Definisi analitis dari suatu fungsi

Fungsi %%y = f(x), x \in X%% diberikan dengan cara analitis yang eksplisit, jika diberikan rumus yang menentukan urutan operasi matematika yang harus dilakukan dengan argumen %%x%% untuk mendapatkan nilai %%f(x)%% dari fungsi ini.

Contoh

• %% y = 2 x^2 + 3x + 5, x \in \mathbb(R)%%;
• %% y = \frac(1)(x - 5), x \neq 5%%;
• %% y = \sqrt(x), x \geq 0%%.

Jadi, misalnya, dalam fisika, dengan gerak lurus yang dipercepat secara seragam, kecepatan suatu benda ditentukan oleh rumus t%% ditulis sebagai: %% s = s_0 + v_0 t + \frac(a t^2)(2) %%.

Fungsi yang Ditetapkan Sepotong

Terkadang fungsi yang dipertimbangkan dapat didefinisikan oleh beberapa rumus yang beroperasi di bagian berbeda dari domain definisinya, di mana argumen fungsi berubah. Contoh: $$ y = \begin(cases) x ^ 2,~ if~x< 0, \\ \sqrt{x},~ если~x \geq 0. \end{cases} $$

Fungsi semacam ini kadang-kadang disebut unsur atau sepotong demi sepotong. Contoh dari fungsi tersebut adalah %%y = |x|%%

Lingkup fungsi

Jika fungsi ditentukan dengan cara analitis eksplisit menggunakan rumus, tetapi cakupan fungsi dalam bentuk himpunan %%D%% tidak ditentukan, maka dengan %%D%% kita akan selalu berarti himpunan nilai dari argumen %%x%% yang membuat rumus ini masuk akal . Jadi untuk fungsi %%y = x^2%%, domain definisi adalah himpunan %%D = \mathbb(R) = (-\infty, +\infty)%%, karena argumen %%x% % dapat mengambil nilai apa pun pada nomor baris. Dan untuk fungsi %%y = \frac(1)(\sqrt(1 - x^2))%%, domain definisi adalah himpunan nilai %%x%% yang memenuhi pertidaksamaan %%1 - x^2 > 0%%, m.e. %%D = (-1, 1)%%.

Manfaat Definisi Fungsi Analitik Eksplisit

Perhatikan bahwa cara analitis eksplisit untuk menentukan suatu fungsi cukup ringkas (rumus, sebagai aturan, membutuhkan sedikit ruang), mudah direproduksi (rumus mudah ditulis), dan paling disesuaikan untuk melakukan operasi dan transformasi matematika pada fungsi.

Beberapa dari operasi ini - aljabar (penjumlahan, perkalian, dll.) - sudah dikenal dari kursus matematika sekolah, yang lain (pembedaan, integrasi) akan dipelajari di masa depan. Namun, metode ini tidak selalu jelas, karena sifat ketergantungan fungsi pada argumen tidak selalu jelas, dan terkadang perhitungan rumit diperlukan untuk menemukan nilai fungsi (jika perlu).

Spesifikasi fungsi implisit

Fungsi %%y = f(x)%% didefinisikan dengan cara analitis implisit, jika relasi $$F(x,y) = 0 diberikan, ~~~~~~~~~~(1)$$ menghubungkan nilai fungsi %%y%% dan argumen %% x%%. Jika diberikan nilai argumen, maka untuk menemukan nilai %%y%% yang sesuai dengan nilai tertentu %%x%%, perlu untuk menyelesaikan persamaan %%(1)%% sehubungan dengan %%y%% pada nilai tertentu %%x%%.

Diberikan nilai %%x%%, persamaan %%(1)%% mungkin tidak memiliki solusi atau lebih dari satu solusi. Dalam kasus pertama, nilai yang ditentukan %%x%% tidak berada dalam cakupan fungsi implisit, dan dalam kasus kedua ditentukan fungsi multinilai, yang memiliki lebih dari satu nilai untuk nilai argumen yang diberikan.

