जब वैक्टर को बराबर कहा जाता है। निर्देशांक और वैक्टर

एक स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य भी होंगे, जिनके उत्तर आप देख सकते हैं।

वेक्टर अवधारणा

इससे पहले कि आप वैक्टर और उन पर संचालन के बारे में जानें, एक साधारण समस्या को हल करने के लिए ट्यून करें। आपके उद्यम का एक वेक्टर है और आपकी नवीन क्षमताओं का एक वेक्टर है। उद्यमिता का वेक्टर आपको लक्ष्य 1 की ओर ले जाता है, और नवीन क्षमताओं के वेक्टर - लक्ष्य 2 तक। खेल के नियम ऐसे हैं कि आप एक ही बार में इन दो वैक्टरों की दिशा में आगे नहीं बढ़ सकते हैं और एक ही बार में दो लक्ष्य प्राप्त कर सकते हैं। वेक्टर इंटरैक्ट करते हैं, या, गणितीय रूप से बोलते हुए, वैक्टर पर कुछ ऑपरेशन किया जाता है। इस ऑपरेशन का परिणाम "परिणाम" वेक्टर है, जो आपको लक्ष्य 3 तक ले जाता है।

अब मुझे बताओ: वेक्टर "एंटरप्राइज" और "इनोवेटिव क्षमताओं" पर किस ऑपरेशन का परिणाम वेक्टर "परिणाम" है? यदि आप तुरंत नहीं कह सकते हैं, तो निराश न हों। जब आप इस पाठ का अध्ययन करेंगे तो आप इस प्रश्न का उत्तर देने में सक्षम होंगे।

जैसा कि हमने ऊपर देखा, सदिश अनिवार्य रूप से किसी बिंदु से आता है एकिसी बिंदु पर एक सीधी रेखा में बी. नतीजतन, प्रत्येक वेक्टर का न केवल एक संख्यात्मक मान - लंबाई है, बल्कि एक भौतिक और ज्यामितीय - दिशा भी है। इससे सदिश की पहली, सरलतम परिभाषा प्राप्त होती है। तो, एक सदिश एक बिंदु से जाने वाला एक निर्देशित खंड है एमुद्दे पर बी. इसे इस तरह चिह्नित किया गया है:

और अलग शुरू करने के लिए वेक्टर संचालन , हमें वेक्टर की एक और परिभाषा से परिचित होने की आवश्यकता है।

एक वेक्टर एक बिंदु का एक प्रकार का प्रतिनिधित्व है जिस पर किसी प्रारंभिक बिंदु से पहुंचा जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक त्रि-आयामी वेक्टर को आमतौर पर इस प्रकार लिखा जाता है (एक्स, वाई, जेड) . काफी सरलता से, इन नंबरों का मतलब है कि बिंदु तक पहुंचने के लिए आपको तीन अलग-अलग दिशाओं में कितनी दूर जाने की आवश्यकता है।

एक वेक्टर दिया जाए। जिसमें एक्स = 3 (दाहिना हाथ दाईं ओर इशारा करता है) आप = 1 (बाएं हाथ आगे की ओर इशारा करता है) जेड = 5 (बिंदु के नीचे एक सीढ़ी ऊपर की ओर जाती है)। इस डेटा से, आप दाहिने हाथ द्वारा इंगित दिशा में 3 मीटर चलकर बिंदु पाएंगे, फिर बाएं हाथ द्वारा इंगित दिशा में 1 मीटर, और फिर एक सीढ़ी आपका इंतजार कर रही है और 5 मीटर चढ़ते हुए, आप अंत में पाएंगे अपने आप को अंतिम बिंदु पर।

अन्य सभी शर्तें ऊपर प्रस्तुत स्पष्टीकरण के परिशोधन हैं, जो वैक्टर पर विभिन्न कार्यों के लिए आवश्यक हैं, अर्थात व्यावहारिक समस्याओं को हल करने के लिए। आइए इन अधिक कठोर परिभाषाओं को देखें, जो विशिष्ट वेक्टर समस्याओं पर आधारित हैं।

भौतिक उदाहरणसदिश राशियां अंतरिक्ष में गतिमान किसी भौतिक बिंदु का विस्थापन, इस बिंदु की गति और त्वरण, साथ ही उस पर कार्य करने वाला बल भी हो सकती हैं।

ज्यामितीय वेक्टरद्वि-आयामी और त्रि-आयामी अंतरिक्ष में रूप में दर्शाया गया है निर्देशित खंड. यह एक ऐसा खंड है जिसकी शुरुआत और अंत है।

यदि एक एवेक्टर की शुरुआत है, और बीइसका अंत है, तो वेक्टर को प्रतीक या एकल लोअरकेस अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है। आकृति में, सदिश का अंत एक तीर द्वारा दर्शाया गया है (चित्र 1)

लंबाई(या मापांक) एक ज्यामितीय वेक्टर की लंबाई उस खंड की लंबाई है जो इसे उत्पन्न करता है

दो वैक्टर को कहा जाता है बराबर , यदि उन्हें समानांतर अनुवाद द्वारा जोड़ा जा सकता है (जब दिशाएं मिलती हैं), यानी। यदि वे समानांतर हैं, तो एक ही दिशा में इंगित करें और उनकी लंबाई समान है।

भौतिकी में, इसे अक्सर माना जाता है पिन किए गए वैक्टर, आवेदन बिंदु, लंबाई और दिशा द्वारा दिया गया। यदि सदिश के अनुप्रयोग का बिंदु कोई मायने नहीं रखता है, तो इसे अंतरिक्ष में किसी भी बिंदु पर लंबाई और दिशा रखते हुए स्थानांतरित किया जा सकता है। इस मामले में, वेक्टर कहा जाता है नि: शुल्क. हम केवल विचार करने के लिए सहमत हैं मुक्त वैक्टर.

ज्यामितीय वैक्टर पर रैखिक संचालन

एक वेक्टर को एक संख्या से गुणा करें

वेक्टर उत्पाद प्रति संख्याएक सदिश को एक सदिश कहा जाता है जो सदिश को खींचकर (एट) या सिकोड़कर (एट) बार प्राप्त करता है, और सदिश की दिशा को संरक्षित किया जाता है यदि , और यदि उलट दिया जाता है। (रेखा चित्र नम्बर 2)

इस परिभाषा से यह पता चलता है कि सदिश और = हमेशा एक या समानांतर रेखाओं पर स्थित होते हैं। ऐसे वैक्टर कहलाते हैं समरेख. (आप यह भी कह सकते हैं कि ये वैक्टर समानांतर हैं, लेकिन वेक्टर बीजगणित में इसे "कोलाइनियर" कहने की प्रथा है।) विलोम भी सत्य है: यदि वैक्टर और संरेख हैं, तो वे संबंध से संबंधित हैं

इसलिए, समानता (1) दो सदिशों की संरेखता की स्थिति को व्यक्त करती है।

वेक्टर जोड़ और घटाव

वैक्टर जोड़ते समय, आपको यह जानना होगा कि जोड़वैक्टर और एक वेक्टर कहा जाता है जिसकी शुरुआत वेक्टर की शुरुआत के साथ होती है, और अंत वेक्टर के अंत के साथ मेल खाता है, बशर्ते कि वेक्टर की शुरुआत वेक्टर के अंत से जुड़ी हो। (चित्र 3)

यह परिभाषा किसी भी सीमित संख्या में वैक्टर पर वितरित की जा सकती है। लेट इन स्पेस दी गई एनमुक्त वैक्टर। कई वैक्टर जोड़ते समय, उनका योग समापन वेक्टर के रूप में लिया जाता है, जिसकी शुरुआत पहले वेक्टर की शुरुआत के साथ होती है, और अंत अंतिम वेक्टर के अंत के साथ होता है। यही है, यदि वेक्टर की शुरुआत वेक्टर के अंत से जुड़ी हुई है, और वेक्टर की शुरुआत वेक्टर के अंत तक है, आदि। और, अंत में, वेक्टर के अंत तक - वेक्टर की शुरुआत, फिर इन वैक्टरों का योग समापन वेक्टर है , जिसकी शुरुआत पहले वेक्टर की शुरुआत के साथ मेल खाती है, और जिसका अंत अंतिम वेक्टर के अंत के साथ मेल खाता है। (चित्र 4)

शब्दों को सदिश के घटक कहा जाता है, और सूत्रबद्ध नियम है बहुभुज नियम. यह बहुभुज समतल नहीं हो सकता है।

जब एक सदिश को संख्या -1 से गुणा किया जाता है, तो विपरीत सदिश प्राप्त होता है। वैक्टर और समान लंबाई और विपरीत दिशाएं हैं। उनका योग देता है शून्य वेक्टर, जिसकी लंबाई शून्य है। शून्य वेक्टर की दिशा परिभाषित नहीं है।

सदिश बीजगणित में, घटाव के संचालन पर अलग से विचार करने की आवश्यकता नहीं है: एक सदिश से एक सदिश को घटाने का अर्थ है सदिश में विपरीत सदिश जोड़ना, अर्थात्।

उदाहरण 1अभिव्यक्ति को सरल बनाएं:

अर्थात्, सदिशों को उसी तरह संख्याओं से जोड़ा और गुणा किया जा सकता है जैसे बहुपद (विशेषकर, व्यंजकों को सरल बनाने में भी समस्याएँ)। आमतौर पर, वैक्टर के उत्पादों की गणना करने से पहले वैक्टर के साथ रैखिक रूप से समान अभिव्यक्तियों को सरल बनाने की आवश्यकता होती है।

उदाहरण 2सदिश और समांतर चतुर्भुज ABCD के विकर्णों के रूप में कार्य करते हैं (चित्र 4a)। के पदों में व्यक्त करें तथा सदिश , , तथा , जो इस समांतर चतुर्भुज की भुजाएँ हैं।

फेसला। एक समांतर चतुर्भुज के विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु प्रत्येक विकर्ण को समद्विभाजित करता है। समस्या की स्थिति में आवश्यक वैक्टर की लंबाई या तो वैक्टर के आधे योग के रूप में पाई जाती है जो वांछित लोगों के साथ एक त्रिकोण बनाते हैं, या आधे अंतर के रूप में (एक विकर्ण के रूप में सेवारत वेक्टर की दिशा के आधार पर), या, जैसा कि बाद के मामले में है, आधी राशि ऋण चिह्न के साथ ली गई है। परिणाम समस्या की स्थिति में आवश्यक वैक्टर हैं:

यह मानने का हर कारण है कि अब आपने इस पाठ की शुरुआत में "एंटरप्राइज़" और "इनोवेटिव एबिलिटीज़" वैक्टर के बारे में प्रश्न का सही उत्तर दिया है। सही उत्तर: ये वैक्टर एक अतिरिक्त ऑपरेशन के अधीन हैं।

वैक्टर पर समस्याओं को स्वयं हल करें, और फिर समाधान देखें

वैक्टर के योग की लंबाई कैसे ज्ञात करें?

यह समस्या वैक्टर के साथ संचालन में एक विशेष स्थान रखती है, क्योंकि इसमें त्रिकोणमितीय गुणों का उपयोग शामिल है। मान लें कि आपके पास निम्न जैसा कार्य है:

वैक्टर की लंबाई को देखते हुए और इन वैक्टरों के योग की लंबाई। इन सदिशों के अंतर की लंबाई ज्ञात कीजिए।

इस और इसी तरह की अन्य समस्याओं के समाधान और उन्हें हल करने के तरीके के बारे में स्पष्टीकरण - पाठ में " वेक्टर जोड़: वैक्टर और कोसाइन प्रमेय के योग की लंबाई ".

और आप इस तरह की समस्याओं के समाधान की जांच कर सकते हैं ऑनलाइन कैलकुलेटर "एक त्रिभुज की अज्ञात भुजा (सदिश जोड़ और कोज्या प्रमेय)" .

वैक्टर के उत्पाद कहां हैं?

एक वेक्टर द्वारा एक वेक्टर के उत्पाद रैखिक संचालन नहीं होते हैं और उन्हें अलग से माना जाता है। और हमारे पास "वेक्टर के डॉट उत्पाद" और "वेक्टर के वेक्टर और मिश्रित उत्पाद" पाठ हैं।

एक अक्ष पर एक वेक्टर का प्रक्षेपण

एक अक्ष पर एक वेक्टर का प्रक्षेपण प्रक्षेपित वेक्टर की लंबाई और वेक्टर और अक्ष के बीच के कोण के कोसाइन के उत्पाद के बराबर होता है:

जैसा कि ज्ञात है, एक बिंदु का प्रक्षेपण एरेखा (तल) पर इस बिंदु से रेखा (तल) पर गिराए गए लंब का आधार है।

चलो - एक मनमाना वेक्टर (चित्र 5), और - इसकी शुरुआत के अनुमान (अंक ए) और अंत (डॉट्स .) बी) प्रति धुरा मैं. (एक बिंदु के प्रक्षेपण का निर्माण करने के लिए ए) बिंदु के माध्यम से सीधे ड्रा करें एरेखा के लंबवत समतल। एक रेखा और एक समतल का प्रतिच्छेदन आवश्यक प्रक्षेपण का निर्धारण करेगा।

वेक्टर का घटक एल अक्ष परइस अक्ष पर पड़ा हुआ ऐसा वेक्टर कहा जाता है, जिसकी शुरुआत शुरुआत के प्रक्षेपण के साथ मेल खाती है, और अंत - वेक्टर के अंत के प्रक्षेपण के साथ।

अक्ष पर वेक्टर का प्रक्षेपण मैंएक नंबर कहा जाता है

इस अक्ष पर घटक वेक्टर की लंबाई के बराबर, एक प्लस चिह्न के साथ लिया जाता है यदि घटक की दिशा अक्ष की दिशा के साथ मेल खाती है मैं, और एक ऋण चिह्न के साथ यदि ये दिशाएं विपरीत हैं।

अक्ष पर वेक्टर अनुमानों के मुख्य गुण:

1. समान अक्ष पर समान सदिशों के प्रक्षेपण एक दूसरे के बराबर होते हैं।

2. जब किसी सदिश को किसी संख्या से गुणा किया जाता है, तो उसके प्रक्षेपण को उसी संख्या से गुणा किया जाता है।

3. किसी भी अक्ष पर सदिशों के योग का प्रक्षेपण, सदिशों के पदों के समान अक्ष पर प्रक्षेपों के योग के बराबर होता है।

4. एक अक्ष पर एक वेक्टर का प्रक्षेपण प्रक्षेपित वेक्टर की लंबाई और वेक्टर और अक्ष के बीच के कोण के कोसाइन के उत्पाद के बराबर है:

फेसला। आइए वैक्टर को अक्ष पर प्रोजेक्ट करें मैंजैसा कि ऊपर सैद्धांतिक संदर्भ में परिभाषित किया गया है। Fig.5a से यह स्पष्ट है कि वैक्टर के योग का प्रक्षेपण वैक्टर के अनुमानों के योग के बराबर है। हम इन अनुमानों की गणना करते हैं:

हम वैक्टर के योग का अंतिम प्रक्षेपण पाते हैं:

अंतरिक्ष में एक आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के साथ एक वेक्टर का संबंध

साथ परिचित अंतरिक्ष में आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली इसी पाठ में हुई, अधिमानतः इसे एक नई विंडो में खोलें।

निर्देशांक अक्षों की एक क्रमबद्ध प्रणाली में 0xyzएक्सिस बैलबुलाया X- अक्ष, एक्सिस 0y – शाफ़्ट, और अक्ष 0z – अनुप्रयुक्त अक्ष.

मनमाना बिंदु के साथ एमअंतरिक्ष टाई वेक्टर

बुलाया त्रिज्या वेक्टरअंक एमऔर इसे प्रत्येक समन्वय अक्ष पर प्रोजेक्ट करें। आइए हम संबंधित अनुमानों के मूल्यों को निरूपित करें:

नंबर एक्स, वाई, जेडबुलाया बिंदु M . के निर्देशांक, क्रमश सूच्याकार आकृति का भुज, तालमेलऔर पिपली, और संख्याओं के एक क्रमबद्ध बिंदु के रूप में लिखे गए हैं: एम (एक्स; वाई; जेड)(चित्र 6)।

इकाई लंबाई का एक सदिश जिसकी दिशा अक्ष की दिशा से मेल खाती है, कहलाती है इकाई वेक्टर(या ओर्टोम) कुल्हाड़ियों। द्वारा निरूपित करें

तदनुसार, निर्देशांक अक्षों के इकाई सदिश बैल, ओए, आउंस

प्रमेय।किसी भी सदिश को निर्देशांक अक्षों के इकाई सदिशों में विघटित किया जा सकता है:

(2)

समता (2) को निर्देशांक अक्षों के अनुदिश सदिश का प्रसार कहते हैं। इस विस्तार के गुणांक निर्देशांक अक्षों पर वेक्टर के प्रक्षेपण हैं। इस प्रकार, निर्देशांक अक्षों के साथ वेक्टर के विस्तार गुणांक (2) वेक्टर के निर्देशांक हैं।

अंतरिक्ष में एक निश्चित समन्वय प्रणाली को चुनने के बाद, वेक्टर और उसके निर्देशांक के ट्रिपल एक दूसरे को विशिष्ट रूप से निर्धारित करते हैं, इसलिए वेक्टर को फॉर्म में लिखा जा सकता है

(2) और (3) के रूप में सदिश निरूपण समान हैं।

निर्देशांक में संरेखीय सदिशों की स्थिति

जैसा कि हम पहले ही नोट कर चुके हैं, सदिशों को संरेख कहा जाता है यदि वे संबंध से संबंधित हों

चलो वैक्टर . ये सदिश संरेख हैं यदि सदिशों के निर्देशांक संबंध द्वारा संबंधित हैं

अर्थात् सदिशों के निर्देशांक समानुपाती होते हैं।

उदाहरण 6दिए गए वैक्टर . क्या ये सदिश संरेख हैं?

फेसला। आइए इन सदिशों के निर्देशांकों का अनुपात ज्ञात करें:

सदिशों के निर्देशांक समानुपाती होते हैं, इसलिए सदिश संरेखी होते हैं, या, जो समान है, समांतर है।

सदिश लंबाई और दिशा कोज्या

निर्देशांक अक्षों की परस्पर लंबवतता के कारण, सदिश की लंबाई

सदिशों पर बने एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज के विकर्ण की लंबाई के बराबर है

और समानता द्वारा व्यक्त किया जाता है

(4)

एक वेक्टर पूरी तरह से दो बिंदुओं (शुरुआत और अंत) को निर्दिष्ट करके परिभाषित किया गया है, इसलिए वेक्टर के निर्देशांक इन बिंदुओं के निर्देशांक के रूप में व्यक्त किए जा सकते हैं।

मान लीजिए कि दिए गए निर्देशांक प्रणाली में वेक्टर की शुरुआत बिंदु पर है

और अंत बिंदु पर है

समानता से

अनुसरण करता है कि

या समन्वय रूप में

इसलिये, वेक्टर के निर्देशांक अंत और वेक्टर की शुरुआत के समान नाम के निर्देशांक के अंतर के बराबर हैं . सूत्र (4) इस मामले में रूप लेता है

वेक्टर की दिशा निर्धारित की जाती है दिशा कोज्या . ये उन कोणों की कोज्या हैं जो वेक्टर कुल्हाड़ियों के साथ बनाता है बैल, ओएऔर आउंस. आइए इन कोणों को क्रमशः नामित करें α , β और γ . तब इन कोणों की कोज्या सूत्रों द्वारा ज्ञात की जा सकती है

एक वेक्टर की दिशा कोसाइन भी वेक्टर के वेक्टर के निर्देशांक होते हैं और इस प्रकार वेक्टर के वेक्टर

यह देखते हुए कि वेक्टर वेक्टर की लंबाई एक इकाई के बराबर है, अर्थात,

हमें दिशा कोज्या के लिए निम्नलिखित समानता मिलती है:

उदाहरण 7वेक्टर की लंबाई पाएं एक्स = (3; 0; 4).

फेसला। वेक्टर की लंबाई है

उदाहरण 8दिए गए अंक:

ज्ञात कीजिए कि क्या इन बिन्दुओं पर बना त्रिभुज समद्विबाहु है।

फेसला। सदिश लंबाई सूत्र (6) का उपयोग करते हुए, हम भुजाओं की लंबाई ज्ञात करते हैं और पता लगाते हैं कि क्या उनमें से दो बराबर हैं:

दो समान भुजाएँ मिली हैं, इसलिए तीसरी भुजा की लंबाई देखने की कोई आवश्यकता नहीं है, और दिया गया त्रिभुज समद्विबाहु है।

उदाहरण 9एक सदिश की लंबाई और उसकी दिशा कोज्या ज्ञात कीजिए यदि .

फेसला। वेक्टर निर्देशांक दिए गए हैं:

वेक्टर की लंबाई वेक्टर के निर्देशांक के वर्गों के योग के वर्गमूल के बराबर होती है:

दिशा कोसाइन ढूँढना:

वैक्टर पर समस्या को स्वयं हल करें, और फिर समाधान देखें

निर्देशांक रूप में दिए गए वैक्टर पर संचालन

मान लीजिए कि दो सदिश और उनके अनुमानों द्वारा दिए गए हैं:

आइए हम इन वैक्टरों पर कार्रवाई का संकेत दें।

2 का पृष्ठ 1

प्रश्न 1।एक वेक्टर क्या है? वैक्टर को कैसे परिभाषित किया जाता है?
जवाब।हम एक निर्देशित खंड को एक वेक्टर कहेंगे (चित्र 211)। एक वेक्टर की दिशा इसकी शुरुआत और अंत को निर्दिष्ट करके निर्धारित की जाती है। ड्राइंग में, वेक्टर की दिशा को एक तीर से चिह्नित किया गया है। वैक्टर को नामित करने के लिए, हम लोअरकेस लैटिन अक्षरों ए, बी, सी, ... का उपयोग करेंगे। आप इसकी शुरुआत और अंत निर्दिष्ट करके एक वेक्टर भी नामित कर सकते हैं। इस मामले में, वेक्टर की शुरुआत को पहले स्थान पर रखा गया है। "वेक्टर" शब्द के बजाय, एक तीर या डैश को कभी-कभी वेक्टर के अक्षर पदनाम के ऊपर रखा जाता है। आकृति 211 में सदिश को निम्नानुसार दर्शाया जा सकता है:

\(\overline(a)\), \(\overrightarrow(a)\) या \(\overline(AB)\), \(\overrightarrow(AB)\)।

प्रश्न 2।किन वैक्टरों को समान रूप से निर्देशित (विपरीत रूप से निर्देशित) कहा जाता है?
जवाब।सदिश \(\overline(AB)\) और \(\overline(CD)\) को समान रूप से निर्देशित कहा जाता है यदि अर्ध-रेखा AB और CD समान रूप से निर्देशित हों।
सदिश \(\overline(AB)\) और \(\overline(CD)\) को विपरीत दिशा में कहा जाता है यदि अर्ध-रेखा AB और CD विपरीत दिशा में हों।
चित्र 212 में, सदिश \(\overline(a)\) और \(\overline(b)\) की दिशा समान है, जबकि सदिश \(\overline(a)\) और \(\overline(c) \) विपरीत दिशाएं हैं।

प्रश्न 3।वेक्टर का निरपेक्ष मान क्या होता है?
जवाब।वेक्टर का निरपेक्ष मान (या मापांक) वेक्टर का प्रतिनिधित्व करने वाले खंड की लंबाई है। सदिश \(\overline(a)\) का निरपेक्ष मान |\(\overline(a)\)| द्वारा निरूपित किया जाता है।

प्रश्न 4.एक शून्य वेक्टर क्या है?
जवाब।एक वेक्टर की शुरुआत इसके अंत के साथ मेल खा सकती है। ऐसे सदिश को शून्य सदिश कहा जाएगा। शून्य वेक्टर को शून्य से डैश (\(\overline(0)\)) से दर्शाया जाता है। शून्य वेक्टर की दिशा के बारे में कोई बात नहीं करता है। शून्य सदिश का निरपेक्ष मान शून्य के बराबर माना जाता है।

प्रश्न 5.क्या वैक्टर को समान कहा जाता है?
जवाब।दो वैक्टर को समान कहा जाता है यदि उन्हें समानांतर अनुवाद द्वारा जोड़ा जाता है। इसका मतलब है कि एक समानांतर अनुवाद है जो एक वेक्टर की शुरुआत और अंत को क्रमशः दूसरे वेक्टर की शुरुआत और अंत तक ले जाता है।

प्रश्न 6.सिद्ध कीजिए कि समान सदिशों की दिशा समान होती है और निरपेक्ष मान समान होते हैं। और इसके विपरीत: समान रूप से निर्देशित वैक्टर जो निरपेक्ष मूल्य में बराबर होते हैं, समान होते हैं।
जवाब।समानांतर अनुवाद के साथ, वेक्टर अपनी दिशा, साथ ही साथ इसका निरपेक्ष मान बनाए रखता है। इसका अर्थ है कि समान सदिशों की दिशा समान होती है और निरपेक्ष मान में समान होते हैं।
मान लीजिए \(\overline(AB)\) और \(\overline(CD)\) समान रूप से निरपेक्ष मान के बराबर निर्देशित सदिश हैं (चित्र 213)। एक समानांतर अनुवाद जो बिंदु C को बिंदु A पर ले जाता है, आधी-पंक्ति CD को आधी-पंक्ति AB के साथ जोड़ता है, क्योंकि वे समान रूप से निर्देशित होते हैं। और चूंकि खंड AB और CD बराबर हैं, तो बिंदु D, बिंदु B के साथ संपाती है, अर्थात। समानांतर अनुवाद सदिश \(\overline(CD)\) को सदिश \(\overline(AB)\) में बदल देता है। इसलिए, सदिश \(\overline(AB)\) और \(\overline(CD)\) समान हैं, आवश्यकतानुसार।

प्रश्न 7.सिद्ध कीजिए कि किसी भी बिंदु से दिए गए सदिश के बराबर सदिश खींच सकते हैं, और केवल एक।
जवाब।माना CD एक रेखा है और सदिश \(\overline(CD)\) रेखा CD का एक भाग है। मान लीजिए AB वह रेखा है जिसमें रेखा CD समानांतर अनुवाद के दौरान जाती है, \(\overline(AB)\) वह सदिश हो जिसमें सदिश \(\overline(CD)\) समानांतर अनुवाद के दौरान प्रवेश करता है, और इसलिए सदिश \(\ overline(AB)\) और \(\overline(CD)\) बराबर हैं, और रेखाएं AB और CD समानांतर हैं (चित्र 213 देखें)। जैसा कि हम जानते हैं, एक बिंदु के माध्यम से जो दी गई रेखा पर स्थित नहीं है, विमान पर दी गई रेखा (समांतर रेखाओं का अभिगृहीत) के समानांतर अधिकतम एक रेखा खींचना संभव है। अत: बिंदु A से होकर कोई व्यक्ति रेखा CD के समांतर एक रेखा खींच सकता है। चूँकि सदिश \(\overline(AB)\) रेखा AB का भाग है, इसलिए बिंदु A से होकर एक सदिश \(\overline(AB)\) खींचना संभव है, जो सदिश \(\overline) के बराबर है (सीडी)\).

प्रश्न 8.वेक्टर निर्देशांक क्या हैं? निर्देशांक a 1 , a 2 वाले वेक्टर का निरपेक्ष मान क्या है?
जवाब।मान लीजिए सदिश \(\overline(a)\) बिंदु A 1 (x 1 ; y 1) से शुरू होता है और बिंदु A 2 (x 2 ; y 2) पर समाप्त होता है। सदिश \(\overline(a)\) के निर्देशांक a 1 = x 2 - x 1 , a 2 = y 2 - y 1 संख्याएं होंगी। हम वेक्टर निर्देशांक को वेक्टर के अक्षर पदनाम के आगे रखेंगे, इस मामले में \(\overline(a)\) (a 1 ; a 2) या बस \((\overline(a 1 ; a 2 ))\ ) शून्य वेक्टर निर्देशांक शून्य के बराबर हैं।
उनके निर्देशांक के संदर्भ में दो बिंदुओं के बीच की दूरी को व्यक्त करने वाले सूत्र से, यह निम्नानुसार है कि निर्देशांक के साथ वेक्टर का निरपेक्ष मान a 1 , a 2 \(\sqrt(a^2 1 + a^2 2 )\) है।

प्रश्न 9.सिद्ध कीजिए कि समान सदिशों के क्रमशः समान निर्देशांक होते हैं, और क्रमशः समान निर्देशांक वाले सदिश समान होते हैं।
जवाब।मान लीजिए A 1 (x 1 ; y 1) और A 2 (x 2 ; y 2) सदिश \(\overline(a)\) का आरंभ और अंत है। चूँकि सदिश \(\overline(a")\) इसके बराबर सदिश \(\overline(a)\) से समानांतर अनुवाद द्वारा प्राप्त किया जाता है, तो इसकी शुरुआत और अंत क्रमशः A" 1 (x 1 + c) होगा ; y 1 + d ), A" 2 (x 2 + c; y 2 + d)। इससे पता चलता है कि दोनों वैक्टर \(\overline(a)\) और \(\overline(a")\) में हैं वही निर्देशांक: x 2 - x 1 , y 2 - y 1 ।
आइए अब विलोम कथन को सिद्ध करें। मान लीजिए कि सदिशों के संगत निर्देशांक \(\overline(A 1 A 2 )\) और \(\overline(A" 1 A" 2 )\) बराबर हैं। हम सिद्ध करते हैं कि सदिश समान हैं।
मान लीजिए x" 1 और y" 1 बिंदु A" 1 के निर्देशांक हैं, और x" 2, y" 2 बिंदु A" 2 के निर्देशांक हैं। प्रमेय की स्थिति से x 2 - x 1 \u003d x "2 - x" 1, y 2 - y 1 \u003d y "2 - y" 1. अत: x "2 = x 2 + x" 1 - x 1, y" 2 = y 2 + y" 1 - y 1. सूत्रों द्वारा दिया गया समानांतर अनुवाद

x" = x + x" 1 - x 1, y" = y + y" 1 - y 1,

बिंदु A 1 को बिंदु A" 1 पर स्थानांतरित करता है, और बिंदु A 2 को बिंदु A" 2 पर स्थानांतरित करता है, अर्थात। सदिश \(\overline(A 1 A 2 )\) और \(\overline(A" 1 A" 2 )\) समान हैं, आवश्यकतानुसार।

प्रश्न 10.वैक्टर के योग को परिभाषित करें।
जवाब।सदिशों का योग \(\overline(a)\) और \(\overline(b)\) निर्देशांक a 1 , a 2 और b 1 , b 2 के साथ सदिश \(\overline(c)\) है निर्देशांक a 1 + b 1 , a 2 + b a 2 , अर्थात।

\(\overline(a) (a 1 ; a 2) + \overline(b)(b 1 ; b 2) = \overline(c) (a 1 + b 1 ; a 2 + b 2)\)।

निर्माण तिथि: 2009-04-11 15:25:51
अंतिम संपादित: 2012-02-08 09:19:45

लंबे समय से मैं यह लेख नहीं लिखना चाहता था - मैंने सोचा कि सामग्री को कैसे प्रस्तुत किया जाए। आपको चित्र बनाने की भी आवश्यकता है। लेकिन, जाहिरा तौर पर, आज सितारे सफलतापूर्वक बन गए हैं और वैक्टर के बारे में एक लेख होगा। हालांकि यह सिर्फ एक मसौदा है। भविष्य में, मैं इस लेख को कई अलग-अलग हिस्सों में तोड़ दूंगा - पर्याप्त सामग्री है। साथ ही, लेख में धीरे-धीरे सुधार होगा: मैं इसमें बदलाव करूंगा - क्योंकि। एक बैठक में सभी पहलुओं का खुलासा करना संभव नहीं होगा।

उन्नीसवीं सदी में गणित में वैक्टर को उन मात्राओं का वर्णन करने के लिए पेश किया गया था जिनका वर्णन करना मुश्किल था।

कंप्यूटर गेम के विकास में वेक्टर का अत्यधिक उपयोग किया जाता है। उनका उपयोग न केवल पारंपरिक रूप से किया जाता है - ऐसी मात्राओं को बल या गति के रूप में वर्णित करने के लिए, बल्कि उन क्षेत्रों में भी जिनका वैक्टर से कोई लेना-देना नहीं है: रंग भंडारण, छाया निर्माण।

अदिश और सदिश

सबसे पहले, मैं आपको याद दिला दूं कि एक अदिश क्या है और यह एक सदिश से कैसे भिन्न है।

स्केलर मान कुछ मान संग्रहीत करते हैं: द्रव्यमान, आयतन। अर्थात्, यह एक इकाई है जिसकी विशेषता केवल एक संख्या है (उदाहरण के लिए, किसी चीज़ की मात्रा)।

एक अदिश के विपरीत एक सदिश को दो मानों का उपयोग करके वर्णित किया जाता है: परिमाण और दिशा।

वैक्टर और निर्देशांक के बीच एक महत्वपूर्ण अंतर: वैक्टर एक विशिष्ट स्थान से बंधे नहीं होते हैं! एक बार फिर, वेक्टर में मुख्य चीज लंबाई और दिशा है।

एक वेक्टर को लैटिन वर्णमाला के एक मोटे अक्षर से दर्शाया जाता है। उदाहरण के लिए: ए, बी, वी.

पहली आकृति में, आप देख सकते हैं कि सदिश को समतल पर कैसे निरूपित किया जाता है।

अंतरिक्ष में वेक्टर

अंतरिक्ष में, वैक्टर को निर्देशांक का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है। लेकिन पहले हमें एक अवधारणा पेश करनी होगी:

बिंदु त्रिज्या वेक्टर

आइए अंतरिक्ष में कोई बिंदु M(2,1) लें। एक बिंदु का त्रिज्या वेक्टर एक वेक्टर है जो मूल बिंदु से शुरू होता है और बिंदु पर समाप्त होता है।

हमारे यहां जो कुछ है वह एक वेक्टर से ज्यादा कुछ नहीं है ओएम. वेक्टर प्रारंभ निर्देशांक (0,0), अंत निर्देशांक (2,1)। आइए इस वेक्टर को इस रूप में निरूपित करें ए.

इस मामले में, वेक्टर को निम्नानुसार लिखा जा सकता है ए = <2, 1>. यह वेक्टर का निर्देशांक रूप है ए.

एक सदिश के निर्देशांक अक्षों के सापेक्ष उसके घटक कहलाते हैं। उदाहरण के लिए, 2 एक वेक्टर घटक है एएक्स-अक्ष के बारे में।

आइए एक बार फिर ध्यान दें कि किसी बिंदु के निर्देशांक क्या होते हैं। एक बिंदु का निर्देशांक (उदाहरण के लिए, x) अक्ष पर बिंदु का प्रक्षेपण है, अर्थात। एक बिंदु से एक अक्ष पर गिराए गए लंबवत का आधार। हमारे उदाहरण में 2.

लेकिन वापस पहली तस्वीर पर। यहाँ हमारे पास दो बिंदु A और B हैं। मान लीजिए कि बिंदुओं के निर्देशांक (1,1) और (3,3) हैं। वेक्टर वीइस मामले में इसे परिभाषित किया जा सकता है वी = <3-1, 3-1>. त्रि-आयामी अंतरिक्ष में दो बिंदुओं पर स्थित एक वेक्टर इस तरह दिखेगा:

वी =

मुझे नहीं लगता कि यहां कोई समस्या है।

एक सदिश को एक अदिश से गुणा करें

एक सदिश को अदिश मानों से गुणा किया जा सकता है:

क वी = =

इस मामले में, स्केलर मान वेक्टर के प्रत्येक घटक के साथ गुणा किया जाता है।

यदि k > 1 है, तो सदिश बढ़ जाएगा, यदि k एक से कम है लेकिन शून्य से अधिक है, तो सदिश लंबाई में घट जाएगा। यदि k शून्य से कम है, तो सदिश दिशा बदल देगा।

यूनिट वैक्टर

इकाई सदिश वे सदिश होते हैं जिनकी लंबाई एक के बराबर होती है। ध्यान दें कि निर्देशांक के साथ वेक्टर<1,1,1>एक के बराबर नहीं होगा! एक सदिश की लंबाई ज्ञात करना नीचे वर्णित है।

तथाकथित ऑर्ट्स हैं - ये यूनिट वैक्टर हैं जो समन्वय अक्ष के साथ दिशा में मेल खाते हैं। मैं- एक्स अक्ष की इकाई वेक्टर, जे- y अक्ष का इकाई सदिश, क- z अक्ष का इकाई सदिश।

जिसमें मैं = <1,0,0>, जे = <0,1,0>, क = <0,0,1>.

अब हम जानते हैं कि एक अदिश से सदिश का गुणन क्या होता है और इकाई सदिश क्या होते हैं। अब हम लिख सकते हैं वीवेक्टर रूप में।

वी= वी एक्स मैं+वी जे+vz क, जहाँ v x , v y , v z सदिश के संगत घटक हैं

वेक्टर जोड़

पिछले फॉर्मूले को पूरी तरह से समझने के लिए, आपको यह समझने की जरूरत है कि वेक्टर जोड़ कैसे काम करता है।

यहाँ सब कुछ सरल है। दो सदिश लें v1 = और v2 =

v1 + v2 =

हम सिर्फ दो वैक्टर के संबंधित घटकों को जोड़ते हैं।

अंतर की गणना उसी तरह की जाती है।

यह गणितीय रूप के बारे में है। पूर्णता के लिए, यह विचार करने योग्य है कि वेक्टर जोड़ना और घटाना ग्राफिक रूप से कैसा दिखेगा।

दो वैक्टर जोड़ने के लिए ए+बी. हमें वेक्टर की शुरुआत से मेल खाना चाहिए बीऔर वेक्टर का अंत ए. फिर, वेक्टर की शुरुआत के बीच एऔर वेक्टर का अंत बीएक नया वेक्टर ड्रा करें। स्पष्टता के लिए, दूसरा आंकड़ा देखें (अक्षर "ए")।

वैक्टर को घटाने के लिए, आपको दो वैक्टर की शुरुआत को जोड़ना होगा और दूसरे वेक्टर के अंत से पहले के अंत तक एक नया वेक्टर बनाना होगा। दूसरी तस्वीर (अक्षर "बी") दिखाती है कि यह कैसा दिखता है।

वेक्टर लंबाई और दिशा

आइए पहले लंबाई को देखें।

लंबाई दिशा की परवाह किए बिना वेक्टर का संख्यात्मक मान है।

लंबाई सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है (एक त्रि-आयामी वेक्टर के लिए):

वेक्टर घटकों के वर्गों के योग का वर्गमूल।

परिचित सूत्र, है ना? सामान्य तौर पर, यह एक खंड की लंबाई के लिए सूत्र है

सदिश की दिशा सदिश और निर्देशांक अक्षों के बीच बने कोणों की दिक्-कोज्या द्वारा निर्धारित होती है। दिशा कोसाइन खोजने के लिए, उपयुक्त घटकों और लंबाई का उपयोग किया जाता है (चित्र बाद में होगा)।

कार्यक्रमों में वैक्टर का प्रतिनिधित्व

कार्यक्रमों में वेक्टरों का विभिन्न तरीकों से प्रतिनिधित्व किया जा सकता है। दोनों साधारण चर की मदद से, जो अक्षम है, और सरणियों, वर्गों और संरचनाओं की मदद से।

फ्लोट वेक्टर3 = (1,2,3); // वेक्टर स्ट्रक्चर वेक्टर 3 को स्टोर करने के लिए ऐरे // वैक्टर को स्टोर करने के लिए स्ट्रक्चर (फ्लोट एक्स, वाई, जेड;);

वैक्टर को स्टोर करने की सबसे बड़ी संभावनाएं कक्षाओं द्वारा प्रदान की जाती हैं। कक्षाओं में, हम न केवल स्वयं वेक्टर (चर) का वर्णन कर सकते हैं, बल्कि वेक्टर संचालन (कार्य) भी कर सकते हैं।

वैक्टर का डॉट उत्पाद

सदिश गुणन दो प्रकार के होते हैं: सदिश और अदिश।

अदिश उत्पाद की एक विशिष्ट विशेषता यह है कि परिणाम हमेशा एक अदिश मान होगा, अर्थात। संख्या।

यहां इस क्षण पर ध्यान देने योग्य है। यदि इस ऑपरेशन का परिणाम शून्य है, तो दो वैक्टर लंबवत हैं - उनके बीच का कोण 90 डिग्री है। यदि परिणाम शून्य से अधिक है, तो कोण 90 डिग्री से कम है। यदि परिणाम शून्य से कम है, तो कोण 90 डिग्री से अधिक है।

इस ऑपरेशन को निम्न सूत्र द्वारा दर्शाया गया है:

ए · बी= ए एक्स * बी एक्स + ए वाई * बी वाई + ए जेड * बी जेड

अदिश उत्पाद दो सदिशों के संगत घटकों के गुणनफलों का योग होता है। वे। हम दो सदिशों के x "s लेते हैं, उन्हें गुणा करते हैं, फिर उन्हें y" s के गुणनफल में जोड़ते हैं और इसी तरह आगे भी।

वैक्टर का क्रॉस उत्पाद

दो वैक्टरों के क्रॉस उत्पाद का परिणाम इन वैक्टरों के लंबवत वेक्टर होगा।

एएक्स बी =

हम अभी इस सूत्र पर विस्तार से चर्चा नहीं करेंगे। इसके अलावा, यह याद रखना काफी कठिन है। हम निर्धारकों से परिचित होने के बाद इस बिंदु पर लौटेंगे।

खैर, सामान्य विकास के लिए यह जानना उपयोगी है कि परिणामी वेक्टर की लंबाई वैक्टर पर बने समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर होती है एऔर बी.

वेक्टर सामान्यीकरण

एक सामान्यीकृत वेक्टर एक वेक्टर होता है जिसकी लंबाई एक होती है।

सामान्यीकृत वेक्टर खोजने का सूत्र इस प्रकार है - वेक्टर के सभी घटकों को इसकी लंबाई से विभाजित किया जाना चाहिए:

वीएन = वी/|वी| =

अंतभाषण

जैसा कि आपने शायद देखा है, वैक्टर को समझना मुश्किल नहीं है। हमने सदिशों पर अनेक संक्रियाओं पर विचार किया है।

"गणित" खंड के निम्नलिखित लेखों में, हम मैट्रिक्स, निर्धारक, रैखिक समीकरणों के सिस्टम पर चर्चा करेंगे। यह सब सिद्धांत है।

उसके बाद, हम मैट्रिक्स रूपांतरणों को देखेंगे। तभी आप समझ पाएंगे कि कंप्यूटर गेम बनाने में गणित कितना महत्वपूर्ण है। यह विषय पिछले सभी विषयों के लिए सिर्फ एक अभ्यास बन जाएगा।

परिभाषा वास्तविक संख्याओं का क्रमित संग्रह (x 1, x 2, ..., x n) n कहलाता है एन-आयामी वेक्टर, और संख्याएँ x i (i = 1,...,n) - अवयवया निर्देशांक,

उदाहरण। यदि, उदाहरण के लिए, एक निश्चित ऑटोमोबाइल प्लांट को 50 कारों, 100 ट्रकों, 10 बसों, कारों के लिए 50 स्पेयर पार्ट्स और प्रति शिफ्ट ट्रक और बसों के लिए 150 सेट का उत्पादन करना है, तो इस प्लांट के उत्पादन कार्यक्रम को एक के रूप में लिखा जा सकता है वेक्टर (50, 100, 10, 50, 150), जिसमें पाँच घटक हैं।

संकेतन। सदिशों को बड़े अक्षरों या अक्षरों द्वारा निरूपित किया जाता है, जिसमें शीर्ष पर एक बार या तीर होता है, उदाहरण के लिए, एया । दो वैक्टर को कहा जाता है बराबरयदि उनके घटकों की संख्या समान है और उनके संगत घटक समान हैं।

सदिश घटकों को आपस में बदला नहीं जा सकता, उदाहरण के लिए, (3, 2, 5, 0, 1) और (2, 3, 5, 0, 1) भिन्न-भिन्न सदिश हैं।
वैक्टर पर संचालन।कामएक्स= (x 1, x 2, ..., x n) से वास्तविक संख्या को सदिश कहा जाता है। एक्स= (λ x 1 , λ x 2 , ... , x n)।

जोड़एक्स= (एक्स 1, एक्स 2, ..., एक्स एन) और आप= (y 1 , y 2 , ... ,y n) को सदिश कहा जाता है एक्स+वाई= (x 1 + y 1, x 2 + y 2, ..., x n + + y n)।

वैक्टर का स्थान।एन-आयामी वेक्टर अंतरिक्ष आर n को सभी n-आयामी सदिशों के समुच्चय के रूप में परिभाषित किया गया है जिसके लिए वास्तविक संख्याओं और योग द्वारा गुणन की संक्रियाओं को परिभाषित किया गया है।

आर्थिक चित्रण। एक एन-आयामी वेक्टर अंतरिक्ष का एक आर्थिक चित्रण: माल की जगह (चीज़ें) नीचे वस्तुहम कुछ अच्छी या सेवा को समझेंगे जो एक निश्चित स्थान पर एक निश्चित समय पर बिक्री के लिए गई थी। मान लें कि n उपलब्ध वस्तुओं की एक सीमित संख्या है; उपभोक्ता द्वारा खरीदे गए उनमें से प्रत्येक की मात्रा माल के एक सेट की विशेषता है

एक्स= (एक्स 1 , एक्स 2 , ..., एक्स एन),

जहां x i उपभोक्ता द्वारा खरीदे गए i-वें माल की मात्रा को दर्शाता है। हम मान लेंगे कि सभी वस्तुओं में मनमानी विभाज्यता का गुण होता है, ताकि उनमें से प्रत्येक की कोई भी गैर-ऋणात्मक मात्रा खरीदी जा सके। तब माल के सभी संभावित सेट माल के स्थान के सदिश हैं C = ( एक्स= (x 1 , x 2 , ... , x n) x i 0, i =1,...,n)।

रैखिक स्वतंत्रता। प्रणाली इ 1 , इ 2 , ... , इ m n-विमीय सदिश कहलाते हैं रैखिक रूप से आश्रित, यदि ऐसी संख्याएँ हैं 1 , 2 , ... , m , जिनमें से कम से कम एक अशून्य है, जैसे कि समानता λ 1 इ 1 + m इएम = 0; अन्यथा, सदिशों की इस प्रणाली को कहा जाता है रैखिक रूप से स्वतंत्र, अर्थात्, संकेतित समानता तभी संभव है जब सभी 1 =λ 2 =...=λ m =0. में वैक्टर की रैखिक निर्भरता का ज्यामितीय अर्थ आर 3, निर्देशित खंडों के रूप में व्याख्या की गई, निम्नलिखित प्रमेयों की व्याख्या करें।

प्रमेय 1. एक एकल वेक्टर से युक्त एक प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर होती है यदि और केवल यदि यह वेक्टर शून्य है।

प्रमेय 2। दो सदिशों के रैखिक रूप से आश्रित होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि वे संरेख (समानांतर) हों।

प्रमेय 3 . तीन सदिशों के रैखिक रूप से आश्रित होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि वे समतलीय हों (एक ही तल में पड़े हों)।

वैक्टर के बाएँ और दाएँ ट्रिपल। गैर समतलीय सदिशों का एक तिहाई ए, बी, सीबुलाया सही, यदि प्रेक्षक अपने सामान्य मूल से सदिशों के सिरों को बायपास करता है ए, बी, सीउस क्रम में दक्षिणावर्त आगे बढ़ना प्रतीत होता है। अन्यथा ए, बी, सी -लेफ्ट ट्रिपल. सदिशों के सभी दाएं (या बाएं) त्रिगुण कहलाते हैं समान रूप से उन्मुखी।

आधार और निर्देशांक। तिकड़ी इ 1, इ 2 , इ 3 गैर समतलीय सदिश in आर 3 बुलाया आधार, और स्वयं वैक्टर इ 1, इ 2 , इ 3 - बुनियादी. कोई वेक्टर एआधार वैक्टर के संदर्भ में एक अनोखे तरीके से विस्तारित किया जा सकता है, अर्थात इसे रूप में दर्शाया जा सकता है

ए= एक्स 1 इ 1 + x2 इ 2 + एक्स 3 इ 3, (1.1)

संख्याएँ x 1 , x 2 , x 3 विस्तार में (1.1) कहलाती हैं COORDINATESएआधार पर इ 1, इ 2 , इ 3 और निरूपित हैं ए(एक्स 1, एक्स 2, एक्स 3)।

ऑर्थोनॉर्मल आधार। यदि वैक्टर इ 1, इ 2 , इ 3 जोड़ीवार लंबवत हैं और उनमें से प्रत्येक की लंबाई एक के बराबर है, तो आधार कहलाता है ऑर्थोनॉर्मल, और निर्देशांक x 1 , x 2 , x 3 - आयताकार।एक लम्बवत आधार के आधार सदिशों को निरूपित किया जाएगा मैं, जे, के।

हम मान लेंगे कि अंतरिक्ष में आर 3 कार्टेशियन आयताकार निर्देशांक की सही प्रणाली (0, मैं, जे, के}.

वेक्टर उत्पाद।वेक्टर कलाएप्रति वेक्टर बीवेक्टर कहा जाता है सी, जो निम्नलिखित तीन स्थितियों द्वारा निर्धारित किया जाता है:

1. वेक्टर लंबाई सीसंख्यात्मक रूप से वैक्टर पर बने समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर एऔर बी,अर्थात।
सी= |ए||बी|पाप ( ए^बी).

2. वेक्टर सीप्रत्येक वैक्टर के लंबवत एऔर बी।

3. वैक्टर ए, बीऔर सी, उस क्रम में लिया गया, एक सही ट्रिपल बनाते हैं।

वेक्टर उत्पाद के लिए सीपदनाम पेश किया गया है सी =[अब] या
सी = ए × बी।

यदि वैक्टर एऔर बीसंरेख हैं, तो sin( ए ^ बी) = 0 और [ अब] = 0, विशेष रूप से, [ आ] = 0. orts के वेक्टर उत्पाद: [ आईजेयू]=क, [जेके] = मैं, [किओ]=जे.

यदि वैक्टर एऔर बीआधार में दिया गया मैं, जे, के COORDINATES ए(ए 1, ए 2, ए 3), बी(बी 1 , बी 2 , बी 3), तब

मिश्रित कार्य। यदि दो वैक्टरों का क्रॉस उत्पाद एऔर बीअदिश को तीसरे सदिश से गुणा किया जाता है सी,तब तीन सदिशों का ऐसा गुणनफल कहलाता है मिश्रित उत्पादऔर प्रतीक द्वारा निरूपित किया जाता है ए ई.पू.

यदि वैक्टर ए, बीऔर सीआधार पर मैं, जे, केउनके निर्देशांक द्वारा निर्धारित
ए(ए 1, ए 2, ए 3), बी(बी 1, बी 2, बी 3), सी(सी 1 , सी 2 , सी 3), तब

मिश्रित उत्पाद की एक सरल ज्यामितीय व्याख्या होती है - यह एक अदिश राशि होती है, जिसका निरपेक्ष मान तीन दिए गए वैक्टर पर बने समानांतर चतुर्भुज के आयतन के बराबर होता है।

यदि वैक्टर एक सही ट्रिपल बनाते हैं, तो उनका मिश्रित उत्पाद संकेतित मात्रा के बराबर एक सकारात्मक संख्या है; अगर तीन ए, बी, सी -बाएं, फिर ए बी सी<0 и V = - ए बी सी, इसलिए वी = |ए बी सी|.

पहले अध्याय की समस्याओं में सामने आए सदिशों के निर्देशांक सही ऑर्थोनॉर्मल आधार के सापेक्ष दिए गए हैं। इकाई सदिश सदिश की दिशा में ए,प्रतीक द्वारा निरूपित एके विषय में। प्रतीक आर=ओएमबिंदु M के त्रिज्या सदिश द्वारा निरूपित, प्रतीक a, AB या |ए|, |एबी |वैक्टर के मॉड्यूल निरूपित हैं एऔर एबी.

उदाहरण 1.2. वैक्टर के बीच का कोण खोजें ए= 2एम+4एनऔर बी= एम-एन, कहाँ पे एमऔर एन-इकाई वैक्टर और कोण के बीच एमऔर एन 120 ओ के बराबर।

फेसला. हमारे पास है: cos = अब/एबी, एबी =(2एम+4एन) (एम-एन) = 2एम 2 - 4एन 2 +2एम.एन.=
= 2 - 4+2cos120 o = - 2 + 2(-0.5) = -3; ए = ; ए 2 = (2एम+4एन) (2एम+4एन) =
= 4एम 2 +16एम.एन.+16एन 2 = 4+16(-0.5)+16=12, इसलिए a = . ख = ; बी 2 =
= (एम-एन)(एम-एन) = एम 2 -2एम.एन.+एन 2 = 1-2(-0.5)+1 = 3, इसलिए b = . अंत में हमारे पास है: cos == -1/2, φ = 120 o ।

उदाहरण 1.3।जानने वाले वैक्टर अब(-3,-2.6) और ईसा पूर्व(-2,4,4), त्रिभुज ABC की ऊंचाई AD परिकलित करें।

फेसला. त्रिभुज ABC के क्षेत्रफल को S से निरूपित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:
एस = 1/2 ई.पू. तब AD=2S/BC, BC== = 6,
एस = 1/2| एबी ×एसी |. एसी = एबी + बीसी, तो वेक्टर एसीनिर्देशांक हैं
.

इस लेख में, आप और मैं एक "जादू की छड़ी" की चर्चा शुरू करेंगे जो आपको ज्यामिति में कई समस्याओं को सरल अंकगणित में कम करने की अनुमति देगा। यह "छड़ी" आपके जीवन को बहुत आसान बना सकती है, खासकर जब आप स्थानिक आंकड़े, खंड आदि बनाने में असुरक्षित महसूस करते हैं। इसके लिए एक निश्चित कल्पना और व्यावहारिक कौशल की आवश्यकता होती है। जिस विधि पर हम यहां विचार करना शुरू करेंगे, वह आपको सभी प्रकार की ज्यामितीय संरचनाओं और तर्क से लगभग पूरी तरह से अलग करने की अनुमति देगी। विधि कहा जाता है "समन्वय विधि". इस लेख में, हम निम्नलिखित प्रश्नों पर विचार करेंगे:

विमान का समन्वय
विमान पर अंक और वैक्टर
दो बिंदुओं से एक वेक्टर बनाना
वेक्टर लंबाई (दो बिंदुओं के बीच की दूरी)
मध्यबिंदु निर्देशांक
सदिशों का डॉट उत्पाद
दो सदिशों के बीच का कोण

मुझे लगता है कि आप पहले ही अनुमान लगा चुके हैं कि निर्देशांक पद्धति को ऐसा क्यों कहा जाता है? यह सच है कि इसे ऐसा नाम मिला, क्योंकि यह ज्यामितीय वस्तुओं के साथ नहीं, बल्कि उनकी संख्यात्मक विशेषताओं (निर्देशांक) के साथ काम करता है। और परिवर्तन ही, जो ज्यामिति से बीजगणित में जाना संभव बनाता है, एक समन्वय प्रणाली की शुरुआत में शामिल है। यदि मूल आकृति समतल थी, तो निर्देशांक द्वि-आयामी हैं, और यदि आकृति त्रि-आयामी है, तो निर्देशांक त्रि-आयामी हैं। इस लेख में, हम केवल द्वि-आयामी मामले पर विचार करेंगे। और लेख का मुख्य उद्देश्य आपको समन्वय पद्धति की कुछ बुनियादी तकनीकों का उपयोग करना सिखाना है (यूनिफाइड स्टेट परीक्षा के भाग बी में प्लैनिमेट्री में समस्याओं को हल करते समय वे कभी-कभी उपयोगी साबित होते हैं)। इस विषय पर निम्नलिखित दो खंड समस्या C2 (स्टीरियोमेट्री की समस्या) को हल करने के तरीकों की चर्चा के लिए समर्पित हैं।

निर्देशांक पद्धति पर चर्चा शुरू करना कहाँ से तर्कसंगत होगा? शायद एक समन्वय प्रणाली की अवधारणा के साथ। याद कीजिए जब आप उससे पहली बार मिले थे। मुझे ऐसा लगता है कि 7 वीं कक्षा में, जब आपने एक रैखिक कार्य के अस्तित्व के बारे में सीखा, उदाहरण के लिए। मैं आपको याद दिला दूं कि आपने इसे बिंदु दर बिंदु बनाया है। क्या तुम्हें याद है? आपने एक मनमाना संख्या चुना, इसे सूत्र में प्रतिस्थापित किया और इस तरह से गणना की। उदाहरण के लिए, यदि, तब, यदि, तब, आदि। परिणामस्वरूप आपको क्या मिला? और आपको निर्देशांक के साथ अंक प्राप्त हुए: और। फिर आपने एक "क्रॉस" (समन्वय प्रणाली) खींचा, उस पर एक पैमाना चुना (एक खंड के रूप में आपके पास कितने सेल होंगे) और उस पर प्राप्त बिंदुओं को चिह्नित किया, जिसे आप एक सीधी रेखा से जोड़ते हैं, परिणामी रेखा फ़ंक्शन का ग्राफ है।

कुछ चीजें हैं जिन्हें आपको थोड़ा और विस्तार से समझाने की आवश्यकता है:

1. आप सुविधा के कारणों के लिए एक खंड चुनते हैं, ताकि तस्वीर में सब कुछ अच्छी तरह से और कॉम्पैक्ट रूप से फिट हो सके

2. यह माना जाता है कि अक्ष बाएँ से दाएँ जाता है, और अक्ष नीचे से ऊपर की ओर जाता है

3. वे एक समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं, और उनके प्रतिच्छेदन बिंदु को मूल बिंदु कहते हैं। यह एक पत्र के साथ चिह्नित है।

4. एक बिंदु के निर्देशांक के रिकॉर्ड में, उदाहरण के लिए, कोष्ठक में बाईं ओर अक्ष के साथ बिंदु का समन्वय है, और दाईं ओर, अक्ष के साथ है। विशेष रूप से, इसका सीधा सा अर्थ है कि बिंदु

5. निर्देशांक अक्ष पर किसी भी बिंदु को सेट करने के लिए, आपको उसके निर्देशांक (2 अंक) निर्दिष्ट करने होंगे

6. अक्ष पर स्थित किसी भी बिंदु के लिए,

7. अक्ष पर स्थित किसी भी बिंदु के लिए,

8. अक्ष को x-अक्ष कहा जाता है

9. अक्ष को y-अक्ष कहा जाता है

अब हम आपके साथ अगला कदम उठाते हैं: दो बिंदुओं को चिह्नित करें। इन दोनों बिंदुओं को एक रेखा से जोड़िए। और हम तीर को ऐसे लगाते हैं जैसे कि हम एक बिंदु से दूसरे बिंदु पर एक खंड खींच रहे हैं: अर्थात, हम अपने खंड को निर्देशित करेंगे!

याद रखें कि निर्देशित खंड का दूसरा नाम क्या है? यह सही है, इसे वेक्टर कहा जाता है!

इस प्रकार, यदि हम एक बिंदु को एक बिंदु से जोड़ते हैं, और शुरुआत बिंदु A होगी, और अंत बिंदु B होगा,तब हमें एक वेक्टर मिलता है। 8वीं कक्षा में आपने भी किया था ये निर्माण, याद है?

यह पता चला है कि वैक्टर, जैसे बिंदुओं को दो संख्याओं द्वारा निरूपित किया जा सकता है: इन संख्याओं को वेक्टर के निर्देशांक कहा जाता है। प्रश्न: क्या आपको लगता है कि सदिश के आरंभ और अंत के निर्देशांकों को जानना हमारे लिए इसके निर्देशांक खोजने के लिए पर्याप्त है? यह पता चला है कि हाँ! और यह करना बहुत आसान है:

इस प्रकार, चूंकि वेक्टर में बिंदु शुरुआत और अंत है, वेक्टर के निम्नलिखित निर्देशांक हैं:

उदाहरण के लिए, यदि, तो वेक्टर के निर्देशांक

अब इसके विपरीत करते हैं, वेक्टर के निर्देशांक खोजें। इसके लिए हमें क्या बदलने की जरूरत है? हां, आपको शुरुआत और अंत को स्वैप करने की आवश्यकता है: अब वेक्टर की शुरुआत एक बिंदु पर होगी, और अंत एक बिंदु पर होगा। फिर:

बारीकी से देखें, वैक्टर और में क्या अंतर है? उनका अंतर केवल निर्देशांक में संकेत है। वे विपरीत हैं। यह तथ्य इस प्रकार लिखा गया है:

कभी-कभी, यदि यह विशेष रूप से नहीं बताया गया है कि कौन सा बिंदु वेक्टर की शुरुआत है, और कौन सा अंत है, तो वैक्टर को दो बड़े अक्षरों से नहीं, बल्कि एक निचले मामले से दर्शाया जाता है, उदाहरण के लिए :, आदि।

अब थोड़ा अभ्यासऔर निम्नलिखित वैक्टर के निर्देशांक खोजें:

इंतिहान:

अब समस्या को थोड़ा और कठिन हल करें:

एक बिंदु पर ऑन-चा-स्क्रैप के साथ एक वेक्टर टोरस में सह-या-दी-ऑन-यू होता है। ढूँढें-दी-ते abs-cis-su अंक।

वही सब काफी नीरस है: आज्ञा देना बिंदु के निर्देशांक. फिर

मैंने एक वेक्टर के निर्देशांक क्या हैं, यह निर्धारित करके सिस्टम को संकलित किया। फिर बिंदु के निर्देशांक हैं। हम एब्सिस्सा में रुचि रखते हैं। फिर

जवाब:

आप वैक्टर के साथ और क्या कर सकते हैं? हां, लगभग सब कुछ सामान्य संख्याओं के समान ही है (सिवाय इसके कि आप भाग नहीं कर सकते, लेकिन आप दो तरीकों से गुणा कर सकते हैं, जिनमें से एक की चर्चा हम यहां थोड़ी देर बाद करेंगे)

वैक्टर को एक दूसरे के साथ ढेर किया जा सकता है
सदिशों को एक दूसरे से घटाया जा सकता है
सदिशों को एक मनमाना गैर-शून्य संख्या से गुणा (या विभाजित) किया जा सकता है
वैक्टर को एक दूसरे से गुणा किया जा सकता है

इन सभी कार्यों में काफी दृश्य ज्यामितीय प्रतिनिधित्व है। उदाहरण के लिए, त्रिभुज (या समांतर चतुर्भुज) जोड़ और घटाव का नियम:

एक संख्या से गुणा या भाग करने पर एक वेक्टर फैलता या सिकुड़ता या दिशा बदलता है:

हालांकि, यहां हमें इस सवाल में दिलचस्पी होगी कि निर्देशांक का क्या होता है।

1. दो सदिशों को जोड़ने (घटाने) पर, हम उनके निर्देशांक तत्व को तत्व से जोड़ते (घटाना) करते हैं। अर्थात:

2. जब किसी सदिश को किसी संख्या से गुणा (विभाजित) किया जाता है, तो उसके सभी निर्देशांक इस संख्या से गुणा (विभाजित) हो जाते हैं:

उदाहरण के लिए:

· को-या-दी-नट सेंचुरी-टू-रा का योग ज्ञात करें।

आइए पहले प्रत्येक सदिश के निर्देशांक ज्ञात करें। दोनों का उद्गम एक ही है - मूल बिंदु। उनके सिरे अलग हैं। फिर, । अब हम सदिश के निर्देशांकों की गणना करते हैं तो परिणामी सदिश के निर्देशांकों का योग बराबर होता है।

जवाब:

अब निम्नलिखित समस्या को स्वयं हल करें:

· सदिश के निर्देशांकों का योग ज्ञात कीजिए

हम जाँच:

आइए अब निम्नलिखित समस्या पर विचार करें: निर्देशांक तल पर हमारे पास दो बिंदु हैं। उनके बीच की दूरी कैसे ज्ञात करें? पहला बिंदु होने दें, और दूसरा। आइए उनके बीच की दूरी को निरूपित करें। आइए स्पष्टता के लिए निम्नलिखित चित्र बनाएं:

मैंने क्या किया? मैंने, सबसे पहले, बिंदुओं को जोड़ा और, और बिंदु से अक्ष के समानांतर एक रेखा भी खींची, और बिंदु से अक्ष के समानांतर एक रेखा खींची। क्या वे एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं, जिससे एक अद्भुत आकृति बनती है? वह अद्भुत क्यों है? हाँ, आप और मैं समकोण त्रिभुज के बारे में लगभग सब कुछ जानते हैं। खैर, पाइथागोरस प्रमेय, निश्चित रूप से। वांछित खंड इस त्रिभुज का कर्ण है, और खंड पैर हैं। बिंदु के निर्देशांक क्या हैं? हां, उन्हें चित्र से खोजना आसान है: चूंकि खंड अक्षों के समानांतर हैं और, क्रमशः, उनकी लंबाई खोजना आसान है: यदि हम खंडों की लंबाई को क्रमशः, के माध्यम से निरूपित करते हैं, तो

अब पाइथागोरस प्रमेय का प्रयोग करते हैं। हम पैरों की लंबाई जानते हैं, हम कर्ण पाएंगे:

इस प्रकार, दो बिंदुओं के बीच की दूरी निर्देशांक से वर्ग अंतर का मूल योग है। या - दो बिंदुओं के बीच की दूरी उन्हें जोड़ने वाले खंड की लंबाई है। यह देखना आसान है कि बिंदुओं के बीच की दूरी दिशा पर निर्भर नहीं करती है। फिर:

इससे हम तीन निष्कर्ष निकालते हैं:

आइए दो बिंदुओं के बीच की दूरी की गणना करने पर थोड़ा अभ्यास करें:

उदाहरण के लिए, यदि, तो और के बीच की दूरी है

या अलग तरीके से चलते हैं: वेक्टर के निर्देशांक खोजें

और वेक्टर की लंबाई पाएं:

जैसा कि आप देख सकते हैं, यह वही है!

अब अपने आप से थोड़ा अभ्यास करें:

कार्य: दिए गए बिंदुओं के बीच की दूरी का पता लगाएं:

हम जाँच:

यहाँ एक ही सूत्र के लिए कुछ और समस्याएँ हैं, हालाँकि वे थोड़ी भिन्न हैं:

1. पलक-से-रा की लंबाई का वर्ग खोजें।

2. पलक की लंबाई-से-रा . का नया-दी-ते वर्ग

मुझे लगता है कि आप उन्हें आसानी से संभाल सकते हैं? हम जाँच:

1. और यह सावधानी के लिए है) हम पहले ही वैक्टर के निर्देशांक पा चुके हैं: । तब वेक्टर के निर्देशांक होते हैं। इसकी लंबाई का वर्ग होगा:

2. वेक्टर के निर्देशांक खोजें

तो इसकी लंबाई का वर्ग है

कुछ भी जटिल नहीं है, है ना? सरल अंकगणित, और कुछ नहीं।

निम्नलिखित पहेलियों को स्पष्ट रूप से वर्गीकृत नहीं किया जा सकता है, वे सामान्य ज्ञान और सरल चित्र खींचने की क्षमता के लिए हैं।

1. एब्सिस्सा अक्ष के साथ, ऑन-क्लो-ऑन-फ्रॉम-कट, कनेक्ट-वन-एन-वें-वें बिंदु के कोण के उन साइन को खोजें।

और

हम इसे यहाँ कैसे करने जा रहे हैं? आपको अक्ष और उसके बीच के कोण की ज्या ज्ञात करने की आवश्यकता है। और हम साइन की तलाश कहाँ कर सकते हैं? यह सही है, एक समकोण त्रिभुज में। तो हमें क्या करने की ज़रूरत है? इस त्रिकोण का निर्माण करें!

चूंकि बिंदु के निर्देशांक और, फिर खंड बराबर है, और खंड। हमें कोण की ज्या ज्ञात करनी है। आपको याद दिला दूं कि ज्या विपरीत पैर का कर्ण से अनुपात है, तो

हम क्या करने के लिए बचे हैं? कर्ण ज्ञात कीजिए। आप इसे दो तरीकों से कर सकते हैं: पाइथागोरस प्रमेय (पैर ज्ञात हैं!) का उपयोग करना या दो बिंदुओं के बीच की दूरी के लिए सूत्र का उपयोग करना (वास्तव में पहली विधि के समान!)। मैं दूसरा रास्ता जाऊंगा:

जवाब:

अगला काम आपको और भी आसान लगेगा। वह - बिंदु के निर्देशांक पर।

कार्य 2.बिंदु से, प्रति-पेन-दी-कु-लार को एब्स-सिस अक्ष पर उतारा जाता है। नई-दी-ते एब्स-सीआईएस-सु ओएस-नो-वा-निया प्रति-पेन-दी-कु-ला-रा।

आइए एक चित्र बनाएं:

लंब का आधार वह बिंदु है जिस पर यह x-अक्ष (अक्ष) को काटता है मेरे लिए यह एक बिंदु है। चित्र से पता चलता है कि इसमें निर्देशांक हैं: . हम एब्सिस्सा में रुचि रखते हैं - यानी "एक्स" घटक। वह बराबर है।

जवाब: .

कार्य 3.पिछली समस्या की शर्तों के तहत, बिंदु से निर्देशांक अक्षों तक की दूरी का योग ज्ञात कीजिए।

कार्य आम तौर पर प्राथमिक होता है यदि आप जानते हैं कि एक बिंदु से कुल्हाड़ियों की दूरी क्या है। तुम्हे पता हैं? मुझे आशा है, लेकिन फिर भी मैं आपको याद दिलाता हूं:

तो, मेरे चित्र में, थोड़ा अधिक स्थित, मैंने पहले से ही एक ऐसे लंबवत का चित्रण किया है? यह कौन सी धुरी है? धुरी को। और फिर इसकी लंबाई क्या है? वह बराबर है। अब स्वयं अक्ष पर एक लंब खींचिए और उसकी लंबाई ज्ञात कीजिए। यह बराबर होगा, है ना? तब उनका योग बराबर होता है।

जवाब: .

कार्य 4.समस्या 2 की स्थितियों में, x-अक्ष के परितः बिंदु के सममित बिंदु की कोटि ज्ञात कीजिए।

मुझे लगता है कि आप सहज रूप से समझते हैं कि समरूपता क्या है? बहुत सारी वस्तुओं में यह है: कई इमारतें, टेबल, विमान, कई ज्यामितीय आकार: एक गेंद, एक सिलेंडर, एक वर्ग, एक समचतुर्भुज, आदि। मोटे तौर पर, समरूपता को इस प्रकार समझा जा सकता है: एक आकृति में दो (या अधिक) होते हैं। समान आधा। इस समरूपता को अक्षीय कहा जाता है। फिर अक्ष क्या है? यह ठीक वह रेखा है जिसके साथ आकृति, अपेक्षाकृत बोलकर, समान हिस्सों में "कट" हो सकती है (इस चित्र में, समरूपता की धुरी सीधी है):

अब चलो अपने काम पर वापस आते हैं। हम जानते हैं कि हम एक ऐसे बिंदु की तलाश कर रहे हैं जो अक्ष के बारे में सममित हो। तब यह अक्ष सममिति की धुरी है। इसलिए, हमें एक बिंदु को चिह्नित करने की आवश्यकता है ताकि अक्ष खंड को दो बराबर भागों में काट दे। ऐसे बिंदु को स्वयं चिह्नित करने का प्रयास करें। अब मेरे समाधान से तुलना करें:

क्या आपने ऐसा ही किया? कुंआ! पाया बिंदु पर, हम कोटि में रुचि रखते हैं। वह बराबर है

जवाब:

अब मुझे बताओ, एक सेकंड के लिए सोचने के बाद, y-अक्ष के बारे में बिंदु A के सममित बिंदु का भुज क्या होगा? आपका जवाब क्या है? सही उत्तर: ।

सामान्य तौर पर, नियम इस तरह लिखा जा सकता है:

एक्स-अक्ष के बारे में एक बिंदु के सममित बिंदु में निर्देशांक होते हैं:

y-अक्ष के किसी बिंदु के सममित बिंदु के निर्देशांक होते हैं:

खैर, अब यह वाकई डरावना है। काम: उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जो मूल बिंदु के सापेक्ष किसी बिंदु के सममित हो। आप पहले अपने लिए सोचें, और फिर मेरे चित्र को देखें!

जवाब:

अभी समांतर चतुर्भुज समस्या:

टास्क 5: अंक हैं ver-shi-na-mi-pa-ral-le-lo-gram-ma। ढूँढें-डी-ते या-डी-ऑन-टू अंक।

आप इस समस्या को दो तरीकों से हल कर सकते हैं: तर्क और समन्वय विधि। मैं पहले निर्देशांक विधि लागू करूंगा, और फिर मैं आपको बताऊंगा कि आप अलग तरीके से कैसे निर्णय ले सकते हैं।

यह बिल्कुल स्पष्ट है कि बिंदु का भुज बराबर है। (यह बिंदु से x-अक्ष पर खींचे गए लंब पर स्थित है)। हमें निर्देशांक खोजने की जरूरत है। आइए इस तथ्य का लाभ उठाएं कि हमारी आकृति एक समांतर चतुर्भुज है, जिसका अर्थ है कि। दो बिंदुओं के बीच की दूरी के लिए सूत्र का उपयोग करके खंड की लंबाई पाएं:

हम बिंदु को अक्ष से जोड़ने वाले लंबवत को कम करते हैं। प्रतिच्छेदन बिंदु को एक अक्षर द्वारा निरूपित किया जाता है।

खंड की लंबाई बराबर है। (समस्या का पता लगाएं, जहां हमने इस क्षण पर चर्चा की थी), फिर हम पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके खंड की लंबाई पाएंगे:

खंड की लंबाई बिल्कुल उसके कोटि के समान है।

जवाब: .

एक और समाधान (मैं सिर्फ एक तस्वीर प्रदान करूंगा जो इसे दिखाता है)

समाधान प्रगति:

1. खर्च

2. बिंदु निर्देशांक और लंबाई खोजें

3. सिद्ध कीजिए।

और एक लंबाई काटने की समस्या:

अंक हैं-ला-युत-ज़िया टॉप-शि-ऑन-मील त्रि-कोण-नो-का। उसकी मध्य रेखा की लंबाई ज्ञात कीजिए, par-ral-lel-noy।

क्या आपको याद है कि त्रिभुज की मध्य रेखा क्या होती है? तब आपके लिए यह कार्य प्राथमिक है। अगर आपको याद नहीं है, तो मैं आपको याद दिला दूं: त्रिभुज की मध्य रेखा एक ऐसी रेखा है जो विपरीत पक्षों के मध्य बिंदुओं को जोड़ती है। यह आधार के समानांतर है और इसके आधे के बराबर है।

आधार एक खंड है। हमें इसकी लंबाई पहले देखनी थी, यह बराबर है। तब मध्य रेखा की लंबाई आधी लंबी और बराबर होती है।

जवाब: .

टिप्पणी: इस समस्या को दूसरे तरीके से हल किया जा सकता है, जिसे हम थोड़ी देर बाद देखेंगे।

इस बीच, यहां आपके लिए कुछ कार्य हैं, उन पर अभ्यास करें, वे काफी सरल हैं, लेकिन वे समन्वय विधि का उपयोग करके "अपना हाथ पाने" में मदद करते हैं!

1. अंक दिखाई देते हैं-ला-युत-ज़िया टॉप-शि-ऑन-मील ट्रै-पे-टियन। इसकी मध्य रेखा की लंबाई ज्ञात कीजिए।

2. अंक और यव-ला-युत-ज़िया वेर-शि-ना-मील पा-राल-ले-लो-ग्राम-मा। ढूँढें-डी-ते या-डी-ऑन-टू अंक।

3. कट से लंबाई ज्ञात कीजिए, दूसरे बिंदु को जोड़िए और

4. ko-or-di-nat-noy प्लेन पर रेड-शेन-नोय फाई-गु-रे के लिए क्षेत्र खोजें-दी-ते।

5. na-cha-le ko-or-di-nat पर केंद्रित एक वृत्त एक बिंदु से होकर गुजरता है। ढूँढें-दे-ते उसकी रा-दी-मूंछें।

6. नई-दी-ते रा-दी-उस सर्कल-नो-स्टी, वर्णन-सान-नोय समकोण-नो-का के पास, कुछ-रो-गो के टॉप-शि-एन में सह-या - दी-ना-आप सह-से-उत्तर-लेकिन

समाधान:

1. यह ज्ञात है कि एक समलम्ब चतुर्भुज की मध्य रेखा उसके आधारों के योग के आधे के बराबर होती है। आधार बराबर है, लेकिन आधार। फिर

जवाब:

2. इस समस्या को हल करने का सबसे आसान तरीका यह देखना है कि (समांतर चतुर्भुज नियम)। वैक्टर के निर्देशांक की गणना करें और मुश्किल नहीं है:। वैक्टर जोड़ते समय, निर्देशांक जोड़े जाते हैं। फिर निर्देशांक हैं। बिंदु के समान निर्देशांक हैं, क्योंकि वेक्टर की शुरुआत निर्देशांक वाला एक बिंदु है। हम समन्वय में रुचि रखते हैं। वह बराबर है।

जवाब:

3. हम दो बिंदुओं के बीच की दूरी के सूत्र के अनुसार तुरंत कार्य करते हैं:

जवाब:

4. चित्र को देखिए और बताइए कि किन दो आकृतियों के बीच छायांकित क्षेत्र "निचोड़ा हुआ" है? यह दो वर्गों के बीच सैंडविच है। फिर वांछित आकृति का क्षेत्रफल छोटे वर्ग के क्षेत्रफल घटाकर बड़े वर्ग के क्षेत्रफल के बराबर होता है। छोटे वर्ग की भुजा बिंदुओं को जोड़ने वाला एक खंड है और इसकी लंबाई है

तो छोटे वर्ग का क्षेत्रफल है

हम एक बड़े वर्ग के साथ भी ऐसा ही करते हैं: इसका पक्ष बिंदुओं को जोड़ने वाला एक खंड है और इसकी लंबाई बराबर है

तब बड़े वर्ग का क्षेत्रफल है

वांछित आकृति का क्षेत्रफल सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है:

जवाब:

5. यदि वृत्त का उद्गम केंद्र है और यह एक बिंदु से होकर जाता है, तो इसकी त्रिज्या खंड की लंबाई के बिल्कुल बराबर होगी (एक चित्र बनाएं और आप समझ जाएंगे कि यह स्पष्ट क्यों है)। इस खंड की लंबाई पाएं:

जवाब:

6. यह ज्ञात है कि एक आयत के चारों ओर परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या उसके विकर्ण के आधे के बराबर होती है। आइए दो विकर्णों में से किसी की लंबाई ज्ञात करें (आखिरकार, एक आयत में वे बराबर होते हैं!)

जवाब:

अच्छा, क्या आपने सब कुछ मैनेज कर लिया? यह पता लगाना इतना कठिन नहीं था, है ना? यहां केवल एक नियम है - एक दृश्य चित्र बनाने में सक्षम होने के लिए और इससे सभी डेटा को "पढ़ें"।

हमारे पास बहुत कम बचा है। वस्तुतः दो और बिंदु हैं जिन पर मैं चर्चा करना चाहूंगा।

आइए इस सरल समस्या को हल करने का प्रयास करें। दो अंक दें और दिया जाए। खंड के मध्य के निर्देशांक खोजें। इस समस्या का समाधान इस प्रकार है: बिंदु को वांछित मध्य होने दें, फिर उसके निर्देशांक हैं:

अर्थात: खंड के मध्य के निर्देशांक = खंड के सिरों के संगत निर्देशांक का अंकगणितीय माध्य।

यह नियम बहुत सरल है और आमतौर पर छात्रों के लिए मुश्किलें पैदा नहीं करता है। आइए देखें कि किन समस्याओं में और इसका उपयोग कैसे किया जाता है:

1. Find-di-te or-di-na-tu se-re-di-us from-cut, connect-nya-yu-th-th point और

2. अंक हैं यव-ला-युत-ज़िया वेर-शि-ना-मी-चे-यू-रेह-कोयला-नो-का। उसके दीया-गो-ऑन-लेई के री-रे-से-चे-निया के फाइंड-दी-ते या-दी-ना-तू अंक।

3. सर्कल के केंद्र के लिए खोजें-दी-ते एब्स-सीआईएस-सु, वर्णन-सान-नॉय आयत-नो-का के पास, सबसे ऊपर-शि-हमारे पास कुछ-रो-गो सह-या-दी- ना-आप सह-से-पशु चिकित्सक-stvenno-लेकिन।

समाधान:

1. पहला काम सिर्फ एक क्लासिक है। हम खंड के मध्य बिंदु का निर्धारण करके तुरंत कार्य करते हैं। उसके पास निर्देशांक हैं। कोटि बराबर है।

जवाब:

2. यह देखना आसान है कि दिया गया चतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज है (यहां तक कि एक समचतुर्भुज भी!)। आप पक्षों की लंबाई की गणना करके और उनकी एक दूसरे के साथ तुलना करके इसे स्वयं सिद्ध कर सकते हैं। मुझे समांतर चतुर्भुज के बारे में क्या पता है? इसके विकर्णों को प्रतिच्छेदन बिंदु से समद्विभाजित किया जाता है! आह! तो विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु क्या है? यह किसी भी विकर्ण का मध्य है! मैं, विशेष रूप से, विकर्ण चुनूंगा। तब बिंदु के निर्देशांक होते हैं। बिंदु की कोटि किसके बराबर होती है।

जवाब:

3. आयत के परितः परिबद्ध वृत्त का केंद्र क्या है? यह इसके विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु के साथ मेल खाता है। आयत के विकर्णों के बारे में आप क्या जानते हैं? वे बराबर हैं और प्रतिच्छेदन बिंदु आधे में विभाजित है। कार्य को पहले वाले तक कम कर दिया गया है। उदाहरण के लिए, विकर्ण लें। फिर यदि परिबद्ध वृत्त का केंद्र है, तो मध्य है। मैं निर्देशांक की तलाश में हूं: एब्सिस्सा बराबर है।

जवाब:

अब आप अपने आप से थोड़ा अभ्यास करें, मैं बस प्रत्येक समस्या का उत्तर दूंगा ताकि आप स्वयं को जांच सकें।

1. नई-दी-ते रा-दी-उस सर्कल-नो-स्टी, वर्णन-सान-नोय त्रिकोण-नो-का के पास, किसी-रो-गो के शीर्ष में को-या-दी-नो मिस्टर्स हैं

2. ढूँढें-दी-ते या-दी-ना-तू सर्कल के केंद्र, त्रिकोण-नो-का के पास सान-नॉय का वर्णन करें, सबसे ऊपर-शि-हमारे पास कुछ-रो-गो निर्देशांक हैं

3. किस प्रकार का ra-di-y-sa एक ऐसा वृत्त होना चाहिए जिसमें एक बिंदु पर एक केंद्र हो ताकि वह एब्स-सिस अक्ष को स्पर्श करे?

4. अक्ष के री-री-से-चे-इंग और फ्रॉम-कट, कनेक्ट-न्या-थ-वें-वें बिंदु और

उत्तर:

क्या सब कुछ ठीक हो गया? मुझे वास्तव में इसकी उम्मीद है! अब - आखिरी धक्का। अब विशेष रूप से सावधान रहें। अब मैं जिस सामग्री की व्याख्या करने जा रहा हूं वह न केवल भाग बी में सरल समन्वय विधि समस्याओं के लिए प्रासंगिक है, बल्कि समस्या सी 2 में भी सर्वव्यापी है।

मैंने अपना कौन सा वादा अभी तक पूरा नहीं किया है? याद रखें कि मैंने वैक्टर पर कौन से ऑपरेशन शुरू करने का वादा किया था और आखिरकार मैंने कौन से ऑपरेशन शुरू किए? क्या मुझे यकीन है कि मैं कुछ भी नहीं भूला हूँ? भूला! मैं यह बताना भूल गया कि वैक्टर के गुणन का क्या मतलब है।

किसी सदिश को सदिश से गुणा करने के दो तरीके हैं। चुनी हुई विधि के आधार पर, हमें एक अलग प्रकृति की वस्तुएँ मिलेंगी:

वेक्टर उत्पाद काफी मुश्किल है। यह कैसे करना है और इसकी आवश्यकता क्यों है, हम आपके साथ अगले लेख में चर्चा करेंगे। और इसमें हम अदिश उत्पाद पर ध्यान देंगे।

पहले से ही दो तरीके हैं जो हमें इसकी गणना करने की अनुमति देते हैं:

जैसा आपने अनुमान लगाया, परिणाम वही होना चाहिए! तो आइए पहले पहले तरीके को देखें:

निर्देशांक के माध्यम से डॉट उत्पाद

ढूँढें: - डॉट उत्पाद के लिए सामान्य संकेतन

गणना का सूत्र इस प्रकार है:

यानी डॉट उत्पाद = वैक्टर के निर्देशांक के उत्पादों का योग!

उदाहरण:

फाइंड-डी-ते

फेसला:

प्रत्येक वेक्टर के निर्देशांक खोजें:

हम सूत्र द्वारा अदिश उत्पाद की गणना करते हैं:

जवाब:

आप देखिए, कुछ भी जटिल नहीं है!

अच्छा, अब इसे स्वयं आजमाएँ:

फाइंड-डी-ते स्केलर-नो प्रो-फ्रॉम-वे-डी-नी शताब्दी-टू-डिच और

क्या आप संभाल पाओगे? शायद उसने एक छोटी सी चाल पर ध्यान दिया? चलो देखते है:

वेक्टर निर्देशांक, जैसा कि पिछले कार्य में है! जवाब: ।

निर्देशांक के अलावा, स्केलर उत्पाद की गणना करने का एक और तरीका है, अर्थात्, वैक्टर की लंबाई और उनके बीच के कोण के कोसाइन के माध्यम से:

वैक्टर और के बीच के कोण को दर्शाता है।

अर्थात्, अदिश गुणन सदिशों की लंबाई और उनके बीच के कोण की कोज्या के गुणनफल के बराबर होता है।

हमें इस दूसरे सूत्र की आवश्यकता क्यों है, यदि हमारे पास पहला है, जो बहुत सरल है, कम से कम इसमें कोई कोसाइन नहीं हैं। और हमें इसकी आवश्यकता है ताकि पहले और दूसरे फ़ार्मुलों से हम यह पता लगा सकें कि वैक्टर के बीच के कोण को कैसे खोजा जाए!

फिर एक सदिश की लंबाई का सूत्र याद रखें!

फिर अगर मैं इस डेटा को डॉट उत्पाद सूत्र में प्लग करता हूं, तो मुझे मिलता है:

लेकिन दूसरी तरफ:

तो हमारे पास क्या है? अब हमारे पास दो सदिशों के बीच के कोण की गणना करने का एक सूत्र है! कभी-कभी, संक्षिप्तता के लिए, इसे इस प्रकार भी लिखा जाता है:

अर्थात्, वैक्टर के बीच के कोण की गणना के लिए एल्गोरिथ्म इस प्रकार है:

हम निर्देशांक के माध्यम से अदिश उत्पाद की गणना करते हैं
वैक्टर की लंबाई पाएं और उन्हें गुणा करें
बिंदु 1 के परिणाम को बिंदु 2 के परिणाम से विभाजित करें

आइए उदाहरणों के साथ अभ्यास करें:

1. पलकों-से-रा-मील और के बीच का कोण ज्ञात कीजिए। अपना उत्तर अंशों में दें।

2. पिछली समस्या की शर्तों के तहत, वैक्टर के बीच कोसाइन का पता लगाएं

आइए इसे करते हैं: मैं पहली समस्या को हल करने में आपकी मदद करूँगा, और दूसरी समस्या को स्वयं हल करने का प्रयास करूँगा! मैं सहमत हूं? तो चलिए शुरू करते हैं!

1. ये वैक्टर हमारे पुराने दोस्त हैं। हम पहले ही उनके अदिश गुणनफल पर विचार कर चुके हैं और यह बराबर था। उनके निर्देशांक हैं: , . तब हम उनकी लंबाई पाते हैं:

फिर हम वैक्टर के बीच कोसाइन की तलाश कर रहे हैं:

कोण की कोज्या क्या है? यह कोना है।

जवाब:

खैर, अब दूसरी समस्या को स्वयं हल करें, और फिर तुलना करें! मैं बस एक बहुत छोटा समाधान दूंगा:

2. निर्देशांक हैं, निर्देशांक हैं।

मान लीजिए कि सदिशों के बीच का कोण है और, तब

जवाब:

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि सीधे वैक्टर पर कार्य और परीक्षा पेपर के भाग बी में निर्देशांक की विधि काफी दुर्लभ है। हालाँकि, C2 समस्याओं के विशाल बहुमत को एक समन्वय प्रणाली शुरू करके आसानी से हल किया जा सकता है। तो आप इस लेख को एक आधार मान सकते हैं, जिसके आधार पर हम काफी पेचीदा रचनाएँ करेंगे जिन्हें हमें जटिल समस्याओं को हल करने की आवश्यकता होगी।

निर्देशांक और वैक्टर। मध्यवर्ती स्तर

आप और मैं निर्देशांक की विधि का अध्ययन जारी रखते हैं। पिछले भाग में, हमने कई महत्वपूर्ण सूत्र निकाले जो अनुमति देते हैं:

वेक्टर निर्देशांक खोजें
एक वेक्टर की लंबाई पाएं (वैकल्पिक रूप से: दो बिंदुओं के बीच की दूरी)
वैक्टर जोड़ें, घटाएं। उन्हें वास्तविक संख्या से गुणा करें
एक खंड के मध्य बिंदु का पता लगाएं
वैक्टर के डॉट उत्पाद की गणना करें
वैक्टर के बीच का कोण खोजें

बेशक, संपूर्ण समन्वय विधि इन 6 बिंदुओं में फिट नहीं होती है। यह विश्लेषणात्मक ज्यामिति जैसे विज्ञान का आधार है, जिससे आप विश्वविद्यालय में परिचित होंगे। मैं सिर्फ एक नींव बनाना चाहता हूं जो आपको एक ही राज्य में समस्याओं को हल करने की अनुमति देगी। परीक्षा। हमने भाग बी के कार्यों को समझ लिया अब गुणात्मक रूप से नए स्तर पर जाने का समय आ गया है! यह लेख उन C2 समस्याओं को हल करने के लिए एक विधि के लिए समर्पित होगा जिसमें समन्वय विधि पर स्विच करना उचित होगा। यह तार्किकता इस बात से निर्धारित होती है कि समस्या में क्या पाया जाना चाहिए और कौन सा आंकड़ा दिया गया है। इसलिए, यदि प्रश्न हैं तो मैं समन्वय विधि का उपयोग करूंगा:

दो तलों के बीच का कोण ज्ञात कीजिए
एक रेखा और एक समतल के बीच का कोण ज्ञात कीजिए
दो रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात कीजिए
एक बिंदु से एक समतल की दूरी ज्ञात करें
एक बिंदु से एक रेखा की दूरी ज्ञात करें
एक सीधी रेखा से समतल की दूरी ज्ञात कीजिए
दो रेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए

यदि समस्या की स्थिति में दी गई आकृति क्रांति का पिंड है (गेंद, बेलन, शंकु...)

निर्देशांक विधि के लिए उपयुक्त आंकड़े हैं:

घनाभ
पिरामिड (त्रिकोणीय, चतुर्भुज, षट्कोणीय)

मेरे अनुभव में भी समन्वय विधि का उपयोग करना अनुचित है:

वर्गों के क्षेत्रों का पता लगाना
निकायों की मात्रा की गणना

हालांकि, यह तुरंत ध्यान दिया जाना चाहिए कि समन्वय विधि के लिए तीन "प्रतिकूल" स्थितियां व्यवहार में काफी दुर्लभ हैं। अधिकांश कार्यों में, यह आपका तारणहार बन सकता है, खासकर यदि आप त्रि-आयामी निर्माणों में बहुत मजबूत नहीं हैं (जो कभी-कभी काफी जटिल होते हैं)।

मैंने ऊपर सूचीबद्ध सभी आंकड़े क्या हैं? वे अब सपाट नहीं हैं, जैसे कि एक वर्ग, त्रिकोण, वृत्त, लेकिन बड़ा! तदनुसार, हमें द्वि-आयामी नहीं, बल्कि त्रि-आयामी समन्वय प्रणाली पर विचार करने की आवश्यकता है। यह काफी आसानी से बनाया गया है: बस एब्सिस्सा और कोर्डिनेट्स के अलावा, हम एक और एक्सिस, एप्लिकेट एक्सिस का परिचय देंगे। आंकड़ा योजनाबद्ध रूप से उनकी सापेक्ष स्थिति दिखाता है:

ये सभी परस्पर लंबवत हैं, एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं, जिसे हम मूल बिंदु कहेंगे। एब्सिस्सा अक्ष, पहले की तरह, निरूपित किया जाएगा, कोर्डिनेट अक्ष - और शुरू की गई अनुप्रयुक्त अक्ष -।

यदि पहले विमान के प्रत्येक बिंदु को दो संख्याओं की विशेषता थी - एब्सिस्सा और कोर्डिनेट, तो अंतरिक्ष में प्रत्येक बिंदु को पहले से ही तीन नंबरों द्वारा वर्णित किया जाता है - एब्सिस्सा, ऑर्डिनेट, एप्लिकेट। उदाहरण के लिए:

तदनुसार, बिंदु का भुज बराबर है, कोटि है, और अनुप्रयुक्त है।

कभी-कभी एक बिंदु के एब्सिस्सा को एब्सिस्सा अक्ष पर बिंदु का प्रक्षेपण भी कहा जाता है, कोर्डिनेट y-अक्ष पर बिंदु का प्रक्षेपण होता है, और एप्लिकेट एप्लिकेट अक्ष पर बिंदु का प्रक्षेपण होता है। तदनुसार, यदि एक बिंदु दिया जाता है, तो निर्देशांक वाला एक बिंदु:

एक विमान पर एक बिंदु का प्रक्षेपण कहा जाता है

एक स्वाभाविक प्रश्न उठता है: क्या द्वि-आयामी मामले के लिए व्युत्पन्न सभी सूत्र अंतरिक्ष में मान्य हैं? इसका उत्तर है हां, वे न्यायसंगत हैं और उनका रूप एक जैसा है। एक छोटे से विवरण के लिए। मुझे लगता है कि आपने पहले ही अनुमान लगा लिया था कि कौन सा है। सभी सूत्रों में, हमें अनुप्रयुक्त अक्ष के लिए उत्तरदायी एक और पद जोड़ना होगा। अर्थात्।

1. यदि दो बिंदु दिए गए हैं: , तो:

वेक्टर निर्देशांक:
दो बिंदुओं के बीच की दूरी (या वेक्टर लंबाई)
खंड के मध्य में निर्देशांक हैं

2. यदि दो सदिश दिए गए हैं: और, तो:

उनका डॉट उत्पाद है:
सदिशों के बीच के कोण की कोज्या है:

हालांकि, अंतरिक्ष इतना आसान नहीं है। जैसा कि आप समझते हैं, एक और निर्देशांक का जोड़ इस स्थान में "जीवित" आंकड़ों के स्पेक्ट्रम में एक महत्वपूर्ण विविधता का परिचय देता है। और आगे के वर्णन के लिए, मुझे कुछ, मोटे तौर पर, सीधी रेखा के "सामान्यीकरण" का परिचय देना होगा। यह "सामान्यीकरण" एक विमान होगा। प्लेन के बारे में आप क्या जानते हैं? इस प्रश्न का उत्तर देने का प्रयास करें कि विमान क्या है? कहना बहुत मुश्किल है। हालाँकि, हम सभी सहज रूप से कल्पना करते हैं कि यह कैसा दिखता है:

मोटे तौर पर, यह अंतरिक्ष में एक तरह का अंतहीन "पत्ती" है। "इन्फिनिटी" को समझना चाहिए कि विमान सभी दिशाओं में फैला हुआ है, यानी इसका क्षेत्रफल अनंत के बराबर है। हालांकि, "उंगलियों पर" यह स्पष्टीकरण विमान की संरचना के बारे में थोड़ा सा भी विचार नहीं देता है। और हम इसमें रुचि लेंगे।

आइए ज्यामिति के मूल सिद्धांतों में से एक को याद करें:

एक सीधी रेखा समतल पर दो अलग-अलग बिंदुओं से होकर गुजरती है, इसके अलावा, केवल एक:

या अंतरिक्ष में इसका एनालॉग:

बेशक, आपको याद है कि दो दिए गए बिंदुओं से एक सीधी रेखा के समीकरण को कैसे प्राप्त किया जाए, यह बिल्कुल भी मुश्किल नहीं है: यदि पहले बिंदु में निर्देशांक हैं: और दूसरा, तो सीधी रेखा का समीकरण इस प्रकार होगा:

आप 7वीं कक्षा में इससे गुजरे हैं। अंतरिक्ष में, एक सीधी रेखा का समीकरण इस तरह दिखता है: हमें निर्देशांक के साथ दो बिंदु मिलते हैं: , तो उनसे गुजरने वाली एक सीधी रेखा के समीकरण का रूप होता है:

उदाहरण के लिए, एक रेखा बिंदुओं से होकर गुजरती है:

इसे कैसे समझा जाना चाहिए? इसे इस प्रकार समझा जाना चाहिए: एक बिंदु एक रेखा पर स्थित होता है यदि इसके निर्देशांक निम्नलिखित प्रणाली को संतुष्ट करते हैं:

हम एक सीधी रेखा के समीकरण में बहुत रुचि नहीं लेंगे, लेकिन हमें एक सीधी रेखा के निर्देशन वेक्टर की बहुत महत्वपूर्ण अवधारणा पर ध्यान देने की आवश्यकता है। - कोई भी गैर-शून्य वेक्टर किसी दी गई रेखा पर या उसके समानांतर स्थित होता है।

उदाहरण के लिए, दोनों सदिश एक सीधी रेखा के दिशा सदिश हैं। आज्ञा देना एक सीधी रेखा पर स्थित एक बिंदु हो, और इसका निर्देशन सदिश हो। तब एक सीधी रेखा के समीकरण को निम्न रूप में लिखा जा सकता है:

एक बार फिर, मुझे सीधी रेखा के समीकरण में बहुत दिलचस्पी नहीं होगी, लेकिन मुझे वास्तव में आपको यह याद रखने की ज़रूरत है कि दिशा वेक्टर क्या है! दोबारा: यह कोई भी शून्येतर सदिश है जो किसी रेखा पर या उसके समानांतर स्थित है।

निकालना समतल का त्रि-बिंदु समीकरणअब इतना तुच्छ नहीं है, और आमतौर पर हाई स्कूल के पाठ्यक्रम में शामिल नहीं किया जाता है। परन्तु सफलता नहीं मिली! जब हम जटिल समस्याओं को हल करने के लिए समन्वय पद्धति का सहारा लेते हैं तो यह तकनीक महत्वपूर्ण होती है। हालाँकि, मुझे लगता है कि आप कुछ नया सीखने की इच्छा से भरे हुए हैं? इसके अलावा, आप विश्वविद्यालय में अपने शिक्षक को प्रभावित करने में सक्षम होंगे जब यह पता चलेगा कि आप पहले से ही उस तकनीक का उपयोग करना जानते हैं जिसका आमतौर पर विश्लेषणात्मक ज्यामिति के दौरान अध्ययन किया जाता है। तो चलो शुरू करते है।

एक समतल का समीकरण समतल पर एक सीधी रेखा के समीकरण से बहुत भिन्न नहीं होता है, अर्थात् इसका रूप होता है:

कुछ संख्याएँ (सभी शून्य के बराबर नहीं), लेकिन चर, उदाहरण के लिए: आदि। जैसा कि आप देख सकते हैं, एक समतल का समीकरण एक सीधी रेखा (रैखिक फलन) के समीकरण से बहुत अलग नहीं है। हालाँकि, याद रखें कि हमने आपसे क्या बहस की थी? हमने कहा कि यदि हमारे पास तीन बिंदु हैं जो एक सीधी रेखा पर नहीं हैं, तो विमान का समीकरण उनसे विशिष्ट रूप से बहाल हो जाता है। पर कैसे? मैं आपको समझाने की कोशिश करूंगा।

चूंकि समतल समीकरण है:

और बिंदु इस विमान के हैं, फिर प्रत्येक बिंदु के निर्देशांक को विमान के समीकरण में प्रतिस्थापित करते समय, हमें सही पहचान मिलनी चाहिए:

इस प्रकार, अज्ञात के साथ पहले से ही तीन समीकरणों को हल करने की आवश्यकता है! दुविधा! हालाँकि, हम हमेशा यह मान सकते हैं कि (इसके लिए हमें विभाजित करने की आवश्यकता है)। इस प्रकार, हमें तीन अज्ञात के साथ तीन समीकरण मिलते हैं:

हालाँकि, हम ऐसी प्रणाली को हल नहीं करेंगे, लेकिन इसके बाद आने वाली गुप्त अभिव्यक्ति को लिखेंगे:

दिए गए तीन बिंदुओं से गुजरने वाले समतल का समीकरण

\[\बाएं| (\begin(array)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(सरणी)) \right| = 0\]

रुकना! यह और क्या है? कुछ बहुत ही असामान्य मॉड्यूल! हालाँकि, आप अपने सामने जो वस्तु देखते हैं, उसका मॉड्यूल से कोई लेना-देना नहीं है। इस वस्तु को तृतीय-क्रम निर्धारक कहा जाता है। अब से, जब आप किसी समतल पर निर्देशांकों की विधि का अध्ययन करते हैं, तो आप अक्सर इन्हीं निर्धारकों से रूबरू होंगे। तीसरा क्रम निर्धारक क्या है? अजीब तरह से, यह सिर्फ एक संख्या है। यह समझना बाकी है कि हम सारणिक के साथ किस विशिष्ट संख्या की तुलना करेंगे।

आइए पहले तीसरे क्रम के निर्धारक को अधिक सामान्य रूप में लिखें:

कुछ नंबर कहां हैं। इसके अलावा, पहले सूचकांक से हमारा मतलब पंक्ति संख्या से है, और सूचकांक से - स्तंभ संख्या। उदाहरण के लिए, इसका अर्थ है कि दी गई संख्या दूसरी पंक्ति और तीसरे स्तंभ के प्रतिच्छेदन पर है। आइए निम्नलिखित प्रश्न करें: हम वास्तव में ऐसे निर्धारक की गणना कैसे करेंगे? यानी हम इसकी तुलना किस विशिष्ट संख्या से करेंगे? ठीक तीसरे क्रम के निर्धारक के लिए, एक अनुमानी (दृश्य) त्रिभुज नियम है, यह इस तरह दिखता है:

मुख्य विकर्ण के तत्वों का उत्पाद (ऊपरी बाएं से निचले दाएं) उन तत्वों का उत्पाद जो मुख्य विकर्ण के लिए पहला त्रिभुज "लंबवत" बनाते हैं, उन तत्वों का उत्पाद जो दूसरे त्रिभुज को "लंबवत" बनाते हैं। विकर्ण
द्वितीयक विकर्ण के तत्वों का गुणनफल (ऊपरी दाएँ से निचले बाएँ तक) उन तत्वों का गुणनफल जो द्वितीयक विकर्ण के लिए पहला त्रिभुज "लंबवत" बनाते हैं, दूसरा त्रिभुज "लंबवत" बनाने वाले तत्वों का गुणनफल द्वितीयक विकर्ण
तब निर्धारक चरण पर प्राप्त मूल्यों के बीच के अंतर के बराबर होता है और

यदि हम यह सब संख्याओं में लिखते हैं, तो हमें निम्नलिखित व्यंजक प्राप्त होता है:

हालाँकि, आपको इस रूप में गणना पद्धति को याद रखने की आवश्यकता नहीं है, यह केवल त्रिकोणों को अपने सिर में रखने के लिए पर्याप्त है और इस बात का बहुत विचार है कि क्या जोड़ा जाता है और फिर क्या घटाया जाता है)।

आइए एक उदाहरण के साथ त्रिभुज विधि का वर्णन करें:

1. सारणिक की गणना करें:

आइए जानें कि हम क्या जोड़ते हैं और क्या घटाते हैं:

"प्लस" के साथ आने वाली शर्तें:

यह मुख्य विकर्ण है: तत्वों का गुणनफल है

पहला त्रिभुज, "मुख्य विकर्ण के लंबवत: तत्वों का गुणनफल है

दूसरा त्रिभुज, "मुख्य विकर्ण के लंबवत: तत्वों का गुणनफल है

हम तीन नंबर जोड़ते हैं:

शब्द जो "माइनस" के साथ आते हैं

यह एक पार्श्व विकर्ण है: तत्वों का गुणनफल है

पहला त्रिभुज, "द्वितीयक विकर्ण के लंबवत: तत्वों का गुणनफल है

दूसरा त्रिभुज, "द्वितीयक विकर्ण के लंबवत: तत्वों का गुणनफल है

हम तीन नंबर जोड़ते हैं:

जो कुछ किया जाना बाकी है, वह है प्लस शब्दों के योग से घटाना:

इस प्रकार,

जैसा कि आप देख सकते हैं, तीसरे क्रम के निर्धारकों की गणना में कुछ भी जटिल और अलौकिक नहीं है। केवल त्रिभुजों के बारे में याद रखना महत्वपूर्ण है न कि अंकगणितीय गलतियाँ करना। अब खुद की गणना करने का प्रयास करें:

हम जाँच:

मुख्य विकर्ण के लंबवत पहला त्रिभुज:
मुख्य विकर्ण के लंबवत दूसरा त्रिभुज:
प्लस शर्तों का योग:
भुजा के विकर्ण पर लंबवत पहला त्रिभुज:
दूसरा त्रिभुज, भुजा के विकर्ण के लंबवत:
माइनस के साथ शर्तों का योग:
धनात्मक पदों का योग घटा ऋण पदों का योग:

यहां आपके लिए कुछ और निर्धारक हैं, उनके मूल्यों की गणना स्वयं करें और उत्तरों की तुलना करें:

उत्तर:

अच्छा, क्या सब कुछ मेल खाता था? बढ़िया, तो आप आगे बढ़ सकते हैं! यदि कठिनाइयाँ हैं, तो मेरी सलाह यह है: इंटरनेट पर ऑनलाइन निर्धारक की गणना के लिए कार्यक्रमों का एक समूह है। आपको केवल अपने स्वयं के निर्धारक के साथ आने की जरूरत है, इसकी गणना स्वयं करें, और फिर इसकी तुलना प्रोग्राम की गणना के साथ करें। और इसी तरह जब तक परिणाम मिलना शुरू नहीं हो जाते। मुझे यकीन है कि यह क्षण आने में लंबा नहीं होगा!

अब हम उस सारणिक पर लौटते हैं जिसे मैंने तब लिखा था जब मैंने दिए गए तीन बिंदुओं से गुजरने वाले समतल के समीकरण के बारे में बात की थी:

आपको बस इतना करना है कि सीधे इसके मूल्य की गणना करें (त्रिकोण विधि का उपयोग करके) और परिणाम को शून्य के बराबर सेट करें। स्वाभाविक रूप से, चूंकि वे चर हैं, इसलिए आपको कुछ ऐसे व्यंजक मिलेंगे जो उन पर निर्भर करते हैं। यह व्यंजक तीन दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाले एक समतल का समीकरण होगा जो एक सीधी रेखा पर नहीं होता है!

आइए इसे एक साधारण उदाहरण के साथ स्पष्ट करें:

1. बिंदुओं से गुजरने वाले तल के समीकरण की रचना कीजिए

हम इन तीन बिंदुओं के लिए एक निर्धारक की रचना करते हैं:

सरलीकरण:

अब हम इसकी गणना सीधे त्रिभुजों के नियम के अनुसार करते हैं:

\[(\बाएं| (\begin(array)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\end(array)) \ दाएं| = \बाएं((x + 3) \दाएं) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \right) + \left((y - 2) \right) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

इस प्रकार, बिंदुओं से गुजरने वाले तल का समीकरण है:

अब एक समस्या को स्वयं हल करने का प्रयास करें, और फिर हम इस पर चर्चा करेंगे:

2. बिंदुओं से गुजरने वाले तल का समीकरण ज्ञात कीजिए

खैर, अब समाधान पर चर्चा करते हैं:

हम एक निर्धारक बनाते हैं:

और इसके मूल्य की गणना करें:

तब समतल के समीकरण का रूप है:

या, कम करके, हम प्राप्त करते हैं:

अब आत्म-नियंत्रण के लिए दो कार्य:

तीन बिंदुओं से गुजरने वाले समतल का समीकरण बनाइए:

उत्तर:

क्या सब कुछ मेल खाता था? फिर, यदि कुछ कठिनाइयाँ हैं, तो मेरी सलाह यह है: आप अपने सिर से तीन बिंदु लें (उच्च संभावना के साथ वे एक सीधी रेखा पर नहीं होंगे), उन पर एक विमान का निर्माण करें। और फिर खुद को ऑनलाइन चेक करें। उदाहरण के लिए, साइट पर:

तथापि, सारणिकों की सहायता से हम न केवल तल के समीकरण का निर्माण करेंगे। याद रखें, मैंने आपको बताया था कि वैक्टर के लिए, न केवल डॉट उत्पाद परिभाषित किया गया है। एक वेक्टर भी है, साथ ही एक मिश्रित उत्पाद भी है। और यदि दो सदिशों का अदिश गुणनफल एक संख्या होगी, तो दो सदिशों का सदिश गुणनफल एक सदिश होगा, और यह सदिश दिए गए सदिशों के लंबवत होगा:

इसके अलावा, इसका मापांक वैक्टर पर बने समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर होगा और। एक बिंदु से एक रेखा तक की दूरी की गणना करने के लिए हमें इस वेक्टर की आवश्यकता होगी। हम वैक्टर के क्रॉस उत्पाद की गणना कैसे कर सकते हैं और यदि उनके निर्देशांक दिए गए हैं? तीसरे क्रम का निर्धारक फिर से हमारी सहायता के लिए आता है। हालांकि, इससे पहले कि मैं क्रॉस उत्पाद की गणना के लिए एल्गोरिदम पर आगे बढ़ूं, मुझे एक छोटा गीतात्मक विषयांतर करना होगा।

यह विषयांतर आधार वैक्टर से संबंधित है।

योजनाबद्ध रूप से उन्हें चित्र में दिखाया गया है:

आपको क्या लगता है कि उन्हें बुनियादी क्यों कहा जाता है? तथ्य यह है कि :

या तस्वीर में:

इस सूत्र की वैधता स्पष्ट है, क्योंकि:

वेक्टर उत्पाद

अब मैं क्रॉस उत्पाद पेश करना शुरू कर सकता हूं:

दो सदिशों का सदिश गुणनफल एक सदिश है जिसकी गणना निम्नलिखित नियम के अनुसार की जाती है:

अब क्रॉस उत्पाद की गणना के कुछ उदाहरण देते हैं:

उदाहरण 1: वैक्टर का क्रॉस उत्पाद खोजें:

समाधान: मैं एक निर्धारक बनाता हूं:

और मैं इसकी गणना करता हूं:

अब, आधार वैक्टर के माध्यम से लिखने से, मैं सामान्य वेक्टर संकेतन पर लौटूंगा:

इस प्रकार:

अब प्रयास करो।

तैयार? हम जाँच:

और परंपरागत रूप से दो नियंत्रित करने के लिए कार्य:

निम्नलिखित वैक्टरों का क्रॉस उत्पाद खोजें:
निम्नलिखित वैक्टरों का क्रॉस उत्पाद खोजें:

उत्तर:

तीन वैक्टर का मिश्रित उत्पाद

मुझे जो आखिरी निर्माण चाहिए वह तीन वैक्टरों का मिश्रित उत्पाद है। यह, एक अदिश की तरह, एक संख्या है। इसकी गणना करने के दो तरीके हैं। - सारणिक के माध्यम से, - मिश्रित उत्पाद के माध्यम से।

अर्थात्, मान लें कि हमारे पास तीन वैक्टर हैं:

फिर तीन वैक्टरों के मिश्रित उत्पाद की गणना इस प्रकार की जा सकती है:

1. - अर्थात मिश्रित उत्पाद एक सदिश का अदिश गुणनफल और दो अन्य सदिशों का सदिश गुणनफल होता है

उदाहरण के लिए, तीन वैक्टर का मिश्रित उत्पाद है:

वेक्टर उत्पाद का उपयोग करके स्वयं इसकी गणना करने का प्रयास करें और सुनिश्चित करें कि परिणाम मेल खाते हैं!

और फिर - एक स्वतंत्र निर्णय के लिए दो उदाहरण:

उत्तर:

समन्वय प्रणाली का विकल्प

खैर, अब हमारे पास ज्यामिति में जटिल स्टीरियोमेट्रिक समस्याओं को हल करने के लिए ज्ञान की सभी आवश्यक नींव हैं। हालांकि, सीधे उदाहरणों और एल्गोरिदम को हल करने के लिए आगे बढ़ने से पहले, मेरा मानना है कि निम्नलिखित प्रश्न पर ध्यान देना उपयोगी होगा: वास्तव में कैसे किसी विशेष आकृति के लिए एक समन्वय प्रणाली चुनें।आखिरकार, यह समन्वय प्रणाली की सापेक्ष स्थिति और अंतरिक्ष में आकृति का चुनाव है जो अंततः यह निर्धारित करेगा कि गणना कितनी बोझिल होगी।

मैं आपको याद दिलाता हूं कि इस खंड में हम निम्नलिखित आंकड़ों पर विचार कर रहे हैं:

घनाभ
सीधा प्रिज्म (त्रिकोणीय, षट्कोणीय…)
पिरामिड (त्रिकोणीय, चतुर्भुज)
टेट्राहेड्रोन (त्रिकोणीय पिरामिड के समान)

एक घनाभ या घन के लिए, मैं निम्नलिखित निर्माण की अनुशंसा करता हूं:

यही है, मैं आंकड़ा "कोने में" रखूंगा। क्यूब और बॉक्स बहुत अच्छे आंकड़े हैं। उनके लिए, आप हमेशा इसके शीर्षों के निर्देशांक आसानी से प्राप्त कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, यदि (जैसा चित्र में दिखाया गया है)

तो शीर्ष निर्देशांक हैं:

बेशक, आपको इसे याद रखने की आवश्यकता नहीं है, लेकिन यह याद रखना कि घन या आयताकार बॉक्स को किस प्रकार सर्वोत्तम स्थिति में रखा जाए, वांछनीय है।

सीधा प्रिज्म

प्रिज्म एक अधिक हानिकारक आंकड़ा है। आप इसे अलग-अलग तरीकों से अंतरिक्ष में व्यवस्थित कर सकते हैं। हालांकि, मुझे लगता है कि निम्नलिखित सबसे अच्छा विकल्प है:

त्रिकोणीय प्रिज़्म:

अर्थात्, हम त्रिभुज की एक भुजा को पूरी तरह से अक्ष पर रखते हैं, और एक शीर्ष मूल के साथ मेल खाता है।

हेक्सागोनल प्रिज्म:

यही है, एक कोने मूल के साथ मेल खाता है, और पक्षों में से एक अक्ष पर स्थित है।

चतुर्भुज और हेक्सागोनल पिरामिड:

एक घन के समान स्थिति: हम आधार के दो पक्षों को समन्वय अक्षों के साथ जोड़ते हैं, हम मूल के साथ एक कोने को जोड़ते हैं। बिंदु के निर्देशांक की गणना करने के लिए केवल एक छोटी सी कठिनाई होगी।

हेक्सागोनल पिरामिड के लिए - हेक्सागोनल प्रिज्म के समान। मुख्य कार्य फिर से शीर्ष के निर्देशांक खोजने में होगा।

टेट्राहेड्रोन (त्रिकोणीय पिरामिड)

स्थिति बहुत कुछ वैसी ही है जैसी मैंने त्रिकोणीय प्रिज्म के लिए दी थी: एक शीर्ष मूल के साथ मेल खाता है, एक पक्ष समन्वय अक्ष पर स्थित है।

खैर, अब आप और मैं अंतत: समस्याओं का समाधान शुरू करने के करीब हैं। लेख की शुरुआत में मैंने जो कहा था, उससे आप निम्नलिखित निष्कर्ष निकाल सकते हैं: अधिकांश सी 2 समस्याएं 2 श्रेणियों में आती हैं: कोण के लिए समस्याएं और दूरी के लिए समस्याएं। पहले हम कोण ज्ञात करने की समस्याओं पर विचार करेंगे। बदले में, उन्हें निम्नलिखित श्रेणियों में विभाजित किया जाता है (जैसे-जैसे जटिलता बढ़ती है):

कोनों को खोजने में समस्या

दो रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात करना
दो तलों के बीच का कोण ज्ञात करना

आइए इन समस्याओं पर क्रमिक रूप से विचार करें: आइए दो सीधी रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात करके प्रारंभ करें। आइए, याद रखें, क्या आपने और मैंने पहले भी इसी तरह के उदाहरणों को हल किया है? आपको याद है, क्योंकि हमारे पास पहले से ही कुछ ऐसा ही था ... हम दो वैक्टर के बीच के कोण की तलाश कर रहे थे। मैं आपको याद दिलाता हूं, यदि दो सदिश दिए गए हैं: और, तो उनके बीच का कोण संबंध से ज्ञात होता है:

अब हमारा एक लक्ष्य है - दो सीधी रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात करना। आइए "सपाट चित्र" की ओर मुड़ें:

दो रेखाएँ प्रतिच्छेद करने पर हमें कितने कोण प्राप्त होते हैं? पहले से ही चीजें। सच है, उनमें से केवल दो समान नहीं हैं, जबकि अन्य उनके लिए लंबवत हैं (और इसलिए उनके साथ मेल खाते हैं)। तो हमें दो सीधी रेखाओं के बीच के कोण पर क्या विचार करना चाहिए: या? यहाँ नियम है: दो सीधी रेखाओं के बीच का कोण हमेशा डिग्री से अधिक नहीं होता है. यानी हम हमेशा दो कोणों से सबसे छोटे डिग्री माप वाले कोण का चयन करेंगे। यानी इस चित्र में दोनों रेखाओं के बीच का कोण बराबर है। हर बार दो कोणों में से सबसे छोटा कोण खोजने की जहमत न उठाने के लिए, चालाक गणितज्ञों ने मॉड्यूल का उपयोग करने का सुझाव दिया। इस प्रकार, दो सीधी रेखाओं के बीच का कोण सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

एक चौकस पाठक के रूप में, आपके पास एक प्रश्न होना चाहिए था: वास्तव में, क्या हमें ये वही संख्याएँ मिलती हैं जिनकी हमें कोण की कोसाइन की गणना करने की आवश्यकता होती है? उत्तर: हम इन्हें रेखाओं के दिशा सदिशों से लेंगे! इस प्रकार, दो रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात करने के लिए एल्गोरिथ्म इस प्रकार है:

हम फॉर्मूला 1 लागू करते हैं।

या अधिक विस्तार से:

हम पहली सीधी रेखा के दिशा वेक्टर के निर्देशांक की तलाश कर रहे हैं
हम दूसरी पंक्ति के दिशा वेक्टर के निर्देशांक की तलाश कर रहे हैं
उनके अदिश उत्पाद के मापांक की गणना करें
हम पहले वेक्टर की लंबाई की तलाश कर रहे हैं
हम दूसरे वेक्टर की लंबाई की तलाश कर रहे हैं
बिंदु 4 के परिणामों को बिंदु 5 . के परिणामों से गुणा करें
हम बिंदु 3 के परिणाम को बिंदु 6 के परिणाम से विभाजित करते हैं। हमें रेखाओं के बीच के कोण का कोज्या प्राप्त होता है
यदि यह परिणाम हमें कोण की सटीक गणना करने की अनुमति देता है, तो हम इसे ढूंढते हैं
अन्यथा, हम आर्ककोसाइन के माध्यम से लिखते हैं

खैर, अब कार्यों पर आगे बढ़ने का समय है: मैं पहले दो के समाधान को विस्तार से प्रदर्शित करूंगा, मैं दूसरे के समाधान को संक्षेप में प्रस्तुत करूंगा, और मैं केवल अंतिम दो कार्यों के उत्तर दूंगा, आपको अवश्य करना चाहिए उनके लिए सभी गणना स्वयं करें।

कार्य:

1. दाएँ tet-ra-ed-re में, you-so-the tet-ra-ed-ra और me-di-a-noy bo-ko-how साइड के बीच का कोण खोजें।

2. राइट-फॉरवर्ड सिक्स-कोयला-पी-रा-मी-डी में, सौ-रो-ना-ओस-नो-वा-निया किसी भी तरह बराबर हैं, और साइड रिब्स बराबर हैं, सीधे के बीच का कोण खोजें लाइनें और।

3. दाहिने हाथ के चार-आप-रेच-कोयला-नोय पी-रा-मी-डाई के सभी किनारों की लंबाई एक दूसरे के बराबर है। सीधी रेखाओं के बीच के कोण का पता लगाएं और यदि फ्रॉम-रे-ज़ोक - यू-सो-दैट दिया गया पी-रा-मी-डाई, बिंदु से-रे-दी-ऑन उसकी बो-को-थ रिब है

4. घन के किनारे पर से-मी-चे-एक बिंदु तक ताकि सीधी रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात करें और

5. बिंदु - घन के किनारों पर से-री-दी-नई-दी-ते सीधी रेखाओं के बीच का कोण और।

यह कोई संयोग नहीं है कि मैंने कार्यों को इस क्रम में रखा। जबकि आपके पास अभी तक समन्वय विधि को नेविगेट करने का समय नहीं है, मैं स्वयं सबसे "समस्याग्रस्त" आंकड़ों का विश्लेषण करूंगा, और मैं आपको सबसे सरल घन से निपटने के लिए छोड़ दूंगा! धीरे-धीरे आपको सीखना होगा कि सभी आंकड़ों के साथ कैसे काम करना है, मैं कार्यों की जटिलता को विषय से विषय तक बढ़ाऊंगा।

आइए समस्याओं को हल करना शुरू करें:

1. एक चतुष्फलक खींचिए, इसे निर्देशांक तंत्र में रखिए जैसा कि मैंने पहले सुझाया था। चूँकि चतुष्फलक नियमित है, तो इसके सभी फलक (आधार सहित) सम त्रिभुज हैं। चूँकि हमें भुजा की लंबाई नहीं दी गई है, मैं इसे बराबर ले सकता हूँ। मुझे लगता है कि आप समझते हैं कि कोण वास्तव में इस बात पर निर्भर नहीं करेगा कि हमारा टेट्राहेड्रोन कितना "फैला हुआ" होगा? मैं चतुष्फलक में ऊँचाई और माध्यिका भी बनाऊँगा। रास्ते में, मैं इसका आधार बनाऊंगा (यह हमारे काम भी आएगा)।

मुझे और के बीच के कोण को खोजने की जरूरत है। हम क्या जानते हैं? हम केवल बिंदु के निर्देशांक को जानते हैं। इसलिए, हमें बिंदुओं के अधिक निर्देशांक खोजने की आवश्यकता है। अब हम सोचते हैं: एक बिंदु एक त्रिभुज की ऊंचाइयों (या द्विभाजक या माध्यिका) का प्रतिच्छेदन बिंदु है। एक बिंदु एक ऊंचा बिंदु है। बिंदु खंड का मध्यबिंदु है। फिर अंत में हमें खोजने की जरूरत है: बिंदुओं के निर्देशांक:।

आइए सबसे सरल से शुरू करें: बिंदु निर्देशांक। आकृति को देखें: यह स्पष्ट है कि एक बिंदु का अनुप्रयोग शून्य के बराबर है (बिंदु एक समतल पर स्थित है)। इसकी कोटि बराबर है (क्योंकि यह माध्यिका है)। इसका भुज खोजना अधिक कठिन है। हालाँकि, यह पाइथागोरस प्रमेय के आधार पर आसानी से किया जाता है: एक त्रिभुज पर विचार करें। इसका कर्ण बराबर है, और एक पैर बराबर है तो:

अंत में हमारे पास है:

आइए अब बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करें। यह स्पष्ट है कि इसका अनुप्रयोग फिर से शून्य के बराबर है, और इसकी कोटि एक बिंदु के समान है, अर्थात। आइए इसका भुज ज्ञात करें। यह बहुत मामूली रूप से किया जाता है यदि कोई याद रखता है कि एक समबाहु त्रिभुज की ऊँचाइयों को प्रतिच्छेदन बिंदु द्वारा अनुपात में विभाजित किया जाता हैऊपर से गिनती। चूँकि:, तब बिंदु का वांछित भुज, खंड की लंबाई के बराबर, बराबर होता है:। इस प्रकार, बिंदु के निर्देशांक हैं:

आइए बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करें। यह स्पष्ट है कि इसका भुज और कोटि बिंदु के भुज और कोटि से मेल खाते हैं। और पिपली खंड की लंबाई के बराबर है। - यह त्रिभुज के पैरों में से एक है। एक त्रिभुज का कर्ण एक खंड है - एक पैर। यह उन कारणों के लिए खोजा गया है जिन्हें मैंने बोल्ड में हाइलाइट किया है:

बिंदु खंड का मध्यबिंदु है। फिर हमें खंड के मध्य के निर्देशांक के सूत्र को याद रखने की आवश्यकता है:

यही है, अब हम दिशा वैक्टर के निर्देशांक देख सकते हैं:

खैर, सब कुछ तैयार है: हम सभी डेटा को सूत्र में बदलते हैं:

इस प्रकार,

जवाब:

आपको ऐसे "भयानक" उत्तरों से डरना नहीं चाहिए: समस्याओं के लिए C2 यह एक सामान्य अभ्यास है। मुझे इस भाग में "सुंदर" उत्तर से आश्चर्य होगा। साथ ही, जैसा कि आपने नोट किया, मैंने व्यावहारिक रूप से पाइथागोरस प्रमेय और एक समबाहु त्रिभुज की ऊंचाइयों की संपत्ति के अलावा किसी और चीज का सहारा नहीं लिया। यानी स्टीरियोमेट्रिक समस्या को हल करने के लिए, मैंने बहुत कम से कम स्टीरियोमेट्री का इस्तेमाल किया। इसमें लाभ आंशिक रूप से बोझिल गणनाओं द्वारा "बुझा हुआ" है। लेकिन वे काफी एल्गोरिथम हैं!

2. समन्वय प्रणाली के साथ-साथ उसके आधार के साथ एक नियमित हेक्सागोनल पिरामिड बनाएं:

हमें रेखाओं और के बीच का कोण ज्ञात करना है। इस प्रकार, हमारा कार्य बिंदुओं के निर्देशांक खोजने के लिए कम हो गया है: . हम छोटे आरेखण से अंतिम तीन के निर्देशांक पाएंगे, और हम बिंदु के निर्देशांक के माध्यम से शीर्ष के निर्देशांक पाएंगे। काम बहुत है, लेकिन शुरुआत करनी होगी!

a) निर्देशांक: यह स्पष्ट है कि इसका अनुप्रयुक्त और कोटि शून्य है। आइए एब्सिस्सा का पता लगाएं। ऐसा करने के लिए, एक समकोण त्रिभुज पर विचार करें। काश, इसमें हम केवल कर्ण को ही जानते हैं, जो किसके बराबर होता है। हम पैर को खोजने की कोशिश करेंगे (क्योंकि यह स्पष्ट है कि पैर की लंबाई से दोगुना हमें बिंदु का भुज देगा)। हम इसे कैसे ढूंढ सकते हैं? आइए याद करें कि पिरामिड के आधार पर हमारे पास किस प्रकार की आकृति है? यह एक नियमित षट्भुज है। इसका क्या मतलब है? इसका अर्थ है कि सभी भुजाएँ और सभी कोण समान हैं। हमें ऐसा ही एक कोना खोजने की जरूरत है। कोई विचार? बहुत सारे विचार हैं, लेकिन एक सूत्र है:

एक नियमित n-gon के कोणों का योग होता है .

इस प्रकार, एक नियमित षट्भुज के कोणों का योग डिग्री है। तब प्रत्येक कोण बराबर होता है:

आइए तस्वीर को फिर से देखें। यह स्पष्ट है कि खंड कोण का समद्विभाजक है। फिर कोण डिग्री है। फिर:

फिर कहाँ।

तो इसके निर्देशांक हैं

b) अब हम आसानी से बिंदु का निर्देशांक ज्ञात कर सकते हैं: .

ग) बिंदु के निर्देशांक खोजें। चूँकि इसका भुज खंड की लंबाई के साथ मेल खाता है, यह बराबर है। कोटि ज्ञात करना भी बहुत कठिन नहीं है: यदि हम बिंदुओं को जोड़ते हैं और रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु को निरूपित करते हैं, तो मान लीजिए। (इसे स्वयं सरल निर्माण करें)। तब इस प्रकार, बिंदु B की कोटि खण्डों की लंबाई के योग के बराबर होती है। आइए फिर से त्रिभुज को देखें। फिर

तब से तब से बिंदु के निर्देशांक हैं

d) अब बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए। एक आयत पर विचार करें और सिद्ध करें कि इस प्रकार, बिंदु के निर्देशांक हैं:

ई) यह शीर्ष के निर्देशांक खोजने के लिए बनी हुई है। यह स्पष्ट है कि इसका भुज और कोटि बिंदु के भुज और कोटि से मेल खाते हैं। आइए एक ऐप ढूंढते हैं। तब से। एक समकोण त्रिभुज पर विचार करें। समस्या की स्थिति से, पार्श्व किनारे। यह मेरे त्रिभुज का कर्ण है। तब पिरामिड की ऊंचाई पैर है।

फिर बिंदु के निर्देशांक हैं:

बस इतना ही, मेरे पास रुचि के सभी बिंदुओं के निर्देशांक हैं। मैं सीधी रेखाओं के निर्देशन वैक्टर के निर्देशांक की तलाश में हूं:

हम इन वैक्टरों के बीच के कोण की तलाश कर रहे हैं:

जवाब:

फिर से, इस समस्या को हल करते समय, मैंने किसी भी परिष्कृत तरकीब का उपयोग नहीं किया, सिवाय एक नियमित एन-गॉन के कोणों के योग के सूत्र के अलावा, साथ ही एक समकोण त्रिभुज की कोसाइन और साइन की परिभाषा के अलावा।

3. चूंकि हमें फिर से पिरामिड में किनारों की लंबाई नहीं दी गई है, मैं उन्हें एक के बराबर मानूंगा। इस प्रकार, चूंकि सभी किनारे, और न केवल पक्ष वाले, एक दूसरे के बराबर हैं, तो पिरामिड और मी के आधार पर एक वर्ग है, और पार्श्व फलक नियमित त्रिकोण हैं। आइए समस्या के पाठ में दिए गए सभी डेटा को चिह्नित करते हुए, इस तरह के एक पिरामिड के साथ-साथ एक विमान पर इसके आधार को चित्रित करें:

हम और के बीच के कोण की तलाश कर रहे हैं। जब मैं बिंदुओं के निर्देशांक की तलाश कर रहा हूँ तो मैं बहुत संक्षिप्त गणना करूँगा। आपको उन्हें "डिक्रिप्ट" करने की आवश्यकता होगी:

बी) - खंड के मध्य। उसके निर्देशांक:

ग) मैं एक त्रिभुज में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके खंड की लंबाई ज्ञात करूंगा। मैं पाइथागोरस प्रमेय द्वारा एक त्रिभुज में खोजूंगा।

निर्देशांक:

d) - खंड के मध्य में। इसके निर्देशांक हैं

ई) वेक्टर निर्देशांक

च) वेक्टर निर्देशांक

छ) एक कोण की तलाश में:

घन सबसे सरल आकृति है। मुझे यकीन है कि आप इसे अपने आप समझ सकते हैं। प्रश्न 4 और 5 के उत्तर इस प्रकार हैं:

एक रेखा और एक समतल के बीच का कोण ज्ञात करना

खैर, सरल पहेलियों का समय समाप्त हो गया है! अब उदाहरण और भी कठिन होंगे। एक रेखा और एक तल के बीच का कोण ज्ञात करने के लिए, हम इस प्रकार आगे बढ़ेंगे:

तीन बिंदुओं का उपयोग करके, हम समतल का समीकरण बनाते हैं
,
तीसरे क्रम के निर्धारक का उपयोग करना।
दो बिंदुओं से हम सीधी रेखा के निर्देशन वेक्टर के निर्देशांक की तलाश कर रहे हैं:
हम एक सीधी रेखा और एक समतल के बीच के कोण की गणना करने के लिए सूत्र लागू करते हैं:

जैसा कि आप देख सकते हैं, यह सूत्र उस सूत्र से बहुत मिलता-जुलता है जिसका उपयोग हम दो रेखाओं के बीच के कोणों को खोजने के लिए करते थे। दाईं ओर की संरचना बिल्कुल वैसी ही है, और बाईं ओर अब हम पहले की तरह एक ज्या की तलाश कर रहे हैं, न कि कोसाइन की। खैर, एक बुरा कार्य जोड़ा गया - विमान के समीकरण की खोज।

चलो ठंडे बस्ते में न डालें उदाहरण हल करना:

1. ओस-नो-वा-नी-एम सीधे-मेरा पुरस्कार-हम हैं-ला-एट-ज़िया बराबर-लेकिन-गरीब-रेन-एन त्रिकोण-निक यू-विद-दैट पुरस्कार-हम बराबर हैं। सीधी रेखा और समतल के बीच का कोण ज्ञात कीजिए

2. एक आयताकार pa-ral-le-le-pi-pe-de में पश्चिम Nai-di-te से सीधी रेखा और समतल के बीच का कोण

3. दाहिने हाथ के छह-कोयला प्रिज्म में, सभी किनारे बराबर होते हैं। सीधी रेखा और समतल के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

4. दाएं त्रिकोणीय pi-ra-mi-de में os-but-va-ni-em के साथ पसली Nai-di-te कोण के पश्चिम से, os का ob-ra-zo-van -ny समतल -नो-वा-निया और स्ट्रेट-माय, पसलियों के से-रे-दी-ना से गुजरते हुए और

5. शीर्ष के साथ दाहिने चतुर्भुज pi-ra-mi-dy के सभी किनारों की लंबाई एक दूसरे के बराबर है। यदि बिंदु pi-ra-mi-dy के bo-ko-in-th किनारे पर se-re-di-on है, तो सीधी रेखा और समतल के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

दोबारा, मैं पहली दो समस्याओं को विस्तार से हल करूंगा, तीसरा - संक्षेप में, और मैं आपके लिए अंतिम दो को आपके लिए हल करने के लिए छोड़ देता हूं। इसके अलावा, आपको पहले से ही त्रिकोणीय और चतुर्भुज पिरामिड से निपटना था, लेकिन अभी तक प्रिज्म से नहीं।

समाधान:

1. एक प्रिज्म और उसका आधार भी बनाइए। आइए इसे समन्वय प्रणाली के साथ जोड़ते हैं और समस्या विवरण में दिए गए सभी डेटा को चिह्नित करते हैं:

कुछ अनुपातों का पालन न करने के लिए मैं क्षमा चाहता हूं, लेकिन समस्या को हल करने के लिए यह वास्तव में इतना महत्वपूर्ण नहीं है। विमान मेरे प्रिज्म की सिर्फ "पिछली दीवार" है। यह केवल अनुमान लगाने के लिए पर्याप्त है कि ऐसे विमान के समीकरण का रूप है:

हालाँकि, इसे सीधे भी दिखाया जा सकता है:

हम इस तल पर मनमाना तीन बिंदु चुनते हैं: उदाहरण के लिए, .

आइए विमान का समीकरण बनाएं:

आपके लिए व्यायाम: इस निर्धारक की गणना स्वयं करें। क्या आप सफल हुए? तब समतल के समीकरण का रूप है:

या केवल

इस प्रकार,

उदाहरण को हल करने के लिए, मुझे सीधी रेखा के निर्देशन वेक्टर के निर्देशांक खोजने होंगे। चूंकि बिंदु मूल के साथ मेल खाता है, वेक्टर के निर्देशांक बस बिंदु के निर्देशांक के साथ मेल खाते हैं। ऐसा करने के लिए, हम पहले बिंदु के निर्देशांक पाते हैं।

ऐसा करने के लिए, एक त्रिकोण पर विचार करें। आइए ऊपर से एक ऊँचाई (यह एक माध्यिका और एक समद्विभाजक भी है) खींचते हैं। चूँकि, तब बिंदु की कोटि बराबर होती है। इस बिंदु का भुज ज्ञात करने के लिए, हमें खंड की लंबाई की गणना करने की आवश्यकता है। पाइथागोरस प्रमेय से हमारे पास है:

फिर बिंदु के निर्देशांक हैं:

एक बिंदु एक बिंदु पर "उठाया" है:

फिर वेक्टर के निर्देशांक:

जवाब:

जैसा कि आप देख सकते हैं, ऐसी समस्याओं को हल करने में मौलिक रूप से कुछ भी मुश्किल नहीं है। वास्तव में, प्रिज्म जैसी आकृति का "सीधापन" प्रक्रिया को थोड़ा और सरल करता है। अब अगले उदाहरण पर चलते हैं:

2. हम एक समानांतर चतुर्भुज खींचते हैं, इसमें एक विमान और एक सीधी रेखा खींचते हैं, और अलग से इसका निचला आधार भी खींचते हैं:

सबसे पहले, हम विमान का समीकरण पाते हैं: इसमें स्थित तीन बिंदुओं के निर्देशांक:

(पहले दो निर्देशांक एक स्पष्ट तरीके से प्राप्त किए जाते हैं, और आप बिंदु से चित्र से अंतिम निर्देशांक आसानी से पा सकते हैं)। फिर हम विमान के समीकरण की रचना करते हैं:

हम गणना करते हैं:

हम दिशा वेक्टर के निर्देशांक की तलाश कर रहे हैं: यह स्पष्ट है कि इसके निर्देशांक बिंदु के निर्देशांक के साथ मेल खाते हैं, है ना? निर्देशांक कैसे खोजें? ये बिंदु के निर्देशांक हैं, जो अनुप्रयुक्त अक्ष के साथ एक द्वारा उठाए गए हैं! . फिर हम वांछित कोण की तलाश कर रहे हैं:

जवाब:

3. एक नियमित षट्कोणीय पिरामिड बनाएं, और फिर उसमें एक समतल और एक सीधी रेखा खींचे।

यहाँ एक विमान खींचना भी समस्याग्रस्त है, इस समस्या के समाधान का उल्लेख नहीं करना, लेकिन समन्वय विधि की परवाह नहीं है! इसकी बहुमुखी प्रतिभा में इसका मुख्य लाभ निहित है!

विमान तीन बिंदुओं से होकर गुजरता है: . हम उनके निर्देशांक ढूंढ रहे हैं:

एक) । अंतिम दो बिंदुओं के निर्देशांक स्वयं प्रदर्शित करें। इसके लिए आपको हेक्सागोनल पिरामिड के साथ समस्या को हल करना होगा!

2) हम समतल का समीकरण बनाते हैं:

हम वेक्टर के निर्देशांक की तलाश कर रहे हैं:। (त्रिकोणीय पिरामिड समस्या फिर से देखें!)

3) हम एक कोण की तलाश कर रहे हैं:

जवाब:

जैसा कि आप देख सकते हैं, इन कार्यों में अलौकिक रूप से कठिन कुछ भी नहीं है। आपको बस जड़ों से बहुत सावधान रहने की जरूरत है। अंतिम दो समस्याओं के लिए, मैं केवल उत्तर दूंगा:

जैसा कि आप देख सकते हैं, समस्याओं को हल करने की तकनीक हर जगह समान है: मुख्य कार्य कोने के निर्देशांक ढूंढना और उन्हें कुछ सूत्रों में बदलना है। कोणों की गणना के लिए समस्याओं के एक और वर्ग पर विचार करना हमारे लिए बाकी है, अर्थात्:

दो तलों के बीच कोणों की गणना

समाधान एल्गोरिथ्म इस प्रकार होगा:

तीन बिंदुओं के लिए हम पहले विमान के समीकरण की तलाश कर रहे हैं:
अन्य तीन बिंदुओं के लिए, हम दूसरे तल के समीकरण की तलाश कर रहे हैं:
हम सूत्र लागू करते हैं:

जैसा कि आप देख सकते हैं, सूत्र पिछले दो से काफी मिलता-जुलता है, जिसकी मदद से हम सीधी रेखाओं के बीच और एक सीधी रेखा और एक समतल के बीच के कोणों की तलाश कर रहे थे। तो इसे याद रखना आपके लिए मुश्किल नहीं होगा। आइए सीधे समस्या में कूदें:

1. एक सौ-आरओ-ओन के आधार पर सही त्रिकोणीय प्रिज्म बराबर है, और साइड फेस का डाय-गो-नल बराबर है। पुरस्कार के आधार के तल और तल के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

2. राइट-फॉरवर्ड फोर-यू-री-कोल-नोय पी-रा-मी-डी में, किसी के सभी किनारे बराबर हैं, प्लेन और प्लेन को-स्टु के बीच के कोण की साइन का पता लगाएं, जो इससे गुजर रहा है प्रति-पेन-दी-कु-लाइर-लेकिन सीधे-मेरी की बात।

3. एक नियमित चार-कोयला प्रिज्म में, os-no-va-nia की भुजाएँ समान होती हैं, और भुजाएँ समान होती हैं। मैं-चे-से-किनारे के किनारे पर ताकि। विमानों और के बीच के कोण का पता लगाएं

4. सम चतुर्भुज प्रिज्म में, आधारों की भुजाएँ समान होती हैं, और भुजाएँ समान होती हैं। किनारे से-मी-चे-एक बिंदु तक ताकि विमानों के बीच के कोण का पता लगाएं और।

5. घन में, तलों और के बीच के कोण का सह-si-nus ज्ञात कीजिए

समस्या समाधान:

1. मैं एक नियमित (आधार पर - एक समबाहु त्रिभुज) त्रिकोणीय प्रिज्म बनाता हूं और उस पर समस्या की स्थिति में दिखाई देने वाले विमानों को चिह्नित करता हूं:

हमें दो विमानों के समीकरणों को खोजने की जरूरत है: आधार समीकरण तुच्छ रूप से प्राप्त किया जाता है: आप तीन बिंदुओं के लिए संबंधित निर्धारक बना सकते हैं, लेकिन मैं तुरंत समीकरण बनाउंगा:

अब आइए समीकरण खोजें बिंदु के निर्देशांक हैं बिंदु - चूँकि - माध्यिका और त्रिभुज की ऊँचाई, पाइथागोरस प्रमेय द्वारा त्रिभुज में खोजना आसान है। तब बिंदु के निर्देशांक होते हैं: बिंदु का अनुप्रयोग खोजें ऐसा करने के लिए, एक समकोण त्रिभुज पर विचार करें

तब हमें निम्नलिखित निर्देशांक प्राप्त होते हैं: हम समतल के समीकरण की रचना करते हैं।

हम विमानों के बीच के कोण की गणना करते हैं:

जवाब:

2. एक चित्र बनाना:

सबसे कठिन बात यह समझना है कि यह किस तरह का रहस्यमय विमान है, जो एक बिंदु से लंबवत होकर गुजरता है। खैर, मुख्य बात यह है कि यह क्या है? मुख्य बात सावधानी है! दरअसल, रेखा लंबवत है। रेखा भी लंबवत है। तब इन दो रेखाओं से गुजरने वाला तल रेखा के लंबवत होगा, और, वैसे, बिंदु से होकर गुजरेगा। यह समतल पिरामिड के शीर्ष से भी गुजरता है। फिर वांछित विमान - और विमान हमें पहले ही दिया जा चुका है। हम बिंदुओं के निर्देशांक की तलाश कर रहे हैं।

हम बिंदु के माध्यम से बिंदु का निर्देशांक पाते हैं। एक छोटे से चित्र से यह निष्कर्ष निकालना आसान है कि बिंदु के निर्देशांक इस प्रकार होंगे: पिरामिड के शीर्ष के निर्देशांक खोजने के लिए अब क्या खोजना बाकी है? अभी भी इसकी ऊंचाई की गणना करने की जरूरत है। यह उसी पायथागॉरियन प्रमेय का उपयोग करके किया जाता है: पहले, साबित करें कि (आधार पर एक वर्ग बनाने वाले छोटे त्रिकोणों से)। चूंकि शर्त के अनुसार, हमारे पास है:

अब सब कुछ तैयार है: शीर्ष निर्देशांक:

हम विमान के समीकरण की रचना करते हैं:

आप पहले से ही निर्धारकों की गणना के विशेषज्ञ हैं। आप आसानी से प्राप्त करेंगे:

या अन्यथा (यदि हम दोनों भागों को दो के मूल से गुणा करें)

आइए अब समतल का समीकरण ज्ञात करें:

(आप यह नहीं भूले कि हम विमान का समीकरण कैसे प्राप्त करते हैं, ठीक है? यदि आप यह नहीं समझते हैं कि यह ऋण कहाँ से आया है, तो विमान के समीकरण की परिभाषा पर वापस जाएँ! यह हमेशा उससे पहले निकला कि मेरा विमान मूल का था!)

हम निर्धारक की गणना करते हैं:

(आप देख सकते हैं कि समतल का समीकरण बिंदुओं से गुजरने वाली सीधी रेखा के समीकरण से मेल खाता है और सोचिए क्यों!)

अब हम कोण की गणना करते हैं:

हमें साइन खोजने की जरूरत है:

जवाब:

3. एक पेचीदा सवाल: आयताकार प्रिज्म क्या है, आप क्या सोचते हैं? यह आपके लिए एक प्रसिद्ध समानांतर चतुर्भुज है! तुरंत ड्राइंग! आप आधार को अलग से चित्रित भी नहीं कर सकते, यहाँ इसका बहुत कम उपयोग है:

समतल, जैसा कि हमने पहले देखा, एक समीकरण के रूप में लिखा गया है:

अब हम एक विमान बनाते हैं

हम तुरंत विमान के समीकरण की रचना करते हैं:

एक कोण की तलाश में

अब अंतिम दो समस्याओं के उत्तर:

खैर, अब ब्रेक लेने का समय है, क्योंकि आप और मैं महान हैं और आपने बहुत अच्छा काम किया है!

निर्देशांक और वैक्टर। उन्नत स्तर, उच्च स्तर

इस लेख में, हम आपके साथ एक अन्य वर्ग की समस्याओं पर चर्चा करेंगे जिन्हें समन्वय विधि का उपयोग करके हल किया जा सकता है: दूरी की समस्याएं। अर्थात्, हम निम्नलिखित मामलों पर विचार करेंगे:

तिरछी रेखाओं के बीच की दूरी की गणना।

मैंने दिए गए कार्यों का आदेश दिया है क्योंकि उनकी जटिलता बढ़ जाती है। खोजना सबसे आसान है विमान दूरी के लिए बिंदुऔर सबसे कठिन हिस्सा ढूंढ रहा है प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच की दूरी. हालांकि, निश्चित रूप से, कुछ भी असंभव नहीं है! आइए विलंब न करें और समस्याओं के प्रथम वर्ग पर विचार करने के लिए तुरंत आगे बढ़ें:

एक बिंदु से एक विमान की दूरी की गणना

इस समस्या को हल करने के लिए हमें क्या चाहिए?

1. बिंदु निर्देशांक

इसलिए, जैसे ही हमें सभी आवश्यक डेटा मिलते हैं, हम सूत्र लागू करते हैं:

आपको पहले से ही पता होना चाहिए कि हम पिछली समस्याओं से विमान के समीकरण का निर्माण कैसे करते हैं जिसका मैंने पिछले भाग में विश्लेषण किया था। चलो तुरंत व्यापार के लिए नीचे उतरें। योजना इस प्रकार है: 1, 2 - मैं आपको निर्णय लेने में मदद करता हूं, और कुछ विस्तार से, 3, 4 - केवल उत्तर, आप स्वयं निर्णय लें और तुलना करें। शुरू किया गया!

कार्य:

1. एक घन दिया है। घन के किनारे की लंबाई है कट से फ्लैट तक se-re-di-ny से ढूँढें-दी-ते दूरी

2. द राइट-विल-नया फोर-यू-रेख-कोयला-नया पि-रा-मी-दा बो-को-वो एज सौ-रो-ऑन द ओएस-नो-वा-निया बराबर है। ढूँढें-दी-वे एक बिंदु से एक विमान तक की दूरी जहां - किनारों पर से-रे-दी-।

3. दाहिने त्रिकोणीय pi-ra-mi-de में os-but-va-ni-em के साथ, दूसरा किनारा बराबर है, और एक सौ-ro-on os-no-va-niya बराबर है। ढूँढें-दी-वे ऊपर से विमान तक की दूरी।

4. दाहिने हाथ के छह-कोयला प्रिज्म में, सभी किनारे बराबर होते हैं। ढूँढें-दी-वे एक बिंदु से एक विमान तक की दूरी।

समाधान:

1. एकल किनारों वाला एक घन बनाएं, एक खंड और एक तल बनाएं, खंड के मध्य को अक्षर द्वारा निरूपित करें

सबसे पहले, आइए एक आसान से शुरू करें: एक बिंदु के निर्देशांक खोजें। तब से (खंड के मध्य के निर्देशांक याद रखें!)

अब हम तीन बिंदुओं पर समतल का समीकरण बनाते हैं

\[\बाएं| (\begin(array)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\end(array)) \right| = 0\]

अब मैं दूरी खोजना शुरू कर सकता हूं:

2. हम फिर से एक ड्राइंग के साथ शुरू करते हैं, जिस पर हम सभी डेटा को चिह्नित करते हैं!

एक पिरामिड के लिए उसका आधार अलग से खींचना उपयोगी होगा।

यहां तक कि तथ्य यह है कि मैं एक चिकन पंजा की तरह आकर्षित करता हूं, हमें इस समस्या को आसानी से हल करने से नहीं रोकेगा!

अब एक बिंदु के निर्देशांक खोजना आसान है

बिंदु के निर्देशांक के बाद से

2. चूँकि बिंदु a के निर्देशांक खंड के मध्य में हैं, तो

हम समतल पर दो और बिंदुओं के निर्देशांक आसानी से प्राप्त कर सकते हैं। हम समतल के समीकरण की रचना करते हैं और इसे सरल करते हैं:

\[\बाएं| (\ बाएँ | (\ start (सरणी) (*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(array)) \right|) \right| = 0\]

चूंकि बिंदु में निर्देशांक हैं: , तो हम दूरी की गणना करते हैं:

उत्तर (बहुत दुर्लभ!):

अच्छा, समझे? मुझे ऐसा लगता है कि यहां सब कुछ उतना ही तकनीकी है जितना कि उदाहरणों में हमने पिछले भाग में आपके साथ विचार किया था। तो मुझे यकीन है कि अगर आपने उस सामग्री में महारत हासिल कर ली है, तो आपके लिए बाकी दो समस्याओं को हल करना मुश्किल नहीं होगा। मैं आपको केवल उत्तर दूंगा:

एक रेखा से एक समतल की दूरी की गणना करना

दरअसल, यहां कुछ भी नया नहीं है। एक रेखा और एक तल एक दूसरे के सापेक्ष कैसे स्थित हो सकते हैं? उनके पास सभी संभावनाएं हैं: प्रतिच्छेद करना, या एक सीधी रेखा समतल के समानांतर है। आपके विचार में उस रेखा से उस तल की दूरी क्या है जिससे दी गई रेखा प्रतिच्छेद करती है? मुझे ऐसा लगता है कि यह स्पष्ट है कि इतनी दूरी शून्य के बराबर है। दिलचस्प मामला।

दूसरा मामला पेचीदा है: यहाँ दूरी पहले से ही शून्य है। हालाँकि, चूंकि रेखा समतल के समानांतर है, इसलिए रेखा का प्रत्येक बिंदु इस तल से समान दूरी पर है:

इस प्रकार:

और इसका मतलब है कि मेरा कार्य पिछले एक में कम हो गया है: हम रेखा पर किसी भी बिंदु के निर्देशांक की तलाश कर रहे हैं, हम विमान के समीकरण की तलाश कर रहे हैं, हम बिंदु से विमान की दूरी की गणना करते हैं। वास्तव में, परीक्षा में ऐसे कार्य अत्यंत दुर्लभ हैं। मैं केवल एक समस्या खोजने में कामयाब रहा, और इसमें डेटा ऐसा था कि समन्वय विधि उस पर बहुत लागू नहीं थी!

अब आइए समस्याओं के एक और अधिक महत्वपूर्ण वर्ग की ओर बढ़ते हैं:

एक बिंदु से एक रेखा की दूरी की गणना करना

हमें क्या चाहिए होगा?

1. जिस बिंदु से हम दूरी की तलाश कर रहे हैं उसके निर्देशांक:

2. एक सीधी रेखा पर स्थित किसी भी बिंदु के निर्देशांक

3. सीधी रेखा के दिशा सदिश निर्देशांक

हम किस सूत्र का उपयोग करते हैं?

इस भिन्न का हर आपके लिए क्या मायने रखता है और इसलिए यह स्पष्ट होना चाहिए: यह सीधी रेखा के निर्देशन सदिश की लंबाई है। यहाँ एक बहुत ही पेचीदा अंश है! अभिव्यक्ति का अर्थ है वैक्टर के वेक्टर उत्पाद का मॉड्यूल (लंबाई) और वेक्टर उत्पाद की गणना कैसे करें, हमने काम के पिछले भाग में अध्ययन किया। अपने ज्ञान को ताज़ा करें, यह अब हमारे लिए बहुत उपयोगी होगा!

इस प्रकार, समस्याओं को हल करने के लिए एल्गोरिथ्म इस प्रकार होगा:

1. हम उस बिंदु के निर्देशांक ढूंढ रहे हैं जहां से हम दूरी की तलाश कर रहे हैं:

2. हम उस रेखा पर किसी भी बिंदु के निर्देशांक ढूंढ रहे हैं जिससे हम दूरी की तलाश कर रहे हैं:

3. एक वेक्टर का निर्माण

4. हम सीधी रेखा के दिशा सदिश का निर्माण करते हैं

5. क्रॉस उत्पाद की गणना करें

6. हम परिणामी वेक्टर की लंबाई की तलाश कर रहे हैं:

7. दूरी की गणना करें:

हमारे पास बहुत काम है, और उदाहरण काफी जटिल होंगे! तो अब अपना सारा ध्यान केंद्रित करें!

1. दाना एक दाहिने हाथ का त्रिकोणीय pi-ra-mi-da एक शीर्ष के साथ है। ऑस-नो-वा-निया पी-रा-मी-डाई पर एक सौ-रो-ओ बराबर है, आप-तो-ता बराबर है। बो-को-वें किनारे के से-रे-दी-नी से सीधी रेखा तक उन दूरियों का पता लगाएं, जहां बिंदु और पसलियों के से-रे-दी-नी और सह-पशु चिकित्सक हैं -स्टीवन-लेकिन।

2. पसलियों की लंबाई और समकोण-नो-पैरा-राल-ले-पी-पे-दा क्रमशः बराबर हैं, और टॉप-शि-एन से स्ट्रेट-माय तक की दूरी खोजें

3. दायीं छह-कोयला प्रिज्म में, एक झुंड के सभी किनारे समान होते हैं find-di-जो एक बिंदु से एक सीधी रेखा तक की दूरी

समाधान:

1. हम एक साफ-सुथरी ड्राइंग बनाते हैं, जिस पर हम सभी डेटा को चिह्नित करते हैं:

हमारे पास आपके लिए बहुत काम है! मैं सबसे पहले शब्दों में वर्णन करना चाहूंगा कि हम क्या देखेंगे और किस क्रम में:

1. बिंदुओं के निर्देशांक और

2. बिंदु निर्देशांक

3. बिंदुओं के निर्देशांक और

4. सदिशों के निर्देशांक और

5. उनका क्रॉस उत्पाद

6. वेक्टर लंबाई

7. वेक्टर उत्पाद की लंबाई

8. से दूरी

खैर, हमें बहुत काम करना है! चलो अपनी आस्तीन ऊपर करो!

1. पिरामिड की ऊंचाई के निर्देशांक खोजने के लिए, हमें बिंदु के निर्देशांक जानने की जरूरत है। इसका अनुप्रयोग शून्य है, और कोटि इसके भुज के बराबर है। अंत में, हमें निर्देशांक मिले:

बिंदु निर्देशांक

2. - खंड के मध्य

3. - खंड के मध्य

मध्य

4. निर्देशांक

वेक्टर निर्देशांक

5. वेक्टर उत्पाद की गणना करें:

6. वेक्टर की लंबाई: सबसे आसान तरीका यह है कि यह खंड त्रिभुज की मध्य रेखा है, जिसका अर्थ है कि यह आधा आधार के बराबर है। ताकि।

7. हम वेक्टर उत्पाद की लंबाई पर विचार करते हैं:

8. अंत में, दूरी ज्ञात कीजिए:

ओह, बस इतना ही! ईमानदारी से, मैं आपको बताऊंगा: पारंपरिक तरीकों (निर्माणों के माध्यम से) द्वारा इस समस्या को हल करना बहुत तेज़ होगा। लेकिन यहाँ मैंने सब कुछ एक तैयार एल्गोरिथम में घटा दिया! मुझे लगता है कि समाधान एल्गोरिदम आपके लिए स्पष्ट है? इसलिए, मैं आपसे शेष दो समस्याओं को स्वयं हल करने के लिए कहूंगा। उत्तरों की तुलना करें?

फिर से, मैं दोहराता हूं: समन्वय पद्धति का सहारा लेने के बजाय, निर्माण के माध्यम से इन समस्याओं को हल करना आसान (तेज) है। मैंने केवल आपको एक सार्वभौमिक विधि दिखाने के लिए हल करने के इस तरीके का प्रदर्शन किया जो आपको "कुछ भी खत्म न करने" की अनुमति देता है।

अंत में, समस्याओं के अंतिम वर्ग पर विचार करें:

तिरछी रेखाओं के बीच की दूरी की गणना

यहां समस्याओं को हल करने के लिए एल्गोरिथ्म पिछले एक के समान होगा। हमारे पास क्या है:

3. पहली और दूसरी पंक्तियों के बिंदुओं को जोड़ने वाला कोई सदिश:

हम रेखाओं के बीच की दूरी कैसे ज्ञात करते हैं?

सूत्र है:

अंश मिश्रित उत्पाद का मॉड्यूल है (हमने इसे पिछले भाग में पेश किया था), और हर - जैसा कि पिछले सूत्र में है (लाइनों के निर्देशन वैक्टर के वेक्टर उत्पाद का मॉड्यूल, जिसके बीच की दूरी हम देख रहे हैं के लिए)।

मैं आपको याद दिलाऊंगा कि

तब दूरी सूत्र को फिर से लिखा जा सकता है:

इस सारणिक को सारणिक से विभाजित करें! हालांकि, ईमानदार होने के लिए, मैं यहाँ चुटकुलों के मूड में नहीं हूँ! यह सूत्र, वास्तव में, बहुत बोझिल है और जटिल गणनाओं की ओर ले जाता है। अगर मैं तुम होते, तो मैं इसे केवल अंतिम उपाय के रूप में उपयोग करता!

आइए उपरोक्त विधि का उपयोग करके कुछ समस्याओं को हल करने का प्रयास करें:

1. दायीं त्रिभुजाकार प्रिज्म में, सभी किनारे किसी न किसी तरह बराबर हैं, सीधी रेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए और।

2. एक दायीं ओर के आकार के त्रिकोणीय प्रिज्म को देखते हुए, किसी के ओएस-नो-वा-निया के सभी किनारे से-चे-टियन के बराबर होते हैं, दूसरी पसली से गुजरते हुए और से-रे-दी-नु पसली होते हैं यव-ला-एट-स्या स्क्वायर-रा-टॉम। स्ट्रेट-वी-मील और . के बीच फाइंड-दी-ते डिस-स्टो-आई-नी

मैं पहले का फैसला करता हूं, और उसके आधार पर आप दूसरा तय करते हैं!

1. मैं एक प्रिज्म बनाता हूँ और रेखाएँ अंकित करता हूँ और

बिंदु C निर्देशांक: तब

बिंदु निर्देशांक

वेक्टर निर्देशांक

बिंदु निर्देशांक

वेक्टर निर्देशांक

\[\बाएं((बी,\ओवरराइटएरो (ए(ए_1)) \ओवरराइटएरो (बी(सी_1))) \दाएं) = \बाएं| (\ start(array)(*(20)(l))(\ start(array)(*(20)(c))0&1&0\end(array))\\(\ start(array)(*(20) (सी))0&0&1\end(सरणी))\\(\begin(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\अंत(सरणी))\अंत(सरणी)) \दाएं| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

हम वैक्टर और के बीच क्रॉस उत्पाद पर विचार करते हैं

\[\overrightarrow (A(A_1)) \cdot \overrightarrow (B(C_1)) = \बाएं| \begin(array)(l)\begin(array)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(array)\\\ start(array) )(*(20)(c))0&0&1\end(array)\\\ start(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\end(array)\end(array) \right| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\overrightarrow k + \frac(1)(2)\overrightarrow i \]

अब हम इसकी लंबाई पर विचार करते हैं:

जवाब:

अब दूसरे कार्य को ध्यान से पूरा करने का प्रयास करें। इसका उत्तर होगा:.

निर्देशांक और वैक्टर। संक्षिप्त विवरण और बुनियादी सूत्र

एक वेक्टर एक निर्देशित खंड है। - वेक्टर की शुरुआत, - वेक्टर का अंत।
वेक्टर को या द्वारा दर्शाया जाता है।

निरपेक्ष मूल्यवेक्टर - वेक्टर का प्रतिनिधित्व करने वाले खंड की लंबाई। के रूप में नामित।

वेक्टर निर्देशांक:

,
सदिश \displaystyle a के सिरे कहां हैं।

वैक्टर का योग:।

वैक्टर का उत्पाद:

वैक्टर का डॉट उत्पाद:

सदिशों का अदिश गुणनफल उनके निरपेक्ष मानों के गुणनफल और उनके बीच के कोण की कोज्या के बराबर होता है:

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छात्र के लिए पोर्टल। आत्म प्रशिक्षण

वेक्टर अवधारणा

ज्यामितीय वैक्टर पर रैखिक संचालन

एक वेक्टर को एक संख्या से गुणा करें

वेक्टर जोड़ और घटाव

वैक्टर पर समस्याओं को स्वयं हल करें, और फिर समाधान देखें

एक अक्ष पर एक वेक्टर का प्रक्षेपण

अक्ष पर वेक्टर अनुमानों के मुख्य गुण:

अंतरिक्ष में एक आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के साथ एक वेक्टर का संबंध

निर्देशांक में संरेखीय सदिशों की स्थिति

सदिश लंबाई और दिशा कोज्या

वैक्टर पर समस्या को स्वयं हल करें, और फिर समाधान देखें

निर्देशांक रूप में दिए गए वैक्टर पर संचालन

अदिश और सदिश

अंतरिक्ष में वेक्टर

बिंदु त्रिज्या वेक्टर

एक सदिश को एक अदिश से गुणा करें

यूनिट वैक्टर

वेक्टर जोड़

वेक्टर लंबाई और दिशा

कार्यक्रमों में वैक्टर का प्रतिनिधित्व

वैक्टर का डॉट उत्पाद

वैक्टर का क्रॉस उत्पाद

वेक्टर सामान्यीकरण

अंतभाषण

निर्देशांक और वैक्टर। मध्यवर्ती स्तर

दिए गए तीन बिंदुओं से गुजरने वाले समतल का समीकरण

वेक्टर उत्पाद

तीन वैक्टर का मिश्रित उत्पाद

समन्वय प्रणाली का विकल्प

सीधा प्रिज्म

त्रिकोणीय प्रिज़्म:

हेक्सागोनल प्रिज्म:

चतुर्भुज और हेक्सागोनल पिरामिड:

टेट्राहेड्रोन (त्रिकोणीय पिरामिड)

एक रेखा और एक समतल के बीच का कोण ज्ञात करना

दो तलों के बीच कोणों की गणना

निर्देशांक और वैक्टर। उन्नत स्तर, उच्च स्तर

एक बिंदु से एक विमान की दूरी की गणना

एक रेखा से एक समतल की दूरी की गणना करना

एक बिंदु से एक रेखा की दूरी की गणना करना

तिरछी रेखाओं के बीच की दूरी की गणना

निर्देशांक और वैक्टर। संक्षिप्त विवरण और बुनियादी सूत्र

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