञानिक नए गणितीय संकेतन, चिह्नों के साथ आए। गणितीय संकेत गणितीय अवधारणाओं, वाक्यों और गणनाओं को रिकॉर्ड करने के लिए डिज़ाइन किए गए प्रतीक हैं। गणित में, रिकॉर्ड को छोटा करने और कथन को अधिक सटीक रूप से व्यक्त करने के लिए विशेष प्रतीकों का उपयोग किया जाता है। विभिन्न अक्षरों (लैटिन, ग्रीक, हिब्रू) की संख्याओं और अक्षरों के अलावा, गणितीय भाषा पिछली कुछ शताब्दियों में आविष्कार किए गए कई विशेष प्रतीकों का उपयोग करती है।

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गणितीय प्रतीक।

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सातवीं कक्षा का छात्र

GBOU माध्यमिक विद्यालय संख्या 574

बालागिन विक्टर

2012-2013 शैक्षणिक वर्ष

गणितीय प्रतीक।

परिचय

गणित शब्द हमारे पास प्राचीन ग्रीक से आया है, जहां μάθημα का अर्थ "सीखना", "ज्ञान प्राप्त करना" है। और वह जो कहता है: "मुझे गणित की आवश्यकता नहीं है, मैं गणितज्ञ नहीं बनने जा रहा हूँ" गलत है। सभी को गणित की जरूरत है। हमारे आस-पास की संख्याओं की अद्भुत दुनिया को प्रकट करते हुए, यह हमें अधिक स्पष्ट और लगातार सोचना सिखाता है, विचार, ध्यान विकसित करता है, दृढ़ता और इच्छाशक्ति को शिक्षित करता है। एमवी लोमोनोसोव ने कहा: "गणित दिमाग को क्रम में रखता है।" एक शब्द में, गणित हमें यह सीखना सिखाता है कि ज्ञान कैसे प्राप्त किया जाए।

गणित पहला विज्ञान है जिसमें मनुष्य महारत हासिल कर सकता है। सबसे पुरानी गतिविधि गिनती थी। कुछ आदिम जनजातियों ने अपनी उंगलियों और पैर की उंगलियों का उपयोग करके वस्तुओं की संख्या गिन ली। पाषाण युग से हमारे समय तक जीवित रहने वाली रॉक ड्राइंग, एक पंक्ति में खींची गई 35 छड़ियों के रूप में संख्या 35 को दर्शाती है। हम कह सकते हैं कि 1 स्टिक पहला गणितीय चिन्ह है।

गणितीय "लेखन" जिसका हम अब उपयोग करते हैं - अज्ञात अक्षरों x, y, z के अंकन से लेकर अभिन्न चिह्न तक - धीरे-धीरे विकसित हुआ। प्रतीकात्मकता के विकास ने गणितीय संक्रियाओं के साथ कार्य को सरल बनाया और स्वयं गणित के विकास में योगदान दिया।

प्राचीन ग्रीक "प्रतीक" (ग्रीक।प्रतीक - एक संकेत, एक संकेत, एक पासवर्ड, एक प्रतीक) - एक संकेत जो वस्तुनिष्ठता से जुड़ा है यह इस तरह से दर्शाता है कि संकेत और उसके विषय का अर्थ केवल संकेत द्वारा ही दर्शाया जाता है और केवल इसके माध्यम से प्रकट होता है इसकी व्याख्या।

2. जोड़, घटाव के संकेत

गणितीय संकेतन का इतिहास पुरापाषाण काल से शुरू होता है। इस समय की तारीख की गिनती के लिए इस्तेमाल किए गए निशान वाले पत्थर और हड्डियां। सबसे प्रसिद्ध उदाहरण हैईशांगो हड्डी. ईशांगो (कांगो) की प्रसिद्ध हड्डी, लगभग 20 हजार साल ईसा पूर्व की है, यह साबित करती है कि उस समय पहले से ही एक व्यक्ति ने काफी जटिल गणितीय कार्य किए थे। हड्डियों पर निशान जोड़ने के लिए इस्तेमाल किए गए थे और समूहों में लागू किए गए थे, जो संख्याओं के जोड़ का प्रतीक थे।

प्राचीन मिस्र में पहले से ही अधिक उन्नत अंकन प्रणाली थी। उदाहरण के लिए, मेंअहम्स का पपीरसजोड़ के प्रतीक के रूप में, पाठ में आगे चलने वाले दो पैरों की छवि का उपयोग किया जाता है, और घटाव के लिए - दो पैर पीछे की ओर चलते हुए।प्राचीन यूनानियों ने जोड़ को कंधे से कंधा मिलाकर लिखा था, लेकिन समय-समय पर उन्होंने इसके लिए स्लैश प्रतीक "/" और घटाव के लिए अर्ध-अण्डाकार वक्र का उपयोग किया।

जोड़ (प्लस "+'') और घटाव (माइनस "-'') के अंकगणितीय संक्रियाओं के प्रतीक इतने सामान्य हैं कि हम लगभग कभी नहीं सोचते कि वे हमेशा मौजूद नहीं थे। इन प्रतीकों की उत्पत्ति स्पष्ट नहीं है। संस्करणों में से एक यह है कि वे पहले व्यापार में लाभ और हानि के संकेत के रूप में उपयोग किए जाते थे।

यह भी माना जाता है कि हमारी राशिशब्द "एट" के रूपों में से एक से आया है, जिसका लैटिन में अर्थ है "और"। अभिव्यक्तिए+बी लैटिन में इस तरह लिखा गया है:एक और बी . धीरे-धीरे, बार-बार प्रयोग करने से, चिन्ह से "एट "बस रहता है"टी ", जो समय के साथ बदल गया"+ "। पहला व्यक्ति जिसने संकेत का इस्तेमाल किया हो सकता हैएट के लिए एक संक्षिप्त नाम के रूप में, चौदहवीं शताब्दी के मध्य में खगोलविद निकोल डी'ओरेम (द बुक ऑफ द स्काई एंड द वर्ल्ड के लेखक) थे।

पंद्रहवीं शताब्दी के अंत में, फ्रांसीसी गणितज्ञ चिकेट (1484) और इटालियन पैसिओली (1494) ने प्रयोग किया "'' या " ''(जो "प्लस" को दर्शाता है) जोड़ने के लिए और "'' या " '' ("माइनस" को दर्शाता है) घटाव के लिए।

घटाव संकेतन अधिक भ्रमित करने वाला था, क्योंकि एक साधारण "" जर्मन, स्विस और डच पुस्तकों में कभी-कभी "÷" प्रतीक का प्रयोग किया जाता था जिसके साथ अब हम विभाजन को निरूपित करते हैं। सत्रहवीं शताब्दी की कई पुस्तकों (उदाहरण के लिए, डेसकार्टेस और मेर्सन की) ने घटाव को इंगित करने के लिए दो बिंदुओं "∙ " या तीन बिंदुओं "∙ " का उपयोग किया।

आधुनिक बीजीय चिन्ह का प्रथम प्रयोग ""1481 से बीजगणित पर एक जर्मन पांडुलिपि को संदर्भित करता है, जो ड्रेसडेन के पुस्तकालय में पाया गया था। एक ही समय की एक लैटिन पांडुलिपि में (ड्रेस्डन पुस्तकालय से भी), दोनों वर्ण हैं: "" और " - " । संकेतों का व्यवस्थित उपयोग "“और” – “जोड़ और घटाव के लिए होता हैजोहान विडमैन. जर्मन गणितज्ञ जोहान विडमैन (1462-1498) अपने व्याख्यान में छात्रों की उपस्थिति और अनुपस्थिति को चिह्नित करने के लिए दोनों संकेतों का उपयोग करने वाले पहले व्यक्ति थे। सच है, इस बात के प्रमाण हैं कि उन्होंने लीपज़िग विश्वविद्यालय के एक अल्पज्ञात प्रोफेसर से इन संकेतों को "उधार" लिया था। 1489 में, लीपज़िग में, उन्होंने पहली मुद्रित पुस्तक (Mercantile Arithmetic - "Commercial Arithmetic") प्रकाशित की, जिसमें दोनों संकेत मौजूद थे।और , काम में "सभी व्यापारियों के लिए एक त्वरित और सुखद खाता" (सी। 1490)

एक ऐतिहासिक जिज्ञासा के रूप में, यह ध्यान देने योग्य है कि संकेत को अपनाने के बाद भीसभी ने इस प्रतीक का उपयोग नहीं किया। विडमैन ने खुद इसे ग्रीक क्रॉस के रूप में पेश किया था(जिस चिन्ह का हम आज उपयोग करते हैं) जिसका क्षैतिज स्ट्रोक कभी-कभी लंबवत से थोड़ा लंबा होता है। कुछ गणितज्ञों जैसे रिकॉर्ड, हैरियट और डेसकार्टेस ने एक ही चिन्ह का प्रयोग किया। अन्य (जैसे ह्यूम, ह्यूजेन्स, और फ़र्मेट) ने लैटिन क्रॉस "†" का इस्तेमाल किया, जिसे कभी-कभी क्षैतिज रूप से रखा जाता है, जिसके एक सिरे या दूसरे छोर पर क्रॉसबार होता है। अंत में, कुछ (जैसे हैली) ने अधिक सजावटी रूप का उपयोग किया " ».

3. समान चिन्ह

गणित और अन्य सटीक विज्ञानों में समान चिह्न दो भावों के बीच लिखा जाता है जो आकार में समान होते हैं। डायोफैंटस ने सबसे पहले समान चिन्ह का प्रयोग किया था। उन्होंने अक्षर i (ग्रीक isos - बराबर से) के साथ समानता को निरूपित किया। परप्राचीन और मध्यकालीन गणितसमानता को मौखिक रूप से इंगित किया गया था, उदाहरण के लिए, इस्ट ईगल, या उन्होंने लैटिन एक्वालिस - "बराबर" से संक्षिप्त नाम "एई" का उपयोग किया था। अन्य भाषाओं में भी "बराबर" शब्द के पहले अक्षरों का इस्तेमाल किया गया था, लेकिन यह आम तौर पर स्वीकार नहीं किया गया था। समान चिन्ह "=" को 1557 में एक वेल्श चिकित्सक और गणितज्ञ द्वारा पेश किया गया था।रॉबर्ट रिकॉर्ड(रिकॉर्ड आर., 1510-1558)। प्रतीक II ने कुछ मामलों में समानता के लिए गणितीय प्रतीक के रूप में कार्य किया। रिकॉर्ड ने प्रतीक "='' को दो समान क्षैतिज समानांतर रेखाओं के साथ पेश किया जो आज उपयोग में आने वालों की तुलना में अधिक लंबी हैं। अंग्रेजी गणितज्ञ रॉबर्ट रिकॉर्ड ने "समानता" प्रतीक का उपयोग करने वाले पहले शब्दों के साथ तर्क दिया: "कोई भी दो वस्तुएं दो समानांतर खंडों से अधिक एक दूसरे के बराबर नहीं हो सकती हैं।" लेकिन में भीXVII सदीरेने डेस्कर्टेससंक्षिप्त नाम "एई" का इस्तेमाल किया।फ़्राँस्वा वियतबराबर का चिन्ह घटाव को दर्शाता है। कुछ समय के लिए, अभिलेख प्रतीक के प्रसार को इस तथ्य से बाधित किया गया था कि समान प्रतीक का उपयोग समानांतर रेखाओं को इंगित करने के लिए किया गया था; अंत में समांतरता के प्रतीक को लंबवत बनाने का निर्णय लिया गया। 17 वीं -18 वीं शताब्दी के मोड़ पर लीबनिज़ के कार्यों के बाद ही संकेत प्राप्त हुआ, यानी उस व्यक्ति की मृत्यु के 100 से अधिक वर्षों बाद जिसने पहली बार इसका इस्तेमाल किया थारोबर्टा रिकॉर्ड. उनकी समाधि पर कोई शब्द नहीं है - केवल एक नक्काशीदार "बराबर" चिन्ह।

अनुमानित समानता "≈" और पहचान "≡" के लिए संबंधित प्रतीक बहुत छोटे हैं - पहला 1885 में गुंथर द्वारा पेश किया गया था, दूसरा - 1857 मेंरिमेंन

4. गुणन और भाग के लक्षण

एक क्रॉस ("x") के रूप में गुणन चिह्न एक एंग्लिकन पुजारी-गणितज्ञ द्वारा पेश किया गया थाविलियम ओट्रेडमें 1631. उससे पहले, M अक्षर का उपयोग गुणन चिह्न के लिए किया जाता था, हालाँकि अन्य पदनाम प्रस्तावित किए गए थे: आयत प्रतीक (एरिगोन, ), तारांकन ( जोहान रहानो, ).

बाद में लाइबनिट्सक्रॉस को एक बिंदु से बदल दिया (अंत .)सत्रवहीं शताब्दी) ताकि पत्र के साथ भ्रमित न होंएक्स ; उससे पहले, इस तरह के प्रतीकवाद में पाया गया थारेजियोमोंटाना (15th शताब्दी) और एक अंग्रेजी वैज्ञानिकथॉमस हैरियट (1560-1621).

विभाजन की कार्रवाई को इंगित करने के लिएडालीस्लैश को प्राथमिकता दी। बृहदान्त्र विभाजन निरूपित करना शुरू कियालाइबनिट्स. उनसे पहले, D अक्षर का भी अक्सर इस्तेमाल किया जाता था।फिबोनैकीअंश की विशेषता, जिसका उपयोग अरबी लेखन में भी किया जाता था, का भी उपयोग किया जाता है। फॉर्म में डिवीजनओबिलिस्क ("÷") एक स्विस गणितज्ञ द्वारा पेश किया गया थाजोहान रहानो(सी. 1660)

5. प्रतिशत चिह्न।

एक इकाई के रूप में लिया गया एक सौवां हिस्सा। शब्द "प्रतिशत" स्वयं लैटिन "प्रो सेंटम" से आया है, जिसका अर्थ है "एक सौ"। 1685 में, मैथ्यू डे ला पोर्टे के मैनुअल ऑफ कमर्शियल अरिथमेटिक (1685) को पेरिस में प्रकाशित किया गया था। एक जगह पर, यह प्रतिशत के बारे में था, जिसका अर्थ तब "cto" (सेंटो के लिए छोटा) था। हालाँकि, टाइपसेटर ने गलती से "cto" को एक अंश के लिए और "%" टाइप कर दिया। तो एक टाइपो के कारण, यह चिन्ह प्रयोग में आया।

6. अनंत का चिन्ह

वर्तमान अनंत प्रतीक "∞" उपयोग में आ गया हैजॉन वालिस 1655 में। जॉन वालिसएक बड़ा ग्रंथ प्रकाशित किया "अनंत का अंकगणित" (अव्य.अरिथमेटिका इनफिनिटोरम सिव नोवा मेथडस इन्क्वायरेंडी कर्विलिनोरम क्वाड्राटुरम में, अलियाक डिफिसिलिओरा मैथियस प्रोब्लमटाटा), जहां उन्होंने उस प्रतीक का परिचय दिया जिसका उन्होंने आविष्कार किया थाअनन्त. यह अभी भी ज्ञात नहीं है कि उसने इस विशेष चिन्ह को क्यों चुना। सबसे आधिकारिक परिकल्पनाओं में से एक इस प्रतीक की उत्पत्ति लैटिन अक्षर "एम" से संबंधित है, जिसे रोमन लोग संख्या 1000 का प्रतिनिधित्व करते थे।लगभग चालीस साल बाद गणितज्ञ बर्नौली द्वारा अनंत के प्रतीक को "लेम्निस्कस" (अक्षांश रिबन) कहा जाता है।

एक अन्य संस्करण कहता है कि "आठ" का चित्र "अनंत" की अवधारणा की मुख्य संपत्ति को बताता है: आंदोलनसमाप्ति के बिना . संख्या 8 की तर्ज पर, आप अंतहीन गति कर सकते हैं, जैसे साइकिल ट्रैक पर। 8 नंबर के साथ शुरू किए गए चिन्ह को भ्रमित न करने के लिए, गणितज्ञों ने इसे क्षैतिज रूप से रखने का निर्णय लिया। हो गई. यह अंकन केवल बीजगणित ही नहीं, सभी गणित के लिए मानक बन गया है। अनंत को शून्य से क्यों नहीं दर्शाया जाता है? उत्तर स्पष्ट है: आप 0 नंबर को कैसे भी मोड़ लें, यह नहीं बदलेगा। इसलिए, चुनाव 8 पर गिर गया।

एक अन्य विकल्प एक सर्प है जो अपनी पूंछ को खा रहा है, जो मिस्र में डेढ़ हजार साल ईसा पूर्व में विभिन्न प्रक्रियाओं का प्रतीक है, जिनकी कोई शुरुआत नहीं है और कोई अंत नहीं है।

बहुत से लोग मानते हैं कि मोबियस पट्टी प्रतीक का पूर्वज हैअनन्त, चूंकि "मोबियस स्ट्रिप" डिवाइस (उन्नीसवीं शताब्दी के गणितज्ञ मोबियस के नाम पर) के आविष्कार के बाद अनंत प्रतीक का पेटेंट कराया गया था। मोबियस स्ट्रिप - कागज की एक पट्टी जो घुमावदार होती है और सिरों पर जुड़ी होती है, जिससे दो स्थानिक सतहें बनती हैं। हालांकि, उपलब्ध ऐतिहासिक जानकारी के अनुसार, मोबियस पट्टी की खोज से दो शताब्दी पहले अनंत का प्रतीक अनंत का प्रतिनिधित्व करने के लिए इस्तेमाल किया जाने लगा।

7. संकेत कोयलाएक और सीधाएसटीआई

प्रतीक " इंजेक्शन" और " सीधा" साथ आया 1634फ्रांसीसी गणितज्ञपियरे एरिगोन. उनका लंबवत चिन्ह उल्टा था, जो अक्षर T से मिलता जुलता था। कोण का प्रतीक चिह्न की याद दिलाता था, इसे एक आधुनिक रूप दियाविलियम ओट्रेड ().

8. साइन समानताऔर

प्रतीक " समानता» प्राचीन काल से जाना जाता है, इसका इस्तेमाल किया गया थाबगलाऔर अलेक्जेंड्रिया के पप्पू. सबसे पहले, प्रतीक वर्तमान बराबर चिह्न के समान था, लेकिन बाद के आगमन के साथ, भ्रम से बचने के लिए, प्रतीक को लंबवत घुमाया गया था (डाली(1677), केर्सी (जॉन केर्सी .) ) और 17वीं सदी के अन्य गणितज्ञ)

9. पाई

एक वृत्त की परिधि और उसके व्यास (3.1415926535...) के अनुपात के बराबर संख्या के लिए आम तौर पर स्वीकृत अंकन पहली बार बनाया गया था।विलियम जोन्समें 1706, ग्रीक शब्द περιφέρεια का पहला अक्षर लेते हुए -घेराऔर μετρος - परिमाप, जो एक वृत्त की परिधि है। यह संक्षिप्त नाम पसंद आयायूलर, जिनके कार्यों ने निश्चित रूप से पदनाम तय किया।

10. ज्या और कोज्या

साइन और कोसाइन की उपस्थिति दिलचस्प है।

लैटिन से साइनस - साइनस, गुहा। लेकिन इस नाम का एक लंबा इतिहास है। भारतीय गणितज्ञ 5वीं शताब्दी के क्षेत्र में त्रिकोणमिति में बहुत आगे निकल गए। शब्द "त्रिकोणमिति" स्वयं मौजूद नहीं था, इसे 1770 में जॉर्ज क्लुगेल द्वारा पेश किया गया था।) जिसे अब हम साइन कहते हैं, वह मोटे तौर पर उसी से मेल खाता है जिसे भारतीय अर्ध-जिया कहते हैं, जिसका अनुवाद अर्ध-बोस्ट्रिंग (यानी आधा तार) के रूप में किया जाता है। संक्षिप्तता के लिए, उन्होंने इसे बस कहा - जिया (धनुष)। जब अरबों ने हिंदुओं के कार्यों का संस्कृत से अनुवाद किया, तो उन्होंने "स्ट्रिंग" का अरबी में अनुवाद नहीं किया, बल्कि केवल अरबी अक्षरों में शब्द का अनुवाद किया। यह एक जिब निकला। लेकिन चूंकि अरबी शब्दांश लेखन में छोटे स्वरों का संकेत नहीं दिया जाता है, j-b वास्तव में रहता है, जो एक अन्य अरबी शब्द - जैब (अवसाद, साइनस) के समान है। जब क्रेमोना के जेरार्ड ने 12वीं शताब्दी में अरबों का लैटिन में अनुवाद किया, तो उन्होंने इस शब्द का अनुवाद साइनस के रूप में किया, जिसका लैटिन में अर्थ साइनस, गहरा करना भी है।

कोसाइन स्वचालित रूप से प्रकट हुआ, क्योंकि हिंदुओं ने उन्हें कोटि-जिया, या संक्षेप में को-जिया कहा। कोटि संस्कृत में धनुष का घुमावदार सिरा है।आधुनिक संक्षिप्ताक्षरऔर पेश किया विलियम ओउट्रेडऔर कार्यों में तययूलर।

स्पर्शरेखा/कोटांगेंट पदनाम बहुत बाद के मूल के हैं (अंग्रेजी शब्द स्पर्शरेखा लैटिन टेंजेरे से आता है, स्पर्श करने के लिए)। और अब तक कोई एकीकृत पदनाम नहीं है - कुछ देशों में पदनाम टैन अधिक बार उपयोग किया जाता है, दूसरों में - टीजी

11. संक्षिप्त नाम "क्या साबित करना आवश्यक था" (ch.t.d.)

क्वॉड इरेट डेमोस्ट्रैंडम » (क्वोल इरेट लैमोनस्ट्रानलम)।
ग्रीक वाक्यांश का अर्थ है "क्या साबित किया जाना था", और लैटिन - "क्या दिखाया जाना था।" यह सूत्र प्राचीन यूनान के महान यूनानी गणितज्ञ यूक्लिड (तृतीय शताब्दी ईसा पूर्व) के हर गणितीय तर्क को समाप्त करता है। लैटिन से अनुवादित - जिसे सिद्ध करना आवश्यक था। मध्ययुगीन वैज्ञानिक ग्रंथों में, यह सूत्र अक्सर संक्षिप्त रूप में लिखा जाता था: क्यूईडी।

12. गणितीय संकेतन।

प्रतीक	प्रतीक इतिहास
	प्लस और माइनस संकेतों का आविष्कार जर्मन गणितीय स्कूल "कोसिस्ट्स" (अर्थात, बीजगणित) में स्पष्ट रूप से किया गया था। 1489 में प्रकाशित जोहान विडमैन के अंकगणित में उनका उपयोग किया जाता है। इससे पहले, जोड़ को अक्षर p (प्लस) या लैटिन शब्द et (संयोजन "और"), और घटाव - अक्षर m (माइनस) द्वारा निरूपित किया जाता था। विडमैन में, प्लस चिन्ह न केवल जोड़ की जगह लेता है, बल्कि संघ "और" को भी बदल देता है। इन प्रतीकों की उत्पत्ति स्पष्ट नहीं है, लेकिन सबसे अधिक संभावना है कि वे पहले व्यापार में लाभ और हानि के संकेत के रूप में उपयोग किए जाते थे। दोनों प्रतीक लगभग तुरंत यूरोप में आम हो गए - इटली के अपवाद के साथ।
× ∙	गुणन चिन्ह 1631 में विलियम ऊट्रेड (इंग्लैंड) द्वारा तिरछे क्रॉस के रूप में पेश किया गया था। उससे पहले, एम अक्षर का इस्तेमाल किया गया था। बाद में, लाइबनिज ने क्रॉस को एक बिंदु (17 वीं शताब्दी के अंत में) के साथ बदल दिया ताकि इसे अक्षर x के साथ भ्रमित न किया जा सके; उनसे पहले, इस तरह के प्रतीकवाद रेजीओमोंटानस (XV सदी) और अंग्रेजी वैज्ञानिक थॉमस हैरियट (1560-1621) में पाए गए थे।
/ : ÷	ओउट्रेड ने स्लैश को प्राथमिकता दी। बृहदान्त्र विभाजन ने लाइबनिज को निरूपित करना शुरू किया। उनसे पहले, D अक्षर का भी अक्सर इस्तेमाल किया जाता था। इंग्लैंड और संयुक्त राज्य अमेरिका में, प्रतीक ÷ (ओबेलस), जो 17 वीं शताब्दी के मध्य में जोहान रहन और जॉन पेल द्वारा प्रस्तावित किया गया था, व्यापक हो गया।
=	1557 में रॉबर्ट रिकॉर्ड (1510-1558) द्वारा समान चिन्ह प्रस्तावित किया गया था। उन्होंने समझाया कि दुनिया में एक ही लंबाई के दो समानांतर खंडों के बराबर और कुछ नहीं है। महाद्वीपीय यूरोप में, समान चिन्ह लाइबनिज द्वारा पेश किया गया था।
	1631 में मरणोपरांत प्रकाशित अपने काम में थॉमस हैरियट द्वारा तुलना के निशान पेश किए गए थे। उससे पहले, उन्होंने शब्दों में लिखा: अधिक, कम।
%	प्रतिशत प्रतीक 17वीं शताब्दी के मध्य में कई स्रोतों में एक साथ प्रकट होता है, इसकी उत्पत्ति स्पष्ट नहीं है। एक परिकल्पना है कि यह एक कंपोजिटर की गलती से उत्पन्न हुआ, जिसने संक्षिप्त नाम cto (सेंटो, सौवां) को 0/0 के रूप में टाइप किया। यह अधिक संभावना है कि यह एक कर्सिव कमर्शियल बैज है जो लगभग 100 साल पहले उत्पन्न हुआ था।
√	मूल चिन्ह का प्रयोग पहली बार जर्मन गणितज्ञ क्रिस्टोफ रूडोल्फ ने 1525 में कोसिस्ट स्कूल से किया था। यह वर्ण मूलांक (रूट) शब्द के शैलीगत पहले अक्षर से आया है। कट्टरपंथी अभिव्यक्ति के ऊपर की रेखा पहले अनुपस्थित थी; इसे बाद में डेसकार्टेस द्वारा एक अलग उद्देश्य (कोष्ठक के बजाय) के लिए पेश किया गया था, और यह सुविधा जल्द ही मूल चिह्न के साथ विलय हो गई।
एक	घातांक। एक्सपोनेंट के लिए आधुनिक संकेतन डेसकार्टेस द्वारा अपनी ज्यामिति (1637) में पेश किया गया था, हालांकि केवल 2 से अधिक प्राकृतिक शक्तियों के लिए न्यूटन ने बाद में नकारात्मक और आंशिक घातांक (1676) के लिए इस संकेतन का विस्तार किया।
()	कट्टरपंथी अभिव्यक्ति के लिए कोष्ठक टार्टाग्लिया (1556) में दिखाई दिए, लेकिन अधिकांश गणितज्ञों ने कोष्ठक के बजाय हाइलाइट की गई अभिव्यक्ति को रेखांकित करना पसंद किया। लाइबनिज ने कोष्ठकों को सामान्य प्रयोग में लाया।
	योग चिन्ह 1755 में यूलर द्वारा पेश किया गया था।
	उत्पाद का चिन्ह 1812 में गॉस द्वारा पेश किया गया था।
मैं	अक्षर i काल्पनिक इकाई के कोड के रूप में:यूलर (1777) द्वारा प्रस्तावित, जिन्होंने इसके लिए इमैजिनरियस (काल्पनिक) शब्द का पहला अक्षर लिया।
π	संख्या 3.14159 ... के लिए आम तौर पर स्वीकृत पदनाम विलियम जोन्स द्वारा 1706 में बनाया गया था, जिसमें ग्रीक शब्द περιφέρεια - परिधि और περίμετρος - परिधि, यानी एक वृत्त की परिधि का पहला अक्षर लिया गया था।
	लीबनिज़ ने "सुम्मा" (सुम्मा) शब्द के पहले अक्षर से अभिन्न के लिए संकेतन प्राप्त किया।
वाई"	एक प्राइम के साथ व्युत्पन्न का संक्षिप्त नाम लैग्रेंज पर वापस जाता है।
	सीमा का प्रतीक 1787 में साइमन लुहिलियर (1750-1840) के साथ दिखाई दिया।
	1655 में प्रकाशित वालिस द्वारा अनंत प्रतीक का आविष्कार किया गया था।

13. निष्कर्ष

एक सभ्य समाज के लिए गणितीय विज्ञान आवश्यक है। गणित सभी विज्ञानों में पाया जाता है। गणितीय भाषा को रसायन विज्ञान और भौतिकी की भाषा के साथ मिलाया जाता है। लेकिन हम अभी भी इसे समझते हैं। हम कह सकते हैं कि हम अपनी मातृभाषा के साथ-साथ गणित की भाषा का अध्ययन शुरू करते हैं। गणित हमारे जीवन का अभिन्न अंग बन गया है। अतीत की गणितीय खोजों के लिए धन्यवाद, वैज्ञानिक नई तकनीकों का निर्माण करते हैं। बची हुई खोजें जटिल गणितीय समस्याओं को हल करना संभव बनाती हैं। और प्राचीन गणितीय भाषा हमारे लिए स्पष्ट है, और खोजें हमारे लिए दिलचस्प हैं। गणित की बदौलत आर्किमिडीज, प्लेटो, न्यूटन ने भौतिक नियमों की खोज की। हम उन्हें स्कूल में पढ़ते हैं। भौतिकी में भी, भौतिक विज्ञान में निहित प्रतीक, शब्द हैं। लेकिन गणितीय भाषा भौतिक सूत्रों के बीच खोई नहीं है। इसके विपरीत, इन सूत्रों को गणित के ज्ञान के बिना नहीं लिखा जा सकता है। इतिहास के माध्यम से, ज्ञान और तथ्यों को आने वाली पीढ़ियों के लिए संरक्षित किया जाता है। नई खोजों के लिए गणित का और अध्ययन आवश्यक है।प्रस्तुतियों के पूर्वावलोकन का उपयोग करने के लिए, एक Google खाता (खाता) बनाएं और साइन इन करें: https://accounts.google.com

स्लाइड कैप्शन:

गणितीय प्रतीक यह काम स्कूल नंबर 574 बालागिन विक्टर के 7वीं कक्षा के एक छात्र द्वारा किया गया था

एक प्रतीक (ग्रीक प्रतीक - एक संकेत, एक संकेत, एक पासवर्ड, एक प्रतीक) एक संकेत है जो उस वस्तुनिष्ठता से जुड़ा है जिसे वह नामित करता है ताकि संकेत और उसके विषय का अर्थ केवल संकेत द्वारा ही दर्शाया जाए और प्रकट हो केवल इसकी व्याख्या के माध्यम से। संकेत गणितीय सम्मेलन हैं जिन्हें गणितीय अवधारणाओं, वाक्यों और गणनाओं को रिकॉर्ड करने के लिए डिज़ाइन किया गया है।

ईशांगो की हड्डी अहम्स के पपीरस का हिस्सा

+ - प्लस और माइनस संकेत। जोड़ को अक्षर p (प्लस) या लैटिन शब्द et (संयोजन "और"), और घटाव को अक्षर m (माइनस) द्वारा निरूपित किया गया था। व्यंजक a + b लैटिन में इस प्रकार लिखा गया था: a et b।

घटाव अंकन। या रेने डेसकार्टेस मारिन मेर्सन

जोहान विडमैन की किताब का एक पेज। 1489 में, जोहान विडमैन ने लीपज़िग में पहली मुद्रित पुस्तक (मर्केंटाइल अंकगणित - "वाणिज्यिक अंकगणित") प्रकाशित की, जिसमें + और - दोनों संकेत मौजूद थे।

अतिरिक्त अंकन। क्रिश्चियन ह्यूजेंस डेविड ह्यूम पियरे डे फ़र्मेट एडमंड (एडमंड) हैली

समान चिन्ह डायोफैंटस ने सबसे पहले समान चिन्ह का प्रयोग किया था। उन्होंने अक्षर i (ग्रीक isos - बराबर से) के साथ समानता को निरूपित किया।

1557 में अंग्रेजी गणितज्ञ रॉबर्ट रिकॉर्ड द्वारा प्रस्तावित समान चिन्ह "कोई भी दो वस्तुएँ दो समानांतर खंडों से अधिक एक दूसरे के बराबर नहीं हो सकती हैं।" महाद्वीपीय यूरोप में, समान चिन्ह लाइबनिज द्वारा पेश किया गया था

× गुणन चिह्न 1631 में विलियम ओट्रेड (इंग्लैंड) द्वारा तिरछे क्रॉस के रूप में प्रस्तुत किया गया था। लाइबनिज़ ने क्रॉस को एक बिंदु (17 वीं शताब्दी के अंत) के साथ बदल दिया ताकि इसे अक्षर x के साथ भ्रमित न करें। विलियम ओट्रेड गॉटफ्रीड विल्हेम लिबनिज़ो

प्रतिशत। मैथ्यू डे ला पोर्टे (1685)। एक इकाई के रूप में लिया गया एक सौवां हिस्सा। "प्रतिशत" - "प्रो सेंटम", जिसका अर्थ है - "एक सौ"। "cto" (सेंटो के लिए छोटा)। टाइपसेटर ने "cto" को भिन्न समझ लिया और "%" टाइप कर दिया।

अनन्त। जॉन वालिस जॉन वालिस ने 1655 में आविष्कार किए गए प्रतीक को पेश किया। अपनी पूंछ को निगलने वाला सर्प उन विभिन्न प्रक्रियाओं का प्रतीक है जिनकी कोई शुरुआत नहीं है और कोई अंत नहीं है।

मोबियस पट्टी की खोज से दो शताब्दी पहले अनंत का प्रतीक अनंत का प्रतिनिधित्व करने के लिए इस्तेमाल किया जाने लगा था मोबियस पट्टी कागज की एक पट्टी है जो घुमावदार है और दो स्थानिक सतहों को बनाने के लिए इसके सिरों पर जुड़ी हुई है। अगस्त फर्डिनेंड मोबियस

कोण और लंबवत। प्रतीकों का आविष्कार 1634 में फ्रांसीसी गणितज्ञ पियरे एरीगॉन ने किया था। एरीगॉन का कोण प्रतीक एक चिह्न जैसा दिखता है। लंबवत प्रतीक को उलट दिया गया है, जो अक्षर T जैसा है। इन चिन्हों को विलियम ओट्रेड (1657) ने अपना आधुनिक रूप दिया।

समानांतरवाद। प्रतीक का प्रयोग अलेक्जेंड्रिया के बगुला और अलेक्जेंड्रिया के पप्पस द्वारा किया गया था। सबसे पहले, प्रतीक वर्तमान समान चिह्न के समान था, लेकिन बाद के आगमन के साथ, भ्रम से बचने के लिए, प्रतीक को लंबवत घुमाया गया था। अलेक्जेंड्रिया का बगुला

पाई। 3.1415926535... विलियम जोन्स 1706 में α - परिधि और ερίμετρος - परिधि, यानी वृत्त की परिधि। इस कमी ने यूलर को प्रसन्न किया, जिनके कार्यों ने पदनाम को पूरी तरह से तय कर दिया। विलियम जोन्स

पाप साइनस और कोसाइन कॉस साइनस (लैटिन से) - साइनस, गुहा। कोटि-जिया, या संक्षेप में को-जिया। कोटि - धनुष का घुमावदार अंत विलियम ओट्रेड द्वारा आधुनिक लघु पदनाम पेश किए गए और यूलर के कार्यों में तय किए गए। "अरहा-जीवा" - भारतीयों के बीच - "हाफ-स्ट्रिंग" लियोनार्ड यूलर विलियम ओट्रेड

साबित करने के लिए क्या आवश्यक था (ch.t.d.) "क्वाड इरेट डेमोस्ट्रैंडम" QED। यह सूत्र प्राचीन ग्रीस के महान गणितज्ञ यूक्लिड (III सदी ईसा पूर्व) के हर गणितीय तर्क को समाप्त करता है।

हम प्राचीन गणितीय भाषा को समझते हैं। भौतिकी में भी, भौतिक विज्ञान में निहित प्रतीक, शब्द हैं। लेकिन गणितीय भाषा भौतिक सूत्रों के बीच खोई नहीं है। इसके विपरीत, इन सूत्रों को गणित के ज्ञान के बिना नहीं लिखा जा सकता है।

स्कूल बेंच से हम में से प्रत्येक (अधिक सटीक रूप से, प्राथमिक विद्यालय की पहली कक्षा से) को ऐसे सरल गणितीय प्रतीकों से परिचित होना चाहिए जैसे कि बड़ा संकेतऔर कम संकेत, साथ ही बराबर चिह्न।

हालांकि, अगर बाद के साथ कुछ भ्रमित करना मुश्किल है, तो लगभग चिन्ह कैसे और किस दिशा में कम से कम लिखे जाते हैं (कम संकेतऔर को सौंप दो, जैसा कि उन्हें कभी-कभी कहा जाता है) एक ही स्कूल बेंच के तुरंत बाद कई भूल जाते हैं, क्योंकि। वे हमारे द्वारा रोजमर्रा की जिंदगी में शायद ही कभी उपयोग किए जाते हैं।

लेकिन लगभग सभी को, जल्दी या बाद में, अभी भी उनका सामना करना पड़ता है, और "याद रखना" कि उन्हें किस दिशा में चरित्र की आवश्यकता है, केवल मदद के लिए अपने पसंदीदा खोज इंजन की ओर मुड़कर प्राप्त किया जाता है। तो क्यों न इस प्रश्न का उत्तर विस्तार से दिया जाए, साथ ही साथ हमारी साइट के आगंतुकों को भविष्य के लिए इन संकेतों की सही वर्तनी को याद रखने का तरीका बताया जाए?

यह इस बारे में है कि कैसे अधिक से अधिक चिह्न और कम से कम चिह्न की वर्तनी है कि हम आपको इस संक्षिप्त नोट में याद दिलाना चाहते हैं। यह कहना भी अतिश्योक्तिपूर्ण नहीं होगा कि कीबोर्ड पर अधिक या समान चिन्ह कैसे टाइप करेंऔर कम या बराबर, क्योंकि यह प्रश्न भी अक्सर उन उपयोगकर्ताओं के लिए कठिनाइयों का कारण बनता है जो इस तरह के कार्य का सामना बहुत कम करते हैं।

चलिए सीधे मुद्दे पर आते हैं। यदि आप भविष्य के लिए यह सब याद रखने में बहुत रुचि नहीं रखते हैं और अगली बार "गूगल" करना आसान है, और अब आपको केवल इस प्रश्न का उत्तर चाहिए कि "चिह्न किस दिशा में लिखना है", तो हमने एक संक्षिप्त तैयार किया है आपके लिए उत्तर - कम से कम संकेत इस तरह लिखे गए हैं, जैसा कि नीचे दी गई छवि में दिखाया गया है।

और अब हम इस बारे में थोड़ा और बताएंगे कि इसे कैसे समझें और इसे भविष्य के लिए कैसे याद रखें।

सामान्य तौर पर, समझने का तर्क बहुत सरल है - लेखन की दिशा में कौन सा पक्ष (बड़ा या छोटा) बाईं ओर दिखता है - ऐसा संकेत है। तदनुसार, बाईं ओर अधिक चिह्न एक विस्तृत पक्ष के साथ दिखता है - एक बड़ा।

संकेत से अधिक का उपयोग करने का एक उदाहरण:

50>10 - संख्या 50 संख्या 10 से बड़ी है;
इस सेमेस्टर में छात्रों की उपस्थिति >90% कक्षाओं में थी।

साइन से कम कैसे लिखें, शायद, फिर से समझाने लायक नहीं है। यह ठीक वैसा ही है जैसा कि चिन्ह से बड़ा है। यदि चिन्ह बाईं ओर एक संकीर्ण पक्ष के साथ दिखता है - एक छोटा, तो चिन्ह आपके सामने छोटा है।
कम से कम चिह्न का उपयोग करने का एक उदाहरण:

100<500 - число 100 меньше числа пятьсот;
बैठक में आया<50% депутатов.

जैसा कि आप देख सकते हैं, सब कुछ काफी तार्किक और सरल है, इसलिए अब आपके पास यह सवाल नहीं होना चाहिए कि भविष्य में साइन से बड़ा और साइन से कम किस तरीके से लिखा जाए।

से बड़ा या बराबर/कम या बराबर चिह्न

यदि आपको पहले से ही याद है कि आपको जिस चिन्ह की आवश्यकता है उसे कैसे लिखा जाता है, तो आपके लिए नीचे से इसमें एक डैश जोड़ना मुश्किल नहीं होगा, इसलिए आपको एक संकेत मिलेगा "कम या बराबर"या हस्ताक्षर "अधिक या बराबर".

हालाँकि, इन संकेतों के संबंध में, कुछ का एक और प्रश्न है - कंप्यूटर कीबोर्ड पर ऐसा आइकन कैसे टाइप करें? परिणामस्वरूप, अधिकांश सरलता से एक पंक्ति में दो चिह्न लगाते हैं, उदाहरण के लिए, "इससे बड़ा या बराबर" के रूप में दर्शाता है ">=" , जो, सिद्धांत रूप में, अक्सर काफी स्वीकार्य होता है, लेकिन इसे और अधिक सुंदर और अधिक सही बनाया जा सकता है।

वास्तव में, इन वर्णों को टाइप करने के लिए, विशेष वर्ण होते हैं जिन्हें किसी भी कीबोर्ड पर दर्ज किया जा सकता है। सहमत, संकेत "≤" और "≥" बहुत बेहतर देखो।

कीबोर्ड पर इससे बड़ा या बराबर का चिह्न

एक अक्षर के साथ कीबोर्ड पर "से बड़ा या बराबर" लिखने के लिए, आपको विशेष वर्णों की तालिका में जाने की भी आवश्यकता नहीं है - कुंजी को दबाए रखते हुए बस एक से बड़ा चिह्न लगाएं "ऊंचाई". इस प्रकार, कीबोर्ड शॉर्टकट (अंग्रेजी लेआउट में दर्ज) इस प्रकार होगा।

या यदि आप इसे एक बार उपयोग करना चाहते हैं तो आप इस आलेख से आइकन को कॉपी कर सकते हैं। यहाँ वह है, कृपया।

≥

कीबोर्ड पर कम या बराबर चिह्न

जैसा कि आप शायद पहले ही अनुमान लगा चुके हैं, आप कीबोर्ड पर "से कम या बराबर" लिख सकते हैं। "ऊंचाई". अंग्रेजी लेआउट में दर्ज किया जाने वाला कीबोर्ड शॉर्टकट इस प्रकार होगा।

या बस इसे इस पेज से कॉपी करें, अगर यह आपके लिए आसान है, तो यह यहाँ है।

≤

जैसा कि आप देख सकते हैं, संकेतों से बड़ा और कम लिखने का नियम याद रखना काफी आसान है, और कीबोर्ड पर अधिक या बराबर और कम या बराबर चिह्न टाइप करने के लिए, बस एक अतिरिक्त कुंजी दबाएं - सब कुछ सरल है .

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या गणितीय प्रतीक ऐसे संकेत हैं जो कुछ गणितीय संक्रियाओं को उनके तर्कों के साथ दर्शाते हैं। सबसे आम हैं: प्लस: + माइनस:, - गुणन चिह्न: ×, ∙ डिवीजन साइन ::, ∕, एक्सपोज़िशन साइन टू ... ... विकिपीडिया

ऑपरेशन संकेत या गणितीय प्रतीक ऐसे संकेत हैं जो कुछ गणितीय कार्यों को उनके तर्कों के साथ दर्शाते हैं। सबसे आम हैं: प्लस: + माइनस:, - गुणन चिन्ह: ×, ∙ डिवीजन साइन ::, , ÷ निर्माण चिन्ह ... ... विकिपीडिया

अनन्त।जे वालिस (1655)।

यह पहली बार अंग्रेजी गणितज्ञ जॉन वालिस के ग्रंथ "ऑन कॉनिक सेक्शन" में पाया जाता है।

प्राकृतिक लघुगणक का आधार। एल. यूलर (1736)।

गणितीय स्थिरांक, अनुवांशिक संख्या। इस नंबर को कभी-कभी कहा जाता है गैर-पेरोवस्कॉटिश के सम्मान मेंवैज्ञानिक नेपियर, काम के लेखक "लॉगरिदम की अद्भुत तालिका का विवरण" (1614)। पहली बार, 1618 में प्रकाशित नेपियर द्वारा उपरोक्त कार्य के अंग्रेजी अनुवाद के परिशिष्ट में स्थिरांक मौन रूप से मौजूद है। उसी स्थिरांक की गणना सबसे पहले स्विस गणितज्ञ जैकब बर्नौली ने ब्याज आय के सीमित मूल्य की समस्या को हल करने के दौरान की थी।

2,71828182845904523...

इस स्थिरांक का पहला ज्ञात उपयोग, जहाँ इसे अक्षर द्वारा निरूपित किया गया था बी, लाइबनिट्स के ह्यूजेन्स को लिखे पत्रों में पाया गया, 1690-1691। पत्र इ 1727 में यूलर का उपयोग करना शुरू किया, और इस पत्र के साथ पहला प्रकाशन उनका मैकेनिक्स, या साइंस ऑफ मोशन, एनालिटिकली स्टेटेड, 1736 था। क्रमश, इआमतौर पर कहा जाता है यूलर संख्या. पत्र क्यों चुना गया? इ, ठीक से ज्ञात नहीं है। शायद यह इस तथ्य के कारण है कि शब्द इसके साथ शुरू होता है घातीय("घातीय", "घातीय")। एक और धारणा यह है कि अक्षर ए, बी, सीऔर डीपहले से ही अन्य उद्देश्यों के लिए व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, और इपहला "मुक्त" पत्र था।

एक वृत्त की परिधि और उसके व्यास का अनुपात। डब्ल्यू. जोन्स (1706), एल. यूलर (1736)।

गणितीय स्थिरांक, अपरिमेय संख्या। संख्या "पाई", पुराना नाम लुडोल्फ का नंबर है। किसी भी अपरिमेय संख्या की तरह, π को एक अनंत गैर-आवधिक दशमलव अंश द्वारा दर्शाया जाता है:

π=3.141592653589793...

पहली बार, ग्रीक अक्षर के साथ इस संख्या का पदनाम ब्रिटिश गणितज्ञ विलियम जोन्स द्वारा ए न्यू इंट्रोडक्शन टू मैथमेटिक्स पुस्तक में इस्तेमाल किया गया था, और इसे आमतौर पर लियोनहार्ड यूलर के काम के बाद स्वीकार किया गया। यह पदनाम ग्रीक शब्द περιφερεια - सर्कल, परिधि और περιμετρος - परिधि के प्रारंभिक अक्षर से आता है। जोहान हेनरिक लैम्बर्ट ने 1761 में π की तर्कहीनता साबित की, और 1774 में एड्रियन मैरी लीजेंड्रे ने π 2 की तर्कहीनता साबित की। लीजेंड्रे और यूलर ने माना कि ट्रान्सेंडैंटल हो सकता है, अर्थात। पूर्णांक गुणांक के साथ किसी भी बीजीय समीकरण को संतुष्ट नहीं कर सकता है, जिसे अंततः 1882 में फर्डिनेंड वॉन लिंडमैन द्वारा सिद्ध किया गया था।

काल्पनिक इकाई। एल। यूलर (1777, प्रेस में - 1794)।

ज्ञात हो कि समीकरण एक्स 2 \u003d 1दो जड़ें हैं: 1 और -1 . काल्पनिक इकाई समीकरण के दो मूलों में से एक है एक्स 2 \u003d -1, लैटिन अक्षर . द्वारा निरूपित मैं, एक और जड़: -मैं. यह पद लियोनहार्ड यूलर द्वारा प्रस्तावित किया गया था, जिन्होंने इसके लिए लैटिन शब्द का पहला अक्षर लिया था काल्पनिक(काल्पनिक)। उन्होंने सभी मानक कार्यों को जटिल डोमेन तक बढ़ाया, अर्थात। फॉर्म में प्रतिनिधित्व योग्य संख्याओं का सेट ए+आईबी, कहाँ पे एऔर बीवास्तविक संख्याएँ हैं। शब्द "जटिल संख्या" को 1831 में जर्मन गणितज्ञ कार्ल गॉस द्वारा व्यापक उपयोग में पेश किया गया था, हालांकि इस शब्द का इस्तेमाल पहले 1803 में फ्रांसीसी गणितज्ञ लज़ार कार्नोट द्वारा उसी अर्थ में किया गया था।

यूनिट वैक्टर। डब्ल्यू हैमिल्टन (1853)।

यूनिट वैक्टर अक्सर समन्वय प्रणाली के समन्वय अक्षों से जुड़े होते हैं (विशेष रूप से, कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के अक्षों के साथ)। अक्ष के अनुदिश निर्देशित इकाई सदिश एक्स, निरूपित मैं, अक्ष के साथ निर्देशित एक इकाई वेक्टर यू, निरूपित जे, और इकाई वेक्टर अक्ष के साथ निर्देशित है जेड, निरूपित क. वैक्टर मैं, जे, क orts कहलाते हैं, उनके पास पहचान मॉड्यूल होते हैं। शब्द "ओर्ट" अंग्रेजी गणितज्ञ और इंजीनियर ओलिवर हेविसाइड (1892) द्वारा पेश किया गया था, और संकेतन मैं, जे, कआयरिश गणितज्ञ विलियम हैमिल्टन।

किसी संख्या का पूर्णांक भाग, विरोधी। के. गॉस (1808)।

संख्या x की संख्या [x] का पूर्णांक भाग x से अनधिक सबसे बड़ा पूर्णांक है। तो, =5, [-3,6]=-4। फ़ंक्शन [x] को "x का एंटीयर" भी कहा जाता है। इंटीजर पार्ट फंक्शन सिंबल को कार्ल गॉस ने 1808 में पेश किया था। कुछ गणितज्ञ इसके बजाय लेजेंड्रे द्वारा 1798 में प्रस्तावित संकेतन E(x) का उपयोग करना पसंद करते हैं।

समांतरता का कोण। एन.आई. लोबचेव्स्की (1835)।

लोबचेवस्की विमान पर - रेखा के बीच का कोणबीबिंदु के माध्यम से गुजर रहा हैहेएक सीधी रेखा के समानांतरए, जिसमें एक बिंदु नहीं हैहे, और लंबवत सेहेपर ए. α इस लंबवत की लंबाई है। जैसे ही बिंदु हटा दिया जाता हैहेसीधे . से एसमांतरता का कोण 90° से घटकर 0° हो जाता है। लोबचेव्स्की ने समांतरता के कोण के लिए एक सूत्र दियापी( α )=2arctg ई - α /क्यू , कहाँ पे क्यूलोबचेव्स्की अंतरिक्ष की वक्रता से संबंधित कुछ स्थिरांक है।

अज्ञात या परिवर्तनशील मात्राएँ। आर. डेसकार्टेस (1637)।

गणित में, एक चर एक मात्रा है जो मूल्यों के सेट की विशेषता है जो इसे ले सकता है। इसका मतलब वास्तविक भौतिक मात्रा, अस्थायी रूप से इसके भौतिक संदर्भ से अलगाव में माना जा सकता है, और कुछ अमूर्त मात्रा जिसका वास्तविक दुनिया में कोई एनालॉग नहीं है। चर की अवधारणा 17वीं शताब्दी में उत्पन्न हुई। शुरू में प्राकृतिक विज्ञान की मांगों के प्रभाव में, जिसने आंदोलन, प्रक्रियाओं के अध्ययन को सामने लाया, न कि केवल राज्यों को। इस अवधारणा को अपनी अभिव्यक्ति के लिए नए रूपों की आवश्यकता थी। रेने डेसकार्टेस का शाब्दिक बीजगणित और विश्लेषणात्मक ज्यामिति ऐसे ही नए रूप थे। पहली बार, आयताकार समन्वय प्रणाली और संकेतन x, y को रेने डेसकार्टेस ने 1637 में अपने काम "डिस्कोर्स ऑन द मेथड" में पेश किया था। पियरे फ़र्मेट ने भी समन्वय पद्धति के विकास में योगदान दिया, लेकिन उनका काम उनकी मृत्यु के बाद पहली बार प्रकाशित हुआ था। डेसकार्टेस और फ़र्मेट ने केवल समतल पर समन्वय विधि का उपयोग किया। त्रि-आयामी अंतरिक्ष के लिए समन्वय विधि पहली बार 18 वीं शताब्दी में पहले से ही लियोनहार्ड यूलर द्वारा लागू की गई थी।

वेक्टर। ओ.कोशी (1853)।

शुरुआत से ही, एक वेक्टर को एक परिमाण, एक दिशा और (वैकल्पिक रूप से) एक अनुप्रयोग बिंदु वाली वस्तु के रूप में समझा जाता है। गॉस (1831) में जटिल संख्याओं के ज्यामितीय मॉडल के साथ वेक्टर कैलकुलस की शुरुआत हुई। वैक्टर पर उन्नत संचालन हैमिल्टन द्वारा उनके क्वाटरनियन कैलकुलस (एक चतुर्भुज के काल्पनिक घटकों ने एक वेक्टर का गठन) के हिस्से के रूप में प्रकाशित किया था। हैमिल्टन ने शब्द गढ़ा वेक्टर(लैटिन शब्द . से वेक्टर, वाहक) और कुछ वेक्टर विश्लेषण कार्यों का वर्णन किया। इस औपचारिकता का उपयोग मैक्सवेल ने विद्युत चुंबकत्व पर अपने कार्यों में किया था, जिससे वैज्ञानिकों का ध्यान नए कलन की ओर आकर्षित हुआ। गिब्स के एलीमेंट्स ऑफ वेक्टर एनालिसिस (1880 के दशक) ने जल्द ही पीछा किया, और फिर हेविसाइड (1903) ने वेक्टर विश्लेषण को अपना आधुनिक रूप दिया। 1853 में फ्रांसीसी गणितज्ञ ऑगस्टिन लुई कॉची द्वारा वेक्टर चिन्ह की शुरुआत की गई थी।