Perhatikan bahwa jika persamaan %%(1)%% dapat diselesaikan secara eksplisit sehubungan dengan %%y = f(x)%%, maka kita memperoleh fungsi yang sama, tetapi sudah didefinisikan dengan cara analitis eksplisit. Jadi, persamaan %%x + y^5 - 1 = 0%%

dan persamaan %%y = \sqrt(1 - x)%% mendefinisikan fungsi yang sama.

Definisi fungsi parametrik

Ketika ketergantungan %%y%% pada %%x%% tidak diberikan secara langsung, melainkan ketergantungan dari kedua variabel %%x%% dan %%y%% pada beberapa variabel tambahan ketiga %%t%% diberikan dalam bentuk

$$ \begin(cases) x = \varphi(t),\\ y = \psi(t), \end(cases) ~~~t \in T \subseteq \mathbb(R), ~~~~~ ~~~~~(2) $$mereka membicarakan parametrik metode pengaturan fungsi;

maka variabel bantu %%t%% disebut parameter.

Jika memungkinkan untuk mengecualikan parameter %%t%% dari persamaan %%(2)%%, maka parameter tersebut menjadi fungsi yang diberikan oleh ketergantungan analitis eksplisit atau implisit dari %%y%% pada %%x%% . Misalnya, dari relasi $$ \begin(cases) x = 2 t + 5, \\ y = 4 t + 12, \end(cases), ~~~t \in \mathbb(R), $$ kecuali untuk parameter % %t%% kita mendapatkan ketergantungan %%y = 2 x + 2%%, yang menetapkan garis lurus pada bidang %%xOy%%.

cara grafis

Contoh definisi grafis dari suatu fungsi

Contoh di atas menunjukkan bahwa cara analitis untuk mendefinisikan suatu fungsi sesuai dengan gambar grafis, yang dapat dianggap sebagai bentuk yang nyaman dan visual untuk menggambarkan suatu fungsi. Terkadang digunakan cara grafis mendefinisikan fungsi ketika ketergantungan %%y%% pada %%x%% diberikan oleh sebuah garis pada bidang %%xOy%%. Namun, untuk semua kejelasannya, ia kehilangan akurasi, karena nilai argumen dan nilai fungsi yang sesuai hanya dapat diperoleh dari grafik secara kira-kira. Kesalahan yang dihasilkan tergantung pada skala dan akurasi pengukuran absis dan ordinat dari titik-titik individu grafik. Di masa depan, kami akan menetapkan grafik fungsi hanya peran yang menggambarkan perilaku fungsi dan oleh karena itu kami akan membatasi diri untuk membangun "sketsa" grafik yang mencerminkan fitur utama fungsi.

Cara tabel

Catatan cara tabel penetapan fungsi, ketika beberapa nilai argumen dan nilai fungsi yang sesuai ditempatkan dalam tabel dalam urutan tertentu. Ini adalah bagaimana tabel terkenal fungsi trigonometri, tabel logaritma, dll dibangun. Dalam bentuk tabel, hubungan antara besaran yang diukur dalam studi eksperimental, pengamatan, dan tes biasanya disajikan.

Kerugian dari metode ini adalah ketidakmungkinan untuk secara langsung menentukan nilai fungsi untuk nilai argumen yang tidak termasuk dalam tabel. Jika ada keyakinan bahwa nilai argumen yang tidak disajikan dalam tabel termasuk dalam domain fungsi yang dipertimbangkan, maka nilai fungsi yang sesuai dapat dihitung kira-kira menggunakan interpolasi dan ekstrapolasi.

Contoh

x	3	5.1	10	12.5
kamu	9	23	80	110

Cara algoritmik dan verbal untuk menentukan fungsi

Fungsinya bisa diatur algoritmik(atau terprogram) dengan cara yang banyak digunakan dalam perhitungan komputer.

Akhirnya, dapat dicatat deskriptif(atau lisan) cara menentukan suatu fungsi, ketika aturan untuk mencocokkan nilai-nilai fungsi dengan nilai-nilai argumen dinyatakan dalam kata-kata.

Misalnya, fungsi %%[x] = m~\forall (x \in , konstanta (-∞; -5];4. terbatas - terbatas dari bawah5. nilai terbesar dan terkecil dari fungsi - y naim = 0, y naib - tidak ada;6. kontinuitas - kontinu di seluruh domain definisi;7. rentang nilai - , cembung dan naik turun (-∞; -5] dan [-2; +∞).VI. Reproduksi pengetahuan pada tingkat yang baru. Anda tahu bahwa konstruksi dan penyelidikan grafik dari fungsi yang diberikan sepotong-sepotong tercakup dalam bagian kedua dari ujian aljabar di bagian fungsi dan dievaluasi dengan 4 dan 6 poin. Mari kita beralih ke kumpulan tugas Halaman 119 - No. 4.19-1). Solusi: 1).y \u003d - x, - fungsi kuadrat, grafik - parabola, bercabang ke bawah (a \u003d -1, a 0) . x -2 -1 0 1 2 y -4 -1 0 1 4 2) y \u003d 3x - 10, - fungsi linier, grafiknya adalah garis lurusMari kita buat tabel dari beberapa nilaix 3 3 y 0 -1 3) y \u003d -3x -10, - fungsi linier, grafiknya adalah garis lurusMari kita buat tabel dari beberapa nilai x -3 -3 y 0 -1 4) Kami membuat grafik fungsi dalam satu sistem koordinat dan memilih bagian grafik pada interval tertentu.
Mari kita cari dari grafik yang nilai x nilai fungsinya bukan negatif. Jawaban: f(x) 0 untuk x = 0 dan untuk 3 VII.Mengerjakan tugas yang tidak standar. 4.29-1), hal.121. Larutan: 1) Langsung (kiri) y \u003d kx + b melalui titik (-4;0) dan (-2;2). Jadi -4 k + b = 0, -2 k + b = 2;
k \u003d 1, b \u003d 4, y \u003d x + 4. Jawaban: x +4 jika x -2 y = jika -2 x £3 3 jika x 3
VIII.Pengendalian pengetahuan. Jadi, mari kita simpulkan sedikit. Apa yang kita ulangi dalam pelajaran?Rencana penelitian fungsi, langkah-langkah untuk memplot grafik fungsi sepotong-sepotong, menetapkan fungsi secara analitis. Mari kita periksa bagaimana Anda mempelajari materi ini. Pengujian untuk "4" - "5", "3" Saya opsi No. U
2 1 -1 -1 1 X

D(f) = , cembung dan naik turun sebesar , cembung naik turun sebesar , menurun sebesar ________ Dibatasi oleh ____________ setidaknya tidak ada, maksimal =_____ Berkelanjutan di seluruh domain definisi E(f) = ____________ Cembung dan turun dan naik oleh seluruh domain definisi

Institusi pendidikan anggaran kota

sekolah menengah 13

"Fungsi Sepotong"

Sapogova Valentina dan

Donskaya Alexandra

Konsultan Kepala:

Berdsk

1. Pengertian tujuan dan sasaran utama.

2. Menanyakan.

2.1. Menentukan relevansi pekerjaan

2.2. Signifikansi praktis.

3. Sejarah fungsi.

4. Karakteristik umum.

5. Metode untuk mengatur fungsi.

6. Algoritma konstruksi.

8. Sastra bekas.

1. Pengertian tujuan dan sasaran utama.

Target:

Temukan cara untuk menyelesaikan fungsi sepotong demi sepotong dan, berdasarkan ini, buat algoritme untuk konstruksinya.

Tugas:

— Kenali konsep umum fungsi sepotong-sepotong;

- Pelajari sejarah istilah "fungsi";

- Melakukan survei;

— Untuk mengidentifikasi cara-cara menyetel fungsi sepotong-sepotong;

- Buat algoritma untuk konstruksinya;

2. Menanyakan.

Sebuah survei dilakukan di antara siswa sekolah menengah atas tentang kemampuan membangun fungsi sepotong-sepotong. Jumlah responden sebanyak 54 orang. Di antara mereka, 6% menyelesaikan pekerjaan secara penuh. 28% mampu menyelesaikan pekerjaan, tetapi dengan kesalahan tertentu. 62% - mereka tidak dapat melakukan pekerjaan, meskipun mereka melakukan beberapa upaya, dan 4% sisanya tidak mulai bekerja sama sekali.

Dari survei ini, kita dapat menyimpulkan bahwa siswa sekolah kami yang mengikuti program tersebut memiliki basis pengetahuan yang tidak memadai, karena penulis ini tidak terlalu memperhatikan tugas-tugas semacam ini. Dari sinilah relevansi dan signifikansi praktis dari pekerjaan kami mengikuti.

2.1. Menentukan relevansi pekerjaan.

Relevansi:

Fungsi sepotong-sepotong ditemukan baik di GIA dan di USE, tugas yang berisi fungsi semacam ini dievaluasi pada 2 titik atau lebih. Dan, oleh karena itu, penilaian Anda mungkin bergantung pada keputusan mereka.

2.2. Signifikansi praktis.

Hasil pekerjaan kami akan menjadi algoritme untuk menyelesaikan fungsi sepotong-sepotong, yang akan membantu untuk memahami konstruksinya. Dan itu akan menambah peluang mendapatkan nilai yang Anda inginkan pada ujian.

3. Sejarah fungsi.

- "Aljabar Tingkat 9", dll.;

Kontinuitas dan merencanakan fungsi sepotong-sepotong adalah topik yang kompleks. Lebih baik mempelajari cara membuat grafik secara langsung dalam pelajaran praktis. Di sini, studi tentang kontinuitas terutama ditampilkan.

Diketahui bahwa fungsi dasar(lihat hal. 16) kontinu di semua titik di mana ia didefinisikan. Oleh karena itu, diskontinuitas dalam fungsi dasar hanya dimungkinkan pada titik-titik dari dua jenis:

a) pada titik di mana fungsinya "ditimpa";

b) pada titik di mana fungsi tidak ada.

Oleh karena itu, hanya titik-titik tersebut yang diperiksa kesinambungannya selama penelitian, seperti yang ditunjukkan dalam contoh.

Untuk fungsi non-dasar, studinya lebih sulit. Misalnya, suatu fungsi (bagian bilangan bulat dari suatu bilangan) didefinisikan pada seluruh garis bilangan, tetapi mengalami pemutusan pada setiap bilangan bulat x. Pertanyaan seperti ini berada di luar cakupan panduan ini.

Sebelum mempelajari materi, Anda harus mengulangi dari kuliah atau buku teks apa (jenis) break point itu.

Investigasi fungsi yang diberikan sepotong demi sepotong untuk kontinuitas

Set fungsi sepotong demi sepotong, jika diberikan oleh rumus yang berbeda di bagian yang berbeda dari domain definisi.

Gagasan utama dalam mempelajari fungsi-fungsi tersebut adalah untuk mengetahui apakah fungsi tersebut didefinisikan pada titik-titik di mana ia didefinisikan ulang, dan bagaimana caranya. Kemudian diperiksa apakah nilai fungsi ke kiri dan ke kanan titik tersebut sama.

Contoh 1 Mari kita tunjukkan bahwa fungsi
kontinu.

Fungsi
adalah dasar dan karena itu kontinu pada titik-titik di mana ia didefinisikan. Tapi, jelas, itu didefinisikan di semua titik. Oleh karena itu, kontinu di semua titik, termasuk di
, seperti yang dipersyaratkan oleh kondisi.

Hal yang sama berlaku untuk fungsi
, dan di
itu terus menerus.

Dalam kasus seperti itu, kontinuitas hanya dapat diputus jika fungsinya didefinisikan ulang. Dalam contoh kita, inilah intinya
. Mari kita periksa, yang batasnya kita temukan di kiri dan kanan:

Batas di kiri dan kanan adalah sama. Masih harus dilihat:

a) apakah fungsi terdefinisi pada titik itu sendiri
;

b) jika demikian, apakah itu cocok?
dengan nilai batas di kiri dan kanan.

Dengan syarat, jika
, kemudian
. Itu sebabnya
.

Kita lihat bahwa (semuanya sama dengan angka 2). Ini berarti bahwa pada titik
fungsinya kontinu. Jadi fungsinya kontinu pada seluruh sumbu, termasuk titik
.

Catatan Solusi

a) Tidak berperan dalam perhitungan, pengganti kita berada dalam rumus bilangan tertentu
atau
. Hal ini biasanya penting ketika membagi dengan nilai yang sangat kecil diperoleh, karena mempengaruhi tanda tak terhingga. Di Sini
dan
bertanggung jawab hanya untuk pemilihan fungsi;

b) sebagai aturan, sebutan
dan
sama, hal yang sama berlaku untuk sebutan
dan
(dan berlaku untuk titik mana pun, bukan hanya untuk
). Berikut ini, untuk singkatnya, kami menggunakan notasi bentuk
;

c) ketika batas-batas di kiri dan di kanan sama, untuk menguji kontinuitas, pada kenyataannya, tetap untuk melihat apakah salah satu pertidaksamaan longgar. Dalam contoh, ini ternyata menjadi ketidaksetaraan ke-2.

Contoh 2 Kami menyelidiki kontinuitas fungsi
.

Untuk alasan yang sama seperti pada Contoh 1, kontinuitas hanya dapat diputus pada titik
. Mari kita periksa:

Batas di kiri dan kanan adalah sama, tetapi pada titik itu sendiri
fungsi tidak didefinisikan (ketidaksetaraan ketat). Ini berarti bahwa
- dot celah yang bisa diperbaiki.

"Diskontinuitas yang dapat dilepas" berarti cukup untuk membuat ketidaksetaraan menjadi tidak ketat, atau untuk menemukan titik terpisah
fungsi, yang nilainya di
adalah -5, atau cukup tunjukkan bahwa
sehingga seluruh fungsi
menjadi terus menerus.

Menjawab: dot
- titik istirahat.

Catatan 1. Dalam literatur, celah yang dapat dilepas biasanya dianggap sebagai kasus khusus dari celah jenis pertama, namun, siswa lebih sering dipahami sebagai jenis celah yang terpisah. Untuk menghindari perbedaan, kami akan mematuhi sudut pandang pertama, dan kami akan secara khusus menetapkan celah "yang tidak dapat dihilangkan" dari jenis pertama.

Contoh 3 Periksa apakah fungsinya kontinu

Pada intinya

Batas di kiri dan kanan berbeda:
. Apakah fungsi terdefinisi atau tidak
(ya) dan jika ya, apa yang sama dengan (sama dengan 2), poin
–titik diskontinuitas yang tidak dapat dipindahkan dari jenis pertama.

Pada intinya
sedang terjadi lompatan terakhir(dari 1 sampai 2).

Menjawab: dot

Catatan 2. Dari pada
dan
biasanya menulis
dan
masing-masing.

Tersedia pertanyaan: beda fungsinya gimana

dan
,

dan juga grafik mereka? Benar menjawab:

a) fungsi ke-2 tidak terdefinisi pada titik
;

b) pada grafik fungsi ke-1, titik
"dicat ulang", pada grafik 2 - tidak ("titik tertusuk").

Dot
dimana grafik berakhir
, tidak diarsir di kedua grafik.

Lebih sulit untuk mempelajari fungsi yang didefinisikan secara berbeda pada tiga plot.

Contoh 4 Apakah fungsinya kontinu?
?

Sama seperti pada contoh 1 - 3, masing-masing fungsi
,
dan kontinu pada seluruh sumbu numerik, termasuk bagian yang diberikan. Kesenjangan hanya mungkin pada titik
atau (dan) pada intinya
dimana fungsi tersebut ditimpa.

Tugas dibagi menjadi 2 subtugas: untuk menyelidiki kontinuitas fungsi

dan
,

apalagi intinya
tidak menarik untuk fungsi
, dan titik
- untuk fungsi
.

langkah pertama. Memeriksa titik
dan fungsi
(kami tidak menulis indeks):

Batasnya cocok. Dengan syarat,
(jika batas di kiri dan kanan sama, maka fungsi tersebut sebenarnya kontinu ketika salah satu pertidaksamaan tidak ketat). Jadi intinya
fungsi tersebut kontinu.

langkah ke-2. Memeriksa titik
dan fungsi
:

Karena
, dot
adalah titik diskontinuitas jenis pertama, dan nilainya
(dan apakah itu ada) tidak lagi penting.

Menjawab: fungsi kontinu di semua titik kecuali titik
, di mana ada diskontinuitas yang tidak dapat dipulihkan dari jenis pertama - lompatan dari 6 ke 4.

Contoh 5 Temukan titik istirahat fungsi
.

Kami bertindak dengan cara yang sama seperti pada contoh 4.

langkah pertama. Memeriksa titik
:

sebuah)
, karena di sebelah kiri
fungsinya konstan dan sama dengan 0;

b) (
adalah fungsi genap).

Batasnya sama, tapi
fungsi tidak ditentukan oleh kondisi, dan ternyata
- titik istirahat.

langkah ke-2. Memeriksa titik
:

sebuah)
;

b)
- nilai fungsi tidak bergantung pada variabel.

Batasannya berbeda: , dot
adalah titik diskontinuitas yang tidak dapat dipindahkan dari jenis pertama.

Menjawab:
- titik istirahat,
adalah titik diskontinuitas yang tidak dapat dipindahkan dari jenis pertama, di titik lain fungsinya kontinu.

Contoh 6 Apakah fungsinya kontinu?
?

Fungsi
ditentukan pada
, jadi syaratnya
menjadi syarat
.

Di sisi lain, fungsi
ditentukan pada
, yaitu pada
. Jadi syaratnya
menjadi syarat
.

Ternyata syaratnya harus terpenuhi
, dan domain definisi dari seluruh fungsi adalah segmen
.

Fungsi itu sendiri
dan
adalah dasar dan karena itu kontinu di semua titik di mana mereka didefinisikan — khususnya, dan untuk
.

Masih untuk memeriksa apa yang terjadi pada intinya
:

sebuah)
;

Karena
, lihat apakah fungsi terdefinisi pada titik
. Ya, ketidaksetaraan pertama tidak ketat sehubungan dengan
, dan itu sudah cukup.

Menjawab: fungsi didefinisikan pada interval
dan terus menerus di atasnya.

Kasus yang lebih kompleks, ketika salah satu fungsi konstituen non-dasar atau tidak didefinisikan pada setiap titik di segmennya, berada di luar cakupan manual.

NF1. Plot grafik fungsi. Perhatikan apakah fungsi didefinisikan pada titik di mana ia didefinisikan ulang, dan jika demikian, berapa nilai fungsi tersebut (kata " jika” dihilangkan dalam definisi fungsi untuk singkatnya):

1) a)
b)
di)
G)

2) a)
b)
di)
G)

3) a)
b)
di)
G)

4) a)
b)
di)
G)

Contoh 7 Membiarkan
. Kemudian di situs
membangun garis horizontal
, dan di situs
membangun garis horizontal
. Dalam hal ini, titik dengan koordinat
"mencungkil" dan titik
"dicat ulang". Pada intinya
diskontinuitas jenis pertama ("lompatan") diperoleh, dan
.

NF2. Selidiki kontinuitas fungsi yang didefinisikan secara berbeda pada 3 interval. Gambarkan grafiknya:

1) a)
b)
di)

G)
e)
e)

2) a)
b)
di)

G)
e)
e)

3) a)
b)
di)

G)
e)
e)

Contoh 8 Membiarkan
. Lokasi di
membangun garis lurus
, yang kita temukan
dan
. Menghubungkan titik-titik
dan
segmen. Kami tidak memasukkan poin itu sendiri, karena untuk
dan
fungsi tidak ditentukan oleh kondisi.

Lokasi di
dan
lingkari sumbu OX (di atasnya
), tetapi poin
dan
"tersingkir". Pada intinya
kami memperoleh diskontinuitas yang dapat dilepas, dan pada titik
– diskontinuitas jenis pertama (“melompat”).

NF3. Plot grafik fungsi dan pastikan grafiknya kontinu:

1) a)
b)
di)

G)
e)
e)

2) a)
b)
di)

G)
e)
e)

NF4. Pastikan fungsinya kontinu dan buat grafiknya:

1) a)
b)
di)

2 a)
b)
di)

3) a)
b)
di)

NF5. Plot grafik fungsi. Perhatikan kesinambungan:

1) a)
b)
di)

G)
e)
e)

2) a)
b)
di)

G)
e)
e)

3) a)
b)
di)

G)
e)
e)

4) a)
b)
di)

G)
e)
e)

5) a)
b)
di)

G)
e)
e)

NF6. Plot grafik fungsi diskontinyu. Catat nilai fungsi pada titik di mana fungsi tersebut didefinisikan ulang (dan apakah itu ada):

1) a)
b)
di)

G)
e)
e)

2) a)
b)
di)

G)
e)
e)

3) a)
b)
di)

G)
e)
e)

4) a)
b)
di)

G)
e)
e)

5) a)
b)
di)

G)
e)
e)

NF7. Tugas yang sama seperti di NF6:

1) a)
b)
di)

G)
e)
e)

2) a)
b)
di)

G)
e)
e)

3) a)
b)
di)

G)
e)
e)

4) a)
b)
di)

G)
e)
e)

Proses nyata yang terjadi di alam dapat digambarkan dengan menggunakan fungsi. Jadi, kita dapat membedakan dua jenis utama aliran proses yang berlawanan satu sama lain - ini adalah bertahap atau kontinu dan hebat(contohnya adalah bola jatuh dan memantul). Tetapi jika ada proses yang terputus-putus, maka ada sarana khusus untuk deskripsinya. Untuk tujuan ini, fungsi yang memiliki diskontinuitas, lompatan dimasukkan ke dalam sirkulasi, yaitu, di berbagai bagian garis numerik, fungsi tersebut berperilaku sesuai dengan hukum yang berbeda dan, karenanya, diberikan oleh rumus yang berbeda. Konsep titik diskontinuitas dan diskontinuitas yang dapat dilepas diperkenalkan.

Tentunya Anda sudah melihat fungsi yang didefinisikan oleh beberapa rumus, tergantung pada nilai argumennya, misalnya:

y \u003d (x - 3, dengan x\u003e -3;
(-(x - 3), untuk x< -3.

Fungsi seperti ini disebut sepotong demi sepotong atau sepotong demi sepotong. Bagian dari garis bilangan dengan rumus pekerjaan yang berbeda, sebut saja konstituen domain. Gabungan semua komponen adalah domain dari fungsi piecewise. Titik-titik yang membagi domain suatu fungsi menjadi komponen-komponen disebut titik batas. Rumus yang mendefinisikan fungsi sepotong demi sepotong pada setiap domain konstituen definisi disebut fungsi masuk. Grafik dari fungsi yang diberikan sepotong-sepotong diperoleh sebagai hasil dari menggabungkan bagian grafik yang dibangun pada masing-masing interval partisi.

Latihan.

Buat grafik fungsi sepotong-sepotong:

1) (-3, dengan -4 x< 0,
f(x) = (0, untuk x = 0,
(1, pada 0< x ≤ 5.

Grafik fungsi pertama adalah garis lurus yang melalui titik y = -3. Berasal dari titik dengan koordinat (-4; -3), sejajar dengan sumbu absis ke titik dengan koordinat (0; -3). Grafik fungsi kedua adalah titik dengan koordinat (0; 0). Grafik ketiga mirip dengan yang pertama - ini adalah garis lurus yang melewati titik y \u003d 1, tetapi sudah berada di area dari 0 hingga 5 di sepanjang sumbu Ox.

Jawaban: gambar 1.

2) (3 jika x -4,
f(x) = (|x 2 - 4|x| + 3| jika -4< x ≤ 4,
(3 - (x - 4) 2 jika x > 4.

Pertimbangkan setiap fungsi secara terpisah dan plot grafiknya.

Jadi, f(x) = 3 adalah garis lurus yang sejajar dengan sumbu Ox, tetapi garis tersebut hanya perlu digambar pada daerah di mana x -4.

Grafik fungsi f(x) = |x 2 – 4|x| + 3| dapat diperoleh dari parabola y \u003d x 2 - 4x + 3. Setelah membangun grafiknya, bagian gambar yang terletak di atas sumbu Ox harus dibiarkan tidak berubah, dan bagian yang terletak di bawah sumbu absis harus ditampilkan secara simetris relatif terhadap sumbu Ox. Kemudian tampilkan secara simetris bagian dari grafik dimana
x 0 terhadap sumbu Oy untuk x negatif. Grafik yang diperoleh sebagai hasil dari semua transformasi hanya tersisa di area dari -4 hingga 4 di sepanjang absis.

Grafik fungsi ketiga adalah parabola, yang cabang-cabangnya mengarah ke bawah, dan titik puncaknya berada di titik koordinat (4; 3). Gambar hanya digambarkan di daerah di mana x > 4.

Jawaban: gambar 2.

3) (8 - (x + 6) 2 jika x -6,
f(x) = (|x 2 – 6|x| + 8| jika -6 x< 5,
(3 jika x 5.

Konstruksi fungsi yang diberikan sepotong-sepotong yang diusulkan mirip dengan paragraf sebelumnya. Di sini, grafik dua fungsi pertama diperoleh dari transformasi parabola, dan grafik ketiga adalah garis lurus yang sejajar dengan Ox.

Jawaban: gambar 3.

4) Gambarkan fungsi y = x – |x| + (x – 1 – |x|/x) 2 .

Larutan. Domain dari fungsi ini adalah semua bilangan real kecuali nol. Mari kita buka modulnya. Untuk melakukan ini, pertimbangkan dua kasus:

1) Untuk x > 0, kita peroleh y = x - x + (x - 1 - 1) 2 = (x - 2) 2 .

2) Untuk x< 0 получим y = x + x + (x – 1 + 1) 2 = 2x + x 2 .

Jadi, kami memiliki fungsi yang diberikan sepotong-sepotong:

y = ((x - 2) 2 , untuk x > 0;
( x 2 + 2x, untuk x< 0.

Grafik kedua fungsi adalah parabola, yang cabang-cabangnya mengarah ke atas.

Jawaban: gambar 4.

5) Gambarkan fungsi y = (x + |x|/x – 1) 2 .

Larutan.

Sangat mudah untuk melihat bahwa domain dari fungsi tersebut adalah semua bilangan real kecuali nol. Setelah memperluas modul, kami mendapatkan fungsi yang diberikan sepotong-sepotong:

1) Untuk x > 0, kita mendapatkan y = (x + 1 - 1) 2 = x 2 .

2) Untuk x< 0 получим y = (x – 1 – 1) 2 = (x – 2) 2 .

Mari kita menulis ulang.

y \u003d (x 2, untuk x\u003e 0;
((x – 2) 2 , untuk x< 0.

Grafik dari fungsi-fungsi ini adalah parabola.

Jawaban: gambar 5.

6) Apakah ada fungsi yang grafiknya pada bidang koordinat memiliki titik yang sama dengan garis apa pun?

Larutan.

Ya ada.

Contohnya adalah fungsi f(x) = x 3 . Memang, grafik parabola kubik berpotongan dengan garis vertikal x = a di titik (a; a 3). Sekarang biarkan garis lurus diberikan oleh persamaan y = kx + b. Maka persamaan
x 3 - kx - b \u003d 0 memiliki akar real x 0 (karena polinomial berderajat ganjil selalu memiliki setidaknya satu akar real). Oleh karena itu, grafik fungsi berpotongan dengan garis lurus y \u003d kx + b, misalnya, pada titik (x 0; x 0 3).

blog.site, dengan penyalinan materi secara penuh atau sebagian, diperlukan tautan ke sumbernya.