सबसे सरल त्रिकोणमितीय समीकरण आमतौर पर सूत्रों द्वारा हल किए जाते हैं। मैं आपको याद दिला दूं कि निम्नलिखित त्रिकोणमितीय समीकरण सरलतम कहलाते हैं:

sinx = a

कॉसक्स = ए

टीजीएक्स = ए

सीटीजीएक्स = ए

x पाया जाने वाला कोण है,
ए कोई संख्या है।

और यहां वे सूत्र हैं जिनके साथ आप इन सरलतम समीकरणों के हल तुरंत लिख सकते हैं।

साइनस के लिए:

कोसाइन के लिए:

x = ± आर्ककोस a + 2π n, n Z

स्पर्शरेखा के लिए:

एक्स = आर्कटीजी ए + π एन, एन ∈ जेड

कोटैंजेंट के लिए:

एक्स = आर्कसीटीजी ए + π एन, एन ∈ जेड

दरअसल, यह सबसे सरल त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने का सैद्धांतिक हिस्सा है। और, पूरी!) कुछ भी नहीं। हालाँकि, इस विषय पर त्रुटियों की संख्या बस लुढ़क जाती है। विशेष रूप से, टेम्पलेट से उदाहरण के थोड़े से विचलन के साथ। क्यों?

हाँ, क्योंकि बहुत से लोग इन पत्रों को लिखते हैं, बिना उनका मतलब समझे!आशंका के साथ वह लिखता है, चाहे कुछ भी हो जाए ...) इसे हल करने की जरूरत है। लोगों के लिए त्रिकोणमिति, या त्रिकोणमिति के लिए लोग, आखिर!?)

आइए इसका पता लगाएं?

एक कोण के बराबर होगा आर्ककोस ए, दूसरा: -आर्कोस ए.

और इसी तरह यह हमेशा काम करेगा।किसी के लिए ए।

यदि आप मुझ पर विश्वास नहीं करते हैं, तो चित्र पर अपना माउस घुमाएँ, या टेबलेट पर चित्र को स्पर्श करें।) मैंने नंबर बदल दिया है ए कुछ नकारात्मक को। वैसे भी, हमारे पास एक कोना है आर्ककोस ए, दूसरा: -आर्कोस ए.

इसलिए, उत्तर हमेशा जड़ों की दो श्रृंखलाओं के रूप में लिखा जा सकता है:

x 1 = आर्ककोस a + 2π n, n Z

x 2 = - आर्ककोस a + 2π n, n Z

हम इन दो श्रृंखलाओं को एक में जोड़ते हैं:

x= ± आर्ककोस a + 2π n, n Z

और सभी चीजें। हमने कोज्या के साथ सरलतम त्रिकोणमितीय समीकरण को हल करने के लिए एक सामान्य सूत्र प्राप्त किया है।

यदि आप समझते हैं कि यह किसी प्रकार का अति-वैज्ञानिक ज्ञान नहीं है, बल्कि उत्तरों की दो श्रृंखलाओं का एक संक्षिप्त रिकॉर्ड,आप और कार्य "सी" कंधे पर होंगे। असमानताओं के साथ, किसी दिए गए अंतराल से जड़ों के चयन के साथ ... वहां, प्लस / माइनस वाला उत्तर रोल नहीं करता है। और यदि आप उत्तर को व्यवसाय की तरह मानते हैं, और इसे दो अलग-अलग उत्तरों में तोड़ते हैं, तो सब कुछ तय हो जाता है।) दरअसल, इसके लिए हम समझते हैं। क्या, कैसे और कहाँ।

सरलतम त्रिकोणमितीय समीकरण में

sinx = a

जड़ों की दो श्रृंखलाएँ भी प्राप्त करें। हमेशा। और इन दोनों सीरीज को रिकॉर्ड भी किया जा सकता है एक लकीर। केवल यह लाइन होशियार होगी:

x = (-1) n चाप a + n, n Z . पर

लेकिन सार वही रहता है। गणितज्ञों ने जड़ों की श्रृंखला के दो रिकॉर्ड के बजाय एक बनाने के लिए बस एक सूत्र का निर्माण किया। और बस!

आइए गणितज्ञों की जाँच करें? और वह पर्याप्त नहीं है ...)

पिछले पाठ में, साइन के साथ त्रिकोणमितीय समीकरण के समाधान (बिना किसी सूत्र के) का विस्तार से विश्लेषण किया गया था:

उत्तर जड़ों की दो श्रृंखलाएँ निकलीं:

एक्स 1 = π/6 + 2π एन, एन ∈ जेड

एक्स 2 = 5π/6 + 2π एन, एन ∈ जेड

यदि हम सूत्र का उपयोग करके समान समीकरण को हल करते हैं, तो हमें उत्तर मिलता है:

x = (-1) n चाप 0.5 + n, n Z

दरअसल, यह आधा-अधूरा उत्तर है।) विद्यार्थी को यह अवश्य पता होना चाहिए कि आर्क्सिन 0.5 = /6।पूरा जवाब होगा:

एक्स = (-1) एन /6+ n, n Z

यहां एक दिलचस्प सवाल उठता है। के माध्यम से उत्तर दें एक्स 1; एक्स 2 (यह सही उत्तर है!) और अकेलेपन के माध्यम से एक्स (और यह सही उत्तर है!) - वही बात, या नहीं? आइए अब जानें।)

प्रत्युत्तर में प्रतिस्थापित करें एक्स 1 मूल्यों एन = 0; एक; 2; आदि, हम मानते हैं, हमें जड़ों की एक श्रृंखला मिलती है:

एक्स 1 \u003d / 6; 13π/6; 25π/6 आदि।

के जवाब में उसी प्रतिस्थापन के साथ एक्स 2 , हम पाते हैं:

एक्स 2 \u003d 5π / 6; 17π/6; 29π/6 आदि।

और अब हम मूल्यों को प्रतिस्थापित करते हैं एन (0; 1; 2; 3; 4...) एकाकी के लिए सामान्य सूत्र में एक्स . यही है, हम शून्य से एक को शून्य शक्ति तक बढ़ाते हैं, फिर पहले, दूसरे, और इसी तरह। और, निश्चित रूप से, हम 0 को दूसरे पद में प्रतिस्थापित करते हैं; एक; 2 3; 4 आदि और हम सोचते हैं। हमें एक श्रृंखला मिलती है:

एक्स = /6; 5π/6; 13π/6; 17π/6; 25π/6 आदि।

आप बस इतना ही देख सकते हैं।) सामान्य सूत्र हमें देता है बिल्कुल वही परिणामजो दो उत्तर अलग-अलग हैं। सभी एक साथ, क्रम में। गणितज्ञों ने धोखा नहीं दिया।)

त्रिकोणमितीय समीकरणों को स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के साथ हल करने के सूत्रों की भी जाँच की जा सकती है। लेकिन चलो नहीं।) वे बहुत स्पष्ट हैं।

मैंने यह सब प्रतिस्थापन और सत्यापन उद्देश्य पर चित्रित किया। यहां एक साधारण सी बात को समझना जरूरी है: प्राथमिक त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के लिए सूत्र हैं, केवल उत्तरों का सारांश।इस संक्षिप्तता के लिए, मुझे कोसाइन घोल में प्लस / माइनस डालना था और (-1) n को साइन सॉल्यूशन में डालना था।

ये इंसर्ट उन कार्यों में किसी भी तरह से हस्तक्षेप नहीं करते हैं जहाँ आपको केवल एक प्राथमिक समीकरण का उत्तर लिखने की आवश्यकता होती है। लेकिन अगर आपको असमानता को हल करने की आवश्यकता है, या फिर आपको उत्तर के साथ कुछ करने की ज़रूरत है: अंतराल पर जड़ों का चयन करें, ओडीजेड की जांच करें, आदि, ये सम्मिलन किसी व्यक्ति को आसानी से परेशान कर सकते हैं।

और क्या कर? हां, या तो उत्तर को दो श्रृंखलाओं में रंग दें, या त्रिकोणमितीय वृत्त में समीकरण/असमानता को हल करें। तब ये इंसर्ट गायब हो जाते हैं और जीवन आसान हो जाता है।)

आप संक्षेप कर सकते हैं।

सबसे सरल त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के लिए, तैयार उत्तर सूत्र हैं। चार टुकड़े। वे एक समीकरण के हल को तुरंत लिखने के लिए अच्छे हैं। उदाहरण के लिए, आपको समीकरणों को हल करने की आवश्यकता है:

sinx = 0.3

सरलता: x = (-1) n चाप 0.3 + n, n Z

cosx = 0.2

कोई बात नहीं: x = ± आर्ककोस 0.2 + 2π n, n Z

टीजीएक्स = 1.2

सरलता: x = आर्कटिक 1,2 + πn, n ∈ Z

सीटीजीएक्स = 3.7

एक बाकी: एक्स= आर्कसीटीजी3,7 + एन, एन ∈ जेड

कॉस एक्स = 1.8

यदि आप ज्ञान से जगमगाते हैं, तो तुरंत उत्तर लिखें:

x= ± आर्ककोस 1.8 + 2π n, n Z

तो आप पहले से ही चमक रहे हैं, यह ... वह ... एक पोखर से।) सही उत्तर है: कोई समाधान नहीं हैं। समझ में नहीं आता क्यों? पढ़ें कि आर्ककोसाइन क्या है। इसके अलावा, यदि मूल समीकरण के दाईं ओर साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा, कोटेंजेंट के सारणीबद्ध मान हैं, - 1; 0; √3; 1/2; √3/2 आदि। - मेहराब के माध्यम से उत्तर अधूरा होगा। मेहराब को रेडियन में परिवर्तित किया जाना चाहिए।

और यदि आप पहले से ही असमानता का सामना करते हैं, जैसे

तो उत्तर है:

एक्स एन, एन ∈ जेड

एक दुर्लभ बकवास है, हाँ ...) यहाँ एक त्रिकोणमितीय वृत्त पर निर्णय लेना आवश्यक है। हम इसी विषय में क्या करेंगे।

उन लोगों के लिए जो वीरतापूर्वक इन पंक्तियों को पढ़ते हैं। मैं आपकी मदद नहीं कर सकता, लेकिन आपके टाइटैनिक प्रयासों की सराहना करता हूं। आप एक बोनस।)

बक्शीश:

एक चिंतित युद्ध की स्थिति में सूत्र लिखते समय, यहां तक ​​​​कि कठोर नर्ड भी अक्सर भ्रमित हो जाते हैं जहां पीएन, और कहाँ 2πn. पेश है आपके लिए एक आसान सी ट्रिक। में सबसूत्रों पी.एन. चाप कोसाइन वाले एकमात्र सूत्र को छोड़कर। यह वहीं खड़ा है 2πn. दोपीन कीवर्ड - दो।एक ही सूत्र में हैं दोशुरुआत में हस्ताक्षर करें। प्लस और माइनस। इधर - उधर - दो।

तो अगर आपने लिखा दोचाप कोसाइन के सामने साइन इन करें, यह याद रखना आसान है कि अंत में क्या होगा दोपीन और इसके विपरीत होता है। आदमी का चिन्ह छोड़ें ± , अंत तक पहुंचें, सही ढंग से लिखें दोपीन, हाँ, और इसे पकड़ो। कुछ आगे दोसंकेत! व्यक्ति शुरुआत में लौट आएगा, लेकिन वह गलती को सुधारेगा! ऐशे ही।)

अगर आपको यह साइट पसंद है...

वैसे, मेरे पास आपके लिए कुछ और दिलचस्प साइटें हैं।)

आप उदाहरणों को हल करने का अभ्यास कर सकते हैं और अपने स्तर का पता लगा सकते हैं। तत्काल सत्यापन के साथ परीक्षण। सीखना - रुचि के साथ!)

आप कार्यों और डेरिवेटिव से परिचित हो सकते हैं।

विषय पर पाठ और प्रस्तुति: "सरलतम त्रिकोणमितीय समीकरणों का समाधान"

अतिरिक्त सामग्री
प्रिय उपयोगकर्ताओं, अपनी टिप्पणियाँ, प्रतिक्रिया, सुझाव देना न भूलें! सभी सामग्रियों की जाँच एक एंटीवायरस प्रोग्राम द्वारा की जाती है।

1C . से ग्रेड 10 के लिए ऑनलाइन स्टोर "इंटीग्रल" में मैनुअल और सिमुलेटर
हम ज्यामिति में समस्याओं को हल करते हैं। अंतरिक्ष में निर्माण के लिए इंटरएक्टिव कार्य
सॉफ्टवेयर वातावरण "1C: गणितीय निर्माता 6.1"

हम क्या अध्ययन करेंगे:
1. त्रिकोणमितीय समीकरण क्या हैं?

3. त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने की दो मुख्य विधियाँ।
4. सजातीय त्रिकोणमितीय समीकरण।
5. उदाहरण।

त्रिकोणमितीय समीकरण क्या होते हैं?

दोस्तों, हम पहले ही आर्क्साइन, आर्ककोसाइन, आर्कटेंजेंट और आर्ककोटैंजेंट का अध्ययन कर चुके हैं। आइए अब सामान्य रूप से त्रिकोणमितीय समीकरणों को देखें।

त्रिकोणमितीय समीकरण - वे समीकरण जिनमें त्रिकोणमितीय फलन के चिह्न के अंतर्गत चर समाहित होता है।

हम सबसे सरल त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के रूप को दोहराते हैं:

1) यदि |a|≤ 1, तो समीकरण cos(x) = a का एक हल है:

एक्स = ± आर्ककोस (ए) + 2πk

2) यदि |a|≤ 1, तो समीकरण sin(x) = a का एक हल है:

3) अगर |ए| > 1, तो समीकरण sin(x) = a और cos(x) = a का कोई हल नहीं है 4) समीकरण tg(x)=a का एक हल है: x=arctg(a)+ k

5) समीकरण ctg(x)=a का एक हल है: x=arcctg(a)+ πk

सभी सूत्रों के लिए, k एक पूर्णांक है

सबसे सरल त्रिकोणमितीय समीकरणों का रूप है: Т(kx+m)=a, T- कोई भी त्रिकोणमितीय फलन।

उदाहरण।

समीकरण हल करें: a) sin(3x)= √3/2

फेसला:

ए) आइए 3x=t निरूपित करें, फिर हम अपने समीकरण को इस रूप में फिर से लिखेंगे:

इस समीकरण का हल होगा: t=((-1)^n)arcsin(√3/2)+ πn।

मूल्यों की तालिका से हमें मिलता है: t=((-1)^n)×π/3+ πn।

आइए अपने चर पर वापस जाएं: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

फिर x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

उत्तर: x= ((-1)^n)×π/9+ n/3, जहां n एक पूर्णांक है। (-1)^n - n के घात से एक घटा।

त्रिकोणमितीय समीकरणों के अधिक उदाहरण।

समीकरणों को हल करें: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= 3

फेसला:

ए) इस बार हम सीधे समीकरण की जड़ों की गणना पर जाएंगे:

एक्स/5= ± आर्ककोस(1) + 2πk। तब x/5= k => x=5πk

उत्तर: x=5πk, जहाँ k एक पूर्णांक है।

बी) हम फॉर्म में लिखते हैं: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk। हम जानते हैं कि: arctg(√3)= /3

3x- π/3= /3+ k => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

उत्तर: x=2π/9 + πk/3, जहां k एक पूर्णांक है।

समीकरण हल करें: cos(4x)= 2/2. और खंड पर सभी जड़ों का पता लगाएं।

फेसला:

आइए हमारे समीकरण को सामान्य रूप में हल करें: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± /4 + 2πk;

एक्स = ± /16+ k/2;

अब देखते हैं कि हमारे सेगमेंट में क्या जड़ें जमाती हैं। k के लिए k=0, x= π/16 के लिए, हम दिए गए खंड में हैं।
k=1, x= π/16+ π/2=9π/16 के साथ, उन्होंने फिर से मारा।
k=2, x= π/16+ π=17π/16 के लिए, लेकिन यहां हमने हिट नहीं किया, जिसका अर्थ है कि हम बड़े k के लिए भी हिट नहीं करेंगे।

उत्तर: x= /16, x= 9π/16

दो मुख्य समाधान विधियां।

हमने सबसे सरल त्रिकोणमितीय समीकरणों पर विचार किया है, लेकिन अधिक जटिल हैं। उन्हें हल करने के लिए, एक नए चर को पेश करने की विधि और गुणन विधि का उपयोग किया जाता है। आइए उदाहरण देखें।

आइए समीकरण को हल करें:

फेसला:
अपने समीकरण को हल करने के लिए, हम एक नए चर को प्रस्तुत करने की विधि का उपयोग करते हैं, जिसे निरूपित किया जाता है: t=tg(x)।

प्रतिस्थापन के परिणामस्वरूप, हम प्राप्त करते हैं: t 2 + 2t -1 = 0

द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए: t=-1 और t=1/3

फिर tg(x)=-1 और tg(x)=1/3, हमें सबसे सरल त्रिकोणमितीय समीकरण मिला, आइए इसके मूल ज्ञात करें।

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + k.

उत्तर: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + k.

समीकरण हल करने का एक उदाहरण

समीकरण हल करें: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

फेसला:

आइए पहचान का उपयोग करें: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

हमारा समीकरण बन जाता है: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

आइए प्रतिस्थापन का परिचय दें t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

हमारे द्विघात समीकरण का हल मूल हैं: t=2 तथा t=-1/2

फिर cos(x)=2 और cos(x)=-1/2.

क्योंकि कोसाइन एक से अधिक मान नहीं ले सकता, तो cos(x)=2 का कोई मूल नहीं है।

cos(x)=-1/2 के लिए: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; एक्स = ±2π/3 + 2πk

उत्तर: x= ±2π/3 + 2πk

सजातीय त्रिकोणमितीय समीकरण।

परिभाषा: a sin(x)+b cos(x) के रूप का एक समीकरण पहली डिग्री के समरूप त्रिकोणमितीय समीकरण कहलाता है।

फॉर्म के समीकरण

दूसरी डिग्री के सजातीय त्रिकोणमितीय समीकरण।

पहली डिग्री के समरूप त्रिकोणमितीय समीकरण को हल करने के लिए, हम इसे cos(x) से विभाजित करते हैं: शून्य के बराबर होने पर कोसाइन से विभाजित करना असंभव है, आइए सुनिश्चित करें कि ऐसा नहीं है:
चलो cos(x)=0, फिर asin(x)+0=0 => sin(x)=0, लेकिन साइन और कोसाइन एक ही समय में शून्य के बराबर नहीं हैं, हमें एक विरोधाभास मिला है, इसलिए हम सुरक्षित रूप से विभाजित कर सकते हैं शून्य से।

प्रश्न हल करें:
उदाहरण: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

फेसला:

सामान्य गुणनखंड निकालें: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

फिर हमें दो समीकरणों को हल करने की आवश्यकता है:

cos(x)=0 और cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 के लिए x= π/2 + πk;

समीकरण पर विचार करें cos(x)+sin(x)=0 हमारे समीकरण को cos(x) से विभाजित करें:

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

उत्तर: x= π/2 + πk और x= -π/4+πk

दूसरी डिग्री के समरूप त्रिकोणमितीय समीकरणों को कैसे हल करें?
दोस्तों इन नियमों का हमेशा पालन करें!

1. देखें कि गुणांक a किसके बराबर है, यदि a \u003d 0 तो हमारा समीकरण रूप लेगा cos (x) (bsin (x) + ccos (x)), जिसके समाधान का एक उदाहरण पिछले पर है फिसल पट्टी

2. यदि a≠0, तो आपको समीकरण के दोनों भागों को वर्ग कोज्या से विभाजित करने की आवश्यकता है, हम प्राप्त करते हैं:

हम चर t=tg(x) का परिवर्तन करते हैं, हमें समीकरण मिलता है:

उदाहरण हल करें #:3

प्रश्न हल करें:
फेसला:

समीकरण के दोनों पक्षों को कोज्या वर्ग से विभाजित करें:

हम चर t=tg(x) में परिवर्तन करते हैं: t 2 + 2 t - 3 = 0

द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए: t=-3 तथा t=1

तब: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + k=-arctg(3) + πk

टीजी(एक्स)=1 => एक्स= π/4+ k

उत्तर: x=-arctg(3) + k और x= π/4+ k

उदाहरण हल करें #:4

प्रश्न हल करें:

फेसला:
आइए अपनी अभिव्यक्ति को रूपांतरित करें:

हम ऐसे समीकरणों को हल कर सकते हैं: x= - /4 + 2πk और x=5π/4 + 2πk

उत्तर: x= - /4 + 2πk और x=5π/4 + 2πk

उदाहरण हल करें #:5

प्रश्न हल करें:

फेसला:
आइए अपनी अभिव्यक्ति को रूपांतरित करें:

हम प्रतिस्थापन का परिचय देते हैं tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

हमारे द्विघात समीकरण का हल मूल होगा: t=-2 और t=1/2

तब हम प्राप्त करते हैं: tg(2x)=-2 और tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ k => x=-arctg(2)/2 + k/2

2x= आर्कटग(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

उत्तर: x=-arctg(2)/2 + πk/2 और x=arctg(1/2)/2+ k/2

स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य।

1) समीकरण हल करें

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 e) ctg(0.5x) = -1.7

2) समीकरण हल करें: sin(3x)= 3/2. और खंड [π/2; ].

3) समीकरण हल करें: सीटीजी 2 (एक्स) + 2 सीटीजी (एक्स) + 1 = 0

4) समीकरण को हल करें: 3 sin 2 (x) + 3sin (x) cos(x) = 0

5) समीकरण को हल करें: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) समीकरण को हल करें: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

आपकी निजता हमारे लिए महत्वपूर्ण है। इस कारण से, हमने एक गोपनीयता नीति विकसित की है जो बताती है कि हम आपकी जानकारी का उपयोग और भंडारण कैसे करते हैं। कृपया हमारी गोपनीयता नीति पढ़ें और यदि आपके कोई प्रश्न हैं तो हमें बताएं।

व्यक्तिगत जानकारी का संग्रह और उपयोग

व्यक्तिगत जानकारी उस डेटा को संदर्भित करती है जिसका उपयोग किसी विशिष्ट व्यक्ति की पहचान करने या उससे संपर्क करने के लिए किया जा सकता है।

जब आप हमसे संपर्क करते हैं तो आपसे किसी भी समय अपनी व्यक्तिगत जानकारी प्रदान करने के लिए कहा जा सकता है।

निम्नलिखित कुछ उदाहरण हैं कि हम किस प्रकार की व्यक्तिगत जानकारी एकत्र कर सकते हैं और हम ऐसी जानकारी का उपयोग कैसे कर सकते हैं।

हम कौन सी व्यक्तिगत जानकारी एकत्र करते हैं:

• जब आप साइट पर आवेदन जमा करते हैं, तो हम आपका नाम, फोन नंबर, ईमेल पता आदि सहित विभिन्न जानकारी एकत्र कर सकते हैं।

हम आपकी व्यक्तिगत जानकारी का उपयोग कैसे करते हैं:

• हमारे द्वारा एकत्र की जाने वाली व्यक्तिगत जानकारी हमें आपसे संपर्क करने और आपको अद्वितीय ऑफ़र, प्रचार और अन्य घटनाओं और आने वाली घटनाओं के बारे में सूचित करने की अनुमति देती है।
• समय-समय पर, हम आपको महत्वपूर्ण नोटिस और संदेश भेजने के लिए आपकी व्यक्तिगत जानकारी का उपयोग कर सकते हैं।
• हम व्यक्तिगत जानकारी का उपयोग आंतरिक उद्देश्यों के लिए भी कर सकते हैं, जैसे कि ऑडिट करना, डेटा विश्लेषण और विभिन्न शोध करना ताकि हम प्रदान की जाने वाली सेवाओं में सुधार कर सकें और आपको हमारी सेवाओं के बारे में सिफारिशें प्रदान कर सकें।
• यदि आप एक पुरस्कार ड्रा, प्रतियोगिता या इसी तरह के प्रोत्साहन में प्रवेश करते हैं, तो हम आपके द्वारा प्रदान की जाने वाली जानकारी का उपयोग ऐसे कार्यक्रमों को संचालित करने के लिए कर सकते हैं।

तीसरे पक्ष के लिए प्रकटीकरण

हम आपसे प्राप्त जानकारी को तीसरे पक्ष को नहीं बताते हैं।

अपवाद:

• इस घटना में कि यह आवश्यक है - कानून के अनुसार, न्यायिक आदेश, कानूनी कार्यवाही में, और / या रूसी संघ के क्षेत्र में राज्य निकायों के सार्वजनिक अनुरोधों या अनुरोधों के आधार पर - आपकी व्यक्तिगत जानकारी का खुलासा करें। हम आपके बारे में जानकारी का खुलासा भी कर सकते हैं यदि हम यह निर्धारित करते हैं कि सुरक्षा, कानून प्रवर्तन, या अन्य सार्वजनिक हित के कारणों के लिए ऐसा प्रकटीकरण आवश्यक या उपयुक्त है।
• पुनर्गठन, विलय या बिक्री की स्थिति में, हम अपने द्वारा एकत्रित की गई व्यक्तिगत जानकारी को संबंधित तृतीय पक्ष उत्तराधिकारी को स्थानांतरित कर सकते हैं।

व्यक्तिगत जानकारी की सुरक्षा

हम आपकी व्यक्तिगत जानकारी को हानि, चोरी और दुरुपयोग से बचाने के साथ-साथ अनधिकृत पहुंच, प्रकटीकरण, परिवर्तन और विनाश से बचाने के लिए - प्रशासनिक, तकनीकी और भौतिक सहित - सावधानी बरतते हैं।

कंपनी स्तर पर आपकी गोपनीयता बनाए रखना

यह सुनिश्चित करने के लिए कि आपकी व्यक्तिगत जानकारी सुरक्षित है, हम अपने कर्मचारियों को गोपनीयता और सुरक्षा प्रथाओं के बारे में बताते हैं और गोपनीयता प्रथाओं को सख्ती से लागू करते हैं।

बहुतों को हल करते समय गणित की समस्याओं, विशेष रूप से वे जो कक्षा 10 से पहले होते हैं, किए गए कार्यों का क्रम जो लक्ष्य तक ले जाएगा स्पष्ट रूप से परिभाषित किया गया है। इस तरह की समस्याओं में शामिल हैं, उदाहरण के लिए, रैखिक और द्विघात समीकरण, रैखिक और द्विघात असमानताएं, भिन्नात्मक समीकरण और समीकरण जो द्विघात समीकरणों को कम करते हैं। उल्लिखित कार्यों में से प्रत्येक के सफल समाधान का सिद्धांत इस प्रकार है: यह स्थापित करना आवश्यक है कि किस प्रकार का कार्य हल किया जा रहा है, क्रियाओं के आवश्यक अनुक्रम को याद रखें जो वांछित परिणाम की ओर ले जाएगा, अर्थात। उत्तर दें और इन चरणों का पालन करें।

जाहिर है, किसी विशेष समस्या को हल करने में सफलता या विफलता मुख्य रूप से इस बात पर निर्भर करती है कि हल किए जा रहे समीकरण का प्रकार कितना सही है, इसके समाधान के सभी चरणों का क्रम कितना सही है। बेशक, इस मामले में, समान परिवर्तन और गणना करने के लिए कौशल होना आवश्यक है।

एक अलग स्थिति होती है त्रिकोणमितीय समीकरण।इस तथ्य को स्थापित करना कठिन नहीं है कि समीकरण त्रिकोणमितीय है। क्रियाओं का क्रम निर्धारित करते समय कठिनाइयाँ उत्पन्न होती हैं जो सही उत्तर की ओर ले जाती हैं।

कभी-कभी समीकरण की उपस्थिति से इसके प्रकार का निर्धारण करना कठिन होता है। और समीकरण के प्रकार को जाने बिना, कई दर्जन त्रिकोणमितीय सूत्रों में से सही को चुनना लगभग असंभव है।

त्रिकोणमितीय समीकरण को हल करने के लिए, हमें प्रयास करना चाहिए:

1. समीकरण में शामिल सभी कार्यों को "समान कोण" पर लाएं;
2. समीकरण को "समान कार्यों" में लाएं;
3. समीकरण के बाईं ओर का गुणनखंड करें, आदि।

विचार करना त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के लिए बुनियादी तरीके।

I. सरलतम त्रिकोणमितीय समीकरणों में कमी

समाधान योजना

स्टेप 1।त्रिकोणमितीय फलन को ज्ञात घटकों के रूप में व्यक्त कीजिए।

चरण 2सूत्रों का उपयोग करके फ़ंक्शन तर्क खोजें:

कॉस एक्स = ए; x = ±arccos a + 2πn, n Z।

पाप एक्स = ए; x \u003d (-1) n चापएक + n, n Z में।

तन एक्स = ए; एक्स \u003d आर्कटग ए + πn, एन Є जेड।

सीटीजी एक्स = ए; एक्स \u003d आर्कसीटीजी ए + πn, एन Є जेड।

चरण 3एक अज्ञात चर खोजें।

उदाहरण।

2 cos(3x - /4) = -√2।

फेसला।

1) cos(3x - /4) = -√2/2.

2) 3x - /4 = ± (π - π/4) + 2πn, n Z;

3x - π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Z;

एक्स = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, एन Є जेड।

उत्तर: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Z.

द्वितीय. परिवर्तनीय प्रतिस्थापन

समाधान योजना

स्टेप 1।त्रिकोणमितीय फलनों में से किसी एक के संबंध में समीकरण को बीजीय रूप में लाएं।

चरण 2परिणामी फलन को चर t द्वारा निरूपित करें (यदि आवश्यक हो, t पर प्रतिबंध लागू करें)।

चरण 3परिणामी बीजीय समीकरण लिखिए और हल कीजिए।

चरण 4एक रिवर्स प्रतिस्थापन करें।

चरण 5सबसे सरल त्रिकोणमितीय समीकरण को हल करें।

उदाहरण।

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.

फेसला।

1) 2(1 - पाप 2 (x/2)) - 5sin (x/2) - 5 = 0;

2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.

2) माना sin (x/2) = t, जहाँ |t| 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

टी = 1 या ई = -3/2 शर्त को पूरा नहीं करता |t| 1.

4) पाप (x/2) = 1.

5) x/2 = /2 + 2πn, n Z;

एक्स = + 4πn, एन Є जेड।

उत्तर: x = + 4πn, n Z।

III. समीकरण क्रम कमी विधि

समाधान योजना

स्टेप 1।बिजली कटौती सूत्रों का उपयोग करके इस समीकरण को एक रैखिक के साथ बदलें:

पाप 2 x \u003d 1/2 (1 - क्योंकि 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

tan 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x)।

चरण 2 I और II विधियों का उपयोग करके परिणामी समीकरण को हल करें।

उदाहरण।

cos2x + cos2x = 5/4।

फेसला।

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4।

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Z;

x = ±π/6 + n, n Z.

उत्तर: x = ±π/6 + n, n Z.

चतुर्थ। सजातीय समीकरण

समाधान योजना

स्टेप 1।इस समीकरण को रूप में लाओ

a) a sin x + b cos x = 0 (पहली डिग्री का समांगी समीकरण)

या देखने के लिए

b) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (दूसरी डिग्री का सजातीय समीकरण)।

चरण 2समीकरण के दोनों पक्षों को द्वारा विभाजित करें

ए) कॉस एक्स ≠ 0;

बी) cos 2 x 0;

और tg x के लिए समीकरण प्राप्त करें:

ए) ए टीजी एक्स + बी = 0;

बी) ए टीजी 2 एक्स + बी आर्कटीजी एक्स + सी = 0।

चरण 3ज्ञात विधियों का उपयोग करके समीकरण को हल करें।

उदाहरण।

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.

फेसला।

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x - 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4sin² x - 4cos 2 x = 0;

पाप 2 x + 3पाप x cos x -4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x 0.

2) टीजी 2 एक्स + 3 टीजी एक्स - 4 = 0।

3) माना tg x = t, तब

टी 2 + 3टी - 4 = 0;

टी = 1 या टी = -4, तो

टीजी एक्स = 1 या टीजी एक्स = -4।

पहले समीकरण से x = /4 + πn, n Z; दूसरे समीकरण से x = -arctg 4 + k, k Z.

उत्तर: x = /4 + n, n Z; x \u003d -arctg 4 + k, k Z.

V. त्रिकोणमितीय सूत्रों का उपयोग करके समीकरण को बदलने की विधि

समाधान योजना

स्टेप 1।सभी प्रकार के त्रिकोणमितीय सूत्रों का उपयोग करते हुए, इस समीकरण को एक ऐसे समीकरण में लाएं जिसे I, II, III, IV विधियों द्वारा हल किया जा सकता है।

चरण 2ज्ञात विधियों का उपयोग करके परिणामी समीकरण को हल करें।

उदाहरण।

sinx + sin2x + sin3x = 0.

फेसला।

1) (पाप x + पाप 3x) + पाप 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) पाप 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 या 2cos x + 1 = 0;

पहले समीकरण से 2x = π/2 + πn, n Z; दूसरे समीकरण से x = -1/2।

हमारे पास x = π/4 + πn/2, n Z; दूसरे समीकरण से x = ±(π - π/3) + 2πk, k Z।

नतीजतन, x \u003d / 4 + n / 2, n Z; एक्स = ±2π/3 + 2πk, के जेड।

उत्तर: x \u003d / 4 + n / 2, n Z; एक्स = ±2π/3 + 2πk, के जेड।

त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने की क्षमता और कौशल बहुत हैं महत्वपूर्ण, उनके विकास के लिए छात्र और शिक्षक दोनों की ओर से काफी प्रयास की आवश्यकता होती है।

त्रिकोणमितीय समीकरणों के समाधान के साथ स्टीरियोमेट्री, भौतिकी आदि की कई समस्याएं जुड़ी हुई हैं। इस तरह की समस्याओं को हल करने की प्रक्रिया में, जैसे कि त्रिकोणमिति के तत्वों का अध्ययन करते समय प्राप्त किए गए कई ज्ञान और कौशल शामिल हैं।

त्रिकोणमितीय समीकरण सामान्य रूप से गणित पढ़ाने और व्यक्तित्व विकास की प्रक्रिया में एक महत्वपूर्ण स्थान रखते हैं।

क्या आपका कोई प्रश्न है? त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करना नहीं जानते?
ट्यूटर से सहायता प्राप्त करना -.
पहला सबक मुफ्त है!

blog.site, सामग्री की पूर्ण या आंशिक प्रतिलिपि के साथ, स्रोत के लिए एक लिंक की आवश्यकता है।

अधिक जटिल त्रिकोणमितीय समीकरण

समीकरण

पाप एक्स = ए,
क्योंकि एक्स = ए,
टीजी एक्स = ए,
सीटीजी एक्स = ए

सबसे सरल त्रिकोणमितीय समीकरण हैं। इस खंड में, विशिष्ट उदाहरणों का उपयोग करते हुए, हम अधिक जटिल त्रिकोणमितीय समीकरणों पर विचार करेंगे। उनका समाधान, एक नियम के रूप में, सरलतम त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के लिए कम हो जाता है।

उदाहरण 1 . प्रश्न हल करें

पाप 2 एक्स= कोस एक्सपाप 2 एक्स.

इस समीकरण के सभी पदों को बाईं ओर स्थानांतरित करने और परिणामी अभिव्यक्ति को कारकों में विघटित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

पाप 2 एक्स(1 - कोस एक्स) = 0.

दो व्यंजकों का गुणनफल शून्य के बराबर होता है यदि और केवल यदि कारकों में से कम से कम एक गुणनखंड शून्य के बराबर है, और दूसरा कोई संख्यात्मक मान लेता है, बशर्ते कि यह परिभाषित हो।

यदि एक पाप 2 एक्स = 0 , फिर 2 एक्स=एन π ; एक्स = π / 2एन.

अगर 1 - कोस एक्स = 0 , फिर कोस एक्स = 1; एक्स = 2kπ .

तो, हमें जड़ों के दो समूह मिले: एक्स = π / 2एन; एक्स = 2kπ . जड़ों का दूसरा समूह स्पष्ट रूप से पहले में निहित है, क्योंकि n = 4k के लिए व्यंजक एक्स = π / 2एनहो जाता है
एक्स = 2kπ .

इसलिए, उत्तर एक सूत्र में लिखा जा सकता है: एक्स = π / 2एन, कहाँ पे एन-कोई पूर्णांक।

ध्यान दें कि इस समीकरण को sin 2 . से कम करके हल नहीं किया जा सकता है एक्स. दरअसल, कमी के बाद, हमें 1 - cos x = 0 मिलेगा, जहां से एक्स= 2k π . इस प्रकार, हम कुछ जड़ें खो देंगे, उदाहरण के लिए π / 2 , π , 3π / 2 .

उदाहरण 2.प्रश्न हल करें

एक भिन्न शून्य तभी होती है जब उसका अंश शून्य हो।
इसलिए पाप 2 एक्स = 0 , जहां से 2 एक्स=एन π ; एक्स = π / 2एन.

इन मूल्यों से एक्स उन मूल्यों को बाहरी के रूप में त्याग दिया जाना चाहिए जिनके लिए पापएक्स गायब हो जाता है (शून्य भाजक वाले अंश अर्थहीन हैं: शून्य से विभाजन परिभाषित नहीं है)। ये मान वे संख्याएँ हैं जो के गुणज हैं π . सूत्र में
एक्स = π / 2एनवे सम के लिए प्राप्त होते हैं एन. अत: इस समीकरण के मूल संख्याएँ होंगी

एक्स = π / 2 (2k + 1),

जहाँ k कोई पूर्णांक है।

उदाहरण 3 . प्रश्न हल करें

2 पाप 2 एक्स+ 7 कोस एक्स - 5 = 0.

व्यक्त करना पाप 2 एक्स के माध्यम से क्योंकिएक्स : पाप 2 एक्स = 1 - क्योंकि 2एक्स . तब इस समीकरण को फिर से लिखा जा सकता है

2 (1 - क्योंकि 2 एक्स) + 7 कोस एक्स - 5 = 0 , या

2कोस 2 एक्स- 7cos एक्स + 3 = 0.

दर्शाने क्योंकिएक्स के माध्यम से पर, हम द्विघात समीकरण पर पहुंचते हैं

2y 2 - 7y + 3 = 0,

जिनकी जड़ें संख्या 1/2 और 3 हैं। इसलिए, या तो cos एक्स= 1/2 या cos एक्स= 3. हालांकि, बाद वाला असंभव है, क्योंकि किसी भी कोण की कोज्या का निरपेक्ष मान 1 से अधिक नहीं होता है।

यह पहचाना जाना बाकी है कि क्योंकि एक्स = 1 / 2 , कहाँ पे

एक्स = ± 60° + 360° n.

उदाहरण 4 . प्रश्न हल करें

2 पाप एक्स+ 3कोस एक्स = 6.

क्योंकि पाप एक्सऔर इसलिए एक्सनिरपेक्ष मान में 1 से अधिक न हो, तो व्यंजक
2 पाप एक्स+ 3कोस एक्स से अधिक मान नहीं ले सकते 5 . इसलिए, इस समीकरण की कोई जड़ें नहीं हैं।

उदाहरण 5 . प्रश्न हल करें

पाप एक्स+ कोस एक्स = 1

इस समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

पाप 2 एक्स+ 2 पाप एक्सक्योंकि एक्स+ cos2 एक्स = 1,

लेकिन पाप 2 एक्स + क्योंकि 2 एक्स = 1 . इसलिए 2 पाप एक्सक्योंकि एक्स = 0 . यदि एक पाप एक्स = 0 , तब एक्स = एनπ ; अगर
क्योंकि एक्स , तब एक्स = π / 2 + कπ . समाधान के इन दो समूहों को एक सूत्र में लिखा जा सकता है:

एक्स = π / 2एन

चूँकि हमने इस समीकरण के दोनों भागों को चुकता कर दिया है, इसलिए इस संभावना से इंकार नहीं किया जा सकता है कि हमें प्राप्त होने वाली जड़ों में से बाहरी जड़ें हैं। इसलिए, इस उदाहरण में, पिछले सभी के विपरीत, एक चेक बनाना आवश्यक है। सभी मान

एक्स = π / 2एन 4 समूहों में विभाजित किया जा सकता है

	1) एक्स = 2kπ .	(एन = 4k)
	2) एक्स = π / 2 + 2kπ .	(एन = 4k+1)
	3) एक्स = π + 2kπ .	(एन = 4k+2)
	4) एक्स = 3π / 2 + 2kπ .	(एन = 4k+3)

पर एक्स = 2kπपाप एक्स+ कोस एक्स= 0 + 1 = 1. इसलिए, एक्स = 2kπइस समीकरण की जड़ें हैं।

पर एक्स = π / 2 + 2kπ. पाप एक्स+ कोस एक्स= 1 + 0 = 1 एक्स = π / 2 + 2kπइस समीकरण की जड़ें भी हैं।

पर एक्स = π + 2kπपाप एक्स+ कोस एक्स= 0 - 1 = - 1. इसलिए, मान एक्स = π + 2kπइस समीकरण के मूल नहीं हैं। इसी तरह, यह दिखाया गया है कि एक्स = 3π / 2 + 2kπ. जड़ें नहीं हैं।

इस प्रकार, इस समीकरण की निम्नलिखित जड़ें हैं: एक्स = 2kπऔर एक्स = π / 2 + 2मी।, कहाँ पे कऔर एम- कोई भी पूर्ण संख्या।