Sistem persamaan banyak digunakan dalam industri ekonomi dalam pemodelan matematika dari berbagai proses. Misalnya, ketika memecahkan masalah manajemen dan perencanaan produksi, rute logistik (masalah transportasi) atau penempatan peralatan.

Sistem persamaan digunakan tidak hanya dalam bidang matematika, tetapi juga dalam fisika, kimia dan biologi, ketika memecahkan masalah menemukan ukuran populasi.

Sistem persamaan linear adalah istilah untuk dua atau lebih persamaan dengan beberapa variabel yang perlu dicari penyelesaiannya. Barisan bilangan yang semua persamaannya menjadi persamaan sejati atau membuktikan bahwa barisan itu tidak ada.

Persamaan Linier

Persamaan bentuk ax+by=c disebut linier. Sebutan x, y adalah yang tidak diketahui, yang nilainya harus dicari, b, a adalah koefisien variabel, c adalah suku bebas persamaan.
Memecahkan persamaan dengan memplot grafiknya akan terlihat seperti garis lurus, yang semua titiknya adalah solusi dari polinomial.

Jenis sistem persamaan linear

Yang paling sederhana adalah contoh sistem persamaan linier dengan dua variabel X dan Y.

F1(x, y) = 0 dan F2(x, y) = 0, di mana F1,2 adalah fungsi dan (x, y) adalah variabel fungsi.

Memecahkan sistem persamaan - itu berarti menemukan nilai-nilai seperti itu (x, y) yang sistemnya menjadi persamaan sejati, atau untuk menetapkan bahwa tidak ada nilai x dan y yang cocok.

Sepasang nilai (x, y), yang ditulis sebagai koordinat titik, disebut solusi sistem persamaan linier.

Jika sistem memiliki satu solusi umum atau tidak ada solusi, mereka disebut setara.

Sistem persamaan linear homogen adalah sistem yang ruas kanannya sama dengan nol. Jika bagian kanan setelah tanda "sama dengan" memiliki nilai atau dinyatakan dengan fungsi, sistem seperti itu tidak homogen.

Jumlah variabel bisa lebih dari dua, maka kita harus berbicara tentang contoh sistem persamaan linier dengan tiga variabel atau lebih.

Dihadapkan dengan sistem, anak-anak sekolah berasumsi bahwa jumlah persamaan harus sesuai dengan jumlah yang tidak diketahui, tetapi tidak demikian. Jumlah persamaan dalam sistem tidak bergantung pada variabel, bisa ada sejumlah besar variabel secara sewenang-wenang.

Metode sederhana dan kompleks untuk menyelesaikan sistem persamaan

Tidak ada cara analitis umum untuk menyelesaikan sistem seperti itu, semua metode didasarkan pada solusi numerik. Kursus matematika sekolah menjelaskan secara rinci metode seperti permutasi, penambahan aljabar, substitusi, serta metode grafis dan matriks, solusi dengan metode Gauss.

Tugas utama dalam mengajar metode pemecahan adalah mengajarkan cara menganalisis sistem dengan benar dan menemukan algoritme solusi optimal untuk setiap contoh. Hal utama bukanlah untuk menghafal sistem aturan dan tindakan untuk setiap metode, tetapi untuk memahami prinsip-prinsip penerapan metode tertentu.

Solusi dari contoh sistem persamaan linier kelas 7 program sekolah pendidikan umum cukup sederhana dan dijelaskan dengan sangat rinci. Dalam setiap buku teks tentang matematika, bagian ini diberikan perhatian yang cukup. Solusi contoh sistem persamaan linier dengan metode Gauss dan Cramer dipelajari secara lebih rinci di kursus pertama lembaga pendidikan tinggi.

Penyelesaian sistem dengan metode substitusi

Tindakan metode substitusi ditujukan untuk mengekspresikan nilai dari satu variabel melalui yang kedua. Ekspresi disubstitusikan ke persamaan yang tersisa, kemudian direduksi menjadi bentuk variabel tunggal. Tindakan diulang tergantung pada jumlah yang tidak diketahui dalam sistem

Mari kita beri contoh sistem persamaan linier kelas 7 dengan metode substitusi:

Seperti yang dapat dilihat dari contoh, variabel x dinyatakan melalui F(X) = 7 + Y. Ekspresi yang dihasilkan, disubstitusikan ke dalam persamaan ke-2 sistem sebagai pengganti X, membantu untuk memperoleh satu variabel Y dalam persamaan ke-2 . Solusi dari contoh ini tidak menyebabkan kesulitan dan memungkinkan Anda untuk mendapatkan nilai Y. Langkah terakhir adalah memeriksa nilai yang diperoleh.

Tidak selalu mungkin untuk menyelesaikan contoh sistem persamaan linier dengan substitusi. Persamaan bisa rumit dan ekspresi variabel dalam hal yang tidak diketahui kedua akan terlalu rumit untuk perhitungan lebih lanjut. Ketika ada lebih dari 3 yang tidak diketahui dalam sistem, solusi substitusi juga tidak praktis.

Penyelesaian contoh sistem persamaan linear tak homogen:

Penyelesaian menggunakan penjumlahan aljabar

Saat mencari solusi sistem dengan metode penjumlahan, penjumlahan suku demi suku dan perkalian persamaan dengan berbagai bilangan dilakukan. Tujuan akhir dari operasi matematika adalah persamaan dengan satu variabel.

Penerapan metode ini membutuhkan latihan dan pengamatan. Menyelesaikan sistem persamaan linear dengan menggunakan metode penjumlahan dengan jumlah variabel 3 atau lebih tidaklah mudah. Penjumlahan aljabar berguna jika persamaan mengandung pecahan dan bilangan desimal.

Algoritma tindakan solusi:

1. Kalikan kedua ruas persamaan dengan beberapa angka. Sebagai hasil dari operasi aritmatika, salah satu koefisien variabel harus sama dengan 1.
2. Tambahkan istilah ekspresi yang dihasilkan dengan istilah dan temukan salah satu yang tidak diketahui.
3. Substitusikan nilai yang dihasilkan ke dalam persamaan ke-2 dari sistem untuk menemukan variabel yang tersisa.

Metode solusi dengan memperkenalkan variabel baru

Variabel baru dapat diperkenalkan jika sistem perlu menemukan solusi untuk tidak lebih dari dua persamaan, jumlah yang tidak diketahui juga tidak boleh lebih dari dua.

Metode ini digunakan untuk menyederhanakan salah satu persamaan dengan memasukkan variabel baru. Persamaan baru diselesaikan sehubungan dengan yang tidak diketahui yang dimasukkan, dan nilai yang dihasilkan digunakan untuk menentukan variabel asli.

Dapat dilihat dari contoh bahwa dengan memasukkan variabel baru t, persamaan pertama sistem dapat direduksi menjadi trinomial kuadrat standar. Anda dapat menyelesaikan polinomial dengan mencari diskriminannya.

Penting untuk mencari nilai diskriminan dengan menggunakan rumus terkenal: D = b2 - 4*a*c, di mana D adalah diskriminan yang diinginkan, b, a, c adalah pengali polinomial. Dalam contoh yang diberikan, a=1, b=16, c=39, maka D=100. Jika diskriminan lebih besar dari nol, maka ada dua solusi: t = -b±√D / 2*a, jika diskriminan lebih kecil dari nol, maka hanya ada satu solusi: x= -b / 2*a.

Solusi untuk sistem yang dihasilkan ditemukan dengan metode penambahan.

Sebuah metode visual untuk memecahkan sistem

Cocok untuk sistem dengan 3 persamaan. Metode ini terdiri dari plotting grafik dari setiap persamaan yang termasuk dalam sistem pada sumbu koordinat. Koordinat titik potong kurva akan menjadi solusi umum sistem.

Metode grafik memiliki sejumlah nuansa. Pertimbangkan beberapa contoh penyelesaian sistem persamaan linier secara visual.

Seperti yang dapat dilihat dari contoh, dua titik dibangun untuk setiap baris, nilai variabel x dipilih secara acak: 0 dan 3. Berdasarkan nilai x, nilai y ditemukan: 3 dan 0. Titik-titik dengan koordinat (0, 3) dan (3, 0) ditandai pada grafik dan dihubungkan dengan garis.

Langkah-langkah tersebut harus diulang untuk persamaan kedua. Titik potong garis adalah solusi dari sistem.

Dalam contoh berikut, diperlukan untuk menemukan solusi grafis untuk sistem persamaan linier: 0,5x-y+2=0 dan 0,5x-y-1=0.

Seperti yang dapat dilihat dari contoh, sistem tidak memiliki solusi, karena grafiknya sejajar dan tidak berpotongan sepanjang panjangnya.

Sistem dari Contoh 2 dan 3 serupa, tetapi ketika dibangun, menjadi jelas bahwa solusi mereka berbeda. Harus diingat bahwa tidak selalu mungkin untuk mengatakan apakah sistem memiliki solusi atau tidak, selalu perlu untuk membangun grafik.

Matriks dan varietasnya

Matriks digunakan untuk secara singkat menuliskan sistem persamaan linier. Matriks adalah jenis tabel khusus yang diisi dengan angka. n*m memiliki n - baris dan m - kolom.

Suatu matriks dikatakan bujur sangkar jika jumlah kolom dan barisnya sama. Matriks-vektor adalah matriks satu kolom dengan jumlah baris yang mungkin tak terhingga. Suatu matriks dengan satuan sepanjang salah satu diagonal dan elemen nol lainnya disebut identitas.

Matriks terbalik adalah matriks seperti itu, ketika dikalikan dengan yang asli menjadi satu unit, matriks seperti itu hanya ada untuk kuadrat asli.

Aturan untuk mengubah sistem persamaan menjadi matriks

Berkenaan dengan sistem persamaan, koefisien dan anggota bebas dari persamaan ditulis sebagai bilangan matriks, satu persamaan adalah satu baris matriks.

Baris matriks disebut bukan nol jika setidaknya satu elemen baris tidak sama dengan nol. Oleh karena itu, jika dalam salah satu persamaan jumlah variabel berbeda, maka perlu untuk memasukkan nol di tempat yang tidak diketahui yang hilang.

Kolom matriks harus benar-benar sesuai dengan variabel. Ini berarti bahwa koefisien variabel x hanya dapat ditulis dalam satu kolom, misalnya yang pertama, koefisien y yang tidak diketahui - hanya di kolom kedua.

Saat mengalikan matriks, semua elemen matriks dikalikan secara berurutan dengan angka.

Opsi untuk menemukan matriks terbalik

Rumus untuk mencari matriks invers cukup sederhana: K -1 = 1 / |K|, di mana K -1 adalah matriks invers dan |K| - penentu matriks. |K| tidak harus sama dengan nol, maka sistem memiliki solusi.

Determinan mudah dihitung untuk matriks dua kali dua, hanya perlu mengalikan elemen secara diagonal satu sama lain. Untuk opsi "tiga per tiga", ada rumus |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Anda dapat menggunakan rumus, atau Anda dapat mengingat bahwa Anda perlu mengambil satu elemen dari setiap baris dan setiap kolom sehingga nomor kolom dan baris elemen tidak berulang dalam produk.

Penyelesaian contoh sistem persamaan linear dengan metode matriks

Metode matriks untuk menemukan solusi memungkinkan pengurangan entri yang rumit saat menyelesaikan sistem dengan sejumlah besar variabel dan persamaan.

Dalam contoh, a nm adalah koefisien persamaan, matriks adalah vektor x n adalah variabel, dan b n adalah suku bebas.

Solusi sistem dengan metode Gauss

Dalam matematika yang lebih tinggi, metode Gauss dipelajari bersama dengan metode Cramer, dan proses menemukan solusi untuk sistem disebut metode penyelesaian Gauss-Cramer. Metode ini digunakan untuk mencari variabel dari sistem dengan sejumlah besar persamaan linier.

Metode Gaussian sangat mirip dengan solusi substitusi dan penambahan aljabar, tetapi lebih sistematis. Dalam kursus sekolah, solusi Gaussian digunakan untuk sistem persamaan 3 dan 4. Tujuan dari metode ini adalah untuk membawa sistem ke bentuk trapesium terbalik. Dengan transformasi aljabar dan substitusi, nilai satu variabel ditemukan dalam salah satu persamaan sistem. Persamaan kedua adalah ekspresi dengan 2 tidak diketahui, dan 3 dan 4 - dengan 3 dan 4 variabel, masing-masing.

Setelah membawa sistem ke bentuk yang dijelaskan, solusi selanjutnya direduksi menjadi substitusi berurutan dari variabel yang diketahui ke dalam persamaan sistem.

Dalam buku pelajaran sekolah untuk kelas 7, contoh solusi Gaussian dijelaskan sebagai berikut:

Seperti dapat dilihat dari contoh, pada langkah (3) diperoleh dua persamaan 3x 3 -2x 4 =11 dan 3x 3 +2x 4 =7. Solusi dari salah satu persamaan akan memungkinkan Anda untuk menemukan salah satu variabel x n.

Teorema 5, yang disebutkan dalam teks, menyatakan bahwa jika salah satu persamaan sistem diganti dengan yang setara, maka sistem yang dihasilkan juga akan setara dengan yang asli.

Metode Gauss sulit dipahami oleh siswa sekolah menengah, tetapi merupakan salah satu cara yang paling menarik untuk mengembangkan kecerdasan anak-anak yang belajar di program studi lanjutan di kelas matematika dan fisika.

Untuk memudahkan perhitungan pencatatan, biasanya dilakukan hal-hal berikut:

Koefisien persamaan dan suku bebas ditulis dalam bentuk matriks, di mana setiap baris matriks bersesuaian dengan salah satu persamaan sistem. memisahkan ruas kiri persamaan dari ruas kanan. Angka Romawi menunjukkan jumlah persamaan dalam sistem.

Pertama, mereka menuliskan matriks yang digunakan untuk bekerja, kemudian semua tindakan dilakukan dengan salah satu baris. Matriks yang dihasilkan ditulis setelah tanda "panah" dan terus melakukan operasi aljabar yang diperlukan hingga hasilnya tercapai.

Akibatnya, matriks harus diperoleh di mana salah satu diagonalnya adalah 1, dan semua koefisien lainnya sama dengan nol, yaitu matriks direduksi menjadi satu bentuk. Kita tidak boleh lupa untuk membuat perhitungan dengan jumlah kedua sisi persamaan.

Notasi ini tidak terlalu rumit dan memungkinkan Anda untuk tidak terganggu dengan mendaftar banyak hal yang tidak diketahui.

Aplikasi gratis dari metode solusi apa pun akan membutuhkan perawatan dan sejumlah pengalaman. Tidak semua metode diterapkan. Beberapa cara untuk menemukan solusi lebih disukai di bidang aktivitas manusia tertentu, sementara yang lain ada untuk tujuan pembelajaran.

Persamaan linier adalah topik yang cukup tidak berbahaya dan dapat dipahami dalam matematika sekolah. Tapi, anehnya, jumlah kesalahan tiba-tiba saat menyelesaikan persamaan linier hanya sedikit lebih sedikit daripada di topik lain - persamaan kuadrat, logaritma, trigonometri, dan lainnya. Penyebab sebagian besar kesalahan adalah transformasi persamaan yang identik dangkal. Pertama-tama, ini adalah kebingungan dalam tanda saat mentransfer suku dari satu bagian persamaan ke bagian lain, serta kesalahan saat bekerja dengan pecahan dan koefisien pecahan. Ya ya! Pecahan dalam persamaan linier juga terjadi! Semuanya. Sedikit lebih rendah, kami juga akan menganalisis persamaan jahat seperti itu.)

Nah, mari kita tidak menarik ekor kucing dan mulai mencari tahu, ya? Kemudian kita membaca dan memahami.)

Apa itu persamaan linier? Contoh.

Biasanya, persamaan linier memiliki bentuk berikut:

kapak + b = 0,

Dimana a dan b adalah sembarang bilangan. Apa saja: bilangan bulat, pecahan, negatif, irasional - semua orang bisa!

Sebagai contoh:

7x + 1 = 0 (di sini a = 7, b = 1)

x - 3 = 0 (di sini a = 1, b = -3)

x/2 - 1.1 = 0 (di sini a = 1/2, b = -1.1)

Secara umum, Anda mengerti, saya harap.) Semuanya sederhana, seperti dalam dongeng. Untuk saat ini… Dan jika kita melihat lebih dekat pada notasi umum ax+b=0, dan berpikir sedikit? Karena a dan b angka apa saja! Dan jika kita memiliki, katakanlah, a = 0 dan b = 0 (bilangan apa pun dapat diambil!), lalu apa yang akan kita dapatkan?

0 = 0

Tapi itu tidak semuanya menyenangkan! Dan jika, katakanlah, a = 0, b = -10? Kemudian ternyata beberapa omong kosong:

0 = 10.

Yang sangat, sangat menjengkelkan dan merusak kepercayaan pada matematika yang dimenangkan dengan keringat dan darah ... Terutama dalam ujian dan ujian. Tetapi dari persamaan yang tidak dapat dipahami dan aneh ini, Anda juga perlu menemukan X! Yang tidak ada sama sekali! Dan di sini bahkan siswa yang dipersiapkan dengan baik, kadang-kadang, bisa jatuh, seperti yang mereka katakan, menjadi pingsan ... Tapi jangan khawatir! Dalam pelajaran ini, kami juga akan mempertimbangkan semua kejutan seperti itu. Dan x dari persamaan tersebut juga pasti akan ditemukan.) Selain itu, x ini dicari dengan sangat, sangat sederhana. Ya ya! Mengejutkan tapi benar.)

Oke, itu bisa dimengerti. Tetapi bagaimana Anda bisa tahu dari tampilan tugas bahwa kita memiliki persamaan linier, dan bukan persamaan lainnya? Sayangnya, jauh dari selalu mungkin untuk mengenali jenis persamaan hanya dengan penampilan. Masalahnya adalah bahwa tidak hanya persamaan dalam bentuk ax + b = 0 yang disebut linier, tetapi juga persamaan lain yang, dengan transformasi identik, dengan satu atau lain cara, direduksi menjadi bentuk ini. Bagaimana Anda tahu apakah itu cocok atau tidak? Sampai Anda hampir memecahkan contoh - hampir tidak ada. Ini menjengkelkan. Tetapi untuk beberapa jenis persamaan, dengan sekali pandang, dimungkinkan untuk langsung mengatakan dengan pasti apakah itu linier atau tidak.

Untuk melakukan ini, sekali lagi beralih ke struktur umum persamaan linier apa pun:

kapak + b = 0

Perhatikan bahwa dalam persamaan linier selalu hanya ada variabel x di tingkat pertama dan beberapa angka! Dan itu saja! Tidak ada lagi. Pada saat yang sama, tidak ada x kuadrat, pangkat tiga, di bawah akar, di bawah logaritma dan eksotik lainnya. Dan (yang paling penting!) tidak ada pecahan dengan x dalam penyebut! Tetapi pecahan dengan angka pada penyebut atau pembagian per nomor- mudah!

Sebagai contoh:

Ini adalah persamaan linier. Persamaan hanya berisi x untuk pangkat dan angka pertama. Dan tidak ada x dalam pangkat yang lebih tinggi - kuadrat, potong dadu, dan seterusnya. Ya, ada pecahan di sini, tetapi pada saat yang sama mereka duduk di penyebut pecahan hanya angka. Yakni, dua dan tiga. Dengan kata lain, tidak ada pembagian dengan x.

Dan inilah persamaannya

Itu tidak bisa lagi disebut linier, meskipun di sini juga, hanya ada angka dan x untuk tingkat pertama. Karena, antara lain, ada juga pecahan dengan x dalam penyebutnya. Dan setelah penyederhanaan dan transformasi, persamaan seperti itu bisa menjadi apa saja: linier, dan kuadrat - siapa saja.

Bagaimana cara menyelesaikan persamaan linear? Contoh.

Lalu bagaimana cara menyelesaikan persamaan linear? Baca terus dan kaget.) Seluruh solusi persamaan linier didasarkan hanya pada dua hal utama. Mari kita daftar mereka.

1) Satu set tindakan dasar dan aturan matematika.

Ini adalah penggunaan tanda kurung, kurung buka, bekerja dengan pecahan, bekerja dengan angka negatif, tabel perkalian, dan sebagainya. Pengetahuan dan keterampilan ini diperlukan tidak hanya untuk menyelesaikan persamaan linier, tetapi untuk semua matematika pada umumnya. Dan, jika ini adalah masalah, ingat nilai yang lebih rendah. Kalau tidak, Anda akan kesulitan ...

2)

Hanya ada dua dari mereka. Ya ya! Selain itu, transformasi identik yang sangat mendasar ini mendasari solusi tidak hanya linear, tetapi secara umum semua persamaan matematika! Singkatnya, solusi dari persamaan lain - kuadrat, logaritmik, trigonometri, irasional, dll. - sebagai aturan, dimulai dengan transformasi yang sangat mendasar ini. Tetapi solusi dari persamaan linier yang tepat, pada kenyataannya, berakhir pada mereka (transformasi). Siap menjawab.) Jadi jangan malas dan berjalan-jalan melalui tautan.) Selain itu, persamaan linier juga dianalisis secara rinci di sana.

Yah, saya pikir sudah waktunya untuk memulai analisis contoh.

Untuk memulainya, sebagai pemanasan, pertimbangkan beberapa dasar. Tanpa pecahan dan lonceng dan peluit lainnya. Misalnya, persamaan ini:

x - 2 \u003d 4 - 5x

Ini adalah persamaan linier klasik. Semua x adalah maksimum untuk pangkat pertama dan tidak ada pembagian dengan x di mana pun. Skema solusi dalam persamaan tersebut selalu sama dan sederhana untuk horor: semua istilah dengan x harus dikumpulkan di sebelah kiri, dan semua istilah tanpa x (yaitu angka) harus dikumpulkan di sebelah kanan. Jadi mari kita mulai mengumpulkan.

Untuk melakukan ini, kami meluncurkan transformasi identik pertama. Kita perlu bergerak -5x ke kiri dan -2 untuk bergerak ke kanan. Dengan perubahan tanda, tentu saja.) Jadi kami mentransfer:

x + 5x = 4 + 2

Ini dia. Setengah pertempuran selesai: x dikumpulkan dalam tumpukan, angkanya juga. Sekarang kami memberikan yang serupa di sebelah kiri, dan kami menghitung di sebelah kanan. Kita mendapatkan:

6x = 6

Apa kekurangan kita sekarang untuk kebahagiaan yang sempurna? Ya, agar X yang bersih tetap ada di sebelah kiri! Dan enam mengganggu. Bagaimana cara menghilangkannya? Sekarang kita mulai transformasi identik kedua - kita membagi kedua sisi persamaan dengan 6. Dan - voila! Jawaban siap.)

x = 1

Tentu saja, contohnya cukup primitif. Untuk mendapatkan gambaran umum. Nah, mari kita lakukan sesuatu yang lebih substansial. Sebagai contoh, perhatikan persamaan berikut:

Mari kita analisis secara mendetail.) Ini juga merupakan persamaan linier, meskipun tampaknya ada pecahan di sini. Tetapi dalam pecahan ada pembagian dengan dua dan ada pembagian dengan tiga, tetapi tidak ada pembagian dengan ekspresi dengan x! Jadi kami memutuskan. Menggunakan semua transformasi identik yang sama, ya.)

Apa yang akan kita lakukan pertama kali? Dengan X - ke kiri, tanpa X - ke kanan? Pada prinsipnya, adalah mungkin dan sebagainya. Terbang ke Sochi melalui Vladivostok.) Atau Anda dapat mengambil jalur terpendek, segera menggunakan metode universal dan kuat. Jika Anda mengetahui transformasi yang identik, tentu saja.)

Untuk memulainya, saya mengajukan pertanyaan kunci: apa yang paling Anda perhatikan dan tidak sukai dari persamaan ini? 99 dari 100 orang berkata: pecahan! Dan mereka akan benar.) Jadi mari kita singkirkan mereka dulu. Aman untuk persamaan itu sendiri.) Jadi, mari kita mulai dengan transformasi identik kedua- dari perkalian. Dengan apa ruas kiri harus dikalikan agar penyebutnya dikurangi dengan aman? Itu benar, ganda. Dan sisi kanan? Untuk tiga! Tapi ... Matematika adalah wanita yang berubah-ubah. Dia, Anda tahu, membutuhkan mengalikan kedua bagian saja untuk nomor yang sama! Kalikan setiap bagian dengan nomornya sendiri - itu tidak berhasil ... Apa yang akan kita lakukan? Sesuatu... Carilah kompromi. Untuk memenuhi keinginan kita (singkirkan pecahan) dan tidak menyinggung matematika.) Dan mari kita kalikan kedua bagian dengan enam!) Yaitu, dengan penyebut yang sama dari semua pecahan yang termasuk dalam persamaan. Kemudian, dalam satu gerakan, keduanya akan berkurang, dan tiga!)

Di sini kita berkembang biak. Seluruh sisi kiri dan seluruh sisi kanan seluruhnya! Oleh karena itu, kami menggunakan tanda kurung. Begini tampilan prosedurnya:

Sekarang mari kita buka tanda kurung ini:

Sekarang, nyatakan 6 sebagai 6/1, kalikan enam dengan masing-masing pecahan di kiri dan kanan. Ini adalah perkalian pecahan biasa, tetapi biarlah, saya akan menulis secara rinci:

Dan di sini - perhatian! Saya mengambil pembilang (x-3) dalam tanda kurung! Ini semua karena ketika mengalikan pecahan, pembilangnya dikalikan seluruhnya, seluruhnya dan lengkap! Dan dengan ekspresi x-3 itu perlu untuk bekerja seperti dengan satu konstruksi yang solid. Tetapi jika Anda menulis pembilangnya seperti ini:

6x - 3,

Tapi kami memiliki segalanya dengan benar dan kami harus menyelesaikannya. Apa yang harus dilakukan selanjutnya? Buka kurung di pembilang di sebelah kiri? Sama sekali tidak! Anda dan saya mengalikan kedua bagian dengan 6 untuk menghilangkan pecahan, dan tidak mandi uap dengan kurung buka. Pada tahap ini, kita membutuhkan kurangi pecahan kita. Dengan perasaan puas yang mendalam, kami mengurangi semua penyebut dan mendapatkan persamaan tanpa pecahan, dalam penggaris:

3(x-3) + 6x = 30 - 4x

Dan sekarang kurung yang tersisa dapat dibuka:

3x - 9 + 6x = 30 - 4x

Persamaan terus menjadi lebih baik dan lebih baik! Sekarang kita ingat lagi transformasi identik pertama. Dengan wajah batu, kami mengulangi mantra dari tingkat yang lebih rendah: dengan x - ke kiri, tanpa x - ke kanan. Dan terapkan transformasi ini:

3x + 6x + 4x = 30 + 9

Kami memberikan yang serupa di sebelah kiri dan menghitung di sebelah kanan:

13x = 39

Tetap membagi kedua bagian dengan 13. Artinya, terapkan transformasi kedua lagi. Kami membagi dan mendapatkan jawabannya:

x = 3

Pekerjaan selesai. Seperti yang Anda lihat, dalam persamaan ini, kami harus menerapkan transformasi pertama (transfer suku) satu kali dan yang kedua dua kali: di awal solusi kami menggunakan perkalian (dengan 6) untuk menghilangkan pecahan, dan di akhir solusi kami menggunakan pembagian (dengan 13), untuk menghilangkan koefisien sebelum x. Dan solusi dari setiap persamaan linear (ya, apa saja!) terdiri dari kombinasi dari transformasi yang sama ini dalam satu urutan atau urutan lainnya. Di mana tepatnya untuk memulai tergantung pada persamaan spesifik. Di suatu tempat lebih menguntungkan untuk memulai dengan transfer, dan di suatu tempat (seperti dalam contoh ini) - dengan perkalian (atau pembagian).

Kami bekerja dari yang sederhana hingga yang kompleks. Pertimbangkan sekarang timah jujur. Dengan sekelompok pecahan dan tanda kurung. Dan saya akan memberi tahu Anda cara agar tidak terlalu memaksakan diri.)

Misalnya, inilah persamaan:

Kami melihat persamaan sebentar, kami ngeri, tapi tetap saja kami menyatukan diri! Masalah utama adalah di mana untuk memulai? Anda dapat menambahkan pecahan di sisi kanan. Anda dapat mengurangi pecahan dalam tanda kurung. Anda dapat mengalikan kedua bagian dengan sesuatu. Atau berbagi ... Jadi apa yang masih mungkin? Jawaban: semuanya mungkin! Matematika tidak melarang tindakan apa pun yang terdaftar. Dan apa pun urutan tindakan dan transformasi yang Anda pilih, jawabannya akan selalu sama - yang benar. Kecuali, tentu saja, pada langkah tertentu Anda tidak melanggar identitas transformasi Anda dan, dengan demikian, tidak membuat kesalahan ...

Dan, agar tidak membuat kesalahan, dalam contoh-contoh mewah seperti ini, selalu paling berguna untuk mengevaluasi penampilannya dan mencari tahu dalam pikiran Anda: apa yang dapat dilakukan dalam sebuah contoh sehingga maksimum menyederhanakannya dalam satu langkah?

Di sini kita menebak. Di sebelah kiri adalah enam dalam penyebut. Secara pribadi, saya tidak menyukainya, tetapi mereka sangat mudah dihilangkan. Biarkan saya mengalikan kedua sisi persamaan dengan 6! Kemudian angka enam di sebelah kiri akan dikurangi dengan aman, pecahan dalam tanda kurung tidak akan pergi ke mana pun. Yah, bukan masalah besar. Kami akan menanganinya nanti.) Tetapi di sebelah kanan, penyebut 2 dan 3. Dengan tindakan ini (perkalian dengan 6) kami mencapai penyederhanaan maksimum dalam satu langkah!

Setelah perkalian, seluruh persamaan jahat kita menjadi seperti ini:

Jika Anda tidak mengerti persis bagaimana persamaan ini muncul, maka Anda tidak memahami analisis contoh sebelumnya dengan baik. Dan saya mencoba, omong-omong ...

Jadi mari kita buka:

Sekarang langkah paling logis adalah mengisolasi pecahan di sebelah kiri, dan mengirim 5x ke ruas kanan. Pada saat yang sama, kami memberikan yang serupa di sisi kanan. Kita mendapatkan:

Sudah jauh lebih baik. Sekarang sisi kiri telah mempersiapkan diri untuk perkalian. Apa yang harus dikalikan dengan sisi kiri sehingga baik lima dan empat segera berkurang? Pada 20! Tetapi kami juga memiliki kelemahan di kedua sisi persamaan. Oleh karena itu, akan lebih mudah untuk mengalikan kedua sisi persamaan bukan dengan 20, tetapi dengan -20. Kemudian, dalam satu gerakan, minus akan hilang, dan pecahannya.

Di sini kita mengalikan:

Bagi yang masih belum memahami langkah ini, berarti soal-soalnya tidak ada dalam persamaan. Masalah adalah intinya! Sekali lagi, ingat aturan emas membuka kurung:

Jika angka tersebut dikalikan dengan beberapa ekspresi dalam tanda kurung, maka angka ini harus dikalikan secara berurutan dengan setiap suku dari ekspresi ini. Apalagi jika angkanya positif, maka tanda-tanda ekspresi setelah ekspansi dipertahankan. Jika negatif, mereka terbalik:

a(b+c) = ab+ac

-a(b+c) = -ab-ac

Minus menghilang setelah mengalikan kedua bagian dengan -20. Dan sekarang kita mengalikan tanda kurung dengan pecahan di sebelah kiri dengan cukup sendiri nomor positif 20. Karena itu, saat membuka kurung ini, semua tanda yang ada di dalamnya dipertahankan. Tapi dari mana tanda kurung pada pembilang pecahan berasal, saya sudah menjelaskan secara rinci pada contoh sebelumnya.

Dan sekarang Anda dapat mengurangi pecahan:

4(3-5x)-5(3x-2) = 20

Perluas tanda kurung yang tersisa. Sekali lagi, kami membuka dengan benar. Tanda kurung pertama dikalikan dengan angka positif 4 dan, oleh karena itu, semua tanda dipertahankan saat dibuka. Tapi kurung kedua dikalikan dengan negatif jumlahnya adalah -5 dan, oleh karena itu, semua tanda dibalik:

12 - 20x - 15x + 10 = 20

Ada ruang kosong yang tersisa. Dengan x ke kiri, tanpa x ke kanan:

-20x - 15x = 20 - 10 - 12

-35x = -2

Itu hampir semuanya. Di sebelah kiri, Anda membutuhkan X yang bersih, dan angka -35 menghalangi. Jadi kita bagi kedua bagian dengan (-35). Saya mengingatkan Anda bahwa transformasi identitas kedua memungkinkan kita untuk mengalikan dan membagi kedua bagian dengan apa pun nomor. Termasuk negatifnya.) Kalau saja tidak sampai nol! Jangan ragu untuk berbagi dan dapatkan jawabannya:

X=2/35

Kali ini X ternyata pecahan. Tidak apa-apa. Contoh seperti itu.)

Seperti yang dapat kita lihat, prinsip penyelesaian persamaan linier (bahkan yang paling bengkok sekalipun) cukup sederhana: kita ambil persamaan aslinya dan, dengan transformasi yang identik, kita sederhanakan secara berurutan hingga jawabannya. Dengan dasar-dasar, tentu saja! Masalah utama di sini justru ketidakpatuhan dengan dasar-dasar (katakanlah, ada minus sebelum tanda kurung, dan mereka lupa mengubah tanda saat membuka), serta dalam aritmatika dangkal. Jadi jangan abaikan dasar-dasarnya! Mereka adalah dasar dari semua matematika lainnya!

Beberapa trik dalam menyelesaikan persamaan linear. Atau acara-acara khusus.

Semuanya akan menjadi apa-apa. Namun ... Di antara persamaan linier, ada juga mutiara lucu yang, dalam proses penyelesaiannya, dapat membuat mereka pingsan. Bahkan seorang siswa yang sangat baik.)

Misalnya, berikut adalah persamaan yang tampak tidak berbahaya:

7x + 3 = 4x + 5 + 3x - 2

Menguap lebar dan sedikit bosan, kami mengumpulkan semua X di sebelah kiri, dan semua angka di sebelah kanan:

7x-4x-3x = 5-2-3

Kami memberikan yang serupa, pertimbangkan dan dapatkan:

0 = 0

Itu dia! Dikeluarkan fokus primerchik! Dalam dirinya sendiri, kesetaraan ini tidak menimbulkan keberatan: nol memang sama dengan nol. Tapi X hilang! Tanpa jejak! Dan kita harus menulis dalam jawabannya, apa x sama dengan. Kalau tidak, keputusan tidak dipertimbangkan, ya.) Apa yang harus dilakukan?

Jangan panik! Dalam kasus non-standar seperti itu, konsep dan prinsip matematika yang paling umum disimpan. Apa itu persamaan? Bagaimana cara menyelesaikan persamaan? Apa yang dimaksud dengan menyelesaikan persamaan?

Memecahkan persamaan berarti menemukan semua nilai variabel x, yang jika disubstitusikan ke awal persamaan akan memberi kita persamaan yang benar (identitas)!

Tapi kami memiliki persamaan yang benar sudah selesai! 0=0, atau lebih tepatnya tidak di mana pun!) Masih harus ditebak di mana x kita mendapatkan persamaan ini. Jenis x apa yang dapat disubstitusikan menjadi awal persamaan jika, ketika mensubstitusi, mereka semua masih menyusut ke nol? Apakah Anda belum mengetahuinya?

Ya, tentu saja! X bisa diganti setiap!!! Benar-benar apapun. Apa pun yang Anda inginkan, masukkan. Setidaknya 1, setidaknya -23, setidaknya 2,7 - terserah! Mereka masih akan berkurang dan sebagai hasilnya kebenaran murni akan tetap ada. Cobalah, ganti dan lihat sendiri.)

Inilah jawaban Anda:

x adalah bilangan apa saja.

Dalam notasi ilmiah, persamaan ini ditulis seperti ini:

Entri ini berbunyi seperti ini: "X adalah bilangan real apa pun."

Atau dalam bentuk lain, dengan interval:

Seperti yang Anda suka, atur. Ini dia jawaban yang benar dan lengkap!

Dan sekarang saya akan mengubah hanya satu angka dalam persamaan awal kita. Mari selesaikan persamaan ini sekarang:

7x + 2 = 4x + 5 + 3x - 2

Kami kembali mentransfer persyaratan, menghitung dan mendapatkan:

7x - 4x - 3x = 5 - 2 - 2

0 = 1

Dan bagaimana Anda menyukai lelucon ini? Ada persamaan linier biasa, tetapi ada persamaan yang tidak dapat dipahami

0 = 1…

Dalam istilah ilmiah, kita memiliki persamaan yang salah. Tapi dalam bahasa Rusia itu tidak benar. Omong kosong. Omong kosong.) Untuk nol tidak sama dengan satu!

Dan sekarang lagi kita berpikir apa jenis x ketika mensubstitusi ke dalam persamaan asli akan memberi kita persamaan yang benar? Yang? Tapi tidak ada! Apa pun X yang Anda ganti, semuanya akan tetap berkurang dan akan ada omong kosong.)

Inilah jawabannya: tidak ada solusi.

Dalam notasi matematika, jawaban seperti itu dibuat seperti ini:

Bunyinya: "X milik himpunan kosong."

Jawaban seperti itu dalam matematika juga cukup umum: tidak selalu persamaan apa pun memiliki akar pada prinsipnya. Beberapa persamaan mungkin tidak memiliki akar sama sekali. Sama sekali.

Inilah dua kejutan. Saya harap sekarang hilangnya X secara tiba-tiba dalam persamaan tidak akan membingungkan Anda selamanya. Kasusnya cukup familiar.)

Dan kemudian saya mendengar pertanyaan logis: apakah mereka akan berada di OGE atau USE? Pada ujian, sendiri sebagai tugas - tidak ada. Terlalu sederhana. Tetapi dalam masalah OGE atau teks - dengan mudah! Jadi sekarang - kami melatih dan memutuskan:

Jawaban (berantakan): -2; -satu; nomor apapun; 2; tidak ada solusi; 13/7

Semuanya berhasil? Bagus sekali! Anda memiliki peluang bagus dalam ujian.

Ada yang tidak cocok? Hm... Sedih tentunya. Jadi ada celah di suatu tempat. Baik dalam basis atau dalam transformasi identik. Atau ini masalah kurangnya perhatian yang dangkal. Baca ulang pelajaran lagi. Karena ini bukanlah topik yang dapat dilakukan seseorang tanpa begitu mudah dalam matematika ...

Semoga beruntung! Dia pasti akan tersenyum padamu, percayalah!)

Persamaan. Dengan kata lain, solusi semua persamaan dimulai dengan transformasi ini. Saat memecahkan persamaan linier, itu (solusi) pada transformasi identik dan diakhiri dengan jawaban akhir.

Kasus koefisien bukan-nol untuk variabel yang tidak diketahui.

ax+b=0, a 0

Kami mentransfer anggota dengan x ke satu sisi, dan angka ke sisi lain. Pastikan untuk mengingat bahwa ketika mentransfer suku ke sisi yang berlawanan dari persamaan, Anda perlu mengubah tandanya:

kapak:(a)=-b:(a)

Kami mengurangi sebuah pada X dan kita mendapatkan:

x=-b:(a)

Ini adalah jawabannya. Jika Anda ingin memeriksa apakah ada nomor -b:(a) akar persamaan kita, maka kita perlu mengganti persamaan awal sebagai ganti X ini adalah nomor yang sama:

a(-b:(a))+b=0 ( itu. 0=0)

Karena persamaan ini benar, maka -b:(a) dan kebenaran adalah akar persamaan.

Menjawab: x=-b:(a), a 0.

Contoh pertama:

5x+2=7x-6

Kami mentransfer ke satu sisi persyaratan dari X, dan di sisi lain dari nomor:

5x-7x=-6-2

-2x:(-2)=-8:(-2)

Dengan koefisien yang tidak diketahui, mereka menguranginya dan mendapatkan jawabannya:

Ini adalah jawabannya. Jika Anda perlu memeriksa apakah angka 4 benar-benar akar dari persamaan kita, kita substitusikan angka ini sebagai ganti x ke dalam persamaan aslinya:

5*4+2=7*4-6 ( itu. 22=22)

Karena persamaan ini benar, maka 4 adalah akar persamaan.

Contoh kedua:

Selesaikan persamaan:

5x+14=x-49

Mentransfer yang tidak diketahui dan angka-angka ke arah yang berbeda, kami mendapat:

Kami membagi bagian-bagian persamaan dengan koefisien di x(pada 4) dan dapatkan:

Contoh ketiga:

Selesaikan persamaan:

Pertama, kita singkirkan irasionalitas dalam koefisien yang tidak diketahui dengan mengalikan semua suku dengan:

Bentuk ini dianggap disederhanakan, karena bilangan tersebut memiliki akar bilangan pada penyebutnya. Kita perlu menyederhanakan jawabannya dengan mengalikan pembilang dan penyebut dengan angka yang sama, kita mendapatkan ini:

Kasus tidak ada solusi.

Selesaikan persamaan:

2x+3=2x+7

Untuk semua x persamaan kita tidak akan menjadi persamaan yang benar. Artinya, persamaan kita tidak memiliki akar.

Jawaban: Tidak ada solusi.

Kasus khusus adalah jumlah solusi yang tak terbatas.

Selesaikan persamaan:

2x+3=2x+3

Mentransfer x dan angka dalam arah yang berbeda dan membawa suku yang sama, kita mendapatkan persamaan:

Di sini juga, tidak mungkin membagi kedua bagian dengan 0, karena itu dilarang. Namun, menempatkan X nomor apapun, kita mendapatkan kesetaraan yang benar. Artinya, setiap bilangan adalah solusi dari persamaan tersebut. Dengan demikian, ada sejumlah solusi yang tak terbatas.

Jawaban: jumlah solusi yang tak terbatas.

Kasus persamaan dua bentuk lengkap.

kapak+b=cx+d

kapak-cx=d-b

(a-c)x=d-b

x=(d-b):(a-c)

Menjawab: x=(d-b):(a-c), jika db dan a≠c, jika tidak ada banyak solusi tak terhingga, tetapi jika a=c, sebuah db, maka tidak ada solusi.

Persamaan linier adalah persamaan aljabar yang derajat penuh polinomialnya sama dengan satu. Memecahkan persamaan linier adalah bagian dari kurikulum sekolah, dan bukan yang paling sulit. Namun, beberapa masih mengalami kesulitan dalam berlalunya topik ini. Kami berharap setelah membaca materi ini, semua kesulitan bagi Anda akan tetap menjadi masa lalu. Jadi, mari kita cari tahu. cara menyelesaikan persamaan linear.

Bentuk umum

Persamaan linier direpresentasikan sebagai:

• ax + b = 0, di mana a dan b adalah sembarang bilangan.

Meskipun a dan b dapat berupa bilangan berapa pun, nilainya memengaruhi jumlah solusi persamaan. Ada beberapa kasus khusus dari solusi:

• Jika a=b=0, persamaan memiliki jumlah solusi tak terhingga;
• Jika a=0, b≠0, persamaan tidak memiliki solusi;
• Jika a≠0, b=0, persamaan memiliki solusi: x = 0.

Jika kedua bilangan memiliki nilai bukan nol, persamaan harus diselesaikan untuk mendapatkan ekspresi akhir untuk variabel.

Bagaimana memutuskan?

Memecahkan persamaan linier berarti menemukan variabel yang sama. Bagaimana cara melakukannya? Ya, ini sangat sederhana - menggunakan operasi aljabar sederhana dan mengikuti aturan transfer. Jika persamaan muncul di hadapan Anda dalam bentuk umum, Anda beruntung, yang perlu Anda lakukan adalah:

1. Pindahkan b ke ruas kanan persamaan, jangan lupa ubah tandanya (aturan transfer!), Jadi, dari ekspresi bentuk ax + b = 0, ekspresi bentuk ax = -b harus diperoleh.
2. Terapkan aturan: untuk menemukan salah satu faktor (x - dalam kasus kami), Anda perlu membagi produk (-b dalam kasus kami) dengan faktor lain (a - dalam kasus kami). Dengan demikian, ekspresi formulir harus diperoleh: x \u003d -b / a.

Itu saja - solusinya ditemukan!

Sekarang mari kita lihat contoh spesifik:

1. 2x + 4 = 0 - pindahkan b, yang dalam hal ini adalah 4, ke kanan
2. 2x = -4 - bagi b dengan a (jangan lupa tanda minusnya)
3. x=-4/2=-2

Itu saja! Solusi kami: x = -2.

Seperti yang Anda lihat, menemukan solusi untuk persamaan linier dengan satu variabel cukup sederhana, tetapi semuanya sangat sederhana jika kita beruntung untuk memenuhi persamaan dalam bentuk umum. Dalam kebanyakan kasus, sebelum menyelesaikan persamaan dalam dua langkah yang dijelaskan di atas, perlu juga untuk membawa ekspresi yang ada ke bentuk umum. Namun, ini juga bukan tugas yang menakutkan. Mari kita lihat beberapa kasus khusus dengan contoh.

Memecahkan kasus khusus

Pertama, mari kita lihat kasus-kasus yang kami jelaskan di awal artikel dan jelaskan apa artinya memiliki jumlah solusi yang tak terbatas dan tidak ada solusi.

• Jika a=b=0, persamaannya akan menjadi: 0x + 0 = 0. Melakukan langkah pertama, kita mendapatkan: 0x = 0. Apa arti omong kosong ini, Anda berseru! Lagi pula, berapa pun angka yang Anda kalikan dengan nol, Anda akan selalu mendapatkan nol! Benar! Oleh karena itu, mereka mengatakan bahwa persamaan memiliki jumlah solusi yang tak terbatas - berapa pun angka yang Anda ambil, persamaannya akan benar, 0x \u003d 0 atau 0 \u003d 0.
• Jika a=0, b≠0, persamaannya akan menjadi: 0x + 3 = 0. Kami melakukan langkah pertama, kami mendapatkan 0x = -3. Omong kosong lagi! Jelas bahwa kesetaraan ini tidak akan pernah benar! Itulah sebabnya mereka mengatakan bahwa persamaan tidak memiliki solusi.
• Jika a≠0, b=0, persamaan akan menjadi: 3x + 0 = 0. Mengambil langkah pertama, kita mendapatkan: 3x = 0. Apa solusinya? Mudah, x = 0.

Kesulitan dalam terjemahan

Kasus-kasus tertentu yang dijelaskan tidak semua persamaan linier dapat mengejutkan kita. Kadang-kadang persamaan umumnya sulit untuk diidentifikasi pada pandangan pertama. Mari kita ambil contoh:

• 12x - 14 = 2x + 6

Apakah ini persamaan linier? Tapi bagaimana dengan nol di sisi kanan? Kami tidak akan terburu-buru mengambil kesimpulan, kami akan bertindak - kami akan mentransfer semua komponen persamaan kami ke sisi kiri. Kita mendapatkan:

• 12x - 2x - 14 - 6 = 0

Sekarang mengurangkan suka dari suka, kita mendapatkan:

• 10x - 20 = 0

Terpelajar? Persamaan paling linier yang pernah ada! Solusinya: x = 20/10 = 2.

Bagaimana jika kita memiliki contoh ini:

• 12((x + 2)/3) + x) = 12 (1 - 3x/4)

Ya, ini juga merupakan persamaan linear, hanya perlu dilakukan transformasi lagi. Mari kita perluas tanda kurung terlebih dahulu:

1. (12(x+2)/3) + 12x = 12 - 36x/4
2. 4(x+2) + 12x = 12 - 36x/4
3. 4x + 8 + 12x = 12 - 9x - sekarang lakukan transfer:
4. 25x - 4 = 0 - tetap mencari solusi sesuai dengan skema yang sudah diketahui:
5. 25x=4
6. x = 4/25 = 0,16

Seperti yang Anda lihat, semuanya terpecahkan, yang utama bukanlah khawatir, tetapi bertindak. Ingat, jika persamaan Anda hanya berisi variabel derajat dan angka pertama, ini adalah persamaan linier, yang, bagaimanapun tampilannya pada awalnya, dapat direduksi menjadi bentuk umum dan diselesaikan. Kami berharap semuanya berhasil untuk Anda! Semoga beruntung!

Dalam artikel ini, kami mempertimbangkan prinsip penyelesaian persamaan seperti persamaan linier. Mari kita tuliskan definisi persamaan ini dan tentukan bentuk umumnya. Kami akan menganalisis semua kondisi untuk menemukan solusi persamaan linier, menggunakan, antara lain, contoh praktis.

Perlu diketahui bahwa materi di bawah ini berisi informasi tentang persamaan linear dengan satu variabel. Persamaan linier dengan dua variabel dibahas dalam artikel terpisah.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Apa itu persamaan linear

Definisi 1

Persamaan Linier adalah persamaan yang ditulis seperti ini:
ax = b, di mana x- variabel, sebuah dan b- beberapa nomor.

Rumusan ini digunakan dalam buku teks aljabar (kelas 7) oleh Yu.N. Makarychev.

Contoh 1

Contoh persamaan linear adalah:

3x=11(satu persamaan variabel x pada a = 5 dan b = 10);

3 , 1 y = 0 ( persamaan linier dengan variabel kamu, di mana a \u003d - 3, 1 dan b = 0);

x = -4 dan x = 5 , 37(persamaan linier, di mana bilangan sebuah ditulis secara eksplisit dan sama dengan 1 dan - 1, masing-masing. Untuk persamaan pertama b = - 4 ; untuk kedua - b = 5, 37) dll.

Bahan ajar yang berbeda mungkin mengandung definisi yang berbeda. Misalnya, Vilenkin N.Ya. linear juga mencakup persamaan-persamaan yang dapat ditransformasikan ke dalam bentuk ax = b dengan memindahkan istilah dari satu bagian ke bagian lain dengan perubahan tanda dan membawa istilah serupa. Jika kita mengikuti interpretasi ini, persamaan 5 x = 2 x + 6 – juga linier.

Dan ini adalah buku teks aljabar (Kelas 7) Mordkovich A.G. menentukan deskripsi berikut:

Definisi 2

Persamaan linear dengan satu variabel x adalah persamaan berbentuk ax + b = 0, di mana sebuah dan b adalah beberapa angka, yang disebut koefisien persamaan linier.

Contoh 2

Contoh persamaan linear semacam ini dapat berupa:

3 x - 7 = 0 (a = 3 , b = - 7) ;

1 , 8 y + 7 , 9 = 0 (a = 1 , 8 , b = 7 , 9 ).

Tetapi ada juga contoh persamaan linier yang sudah kita gunakan di atas: ax = b, Misalnya, 6 x = 35.

Kami akan segera setuju bahwa dalam artikel ini, di bawah persamaan linier dengan satu variabel, kami akan memahami persamaan penulisan ax + b = 0, di mana x- variabel; a , b adalah koefisien. Kami melihat bentuk persamaan linier ini sebagai yang paling dibenarkan, karena persamaan linier adalah persamaan aljabar tingkat pertama. Dan persamaan lain yang ditunjukkan di atas, dan persamaan yang diberikan oleh transformasi yang setara ke dalam bentuk ax + b = 0, kita definisikan sebagai persamaan yang direduksi menjadi persamaan linier.

Dengan pendekatan ini, persamaan 5 x + 8 = 0 linier, dan 5 x = 8- persamaan yang direduksi menjadi persamaan linier.

Prinsip penyelesaian persamaan linear

Pertimbangkan bagaimana menentukan apakah persamaan linier yang diberikan akan memiliki akar dan, jika demikian, berapa banyak dan bagaimana menentukannya.

Definisi 3

Fakta keberadaan akar persamaan linier ditentukan oleh nilai koefisien sebuah dan b. Mari kita tulis kondisi ini:

• pada sebuah 0 persamaan linier memiliki akar tunggal x = - b a ;
• pada a = 0 dan b 0 persamaan linier tidak memiliki akar;
• pada a = 0 dan b = 0 persamaan linear memiliki banyak akar tak terhingga. Faktanya, dalam hal ini, bilangan apa pun dapat menjadi akar persamaan linier.

Mari beri penjelasan. Kita tahu bahwa dalam proses penyelesaian persamaan, dimungkinkan untuk mengubah persamaan yang diberikan menjadi persamaan yang setara, yang berarti memiliki akar yang sama dengan persamaan aslinya, atau juga tidak memiliki akar. Kita dapat membuat transformasi ekuivalen berikut:

• memindahkan istilah dari satu bagian ke bagian lain, mengubah tanda menjadi sebaliknya;
• mengalikan atau membagi kedua ruas persamaan dengan bilangan bukan nol yang sama.

Jadi, kami mengubah persamaan linier ax + b = 0, memindahkan istilah b dari sisi kiri ke sisi kanan dengan tanda perubahan. Kita mendapatkan: a · x = - b .

Jadi, kami membagi kedua bagian persamaan dengan angka bukan nol sebuah, menghasilkan persamaan bentuk x = - b a . Yaitu ketika sebuah 0 persamaan asli ax + b = 0 setara dengan persamaan x = - b a , di mana akar - b a jelas.

Dengan kontradiksi, adalah mungkin untuk menunjukkan bahwa akar yang ditemukan adalah satu-satunya. Kami menetapkan penunjukan akar yang ditemukan - b a as x 1 . Mari kita asumsikan bahwa ada satu akar lagi dari persamaan linier dengan notasi x 2 . Dan tentu saja: x 2 x 1, dan ini, pada gilirannya, berdasarkan definisi angka yang sama melalui perbedaan, setara dengan kondisi x 1 - x 2 0. Mengingat hal di atas, kita dapat membuat persamaan berikut dengan mensubstitusi akar-akarnya:
a x 1 + b = 0 dan a · x 2 + b = 0 .
Properti persamaan numerik memungkinkan untuk melakukan pengurangan suku demi suku dari bagian persamaan:

a x 1 + b - (a x 2 + b) = 0 - 0, dari sini: a (x 1 - x 2) + (b - b) = 0 dan seterusnya a (x 1 - x 2) = 0 . Persamaan a (x 1 x 2) = 0 salah, karena kondisi sebelumnya diberikan bahwa sebuah 0 dan x 1 - x 2 0. Kontradiksi yang diperoleh berfungsi sebagai bukti bahwa pada sebuah 0 persamaan linier ax + b = 0 hanya memiliki satu akar.

Mari kita buktikan dua klausa lagi dari kondisi yang mengandung a = 0 .

Kapan a = 0 persamaan linier ax + b = 0 akan ditulis sebagai 0 x + b = 0. Properti mengalikan angka dengan nol memberi kita hak untuk menyatakan bahwa tidak peduli angka apa yang diambil sebagai x, substitusikan ke persamaan 0 x + b = 0, kita peroleh b = 0 . Persamaan berlaku untuk b = 0; dalam kasus lain ketika b 0 kesetaraan menjadi tidak valid.

Jadi, ketika a = 0 dan b = 0 , bilangan apa pun dapat menjadi akar persamaan linear ax + b = 0, karena di bawah kondisi ini, menggantikan bukannya x angka berapa pun, kami mendapatkan kesetaraan numerik yang benar 0 = 0 . Kapan a = 0 dan b 0 persamaan linier ax + b = 0 tidak akan memiliki akar sama sekali, karena di bawah kondisi yang ditentukan, menggantikan alih-alih x nomor berapa pun, kami mendapatkan kesetaraan numerik yang salah b = 0.

Semua alasan di atas memberi kita kesempatan untuk menulis algoritma yang memungkinkan untuk menemukan solusi untuk persamaan linier apa pun:

• berdasarkan jenis catatan, kami menentukan nilai koefisien sebuah dan b dan menganalisisnya;
• pada a = 0 dan b = 0 persamaan akan memiliki banyak akar tak terhingga, mis. angka berapa pun akan menjadi akar persamaan yang diberikan;
• pada a = 0 dan b 0
• pada sebuah, berbeda dari nol, kami mulai mencari satu-satunya akar persamaan linier asli:

1. koefisien transfer b ke kanan dengan perubahan tanda ke arah sebaliknya, sehingga persamaan linier menjadi bentuk ax = b;
2. membagi kedua bagian dari persamaan yang dihasilkan dengan nomor sebuah, yang akan memberi kita akar yang diinginkan dari persamaan yang diberikan: x = - b a .

Sebenarnya, urutan tindakan yang dijelaskan adalah jawaban atas pertanyaan tentang bagaimana menemukan solusi untuk persamaan linier.

Akhirnya, kami mengklarifikasi bahwa persamaan bentuk ax = b diselesaikan dengan algoritma yang sama dengan satu-satunya perbedaan bahwa nomor b dalam notasi seperti itu telah ditransfer ke bagian persamaan yang diinginkan, dan ketika sebuah 0 Anda dapat segera membagi bagian-bagian persamaan dengan angka sebuah.

Jadi, untuk mencari solusi persamaan ax = b, kami menggunakan algoritma berikut:

• pada a = 0 dan b = 0 persamaan akan memiliki banyak akar tak terhingga, mis. nomor apa pun bisa menjadi akarnya;
• pada a = 0 dan b 0 persamaan yang diberikan tidak akan memiliki akar;
• pada sebuah, tidak sama dengan nol, kedua ruas persamaan habis dibagi bilangan sebuah, yang memungkinkan untuk menemukan akar tunggal yang sama dengan b a.

Contoh penyelesaian persamaan linear

Contoh 3

Persamaan linear harus diselesaikan 0 x - 0 = 0.

Larutan

Dengan menulis persamaan yang diberikan, kita melihat bahwa a = 0 dan b = -0(atau b = 0 yang sama). Dengan demikian, persamaan yang diberikan dapat memiliki banyak akar atau bilangan apa pun.

Menjawab: x- nomor berapa pun.

Contoh 4

Hal ini diperlukan untuk menentukan apakah persamaan memiliki akar 0 x + 2, 7 = 0.

Larutan

Dari catatan, kami menentukan bahwa a \u003d 0, b \u003d 2, 7. Dengan demikian, persamaan yang diberikan tidak akan memiliki akar.

Menjawab: persamaan linear asli tidak memiliki akar.

Contoh 5

Diberikan persamaan linear 0, 3 x 0, 027 = 0 . Ini perlu diselesaikan.

Larutan

Dengan menulis persamaan, kami menentukan bahwa a \u003d 0, 3; b = - 0 , 027 , yang memungkinkan kita untuk menyatakan bahwa persamaan yang diberikan memiliki akar tunggal.

Mengikuti algoritma, kami mentransfer b ke sisi kanan persamaan, mengubah tanda, kami mendapatkan: 0,3 x = 0,027. Selanjutnya, kami membagi kedua bagian dari persamaan yang dihasilkan dengan a \u003d 0, 3, lalu: x \u003d 0, 027 0, 3.

Mari kita membagi desimal:

0,027 0,3 = 27300 = 3 9 3 100 = 9 100 = 0,09

Hasil yang diperoleh adalah akar dari persamaan yang diberikan.

Secara singkat tuliskan penyelesaiannya sebagai berikut:

0, 3 x - 0, 027 = 0, 0, 3 x = 0, 027, x = 0, 027 0, 3, x = 0, 09.

Menjawab: x = 0, 09 .

Untuk kejelasan, kami menyajikan solusi persamaan record ax = b.

Contoh N

Persamaan diberikan: 1) 0 x = 0 ; 2) 0 x = 9 ; 3) - 3 8 x = - 3 3 4 . Hal ini diperlukan untuk menyelesaikannya.

Larutan

Semua persamaan yang diberikan sesuai dengan catatan ax = b. Mari kita pertimbangkan secara bergantian.

Dalam persamaan 0 x = 0 , a = 0 dan b = 0, yang berarti: bilangan apa pun dapat menjadi akar persamaan ini.

Pada persamaan kedua 0 x = 9 : a = 0 dan b = 9 , dengan demikian, persamaan ini tidak akan memiliki akar.

Dengan bentuk persamaan terakhir - 3 8 x = - 3 3 4 kita menulis koefisien: a = - 3 8 , b = - 3 3 4 , mis. persamaan memiliki akar tunggal. Mari kita temukan dia. Mari kita membagi kedua sisi persamaan dengan a , kita mendapatkan sebagai hasilnya: x = - 3 3 4 - 3 8 . Mari kita sederhanakan pecahan dengan menerapkan aturan pembagian bilangan negatif, kemudian mengubah pecahan campuran menjadi pecahan biasa dan membagi pecahan biasa:

3 3 4 - 3 8 = 3 3 4 3 8 = 15 4 3 8 = 15 4 8 3 = 15 8 4 3 = 10

Secara singkat tuliskan penyelesaiannya sebagai berikut:

3 8 x = - 3 3 4 , x = - 3 3 4 - 3 8 , x = 10 .

Menjawab: 1) x- bilangan apa saja, 2) persamaan tidak memiliki akar, 3) x = 10 .

Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter