इतालवी गणितज्ञ लियोनार्डो फिबोनाची 13 वीं शताब्दी में रहते थे और यूरोप में अरबी (भारतीय) अंकों का उपयोग करने वाले पहले लोगों में से एक थे। वह एक खेत में पाले जाने वाले खरगोशों के बारे में कुछ कृत्रिम समस्या लेकर आया, जिनमें से सभी को मादा माना जाता है, नर को नजरअंदाज कर दिया जाता है। खरगोश दो महीने के होने के बाद प्रजनन शुरू करते हैं और फिर हर महीने एक खरगोश को जन्म देते हैं। खरगोश कभी नहीं मरते।

यह निर्धारित करना आवश्यक है कि खेत में कितने खरगोश होंगे एनमहीने, अगर समय के शुरुआती क्षण में केवल एक नवजात खरगोश था।

जाहिर है, किसान के पास पहले महीने में एक खरगोश और दूसरे महीने में एक खरगोश होता है। तीसरे महीने में दो खरगोश होंगे, चौथे महीने में तीन होंगे, इत्यादि। आइए हम खरगोशों की संख्या को निरूपित करें एनमहीने की तरह। इस प्रकार,
,
,
,
,
, …

हम खोजने के लिए एक एल्गोरिथ्म का निर्माण कर सकते हैं किसी के लिए एन.

समस्या की स्थिति के अनुसार खरगोशों की कुल संख्या
में एन+1 महीना तीन घटकों में विघटित होता है:

एक महीने के खरगोश, प्रजनन में सक्षम नहीं, मात्रा में

;

इस प्रकार, हम प्राप्त करते हैं

. (8.1)

फॉर्मूला (8.1) आपको संख्याओं की एक श्रृंखला की गणना करने की अनुमति देता है: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, । ..

इस क्रम में संख्याएँ कहलाती हैं फाइबोनैचि संख्या .

अगर स्वीकार करें
और
, तो सूत्र (8.1) की सहायता से अन्य सभी फाइबोनैचि संख्याएं निर्धारित की जा सकती हैं। सूत्र (8.1) कहलाता है आवर्तक सूत्र ( पुनरावृत्ति - लैटिन में "वापसी")।

उदाहरण 8.1.मान लीजिए कि वहाँ एक सीढ़ी है एनकदम। हम उस पर एक कदम या दो कदम के कदम से चढ़ सकते हैं। विभिन्न भारोत्तोलन विधियों के कितने संयोजन हैं?

यदि एक एन= 1, समस्या का केवल एक ही समाधान है। के लिए एन= 2 दो विकल्प हैं: दो एकल चरण या एक दोहरा चरण। के लिए एन= 3 वहाँ 3 विकल्प हैं: तीन सिंगल चरण, या एक सिंगल और एक डबल, या एक डबल और एक सिंगल।

अगले मामले में एन= 4, हमारे पास 5 संभावनाएं हैं (1+1+1+1, 2+1+1, 1+2+1, 1+1+2, 2+2)।

किसी दिए गए प्रश्न का मनमाने ढंग से उत्तर देने के लिए एन, विकल्पों की संख्या को इस प्रकार निरूपित करें , और निर्धारित करने का प्रयास करें
प्रसिद्ध के अनुसार और
. अगर हम एक कदम से शुरू करते हैं, तो हमारे पास है शेष के लिए संयोजन एनकदम। यदि हम एक दोहरे कदम से शुरू करते हैं, तो हमारे पास है
शेष के लिए संयोजन एन-1 कदम। के लिए विकल्पों की कुल संख्या एन+1 चरण बराबर

. (8.2)

परिणामी सूत्र, एक जुड़वां की तरह, सूत्र (8.1) जैसा दिखता है। हालांकि, यह किसी को संयोजनों की संख्या की पहचान करने की अनुमति नहीं देता है फाइबोनैचि संख्याओं के साथ . हम देखते हैं, उदाहरण के लिए, कि
, लेकिन
. हालाँकि, निम्नलिखित संबंध हैं:

.

यह सच है एन= 1, 2, और प्रत्येक के लिए भी मान्य है एन. फाइबोनैचि संख्याएं और संयोजनों की संख्या एक ही सूत्र का उपयोग करके गणना की जाती है, लेकिन प्रारंभिक मान
,
और
,
वे भिन्न हैं।

उदाहरण 8.2।त्रुटि-सुधार कोडिंग की समस्याओं के लिए यह उदाहरण व्यावहारिक महत्व का है। लंबाई के सभी बाइनरी शब्दों की संख्या पाएं एन, जिसमें एक से अधिक शून्य एक पंक्ति में नहीं हैं। आइए इस संख्या को द्वारा निरूपित करें . स्पष्टतः,
, और लंबाई 2 के शब्द जो हमारे प्रतिबंध को संतुष्ट करते हैं: 10, 01, 11, अर्थात्।
. रहने दो
- से एक शब्द एनपात्र। यदि प्रतीक
, तब
मनमाना हो सकता है (
) -शाब्दिक शब्द जिसमें एक पंक्ति में कई शून्य नहीं होते हैं। तो अंत में एक इकाई वाले शब्दों की संख्या है
.

यदि प्रतीक
, तो अनिवार्य रूप से
, और पहला
प्रतीक
माना प्रतिबंधों को ध्यान में रखते हुए, मनमाना हो सकता है। इसलिए, वहाँ है
शब्द की लंबाई एनअंत में शून्य के साथ। इस प्रकार, हमारे लिए रुचि के शब्दों की कुल संख्या है

.

इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए कि
और
, संख्याओं का परिणामी क्रम फाइबोनैचि संख्याएँ हैं।

उदाहरण 8.3।उदाहरण 7.6 में हमने पाया कि स्थिर भार वाले बाइनरी शब्दों की संख्या टी(और लंबाई क) बराबर . आइए अब स्थिर भार वाले बाइनरी शब्दों की संख्या ज्ञात करें टी, जिसमें एक से अधिक शून्य एक पंक्ति में नहीं हैं।

आप इस तरह तर्क कर सकते हैं। रहने दो
विचाराधीन शब्दों में शून्य की संख्या। हर शब्द है
निकटतम शून्य के बीच अंतराल, जिनमें से प्रत्येक में एक या अधिक होते हैं। यह मान लिया है कि
. अन्यथा, आसन्न शून्य के बिना एक भी शब्द नहीं है।

यदि हम प्रत्येक अंतराल से ठीक एक इकाई हटा दें, तो हमें लंबाई का एक शब्द मिलता है
युक्त शून्य ऐसा कोई भी शब्द कुछ (और केवल एक) से निर्दिष्ट तरीके से प्राप्त किया जा सकता है क-शाब्दिक शब्द युक्त शून्य, जिनमें से कोई भी दो आसन्न नहीं हैं। इसलिए, वांछित संख्या लंबाई के सभी शब्दों की संख्या के साथ मेल खाती है
बिल्कुल युक्त शून्य, यानी बराबरी
.

उदाहरण 8.4।आइए हम सिद्ध करें कि योग
किसी भी पूर्णांक के लिए फाइबोनैचि संख्या के बराबर होती है . प्रतीक
के लिए खड़ा है से बड़ा या उसके बराबर सबसे छोटा पूर्णांक . उदाहरण के लिए, यदि
, तब
; और अगर
, तब
प्लस्तर लगाना("छत")। एक प्रतीक भी है
, जिसका अर्थ है सबसे बड़ा पूर्णांक से कम या उसके बराबर . इस ऑपरेशन को अंग्रेजी में कहते हैं मंज़िल ("मंज़िल")।

यदि एक
, तब
. यदि एक
, तब
. यदि एक
, तब
.

इस प्रकार, विचार किए गए मामलों के लिए, योग वास्तव में फाइबोनैचि संख्याओं के बराबर है। अब हम सामान्य मामले के लिए एक प्रमाण देते हैं। चूंकि फाइबोनैचि संख्याएं पुनरावर्ती समीकरण (8.1) का उपयोग करके प्राप्त की जा सकती हैं, समानता होनी चाहिए:

.

और यह वास्तव में करता है:

यहां हमने पहले प्राप्त सूत्र (4.4) का उपयोग किया है:
.

फाइबोनैचि संख्याओं का योग

आइए पहले का योग ज्ञात करें एनफाइबोनैचि संख्याएं।

0+1+1+2+3+5 = 12,

0+1+1+2+3+5+8 = 20,

0+1+1+2+3+5+8+13 = 33.

यह देखना आसान है कि प्रत्येक समीकरण के दायीं ओर एक जोड़ने पर हमें फिर से फाइबोनैचि संख्या प्राप्त होती है। पहले का योग निर्धारित करने का सामान्य सूत्र एनफाइबोनैचि संख्याओं का रूप है:

इसे हम गणितीय आगमन विधि द्वारा सिद्ध करेंगे। ऐसा करने के लिए, हम लिखते हैं:

यह राशि बराबर होनी चाहिए
.

समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों को -1 से कम करने पर, हम समीकरण (6.1) प्राप्त करते हैं।

फाइबोनैचि संख्याओं के लिए सूत्र

प्रमेय 8.1. फाइबोनैचि संख्याओं की गणना सूत्र द्वारा की जा सकती है

.

प्रमाण. आइए हम इस सूत्र की वैधता को सत्यापित करें एन= 0, 1, और फिर हम एक मनमाना के लिए इस सूत्र की वैधता सिद्ध करते हैं एनप्रेरण द्वारा। आइए दो निकटतम फाइबोनैचि संख्याओं के अनुपात की गणना करें:

हम देखते हैं कि इन संख्याओं का अनुपात 1.618 के मान के आसपास उतार-चढ़ाव करता है (यदि हम पहले कुछ मानों को अनदेखा करते हैं)। फाइबोनैचि संख्याओं की यह संपत्ति एक ज्यामितीय प्रगति के सदस्यों से मिलती जुलती है। स्वीकार करना
, (
) फिर अभिव्यक्ति

इसमें बदला गया

जो सरलीकरण के बाद इस तरह दिखता है

.

हमने एक द्विघात समीकरण प्राप्त किया है जिसके मूल बराबर हैं:

अब हम लिख सकते हैं:

(कहाँ पे सीएक स्थिरांक है)। दोनों सदस्य और उदाहरण के लिए, फाइबोनैचि संख्या न दें
, जबकि
. हालांकि, अंतर
पुनरावर्ती समीकरण को संतुष्ट करता है:

के लिए एन=0 यह अंतर देता है , अर्थात:
. हालाँकि, जब एन=1 हमारे पास है
. प्राप्त करना
स्वीकार किया जाना चाहिए:
.

अब हमारे पास दो क्रम हैं: और
, जो समान दो संख्याओं से प्रारंभ होते हैं और समान पुनरावर्ती सूत्र को संतुष्ट करते हैं। वे बराबर होना चाहिए:
. प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

बढ़ते हुए एनसदस्य बहुत बड़ा हो जाता है
, और सदस्य की भूमिका अंतर कम हो गया है। इसलिए, बड़े पैमाने पर एनहम लगभग लिख सकते हैं

.

हम 1/2 को अनदेखा कर रहे हैं (क्योंकि फाइबोनैचि संख्याएं अनंत तक बढ़ जाती हैं क्योंकि एनअनन्त तक)।

रवैया
बुलाया सुनहरा अनुपात, इसका उपयोग गणित के बाहर किया जाता है (उदाहरण के लिए, मूर्तिकला और वास्तुकला में)। सुनहरा अनुपात विकर्ण और भुजा के बीच का अनुपात है नियमित पंचकोण(चित्र 8.1)।

चावल। 8.1. नियमित पंचभुज और उसके विकर्ण

सुनहरे खंड को निरूपित करने के लिए, अक्षर का उपयोग करने की प्रथा है
प्रसिद्ध एथेनियन मूर्तिकार फिडियास के सम्मान में।

अभाज्य सँख्या

सभी प्राकृत संख्याएँ, बड़ी संख्याएँ, दो वर्गों में आती हैं। पहले में वे संख्याएँ शामिल हैं जिनमें ठीक दो प्राकृतिक भाजक हैं, एक और स्वयं, दूसरे में बाकी सभी शामिल हैं। प्रथम श्रेणी के अंक कहलाते हैं सरल, और दूसरा घटक. पहले तीन दहाई में अभाज्य संख्याएँ: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ...

यूक्लिड (तीसरी शताब्दी ईसा पूर्व) द्वारा अभाज्य संख्याओं के गुणों और सभी प्राकृतिक संख्याओं के साथ उनके संबंध का अध्ययन किया गया था। यदि आप अभाज्य संख्याओं को एक पंक्ति में लिखते हैं, तो आप देख सकते हैं कि उनका आपेक्षिक घनत्व कम हो जाता है। उनमें से पहले दस में 4, यानी 40%, सौ के लिए - 25, यानी। 25%, प्रति हजार - 168, अर्थात। 17% से कम, प्रति मिलियन - 78498, अर्थात। 8% से कम, आदि। हालांकि, उनकी कुल संख्या अनंत है।

अभाज्य संख्याओं में ऐसे जोड़े होते हैं जिनके बीच का अंतर दो के बराबर होता है (तथाकथित साधारण जुड़वां), लेकिन ऐसे युग्मों की परिमितता या अनंतता सिद्ध नहीं हुई है।

यूक्लिड ने यह स्पष्ट माना कि केवल अभाज्य संख्याओं को गुणा करके, कोई भी सभी प्राकृतिक संख्याएँ प्राप्त कर सकता है, और प्रत्येक प्राकृतिक संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में एक अनोखे तरीके से (कारकों के क्रम तक) दर्शाया जा सकता है। इस प्रकार, अभाज्य संख्याएँ प्राकृतिक श्रृंखला का गुणनात्मक आधार बनाती हैं।

अभाज्य संख्याओं के वितरण के अध्ययन ने एक एल्गोरिथम का निर्माण किया जो किसी को अभाज्य संख्याओं की तालिकाएँ प्राप्त करने की अनुमति देता है। ऐसा एल्गोरिथम है एराटोस्थनीज की छलनी(तीसरी शताब्दी ईसा पूर्व)। इस विधि में किसी दिए गए अनुक्रम के उन पूर्णांकों को छानना (उदाहरण के लिए, क्रॉस आउट करके) शामिल है
, जो से कम अभाज्य संख्याओं में से कम से कम एक से विभाज्य हैं
.

प्रमेय 8 . 2 . (यूक्लिड का प्रमेय)। अभाज्य संख्याओं की संख्या अनंत है.

प्रमाण. अभाज्य संख्याओं की अनंतता पर यूक्लिड का प्रमेय लियोनहार्ड यूलर (1707-1783) द्वारा प्रस्तावित विधि से सिद्ध होगा। यूलर ने गुणनफल को सभी अभाज्य संख्याओं पर माना पी:

पर
. यह उत्पाद अभिसरण करता है, और यदि इसका विस्तार किया जाता है, तो प्राकृतिक संख्याओं के अभाज्य कारकों में अपघटन की विशिष्टता के कारण, यह पता चलता है कि यह श्रृंखला के योग के बराबर है , जहां से यूलर पहचान इस प्रकार है:

.

चूंकि ए.टी
श्रृंखला सही विचलन (हार्मोनिक श्रृंखला) पर है, तो यूलर पहचान यूक्लिड के प्रमेय का तात्पर्य है।

रूसी गणितज्ञ पी.एल. चेबीशेव (1821-1894) ने एक सूत्र निकाला जो उस सीमा को निर्धारित करता है जिसके भीतर अभाज्य संख्याओं की संख्या निहित है
, से अधिक नहीं एक्स:

,

कहाँ पे
,
.

यदि आप अपने आस-पास के पौधों और पेड़ों को देखें, तो आप देख सकते हैं कि उनमें से प्रत्येक में कितनी पत्तियाँ हैं। दूर से, ऐसा लगता है कि पौधों पर शाखाओं और पत्तियों को मनमाने ढंग से व्यवस्थित किया जाता है। हालांकि, सभी पौधों में यह चमत्कारिक रूप से, गणितीय रूप से सटीक रूप से योजनाबद्ध है कि कौन सी शाखा कहां से बढ़ेगी, कैसे शाखाएं और पत्तियां तने या ट्रंक के पास स्थित होंगी। अपनी उपस्थिति के पहले दिन से, पौधे अपने विकास में इन नियमों का बिल्कुल पालन करता है, अर्थात एक भी पत्ता नहीं, एक भी फूल संयोग से नहीं दिखाई देता है। पौधे की उपस्थिति से पहले ही ठीक से प्रोग्राम किया जाता है। भविष्य के पेड़ पर कितनी शाखाएँ होंगी, जहाँ शाखाएँ बढ़ेंगी, प्रत्येक शाखा पर कितनी पत्तियाँ होंगी और कैसे, किस क्रम में पत्तियाँ व्यवस्थित होंगी। वनस्पतिशास्त्रियों और गणितज्ञों के संयुक्त कार्य ने इन अद्भुत प्राकृतिक घटनाओं पर प्रकाश डाला है। यह पता चला कि एक शाखा (फाइलोटैक्सिस) पर पत्तियों की व्यवस्था में, तने पर घुमावों की संख्या में, चक्र में पत्तियों की संख्या में, फाइबोनैचि श्रृंखला स्वयं प्रकट होती है, और इसलिए, सुनहरे खंड का कानून भी खुद प्रकट करना।

यदि आप वन्यजीवों में संख्यात्मक पैटर्न खोजने के लिए निकलते हैं, तो आप देखेंगे कि ये संख्याएं अक्सर विभिन्न सर्पिल रूपों में पाई जाती हैं, जिनमें पौधों की दुनिया इतनी समृद्ध है। उदाहरण के लिए, पत्ती की कटिंग एक सर्पिल में तने से जुड़ी होती है जो दो आसन्न पत्तियों के बीच चलती है: एक पूर्ण मोड़ - हेज़ेल में, - ओक में, - चिनार और नाशपाती में, - विलो में।

सूरजमुखी, इचिनेशिया पुरपुरिया और कई अन्य पौधों के बीज सर्पिल में व्यवस्थित होते हैं, और प्रत्येक दिशा में सर्पिल की संख्या फाइबोनैचि संख्या होती है।

सूरजमुखी, 21 और 34 सर्पिल। इचिनेशिया, 34 और 55 सर्पिल।

फूलों का एक स्पष्ट, सममित रूप भी एक सख्त कानून के अधीन है।

कई फूलों में पंखुड़ियों की संख्या होती है - बिल्कुल फाइबोनैचि श्रृंखला की संख्या। उदाहरण के लिए:

आईरिस, 3 लेप। बटरकप, 5 लेप। सुनहरा फूल, 8 लेप। डेल्फीनियम,

चिकोरी, 21 लेप। एस्टर, 34 लेप। डेज़ी, 55 एलईपी।

फाइबोनैचि श्रृंखला कई जीवित प्रणालियों के संरचनात्मक संगठन की विशेषता है।

हम पहले ही कह चुके हैं कि फाइबोनैचि श्रृंखला में पड़ोसी संख्याओं का अनुपात संख्या = 1.618 है। यह पता चला है कि आदमी खुद नंबर फाई का सिर्फ एक भंडार है।

हमारे शरीर के विभिन्न हिस्सों के अनुपात में एक संख्या होती है जो सुनहरे अनुपात के बहुत करीब होती है। यदि ये अनुपात सुनहरे अनुपात के सूत्र से मेल खाते हैं, तो व्यक्ति की उपस्थिति या शरीर को आदर्श रूप से निर्मित माना जाता है। मानव शरीर पर स्वर्ण माप की गणना के सिद्धांत को चित्र के रूप में दर्शाया जा सकता है।

एम / एम = 1.618

मानव शरीर की संरचना में स्वर्ण खंड का पहला उदाहरण:

यदि हम नाभि बिंदु को मानव शरीर के केंद्र के रूप में लें, और मानव पैर और नाभि बिंदु के बीच की दूरी को माप की इकाई के रूप में लें, तो व्यक्ति की ऊंचाई संख्या 1.618 के बराबर होती है।

मानव हाथ

बस अपनी हथेली को अभी अपने करीब लाने के लिए और अपनी तर्जनी को ध्यान से देखने के लिए पर्याप्त है, और आपको तुरंत इसमें सुनहरा खंड सूत्र मिल जाएगा। हमारे हाथ की प्रत्येक अंगुली में तीन फलांग होते हैं।
उंगली की पूरी लंबाई के संबंध में उंगली के पहले दो फलांगों का योग सुनहरा अनुपात (अंगूठे के अपवाद के साथ) देता है।

साथ ही मध्यमा और छोटी उंगली के बीच का अनुपात भी सुनहरे अनुपात के बराबर होता है।

एक व्यक्ति के 2 हाथ होते हैं, प्रत्येक हाथ की उंगलियों में 3 फलांग होते हैं (अंगूठे के अपवाद के साथ)। प्रत्येक हाथ पर 5 अंगुलियां होती हैं, यानी कुल 10, लेकिन दो दो-फालेंजल अंगूठे के अपवाद के साथ, केवल 8 अंगुलियों को सुनहरे अनुपात के सिद्धांत के अनुसार बनाया जाता है। जबकि ये सभी संख्याएँ 2, 3, 5 और 8 फाइबोनैचि अनुक्रम की संख्याएँ हैं।

मानव फेफड़ों की संरचना में सुनहरा अनुपात

अमेरिकी भौतिक विज्ञानी बी.डी. वेस्ट और डॉ. ए.एल. गोल्डबर्गर ने शारीरिक और शारीरिक अध्ययन के दौरान पाया कि मानव फेफड़ों की संरचना में एक सुनहरा अनुपात भी है।

किसी व्यक्ति के फेफड़ों को बनाने वाली ब्रोंची की ख़ासियत उनकी विषमता में निहित है। ब्रांकाई दो मुख्य वायुमार्गों से बनी होती है, एक (बाएं) लंबी होती है और दूसरी (दाएं) छोटी होती है।

यह पाया गया कि यह विषमता ब्रोंची की शाखाओं में, सभी छोटे वायुमार्गों में बनी रहती है। इसके अलावा, छोटी और लंबी ब्रांकाई की लंबाई का अनुपात भी सुनहरा अनुपात है और 1:1.618 के बराबर है।

कलाकार, वैज्ञानिक, फैशन डिजाइनर, डिजाइनर स्वर्ण अनुपात के अनुपात के आधार पर अपनी गणना, चित्र या रेखाचित्र बनाते हैं। वे मानव शरीर से माप का उपयोग करते हैं, जिसे सुनहरे अनुपात के सिद्धांत के अनुसार भी बनाया गया है। लियोनार्डो दा विंची और ले कॉर्बूसियर ने अपनी उत्कृष्ट कृतियों को बनाने से पहले, स्वर्ण अनुपात के कानून के अनुसार बनाए गए मानव शरीर के मापदंडों को लिया।
मानव शरीर के अनुपात का एक और, अधिक नीरस अनुप्रयोग है। उदाहरण के लिए, इन अनुपातों का उपयोग करके, आपराधिक विश्लेषक और पुरातत्वविद मानव शरीर के कुछ हिस्सों के टुकड़ों से पूरे की उपस्थिति को बहाल करते हैं।

फिबोनाची अनुक्रम, फिल्म और पुस्तक द दा विंची कोड द्वारा प्रसिद्ध, पीसा के इतालवी गणितज्ञ लियोनार्डो द्वारा काटे गए नंबरों की एक श्रृंखला है, जिसे तेरहवीं शताब्दी में उनके छद्म नाम फिबोनाची से बेहतर जाना जाता है। वैज्ञानिक के अनुयायियों ने देखा कि जिस सूत्र के अधीन संख्याओं की यह श्रृंखला है, वह हमारे आस-पास की दुनिया में अपना प्रतिबिंब पाता है और अन्य गणितीय खोजों को प्रतिध्वनित करता है, जिससे हमारे लिए ब्रह्मांड के रहस्यों का द्वार खुल जाता है। इस लेख में, हम समझाएंगे कि फाइबोनैचि अनुक्रम क्या है, इस पैटर्न को प्रकृति में कैसे प्रदर्शित किया जाता है, इसके उदाहरणों पर विचार करें और अन्य गणितीय सिद्धांतों के साथ इसकी तुलना भी करें।

अवधारणा का निर्माण और परिभाषा

फाइबोनैचि श्रृंखला एक गणितीय अनुक्रम है, जिसका प्रत्येक तत्व पिछले दो के योग के बराबर है। आइए अनुक्रम के एक निश्चित सदस्य को x n के रूप में निरूपित करें। इस प्रकार, हम एक सूत्र प्राप्त करते हैं जो पूरी श्रृंखला के लिए मान्य है: x n + 2 \u003d x n + x n + 1. इस मामले में, अनुक्रम क्रम इस तरह दिखेगा: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34. अगली संख्या 55 होगी, क्योंकि 21 और 34 का योग 55 है। और इसी तरह आगे भी उसी सिद्धांत के अनुसार।

पर्यावरण में उदाहरण

यदि हम पौधे को देखें, विशेष रूप से, पत्तियों के मुकुट पर, हम देखेंगे कि वे एक सर्पिल में खिलते हैं। आसन्न पत्तियों के बीच कोण बनते हैं, जो बदले में सही गणितीय फाइबोनैचि अनुक्रम बनाते हैं। इस विशेषता के लिए धन्यवाद, पेड़ पर उगने वाले प्रत्येक व्यक्तिगत पत्ते को अधिकतम मात्रा में सूर्य का प्रकाश और गर्मी प्राप्त होती है।

फाइबोनैचि गणित पहेली

एक प्रसिद्ध गणितज्ञ ने अपने सिद्धांत को पहेली के रूप में प्रस्तुत किया। ऐसा लगता है। एक वर्ष में खरगोशों के कितने जोड़े पैदा होंगे, यह पता लगाने के लिए आप खरगोशों के एक जोड़े को एक बंद जगह में रख सकते हैं। इन जानवरों की प्रकृति को ध्यान में रखते हुए, तथ्य यह है कि हर महीने एक जोड़ा एक नया जोड़ा पैदा करने में सक्षम होता है, और जब वे दो महीने तक पहुंचते हैं तो वे प्रजनन के लिए तैयार हो जाते हैं, नतीजतन, उन्हें अपनी प्रसिद्ध श्रृंखला संख्याएं प्राप्त हुईं: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 - जो प्रत्येक माह में खरगोशों के नए जोड़े की संख्या को दर्शाता है।

फाइबोनैचि अनुक्रम और आनुपातिक अनुपात

इस श्रृंखला में कई गणितीय बारीकियां हैं जिन पर विचार किया जाना चाहिए। वह, अधिक धीरे-धीरे और अधिक धीरे-धीरे (स्पर्शोन्मुख रूप से) आ रहा है, एक निश्चित आनुपातिक संबंध के लिए जाता है। लेकिन यह तर्कहीन है। दूसरे शब्दों में, यह भिन्नात्मक भाग में दशमलव संख्याओं के अप्रत्याशित और अनंत अनुक्रम वाली संख्या है। उदाहरण के लिए, श्रृंखला के किसी भी तत्व का अनुपात 1.618 के आंकड़े के आसपास बदलता रहता है, कभी इसे पार करता है, तो कभी उस तक पहुंचता है। सादृश्य द्वारा अगला 0.618 के करीब पहुंचता है। जो संख्या 1.618 के व्युत्क्रमानुपाती है। यदि हम तत्वों को एक से विभाजित करते हैं, तो हमें 2.618 और 0.382 मिलते हैं। जैसा कि आप पहले ही समझ चुके हैं, वे भी व्युत्क्रमानुपाती होते हैं। परिणामी संख्याओं को फाइबोनैचि अनुपात कहा जाता है। अब आइए बताते हैं कि हमने ये गणना क्यों की।

सुनहरा अनुपात

हम अपने आस-पास की सभी वस्तुओं को कुछ मानदंडों के अनुसार अलग करते हैं। उनमें से एक रूप है। कुछ हमें ज्यादा आकर्षित करते हैं, कुछ कम, और कुछ बिल्कुल पसंद नहीं करते। यह देखा गया है कि किसी व्यक्ति के लिए एक सममित और आनुपातिक वस्तु को समझना बहुत आसान होता है और सद्भाव और सुंदरता की भावना पैदा करता है। एक पूरी छवि में हमेशा विभिन्न आकारों के हिस्से शामिल होते हैं, जो एक दूसरे के साथ एक निश्चित अनुपात में होते हैं। इससे इस प्रश्न का उत्तर मिलता है कि स्वर्ण अनुपात क्या कहलाता है। इस अवधारणा का अर्थ है प्रकृति, विज्ञान, कला आदि में संपूर्ण और भागों के अनुपात की पूर्णता। गणितीय दृष्टिकोण से, निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें। किसी भी लंबाई का एक खंड लें और इसे दो भागों में इस तरह से विभाजित करें कि छोटा हिस्सा बड़े से संबंधित हो (पूरे खंड की लंबाई) बड़े से योग के रूप में। तो चलिए एक कट लेते हैं साथएक के आकार के लिए। इसे का हिस्सा ए 0.618 के बराबर होगा, दूसरा भाग बी, यह पता चला है, 0.382 के बराबर है। इस प्रकार, हम स्वर्ण अनुपात की स्थिति का निरीक्षण करते हैं। खंड अनुपात सीको ए 1.618 के बराबर है। और भागों का संबंध सीऔर बी- 2.618. हम पहले से ही ज्ञात फाइबोनैचि गुणांक प्राप्त करते हैं। स्वर्ण त्रिभुज, स्वर्ण आयत और स्वर्ण घनाभ एक ही सिद्धांत के अनुसार बनाए गए हैं। यह भी ध्यान देने योग्य है कि मानव शरीर के अंगों का आनुपातिक अनुपात स्वर्ण अनुपात के करीब है।

क्या फाइबोनैचि अनुक्रम हर चीज का आधार है?

आइए गोल्डन सेक्शन के सिद्धांत और इतालवी गणितज्ञ की प्रसिद्ध श्रृंखला को संयोजित करने का प्रयास करें। आइए पहले आकार के दो वर्गों से शुरू करें। फिर ऊपर से दूसरे आकार का एक और वर्ग डालें। आइए पिछली दो भुजाओं के योग के बराबर एक भुजा की लंबाई के साथ एक ही आकृति के आगे ड्रा करें। इसी तरह, हम पांचवें आकार का एक वर्ग बनाते हैं। और इसलिए आप अनिश्चित काल तक जारी रख सकते हैं, जब तक कि आप ऊब न जाएं। मुख्य बात यह है कि प्रत्येक बाद के वर्ग की भुजा का आकार पिछले दो की भुजाओं के योग के बराबर होता है। हमें बहुभुजों की एक श्रृंखला प्राप्त होती है जिनकी भुजाओं की लंबाई फाइबोनैचि संख्याएँ होती हैं। इन आकृतियों को फाइबोनैचि आयत कहते हैं। आइए हमारे बहुभुजों के कोनों के माध्यम से एक चिकनी रेखा खींचते हैं और प्राप्त करते हैं ... आर्किमिडीज का सर्पिल! जैसा कि आप जानते हैं, इस आंकड़े के चरण में वृद्धि हमेशा एक समान होती है। यदि आप फंतासी को चालू करते हैं, तो परिणामस्वरूप पैटर्न को क्लैम शेल के साथ जोड़ा जा सकता है। यहाँ से हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि फाइबोनैचि अनुक्रम आसपास की दुनिया में तत्वों के आनुपातिक, सामंजस्यपूर्ण अनुपात का आधार है।

गणितीय अनुक्रम और ब्रह्मांड

यदि आप बारीकी से देखते हैं, तो आर्किमिडीज के सर्पिल (कहीं स्पष्ट रूप से, लेकिन कहीं छिपी हुई) और इसलिए, फाइबोनैचि सिद्धांत को एक व्यक्ति के आसपास के कई परिचित प्राकृतिक तत्वों में खोजा जा सकता है। उदाहरण के लिए, क्लैम का एक ही खोल, साधारण ब्रोकोली के पुष्पक्रम, एक सूरजमुखी का फूल, एक शंकुधारी पौधे का शंकु, और इसी तरह। अगर हम आगे देखें, तो हमें अनंत आकाशगंगाओं में फाइबोनैचि अनुक्रम दिखाई देगा। यहां तक ​​कि प्रकृति से प्रेरित और उसके रूपों को अपनाकर व्यक्ति भी ऐसी वस्तुओं का निर्माण करता है जिनमें उपर्युक्त श्रृंखला का पता लगाया जा सकता है। गोल्डन सेक्शन को याद करने का समय आ गया है। फाइबोनैचि पैटर्न के साथ, इस सिद्धांत के सिद्धांतों का पता लगाया जाता है। एक संस्करण है कि फाइबोनैचि अनुक्रम प्रकृति का एक प्रकार का परीक्षण है जो स्वर्ण अनुपात के अधिक परिपूर्ण और मौलिक लघुगणक अनुक्रम के अनुकूल होता है, जो लगभग समान है, लेकिन इसकी कोई शुरुआत नहीं है और अनंत है। प्रकृति का स्वरूप ऐसा है कि उसका अपना प्रारंभिक बिंदु होना चाहिए, जिससे कुछ नया बनाने के लिए निर्माण किया जा सके। फाइबोनैचि श्रृंखला के पहले तत्वों का अनुपात स्वर्ण अनुपात के सिद्धांतों से बहुत दूर है। हालाँकि, हम इसे जितना आगे जारी रखेंगे, यह विसंगति उतनी ही दूर होती जाएगी। एक अनुक्रम निर्धारित करने के लिए, आपको इसके तीन तत्वों को जानना होगा जो एक दूसरे का अनुसरण करते हैं। गोल्डन सीक्वेंस के लिए दो काफी हैं। चूंकि यह अंकगणित और ज्यामितीय प्रगति दोनों है।

निष्कर्ष

फिर भी, पूर्वगामी के आधार पर, कोई काफी तार्किक प्रश्न पूछ सकता है: "ये संख्याएँ कहाँ से आईं? पूरी दुनिया के उपकरण का यह लेखक कौन है जिसने इसे आदर्श बनाने की कोशिश की? क्या सब कुछ हमेशा वैसा ही था जैसा वह चाहता था? यदि ऐसा है तो , विफलता क्यों हुई? आगे क्या होगा?" एक प्रश्न का उत्तर ढूंढ़ने पर आपको अगला प्रश्न मिलता है। इसे हल करें - दो और दिखाई देते हैं। यदि आप उन्हें हल करते हैं, तो आपको तीन और मिलते हैं। उनसे निपटने के बाद, आप पांच अनसुलझे प्राप्त करेंगे। फिर आठ, फिर तेरह, इक्कीस, चौंतीस, पचपन...

फाइबोनैचि संख्याएं एक संख्यात्मक अनुक्रम के तत्व हैं।

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, जिसमें प्रत्येक बाद की संख्या पिछली दो संख्याओं के योग के बराबर है। नाम का नाम मध्यकालीन गणितज्ञ पीसा (या फिबोनाची) के लियोनार्डो के नाम पर रखा गया है, जो इतालवी शहर पीसा में एक व्यापारी और गणितज्ञ के रूप में रहते थे और काम करते थे। वह अपने समय के सबसे प्रसिद्ध यूरोपीय वैज्ञानिकों में से एक हैं। उनकी सबसे बड़ी उपलब्धियों में रोमन अंकों को बदलने के लिए अरबी अंकों की शुरूआत है। एफएन = एफएन -1 + एफएन -2

गणितीय श्रृंखला स्पर्शोन्मुख रूप से (अर्थात, अधिक से अधिक धीरे-धीरे आ रही है) एक स्थिर अनुपात में जाती है। हालाँकि, यह रवैया तर्कहीन है; इसके बाद दशमलव मानों का एक अंतहीन, अप्रत्याशित क्रम है। इसे कभी भी सटीक रूप से व्यक्त नहीं किया जा सकता है। यदि प्रत्येक संख्या जो श्रृंखला का हिस्सा है, को पिछले मान (उदाहरण के लिए, 13-^8 या 21-FROM) से विभाजित किया जाता है, तो क्रिया का परिणाम उस अनुपात में व्यक्त किया जाता है जो अपरिमेय संख्या 1.6180339875 के आसपास उतार-चढ़ाव करता है, थोड़ा अधिक या श्रृंखला के पड़ोसी अनुपातों से थोड़ा कम। अनुपात कभी भी, अनिश्चित काल के लिए, अंतिम अंक तक सटीक नहीं होगा (यहां तक ​​कि हमारे समय में निर्मित सबसे शक्तिशाली कंप्यूटरों के साथ भी)। संक्षिप्तता के लिए, हम संख्या 1.618 को फाइबोनैचि अनुपात के रूप में उपयोग करेंगे और पाठकों से इस त्रुटि को न भूलने के लिए कहेंगे।

विश्लेषण करते समय फाइबोनैचि संख्याएं भी महत्वपूर्ण हैं। दो संख्याओं के सबसे बड़े सामान्य भाजक को निर्धारित करने के लिए यूक्लिड का एल्गोरिथ्म। फाइबोनैचि संख्याएं पास्कल के त्रिभुज विकर्ण सूत्र (द्विपद गुणांक) से आती हैं।

फाइबोनैचि संख्याओं को स्वर्ण अनुपात से जोड़ा गया है।

स्वर्ण अनुपात भारत और चीन में प्राचीन मिस्र और बेबीलोन में जाना जाता था। "गोल्डन सेक्शन" क्या है? उत्तर अभी भी अज्ञात है। हमारे समय में अभ्यास के सिद्धांत के लिए फाइबोनैचि संख्याएं वास्तव में प्रासंगिक हैं। महत्व में वृद्धि 20 वीं शताब्दी में हुई और आज भी जारी है। अर्थशास्त्र और कंप्यूटर विज्ञान में फाइबोनैचि संख्याओं के उपयोग ने लोगों को उनके अध्ययन के लिए आकर्षित किया।

मेरे शोध की पद्धति में विशिष्ट साहित्य का अध्ययन करना और प्राप्त जानकारी को सारांशित करना, साथ ही साथ मेरा स्वयं का शोध करना और संख्याओं के गुणों और उनके उपयोग के दायरे की पहचान करना शामिल था।

वैज्ञानिक अनुसंधान के दौरान, उन्होंने फाइबोनैचि संख्याओं की अवधारणा, उनके गुणों को निर्धारित किया। मुझे सीधे सूरजमुखी के बीजों की संरचना में वन्यजीवों में दिलचस्प पैटर्न भी मिले।

सूरजमुखी पर, बीज सर्पिल में पंक्तिबद्ध होते हैं, और दूसरी दिशा में जाने वाले सर्पिलों की संख्या भिन्न होती है - वे लगातार फाइबोनैचि संख्याएं होती हैं।

इस सूरजमुखी में 34 और 55 हैं।

अनानास के फलों पर भी यही देखा जाता है, जहां 8 और 14 सर्पिल होते हैं।मकई के पत्ते फाइबोनैचि संख्याओं की अनूठी संपत्ति से जुड़े होते हैं।

एक पौधे के तने के पैरों की पत्तियों की पेचदार व्यवस्था के अनुरूप ए / बी के रूप के अंश, अक्सर क्रमिक फाइबोनैचि संख्याओं के अनुपात होते हैं। हेज़ल के लिए यह अनुपात 2/3 है, ओक 3/5 के लिए, चिनार 5/8 के लिए, विलो 8/13, आदि के लिए।

पौधों के तने पर पत्तियों की व्यवस्था को ध्यान में रखते हुए, आप देख सकते हैं कि पत्तियों के प्रत्येक जोड़े (ए और सी) के बीच तीसरा सुनहरा खंड (बी) के स्थान पर स्थित है।

फाइबोनैचि संख्या का एक और दिलचस्प गुण यह है कि एक के अलावा किन्हीं दो अलग-अलग फाइबोनैचि संख्याओं का गुणनफल और भागफल कभी भी फाइबोनैचि संख्या नहीं होता है।

शोध के परिणामस्वरूप, मैं निम्नलिखित निष्कर्ष पर पहुंचा: फाइबोनैचि संख्याएं एक अद्वितीय अंकगणितीय प्रगति हैं जो 13 वीं शताब्दी ईस्वी में दिखाई दीं। यह प्रगति अपनी प्रासंगिकता नहीं खोती है, जिसकी पुष्टि मेरे शोध के दौरान हुई थी। फाइबोनैचि संख्या पेंटिंग, वास्तुकला और संगीत में प्रोग्रामिंग और आर्थिक पूर्वानुमानों में भी पाई जाती है। लियोनार्डो दा विंची, माइकल एंजेलो, राफेल और बॉटलिकली जैसे प्रसिद्ध कलाकारों की पेंटिंग सुनहरे अनुपात का जादू छिपाती हैं। यहां तक ​​​​कि आई। आई। शिश्किन ने भी अपनी पेंटिंग "पाइन ग्रोव" में सुनहरे अनुपात का इस्तेमाल किया।

यह विश्वास करना कठिन है, लेकिन मोजार्ट, बीथोवेन, चोपिन, आदि जैसे महान संगीतकारों के संगीत कार्यों में भी सुनहरा अनुपात पाया जाता है।

फाइबोनैचि संख्याएं वास्तुकला में भी पाई जाती हैं। उदाहरण के लिए, पार्थेनन और नोट्रे डेम कैथेड्रल के निर्माण में सुनहरे अनुपात का उपयोग किया गया था।

मैंने पाया है कि हमारे क्षेत्र में भी फाइबोनैचि संख्याओं का उपयोग किया जा रहा है। उदाहरण के लिए, घरों के प्लेटबैंड, गैबल्स।

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परिचय

गणित का सर्वोच्च उद्देश्य हमारे चारों ओर की अराजकता में छिपे हुए क्रम को खोजना है।

विनर एन.

एक व्यक्ति जीवन भर ज्ञान के लिए प्रयास करता है, अपने आसपास की दुनिया का अध्ययन करने की कोशिश करता है। और अवलोकन की प्रक्रिया में, उसके पास ऐसे प्रश्न हैं जिनका उत्तर देने की आवश्यकता है। उत्तर मिल जाते हैं, लेकिन नए प्रश्न सामने आते हैं। पुरातात्विक खोजों में, सभ्यता के निशान में, समय और स्थान में एक दूसरे से दूर, एक और एक ही तत्व पाया जाता है - एक सर्पिल के रूप में एक पैटर्न। कुछ लोग इसे सूर्य का प्रतीक मानते हैं और इसे पौराणिक अटलांटिस से जोड़ते हैं, लेकिन इसका सही अर्थ अज्ञात है। आकाशगंगा और वायुमंडलीय चक्रवात की आकृतियाँ, तने पर पत्तियों की व्यवस्था और सूरजमुखी के बीजों में क्या समानता है? ये पैटर्न तथाकथित "गोल्डन" सर्पिल, अद्भुत फाइबोनैचि अनुक्रम के लिए नीचे आते हैं, जिसे 13 वीं शताब्दी के महान इतालवी गणितज्ञ द्वारा खोजा गया था।

फाइबोनैचि संख्याओं का इतिहास

फाइबोनैचि संख्याएँ क्या होती हैं, इस बारे में पहली बार मैंने एक गणित शिक्षक से सुना। लेकिन, इसके अलावा, इन नंबरों का क्रम कैसे बनता है, मुझे नहीं पता था। यही वह क्रम है जिसके लिए वास्तव में प्रसिद्ध है, यह किसी व्यक्ति को कैसे प्रभावित करता है, और मैं आपको बताना चाहता हूं। लियोनार्डो फिबोनाची के बारे में बहुत कम जानकारी है। उनके जन्म की सही तारीख भी नहीं है। यह ज्ञात है कि उनका जन्म 1170 में इटली के पीसा शहर में एक व्यापारी के परिवार में हुआ था। फिबोनाची के पिता व्यापार के सिलसिले में अक्सर अल्जीयर्स में रहते थे और लियोनार्डो ने वहां अरब शिक्षकों के साथ गणित का अध्ययन किया। इसके बाद, उन्होंने कई गणितीय रचनाएँ लिखीं, जिनमें से सबसे प्रसिद्ध "अबेकस की पुस्तक" है, जिसमें उस समय की लगभग सभी अंकगणितीय और बीजगणितीय जानकारी शामिल है। 2

फाइबोनैचि संख्याएं कई गुणों वाली संख्याओं का एक क्रम है। 1202 में जब उन्होंने खरगोशों के बारे में एक व्यावहारिक समस्या को हल करने की कोशिश की, तो फाइबोनैचि ने दुर्घटना से इस संख्यात्मक अनुक्रम की खोज की। "किसी ने खरगोश के जोड़े को एक निश्चित स्थान पर रखा, जो एक दीवार से चारों तरफ से घिरा हुआ था, ताकि यह पता लगाया जा सके कि वर्ष के दौरान खरगोशों के कितने जोड़े पैदा होंगे, यदि खरगोशों की प्रकृति ऐसी है कि एक महीने में एक जोड़ी खरगोश दूसरे जोड़े को जन्म देता है, और खरगोश उसके जन्म के दूसरे महीने से जन्म देता है। समस्या को हल करते समय, उन्होंने ध्यान में रखा कि खरगोशों की प्रत्येक जोड़ी अपने जीवन के दौरान दो और जोड़े को जन्म देती है, और फिर मर जाती है। इस प्रकार संख्याओं का क्रम प्रकट हुआ: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... इस क्रम में, प्रत्येक अगली संख्या दो पिछली संख्याओं के योग के बराबर होती है। इसे फाइबोनैचि अनुक्रम कहते हैं। अनुक्रम के गणितीय गुण

मैं इस क्रम का पता लगाना चाहता था, और मैंने इसके कुछ गुणों की पहचान की। इस नियम का बहुत महत्व है। अनुक्रम धीरे-धीरे लगभग 1.618 के कुछ स्थिर अनुपात तक पहुंचता है, और किसी भी संख्या का अनुपात अगले के बारे में 0.618 है।

फाइबोनैचि संख्याओं के कई जिज्ञासु गुणों को देखा जा सकता है: दो पड़ोसी संख्याएँ कोप्राइम हैं; प्रत्येक तीसरी संख्या सम है; प्रत्येक पंद्रहवां शून्य में समाप्त होता है; प्रत्येक चौथा तीन का गुणज है। यदि आप फाइबोनैचि अनुक्रम से कोई भी 10 पड़ोसी संख्याएँ चुनते हैं और उन्हें एक साथ जोड़ते हैं, तो आपको हमेशा एक संख्या मिलेगी जो 11 का गुणज है। लेकिन इतना ही नहीं। प्रत्येक योग दिए गए अनुक्रम के सातवें सदस्य द्वारा गुणा की गई संख्या 11 के बराबर है। और यहाँ एक और दिलचस्प विशेषता है। किसी भी n के लिए, अनुक्रम के पहले n सदस्यों का योग हमेशा (n + 2) -वें और अनुक्रम के पहले सदस्य के अंतर के बराबर होगा। इस तथ्य को सूत्र द्वारा व्यक्त किया जा सकता है: 1+1+2+3+5+…+an=a n+2 - 1. अब हमारे पास निम्नलिखित तरकीब है: सभी पदों का योग ज्ञात करने के लिए

दो दिए गए सदस्यों के बीच अनुक्रम, यह संबंधित (n+2)-x सदस्यों के अंतर को खोजने के लिए पर्याप्त है। उदाहरण के लिए, एक 26 + ... + एक 40 \u003d एक 42 - एक 27। अब आइए फाइबोनैचि, पाइथागोरस और "गोल्डन सेक्शन" के बीच संबंध देखें। मानव जाति की गणितीय प्रतिभा का सबसे प्रसिद्ध प्रमाण पाइथागोरस प्रमेय है: किसी भी समकोण त्रिभुज में, कर्ण का वर्ग उसके पैरों के वर्गों के योग के बराबर होता है: c 2 \u003d b 2 + a 2. ज्यामितीय दृष्टिकोण से, हम एक समकोण त्रिभुज की सभी भुजाओं को उन पर बने तीन वर्गों की भुजाएँ मान सकते हैं। पाइथागोरस प्रमेय कहता है कि एक समकोण त्रिभुज की टाँगों पर बने वर्गों का कुल क्षेत्रफल कर्ण पर बने वर्ग के क्षेत्रफल के बराबर होता है। यदि एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई पूर्णांक है, तो वे तीन संख्याओं का एक समूह बनाते हैं जिन्हें पाइथागोरस त्रिगुण कहा जाता है। फाइबोनैचि अनुक्रम का उपयोग करके, आप ऐसे त्रिगुणों को पा सकते हैं। अनुक्रम से कोई भी चार क्रमागत संख्याएँ लें, उदाहरण के लिए, 2, 3, 5 और 8, और तीन और संख्याएँ इस प्रकार बनाएँ: 1) दो चरम संख्याओं का गुणनफल: 2*8=16; 2) का दोहरा गुणनफल बीच में दो संख्याएँ: 2* (3 * 5) \u003d 30; 3) दो औसत संख्याओं के वर्गों का योग: 3 2 +5 2 \u003d 34; 34 2 =30 2 +16 2। यह विधि किन्हीं चार क्रमागत फाइबोनैचि संख्याओं के लिए कार्य करती है। अनुमानतः, फाइबोनैचि श्रृंखला की किन्हीं तीन क्रमागत संख्याओं का व्यवहार पूर्वानुमेय तरीके से होता है। यदि आप उनकी दो चरम सीमाओं को गुणा करते हैं और परिणाम की औसत संख्या के वर्ग से तुलना करते हैं, तो परिणाम हमेशा एक से भिन्न होगा। उदाहरण के लिए, संख्या 5, 8 और 13 के लिए हमें मिलता है: 5*13=8 2 +1। यदि हम इस गुण को ज्यामिति की दृष्टि से देखें तो हमें कुछ अजीब दिखाई दे सकता है। वर्ग को विभाजित करें

आकार 8x8 (कुल 64 छोटे वर्ग) चार भागों में, जिनकी भुजाओं की लंबाई फाइबोनैचि संख्याओं के बराबर होती है। अब इन भागों से हम 5x13 माप का एक आयत बनाएंगे। इसका क्षेत्रफल 65 छोटे वर्ग हैं। अतिरिक्त वर्ग कहाँ से आता है? बात यह है कि एक पूर्ण आयत नहीं बनता है, लेकिन छोटे अंतराल रहते हैं, जो कुल मिलाकर क्षेत्र की यह अतिरिक्त इकाई देते हैं। पास्कल के त्रिभुज का संबंध फाइबोनैचि अनुक्रम से भी है। आपको बस पास्कल के त्रिभुज की पंक्तियों को एक के नीचे एक लिखना है, और फिर तत्वों को तिरछे जोड़ना है। फाइबोनैचि अनुक्रम प्राप्त करें।

अब एक "सुनहरी" आयत पर विचार करें, जिसका एक पक्ष दूसरे से 1.618 गुना लंबा है। पहली नज़र में, यह हमें एक साधारण आयत की तरह लग सकता है। हालांकि, आइए दो साधारण बैंक कार्डों के साथ एक सरल प्रयोग करें। आइए उनमें से एक को क्षैतिज रूप से और दूसरे को लंबवत रखें ताकि उनकी निचली भुजाएँ एक ही रेखा पर हों। यदि हम एक क्षैतिज मानचित्र में एक विकर्ण रेखा खींचते हैं और इसका विस्तार करते हैं, तो हम देखेंगे कि यह ऊर्ध्वाधर मानचित्र के ऊपरी दाएं कोने से होकर गुजरेगी - एक सुखद आश्चर्य। हो सकता है कि यह एक दुर्घटना हो, या हो सकता है कि "सुनहरे अनुपात" का उपयोग करने वाले ऐसे आयत और अन्य ज्यामितीय आकार विशेष रूप से आंख को भाते हों। क्या लियोनार्डो दा विंची ने अपनी उत्कृष्ट कृति पर काम करते समय सुनहरे अनुपात के बारे में सोचा था? यह असंभव लगता है। हालांकि, यह तर्क दिया जा सकता है कि उन्होंने सौंदर्यशास्त्र और गणित के बीच संबंध को बहुत महत्व दिया।

प्रकृति में फाइबोनैचि संख्या

सुंदरता के साथ सुनहरे खंड का संबंध केवल मानवीय धारणा का विषय नहीं है। ऐसा लगता है कि प्रकृति ने ही एफ को एक विशेष भूमिका आवंटित की है। यदि वर्गों को क्रमिक रूप से "सुनहरा" आयत में दर्ज किया जाता है, तो प्रत्येक वर्ग में एक चाप खींचा जाता है, फिर एक सुरुचिपूर्ण वक्र प्राप्त होता है, जिसे लॉगरिदमिक सर्पिल कहा जाता है। यह बिल्कुल भी गणितीय जिज्ञासा नहीं है। 5

इसके विपरीत, यह अद्भुत रेखा अक्सर भौतिक दुनिया में पाई जाती है: एक नॉटिलस के खोल से आकाशगंगाओं की बाहों तक, और गुलाब की पंखुड़ियों के सुरुचिपूर्ण सर्पिल में पूरी तरह से खिले हुए। सुनहरे अनुपात और फाइबोनैचि संख्याओं के बीच संबंध असंख्य और अप्रत्याशित हैं। एक फूल पर विचार करें जो गुलाब से बहुत अलग दिखता है - बीज वाला सूरजमुखी। पहली चीज जो हम देखते हैं वह यह है कि बीज दो प्रकार के सर्पिल में व्यवस्थित होते हैं: दक्षिणावर्त और वामावर्त। यदि हम दक्षिणावर्त सर्पिलों की गणना करते हैं, तो हमें दो सामान्य संख्याएँ मिलती हैं: 21 और 34। यह एकमात्र उदाहरण नहीं है जब आप पौधों की संरचना में फाइबोनैचि संख्याएँ पा सकते हैं।

प्रकृति हमें फाइबोनैचि संख्याओं द्वारा वर्णित सजातीय वस्तुओं की व्यवस्था के कई उदाहरण देती है। छोटे पौधों के भागों की विभिन्न सर्पिल व्यवस्थाओं में, आमतौर पर सर्पिल के दो परिवार देखे जा सकते हैं। इनमें से एक परिवार में, सर्पिल दक्षिणावर्त घुमाते हैं, और दूसरे में - वामावर्त। एक प्रकार की सर्पिल संख्याएं और दूसरी अक्सर पड़ोसी फाइबोनैचि संख्याएं बन जाती हैं। तो, एक युवा पाइन टहनी लेते हुए, यह नोटिस करना आसान है कि सुइयां दो सर्पिल बनाती हैं, जो नीचे बाएं से दाएं ऊपर जा रही हैं। कई शंकुओं पर, बीज तीन सर्पिलों में व्यवस्थित होते हैं, शंकु के तने के चारों ओर धीरे से घुमाते हैं। वे पांच सर्पिल में व्यवस्थित होते हैं, विपरीत दिशा में तेजी से घुमावदार होते हैं। बड़े शंकुओं में, 5 और 8, और यहां तक ​​कि 8 और 13 सर्पिल भी देखे जा सकते हैं। अनानास पर फाइबोनैचि सर्पिल भी स्पष्ट रूप से दिखाई देते हैं: उनमें से आमतौर पर 8 और 13 होते हैं।

चिकोरी शूट अंतरिक्ष में एक मजबूत इजेक्शन बनाता है, रुकता है, एक पत्ता छोड़ता है, लेकिन पहले से छोटा है, फिर से अंतरिक्ष में एक इजेक्शन बनाता है, लेकिन कम बल के साथ, एक और भी छोटा पत्ता और फिर से इजेक्शन जारी करता है। इसके विकास के आवेग "सुनहरे" खंड के अनुपात में धीरे-धीरे कम हो जाते हैं। फाइबोनैचि संख्याओं की विशाल भूमिका की सराहना करने के लिए, बस हमारे आस-पास की प्रकृति की सुंदरता को देखें। फाइबोनैचि संख्याएं मात्रा में पाई जा सकती हैं

प्रत्येक बढ़ते पौधे के तने पर और पंखुड़ियों की संख्या में शाखाएँ।

आइए कुछ फूलों की पंखुड़ियों को गिनें - इसकी 3 पंखुड़ियों वाली परितारिका, 5 पंखुड़ियों वाला प्राइमरोज़, 13 पंखुड़ियों वाला रैगवीड, 34 पंखुड़ियों वाला डेज़ी, 55 पंखुड़ियों वाला एस्टर, और इसी तरह। क्या यह संयोग है, या प्रकृति का नियम है? यारो के तनों और फूलों को देखो। इस प्रकार, कुल फाइबोनैचि अनुक्रम प्रकृति में पाए जाने वाले "गोल्डन" संख्याओं की अभिव्यक्तियों के पैटर्न की आसानी से व्याख्या कर सकता है। ये कानून हमारी चेतना और उन्हें स्वीकार करने या न करने की इच्छा की परवाह किए बिना काम करते हैं। "गोल्डन" समरूपता के पैटर्न प्राथमिक कणों के ऊर्जा संक्रमण में, कुछ रासायनिक यौगिकों की संरचना में, ग्रहों और अंतरिक्ष प्रणालियों में, जीवित जीवों की जीन संरचनाओं में, व्यक्तिगत मानव अंगों और शरीर की संरचना में प्रकट होते हैं। एक संपूर्ण, और खुद को बायोरिदम और मस्तिष्क के कामकाज और दृश्य धारणा में भी प्रकट करते हैं।

वास्तुकला में फाइबोनैचि संख्या

स्वर्ण अनुपात मानव जाति के पूरे इतिहास में कई उल्लेखनीय स्थापत्य कृतियों में भी प्रकट होता है। यह पता चला है कि प्राचीन यूनानी और मिस्र के गणितज्ञ भी इन गुणांकों को फाइबोनैचि से बहुत पहले से जानते थे और उन्हें "स्वर्ण खंड" कहते थे। "गोल्डन सेक्शन" के सिद्धांत का उपयोग यूनानियों द्वारा पार्थेनन, मिस्रवासियों - गीज़ा के महान पिरामिड के निर्माण में किया गया था। निर्माण प्रौद्योगिकी में प्रगति और नई सामग्रियों के विकास ने 20वीं सदी के वास्तुकारों के लिए नई संभावनाएं खोलीं। अमेरिकी फ्रैंक लॉयड राइट जैविक वास्तुकला के मुख्य समर्थकों में से एक थे। अपनी मृत्यु से कुछ समय पहले, उन्होंने न्यूयॉर्क में सोलोमन गुगेनहाइम संग्रहालय को डिजाइन किया, जो एक उल्टा सर्पिल है, और संग्रहालय का आंतरिक भाग एक नॉटिलस शेल जैसा दिखता है। पोलिश-इजरायल के वास्तुकार ज़वी हेकर ने बर्लिन में हेंज गैलिंस्की स्कूल के डिजाइन में सर्पिल संरचनाओं का भी इस्तेमाल किया, जो 1995 में पूरा हुआ। हेकर ने एक केंद्रीय वृत्त के साथ सूरजमुखी के विचार के साथ शुरुआत की, जहां से

सभी वास्तु तत्व अलग हो जाते हैं। इमारत एक संयोजन है

ऑर्थोगोनल और संकेंद्रित सर्पिल, सीमित मानव ज्ञान और प्रकृति की नियंत्रित अराजकता की बातचीत का प्रतीक है। इसकी वास्तुकला एक पौधे की नकल करती है जो सूर्य की गति का अनुसरण करता है, इसलिए कक्षाएं पूरे दिन जगमगाती रहती हैं।

कैम्ब्रिज, मैसाचुसेट्स (यूएसए) में स्थित क्विंसी पार्क में, "सुनहरा" सर्पिल अक्सर पाया जा सकता है। पार्क को 1997 में कलाकार डेविड फिलिप्स द्वारा डिजाइन किया गया था और यह क्ले मैथमैटिकल इंस्टीट्यूट के पास स्थित है। यह संस्थान गणितीय शोध का एक प्रसिद्ध केंद्र है। क्विंसी पार्क में, आप "सुनहरे" सर्पिल और धातु वक्र, दो गोले की राहत और एक वर्गमूल प्रतीक के साथ एक चट्टान के बीच चल सकते हैं। प्लेट पर "सुनहरा" अनुपात के बारे में जानकारी लिखी होती है। यहां तक ​​कि बाइक पार्किंग में भी एफ सिंबल का इस्तेमाल होता है।

मनोविज्ञान में फाइबोनैचि संख्या

मनोविज्ञान में, ऐसे मोड़, संकट, उथल-पुथल हैं जो किसी व्यक्ति के जीवन पथ पर आत्मा की संरचना और कार्यों के परिवर्तन को चिह्नित करते हैं। यदि कोई व्यक्ति इन संकटों को सफलतापूर्वक पार कर लेता है, तो वह एक नए वर्ग की समस्याओं को हल करने में सक्षम हो जाता है, जिसके बारे में उसने पहले सोचा भी नहीं था।

मौलिक परिवर्तनों की उपस्थिति जीवन के समय को आध्यात्मिक गुणों के विकास में एक निर्णायक कारक के रूप में मानने का कारण देती है। आखिरकार, प्रकृति हमारे लिए समय को उदारता से नहीं मापती है, "यह कितना भी होगा, इतना ही होगा", लेकिन इतना ही पर्याप्त है कि विकास प्रक्रिया को अमल में लाया जाए:

शरीर की संरचनाओं में;

भावनाओं, सोच और मनोप्रेरणा में - जब तक वे प्राप्त नहीं कर लेते समन्वयतंत्र के उद्भव और प्रक्षेपण के लिए आवश्यक

रचनात्मकता;

मानव ऊर्जा क्षमता की संरचना में।

शरीर के विकास को रोका नहीं जा सकता: बच्चा वयस्क हो जाता है। रचनात्मकता के तंत्र के साथ, सब कुछ इतना आसान नहीं है। इसके विकास को रोका जा सकता है और इसकी दिशा बदली जा सकती है।

क्या समय के साथ पकड़ने का मौका है? निश्चित रूप से। लेकिन इसके लिए आपको खुद पर काफी काम करने की जरूरत है। जो स्वतंत्र रूप से विकसित होता है, स्वाभाविक रूप से, उसे विशेष प्रयासों की आवश्यकता नहीं होती है: बच्चा स्वतंत्र रूप से विकसित होता है और इस विशाल कार्य को नोटिस नहीं करता है, क्योंकि मुक्त विकास की प्रक्रिया स्वयं के खिलाफ हिंसा के बिना बनाई जाती है।

रोजमर्रा की चेतना में जीवन पथ का अर्थ कैसे समझा जाता है? निवासी इसे इस तरह देखता है: पैर पर - जन्म, शीर्ष पर - जीवन का प्रमुख, और फिर - सब कुछ नीचे की ओर जाता है।

बुद्धिमान व्यक्ति कहेगा: सब कुछ बहुत अधिक जटिल है। वह चढ़ाई को चरणों में विभाजित करता है: बचपन, किशोरावस्था, युवावस्था ... ऐसा क्यों है? कुछ लोग जवाब देने में सक्षम हैं, हालांकि सभी को यकीन है कि ये बंद हैं, जीवन के अभिन्न चरण हैं।

यह पता लगाने के लिए कि रचनात्मकता का तंत्र कैसे विकसित होता है, वी.वी. क्लिमेंको ने गणित का इस्तेमाल किया, अर्थात् फाइबोनैचि संख्याओं के नियम और "स्वर्ण खंड" के अनुपात - प्रकृति और मानव जीवन के नियम।

फाइबोनैचि संख्याएं हमारे जीवन को वर्षों की संख्या के अनुसार चरणों में विभाजित करती हैं: 0 - उलटी गिनती की शुरुआत - बच्चे का जन्म हुआ। उसके पास अभी भी न केवल साइकोमोटर कौशल, सोच, भावनाओं, कल्पना, बल्कि परिचालन ऊर्जा क्षमता का भी अभाव है। वह एक नए जीवन की शुरुआत है, एक नया सामंजस्य है;

1 - बच्चे को चलने में महारत हासिल है और तत्काल वातावरण में महारत हासिल है;

2 - भाषण को समझता है और मौखिक निर्देशों का उपयोग करता है;

3 - शब्द के माध्यम से कार्य करता है, प्रश्न पूछता है;

5 - "अनुग्रह की आयु" - साइकोमोटर, स्मृति, कल्पना और भावनाओं का सामंजस्य, जो पहले से ही बच्चे को दुनिया को उसकी संपूर्णता में गले लगाने की अनुमति देता है;

8 - भावनाएं सामने आती हैं। उन्हें कल्पना द्वारा परोसा जाता है, और सोच, इसकी आलोचनात्मक शक्तियों द्वारा, जीवन के आंतरिक और बाहरी सद्भाव का समर्थन करने के उद्देश्य से है;

13 - प्रतिभा का तंत्र काम करना शुरू कर देता है, जिसका उद्देश्य विरासत की प्रक्रिया में अर्जित सामग्री को बदलना, अपनी प्रतिभा को विकसित करना है;

21 - रचनात्मकता का तंत्र सामंजस्य की स्थिति में आ गया है और प्रतिभाशाली कार्य करने के प्रयास किए जा रहे हैं;

34 - सोच, भावनाओं, कल्पना और साइकोमोटर कौशल का सामंजस्य: शानदार काम करने की क्षमता पैदा होती है;

55 - इस उम्र में, आत्मा और शरीर के संरक्षित सामंजस्य के अधीन, एक व्यक्ति निर्माता बनने के लिए तैयार है। आदि…

फाइबोनैचि सेरिफ़ क्या हैं? इनकी तुलना जीवन पथ पर बने बांधों से की जा सकती है। ये बांध हम में से प्रत्येक की प्रतीक्षा कर रहे हैं। सबसे पहले, उनमें से प्रत्येक को दूर करना आवश्यक है, और फिर धैर्यपूर्वक अपने विकास के स्तर को बढ़ाएं, जब तक कि यह एक दिन अलग न हो जाए, अगले मुक्त प्रवाह का रास्ता खोल दे।

अब जब हम आयु विकास के इन नोडल बिंदुओं का अर्थ समझ गए हैं, तो आइए यह समझने की कोशिश करें कि यह सब कैसे होता है।

1 साल मेंबच्चा चलना सीखता है। इससे पहले, वह दुनिया को अपने सिर के सामने से जानता था। अब वह दुनिया को अपने हाथों से जानता है - मनुष्य का अनन्य विशेषाधिकार। जानवर अंतरिक्ष में चलता है, और वह, यह जानकर, अंतरिक्ष में महारत हासिल करता है और उस क्षेत्र में महारत हासिल करता है जिस पर वह रहता है।

2 सालशब्द को समझता है और उसके अनुसार कार्य करता है। इसका मतलब है कि:

बच्चा शब्दों की न्यूनतम संख्या सीखता है - अर्थ और क्रिया के पैटर्न;

अभी तक खुद को पर्यावरण से अलग नहीं करता है और पर्यावरण के साथ अखंडता में विलीन हो जाता है,

इसलिए, वह किसी और के निर्देश पर कार्य करता है। इस उम्र में वह माता-पिता के लिए सबसे आज्ञाकारी और सुखद होता है। ज्ञानी पुरुष से बालक ज्ञानी बन जाता है।

3 साल- अपने स्वयं के शब्द की मदद से कार्रवाई। इस व्यक्ति का पर्यावरण से अलगाव पहले ही हो चुका है - और वह स्वतंत्र रूप से अभिनय करने वाला व्यक्ति बनना सीख रहा है। इसलिए वह:

पर्यावरण और माता-पिता, किंडरगार्टन शिक्षकों, आदि का सचेत रूप से विरोध करता है;

अपनी संप्रभुता से अवगत है और स्वतंत्रता के लिए संघर्ष करता है;

करीबी और जाने-माने लोगों को अपनी मर्जी से अपने वश में करने की कोशिश करता है।

अब एक बच्चे के लिए, एक शब्द एक क्रिया है। यहीं से अभिनय करने वाले व्यक्ति की शुरुआत होती है।

5 साल- अनुग्रह की आयु। वह सद्भाव की पहचान है। खेल, नृत्य, निपुण हरकतें - सब कुछ सद्भाव से संतृप्त है, जिसे एक व्यक्ति अपनी ताकत से हासिल करने की कोशिश करता है। हार्मोनियस साइकोमोटर एक नई अवस्था में लाने में योगदान देता है। इसलिए, बच्चे को साइकोमोटर गतिविधि के लिए निर्देशित किया जाता है और सबसे सक्रिय कार्यों के लिए प्रयास करता है।

संवेदनशीलता के काम के उत्पादों का भौतिककरण के माध्यम से किया जाता है:

इस दुनिया के हिस्से के रूप में पर्यावरण और खुद को प्रदर्शित करने की क्षमता (हम सुनते हैं, देखते हैं, स्पर्श करते हैं, गंध करते हैं, आदि - सभी इंद्रियां इस प्रक्रिया के लिए काम करती हैं);

अपने सहित बाहरी दुनिया को डिजाइन करने की क्षमता

(एक दूसरी प्रकृति का निर्माण, परिकल्पना - कल दोनों करना, एक नई मशीन बनाना, एक समस्या का समाधान), महत्वपूर्ण सोच, भावनाओं और कल्पना की ताकतों द्वारा;

एक दूसरी, मानव निर्मित प्रकृति, गतिविधि के उत्पाद (योजना का कार्यान्वयन, विशिष्ट वस्तुओं और प्रक्रियाओं के साथ विशिष्ट मानसिक या मनोदैहिक क्रियाएं) बनाने की क्षमता।

5 साल बाद, कल्पना तंत्र आगे आता है और बाकी पर हावी होने लगता है। बच्चा एक विशाल काम करता है, शानदार चित्र बनाता है, और परियों की कहानियों और मिथकों की दुनिया में रहता है। बच्चे की कल्पना की अतिवृद्धि वयस्कों में आश्चर्य का कारण बनती है, क्योंकि कल्पना किसी भी तरह से वास्तविकता के अनुरूप नहीं होती है।

8 साल- भावनाएं सामने आती हैं और भावनाओं के अपने माप (संज्ञानात्मक, नैतिक, सौंदर्य) तब उत्पन्न होते हैं जब बच्चा अचूक होता है:

ज्ञात और अज्ञात का मूल्यांकन करता है;

नैतिक को अनैतिक से, नैतिक को अनैतिक से अलग करता है;

जीवन को खतरे में डालने वाली सुंदरता, अराजकता से सद्भाव।

13 साल की उम्र- रचनात्मकता का तंत्र काम करना शुरू कर देता है। लेकिन इसका मतलब यह नहीं है कि यह पूरी क्षमता से काम कर रहा है। तंत्र के तत्वों में से एक सामने आता है, और अन्य सभी इसके काम में योगदान करते हैं। यदि विकास के इस युग में भी सद्भाव बना रहे, जो लगभग हर समय अपनी संरचना का पुनर्निर्माण करता है, तो बच्चा दर्द रहित रूप से अगले बांध तक पहुंच जाएगा, इसे अगोचर रूप से दूर करेगा और एक क्रांतिकारी की उम्र में जीवित रहेगा। एक क्रांतिकारी की उम्र में, युवाओं को एक नया कदम आगे बढ़ाना चाहिए: निकटतम समाज से अलग होने और उसमें एक सामंजस्यपूर्ण जीवन और गतिविधि जीने के लिए। हम में से प्रत्येक के सामने उत्पन्न होने वाली इस समस्या को हर कोई हल नहीं कर सकता है।

21 साल पुरानायदि एक क्रांतिकारी ने जीवन के पहले सामंजस्यपूर्ण शिखर को सफलतापूर्वक पार कर लिया है, तो उसकी प्रतिभा का तंत्र एक प्रतिभाशाली व्यक्ति को पूरा करने में सक्षम है

काम। भावनाएं (संज्ञानात्मक, नैतिक, या सौंदर्य) कभी-कभी सोच पर हावी हो जाती हैं, लेकिन सामान्य तौर पर, सभी तत्व सद्भाव में काम करते हैं: भावनाएं दुनिया के लिए खुली होती हैं, और तार्किक सोच इस शिखर से चीजों को नाम देने और खोजने में सक्षम होती है।

रचनात्मकता का तंत्र, सामान्य रूप से विकसित हो रहा है, एक ऐसी स्थिति में पहुंचता है जो इसे कुछ फल प्राप्त करने की अनुमति देता है। वह काम करना शुरू कर देता है। इस उम्र में भावनाओं का तंत्र सामने आता है। जैसे ही कल्पना और उसके उत्पादों का मूल्यांकन भावनाओं और सोच द्वारा किया जाता है, उनके बीच विरोध पैदा होता है। भावनाओं की जीत होती है। यह क्षमता धीरे-धीरे शक्ति प्राप्त कर रही है, और लड़का इसका उपयोग करना शुरू कर देता है।

34 साल- संतुलन और सद्भाव, प्रतिभा की उत्पादक प्रभावशीलता। सोच, भावनाओं और कल्पना का सामंजस्य, साइकोमोटर कौशल, जो इष्टतम ऊर्जा क्षमता से भर जाता है, और समग्र रूप से तंत्र - शानदार काम करने के लिए एक अवसर पैदा होता है।

55 साल- एक व्यक्ति एक निर्माता बन सकता है। जीवन का तीसरा सामंजस्यपूर्ण शिखर: सोच भावनाओं की शक्ति को वश में कर लेती है।

फाइबोनैचि संख्याएं मानव विकास के चरणों का नाम देती हैं। कोई व्यक्ति बिना रुके इस रास्ते से गुजरता है या नहीं यह माता-पिता और शिक्षकों, शैक्षिक प्रणाली और फिर खुद पर और व्यक्ति कैसे सीखेगा और खुद को कैसे पार करेगा, इस पर निर्भर करता है।

जीवन पथ पर, एक व्यक्ति रिश्तों की 7 वस्तुओं की खोज करता है:

जन्मदिन से 2 वर्ष तक - तात्कालिक वातावरण की भौतिक और वस्तुनिष्ठ दुनिया की खोज।

2 से 3 साल तक - स्वयं की खोज: "मैं स्वयं हूं।"

3 से 5 साल तक - भाषण, शब्दों की प्रभावी दुनिया, सामंजस्य और "मैं - आप" प्रणाली।

5 से 8 वर्ष की आयु तक - अन्य लोगों के विचारों, भावनाओं और छवियों की दुनिया की खोज - "मैं - हम" प्रणाली।

8 से 13 वर्ष की आयु तक - मानव जाति की प्रतिभाओं और प्रतिभाओं द्वारा हल किए गए कार्यों और समस्याओं की दुनिया की खोज - "मैं - आध्यात्मिकता" प्रणाली।

13 से 21 वर्ष की आयु तक - प्रसिद्ध कार्यों को स्वतंत्र रूप से हल करने की क्षमता की खोज, जब विचार, भावनाएं और कल्पना सक्रिय रूप से काम करना शुरू करते हैं, तो "आई - नोस्फीयर" प्रणाली उत्पन्न होती है।

21 से 34 वर्ष की आयु तक - एक नई दुनिया या उसके टुकड़े बनाने की क्षमता की खोज - "मैं निर्माता हूं" की आत्म-अवधारणा की प्राप्ति।

जीवन पथ में अंतरिक्ष-समय की संरचना होती है। इसमें उम्र और व्यक्तिगत चरण होते हैं, जो जीवन के कई मापदंडों द्वारा निर्धारित होते हैं। एक व्यक्ति अपने जीवन की परिस्थितियों को कुछ हद तक नियंत्रित करता है, अपने इतिहास का निर्माता और समाज के इतिहास का निर्माता बन जाता है। जीवन के प्रति वास्तव में रचनात्मक दृष्टिकोण, हालांकि, तुरंत प्रकट नहीं होता है और यहां तक ​​कि प्रत्येक व्यक्ति में भी नहीं होता है। जीवन पथ के चरणों के बीच आनुवंशिक संबंध हैं, और यह इसके प्राकृतिक चरित्र को निर्धारित करता है। यह इस प्रकार है कि, सिद्धांत रूप में, इसके प्रारंभिक चरणों के ज्ञान के आधार पर भविष्य के विकास की भविष्यवाणी करना संभव है।

खगोल विज्ञान में फाइबोनैचि संख्या

खगोल विज्ञान के इतिहास से ज्ञात होता है कि 18वीं शताब्दी के जर्मन खगोलशास्त्री आई. टिटियस ने फाइबोनैचि श्रृंखला का प्रयोग करते हुए सौरमंडल के ग्रहों के बीच की दूरियों में नियमितता और व्यवस्था पाई। लेकिन एक मामला कानून के खिलाफ लग रहा था: मंगल और बृहस्पति के बीच कोई ग्रह नहीं था। लेकिन XIX सदी की शुरुआत में टिटियस की मृत्यु के बाद। आकाश के इस हिस्से के केंद्रित अवलोकन से क्षुद्रग्रह बेल्ट की खोज हुई।

निष्कर्ष

शोध की प्रक्रिया में, मुझे पता चला कि स्टॉक की कीमतों के तकनीकी विश्लेषण में फाइबोनैचि संख्याओं का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। व्यवहार में फाइबोनैचि संख्याओं का उपयोग करने के सबसे सरल तरीकों में से एक समय की लंबाई निर्धारित करना है जिसके बाद एक घटना घटित होगी, उदाहरण के लिए, एक मूल्य परिवर्तन। विश्लेषक पिछले समान घटना से एक निश्चित संख्या में फाइबोनैचि दिनों या सप्ताह (13,21,34,55, आदि) की गणना करता है और पूर्वानुमान लगाता है। लेकिन मेरे लिए यह पता लगाना बहुत मुश्किल है। हालांकि फिबोनाची मध्य युग का सबसे बड़ा गणितज्ञ था, फिबोनाची के लिए एकमात्र स्मारक पीसा के लीनिंग टॉवर के सामने की मूर्ति और दो सड़कों पर उसका नाम है, एक पीसा में और दूसरी फ्लोरेंस में। और फिर भी, मैंने जो कुछ भी देखा और पढ़ा है, उसके संबंध में काफी स्वाभाविक प्रश्न उठते हैं। ये नंबर कहां से आए? ब्रह्मांड का यह वास्तुकार कौन है जिसने इसे परिपूर्ण बनाने की कोशिश की? आगे क्या होगा? एक प्रश्न का उत्तर ढूंढ़ने पर आपको अगला प्रश्न मिलता है। यदि आप इसे हल करते हैं, तो आपको दो नए मिलते हैं। उनके साथ सौदा, तीन और दिखाई देंगे। उन्हें हल करने के बाद, आप पांच अनसुलझे प्राप्त करेंगे। फिर आठ, तेरह, और इसी तरह। यह मत भूलो कि दो हाथों पर पाँच अंगुलियाँ होती हैं, जिनमें से दो में दो फलांग होते हैं, और आठ में से तीन होते हैं।

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"फाइबोनैचि संख्या"। विकिपीडिया