व्याख्यान 6

मैट्रिक्स

6.1. बुनियादी अवधारणाओं

परिभाषा 1.एक मैट्रिक्स संख्याओं की एक आयताकार तालिका है।

मैट्रिक्स को दर्शाने के लिए कोष्ठक या दोहरी लंबवत रेखाओं का उपयोग किया जाता है:

मैट्रिक्स बनाने वाली संख्याएँ कहलाती हैं तत्वों, तत्व मैट्रिक्स यहाँ स्थित है -वीं पंक्ति और -वें स्तंभ।

नंबर और (एक मैट्रिक्स की पंक्तियों और स्तंभों की संख्या) को इसके आदेश कहा जाता है।

वे यह भी कहते हैं कि - मैट्रिक्स आकार
.

यदि एक
, आव्यूह बुलाया वर्ग.

संक्षिप्त अंकन के लिए, संकेतन का भी उपयोग किया जाता है
(या
) और फिर यह किस हद तक इंगित किया गया है और , उदाहरण के लिए,
,
,
. (प्रविष्टि इस प्रकार है: मैट्रिक्स तत्वों के साथ ,से परिवर्तन इससे पहले ,- से इससे पहले .)

वर्ग आव्यूहों में, हम ध्यान दें विकर्ण मैट्रिक्स, जिसके लिए असमान सूचकांक वाले सभी तत्व (
) शून्य के बराबर हैं:

.

हम कहेंगे कि तत्व
मुख्य विकर्ण पर स्थित है।

विकर्ण दृश्य मैट्रिक्स

बुलाया एकआव्यूह।

निम्नलिखित में, फॉर्म के मैट्रिक्स होंगे

और
,

जिसे कहा जाता है त्रिकोणीयमैट्रिसेस, साथ ही मैट्रिसेस जिसमें एक कॉलम होता है:

और एक पंक्ति:

(मैट्रिक्स-कॉलम और मैट्रिक्स-पंक्ति).

एक मैट्रिक्स जिसमें सभी तत्व शून्य के बराबर होते हैं, कहलाते हैं व्यर्थ।

6.2. आदेश निर्धारक एन

आदेश का एक वर्ग मैट्रिक्स दें :

. (6.1)

आइए हर तरह की चीजें बनाएं विभिन्न पंक्तियों और विभिन्न स्तंभों में स्थित मैट्रिक्स तत्व, अर्थात्। फार्म के उत्पाद

. (6.2)

प्रपत्र (6.2) के उत्पादों की संख्या है (हम इस तथ्य को बिना प्रमाण के स्वीकार करते हैं)।

हम इन सभी उत्पादों को आदेश निर्धारक के सदस्य के रूप में मानेंगे मैट्रिक्स (6.1) के अनुरूप।

(6.2) में कारकों के दूसरे सूचकांक पहले का क्रमपरिवर्तन बनाते हैं प्राकृतिक संख्याएं
.

वे संख्या कहते हैं और क्रमपरिवर्तन में हैं उलट देना, अगर
, और क्रमपरिवर्तन में पहले स्थित .

उदाहरण 1छह संख्याओं के क्रमपरिवर्तन में,
, संख्या और ,और ,और ,और ,और व्युत्क्रम बनाते हैं।

क्रमपरिवर्तन कहा जाता है यहाँ तक की, यदि इसमें व्युत्क्रमों की संख्या सम है, तथा अजीबयदि इसमें व्युत्क्रमों की संख्या विषम है।

उदाहरण 2परिवर्तन
- विषम, और क्रमपरिवर्तन
- यहाँ तक की ( उलटा)।

परिभाषा 2.आदेश का निर्धारक ,मैट्रिक्स के अनुरूप(6.1), को बीजीय योग कहा जाता है सदस्यों,इस प्रकार बना है:निर्धारक की शर्तें सभी संभावित उत्पाद हैं मैट्रिक्स तत्व,प्रत्येक पंक्ति और प्रत्येक स्तंभ से एक लिया गया,जहां शब्द चिन्ह के साथ लिया जाता है"+",यदि दूसरे सूचकांकों का समुच्चय संख्याओं का सम क्रमपरिवर्तन है
,और संकेत के साथ"–",अगर अजीब।

मैट्रिक्स निर्धारक (6.1) को निम्नानुसार दर्शाया गया है:

.

टिप्पणी। परिभाषा 2 के लिए
और
पहले से ही परिचित दूसरे और तीसरे क्रम के निर्धारकों की ओर जाता है:

,

स्थानांतरणमैट्रिक्स के मुख्य विकर्ण के चारों ओर मैट्रिक्स में संक्रमण कहा जाता है
, जिसके लिए मैट्रिक्स पंक्तियाँ स्तंभ हैं और स्तंभ पंक्तियाँ हैं:

.

हम कहेंगे कि निर्धारक
निर्धारक को स्थानांतरित करके प्राप्त किया गया .

आदेश निर्धारक के गुण n:

1.
(मुख्य विकर्ण के चारों ओर स्थानांतरित करते समय निर्धारक नहीं बदलता है)।

2. यदि सारणिक की किसी एक पंक्ति में शून्य है, तो सारणिक शून्य के बराबर है।

3. दो तारों के क्रमपरिवर्तन से, सारणिक केवल चिह्न बदलता है।

4. दो समान तारों वाला सारणिक शून्य के बराबर होता है।

5. यदि सारणिक की किसी पंक्ति के सभी तत्वों को एक संख्या से गुणा किया जाए , सारणिक को से गुणा किया जाता है .

6. दो समानुपाती पंक्तियों वाला सारणिक शून्य के बराबर होता है।

7. यदि सभी तत्व -सारणिक की -वीं पंक्ति को योग के रूप में प्रस्तुत किया जाता है
, तो सारणिक दो निर्धारकों के योग के बराबर होता है जिसके लिए . को छोड़कर सभी पंक्तियाँ -वें, मूल निर्धारक के समान हैं, और एक सारणिक में -वें पंक्ति में होते हैं , और दूसरे में - से .

परिभाषा 3.सारणिक की -वीं पंक्ति को उसकी शेष पंक्तियों का रैखिक संयोजन कहा जाता है,अगर ऐसे,कि गुणा करके -वें लाइन पर ,और फिर सभी पंक्तियों को जोड़ना,के अलावा वां,हम पाते हैं -वीं पंक्ति।

8. यदि सारणिक की पंक्तियों में से एक उसकी शेष पंक्तियों का एक रैखिक संयोजन है, तो सारणिक शून्य के बराबर है।

9. सारणिक नहीं बदलता है यदि इसकी एक रेखा के तत्वों को उसी संख्या से गुणा करके दूसरे के संगत तत्वों में जोड़ा जाता है।

टिप्पणी। हमने स्ट्रिंग्स के लिए सारणिक के गुण तैयार किए हैं। संपत्ति 1 के कारण (
) वे कॉलम के लिए भी मान्य हैं।

उपरोक्त सभी गुण प्रायोगिक कक्षाओं में सिद्ध हुए हैं
; मनमानी के लिए उन्हें बिना सबूत के स्वीकार करें।

यदि निर्धारक में गण तत्व का चयन करें और जिस चौराहे पर स्थित है उस कॉलम और पंक्ति को पार करें , शेष पंक्तियाँ और स्तंभ क्रम का निर्धारक बनाते हैं
, इससे कहते है नाबालिगसिद्ध तत्व के अनुरूप .

उदाहरण 3निर्धारक में

मामूली तत्व
निर्धारक है
.

परिभाषा 4.बीजीय जोड़ तत्व सिद्ध अपने नाबालिग को बुलाया,से गुणा
,कहाँ पे - लाइन नंबर, - कॉलम नंबर,जिसमें चयनित तत्व स्थित है .

उदाहरण 4निर्धारक में

बीजीय जोड़
.

प्रमेय 1 (स्ट्रिंग विस्तार पर)।सारणिक किसी भी पंक्ति के सभी तत्वों के गुणनफल और उनके बीजीय पूरक के योग के बराबर होता है।

प्रमेय 1 हमें आदेश निर्धारक की गणना को कम करने की अनुमति देता है गणना के लिए आदेश निर्धारक
.

उदाहरण 5. चौथे क्रम के निर्धारक की गणना करें:

.

आइए हम प्रमेय 1 का प्रयोग करें और सारणिक का विस्तार करें चौथी पंक्ति पर:

टिप्पणी। पहले गुणधर्म 9 का उपयोग करके सारणिक को सरल बनाया जा सकता है, और फिर प्रमेय 1 का उपयोग किया जा सकता है। फिर क्रम के निर्धारक की गणना गणना के लिए कम कर देता है सिर्फ एकआदेश निर्धारक
.

उदाहरण 6गणना

.

आइए पहले कॉलम को दूसरे से और पहले कॉलम को इससे गुणा करें (
), तीसरे के लिए, परिणामस्वरूप हमें मिलता है

.

अब हम प्रमेय 1 को लागू करते हैं और अंतिम पंक्ति पर विस्तार करते हैं:

,

चौथे क्रम के निर्धारक की गणना को केवल एक तीसरे क्रम के निर्धारक की गणना के लिए घटा दिया गया था।

,

तीसरे क्रम के निर्धारक की गणना को केवल एक दूसरे क्रम के निर्धारक की गणना के लिए घटा दिया गया था।

उदाहरण 7आदेश निर्धारक की गणना करें :

.

हम पहली पंक्ति को दूसरी, तीसरी और इसी तरह जोड़ते हैं। -वीं पंक्ति। निर्धारक पर आएं

.

एक त्रिभुजाकार सारणिक प्राप्त होता है।

उपयुक्त
टाइम्स प्रमेय 1 (पहले कॉलम में विस्तार करें) और प्राप्त करें

.

टिप्पणी। त्रिकोणीय सारणिक मुख्य विकर्ण के तत्वों के उत्पाद के बराबर है।

6.3. मैट्रिसेस पर बुनियादी संचालन

परिभाषा 5.दो मैट्रिक्स
,
,
,और
,
,
,बराबर कहा जाएगा अगर
.

संक्षिप्त प्रविष्टि:
.

इस प्रकार, दो आव्यूहों को समान माना जाता है यदि उनके समान क्रम हों और उनके संगत तत्व समान हों।

परिभाषा 6.दो आव्यूहों का योग
,
,
,और
,
,
,ऐसे मैट्रिक्स को कहा जाता है
,
,
,क्या
.

दूसरे शब्दों में, समान ऑर्डर के केवल मैट्रिसेस जोड़े जा सकते हैं, और जोड़ तत्व द्वारा तत्व द्वारा किया जाता है।

उदाहरण 8मैट्रिक्स का योग खोजें

और
.

परिभाषा 6 के अनुसार, हम पाते हैं

.

मैट्रिक्स जोड़ नियम किसी भी सीमित संख्या में शर्तों के योग पर लागू होता है।

परिभाषा 7.मैट्रिक्स उत्पाद
,
,
,एक वास्तविक संख्या के लिए ऐसे मैट्रिक्स को कहा जाता है
,
,
,जिसके लिए
.

दूसरे शब्दों में, किसी मैट्रिक्स को किसी संख्या से गुणा करने के लिए, आपको इसके सभी तत्वों को इस संख्या से गुणा करना होगा और परिणामी उत्पादों को उनके मूल स्थान पर छोड़ना होगा।

उदाहरण 9रैखिक संयोजन खोजें
मैट्रिक्स

और
.

परिभाषा 7 का प्रयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं

,
,

.

मैट्रिक्स जोड़ संचालन के गुण

और एक संख्या से गुणा:

1. जोड़ क्रमविनिमेय है:
.

2. जोड़ साहचर्य है:।

3. एक शून्य मैट्रिक्स है
, शर्त को संतुष्ट करना
सबके लिए लेकिन.

4. किसी भी मैट्रिक्स के लिए लेकिनएक विपरीत मैट्रिक्स है पर, शर्त को संतुष्ट करना
.

किसी भी मैट्रिक्स के लिए लेकिनऔर परऔर कोई वास्तविक संख्या
समानताएं होती हैं:

5.
.

6.
.

7.
.

8.
.

संपत्ति की जाँच करें 1. निरूपित करें
,
. रहने दो
,

,
. हमारे पास है

और चूंकि परिभाषा 5 . के अनुसार एक मनमानी तत्व के लिए समानता साबित होती है
. गुण 1 सिद्ध होता है।

संपत्ति 2 इसी तरह साबित होती है।

एक मैट्रिक्स के रूप में ऑर्डर मैट्रिक्स लें
, जिसके सभी तत्व शून्य के बराबर हैं।

मुड़ा हुआ किसी भी मैट्रिक्स के साथ परिभाषा 6 में दिए गए नियम के अनुसार, हमारे पास मैट्रिक्स है परिवर्तन न करें, और गुण 3 सत्य है।

आइए संपत्ति 4 की जांच करें
. चलो रखो
. फिर
, इसलिए गुण 4 सत्य है।

हम गुण 5 - 8 के चेक को छोड़ देते हैं।

परिभाषा 8.मैट्रिक्स उत्पाद
,
,
,मैट्रिक्स के लिए
,
,
,मैट्रिक्स कहा जाता है
,
,
,तत्वों के साथ
.

संक्षिप्त प्रविष्टि:
.

उदाहरण 10मैट्रिक्स का उत्पाद खोजें

और
.

परिभाषा 8 के अनुसार, हम पाते हैं

उदाहरण 11.मैट्रिसेस गुणा करें

और
.

टिप्पणी 1. मैट्रिक्स पंक्ति में तत्वों की संख्या मैट्रिक्स कॉलम में तत्वों की संख्या के बराबर होती है (मैट्रिक्स कॉलम की संख्या मैट्रिक्स पंक्तियों की संख्या के बराबर है ).

टिप्पणी 2. मैट्रिक्स में
मैट्रिक्स में जितनी पंक्तियाँ हैं , और उतने ही स्तंभ हैं जितने in .

टिप्पणी 3. आम तौर पर बोलना,
(मैट्रिक्स गुणन गैर-अनुवांशिकी है)।

टिप्पणी 3 को सही ठहराने के लिए, कम से कम एक उदाहरण देना पर्याप्त है।

उदाहरण 12.मैट्रिक्स के उल्टे क्रम में गुणा करें और उदाहरण 10 से।

तो सामान्य तौर पर
.

ध्यान दें कि किसी विशेष मामले में समानता
संभवतः।

मैट्रिक्स और , जिसके लिए समानता
, कहा जाता है क्रमपरिवर्तन,या आने.

व्यायाम।

1. दिए गए मैट्रिक्स के साथ आने वाले सभी मैट्रिक्स खोजें:

ए)
; बी)
.

2. दूसरे कोटि के सभी आव्यूह ज्ञात कीजिए, जिनके वर्ग शून्य आव्यूह के बराबर हैं।

3. सिद्ध कीजिए कि
.

मैट्रिक्स गुणन गुण:

गुणन वितरणात्मक है।

दूसरा क्रम मुख्य विकर्ण बनाने वाली संख्याओं के गुणनफल और द्वितीयक विकर्ण पर संख्याओं के गुणनफल के बीच अंतर के बराबर है, आप निर्धारक के निम्नलिखित पदनाम पा सकते हैं: ; ; ; विवरण(निर्धारक)।

.

उदाहरण:
.

तीसरे क्रम के मैट्रिक्स का निर्धारकएक संख्या या गणितीय व्यंजक कहलाता है, जिसकी गणना निम्नलिखित नियम के अनुसार की जाती है:

तीसरे क्रम के निर्धारक की गणना करने का सबसे सरल तरीका नीचे से पहली दो पंक्तियों के निर्धारक को जोड़ना है।

संख्याओं की गठित तालिका में, मुख्य विकर्ण पर खड़े तत्वों और मुख्य के समानांतर विकर्णों पर गुणा किया जाता है, उत्पाद के परिणाम का संकेत नहीं बदलता है। गणना का अगला चरण द्वितीयक विकर्ण पर और उसके समानांतर तत्वों का समान गुणन है। उत्पाद परिणामों के संकेत उलट हैं। फिर परिणामी छह शब्द जोड़ें।

उदाहरण:

किसी पंक्ति (स्तंभ) के तत्वों द्वारा सारणिक का अपघटन।

नाबालिग एम इजीतत्व और मैंवर्ग मैट्रिक्स लेकिनमैट्रिक्स के तत्वों से बना निर्धारक कहा जाता है लेकिन, हटाने के बाद शेष मैं-ओह लाइन और जे-वें स्तंभ।

उदाहरण के लिए, एक तत्व के लिए एक नाबालिग एक 21तीसरा क्रम मैट्रिसेस
एक निर्धारक होगा
.

हम कहेंगे कि तत्व और मैंएक सम स्थिति लेता है यदि मैं+ज(पंक्ति और स्तंभ संख्याओं का योग जिसके चौराहे पर यह तत्व स्थित है) - एक सम संख्या, एक विषम स्थान, यदि मैं+ज- विषम संख्या।

बीजीय जोड़ और इजीतत्व और मैंवर्ग मैट्रिक्स लेकिनअभिव्यक्ति कहा जाता है (या संबंधित नाबालिग का मान, "+" चिह्न के साथ लिया जाता है यदि मैट्रिक्स तत्व एक समान स्थान पर है, और "-" चिह्न के साथ यदि तत्व एक विषम स्थान पर है)।

उदाहरण:

एक 23= 4;

- एक तत्व का बीजगणितीय पूरक एक 22= 1.

लाप्लास का प्रमेय। सारणिक किसी पंक्ति (स्तंभ) के तत्वों के गुणनफल और उनके संगत बीजीय योगों के योग के बराबर होता है।

आइए हम तीसरे क्रम के सारणिक के उदाहरण से स्पष्ट करें। आप पहली पंक्ति में निम्नानुसार विस्तार करके तीसरे क्रम के निर्धारक की गणना कर सकते हैं

इसी तरह, आप किसी भी पंक्ति या स्तंभ पर विस्तार करके तीसरे क्रम के निर्धारक की गणना कर सकते हैं। सारणिक को उस पंक्ति (या स्तंभ) के अनुदिश विस्तारित करना सुविधाजनक होता है जिसमें अधिक शून्य होते हैं।

उदाहरण:

इस प्रकार, तीसरे क्रम के निर्धारक की गणना 3 दूसरे क्रम के निर्धारकों की गणना के लिए कम हो जाती है। सामान्य स्थिति में, कोई वर्ग मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना कर सकता है एन-वें क्रम, इसे गणना में कम करना एननिर्धारक ( एन-1)वें क्रम

टिप्पणी।दूसरे और तीसरे क्रम के निर्धारकों की गणना के तरीकों के समान, उच्च क्रम के निर्धारकों की गणना करने के लिए कोई सरल तरीके नहीं हैं। इसलिए, तीसरे क्रम से ऊपर के निर्धारकों की गणना के लिए केवल अपघटन विधि का उपयोग किया जा सकता है।

उदाहरण. चौथे क्रम के निर्धारक की गणना करें।

तीसरी पंक्ति के तत्वों द्वारा सारणिक का विस्तार करें

निर्धारकों के गुण:

1. सारणिक नहीं बदलेगा यदि इसकी पंक्तियों को स्तंभों से बदल दिया जाए और इसके विपरीत।

2. दो आसन्न पंक्तियों (स्तंभों) की अनुमति देते समय, सारणिक संकेत को विपरीत में बदल देता है।

3. दो समान पंक्तियों (स्तंभों) वाला सारणिक 0 है।

4. सारणिक की किसी पंक्ति (स्तंभ) के सभी तत्वों का सार्व गुणनखंड सारणिक के चिह्न से निकाला जा सकता है।

5. यदि किसी अन्य स्तंभ (पंक्ति) के संगत तत्वों को एक निश्चित संख्या से गुणा करने पर उसके एक स्तंभ (पंक्ति) के तत्वों में जोड़ा जाता है, तो सारणिक नहीं बदलेगा।

चौथे और उच्च क्रम के निर्धारकसरलीकृत योजनाओं के अनुसार गणना करना संभव है, जिसमें पंक्तियों या स्तंभों के तत्वों द्वारा विस्तार करना या त्रिकोणीय रूप को कम करना शामिल है। स्पष्टता के लिए दोनों विधियों पर चर्चा की जाएगी। चौथा क्रम मैट्रिक्स।

पंक्ति या स्तंभ अपघटन विधि

हम सभी मध्यवर्ती क्रियाओं के विस्तृत विवरण के साथ पहले उदाहरण पर विचार करेंगे।

उदाहरण 1 विस्तार विधि द्वारा सारणिक की गणना करें।

फेसला। गणनाओं को सरल बनाने के लिए, हम चौथे क्रम के निर्धारक को पहली पंक्ति के तत्वों के संदर्भ में विस्तारित करते हैं (जिसमें एक शून्य तत्व होता है)। वे तत्वों को उनके संबंधित जोड़ से गुणा करके बनते हैं (पंक्तियों और स्तंभों के विलोपन उस तत्व के चौराहे पर बनते हैं जिसके लिए उनकी गणना की जाती है - लाल रंग में हाइलाइट किया गया)

नतीजतन, गणना तीन तीसरे क्रम के निर्धारकों को खोजने के लिए कम हो जाएगी, जो हम त्रिकोण के नियम से पाते हैं

पाए गए मानों को आउटपुट निर्धारक में प्रतिस्थापित किया जाता है

परिणाम मैट्रिक्स कैलकुलेटर के साथ जांचना आसान है युखिमकैल्क. ऐसा करने के लिए, कैलकुलेटर में मैट्रिक्स-मैट्रिक्स निर्धारक आइटम का चयन करें, मैट्रिक्स का आकार 4 * 4 पर सेट करें।

परिणाम समान हैं, इसलिए गणना सही है।

उदाहरण 2 चौथे क्रम के मैट्रिक्स के सारणिक की गणना करें।

पिछले कार्य की तरह, हम अपघटन विधि द्वारा गणना करेंगे। ऐसा करने के लिए, पहले कॉलम के तत्वों का चयन करें। सरलीकृत रूप में, सारणिक को चार तीसरे क्रम के निर्धारकों के योग के रूप में दिया जा सकता है

गणना बहुत जटिल नहीं है, मुख्य बात यह है कि संकेतों और त्रिकोणों के साथ भ्रमित न हों। हम पाए गए मूल्यों को मुख्य निर्धारक में बदलते हैं और संक्षेप करते हैं

यह किसी पंक्ति या स्तंभ के तत्वों के गुणनफल और उनके बीजगणितीय पूरक के योग के बराबर होता है, अर्थात। , जहां i 0 नियत है।
व्यंजक (*) को संख्या i 0 वाली पंक्ति के तत्वों के संदर्भ में सारणिक D का अपघटन कहा जाता है।

सेवा असाइनमेंट. यह सेवा वर्ड प्रारूप में संपूर्ण समाधान के निष्पादन के साथ मैट्रिक्स के निर्धारक को ऑनलाइन खोजने के लिए डिज़ाइन की गई है। साथ ही, Excel में एक समाधान टेम्पलेट बनाया जाता है।

निर्देश। मैट्रिक्स के आयाम का चयन करें, अगला क्लिक करें।

मैट्रिक्स आयाम 2 3 4 5 6 7 8 9 10

निर्धारक की गणना करने के दो तरीके हैं: ए-प्राथमिकताऔर पंक्ति या स्तंभ द्वारा अपघटन. यदि आप किसी एक पंक्ति या कॉलम में शून्य बनाकर सारणिक खोजना चाहते हैं, तो आप इस कैलकुलेटर का उपयोग कर सकते हैं।

सारणिक खोजने के लिए एल्गोरिदम

1. क्रम n=2 के आव्यूह के लिए, सारणिक की गणना सूत्र द्वारा की जाती है: =a 11 *a 22 -a 12 *a 21
2. क्रम n=3 के आव्यूहों के लिए, सारणिक की गणना बीजीय योगों द्वारा की जाती है या सरस विधि.
3. तीन से अधिक आयाम वाले मैट्रिक्स को बीजीय योगों में विघटित किया जाता है, जिसके लिए उनके निर्धारकों (नाबालिगों) की गणना की जाती है। उदाहरण के लिए, चौथा क्रम मैट्रिक्स निर्धारकपंक्तियों या स्तंभों में विस्तार के माध्यम से पाया जाता है (उदाहरण देखें)।

मैट्रिक्स में कार्यों वाले निर्धारक की गणना करने के लिए, मानक विधियों का उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, तीसरे क्रम मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना करें:

आइए पहली पंक्ति के विस्तार का उपयोग करें।
Δ = sin(x)× + 1× = 2sin(x)cos(x)-2cos(x) = sin(2x)-2cos(x)

निर्धारकों की गणना के तरीके

बीजीय योगों द्वारा सारणिक ज्ञात करनाएक सामान्य तरीका है। इसका सरलीकृत संस्करण सरस नियम द्वारा निर्धारक की गणना है। हालांकि, बड़े मैट्रिक्स आयाम के साथ, निम्न विधियों का उपयोग किया जाता है:

1. आदेश में कमी द्वारा निर्धारक की गणना
2. गाऊसी विधि द्वारा निर्धारक की गणना (मैट्रिक्स को त्रिकोणीय रूप में कम करके)।

एक्सेल में, निर्धारक की गणना करने के लिए, फ़ंक्शन = MOPRED (कोशिकाओं की श्रेणी) का उपयोग किया जाता है।

निर्धारकों का अनुप्रयुक्त उपयोग

एक वर्ग मैट्रिक्स के रूप में दिए गए एक विशिष्ट प्रणाली के लिए, एक नियम के रूप में, निर्धारकों की गणना की जाती है। कुछ प्रकार के कार्यों पर विचार करें मैट्रिक्स निर्धारक ढूँढना. कभी-कभी एक अज्ञात पैरामीटर को खोजने की आवश्यकता होती है जिसके लिए सारणिक शून्य के बराबर होगा। ऐसा करने के लिए, निर्धारक के लिए एक समीकरण तैयार करना आवश्यक है (उदाहरण के लिए, के अनुसार त्रिभुज नियम) और, इसे 0 के बराबर करते हुए, पैरामीटर a की गणना करें।
कॉलम द्वारा अपघटन (पहले कॉलम द्वारा):
माइनर फॉर (1,1): मैट्रिक्स से पहली पंक्ति और पहला कॉलम हटाएं।
आइए इस नाबालिग के लिए सारणिक खोजें। 1,1 \u003d (2 (-2) -2 1) \u003d -6।

आइए नाबालिग को (2,1) के लिए निर्धारित करें: ऐसा करने के लिए, हम मैट्रिक्स से दूसरी पंक्ति और पहले कॉलम को हटाते हैं।

आइए इस नाबालिग के लिए सारणिक खोजें। ∆ 2,1 = (0 (-2)-2 (-2)) = 4। माइनर फॉर (3,1): मैट्रिक्स से तीसरी पंक्ति और पहला कॉलम हटाएं।
आइए इस नाबालिग के लिए सारणिक खोजें। ∆ 3,1 = (0 1-2 (-2)) = 4
मुख्य निर्धारक है: = (1 (-6)-3 4+1 4) = -14

आइए पंक्तियों द्वारा विस्तार (पहली पंक्ति द्वारा) का उपयोग करके निर्धारक को खोजें:
माइनर फॉर (1,1): मैट्रिक्स से पहली पंक्ति और पहला कॉलम हटाएं।

आइए इस नाबालिग के लिए सारणिक खोजें। 1,1 \u003d (2 (-2) -2 1) \u003d -6। माइनर फॉर (1,2): मैट्रिक्स से पहली पंक्ति और दूसरा कॉलम हटाएं। आइए हम इस अवयस्क के लिए सारणिक की गणना करें। 1,2 \u003d (3 (-2) -1 1) \u003d -7। और (1,3) के लिए नाबालिग को खोजने के लिए हम मैट्रिक्स से पहली पंक्ति और तीसरे कॉलम को हटाते हैं। आइए इस नाबालिग के लिए सारणिक खोजें। 1.3 = (3 2-1 2) = 4
हम मुख्य निर्धारक पाते हैं: \u003d (1 (-6) -0 (-7) + (-2 4)) \u003d -14

एक निर्धारक की अवधारणा रैखिक बीजगणित के पाठ्यक्रम में मुख्य में से एक है। यह अवधारणा केवल वर्ग मैट्रिक्स में निहित है, और यह लेख इस अवधारणा के लिए समर्पित है। यहाँ हम उन आव्यूहों के सारणिकों के बारे में बात करेंगे जिनके अवयव वास्तविक (या सम्मिश्र) संख्याएँ हैं। इस मामले में, सारणिक एक वास्तविक (या जटिल) संख्या है। आगे की सभी प्रस्तुति इस सवाल का जवाब होगी कि निर्धारक की गणना कैसे करें, और इसमें कौन से गुण हैं।

सबसे पहले, हम मैट्रिक्स तत्वों के क्रमपरिवर्तन के उत्पादों के योग के रूप में क्रम n बटा n के वर्ग मैट्रिक्स के सारणिक की परिभाषा देते हैं। इस परिभाषा के आधार पर, हम पहले, दूसरे और तीसरे क्रम के मैट्रिक्स के निर्धारकों की गणना के लिए सूत्र लिखते हैं और कई उदाहरणों के समाधान का विस्तार से विश्लेषण करते हैं।

इसके बाद, हम सारणिक के गुणों की ओर मुड़ते हैं, जिन्हें हम बिना प्रमाण के प्रमेयों के रूप में सूत्रबद्ध करेंगे। यहां, सारणिक की गणना के लिए एक विधि एक पंक्ति या स्तंभ के तत्वों पर इसके विस्तार के माध्यम से प्राप्त की जाएगी। यह विधि क्रम n के मैट्रिक्स के सारणिक की गणना को n से घटाकर क्रम 3 के मैट्रिक्स के निर्धारकों की गणना को 3 या उससे कम कर देती है। कई उदाहरणों के समाधान दिखाना सुनिश्चित करें।

अंत में, आइए हम गॉस विधि द्वारा निर्धारक की गणना पर ध्यान दें। यह विधि 3 बटा 3 से अधिक कोटि के आव्यूहों के निर्धारकों को खोजने के लिए अच्छी है क्योंकि इसके लिए कम कम्प्यूटेशनल प्रयास की आवश्यकता होती है। हम उदाहरणों के समाधान का भी विश्लेषण करेंगे।

पृष्ठ नेविगेशन।

मैट्रिक्स निर्धारक की परिभाषा, परिभाषा के अनुसार मैट्रिक्स निर्धारक की गणना।

हम कई सहायक अवधारणाओं को याद करते हैं।

परिभाषा।

क्रम n . का क्रमपरिवर्तन n तत्वों से मिलकर बनी संख्याओं का क्रमित समुच्चय कहलाता है।

n तत्वों वाले सेट के लिए, n हैं! (n भाज्य) क्रम n के क्रमपरिवर्तन का। क्रमपरिवर्तन केवल तत्वों के क्रम में एक दूसरे से भिन्न होते हैं।

उदाहरण के लिए, तीन संख्याओं वाले समुच्चय पर विचार करें: . हम सभी क्रमपरिवर्तन लिखते हैं (कुल छह हैं, क्योंकि ):

परिभाषा।

क्रम n . के क्रमपरिवर्तन में उलटासूचकांकों का कोई भी युग्म p और q कहलाता है, जिसके लिए क्रमचय का p-वें तत्व q-वें से बड़ा होता है।

पिछले उदाहरण में, क्रमचय 4 , 9 , 7 का व्युत्क्रम p=2 , q=3 है, क्योंकि क्रमचय का दूसरा तत्व 9 है और तीसरे तत्व से बड़ा है, जो कि 7 है। क्रमचय 9 , 7 , 4 का व्युत्क्रम तीन जोड़े होंगे: p=1 , q=2 (9>7 ); p=1 , q=3 (9>4 ) और p=2 , q=3 (7>4 )।

हम व्युत्क्रम के बजाय क्रमपरिवर्तन में व्युत्क्रमों की संख्या में अधिक रुचि लेंगे।

आज्ञा देना वास्तविक (या सम्मिश्र) संख्याओं के क्षेत्र में n बटा n क्रम का एक वर्ग आव्यूह हो। आज्ञा देना सेट के क्रम n के सभी क्रमपरिवर्तन का सेट हो। सेट में n है! क्रमपरिवर्तन। आइए सेट के kth क्रमपरिवर्तन को , और kth क्रमचय में व्युत्क्रमों की संख्या के रूप में निरूपित करें।

परिभाषा।

मैट्रिक्स निर्धारकऔर के बराबर एक संख्या है .

आइए इस सूत्र का शब्दों में वर्णन करें। क्रम n बटा n के वर्ग मैट्रिक्स का निर्धारक n युक्त योग है! शर्तें। प्रत्येक पद मैट्रिक्स के n तत्वों का एक उत्पाद है, और प्रत्येक उत्पाद में प्रत्येक पंक्ति से और मैट्रिक्स A के प्रत्येक स्तंभ से एक तत्व होता है। एक गुणांक (-1) kवें पद से पहले प्रकट होता है यदि उत्पाद में मैट्रिक्स A के तत्वों को पंक्ति संख्या द्वारा क्रमबद्ध किया जाता है, और स्तंभ संख्याओं के सेट के kth क्रमपरिवर्तन में व्युत्क्रमों की संख्या विषम है।

मैट्रिक्स ए के सारणिक को आमतौर पर के रूप में दर्शाया जाता है, और det(A) का भी उपयोग किया जाता है। आप यह भी सुन सकते हैं कि सारणिक को सारणिक कहा जाता है।

इसलिए, .

इससे पता चलता है कि पहले क्रम के मैट्रिक्स का निर्धारक इस मैट्रिक्स का तत्व है।

द्वितीय-क्रम वर्ग मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना - सूत्र और उदाहरण।

सामान्य तौर पर लगभग 2 बटा 2।

इस मामले में n=2 , इसलिए n!=2!=2 ।

.

हमारे पास है

इस प्रकार, हमने क्रम 2 बटा 2 के मैट्रिक्स के सारणिक की गणना के लिए एक सूत्र प्राप्त किया है, इसका रूप है .

उदाहरण।

गण।

फेसला।

हमारे उदाहरण में। हम परिणामी सूत्र लागू करते हैं :

तीसरे क्रम के वर्ग मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना - सूत्र और उदाहरण।

आइए एक वर्ग मैट्रिक्स के निर्धारक को खोजें सामान्य तौर पर लगभग 3 बटा 3।

इस स्थिति में n=3 , इसलिए n!=3!=6 ।

आइए सूत्र को लागू करने के लिए आवश्यक डेटा को तालिका के रूप में व्यवस्थित करें .

हमारे पास है

इस प्रकार, हमने क्रम 3 बटा 3 के मैट्रिक्स के सारणिक की गणना के लिए एक सूत्र प्राप्त किया है, इसका रूप है

इसी प्रकार, 4 बटा 4, 5 बटा 5 और उच्चतर के आव्यूहों के निर्धारकों की गणना के लिए सूत्र प्राप्त कर सकते हैं। वे बहुत भारी दिखेंगे।

उदाहरण।

स्क्वायर मैट्रिक्स के गणना निर्धारक लगभग 3 ब 3.

फेसला।

हमारे उदाहरण में

हम तीसरे क्रम के मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना करने के लिए परिणामी सूत्र लागू करते हैं:

दूसरे और तीसरे क्रम के वर्ग मैट्रिक्स के निर्धारकों की गणना के लिए सूत्र बहुत बार उपयोग किए जाते हैं, इसलिए हम अनुशंसा करते हैं कि आप उन्हें याद रखें।

मैट्रिक्स निर्धारक के गुण, गुणों का उपयोग करके मैट्रिक्स निर्धारक की गणना।

उपरोक्त परिभाषा के आधार पर, निम्नलिखित सत्य हैं। मैट्रिक्स निर्धारक गुण.

मैट्रिक्स A का सारणिक ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स A T के सारणिक के बराबर है, अर्थात।

उदाहरण।

सुनिश्चित करें कि मैट्रिक्स निर्धारक ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स के निर्धारक के बराबर है।

फेसला।

आइए क्रम 3 बटा 3 के मैट्रिक्स के सारणिक की गणना करने के लिए सूत्र का उपयोग करें:



हम मैट्रिक्स ए को स्थानांतरित करते हैं:


ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना करें:



दरअसल, ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स का निर्धारक मूल मैट्रिक्स के निर्धारक के बराबर होता है।

यदि एक वर्ग मैट्रिक्स में कम से कम एक पंक्ति (स्तंभों में से एक) के सभी तत्व शून्य हैं, तो ऐसे मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य के बराबर है।

उदाहरण।

जांचें कि मैट्रिक्स निर्धारक क्रम 3 बटा 3 शून्य है।

फेसला।




दरअसल, शून्य कॉलम वाले मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य है।

यदि आप एक वर्ग मैट्रिक्स में किन्हीं दो पंक्तियों (स्तंभों) को स्वैप करते हैं, तो परिणामी मैट्रिक्स का निर्धारक मूल एक के विपरीत होगा (अर्थात, चिन्ह बदल जाएगा)।

उदाहरण।

क्रम 3 बटा 3 के दो वर्ग आव्यूह दिए हुए हैं और . दिखाएँ कि उनके निर्धारक विपरीत हैं।

फेसला।

आव्यूह बी मैट्रिक्स ए से तीसरी पंक्ति को पहली और पहली को तीसरी के साथ बदलकर प्राप्त किया जाता है। मानी गई संपत्ति के अनुसार, ऐसे मैट्रिक्स के निर्धारकों को संकेत में भिन्न होना चाहिए। आइए एक प्रसिद्ध सूत्र का उपयोग करके निर्धारकों की गणना करके इसकी जाँच करें।



सच में, ।

यदि एक वर्ग आव्यूह में कम से कम दो पंक्तियाँ (दो स्तंभ) समान हों, तो इसका सारणिक शून्य के बराबर होता है।

उदाहरण।

दिखाएँ कि मैट्रिक्स निर्धारक शून्य के बराबर।

फेसला।

इस मैट्रिक्स में, दूसरे और तीसरे कॉलम समान हैं, इसलिए, मानी गई संपत्ति के अनुसार, इसका निर्धारक शून्य के बराबर होना चाहिए। चलो पता करते हैं।



वास्तव में, दो समान स्तंभों वाले मैट्रिक्स का सारणिक शून्य है।

यदि एक वर्ग मैट्रिक्स में किसी भी पंक्ति (स्तंभ) के सभी तत्वों को किसी संख्या k से गुणा किया जाता है, तो परिणामी मैट्रिक्स का निर्धारक मूल मैट्रिक्स के निर्धारक के बराबर होगा, जिसे k से गुणा किया जाएगा। उदाहरण के लिए,



उदाहरण।

सिद्ध कीजिए कि आव्यूह सारणिक मैट्रिक्स के सारणिक के तीन गुना के बराबर है .

फेसला।

मैट्रिक्स बी के पहले कॉलम के तत्वों को मैट्रिक्स ए के पहले कॉलम के संबंधित तत्वों से 3 से गुणा करके प्राप्त किया जाता है। फिर, मानी गई संपत्ति के आधार पर, समानता होनी चाहिए। आइए मैट्रिक्स ए और बी के निर्धारकों की गणना करके इसकी जांच करें।



इसलिए, जिसे साबित किया जाना था।

टिप्पणी।

मैट्रिक्स और निर्धारक की अवधारणाओं को भ्रमित या भ्रमित न करें! एक मैट्रिक्स के निर्धारक की मानी गई संपत्ति और एक मैट्रिक्स को एक संख्या से गुणा करने की क्रिया एक ही चीज से बहुत दूर है।
, लेकिन .

यदि किसी वर्ग आव्यूह की किसी पंक्ति (स्तंभ) के सभी अवयव s पदों का योग हैं (s एक से बड़ी प्राकृत संख्या है), तो ऐसे आव्यूह का सारणिक प्राप्त मैट्रिक्स के s निर्धारकों के योग के बराबर होगा मूल एक, यदि पंक्ति (स्तंभ) के तत्वों के रूप में एक समय में एक पद छोड़ दें। उदाहरण के लिए,


उदाहरण।

सिद्ध कीजिए कि मैट्रिक्स का सारणिक मैट्रिक्स के सारणिकों के योग के बराबर होता है .

फेसला।

हमारे उदाहरण में , इसलिए, मैट्रिक्स निर्धारक की मानी गई संपत्ति के कारण, समानता . हम सूत्र का उपयोग करके क्रम 2 बटा 2 के आव्यूहों के संगत निर्धारकों की गणना करके इसकी जांच करते हैं .


प्राप्त परिणामों से यह देखा जा सकता है कि . यह सबूत पूरा करता है।

यदि हम मैट्रिक्स की एक निश्चित पंक्ति (स्तंभ) के तत्वों में किसी अन्य पंक्ति (स्तंभ) के संगत तत्वों को एक मनमानी संख्या k से गुणा करते हैं, तो परिणामी मैट्रिक्स का निर्धारक मूल मैट्रिक्स के निर्धारक के बराबर होगा।

उदाहरण।

सुनिश्चित करें कि यदि मैट्रिक्स के तीसरे कॉलम के तत्व इस मैट्रिक्स के दूसरे कॉलम के संबंधित तत्वों को (-2) से गुणा करें, और मैट्रिक्स के पहले कॉलम के संबंधित तत्वों को एक मनमाना वास्तविक संख्या से गुणा करें, फिर परिणामी मैट्रिक्स का निर्धारक बराबर होगा मूल मैट्रिक्स का निर्धारक।

फेसला।

यदि हम निर्धारक की मानी गई संपत्ति से शुरू करते हैं, तो समस्या में इंगित सभी परिवर्तनों के बाद प्राप्त मैट्रिक्स का निर्धारक मैट्रिक्स ए के निर्धारक के बराबर होगा।

सबसे पहले, हम मूल मैट्रिक्स ए के निर्धारक की गणना करते हैं:



अब मैट्रिक्स ए के आवश्यक परिवर्तन करते हैं।

आइए मैट्रिक्स के तीसरे कॉलम के तत्वों को मैट्रिक्स के दूसरे कॉलम के संबंधित तत्वों में जोड़ें, पहले उन्हें (-2) से गुणा करें। उसके बाद, मैट्रिक्स इस तरह दिखेगा:


परिणामी मैट्रिक्स के तीसरे कॉलम के तत्वों में, हम पहले कॉलम के संबंधित तत्वों को गुणा करते हैं:


परिणामी मैट्रिक्स के सारणिक की गणना करें और सुनिश्चित करें कि यह मैट्रिक्स A के सारणिक के बराबर है, अर्थात -24:



एक वर्ग मैट्रिक्स का निर्धारक उनके द्वारा किसी भी पंक्ति (स्तंभ) के तत्वों के उत्पादों का योग है बीजीय जोड़.



यहाँ मैट्रिक्स तत्व का बीजगणितीय पूरक है।

यह गुण 3 बटा 3 से अधिक क्रम के आव्यूहों के निर्धारकों की गणना करने की अनुमति देता है, उन्हें क्रम मैट्रिक्स के कई निर्धारकों के योग को घटाकर एक कम कर देता है। दूसरे शब्दों में, यह किसी भी क्रम के वर्ग मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना के लिए एक आवर्तक सूत्र है। हम अनुशंसा करते हैं कि आप इसकी काफी बार-बार प्रयोज्यता के कारण इसे याद रखें।

आइए कुछ उदाहरण देखें।

उदाहरण।

क्रम 4 ब 4, इसका विस्तार करते हुए

• तीसरी पंक्ति के तत्वों द्वारा,
• दूसरे कॉलम के तत्वों द्वारा।

फेसला।

हम तीसरी पंक्ति के तत्वों द्वारा सारणिक का विस्तार करने के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं



हमारे पास है



तो क्रम 4 बटा 4 के एक मैट्रिक्स के सारणिक को खोजने की समस्या को क्रम 3 बटा 3 के मैट्रिक्स के तीन निर्धारकों की गणना के लिए कम कर दिया गया था:



प्राप्त मूल्यों को प्रतिस्थापित करते हुए, हम परिणाम प्राप्त करते हैं:


हम दूसरे कॉलम के तत्वों द्वारा सारणिक का विस्तार करने के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं


और हम उसी तरह कार्य करते हैं।

हम तीसरे क्रम के मैट्रिक्स के निर्धारकों की गणना का विस्तार से वर्णन नहीं करेंगे।



उदाहरण।

गणना मैट्रिक्स निर्धारक लगभग 4 ब 4।

फेसला।

आप मैट्रिक्स निर्धारक को किसी भी कॉलम या किसी भी पंक्ति के तत्वों में विघटित कर सकते हैं, लेकिन उस पंक्ति या कॉलम को चुनना अधिक फायदेमंद होता है जिसमें शून्य तत्वों की सबसे बड़ी संख्या होती है, क्योंकि इससे अनावश्यक गणनाओं से बचने में मदद मिलेगी। आइए पहली पंक्ति के तत्वों द्वारा निर्धारक का विस्तार करें:



हम ज्ञात सूत्र के अनुसार क्रम 3 बटा 3 के मैट्रिक्स के प्राप्त निर्धारकों की गणना करते हैं:



हम परिणामों को प्रतिस्थापित करते हैं और वांछित मूल्य प्राप्त करते हैं


उदाहरण।

गणना मैट्रिक्स निर्धारक लगभग 5 ब 5।

फेसला।

मैट्रिक्स की चौथी पंक्ति में सभी पंक्तियों और स्तंभों के बीच शून्य तत्वों की सबसे बड़ी संख्या है, इसलिए चौथी पंक्ति के तत्वों द्वारा मैट्रिक्स निर्धारक को सटीक रूप से विस्तारित करने की सलाह दी जाती है, क्योंकि इस मामले में हमें कम गणना की आवश्यकता होती है।



आदेश 4 बटा 4 के मैट्रिक्स के प्राप्त निर्धारक पिछले उदाहरणों में पाए गए थे, इसलिए हम तैयार किए गए परिणामों का उपयोग करेंगे:



उदाहरण।

गणना मैट्रिक्स निर्धारक लगभग 7 बटा 7।

फेसला।

आपको किसी भी पंक्ति या स्तंभ के तत्वों द्वारा निर्धारक को विघटित करने में तुरंत जल्दबाजी नहीं करनी चाहिए। यदि आप मैट्रिक्स को करीब से देखें, तो आप देखेंगे कि मैट्रिक्स की छठी पंक्ति के तत्वों को दूसरी पंक्ति के संबंधित तत्वों को दो से गुणा करके प्राप्त किया जा सकता है। यही है, यदि हम दूसरी पंक्ति के संगत तत्वों को (-2) से गुणा करके छठी पंक्ति के तत्वों में जोड़ते हैं, तो सातवीं संपत्ति के कारण सारणिक नहीं बदलेगा, और परिणामी मैट्रिक्स की छठी पंक्ति में शामिल होगा शून्य ऐसे मैट्रिक्स का निर्धारक दूसरी संपत्ति से शून्य के बराबर है।

जवाब:

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि मानी गई संपत्ति किसी को किसी भी क्रम के मैट्रिक्स के निर्धारकों की गणना करने की अनुमति देती है, हालांकि, किसी को बहुत सारे कम्प्यूटेशनल ऑपरेशन करने पड़ते हैं। ज्यादातर मामलों में, गॉस विधि द्वारा तीसरे से अधिक कोटि के मैट्रिक्स के सारणिक को खोजना अधिक फायदेमंद होता है, जिस पर हम नीचे विचार करेंगे।

एक वर्ग मैट्रिक्स की किसी भी पंक्ति (स्तंभ) के तत्वों के गुणनफल और दूसरी पंक्ति (स्तंभ) के संगत तत्वों के बीजगणितीय पूरक का योग शून्य के बराबर होता है।


उदाहरण।

दिखाएँ कि मैट्रिक्स के तीसरे कॉलम के तत्वों के उत्पादों का योग पहले कॉलम के संबंधित तत्वों के बीजगणितीय पूरक शून्य के बराबर है।

फेसला।




समान कोटि के वर्ग आव्यूहों के गुणनफल का सारणिक उनके सारणिकों के गुणनफल के बराबर होता है, अर्थात्, , जहाँ m एक से बड़ी प्राकृत संख्या है, A k , k=1,2,…,m समान कोटि के वर्ग आव्यूह हैं।

उदाहरण।

सुनिश्चित करें कि दो आव्यूहों के गुणनफल का सारणिक और उनके निर्धारकों के उत्पाद के बराबर है।

फेसला।

आइए सबसे पहले आव्यूह A और B के सारणिकों का गुणनफल ज्ञात करें:


अब मैट्रिक्स गुणन करते हैं और परिणामी मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना करते हैं:



इस प्रकार, जो दिखाया जाना था।

गॉस विधि द्वारा मैट्रिक्स निर्धारक की गणना।

आइए इस विधि के सार का वर्णन करें। प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करते हुए, मैट्रिक्स ए को इस तरह से घटाया जाता है कि पहले कॉलम में सभी तत्व शून्य हो जाते हैं (यह हमेशा संभव है यदि मैट्रिक्स ए का निर्धारक गैर-शून्य है)। हम इस प्रक्रिया का थोड़ा बाद में वर्णन करेंगे, लेकिन अब हम बताएंगे कि ऐसा क्यों किया जाता है। पहले कॉलम के तत्वों पर सारणिक का सबसे सरल विस्तार प्राप्त करने के लिए शून्य तत्व प्राप्त किए जाते हैं। मैट्रिक्स ए के इस तरह के परिवर्तन के बाद, आठवीं संपत्ति को ध्यान में रखते हुए, हम प्राप्त करते हैं

कहाँ पे - माइनर (n-1)-वें क्रम, मैट्रिक्स ए से इसकी पहली पंक्ति और पहले कॉलम के तत्वों को हटाकर प्राप्त किया जाता है।

जिस मैट्रिक्स से नाबालिग मेल खाता है, उसी प्रक्रिया को पहले कॉलम में शून्य तत्व प्राप्त करने के लिए किया जाता है। और इसी तरह निर्धारक की अंतिम गणना तक।

अब इस प्रश्न का उत्तर देना बाकी है: "पहले कॉलम में अशक्त तत्व कैसे प्राप्त करें"?

आइए क्रियाओं के एल्गोरिथ्म का वर्णन करें।

यदि , तो मैट्रिक्स की पहली पंक्ति के तत्वों को kth पंक्ति के संगत तत्वों में जोड़ा जाता है, जिसमें . (यदि अपवाद के बिना आव्यूह A के पहले स्तंभ के सभी अवयव शून्य हैं, तो इसका सारणिक दूसरी संपत्ति से शून्य है और किसी गाऊसी विधि की आवश्यकता नहीं है)। इस तरह के परिवर्तन के बाद, "नया" तत्व शून्य से अलग होगा। "नए" मैट्रिक्स का निर्धारक सातवीं संपत्ति के कारण मूल मैट्रिक्स के निर्धारक के बराबर होगा।

अब हमारे पास एक मैट्रिक्स है जिसमें . जब दूसरी पंक्ति के तत्वों में, हम पहली पंक्ति के संगत तत्वों को, से गुणा करके, तीसरी पंक्ति के तत्वों में, पहली पंक्ति के संगत तत्वों को, से गुणा करते हैं। आदि। अंत में, n वीं पंक्ति के तत्वों में, हम पहली पंक्ति के संबंधित तत्वों को गुणा करके जोड़ते हैं। तो रूपांतरित मैट्रिक्स A प्राप्त किया जाएगा, जिसके पहले कॉलम के सभी तत्व, को छोड़कर, शून्य होंगे। परिणामी मैट्रिक्स का सारणिक सातवीं संपत्ति के कारण मूल मैट्रिक्स के निर्धारक के बराबर होगा।

आइए एक उदाहरण को हल करते समय विधि का विश्लेषण करें, ताकि यह स्पष्ट हो जाए।

उदाहरण।

क्रम 5 बटा 5 के मैट्रिक्स के सारणिक की गणना करें .

फेसला।

आइए गॉस विधि का उपयोग करें। आइए मैट्रिक्स ए को रूपांतरित करें ताकि इसके पहले कॉलम के सभी तत्व, को छोड़कर, शून्य हो जाएं।

चूंकि तत्व शुरू में है, तो हम मैट्रिक्स की पहली पंक्ति के तत्वों में संबंधित तत्वों को जोड़ते हैं, उदाहरण के लिए, दूसरी पंक्ति, चूंकि:

"~" चिन्ह का अर्थ समानता है।

अब हम दूसरी पंक्ति के तत्वों में पहली पंक्ति के संबंधित तत्वों को गुणा करते हैं , तीसरी पंक्ति के तत्वों के लिए - पहली पंक्ति के संगत तत्व, से गुणा किया जाता है , और इसी तरह छठी पंक्ति तक आगे बढ़ें:

हम पाते हैं

मैट्रिक्स के साथ हम पहले कॉलम में शून्य तत्व प्राप्त करने के लिए समान प्रक्रिया करते हैं:

इसलिये,

अब हम मैट्रिक्स के साथ परिवर्तन करते हैं :

टिप्पणी।

गॉस विधि द्वारा मैट्रिक्स परिवर्तन के किसी चरण में, एक स्थिति उत्पन्न हो सकती है जब मैट्रिक्स की अंतिम कुछ पंक्तियों के सभी तत्व शून्य हो जाते हैं। यह निर्धारक की शून्य से समानता के बारे में बात करेगा।

संक्षेप।

एक वर्ग आव्यूह का सारणिक, जिसके अवयव संख्याएँ हैं, एक संख्या है। हमने सारणिक की गणना करने के तीन तरीकों पर विचार किया है:

1. मैट्रिक्स तत्वों के संयोजन के उत्पादों के योग के माध्यम से;
2. मैट्रिक्स की पंक्ति या स्तंभ के तत्वों द्वारा निर्धारक के विस्तार के माध्यम से;
3. मैट्रिक्स को ऊपरी त्रिकोणीय एक (गॉस विधि द्वारा) को कम करने की विधि।

क्रम 2 बटा 2 और 3 बटा 3 के आव्यूहों के सारणिकों की गणना के लिए सूत्र प्राप्त किए गए थे।

हमने मैट्रिक्स निर्धारक के गुणों का विश्लेषण किया है। उनमें से कुछ आपको जल्दी से समझने की अनुमति देते हैं कि निर्धारक शून्य है।

3 बटा 3 से अधिक क्रम के मैट्रिक्स के निर्धारकों की गणना करते समय, गॉस विधि का उपयोग करने की सलाह दी जाती है: मैट्रिक्स के प्राथमिक परिवर्तन करें और इसे ऊपरी त्रिकोणीय एक पर लाएं। ऐसे मैट्रिक्स का निर्धारक मुख्य विकर्ण पर सभी तत्वों के उत्पाद के बराबर होता है।