जोड़, घटाव। जे विडमैन (1489)।

प्लस और माइनस संकेतों का आविष्कार जर्मन गणितीय स्कूल "कोसिस्ट्स" (अर्थात, बीजगणित) में स्पष्ट रूप से किया गया था। 1489 में प्रकाशित जनवरी (जोहान्स) विडमैन की पाठ्यपुस्तक ए क्विक एंड प्लेज़ेंट काउंट फॉर ऑल मर्चेंट्स में उनका उपयोग किया जाता है। इससे पहले, जोड़ को पत्र द्वारा दर्शाया गया था पी(लैटिन से प्लस"अधिक") या लैटिन शब्द एट(संयोजन "और"), और घटाव - अक्षर द्वारा एम(लैटिन से ऋण"कम, कम")। विडमैन में, प्लस चिन्ह न केवल जोड़ की जगह लेता है, बल्कि संघ "और" को भी बदल देता है। इन प्रतीकों की उत्पत्ति स्पष्ट नहीं है, लेकिन सबसे अधिक संभावना है कि वे पहले व्यापार में लाभ और हानि के संकेत के रूप में उपयोग किए जाते थे। दोनों प्रतीक जल्द ही यूरोप में आम हो गए - इटली के अपवाद के साथ, जो लगभग एक सदी तक पुराने पदनामों का उपयोग करता था।

गुणन। डब्ल्यू आउट्रेड (1631), जी लाइबनिज (1698)।

एक तिरछे क्रॉस के रूप में गुणन चिह्न 1631 में अंग्रेज विलियम आउट्रेड द्वारा पेश किया गया था। उनसे पहले, सबसे अधिक इस्तेमाल किया जाने वाला पत्र एम, हालांकि अन्य पदनाम भी प्रस्तावित किए गए थे: आयत प्रतीक (फ्रांसीसी गणितज्ञ एरीगॉन, 1634), तारांकन चिह्न (स्विस गणितज्ञ जोहान रहन, 1659)। बाद में, गॉटफ्राइड विल्हेम लिबनिज़ ने क्रॉस को एक बिंदु (17 वीं शताब्दी के अंत) के साथ बदल दिया ताकि इसे पत्र के साथ भ्रमित न किया जा सके एक्स; उनसे पहले, इस तरह के प्रतीकवाद को जर्मन खगोलशास्त्री और गणितज्ञ रेगियोमोंटानस (XV सदी) और अंग्रेजी वैज्ञानिक थॉमस हैरियट (1560 -1621) ने पाया था।

विभाजन। आई.रान (1659), जी.लीबनिज़ (1684)।

विलियम आउट्रेड ने स्लैश / का उपयोग विभाजन चिह्न के रूप में किया। कोलन डिवीजन ने गॉटफ्रीड लाइबनिज को निरूपित करना शुरू किया। उनसे पहले चिट्ठी का भी अक्सर इस्तेमाल होता था डी. फाइबोनैचि से शुरू होकर भिन्न की क्षैतिज रेखा का भी उपयोग किया जाता है, जिसका उपयोग हेरोन, डायोफैंटस और अरबी लेखन में किया गया था। इंग्लैंड और संयुक्त राज्य अमेरिका में, (ओबेलस) प्रतीक, जिसे 1659 में जोहान रहन (संभवतः जॉन पेल की भागीदारी के साथ) द्वारा प्रस्तावित किया गया था, व्यापक हो गया। गणितीय मानकों पर अमेरिकी राष्ट्रीय समिति द्वारा एक प्रयास ( गणितीय आवश्यकताओं पर राष्ट्रीय समिति) ओबेलस को अभ्यास से हटाने के लिए (1923) अनिर्णायक था।

प्रतिशत। एम. डे ला पोर्टे (1685)।

एक इकाई के रूप में लिया गया एक सौवां हिस्सा। शब्द "प्रतिशत" स्वयं लैटिन "प्रो सेंटम" से आया है, जिसका अर्थ है "एक सौ"। 1685 में, मैथ्यू डे ला पोर्टे द्वारा पुस्तक मैनुअल ऑफ कमर्शियल अरिथमेटिक पेरिस में प्रकाशित हुई थी। एक जगह पर, यह प्रतिशत के बारे में था, जिसका अर्थ तब "cto" (सेंटो के लिए छोटा) था। हालाँकि, टाइपसेटर ने गलती से "cto" को एक अंश के लिए और "%" टाइप कर दिया। तो एक टाइपो के कारण, यह चिन्ह प्रयोग में आया।

डिग्री। आर. डेसकार्टेस (1637), आई. न्यूटन (1676)।

प्रतिपादक के लिए आधुनिक संकेतन को रेने डेसकार्टेस ने अपने "" में पेश किया था। ज्यामिति"(1637), हालांकि, केवल 2 से अधिक घातांक वाली प्राकृतिक शक्तियों के लिए। बाद में, आइजैक न्यूटन ने अंकन के इस रूप को नकारात्मक और भिन्नात्मक प्रतिपादकों (1676) तक बढ़ाया, जिसकी व्याख्या इस समय तक पहले ही प्रस्तावित की जा चुकी थी: फ्लेमिश गणितज्ञ और इंजीनियर साइमन स्टीविन, अंग्रेजी गणितज्ञ जॉन वालिस और फ्रांसीसी गणितज्ञ अल्बर्ट गिरार्ड।

अंकगणितीय जड़ एनएक वास्तविक संख्या की शक्ति ए 0, - गैर-ऋणात्मक संख्या एन- जिसकी डिग्री के बराबर है ए. दूसरी डिग्री के अंकगणितीय मूल को वर्गमूल कहा जाता है और इसे डिग्री इंगित किए बिना लिखा जा सकता है: । तीसरी डिग्री के अंकगणितीय मूल को घनमूल कहा जाता है। मध्यकालीन गणितज्ञों (उदाहरण के लिए, कार्डानो) ने वर्गमूल को R x (लैटिन से) सूत्र, जड़)। आधुनिक पदनाम का इस्तेमाल पहली बार जर्मन गणितज्ञ क्रिस्टोफ रुडोल्फ ने 1525 में कोसिस्ट स्कूल से किया था। यह प्रतीक उसी शब्द के शैलीबद्ध पहले अक्षर से आया है सूत्र. कट्टरपंथी अभिव्यक्ति के ऊपर की रेखा पहले अनुपस्थित थी; इसे बाद में डेसकार्टेस (1637) द्वारा एक अलग उद्देश्य (कोष्ठक के बजाय) के लिए पेश किया गया था, और यह सुविधा जल्द ही रूट के संकेत के साथ विलीन हो गई। 16वीं शताब्दी में घनमूल को इस प्रकार निर्दिष्ट किया गया था: R x .u.cu (अक्षांश से। रेडिक्स युनिवर्सलिस क्यूबिका) अल्बर्ट गिरार्ड (1629) ने एक मनमानी डिग्री की जड़ के लिए सामान्य संकेतन का उपयोग करना शुरू किया। इस प्रारूप की स्थापना आइजैक न्यूटन और गॉटफ्राइड लाइबनिज की बदौलत हुई थी।

लघुगणक, दशमलव लघुगणक, प्राकृतिक लघुगणक। आई. केप्लर (1624), बी कैवेलियरी (1632), ए प्रिन्सहेम (1893)।

शब्द "लघुगणक" स्कॉटिश गणितज्ञ जॉन नेपियर से संबंधित है ( "लघुगणक की अद्भुत तालिका का विवरण", 1614); यह ग्रीक शब्द λογος (शब्द, संबंध) और αριθμος (संख्या) के संयोजन से उत्पन्न हुआ है। J. नेपियर का लघुगणक दो संख्याओं के अनुपात को मापने के लिए एक सहायक संख्या है। लघुगणक की आधुनिक परिभाषा सबसे पहले अंग्रेजी गणितज्ञ विलियम गार्डिनर (1742) ने दी थी। परिभाषा के अनुसार, किसी संख्या का लघुगणक बीवजह से ए (ए ≠ 1, ए> 0) - प्रतिपादक एम, जिसके लिए संख्या बढ़ाई जानी चाहिए ए(लघुगणक का आधार कहा जाता है) प्राप्त करने के लिए बी. लक्षित लॉग ए बी।इसलिए, एम = लॉग ए बी, अगर एक एम = बी।

दशमलव लघुगणक की पहली सारणी 1617 में ऑक्सफोर्ड गणित के प्रोफेसर हेनरी ब्रिग्स द्वारा प्रकाशित की गई थी। इसलिए, विदेशों में, दशमलव लघुगणक को अक्सर ब्रिग्स कहा जाता है। शब्द "प्राकृतिक लघुगणक" पिएत्रो मेंगोली (1659) और निकोलस मर्केटर (1668) द्वारा पेश किया गया था, हालांकि लंदन के गणित के शिक्षक जॉन स्पिडेल ने 1619 की शुरुआत में प्राकृतिक लघुगणक की एक तालिका संकलित की थी।

19वीं शताब्दी के अंत तक, लघुगणक, आधार के लिए आम तौर पर स्वीकृत संकेतन नहीं था एबाईं ओर और प्रतीक के ऊपर इंगित किया गया लॉग, फिर उसके ऊपर। अंततः, गणितज्ञ इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि प्रतीक के बाद आधार के लिए सबसे सुविधाजनक स्थान रेखा के नीचे है लॉग. लघुगणक का संकेत - "लघुगणक" शब्द की कमी का परिणाम - विभिन्न रूपों में लगभग एक साथ लघुगणक की पहली तालिकाओं की उपस्थिति के साथ होता है, उदाहरण के लिए लॉग- आई. केप्लर (1624) और जी ब्रिग्स (1631), लॉग- बी कैवेलियरी (1632)। पद एलएनप्राकृतिक लघुगणक के लिए जर्मन गणितज्ञ अल्फ्रेड प्रिंगहाइम (1893) द्वारा पेश किया गया था।

साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा, कोटैंजेंट। डब्ल्यू आउट्रेड (17वीं शताब्दी के मध्य), आई. बर्नौली (18वीं शताब्दी), एल. यूलर (1748, 1753)।

17वीं शताब्दी के मध्य में विलियम आउट्रेड द्वारा साइन और कोसाइन के लिए आशुलिपि संकेतन की शुरुआत की गई थी। स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के लिए संक्षिप्तिकरण: टीजी, सीटीजी 18 वीं शताब्दी में जोहान बर्नौली द्वारा पेश किया गया, वे जर्मनी और रूस में व्यापक हो गए। अन्य देशों में, इन कार्यों के नामों का उपयोग किया जाता है। तन, कोट 17वीं शताब्दी की शुरुआत में अल्बर्ट गिरार्ड द्वारा पहले भी प्रस्तावित किया गया था। लियोनहार्ड यूलर (1748, 1753) ने त्रिकोणमितीय कार्यों के सिद्धांत को अपने आधुनिक रूप में लाया, और हम भी वास्तविक प्रतीकवाद के समेकन का श्रेय देते हैं।शब्द "त्रिकोणमितीय कार्य" जर्मन गणितज्ञ और भौतिक विज्ञानी जॉर्ज साइमन क्लुगेल द्वारा 1770 में पेश किया गया था।

भारतीय गणितज्ञों की साइन लाइन को मूल रूप से कहा जाता था "अरहा जीवा"("सेमी-स्ट्रिंग", यानी कॉर्ड का आधा), फिर शब्द "अर्चा"खारिज कर दिया गया और साइन लाइन को सरलता से कहा जाने लगा "जीवा". अरबी अनुवादकों ने शब्द का अनुवाद नहीं किया "जीवा"अरबी शब्द "वतार", बॉलस्ट्रिंग और कॉर्ड को निरूपित करते हुए, और अरबी अक्षरों में लिखा गया और साइन लाइन को कॉल करना शुरू किया "जीबा". चूँकि अरबी में छोटे स्वरों का संकेत नहीं दिया जाता है, और शब्द में लंबे "और" का संकेत नहीं दिया जाता है "जीबा"अर्धस्वर "y" के रूप में उसी तरह निरूपित, अरबों ने साइन लाइन के नाम का उच्चारण करना शुरू कर दिया "जिब", जिसका शाब्दिक अर्थ है "खोखला", "बोसोम"। अरबी कार्यों का लैटिन में अनुवाद करते समय, यूरोपीय अनुवादकों ने इस शब्द का अनुवाद किया "जिब"लैटिन शब्द साइनस, एक ही अर्थ होना।शब्द "स्पर्शरेखा" (अक्षांश से।स्पर्शरेखा- टचिंग) को डेनिश गणितज्ञ थॉमस फिनके ने अपने ज्योमेट्री ऑफ द राउंड (1583) में पेश किया था।

आर्कसिन। के.शेफ़र (1772), जे.लाग्रेंज (1772)।

व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्य गणितीय कार्य हैं जो त्रिकोणमितीय कार्यों के विपरीत हैं। व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन का नाम उपसर्ग "आर्क" (अक्षांश से) जोड़कर संबंधित त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन के नाम से बनता है। आर्क- चाप)।व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्यों में आमतौर पर छह कार्य शामिल होते हैं: आर्क्सिन (आर्कसिन), आर्ककोसाइन (आर्कोस), आर्कटैंगेंट (आर्कटग), आर्ककोटैंजेंट (आर्कटग), आर्कसेकेंट (आर्कसेक) और आर्ककोसेकेंट (आर्कोसेक)। पहली बार, डेनियल बर्नौली (1729, 1736) द्वारा व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए विशेष प्रतीकों का उपयोग किया गया था।उपसर्ग के साथ व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्यों को नोट करने का तरीका आर्क(अक्षांश से। आर्कस, आर्क) ऑस्ट्रियाई गणितज्ञ कार्ल शेफ़र के साथ दिखाई दिए और फ्रांसीसी गणितज्ञ, खगोलशास्त्री और मैकेनिक जोसेफ लुई लैग्रेंज के लिए एक पैर जमाने के लिए धन्यवाद प्राप्त किया। इसका मतलब यह था कि, उदाहरण के लिए, सामान्य साइन आपको एक वृत्त के चाप के साथ इसे अंतरित करने वाली जीवा को खोजने की अनुमति देता है, और उलटा कार्य विपरीत समस्या को हल करता है। 1 9वीं शताब्दी के अंत तक, अंग्रेजी और जर्मन गणितीय स्कूलों ने अन्य अंकन की पेशकश की: sin -1 और 1/पाप, लेकिन उनका व्यापक रूप से उपयोग नहीं किया जाता है।

हाइपरबोलिक साइन, हाइपरबोलिक कोसाइन। डब्ल्यू. रिकाटी (1757)।

इतिहासकारों ने अंग्रेजी गणितज्ञ अब्राहम डी मोइवर (1707, 1722) के लेखन में अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों की पहली उपस्थिति की खोज की। उनकी आधुनिक परिभाषा और विस्तृत अध्ययन 1757 में "ओपुस्कुलोरम" काम में इतालवी विन्सेन्ज़ो रिकाटी द्वारा किया गया था, उन्होंने उनके पदनाम भी प्रस्तावित किए: श्री,चौधरी. रिकाटी एक अतिपरवलय के विचार से आगे बढ़ा। जर्मन गणितज्ञ, भौतिक विज्ञानी और दार्शनिक जोहान लैम्बर्ट (1768) द्वारा हाइपरबोलिक कार्यों के गुणों की एक स्वतंत्र खोज और आगे का अध्ययन किया गया, जिन्होंने साधारण और अतिशयोक्तिपूर्ण त्रिकोणमिति के सूत्रों के बीच एक व्यापक समानता स्थापित की। एन.आई. लोबाचेव्स्की ने बाद में इस समानता का इस्तेमाल किया, गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति की स्थिरता को साबित करने की कोशिश की, जिसमें साधारण त्रिकोणमिति को हाइपरबोलिक द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है।

जिस तरह त्रिकोणमितीय साइन और कोसाइन एक निर्देशांक सर्कल पर एक बिंदु के निर्देशांक होते हैं, हाइपरबॉलिक साइन और कोसाइन एक हाइपरबोला पर एक बिंदु के निर्देशांक होते हैं। अतिपरवलयिक फलन एक घातांक के रूप में व्यक्त किए जाते हैं और त्रिकोणमितीय फलनों से निकटता से संबंधित होते हैं: श(एक्स)=0.5(ई एक्स-ए-एक्स) , ch(x)=0.5(e x +e -x) त्रिकोणमितीय कार्यों के अनुरूप, हाइपरबॉलिक टेंगेंट और कोटेंजेंट को क्रमशः हाइपरबॉलिक साइन और कोसाइन, कोसाइन और साइन के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।

अंतर। जी. लाइबनिज (1675, प्रेस 1684 में)।

फ़ंक्शन वेतन वृद्धि का मुख्य, रैखिक भाग।यदि समारोह वाई = एफ (एक्स)एक चर x में है एक्स = x0व्युत्पन्न, और वृद्धिy \u003d f (x 0 +? x)-f (x 0)कार्यों एफ (एक्स)के रूप में प्रतिनिधित्व किया जा सकता हैy \u003d f "(x 0) x + R (Δx .)) , जहां सदस्य आरकी तुलना में असीम रूप से छोटाx. पहला सदस्यडाई = एफ"(एक्स 0)Δxइस विस्तार में फलन का अवकलन कहलाता है एफ (एक्स)बिंदु परX 0. पर गॉटफ्राइड लाइबनिज, जैकब और जोहान बर्नौली शब्द के काम करता है"अंतर""वृद्धि" के अर्थ में इस्तेमाल किया गया था, आई। बर्नौली ने इसे Δ के माध्यम से दर्शाया। जी. लीबनिज़ (1675, 1684 में प्रकाशित) ने "असीम रूप से छोटे अंतर" के लिए संकेतन का इस्तेमाल कियाडी- शब्द का पहला अक्षर"अंतर", से उसके द्वारा गठित"अंतर".

अनिश्चितकालीन अभिन्न। जी. लाइबनिज़ (1675, प्रेस 1686 में)।

"इंटीग्रल" शब्द का इस्तेमाल पहली बार जैकब बर्नौली (1690) द्वारा प्रिंट में किया गया था। शायद यह शब्द लैटिन से लिया गया है पूर्णांक- पूरा का पूरा। एक अन्य धारणा के अनुसार, आधार लैटिन शब्द था पूर्णांक- बहाल करना, बहाल करना। संकेत ∫ का उपयोग गणित में एक अभिन्न को निरूपित करने के लिए किया जाता है और यह एक लैटिन शब्द के पहले अक्षर का एक शैलीबद्ध प्रतिनिधित्व है। सुम्मा-जोड़। इसका उपयोग पहली बार 17वीं शताब्दी के अंत में जर्मन गणितज्ञ गॉटफ्राइड लाइबनिज, डिफरेंशियल और इंटीग्रल कैलकुलस के संस्थापक द्वारा किया गया था। डिफरेंशियल और इंटीग्रल कैलकुलस के संस्थापकों में से एक, आइजैक न्यूटन ने अपने कार्यों में इंटीग्रल के वैकल्पिक प्रतीकवाद की पेशकश नहीं की, हालांकि उन्होंने विभिन्न विकल्पों की कोशिश की: एक फ़ंक्शन के ऊपर एक ऊर्ध्वाधर पट्टी या एक वर्ग प्रतीक जो किसी फ़ंक्शन के सामने खड़ा होता है या इसकी सीमा। एक समारोह के लिए अनिश्चितकालीन अभिन्न वाई = एफ (एक्स)दिए गए फ़ंक्शन के सभी एंटीडेरिवेटिव्स का संग्रह है।

समाकलन परिभाषित करें। जे. फूरियर (1819-1822)।

किसी फलन का निश्चित समाकलन एफ (एक्स)निचली सीमा के साथ एऔर ऊपरी सीमा बीअंतर के रूप में परिभाषित किया जा सकता है एफ (बी) - एफ (ए) = ए ∫ बी एफ (एक्स) डीएक्स , कहाँ पे एफ (एक्स)- कुछ एंटीडेरिवेटिव फंक्शन एफ (एक्स) . समाकलन परिभाषित करें एक बी एफ (एक्स) डीएक्स संख्यात्मक रूप से x-अक्ष, सीधी रेखाओं से घिरी आकृति के क्षेत्रफल के बराबर एक्स = एऔर एक्स = बीऔर फ़ंक्शन ग्राफ एफ (एक्स). फ्रांसीसी गणितज्ञ और भौतिक विज्ञानी जीन बैप्टिस्ट जोसेफ फूरियर ने 19 वीं शताब्दी की शुरुआत में हमारे परिचित रूप में एक निश्चित अभिन्न का डिजाइन प्रस्तावित किया था।

व्युत्पन्न। जी. लीबनिज़ (1675), जे. लैग्रेंज (1770, 1779)।

व्युत्पन्न - एक फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर को दर्शाने वाले अंतर कलन की मूल अवधारणा एफ (एक्स)जब तर्क बदल जाता है एक्स . इसे किसी फ़ंक्शन की वृद्धि के अनुपात की सीमा के रूप में उसके तर्क की वृद्धि के रूप में परिभाषित किया जाता है क्योंकि तर्क की वृद्धि शून्य हो जाती है, यदि ऐसी सीमा मौजूद है। वह फलन जिसका किसी बिंदु पर परिमित अवकलज होता है, उस बिंदु पर अवकलनीय कहलाता है। व्युत्पन्न की गणना की प्रक्रिया को विभेदीकरण कहा जाता है। रिवर्स प्रक्रिया एकीकरण है। शास्त्रीय अंतर कलन में, व्युत्पन्न को अक्सर सीमा के सिद्धांत की अवधारणाओं के माध्यम से परिभाषित किया जाता है, हालांकि, ऐतिहासिक रूप से, सीमा का सिद्धांत अंतर कलन की तुलना में बाद में प्रकट हुआ।

शब्द "व्युत्पन्न" 1797 में जोसेफ लुई लैग्रेंज द्वारा पेश किया गया था; डाई/डीएक्स- 1675 में गॉटफ्राइड लाइबनिज। पत्र के ऊपर एक बिंदु के साथ समय के संबंध में व्युत्पन्न को नामित करने का तरीका न्यूटन (1691) से आता है।रूसी शब्द "एक फ़ंक्शन का व्युत्पन्न" पहली बार एक रूसी गणितज्ञ द्वारा इस्तेमाल किया गया थावसीली इवानोविच विस्कोवाटोव (1779-1812).

निजी व्युत्पन्न। ए लीजेंड्रे (1786), जे। लैग्रेंज (1797, 1801)।

कई चर के कार्यों के लिए, आंशिक डेरिवेटिव परिभाषित किए गए हैं - एक तर्क के संबंध में डेरिवेटिव, इस धारणा के तहत गणना की जाती है कि शेष तर्क स्थिर हैं। नोटेशन f/ ∂ एक्स, ∂ जेड/ ∂ आप 1786 में फ्रांसीसी गणितज्ञ एड्रियन मैरी लीजेंड्रे द्वारा पेश किया गया; एफएक्स",जेडएक्स"- जोसेफ लुई लैग्रेंज (1797, 1801); ∂ 2z/ ∂ x2, ∂ 2z/ ∂ एक्स ∂ आप- दूसरे क्रम के आंशिक व्युत्पन्न - जर्मन गणितज्ञ कार्ल गुस्ताव जैकब जैकोबी (1837)।

अंतर, वृद्धि। I. बर्नौली (17 वीं शताब्दी के अंत में - 18 वीं शताब्दी की पहली छमाही), एल। यूलर (1755)।

अक्षर द्वारा वेतन वृद्धि का पद सबसे पहले स्विस गणितज्ञ जोहान बर्नौली द्वारा उपयोग किया गया था। 1755 में लियोनहार्ड यूलर के काम के बाद प्रतीक "डेल्टा" आम चलन में आ गया।

जोड़। एल. यूलर (1755)।

योग मूल्यों (संख्याओं, कार्यों, वैक्टर, मैट्रिक्स, आदि) को जोड़ने का परिणाम है। n संख्याओं a 1, a 2, ..., a n के योग को दर्शाने के लिए ग्रीक अक्षर "सिग्मा" का उपयोग किया जाता है: a 1 + a 2 + ... + a n = Σ n i=1 a i = Σ n 1 एक मैं। राशि के लिए साइन Σ 1755 में लियोनहार्ड यूलर द्वारा पेश किया गया था।

कार्य। के. गॉस (1812)।

उत्पाद गुणन का परिणाम है। n संख्याओं a 1, a 2, ..., a n के गुणनफल को दर्शाने के लिए ग्रीक अक्षर "pi" का उपयोग किया जाता है: a 1 a 2 ... a n = Π n i=1 a i = Π n 1 a i । उदाहरण के लिए, 1 3 5 ... 97 99 = ? 50 1 (2i-1)। उत्पाद के लिए प्रतीक Π 1812 में जर्मन गणितज्ञ कार्ल गॉस द्वारा पेश किया गया था। रूसी गणितीय साहित्य में, शब्द "काम" पहली बार 1703 में लियोन्टी फिलिपोविच मैग्निट्स्की द्वारा सामना किया गया था।

फैक्टोरियल। के. क्रम्प (1808)।

एक संख्या n का भाज्य (निरूपित n!, उच्चारण "एन फैक्टोरियल"), n: n तक और सहित सभी प्राकृतिक संख्याओं का गुणनफल है! = 1 2 3 ... एन। उदाहरण के लिए, 5! = 1 2 3 4 5 = 120. परिभाषा के अनुसार, 0! = 1. फ़ैक्टोरियल केवल गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों के लिए परिभाषित किया गया है। एक संख्या n का भाज्य n तत्वों के क्रमपरिवर्तन की संख्या के बराबर है। उदाहरण के लिए, 3! = 6, वास्तव में,

♣ ♦

♦ ♣

तीन तत्वों के सभी छह और केवल छह क्रमपरिवर्तन।

शब्द "फैक्टोरियल" फ्रांसीसी गणितज्ञ और राजनीतिज्ञ लुई फ्रेंकोइस एंटोनी अर्बोगास्ट (1800) द्वारा पेश किया गया था, पदनाम n! - फ्रांसीसी गणितज्ञ क्रिश्चियन क्रैम्प (1808)।

मॉड्यूल, निरपेक्ष मूल्य। के वीयरस्ट्रैस (1841)।

मॉड्यूल, वास्तविक संख्या x का निरपेक्ष मान - एक गैर-ऋणात्मक संख्या जिसे निम्नानुसार परिभाषित किया गया है: |x| = x x 0 के लिए, और |x| = -x x 0 के लिए। उदाहरण के लिए, |7| = 7, |- 0.23| = -(-0.23) = 0.23। एक सम्मिश्र संख्या z = a + ib का मापांक (a 2 + b 2) के बराबर एक वास्तविक संख्या है।

ऐसा माना जाता है कि "मॉड्यूल" शब्द का प्रयोग अंग्रेजी गणितज्ञ और दार्शनिक, न्यूटन के एक छात्र रोजर कोट्स द्वारा करने का प्रस्ताव था। गॉटफ्राइड लाइबनिज़ ने भी इस फ़ंक्शन का उपयोग किया, जिसे उन्होंने "मॉड्यूल" कहा और निरूपित किया: mol x। निरपेक्ष मान के लिए आम तौर पर स्वीकृत संकेतन 1841 में जर्मन गणितज्ञ कार्ल वीयरस्ट्रैस द्वारा पेश किया गया था। जटिल संख्याओं के लिए, इस अवधारणा को 19 वीं शताब्दी की शुरुआत में फ्रांसीसी गणितज्ञ ऑगस्टिन कॉची और जीन रॉबर्ट आर्गन द्वारा पेश किया गया था। 1903 में, ऑस्ट्रियाई वैज्ञानिक कोनराड लोरेंज ने एक वेक्टर की लंबाई के लिए समान प्रतीकवाद का इस्तेमाल किया।

सामान्य। ई. श्मिट (1908)।

एक मानदंड एक वेक्टर अंतरिक्ष पर परिभाषित एक कार्यात्मक है और एक वेक्टर की लंबाई या किसी संख्या के मापांक की अवधारणा को सामान्य करता है। 1908 में जर्मन गणितज्ञ एरहार्ड श्मिट द्वारा "मानदंड" (लैटिन शब्द "नॉर्मा" - "नियम", "नमूना" से) का संकेत पेश किया गया था।

सीमा। एस लुइलियर (1786), डब्ल्यू हैमिल्टन (1853), कई गणितज्ञ (20वीं शताब्दी की शुरुआत तक)

सीमा - गणितीय विश्लेषण की मूल अवधारणाओं में से एक, जिसका अर्थ है कि विचाराधीन परिवर्तन की प्रक्रिया में कुछ परिवर्तनशील मूल्य अनिश्चित काल के लिए एक निश्चित स्थिर मूल्य तक पहुंचते हैं। एक सीमा की अवधारणा को 17 वीं शताब्दी के उत्तरार्ध में आइजैक न्यूटन द्वारा, साथ ही साथ 18 वीं शताब्दी के गणितज्ञों, जैसे लियोनहार्ड यूलर और जोसेफ लुई लैग्रेंज द्वारा सहज रूप से उपयोग किया गया था। एक अनुक्रम की सीमा की पहली कठोर परिभाषा 1816 में बर्नार्ड बोलजानो और 1821 में ऑगस्टिन कॉची द्वारा दी गई थी। प्रतीक लिम (लैटिन शब्द लाइम्स - बॉर्डर के पहले 3 अक्षर) 1787 में स्विस गणितज्ञ साइमन एंटोनी जीन लुहिलियर के साथ दिखाई दिए, लेकिन इसका उपयोग अभी तक आधुनिक जैसा नहीं था। हमारे लिए अधिक परिचित रूप में अभिव्यक्ति लिम का पहली बार 1853 में आयरिश गणितज्ञ विलियम हैमिल्टन द्वारा उपयोग किया गया था।Weierstrass ने आधुनिक एक के करीब एक पदनाम पेश किया, लेकिन सामान्य तीर के बजाय, उन्होंने समान चिह्न का उपयोग किया। 20वीं सदी की शुरुआत में कई गणितज्ञों के साथ तीर दिखाई दिया - उदाहरण के लिए, 1908 में अंग्रेजी गणितज्ञ गॉडफ्राइड हार्डी के साथ।

जीटा समारोह, डी रीमैन जीटा फंक्शन. बी रीमैन (1857)।

जटिल चर s = + it का विश्लेषणात्मक कार्य, σ > 1 के लिए, पूर्ण और समान रूप से अभिसरण Dirichlet श्रृंखला द्वारा निर्धारित:

(s) = 1 -s + 2 -s + 3 -s + ...।

σ > 1 के लिए, यूलर उत्पाद के रूप में प्रतिनिधित्व मान्य है:

(ओं) =पी (1-पी-एस) -एस ,

जहां उत्पाद को सभी primes p पर ले लिया जाता है। संख्या सिद्धांत में जीटा फ़ंक्शन एक बड़ी भूमिका निभाता है।एक वास्तविक चर के एक समारोह के रूप में, ज़ेटा फ़ंक्शन को 1737 में (1744 में प्रकाशित) एल। यूलर द्वारा पेश किया गया था, जिसने एक उत्पाद में इसके अपघटन का संकेत दिया था। तब इस फ़ंक्शन को जर्मन गणितज्ञ एल। डिरिचलेट और विशेष रूप से सफलतापूर्वक रूसी गणितज्ञ और मैकेनिक पी.एल. द्वारा माना गया था। चेबीशेव ने अभाज्य संख्याओं के वितरण के नियम का अध्ययन किया। हालांकि, जर्मन गणितज्ञ जॉर्ज फ्रेडरिक बर्नहार्ड रीमैन (1859) के काम के बाद, जीटा फ़ंक्शन के सबसे गहन गुणों की खोज बाद में की गई, जहां जीटा फ़ंक्शन को एक जटिल चर के एक फ़ंक्शन के रूप में माना जाता था; उन्होंने 1857 में "ज़ेटा फंक्शन" नाम और संकेतन (ओं) को भी पेश किया।

गामा फ़ंक्शन, यूलर Γ-फ़ंक्शन। ए लीजेंड्रे (1814)।

गामा फलन एक गणितीय फलन है जो भाज्य की धारणा को सम्मिश्र संख्याओं के क्षेत्र तक विस्तारित करता है। आमतौर पर (z) द्वारा निरूपित किया जाता है। ज़ेड-फ़ंक्शन पहली बार 1729 में लियोनहार्ड यूलर द्वारा पेश किया गया था; इसे सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है:

Γ (जेड) = लिमn→∞ एन! एन जेड /जेड(जेड+1)...(जेड+एन)।

जी-फ़ंक्शन के माध्यम से बड़ी संख्या में इंटीग्रल, अनंत उत्पाद और श्रृंखला के योग व्यक्त किए जाते हैं। विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। 1814 में फ्रांसीसी गणितज्ञ एड्रियन मैरी लीजेंड्रे द्वारा "गामा फ़ंक्शन" नाम और संकेतन (जेड) का प्रस्ताव दिया गया था।

बीटा फ़ंक्शन, बी फ़ंक्शन, यूलर बी फ़ंक्शन। जे. बिनेट (1839)।

समानता द्वारा p>0, q>0 के लिए परिभाषित दो चर p और q का एक फलन:

बी (पी, क्यू) = 0 1 x p-1 (1-x) q-1 dx।

बीटा फ़ंक्शन को Γ-फ़ंक्शन के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है: В(p, q) = Γ(p)Г(q)/Г(p+q)।जिस प्रकार पूर्णांकों के लिए गामा फलन भाज्य का सामान्यीकरण है, उसी प्रकार बीटा फलन एक अर्थ में द्विपद गुणांकों का सामान्यीकरण है।

बीटा फ़ंक्शन का उपयोग करके कई गुणों का वर्णन किया गया है।प्राथमिक कणमें भाग लेना मजबूत बातचीत. इस विशेषता को इतालवी सैद्धांतिक भौतिक विज्ञानी ने देखा थागैब्रिएल वेनेज़ियानो 1968 में। ये शुरू हुआस्ट्रिंग सिद्धांत।

नाम "बीटा फ़ंक्शन" और संकेतन बी (पी, क्यू) 1839 में फ्रांसीसी गणितज्ञ, मैकेनिक और खगोलशास्त्री जैक्स फिलिप मैरी बिनेट द्वारा पेश किया गया था।

लाप्लास ऑपरेटर, लाप्लासियन। आर. मर्फी (1833)।

रैखिक अंतर ऑपरेटर Δ, जो n चर x 1, x 2, ..., x n से φ (x 1, x 2, ..., x n) कार्य करता है, फ़ंक्शन को जोड़ता है:

\u003d 2 / ∂x 1 2 + 2 / x 2 2 + ... + 2 / ∂x n 2.

विशेष रूप से, एक चर के फ़ंक्शन φ(x) के लिए, लैपलेस ऑपरेटर दूसरे व्युत्पन्न के ऑपरेटर के साथ मेल खाता है: Δφ = d 2 φ/dx 2 । समीकरण Δφ = 0 को आमतौर पर लाप्लास समीकरण कहा जाता है; यहीं से "लाप्लास ऑपरेटर" या "लाप्लासियन" नाम आते हैं। 1833 में अंग्रेजी भौतिक विज्ञानी और गणितज्ञ रॉबर्ट मर्फी द्वारा संकेतन की शुरुआत की गई थी।

हैमिल्टनियन ऑपरेटर, नाबला ऑपरेटर, हैमिल्टनियन। ओ हेविसाइड (1892)।

फॉर्म के वेक्टर डिफरेंशियल ऑपरेटर

= /∂x मैं+ /∂y जे+ /∂z क,

कहाँ पे मैं, जे, और क- निर्देशांक वैक्टर। नाबला ऑपरेटर के माध्यम से, वेक्टर विश्लेषण के साथ-साथ लाप्लास ऑपरेटर के बुनियादी संचालन को प्राकृतिक तरीके से व्यक्त किया जाता है।

1853 में, आयरिश गणितज्ञ विलियम रोवन हैमिल्टन ने इस ऑपरेटर को पेश किया और इसके लिए प्रतीक को एक उल्टे ग्रीक अक्षर Δ (डेल्टा) के रूप में गढ़ा। हैमिल्टन में, प्रतीक का बिंदु बाईं ओर इंगित किया गया; बाद में, स्कॉटिश गणितज्ञ और भौतिक विज्ञानी पीटर गुथरी टेट के कार्यों में, प्रतीक ने एक आधुनिक रूप प्राप्त किया। हैमिल्टन ने इस प्रतीक को "एटलड" (शब्द "डेल्टा" पीछे की ओर पढ़ा गया) शब्द कहा। बाद में, ओलिवर हेविसाइड समेत अंग्रेजी विद्वानों ने फोनीशियन वर्णमाला में अक्षर के नाम के बाद, इस प्रतीक को "नाबला" कहना शुरू कर दिया, जहां यह होता है। पत्र की उत्पत्ति वीणा जैसे संगीत वाद्ययंत्र से जुड़ी है, प्राचीन ग्रीक में ναβλα (नाबला) का अर्थ है "वीणा"। ऑपरेटर को हैमिल्टन ऑपरेटर या नाबला ऑपरेटर कहा जाता था।

समारोह। I. बर्नौली (1718), एल. यूलर (1734)।

एक गणितीय अवधारणा जो समुच्चय के तत्वों के बीच संबंध को दर्शाती है। हम कह सकते हैं कि एक फ़ंक्शन एक "कानून", एक "नियम" है जिसके अनुसार एक सेट के प्रत्येक तत्व (जिसे परिभाषा का डोमेन कहा जाता है) को दूसरे सेट का कुछ तत्व सौंपा जाता है (जिसे मूल्यों का डोमेन कहा जाता है)। एक फ़ंक्शन की गणितीय अवधारणा एक सहज ज्ञान युक्त विचार व्यक्त करती है कि कैसे एक मात्रा पूरी तरह से दूसरी मात्रा के मूल्य को निर्धारित करती है। अक्सर "फ़ंक्शन" शब्द का अर्थ एक संख्यात्मक फ़ंक्शन होता है; वह है, एक फ़ंक्शन जो कुछ संख्याओं को दूसरों के अनुरूप रखता है। लंबे समय तक, गणितज्ञों ने बिना कोष्ठक के तर्क दिए, उदाहरण के लिए, इस तरह - । इस संकेतन का प्रयोग पहली बार 1718 में स्विस गणितज्ञ जोहान बर्नौली द्वारा किया गया था।कोष्ठक का उपयोग केवल तभी किया जाता था जब कई तर्क हों, या यदि तर्क एक जटिल अभिव्यक्ति हो। उस समय की गूँज आम है और अब रिकॉर्डपाप एक्स, एलजी एक्सआदि। लेकिन धीरे-धीरे कोष्ठक, f(x) का उपयोग सामान्य नियम बन गया। और इसमें मुख्य योग्यता लियोनहार्ड यूलर की है।

समानता। आर रिकॉर्ड (1557)।

1557 में वेल्श चिकित्सक और गणितज्ञ रॉबर्ट रिकॉर्ड द्वारा समान चिन्ह प्रस्तावित किया गया था; चरित्र की रूपरेखा वर्तमान की तुलना में काफी लंबी थी, क्योंकि यह दो समानांतर खंडों की छवि का अनुकरण करती थी। लेखक ने समझाया कि दुनिया में एक ही लंबाई के दो समानांतर खंडों के बराबर और कुछ नहीं है। इससे पहले, प्राचीन और मध्यकालीन गणित में, समानता को मौखिक रूप से निरूपित किया जाता था (उदाहरण के लिए, इस्ट ईगल) 17 वीं शताब्दी में रेने डेसकार्टेस ने (अक्षांश से। एक्वालिस), और उन्होंने आधुनिक बराबर चिह्न का उपयोग यह इंगित करने के लिए किया कि गुणांक ऋणात्मक हो सकता है। फ़्राँस्वा विएते ने घटाव को बराबर के चिह्न से दर्शाया। रिकॉर्ड का प्रतीक तुरंत नहीं फैला। अभिलेख चिह्न का प्रसार इस तथ्य से बाधित था कि प्राचीन काल से एक ही प्रतीक का उपयोग रेखाओं की समानता को इंगित करने के लिए किया जाता रहा है; अंत में समांतरता के प्रतीक को लंबवत बनाने का निर्णय लिया गया। महाद्वीपीय यूरोप में, संकेत "=" को गॉटफ्रीड लाइबनिज़ द्वारा केवल 17 वीं -18 वीं शताब्दी के मोड़ पर पेश किया गया था, यानी रॉबर्ट रिकॉर्ड की मृत्यु के 100 से अधिक वर्षों बाद, जिन्होंने पहली बार इसके लिए इसका इस्तेमाल किया था।

उसी के बारे में, उसी के बारे में। ए गुंथर (1882)।

संकेत " " जर्मन गणितज्ञ और भौतिक विज्ञानी एडम विल्हेम सिगमंड गुंथर द्वारा 1882 में "बराबर के बारे में" रिश्ते के प्रतीक के रूप में पेश किया गया था।

अधिक कम। टी. हैरियट (1631)।

इन दो संकेतों को 1631 में अंग्रेजी खगोलशास्त्री, गणितज्ञ, नृवंशविज्ञानी और अनुवादक थॉमस हैरियट द्वारा उपयोग में लाया गया था, इससे पहले "अधिक" और "कम" शब्दों का उपयोग किया जाता था।

तुलनीयता। के. गॉस (1801)।

तुलना - दो पूर्णांक n और m के बीच का अनुपात, जिसका अर्थ है कि इन संख्याओं का अंतर n-m किसी दिए गए पूर्णांक a से विभाजित होता है, जिसे तुलना का मापांक कहा जाता है; यह लिखा है: n≡m(mod a) और पढ़ता है "संख्या n और m तुलनीय मोडुलो a" हैं। उदाहरण के लिए, 3≡11(mod 4) क्योंकि 3-11 4 से विभाज्य है; संख्याएँ 3 और 11 सर्वांगसम मॉड्यूल हैं 4। तुलनाओं में समानता के समान कई गुण होते हैं। तो, तुलना के एक भाग में शब्द को विपरीत चिह्न के साथ दूसरे भाग में स्थानांतरित किया जा सकता है, और एक ही मॉड्यूल के साथ तुलना को जोड़ा, घटाया, गुणा किया जा सकता है, तुलना के दोनों हिस्सों को एक ही संख्या से गुणा किया जा सकता है, आदि। उदाहरण के लिए,

3≡9+2(मॉड 4) और 3-2≡9(मॉड 4)

साथ ही सच्ची तुलना। और सही तुलना 3≡11 (मॉड 4) और 1≡5 (मॉड 4) की एक जोड़ी से निम्नलिखित की शुद्धता निम्नानुसार है:

3+1≡11+5 (मॉड 4)

3-1≡11-5 (मॉड 4)

3 1≡11 5 (मॉड 4)

3 2 11 2 (मॉड 4)

3 23≡11 23 (मॉड 4)

संख्या सिद्धांत में, विभिन्न तुलनाओं को हल करने के तरीकों पर विचार किया जाता है, अर्थात। एक या दूसरे प्रकार की तुलना को संतुष्ट करने वाले पूर्णांकों को खोजने की विधियाँ।मोडुलो तुलनाओं का इस्तेमाल पहली बार जर्मन गणितज्ञ कार्ल गॉस ने अपनी 1801 की पुस्तक अंकगणितीय जांच में किया था। उन्होंने तुलना के लिए गणित में स्थापित प्रतीकवाद का भी प्रस्ताव रखा।

पहचान। बी रीमैन (1857)।

पहचान - दो विश्लेषणात्मक अभिव्यक्तियों की समानता, इसमें शामिल अक्षरों के किसी भी स्वीकार्य मान के लिए मान्य। समानता a+b = b+a, a और b के सभी संख्यात्मक मानों के लिए मान्य है, और इसलिए एक पहचान है। पहचान दर्ज करने के लिए, कुछ मामलों में, 1857 के बाद से, "≡" चिह्न का उपयोग किया गया है ("समान रूप से समान पढ़ें"), जिसके लेखक इस प्रयोग में जर्मन गणितज्ञ जॉर्ज फ्रेडरिक बर्नहार्ड रीमैन हैं। लिखा जा सकता हैए+बी ≡ बी+ए।

लंबवत। पी.एरिगॉन (1634)।

लंबवतता - दो सीधी रेखाओं, विमानों या एक सीधी रेखा और एक तल की पारस्परिक व्यवस्था, जिसमें ये आंकड़े एक समकोण बनाते हैं। 1634 में फ्रांसीसी गणितज्ञ और खगोलशास्त्री पियरे एरीगॉन द्वारा लंबवतता को दर्शाने के लिए संकेत पेश किया गया था। लंबवतता की अवधारणा में कई सामान्यीकरण हैं, लेकिन उनमें से सभी, एक नियम के रूप में, संकेत ⊥ के साथ हैं।

समानांतरवाद। डब्ल्यू आउट्रेड (1677 मरणोपरांत संस्करण)।

समानांतरवाद - कुछ ज्यामितीय आकृतियों के बीच संबंध; उदाहरण के लिए, सीधी रेखाएँ। अलग-अलग ज्यामिति के आधार पर अलग-अलग परिभाषित; उदाहरण के लिए, यूक्लिड की ज्यामिति में और लोबचेवस्की की ज्यामिति में। समानता का संकेत प्राचीन काल से जाना जाता है, इसका उपयोग अलेक्जेंड्रिया के हेरोन और पप्पस द्वारा किया जाता था। सबसे पहले, प्रतीक वर्तमान बराबर चिह्न (केवल अधिक विस्तारित) के समान था, लेकिन बाद के आगमन के साथ, भ्रम से बचने के लिए, प्रतीक को लंबवत रूप से बदल दिया गया था ||। यह 1677 में अंग्रेजी गणितज्ञ विलियम आउट्रेड के कार्यों के मरणोपरांत संस्करण में पहली बार इस रूप में दिखाई दिया।

चौराहा, संघ। जे. पीनो (1888).

समुच्चयों का प्रतिच्छेदन एक समुच्चय है जिसमें वे और केवल वे तत्व होते हैं जो एक साथ सभी दिए गए समुच्चयों से संबंधित होते हैं। समुच्चयों का संघ एक ऐसा समुच्चय है जिसमें मूल समुच्चय के सभी अवयव होते हैं। इंटरसेक्शन और यूनियन को सेट पर ऑपरेशन भी कहा जाता है जो उपरोक्त नियमों के अनुसार कुछ सेटों को नए सेट प्रदान करते हैं। निरूपित ∩ और , क्रमशः। उदाहरण के लिए, यदि

ए = (♠ )और बी = (♣ ),

उस

ए∩बी= {♣ }

ए∪बी= {♠ ♣ ♦ } .

समाहित है, समाहित है। ई. श्रोएडर (1890)।

यदि ए और बी दो सेट हैं और ए में कोई तत्व नहीं है जो बी से संबंधित नहीं है, तो वे कहते हैं कि ए बी में निहित है। वे ए⊂बी या बी⊃ए लिखते हैं (बी में ए शामिल है)। उदाहरण के लिए,

{♠}⊂{♠ ♣}⊂{♠ ♣ ♦ }

{♠ ♣ ♦ }⊃{ ♦ }⊃{♦ }

1890 में जर्मन गणितज्ञ और तर्कशास्त्री अर्न्स्ट श्रोएडर के साथ "शामिल है" और "शामिल है" प्रतीक दिखाई दिए।

संबद्धता। जे पीनो (1895)।

यदि a समुच्चय A का एक अवयव है, तो a∈A लिखिए और "a, A से संबंधित है" पढ़िए। यदि a, A का अवयव नहीं है, तो a∉A लिखें और "a, A से संबंधित नहीं है" पढ़ें। प्रारंभ में, संबंध "निहित" और "संबंधित" ("एक तत्व है") प्रतिष्ठित नहीं थे, लेकिन समय के साथ, इन अवधारणाओं को एक भेद की आवश्यकता थी। सदस्यता चिन्ह का उपयोग पहली बार 1895 में इतालवी गणितज्ञ ग्यूसेप पीनो द्वारा किया गया था। प्रतीक ∈ ग्रीक शब्द - to be के पहले अक्षर से आया है।

यूनिवर्सल क्वांटिफायर, अस्तित्वगत क्वांटिफायर। जी. जेंटजेन (1935), सी. पियर्स (1885)।

क्वांटिफायर तार्किक संचालन के लिए एक सामान्य नाम है जो एक विधेय (गणितीय कथन) के सत्य के क्षेत्र को इंगित करता है। दार्शनिकों ने लंबे समय से तार्किक संचालन पर ध्यान दिया है जो एक विधेय की सच्चाई के दायरे को सीमित करता है, लेकिन संचालन के एक अलग वर्ग के रूप में उन्हें बाहर नहीं करता है। यद्यपि मात्रात्मक-तार्किक निर्माण व्यापक रूप से वैज्ञानिक और रोजमर्रा के भाषण दोनों में उपयोग किए जाते हैं, उनकी औपचारिकता केवल 1879 में जर्मन तर्कशास्त्री, गणितज्ञ और दार्शनिक फ्रेडरिक लुडविग गॉटलोब फ्रेज "द कैलकुलस ऑफ कॉन्सेप्ट्स" की पुस्तक में हुई थी। फ्रेज का अंकन बोझिल ग्राफिक निर्माण की तरह लग रहा था और इसे स्वीकार नहीं किया गया था। इसके बाद, कई और सफल प्रतीकों का प्रस्ताव किया गया था, लेकिन 1885 में अमेरिकी दार्शनिक, तर्कशास्त्री और गणितज्ञ चार्ल्स पियर्स द्वारा प्रस्तावित अस्तित्वगत क्वांटिफायर (पढ़ें "मौजूद", "वहां है") के लिए संकेतन , और सार्वभौमिक क्वांटिफायर के लिए ( जर्मन गणितज्ञ और तर्कशास्त्री गेरहार्ड कार्ल एरिच जेंटजन द्वारा 1935 में अस्तित्वगत क्वांटिफायर प्रतीक (अंग्रेजी शब्दों के उलट पहले अक्षर अस्तित्व (अस्तित्व) और किसी के साथ सादृश्य द्वारा "कोई", "प्रत्येक", "कोई भी") पढ़ें। कोई भी))। उदाहरण के लिए, प्रविष्टि

(∀ε>0) (∃δ>0) (∀x≠x 0 , |x-x 0 |<δ) (|f(x)-A|<ε)

इस प्रकार पढ़ता है: "किसी भी ε>0 के लिए δ>0 मौजूद है जैसे कि सभी x के लिए x 0 के बराबर नहीं है और असमानता को संतुष्ट करता है |x-x 0 |<δ, выполняется неравенство |f(x)-A|<ε".

खाली सेट। एन. बोर्बाकी (1939)।

एक सेट जिसमें कोई तत्व नहीं होता है। खाली सेट चिन्ह को 1939 में निकोलस बॉर्बकी की किताबों में पेश किया गया था। बॉर्बकी 1935 में गठित फ्रांसीसी गणितज्ञों के एक समूह का सामूहिक छद्म नाम है। बोर्बाकी समूह के सदस्यों में से एक प्रतीक के लेखक आंद्रे वेइल थे।

क्यू.ई.डी. डी. नुथ (1978)।

गणित में, एक प्रमाण को कुछ नियमों के आधार पर तर्क के अनुक्रम के रूप में समझा जाता है, यह दर्शाता है कि एक निश्चित कथन सत्य है। पुनर्जागरण के बाद से, एक प्रमाण के अंत को गणितज्ञों द्वारा "Q.E.D." के रूप में दर्शाया गया है, लैटिन अभिव्यक्ति "क्वोड एराट डेमोंस्ट्रैंडम" से - "क्या साबित करने की आवश्यकता थी।" 1978 में कंप्यूटर लेआउट सिस्टम ΤΕΧ बनाते समय, कंप्यूटर विज्ञान के अमेरिकी प्रोफेसर डोनाल्ड एडविन नुथ ने एक प्रतीक का उपयोग किया: एक भरा हुआ वर्ग, तथाकथित "हल्मोस प्रतीक", जिसका नाम हंगेरियन मूल के अमेरिकी गणितज्ञ पॉल रिचर्ड हैल्मोस के नाम पर रखा गया। आज, एक सबूत के पूरा होने को आमतौर पर हल्मोस प्रतीक द्वारा दर्शाया जाता है। एक विकल्प के रूप में, अन्य संकेतों का उपयोग किया जाता है: एक खाली वर्ग, एक समकोण त्रिभुज, // (दो स्लैश), साथ ही साथ रूसी संक्षिप्त नाम "ch.t.d।"।

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