अपेक्षित मूल्य

फैलावनिरंतर यादृच्छिक चर X, जिसके संभावित मान संपूर्ण अक्ष ऑक्स से संबंधित हैं, समानता द्वारा निर्धारित किया जाता है:

सेवा असाइनमेंट. ऑनलाइन कैलकुलेटर उन समस्याओं को हल करने के लिए डिज़ाइन किया गया है जिनमें या तो वितरण घनत्व f(x) , या वितरण फलन F(x) (उदाहरण देखें)। आमतौर पर ऐसे कार्यों में खोजने की आवश्यकता होती है गणितीय अपेक्षा, मानक विचलन, फलन f(x) और F(x) को आलेखित करें.

निर्देश। इनपुट डेटा के प्रकार का चयन करें: वितरण घनत्व f(x) या वितरण फ़ंक्शन F(x) ।

वितरण घनत्व f(x) को देखते हुए वितरण फलन F(x) दिया गया है

वितरण घनत्व f(x) दिया गया है:

वितरण फलन F(x) दिया गया है:

एक सतत यादृच्छिक चर एक संभाव्यता घनत्व द्वारा परिभाषित किया गया है
(रेले वितरण कानून - रेडियो इंजीनियरिंग में प्रयुक्त)। एम (एक्स) , डी (एक्स) खोजें।

यादृच्छिक चर X कहलाता है निरंतर , यदि इसका वितरण फलन F(X)=P(X .)< x) непрерывна и имеет производную.
एक सतत यादृच्छिक चर के वितरण फ़ंक्शन का उपयोग किसी दिए गए अंतराल में आने वाले यादृच्छिक चर की संभावनाओं की गणना करने के लिए किया जाता है:
पी(α< X < β)=F(β) - F(α)
इसके अलावा, एक सतत यादृच्छिक चर के लिए, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि इसकी सीमाएं इस अंतराल में शामिल हैं या नहीं:
पी(α< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
वितरण घनत्व निरंतर यादृच्छिक चर को फ़ंक्शन कहा जाता है
f(x)=F'(x) , वितरण फलन का अवकलज।

वितरण घनत्व गुण

1. x के सभी मानों के लिए यादृच्छिक चर का वितरण घनत्व गैर-ऋणात्मक (f(x) 0) है।
2. सामान्यीकरण की स्थिति:

सामान्यीकरण की स्थिति का ज्यामितीय अर्थ: वितरण घनत्व वक्र के तहत क्षेत्र एक के बराबर है।
3. α से β के अंतराल में एक यादृच्छिक चर X से टकराने की संभावना की गणना सूत्र द्वारा की जा सकती है

ज्यामितीय रूप से, एक सतत यादृच्छिक चर X के अंतराल (α, β) में गिरने की प्रायिकता इस अंतराल के आधार पर वितरण घनत्व वक्र के अंतर्गत वक्रीय समलम्बाकार क्षेत्र के बराबर होती है।
4. वितरण फलन को घनत्व के रूप में निम्नानुसार व्यक्त किया जाता है:

बिंदु x पर वितरण घनत्व मान इस मान को लेने की संभावना के बराबर नहीं है; एक निरंतर यादृच्छिक चर के लिए, हम केवल दिए गए अंतराल में गिरने की संभावना के बारे में बात कर सकते हैं। चलो (4)

कहाँ पे एऔर बीजरूरी नहीं कि परिमित। उदाहरण के लिए, गैस अणु के वेग वेक्टर के मापांक के लिए वीसंभावित मूल्यों की पूरी सीमा के भीतर स्थित है, अर्थात। एक्सहे [ एक्स,एक्स+ डी एक्स] हे [ ए, बी] (5)

तब प्रायिकता D वू(एक्स, डी एक्स) हिट एक्सअंतराल में (5) बराबर है

यहां एनमाप की कुल संख्या है एक्स, और डी एन(एक्स, डी एक्स) अंतराल (5) में आने वाले परिणामों की संख्या है।

प्रायिकता डी वूस्वाभाविक रूप से दो तर्कों पर निर्भर करता है: एक्स- अंदर अंतराल की स्थिति [ ए, बी] और डी एक्सइसकी लंबाई है (यह माना जाता है, हालांकि यह बिल्कुल भी आवश्यक नहीं है कि डी एक्स> 0)। उदाहरण के लिए, सटीक मान प्राप्त करने की प्रायिकता एक्स, दूसरे शब्दों में, टकराने की प्रायिकता एक्सशून्य लंबाई के अंतराल में एक असंभव घटना की संभावना है और इसलिए शून्य के बराबर है: डी वू(एक्स, 0) = 0

दूसरी ओर, मूल्य प्राप्त करने की संभावना एक्सपूरे अंतराल के भीतर कहीं (कोई फर्क नहीं पड़ता कि कहाँ) [ ए, बी] एक निश्चित घटना की संभावना है (कुछ हमेशा होता है) और इसलिए एक के बराबर है (यह माना जाता है कि बी > ए):डी वू(ए, बी – ए) = 1.

चलो डी एक्सकुछ। पर्याप्त लघुता की कसौटी संभाव्यता वितरण डी द्वारा वर्णित प्रणाली के विशिष्ट गुणों पर निर्भर करती है वू(एक्स, डी एक्स) अगर डी एक्सछोटा, फिर फ़ंक्शन D वू(एक्स, डी एक्स) डी . की शक्तियों में एक श्रृंखला में विस्तारित किया जा सकता है एक्स:

यदि हम एक निर्भरता ग्राफ बनाते हैं D वू(एक्स, डी एक्स) दूसरे तर्क D . से एक्स, फिर सटीक निर्भरता को अनुमानित अभिव्यक्ति (7) के साथ बदलने का अर्थ है (एक छोटे से क्षेत्र में) सटीक वक्र को परवलय (7) के एक टुकड़े के साथ बदलना।

(7) में, पहला पद शून्य के ठीक बराबर है, तीसरा और बाद का पद, यदि D पर्याप्त रूप से छोटा है, एक्सछोड़ा जा सकता है। अंकन का परिचय

एक महत्वपूर्ण परिणाम देता है डी वू(एक्स, डी एक्स) " आर( एक्स) डी एक्स (8)

संबंध (8), जो अधिक सटीक है, छोटा D एक्सइसका मतलब है कि एक छोटे अंतराल के लिए, इस अंतराल में गिरने की संभावना इसकी लंबाई के समानुपाती होती है।

आप अभी भी एक छोटे लेकिन अंतिम डी से जा सकते हैं एक्सऔपचारिक रूप से अपरिमित डीएक्स, D . के एक साथ प्रतिस्थापन के साथ वू(एक्स, डी एक्स) पर डीडब्ल्यू(एक्स) तब अनुमानित समानता (8) सटीक एक में बदल जाती है डीडब्ल्यू(एक्स) = आर ( एक्स)· डीएक्स(9)

आनुपातिकता गुणांक r( एक्स) का एक सरल अर्थ है। जैसा कि (8) और (9) से देखा जा सकता है, r( एक्स) संख्यात्मक रूप से मारने की संभावना के बराबर है एक्सइकाई लंबाई के अंतराल में। इसलिए, फ़ंक्शन के नामों में से एक r( एक्स) चर के लिए संभाव्यता वितरण घनत्व है एक्स.

समारोह आर( एक्स) कैसे प्रायिकता के बारे में सभी जानकारी शामिल है डीडब्ल्यू(एक्स) हिट एक्सदी गई लंबाई के अंतराल में डीएक्सइस अंतराल के स्थान पर निर्भर करता है, अर्थात। यह दिखाता है कि कैसे संभाव्यता वितरित की जाती है एक्स. इसलिए, फ़ंक्शन आर ( एक्स) को सामान्यतः चर के लिए वितरण फलन कहा जाता है एक्सऔर, इस प्रकार, उस भौतिक प्रणाली के लिए वितरण कार्य, राज्यों के स्पेक्ट्रम का वर्णन करने के लिए जिसमें चर पेश किया गया था एक्स. सांख्यिकीय भौतिकी में "संभाव्यता घनत्व" और "वितरण फ़ंक्शन" शब्द का परस्पर उपयोग किया जाता है।

हम मामले में प्रायिकता (6) और वितरण फलन (9) की परिभाषा के सामान्यीकरण पर विचार कर सकते हैं, उदाहरण के लिए, तीन चरों की। मनमाने ढंग से बड़ी संख्या में चर के मामले में सामान्यीकरण ठीक उसी तरह किया जाता है।

समय में बेतरतीब ढंग से भिन्न होने वाली भौतिक प्रणाली की स्थिति को तीन चर के मूल्यों द्वारा निर्धारित किया जाना चाहिए एक्स, आपऔर जेडनिरंतर स्पेक्ट्रम के साथ:

एक्सहे [ ए, बी]

आपहे [ सी, डी]

जेडहे [ इ, एफ] (10)

कहाँ पे ए, बी,…, एफ, पहले की तरह, जरूरी नहीं कि सीमित हों। चर एक्स, आपऔर जेडउदाहरण के लिए, गैस अणु के द्रव्यमान के केंद्र के निर्देशांक, इसके वेग वेक्टर के घटक हो सकते हैं एक्सयू वीएक्स, आपयू वी यूऔर जेडयू वज़ूया आवेग, आदि। एक घटना को लंबाई D के अंतराल में सभी तीन चरों के एक साथ घटित होने के रूप में समझा जाता है एक्स, डी आपऔर डी जेडक्रमशः, अर्थात्:

एक्सहे [ एक्स, एक्स+ डी एक्स]

आपहे [ आप, आप+ डी आप]

जेडहे [ जेड, जेड+ डी जेड] (11)

किसी घटना की प्रायिकता (11) को इसी तरह निर्धारित किया जा सकता है (6)

इस अंतर के साथ कि अब D एन- माप की संख्या एक्स, आपऔर जेड, जिसके परिणाम एक साथ संबंधों को संतुष्ट करते हैं (11)। (7) के समान श्रेणी विस्तार का उपयोग करने पर प्राप्त होता है

डीडब्ल्यू(एक्स, आप, जेड) = आर ( एक्स, आप, जेड)· डीएक्स डाई डीजेडई(13)

जहां आर ( एक्स, आप, जेड) एक साथ तीन चरों के लिए वितरण फलन है एक्स, आपऔर जेड.

संभाव्यता के गणितीय सिद्धांत में, "वितरण फलन" शब्द का प्रयोग r से भिन्न मात्रा को दर्शाने के लिए किया जाता है ( एक्स), अर्थात्: मान लीजिए x एक यादृच्छिक चर का कुछ मान है एक्स. फलन (x), जो प्रायिकता देता है कि एक्स x से अधिक कोई मान नहीं लेता है और वितरण फलन कहलाता है। फ़ंक्शन r और के अलग-अलग अर्थ हैं, लेकिन वे संबंधित हैं। प्रायिकता योग प्रमेय का प्रयोग करने पर (यहाँ .) प्राप्त होता है एसंभावित मानों की सीमा का बायां छोर है एक्स (से। मी।प्रायिकता सिद्धांत: , (14) कहाँ से

सन्निकट संबंध (8) का प्रयोग करने पर D . प्राप्त होता है वू(एक्स, डी एक्स) " आर( एक्स) डी एक्स.

सटीक व्यंजक (15) से तुलना करने पर पता चलता है कि (8) का उपयोग करना (16) में समाकलन को समाकलन r के गुणनफल से बदलने के बराबर है। एक्स) एकीकरण अंतराल D . की लंबाई से एक्स:

संबंध (17) सटीक होगा यदि r = स्थिरांक, इसलिए, (16) को (17) से प्रतिस्थापित करते समय त्रुटि कम होगी जब इंटीग्रैंड एकीकरण अंतराल डी की लंबाई से थोड़ा अधिक बदलता है एक्स.

