विकल्प 1। पर

1. एक फ़ंक्शन का ग्राफ वाई =एफ(एक्स) चित्र में दिखाया गया है।

इस फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान निर्दिष्ट करें 1

खंड पर [ ए; बी]. ए 0 1 बी एक्स

1) 2,5; 2) 3; 3) 4; 4) 2.

https://pandia.ru/text/78/524/images/image003_127.gif" width="242" height="133 src="> 1) -4; 2) -2; 3) 4; 4) 2.

4. कार्य वाई =एफ(एक्स) खंड पर सेट करें [ ए; बी]. पर

आंकड़ा इसके व्युत्पन्न का एक ग्राफ दिखाता है

वाई =एफ ´(एक्स). चरम सीमाओं के लिए अन्वेषण करें 1 बी

समारोह वाई =एफ(एक्स). कृपया अपने उत्तर में मात्रा का उल्लेख करें। ए 0 1 एक्स

न्यूनतम अंक।

1) 6; 2) 7; 3) 4;

5. किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान ज्ञात करें वाई \u003d -2x2 + 8x -7।

1) -2; 2) 7; 3) 1;

6. किसी फलन का सबसे छोटा मान ज्ञात कीजिए खंड पर .

1) https://pandia.ru/text/78/524/images/image005_87.gif" width="17" height="48 src=">.

7. किसी फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान ज्ञात करें वाई =|2x+3| - .

1) - https://pandia.ru/text/78/524/images/image006_79.gif" width="17" height="47"> ; 4) - .

https://pandia.ru/text/78/524/images/image009_67.gif" width="144" height="33 src="> बिंदु पर न्यूनतम है एक्सओ = 1.5?

1) 5; 2) -6; 3) 4; 4) 6.पर

9. फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान निर्दिष्ट करें वाई =एफ(एक्स) ,

1 एक्स

0 1

1) 2,5; 2) 3; 3) -3;

वाई =एलजी(100 – एक्स2 ).

1) 10 ; 2) 100 ; 3) 2 ; 4) 1 .

11. किसी फलन का सबसे छोटा मान ज्ञात कीजिए वाई = 2पाप-1.

1) -1 ; 2) -3 ; 3) -2 ; 4) - .

टेस्ट 14 फ़ंक्शन का सबसे बड़ा (सबसे छोटा) मान।

https://pandia.ru/text/78/524/images/image013_44.gif" width="130" height="115 src=">1. समारोह का ग्राफ वाई =एफ(एक्स) चित्र में दिखाया गया है।

इस फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान निर्दिष्ट करें 1

खंड पर [ ए; बी]. ए बी

0 1 एक्स

1) 0; 2) - 4 ,5; 3) -2; 4) - 3.

2. पर चित्र फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ दिखाता है वाई =एफ(एक्स).

फ़ंक्शन के अधिकतम कितने अंक हैं?

1

0 1 एक्स 1) 5; 2) 6; 3) 4; 4) 1.

3. फ़ंक्शन किस बिंदु पर है वाई \u003d 2x2 + 24x -25सबसे छोटा मान लेता है?

https://pandia.ru/text/78/524/images/image018_37.gif" width="76" height="48"> सेगमेंट पर [-3;-1].

1) - https://pandia.ru/text/78/524/images/image020_37.gif" width="17" height="47 src=">; 2); 4) - 5.

https://pandia.ru/text/78/524/images/image022_35.gif" width="135" height="33 src="> बिंदु पर न्यूनतम है एक्सओ = -2?

; 2) -6;; 4) 6.पर

9. फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान निर्दिष्ट करें वाई =एफ(एक्स) ,

जिसका ग्राफ चित्र में दिखाया गया है। 1 एक्स

0 1

1) -1,5; 2) -1; 3) -3;

10. किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान ज्ञात करें वाई =लॉग11 (121 – एक्स2 ).

1) 11;; 3) 1;

11. किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान ज्ञात करें वाई = 2क्योंकि+3.

1) 5 ; 2) 3 ; 3) 2 ; 4) .

जवाब :

और इसे हल करने के लिए, आपको विषय का न्यूनतम ज्ञान होना चाहिए। अगला शैक्षणिक वर्ष समाप्त हो रहा है, हर कोई छुट्टी पर जाना चाहता है, और इस क्षण को करीब लाने के लिए, मैं तुरंत व्यवसाय में उतर जाता हूं:

आइए क्षेत्र से शुरू करते हैं। स्थिति में निर्दिष्ट क्षेत्र है सीमित बंद किया हुआ विमान में बिंदुओं का सेट। उदाहरण के लिए, एक त्रिभुज से घिरे बिंदुओं का एक समूह, जिसमें संपूर्ण त्रिभुज शामिल है (यदि से सीमाओंकम से कम एक बिंदु "प्रहार करें", फिर क्षेत्र बंद नहीं होगा). व्यवहार में, आयताकार, गोल और थोड़े अधिक जटिल आकार के क्षेत्र भी होते हैं। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि गणितीय विश्लेषण के सिद्धांत में सख्त परिभाषाएं दी गई हैं सीमाएं, अलगाव, सीमाएं, आदि।, लेकिन मुझे लगता है कि हर कोई सहज स्तर पर इन अवधारणाओं से अवगत है, और अब और अधिक की आवश्यकता नहीं है।

समतल क्षेत्र को मानक रूप से अक्षर द्वारा निरूपित किया जाता है, और, एक नियम के रूप में, विश्लेषणात्मक रूप से दिया जाता है - कई समीकरणों द्वारा (जरूरी नहीं कि रैखिक हो); कम अक्सर असमानता। एक विशिष्ट मौखिक कारोबार: "बंद क्षेत्र लाइनों द्वारा सीमित"।

विचाराधीन कार्य का एक अभिन्न अंग ड्राइंग पर क्षेत्र का निर्माण है। यह कैसे करना है? सभी सूचीबद्ध रेखाएँ खींचना आवश्यक है (इस मामले में 3 .) सीधा) और विश्लेषण करें कि क्या हुआ। वांछित क्षेत्र आमतौर पर हल्के से रचा जाता है, और इसकी सीमा को एक बोल्ड लाइन के साथ हाइलाइट किया जाता है:


वही क्षेत्र सेट किया जा सकता है रैखिक असमानताएं: , जो किसी कारण से अधिक बार एक गणना सूची के रूप में लिखा जाता है, और नहीं प्रणाली.
चूंकि सीमा क्षेत्र की है, इसलिए सभी असमानताएं, निश्चित रूप से, गैर सख्त.

और अब मामले की जड़। कल्पना कीजिए कि निर्देशांक की उत्पत्ति से धुरी सीधे आप तक जाती है। एक समारोह पर विचार करें कि निरंतर प्रत्येक मेंक्षेत्र बिंदु। इस फ़ंक्शन का ग्राफ है सतह, और छोटी सी खुशी यह है कि आज की समस्या को हल करने के लिए हमें यह जानने की आवश्यकता नहीं है कि यह सतह कैसी दिखती है। यह ऊपर, नीचे, विमान को पार कर सकता है - यह सब महत्वपूर्ण नहीं है। और निम्नलिखित महत्वपूर्ण है: के अनुसार वीयरस्ट्रैस प्रमेय, निरंतरमें सीमित बंदक्षेत्र, फ़ंक्शन अपने अधिकतम तक पहुँच जाता है ("उच्चतम")और कम से कम ("सबसे कम")मूल्यों का पता लगाना है। ये मूल्य प्राप्त होते हैं यामें स्थिर बिंदु, क्षेत्र से संबंधितडी , याइस क्षेत्र की सीमा पर स्थित बिंदुओं पर। जिससे एक सरल और पारदर्शी समाधान एल्गोरिथम इस प्रकार है:

उदाहरण 1

एक सीमित संलग्न क्षेत्र में

फेसला: सबसे पहले, आपको ड्राइंग पर क्षेत्र को चित्रित करना होगा। दुर्भाग्य से, मेरे लिए समस्या का एक इंटरैक्टिव मॉडल बनाना तकनीकी रूप से कठिन है, और इसलिए मैं तुरंत अंतिम उदाहरण दूंगा, जो अध्ययन के दौरान पाए गए सभी "संदिग्ध" बिंदुओं को दर्शाता है। आमतौर पर उन्हें एक के बाद एक नीचे रखा जाता है जैसे वे पाए जाते हैं:

प्रस्तावना के आधार पर, निर्णय को आसानी से दो बिंदुओं में विभाजित किया जा सकता है:

I) आइए स्थिर बिंदु खोजें। यह एक मानक क्रिया है जिसे हमने पाठ में बार-बार किया है। कई चर के चरम के बारे में:

स्थिर बिंदु मिला अंतर्गत आता हैक्षेत्र: (इसे ड्राइंग पर चिह्नित करें), जिसका अर्थ है कि हमें किसी दिए गए बिंदु पर फ़ंक्शन के मान की गणना करनी चाहिए:

- जैसा कि लेख में है किसी खंड पर किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान, मैं महत्वपूर्ण परिणामों को बोल्ड में हाइलाइट करूंगा। एक नोटबुक में, उन्हें पेंसिल से घेरना सुविधाजनक होता है।

हमारी दूसरी खुशी पर ध्यान दें - चेक करने का कोई मतलब नहीं है एक चरम के लिए पर्याप्त स्थिति. क्यों? भले ही उस बिंदु पर फ़ंक्शन पहुंचता है, उदाहरण के लिए, स्थानीय न्यूनतम, तो इसका मतलब यह नहीं है कि परिणामी मूल्य होगा कम से कमपूरे क्षेत्र में (पाठ की शुरुआत देखें बिना शर्त चरम सीमाओं के बारे में) .

क्या होगा यदि स्थिर बिंदु क्षेत्र से संबंधित नहीं है? लगभग कुछ नहीं! यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि और अगले पैराग्राफ पर जाएं।

II) हम क्षेत्र की सीमा की जांच करते हैं।

चूंकि सीमा में एक त्रिभुज की भुजाएँ होती हैं, इसलिए अध्ययन को 3 उप-अनुच्छेदों में विभाजित करना सुविधाजनक होता है। लेकिन इसे किसी भी तरह से नहीं करना बेहतर है। मेरे दृष्टिकोण से, सबसे पहले निर्देशांक अक्षों के समानांतर खंडों पर विचार करना अधिक फायदेमंद है, और सबसे पहले, जो स्वयं कुल्हाड़ियों पर पड़े हैं। क्रियाओं के पूरे अनुक्रम और तर्क को पकड़ने के लिए, "एक सांस में" अंत का अध्ययन करने का प्रयास करें:

1) आइए त्रिभुज के निचले हिस्से से निपटें। ऐसा करने के लिए, हम सीधे फ़ंक्शन में स्थानापन्न करते हैं:

वैकल्पिक रूप से, आप इसे इस तरह कर सकते हैं:

ज्यामितीय रूप से, इसका अर्थ है कि निर्देशांक तल (जो समीकरण द्वारा भी दिया गया है)से "कट आउट" सतह"स्थानिक" परवलय, जिसका शीर्ष तुरंत संदेह के दायरे में आता है। चलो पता करते हैं वह कहाँ है:

- परिणामी मूल्य क्षेत्र में "हिट", और यह अच्छी तरह से उस बिंदु पर हो सकता है (ड्राइंग पर निशान)फ़ंक्शन पूरे क्षेत्र में सबसे बड़े या सबसे छोटे मान तक पहुंचता है। वैसे भी, चलो गणना करते हैं:

अन्य "उम्मीदवार", निश्चित रूप से, खंड के अंत हैं। बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मानों की गणना करें (ड्राइंग पर निशान):

यहाँ, वैसे, आप "स्ट्रिप्ड डाउन" संस्करण पर एक मौखिक मिनी-चेक कर सकते हैं:

2) त्रिभुज के दाईं ओर का अध्ययन करने के लिए, हम इसे फ़ंक्शन में प्रतिस्थापित करते हैं और "चीजों को वहां क्रम में रखते हैं":

यहां हम खंड के पहले से संसाधित अंत को "रिंगिंग" करते हुए तुरंत एक मोटा चेक करते हैं:
, पूरी तरह से ठीक।

ज्यामितीय स्थिति पिछले बिंदु से संबंधित है:

- परिणामी मूल्य भी "हमारे हितों के दायरे में प्रवेश किया", जिसका अर्थ है कि हमें यह गणना करने की आवश्यकता है कि फ़ंक्शन उस बिंदु पर क्या है जो दिखाई दिया है:

आइए खंड के दूसरे छोर की जांच करें:

फ़ंक्शन का उपयोग करना , चलो देखते है:

3) शायद हर कोई जानता है कि शेष पक्ष का पता कैसे लगाया जाए। हम फ़ंक्शन में स्थानापन्न करते हैं और सरलीकरण करते हैं:

लाइन समाप्त होती है पहले ही जांच की जा चुकी है, लेकिन मसौदे पर हम अभी भी जांचते हैं कि क्या हमें फ़ंक्शन सही ढंग से मिला है :
- 1 उप-अनुच्छेद के परिणाम के साथ मेल खाता है;
- दूसरे उप-अनुच्छेद के परिणाम के साथ मेल खाता है।

यह पता लगाना बाकी है कि क्या सेगमेंट के अंदर कुछ दिलचस्प है:

- वहाँ है! समीकरण में एक सीधी रेखा को प्रतिस्थापित करते हुए, हमें इस "दिलचस्पी" की कोटि मिलती है:

हम ड्राइंग पर एक बिंदु को चिह्नित करते हैं और फ़ंक्शन का संबंधित मान पाते हैं:

आइए "बजट" संस्करण के अनुसार गणनाओं को नियंत्रित करें :
, गण।

और अंतिम चरण: सभी "वसा" संख्याओं को ध्यान से देखें, मैं शुरुआती लोगों को भी एक सूची बनाने की सलाह देता हूं:

जिसमें से हम सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान चुनते हैं। जवाबखोजने की समस्या की शैली में लिखें अंतराल पर फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान:

बस मामले में, मैं एक बार फिर परिणाम के ज्यामितीय अर्थ पर टिप्पणी करूंगा:
- यहाँ इस क्षेत्र में सतह का उच्चतम बिंदु है;
- यहाँ क्षेत्र में सतह का सबसे निचला बिंदु है।

विश्लेषण की गई समस्या में, हमने 7 "संदिग्ध" अंक पाए, लेकिन उनकी संख्या कार्य से कार्य में भिन्न होती है। त्रिकोणीय क्षेत्र के लिए, न्यूनतम "अन्वेषण सेट" में तीन बिंदु होते हैं। यह तब होता है जब फ़ंक्शन, उदाहरण के लिए, सेट करता है विमान- यह बिल्कुल स्पष्ट है कि कोई स्थिर बिंदु नहीं हैं, और फ़ंक्शन केवल त्रिभुज के शीर्षों पर अधिकतम/न्यूनतम मान तक पहुंच सकता है। लेकिन ऐसे उदाहरण एक बार, दो बार नहीं मिलते - आमतौर पर आपको किसी न किसी तरह से निपटना पड़ता है दूसरे क्रम की सतह.

यदि आप ऐसे कार्यों को थोड़ा हल करते हैं, तो त्रिकोण आपके सिर को घुमा सकते हैं, और इसलिए मैंने आपके लिए इसे चौकोर बनाने के लिए असामान्य उदाहरण तैयार किए हैं :))

उदाहरण 2

किसी फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान ज्ञात करें लाइनों से घिरे एक बंद क्षेत्र में

उदाहरण 3

किसी बंद क्षेत्र में किसी फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान ज्ञात करें।

क्षेत्र की सीमा का अध्ययन करने के तर्कसंगत क्रम और तकनीक के साथ-साथ मध्यवर्ती जांच की श्रृंखला पर विशेष ध्यान दें, जो कम्प्यूटेशनल त्रुटियों से लगभग पूरी तरह से बच जाएगा। सामान्यतया, आप इसे अपनी इच्छानुसार हल कर सकते हैं, लेकिन कुछ समस्याओं में, उदाहरण के लिए, उसी उदाहरण 2 में, आपके जीवन को महत्वपूर्ण रूप से जटिल बनाने का हर मौका है। पाठ के अंत में असाइनमेंट पूरा करने का एक अनुमानित उदाहरण।

हम समाधान एल्गोरिदम को व्यवस्थित करते हैं, अन्यथा, एक मकड़ी के मेरे परिश्रम के साथ, यह किसी भी तरह 1 उदाहरण की टिप्पणियों के लंबे धागे में खो गया:

- पहले चरण में, हम एक क्षेत्र का निर्माण करते हैं, इसे छायांकित करना और एक मोटी रेखा के साथ सीमा को उजागर करना वांछनीय है। समाधान के दौरान, अंक दिखाई देंगे जिन्हें ड्राइंग पर डालने की आवश्यकता है।

- स्थिर बिंदु खोजें और फ़ंक्शन के मूल्यों की गणना करें केवल उन्हीं में, जो क्षेत्र के अंतर्गत आता है। प्राप्त मूल्यों को पाठ में हाइलाइट किया गया है (उदाहरण के लिए, एक पेंसिल के साथ परिक्रमा)। यदि स्थिर बिंदु क्षेत्र से संबंधित नहीं है, तो हम इस तथ्य को एक चिह्न या मौखिक रूप से चिह्नित करते हैं। यदि कोई स्थिर बिंदु नहीं हैं, तो हम एक लिखित निष्कर्ष निकालते हैं कि वे अनुपस्थित हैं। किसी भी मामले में, इस आइटम को छोड़ा नहीं जा सकता!

- सीमा क्षेत्र की खोज। सबसे पहले, समन्वय अक्षों के समानांतर सीधी रेखाओं से निपटना फायदेमंद होता है (अगर वहां कोई है). "संदिग्ध" बिंदुओं पर गणना किए गए फ़ंक्शन मान भी हाइलाइट किए जाते हैं। ऊपर समाधान तकनीक के बारे में बहुत कुछ कहा गया है और कुछ और नीचे कहा जाएगा - पढ़ें, फिर से पढ़ें, गहराई से पढ़ें!

- चयनित संख्याओं में से, सबसे बड़े और सबसे छोटे मानों का चयन करें और उत्तर दें। कभी-कभी ऐसा होता है कि फ़ंक्शन एक साथ कई बिंदुओं पर ऐसे मूल्यों तक पहुंच जाता है - इस मामले में, इन सभी बिंदुओं को उत्तर में प्रतिबिंबित किया जाना चाहिए। चलो, उदाहरण के लिए, और यह पता चला कि यह सबसे छोटा मूल्य है। तब हम लिखते हैं कि

अंतिम उदाहरण अन्य उपयोगी विचारों के लिए समर्पित हैं जो व्यवहार में काम आएंगे:

उदाहरण 4

किसी बंद क्षेत्र में किसी फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान ज्ञात करें .

मैंने लेखक के सूत्र को रखा है, जिसमें क्षेत्र को दोहरी असमानता के रूप में दिया गया है। इस स्थिति को इस समस्या के लिए एक समान प्रणाली या अधिक पारंपरिक रूप में लिखा जा सकता है:

मैं आपको याद दिलाता हूं कि गैर रेखीयहमें असमानताओं का सामना करना पड़ा, और यदि आप प्रविष्टि के ज्यामितीय अर्थ को नहीं समझते हैं, तो कृपया देरी न करें और अभी स्थिति स्पष्ट करें ;-)

फेसला, हमेशा की तरह, क्षेत्र के निर्माण से शुरू होता है, जो एक प्रकार का "एकमात्र" है:

हम्म, कभी-कभी आपको न केवल विज्ञान के ग्रेनाइट को कुतरना पड़ता है ....

I) स्थिर बिंदु खोजें:

इडियट्स ड्रीम सिस्टम :)

स्थिर बिंदु क्षेत्र से संबंधित है, अर्थात् इसकी सीमा पर स्थित है।

और इसलिए, यह कुछ भी नहीं है ... मजेदार सबक चला गया - यही सही चाय पीने का मतलब है =)

II) हम क्षेत्र की सीमा की जांच करते हैं। आगे की हलचल के बिना, आइए x-अक्ष से शुरू करते हैं:

1) यदि , तो

पता लगाएँ कि परवलय का शीर्ष कहाँ है:
- ऐसे पलों की सराहना करें - "हिट" सही बिंदु पर, जहां से सब कुछ पहले से ही स्पष्ट है। लेकिन जांचना न भूलें:

आइए खंड के सिरों पर फ़ंक्शन के मानों की गणना करें:

2) हम "एकमात्र" "एक बैठक में" के निचले हिस्से से निपटेंगे - बिना किसी कॉम्प्लेक्स के हम इसे फ़ंक्शन में प्रतिस्थापित करते हैं, इसके अलावा, हम केवल सेगमेंट में रुचि लेंगे:

नियंत्रण:

अब यह पहले से ही एक घुमावदार ट्रैक पर नीरस सवारी के लिए कुछ पुनरुद्धार ला रहा है। आइए जानें महत्वपूर्ण बिंदु:

हमने निर्णय किया द्विघात समीकरणक्या आपको यह याद है? ... हालांकि, याद रखें, निश्चित रूप से, अन्यथा आपने इन पंक्तियों को नहीं पढ़ा होगा =) यदि पिछले दो उदाहरणों में दशमलव अंशों में गणना सुविधाजनक थी (जो, वैसे, दुर्लभ है), तो यहां हम प्रतीक्षा कर रहे हैं सामान्य साधारण अंश। हम "x" जड़ों को ढूंढते हैं और समीकरण का उपयोग करते हुए, "उम्मीदवार" बिंदुओं के संबंधित "गेम" निर्देशांक निर्धारित करते हैं:


आइए पाए गए बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मूल्यों की गणना करें:

फ़ंक्शन को स्वयं जांचें।

अब हम जीती हुई ट्राफियों का ध्यानपूर्वक अध्ययन करते हैं और लिखते हैं जवाब:

यहाँ "उम्मीदवार" हैं, इसलिए "उम्मीदवार"!

एक स्टैंडअलोन समाधान के लिए:

उदाहरण 5

किसी फ़ंक्शन के सबसे छोटे और सबसे बड़े मान ज्ञात करें बंद क्षेत्र में

घुंघराले ब्रेसिज़ के साथ एक प्रविष्टि इस तरह पढ़ती है: "बिंदुओं का एक सेट ऐसा"।

कभी-कभी ऐसे उदाहरणों में वे उपयोग करते हैं लैग्रेंज गुणक विधि, लेकिन इसका उपयोग करने की वास्तविक आवश्यकता उत्पन्न होने की संभावना नहीं है। इसलिए, उदाहरण के लिए, यदि समान क्षेत्र "डी" वाला कोई फ़ंक्शन दिया जाता है, तो उसमें प्रतिस्थापन के बाद - बिना किसी कठिनाई के व्युत्पन्न के साथ; इसके अलावा, ऊपरी और निचले अर्धवृत्त पर अलग से विचार करने की आवश्यकता के बिना सब कुछ "एक पंक्ति" (संकेतों के साथ) में तैयार किया गया है। लेकिन, निश्चित रूप से, अधिक जटिल मामले हैं, जहां लैग्रेंज फ़ंक्शन के बिना (जहां, उदाहरण के लिए, एक ही वृत्त समीकरण है)इसे प्राप्त करना कठिन है - एक अच्छे आराम के बिना इसे प्राप्त करना कितना कठिन है!

सत्र को पारित करने और अगले सत्र में जल्द ही आपको देखने के लिए शुभकामनाएं!

समाधान और उत्तर:

उदाहरण 2: फेसला: ड्राइंग पर क्षेत्र बनाएं:

व्यावहारिक दृष्टिकोण से, किसी फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान को खोजने के लिए व्युत्पन्न का उपयोग सबसे दिलचस्प है। यह किससे जुड़ा है? मुनाफे को अधिकतम करना, लागत को कम करना, उपकरणों के इष्टतम भार का निर्धारण करना... दूसरे शब्दों में, जीवन के कई क्षेत्रों में, कुछ मापदंडों के अनुकूलन की समस्या को हल करना होता है। और यह फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्यों को खोजने की समस्या है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान आमतौर पर कुछ अंतराल X पर मांगा जाता है, जो या तो फ़ंक्शन का संपूर्ण डोमेन या डोमेन का हिस्सा होता है। अंतराल X स्वयं एक रेखा खंड, एक खुला अंतराल हो सकता है , अनंत अंतराल।

इस लेख में, हम एक चर y=f(x) के स्पष्ट रूप से दिए गए फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्यों को खोजने के बारे में बात करेंगे।

पृष्ठ नेविगेशन।

किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान - परिभाषाएं, चित्र।

आइए संक्षेप में मुख्य परिभाषाओं पर ध्यान दें।

समारोह का सबसे बड़ा मूल्य , जो किसी के लिए असमानता सच है।

फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान y=f(x) अंतराल पर X को ऐसा मान कहा जाता है , जो किसी के लिए असमानता सच है।

ये परिभाषाएं सहज ज्ञान युक्त हैं: किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा (सबसे छोटा) मान एब्सिस्सा के साथ विचाराधीन अंतराल में स्वीकृत सबसे बड़ा (सबसे छोटा) मान है।

स्थिर बिंदुउस तर्क के मान हैं जिस पर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न गायब हो जाता है।

सबसे बड़े और सबसे छोटे मान ज्ञात करते समय हमें स्थिर बिंदुओं की आवश्यकता क्यों होती है? इस प्रश्न का उत्तर Fermat के प्रमेय द्वारा दिया गया है। इस प्रमेय से यह निष्कर्ष निकलता है कि यदि एक अवकलनीय फलन में किसी बिंदु पर एक चरम (स्थानीय न्यूनतम या स्थानीय अधिकतम) होता है, तो यह बिंदु स्थिर होता है। इस प्रकार, फ़ंक्शन अक्सर इस अंतराल से एक स्थिर बिंदु पर अंतराल X पर अपना अधिकतम (सबसे छोटा) मान लेता है।

इसके अलावा, एक फ़ंक्शन अक्सर उन बिंदुओं पर सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान ले सकता है जहां इस फ़ंक्शन का पहला व्युत्पन्न मौजूद नहीं होता है, और फ़ंक्शन स्वयं परिभाषित होता है।

आइए तुरंत इस विषय पर सबसे सामान्य प्रश्नों में से एक का उत्तर दें: "क्या किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा (सबसे छोटा) मान निर्धारित करना हमेशा संभव है"? नहीं हमेशा नहीं। कभी-कभी अंतराल X की सीमाएं फलन के प्रांत की सीमाओं से मेल खाती हैं, या अंतराल X अनंत है। और अनंत पर और परिभाषा के क्षेत्र की सीमाओं पर कुछ कार्य असीम रूप से बड़े और असीम रूप से छोटे दोनों मान ले सकते हैं। इन मामलों में, फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्य के बारे में कुछ नहीं कहा जा सकता है।

स्पष्टता के लिए, हम एक ग्राफिक चित्रण देते हैं। तस्वीरों को देखें - और बहुत कुछ स्पष्ट हो जाएगा।

खंड पर

पहले आंकड़े में, फ़ंक्शन खंड [-6;6] के अंदर स्थिर बिंदुओं पर सबसे बड़ा (अधिकतम y) और सबसे छोटा (न्यूनतम y) मान लेता है।

दूसरे चित्र में दिखाए गए मामले पर विचार करें। सेगमेंट को में बदलें। इस उदाहरण में, फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान एक स्थिर बिंदु पर प्राप्त किया जाता है, और सबसे बड़ा - एक बिंदु पर अंतराल की दाहिनी सीमा के अनुरूप एक एब्सिस्सा होता है।

आकृति संख्या 3 में, खंड [-3; 2] के सीमा बिंदु फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान के संगत बिंदुओं के भुज हैं।

खुली सीमा में

चौथे आंकड़े में, फ़ंक्शन खुले अंतराल (-6; 6) के भीतर स्थिर बिंदुओं पर सबसे बड़ा (अधिकतम y) और सबसे छोटा (न्यूनतम y) मान लेता है।

अंतराल पर, सबसे बड़े मूल्य के बारे में कोई निष्कर्ष नहीं निकाला जा सकता है।

अनंत पर

सातवें आंकड़े में दिखाए गए उदाहरण में, फ़ंक्शन एब्सिसा x = 1 के साथ एक स्थिर बिंदु पर सबसे बड़ा मान (अधिकतम y) लेता है, और सबसे छोटा मान (न्यूनतम y) अंतराल की दाहिनी सीमा पर पहुंच जाता है। माइनस इनफिनिटी पर, फ़ंक्शन के मान असम्बद्ध रूप से y=3 तक पहुंचते हैं।

अंतराल पर, फ़ंक्शन न तो सबसे छोटे या सबसे बड़े मान तक पहुंचता है। जैसा कि x=2 दाईं ओर जाता है, फ़ंक्शन मान माइनस इनफिनिटी (सीधी रेखा x = 2 एक लंबवत स्पर्शोन्मुख है) की ओर जाता है, और जैसा कि एब्सिस्सा प्लस इन्फिनिटी की ओर जाता है, फ़ंक्शन मान एसिम्प्टोटिक रूप से y = 3 तक पहुंचते हैं। . इस उदाहरण का एक ग्राफिक चित्रण चित्र 8 में दिखाया गया है।

खंड पर एक सतत कार्य के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्यों को खोजने के लिए एल्गोरिदम।

हम एक एल्गोरिथम लिखते हैं जो हमें किसी सेगमेंट पर किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान खोजने की अनुमति देता है।

1. हम फ़ंक्शन का डोमेन ढूंढते हैं और जांचते हैं कि इसमें संपूर्ण सेगमेंट है या नहीं।
2. हम उन सभी बिंदुओं को ढूंढते हैं जिन पर पहला व्युत्पन्न मौजूद नहीं है और जो खंड में निहित हैं (आमतौर पर ऐसे बिंदु मॉड्यूल साइन के तहत तर्क के साथ कार्यों में होते हैं और एक आंशिक-तर्कसंगत एक्सपोनेंट के साथ पावर फ़ंक्शंस में होते हैं)। यदि ऐसे कोई बिंदु नहीं हैं, तो अगले बिंदु पर जाएं।
3. हम खंड में आने वाले सभी स्थिर बिंदुओं को निर्धारित करते हैं। ऐसा करने के लिए, हम इसे शून्य के बराबर करते हैं, परिणामी समीकरण को हल करते हैं और उपयुक्त जड़ों का चयन करते हैं। यदि कोई स्थिर बिंदु नहीं हैं या उनमें से कोई भी खंड में नहीं आता है, तो अगले चरण पर जाएं।
4. हम चयनित स्थिर बिंदुओं (यदि कोई हो) पर फ़ंक्शन के मूल्यों की गणना करते हैं, उन बिंदुओं पर जहां पहला व्युत्पन्न मौजूद नहीं है (यदि कोई हो), और x=a और x=b पर भी।
5. फ़ंक्शन के प्राप्त मूल्यों से, हम सबसे बड़े और सबसे छोटे का चयन करते हैं - वे क्रमशः फ़ंक्शन के वांछित अधिकतम और सबसे छोटे मान होंगे।

आइए किसी खंड पर किसी फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्यों को खोजने के लिए एक उदाहरण को हल करते समय एल्गोरिथ्म का विश्लेषण करें।

उदाहरण।

किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान ज्ञात करें

• खंड पर;
• अंतराल पर [-4;-1] ।

फेसला।

फ़ंक्शन का डोमेन शून्य को छोड़कर, वास्तविक संख्याओं का संपूर्ण सेट है, अर्थात। दोनों खंड परिभाषा के क्षेत्र में आते हैं।

हम फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को इसके संबंध में पाते हैं:

स्पष्ट रूप से, फलन का अवकलज खंड के सभी बिंदुओं और [-4;-1] पर मौजूद है।

स्थिर बिंदु समीकरण से निर्धारित होते हैं। एकमात्र वास्तविक मूल x=2 है। यह स्थिर बिंदु पहले खंड में आता है।

पहले मामले के लिए, हम खंड के सिरों पर और एक स्थिर बिंदु पर, यानी x=1 , x=2 और x=4 के लिए फ़ंक्शन के मानों की गणना करते हैं:

इसलिए, फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान x=1 पर पहुंच जाता है, और सबसे छोटा मान - x=2 पर।

दूसरे मामले के लिए, हम केवल खंड [-4; -1] के सिरों पर फ़ंक्शन के मानों की गणना करते हैं (क्योंकि इसमें कोई स्थिर बिंदु नहीं है):

फेसला।

आइए फ़ंक्शन के दायरे से शुरू करें। भिन्न के हर में वर्ग त्रिपद लुप्त नहीं होना चाहिए:

यह जांचना आसान है कि समस्या की स्थिति से सभी अंतराल फ़ंक्शन के डोमेन से संबंधित हैं।

आइए फ़ंक्शन को अलग करें:

जाहिर है, फ़ंक्शन के पूरे डोमेन पर व्युत्पन्न मौजूद है।

आइए स्थिर बिंदु खोजें। व्युत्पन्न पर गायब हो जाता है। यह स्थिर बिंदु अंतराल (-3;1] और (-3;2) के भीतर आता है।

और अब आप प्रत्येक बिंदु पर प्राप्त परिणामों की तुलना फलन के ग्राफ से कर सकते हैं। नीली बिंदीदार रेखाएँ स्पर्शोन्मुख को दर्शाती हैं।

यह फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान को खोजने के साथ समाप्त हो सकता है। इस आलेख में चर्चा किए गए एल्गोरिदम आपको न्यूनतम क्रियाओं के साथ परिणाम प्राप्त करने की अनुमति देते हैं। हालांकि, पहले फलन के बढ़ने और घटने के अंतरालों को निर्धारित करना और उसके बाद ही किसी अंतराल पर फलन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान के बारे में निष्कर्ष निकालना उपयोगी हो सकता है। यह एक स्पष्ट तस्वीर और परिणामों का एक कठोर औचित्य देता है।

कई समस्याओं में, द्विघात फलन के अधिकतम या न्यूनतम मान की गणना करना आवश्यक होता है। अधिकतम या न्यूनतम पाया जा सकता है यदि मूल कार्य मानक रूप में लिखा गया है: या परवलय शीर्ष के निर्देशांक के माध्यम से: f (x) = a (x - h) 2 + k (\displaystyle f(x)=a(x-h)^(2)+k). इसके अलावा, किसी भी द्विघात फलन की अधिकतम या न्यूनतम गणना गणितीय संक्रियाओं का उपयोग करके की जा सकती है।

कदम

द्विघात फलन मानक रूप में लिखा जाता है

फ़ंक्शन को मानक रूप में लिखें।द्विघात फलन एक ऐसा फलन है जिसके समीकरण में एक चर शामिल होता है x 2 (\displaystyle x^(2)). समीकरण में एक चर शामिल हो सकता है या नहीं भी हो सकता है x (\displaystyle x). यदि किसी समीकरण में 2 से अधिक घातांक वाला एक चर शामिल है, तो यह द्विघात फलन का वर्णन नहीं करता है। यदि आवश्यक हो, तो समान पदों को लाएँ और उन्हें मानक रूप में फ़ंक्शन लिखने के लिए पुनर्व्यवस्थित करें।

द्विघात फलन का आलेख एक परवलय होता है। एक परवलय की शाखाएँ ऊपर या नीचे की ओर इशारा करती हैं। यदि गुणांक ए (\ डिस्प्लेस्टाइल ए)एक चर के साथ x 2 (\displaystyle x^(2)) ए (\ डिस्प्लेस्टाइल ए)

गणना -बी/2ए।अर्थ − b 2 a (\displaystyle -(\frac (b)(2a)))समन्वय है x (\displaystyle x)परवलय के ऊपर। यदि द्विघात फलन को मानक रूप में लिखा जाता है a x 2 + b x + c (\displaystyle ax^(2)+bx+c), के लिए गुणांक का उपयोग करें x (\displaystyle x)और x 2 (\displaystyle x^(2))इस अनुसार:

• फ़ंक्शन गुणांक में a = 1 (\displaystyle a=1)और b = 10 (\displaystyle b=10)
• दूसरे उदाहरण के रूप में, फ़ंक्शन पर विचार करें। यहां a = -3 (\displaystyle a=-3)और b = 6 (\displaystyle b=6). इसलिए, परवलय के शीर्ष के x-निर्देशांक की गणना निम्नानुसार करें:

1. f(x) का संगत मान ज्ञात कीजिए। f(x) का संगत मान ज्ञात करने के लिए "x" के पाए गए मान को मूल फलन में रखें। इस प्रकार आप न्यूनतम या अधिकतम फ़ंक्शन पाते हैं।

   • पहले उदाहरण में f (x) = x 2 + 10 x − 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+10x-1)आपने गणना की है कि परवलय के शीर्ष का x-निर्देशांक है x = -5 (\displaystyle x=-5). मूल कार्य में, के बजाय x (\displaystyle x)विकल्प -5 (\displaystyle -5)
   • दूसरे उदाहरण में f (x) = − 3 x 2 + 6 x − 4 (\displaystyle f(x)=-3x^(2)+6x-4)आपने पाया कि परवलय के शीर्ष का x-निर्देशांक है x = 1 (\displaystyle x=1). मूल कार्य में, के बजाय x (\displaystyle x)विकल्प 1 (\डिस्प्लेस्टाइल 1)इसका अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए:

2. उत्तर लिखिए।समस्या की स्थिति को फिर से पढ़ें। यदि आपको परवलय के शीर्ष के निर्देशांक खोजने की आवश्यकता है, तो अपने उत्तर में दोनों मान लिखें x (\displaystyle x)और y (\displaystyle y)(या f (x) (\displaystyle f(x))) यदि आपको किसी फ़ंक्शन के अधिकतम या न्यूनतम की गणना करने की आवश्यकता है, तो अपने उत्तर में केवल मान लिखें y (\displaystyle y)(या f (x) (\displaystyle f(x))) गुणांक के चिन्ह को फिर से देखें ए (\ डिस्प्लेस्टाइल ए)यह जांचने के लिए कि आपने अधिकतम या न्यूनतम की गणना की है।

   द्विघात फलन को परवलय के शीर्ष के निर्देशांक के रूप में लिखा जाता है

   1. परवलय के शीर्ष के निर्देशांकों के पदों में द्विघात फलन लिखिए।इस तरह के समीकरण के निम्नलिखित रूप हैं:

      परवलय की दिशा ज्ञात कीजिए।ऐसा करने के लिए, गुणांक के चिह्न को देखें ए (\ डिस्प्लेस्टाइल ए). यदि गुणांक ए (\ डिस्प्लेस्टाइल ए)सकारात्मक, परवलय को ऊपर की ओर निर्देशित किया जाता है। यदि गुणांक ए (\ डिस्प्लेस्टाइल ए)नकारात्मक, परवलय नीचे की ओर इशारा कर रहा है। उदाहरण के लिए:

      फ़ंक्शन का न्यूनतम या अधिकतम मान ज्ञात करें।यदि फ़ंक्शन को परवलय शीर्ष के निर्देशांक के रूप में लिखा जाता है, तो न्यूनतम या अधिकतम गुणांक के मान के बराबर होता है k (\displaystyle k). ऊपर के उदाहरणों में:

      परवलय के शीर्ष के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।यदि समस्या में परवलय का शीर्ष ज्ञात करना आवश्यक है, तो इसके निर्देशांक हैं (एच, के) (\displaystyle (एच,के)). ध्यान दें कि जब एक द्विघात फलन को परवलय शीर्ष के निर्देशांकों के रूप में लिखा जाता है, तो घटाव संक्रिया को कोष्ठकों में संलग्न किया जाना चाहिए। (x - h) (\displaystyle (x-h)), तो मूल्य एच (\ डिस्प्लेस्टाइल एच)विपरीत चिन्ह के साथ लिया गया।

   गणितीय संक्रियाओं का उपयोग करके न्यूनतम या अधिकतम की गणना कैसे करें

   आइए पहले हम समीकरण के मानक रूप पर विचार करें।द्विघात फलन को मानक रूप में लिखिए: f (x) = a x 2 + b x + c (\displaystyle f(x)=ax^(2)+bx+c). यदि आवश्यक हो, तो समान पद लेकर आएं और मानक समीकरण प्राप्त करने के लिए उन्हें पुनर्व्यवस्थित करें।

   पहला व्युत्पन्न खोजें।एक द्विघात फलन का प्रथम अवकलज, जो मानक रूप में लिखा जाता है, बराबर होता है f ′ (x) = 2 a x + b (\displaystyle f^(\prime )(x)=2ax+b).

   व्युत्पन्न को शून्य पर सेट करें।याद रखें कि किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न एक निश्चित बिंदु पर फ़ंक्शन के ढलान के बराबर होता है। न्यूनतम या अधिकतम पर, ढलान शून्य है। इसलिए, किसी फ़ंक्शन का न्यूनतम या अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए, व्युत्पन्न को शून्य के बराबर होना चाहिए। हमारे उदाहरण में:

कभी-कभी समस्याओं में B15 "खराब" कार्य होते हैं जिनके लिए व्युत्पन्न खोजना मुश्किल होता है। पहले, यह केवल जांच पर था, लेकिन अब ये कार्य इतने सामान्य हैं कि इस परीक्षा की तैयारी करते समय अब ​​इन्हें अनदेखा नहीं किया जा सकता है।

ऐसे में अन्य तरकीबें काम आती हैं, जिनमें से एक है - एक लय.

फलन f (x) को खंड पर एकरसता से बढ़ते हुए कहा जाता है, यदि इस खंड के किसी बिंदु x 1 और x 2 के लिए निम्नलिखित सत्य है:

एक्स 1< x 2 ⇒ f (एक्स 1) < f (x2).

फलन f (x) को खंड पर नीरस रूप से घटते हुए कहा जाता है यदि इस खंड के किसी बिंदु x 1 और x 2 के लिए निम्नलिखित सत्य है:

एक्स 1< x 2 ⇒ f (एक्स 1)> च ( x2).

दूसरे शब्दों में, एक बढ़ते फलन के लिए, बड़ा x जितना बड़ा होता है, उतना ही बड़ा f(x) होता है। घटते फलन के लिए, विपरीत सत्य है: अधिक x , the छोटेएफ (एक्स)।

उदाहरण के लिए, यदि आधार a > 1 है तो लघुगणक नीरस रूप से बढ़ता है और यदि 0 . हो तो नीरस रूप से घटता है< a < 1. Не забывайте про область допустимых значений логарифма: x > 0.

f (x) = लॉग a x (a > 0; a 1; x > 0)

परिभाषा के पूरे क्षेत्र में अंकगणितीय वर्ग (और न केवल वर्ग) जड़ एकरस रूप से बढ़ता है:

घातांकीय फलन लघुगणक के समान व्यवहार करता है: यह a > 1 के लिए बढ़ता है और 0 . के लिए घटता है< a < 1. Но в отличие от логарифма, показательная функция определена для всех чисел, а не только для x > 0:

एफ (एक्स) = एक एक्स (ए> 0)

अंत में, एक नकारात्मक घातांक के साथ डिग्री। आप इन्हें भिन्न के रूप में लिख सकते हैं। उनके पास एक विराम बिंदु है जहां एकरसता टूट जाती है।

ये सभी कार्य अपने शुद्ध रूप में कभी नहीं पाए जाते हैं। उनमें बहुपद, भिन्न और अन्य बकवास जोड़ दिए जाते हैं, जिसके कारण व्युत्पन्न की गणना करना मुश्किल हो जाता है। इस मामले में क्या होता है - अब हम विश्लेषण करेंगे।

परवलय शीर्ष निर्देशांक

अक्सर, फ़ंक्शन तर्क को इसके साथ बदल दिया जाता है वर्ग त्रिपद y = ax 2 + bx + c के रूप का। इसका ग्राफ एक मानक परवलय है, जिसमें हम रुचि रखते हैं:

1. परवलय शाखाएँ - ऊपर जा सकती हैं (a> 0) या नीचे (a . के लिए)< 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
2. एक परवलय का शीर्ष एक द्विघात फलन का चरम बिंदु होता है, जिस पर यह फलन अपना सबसे छोटा (a> 0) या सबसे बड़ा (a) लेता है।< 0) значение.

सबसे बड़ी दिलचस्पी है एक परवलय के ऊपर, जिसके भुज की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

तो, हमें द्विघात फलन का चरम बिंदु मिल गया है। लेकिन यदि मूल फलन मोनोटोनिक है, तो इसके लिए बिंदु x 0 भी एक चरम बिंदु होगा। इस प्रकार, हम मुख्य नियम बनाते हैं:

वर्ग ट्रिनोमियल के चरम बिंदु और जटिल कार्य जो संयोग में प्रवेश करता है। इसलिए, आप एक वर्ग ट्रिनोमियल के लिए x 0 देख सकते हैं, और फ़ंक्शन के बारे में भूल सकते हैं।

उपरोक्त तर्क से, यह स्पष्ट नहीं है कि हमें किस प्रकार का बिंदु मिलता है: अधिकतम या न्यूनतम। हालाँकि, कार्यों को विशेष रूप से डिज़ाइन किया गया है ताकि इससे कोई फर्क न पड़े। अपने लिए न्यायाधीश:

1. समस्या की स्थिति में कोई खंड नहीं है। इसलिए, f(a) और f(b) की गणना करना आवश्यक नहीं है। यह केवल चरम बिंदुओं पर विचार करने के लिए बनी हुई है;
2. लेकिन ऐसा केवल एक ही बिंदु है - यह परवलय x 0 का शीर्ष है, जिसके निर्देशांक की गणना शाब्दिक रूप से और बिना किसी व्युत्पन्न के की जाती है।

इस प्रकार, समस्या का समाधान बहुत सरल हो जाता है और केवल दो चरणों में सिमट जाता है:

1. परवलय समीकरण y = ax 2 + bx + c लिखें और सूत्र का उपयोग करके इसका शीर्ष ज्ञात करें: x 0 = −b /2a;
2. इस बिंदु पर मूल फलन का मान ज्ञात कीजिए: f (x 0)। यदि कोई अतिरिक्त शर्तें नहीं हैं, तो यह उत्तर होगा।

पहली नज़र में, यह एल्गोरिथ्म और इसका औचित्य जटिल लग सकता है। मैं जानबूझकर "नंगे" समाधान योजना पोस्ट नहीं करता, क्योंकि ऐसे नियमों का विचारहीन अनुप्रयोग त्रुटियों से भरा है।

गणित में परीक्षण परीक्षा से वास्तविक कार्यों पर विचार करें - यह वह जगह है जहाँ यह तकनीक सबसे आम है। साथ ही हम यह सुनिश्चित करेंगे कि इस तरह बी15 की कई समस्याएं लगभग मौखिक हो जाएं।

जड़ के नीचे एक द्विघात फ़ंक्शन y \u003d x 2 + 6x + 13 है। इस फ़ंक्शन का ग्राफ़ शाखाओं के साथ एक परवलय है, क्योंकि गुणांक a \u003d 1\u003e 0 है।

परवलय के ऊपर:

x 0 \u003d -b / (2a) \u003d -6 / (2 1) \u003d -6 / 2 \u003d -3

चूँकि परवलय की शाखाएँ ऊपर की ओर निर्देशित होती हैं, बिंदु x 0 \u003d −3 पर, फ़ंक्शन y \u003d x 2 + 6x + 13 सबसे छोटा मान लेता है।

जड़ नीरस रूप से बढ़ रहा है, इसलिए x 0 पूरे फ़ंक्शन का न्यूनतम बिंदु है। हमारे पास है:

काम। फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान ज्ञात करें:

y = लघुगणक 2 (x 2 + 2x + 9)

लघुगणक के तहत फिर से एक द्विघात कार्य है: y \u003d x 2 + 2x + 9. ग्राफ शाखाओं के साथ एक परवलय है, क्योंकि ए = 1> 0।

परवलय के ऊपर:

x 0 \u003d -b / (2a) \u003d -2 / (2 1) \u003d -2/2 \u003d -1

तो, बिंदु x 0 = -1 पर, द्विघात फलन सबसे छोटा मान लेता है। लेकिन फलन y = log 2 x एक स्वर है, इसलिए:

y मिनट = y (−1) = लघुगणक 2 ((−1) 2 + 2 (−1) + 9) = ... = लघुगणक 2 8 = 3

घातांक एक द्विघात फलन y = 1 - 4x - x 2 है। आइए इसे सामान्य रूप में फिर से लिखें: y = −x 2 − 4x + 1।

जाहिर है, इस फ़ंक्शन का ग्राफ एक परवलय है, नीचे की शाखाएं (a = −1< 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:

x 0 = −b /(2a ) = −(−4)/(2 (−1)) = 4/(−2) = −2

मूल फलन घातांक है, यह मोनोटोन है, इसलिए सबसे बड़ा मान पाए गए बिंदु x 0 = -2 पर होगा:

एक चौकस पाठक निश्चित रूप से नोटिस करेगा कि हमने रूट और लॉगरिदम के अनुमेय मूल्यों के क्षेत्र को नहीं लिखा है। लेकिन इसकी आवश्यकता नहीं थी: अंदर ऐसे कार्य होते हैं जिनके मूल्य हमेशा सकारात्मक होते हैं।

एक समारोह के दायरे से परिणाम

कभी-कभी, समस्या B15 को हल करने के लिए, केवल परवलय के शीर्ष का पता लगाना पर्याप्त नहीं होता है। वांछित मूल्य झूठ हो सकता है खंड के अंत में, लेकिन चरम बिंदु पर नहीं। यदि कार्य एक खंड को बिल्कुल भी निर्दिष्ट नहीं करता है, तो देखें सहिष्णुता सीमामूल समारोह। अर्थात्:

फिर से ध्यान दें: शून्य अच्छी तरह से जड़ के नीचे हो सकता है, लेकिन किसी अंश के लघुगणक या हर में कभी नहीं। आइए देखें कि यह विशिष्ट उदाहरणों के साथ कैसे काम करता है:

काम। फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान ज्ञात करें:

जड़ के नीचे फिर से एक द्विघात कार्य है: y \u003d 3 - 2x - x 2। इसका ग्राफ एक परवलय है, लेकिन शाखाएं नीचे की ओर हैं क्योंकि a = −1< 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический квадратный корень из отрицательного числа не существует.

हम अनुमेय मूल्यों (ODZ) के क्षेत्र को लिखते हैं:

3 − 2x - x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x − 3 ≤ 0 (x + 3)(x − 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [−3; एक]

अब परवलय का शीर्ष ज्ञात कीजिए:

x 0 = −b /(2a ) = −(−2)/(2 (−1)) = 2/(−2) = −1

बिंदु x 0 = −1 ODZ खंड से संबंधित है - और यह अच्छा है। अब हम बिंदु x 0 पर और साथ ही ODZ के सिरों पर फ़ंक्शन के मान पर विचार करते हैं:

y(−3) = y(1) = 0

तो, हमें संख्याएँ 2 और 0 मिलीं। हमें सबसे बड़ी संख्या ज्ञात करने के लिए कहा गया है - यह संख्या 2 है।

काम। फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान ज्ञात करें:

y = लॉग 0.5 (6x - x 2 - 5)

लघुगणक के अंदर एक द्विघात कार्य y \u003d 6x - x 2 - 5 है। यह नीचे की शाखाओं वाला एक परवलय है, लेकिन लघुगणक में ऋणात्मक संख्याएँ नहीं हो सकती हैं, इसलिए हम ODZ लिखते हैं:

6x - x 2 - 5 > 0 x 2 - 6x + 5< 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)

कृपया ध्यान दें: असमानता सख्त है, इसलिए छोर ODZ से संबंधित नहीं हैं। इस प्रकार, लघुगणक मूल से भिन्न होता है, जहाँ खंड के सिरे हमें काफी अच्छे लगते हैं।

परवलय के शीर्ष की तलाश में:

x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 (−1)) = −6/(−2) = 3

परवलय का शीर्ष ODZ के साथ फिट बैठता है: x 0 = 3 (1; 5)। लेकिन चूंकि खंड के सिरों में हमारी रुचि नहीं है, इसलिए हम केवल बिंदु x 0 पर फ़ंक्शन के मान पर विचार करते हैं:

y मिनट = y (3) = लघुगणक 0.5 (6 3 - 3 2 - 5) = लघुगणक 0.5 (18 - 9 - 5) = लघुगणक 0.5 4 = -2