परिमेय संख्याओं का विषय काफी व्यापक है। आप इसके बारे में अंतहीन बात कर सकते हैं और हर बार नए चिप्स से आश्चर्यचकित होकर पूरी रचनाएँ लिख सकते हैं।

भविष्य में गलतियों से बचने के लिए, इस पाठ में हम परिमेय संख्याओं के विषय में थोड़ा तल्लीन करेंगे, इससे आवश्यक जानकारी प्राप्त करेंगे और आगे बढ़ेंगे।

पाठ सामग्री

एक परिमेय संख्या क्या है

एक परिमेय संख्या एक संख्या है जिसे भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है, जहाँ ए -एक भिन्न का अंश है बीभिन्न का भाजक है। और बीशून्य नहीं होना चाहिए, क्योंकि शून्य से विभाजन की अनुमति नहीं है।

परिमेय संख्याओं में संख्याओं की निम्नलिखित श्रेणियां शामिल हैं:

• पूर्णांक (उदाहरण के लिए -2, -1, 0 1, 2, आदि)

• दशमलव अंश (उदाहरण के लिए 0.2 आदि)

• अनंत आवर्त भिन्न (उदाहरण के लिए, 0, (3), आदि)

इस श्रेणी की प्रत्येक संख्या को भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है।

उदाहरण 1पूर्णांक 2 को भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है। तो संख्या 2 न केवल पूर्णांकों पर लागू होती है, बल्कि परिमेय संख्याओं पर भी लागू होती है।

उदाहरण 2मिश्रित संख्या को भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है। यह भिन्न मिश्रित संख्या को अनुचित भिन्न में परिवर्तित करके प्राप्त की जाती है।

अतः मिश्रित संख्या एक परिमेय संख्या होती है।

उदाहरण 3दशमलव 0.2 को भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है। यह भिन्न दशमलव भिन्न 0.2 को साधारण भिन्न में परिवर्तित करके प्राप्त किया गया था। यदि आपको इस समय कठिनाई हो रही है, तो विषय को दोहराएं।

चूँकि दशमलव भिन्न 0.2 को भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है, इसका अर्थ है कि यह परिमेय संख्याओं पर भी लागू होता है।

उदाहरण 4अनंत आवर्त भिन्न 0, (3) को भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है। यह भिन्न एक शुद्ध आवर्त भिन्न को साधारण भिन्न में परिवर्तित करके प्राप्त की जाती है। यदि आपको इस समय कठिनाई हो रही है, तो विषय को दोहराएं।

चूँकि अनंत आवर्त भिन्न 0, (3) को भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है, इसका अर्थ है कि यह भी परिमेय संख्याओं से संबंधित है।

भविष्य में, सभी संख्याएँ जिन्हें भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है, हम उत्तरोत्तर एक वाक्यांश कहेंगे - परिमेय संख्या.

निर्देशांक रेखा पर परिमेय संख्याएं

जब हमने ऋणात्मक संख्याओं का अध्ययन किया तो हमने निर्देशांक रेखा पर विचार किया। याद रखें कि यह एक सीधी रेखा है जिस पर कई बिंदु स्थित हैं। निम्नलिखित नुसार:

यह आंकड़ा -5 से 5 तक समन्वय रेखा का एक छोटा सा टुकड़ा दिखाता है।

निर्देशांक रेखा पर प्रपत्र 2, 0, -3 के पूर्णांकों को अंकित करना कठिन नहीं है।

बाकी संख्याओं के साथ चीजें बहुत अधिक दिलचस्प हैं: साधारण अंशों, मिश्रित संख्याओं, दशमलव अंशों आदि के साथ। ये संख्याएँ पूर्णांकों के बीच में होती हैं और इनमें से अपरिमित रूप से अनेक संख्याएँ होती हैं।

उदाहरण के लिए, आइए निर्देशांक रेखा पर एक परिमेय संख्या अंकित करें। यह संख्या बिल्कुल शून्य और एक के बीच है।

आइए यह समझने की कोशिश करें कि भिन्न अचानक शून्य और एक के बीच क्यों स्थित होता है।

जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, पूर्णांकों के बीच अन्य संख्याएँ होती हैं - साधारण भिन्न, दशमलव भिन्न, मिश्रित संख्याएँ, आदि। उदाहरण के लिए, यदि आप निर्देशांक रेखा के खंड को 0 से बढ़ाकर 1 कर देते हैं, तो आप निम्न चित्र देख सकते हैं

यह देखा जा सकता है कि पूर्णांक 0 और 1 के बीच पहले से ही अन्य परिमेय संख्याएँ हैं, जो दशमलव भिन्न हैं जिनसे हम परिचित हैं। यहाँ हमारा भिन्न भी दिखाई देता है, जो दशमलव भिन्न 0.5 के समान स्थान पर स्थित होता है। इस आकृति की सावधानीपूर्वक जांच इस प्रश्न का उत्तर देती है कि भिन्न ठीक वहीं स्थित क्यों है।

भिन्न का अर्थ है 1 को 2 से भाग देना। और यदि हम 1 को 2 से भाग दें, तो हमें 0.5 . प्राप्त होता है