आप डी दर्ज कर सकते हैं एक्स effउस अंतराल की लंबाई है जिस पर वितरण फलन r( एक्स) महत्वपूर्ण रूप से बदलता है, अर्थात। फ़ंक्शन के क्रम के मान से, या मात्रा Dr उड़ानोंमोडुलो ऑर्डर आर। लैग्रेंज सूत्र का उपयोग करके, हम लिख सकते हैं:

जहाँ से यह इस प्रकार है कि D एक्स effकिसी भी समारोह के लिए r

डिस्ट्रीब्यूशन फ़ंक्शन को तर्क के परिवर्तन के एक निश्चित अंतराल पर "लगभग स्थिर" माना जा सकता है यदि इसकी वृद्धि | डॉ | इस अंतराल पर, निरपेक्ष मान इस अंतराल के बिंदुओं पर स्वयं फलन से बहुत कम होता है। आवश्यकता |डॉ| प्रभाव| ~ r (वितरण फलन r is 0) देता है

डी एक्सएक्स एफईएफ (20)

एकीकरण अंतराल की लंबाई उस अंतराल की तुलना में छोटी होनी चाहिए जिस पर इंटीग्रैंड महत्वपूर्ण रूप से बदलता है। चित्रण अंजीर है। एक।

(17) के बायीं ओर का समाकल वक्र के नीचे के क्षेत्रफल के बराबर है। (17) के दाईं ओर का उत्पाद अंजीर में छायांकित क्षेत्र है। 1 कॉलम। संबंधित क्षेत्रों के बीच अंतर की लघुता की कसौटी असमानता की पूर्ति (20) है। इसे पूर्णांक (17) में फलन r के विस्तार के प्रथम पदों में प्रतिस्थापित करके सत्यापित किया जा सकता है। एक्स) शक्तियों में एक श्रृंखला में

आवश्यकता है कि सुधार (21) के दाहिने हाथ पर दूसरे शब्द की तुलना पहले वाले छोटे से की जाए, असमानता (20) को डी के साथ देता है एक्स effसे (19).

कई वितरण कार्यों के उदाहरण जो सांख्यिकीय भौतिकी में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं।

किसी दिए गए दिशा पर अणु के वेग वेक्टर के प्रक्षेपण के लिए मैक्सवेल वितरण (उदाहरण के लिए, यह अक्ष की दिशा है बैल).

यहां एमएक गैस अणु का द्रव्यमान है, टी- इसका तापमान कबोल्ट्जमान स्थिरांक है।

वेग वेक्टर के मापांक के लिए मैक्सवेल वितरण:

अणुओं की स्थानांतरीय गति की ऊर्जा के लिए मैक्सवेल वितरण e = एमवी 2/2

बोल्ट्जमान वितरण, अधिक सटीक रूप से, तथाकथित बैरोमीटर का सूत्र, जो ऊंचाई में अणुओं या वायु दाब की एकाग्रता के वितरण को निर्धारित करता है एचकुछ "शून्य स्तर" से इस धारणा के तहत कि हवा का तापमान ऊंचाई (आइसोथर्मल वायुमंडल मॉडल) पर निर्भर नहीं करता है। वास्तव में, ऊंचाई बढ़ने के साथ वातावरण की निचली परतों में तापमान काफ़ी गिर जाता है।

यादृच्छिक चर और उनके चर के वितरण कार्यों को खोजने के लिए, ज्ञान के इस क्षेत्र की सभी विशेषताओं का अध्ययन करना आवश्यक है। विचाराधीन मूल्यों को खोजने के लिए कई अलग-अलग तरीके हैं, जिसमें एक चर बदलना और एक पल उत्पन्न करना शामिल है। वितरण एक अवधारणा है जो फैलाव, विविधता जैसे तत्वों पर आधारित है। हालांकि, वे केवल बिखरने की सीमा की डिग्री की विशेषता रखते हैं।

यादृच्छिक चर के अधिक महत्वपूर्ण कार्य वे हैं जो संबंधित और स्वतंत्र हैं, और समान रूप से वितरित हैं। उदाहरण के लिए, यदि X1 पुरुष जनसंख्या में से एक यादृच्छिक रूप से चयनित व्यक्ति का भार है, X2 दूसरे का भार है, ..., और Xn पुरुष जनसंख्या में से एक और व्यक्ति का भार है, तो हमें यह जानने की आवश्यकता है कि कैसे यादृच्छिक फ़ंक्शन X वितरित किया जाता है। इस मामले में, केंद्रीय सीमा प्रमेय नामक शास्त्रीय प्रमेय लागू होता है। यह हमें यह दिखाने की अनुमति देता है कि बड़े n के लिए फ़ंक्शन मानक वितरण का अनुसरण करता है।

एक यादृच्छिक चर के कार्य

केंद्रीय सीमा प्रमेय को द्विपद और पॉइसन जैसे प्रश्न में असतत मूल्यों का अनुमान लगाने के लिए डिज़ाइन किया गया है। यादृच्छिक चर के वितरण कार्यों को सबसे पहले, एक चर के सरल मूल्यों पर माना जाता है। उदाहरण के लिए, यदि X एक सतत यादृच्छिक चर है जिसका अपना संभाव्यता वितरण है। इस मामले में, हम दो अलग-अलग तरीकों, अर्थात् वितरण फ़ंक्शन विधि और चर में परिवर्तन का उपयोग करके वाई के घनत्व फ़ंक्शन को खोजने का तरीका तलाशते हैं। सबसे पहले, केवल एक-से-एक मूल्यों पर विचार किया जाता है। फिर आपको इसकी संभावना खोजने के लिए चर को बदलने की तकनीक को संशोधित करने की आवश्यकता है। अंत में, किसी को यह सीखने की जरूरत है कि संचयी वितरण कैसे कुछ अनुक्रमिक पैटर्न का पालन करने वाले यादृच्छिक संख्याओं को मॉडल करने में मदद कर सकता है।

माना मूल्यों के वितरण की विधि

किसी यादृच्छिक चर के प्रायिकता बंटन फलन की विधि उसका घनत्व ज्ञात करने के लिए लागू होती है। इस पद्धति का उपयोग करते समय, संचयी मूल्य की गणना की जाती है। फिर, इसे अलग करके, आप संभाव्यता घनत्व प्राप्त कर सकते हैं। अब जबकि हमारे पास वितरण फलन विधि है, हम कुछ और उदाहरण देख सकते हैं। मान लीजिए कि X एक निश्चित प्रायिकता घनत्व वाला एक सतत यादृच्छिक चर है।

x2 का प्रायिकता घनत्व फलन क्या है? यदि आप फ़ंक्शन (शीर्ष और दाएं) y \u003d x2 को देखते हैं या ग्राफ़ करते हैं, तो आप नोट कर सकते हैं कि यह एक बढ़ता हुआ X और 0 है

पिछले उदाहरण में, संचयी कार्यों और एक्स या वाई के साथ संभाव्यता घनत्व को अनुक्रमित करने के लिए बहुत सावधानी का उपयोग किया गया था ताकि यह इंगित किया जा सके कि वे किस यादृच्छिक चर से संबंधित थे। उदाहरण के लिए, जब संचयी बंटन फलन Y ज्ञात करते हैं, तो हमें X प्राप्त होता है। यदि आपको एक यादृच्छिक चर X और उसके घनत्व को खोजने की आवश्यकता है, तो आपको बस इसे अलग करने की आवश्यकता है।

चर तकनीक बदलना

मान लीजिए कि एक सामान्य हर f(x) वाले वितरण फलन द्वारा दिया गया X एक सतत यादृच्छिक चर है। इस स्थिति में, यदि आप y का मान X = v (Y) में रखते हैं, तो आपको x का मान प्राप्त होता है, उदाहरण के लिए v (y)। अब, हमें एक सतत यादृच्छिक चर Y का वितरण फलन प्राप्त करने की आवश्यकता है। जहाँ पहली और दूसरी समानता संचयी Y की परिभाषा से होती है। तीसरी समानता इसलिए होती है क्योंकि फ़ंक्शन का वह भाग जिसके लिए u (X) y है यह भी सच है कि एक्स वी (वाई)। और बाद वाला एक सतत यादृच्छिक चर X में प्रायिकता निर्धारित करने के लिए किया जाता है। अब हमें Y का संभाव्यता घनत्व प्राप्त करने के लिए, Y के संचयी वितरण फ़ंक्शन FY (y) का व्युत्पन्न लेने की आवश्यकता है।

कम करने के कार्य के लिए सामान्यीकरण

मान लें कि X एक सतत यादृच्छिक चर है जिसमें c1 . पर परिभाषित उभयनिष्ठ f(x) है

इस मुद्दे को हल करने के लिए, मात्रात्मक डेटा एकत्र किया जा सकता है और एक अनुभवजन्य संचयी वितरण फ़ंक्शन का उपयोग किया जा सकता है। इस जानकारी के साथ और इसे आकर्षक बनाने के लिए, आपको साधनों के नमूने, मानक विचलन, मीडिया डेटा आदि को संयोजित करने की आवश्यकता है।

इसी तरह, एक काफी सरल संभाव्य मॉडल में भी बड़ी संख्या में परिणाम हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, यदि आप एक सिक्के को 332 बार पलटते हैं। फिर फ़्लिप से प्राप्त परिणामों की संख्या Google (10100) से अधिक है - एक संख्या, लेकिन ज्ञात ब्रह्मांड में प्राथमिक कणों की तुलना में कम से कम 100 क्विंटल गुना अधिक नहीं है। ऐसे विश्लेषण में दिलचस्पी नहीं है जो हर संभावित परिणाम का उत्तर देता हो। एक सरल अवधारणा की आवश्यकता होगी, जैसे कि सिर की संख्या, या पूंछ का सबसे लंबा स्ट्रोक। रुचि के मुद्दों पर ध्यान केंद्रित करने के लिए, एक विशिष्ट परिणाम स्वीकार किया जाता है। इस मामले में परिभाषा इस प्रकार है: एक यादृच्छिक चर एक संभाव्यता स्थान के साथ एक वास्तविक कार्य है।

एक यादृच्छिक चर की सीमा S को कभी-कभी राज्य स्थान कहा जाता है। इस प्रकार, यदि X विचाराधीन मान है, तो इसलिए N = X2, exp X, X2 + 1, tan2 X, bXc, इत्यादि। इनमें से अंतिम, X को निकटतम पूर्ण संख्या में गोल करना, फ़्लोर फ़ंक्शन कहलाता है।

वितरण कार्य

एक बार जब यादृच्छिक चर x के लिए ब्याज का वितरण कार्य निर्धारित हो जाता है, तो आमतौर पर यह प्रश्न बन जाता है: "क्या संभावना है कि X, B के मानों के किसी उपसमुच्चय में आता है?"। उदाहरण के लिए, बी = (विषम संख्या), बी = (1 से अधिक), या बी = (2 और 7 के बीच) उन परिणामों को इंगित करने के लिए जिनमें एक्स है, यादृच्छिक चर का मान, सबसेट ए में। तो उपरोक्त में उदाहरण के लिए, आप घटनाओं का वर्णन इस प्रकार कर सकते हैं।

(X एक विषम संख्या है), (X, 1 से बड़ा है) = (X> 1), (X, 2 और 7 के बीच है) = (2

यादृच्छिक चर और वितरण कार्य

इस प्रकार, इस संभावना की गणना करना संभव है कि एक यादृच्छिक चर x का वितरण फ़ंक्शन घटाकर अंतराल में मान लेगा। समापन बिंदुओं को शामिल करने या छोड़ने पर विचार करने की आवश्यकता है।

हम एक यादृच्छिक चर असतत कहेंगे यदि इसमें एक परिमित या गणनीय रूप से अनंत राज्य स्थान है। इस प्रकार, एक्स एक पक्षपाती सिक्के के तीन स्वतंत्र फ़्लिप पर शीर्षों की संख्या है जो संभावना पी के साथ ऊपर जाती है। हमें X के लिए असतत यादृच्छिक चर FX के संचयी वितरण फलन को खोजने की आवश्यकता है। मान लें कि X तीन कार्डों के संग्रह में चोटियों की संख्या है। फिर Y = X3 FX से होकर। FX 0 से शुरू होता है, 1 पर समाप्त होता है और x मान बढ़ने पर घटता नहीं है। एक असतत यादृच्छिक चर X का संचयी FX वितरण फलन कूद को छोड़कर स्थिर है। कूदते समय एफएक्स निरंतर होता है। परिभाषा का उपयोग करके संभाव्यता गुण से वितरण फलन की सही निरंतरता के बारे में कथन को सिद्ध करना संभव है। यह इस तरह लगता है: एक निरंतर यादृच्छिक चर में एक संचयी FX होता है जो अलग-अलग होता है।

यह कैसे हो सकता है यह दिखाने के लिए, हम एक उदाहरण दे सकते हैं: एक इकाई त्रिज्या वाला लक्ष्य। संभवतः। डार्ट समान रूप से निर्दिष्ट क्षेत्र में वितरित किया जाता है। कुछ λ> 0 के लिए। इस प्रकार, निरंतर यादृच्छिक चर के वितरण कार्य सुचारू रूप से बढ़ते हैं। FX में वितरण फलन के गुण होते हैं।

एक आदमी बस स्टॉप पर बस के आने तक इंतजार करता है। अपने लिए तय किया कि 20 मिनट तक प्रतीक्षा करने पर वह मना कर देगा। यहां टी के लिए संचयी वितरण फ़ंक्शन ढूंढना आवश्यक है। वह समय जब कोई व्यक्ति अभी भी बस स्टेशन पर होगा या नहीं छोड़ेगा। इस तथ्य के बावजूद कि प्रत्येक यादृच्छिक चर के लिए संचयी वितरण फ़ंक्शन परिभाषित किया गया है। सभी समान, अन्य विशेषताओं का अक्सर उपयोग किया जाएगा: एक असतत चर के लिए द्रव्यमान और एक यादृच्छिक चर का वितरण घनत्व कार्य। आमतौर पर मान इन दो मानों में से किसी एक के माध्यम से आउटपुट होता है।

थोक कार्य

इन मूल्यों को निम्नलिखित गुणों द्वारा माना जाता है, जो एक सामान्य (द्रव्यमान) वर्ण के होते हैं। पहला इस तथ्य पर आधारित है कि संभावनाएं नकारात्मक नहीं हैं। दूसरा इस अवलोकन से अनुसरण करता है कि सभी x = 2S के लिए सेट, X के लिए राज्य स्थान, X की संभाव्य स्वतंत्रता का एक विभाजन बनाता है। उदाहरण: एक पक्षपाती सिक्के को उछालना जिसके परिणाम स्वतंत्र हैं। आप तब तक कुछ क्रियाएँ करना जारी रख सकते हैं जब तक कि आप सिर झुका न लें। मान लीजिए X एक यादृच्छिक चर को दर्शाता है जो पहले शीर्ष के सामने पटों की संख्या देता है। और p किसी भी क्रिया में प्रायिकता को दर्शाता है।

तो, द्रव्यमान संभाव्यता फ़ंक्शन में निम्नलिखित विशिष्ट विशेषताएं हैं। चूँकि पद एक संख्यात्मक अनुक्रम बनाते हैं, X को एक ज्यामितीय यादृच्छिक चर कहा जाता है। ज्यामितीय योजना सी, करोड़, करोड़ 2। , crn का योग है। और, इसलिए, sn की सीमा n 1 है। इस मामले में, अनंत योग सीमा है।

ऊपर दिया गया द्रव्यमान फलन एक अनुपात के साथ एक ज्यामितीय अनुक्रम बनाता है। इसलिए, प्राकृतिक संख्याएँ a और b। वितरण फ़ंक्शन में मानों का अंतर द्रव्यमान फ़ंक्शन के मान के बराबर होता है।

विचाराधीन घनत्व मानों की निम्नलिखित परिभाषा है: X एक यादृच्छिक चर है जिसका वितरण FX एक व्युत्पन्न है। FX संतोषजनक Z xFX (x) = fX (t) dt-1 को प्रायिकता घनत्व फलन कहा जाता है। और X को एक सतत यादृच्छिक चर कहा जाता है। कलन के मौलिक प्रमेय में, घनत्व फलन वितरण का व्युत्पन्न है। आप निश्चित समाकलनों की गणना करके प्रायिकताओं की गणना कर सकते हैं।

चूंकि डेटा कई अवलोकनों से एकत्र किया जाता है, प्रयोगात्मक प्रक्रियाओं को मॉडल करने के लिए एक समय में एक से अधिक यादृच्छिक चर पर विचार किया जाना चाहिए। इसलिए, इन मानों के सेट और दो चर X1 और X2 के लिए उनके संयुक्त वितरण का अर्थ है घटनाओं को देखना। असतत यादृच्छिक चर के लिए, संयुक्त संभाव्य द्रव्यमान कार्यों को परिभाषित किया गया है। निरंतर के लिए, fX1, X2 पर विचार किया जाता है, जहां संयुक्त संभाव्यता घनत्व संतुष्ट होता है।

स्वतंत्र यादृच्छिक चर

दो यादृच्छिक चर X1 और X2 स्वतंत्र हैं यदि उनसे जुड़ी कोई दो घटनाएँ समान हैं। शब्दों में, दो घटनाएँ (X1 2 B1) और (X2 2 B2) एक ही समय में घटित होने की प्रायिकता, y, उपरोक्त चरों के गुणनफल के बराबर है, कि उनमें से प्रत्येक व्यक्तिगत रूप से घटित होती है। स्वतंत्र असतत यादृच्छिक चर के लिए, एक संयुक्त संभाव्य द्रव्यमान फलन होता है, जो सीमित आयन आयतन का गुणनफल होता है। निरंतर यादृच्छिक चर के लिए जो स्वतंत्र हैं, संयुक्त संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन सीमांत घनत्व मानों का उत्पाद है। अंत में, n स्वतंत्र प्रेक्षण x1, x2, माने जाते हैं। , xn अज्ञात घनत्व या द्रव्यमान फलन f से उत्पन्न होता है। उदाहरण के लिए, एक बस के लिए प्रतीक्षा समय का वर्णन करने वाले घातीय यादृच्छिक चर के लिए फ़ंक्शन में एक अज्ञात पैरामीटर।

यादृच्छिक चर का अनुकरण

इस सैद्धांतिक क्षेत्र का मुख्य लक्ष्य सांख्यिकीय विज्ञान के ठोस सिद्धांतों के आधार पर अनुमान प्रक्रियाओं को विकसित करने के लिए आवश्यक उपकरण प्रदान करना है। इस प्रकार, सॉफ़्टवेयर के लिए एक बहुत ही महत्वपूर्ण उपयोग मामला वास्तविक जानकारी की नकल करने के लिए छद्म डेटा उत्पन्न करने की क्षमता है। यह वास्तविक डेटाबेस में उनका उपयोग करने से पहले विश्लेषण विधियों का परीक्षण और सुधार करना संभव बनाता है। मॉडलिंग के माध्यम से डेटा के गुणों का पता लगाने के लिए यह आवश्यक है। यादृच्छिक चर के कई सामान्य रूप से उपयोग किए जाने वाले परिवारों के लिए, आर उन्हें उत्पन्न करने के लिए आदेश प्रदान करता है। अन्य परिस्थितियों के लिए, एक सामान्य वितरण वाले स्वतंत्र यादृच्छिक चर के अनुक्रम को मॉडलिंग करने के तरीकों की आवश्यकता होगी।

असतत यादृच्छिक चर और नमूना आदेश। नमूना आदेश का उपयोग सरल और स्तरीकृत यादृच्छिक नमूने बनाने के लिए किया जाता है। परिणामस्वरूप, यदि कोई अनुक्रम x इनपुट है, तो नमूना (x, 40) x से 40 रिकॉर्ड का चयन करता है ताकि आकार 40 के सभी विकल्पों की संभावना समान हो। यह प्रतिस्थापन के बिना लाने के लिए डिफ़ॉल्ट आर कमांड का उपयोग करता है। असतत यादृच्छिक चर को मॉडल करने के लिए भी इस्तेमाल किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, आपको सदिश x और द्रव्यमान फलन f में एक अवस्था स्थान प्रदान करना होगा। प्रतिस्थापित करने के लिए कॉल = TRUE इंगित करता है कि प्रतिस्थापन के साथ नमूनाकरण होता है। फिर, एक सामान्य द्रव्यमान फलन वाले n स्वतंत्र यादृच्छिक चर का एक नमूना देने के लिए, नमूना (x, n, प्रतिस्थापित = TRUE, prob = f) का उपयोग किया जाता है।

यह निर्धारित किया जाता है कि 1 सबसे छोटा प्रतिनिधित्व है, और 4 सबसे बड़ा है। यदि आदेश prob = f छोड़ दिया जाता है, तो नमूना वेक्टर x में मानों से समान रूप से नमूना लेगा। आप दोहरे बराबर चिह्न, == को देखकर डेटा उत्पन्न करने वाले द्रव्यमान फ़ंक्शन के विरुद्ध सिमुलेशन की जांच कर सकते हैं। और उन प्रेक्षणों की पुनर्गणना करना जो x के लिए हर संभव मान लेते हैं। आप एक टेबल बना सकते हैं। इसे 1000 के लिए दोहराएं और अनुकरण की तुलना संबंधित द्रव्यमान फलन से करें।

संभाव्यता परिवर्तन का चित्रण

सबसे पहले, यादृच्छिक चर u1, u2 के सजातीय वितरण कार्यों का अनुकरण करें। , अंतराल पर संयुक्त राष्ट्र . संख्या का लगभग 10% भीतर होना चाहिए। यह दिखाए गए एफएक्स वितरण फ़ंक्शन के साथ यादृच्छिक चर के लिए अंतराल पर 10% सिमुलेशन से मेल खाता है। इसी तरह, यादृच्छिक संख्याओं का लगभग 10% अंतराल में होना चाहिए। यह वितरण फ़ंक्शन FX के साथ यादृच्छिक चर अंतराल पर 10% सिमुलेशन से मेल खाती है। x अक्ष पर ये मान FX से व्युत्क्रम लेकर प्राप्त किए जा सकते हैं। यदि X अपने डोमेन में हर जगह घनत्व fX धनात्मक के साथ एक सतत यादृच्छिक चर है, तो वितरण फलन सख्ती से बढ़ रहा है। इस मामले में, FX में एक व्युत्क्रम FX-1 फ़ंक्शन होता है जिसे क्वांटाइल फ़ंक्शन के रूप में जाना जाता है। एफएक्स (एक्स) यू केवल जब एक्स एफएक्स -1 (यू)। यादृच्छिक चर यू = एफएक्स (एक्स) के विश्लेषण से संभाव्यता परिवर्तन होता है।

FX की सीमा 0 से 1 तक होती है। यह 0 से नीचे या 1 से ऊपर के मान नहीं ले सकता है। 0 और 1 के बीच u के मानों के लिए। यदि U को मॉडल किया जा सकता है, तो FX वितरण के साथ एक यादृच्छिक चर का अनुकरण करना आवश्यक है। क्वांटाइल फ़ंक्शन के माध्यम से। अवकलज को यह देखने के लिए लें कि घनत्व u 1 के भीतर बदलता रहता है। चूँकि यादृच्छिक चर U के संभावित मानों के अंतराल पर एक स्थिर घनत्व होता है, इसलिए इसे अंतराल पर एकसमान कहा जाता है। इसे रनिफ कमांड के साथ R में तैयार किया गया है। पहचान को एक संभाव्य परिवर्तन कहा जाता है। आप देख सकते हैं कि यह डार्ट बोर्ड उदाहरण में कैसे काम करता है। 0 और 1 के बीच X, वितरण फलन u = FX(x) = x2, और इसलिए मात्रात्मक फलन x = FX-1(u)। समान यादृच्छिक चर U1, U2 उत्पन्न करते हुए, डार्ट पैनल के केंद्र से दूरी के स्वतंत्र अवलोकनों को मॉडल करना संभव है। , अन. वितरण समारोह और अनुभवजन्य कार्य डार्ट बोर्ड के वितरण के 100 सिमुलेशन पर आधारित हैं। एक घातांकीय यादृच्छिक चर के लिए, संभवतः u = FX (x) = 1 - exp (- x), और इसलिए x = - 1 ln (1 - u)। कभी-कभी तर्क में समान कथन होते हैं। इस मामले में, आपको तर्क के दो हिस्सों को जोड़ना होगा। प्रतिच्छेदन पहचान कुछ मान के बजाय सभी 2 (S i i) S के लिए समान है। संघ सीआई राज्य अंतरिक्ष एस के बराबर है और प्रत्येक जोड़ी परस्पर अनन्य है। चूँकि Bi - को तीन अभिगृहीतों में विभाजित किया गया है। प्रत्येक चेक संबंधित प्रायिकता P पर आधारित होता है। किसी उपसमुच्चय के लिए। यह सुनिश्चित करने के लिए एक पहचान का उपयोग करना कि उत्तर इस बात पर निर्भर नहीं करता है कि अंतराल समापन बिंदु शामिल हैं या नहीं।

घातीय फलन और उसके चर

सभी घटनाओं में प्रत्येक परिणाम के लिए, संभावनाओं की निरंतरता की दूसरी संपत्ति का अंततः उपयोग किया जाता है, जिसे स्वयंसिद्ध माना जाता है। यहाँ एक यादृच्छिक चर के फलन के वितरण का नियम दर्शाता है कि प्रत्येक का अपना समाधान और उत्तर होता है।

एक यादृच्छिक चर और उसके गुणों का संभाव्यता वितरण कार्य।

समारोह पर विचार करें एफ (एक्स), संपूर्ण संख्यात्मक अक्ष पर निम्नानुसार परिभाषित किया गया है: प्रत्येक के लिए एक्सअर्थ एफ (एक्स)प्रायिकता के बराबर है कि एक असतत यादृच्छिक चर से कम मान लेगा एक्स, अर्थात।

(18)

इस फ़ंक्शन को कहा जाता है संभाव्यता वितरण समारोह, या संक्षेप में, वितरण समारोह.

उदाहरण 1उदाहरण 1, आइटम 1 में दिए गए यादृच्छिक चर का वितरण फलन ज्ञात कीजिए।

फेसला:यह स्पष्ट है कि यदि, तो एफ (एक्स) = 0, क्योंकि यह एक से कम मान नहीं लेता है। तो अगर ; तो अगर । लेकिन घटना<3 в данном случае является суммой двух несовместных событий: =1 и =2. Следовательно,

तो हमारे पास एफ (एक्स) = 1/3. अंतराल में फ़ंक्शन के मान, और इसी तरह गणना की जाती है। अंत में, अगर एक्स>6तब एफ (एक्स) = 1, क्योंकि इस मामले में कोई भी संभावित मूल्य (1, 2, 3, 4, 5, 6) से कम एक्स. फंक्शन ग्राफ एफ (एक्स)अंजीर में दिखाया गया है। 4.

उदाहरण 2उदाहरण 2, आइटम 1 में दिए गए यादृच्छिक चर का वितरण फलन ज्ञात कीजिए।

फेसला:जाहिर सी बात है

अनुसूची एफ (एक्स)अंजीर में दिखाया गया है। 5.

वितरण समारोह को जानना एफ (एक्स), यह प्रायिकता ज्ञात करना आसान है कि एक यादृच्छिक चर असमानताओं को संतुष्ट करता है।
घटना पर विचार करें कि एक यादृच्छिक चर से कम मान लेता है। यह घटना दो असंगत घटनाओं के योग में टूट जाती है: 1) यादृच्छिक चर से कम मान लेता है, अर्थात। ; 2) यादृच्छिक चर असमानताओं को संतुष्ट करने वाले मान लेता है। अतिरिक्त अभिगृहीत का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं

लेकिन वितरण समारोह की परिभाषा के अनुसार एफ (एक्स)[से। मी। सूत्र (18)], हमारे पास है , ; इसलिए,

(19)

इस प्रकार, एक असतत यादृच्छिक चर के अंतराल में गिरने की संभावना इस अंतराल पर वितरण फ़ंक्शन की वृद्धि के बराबर है।

वितरण समारोह के मुख्य गुणों पर विचार करें।
1 डिग्री। वितरण फ़ंक्शन गैर-घटती है।
दरअसल, चलो< . Так как вероятность любого события неотрицательна, то . इसलिए, सूत्र (19) से यह इस प्रकार है कि , अर्थात। .

2 डिग्री। वितरण फ़ंक्शन के मान असमानताओं को संतुष्ट करते हैं .
यह संपत्ति इस तथ्य से उपजी है कि एफ (एक्स)एक संभावना के रूप में परिभाषित [cf. सूत्र (18)]। यह स्पष्ट है कि * और .

3 डिग्री। संभावना है कि एक असतत यादृच्छिक चर संभावित मानों में से एक लेता है xi बिंदु xi पर वितरण समारोह में कूदने के बराबर है.
दरअसल, चलो ग्यारहवीं- असतत यादृच्छिक चर द्वारा लिया गया मान, और . सूत्र (19) में मानते हुए, हम प्राप्त करते हैं

वे। अर्थ पी(xi)फ़ंक्शन जंप के बराबर है ** ग्यारहवीं. यह संपत्ति स्पष्ट रूप से अंजीर में चित्रित की गई है। 4 और अंजीर। 5.

*यहां और किसमें निम्नलिखित संकेतन प्रस्तुत किए गए हैं: , .
** यह दिखाया जा सकता है कि एफ(xi)=एफ(xi-0), अर्थात। क्या काम है एफ (एक्स)एक बिंदु पर निरंतर छोड़ दिया ग्यारहवीं.

3. सतत यादृच्छिक चर।

असतत यादृच्छिक चर के अलावा, जिनके संभावित मान संख्याओं का एक परिमित या अनंत अनुक्रम बनाते हैं जो किसी भी अंतराल को पूरी तरह से नहीं भरते हैं, अक्सर ऐसे यादृच्छिक चर होते हैं जिनके संभावित मान एक निश्चित अंतराल बनाते हैं। इस तरह के एक यादृच्छिक चर का एक उदाहरण ठीक से स्थापित तकनीकी प्रक्रिया के साथ एक निश्चित आकार के नाममात्र मूल्य से विचलन है। इस तरह के यादृच्छिक चर को संभाव्यता वितरण कानून का उपयोग करके निर्दिष्ट नहीं किया जा सकता है पी (एक्स). हालांकि, उन्हें संभाव्यता वितरण फ़ंक्शन का उपयोग करके निर्दिष्ट किया जा सकता है एफ (एक्स). यह फ़ंक्शन ठीक उसी तरह परिभाषित किया गया है जैसे असतत यादृच्छिक चर के मामले में:

इस प्रकार, यहाँ भी समारोह एफ (एक्स)पूर्ण संख्या अक्ष पर परिभाषित किया गया है, और बिंदु पर इसका मान एक्सप्रायिकता के बराबर है कि यादृच्छिक चर से कम मान लेगा एक्स.
सूत्र (19) और गुण 1° और 2° किसी भी यादृच्छिक चर के वितरण फलन के लिए मान्य हैं। प्रमाण एक असतत मात्रा के मामले में समान रूप से किया जाता है।
यादृच्छिक चर कहा जाता है निरंतर, यदि इसके लिए एक गैर-ऋणात्मक टुकड़ावार-निरंतर फ़ंक्शन मौजूद है * जो किसी भी मान के लिए संतुष्ट है एक्ससमानता

एक क्षेत्र के रूप में अभिन्न के ज्यामितीय अर्थ के आधार पर, हम कह सकते हैं कि असमानताओं को पूरा करने की संभावना एक आधार के साथ एक वक्रीय समलंब के क्षेत्र के बराबर है ऊपर एक वक्र से घिरा हुआ है (चित्र 6)।

चूंकि, और सूत्र के आधार पर (22)

ध्यान दें कि एक सतत यादृच्छिक चर के लिए, वितरण फलन एफ (एक्स)किसी भी बिंदु पर निरंतर एक्स, जहां फ़ंक्शन निरंतर है। यह इस तथ्य से होता है कि एफ (एक्स)इन बिंदुओं पर अंतर है।
सूत्र (23) के आधार पर, मानते हुए एक्स 1 = एक्स, , अपने पास

समारोह की निरंतरता के कारण एफ (एक्स)हमें वह मिलता है

इसलिये

इस प्रकार, प्रायिकता कि एक सतत यादृच्छिक चर x के किसी एकल मान को ग्रहण कर सकता है, शून्य है.
इससे यह पता चलता है कि प्रत्येक असमानता की पूर्ति में होने वाली घटनाएं

उनकी समान संभावना है, अर्थात्।

दरअसल, उदाहरण के लिए,

जैसा

टिप्पणी।जैसा कि हम जानते हैं कि यदि कोई घटना असंभव है, तो उसके घटित होने की प्रायिकता शून्य होती है। संभाव्यता की शास्त्रीय परिभाषा में, जब परीक्षण के परिणामों की संख्या सीमित होती है, तो विपरीत प्रस्ताव भी होता है: यदि किसी घटना की संभावना शून्य है, तो घटना असंभव है, क्योंकि इस मामले में कोई भी परीक्षण परिणाम इसके पक्ष में नहीं है। एक सतत यादृच्छिक चर के मामले में, इसके संभावित मूल्यों की संख्या अनंत है। संभावना है कि यह मान किसी विशेष मान पर ले जाएगा एक्स 1जैसा कि हमने देखा है, शून्य के बराबर है। हालांकि, यह इस बात का पालन नहीं करता है कि यह घटना असंभव है, क्योंकि परीक्षण के परिणामस्वरूप, यादृच्छिक चर, विशेष रूप से, मान ले सकता है एक्स 1. इसलिए, एक निरंतर यादृच्छिक चर के मामले में, इस संभावना के बारे में बात करना समझ में आता है कि यादृच्छिक चर अंतराल में आता है, न कि इस संभावना के बारे में कि यह किसी विशेष मूल्य पर ले जाएगा।
इसलिए, उदाहरण के लिए, एक रोलर के निर्माण में, हमें इस संभावना में कोई दिलचस्पी नहीं है कि इसका व्यास नाममात्र मूल्य के बराबर होगा। हमारे लिए, संभावना है कि रोलर का व्यास सहनशीलता से बाहर नहीं जाता है, महत्वपूर्ण है।

एक यादृच्छिक चर X का वितरण फलन फलन F(x) है, जो प्रत्येक x के लिए इस प्रायिकता को व्यक्त करता है कि यादृच्छिक चर X मान लेता है, छोटा x

उदाहरण 2.5. एक यादृच्छिक चर के वितरण की एक श्रृंखला को देखते हुए

इसके वितरण फलन को ढूँढ़ें और रेखांकन करें। फेसला। परिभाषा के अनुसार

एफ (जेसी) = 0 के लिए एक्सएक्स

एफ (एक्स) = 0.4 + 0.1 = 0.5 पर 4 एफ(एक्स) = 0.5 + 0.5 = 1 पर एक्स > 5.

तो (चित्र 2.1 देखें):

वितरण समारोह गुण:

1. एक यादृच्छिक चर का वितरण फलन शून्य और एक के बीच संलग्न एक गैर-ऋणात्मक फलन है:

2. एक यादृच्छिक चर का वितरण फलन संपूर्ण संख्या अक्ष पर एक गैर-घटता फलन है, अर्थात्। पर एक्स 2 >x

3. शून्य से अनंत पर, बंटन फलन शून्य के बराबर होता है, जोड़ अनंत पर, यह एक के बराबर होता है, अर्थात।

4. यादृच्छिक चर से टकराने की प्रायिकता एक्सअंतराल मेंसे लेकर इसकी संभाव्यता घनत्व के निश्चित अभिन्न के बराबर है एइससे पहले बी(अंजीर देखें। 2.2), यानी।

चावल। 2.2

3. एक सतत यादृच्छिक चर का वितरण फलन (चित्र 2.3 देखें) सूत्र का उपयोग करके संभाव्यता घनत्व के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

एफ (एक्स) =जेपी (*)*. (2.10)

4. एक सतत यादृच्छिक चर की संभावना घनत्व की अनंत सीमाओं में अनुचित अभिन्न एक के बराबर है:

ज्यामितीय गुण / और 4 संभाव्यता घनत्व का मतलब है कि इसकी साजिश है वितरण वक्र - x-अक्ष के नीचे नहीं है, और आकृति का कुल क्षेत्रफल, सीमित वितरण वक्र और x-अक्ष, एक के बराबर है।

एक सतत यादृच्छिक चर के लिए एक्सअपेक्षित मूल्य एम (एक्स)और भिन्नता डी (एक्स)सूत्रों द्वारा निर्धारित किया जाता है:

(यदि अभिन्न पूरी तरह से अभिसरण करता है); या

(यदि कम किए गए इंटीग्रल अभिसरण करते हैं)।

ऊपर उल्लिखित संख्यात्मक विशेषताओं के साथ, मात्राओं और प्रतिशत बिंदुओं की अवधारणा का उपयोग यादृच्छिक चर का वर्णन करने के लिए किया जाता है।

क्यू स्तर की मात्रा(या q-क्वांटाइल) ऐसा मान हैएक्स क्यूअनियमित चर, जिस पर इसका वितरण फलन मान लेता है, क्यू के बराबर,अर्थात।

• 100q%-ou बिंदु क्वांटाइल X~ q है।
• ? उदाहरण 2.8।

उदाहरण 2.6 के अनुसार मात्रा ज्ञात कीजिए xqj और 30% यादृच्छिक चर बिंदु एक्स।

फेसला। परिभाषा के अनुसार (2.16) F(xo t3)= 0.3, अर्थात।

~ वाई ~ = 0.3, जहां से मात्रा एक्स 0 3 = 0.6। 30% यादृच्छिक चर बिंदु एक्स, या मात्रा Х)_о,з = ज़ोजो» समीकरण ^ = 0.7 से इसी तरह पाया जाता है। कहाँ से *, = 1.4. ?

एक यादृच्छिक चर की संख्यात्मक विशेषताओं में से हैं प्रारंभिकवी* और केंद्रीयआर* k-वें क्रम के क्षण, सूत्रों द्वारा असतत और निरंतर यादृच्छिक चर के लिए निर्धारित: