Sistem persamaan linear m dengan n yang tidak diketahui disebut sistem bentuk

Di mana sebuah ij Dan b saya (Saya=1,…,M; B=1,…,N) adalah beberapa nomor yang diketahui, dan x 1 ,…,xn- tidak dikenal. Dalam penunjukan koefisien sebuah ij indeks pertama Saya menunjukkan nomor persamaan, dan yang kedua J– bilangan yang tidak diketahui dimana koefisien ini berada.

Koefisien-koefisien yang tidak diketahui akan kita tuliskan dalam bentuk matriks , yang akan kami panggil matriks sistem.

Angka-angka di sisi kanan persamaan adalah b 1 ,…,b m disebut anggota gratis.

Keseluruhan N angka c 1 ,…,c n ditelepon keputusan suatu sistem tertentu, jika setiap persamaan sistem menjadi persamaan setelah mensubstitusikan bilangan ke dalamnya c 1 ,…,c n alih-alih hal-hal yang tidak diketahui terkait x 1 ,…,xn.

Tugas kita adalah menemukan solusi terhadap sistem. Dalam hal ini, tiga situasi mungkin timbul:

Sistem persamaan linear yang paling sedikit mempunyai satu penyelesaian disebut persendian. Jika tidak, mis. jika sistem tidak memiliki solusi, maka disebut non-bersama.

Mari kita pertimbangkan cara untuk menemukan solusi terhadap sistem.

METODE MATRIKS UNTUK SISTEM PENYELESAIAN PERSAMAAN LINEAR

Matriks memungkinkan untuk menuliskan secara singkat sistem persamaan linier. Misalkan diberikan sistem yang terdiri dari 3 persamaan dengan tiga hal yang tidak diketahui:

Pertimbangkan matriks sistem dan kolom matriks yang sukunya tidak diketahui dan bebas

Ayo cari pekerjaannya

itu. sebagai hasil perkalian, kita memperoleh ruas kiri persamaan sistem ini. Kemudian, dengan menggunakan definisi persamaan matriks, sistem ini dapat ditulis dalam bentuk

atau lebih pendek A∙X=B.

Berikut matriksnya A Dan B diketahui, dan matriksnya X tidak dikenal. Hal ini perlu untuk menemukannya, karena... elemen-elemennya adalah solusi untuk sistem ini. Persamaan ini disebut persamaan matriks.

Biarkan determinan matriks berbeda dari nol | A| ≠ 0. Kemudian persamaan matriks diselesaikan sebagai berikut. Kalikan kedua ruas persamaan di sebelah kiri dengan matriks A-1, kebalikan dari matriks A: . Karena SEBUAH -1 SEBUAH = E Dan E∙X = X, maka kita memperoleh solusi persamaan matriks dalam bentuk X = SEBUAH -1B .

Perhatikan bahwa karena matriks invers hanya dapat ditemukan untuk matriks persegi, metode matriks hanya dapat menyelesaikan sistem yang memiliki matriks persegi jumlah persamaan bertepatan dengan jumlah yang tidak diketahui. Namun, pencatatan matriks sistem juga dimungkinkan jika jumlah persamaan tidak sama dengan jumlah persamaan yang tidak diketahui, maka matriksnya A tidak akan berbentuk persegi dan oleh karena itu tidak mungkin menemukan solusi sistem dalam bentuk X = SEBUAH -1B.

Contoh. Memecahkan sistem persamaan.

ATURAN CRAMER

Pertimbangkan sistem 3 persamaan linier dengan tiga hal yang tidak diketahui:

Penentu orde ketiga yang sesuai dengan matriks sistem, yaitu. terdiri dari koefisien untuk hal yang tidak diketahui,

ditelepon penentu sistem.

Mari kita buat tiga determinan lagi sebagai berikut: ganti kolom 1, 2 dan 3 secara berurutan pada determinan D dengan kolom suku bebas

Maka kita dapat membuktikan hasil berikut.

Teorema (aturan Cramer). Jika determinan sistem Δ ≠ 0, maka sistem yang ditinjau mempunyai satu dan hanya satu solusi, dan

Bukti. Jadi, mari kita perhatikan sistem yang terdiri dari 3 persamaan dengan tiga persamaan yang tidak diketahui. Mari kalikan persamaan pertama sistem dengan komplemen aljabar SEBUAH 11 elemen sebuah 11, persamaan ke-2 – aktif Sebuah 21 dan ke-3 – aktif Sebuah 31:

Mari tambahkan persamaan ini:

Mari kita lihat masing-masing tanda kurung dan ruas kanan persamaan ini. Dengan teorema perluasan determinan pada elemen kolom 1

Demikian pula, dapat ditunjukkan bahwa dan .