दशमलव अंश 0.5 को अन्य भिन्नों के रूप में प्रच्छन्न किया जा सकता है। किसी भिन्न के मूल गुण से हम जानते हैं कि यदि किसी भिन्न के अंश और हर को एक ही संख्या से गुणा या भाग किया जाए, तो भिन्न का मान नहीं बदलेगा।

यदि किसी भिन्न के अंश और हर को किसी संख्या से गुणा किया जाए, उदाहरण के लिए संख्या 4 से, तो हमें एक नई भिन्न प्राप्त होती है, और यह भिन्न भी 0.5 के बराबर होती है।

इसका अर्थ है कि निर्देशांक रेखा पर भिन्न को उसी स्थान पर रखा जा सकता है जहाँ भिन्न स्थित था

उदाहरण 2आइए निर्देशांक पर एक परिमेय संख्या अंकित करने का प्रयास करें। यह संख्या 1 और 2 . के ठीक बीच में स्थित है

भिन्न का मान 1.5 . है

यदि हम निर्देशांक रेखा के खंड को 1 से बढ़ाकर 2 कर दें, तो हमें निम्न चित्र दिखाई देगा:

यह देखा जा सकता है कि पूर्णांक 1 और 2 के बीच पहले से ही अन्य परिमेय संख्याएँ हैं, जो दशमलव भिन्न हैं जिनसे हम परिचित हैं। यहाँ हमारा भिन्न भी दिखाई देता है, जो दशमलव भिन्न 1.5 के समान स्थान पर स्थित होता है।

इस खंड पर शेष संख्याओं को देखने के लिए हमने समन्वय रेखा पर कुछ खंडों को बढ़ाया है। नतीजतन, हमें दशमलव अंश मिले जिनमें दशमलव बिंदु के बाद एक अंक था।

लेकिन इन खंडों पर पड़े ये एकमात्र नंबर नहीं थे। निर्देशांक रेखा पर अपरिमित रूप से बहुत सी संख्याएँ होती हैं।

यह अनुमान लगाना आसान है कि दशमलव बिंदु के बाद एक अंक वाले दशमलव अंशों के बीच पहले से ही अन्य दशमलव अंश हैं जिनमें दशमलव बिंदु के बाद दो अंक हैं। दूसरे शब्दों में, एक खंड का सौवां हिस्सा।

उदाहरण के लिए, आइए दशमलव भिन्नों 0.1 और 0.2 . के बीच स्थित संख्याओं को देखने का प्रयास करें

एक और उदाहरण। दशमलव बिंदु के बाद दो अंक वाले और शून्य और परिमेय संख्या 0.1 के बीच स्थित दशमलव इस तरह दिखते हैं:

उदाहरण 3हम निर्देशांक रेखा पर एक परिमेय संख्या अंकित करते हैं। यह परिमेय संख्या शून्य के बहुत करीब होगी।

भिन्न का मान 0.02 . है

यदि हम खंड को 0 से बढ़ाकर 0.1 कर दें, तो हम देखेंगे कि वास्तव में परिमेय संख्या कहाँ स्थित है

यह देखा जा सकता है कि हमारी परिमेय संख्या दशमलव भिन्न 0.02 के स्थान पर स्थित है।

उदाहरण 4आइए निर्देशांक रेखा पर एक परिमेय संख्या 0 अंकित करें, (3)

परिमेय संख्या 0, (3) एक अनंत आवर्त भिन्न है। इसका भिन्नात्मक भाग कभी समाप्त नहीं होता, यह अनंत है

और चूंकि संख्या 0, (3) में एक अनंत भिन्नात्मक भाग होता है, इसका मतलब है कि हम निर्देशांक रेखा पर सटीक स्थान नहीं खोज पाएंगे जहाँ यह संख्या स्थित है। हम केवल इस स्थान को लगभग इंगित कर सकते हैं।

परिमेय संख्या 0.33333... सामान्य दशमलव 0.3 . के बहुत करीब होगी

यह आंकड़ा 0,(3) की सही स्थिति नहीं दिखाता है। यह सिर्फ एक उदाहरण है जो दर्शाता है कि आवधिक भिन्न 0.(3) नियमित दशमलव 0.3 के कितना करीब हो सकता है।

उदाहरण 5हम निर्देशांक रेखा पर एक परिमेय संख्या अंकित करते हैं। यह परिमेय संख्या संख्या 2 और 3 . के मध्य में स्थित होगी

यह 2 (दो पूर्णांक) और (एक सेकंड) है। एक अंश को "आधा" भी कहा जाता है। इसलिए, हमने समन्वय रेखा पर दो पूरे खंड और खंड के दूसरे आधे हिस्से को चिह्नित किया।

यदि हम एक मिश्रित संख्या को एक अनुचित भिन्न में अनुवाद करते हैं, तो हमें एक साधारण भिन्न प्राप्त होती है। निर्देशांक रेखा पर यह भिन्न भिन्न के समान स्थान पर स्थित होगी

भिन्न का मान 2.5 . है

यदि हम निर्देशांक रेखा के खंड को 2 से बढ़ाकर 3 कर दें, तो हमें निम्न चित्र दिखाई देगा:

यह देखा जा सकता है कि हमारी परिमेय संख्या दशमलव भिन्न 2.5 . के स्थान पर स्थित है

एक परिमेय संख्या से पहले माइनस

पिछले पाठ में, जिसे कहा गया था, हमने सीखा कि पूर्णांकों को कैसे विभाजित किया जाता है। लाभांश और भाजक धनात्मक और ऋणात्मक दोनों संख्याएँ हो सकती हैं।

सबसे सरल अभिव्यक्ति पर विचार करें

(−6) : 2 = −3

इस व्यंजक में, लाभांश (−6) एक ऋणात्मक संख्या है।

अब दूसरी अभिव्यक्ति पर विचार करें

6: (−2) = −3

यहाँ भाजक (−2) पहले से ही एक ऋणात्मक संख्या है। लेकिन दोनों ही स्थितियों में हमें एक ही उत्तर-3 मिलता है।

यह देखते हुए कि किसी भी भाग को भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है, हम ऊपर वर्णित उदाहरणों को भिन्न के रूप में भी लिख सकते हैं:

और चूँकि दोनों ही स्थितियों में भिन्न का मान समान होता है, अंश या हर में खड़े होने वाले ऋण को भिन्न के सामने रखकर सामान्य बनाया जा सकता है

इसलिए, व्यंजकों और और के बीच आप एक समान चिह्न लगा सकते हैं, क्योंकि उनका मान समान होता है

भविष्य में, भिन्नों के साथ कार्य करते हुए, यदि हम अंश या हर में ऋणात्मक पाते हैं, तो हम भिन्न के सामने रखकर इस ऋण को सामान्य बना देंगे।

परिमेय संख्याओं के विपरीत

एक पूर्णांक की तरह, एक परिमेय संख्या की विपरीत संख्या होती है।

उदाहरण के लिए, एक परिमेय संख्या के लिए, विपरीत संख्या है। यह मूल के सापेक्ष स्थान के सममित रूप से समन्वय रेखा पर स्थित है। दूसरे शब्दों में, ये दोनों संख्याएँ मूल से समान दूरी पर हैं

मिश्रित संख्याओं को अनुचित भिन्नों में बदलें

हम जानते हैं कि मिश्रित संख्या को अनुचित भिन्न में बदलने के लिए, आपको पूर्णांक भाग को भिन्नात्मक भाग के हर से गुणा करना होगा और भिन्नात्मक भाग के अंश में जोड़ना होगा। परिणामी संख्या नई भिन्न का अंश होगी, जबकि हर वही रहेगा।

उदाहरण के लिए, आइए मिश्रित संख्या को अनुचित भिन्न में बदलें

भिन्नात्मक भाग के हर से पूर्णांक भाग को गुणा करें और भिन्नात्मक भाग का अंश जोड़ें:

आइए इस अभिव्यक्ति की गणना करें:

(2 × 2) + 1 = 4 + 1 = 5

परिणामी संख्या 5 नई भिन्न का अंश होगी, और हर वही रहेगा:

पूरी प्रक्रिया इस प्रकार लिखी गई है:

मूल मिश्रित संख्या को वापस करने के लिए, अंश में पूर्णांक भाग का चयन करना पर्याप्त है

लेकिन मिश्रित संख्या को अनुचित भिन्न में बदलने का यह तरीका केवल तभी लागू होता है जब मिश्रित संख्या धनात्मक हो। ऋणात्मक संख्या के लिए, यह विधि काम नहीं करेगी।

आइए एक अंश पर विचार करें। आइए इस भिन्न का पूर्णांक भाग लें। पाना

मूल भिन्न को वापस करने के लिए, आपको मिश्रित संख्या को अनुचित भिन्न में बदलना होगा। लेकिन अगर हम पुराने नियम का उपयोग करते हैं, अर्थात्, हम पूर्णांक भाग को भिन्नात्मक भाग के हर से गुणा करते हैं और भिन्नात्मक भाग के अंश को परिणामी संख्या में जोड़ते हैं, तो हमें निम्नलिखित विरोधाभास मिलता है:

हमें एक अंश मिला, लेकिन हमें एक अंश मिलना चाहिए था।

हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि मिश्रित संख्या का गलत तरीके से अनुचित अंश में अनुवाद किया गया था

एक नकारात्मक मिश्रित संख्या को एक अनुचित अंश में सही ढंग से अनुवाद करने के लिए, आपको पूर्णांक भाग को भिन्नात्मक भाग के हर से गुणा करना होगा, और परिणामी संख्या से घटानाभिन्नात्मक अंश। इस मामले में, सब कुछ ठीक हो जाएगा

एक ऋणात्मक मिश्रित संख्या मिश्रित संख्या के विपरीत होती है। यदि धनात्मक मिश्रित संख्या दाईं ओर स्थित है और इस तरह दिखती है

जैसा कि हमने देखा, प्राकृत संख्याओं का समुच्चय

जोड़ और गुणा के तहत बंद है, और पूर्णांकों का सेट

जोड़, गुणा और घटाव के तहत बंद। हालांकि, इनमें से कोई भी सेट विभाजन के तहत बंद नहीं है, क्योंकि पूर्णांकों के विभाजन से भिन्न हो सकते हैं, जैसा कि 4/3, 7/6, -2/5, और इसी तरह के मामलों में होता है। ऐसे सभी भिन्नों का समुच्चय परिमेय संख्याओं का समुच्चय बनाता है। इस प्रकार, एक परिमेय संख्या (परिमेय भिन्न) एक ऐसी संख्या है जिसे इस रूप में दर्शाया जा सकता है, जहाँ a और d पूर्णांक हैं, और d शून्य के बराबर नहीं है। आइए इस परिभाषा के बारे में कुछ टिप्पणी करें।

1) हम चाहते थे कि d शून्य से भिन्न हो। यह आवश्यकता (गणितीय रूप से असमानता के रूप में लिखी गई) आवश्यक है क्योंकि यहाँ d एक भाजक है। निम्नलिखित उदाहरणों पर विचार करें:

मामला एक। ।

केस 2.

स्थिति 1 में, d पिछले अध्याय के अर्थ में एक भाजक है, अर्थात, 7 21 का एक सटीक भाजक है। स्थिति 2 में, d अभी भी एक भाजक है, लेकिन एक अलग अर्थ में, क्योंकि 7 एक सटीक भाजक नहीं है 25.

यदि 25 को एक विभाज्य और 7 को एक भाजक कहा जाता है, तो हमें भागफल 3 और शेष 4 प्राप्त होता है। इसलिए, भाजक शब्द यहाँ अधिक सामान्य अर्थों में प्रयोग किया जाता है और ch की तुलना में अधिक मामलों पर लागू होता है। I. हालांकि, केस 1 जैसे मामलों में, Ch में एक भाजक की अवधारणा पेश की गई। मैं; इसलिए यह आवश्यक है, जैसा कि अध्याय में है। I, संभावना d = 0 को बाहर करें।

2) ध्यान दें कि, जबकि व्यंजक परिमेय संख्या और परिमेय भिन्न पर्यायवाची हैं, अंश शब्द का प्रयोग किसी भी बीजीय व्यंजक के संदर्भ में किया जाता है जिसमें अंश और हर होता है, जैसे, उदाहरण के लिए,

3) एक परिमेय संख्या की परिभाषा में अभिव्यक्ति "एक संख्या शामिल है जिसे इस रूप में दर्शाया जा सकता है, जहां ए और डी पूर्णांक हैं और। इसे अभिव्यक्ति द्वारा प्रतिस्थापित क्यों नहीं किया जा सकता है "ऐसे कई रूप जहां ए और डी पूर्णांक हैं और इसका कारण यह तथ्य है कि एक ही अंश को व्यक्त करने के लिए असीम रूप से कई तरीके हैं (उदाहरण के लिए, 2/3 भी हो सकते हैं) 4/6, 6/9, या या 213/33, या आदि के रूप में लिखा जा सकता है), और यह हमारे लिए वांछनीय है कि एक परिमेय संख्या की हमारी परिभाषा इसे व्यक्त करने के किसी विशेष तरीके पर निर्भर नहीं करती है।

एक भिन्न को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है कि अंश और हर को एक ही संख्या से गुणा करने पर उसका मान नहीं बदलता है। हालांकि, किसी दिए गए भिन्न को देखकर यह बताना हमेशा संभव नहीं होता है कि यह परिमेय है या नहीं। उदाहरण के लिए, संख्याओं पर विचार करें

हमारे द्वारा चुने गए अंकन में उनमें से किसी का भी रूप नहीं है, जहाँ a और d पूर्णांक हैं।

हालाँकि, हम पहले भिन्न पर अंकगणितीय परिवर्तनों की एक श्रृंखला कर सकते हैं और प्राप्त कर सकते हैं

इस प्रकार, हम मूल भिन्न के बराबर भिन्न पर पहुँचते हैं जिसके लिए . संख्या इसलिए परिमेय है, लेकिन यह तर्कसंगत नहीं होगा यदि एक परिमेय संख्या की परिभाषा के लिए आवश्यक है कि संख्या a/b के रूप की हो, जहां a और b पूर्णांक हों। रूपांतरण अंश के मामले में

एक संख्या के लिए नेतृत्व। बाद के अध्यायों में, हम सीखेंगे कि एक संख्या को दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है, और इसलिए यह परिमेय नहीं है, या इसे अपरिमेय कहा जाता है।

4) ध्यान दें कि प्रत्येक पूर्णांक परिमेय होता है। जैसा कि हमने अभी देखा है, यह संख्या 2 के मामले में सच है। मनमानी पूर्णांकों के सामान्य मामले में, व्यक्ति समान रूप से उनमें से प्रत्येक को 1 के बराबर एक हर निर्दिष्ट कर सकता है और तर्कसंगत अंशों के रूप में उनका प्रतिनिधित्व प्राप्त कर सकता है।

हाई स्कूल के छात्रों और गणितीय विशिष्टताओं के छात्रों द्वारा इस प्रश्न का उत्तर आसानी से देने की संभावना है। लेकिन जो लोग पेशे से इससे दूर हैं उनके लिए यह और भी मुश्किल होगा। यह वास्तव में क्या है?

सार और पदनाम

परिमेय संख्याएँ वे हैं जिन्हें भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है। इस सेट में सकारात्मक, नकारात्मक और साथ ही शून्य भी शामिल हैं। भिन्न का अंश एक पूर्णांक होना चाहिए, और हर का होना चाहिए

इस समुच्चय को गणित में Q के रूप में निरूपित किया जाता है और इसे "परिमेय संख्याओं का क्षेत्र" कहा जाता है। इसमें सभी पूर्णांक और प्राकृतिक संख्याएँ शामिल हैं, जिन्हें क्रमशः Z और N के रूप में दर्शाया गया है। सेट Q स्वयं सेट R में शामिल है। यह वह अक्षर है जो तथाकथित वास्तविक को दर्शाता है या

प्रदर्शन

जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, परिमेय संख्याएँ एक समुच्चय है जिसमें सभी पूर्णांक और भिन्नात्मक मान शामिल होते हैं। उन्हें विभिन्न रूपों में प्रस्तुत किया जा सकता है। सबसे पहले, एक साधारण अंश के रूप में: 5/7, 1/5, 11/15, आदि। बेशक, पूर्णांकों को भी इसी रूप में लिखा जा सकता है: 6/2, 15/5, 0/1, - 10/2, आदि। दूसरे, एक अन्य प्रकार का प्रतिनिधित्व अंतिम भिन्नात्मक भाग के साथ एक दशमलव अंश है: 0.01, -15.001006, आदि। यह शायद सबसे सामान्य रूपों में से एक है।

लेकिन एक तीसरा भी है - आवधिक अंश। यह प्रकार बहुत आम नहीं है, लेकिन फिर भी इसका उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, भिन्न 10/3 को 3.33333... या 3,(3) के रूप में लिखा जा सकता है। इस मामले में, अलग-अलग अभ्यावेदन को समान संख्या माना जाएगा। समान भिन्नों को भी कहा जाएगा, उदाहरण के लिए, 3/5 और 6/10। ऐसा लगता है कि यह स्पष्ट हो गया है कि परिमेय संख्याएँ क्या हैं। लेकिन उनके लिए इस शब्द का प्रयोग क्यों किया जाता है?

नाम की उत्पत्ति

आधुनिक रूसी में "तर्कसंगत" शब्द का आम तौर पर थोड़ा अलग अर्थ होता है। यह बल्कि "उचित", "माना जाता है" है। लेकिन गणितीय शब्द इसके प्रत्यक्ष अर्थ के करीब हैं। लैटिन में, "अनुपात" "अनुपात", "अंश" या "विभाजन" है। इस प्रकार, नाम इस बात का सार दर्शाता है कि परिमेय संख्याएँ क्या हैं। हालांकि, दूसरा अर्थ

सच्चाई से दूर नहीं।

उनके साथ कार्रवाई

गणितीय समस्याओं को हल करते समय, हम स्वयं को जाने बिना परिमेय संख्याओं का लगातार सामना करते हैं। और उनके पास कई दिलचस्प गुण हैं। वे सभी या तो समुच्चय की परिभाषा से या क्रियाओं से अनुसरण करते हैं।

सबसे पहले, परिमेय संख्याओं में क्रम संबंध गुण होते हैं। इसका मतलब है कि दो संख्याओं के बीच केवल एक अनुपात मौजूद हो सकता है - वे या तो एक दूसरे के बराबर हैं, या एक दूसरे से बड़ा या छोटा है। अर्थात।:

या ए = बीया ए> बीया ए< b.

इसके अलावा, यह संपत्ति संबंध की परिवर्तनशीलता को भी दर्शाती है। यानी अगर एअधिक बी, बीअधिक सी, तब एअधिक सी. गणित की भाषा में, यह इस तरह दिखता है:

(ए> बी) ^ (बी> सी) => (ए> सी)।

दूसरे, परिमेय संख्याओं के साथ अंकगणितीय संक्रियाएँ हैं, जो कि जोड़, घटाव, भाग और निश्चित रूप से गुणा हैं। इसी समय, परिवर्तनों की प्रक्रिया में कई गुणों को भी प्रतिष्ठित किया जा सकता है।

• ए + बी = बी + ए (शब्दों का प्रतिस्थापन, कम्यूटेटिविटी);
• 0 + ए = ए + 0;
• (ए + बी) + सी = ए + (बी + सी) (सहयोगिता);
• ए + (-ए) = 0;
• एबी = बीए;
• (एबी) सी = ए (बीसी) (वितरण);
• ए एक्स 1 = 1 एक्स ए = ए;
• ए एक्स (1 / ए) = 1 (इस मामले में, ए 0 के बराबर नहीं है);
• (ए + बी) सी = एसी + एबी;
• (ए > बी) ^ (सी > 0) => (एसी> बीसी)।

जब सामान्य की बात आती है, और पूर्णांकों की नहीं, तो उनके साथ संचालन कुछ कठिनाइयों का कारण बन सकता है। इसलिए, जोड़ और घटाव तभी संभव है जब हर बराबर हों। यदि वे शुरू में भिन्न हैं, तो आपको कुछ संख्याओं से संपूर्ण भिन्न के गुणन का उपयोग करके एक सामान्य खोजना चाहिए। तुलना भी सबसे अधिक बार तभी संभव है जब यह शर्त पूरी हो।

साधारण भिन्नों का विभाजन और गुणन काफी सरल नियमों के अनुसार किया जाता है। एक सामान्य भाजक को कम करना आवश्यक नहीं है। अंशों और हरों को अलग-अलग गुणा किया जाता है, जबकि क्रिया करने की प्रक्रिया में, यदि संभव हो तो, अंश को जितना संभव हो उतना कम और सरल किया जाना चाहिए।

विभाजन के लिए, यह क्रिया थोड़े अंतर के साथ पहले के समान है। दूसरी भिन्न के लिए, आपको व्युत्क्रम ज्ञात करना चाहिए, अर्थात्,

"इसे हटाओ। इस प्रकार, पहले अंश के अंश को दूसरे के हर से गुणा करना होगा और इसके विपरीत।

अंत में, परिमेय संख्याओं में निहित एक अन्य गुण को आर्किमिडीज का अभिगृहीत कहा जाता है। शब्द "सिद्धांत" भी अक्सर साहित्य में पाया जाता है। यह वास्तविक संख्याओं के पूरे सेट के लिए मान्य है, लेकिन हर जगह नहीं। इस प्रकार, यह सिद्धांत तर्कसंगत कार्यों के कुछ संग्रह के लिए काम नहीं करता है। संक्षेप में, इस स्वयंसिद्ध का अर्थ है कि दो मात्राओं a और b के अस्तित्व को देखते हुए, आप हमेशा b को पार करने के लिए पर्याप्त a ले सकते हैं।

आवेदन क्षेत्र

इसलिए, उन लोगों के लिए जिन्होंने सीखा या याद किया है कि तर्कसंगत संख्याएं क्या हैं, यह स्पष्ट हो जाता है कि उनका उपयोग हर जगह किया जाता है: लेखांकन, अर्थशास्त्र, सांख्यिकी, भौतिकी, रसायन शास्त्र और अन्य विज्ञानों में। स्वाभाविक रूप से, उनका गणित में भी स्थान है। हमेशा यह नहीं जानते कि हम उनके साथ काम कर रहे हैं, हम लगातार परिमेय संख्याओं का उपयोग करते हैं। यहां तक ​​कि छोटे बच्चे भी वस्तुओं को गिनना सीखते हैं, सेब को टुकड़ों में काटते हैं या अन्य सरल क्रियाएं करते हैं, उनका सामना होता है। वे सचमुच हमें घेर लेते हैं। और फिर भी, वे कुछ समस्याओं को हल करने के लिए पर्याप्त नहीं हैं, विशेष रूप से, उदाहरण के रूप में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके, कोई भी अवधारणा को पेश करने की आवश्यकता को समझ सकता है।

परिमेय संख्याओं की परिभाषा

परिमेय संख्याएँ हैं:

• प्राकृतिक संख्याएँ जिन्हें भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, $7=\frac(7)(1)$।
• पूर्णांक, जिसमें संख्या शून्य भी शामिल है, जिसे धनात्मक या ऋणात्मक भिन्नों के रूप में या शून्य के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, $19=\frac(19)(1)$, $-23=-\frac(23)(1)$।
• साधारण अंश (सकारात्मक या नकारात्मक)।
• मिश्रित संख्याएं जिन्हें एक अनुचित सामान्य अंश के रूप में दर्शाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, $3 \frac(11)(13)=\frac(33)(13)$ और $-2 \frac(4)(5)=-\frac(14)(5)$।
• एक परिमित दशमलव और एक अनंत आवर्त भिन्न, जिसे एक उभयनिष्ठ भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, $-7,73=-\frac(773)(100)$, $7,(3)=-7 \frac(1)(3)=-\frac(22)(3)$।

टिप्पणी 1

ध्यान दें कि एक अनंत गैर-आवधिक दशमलव अंश परिमेय संख्याओं पर लागू नहीं होता है, क्योंकि इसे साधारण भिन्न के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है।

उदाहरण 1

प्राकृत संख्याएँ $7, 670, 21 \ 456$ परिमेय हैं।

पूर्णांक $76, -76, 0, -555 \ 666$ परिमेय हैं।

साधारण भिन्न $\frac(7)(11)$, $\frac(555)(4)$, $-\frac(7)(11)$, $-\frac(100)(234)$ परिमेय संख्याएं हैं .

इस प्रकार, परिमेय संख्याओं को धनात्मक और ऋणात्मक में विभाजित किया जाता है। शून्य एक परिमेय संख्या है, लेकिन यह एक धनात्मक या ऋणात्मक परिमेय संख्या नहीं है।

आइए हम परिमेय संख्याओं की एक छोटी परिभाषा तैयार करें।

परिभाषा 3

विवेकीकॉल नंबर जिन्हें एक परिमित या अनंत आवधिक दशमलव अंश के रूप में दर्शाया जा सकता है।

निम्नलिखित निष्कर्ष निकाले जा सकते हैं:

• धनात्मक और ऋणात्मक पूर्णांक और भिन्नात्मक संख्याएँ परिमेय संख्याओं के समुच्चय से संबंधित हैं;
• परिमेय संख्याओं को एक भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है जिसमें एक पूर्णांक अंश और एक प्राकृतिक हर होता है और एक परिमेय संख्या होती है;
• परिमेय संख्याओं को किसी भी आवधिक दशमलव के रूप में दर्शाया जा सकता है जो एक परिमेय संख्या है।

कैसे निर्धारित करें कि कोई संख्या परिमेय है

1. संख्या को एक अंकीय व्यंजक के रूप में दिया जाता है, जिसमें केवल परिमेय संख्याएँ और अंकगणितीय संक्रियाओं के चिह्न होते हैं। इस स्थिति में, व्यंजक का मान एक परिमेय संख्या होगी।
2. किसी प्राकृत संख्या का वर्गमूल एक परिमेय संख्या तभी होती है जब मूल वह संख्या हो जो किसी प्राकृत संख्या का पूर्ण वर्ग हो। उदाहरण के लिए, $\sqrt(9)$ और $\sqrt(121)$ $9=3^2$ और $121=11^2$ के बाद से परिमेय संख्याएं हैं।
3. किसी पूर्णांक का $n$th मूल एक परिमेय संख्या केवल तभी होती है जब मूल चिह्न के नीचे की संख्या किसी पूर्णांक की $n$th घात हो। उदाहरण के लिए, $\sqrt(8)$ एक परिमेय संख्या है, क्योंकि $8=2^3$।

परिमेय संख्याएँ संख्या अक्ष पर हर जगह घनी होती हैं: प्रत्येक दो परिमेय संख्याओं के बीच जो एक दूसरे के बराबर नहीं होती हैं, कम से कम एक परिमेय संख्या स्थित हो सकती है (इसलिए, परिमेय संख्याओं की एक अनंत संख्या)। इसी समय, परिमेय संख्याओं के समुच्चय को एक गणनीय कार्डिनैलिटी की विशेषता होती है (अर्थात, समुच्चय के सभी तत्वों को क्रमांकित किया जा सकता है)। प्राचीन यूनानियों ने साबित किया कि ऐसी संख्याएँ हैं जिन्हें भिन्न के रूप में नहीं लिखा जा सकता है। उन्होंने दिखाया कि ऐसी कोई परिमेय संख्या नहीं है जिसका वर्ग $2$ के बराबर हो। तब सभी मात्राओं को व्यक्त करने के लिए परिमेय संख्याएँ पर्याप्त नहीं थीं, जिसके कारण बाद में वास्तविक संख्याएँ प्रकट हुईं। परिमेय संख्याओं का समुच्चय, वास्तविक संख्याओं के विपरीत, शून्य-विमीय होता है।

परिमेय संख्या

तिमाहियों

1. सुव्यवस्था। एऔर बीएक नियम है जो आपको उनके बीच तीन संबंधों में से एक और केवल एक को विशिष्ट रूप से पहचानने की अनुमति देता है: "< », « >' या '='। इस नियम को कहा जाता है आदेश देने का नियमऔर निम्नानुसार तैयार किया गया है: दो गैर-ऋणात्मक संख्याएं और दो पूर्णांकों के समान संबंध से संबंधित हैं और; दो गैर-सकारात्मक संख्याएं एऔर बीदो गैर-ऋणात्मक संख्याओं के समान संबंध से संबंधित हैं और; अगर अचानक एगैर-नकारात्मक, और बी- नकारात्मक, फिर ए > बी. src="/Pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" बॉर्डर="0">

   

   भिन्नों का योग

2. जोड़ संचालन।किसी भी परिमेय संख्या के लिए एऔर बीएक तथाकथित है योग नियम सी. हालाँकि, संख्या ही सीबुलाया जोड़नंबर एऔर बीऔर निरूपित किया जाता है, और ऐसी संख्या ज्ञात करने की प्रक्रिया कहलाती है योग. योग नियम के निम्नलिखित रूप हैं: .
3. गुणन संचालन।किसी भी परिमेय संख्या के लिए एऔर बीएक तथाकथित है गुणन नियम, जो उन्हें कुछ परिमेय संख्या के साथ पत्राचार में रखता है सी. हालाँकि, संख्या ही सीबुलाया कामनंबर एऔर बीऔर निरूपित किया जाता है, और ऐसी संख्या को खोजने की प्रक्रिया को भी कहा जाता है गुणा. गुणन नियम इस प्रकार है: .
4. आदेश संबंध की ट्रांजिटिविटी।परिमेय संख्याओं के किसी भी त्रिक के लिए ए , बीऔर सीअगर एछोटे बीऔर बीछोटे सी, तब एछोटे सी, और अगर एबराबरी बीऔर बीबराबरी सी, तब एबराबरी सी. 6435">जोड़ की क्रमपरिवर्तनीयता। तर्कसंगत पदों के स्थानों को बदलने से योग नहीं बदलता है।
5. जोड़ की साहचर्यता।जिस क्रम में तीन परिमेय संख्याओं को जोड़ा जाता है वह परिणाम को प्रभावित नहीं करता है।
6. शून्य की उपस्थिति।एक परिमेय संख्या 0 होती है जो योग करने पर अन्य सभी परिमेय संख्याओं को सुरक्षित रखती है।
7. विपरीत संख्याओं की उपस्थिति।किसी भी परिमेय संख्या की एक विपरीत परिमेय संख्या होती है, जिसका योग करने पर 0 प्राप्त होता है।
8. गुणन की क्रमपरिवर्तनशीलता।तर्कसंगत कारकों के स्थानों को बदलने से उत्पाद नहीं बदलता है।
9. गुणन की साहचर्यता।जिस क्रम में तीन परिमेय संख्याओं को गुणा किया जाता है, वह परिणाम को प्रभावित नहीं करता है।
10. एक इकाई की उपस्थिति।एक परिमेय संख्या 1 है जो गुणा करने पर हर दूसरी परिमेय संख्या को सुरक्षित रखती है।
11. पारस्परिक की उपस्थिति।किसी भी परिमेय संख्या में एक व्युत्क्रम परिमेय संख्या होती है, जिसे गुणा करने पर 1 प्राप्त होता है।
12. जोड़ के संबंध में गुणन का वितरण।गुणन संचालन वितरण कानून के माध्यम से जोड़ संचालन के अनुरूप है:
13. जोड़ के संचालन के साथ आदेश संबंध का संबंध।एक ही परिमेय संख्या को एक परिमेय असमानता के बाएँ और दाएँ पक्षों में जोड़ा जा सकता है। /चित्र/विकी/फ़ाइलें/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" सीमा = "0">
14. आर्किमिडीज का स्वयंसिद्ध।परिमेय संख्या जो भी हो ए, आप इतनी इकाइयाँ ले सकते हैं कि उनका योग अधिक हो जाएगा ए. src="/Pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" बॉर्डर="0">

अतिरिक्त गुण

परिमेय संख्याओं में निहित अन्य सभी गुणों को मूल गुणों के रूप में अलग नहीं किया जाता है, क्योंकि, सामान्यतया, वे अब सीधे पूर्णांकों के गुणों पर आधारित नहीं होते हैं, बल्कि दिए गए मूल गुणों के आधार पर या सीधे परिभाषा द्वारा सिद्ध किए जा सकते हैं। कुछ गणितीय वस्तु। ऐसी बहुत सारी अतिरिक्त संपत्तियां हैं। उनमें से कुछ का ही उल्लेख करना यहाँ उचित प्रतीत होता है।

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गणनीयता सेट करें

परिमेय संख्याओं की संख्या

परिमेय संख्याओं की संख्या का अनुमान लगाने के लिए, आपको उनके समुच्चय की कार्डिनैलिटी ज्ञात करनी होगी। यह सिद्ध करना आसान है कि परिमेय संख्याओं का समुच्चय गणनीय है। ऐसा करने के लिए, यह एक एल्गोरिदम देने के लिए पर्याप्त है जो तर्कसंगत संख्याओं की गणना करता है, यानी, तर्कसंगत और प्राकृतिक संख्याओं के सेट के बीच एक विभाजन स्थापित करता है।

इन एल्गोरिदम में से सबसे सरल इस प्रकार है। प्रत्येक पर साधारण भिन्नों की एक अनंत तालिका संकलित की गई है मैंप्रत्येक में -वीं पंक्ति जेजिसका वां स्तंभ एक भिन्न है। निश्चितता के लिए, यह माना जाता है कि इस तालिका की पंक्तियों और स्तंभों को एक से गिना जाता है। तालिका कोशिकाओं को निरूपित किया जाता है, जहाँ मैं- तालिका की पंक्ति संख्या जिसमें सेल स्थित है, और जे- कॉलम नंबर।

परिणामी तालिका को निम्नलिखित औपचारिक एल्गोरिथम के अनुसार "साँप" द्वारा प्रबंधित किया जाता है।

इन नियमों को ऊपर से नीचे तक स्कैन किया जाता है और पहले मैच के आधार पर अगली स्थिति का चयन किया जाता है।

इस तरह के बाईपास की प्रक्रिया में, प्रत्येक नई परिमेय संख्या को अगली प्राकृतिक संख्या को सौंपा जाता है। यही है, अंश 1 / 1 को संख्या 1, अंश 2 / 1 - संख्या 2, आदि सौंपा गया है। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि केवल इरेड्यूसबल अंश ही गिने जाते हैं। इरेड्यूसबिलिटी का एक औपचारिक संकेत अंश के अंश और हर के सबसे बड़े सामान्य भाजक में से एक की समानता है।

इस एल्गोरिथम का अनुसरण करते हुए, कोई भी सभी सकारात्मक परिमेय संख्याओं की गणना कर सकता है। इसका अर्थ है कि धनात्मक परिमेय संख्याओं का समुच्चय गणनीय है। धनात्मक और ऋणात्मक परिमेय संख्याओं के समुच्चय के बीच केवल एक परिमेय संख्या को इसके विपरीत बताकर, एक आक्षेप स्थापित करना आसान है। उस। ऋणात्मक परिमेय संख्याओं का समुच्चय भी गणनीय होता है। उनका संघ भी गणनीय समुच्चयों के गुण से गणनीय है। परिमेय संख्याओं का समुच्चय एक परिमित समुच्चय के साथ गणनीय समुच्चय के मिलन के रूप में भी गणनीय होता है।

परिमेय संख्याओं के समुच्चय की गणनीयता के बारे में कथन कुछ अचरज का कारण बन सकता है, क्योंकि पहली नज़र में यह आभास होता है कि यह प्राकृत संख्याओं के समुच्चय से बहुत बड़ा है। वास्तव में, यह मामला नहीं है, और सभी परिमेय संख्याओं की गणना करने के लिए पर्याप्त प्राकृतिक संख्याएँ हैं।

परिमेय संख्याओं की अपर्याप्तता

ऐसे त्रिभुज का कर्ण किसी परिमेय संख्या द्वारा व्यक्त नहीं किया जाता है

फॉर्म 1 की परिमेय संख्याएं / एनअत्याधिक एनमनमाने ढंग से छोटी मात्रा को मापा जा सकता है। यह तथ्य एक भ्रामक धारणा बनाता है कि परिमेय संख्याएँ किसी भी ज्यामितीय दूरियों को सामान्य रूप से माप सकती हैं। यह दिखाना आसान है कि यह सच नहीं है।

टिप्पणियाँ

साहित्य

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लिंक

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