Pertama, coba cari domain fungsinya:

Apakah Anda berhasil? Mari kita bandingkan jawabannya:

Apakah semuanya baik-baik saja? Bagus sekali!

Sekarang mari kita coba mencari rentang nilai fungsi tersebut:

Ditemukan? Mari kita bandingkan:

Mengerti? Bagus sekali!

Mari kita bekerja dengan grafik lagi, hanya saja sekarang ini sedikit lebih rumit - temukan domain definisi fungsi dan rentang nilai fungsi.

Cara menemukan domain dan rentang suatu fungsi (lanjutan)

Inilah yang terjadi:

Saya rasa Anda sudah mengetahui grafiknya. Sekarang mari kita coba mencari domain definisi suatu fungsi sesuai dengan rumusnya (jika Anda tidak tahu caranya, baca bagian tentang):

Apakah Anda berhasil? Mari kita periksa jawaban:

1. , karena ekspresi radikal harus lebih besar dari atau sama dengan nol.
2. , karena Anda tidak dapat membaginya dengan nol dan ekspresi akarnya tidak boleh negatif.
3. , karena, masing-masing, untuk semua.
4. , karena Anda tidak dapat membaginya dengan nol.

Namun, kami masih memiliki satu hal lagi yang belum terjawab...

Saya akan mengulangi definisi tersebut sekali lagi dan menekankannya:

Apakah kamu menyadari? Kata "lajang" adalah elemen yang sangat, sangat penting dalam definisi kami. Saya akan mencoba menjelaskannya kepada Anda dengan jari saya.

Katakanlah kita mempunyai fungsi yang didefinisikan oleh garis lurus. . Di, kami mengganti nilai ini ke dalam “aturan” kami dan mendapatkannya. Satu nilai sesuai dengan satu nilai. Kita bahkan dapat membuat tabel nilai-nilai yang berbeda dan membuat grafik fungsi ini untuk melihatnya sendiri.

"Lihat! - Anda berkata, “” terjadi dua kali!” Jadi mungkinkah parabola bukan suatu fungsi? Tidak, itu benar!

Fakta bahwa “ ” muncul dua kali bukanlah alasan untuk menuduh parabola ambigu!

Faktanya adalah, jika dihitung, kami menerima satu permainan. Dan jika dihitung dengan, kami menerima satu permainan. Jadi benar, parabola adalah suatu fungsi. Lihatlah grafiknya:

Mengerti? Jika belum, berikut contoh kehidupan yang sangat jauh dari matematika!

Katakanlah kita memiliki sekelompok pelamar yang bertemu saat menyerahkan dokumen, yang masing-masing menceritakan dalam percakapan di mana dia tinggal:

Setuju, bisa saja beberapa orang tinggal di satu kota, tapi tidak mungkin satu orang tinggal di beberapa kota dalam waktu yang bersamaan. Ini seperti representasi logis dari “parabola” kita - Beberapa X yang berbeda berhubungan dengan permainan yang sama.

Sekarang mari kita berikan contoh di mana ketergantungan bukanlah suatu fungsi. Katakanlah orang-orang ini memberi tahu kita spesialisasi apa yang mereka lamar:

Di sini kita menghadapi situasi yang sangat berbeda: satu orang dapat dengan mudah mengirimkan dokumen untuk satu atau beberapa arah. Itu adalah satu elemen set dimasukkan ke dalam korespondensi beberapa elemen banyak sekali. Masing-masing, ini bukan sebuah fungsi.

Mari kita uji pengetahuan Anda dalam praktik.

Tentukan dari gambar apa yang termasuk fungsi dan apa yang bukan:

Mengerti? Dan ini dia jawaban:

• Fungsinya adalah - B, E.
• Fungsinya bukan - A, B, D, D.

Anda bertanya mengapa? Ya, inilah alasannya:

Di semua gambar kecuali DI DALAM) Dan E) Ada beberapa untuk satu!

Saya yakin sekarang Anda dapat dengan mudah membedakan suatu fungsi dari non-fungsi, mengatakan apa itu argumen dan apa itu variabel terikat, dan juga menentukan rentang nilai argumen yang diizinkan dan rentang definisi suatu fungsi. . Mari kita beralih ke bagian berikutnya - bagaimana cara mengatur suatu fungsi?

Metode untuk menentukan suatu fungsi

Menurut Anda apa arti kata-kata itu? "atur fungsi"? Benar sekali, ini berarti menjelaskan kepada semua orang fungsi apa yang sedang kita bicarakan dalam kasus ini. Selain itu, jelaskan sedemikian rupa sehingga semua orang memahami Anda dengan benar dan grafik fungsi yang digambar orang berdasarkan penjelasan Anda juga sama.

Bagaimana saya bisa melakukan itu? Bagaimana cara mengatur suatu fungsi? Metode paling sederhana yang telah digunakan lebih dari sekali dalam artikel ini adalah menggunakan rumus. Kami menulis rumus, dan dengan mensubstitusi suatu nilai ke dalamnya, kami menghitung nilainya. Dan seperti yang Anda ingat, rumus adalah hukum, aturan yang menjadi jelas bagi kita dan orang lain bagaimana X berubah menjadi Y.

Biasanya, inilah yang mereka lakukan - dalam tugas kita melihat fungsi siap pakai yang ditentukan oleh rumus, namun, ada cara lain untuk menyetel fungsi yang dilupakan semua orang, dan oleh karena itu pertanyaannya adalah "bagaimana lagi Anda bisa menyetel suatu fungsi?" membingungkan. Mari kita pahami semuanya secara berurutan, dan mari kita mulai dengan metode analitis.

Metode analitis untuk menentukan suatu fungsi

Metode analisisnya adalah dengan menentukan suatu fungsi menggunakan rumus. Ini adalah metode yang paling universal, komprehensif dan tidak ambigu. Jika Anda memiliki rumus, maka Anda benar-benar mengetahui segalanya tentang suatu fungsi - Anda dapat membuat tabel nilai dari rumus tersebut, Anda dapat membuat grafik, menentukan di mana fungsi tersebut naik dan turun, secara umum, pelajarilah sepenuhnya.

Mari kita pertimbangkan fungsinya. Apa bedanya?

"Apa artinya?" - Anda bertanya. Saya akan menjelaskannya sekarang.

Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa dalam notasi, ekspresi dalam tanda kurung disebut argumen. Dan argumen ini bisa berupa ekspresi apa pun, tidak harus sederhana. Oleh karena itu, apa pun argumennya (ekspresi dalam tanda kurung), kami akan menuliskannya di dalam ekspresi.

Dalam contoh kita akan terlihat seperti ini:

Mari kita pertimbangkan tugas lain yang terkait dengan metode analitis dalam menentukan suatu fungsi, yang akan Anda dapatkan dalam ujian.

Temukan nilai ekspresi di.

Saya yakin pada awalnya Anda takut ketika melihat ekspresi seperti itu, tetapi sama sekali tidak ada yang menakutkan dari itu!

Semuanya sama seperti pada contoh sebelumnya: apa pun argumennya (ekspresi dalam tanda kurung), kami akan menuliskannya di ekspresi. Misalnya untuk suatu fungsi.

Apa yang perlu dilakukan dalam contoh kita? Sebaliknya Anda perlu menulis, dan sebagai gantinya -:

mempersingkat ekspresi yang dihasilkan:

Itu saja!

Pekerjaan mandiri

Sekarang coba temukan sendiri arti dari ungkapan berikut:

1. , Jika
2. , Jika

Apakah Anda berhasil? Mari kita bandingkan jawaban kita: Kita terbiasa dengan kenyataan bahwa fungsi mempunyai bentuk

Bahkan dalam contoh kita, kita mendefinisikan fungsi dengan cara yang persis seperti ini, namun secara analitis dimungkinkan untuk menentukan fungsi dalam bentuk implisit, misalnya.

Coba buat sendiri fungsi ini.

Apakah Anda berhasil?

Beginilah cara saya membangunnya.

Persamaan apa yang akhirnya kita peroleh?

Benar! Linear, artinya grafiknya akan berupa garis lurus. Mari kita buat tabel untuk menentukan titik mana yang termasuk dalam garis kita:

Inilah tepatnya yang sedang kita bicarakan... Satu sama dengan beberapa.

Mari kita coba menggambar apa yang terjadi:

Apakah yang kita dapatkan ada fungsinya?

Benar, tidak! Mengapa? Coba jawab pertanyaan ini dengan bantuan gambar. Apa yang kamu dapatkan?

“Karena satu nilai berhubungan dengan beberapa nilai!”

Kesimpulan apa yang bisa kita ambil dari sini?

Benar sekali, suatu fungsi tidak selalu dapat diungkapkan secara eksplisit, dan apa yang “disamarkan” sebagai suatu fungsi tidak selalu merupakan suatu fungsi!

Metode tabel untuk menentukan suatu fungsi

Seperti namanya, cara ini pertanda sederhana. Ya ya. Seperti yang sudah Anda dan saya buat. Misalnya:

Di sini Anda segera melihat sebuah pola - Y tiga kali lebih besar dari X. Dan sekarang tugas untuk “berpikir dengan hati-hati”: menurut Anda apakah fungsi yang diberikan dalam bentuk tabel ekuivalen dengan fungsi?

Jangan bicara lama-lama, tapi mari menggambar!

Jadi. Kami menggambar fungsi yang ditentukan oleh wallpaper dengan cara berikut:

Apakah Anda melihat perbedaannya? Ini bukan tentang poin-poin yang ditandai! Lihat lebih dekat:

Pernahkah Anda melihatnya sekarang? Saat kita mendefinisikan suatu fungsi dengan cara tabel, kita hanya menampilkan titik-titik yang ada di tabel pada grafik, dan garis (seperti dalam kasus kita) hanya melalui titik tersebut. Saat kita mendefinisikan suatu fungsi secara analitis, kita dapat mengambil titik mana pun, dan fungsi kita tidak terbatas pada titik tersebut. Inilah kekhasannya. Ingat!

Metode grafis membangun suatu fungsi

Metode grafis untuk membangun suatu fungsi juga tidak kalah nyamannya. Kita menggambar fungsi kita, dan orang lain yang berkepentingan dapat menemukan persamaan y pada x tertentu dan seterusnya. Metode grafis dan analitis termasuk yang paling umum.

Namun, di sini Anda perlu mengingat apa yang kita bicarakan di awal - tidak semua “coretan” yang digambar dalam sistem koordinat adalah sebuah fungsi! Apakah kamu ingat? Untuk berjaga-jaga, di sini saya akan menyalin definisi fungsi:

Biasanya, orang biasanya menyebutkan dengan tepat tiga cara untuk menentukan suatu fungsi yang telah kita bahas - analitis (menggunakan rumus), tabel dan grafik, sama sekali lupa bahwa suatu fungsi dapat dijelaskan secara verbal. Seperti ini? Ya, sangat sederhana!

Deskripsi verbal dari fungsi tersebut

Bagaimana cara mendeskripsikan suatu fungsi secara verbal? Mari kita ambil contoh terbaru kita - . Fungsi ini dapat digambarkan sebagai “setiap nilai riil x berhubungan dengan nilai tripelnya.” Itu saja. Tidak ada yang rumit. Anda, tentu saja, akan keberatan - “ada fungsi yang begitu rumit sehingga tidak mungkin untuk ditentukan secara lisan!” Ya, memang ada, tetapi ada fungsi yang lebih mudah dijelaskan secara verbal daripada didefinisikan dengan rumus. Misalnya: “setiap nilai natural x sama dengan selisih antara digit-digit yang menyusunnya, sedangkan minuend dianggap sebagai digit terbesar yang terdapat dalam notasi bilangan tersebut.” Sekarang mari kita lihat bagaimana deskripsi verbal kita tentang fungsi tersebut diimplementasikan dalam praktik:

Digit terbesar suatu bilangan berturut-turut adalah minuend, maka:

Jenis fungsi utama

Sekarang mari kita beralih ke bagian yang paling menarik - mari kita lihat jenis-jenis fungsi utama yang pernah/sedang Anda kerjakan dan akan Anda kerjakan dalam mata pelajaran matematika sekolah dan perguruan tinggi, yaitu, mari kita mengenalnya, boleh dikatakan begitu. , dan berikan penjelasan singkatnya. Baca lebih lanjut tentang setiap fungsi di bagian terkait.

Fungsi linear

Suatu fungsi yang bentuknya dimana, adalah bilangan real.

Grafik fungsi ini adalah garis lurus, jadi membangun fungsi linier berarti mencari koordinat dua titik.

Posisi garis lurus pada bidang koordinat bergantung pada koefisien sudut.

Ruang lingkup suatu fungsi (alias ruang lingkup nilai argumen yang valid) adalah .

Rentang nilai - .

Fungsi kuadrat

Fungsi formulir, dimana

Grafik fungsinya adalah parabola, cabang-cabang parabola mengarah ke bawah, dan cabang-cabangnya mengarah ke atas.

Banyak sifat fungsi kuadrat bergantung pada nilai diskriminannya. Diskriminan dihitung menggunakan rumus

Letak parabola pada bidang koordinat terhadap nilai dan koefisien ditunjukkan pada gambar:

Domain

Kisaran nilai bergantung pada ekstrem dari fungsi yang diberikan (titik puncak parabola) dan koefisien (arah cabang parabola)

Proporsionalitas terbalik

Fungsi yang diberikan oleh rumus, dimana

Angka tersebut disebut koefisien proporsionalitas terbalik. Tergantung pada nilainya, cabang-cabang hiperbola berada di kotak yang berbeda:

Domain - .

Rentang nilai - .

RINGKASAN DAN FORMULA DASAR

1. Fungsi adalah aturan yang menyatakan bahwa setiap elemen suatu himpunan dikaitkan dengan satu elemen himpunan.

• - ini adalah rumus yang menunjukkan suatu fungsi, yaitu ketergantungan suatu variabel terhadap variabel lainnya;
• - nilai variabel, atau argumen;
• - besaran bergantung - berubah ketika argumen berubah, yaitu menurut rumus tertentu yang mencerminkan ketergantungan suatu besaran terhadap besaran lain.

2. Nilai argumen yang valid, atau domain suatu fungsi, adalah apa yang dikaitkan dengan kemungkinan-kemungkinan yang membuat fungsi tersebut masuk akal.

3. Rentang fungsi- inilah nilai-nilai yang diperlukan, dengan mempertimbangkan nilai-nilai yang dapat diterima.

4. Ada 4 cara untuk mengatur suatu fungsi:

• analitis (menggunakan rumus);
• datar;
• grafis
• deskripsi verbal.

5. Jenis fungsi utama:

• : , dimana, adalah bilangan real;
• : , Di mana;
• : , Di mana.

Salah satu skema yang mungkin untuk mempelajari suatu fungsi dan membuat grafik didekomposisi menjadi tahapan penyelesaian masalah berikut: 1. Domain definisi fungsi (O.O.F.). 2. Titik henti fungsi, sifatnya. Asimtot vertikal. 3. Genap, ganjil, periodisitas fungsi. 4. Titik potong grafik dengan sumbu koordinat. 5. Perilaku fungsi di tak terhingga. Asimtot horizontal dan miring. 6. Interval monotonisitas suatu fungsi, titik maksimum dan minimum. 7. Arah konveksitas kurva. Titik belok. 8. Grafik fungsi. Contoh 1. Buatlah grafik fungsi y = 1. (vereiora atau ikal Maria Anyei). - seluruh sumbu numerik. 2. Tidak ada titik istirahat; tidak ada asimtot vertikal. 3. Fungsinya genap: , sehingga grafiknya simetris terhadap sumbu Oy\ non-periodik. Dari paritas fungsi tersebut dapat disimpulkan bahwa cukup dengan membuat grafiknya pada setengah garis x ^ O, dan kemudian mencerminkannya pada sumbu Oy. 4. Pada x = 0 kita mempunyai Yx, sehingga grafik fungsi terletak pada setengah bidang atas y > 0. Skema pembuatan grafik fungsi Mempelajari fungsi hingga ekstrem menggunakan turunan orde tinggi Perhitungan akar-akarnya persamaan menggunakan metode tali busur dan garis singgung bahwa grafiknya mempunyai asimtot mendatar y = O, tidak ada asimtot miring. Jadi fungsinya bertambah kapan dan berkurang kapan. Poin x = 0 sangat penting. Ketika x melewati titik x = 0, turunan y"(x) berubah tanda dari minus menjadi plus. Oleh karena itu, titik x = 0 adalah titik maksimum, y(Q) = I. Hasil ini cukup jelas: / (x) = T^ IV*. Turunan kedua hilang di titik x = . Kita periksa titik x = 4- (selanjutnya pertimbangan simetri). Bila sudah, kurvanya cembung ke bawah; bila kita peroleh (kurvanya adalah cembung ke atas). Oleh karena itu, titik x = = - merupakan grafik titik belok fungsi tersebut. Hasil penelitian tersebut kita rangkum dalam tabel: Titik belok maks Titik belok Pada tabel, tanda panah “Y” menunjukkan kenaikan fungsi, panah "\" menunjukkan penurunannya. Grafik fungsi ditunjukkan pada Gambar 33. Contoh 2. Buatlah grafik fungsi (trisula Newton ) - seluruh sumbu bilangan, tidak termasuk titik 2. Titik diskontinuitas fungsi tersebut. Kita peroleh bahwa garis lurus x = 0 merupakan asimtot vertikal. 3. Fungsi tersebut bukan genap atau ganjil [fungsi posisi umum], non-periodik. Dengan asumsi kita memperoleh grafik fungsi yang memotong garis sumbu Ox di titik (-1,0) Tidak ada asimtot miring dan horizontal, maka titik kritisnya. Turunan kedua fungsi tersebut di suatu titik, jadi x = adalah titik minimum. Turunan keduanya berubah menjadi uul di suatu titik dan berubah tandanya ketika melewati titik tersebut. Oleh karena itu, titik tersebut merupakan titik belok kurva. Untuk) kita punya e.cembungan kurva diarahkan ke bawah; untuk -aku kita punya. konveksitas kurva diarahkan ke atas. Hasil penelitian dirangkum dalam tabel: Tidak ada Tidak ada Titik belok Tidak ada. Asimtot vertikal turunannya hilang di x = e,/2. dan ketika x melewati titik ini, y" berubah tanda. Akibatnya adalah absis titik belok kurva. Hasil penelitian kita rangkum dalam tabel: Titik belok. Grafik fungsinya ditunjukkan pada Gambar. 37. Contoh 4. Buatlah grafik fungsi seluruh sumbu bilangan, tidak termasuk titik Titik titik diskontinuitas fungsi jenis ke 2. Karena Km maka asimtot vertikal langsung dari grafik fungsi tersebut Fungsi posisi umum, bukan -periodik Pengaturan y = 0, kita peroleh, sehingga grafik fungsi tersebut memotong sumbu Ox di titik tersebut Oleh karena itu, grafik fungsi tersebut memiliki asimtot miring Dari kondisi tersebut kita peroleh - titik kritis. dari fungsi y" = D > 0 di mana pun dalam domain definisi, khususnya pada titik – titik minimum fungsi tersebut. 7. Karena, di semua daerah definisi fungsi, konveksitas grafiknya mengarah ke bawah. Hasil penelitian dirangkum dalam sebuah tabel: Tidak ada Tidak ada Tidak ada. x = 0 - asimtot vertikal Grafik fungsi ditunjukkan pada Gambar. Contoh 5. Buatlah grafik fungsi seluruh sumbu bilangan. 2. Berkelanjutan dimana-mana. Tidak ada asimtot vertikal. 3. Posisi umum, non periodik. 4. Fungsi tersebut hilang di titik 5. Jadi, grafik fungsi tersebut mempunyai asimtot miring, Turunannya hilang di titik tersebut dan tidak ada di. Ketika x melewati titik) turunannya tidak berubah tanda, sehingga tidak ada titik ekstrem di titik x = 0. Ketika titik x melewati suatu titik, turunan) berubah tanda dari “+” menjadi Jadi fungsinya maksimal. Ketika x melalui titik x = 3 (x > I), turunan y"(x) berubah tanda, yaitu pada titik x = 3 fungsinya mempunyai minimum. 7. Mencari turunan kedua Skema pembuatan grafik suatu fungsi Mempelajari fungsi ekstrem menggunakan turunan orde tinggi Perhitungan akar persamaan dengan metode tali busur dan tangen Turunan kedua y"(x) tidak ada di titik x = 0 dan ketika x melewati titik x = 0 y" berubah tanda dari + menjadi sehingga titik (0,0) pada kurva merupakan titik belok yang bersinggungan vertikal. Pada titik x = 3 tidak terdapat belok pada grafik. Di mana-mana pada setengah bidang x > 0 konveksitas kurva mengarah ke atas Hasil penelitian dirangkum dalam tabel: Tidak ada Tidak ada Tidak ada Tidak ada Titik belok (0,0) dengan garis singgung vertikal Grafik fungsinya disajikan pada Ara. 39.§7. Mempelajari fungsi ekstrem menggunakan turunan orde tinggi Untuk mencari titik maksimum dan minimum suatu fungsi, dapat digunakan rumus Taylor. Teorema Itu. Misalkan fungsi f(x) di suatu lingkungan titik xq mempunyai turunan orde ke-n, kontinu di titik xo, misalkan 0. Maka jika bilangan n ganjil, maka fungsi f(x) di titik x0 mempunyai tidak ekstrem; jika n genap, maka pada titik x0 fungsi f(x) mempunyai maksimum jika /(n)(x0)< 0, и минимум, если /. В силу определения точек максимума и минимума вопрос о том, имеет ли функция f(x) в точке х0 экстремум, сводится к тому, существует ли такое <5 > 0, yang berada dalam interval, selisih - /(x0) tetap memiliki tandanya. Dengan menggunakan rumus Taylor sebagai syarat, maka dari (1) kita memperoleh 1 syarat f(n*(r) kontinu di suatu titik dan Φ Oleh karena itu, karena kestabilan nama suatu fungsi kontinu, terdapat fungsi sedemikian rupa sehingga dalam interval () tidak berubah dan berimpit dengan tanda f(n)( xo) Mari kita perhatikan kemungkinan kasusnya: 1) n adalah bilangan genap dan / Maka I berdasarkan (2). Menurut definisinya, ini berarti titik r adalah titik minimum dari fungsi /(r). 2) n - genap dan. Maka kita akan memiliki i bersama dengan ini dan Oleh karena itu, titik i dalam hal ini akan menjadi titik maksimum dari fungsi /(r). 3) n bilangan ganjil, / - Maka untuk x > x0 tanda > bertepatan dengan tanda /(n)(th), dan untuk r th sebaliknya. Oleh karena itu, sekecil apa pun 0, tanda selisih f(r) - f(r) tidak akan sama untuk semua x e (r - 6, r + £). Oleh karena itu, dalam hal ini fungsi f(r) di titik th tidak memiliki ekstrem. Contoh. Mari kita perhatikan fungsi A. Sangat mudah untuk melihat bahwa titik x = 0 adalah titik kritis dari kedua fungsi. Untuk fungsi y = x4, turunan pertama bukan nol di titik x = 0 adalah turunan orde ke-4: Jadi, di sini n = 4 genap dan. Oleh karena itu, pada titik x = 0 fungsi y = x4 mempunyai nilai minimum. Untuk fungsi y = x), turunan pertama yang bukan nol di titik x = 0 merupakan turunan orde ke-3. Jadi dalam kasus ini n = 3 ganjil, dan pada titik x = 0 fungsi y = x3 tidak mempunyai titik ekstrem. Komentar. Dengan menggunakan rumus Taylor, kita dapat membuktikan teorema berikut yang menyatakan kondisi cukup untuk titik belok. Teorema 12. Misalkan fungsi /(r) di suatu lingkungan titik r0 mempunyai turunan orde ke-th, kontinu di titik xq. Misalkan, tetapi /(n)(*o) Φ 0. Maka, jika n adalah bilangan ganjil, maka titik Mo(x0, f(xо)) adalah titik belok grafik fungsi y = f(x). Contoh paling sederhana diberikan oleh fungsi tersebut. §8. Menghitung akar-akar dari persamaan menggunakan metode tali busur dan garis singgung Soalnya adalah mencari akar real dari persamaan tersebut. Misalkan syarat-syarat berikut terpenuhi: 1) fungsi f(x) kontinu pada interval [a, 6]; 2 ) bilangan f(a) dan f(b) bertanda berlawanan: 3) pada interval [a, 6] terdapat turunan f"(x) dan f"(x), dengan mempertahankan tanda konstan pada ruas ini. Dari kondisi 1) dan 2) berdasarkan teorema Bolzano-Cauchy (hal. 220) maka fungsi /(x) hilang setidaknya pada satu titik £ € ( a, b), yaitu persamaan (1) memiliki setidaknya satu akar real £ dalam interval (a, 6). Karena, berdasarkan kondisi 3), turunan /"(x) pada [a, b\ tetap bertanda konstan, maka f(x) monotonik pada [a, b] dan oleh karena itu dalam interval (a, b) persamaan (1) hanya memiliki satu akar real Pertimbangkan metode untuk menghitung nilai perkiraan dari akar real tunggal £ € (a, 6) dari persamaan ( I ) dengan tingkat akurasi apa pun. Empat kasus yang mungkin terjadi (Gbr. 40): 1) Gambar. 40 Untuk lebih jelasnya, mari kita ambil kasus ketika f\x) > 0, f"(x) > 0 pada ruas [a, 6) (Gbr. 41). Mari kita hubungkan titik-titik A(a, /(a )) dan tali busur B(b, f(b)) A B. Merupakan ruas garis lurus yang melalui titik A dan B yang persamaannya adalah Titik aj, dimana tali busur AB memotong sumbu Sapi, adalah terletak di antara ai (dan merupakan perkiraan yang lebih baik untuk a. Dengan asumsi pada (2) y = 0, kita menemukan Dari Gambar 41 mudah untuk melihat bahwa titik a\ akan selalu terletak di sisi di mana tanda-tanda f( x) dan f"(x) berlawanan. Sekarang mari kita menggambar garis singgung kurva y = f(x) di titik B(b, f(b)), yaitu pada ujung busur ^AB di mana f (x) dan /"(i) mempunyai tanda yang sama. Ini adalah kondisi penting: tanpanya, titik potong yang bersinggungan dengan sumbu Ox mungkin tidak memberikan perkiraan akar yang diinginkan sama sekali. Titik b\, di dimana garis singgungnya memotong sumbu Ox, terletak di antara £ dan b pada sisi yang sama dengan 6, dan merupakan perkiraan yang lebih baik daripada b. Garis singgung ini ditentukan oleh persamaan Dengan asumsi y = 0 pada (3), kita temukan b\ : Skema untuk membuat grafik suatu fungsi Mempelajari fungsi hingga ekstrem menggunakan turunan orde tinggi Perhitungan akar persamaan menggunakan metode tali busur dan garis singgung Jadi, kita miliki Biarkan kesalahan absolut dari perkiraan C dari akar £ diberikan di muka. Untuk kesalahan absolut dari perkiraan nilai aj dan 6, akar £, kita dapat mengambil nilai |6i - ai|. Jika kesalahan ini lebih besar dari kesalahan yang diizinkan, maka, dengan mengambil segmen tersebut sebagai yang asli, kita akan menemukan perkiraan akar di mana berikut ini. Melanjutkan proses ini, kita memperoleh dua barisan nilai perkiraan, barisan (an) dan (bn) bersifat monotonik dan terbatas sehingga mempunyai batas. Misalkan dapat ditunjukkan bahwa jika kondisi di atas terpenuhi, 1 sampai ke akar tunggal persamaan / Contoh. Temukan akarnya (persamaan r2 - 1 = 0 pada segmen . Dengan demikian, semua kondisi terpenuhi untuk memastikan keberadaan akar tunggal (persamaan x2 - 1 = 0 pada segmen . . dan metode ini akan berfungsi. 8 dalam kasus kita a = 0, b = 2. Ketika n = I dari (4) dan (5) kita temukan Ketika n = 2 kita peroleh yang memberikan perkiraan nilai eksak dari akar (dengan kesalahan absolut) Latihan Buatlah grafik fungsi: Temukan nilai fungsi terbesar dan terkecil pada segmen tertentu: Selidiki perilaku fungsi di sekitar titik tertentu menggunakan turunan orde tinggi: Jawaban

Tugasnya adalah melakukan studi lengkap tentang fungsi tersebut dan membuat grafiknya.

Setiap siswa mengalami tugas serupa.

Presentasi lebih lanjut mengasumsikan pengetahuan yang baik. Kami menyarankan Anda merujuk ke bagian ini jika Anda memiliki pertanyaan.

Algoritma penelitian fungsi terdiri dari langkah-langkah berikut.

Menemukan domain definisi suatu fungsi.

Ini adalah langkah yang sangat penting dalam mempelajari fungsi, karena semua tindakan selanjutnya akan dilakukan pada domain definisi.

Dalam contoh kita, kita perlu mencari angka nol pada penyebutnya dan mengecualikannya dari daerah bilangan real.



(Dalam contoh lain mungkin terdapat akar, logaritma, dll. Ingatlah bahwa dalam kasus ini domain definisi dicari sebagai berikut:
untuk akar derajat genap, misalnya, domain definisi ditemukan dari pertidaksamaan ;
untuk logaritma - domain definisi ditemukan dari pertidaksamaan ).

Mempelajari perilaku suatu fungsi pada batas domain definisi, menemukan asimtot vertikal.

Pada batas-batas domain definisi, fungsi tersebut memiliki asimtot vertikal, jika pada titik-titik batas tersebut tak terhingga.

Dalam contoh kita, titik batas domain definisinya adalah .

Mari kita periksa perilaku fungsi ketika mendekati titik-titik ini dari kiri dan kanan, yang kita temukan limit satu sisinya:


Karena limit satu sisi tidak terhingga, maka garis lurus merupakan asimtot vertikal dari grafik tersebut.

Pemeriksaan suatu fungsi untuk genap atau ganjil.

Fungsinya adalah bahkan, Jika . Paritas suatu fungsi menunjukkan simetri grafik terhadap ordinat.

Fungsinya adalah aneh, Jika . Keanehan suatu fungsi menunjukkan simetri grafik relatif terhadap titik asal.

Jika tidak ada persamaan yang terpenuhi, maka kita memiliki fungsi dalam bentuk umum.

Dalam contoh kita, persamaan berlaku, oleh karena itu, fungsi kita genap. Kami akan mempertimbangkan hal ini saat membuat grafik - grafik akan simetris terhadap sumbu oy.

Menemukan interval fungsi naik dan turun, titik ekstrem.

Interval kenaikan dan penurunan masing-masing merupakan penyelesaian pertidaksamaan dan.

Titik dimana turunannya hilang disebut tidak bergerak.

Poin kritis dari fungsi tersebut sebutkan titik-titik dalam daerah definisi yang turunan fungsinya sama dengan nol atau tidak ada.

KOMENTAR(apakah akan memasukkan titik-titik kritis dalam interval kenaikan dan penurunan).

Kami akan memasukkan titik-titik kritis dalam interval naik dan turun jika titik-titik tersebut termasuk dalam domain fungsi.

Dengan demikian, untuk menentukan interval kenaikan dan penurunan fungsi

• pertama, kita cari turunannya;
• kedua, kami menemukan titik-titik kritis;
• ketiga, kami membagi domain definisi berdasarkan titik-titik kritis menjadi interval;
• keempat, kita menentukan tanda turunan pada setiap interval. Tanda plus sesuai dengan interval kenaikan, tanda minus sesuai dengan interval penurunan.

Pergi!

Kami menemukan turunannya pada domain definisi (jika timbul kesulitan, lihat bagian).


Kami menemukan poin penting untuk ini:

Kami memplot titik-titik ini pada sumbu bilangan dan menentukan tanda turunannya dalam setiap interval yang dihasilkan. Alternatifnya, Anda dapat mengambil titik mana pun dalam interval tersebut dan menghitung nilai turunannya pada titik tersebut. Jika nilainya positif, maka kita beri tanda plus pada celah ini dan lanjutkan ke yang berikutnya, jika negatif, maka kita beri tanda minus, dan seterusnya. Misalnya, , oleh karena itu, kami memberi tanda tambah di atas interval pertama di sebelah kiri.