Akhirnya, mudah untuk menyadarinya

Jadi, kita memperoleh persamaan: .

Karena itu, .

Persamaan dan diturunkan dengan cara yang sama, yang darinya pernyataan teorema berikut.

Jadi, kita perhatikan bahwa jika determinan sistem Δ ≠ 0, maka sistem tersebut mempunyai solusi unik dan sebaliknya. Jika determinan sistem sama dengan nol, maka sistem tersebut mempunyai jumlah solusi yang tak terhingga atau tidak memiliki solusi, yaitu. tidak kompatibel.

Contoh. Selesaikan sistem persamaan

METODE GAUSS

Metode yang telah dibahas sebelumnya hanya dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem yang jumlah persamaannya sama dengan jumlah persamaan yang tidak diketahui, dan determinan sistemnya harus berbeda dari nol. Metode Gauss lebih universal dan cocok untuk sistem dengan sejumlah persamaan. Ini terdiri dari penghapusan secara konsisten hal-hal yang tidak diketahui dari persamaan sistem.

Pertimbangkan kembali sistem tiga persamaan dengan tiga hal yang tidak diketahui:

.

Kami akan membiarkan persamaan pertama tidak berubah, dan dari persamaan ke-2 dan ke-3 kami akan mengecualikan suku-suku yang mengandungnya x 1. Untuk melakukannya, bagi persamaan kedua dengan A 21 dan kalikan dengan – A 11, lalu tambahkan ke persamaan pertama. Demikian pula, kita membagi persamaan ketiga dengan A 31 dan kalikan dengan – A 11, lalu tambahkan dengan yang pertama. Hasilnya, sistem aslinya akan berbentuk:

Sekarang dari persamaan terakhir kita menghilangkan istilah yang mengandung x 2. Caranya, bagi persamaan ketiga dengan, kalikan dengan, dan tambahkan dengan persamaan kedua. Maka kita akan memiliki sistem persamaan:

Dari sini, persamaan terakhir mudah ditemukan x 3, lalu dari persamaan ke-2 x 2 dan akhirnya, dari tanggal 1 - x 1.

Saat menggunakan metode Gaussian, persamaan dapat ditukar jika diperlukan.

Seringkali, alih-alih menulis sistem persamaan baru, mereka membatasi diri pada menuliskan matriks yang diperluas dari sistem tersebut:

dan kemudian mengubahnya menjadi bentuk segitiga atau diagonal menggunakan transformasi dasar.

KE transformasi dasar matriks mencakup transformasi berikut:

1. menata ulang baris atau kolom;
2. mengalikan string dengan angka selain nol;
3. menambahkan baris lain ke satu baris.

Contoh: Memecahkan sistem persamaan menggunakan metode Gauss.

Jadi, sistem tersebut mempunyai solusi yang jumlahnya tak terhingga.

Persamaan dengan yang tidak diketahui, yang setelah membuka tanda kurung dan membawa suku-suku serupa, mengambil bentuk

kapak + b = 0, dimana a dan b adalah bilangan sembarang, disebut persamaan linier dengan satu yang tidak diketahui. Hari ini kita akan mencari cara untuk menyelesaikan persamaan linear ini.

Misalnya, semua persamaan:

2x + 3= 7 – 0,5x; 0,3x = 0; x/2 + 3 = 1/2 (x – 2) - linier.

Nilai yang tidak diketahui yang mengubah persamaan menjadi persamaan yang benar disebut keputusan atau akar persamaan .

Misalnya, jika dalam persamaan 3x + 7 = 13 alih-alih x yang tidak diketahui kita mengganti angka 2, kita memperoleh persamaan yang benar 3 2 +7 = 13. Artinya nilai x = 2 adalah solusi atau akar dari persamaan tersebut.

Dan nilai x = 3 tidak mengubah persamaan 3x + 7 = 13 menjadi persamaan sejati, karena 3 2 +7 ≠ 13. Artinya nilai x = 3 bukan merupakan solusi atau akar persamaan.

Menyelesaikan persamaan linier apa pun direduksi menjadi penyelesaian persamaan bentuk

kapak + b = 0.

Mari kita pindahkan suku bebas dari ruas kiri persamaan ke kanan, ubah tanda di depan b menjadi kebalikannya, kita peroleh

Jika a ≠ 0, maka x = ‒ b/a .

Contoh 1. Selesaikan persamaan 3x + 2 =11.

Mari kita pindahkan 2 dari ruas kiri persamaan ke kanan, ubah tanda di depan 2 menjadi kebalikannya, kita peroleh
3x = 11 – 2.

Kalau begitu, mari kita lakukan pengurangan
3x = 9.

Untuk mencari x, Anda perlu membagi hasil kali dengan faktor yang diketahui, yaitu
x = 9:3.

Artinya nilai x = 3 merupakan solusi atau akar persamaan.

Jawaban: x = 3.

Jika a = 0 dan b = 0, maka kita mendapatkan persamaan 0x = 0. Persamaan ini memiliki banyak solusi yang tak terhingga, karena ketika kita mengalikan suatu bilangan dengan 0 kita mendapatkan 0, tetapi b juga sama dengan 0. Penyelesaian persamaan ini adalah bilangan apa pun.

Contoh 2. Selesaikan persamaan 5(x – 3) + 2 = 3 (x – 4) + 2x ‒ 1.

Mari kita perluas tanda kurungnya:
5x – 15 + 2 = 3x – 12 + 2x ‒ 1.

5x – 3x ‒ 2x = – 12 ‒ 1 + 15 ‒ 2.

Berikut beberapa istilah serupa:
0x = 0.

Jawaban: x - nomor berapa saja.

Jika a = 0 dan b ≠ 0, maka kita mendapatkan persamaan 0x = - b. Persamaan ini tidak mempunyai solusi, karena ketika kita mengalikan bilangan apa pun dengan 0 kita mendapatkan 0, tetapi b ≠ 0.

Contoh 3. Selesaikan persamaan x + 8 = x + 5.

Mari kita kelompokkan suku-suku yang tidak diketahui di sisi kiri, dan suku-suku bebas di sisi kanan:
x – x = 5 – 8.

Berikut beberapa istilah serupa:
0х = ‒ 3.

Jawaban: tidak ada solusi.

Pada Gambar 1 menunjukkan diagram untuk menyelesaikan persamaan linier

Mari kita buat skema umum untuk menyelesaikan persamaan dengan satu variabel. Mari kita perhatikan solusi Contoh 4.

Contoh 4. Misalkan kita perlu menyelesaikan persamaan tersebut

1) Kalikan semua suku persamaan dengan kelipatan persekutuan terkecil penyebutnya, sama dengan 12.

2) Setelah pengurangan kita dapatkan
4 (x – 4) + 3 2 (x + 1) ‒ 12 = 6 5 (x – 3) + 24x – 2 (11x + 43)

3) Untuk memisahkan suku yang mengandung suku tidak diketahui dan suku bebas, buka tanda kurung:
4x – 16 + 6x + 6 – 12 = 30x – 90 + 24x – 22x – 86.

4) Mari kita kelompokkan di satu bagian suku-suku yang mengandung hal-hal yang tidak diketahui, dan di bagian lain - suku-suku bebas:
4x + 6x – 30x – 24x + 22x = ‒ 90 – 86 + 16 – 6 + 12.

5) Mari kita sajikan istilah serupa:
- 22x = - 154.

6) Bagi dengan – 22, Kita peroleh
x = 7.

Seperti yang Anda lihat, akar persamaannya adalah tujuh.

Umumnya seperti itu persamaan dapat diselesaikan dengan menggunakan skema berikut:

a) membawa persamaan ke bentuk bilangan bulatnya;

b) buka tanda kurung;

c) mengelompokkan suku-suku yang mengandung suku-suku yang tidak diketahui di satu bagian persamaan, dan suku-suku bebas di bagian lain;

d) mendatangkan anggota serupa;

e) menyelesaikan persamaan bentuk aх = b, yang diperoleh setelah membawa suku-suku sejenis.

Namun, skema ini tidak diperlukan untuk setiap persamaan. Saat menyelesaikan banyak persamaan sederhana, Anda harus memulai bukan dari persamaan pertama, tetapi dari persamaan kedua ( Contoh. 2), ketiga ( Contoh. 13) dan bahkan dari tahap kelima, seperti pada contoh 5.

Contoh 5. Selesaikan persamaan 2x = 1/4.

Carilah x = 1/4:2 yang belum diketahui,
x = 1/8 .

Mari kita lihat penyelesaian beberapa persamaan linier yang ditemukan dalam ujian utama negara bagian.

Contoh 6. Selesaikan persamaan 2 (x + 3) = 5 – 6x.

2x + 6 = 5 – 6x

2x + 6x = 5 – 6

Jawaban: - 0,125

Contoh 7. Selesaikan persamaan – 6 (5 – 3x) = 8x – 7.

– 30 + 18x = 8x – 7

18x – 8x = – 7 +30

Jawaban: 2.3

Contoh 8. Selesaikan persamaannya

3(3x – 4) = 4 7x + 24

9x – 12 = 28x + 24

9x – 28x = 24 + 12

Contoh 9. Tentukan f(6) jika f (x + 2) = 3 7

Larutan

Karena kita perlu mencari f(6), dan kita mengetahui f (x + 2),
maka x + 2 = 6.

Kita selesaikan persamaan linear x + 2 = 6,
kita mendapatkan x = 6 – 2, x = 4.

Jika x = 4 maka
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27

Jawaban: 27.

Jika Anda masih memiliki pertanyaan atau ingin memahami penyelesaian persamaan secara lebih menyeluruh, daftarlah untuk pelajaran saya di JADWAL. Saya akan dengan senang hati membantu Anda!

TutorOnline juga merekomendasikan menonton video pelajaran baru dari tutor kami Olga Alexandrovna, yang akan membantu Anda memahami persamaan linear dan lainnya.

situs web, ketika menyalin materi secara keseluruhan atau sebagian, diperlukan tautan ke sumbernya.

Kami menyusun determinan utama untuk sistem

dan menghitungnya.

Kemudian kami membuat determinan tambahan

dan menghitungnya.

Menurut aturan Cramer, solusi sistem ditemukan dengan menggunakan rumus

;
;
,Jika

1)

Mari kita hitung:

Dengan menggunakan rumus Cramer kita menemukan:

Jawaban: (1; 2; 3)

2)

Mari kita hitung:

Sejak penentu utama
, dan setidaknya satu tambahan tidak sama dengan nol (dalam kasus kami
), maka sistem tidak memiliki solusi.

3)

Mari kita hitung:

Karena semua determinannya sama dengan nol, maka sistem tersebut mempunyai solusi yang jumlahnya tak terhingga, yang dapat dicari sebagai berikut:

Selesaikan sendiri sistemnya:

A)
B)

Jawaban: a) (1; 2; 5) b) ;;

Pelajaran praktis No. 3 dengan topik:

Perkalian titik dua vektor dan penerapannya

1. Jika diberikan
Dan
, lalu kita mencari hasil kali skalar menggunakan rumus:

∙

2.Jika, maka hasil kali skalar kedua vektor tersebut ditentukan dengan rumus

1. Diberikan dua buah vektor
Dan

Kami menemukan produk skalarnya sebagai berikut:

.

2. Diberikan dua vektor:

={2;3;–4}
={1; –5; 6}

Produk skalar ditemukan seperti ini:

3.
,

3.1 Menemukan kerja gaya konstan pada suatu penampang lurus

1) Di bawah pengaruh gaya 15 N, benda bergerak lurus sejauh 2 meter. Sudut antara gaya dan arah gerak =60 0. Hitung usaha yang dilakukan oleh suatu gaya untuk menggerakkan suatu benda.

Diberikan:

Larutan:

2) Diberikan:

Larutan:

3) Sebuah benda berpindah dari titik M(1; 2; 3) ke titik N(5; 4; 6) di bawah pengaruh gaya 60 N. Sudut antara arah gaya dan vektor perpindahan =45 0. Hitung usaha yang dilakukan oleh gaya ini.

Penyelesaian: carilah vektor perpindahan

Menemukan modul vektor perpindahan:

Menurut rumusnya
mencari pekerjaan:

3.2 Menentukan ortogonalitas dua vektor

Dua vektor ortogonal jika
, itu adalah

Karena

1)

– tidak ortogonal

2)

–ortogonal

3) Tentukan pada titik berapa vektor-vektor tersebut
Dan
saling ortogonal.

Karena
, Itu
, Cara

Putuskan sendiri:

A)

. Temukan produk skalarnya.

b) Hitunglah besarnya usaha yang dihasilkan gaya tersebut
, jika titik penerapannya yang bergerak lurus telah berpindah dari titik M (5; -6; 1) ke titik N (1; -2; 3)

c) Tentukan apakah vektor-vektor tersebut ortogonal
Dan

Jawaban: a) 1 b) 16 c) ya

3.3 Mencari sudut antar vektor

1)

. Menemukan .

Kami menemukan

substitusikan ke dalam rumus:

.

1). Diketahui titik sudut segitiga A(3; 2; –3), B(5; 1; –1), C(1; –2; 1). Tentukan sudut di titik sudut A.

Mari kita masukkan ke dalam rumus:

Putuskan sendiri:

Diketahui titik sudut segitiga A(3; 5; -2), B(5; 7; -1), C(4; 3; 0). Tentukan sudut dalam pada titik A.

Jawaban: 90o

Pelajaran praktis No. 4 dengan topik:

PRODUK VEKTOR DUA VEKTOR DAN APLIKASINYA.

Rumus mencari perkalian silang dua vektor:

	seperti

1) Temukan modulus produk vektor:

Mari kita buat determinan dan menghitungnya (menggunakan aturan Sarrus atau teorema perluasan determinan menjadi elemen-elemen baris pertama).

Metode pertama: menurut aturan Sarrus

Metode 2: perluas determinan menjadi elemen-elemen baris pertama.

2) Temukan modulus produk vektor:

4.1. PERHITUNGAN WILAYAH PARALLELOGRAM YANG DIBANGUN PADA DUA VEKTOR.

1) Hitung luas jajar genjang yang dibangun di atas vektor

2). Temukan produk vektor dan modulusnya

4.2. MENGHITUNG WILAYAH SEGITIGA

Contoh: diberikan titik sudut segitiga A(1; 0; -1), B(1; 2; 0), C(3; -1; 1). Hitung luas segitiga.

Pertama, cari koordinat dua vektor yang berasal dari titik sudut yang sama.

Mari kita cari hasil perkalian vektornya

4.3. PENENTUAN KOLLINEARITAS DUA VEKTOR

Jika vektor
Dan
kalau begitu, adalah collinear

, yaitu koordinat vektor harus proporsional.

a) Diketahui vektor ::
,
.

Mereka segaris karena
Dan

setelah mengurangi setiap pecahan kita mendapatkan rasionya

b) Vektor yang diberikan:

.

Mereka tidak segaris karena
atau

Putuskan sendiri:

a) Pada nilai m dan n vektor berapa
segaris?

Menjawab:
;

b) Temukan produk vektor dan modulusnya
,
.

Menjawab:
,
.

Pelajaran praktis No. 5 dengan topik:

GARIS LURUS PADA BIDANG

Soal No. 1. Tentukan persamaan garis yang melalui titik A(-2; 3) yang sejajar dengan garis tersebut

1. Temukan kemiringan garis
.

adalah persamaan garis lurus dengan koefisien sudut dan ordinat awal (
). Itu sebabnya
.

2. Karena garis MN dan AC sejajar, maka koefisien sudutnya sama, yaitu.
.

3. Untuk mencari persamaan garis lurus AC, kita menggunakan persamaan garis lurus yang melalui suatu titik dengan koefisien sudut tertentu:

. Dalam rumus ini sebagai gantinya Dan gantikan koordinat titik A(-2; 3). Mari kita substitusikan – 3. Hasil substitusi tersebut kita peroleh:

Menjawab:

Tugas No.2. Tentukan persamaan garis yang melalui titik K(1; –2) yang sejajar dengan garis tersebut.

1. Carilah kemiringan garis tersebut.

Ini adalah persamaan umum suatu garis, yang secara umum diberikan oleh rumus. Membandingkan persamaan, kita menemukan bahwa A = 2, B = –3. Kemiringan garis lurus yang diberikan oleh persamaan ditentukan dengan rumus
. Substitusikan A = 2 dan B = –3 ke dalam rumus ini, kita peroleh kemiringan garis lurus MN. Jadi,
.

2. Karena garis MN dan KS sejajar, koefisien sudutnya sama:
.

3. Untuk mencari persamaan garis lurus KS, kita menggunakan rumus persamaan garis lurus yang melalui suatu titik dengan koefisien sudut tertentu
. Dalam rumus ini sebagai gantinya Dan mari kita substitusikan koordinat titik K(–2; 3), sebagai ganti

Soal No.3. Tentukan persamaan garis yang melalui titik K(–1; –3) tegak lurus garis tersebut.

1. adalah persamaan umum garis lurus, yang bentuk umum diberikan oleh rumus.

dan kami menemukan bahwa A = 3, B = 4.

Kemiringan garis lurus yang diberikan oleh persamaan tersebut ditentukan dengan rumus:
. Substitusikan A = 3 dan B = 4 ke dalam rumus ini, kita peroleh kemiringan garis lurus MN:
.

2. Karena garis MN dan KD tegak lurus, maka koefisien sudutnya berbanding terbalik dan berlawanan tanda:

.

3. Untuk mencari persamaan garis lurus KD, kita menggunakan rumus persamaan garis lurus yang melalui suatu titik dengan koefisien sudut tertentu

. Dalam rumus ini sebagai gantinya Dan gantikan koordinat titik K(–1;–3). mari kita gantikan Sebagai hasil substitusi kita peroleh:

Putuskan sendiri:

1. Tentukan persamaan garis yang melalui titik K(–4; 1) yang sejajar dengan garis tersebut
.

Menjawab:
.

2. Tentukan persamaan garis yang melalui titik K(5; –2) yang sejajar dengan garis tersebut
.

3. Tentukan persamaan garis yang melalui titik K(–2, –6) yang tegak lurus garis tersebut
.

4. Tentukan persamaan garis yang melalui titik K(7; –2) tegak lurus garis tersebut
.

Menjawab:
.

5. Tentukan persamaan garis tegak lurus yang dijatuhkan dari titik K(–6; 7) ke garis lurus
.

2.3.1. Definisi.

Biarkan persamaan linear diberikan:

A 1 X + B 1 kamu + C 1 z = D 1 , (2.3.1)

A 2 X + B 2 kamu + C 2 z = D 2 , (2.3.2)

A 3 X + B 3 kamu + C 3 z = D 3 . (2.3.3)

Jika perlu mencari solusi umum persamaan (2.3.1) ¾ (2.3.3), maka dikatakan bahwa persamaan tersebut terbentuk sistem . Sistem yang terdiri dari persamaan (2.3.1) ¾ (2.3.3) dinotasikan sebagai berikut:

Penyelesaian umum persamaan-persamaan yang menyusun sistem tersebut disebut solusi sistem . Selesaikan sistem (2.3.4) ¾ ini berarti menemukan himpunan semua solusinya, atau membuktikan bahwa tidak ada solusinya.

Seperti pada kasus sebelumnya, di bawah ini kita akan menemukan kondisi di mana sistem (2.3.4) mempunyai solusi unik, memiliki lebih dari satu solusi, dan tidak memiliki solusi.

2.3.2. Definisi. Biarkan sistem (2.3.4) persamaan linear diberikan. Matriks

dipanggil sesuai ( dasar )matriks Dan matriks diperluas sistem.

2.3.3. Definisi sistem ekuivalen bentuk (2.3.4), serta transformasi dasar tipe 1 dan 2, diperkenalkan dengan cara yang sama seperti sistem dua persamaan dengan dua dan tiga yang tidak diketahui.

Transformasi dasar Tipe sistem ke-3 (2.3.4) disebut pertukaran dua persamaan sistem ini. Mirip dengan kasus sistem 2 persamaan sebelumnya dengan transformasi dasar sistem, sistem diperoleh,setara dengan ini.

2.3.4. Latihan. Selesaikan sistem persamaan:

Larutan. A)

(1) Kami menukar persamaan pertama dan kedua dari sistem (transformasi tipe 3).

(2) Persamaan pertama dikalikan 4 dikurangi persamaan kedua, dan persamaan pertama dikalikan 6 dikurangi persamaan ketiga (transformasi tipe 2); dengan demikian, hal yang tidak diketahui dikeluarkan dari persamaan kedua dan ketiga X .

(3) Persamaan kedua dikalikan 14 dikurangi persamaan ketiga; yang tidak diketahui dikecualikan dari yang ketiga kamu .

(4) Dari persamaan terakhir kita temukan z = 1, dengan mengganti yang kedua, kita temukan kamu = 0. Terakhir, substitusi kamu = 0 dan z = 1 ke dalam persamaan pertama, kita temukan X = -2.ñ

(1) Kami menukar persamaan pertama dan kedua dari sistem.

(2) Persamaan pertama dikalikan 4 dikurangi persamaan kedua, dan persamaan pertama dikalikan 6 dikurangi persamaan ketiga.

(3) Persamaan kedua dan ketiga bertepatan. Salah satunya kita keluarkan dari sistem (atau, dengan kata lain, jika kita mengurangkan persamaan kedua dari persamaan ketiga, maka persamaan ketiga berubah menjadi identitas 0 = 0; dikeluarkan dari sistem. Kita asumsikan z = A .

(4) Pengganti z = A ke dalam persamaan kedua dan pertama.

(5) Mengganti kamu = 12 - 12A ke dalam persamaan pertama, kita temukan X .

c) Jika persamaan pertama dibagi 4, dan persamaan ketiga dibagi 6, maka kita mendapatkan sistem ekuivalen

yang ekuivalen dengan persamaan tersebut X - 2kamu - z = -3. Solusi persamaan ini diketahui (lihat Contoh 2.2.3 b))

Kesetaraan terakhir dalam sistem yang dihasilkan bersifat kontradiktif. Oleh karena itu, sistem tidak memiliki solusi.

Transformasi (1) dan (2) ¾ sama persis dengan transformasi sistem b))

(3) Kurangi persamaan kedua dari persamaan terakhir.

Jawaban: a) (-2; 0; 1);

b) (21 - 23 A ; 12 - 12A ; A ), A Î R;

c) ((-3+2 A + B ; A ; B )|A , B Î R};

d) Sistem tidak memiliki solusi.

2.3.5. Dari contoh sebelumnya berikut ini sistem dengan tiga hal yang tidak diketahui, seperti sistem dengan dua hal yang tidak diketahui, mungkin hanya mempunyai satu solusi, solusi yang jumlahnya tak terhingga dan tidak mempunyai solusi tunggal. Di bawah ini kami akan menganalisis semua kemungkinan kasus. Tapi pertama-tama kami memperkenalkan beberapa notasi.

Misalkan D menyatakan determinan matriks sistem:

Misalkan D 1 menyatakan determinan yang diperoleh dari D dengan mengganti kolom pertama dengan kolom suku bebas:

Demikian pula, mari kita taruh

D 2 = dan D 3 = .

2.3.6. Dalil. Jika D¹0, lalu sistem(2.3.4)mempunyai solusi unik

, , . (2.3.5)

Rumus (2.3.5) disebut rumus = = 0 untuk semua Saya ¹ J dan setidaknya salah satu determinannya , , tidak sama dengan nol, maka sistem tidak memiliki solusi.

4) Jika = = = = = = 0 untuk semua Saya ¹ J , maka sistem tersebut mempunyai solusi yang jumlahnya tak terhingga, tergantung pada dua parameter.

Masalah 1

Selesaikan sistem persamaan linear dengan dua cara: menggunakan rumus Cramer dan metode Gauss

1) menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier tak homogen Ax = B menggunakan metode Cramer

Penentu sistem D tidak sama dengan nol. Mari kita cari determinan bantu D 1, D 2, D 3, jika tidak sama dengan nol, maka tidak ada solusi, jika sama, maka ada banyak solusi yang tak terhingga

Suatu sistem yang terdiri dari 3 persamaan linier dengan 3 yang tidak diketahui, yang determinannya bukan nol, selalu konsisten dan mempunyai solusi unik, dihitung dengan rumus:

Jawaban: kami mendapat solusinya:

2) menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier tak homogen Ax = B menggunakan metode Gauss

Mari kita buat matriks yang diperluas dari sistem

Mari kita ambil baris pertama sebagai panduan, dan elemen a 11 = 1 sebagai panduan. Dengan menggunakan garis panduan kita mendapatkan angka nol di kolom pertama.

sesuai dengan himpunan solusi sistem persamaan linear

Jawaban: kami mendapat solusinya:

Masalah 2

Diketahui koordinat titik sudut segitiga ABC

Menemukan:

1) panjang sisi AB;

4) persamaan median AE;

Bangunlah segitiga tertentu dan semua garis dalam sistem koordinat.

SEBUAH(1; -1), B(4; 3). C(5;1).

1) Jarak antar titik A( x 1; di 1) dan B( x 2; di 2) ditentukan oleh rumus

dengan menggunakannya kita mencari panjang sisi AB;

2) persamaan sisi AB dan BC serta koefisien sudutnya;

Persamaan garis lurus yang melalui dua titik tertentu pada bidang A( x 1; di 1) dan B( x 2; di 2) memiliki bentuk

Substitusikan koordinat titik A dan B ke (2), diperoleh persamaan sisi AB:

Koefisien sudut k AB dari garis lurus AB dicari dengan mengubah persamaan yang dihasilkan menjadi persamaan garis lurus dengan koefisien sudut kamu =kx - B.

, yaitu dari mana

Demikian pula, kita memperoleh persamaan garis lurus BC dan mencari koefisien sudutnya.

Substitusikan koordinat titik B dan C ke (2), diperoleh persamaan sisi BC:

Koefisien sudut k BC dari garis lurus BC dicari dengan mengubah persamaan yang dihasilkan ke bentuk persamaan garis lurus dengan koefisien sudut kamu =kx - B.

, itu adalah

3) sudut dalam pada titik B dalam radian dengan ketelitian 0,01

Untuk mencari sudut dalam segitiga kita, kita menggunakan rumus:

Perhatikan bahwa tata cara menghitung selisih koefisien sudut pada pembilang pecahan ini bergantung pada posisi relatif garis lurus AB dan BC.

Substitusikan nilai k BC dan k AB yang dihitung sebelumnya ke dalam (3), kita peroleh:

Sekarang, dengan menggunakan tabel dengan mikrokalkulator teknik, kita mendapatkan B » 1,11 rad.

4) persamaan median AE;

Untuk menyusun persamaan median AE, cari dulu koordinat titik E yang terletak di tengah ruas BC

Substitusikan koordinat titik A dan E ke dalam persamaan (2), diperoleh persamaan median:

5) persamaan panjang dan tinggi CD;

Untuk menyusun persamaan tinggi CD, kita menggunakan persamaan garis lurus yang melalui suatu titik tertentu M( x 0 ; kamu 0)dengan kemiringan tertentu k, yang memiliki bentuk

dan syarat tegak lurus garis AB dan CD yang dinyatakan dengan relasi k AB k CD = -1, maka k CD = -1/k AB = - 3/4

Mengganti (4) sebagai ganti k nilai k C D = -3/4, dan sebagai ganti X 0 , kamu 0 koordinat titik C yang sesuai, kita memperoleh persamaan tinggi CD

Untuk menghitung panjang CD tinggi, kita menggunakan rumus mencari jarak d dari suatu titik tertentu M( x 0 ; kamu 0) pada suatu garis lurus tertentu dengan persamaan Ax+ By + C = 0, yang berbentuk:

Menggantikan (5) sebagai gantinya x 0 ; kamu 0 koordinat titik C, dan sebagai ganti A, B, C, kita peroleh koefisien persamaan garis lurus AB

6) persamaan garis lurus yang melalui titik E sejajar sisi AB dan titik M perpotongannya dengan tinggi CD;

Karena garis lurus EF yang diinginkan sejajar dengan garis lurus AB, maka k EF = k AB = 4/3. Substitusikan ke persamaan (4). x 0 ; kamu 0 koordinat titik E, dan sebagai ganti k nilai k EF kita memperoleh persamaan garis lurus EF".

Untuk mencari koordinat titik M, kita selesaikan bersama-sama persamaan garis EF dan CD.

Jadi, M(5.48, 0.64).

7) persamaan lingkaran yang berpusat di titik E melalui titik sudut B

Karena lingkaran berpusat di titik E(4,5; 2) dan melalui titik sudut B(4; 3), maka jari-jarinya

Persamaan kanonik lingkaran berjari-jari R yang berpusat di titik M 0 ( x 0 ; kamu 0) memiliki bentuk

Segitiga ABC, tinggi CD, median AE, garis lurus EF, titik M dan lingkaran yang dibangun pada sistem koordinat x0y pada Gambar 1.

Masalah 3

Buatlah persamaan garis yang setiap titiknya ke titik A (2; 5) sama dengan jarak ke garis lurus y = 1. Gambarkan kurva yang dihasilkan ke dalam sistem koordinat

Larutan

Biarkan M ( X, kamu) - titik saat ini dari kurva yang diinginkan. Mari kita jatuhkan MB tegak lurus dari titik M ke garis lurus y = 1 (Gbr. 2). Maka B(x; 1). Karena MA = MB, maka