समीकरणों का उपयोग हमारे जीवन में व्यापक है। उनका उपयोग कई गणनाओं, संरचनाओं के निर्माण और यहां तक ​​कि खेलकूद में भी किया जाता है। मनुष्य द्वारा प्राचीन काल से ही समीकरणों का उपयोग किया जाता रहा है और तब से उनका उपयोग केवल बढ़ा है। स्पष्टता के लिए, आइए निम्नलिखित समस्या को हल करें:

गणना \[ (z_1\cdot z_2)^(10),\] अगर \

सबसे पहले, आइए इस तथ्य पर ध्यान दें कि एक संख्या को बीजीय रूप में दर्शाया जाता है, दूसरा - त्रिकोणमितीय रूप में। इसे सरल बनाने और निम्नलिखित रूप में लाने की आवश्यकता है:

\[ z_2 = \frac(1)(4) (\cos\frac(\pi)(6)+i\sin\frac(\pi)(6)).\]

व्यंजक \ कहता है कि, सबसे पहले, हम Moivre सूत्र के अनुसार गुणा और 10वीं घात तक बढ़ाते हैं। यह सूत्र एक सम्मिश्र संख्या के त्रिकोणमितीय रूप के लिए तैयार किया गया था। हम पाते हैं:

\[\begin(vmatrix) z_1 \end(vmatrix)=\sqrt ((-1)^2+(\sqrt 3)^2)=\sqrt 4=2\]

\[\varphi_1=\pi+\arctan\frac(\sqrt 3)(-1)=\pi\arctan\sqrt 3=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2\pi)( 3)\]

त्रिकोणमितीय रूप में सम्मिश्र संख्याओं को गुणा करने के नियमों का पालन करते हुए, हम निम्नलिखित कार्य करेंगे:

हमारे मामले में:

\[(z_1+z_2)^(10)=(\frac(1)(2))^(10)\cdot(\cos (10\cdot\frac(5\pi)(6))+i\sin \cdot\frac(5\pi)(6)))=\frac(1)(2^(10))\cdot\cos \frac(25\pi)(3)+i\sin\frac(25\ पाई)(3)।\]

भिन्न \[\frac(25)(3)=8\frac(1)(3)\] को सही बनाते हुए, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि 4 मोड़ \[(8\pi rad.) को "ट्विस्ट" करना संभव है:\ ]

\[ (z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi)(3 ))\]

उत्तर: \[(z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi) (3))\]

इस समीकरण को दूसरे तरीके से हल किया जा सकता है, जो दूसरी संख्या को बीजीय रूप में लाने के लिए उबलता है, फिर बीजगणितीय रूप में गुणन करता है, परिणाम को त्रिकोणमितीय रूप में अनुवाद करता है और Moivre सूत्र लागू करता है:

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सम्मिश्र संख्याओं के साथ समस्याओं को हल करने के लिए, आपको मूल परिभाषाओं को समझने की आवश्यकता है। इस समीक्षा लेख का मुख्य उद्देश्य यह बताना है कि जटिल संख्याएँ क्या हैं और जटिल संख्याओं के साथ बुनियादी समस्याओं को हल करने के लिए वर्तमान तरीके क्या हैं। इस प्रकार, एक सम्मिश्र संख्या, रूप की एक संख्या होती है जेड = ए + द्वि, कहाँ पे ए, बी- वास्तविक संख्याएँ, जिन्हें क्रमशः सम्मिश्र संख्या के वास्तविक और काल्पनिक भाग कहते हैं, और निरूपित करते हैं ए = रे (जेड), बी = आईएम (जेड).
मैंकाल्पनिक इकाई कहलाती है। मैं 2 \u003d -1. विशेष रूप से, किसी भी वास्तविक संख्या को जटिल माना जा सकता है: ए = ए + 0i, जहां a वास्तविक है। अगर ए = 0और बी 0, तो संख्या को विशुद्ध रूप से काल्पनिक कहा जाता है।

अब हम सम्मिश्र संख्याओं पर संक्रियाएँ प्रस्तुत करते हैं।
दो सम्मिश्र संख्याओं पर विचार करें जेड 1 = ए 1 + बी 1 आईऔर जेड 2 = ए 2 + बी 2 आई.

विचार करना जेड = ए + द्वि.

सम्मिश्र संख्याओं का समुच्चय वास्तविक संख्याओं के समुच्चय का विस्तार करता है, जो बदले में परिमेय संख्याओं के समुच्चय का विस्तार करता है, इत्यादि। एम्बेडिंग की यह श्रृंखला आकृति में देखी जा सकती है: एन - प्राकृतिक संख्याएं, जेड - पूर्णांक, क्यू - तर्कसंगत, आर - वास्तविक, सी - जटिल।

सम्मिश्र संख्याओं का निरूपण

बीजगणितीय अंकन।

एक सम्मिश्र संख्या पर विचार करें जेड = ए + द्विसम्मिश्र संख्या लिखने के इस रूप को कहते हैं बीजगणितीय. इस प्रकार के लेखन के बारे में हम पिछले भाग में पहले ही विस्तार से चर्चा कर चुके हैं। अक्सर निम्नलिखित उदाहरण चित्र का उपयोग करें

त्रिकोणमितीय रूप।

आकृति से यह देखा जा सकता है कि संख्या जेड = ए + द्विअलग लिखा जा सकता है। जाहिर सी बात है ए = आरसीओएस (φ), बी = रसिन (φ), आर=|जेड|, इस तरह z = rcos(φ) + rsin(φ)i, φ ∈ (-π; π) सम्मिश्र संख्या का तर्क कहलाता है। एक सम्मिश्र संख्या के इस निरूपण को कहते हैं त्रिकोणमितीय रूप. संकेतन का त्रिकोणमितीय रूप कभी-कभी बहुत सुविधाजनक होता है। उदाहरण के लिए, किसी सम्मिश्र संख्या को पूर्णांक घात तक बढ़ाने के लिए इसका उपयोग करना सुविधाजनक होता है, अर्थात्, if z = rcos(φ) + rsin(φ)i, तब z n = r n cos(nφ) + r n sin(nφ)i, इस सूत्र को कहा जाता है डी मोइवर का सूत्र.

प्रदर्शनकारी रूप।

विचार करना z = rcos(φ) + rsin(φ)iत्रिकोणमितीय रूप में एक सम्मिश्र संख्या है, हम इसे एक अलग रूप में लिखते हैं z = r(cos(φ) + sin(φ)i) = re iφ, अंतिम समानता यूलर सूत्र से आती है, इसलिए हमें एक सम्मिश्र संख्या लिखने का एक नया रूप मिला: जेड = रे मैं, इससे कहते है ठोस. किसी सम्मिश्र संख्या को घात तक बढ़ाने के लिए संकेतन का यह रूप भी बहुत सुविधाजनक है: z n = r n e inφ, यहाँ एनजरूरी नहीं कि एक पूर्णांक हो, लेकिन एक मनमाना वास्तविक संख्या हो सकती है। लेखन का यह रूप अक्सर समस्याओं को हल करने के लिए उपयोग किया जाता है।

उच्च बीजगणित का मौलिक प्रमेय

कल्पना कीजिए कि हमारे पास द्विघात समीकरण x 2 + x + 1 = 0 है। यह स्पष्ट है कि इस समीकरण का विभेदक ऋणात्मक है और इसकी कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं, लेकिन यह पता चलता है कि इस समीकरण की दो अलग-अलग जटिल जड़ें हैं। तो, उच्च बीजगणित के मुख्य प्रमेय में कहा गया है कि डिग्री n के किसी भी बहुपद में कम से कम एक जटिल जड़ होती है। इससे यह पता चलता है कि डिग्री n के किसी भी बहुपद में उनकी बहुलता को ध्यान में रखते हुए ठीक n जटिल जड़ें होती हैं। यह प्रमेय गणित में एक बहुत ही महत्वपूर्ण परिणाम है और व्यापक रूप से लागू होता है। इस प्रमेय का एक सरल परिणाम यह है कि एकता के बिल्कुल n विशिष्ट n-डिग्री मूल हैं।

मुख्य प्रकार के कार्य

इस खंड में, मुख्य प्रकार की साधारण सम्मिश्र संख्या समस्याओं पर विचार किया जाएगा। परंपरागत रूप से, जटिल संख्याओं की समस्याओं को निम्नलिखित श्रेणियों में विभाजित किया जा सकता है।

• सम्मिश्र संख्याओं पर सरल अंकगणितीय संक्रियाएँ करना।
• सम्मिश्र संख्याओं में बहुपदों के मूल ज्ञात करना।
• सम्मिश्र संख्याओं को घात में बढ़ाना।
• सम्मिश्र संख्याओं से जड़ों का निष्कर्षण।
• अन्य समस्याओं को हल करने के लिए सम्मिश्र संख्याओं का अनुप्रयोग।

अब इन समस्याओं को हल करने के सामान्य तरीकों पर विचार करें।

जटिल संख्याओं के साथ सरलतम अंकगणितीय संक्रियाएं पहले खंड में वर्णित नियमों के अनुसार की जाती हैं, लेकिन यदि जटिल संख्याओं को त्रिकोणमितीय या घातीय रूपों में प्रस्तुत किया जाता है, तो इस मामले में उन्हें बीजीय रूप में परिवर्तित किया जा सकता है और ज्ञात नियमों के अनुसार संचालन किया जा सकता है।

बहुपद के मूल ज्ञात करना आमतौर पर द्विघात समीकरण की जड़ों को खोजने के लिए नीचे आता है। मान लीजिए कि हमारे पास एक द्विघात समीकरण है, यदि इसका विवेचक गैर-ऋणात्मक है, तो इसकी जड़ें वास्तविक होंगी और एक प्रसिद्ध सूत्र के अनुसार पाई जाती हैं। यदि विवेचक ऋणात्मक है, तो डी = -1∙ए 2, कहाँ पे एएक निश्चित संख्या है, तो हम रूप में विवेचक का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं डी = (आईए) 2, इस तरह डी = मैं|ए|, और फिर आप द्विघात समीकरण के मूलों के लिए पहले से ज्ञात सूत्र का उपयोग कर सकते हैं।

उदाहरण. आइए x 2 + x + 1 = 0 के ऊपर वर्णित द्विघात समीकरण पर लौटते हैं।
विभेदक - डी \u003d 1 - 4 1 \u003d -3 \u003d -1 (√3) 2 \u003d (i√3) 2.
अब हम आसानी से जड़ें ढूंढ सकते हैं:

सम्मिश्र संख्याओं को घात तक बढ़ाना कई तरीकों से किया जा सकता है। यदि आप एक जटिल संख्या को बीजगणितीय रूप में एक छोटी शक्ति (2 या 3) तक बढ़ाना चाहते हैं, तो आप इसे सीधे गुणा करके कर सकते हैं, लेकिन यदि डिग्री बड़ी है (समस्याओं में यह अक्सर बहुत बड़ी होती है), तो आपको करने की आवश्यकता है इस संख्या को त्रिकोणमितीय या घातांक रूपों में लिखें और पहले से ज्ञात विधियों का उपयोग करें।

उदाहरण. z = 1 + i पर विचार करें और दसवीं शक्ति तक बढ़ाएँ।
हम z को घातांकीय रूप में लिखते हैं: z = √2 e iπ/4 ।
फिर जेड 10 = (√2 ई आईπ / 4) 10 = 32 ई 10आईπ / 4.
आइए बीजीय रूप में वापस आते हैं: z 10 = -32i।

सम्मिश्र संख्याओं से जड़ें निकालना घातांक के संबंध में व्युत्क्रम संक्रिया है, इसलिए इसे इसी तरह से किया जाता है। जड़ों को निकालने के लिए, संख्या लिखने के घातीय रूप का अक्सर उपयोग किया जाता है।

उदाहरण. एकता की डिग्री 3 की सभी जड़ें खोजें। ऐसा करने के लिए, हम समीकरण z 3 = 1 की सभी जड़ों को ढूंढते हैं, हम घातीय रूप में जड़ों की तलाश करेंगे।
समीकरण में स्थानापन्न करें: r 3 e 3iφ = 1 या r 3 e 3iφ = e 0 ।
इसलिए: r = 1, 3φ = 0 + 2πk, इसलिए = 2πk/3।
= 0, 2π/3, 4π/3 पर विभिन्न मूल प्राप्त होते हैं।
अत: 1, e i2π/3 , e i4π/3 मूल हैं।
या बीजीय रूप में:

अंतिम प्रकार की समस्याओं में बड़ी संख्या में समस्याएं शामिल हैं और उन्हें हल करने के लिए कोई सामान्य तरीके नहीं हैं। ऐसे कार्य का एक सरल उदाहरण यहां दिया गया है:

राशि का पता लगाएं sin(x) + sin(2x) + sin(2x) + … + sin(nx).

यद्यपि इस समस्या का सूत्रीकरण सम्मिश्र संख्याओं को संदर्भित नहीं करता है, लेकिन उनकी सहायता से इसे आसानी से हल किया जा सकता है। इसे हल करने के लिए, निम्नलिखित अभ्यावेदन का उपयोग किया जाता है:


यदि हम अब इस निरूपण को योग में प्रतिस्थापित करते हैं, तो समस्या सामान्य ज्यामितीय प्रगति के योग तक कम हो जाती है।

निष्कर्ष

जटिल संख्याओं का गणित में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, इस समीक्षा लेख में जटिल संख्याओं पर बुनियादी संचालन पर चर्चा की गई है, कई प्रकार की मानक समस्याओं का वर्णन किया गया है और उन्हें हल करने के लिए सामान्य तरीकों का संक्षेप में वर्णन किया गया है, जटिल संख्याओं की संभावनाओं के अधिक विस्तृत अध्ययन के लिए, यह अनुशंसा की जाती है कि विशेष साहित्य का प्रयोग करें।

साहित्य

व्यंजक, समीकरण, और समीकरणों की प्रणाली
जटिल संख्याओं के साथ

आज के पाठ में हम सम्मिश्र संख्याओं के साथ विशिष्ट क्रियाओं पर काम करेंगे, साथ ही इन संख्याओं में शामिल समीकरणों के व्यंजकों, समीकरणों और प्रणालियों को हल करने की तकनीक में महारत हासिल करेंगे। यह कार्यशाला पाठ की निरंतरता है, और इसलिए यदि आप इस विषय से अपरिचित हैं, तो कृपया ऊपर दिए गए लिंक का अनुसरण करें। खैर, मेरा सुझाव है कि अधिक तैयार पाठक तुरंत वार्म अप करें:

उदाहरण 1

अभिव्यक्ति को सरल बनाएं , अगर । परिणाम को त्रिकोणमितीय रूप में प्रस्तुत करें और इसे जटिल तल पर चित्रित करें।

फेसला: तो, आपको "भयानक" अंश में स्थानापन्न करने, सरलीकरण करने और परिणामी का अनुवाद करने की आवश्यकता है जटिल संख्यामें त्रिकोणमितीय रूप. प्लस लानत।

निर्णय लेने का सबसे अच्छा तरीका क्या है? चरणों में "फैंसी" बीजीय अभिव्यक्ति से निपटना अधिक लाभदायक है। सबसे पहले, ध्यान कम बिखरा हुआ है, और दूसरी बात, यदि कार्य को श्रेय नहीं दिया जाता है, तो त्रुटि ढूंढना बहुत आसान होगा।

1) पहले अंश को सरल करते हैं। इसमें मान रखें, कोष्ठक खोलें और केश ठीक करें:

... हां, जटिल संख्याओं से ऐसा क्वासिमोडो निकला ...

मैं आपको याद दिलाता हूं कि परिवर्तनों के दौरान, पूरी तरह से सरल चीजों का उपयोग किया जाता है - बहुपदों के गुणन का नियम और समानता जो पहले से ही सामान्य हो गई है। मुख्य बात सावधान रहना है और संकेतों में भ्रमित नहीं होना है।

2) अब हर अगला है। तो अगर:

ध्यान दें कि किस असामान्य व्याख्या का उपयोग किया जाता है योग वर्ग सूत्र. वैकल्पिक रूप से, आप यहां बदल सकते हैं उपसूत्र। परिणाम, निश्चित रूप से, मेल खाएंगे।

3) और अंत में, पूरी अभिव्यक्ति। तो अगर:

भिन्न से छुटकारा पाने के लिए, हम अंश और हर को हर के संयुग्मी व्यंजक से गुणा करते हैं। हालांकि, आवेदन करने के प्रयोजनों के लिए वर्ग सूत्रों का अंतरप्रारंभिक रूप से होना चाहिए (और निश्चित रूप से!)नकारात्मक वास्तविक भाग को दूसरे स्थान पर रखें:

और अब मुख्य नियम:

किसी भी स्थिति में हम जल्दी नहीं करते हैं! इसे सुरक्षित रूप से खेलना और एक अतिरिक्त कदम निर्धारित करना बेहतर है।
भावों, समीकरणों और जटिल संख्याओं वाली प्रणालियों में अभिमानी मौखिक गणना हमेशा की तरह भरा हुआ!

अंतिम चरण में एक अच्छा संकुचन था और यह सिर्फ एक अच्छा संकेत है।

टिप्पणी : कड़ाई से बोलते हुए, सम्मिश्र संख्या का सम्मिश्र संख्या 50 से भाग यहाँ हुआ (याद रखें कि )। मैं अब तक इस बारीकियों के बारे में चुप रहा हूं और हम इसके बारे में थोड़ी देर बाद बात करेंगे।

आइए पत्र के साथ अपनी उपलब्धि को निरूपित करें

आइए परिणाम को त्रिकोणमितीय रूप में प्रदर्शित करें। सामान्यतया, यहां आप बिना किसी चित्र के कर सकते हैं, लेकिन जैसे ही इसकी आवश्यकता होती है, इसे अभी पूरा करना कुछ अधिक तर्कसंगत है:

एक जटिल संख्या के मापांक की गणना करें:

यदि आप 1 इकाई के पैमाने पर कोई चित्र बनाते हैं। \u003d 1 सेमी (2 टेट्राड सेल), फिर परिणामी मूल्य एक नियमित शासक का उपयोग करके जांचना आसान है।

आइए एक तर्क खोजें। चूंकि संख्या दूसरी समन्वय तिमाही में स्थित है, तो:

कोण को केवल एक प्रोट्रैक्टर द्वारा जांचा जाता है। यह ड्राइंग का निस्संदेह प्लस है।

इस प्रकार:- त्रिकोणमितीय रूप में वांछित संख्या।

चलो देखते है:
जिसका सत्यापन किया जाना था।

इसके द्वारा साइन और कोसाइन के अपरिचित मूल्यों को खोजना सुविधाजनक है त्रिकोणमितीय तालिका.

जवाब:

स्वयं करें समाधान के लिए एक समान उदाहरण:

उदाहरण 2

अभिव्यक्ति को सरल बनाएं , कहाँ पे । परिणामी संख्या को सम्मिश्र तल पर खींचिए और इसे घातांक रूप में लिखिए।

कोशिश करें कि ट्यूटोरियल्स को स्किप न करें। वे सरल लग सकते हैं, लेकिन प्रशिक्षण के बिना, "एक पोखर में उतरना" न केवल आसान है, बल्कि बहुत आसान है। तो चलिए इस पर अपना हाथ रखते हैं।

अक्सर समस्या एक से अधिक समाधान की अनुमति देती है:

उदाहरण 3

गणना करें यदि,

फेसला: सबसे पहले, आइए मूल स्थिति पर ध्यान दें - एक संख्या बीजगणितीय रूप में प्रस्तुत की जाती है, और दूसरी त्रिकोणमितीय रूप में, और डिग्री के साथ भी। आइए इसे तुरंत अधिक परिचित रूप में फिर से लिखें: .

गणना किस रूप में की जानी चाहिए? जाहिर है, अभिव्यक्ति में पहला गुणन शामिल है और आगे 10 वीं शक्ति तक बढ़ रहा है डी मोइवर फॉर्मूला, जो एक सम्मिश्र संख्या के त्रिकोणमितीय रूप के लिए तैयार किया गया है। इस प्रकार, पहली संख्या को परिवर्तित करना अधिक तार्किक लगता है। इसका मॉड्यूल और तर्क खोजें:

हम त्रिकोणमितीय रूप में सम्मिश्र संख्याओं के गुणन के नियम का उपयोग करते हैं:
तो अगर

भिन्न को सही करते हुए, हम इस निष्कर्ष पर पहुँचते हैं कि 4 मोड़ "मोड़" करना संभव है ( प्रसन्न।):

हल करने का दूसरा तरीकादूसरी संख्या का बीजीय रूप में अनुवाद करना है , बीजगणितीय रूप में गुणन करें, परिणाम को त्रिकोणमितीय रूप में अनुवादित करें और डी मोइवर सूत्र का उपयोग करें।

जैसा कि आप देख सकते हैं, एक "अतिरिक्त" क्रिया। जो चाहते हैं वे अंत तक समाधान का पालन कर सकते हैं और सुनिश्चित कर सकते हैं कि परिणाम मेल खाते हैं।

स्थिति परिणामी सम्मिश्र संख्या के रूप के बारे में कुछ नहीं कहती है, इसलिए:

जवाब:

लेकिन "सुंदरता के लिए" या मांग पर, परिणाम को बीजीय रूप में आसानी से दर्शाया जा सकता है:

ख़ुद के दम पर:

उदाहरण 4

अभिव्यक्ति को सरल बनाएं

यहाँ यह याद रखना आवश्यक है शक्तियों के साथ कार्रवाई, हालांकि प्रशिक्षण नियमावली में कोई उपयोगी नियम नहीं है, यहाँ यह है:।

और एक और महत्वपूर्ण नोट: उदाहरण को दो शैलियों में हल किया जा सकता है। के साथ काम करना पहला विकल्प है दोसंख्याएँ और भिन्नों के साथ रखें। दूसरा विकल्प फॉर्म में प्रत्येक संख्या का प्रतिनिधित्व करना है दो संख्याओं का भागफल: और चार मंजिला से छुटकारा. औपचारिक दृष्टिकोण से निर्णय लेने से कोई फर्क नहीं पड़ता है, लेकिन एक सार्थक अंतर है! कृपया अच्छी तरह से विचार करें:
एक जटिल संख्या है;
दो सम्मिश्र संख्याओं (और) का भागफल है, तथापि, संदर्भ के आधार पर, कोई यह भी कह सकता है: एक संख्या जिसे दो सम्मिश्र संख्याओं के भागफल के रूप में दर्शाया जाता है।

पाठ के अंत में संक्षिप्त समाधान और उत्तर।

भाव अच्छे हैं, लेकिन समीकरण बेहतर हैं:

जटिल गुणांक वाले समीकरण

वे "साधारण" समीकरणों से कैसे भिन्न हैं? गुणांक =)

उपरोक्त टिप्पणी के आलोक में, आइए इस उदाहरण से शुरू करते हैं:

उदाहरण 5

प्रश्न हल करें

और गर्म खोज में एक तत्काल प्रस्तावना: शुरू मेंसमीकरण का दाहिना भाग दो सम्मिश्र संख्याओं (और 13) के भागफल के रूप में स्थित है, और इसलिए संख्या के साथ स्थिति को फिर से लिखना गलत होगा। (भले ही इससे कोई त्रुटि न हो). वैसे, यह अंतर भिन्नों में अधिक स्पष्ट रूप से देखा जाता है - यदि, अपेक्षाकृत बोलते हुए, तो यह मान मुख्य रूप से समझा जाता है समीकरण की "पूर्ण" जटिल जड़, और संख्या के भाजक के रूप में नहीं , और इससे भी अधिक - संख्या के भाग के रूप में नहीं !

फेसला, सिद्धांत रूप में, इसे चरण दर चरण भी व्यवस्थित किया जा सकता है, लेकिन इस मामले में खेल मोमबत्ती के लायक नहीं है। प्रारंभिक कार्य उन सभी चीजों को सरल बनाना है जिनमें अज्ञात "Z" शामिल नहीं है, जिसके परिणामस्वरूप समीकरण फ़ॉर्म में कम हो जाएगा:

आत्मविश्वास से औसत अंश को सरल बनाएं:

हम परिणाम को दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं और अंतर पाते हैं:

टिप्पणी : और फिर से मैं आपका ध्यान सार्थक बिंदु की ओर आकर्षित करता हूं - यहां हमने संख्या से संख्या घटाई नहीं है, लेकिन अंशों को एक सामान्य हर में जोड़ दिया है! यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि पहले से ही समाधान के दौरान संख्याओं के साथ काम करना मना नहीं है: , हालांकि, विचाराधीन उदाहरण में, ऐसी शैली उपयोगी से अधिक हानिकारक है =)

अनुपात के नियम के अनुसार, हम "z" व्यक्त करते हैं:

अब आप फिर से आसन्न अभिव्यक्ति से विभाजित और गुणा कर सकते हैं, लेकिन अंश और हर की संदिग्ध रूप से समान संख्याएं निम्नलिखित चाल का सुझाव देती हैं:

जवाब:

सत्यापन उद्देश्यों के लिए, हम परिणामी मान को मूल समीकरण के बाईं ओर प्रतिस्थापित करते हैं और सरलीकरण करते हैं:

- मूल समीकरण का दाहिना भाग प्राप्त होता है, इसलिए मूल सही पाया जाता है।

...अभी-अभी...मैं आपके लिए कुछ और दिलचस्प चुनूंगा...रुको:

उदाहरण 6

प्रश्न हल करें

यह समीकरण रूप में कम हो जाता है, और इसलिए रैखिक है। संकेत, मुझे लगता है, स्पष्ट है - इसके लिए जाओ!

बेशक ... आप इसके बिना कैसे रह सकते हैं:

जटिल गुणांक के साथ द्विघात समीकरण

सबक पर डमी के लिए जटिल संख्याहमने सीखा कि वास्तविक गुणांक वाले द्विघात समीकरण में संयुग्मी जटिल जड़ें हो सकती हैं, जिसके बाद एक स्वाभाविक प्रश्न उठता है: वास्तव में, गुणांक स्वयं जटिल क्यों नहीं हो सकते? मैं सामान्य मामला तैयार करूंगा:

मनमाना जटिल गुणांक के साथ द्विघात समीकरण (जिनमें से 1 या 2 या तीनों विशेष रूप से मान्य हो सकते हैं)यह है दो और केवल दोजटिल जड़ें (संभवतः इनमें से एक या दोनों मान्य हैं). जबकि जड़ें (दोनों वास्तविक और एक गैर-शून्य काल्पनिक भाग के साथ)मेल खा सकता है (बहुविकल्पी)।

जटिल गुणांक वाले द्विघात समीकरण को उसी तरह हल किया जाता है जैसे "स्कूल" समीकरण, कम्प्यूटेशनल तकनीक में कुछ अंतर के साथ:

उदाहरण 7

द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए

फेसला: काल्पनिक इकाई पहले स्थान पर है, और, सिद्धांत रूप में, आप इससे छुटकारा पा सकते हैं (दोनों पक्षों को गुणा करके)हालांकि, इसकी कोई खास जरूरत नहीं है।

सुविधा के लिए, हम गुणांक लिखते हैं:

हम मुक्त सदस्य का "माइनस" नहीं खोते हैं! ... यह सभी के लिए स्पष्ट नहीं हो सकता है - मैं मानक रूप में समीकरण को फिर से लिखूंगा :

आइए विवेचक की गणना करें:

यहाँ मुख्य बाधा है:

जड़ निकालने के लिए सामान्य सूत्र का अनुप्रयोग (लेख का अंतिम पैराग्राफ देखें डमी के लिए जटिल संख्या) कट्टरपंथी जटिल संख्या के तर्क से जुड़ी गंभीर कठिनाइयों से जटिल है (अपने आप को देखो). लेकिन एक और, "बीजीय" तरीका है! हम फॉर्म में रूट की तलाश करेंगे:

आइए दोनों पक्षों को चौकोर करें:

दो सम्मिश्र संख्याएँ समान होती हैं यदि उनके वास्तविक और काल्पनिक भाग समान हों। इस प्रकार, हमें निम्नलिखित प्रणाली मिलती है:

सिस्टम को चुनकर हल करना आसान है (एक अधिक गहन तरीका दूसरे समीकरण से व्यक्त करना है - 1 में स्थानापन्न करें, द्विघात समीकरण प्राप्त करें और हल करें). यह मानते हुए कि समस्या का लेखक राक्षस नहीं है, हम इसकी परिकल्पना करते हैं और पूर्णांक हैं। पहले समीकरण से यह इस प्रकार है कि "x" सापेक्ष"वाई" से अधिक। इसके अलावा, सकारात्मक उत्पाद हमें बताता है कि अज्ञात एक ही संकेत के हैं। पूर्वगामी के आधार पर, और दूसरे समीकरण पर ध्यान केंद्रित करते हुए, हम उन सभी युग्मों को लिखते हैं जो इससे मेल खाते हैं:

जाहिर है, अंतिम दो जोड़े सिस्टम के पहले समीकरण को संतुष्ट करते हैं, इस प्रकार:

एक मध्यवर्ती जांच चोट नहीं पहुंचाएगी:

जिसकी जांच होनी थी।

"वर्किंग" रूट के रूप में, आप चुन सकते हैं कोई भीअर्थ। यह स्पष्ट है कि "विपक्ष" के बिना संस्करण लेना बेहतर है:

हम जड़ों को ढूंढते हैं, भूलते नहीं, वैसे:

जवाब:

आइए देखें कि क्या मिली जड़ें समीकरण को संतुष्ट करती हैं :

1) स्थानापन्न:

सही समानता।

2) स्थानापन्न:

सही समानता।

इस प्रकार, समाधान सही पाया जाता है।

अभी चर्चा की गई समस्या से प्रेरित होकर:

उदाहरण 8

समीकरण की जड़ें खोजें

ध्यान दें कि का वर्गमूल विशुद्ध रूप से जटिलसंख्याओं को पूरी तरह से निकाला जाता है और सामान्य सूत्र का उपयोग किया जाता है , कहाँ पे , इसलिए दोनों विधियों को नमूने में दिखाया गया है। दूसरी उपयोगी टिप्पणी इस तथ्य से संबंधित है कि स्थिरांक से जड़ का प्रारंभिक निष्कर्षण समाधान को सरल नहीं बनाता है।

और अब आप आराम कर सकते हैं - इस उदाहरण में, आप थोड़े डर के साथ उतर जाएंगे :)

उदाहरण 9

समीकरण को हल करें और जांचें

पाठ के अंत में समाधान और उत्तर।

लेख का अंतिम पैराग्राफ समर्पित है

जटिल संख्याओं के साथ समीकरणों की प्रणाली

हमने आराम किया और ... हम तनाव नहीं करते =) आइए सबसे सरल मामले पर विचार करें - दो अज्ञात के साथ दो रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली:

उदाहरण 10

समीकरणों की प्रणाली को हल करें। उत्तर को बीजीय और घातीय रूपों में प्रस्तुत करें, ड्राइंग में जड़ों को चित्रित करें।

फेसला: शर्त ही बताती है कि सिस्टम का एक अनूठा समाधान है, यानी हमें दो संख्याओं को खोजने की जरूरत है जो संतुष्ट हैं प्रत्येक के लिएप्रणाली समीकरण।

सिस्टम को वास्तव में "बचकाना" तरीके से हल किया जा सकता है (एक चर को दूसरे के रूप में व्यक्त करें) , लेकिन यह उपयोग करने के लिए बहुत अधिक सुविधाजनक है क्रैमर के सूत्र. गणना करना मुख्य निर्धारकसिस्टम:

, इसलिए सिस्टम के पास एक अनूठा समाधान है।

मैं दोहराता हूं कि जितना संभव हो उतना विस्तृत कदम उठाना और निर्धारित करना बेहतर नहीं है:

हम अंश और हर को एक काल्पनिक इकाई से गुणा करते हैं और पहली जड़ प्राप्त करते हैं:

इसी तरह:

संबंधित दाहिने हाथ, p.t.p.

आइए ड्राइंग निष्पादित करें:

हम घातीय रूप में जड़ों का प्रतिनिधित्व करते हैं। ऐसा करने के लिए, आपको उनके मॉड्यूल और तर्क खोजने होंगे:

1) - "दो" के चाप स्पर्शरेखा की गणना "खराब" की जाती है, इसलिए हम इसे इस तरह छोड़ देते हैं: