विषय 1. बीजीय अंश। बीजगणितीय अंशों पर अंकगणितीय संचालन। (18 घंटे)

गणित का खंड। लाइन के माध्यम से।

• 
  संख्याएं और गणना
• 
  अभिव्यक्तियाँ और परिवर्तन

• 
  बीजीय अंश।
• 
  अंश में कमी।
• 
  बीजगणितीय अंशों के साथ संचालन।

• 
  

कार्यक्रम	^ घंटा	नियंत्रण निशान
यू-1. संयुक्त पाठ "मूल अवधारणाएँ"	1		मौखिक गिनती के लिए कार्य। अभ्यास 1 "संख्यात्मक अभिव्यक्तियाँ"
यू-2। पाठ-व्याख्यान "बीजीय भिन्न का मुख्य गुण। भिन्नों की कमी"	1		डेमो सामग्री "बीजीय अंश का मूल गुण"
यू-3। जो सीखा गया है उसका पाठ-समेकन	1	मौखिक गिनती स्वतंत्र कार्य 1.1 "एक अंश की मुख्य संपत्ति। अंश में कमी »	मौखिक गिनती के लिए कार्य। व्यायाम 2 "बीजीय भिन्नों की कमी"
यू-4। संयुक्त पाठ "समान हर के साथ भिन्नों का जोड़ और घटाव"	1
यू-5। पाठ - समस्या का समाधान	1		सीडी गणित 5-11 व्यायाम "तर्कसंगत संख्या"।
यू -6। संयुक्त पाठ "विभिन्न हरों के साथ भिन्नों का जोड़ और घटाव"	1		डेमो सामग्री "बीजीय अंशों का जोड़ और घटाव"
यू-7। पाठ - समस्या का समाधान	1	मौखिक गिनती	मौखिक गिनती के लिए कार्य। अभ्यास 3 "बीजीय भिन्नों का जोड़ और घटाव"
यू-8। पाठ - स्वतंत्र कार्य	1	स्वतंत्र कार्य 1.2 "बीजीय भिन्नों का जोड़ और घटाव"
यू-9. पाठ - समस्या का समाधान	1
यू-10। पाठ - परीक्षण	1	टेस्ट नंबर 1
अंडर-11. संयुक्त पाठ "बीजीय भिन्नों का गुणा और भाग। बीजीय भिन्नों को घात में बढ़ाना"	1
यू-12। पाठ - समस्या का समाधान	2	स्वतंत्र कार्य 1.3 "गुणा और भिन्नों का विभाजन"
यू-13. संयुक्त पाठ "तर्कसंगत अभिव्यक्तियों का रूपांतरण"	1	मौखिक गिनती	मौखिक गिनती के लिए कार्य। व्यायाम 4 "बीजीय भिन्नों का गुणा और भाग"
अंडर-14. पाठ - समस्या का समाधान	1
अंडर-15. पाठ - स्वतंत्र कार्य	1	स्वतंत्र कार्य 1.4 "तर्कसंगत अभिव्यक्तियों को बदलना"
अंडर-16। कार्यशाला पाठ "तर्कसंगत समीकरणों को हल करने के बारे में पहले विचार"	1		सीडी गणित 5-11 आभासी प्रयोगशाला "फ़ंक्शन ग्राफ"।
अंडर-17। पाठ - समस्या का समाधान	1	टेस्ट 1 "बीजगणितीय अंश"
अंडर-18। पाठ - नियंत्रण कार्य।	1	परीक्षा संख्या 2

• 
  बीजीय भिन्नों को कम करना सीखें।
• 
  

• 
  बीजीय भिन्नों के साथ बुनियादी संचालन करने में सक्षम हो।
• 
  बीजीय भिन्नों के साथ क्रियाओं के लिए संयुक्त अभ्यास करने में सक्षम होना।

विषय 2. द्विघात कार्य। समारोह . (18 घंटे)

समारोह

गणित के शैक्षिक क्षेत्र की अनिवार्य न्यूनतम सामग्री

कार्यक्रम। इसके कार्यान्वयन पर नियंत्रण

कार्यक्रम	मात्रा प्रति घंटा	नियंत्रण निशान	कंप्यूटर सॉफ्टवेयर पाठ
यू-1. संयुक्त पाठ "फ़ंक्शन , इसके गुण और ग्राफ"	1
	1	मौखिक गिनती	मौखिक गिनती के लिए कार्य। व्यायाम 5 "फ़ंक्शन" प्रदर्शन सामग्री "परबोला। विज्ञान और प्रौद्योगिकी में आवेदन »
यू-3। समस्या सुलझाने का पाठ	1	स्वतंत्र कार्य 2.1 "समारोह वाई = केएक्स 2 »
यू-4। पाठ-व्याख्यान "एक फ़ंक्शन और उसका ग्राफ"	1		डेमो सामग्री "फ़ंक्शन, इसके गुण और ग्राफ"
^ यू-5। समस्या सुलझाने का पाठ	3	मौखिक गिनती स्वतंत्र कार्य 2.2 "समारोह"	मौखिक गिनती के लिए कार्य। व्यायाम 6 "उलटा आनुपातिकता"
यू-6.7। पाठ-प्रथाएं "फ़ंक्शन का ग्राफ़ कैसे बनाएं »	2	व्यावहारिक कार्य
यू-8.9। पाठ-प्रथाएं "फ़ंक्शन का ग्राफ़ कैसे बनाएं यदि फलन का ग्राफ ज्ञात हो »	2		सीडी "गणित 5-11 कोशिकाएं।" आभासी प्रयोगशाला "कार्यों के रेखांकन"
^ यू-10। पाठ - परीक्षण	1	परीक्षा संख्या 3
L-11 पाठ-अभ्यास "फ़ंक्शन का आलेख कैसे बनाएं यदि फलन का ग्राफ ज्ञात हो »	1		सीडी "गणित 5-11 कोशिकाएं।" आभासी प्रयोगशाला "कार्यों के रेखांकन"
L-12 पाठ-अभ्यास "फ़ंक्शन का आलेख कैसे बनाएं यदि फलन का ग्राफ ज्ञात हो »	1	स्वतंत्र कार्य 2.3 "कार्यों के रेखांकन"	सीडी "गणित 5-11 कोशिकाएं।" आभासी प्रयोगशाला "कार्यों के रेखांकन"
यू-13. संयुक्त पाठ "फ़ंक्शन , इसके गुण और ग्राफ"	1		डेमो "एक द्विघात समारोह के गुण"
अंडर-14. अध्ययन के पाठ-समेकन..	1	मौखिक गिनती	मौखिक गिनती के लिए कार्य। व्यायाम 7 "द्विघात फलन"
अंडर-15. समस्या सुलझाने का पाठ	1	मौखिक गिनती स्वतंत्र कार्य 2.4 "द्विघात फलन के गुण और ग्राफ"	मौखिक गिनती के लिए कार्य। व्यायाम 8 "द्विघात फलन के गुण"
अंडर-16। पाठ परीक्षण	1	टेस्ट 2 "द्विघात फंक्शन"
^ अंडर-17। पाठ-अभ्यास "द्विघात समीकरणों का आलेखीय हल"	1		डेमो सामग्री "द्विघात समीकरणों का चित्रमय समाधान"
अंडर-18। पाठ - परीक्षण	1	परीक्षण कार्य संख्या 4

गणितीय तैयारी के लिए आवश्यकताएँ

छात्र के अनिवार्य प्रशिक्षण का स्तर

छात्र के संभावित प्रशिक्षण का स्तर

विषय 3 समारोह . वर्गमूल के गुण (11 घंटे)

गणित का खंड। लाइन के माध्यम से

• 
  संख्याएं और गणना
• 
  अभिव्यक्तियाँ और परिवर्तन
• 
  कार्यों

गणित के शैक्षिक क्षेत्र की अनिवार्य न्यूनतम सामग्री

किसी संख्या का वर्गमूल। अंकगणित वर्गमूल।

एक अपरिमेय संख्या की अवधारणा। किसी संख्या की अपरिमेयता।

 वास्तविक संख्याएँ।

वर्गमूल के गुण और गणना में उनका अनुप्रयोग।

समारोह।

कार्यक्रम। इसके कार्यान्वयन पर नियंत्रण

कार्यक्रम	मात्रा घंटा	नियंत्रण निशान	पाठ के लिए कंप्यूटर सॉफ्टवेयर
^ यू-1. पाठ-व्याख्यान "एक गैर-ऋणात्मक संख्या के वर्गमूल की अवधारणा"	1		प्रदर्शन सामग्री "एक वर्गमूल की अवधारणा"
यू-2। पाठ - समस्या का समाधान	1	स्वतंत्र कार्य 3.1 "अंकगणित वर्गमूल"
यू-3। संयुक्त पाठ "फ़ंक्शन , इसके गुण और ग्राफ"	1		डेमो सामग्री "फ़ंक्शन, इसके गुण और ग्राफ"
^ यू-4। पाठ - समस्या का समाधान	1	मौखिक गिनती	मौखिक गिनती के लिए कार्य। व्यायाम 9 "अंकगणित वर्गमूल"
^ यू-5। संयुक्त पाठ "वर्गमूल के गुण"	1		डेमो: अंकगणितीय वर्गमूल के गुणों को लागू करना
^ U-6 पाठ - समस्या समाधान	1	मौखिक गिनती स्वतंत्र कार्य 3.2 "अंकगणित वर्गमूल के गुण"	मौखिक गिनती के लिए कार्य। व्यायाम 10 "उत्पाद का वर्गमूल और भिन्न का वर्गमूल"
^ यू-7.8। पाठ-अभ्यास "वर्गमूल निकालने के संचालन वाले भावों का रूपांतरण।"	2	व्यावहारिक कार्य
^ यू-9. पाठ - समस्या का समाधान	1	मौखिक गिनती स्वतंत्र कार्य 3.3 "अंकगणितीय वर्गमूल के गुणों का अनुप्रयोग"	मौखिक गिनती के लिए कार्य। व्यायाम 11 "डिग्री का वर्गमूल"
यू-10। पाठ - समस्या का समाधान	1	टेस्ट 3 "वर्गमूल"
अंडर-11. पाठ - नियंत्रण कार्य।	1	परीक्षा संख्या 5

^ गणितीय तैयारी के लिए आवश्यकताएँ

छात्र के अनिवार्य प्रशिक्षण का स्तर

साधारण मामलों में जड़ों के मूल्यों का पता लगाएं।

किसी फ़ंक्शन की परिभाषा और गुणों को जानें , इसे साजिश करने में सक्षम हो।

अंकगणितीय वर्गमूल के गुणों को लागू करने में सक्षम हो और वर्गमूल वाले संख्यात्मक अभिव्यक्तियों के मूल्यों और सरल परिवर्तनों की गणना कर सकें।

छात्र के संभावित प्रशिक्षण का स्तर

अंकगणितीय वर्गमूल की अवधारणा को जानें।

व्यंजकों को परिवर्तित करते समय अंकगणितीय वर्गमूल के गुणों को लागू करने में सक्षम हो।

व्यवहारिक समस्याओं को हल करने में किसी फलन के गुणों का उपयोग करने में सक्षम होना।

अपरिमेय और वास्तविक संख्याओं का अंदाजा लगाना।

^ विषय 4 द्विघात समीकरण (21 घंटे)

गणित का खंड। लाइन के माध्यम से

 समीकरण और असमानता

गणित के शैक्षिक क्षेत्र की अनिवार्य न्यूनतम सामग्री

द्विघात समीकरण: द्विघात समीकरण के मूलों का सूत्र।

परिमेय समीकरणों का हल।

द्विघात और भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों का उपयोग करके पाठ समस्याओं को हल करना।

कार्यक्रम। इसके कार्यान्वयन पर नियंत्रण

कार्यक्रम	मात्रा घंटा	नियंत्रण निशान	कंप्यूटर सॉफ्टवेयर पाठ
^ यू-1. नई सामग्री "बुनियादी अवधारणाओं" का पाठ-अध्ययन।	1		डेमो द्विघात समीकरण
यू-2। जो सीखा गया है उसका पाठ-समेकन।	1	मौखिक गिनती	मौखिक गिनती के लिए कार्य। व्यायाम 12 "एक द्विघात समीकरण और उसके मूल"
यू-3। संयुक्त पाठ "द्विघात समीकरण की जड़ों के सूत्र।"	1	स्वतंत्र कार्य 4.1 "द्विघात समीकरण और इसकी जड़ें"
यू-4.5। समस्या समाधान पाठ	2	मौखिक गिनती	मौखिक गिनती के लिए कार्य। व्यायाम 11 "द्विघात समीकरणों को हल करना"
यू -6। पाठ - स्वतंत्र कार्य	1	स्वतंत्र कार्य 4.2 "सूत्र द्वारा द्विघात समीकरणों को हल करना"
यू-7। संयुक्त पाठ "तर्कसंगत समीकरण"	1	व्यावहारिक कार्य
यू-8.9। समस्या समाधान पाठ	2	स्वतंत्र कार्य 4.3 "तर्कसंगत समीकरण"
यू-10.11. व्यावहारिक पाठ "वास्तविक स्थितियों के गणितीय मॉडल के रूप में तर्कसंगत समीकरण"।	2
यू-12। समस्या सुलझाने का पाठ	1
यू-13. पाठ - स्वतंत्र कार्य	1	स्वतंत्र कार्य 4.4 "द्विघात समीकरणों के साथ समस्या हल करना"
अंडर-14. संयुक्त पाठ "द्विघात समीकरण की जड़ों के लिए एक और सूत्र।"	1
अंडर-15. पाठ - समस्या का समाधान	1
अंडर-16। संयुक्त पाठ "विएटा का प्रमेय"।	1		डेमो "विएटा प्रमेय"
अंडर-17। पाठ - समस्या का समाधान	1	मौखिक गिनती	मौखिक गिनती के लिए कार्य। व्यायाम 14 "विएटा का प्रमेय"
अंडर-18। संयुक्त पाठ "तर्कहीन समीकरण"	1
अंडर-19। पाठ - समस्या का समाधान	1
यू-20। समस्या सुलझाने का पाठ	1	टेस्ट 4 "द्विघातीय समीकरण"	सीडी गणित 5-11। आभासी प्रयोगशाला "समीकरणों और असमानताओं के रेखांकन"
यू-21। पाठ - नियंत्रण कार्य।	1	टेस्ट नंबर 6

^ गणितीय तैयारी के लिए आवश्यकताएँ

छात्र के अनिवार्य प्रशिक्षण का स्तर

द्विघात समीकरणों, सरल परिमेय और अपरिमेय समीकरणों को हल करने में सक्षम हो।

समीकरणों का उपयोग करके सरल शब्द समस्याओं को हल करने में सक्षम हो।

छात्र के संभावित प्रशिक्षण का स्तर

• 
  समझें कि समीकरण गणित, ज्ञान के संबंधित क्षेत्रों और अभ्यास से विभिन्न समस्याओं को हल करने के लिए गणितीय उपकरण हैं।
• 
  द्विघात समीकरणों, परिमेय और अपरिमेय समीकरणों को हल करने में सक्षम हों जो द्विघात को कम करते हैं।
• 
  समस्याओं को हल करने में द्विघात समीकरणों और तर्कसंगत समीकरणों को लागू करने में सक्षम हो।

यह पाठ एक बीजीय भिन्न की अवधारणा पर चर्चा करता है। एक व्यक्ति को सबसे सरल जीवन स्थितियों में भिन्न का सामना करना पड़ता है: जब किसी वस्तु को कई भागों में विभाजित करना आवश्यक होता है, उदाहरण के लिए, दस लोगों के लिए समान रूप से केक काटने के लिए। जाहिर है, सभी को केक का एक टुकड़ा मिलेगा। इस मामले में, हम एक संख्यात्मक अंश की अवधारणा के साथ सामना कर रहे हैं, लेकिन एक स्थिति संभव है जब एक वस्तु को अज्ञात संख्या में भागों में विभाजित किया जाता है, उदाहरण के लिए, x द्वारा। इस मामले में, एक भिन्नात्मक अभिव्यक्ति की अवधारणा उत्पन्न होती है। आप पहले से ही पूर्णांक व्यंजकों (चरों के साथ व्यंजकों में विभाजन को शामिल नहीं करते) और ग्रेड 7 में उनके गुणों से परिचित हो चुके हैं। अगला, हम एक परिमेय अंश की अवधारणा पर विचार करेंगे, साथ ही साथ चर के स्वीकार्य मान भी।

विषय:बीजीय अंश। बीजीय भिन्नों पर अंकगणितीय संचालन

पाठ:बुनियादी अवधारणाओं

1. बीजीय भिन्नों की परिभाषा और उदाहरण

परिमेय अभिव्यक्तियों को विभाजित किया गया है पूर्णांक और भिन्नात्मक व्यंजक.

परिभाषा। तर्कसंगत अंशरूप का एक भिन्नात्मक व्यंजक है, जहां बहुपद हैं। - अंश भाजक।

उदाहरण तर्कसंगत अभिव्यक्तियाँ:- भिन्नात्मक भाव; पूर्णांक अभिव्यक्ति हैं। पहली अभिव्यक्ति में, उदाहरण के लिए, अंश है, और हर है।

अर्थ बीजीय भिन्न, जैसें कुछभी बीजगणतीय अभिव्यक्ति, इसमें शामिल चरों के संख्यात्मक मान पर निर्भर करता है। विशेष रूप से, पहले उदाहरण में भिन्न का मान चर के मानों पर और दूसरे में केवल चर के मान पर निर्भर करता है।

2. एक बीजीय भिन्न के मान की गणना और भिन्नों पर दो मूलभूत समस्याएं

पहले विशिष्ट कार्य पर विचार करें: मान की गणना तर्कसंगत अंशइसमें शामिल चर के विभिन्न मूल्यों के लिए।

उदाहरण 1. a), b), c) के लिए भिन्न का मान परिकलित करें।

फेसला। चर के मूल्यों को संकेतित अंश में बदलें: ए), बी), सी) - मौजूद नहीं है (क्योंकि आप शून्य से विभाजित नहीं कर सकते)।

उत्तर: 3; एक; मौजूद नहीं होना।

जैसा कि आप देख सकते हैं, किसी भी भिन्न के लिए दो विशिष्ट समस्याएं हैं: 1) भिन्न की गणना करना, 2) ढूँढना मान्य और अमान्य मानशाब्दिक चर।

परिभाषा। मान्य चर मानवेरिएबल्स के मान हैं जिनके लिए अभिव्यक्ति समझ में आता है। चरों के सभी अनुमेय मानों के समुच्चय को कहते हैं ओडीजेडया कार्यक्षेत्र.

3. अनुमेय (ODZ) और एक चर के साथ भिन्न में चर के अमान्य मान

यदि इन मानों के लिए भिन्न का हर शून्य है, तो शाब्दिक चरों का मान अमान्य हो सकता है। अन्य सभी मामलों में, चर के मान मान्य हैं, क्योंकि अंश की गणना की जा सकती है।

उदाहरण 2. निर्धारित करें कि चर के किन मूल्यों पर अंश का कोई मतलब नहीं है।

फेसला। इस व्यंजक को समझने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि भिन्न का हर शून्य के बराबर न हो। इस प्रकार, चर के केवल वे मान जिनके लिए हर शून्य के बराबर होगा, अमान्य होंगे। भिन्न का हर, इसलिए हम रैखिक समीकरण को हल करते हैं:

इसलिए, चर के मान के लिए भिन्न का कोई अर्थ नहीं है।

उदाहरण के हल से चरों के अमान्य मान ज्ञात करने का नियम इस प्रकार है - भिन्न का हर शून्य के बराबर होता है और संगत समीकरण के मूल मिलते हैं।

आइए कुछ ऐसे ही उदाहरण देखें।

उदाहरण 3. निर्धारित करें कि चर के किन मूल्यों पर अंश का कोई मतलब नहीं है।

फेसला। .

उदाहरण 4. निर्धारित करें कि चर के किन मानों पर भिन्न का कोई अर्थ नहीं है।

फेसला..

इस समस्या के अन्य सूत्र भी हैं - खोजने के लिए कार्यक्षेत्रया मान्य अभिव्यक्ति मानों की श्रेणी (ODZ). इसका मतलब है - चर के सभी मान्य मान खोजें। हमारे उदाहरण में, ये सभी मान हैं सिवाय . परिभाषा के क्षेत्र को संख्यात्मक अक्ष पर आसानी से दर्शाया गया है।

ऐसा करने के लिए, हम उस पर एक बिंदु काट देंगे, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है:

इस प्रकार, भिन्न डोमेन 3 को छोड़कर सभी संख्याएँ होंगी।

उदाहरण 5. निर्धारित करें कि चर के किन मूल्यों पर भिन्न का कोई मतलब नहीं है।

फेसला..

आइए परिणामी समाधान को संख्यात्मक अक्ष पर चित्रित करें:

4. अनुमेय (ODZ) के क्षेत्र का चित्रमय प्रतिनिधित्व और भिन्न में चर के अमान्य मान

उदाहरण 6. निर्धारित करें कि चर के किन मूल्यों पर अंश का कोई मतलब नहीं है।

हल.. हमने दो चरों की समानता प्राप्त की है, हम संख्यात्मक उदाहरण देंगे: या, आदि।

आइए इस समाधान को कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में एक ग्राफ पर प्लॉट करें:

चावल। 3. एक फ़ंक्शन का ग्राफ़।

इस ग्राफ पर स्थित किसी भी बिंदु के निर्देशांक भिन्न के स्वीकार्य मूल्यों के क्षेत्र में शामिल नहीं हैं।

5. "शून्य से भाग" जैसा मामला

विचार किए गए उदाहरणों में, हमें एक ऐसी स्थिति का सामना करना पड़ा जहां शून्य से विभाजन हुआ। अब उस मामले पर विचार करें जहां टाइप डिवीजन के साथ एक और दिलचस्प स्थिति उत्पन्न होती है।

उदाहरण 7. निर्धारित करें कि चर के किन मूल्यों पर अंश का कोई मतलब नहीं है।

फेसला..

यह पता चला है कि अंश का कोई मतलब नहीं है जब । लेकिन यह तर्क दिया जा सकता है कि ऐसा नहीं है, क्योंकि: .

ऐसा प्रतीत हो सकता है कि यदि अंतिम व्यंजक 8 for के बराबर है, तो मूल व्यंजक की भी गणना की जा सकती है, और इसलिए, के लिए समझ में आता है। हालांकि, अगर हम इसे मूल अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें मिलता है - इसका कोई मतलब नहीं है।

इस उदाहरण को और अधिक विस्तार से समझने के लिए, हम निम्नलिखित समस्या को हल करते हैं: किस मान के लिए संकेतित अंश शून्य के बराबर है?

(एक अंश शून्य होता है जब उसका अंश शून्य होता है) . लेकिन मूल समीकरण को भिन्न के साथ हल करना आवश्यक है, और इसका कोई मतलब नहीं है, क्योंकि चर के इस मान के साथ, हर शून्य है। अतः इस समीकरण का केवल एक मूल है।

6. ODZ . खोजने का नियम

इस प्रकार, हम एक भिन्न के स्वीकार्य मानों की सीमा खोजने के लिए सटीक नियम तैयार कर सकते हैं: खोजने के लिए ओडीजेडअंशोंइसके हर को शून्य के बराबर करना और परिणामी समीकरण के मूल ज्ञात करना आवश्यक और पर्याप्त है।

हमने दो मुख्य कार्यों पर विचार किया है: भिन्न के मान की गणनाचर के निर्दिष्ट मूल्यों के लिए और भिन्न के स्वीकार्य मानों का क्षेत्रफल ज्ञात करना.

आइए अब कुछ और समस्याओं पर विचार करें जो भिन्नों के साथ काम करते समय उत्पन्न हो सकती हैं।

7. विविध कार्य और निष्कर्ष

उदाहरण 8. सिद्ध कीजिए कि चर के किसी भी मान के लिए भिन्न ।

प्रमाण। अंश एक धनात्मक संख्या है। . परिणामस्वरूप, अंश और हर दोनों धनात्मक संख्याएँ हैं, इसलिए भिन्न भी एक धनात्मक संख्या है।

सिद्ध किया हुआ।

उदाहरण 9. यह ज्ञात है कि , खोजें ।

फेसला। आइए भिन्न पद को पद से विभाजित करें। इस अंश के लिए चर का अमान्य मान क्या है, इसे ध्यान में रखते हुए, हमें कम करने का अधिकार है।

इस पाठ में, हमने भिन्नों से संबंधित बुनियादी अवधारणाओं को देखा। अगले पाठ में, हम देखेंगे एक अंश की मूल संपत्ति.

ग्रन्थसूची

1. बश्माकोव एम। आई। बीजगणित ग्रेड 8। - एम .: ज्ञानोदय, 2004।

2. डोरोफीव जी.वी., सुवोरोवा एस.बी., बनिमोविच ई.ए. एट अल। बीजगणित 8. - 5 वां संस्करण। - एम .: शिक्षा, 2010।

3. निकोल्स्की एस.एम., पोतापोव एम.ए., रेशेतनिकोव एन.एन., शेवकिन ए.वी. बीजगणित 8 वीं कक्षा। शिक्षण संस्थानों के लिए पाठ्यपुस्तक। - एम .: शिक्षा, 2006।

1. शैक्षणिक विचारों का त्योहार।

2. पुराना स्कूल।

3. इंटरनेट पोर्टल lib2.podelise। रु.

गृहकार्य

1. नंबर 4, 7, 9, 12, 13, 14. डोरोफीव जी.वी., सुवोरोवा एस.बी., बनिमोविच ई.ए. एट अल। बीजगणित 8. - 5 वां संस्करण। - एम .: शिक्षा, 2010।

2. एक परिमेय भिन्न लिखिए, जिसका डोमेन है: a) समुच्चय, b) समुच्चय, c) संपूर्ण संख्यात्मक अक्ष।

3. सिद्ध कीजिए कि चर के सभी स्वीकार्य मानों के लिए भिन्न का मान ऋणात्मक नहीं है।

4. व्यंजक का दायरा ज्ञात कीजिए। संकेत: दो स्थितियों पर अलग-अलग विचार करें: जब निचली भिन्न का हर शून्य के बराबर हो और जब मूल भिन्न का हर शून्य के बराबर हो।

विषय:

पाठ: परिमेय भावों को परिवर्तित करना

1. तर्कसंगत अभिव्यक्ति और इसके सरलीकरण की विधि

आइए पहले हम एक परिमेय व्यंजक की परिभाषा को याद करें।

परिभाषा। तर्कसंगत अभिव्यक्ति- एक बीजीय व्यंजक जिसमें जड़ें नहीं होती हैं और इसमें केवल जोड़, घटाव, गुणा और भाग (घातांक) की संक्रियाएं शामिल होती हैं।

"तर्कसंगत अभिव्यक्ति को रूपांतरित करें" शब्द से हमारा तात्पर्य सबसे पहले इसका सरलीकरण है। और यह हमें ज्ञात क्रियाओं के क्रम में किया जाता है: पहले, कोष्ठक में क्रियाएँ, फिर संख्याओं का गुणनफल(घातांक), संख्याओं का विभाजन, और फिर जोड़ / घटाव का संचालन।

2. भिन्नों के योग/अंतर के साथ परिमेय व्यंजकों का सरलीकरण

आज के पाठ का मुख्य लक्ष्य तर्कसंगत अभिव्यक्तियों को सरल बनाने की अधिक जटिल समस्याओं को हल करने में अनुभव प्राप्त करना होगा।

उदाहरण 1

फेसला।पहले तो ऐसा लग सकता है कि इन भिन्नों को कम किया जा सकता है, क्योंकि भिन्नों के अंशों में व्यंजक उनके संगत हरों के पूर्ण वर्गों के सूत्रों के समान होते हैं। इस मामले में, यह महत्वपूर्ण है कि जल्दी न करें, लेकिन अलग से जांचें कि क्या ऐसा है।

आइए पहले भिन्न के अंश की जाँच करें: . अब दूसरा अंश: .

जैसा कि आप देख सकते हैं, हमारी अपेक्षाएँ उचित नहीं थीं, और अंशों में व्यंजक पूर्ण वर्ग नहीं हैं, क्योंकि उनके पास गुणनफल का दोगुना नहीं है। ऐसे भाव, यदि आपको 7वीं कक्षा का पाठ्यक्रम याद है, तो अपूर्ण वर्ग कहलाते हैं। ऐसे मामलों में आपको बहुत सावधान रहना चाहिए, क्योंकि पूर्ण वर्ग सूत्र को अपूर्ण के साथ भ्रमित करना एक बहुत ही सामान्य गलती है, और ऐसे उदाहरण छात्र की चौकसी का परीक्षण करते हैं।

चूंकि घटाना असंभव है, इसलिए हम भिन्नों का योग करेंगे। हर के पास सामान्य कारक नहीं होते हैं, इसलिए वे सबसे कम सामान्य भाजक प्राप्त करने के लिए बस गुणा करते हैं, और प्रत्येक अंश के लिए अतिरिक्त कारक दूसरे अंश का हर होता है।

बेशक, आप कोष्ठक खोल सकते हैं और फिर समान शब्द ला सकते हैं, हालांकि, इस मामले में, आप कम प्रयास के साथ प्राप्त कर सकते हैं और अंश में नोटिस कर सकते हैं, पहला शब्द क्यूब्स के योग के लिए सूत्र है, और दूसरा इसके लिए है क्यूब्स का अंतर। सुविधा के लिए, हम इन सूत्रों को सामान्य रूप में याद करते हैं:

हमारे मामले में, अंश में व्यंजकों को इस प्रकार मोड़ा जाता है:

, दूसरी अभिव्यक्ति समान है। हमारे पास है:

जवाब।.

उदाहरण 2तर्कसंगत अभिव्यक्ति को सरल बनाएं .

फेसला।यह उदाहरण पिछले एक के समान है, लेकिन यह तुरंत स्पष्ट है कि अंशों के अंशों में अपूर्ण वर्ग हैं, इसलिए समाधान के प्रारंभिक चरण में कमी असंभव है। पिछले उदाहरण के समान, हम भिन्न जोड़ते हैं:

यहां हमने, ऊपर बताई गई विधि के समान, घनों के योग और अंतर के सूत्रों के अनुसार भावों को देखा और संक्षिप्त किया।

जवाब।.

उदाहरण 3तर्कसंगत अभिव्यक्ति को सरल बनाएं।

फेसला।आप देख सकते हैं कि घन सूत्र के योग के अनुसार दूसरी भिन्न का हर गुणनखंडों में विघटित होता है। जैसा कि हम पहले से ही जानते हैं, भिन्नों के सबसे कम सामान्य भाजक को खोजने के लिए फैक्टरिंग हर उपयोगी है।

आइए भिन्नों के सबसे छोटे आम ​​भाजक को इंगित करें, यह इसके बराबर है: 23332/d6838ff258e40dc138ebee9552f3b9fb.png" width="624" height="70">.!}

जवाब।

3. जटिल "बहु-मंजिला" भिन्नों के साथ परिमेय व्यंजकों का सरलीकरण

"बहु-मंजिला" अंशों के साथ एक अधिक जटिल उदाहरण पर विचार करें।

उदाहरण 4पहचान साबित करें" width="402" height="55">. Доказано при всех допустимых значениях переменной.!}

सिद्ध किया हुआ।

अगले पाठ में, हम परिमेय व्यंजकों को रूपांतरित करने के अधिक जटिल उदाहरणों पर करीब से नज़र डालेंगे।

विषय: बीजीय अंश। बीजीय भिन्नों पर अंकगणितीय संचालन

पाठ: अधिक जटिल तर्कसंगत अभिव्यक्तियों को परिवर्तित करना

1. तर्कसंगत अभिव्यक्तियों के परिवर्तनों का उपयोग करके एक पहचान साबित करने का एक उदाहरण

इस पाठ में, हम अधिक जटिल परिमेय व्यंजकों के परिवर्तन को देखेंगे। पहला उदाहरण पहचान के प्रमाण के लिए समर्पित होगा।

उदाहरण 1

पहचान साबित करें:।

प्रमाण:

सबसे पहले, तर्कसंगत अभिव्यक्तियों को परिवर्तित करते समय, क्रियाओं के क्रम को निर्धारित करना आवश्यक है। याद रखें कि कोष्ठक में संक्रिया पहले की जाती है, फिर गुणा और भाग, और फिर जोड़ और घटाव। इसलिए, इस उदाहरण में, प्रक्रिया इस प्रकार होगी: पहले, पहले कोष्ठक में क्रिया करें, फिर दूसरे कोष्ठक में, फिर परिणामों को विभाजित करें, और फिर परिणामी व्यंजक में एक अंश जोड़ें। इन क्रियाओं के परिणामस्वरूप, साथ ही सरलीकरण, एक अभिव्यक्ति प्राप्त की जानी चाहिए।

№ पी/पी	सामग्री तत्व	करने में सक्षम होसमस्याओं और स्थितियों को हल करें	सी-9
26	एक नकारात्मक पूर्णांक घातांक के साथ शक्ति	एक प्राकृतिक घातांक वाला घातांक, एक ऋणात्मक घातांक वाला घातांक, एक संख्या का गुणन, भाग और घातांक	पासएक प्राकृतिक घातांक के साथ डिग्री का प्रतिनिधित्व, एक नकारात्मक घातांक के साथ डिग्री, गुणा, भाग और एक संख्या का घातांक करने में सक्षम हो: - एक नकारात्मक घातांक और डिग्री के गुणों के साथ डिग्री की परिभाषा का उपयोग करके अभिव्यक्तियों को सरल बनाएं; - एक वैज्ञानिक शैली का पाठ लिखें	रों-10
29	परीक्षा संख्या 2 "तर्कसंगत अभिव्यक्तियों का परिवर्तन"		करने में सक्षम होस्वतंत्र रूप से तर्कसंगत अभिव्यक्तियों को बदलने का एक तर्कसंगत तरीका चुनना, पहचान साबित करना, तर्कसंगत समीकरणों को हर से मुक्त करके हल करना, वास्तविक स्थिति का गणितीय मॉडल बनाना	के.आर. #2

ऑफ़सेट के लिए प्रश्न

• 
  भिन्न का मुख्य गुण सूत्र बनाइए।
• 
  तैयार
  1. 
     एक बीजीय अंश के लिए एक अतिरिक्त कारक खोजने के लिए एल्गोरिदम।
  2. 
     समान हर वाले बीजीय भिन्नों को जोड़ने और घटाने के नियम।
  3. 
     कई भिन्नों के सामान्य भाजक को खोजने के लिए एल्गोरिदम
  4. 
     विभिन्न हरों के साथ बीजीय भिन्नों के योग (घटाव) का नियम।
  5. 
     बीजीय भिन्नों के लिए गुणन नियम
  6. 
     बीजीय भिन्नों को विभाजित करने का नियम।
  7. 
     बीजीय भिन्न को घात तक बढ़ाने का नियम।

इस पाठ में, हम बीजीय भिन्नों के साथ सरलतम संक्रियाओं पर विचार करना जारी रखेंगे - उनका जोड़ और घटाव। आज हम उन उदाहरणों पर विचार करने पर ध्यान केंद्रित करेंगे जिनमें समाधान का सबसे महत्वपूर्ण हिस्सा हर को उन सभी तरह से कारकों में विभाजित करना होगा जिन्हें हम जानते हैं: एक सामान्य कारक को हटाने के साथ, समूहन विधि, पूर्ण वर्ग का चयन, का उपयोग करना कम गुणन सूत्र। पाठ के दौरान, भिन्नों पर काफी जटिल समस्याओं पर विचार किया जाएगा।

विषय:बीजीय अंश। बीजीय भिन्नों पर अंकगणितीय संचालन

पाठ:भिन्नों के जोड़ और घटाव की समस्या

पाठ में, हम भिन्नों को जोड़ने और घटाने के सभी मामलों पर विचार करेंगे और उनका सामान्यीकरण करेंगे: समान और अलग-अलग हरों के साथ। सामान्य तौर पर, हम फॉर्म की समस्याओं को हल करेंगे:

हम पहले ही देख चुके हैं कि बीजीय भिन्नों को जोड़ते या घटाते समय, सबसे महत्वपूर्ण संक्रियाओं में से एक भाजक का गुणनखंड करना है। साधारण भिन्नों के मामले में भी इसी तरह की प्रक्रिया की जाती है। एक बार फिर, हम याद करते हैं कि कैसे साधारण भिन्नों के साथ कार्य करना आवश्यक है।

उदाहरण 1गणना करें।

फेसला।हम पहले की तरह, अंकगणित के मुख्य प्रमेय का उपयोग करते हैं कि किसी भी संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित किया जा सकता है: .

आइए हर के सबसे छोटे सामान्य गुणकों को निर्धारित करें: - यह भिन्नों का सामान्य हर होगा, और इसके आधार पर, हम प्रत्येक भिन्न के लिए अतिरिक्त कारक निर्धारित करेंगे: पहले अंश के लिए , दूसरे अंश के लिए , तीसरे अंश के लिए।

जवाब।.

इस उदाहरण में, हमने संख्याओं के गुणनखंड करने के लिए अंकगणित के मूल प्रमेय का उपयोग किया। इसके अलावा, जब बहुपद हर के रूप में कार्य करते हैं, तो उन्हें हमें ज्ञात निम्नलिखित विधियों द्वारा फैक्टर करने की आवश्यकता होगी: एक सामान्य कारक निकालना, समूहन विधि, पूर्ण वर्ग को हाइलाइट करना, संक्षिप्त गुणन सूत्रों का उपयोग करना।

उदाहरण 2भिन्नों को जोड़ें और घटाएं .

फेसला।तीनों भिन्नों के हर जटिल व्यंजक हैं जिनका गुणनखंड किया जाना चाहिए, फिर उनके लिए सबसे छोटा उभयनिष्ठ भाजक खोजें और प्रत्येक भिन्न के लिए अतिरिक्त गुणनखंडों को इंगित करें। आइए इन सभी चरणों को अलग-अलग करें, और फिर परिणामों को मूल व्यंजक में बदलें।

पहले हर में हम उभयनिष्ठ गुणनखंड निकालते हैं: - उभयनिष्ठ गुणनखंड निकालने के बाद, आप देख सकते हैं कि कोष्ठक में व्यंजक योग वर्ग सूत्र के अनुसार ढह जाता है।

दूसरे हर में हम उभयनिष्ठ गुणनखंड निकालते हैं: - उभयनिष्ठ गुणनखंड निकालने के बाद, हम वर्गों के अंतर का सूत्र लागू करते हैं।

तीसरे हर में हम उभयनिष्ठ गुणनखंड निकालते हैं: .

तीसरे हर को फ़ैक्टर करने के बाद, आप देख सकते हैं कि दूसरे हर में आप भिन्नों के सबसे कम सामान्य हर के लिए अधिक सुविधाजनक खोज के लिए एक कारक का चयन कर सकते हैं, हम माइनस को कोष्ठक से बाहर रखकर ऐसा करेंगे, दूसरे ब्रैकेट में हमने अदला-बदली की संकेतन के अधिक सुविधाजनक रूप के लिए शर्तें।

आइए भिन्नों के कम से कम सामान्य भाजक को एक ऐसे व्यंजक के रूप में परिभाषित करें जिसे सभी हरों द्वारा एक ही समय में विभाजित किया जाता है, यह इसके बराबर होगा:।

हम अतिरिक्त कारकों को इंगित करते हैं: पहले अंश के लिए , दूसरे अंश के लिए - हर में निकाले गए ऋण को ध्यान में नहीं रखा जाता है, क्योंकि हम इसे तीसरे भिन्न के लिए पूर्ण भिन्न में लिखते हैं .

अब हम भिन्नों के साथ क्रिया करते हैं, दूसरे अंश से पहले चिन्ह को बदलना याद रखते हुए:

समाधान के अंतिम चरण में, हम समान शब्द लाए और उन्हें चर के लिए शक्तियों के अवरोही क्रम में लिखा।

जवाब।.

उपरोक्त उदाहरण में, हमने एक बार फिर, पिछले पाठों की तरह, अंशों को जोड़ने / घटाने के लिए एल्गोरिथ्म का प्रदर्शन किया, जो इस प्रकार है: भिन्नों के हर को गुणनखंड करें, सबसे कम सामान्य भाजक खोजें, अतिरिक्त कारक, जोड़ / घटाव प्रक्रिया करें और , यदि संभव हो तो, अभिव्यक्ति को सरल बनाएं और कम करें। हम इस एल्गोरिथम का उपयोग निम्नलिखित में करेंगे। आइए अब सरल उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण 3भिन्न घटाना .

फेसला।इस उदाहरण में, पहली भिन्न को दूसरी भिन्न के साथ एक सामान्य हर में लाने से पहले कम करने की संभावना को देखना महत्वपूर्ण है। ऐसा करने के लिए, हम पहले अंश के अंश और हर को कारकों में विघटित करते हैं।

अंश:- पहले चरण में व्यंजक के एक भाग को वर्गों के अंतर के सूत्र के अनुसार विघटित किया गया और दूसरे चरण में उभयनिष्ठ गुणनखंड को निकाल दिया गया।

भाजक :- पहले चरण में व्यंजक का एक भाग विभव के वर्ग के सूत्र के अनुसार विघटित किया गया और दूसरे चरण में उभयनिष्ठ गुणनखण्ड निकाला गया। परिणामी अंश और हर को मूल व्यंजक में रखें और पहले भिन्न को एक उभयनिष्ठ गुणनखंड से घटाएं:

जवाब:.

उदाहरण 4क्रियाएँ निष्पादित करें .

फेसला।इस उदाहरण में, साथ ही पिछले एक में, क्रियाओं को करने से पहले अंश की कमी को नोटिस करना और लागू करना महत्वपूर्ण है। आइए अंश और हर का गुणनखंड करें।