व्युत्पन्न और इसकी गणना के तरीकों के बारे में ज्ञान के बिना गणित में भौतिक समस्याओं या उदाहरणों को हल करना बिल्कुल असंभव है। व्युत्पन्न गणितीय विश्लेषण की सबसे महत्वपूर्ण अवधारणाओं में से एक है। हमने आज के लेख को इस मौलिक विषय पर समर्पित करने का निर्णय लिया। व्युत्पन्न क्या है, इसका भौतिक और ज्यामितीय अर्थ क्या है, किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की गणना कैसे करें? इन सभी प्रश्नों को एक में जोड़ा जा सकता है: व्युत्पन्न को कैसे समझें?

व्युत्पन्न का ज्यामितीय और भौतिक अर्थ

एक समारोह होने दें एफ (एक्स) , कुछ अंतराल में दिया गया (ए, बी) . बिंदु x और x0 इसी अंतराल के हैं। जब x बदलता है, तो फ़ंक्शन स्वयं बदल जाता है। तर्क परिवर्तन - इसके मूल्यों का अंतर x-x0 . यह अंतर इस प्रकार लिखा जाता है डेल्टा x और तर्क वृद्धि कहा जाता है। किसी फ़ंक्शन का परिवर्तन या वृद्धि दो बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मानों के बीच का अंतर है। व्युत्पन्न परिभाषा:

किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न किसी दिए गए बिंदु पर फ़ंक्शन की वृद्धि के अनुपात की सीमा है जब तर्क की वृद्धि शून्य हो जाती है।

अन्यथा इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:

ऐसी सीमा खोजने का क्या मतलब है? लेकिन कौन सा:

किसी बिंदु पर किसी फलन का अवकलज OX अक्ष के बीच के कोण की स्पर्शरेखा और दिए गए बिंदु पर फलन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा के बराबर होता है।

व्युत्पन्न का भौतिक अर्थ: पथ का समय व्युत्पन्न सरल रेखीय गति की गति के बराबर होता है।

दरअसल, स्कूल के दिनों से ही सभी जानते हैं कि गति एक निजी रास्ता है। एक्स = एफ (टी) और समय टी . एक निश्चित अवधि में औसत गति:

एक बार में गति की गति का पता लगाने के लिए t0 आपको सीमा की गणना करने की आवश्यकता है:

नियम एक: स्थिरांक निकालें

स्थिरांक को व्युत्पन्न के चिन्ह से निकाला जा सकता है। इसके अलावा, यह किया जाना चाहिए। गणित में उदाहरण हल करते समय, एक नियम के रूप में लें - यदि आप व्यंजक को सरल बना सकते हैं, तो सरल करना सुनिश्चित करें .

उदाहरण। आइए व्युत्पन्न की गणना करें:

नियम दो: कार्यों के योग का व्युत्पन्न

दो कार्यों के योग का व्युत्पन्न इन कार्यों के व्युत्पन्न के योग के बराबर है। कार्यों के अंतर के व्युत्पन्न के लिए भी यही सच है।

हम इस प्रमेय का प्रमाण नहीं देंगे, बल्कि एक व्यावहारिक उदाहरण पर विचार करेंगे।

किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं:

नियम तीन: कार्यों के उत्पाद का व्युत्पन्न

दो अलग-अलग कार्यों के उत्पाद के व्युत्पन्न की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

उदाहरण: किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:

फेसला:

यहां जटिल कार्यों के डेरिवेटिव की गणना के बारे में कहना महत्वपूर्ण है। एक जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न स्वतंत्र चर के संबंध में मध्यवर्ती तर्क के व्युत्पन्न द्वारा मध्यवर्ती तर्क के संबंध में इस फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के उत्पाद के बराबर है।

उपरोक्त उदाहरण में, हम अभिव्यक्ति का सामना करते हैं:

इस मामले में, मध्यवर्ती तर्क पांचवीं शक्ति के लिए 8x है। ऐसी अभिव्यक्ति के व्युत्पन्न की गणना करने के लिए, हम पहले मध्यवर्ती तर्क के संबंध में बाहरी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न पर विचार करते हैं, और फिर स्वतंत्र चर के संबंध में मध्यवर्ती तर्क के व्युत्पन्न से गुणा करते हैं।

नियम चार: दो कार्यों के भागफल का व्युत्पन्न

दो कार्यों के भागफल के व्युत्पन्न को निर्धारित करने का सूत्र:

हमने शुरुआत से डमी के लिए डेरिवेटिव के बारे में बात करने की कोशिश की। यह विषय उतना सरल नहीं है जितना लगता है, इसलिए सावधान रहें: उदाहरणों में अक्सर नुकसान होते हैं, इसलिए डेरिवेटिव की गणना करते समय सावधान रहें।

इस और अन्य विषयों पर किसी भी प्रश्न के लिए, आप छात्र सेवा से संपर्क कर सकते हैं। थोड़े समय में, हम आपको सबसे कठिन नियंत्रण को हल करने और कार्यों से निपटने में मदद करेंगे, भले ही आपने पहले कभी डेरिवेटिव की गणना नहीं की हो।

और एक जटिल कार्य के व्युत्पन्न पर प्रमेय, जिसका सूत्रीकरण इस प्रकार है:

मान लीजिए 1) फ़ंक्शन $u=\varphi (x)$ का व्युत्पन्न $u_(x)"=\varphi"(x_0)$ किसी बिंदु पर $x_0$, 2) फ़ंक्शन $y=f(u)$ है इसी बिंदु पर है $u_0=\varphi (x_0)$ व्युत्पन्न $y_(u)"=f"(u)$। फिर जटिल फ़ंक्शन $y=f\left(\varphi (x) \right)$ उल्लिखित बिंदु पर भी व्युत्पन्न होगा जो फ़ंक्शन के डेरिवेटिव के उत्पाद के बराबर होगा $f(u)$ तथा $\varphi ( एक्स)$:

$$ \बाएं(f(\varphi (x))\right)"=f_(u)"\left(\varphi (x_0) \right)\cdot \varphi"(x_0) $$

या, छोटे संकेतन में: $y_(x)"=y_(u)"\cdot u_(x)"$.

इस खंड के उदाहरणों में, सभी फ़ंक्शन का रूप $y=f(x)$ होता है (यानी, हम केवल एक चर $x$ के फ़ंक्शन पर विचार करते हैं)। तदनुसार, सभी उदाहरणों में, व्युत्पन्न $y"$ को चर $x$ के संबंध में लिया जाता है। इस बात पर जोर देने के लिए कि व्युत्पन्न $x$ के संबंध में लिया जाता है, कोई अक्सर $ के बजाय $y"_x$ लिखता है वाई"$.

उदाहरण #1, #2, और #3 जटिल कार्यों के व्युत्पन्न को खोजने के लिए एक विस्तृत प्रक्रिया प्रदान करते हैं। उदाहरण संख्या 4 का उद्देश्य व्युत्पत्ति तालिका की अधिक संपूर्ण समझ के लिए है और इसके साथ स्वयं को परिचित करना समझ में आता है।

उदाहरण संख्या 1-3 में सामग्री का अध्ययन करने के बाद, उदाहरण संख्या 5, संख्या 6 और संख्या 7 को स्वतंत्र रूप से हल करने के लिए आगे बढ़ने की सलाह दी जाती है। उदाहरण #5, #6 और #7 में एक संक्षिप्त समाधान है ताकि पाठक अपने परिणाम की शुद्धता की जांच कर सके।

उदाहरण 1

फ़ंक्शन $y=e^(\cos x)$ का अवकलज ज्ञात कीजिए।

हमें जटिल फलन $y"$ का अवकलज खोजने की जरूरत है। चूंकि $y=e^(\cos x)$, फिर $y"=\left(e^(\cos x)\right)"$। व्युत्पन्न $ \left(e^(\cos x)\right)"$ डेरिवेटिव की तालिका से सूत्र #6 का उपयोग करें। सूत्र संख्या 6 का उपयोग करने के लिए, आपको यह ध्यान रखना होगा कि हमारे मामले में $u=\cos x$। आगे के समाधान में सूत्र संख्या 6 में $u$ के बजाय अभिव्यक्ति $\cos x$ का सामान्य प्रतिस्थापन शामिल है:

$$ y"=\बाएं(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)" \tag (1.1)$$

अब हमें व्यंजक $(\cos x)"$ का मान ज्ञात करने की आवश्यकता है। फिर से हम डेरिवेटिव की तालिका की ओर मुड़ते हैं, उसमें से सूत्र संख्या 10 का चयन करते हैं। $u=x$ को सूत्र संख्या 10 में प्रतिस्थापित करते हुए, हमारे पास है : $(\cos x)"=-\ sin x\cdot x"$। अब हम समानता (1.1) जारी रखते हैं, इसे पाए गए परिणाम के साथ पूरक करते हैं:

$$ y"=\बाएं(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x") \tag (1.2) $$

चूंकि $x"=1$, हम समानता जारी रखते हैं (1.2):

$$ y"=\बाएं(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x")=e^(\cos x)\cdot (-\sin x\cdot 1)=-\sin x\cdot e^(\cos x) \tag (1.3) $$

तो, समानता (1.3) से हमारे पास है: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$। स्वाभाविक रूप से, स्पष्टीकरण और मध्यवर्ती समानताएं आमतौर पर छोड़ दी जाती हैं, व्युत्पन्न को एक पंक्ति में लिखना, जैसा कि समानता में है (1.3) तो, जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न पाया गया है, यह केवल उत्तर लिखने के लिए है।

जवाब: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$।

उदाहरण #2

फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें $y=9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x)$।

हमें व्युत्पन्न $y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$ की गणना करने की आवश्यकता है। आरंभ करने के लिए, हम ध्यान दें कि स्थिरांक (अर्थात संख्या 9) को व्युत्पन्न के चिह्न से निकाला जा सकता है:

$$ y"=\बाएं(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \दाएं)" \टैग (2.1) $$

अब आइए व्यंजक $\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$ की ओर मुड़ें। डेरिवेटिव की तालिका से वांछित सूत्र का चयन करना आसान बनाने के लिए, मैं अभिव्यक्ति प्रस्तुत करूंगा इस रूप में प्रश्न में: $\बाएं(\बाएं(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(12)\right)"$. अब यह स्पष्ट है कि सूत्र संख्या 2 का उपयोग करना आवश्यक है, अर्थात। $\बाएं(u^\alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. इस फॉर्मूले में $u=\arctg(4\cdot \ln x)$ और $\alpha=12$ को बदलें:

प्राप्त परिणाम के साथ समानता (2.1) का पूरक, हमारे पास है:

$$ y"=\बाएं(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"= 108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))" \tag (2.2) $$

इस स्थिति में, अक्सर एक गलती हो जाती है जब सॉल्वर पहले चरण में सूत्र के बजाय $(\arctg \; u)"=\frac(1)(1+u^2)\cdot u"$ सूत्र चुनता है $\बाएं(यू^\ अल्फा \दाएं)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. मुद्दा यह है कि बाहरी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न पहले पाया जाना चाहिए। यह समझने के लिए कि कौन सा फ़ंक्शन अभिव्यक्ति के बाहर होगा $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$, कल्पना करें कि आप अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना कर रहे हैं $\arctg^(12)(4\cdot 5^ x)$ $x$ के कुछ मूल्य के लिए। पहले आप $5^x$ के मान की गणना करें, फिर परिणाम को 4 से गुणा करके $4\cdot 5^x$ प्राप्त करें। अब हम इस परिणाम से चाप स्पर्शरेखा लेते हैं, $\arctg(4\cdot 5^x)$ प्राप्त करते हैं। फिर हम परिणामी संख्या को बारहवीं शक्ति तक बढ़ाते हैं, $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$ प्राप्त करते हैं। अंतिम क्रिया, अर्थात्। 12 की शक्ति तक बढ़ाना, - और एक बाहरी कार्य होगा। और यह इससे है कि किसी को व्युत्पन्न खोजना शुरू करना चाहिए, जो समानता (2.2) में किया गया था।

अब हमें $(\arctg(4\cdot \ln x))"$ खोजने की जरूरत है। हम डेरिवेटिव टेबल के फॉर्मूला नंबर 19 का उपयोग करते हैं, इसमें $u=4\cdot \ln x$ को प्रतिस्थापित करते हैं:

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

आइए $(4\cdot \ln x)^2=4^2\cdot (\ln x)^2=16\cdot \ln^2 x$ को ध्यान में रखते हुए परिणामी अभिव्यक्ति को थोड़ा सरल करें।

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)"=\frac( 1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

समानता (2.2) अब बन जाएगी:

$$ y"=\बाएं(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \बाएं(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" \टैग (2.3) $$

यह $(4\cdot \ln x)"$ खोजने के लिए बनी हुई है। हम व्युत्पन्न के संकेत से स्थिर (यानी 4) लेते हैं: $(4\cdot \ln x)"=4\cdot (\ln x )"$। $(\ln x)"$ को खोजने के लिए, हम सूत्र संख्या 8 का उपयोग करते हैं, इसमें $u=x$ को प्रतिस्थापित करते हैं: $(\ln x)"=\frac(1)(x) \cdot x"$. चूंकि $x"=1$, फिर $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x"=\frac(1)(x)\cdot 1=\frac(1)(x ) $ प्राप्त परिणाम को सूत्र (2.3) में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$$ y"=\बाएं(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \बाएं(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" =\\ =108\cdot \बाएं(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot 4\ cdot \frac(1)(x)=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x)).$ $

मैं आपको याद दिला दूं कि एक जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न अक्सर एक पंक्ति में होता है, जैसा कि अंतिम समानता में लिखा गया है। इसलिए, मानक गणना या परीक्षण करते समय, समाधान का एक ही विवरण में वर्णन करना बिल्कुल भी आवश्यक नहीं है।

जवाब: $y"=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x))$।

उदाहरण #3

फ़ंक्शन का $y"$ खोजें $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))$।

सबसे पहले, आइए $y$ फ़ंक्शन को मूल (रूट) को एक शक्ति के रूप में व्यक्त करके थोड़ा रूपांतरित करें: $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))=\left(\sin(5\cdot 9) ^x) \right)^(\frac(3)(7))$. अब आइए व्युत्पन्न खोजना शुरू करें। चूंकि $y=\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))$, तब:

$$ y"=\बाएं(\बाएं(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)" \tag (3.1) $$

हम डेरिवेटिव की तालिका से फॉर्मूला नंबर 2 का उपयोग करते हैं, इसमें $u=\sin(5\cdot 9^x)$ और $\alpha=\frac(3)(7)$ को प्रतिस्थापित करते हैं:

$$ \बाएं(\बाएं(\पाप(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"= \frac(3)(7)\cdot \left( \sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7)-1) (\sin(5\cdot 9^x))"=\frac(3)(7)\cdot \बाएं(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" $$

हम प्राप्त परिणाम का उपयोग करके समानता (3.1) जारी रखते हैं:

$$ y"=\बाएं(\बाएं(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \बाएं(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" \tag (3.2) $$

अब हमें $(\sin(5\cdot 9^x))"$ खोजने की जरूरत है। इसके लिए, हम डेरिवेटिव की तालिका से फॉर्मूला नंबर 9 का उपयोग करते हैं, इसमें $u=5\cdot 9^x$ को प्रतिस्थापित करते हैं:

$$ (\sin(5\cdot 9^x))"=\cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9^x)" $$

प्राप्त परिणाम के साथ समानता (3.2) का पूरक, हमारे पास है:

$$ y"=\बाएं(\बाएं(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \बाएं(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)" \tag (3.3) $$

यह $(5\cdot 9^x)"$ खोजने के लिए बनी हुई है। सबसे पहले, हम व्युत्पन्न के संकेत से स्थिरांक (संख्या $ 5$) लेते हैं, यानी $(5\cdot 9^x)"=5\ cdot (9^x) "$। व्युत्पन्न $(9^x)"$ को खोजने के लिए, हम डेरिवेटिव की तालिका के सूत्र संख्या 5 को लागू करते हैं, इसमें $a=9$ और $u=x$ को प्रतिस्थापित करते हैं: $ (9^x)"=9^x\cdot \ ln9\cdot x"$. चूंकि $x"=1$, फिर $(9^x)"=9^x\cdot \ln9\cdot x"=9^x\cdot \ln9$। अब हम समानता जारी रख सकते हैं (3.3):

$$ y"=\बाएं(\बाएं(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \बाएं(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)"= \frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9 ^x)\cdot 5\cdot 9^x\cdot \ln9=\\ =\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right) ^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x. $$

आप $\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))$ को $\ frac(1 )(\बाएं(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(4)(7)))=\frac(1)(\sqrt(\sin^4(5\ cdot 9^) एक्स)))$। फिर व्युत्पन्न निम्नलिखित रूप में लिखा जाएगा:

$$ y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x= \frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x) (\sqrt(\sin^4(5\cdot 9^x)))। $$

जवाब: $y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x)(\sqrt(\sin^4(5\) सीडीओटी 9^x)))$।

उदाहरण #4

दिखाएँ कि डेरिवेटिव की तालिका के सूत्र संख्या 3 और संख्या 4 इस तालिका के सूत्र संख्या 2 के एक विशेष मामले हैं।

डेरिवेटिव की तालिका के सूत्र संख्या 2 में, फ़ंक्शन $u^\alpha$ का व्युत्पन्न लिखा गया है। $\alpha=-1$ को सूत्र #2 में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$$(u^(-1))"=-1\cdot u^(-1-1)\cdot u"=-u^(-2)\cdot u"\tag (4.1)$$

चूंकि $u^(-1)=\frac(1)(u)$ और $u^(-2)=\frac(1)(u^2)$, समानता (4.1) को निम्नानुसार फिर से लिखा जा सकता है: $ \बाएं(\frac(1)(u) \right)"=-\frac(1)(u^2)\cdot u"$. यह व्युत्पन्न तालिका का सूत्र संख्या 3 है।

आइए फिर से डेरिवेटिव तालिका के सूत्र संख्या 2 की ओर मुड़ें। इसमें $\alpha=\frac(1)(2)$ बदलें:

$$\बाएं(u^(\frac(1)(2))\right)"=\frac(1)(2)\cdot u^(\frac(1)(2)-1)\cdot u" =\frac(1)(2)u^(-\frac(1)(2))\cdot u"\tag (4.2) $$

चूँकि $u^(\frac(1)(2))=\sqrt(u)$ और $u^(-\frac(1)(2))=\frac(1)(u^(\frac( 1 )(2)))=\frac(1)(\sqrt(u))$, तो समानता (4.2) को निम्नानुसार फिर से लिखा जा सकता है:

$$ (\sqrt(u))"=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(u))\cdot u"=\frac(1)(2\sqrt(u) )\cdot यू" $$

परिणामी समानता $(\sqrt(u))"=\frac(1)(2\sqrt(u))\cdot u"$ डेरिवेटिव तालिका का सूत्र संख्या 4 है। जैसा कि आप देख सकते हैं, डेरिवेटिव तालिका के सूत्र संख्या 3 और संख्या 4 सूत्र संख्या 2 से $\alpha$ के संगत मान को प्रतिस्थापित करके प्राप्त किए जाते हैं।

यदि हम परिभाषा का पालन करते हैं, तो एक बिंदु पर एक फ़ंक्शन का व्युत्पन्न फ़ंक्शन के वृद्धि अनुपात की सीमा है आपतर्क की वृद्धि के लिए एक्स:

ऐसा लगता है कि सब कुछ स्पष्ट हो गया है। लेकिन इस सूत्र द्वारा गणना करने का प्रयास करें, मान लीजिए, फ़ंक्शन का व्युत्पन्न एफ(एक्स) = एक्स 2 + (2एक्स+ 3) · इ एक्सपाप एक्स. यदि आप परिभाषा के अनुसार सब कुछ करते हैं, तो गणना के कुछ पन्नों के बाद आप बस सो जाएंगे। इसलिए, सरल और अधिक प्रभावी तरीके हैं।

आरंभ करने के लिए, हम ध्यान दें कि तथाकथित प्राथमिक कार्यों को विभिन्न प्रकार के कार्यों से अलग किया जा सकता है। ये अपेक्षाकृत सरल भाव हैं, जिनके डेरिवेटिव की गणना लंबे समय से की गई है और उन्हें तालिका में दर्ज किया गया है। इस तरह के कार्यों को उनके डेरिवेटिव के साथ याद रखना काफी आसान है।

प्राथमिक कार्यों के व्युत्पन्न

प्राथमिक कार्य नीचे सूचीबद्ध सब कुछ हैं। इन कार्यों के व्युत्पन्न को दिल से जाना जाना चाहिए। इसके अलावा, उन्हें याद करना मुश्किल नहीं है - इसलिए वे प्राथमिक हैं।

तो, प्राथमिक कार्यों के व्युत्पन्न:

नाम	समारोह	यौगिक
नियत	एफ(एक्स) = सी, सी ∈ आर	0 (हाँ, हाँ, शून्य!)
तर्कसंगत घातांक के साथ डिग्री	एफ(एक्स) = एक्स एन	एन · एक्स एन − 1
साइनस	एफ(एक्स) = पाप एक्स	क्योंकि एक्स
कोज्या	एफ(एक्स) = कोस एक्स	- पाप एक्स(माइनस साइन)
स्पर्शरेखा	एफ(एक्स) = टीजी एक्स	1/कोस 2 एक्स
कोटैंजेंट	एफ(एक्स) = सीटीजी एक्स	- 1/पाप2 एक्स
प्राकृतिक	एफ(एक्स) = लॉग एक्स	1/एक्स
मनमाना लघुगणक	एफ(एक्स) = लॉग ए एक्स	1/(एक्सएलएन ए)
घातांक प्रकार्य	एफ(एक्स) = इ एक्स	इ एक्स(कुछ नहीं बदला)

यदि एक प्राथमिक फलन को एक मनमाना स्थिरांक से गुणा किया जाता है, तो नए फलन का व्युत्पन्न भी आसानी से परिकलित किया जाता है:

(सी · एफ)’ = सी · एफ ’.

सामान्य तौर पर, व्युत्पन्न के संकेत से स्थिरांक निकाले जा सकते हैं। उदाहरण के लिए:

(2एक्स 3)' = 2 ( एक्स 3)' = 2 3 एक्स 2 = 6एक्स 2 .

जाहिर है, प्राथमिक कार्यों को एक दूसरे में जोड़ा जा सकता है, गुणा किया जा सकता है, विभाजित किया जा सकता है, और बहुत कुछ। इस तरह से नए कार्य दिखाई देंगे, जो अब बहुत प्राथमिक नहीं हैं, बल्कि कुछ नियमों के अनुसार अलग-अलग भी हैं। इन नियमों पर नीचे चर्चा की गई है।

योग और अंतर का व्युत्पन्न

कार्यों को करने दें एफ(एक्स) और जी(एक्स), जिनके डेरिवेटिव हमें ज्ञात हैं। उदाहरण के लिए, आप ऊपर चर्चा किए गए प्राथमिक कार्यों को ले सकते हैं। तब आप इन कार्यों के योग और अंतर का व्युत्पन्न पा सकते हैं:

1. (एफ + जी)’ = एफ ’ + जी ’
2. (एफ − जी)’ = एफ ’ − जी ’

तो, दो कार्यों के योग (अंतर) का व्युत्पन्न डेरिवेटिव के योग (अंतर) के बराबर है। और भी शर्तें हो सकती हैं। उदाहरण के लिए, ( एफ + जी + एच)’ = एफ ’ + जी ’ + एच ’.

कड़ाई से बोलते हुए, बीजगणित में "घटाव" की कोई अवधारणा नहीं है। "नकारात्मक तत्व" की अवधारणा है। इसलिए, अंतर एफ − जीयोग के रूप में फिर से लिखा जा सकता है एफ+ (−1) जी, और तब केवल एक सूत्र शेष रहता है - योग का व्युत्पन्न।

एफ(एक्स) = एक्स 2 + सिनक्स; जी(एक्स) = एक्स 4 + 2एक्स 2 − 3.

समारोह एफ(एक्स) दो प्राथमिक कार्यों का योग है, इसलिए:

एफ ’(एक्स) = (एक्स 2+ पाप एक्स)’ = (एक्स 2)'+ (पाप .) एक्स)’ = 2एक्स+ कॉक्स;

हम फ़ंक्शन के लिए इसी तरह तर्क देते हैं जी(एक्स) केवल पहले से ही तीन पद हैं (बीजगणित के दृष्टिकोण से):

जी ’(एक्स) = (एक्स 4 + 2एक्स 2 − 3)’ = (एक्स 4 + 2एक्स 2 + (−3))’ = (एक्स 4)’ + (2एक्स 2)’ + (−3)’ = 4एक्स 3 + 4एक्स + 0 = 4एक्स · ( एक्स 2 + 1).

जवाब:
एफ ’(एक्स) = 2एक्स+ कॉक्स;
जी ’(एक्स) = 4एक्स · ( एक्स 2 + 1).

किसी उत्पाद का व्युत्पन्न

गणित एक तार्किक विज्ञान है, इसलिए बहुत से लोग मानते हैं कि यदि योग का व्युत्पन्न व्युत्पन्न के योग के बराबर है, तो उत्पाद का व्युत्पन्न हड़ताल"\u003e डेरिवेटिव के उत्पाद के बराबर। लेकिन आपके लिए अंजीर! उत्पाद के व्युत्पन्न की गणना पूरी तरह से अलग सूत्र का उपयोग करके की जाती है। अर्थात्:

(एफ · जी) ’ = एफ ’ · जी + एफ · जी ’

सूत्र सरल है, लेकिन अक्सर भुला दिया जाता है। और न केवल स्कूली बच्चे, बल्कि छात्र भी। परिणाम गलत तरीके से हल की गई समस्याएं हैं।

काम। कार्यों के व्युत्पन्न खोजें: एफ(एक्स) = एक्स 3 कॉक्स; जी(एक्स) = (एक्स 2 + 7एक्स- 7) · इ एक्स .

समारोह एफ(एक्स) दो प्राथमिक कार्यों का एक उत्पाद है, इसलिए सब कुछ सरल है:

एफ ’(एक्स) = (एक्स 3 कोस एक्स)’ = (एक्स 3)' कोस एक्स + एक्स 3 (कोस एक्स)’ = 3एक्स 2 कोस एक्स + एक्स 3 (-sin एक्स) = एक्स 2 (3cos एक्स − एक्सपाप एक्स)

समारोह जी(एक्स) पहला गुणक थोड़ा अधिक जटिल है, लेकिन सामान्य योजना इससे नहीं बदलती है। जाहिर है, फ़ंक्शन का पहला गुणक जी(एक्स) एक बहुपद है, और इसका व्युत्पन्न योग का व्युत्पन्न है। हमारे पास है:

जी ’(एक्स) = ((एक्स 2 + 7एक्स- 7) · इ एक्स)’ = (एक्स 2 + 7एक्स- 7)' · इ एक्स + (एक्स 2 + 7एक्स- 7) ( इ एक्स)’ = (2एक्स+ 7) · इ एक्स + (एक्स 2 + 7एक्स- 7) · इ एक्स = इ एक्स(2 .) एक्स + 7 + एक्स 2 + 7एक्स −7) = (एक्स 2 + 9एक्स) · इ एक्स = एक्स(एक्स+ 9) · इ एक्स .

जवाब:
एफ ’(एक्स) = एक्स 2 (3cos एक्स − एक्सपाप एक्स);
जी ’(एक्स) = एक्स(एक्स+ 9) · इ एक्स .

ध्यान दें कि अंतिम चरण में, व्युत्पन्न को गुणनखंडित किया जाता है। औपचारिक रूप से, यह आवश्यक नहीं है, लेकिन अधिकांश डेरिवेटिव की गणना स्वयं नहीं की जाती है, बल्कि फ़ंक्शन का पता लगाने के लिए की जाती है। इसका मतलब यह है कि आगे व्युत्पन्न शून्य के बराबर हो जाएगा, इसके संकेत मिल जाएंगे, और इसी तरह। ऐसे मामले के लिए, अभिव्यक्ति को कारकों में विघटित करना बेहतर है।

यदि दो कार्य हैं एफ(एक्स) और जी(एक्स), और जी(एक्स) 0 हमारे लिए रुचि के सेट पर, हम एक नया फ़ंक्शन परिभाषित कर सकते हैं एच(एक्स) = एफ(एक्स)/जी(एक्स) ऐसे फ़ंक्शन के लिए, आप व्युत्पन्न भी पा सकते हैं:

कमजोर नहीं, है ना? माइनस कहां से आया? क्यों जी 2? लेकिन इस तरह! यह सबसे जटिल फ़ार्मुलों में से एक है - आप इसे बोतल के बिना नहीं समझ सकते। इसलिए, विशिष्ट उदाहरणों के साथ इसका अध्ययन करना बेहतर है।

काम। कार्यों के व्युत्पन्न खोजें:

प्रत्येक अंश के अंश और हर में प्राथमिक कार्य होते हैं, इसलिए हमें केवल भागफल के व्युत्पन्न के लिए सूत्र की आवश्यकता होती है:

परंपरा से, हम अंश को कारकों में विभाजित करते हैं - यह उत्तर को बहुत सरल करेगा:

एक जटिल फलन जरूरी नहीं कि आधा किलोमीटर लंबा एक सूत्र हो। उदाहरण के लिए, यह फ़ंक्शन लेने के लिए पर्याप्त है एफ(एक्स) = पाप एक्सऔर चर बदलें एक्स, कहना, पर एक्स 2+एलएन एक्स. यह पता चला है एफ(एक्स) = पाप ( एक्स 2+एलएन एक्स) एक जटिल कार्य है। उसके पास एक व्युत्पन्न भी है, लेकिन यह ऊपर चर्चा किए गए नियमों के अनुसार इसे खोजने के लिए काम नहीं करेगा।

कैसे बनें? ऐसे मामलों में, एक चर के प्रतिस्थापन और एक जटिल फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के लिए सूत्र मदद करता है:

एफ ’(एक्स) = एफ ’(टी) · टी', अगर एक्सद्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है टी(एक्स).

एक नियम के रूप में, इस सूत्र की समझ के साथ स्थिति भागफल के व्युत्पन्न से भी अधिक दुखद है। इसलिए, प्रत्येक चरण के विस्तृत विवरण के साथ, विशिष्ट उदाहरणों के साथ इसकी व्याख्या करना भी बेहतर है।

काम। कार्यों के व्युत्पन्न खोजें: एफ(एक्स) = इ 2एक्स + 3 ; जी(एक्स) = पाप ( एक्स 2+एलएन एक्स)

ध्यान दें कि यदि समारोह में एफ(एक्स) अभिव्यक्ति 2 . के बजाय एक्स+3 आसान हो जाएगा एक्स, तो हमें एक प्राथमिक कार्य मिलता है एफ(एक्स) = इ एक्स. इसलिए, हम एक प्रतिस्थापन करते हैं: मान लीजिए 2 एक्स + 3 = टी, एफ(एक्स) = एफ(टी) = इ टी. हम सूत्र द्वारा एक जटिल कार्य के व्युत्पन्न की तलाश कर रहे हैं:

एफ ’(एक्स) = एफ ’(टी) · टी ’ = (इ टी)’ · टी ’ = इ टी · टी ’

और अब - ध्यान! एक रिवर्स प्रतिस्थापन करना: टी = 2एक्स+ 3. हमें मिलता है:

एफ ’(एक्स) = इ टी · टी ’ = इ 2एक्स+ 3 (2 .) एक्स + 3)’ = इ 2एक्स+ 3 2 = 2 इ 2एक्स + 3

अब फंक्शन को देखते हैं जी(एक्स) जाहिर है प्रतिस्थापित करने की जरूरत है। एक्स 2+एलएन एक्स = टी. हमारे पास है:

जी ’(एक्स) = जी ’(टी) · टी' = (पाप टी)’ · टी' = कोस टी · टी ’

रिवर्स रिप्लेसमेंट: टी = एक्स 2+एलएन एक्स. फिर:

जी ’(एक्स) = क्योंकि ( एक्स 2+एलएन एक्स) · ( एक्स 2+एलएन एक्स)' = क्योंकि ( एक्स 2+एलएन एक्स) · (2 ​​.) एक्स + 1/एक्स).

बस इतना ही! जैसा कि अंतिम अभिव्यक्ति से देखा जा सकता है, पूरी समस्या को योग के व्युत्पन्न की गणना करने के लिए कम कर दिया गया है।

जवाब:
एफ ’(एक्स) = 2 इ 2एक्स + 3 ;
जी ’(एक्स) = (2एक्स + 1/एक्स) क्योंकि ( एक्स 2+एलएन एक्स).

बहुत बार मेरे पाठों में, "व्युत्पन्न" शब्द के बजाय, मैं "स्ट्रोक" शब्द का उपयोग करता हूं। उदाहरण के लिए, योग का स्ट्रोक स्ट्रोक के योग के बराबर है। क्या यह स्पष्ट है? अच्छा, यह तो अच्छी बात है।

इस प्रकार, ऊपर चर्चा किए गए नियमों के अनुसार इन बहुत स्ट्रोक से छुटकारा पाने के लिए व्युत्पन्न की गणना नीचे आती है। अंतिम उदाहरण के रूप में, आइए एक परिमेय घातांक के साथ व्युत्पन्न शक्ति पर लौटते हैं:

(एक्स एन)’ = एन · एक्स एन − 1

कम ही लोग जानते हैं कि भूमिका में एनएक भिन्नात्मक संख्या हो सकती है। उदाहरण के लिए, जड़ है एक्स 0.5. लेकिन क्या होगा अगर जड़ के नीचे कुछ मुश्किल है? फिर से, एक जटिल कार्य होगा - वे परीक्षण और परीक्षा में ऐसे निर्माण देना पसंद करते हैं।

काम। किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं:

सबसे पहले, आइए रूट को एक परिमेय घातांक के साथ एक घात के रूप में फिर से लिखें:

एफ(एक्स) = (एक्स 2 + 8एक्स − 7) 0,5 .

अब हम एक प्रतिस्थापन करते हैं: let एक्स 2 + 8एक्स − 7 = टी. हम सूत्र द्वारा व्युत्पन्न पाते हैं:

एफ ’(एक्स) = एफ ’(टी) · टी ’ = (टी 0.5)' टी' = 0.5 टी-0.5 टी ’.

हम एक रिवर्स प्रतिस्थापन करते हैं: टी = एक्स 2 + 8एक्स- 7. हमारे पास है:

एफ ’(एक्स) = 0.5 ( एक्स 2 + 8एक्स- 7) -0.5 ( एक्स 2 + 8एक्स- 7)' = 0.5 (2 .) एक्स+ 8) ( एक्स 2 + 8एक्स − 7) −0,5 .

अंत में, वापस जड़ों की ओर:

प्रथम स्तर

फ़ंक्शन व्युत्पन्न। व्यापक गाइड (2019)

एक पहाड़ी क्षेत्र से गुजरने वाली सीधी सड़क की कल्पना करें। यानी यह ऊपर और नीचे जाता है, लेकिन दाएं या बाएं नहीं मुड़ता। यदि अक्ष को सड़क के साथ क्षैतिज रूप से और लंबवत रूप से निर्देशित किया जाता है, तो सड़क रेखा कुछ निरंतर कार्य के ग्राफ के समान होगी:

धुरी शून्य ऊंचाई का एक निश्चित स्तर है, जीवन में हम समुद्र के स्तर का उपयोग करते हैं।

ऐसी सड़क पर आगे बढ़ते हुए हम भी ऊपर या नीचे जा रहे हैं। हम यह भी कह सकते हैं: जब तर्क बदलता है (भुजाकार अक्ष के साथ आगे बढ़ते हुए), फ़ंक्शन का मान बदलता है (ऑर्डिनेट अक्ष के साथ आगे बढ़ता है)। अब आइए विचार करें कि हमारी सड़क की "खड़ीपन" का निर्धारण कैसे करें? यह मूल्य क्या हो सकता है? बहुत सरल: एक निश्चित दूरी आगे बढ़ने पर ऊंचाई कितनी बदलेगी। दरअसल, सड़क के अलग-अलग हिस्सों पर, एक किलोमीटर आगे (एब्सिस्सा के साथ) आगे बढ़ते हुए, हम समुद्र तल (ऑर्डिनेट के साथ) के सापेक्ष अलग-अलग मीटर की संख्या में उठेंगे या गिरेंगे।

हम आगे की प्रगति को दर्शाते हैं ("डेल्टा एक्स" पढ़ें)।

ग्रीक अक्षर (डेल्टा) आमतौर पर गणित में उपसर्ग के रूप में प्रयोग किया जाता है जिसका अर्थ है "परिवर्तन"। अर्थात् - यह परिमाण में परिवर्तन है, - परिवर्तन; तब यह क्या है? यह सही है, आकार में बदलाव।

महत्वपूर्ण: व्यंजक एक इकाई है, एक चर है। आपको "x" या किसी अन्य अक्षर से "डेल्टा" को कभी नहीं फाड़ना चाहिए! यानी, उदाहरण के लिए।

तो, हम आगे बढ़े हैं, क्षैतिज रूप से, आगे। यदि हम सड़क की रेखा की तुलना किसी फलन के ग्राफ से करते हैं, तो हम वृद्धि को कैसे निरूपित करते हैं? निश्चित रूप से, । यानी जब हम आगे बढ़ते हैं तो हम और ऊपर उठते हैं।

मूल्य की गणना करना आसान है: यदि शुरुआत में हम ऊंचाई पर थे, और आगे बढ़ने के बाद हम ऊंचाई पर थे, तो। यदि अंत बिंदु प्रारंभिक बिंदु से कम निकला, तो यह नकारात्मक होगा - इसका मतलब है कि हम आरोही नहीं, बल्कि अवरोही हैं।

वापस "स्थिरता" पर: यह एक ऐसा मान है जो इंगित करता है कि प्रति इकाई दूरी आगे बढ़ने पर ऊंचाई कितनी (तेजी से) बढ़ जाती है:

मान लीजिए कि पथ के किसी भाग पर, किमी से आगे बढ़ने पर, सड़क किमी से ऊपर उठती है। तब इस स्थान की खड़ीपन बराबर होती है। और अगर सड़क, मी से आगे बढ़ने पर, किमी से डूब जाती है? फिर ढलान बराबर है।

अब एक पहाड़ी की चोटी पर विचार करें। यदि आप खंड की शुरुआत आधा किलोमीटर ऊपर और अंत - इसके बाद आधा किलोमीटर लेते हैं, तो आप देख सकते हैं कि ऊंचाई लगभग समान है।

यानी हमारे तर्क के अनुसार पता चलता है कि यहां का ढलान लगभग शून्य के बराबर है, जो स्पष्ट रूप से सच नहीं है. कुछ ही मील दूर बहुत कुछ बदल सकता है। ढलान के अधिक पर्याप्त और सटीक अनुमान के लिए छोटे क्षेत्रों पर विचार करने की आवश्यकता है। उदाहरण के लिए, यदि आप एक मीटर चलते समय ऊंचाई में परिवर्तन को मापते हैं, तो परिणाम अधिक सटीक होगा। लेकिन यह सटीकता भी हमारे लिए पर्याप्त नहीं हो सकती है - आखिरकार, अगर सड़क के बीच में कोई खंभा है, तो हम आसानी से उससे फिसल सकते हैं। तब हमें कौन सी दूरी चुननी चाहिए? सेंटीमीटर? मिलीमीटर? कम बेहतर है!

वास्तविक जीवन में, निकटतम मिलीमीटर की दूरी को मापना पर्याप्त से अधिक है। लेकिन गणितज्ञ हमेशा पूर्णता के लिए प्रयास करते हैं। इसलिए, अवधारणा थी बहुत छोता, अर्थात्, मॉड्यूल मान किसी भी संख्या से कम है जिसे हम नाम दे सकते हैं। उदाहरण के लिए, आप कहते हैं: एक खरब! कितना कम? और आप इस संख्या को - से विभाजित करते हैं और यह और भी कम होगा। आदि। यदि हम यह लिखना चाहते हैं कि मान असीम रूप से छोटा है, तो हम इस तरह लिखते हैं: (हम पढ़ते हैं "x शून्य की ओर जाता है")। समझना बहुत जरूरी है कि यह संख्या शून्य के बराबर नहीं है!लेकिन इसके बहुत करीब। इसका मतलब है कि इसे में विभाजित किया जा सकता है।

अपरिमित रूप से छोटे के विपरीत अवधारणा अपरिमित रूप से बड़ी है ()। जब आप असमानताओं पर काम कर रहे थे तब आप शायद पहले ही इसका सामना कर चुके हैं: यह संख्या मापांक में किसी भी संख्या से अधिक है जिसके बारे में आप सोच सकते हैं। यदि आप सबसे बड़ी संभव संख्या के साथ आते हैं, तो बस इसे दो से गुणा करें और आपको और भी अधिक मिलता है। और अनंत जो होता है उससे कहीं अधिक है। वास्तव में, असीम रूप से बड़े और असीम रूप से छोटे एक दूसरे के विपरीत होते हैं, अर्थात्, पर, और इसके विपरीत: पर।

अब वापस हमारी सड़क पर। आदर्श रूप से गणना की गई ढलान पथ के एक असीम रूप से छोटे खंड के लिए गणना की गई ढलान है, जो है:

मैं ध्यान देता हूं कि असीम रूप से छोटे विस्थापन के साथ, ऊंचाई में परिवर्तन भी असीम रूप से छोटा होगा। लेकिन मैं आपको याद दिला दूं कि असीम रूप से छोटे का मतलब शून्य के बराबर नहीं है। यदि आप अतिसूक्ष्म संख्याओं को एक दूसरे से विभाजित करते हैं, तो आप पूरी तरह से सामान्य संख्या प्राप्त कर सकते हैं, उदाहरण के लिए,। अर्थात्, एक छोटा मान दूसरे से ठीक दोगुना बड़ा हो सकता है।

यह सब क्यों? सड़क, ढलान ... हम रैली में नहीं जा रहे हैं, लेकिन हम गणित सीख रहे हैं। और गणित में सब कुछ बिल्कुल वैसा ही है, केवल अलग-अलग कहा जाता है।

एक व्युत्पन्न की अवधारणा

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न तर्क के एक अनंतिम वेतन वृद्धि पर तर्क की वृद्धि के लिए फ़ंक्शन की वृद्धि का अनुपात है।

वेतन वृद्धिगणित में परिवर्तन कहा जाता है। अक्ष के अनुदिश चलने पर तर्क () कितना बदल गया है, कहलाता है तर्क वृद्धिऔर दूरी से अक्ष के साथ आगे बढ़ने पर फ़ंक्शन (ऊंचाई) कितना बदल गया है, द्वारा दर्शाया गया है समारोह वृद्धिऔर अंकित है।

तो, किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न कब का संबंध है। हम व्युत्पन्न को फ़ंक्शन के समान अक्षर से निरूपित करते हैं, केवल ऊपर दाईं ओर से एक स्ट्रोक के साथ: या बस। तो, आइए इन नोटेशन का उपयोग करके व्युत्पन्न सूत्र लिखें:

जैसा कि सड़क के सादृश्य में, यहाँ, जब फ़ंक्शन बढ़ता है, तो व्युत्पन्न धनात्मक होता है, और जब यह घटता है, तो यह ऋणात्मक होता है।

लेकिन क्या व्युत्पन्न शून्य के बराबर है? निश्चित रूप से। उदाहरण के लिए, यदि हम समतल क्षैतिज सड़क पर गाड़ी चला रहे हैं, तो ढलान शून्य है। दरअसल, ऊंचाई बिल्कुल नहीं बदलती है। तो व्युत्पन्न के साथ: एक स्थिर कार्य (स्थिर) का व्युत्पन्न शून्य के बराबर है:

चूंकि इस तरह के फ़ंक्शन की वृद्धि किसी के लिए शून्य है।

आइए पहाड़ी की चोटी का उदाहरण लें। यह पता चला कि शीर्ष के विपरीत पक्षों पर खंड के सिरों को इस तरह से व्यवस्थित करना संभव था कि सिरों पर ऊंचाई समान हो, अर्थात खंड अक्ष के समानांतर हो:

लेकिन बड़े खंड गलत माप के संकेत हैं। हम अपने सेगमेंट को अपने समानांतर ऊपर उठाएंगे, फिर इसकी लंबाई कम हो जाएगी।

अंत में, जब हम अनंत रूप से शीर्ष के करीब होंगे, तो खंड की लंबाई असीम रूप से छोटी हो जाएगी। लेकिन साथ ही, यह अक्ष के समानांतर रहा, यानी इसके सिरों पर ऊंचाई का अंतर शून्य के बराबर है (प्रवृत्त नहीं होता है, लेकिन बराबर है)। तो व्युत्पन्न

इसे इस प्रकार समझा जा सकता है: जब हम सबसे ऊपर खड़े होते हैं, तो बाईं या दाईं ओर एक छोटा सा बदलाव हमारी ऊंचाई को नगण्य रूप से बदल देता है।

एक विशुद्ध रूप से बीजगणितीय व्याख्या भी है: शीर्ष के बाईं ओर, फ़ंक्शन बढ़ता है, और दाईं ओर, यह घटता है। जैसा कि हम पहले ही जान चुके हैं कि जब फलन बढ़ता है तो अवकलज धनात्मक होता है और जब घटता है तो ऋणात्मक होता है। लेकिन यह बिना छलांग के आसानी से बदल जाता है (क्योंकि सड़क अपनी ढलान को कहीं भी तेजी से नहीं बदलती है)। इसलिए, नकारात्मक और सकारात्मक मूल्यों के बीच होना चाहिए। यह वह जगह होगी जहां फ़ंक्शन न तो बढ़ता है और न ही घटता है - शीर्ष बिंदु पर।

घाटी के लिए भी यही सच है (वह क्षेत्र जहाँ फ़ंक्शन बाईं ओर घटता है और दाईं ओर बढ़ता है):

वेतन वृद्धि के बारे में थोड़ा और।

इसलिए हम तर्क को एक मान में बदलते हैं। हम किस मूल्य से बदलते हैं? वह (तर्क) अब क्या हो गया है? हम कोई भी बिंदु चुन सकते हैं, और अब हम उससे नृत्य करेंगे।

एक निर्देशांक के साथ एक बिंदु पर विचार करें। इसमें फंक्शन का मान बराबर होता है। फिर हम एक ही वेतन वृद्धि करते हैं: निर्देशांक बढ़ाएँ। अब क्या तर्क है? बहुत आसान: । अब फ़ंक्शन का मूल्य क्या है? जहां तर्क जाता है, समारोह वहां जाता है:। फ़ंक्शन वृद्धि के बारे में क्या? कुछ भी नया नहीं: यह अभी भी वह राशि है जिसके द्वारा फ़ंक्शन बदल गया है:

वेतन वृद्धि खोजने का अभ्यास करें:

1. के बराबर तर्क की वृद्धि के साथ एक बिंदु पर फ़ंक्शन की वृद्धि का पता लगाएं।
2. एक बिंदु पर एक समारोह के लिए वही।

समाधान:

अलग-अलग बिंदुओं पर, तर्क के समान वेतन वृद्धि के साथ, फ़ंक्शन की वृद्धि अलग-अलग होगी। इसका मतलब है कि प्रत्येक बिंदु पर व्युत्पन्न का अपना है (हमने शुरुआत में ही इस पर चर्चा की थी - विभिन्न बिंदुओं पर सड़क की ढलान अलग है)। इसलिए, जब हम एक व्युत्पन्न लिखते हैं, तो हमें किस बिंदु पर इंगित करना चाहिए:

ऊर्जा समीकरण।

एक पावर फ़ंक्शन को एक फ़ंक्शन कहा जाता है जहां तर्क कुछ हद तक होता है (तार्किक, सही?)

और - किसी भी हद तक: .

सबसे सरल मामला तब होता है जब घातांक होता है:

आइए एक बिंदु पर इसका व्युत्पन्न खोजें। व्युत्पन्न की परिभाषा याद रखें:

तो तर्क से बदल जाता है। फंक्शन इंक्रीमेंट क्या है?

वृद्धि है। लेकिन किसी भी बिंदु पर फलन उसके तर्क के बराबर होता है। इसलिए:

व्युत्पन्न है:

का व्युत्पन्न है:

b) अब द्विघात फलन () पर विचार करें: .

आइए अब इसे याद करते हैं। इसका मतलब यह है कि वेतन वृद्धि के मूल्य की उपेक्षा की जा सकती है, क्योंकि यह असीम रूप से छोटा है, और इसलिए किसी अन्य शब्द की पृष्ठभूमि के खिलाफ महत्वहीन है:

तो, हमारे पास एक और नियम है:

ग) हम तार्किक श्रृंखला जारी रखते हैं:।

इस व्यंजक को विभिन्न तरीकों से सरल बनाया जा सकता है: योग के घन के संक्षिप्त गुणन के लिए सूत्र का उपयोग करके पहला कोष्ठक खोलें, या घनों के अंतर के लिए सूत्र का उपयोग करके संपूर्ण व्यंजक को कारकों में विघटित करें। सुझाए गए किसी भी तरीके से इसे स्वयं करने का प्रयास करें।

तो, मुझे निम्नलिखित मिला:

और चलिए इसे फिर से याद करते हैं। इसका मतलब है कि हम सभी शर्तों की उपेक्षा कर सकते हैं जिनमें शामिल हैं:

हम पाते हैं: ।

डी) बड़ी शक्तियों के लिए समान नियम प्राप्त किए जा सकते हैं:

ई) यह पता चला है कि इस नियम को एक मनमाना घातांक के साथ एक शक्ति फ़ंक्शन के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, पूर्णांक भी नहीं:

(2)

आप शब्दों के साथ नियम बना सकते हैं: "डिग्री को गुणांक के रूप में आगे लाया जाता है, और फिर घट जाता है"।

हम इस नियम को बाद में (लगभग अंत में) सिद्ध करेंगे। अब आइए कुछ उदाहरण देखें। कार्यों के व्युत्पन्न खोजें:

1. (दो तरीकों से: सूत्र द्वारा और व्युत्पन्न की परिभाषा का उपयोग करके - फ़ंक्शन की वृद्धि की गणना करके);

1. . मानो या न मानो, यह एक शक्ति कार्य है। यदि आपके कोई प्रश्न हैं जैसे "यह कैसा है? और डिग्री कहाँ है? ”, विषय याद रखें“ ”!
   हाँ, हाँ, जड़ भी एक डिग्री है, केवल एक भिन्नात्मक:।
   तो हमारा वर्गमूल एक घातांक के साथ सिर्फ एक शक्ति है:
   .
   हम हाल ही में सीखे गए फॉर्मूले का उपयोग करके व्युत्पन्न की तलाश कर रहे हैं:

   यदि इस बिंदु पर यह फिर से अस्पष्ट हो गया, तो "" विषय दोहराएं !!! (एक नकारात्मक संकेतक के साथ एक डिग्री के बारे में)

2. . अब प्रतिपादक:

   और अब परिभाषा के माध्यम से (क्या आप अभी तक भूल गए हैं?):
   ;
   .
   अब, हमेशा की तरह, हम इस शब्द की उपेक्षा करते हैं:
   .

3. . पिछले मामलों का संयोजन:।

त्रिकोणमितीय कार्य।

यहां हम उच्च गणित के एक तथ्य का उपयोग करेंगे:

जब अभिव्यक्ति।

आप संस्थान के पहले वर्ष में सबूत सीखेंगे (और वहां पहुंचने के लिए, आपको परीक्षा को अच्छी तरह से पास करना होगा)। अब मैं इसे केवल ग्राफिक रूप से दिखाऊंगा:

हम देखते हैं कि जब फ़ंक्शन मौजूद नहीं होता है - ग्राफ़ पर बिंदु पंचर हो जाता है। लेकिन मूल्य के जितना करीब होता है, कार्य उतना ही करीब होता है। यह बहुत "प्रयास" है।

इसके अतिरिक्त, आप कैलकुलेटर से इस नियम की जांच कर सकते हैं। हां, हां, शरमाएं नहीं, कैलकुलेटर लें, हम अभी परीक्षा में नहीं हैं।

तो चलो कोशिश करें: ;

कैलकुलेटर को रेडियन मोड में स्विच करना न भूलें!

आदि। हम देखते हैं कि अनुपात जितना छोटा होगा, अनुपात का मान उतना ही अधिक होगा।

ए) एक समारोह पर विचार करें। हमेशा की तरह, हम इसकी वृद्धि पाते हैं:

आइए ज्या के अंतर को उत्पाद में बदल दें। ऐसा करने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं (विषय "" याद रखें):।

अब व्युत्पन्न:

आइए एक प्रतिस्थापन करें: . फिर, असीम रूप से छोटे के लिए, यह भी असीम रूप से छोटा है:। के लिए अभिव्यक्ति रूप लेती है:

और अब हम याद करते हैं कि अभिव्यक्ति के साथ। और यह भी, क्या होगा यदि योग (अर्थात, पर) में एक असीम रूप से छोटे मूल्य की उपेक्षा की जा सकती है।

तो हमें निम्नलिखित नियम मिलता है: ज्या का व्युत्पन्न कोज्या के बराबर है:

ये बुनियादी ("टेबल") डेरिवेटिव हैं। यहाँ वे एक सूची में हैं:

बाद में हम उनमें कुछ और जोड़ेंगे, लेकिन ये सबसे महत्वपूर्ण हैं, क्योंकि इनका उपयोग अक्सर किया जाता है।

अभ्यास:

1. किसी बिंदु पर किसी फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए;
2. फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं।

समाधान:

1. सबसे पहले, हम एक सामान्य रूप में व्युत्पन्न पाते हैं, और फिर हम इसके बजाय इसके मूल्य को प्रतिस्थापित करते हैं:
   ;
   .
2. यहां हमारे पास पावर फंक्शन के समान कुछ है। आइए उसे लाने की कोशिश करें
   सामान्य दृश्य:
   .
   ठीक है, अब आप सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:
   .
   .
3. . ईईईईईई… .. यह क्या है ????

ठीक है, आप सही कह रहे हैं, हम अभी भी नहीं जानते कि इस तरह के डेरिवेटिव कैसे खोजें। यहां हमारे पास कई प्रकार के कार्यों का संयोजन है। उनके साथ काम करने के लिए, आपको कुछ और नियम सीखने होंगे:

घातांक और प्राकृतिक लघुगणक।

गणित में एक ऐसा फलन होता है, जिसका अवकलज किसी के लिए उसी के फलन के मान के बराबर होता है। इसे "घातांक" कहा जाता है, और यह एक घातांकीय फलन है

इस फ़ंक्शन का आधार - एक स्थिर - एक अनंत दशमलव अंश है, जो एक अपरिमेय संख्या (जैसे) है। इसे "यूलर नंबर" कहा जाता है, इसलिए इसे एक अक्षर से दर्शाया जाता है।

तो नियम है:

याद रखना बहुत आसान है।

खैर, हम दूर नहीं जाएंगे, हम तुरंत उलटा कार्य करेंगे। घातांकीय फलन का विलोम क्या होता है? लघुगणक:

हमारे मामले में, आधार एक संख्या है:

इस तरह के एक लघुगणक (अर्थात, आधार के साथ एक लघुगणक) को "प्राकृतिक" कहा जाता है, और हम इसके लिए एक विशेष संकेतन का उपयोग करते हैं: हम इसके बजाय लिखते हैं।

किसके बराबर है? बेशक, ।

प्राकृतिक लघुगणक का व्युत्पन्न भी बहुत सरल है:

उदाहरण:

1. फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं।
2. फ़ंक्शन का व्युत्पन्न क्या है?

उत्तर: घातांक और प्राकृतिक लघुगणक ऐसे कार्य हैं जो व्युत्पन्न के संदर्भ में विशिष्ट रूप से सरल हैं। किसी अन्य आधार के साथ घातीय और लघुगणकीय कार्यों का एक अलग व्युत्पन्न होगा, जिसका हम बाद में विश्लेषण करेंगे, जब हम भेदभाव के नियमों से गुजरेंगे।

विभेदन नियम

क्या नियम? एक और नया शब्द, फिर से?!...

भेदभावव्युत्पन्न खोजने की प्रक्रिया है।

केवल और सब कुछ। इस प्रक्रिया के लिए दूसरा शब्द क्या है? नहीं proizvodnovanie... गणित के अंतर को फ़ंक्शन का बहुत वेतन वृद्धि कहा जाता है। यह शब्द लैटिन डिफरेंशियल - डिफरेंशियल से आया है। यहां।

इन सभी नियमों को प्राप्त करते समय, हम दो कार्यों का उपयोग करेंगे, उदाहरण के लिए, और। हमें उनकी वेतन वृद्धि के लिए सूत्रों की भी आवश्यकता होगी:

कुल 5 नियम हैं।

स्थिरांक को व्युत्पन्न के चिन्ह से निकाला जाता है।

अगर - कुछ स्थिर संख्या (स्थिर), तो।

जाहिर है, यह नियम अंतर के लिए भी काम करता है:।

आइए इसे साबित करें। चलो, या आसान।

उदाहरण।

कार्यों के व्युत्पन्न खोजें:

1. बिंदु पर;
2. बिंदु पर;
3. बिंदु पर;
4. बिंदु पर।

समाधान:

1. (व्युत्पन्न सभी बिंदुओं पर समान है, क्योंकि यह एक रैखिक कार्य है, याद रखें?);

किसी उत्पाद का व्युत्पन्न

यहां सब कुछ समान है: हम एक नया फ़ंक्शन पेश करते हैं और इसकी वृद्धि पाते हैं:

व्युत्पन्न:

उदाहरण:

1. कार्यों के व्युत्पन्न खोजें और;
2. किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं।

समाधान:

घातीय फ़ंक्शन का व्युत्पन्न

अब आपका ज्ञान यह जानने के लिए पर्याप्त है कि किसी घातांकीय फलन का व्युत्पन्न कैसे खोजा जाए, न कि केवल घातांक (क्या आप भूल गए हैं कि यह अभी तक क्या है?)

तो कुछ संख्या कहाँ है।

हम पहले से ही फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को जानते हैं, तो आइए अपने फ़ंक्शन को एक नए आधार पर लाने का प्रयास करें:

ऐसा करने के लिए, हम एक सरल नियम का उपयोग करते हैं: . फिर:

अच्छा, यह काम किया। अब अवकलज ज्ञात करने का प्रयास करें, और यह न भूलें कि यह फलन जटिल है।

हो गई?

यहां, अपने आप को जांचें:

सूत्र घातांक के व्युत्पन्न के समान निकला: जैसा था, वैसा ही रहता है, केवल एक कारक दिखाई देता है, जो सिर्फ एक संख्या है, लेकिन एक चर नहीं है।

उदाहरण:
कार्यों के व्युत्पन्न खोजें:

उत्तर:

यह केवल एक संख्या है जिसकी गणना बिना कैलकुलेटर के नहीं की जा सकती है, अर्थात इसे सरल रूप में नहीं लिखा जा सकता है। अतः उत्तर में इसे इस रूप में छोड़ दिया जाता है।

लॉगरिदमिक फ़ंक्शन का व्युत्पन्न

यहाँ यह समान है: आप पहले से ही प्राकृतिक लघुगणक के व्युत्पन्न को जानते हैं:

इसलिए, एक अलग आधार के साथ लघुगणक से एक मनमाना खोजने के लिए, उदाहरण के लिए, :

हमें इस लघुगणक को आधार पर लाने की जरूरत है। आप लघुगणक का आधार कैसे बदलते हैं? मुझे आशा है कि आपको यह सूत्र याद होगा:

इसके बजाय अब हम लिखेंगे:

भाजक केवल एक स्थिरांक (एक स्थिर संख्या, बिना किसी चर के) निकला। व्युत्पन्न बहुत सरल है:

परीक्षा में घातीय और लघुगणकीय कार्यों के डेरिवेटिव लगभग कभी नहीं पाए जाते हैं, लेकिन उन्हें जानना अतिश्योक्तिपूर्ण नहीं होगा।

एक जटिल कार्य का व्युत्पन्न।

एक "जटिल कार्य" क्या है? नहीं, यह लघुगणक नहीं है, और चाप स्पर्शरेखा नहीं है। इन कार्यों को समझना मुश्किल हो सकता है (हालांकि यदि लघुगणक आपको मुश्किल लगता है, तो "लघुगणक" विषय पढ़ें और सब कुछ काम करेगा), लेकिन गणित के संदर्भ में, "जटिल" शब्द का अर्थ "मुश्किल" नहीं है।

एक छोटे कन्वेयर की कल्पना करें: दो लोग बैठे हैं और कुछ वस्तुओं के साथ कुछ क्रिया कर रहे हैं। उदाहरण के लिए, पहला चॉकलेट बार को रैपर में लपेटता है, और दूसरा इसे रिबन से बांधता है। यह एक ऐसी समग्र वस्तु निकलती है: एक चॉकलेट बार लपेटा जाता है और एक रिबन से बंधा होता है। चॉकलेट बार खाने के लिए, आपको विपरीत चरणों को उल्टे क्रम में करने की आवश्यकता है।

आइए एक समान गणितीय पाइपलाइन बनाएं: पहले हम किसी संख्या की कोज्या ज्ञात करेंगे, और फिर हम परिणामी संख्या का वर्ग करेंगे। तो, वे हमें एक नंबर (चॉकलेट) देते हैं, मैं इसकी कोसाइन (रैपर) ढूंढता हूं, और फिर जो मुझे मिला है उसे आप वर्ग (रिबन से बांधें)। क्या हुआ? समारोह। यह एक जटिल फ़ंक्शन का एक उदाहरण है: जब, इसके मूल्य को खोजने के लिए, हम पहली क्रिया को सीधे चर के साथ करते हैं, और फिर पहले के परिणाम के साथ दूसरी दूसरी क्रिया करते हैं।

हम समान चरणों को उल्टे क्रम में अच्छी तरह से कर सकते हैं: पहले आप वर्ग करें, और फिर मैं परिणामी संख्या के कोसाइन की तलाश करता हूं:। यह अनुमान लगाना आसान है कि परिणाम लगभग हमेशा अलग होगा। जटिल कार्यों की एक महत्वपूर्ण विशेषता: जब क्रियाओं का क्रम बदलता है, तो कार्य बदल जाता है।

दूसरे शब्दों में, एक जटिल कार्य एक ऐसा कार्य है जिसका तर्क एक अन्य कार्य है: .

पहले उदाहरण के लिए, .

दूसरा उदाहरण: (वही)। .

हमारे द्वारा की जाने वाली अंतिम क्रिया कहलाएगी "बाहरी" समारोह, और पहले की गई क्रिया - क्रमशः "आंतरिक" समारोह(ये अनौपचारिक नाम हैं, मैं इनका उपयोग केवल सामग्री को सरल भाषा में समझाने के लिए करता हूं)।

अपने लिए यह निर्धारित करने का प्रयास करें कि कौन सा कार्य बाहरी है और कौन सा आंतरिक है:

उत्तर:आंतरिक और बाहरी कार्यों का पृथक्करण परिवर्तनशील चर के समान है: उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन में

1. हम पहले क्या कार्रवाई करेंगे? पहले हम साइन की गणना करते हैं, और उसके बाद ही हम इसे एक घन तक बढ़ाते हैं। तो यह एक आंतरिक कार्य है, बाहरी नहीं।
   और मूल कार्य उनकी रचना है: .
2. आंतरिक: ; बाहरी: ।
   इंतिहान: ।
3. आंतरिक: ; बाहरी: ।
   इंतिहान: ।
4. आंतरिक: ; बाहरी: ।
   इंतिहान: ।
5. आंतरिक: ; बाहरी: ।
   इंतिहान: ।

हम चर बदलते हैं और एक फ़ंक्शन प्राप्त करते हैं।

खैर, अब हम अपनी चॉकलेट निकालेंगे - व्युत्पन्न की तलाश करें। प्रक्रिया हमेशा उलट जाती है: पहले, हम बाहरी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की तलाश करते हैं, फिर हम परिणाम को आंतरिक फ़ंक्शन के व्युत्पन्न से गुणा करते हैं। मूल उदाहरण के लिए, यह इस तरह दिखता है:

एक और उदाहरण:

तो, आइए अंत में आधिकारिक नियम तैयार करें:

एक जटिल फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को खोजने के लिए एल्गोरिदम:

सब कुछ सरल लगता है, है ना?

आइए उदाहरणों के साथ जांचें:

समाधान:

1) आंतरिक: ;

बाहरी: ;

2) आंतरिक: ;

(बस अब तक कम करने की कोशिश मत करो! कोसाइन के नीचे से कुछ भी नहीं निकाला जाता है, याद है?)

3) आंतरिक: ;

बाहरी: ;

यह तुरंत स्पष्ट है कि यहां तीन-स्तरीय जटिल कार्य है: आखिरकार, यह पहले से ही अपने आप में एक जटिल कार्य है, और हम अभी भी इससे जड़ निकालते हैं, अर्थात, हम तीसरी क्रिया करते हैं (चॉकलेट को एक आवरण में डालते हैं) और एक ब्रीफकेस में एक रिबन के साथ)। लेकिन डरने का कोई कारण नहीं है: वैसे भी, हम इस फ़ंक्शन को हमेशा की तरह उसी क्रम में "अनपैक" करेंगे: अंत से।

अर्थात्, पहले हम मूल में अंतर करते हैं, फिर कोसाइन और उसके बाद ही कोष्ठक में व्यंजक। और फिर हम इसे सभी गुणा करते हैं।

ऐसे मामलों में, कार्यों को नंबर देना सुविधाजनक होता है। यानी हम जो जानते हैं उसकी कल्पना करें। इस व्यंजक के मान की गणना करने के लिए हम किस क्रम में क्रिया करेंगे? आइए एक उदाहरण देखें:

बाद में कार्रवाई की जाती है, संबंधित फ़ंक्शन जितना अधिक "बाहरी" होगा। क्रियाओं का क्रम - पहले की तरह:

यहां नेस्टिंग आमतौर पर 4-स्तर की होती है। आइए कार्रवाई के पाठ्यक्रम को निर्धारित करें।

1. कट्टरपंथी अभिव्यक्ति। .

2. जड़। .

3. साइनस। .

4. स्क्वायर। .

5. यह सब एक साथ रखना:

व्युत्पन्न। संक्षेप में मुख्य के बारे में

फ़ंक्शन व्युत्पन्न- तर्क की एक असीम वृद्धि के साथ तर्क की वृद्धि के लिए फ़ंक्शन की वृद्धि का अनुपात:

मूल व्युत्पन्न:

भेदभाव नियम:

व्युत्पन्न के संकेत से स्थिरांक निकाला जाता है:

योग का व्युत्पन्न:

व्युत्पन्न उत्पाद:

भागफल का व्युत्पन्न:

एक जटिल कार्य का व्युत्पन्न:

एक जटिल फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को खोजने के लिए एल्गोरिदम:

1. हम "आंतरिक" फ़ंक्शन को परिभाषित करते हैं, इसके व्युत्पन्न पाते हैं।
2. हम "बाहरी" फ़ंक्शन को परिभाषित करते हैं, इसके व्युत्पन्न पाते हैं।
3. हम पहले और दूसरे अंक के परिणामों को गुणा करते हैं।

एक जटिल कार्य का व्युत्पन्न। समाधान उदाहरण

इस पाठ में, हम सीखेंगे कि कैसे खोजें एक जटिल कार्य का व्युत्पन्न. पाठ पाठ की तार्किक निरंतरता है व्युत्पन्न कैसे खोजें?, जिस पर हमने सरलतम डेरिवेटिव का विश्लेषण किया, और भेदभाव के नियमों और डेरिवेटिव खोजने के लिए कुछ तकनीकी तरीकों से भी परिचित हुए। इस प्रकार, यदि आप कार्यों के व्युत्पन्न के साथ बहुत अच्छे नहीं हैं या इस लेख के कुछ बिंदु पूरी तरह से स्पष्ट नहीं हैं, तो पहले उपरोक्त पाठ को पढ़ें। कृपया एक गंभीर मूड में ट्यून करें - सामग्री आसान नहीं है, लेकिन मैं फिर भी इसे सरल और स्पष्ट रूप से प्रस्तुत करने का प्रयास करूंगा।

व्यवहार में, आपको एक जटिल फ़ंक्शन के व्युत्पन्न से बहुत बार निपटना पड़ता है, मैं लगभग हमेशा कहूंगा, जब आपको डेरिवेटिव खोजने के लिए कार्य दिए जाते हैं।

हम तालिका में एक जटिल फलन में अंतर करने के लिए नियम (संख्या 5) को देखते हैं:

हम समझते हैं। सबसे पहले, आइए नोटेशन पर एक नज़र डालें। यहां हमारे पास दो कार्य हैं - और, और फ़ंक्शन, आलंकारिक रूप से बोलना, फ़ंक्शन में नेस्टेड है। इस तरह के एक फंक्शन (जब एक फंक्शन दूसरे के भीतर नेस्ट किया जाता है) को कॉम्प्लेक्स फंक्शन कहा जाता है।

मैं समारोह को बुलाऊंगा बाहरी कार्य, और समारोह - आंतरिक (या नेस्टेड) ​​फ़ंक्शन.

! ये परिभाषाएं सैद्धांतिक नहीं हैं और इन्हें सत्रीय कार्यों के अंतिम डिजाइन में नहीं दिखना चाहिए। मैं अनौपचारिक अभिव्यक्तियों "बाहरी कार्य", "आंतरिक" फ़ंक्शन का उपयोग केवल आपके लिए सामग्री को समझना आसान बनाने के लिए करता हूं।

स्थिति को स्पष्ट करने के लिए, विचार करें:

उदाहरण 1

किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं

साइन के तहत, हमारे पास केवल "x" अक्षर नहीं है, बल्कि संपूर्ण अभिव्यक्ति है, इसलिए तालिका से तुरंत व्युत्पन्न खोजने से काम नहीं चलेगा। हम यह भी देखते हैं कि यहां पहले चार नियमों को लागू करना असंभव है, एक अंतर प्रतीत होता है, लेकिन तथ्य यह है कि साइन को "फाड़ना" असंभव है:

इस उदाहरण में, पहले से ही मेरे स्पष्टीकरण से, यह सहज रूप से स्पष्ट है कि फ़ंक्शन एक जटिल कार्य है, और बहुपद एक आंतरिक फ़ंक्शन (एम्बेडिंग) और एक बाहरी फ़ंक्शन है।

पहला कदम, जो एक जटिल कार्य के व्युत्पन्न को खोजने के लिए किया जाना चाहिए, समझें कि कौन सा कार्य आंतरिक है और कौन सा बाहरी है.

सरल उदाहरणों के मामले में, यह स्पष्ट प्रतीत होता है कि एक बहुपद ज्या के नीचे स्थित है। लेकिन क्या होगा अगर यह स्पष्ट नहीं है? कैसे निर्धारित करें कि कौन सा कार्य बाहरी है और कौन सा आंतरिक है? ऐसा करने के लिए, मैं निम्नलिखित तकनीक का उपयोग करने का प्रस्ताव करता हूं, जिसे मानसिक रूप से या मसौदे पर किया जा सकता है।

आइए कल्पना करें कि हमें कैलकुलेटर के साथ अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना करने की आवश्यकता है (एक के बजाय, कोई भी संख्या हो सकती है)।

हम पहले क्या गणना करते हैं? प्रमुख रूप सेआपको निम्नलिखित क्रिया करने की आवश्यकता होगी: , इसलिए बहुपद एक आंतरिक कार्य होगा:

दूसरेआपको खोजने की आवश्यकता होगी, इसलिए साइन - एक बाहरी कार्य होगा:

हमारे बाद समझनाआंतरिक और बाहरी कार्यों के साथ, यौगिक फ़ंक्शन विभेदन नियम लागू करने का समय आ गया है।

हम तय करना शुरू करते हैं। पाठ से व्युत्पन्न कैसे खोजें?हमें याद है कि किसी भी व्युत्पन्न के समाधान का डिज़ाइन हमेशा इस तरह से शुरू होता है - हम अभिव्यक्ति को कोष्ठक में संलग्न करते हैं और ऊपर दाईं ओर एक स्ट्रोक लगाते हैं:

सर्वप्रथमहम बाह्य फलन (साइन) का अवकलज पाते हैं, प्राथमिक फलनों के अवकलजों की तालिका को देखते हैं और देखते हैं कि . सभी सारणीबद्ध सूत्र लागू होते हैं, भले ही "x" को एक जटिल व्यंजक द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, इस मामले में:

ध्यान दें कि आंतरिक कार्य नहीं बदला है, हम इसे छूते नहीं हैं.

खैर, यह बिल्कुल स्पष्ट है कि

सूत्र को लागू करने का अंतिम परिणाम इस तरह दिखता है:

स्थिरांक कारक आमतौर पर अभिव्यक्ति की शुरुआत में रखा जाता है:

यदि कोई गलतफहमी है, तो निर्णय को कागज पर लिख लें और स्पष्टीकरण दोबारा पढ़ें।

उदाहरण 2

किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं

उदाहरण 3

किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं

हमेशा की तरह, हम लिखते हैं:

हम यह पता लगाते हैं कि हमारा बाहरी कार्य कहाँ है, और आंतरिक कहाँ है। ऐसा करने के लिए, हम के लिए अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना करने के लिए (मानसिक रूप से या मसौदे पर) प्रयास करते हैं। पहले क्या करने की जरूरत है? सबसे पहले, आपको गणना करने की आवश्यकता है कि आधार किसके बराबर है:, जिसका अर्थ है कि बहुपद आंतरिक कार्य है:

और, उसके बाद ही घातांक किया जाता है, इसलिए, शक्ति कार्य एक बाहरी कार्य है:

सूत्र के अनुसार, पहले आपको बाहरी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को खोजने की आवश्यकता है, इस मामले में, डिग्री। हम तालिका में वांछित सूत्र की तलाश कर रहे हैं:। हम फिर दोहराते हैं: कोई भी सारणीबद्ध सूत्र न केवल "x" के लिए, बल्कि एक जटिल व्यंजक के लिए भी मान्य है. इस प्रकार, एक जटिल फलन के विभेदीकरण के नियम को लागू करने का परिणाम निम्नलिखित है:

मैं फिर से जोर देता हूं कि जब हम बाहरी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न लेते हैं, तो आंतरिक कार्य नहीं बदलता है:

अब यह आंतरिक फ़ंक्शन का एक बहुत ही सरल व्युत्पन्न खोजने के लिए बनी हुई है और परिणाम को थोड़ा "कंघी" करती है:

उदाहरण 4

किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं

यह आत्म-समाधान के लिए एक उदाहरण है (पाठ के अंत में उत्तर दें)।

एक जटिल फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की समझ को मजबूत करने के लिए, मैं टिप्पणियों के बिना एक उदाहरण दूंगा, इसे स्वयं समझने का प्रयास करें, कारण, बाहरी कहां है और आंतरिक कार्य कहां है, कार्यों को इस तरह क्यों हल किया जाता है?

उदाहरण 5

ए) एक समारोह के व्युत्पन्न खोजें

बी) फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

उदाहरण 6

किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं

यहां हमारे पास एक जड़ है, और जड़ को अलग करने के लिए, इसे एक डिग्री के रूप में दर्शाया जाना चाहिए। इस प्रकार, हम पहले फ़ंक्शन को विभेदन के लिए उचित रूप में लाते हैं:

फलन का विश्लेषण करते हुए, हम इस निष्कर्ष पर पहुँचते हैं कि तीन पदों का योग एक आंतरिक फलन है, और घातांक एक बाहरी फलन है। हम एक जटिल फलन के विभेदीकरण का नियम लागू करते हैं:

डिग्री को फिर से एक कट्टरपंथी (रूट) के रूप में दर्शाया जाता है, और आंतरिक फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के लिए, हम योग को अलग करने के लिए एक सरल नियम लागू करते हैं:

तैयार। आप व्यंजक को कोष्ठकों में एक सामान्य हर में भी ला सकते हैं और सब कुछ एक भिन्न के रूप में लिख सकते हैं। यह सुंदर है, निश्चित रूप से, लेकिन जब बोझिल लंबे डेरिवेटिव प्राप्त होते हैं, तो ऐसा नहीं करना बेहतर होता है (भ्रमित होना आसान है, एक अनावश्यक गलती करें, और शिक्षक के लिए यह जांचना असुविधाजनक होगा)।

उदाहरण 7

किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं

यह आत्म-समाधान के लिए एक उदाहरण है (पाठ के अंत में उत्तर दें)।

यह ध्यान रखना दिलचस्प है कि कभी-कभी, एक जटिल कार्य को अलग करने के नियम के बजाय, कोई व्यक्ति भागफल को अलग करने के लिए नियम का उपयोग कर सकता है , लेकिन इस तरह का एक समाधान एक अजीब तरह की विकृति की तरह दिखेगा। यहाँ एक विशिष्ट उदाहरण है:

उदाहरण 8

किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं

यहां आप भागफल के विभेदीकरण के नियम का उपयोग कर सकते हैं , लेकिन एक जटिल फ़ंक्शन के भेदभाव के नियम के माध्यम से व्युत्पन्न खोजना अधिक लाभदायक है:

हम विभेदन के लिए फ़ंक्शन तैयार करते हैं - हम व्युत्पन्न का ऋण चिह्न निकालते हैं, और कोसाइन को अंश तक बढ़ाते हैं:

कोसाइन एक आंतरिक कार्य है, घातांक एक बाहरी कार्य है।
आइए हमारे नियम का उपयोग करें:

हम आंतरिक फ़ंक्शन का व्युत्पन्न पाते हैं, कोसाइन को वापस नीचे रीसेट करें:

तैयार। विचार किए गए उदाहरण में, यह महत्वपूर्ण है कि संकेतों में भ्रमित न हों। वैसे, इसे नियम से हल करने का प्रयास करें , उत्तरों का मिलान होना चाहिए।

उदाहरण 9

किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं

यह आत्म-समाधान के लिए एक उदाहरण है (पाठ के अंत में उत्तर दें)।

अब तक, हमने उन मामलों पर विचार किया है जहां एक जटिल कार्य में हमारे पास केवल एक घोंसला था। व्यावहारिक कार्यों में, आप अक्सर व्युत्पन्न पा सकते हैं, जहां, घोंसले के शिकार गुड़िया की तरह, एक दूसरे के अंदर, 3 या 4-5 फ़ंक्शन एक ही बार में नेस्टेड होते हैं।

उदाहरण 10

किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं

हम इस फ़ंक्शन के अनुलग्नकों को समझते हैं। हम प्रयोगात्मक मान का उपयोग करके व्यंजक का मूल्यांकन करने का प्रयास करते हैं। हम कैलकुलेटर पर कैसे भरोसा करेंगे?

पहले आपको खोजने की जरूरत है, जिसका अर्थ है कि आर्क्सिन सबसे गहरा घोंसला है:

एकता के इस चाप को तब चुकता किया जाना चाहिए:

और अंत में, हम सात को सत्ता में लाते हैं:

यही है, इस उदाहरण में हमारे पास तीन अलग-अलग कार्य और दो घोंसले हैं, जबकि अंतरतम कार्य आर्क्सिन है, और सबसे बाहरी कार्य घातीय कार्य है।

हम तय करना शुरू करते हैं

नियम के अनुसार, आपको सबसे पहले बाहरी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न लेना होगा। हम डेरिवेटिव की तालिका को देखते हैं और घातीय फ़ंक्शन का व्युत्पन्न पाते हैं: केवल अंतर यह है कि "x" के बजाय हमारे पास एक जटिल अभिव्यक्ति है, जो इस सूत्र की वैधता को नकारती नहीं है। तो, एक जटिल कार्य के भेदभाव के नियम को लागू करने का परिणाम निम्न है:

डैश के तहत, हमारे पास फिर से एक मुश्किल काम है! लेकिन यह पहले से आसान है। यह देखना आसान है कि आंतरिक कार्य आर्क्साइन है और बाहरी कार्य डिग्री है। एक जटिल फ़ंक्शन के भेदभाव के नियम के अनुसार, आपको पहले डिग्री का व्युत्पन्न लेना होगा।