Kami menyimpulkan:

Secara skematis, plus/minus menandai interval dimana turunannya positif/negatif. Panah naik/turun menunjukkan arah naik/turun.

Titik ekstrem dari fungsi tersebut adalah titik-titik di mana suatu fungsi terdefinisi dan melalui titik-titik tersebut turunannya berubah tanda.

Dalam contoh kita, titik ekstremnya adalah x=0. Nilai fungsi pada titik ini adalah . Karena turunannya berubah tanda dari plus ke minus ketika melewati titik x=0, maka (0; 0) merupakan titik maksimum lokal. (Jika turunannya berubah tanda dari minus menjadi plus, maka kita akan mempunyai titik minimum lokal).

Menemukan interval kecembungan dan kecekungan suatu fungsi dan titik belok.

Interval kecekungan dan kecembungan suatu fungsi dicari dengan menyelesaikan pertidaksamaan dan, berturut-turut.

Terkadang cekung disebut cembung ke bawah, dan cembung disebut cembung ke atas.

Di sini, pernyataan serupa dengan paragraf tentang interval kenaikan dan penurunan juga valid.

Dengan demikian, untuk menentukan interval kecekungan dan kecembungan suatu fungsi:

• pertama, kita cari turunan keduanya;
• kedua, kita mencari angka nol pada pembilang dan penyebut turunan kedua;
• ketiga, kita membagi domain definisi dengan titik-titik yang diperoleh menjadi interval;
• keempat, kita menentukan tanda turunan kedua pada setiap interval. Tanda plus sesuai dengan interval cekung, tanda minus sesuai dengan interval cembung.

Pergi!

Kami menemukan turunan kedua pada domain definisi.


Dalam contoh kita, tidak ada angka nol pada pembilangnya, tetapi angka nol pada penyebutnya.

Kami memplot titik-titik ini pada sumbu bilangan dan menentukan tanda turunan kedua di dalam setiap interval yang dihasilkan.



Kami menyimpulkan:

Intinya disebut titik belok, jika pada suatu titik terdapat garis singgung grafik fungsi dan turunan kedua fungsi tersebut berubah tanda ketika melewati .

Dengan kata lain, titik belok dapat berupa titik-titik yang melaluinya turunan keduanya berubah tanda; pada titik-titik itu sendiri nilainya nol atau tidak ada, tetapi titik-titik tersebut termasuk dalam domain definisi fungsi.

Dalam contoh kita, tidak ada titik belok, karena turunan keduanya berubah tanda ketika melewati titik tersebut, dan tidak termasuk dalam domain definisi fungsi.

Menemukan asimtot horizontal dan miring.

Asimtot horizontal atau miring harus dicari hanya jika fungsinya terdefinisi pada tak terhingga.

Asimtot miring dicari dalam bentuk garis lurus, dimana dan .

Jika k=0 dan b tidak sama dengan tak terhingga, maka asimtot miringnya menjadi horisontal.

Siapa sih asimtot-asimtot ini?

Ini adalah garis-garis yang mendekati grafik suatu fungsi di tak terhingga. Oleh karena itu, mereka sangat membantu dalam membuat grafik suatu fungsi.

Jika tidak ada asimtot horizontal atau miring, tetapi fungsinya terdefinisi pada plus tak terhingga dan (atau) minus tak terhingga, maka Anda harus menghitung limit fungsi pada plus tak terhingga dan (atau) minus tak terhingga untuk mendapatkan gambaran ​​​perilaku grafik fungsi.

Sebagai contoh kita

- asimtot horizontal.

Ini menyimpulkan studi tentang fungsi, kita melanjutkan ke pembuatan grafik.

Kami menghitung nilai fungsi pada titik perantara.

Untuk pembuatan plot yang lebih akurat, kami menyarankan untuk mencari beberapa nilai fungsi pada titik perantara (yaitu, pada titik mana pun dari domain definisi fungsi).

Sebagai contoh, kita akan mencari nilai fungsi di titik x=-2, x=-1, x=-3/4, x=-1/4. Karena paritas fungsinya, nilai-nilai ini akan bertepatan dengan nilai di titik x=2, x=1, x=3/4, x=1/4.


Membangun grafik.

Pertama, kita membuat asimtot, memplot titik maksimal dan minimum lokal dari fungsi, titik belok, dan titik tengah. Untuk kenyamanan membuat grafik, Anda juga dapat secara skematis menentukan interval kenaikan, penurunan, kecembungan dan kecekungan, bukan tanpa alasan kita mempelajari fungsinya =).


Tetap menggambar garis grafik melalui titik-titik yang ditandai, mendekati asimtot dan mengikuti panah.


Dengan mahakarya seni rupa ini, tugas mempelajari fungsi secara menyeluruh dan membuat grafik selesai.

Grafik beberapa fungsi dasar dapat dibuat dengan menggunakan grafik fungsi dasar dasar.

Bagaimana cara mempelajari suatu fungsi dan membuat grafiknya?

Tampaknya saya mulai memahami wajah pemimpin proletariat dunia yang berwawasan spiritual, penulis kumpulan karya dalam 55 jilid... Perjalanan panjang dimulai dengan informasi dasar tentang fungsi dan grafik, dan sekarang mengerjakan topik padat karya berakhir dengan hasil yang logis - sebuah artikel tentang studi lengkap tentang fungsi tersebut. Tugas yang telah lama ditunggu-tunggu dirumuskan sebagai berikut:

Pelajari suatu fungsi dengan menggunakan metode kalkulus diferensial dan buat grafiknya berdasarkan hasil penelitian tersebut

Atau singkatnya: periksa fungsinya dan buat grafiknya.

Mengapa menjelajah? Dalam kasus sederhana, tidak akan sulit bagi kita untuk memahami fungsi dasar dan menggambar grafik yang diperoleh dengan menggunakan transformasi geometri dasar dan seterusnya. Namun, sifat dan representasi grafis dari fungsi yang lebih kompleks masih jauh dari jelas, oleh karena itu diperlukan studi menyeluruh.

Langkah-langkah utama penyelesaian dirangkum dalam bahan referensi Skema studi fungsi, ini adalah panduan Anda untuk bagian tersebut. Dummies memerlukan penjelasan langkah demi langkah tentang suatu topik, beberapa pembaca tidak tahu harus mulai dari mana atau bagaimana mengatur penelitian mereka, dan siswa tingkat lanjut mungkin hanya tertarik pada beberapa poin. Namun siapa pun Anda, pengunjung yang budiman, ringkasan yang diusulkan dengan petunjuk ke berbagai pelajaran akan dengan cepat mengarahkan dan membimbing Anda ke arah yang Anda minati. Robot-robot itu menitikkan air mata =) Manual ini disajikan dalam bentuk file pdf dan mengambil tempat yang semestinya di halaman Rumus dan tabel matematika.

Saya terbiasa membagi penelitian suatu fungsi menjadi 5-6 poin:

6) Tambahan poin dan grafik berdasarkan hasil penelitian.

Mengenai tindakan terakhir, saya pikir semuanya jelas bagi semua orang - akan sangat mengecewakan jika dalam hitungan detik dicoret dan tugas dikembalikan untuk direvisi. GAMBAR YANG BENAR DAN TEPAT adalah hasil utama dari solusi! Hal ini kemungkinan besar akan “menutupi” kesalahan analitis, sedangkan jadwal yang salah dan/atau ceroboh akan menimbulkan masalah bahkan dengan penelitian yang dilakukan dengan sempurna.

Perlu dicatat bahwa di sumber lain jumlah poin penelitian, urutan pelaksanaannya dan gaya desain mungkin berbeda secara signifikan dari skema yang saya usulkan, namun dalam banyak kasus hal ini sudah cukup. Versi soal yang paling sederhana hanya terdiri dari 2-3 tahap dan dirumuskan seperti ini: “selidiki fungsi menggunakan turunan dan buat grafiknya” atau “selidiki fungsi menggunakan turunan ke-1 dan ke-2, buatlah grafik”.

Tentu saja, jika manual Anda menjelaskan algoritma lain secara rinci atau guru Anda dengan tegas meminta Anda untuk mematuhi ceramahnya, maka Anda harus melakukan beberapa penyesuaian terhadap solusinya. Tidak lebih sulit dari mengganti garpu gergaji dengan sendok.

Mari kita periksa fungsi genap/ganjil:

Ini diikuti dengan balasan templat:
, artinya fungsi ini tidak genap atau ganjil.

Karena fungsinya kontinu pada , tidak ada asimtot vertikal.

Tidak ada asimtot miring juga.

Catatan : Saya mengingatkan Anda bahwa semakin tinggi tatanan pertumbuhan, maka , maka batas akhirnya adalah “ plus ketakterbatasan."

Mari kita cari tahu bagaimana fungsi tersebut berperilaku di tak terhingga:

Dengan kata lain, jika kita ke kanan, maka grafiknya akan naik jauh ke atas, jika kita ke kiri, grafiknya akan turun jauh ke bawah. Ya, ada juga dua batasan dalam satu entri. Jika Anda kesulitan mengartikan tanda-tandanya, silakan kunjungi pelajaran tentang fungsi yang sangat kecil.

Jadi fungsinya tidak dibatasi dari atas Dan tidak dibatasi dari bawah. Mengingat kita tidak memiliki titik henti sementara, hal itu menjadi jelas rentang fungsi: – juga bilangan real apa pun.

TEKNIK TEKNIS YANG BERMANFAAT

Setiap tahapan tugas membawa informasi baru tentang grafik fungsi, oleh karena itu, selama penyelesaian akan lebih mudah untuk menggunakan semacam LAYOUT. Mari kita menggambar sistem koordinat Kartesius pada sebuah konsep. Apa yang sudah diketahui secara pasti? Pertama, grafik tidak mempunyai asimtot, sehingga tidak perlu menggambar garis lurus. Kedua, kita mengetahui bagaimana fungsi tersebut berperilaku pada tak terhingga. Berdasarkan analisis, kami membuat perkiraan pertama:

Harap dicatat bahwa karena kontinuitas berfungsi dan fakta bahwa grafik harus melintasi sumbu setidaknya satu kali. Atau mungkin ada beberapa titik persimpangan?

3) Nol fungsi dan interval tanda konstan.

Pertama, cari titik potong grafik dengan sumbu ordinat. Itu mudah. Penting untuk menghitung nilai fungsi pada:

Satu setengah di atas permukaan laut.

Untuk menemukan titik potong dengan sumbu (fungsi nol), kita perlu menyelesaikan persamaannya, dan di sini kejutan yang tidak menyenangkan menanti kita:

Ada anggota gratis yang mengintai di akhir, yang membuat tugasnya jauh lebih sulit.

Persamaan seperti itu memiliki setidaknya satu akar real, dan seringkali akar ini tidak rasional. Dalam dongeng terburuk, tiga babi kecil sedang menunggu kita. Persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan menggunakan apa yang disebut Rumus Cardano, namun kerusakan pada kertas sebanding dengan hampir keseluruhan penelitian. Dalam hal ini, lebih bijaksana untuk mencoba memilih setidaknya satu, baik secara lisan atau dalam bentuk draf. utuh akar. Mari kita periksa apakah angka-angka ini:
- tidak cocok;
- Ada!

Beruntung di sini. Jika terjadi kegagalan, Anda juga dapat menguji, dan jika angka-angka ini tidak cocok, maka kemungkinannya sangat kecil untuk mendapatkan solusi yang menguntungkan untuk persamaan tersebut. Maka lebih baik untuk melewatkan poin penelitian sepenuhnya - mungkin sesuatu akan menjadi lebih jelas pada langkah terakhir, ketika poin tambahan akan ditembus. Dan jika akar-akarnya jelas-jelas “buruk”, maka lebih baik tetap diam mengenai interval keteguhan tanda dan menggambar dengan lebih hati-hati.

Namun, kami memiliki akar yang bagus, jadi kami membagi polinomialnya tanpa sisa:

Algoritme untuk membagi polinomial dengan polinomial dibahas secara rinci pada contoh pertama pelajaran Batas Kompleks.

Hasilnya, ruas kiri persamaan awal terurai menjadi produk:

Dan sekarang sedikit tentang gaya hidup sehat. Saya tentu saja memahaminya persamaan kuadrat perlu diselesaikan setiap hari, tapi hari ini kita akan membuat pengecualian: persamaannya mempunyai dua akar real.

Mari kita plot nilai yang ditemukan pada garis bilangan Dan metode interval Mari kita definisikan tanda-tanda fungsinya:


og Jadi, pada interval jadwalnya berada
di bawah sumbu x, dan pada interval – di atas sumbu ini.

Temuan ini memungkinkan kami menyempurnakan tata letak, dan perkiraan kedua grafik terlihat seperti ini:

Harap dicatat bahwa suatu fungsi harus memiliki setidaknya satu maksimum pada suatu interval, dan setidaknya satu minimum pada suatu interval. Namun kami belum mengetahui berapa kali, di mana, dan kapan jadwalnya akan berulang. Omong-omong, suatu fungsi bisa memiliki banyak sekali ekstrem.

4) Menambah, menurunkan, dan ekstrem fungsi.

Mari kita temukan poin-poin penting:

Persamaan ini mempunyai dua akar real. Mari kita letakkan pada garis bilangan dan tentukan tanda turunannya:


Oleh karena itu, fungsinya meningkat sebesar dan berkurang sebesar .
Pada saat fungsi mencapai maksimum: .
Pada titik tersebut fungsi mencapai minimum: .

Fakta yang ada mendorong template kami ke dalam kerangka yang cukup kaku:

Tak perlu dikatakan lagi, kalkulus diferensial adalah hal yang hebat. Mari kita akhirnya memahami bentuk grafiknya:

5) Titik cembung, cekung dan belok.

Mari kita cari titik kritis turunan keduanya:

Mari kita definisikan tanda-tandanya:


Grafik fungsinya cembung dan cekung. Mari kita hitung ordinat titik belok: .

Hampir semuanya menjadi jelas.

6) Masih mencari poin tambahan yang akan membantu Anda membuat grafik dengan lebih akurat dan melakukan tes mandiri. Dalam hal ini jumlahnya sedikit, tetapi kami tidak akan mengabaikannya:

Mari kita membuat gambarnya:

Titik belok ditandai dengan warna hijau, titik tambahan ditandai dengan tanda silang. Grafik fungsi kubik simetris terhadap titik beloknya, yang selalu terletak tepat di tengah-tengah antara maksimum dan minimum.

Seiring berjalannya tugas, saya memberikan tiga gambar sementara hipotetis. Dalam praktiknya, cukup menggambar sistem koordinat, menandai titik-titik yang ditemukan, dan setelah setiap titik penelitian memperkirakan secara mental seperti apa grafik fungsinya. Tidak akan sulit bagi siswa dengan tingkat persiapan yang baik untuk melakukan analisis seperti itu hanya di kepala saja tanpa melibatkan draf.

Untuk mengatasinya sendiri:

Contoh 2

Jelajahi fungsinya dan buat grafiknya.

Semuanya lebih cepat dan menyenangkan di sini, contoh perkiraan desain akhir di akhir pelajaran.

Studi tentang fungsi rasional pecahan mengungkapkan banyak rahasia:

Contoh 3

Gunakan metode kalkulus diferensial untuk mempelajari suatu fungsi dan, berdasarkan hasil penelitian, buatlah grafiknya.

Larutan: penelitian tahap pertama tidak dibedakan oleh sesuatu yang luar biasa, kecuali lubang di area definisi:

1) Fungsi terdefinisi dan kontinu pada seluruh garis bilangan kecuali titik, domain: .

, artinya fungsi ini tidak genap atau ganjil.

Jelas sekali bahwa fungsinya non-periodik.

Grafik fungsi mewakili dua cabang kontinu yang terletak di setengah bidang kiri dan kanan - ini mungkin kesimpulan terpenting dari poin 1.

2) Asimtot, perilaku suatu fungsi di tak terhingga.

a) Dengan menggunakan limit satu sisi, kita memeriksa perilaku fungsi di dekat titik mencurigakan, yang seharusnya terdapat asimtot vertikal:

Memang, fungsinya tetap bertahan kesenjangan yang tak ada habisnya pada intinya
dan garis lurus (sumbu) adalah asimtot vertikal seni grafis.

b) Mari kita periksa apakah ada asimtot miring:

Ya, itu lurus asimtot miring grafis, jika.

Tidak masuk akal untuk menganalisis limit, karena sudah jelas bahwa fungsi tersebut mencakup asimtot miringnya tidak dibatasi dari atas Dan tidak dibatasi dari bawah.

Poin penelitian kedua menghasilkan banyak informasi penting tentang fungsinya. Mari kita buat sketsa kasarnya:

Kesimpulan No. 1 menyangkut interval tanda konstan. Pada “minus tak terhingga” grafik fungsinya jelas terletak di bawah sumbu x, dan pada “plus tak terhingga” berada di atas sumbu tersebut. Selain itu, limit satu sisi memberi tahu kita bahwa di kiri dan kanan titik fungsinya juga lebih besar dari nol. Perlu diperhatikan bahwa pada setengah bidang kiri grafik harus memotong sumbu x minimal satu kali. Mungkin tidak ada nol pada fungsi tersebut di setengah bidang kanan.

Kesimpulan No. 2 adalah bahwa fungsinya bertambah ke kiri dan ke kanan titik (bergerak “dari bawah ke atas”). Di sebelah kanan titik ini, fungsinya menurun (beralih “dari atas ke bawah”). Cabang kanan grafik tentunya harus memiliki minimal satu minimum. Di sisi kiri, ekstrem tidak dijamin.

Kesimpulan No. 3 memberikan informasi yang dapat dipercaya tentang kecekungan grafik di sekitar titik. Kita belum bisa mengatakan apa pun tentang konveksitas/cekungan pada tak terhingga, karena sebuah garis dapat ditekan menuju asimtotnya baik dari atas maupun dari bawah. Secara umum, saat ini terdapat cara analitis untuk mengetahui hal ini, namun bentuk grafiknya akan menjadi lebih jelas pada tahap selanjutnya.

Mengapa begitu banyak kata? Untuk mengontrol poin penelitian selanjutnya dan menghindari kesalahan! Perhitungan lebih lanjut tidak boleh bertentangan dengan kesimpulan yang diambil.

3) Titik potong grafik dengan sumbu koordinat, interval tanda konstan fungsi.

Grafik fungsi tidak memotong sumbu.

Dengan menggunakan metode interval kita menentukan tanda-tandanya:

, Jika ;
, Jika .

Hasil poin ini sepenuhnya konsisten dengan Kesimpulan No.1. Setelah setiap tahap, lihat drafnya, periksa mental penelitiannya dan lengkapi grafik fungsinya.

Dalam contoh yang sedang dipertimbangkan, pembilangnya dibagi suku demi suku dengan penyebutnya, yang sangat bermanfaat untuk diferensiasi:

Sebenarnya hal ini sudah pernah dilakukan saat menemukan asimtot.

- titik kritis.

Mari kita definisikan tanda-tandanya:

meningkat sebesar dan berkurang sebesar

Pada titik tersebut fungsi mencapai minimum: .

Juga tidak ada perbedaan dengan Kesimpulan No. 2, dan kemungkinan besar, kami berada di jalur yang benar.

Artinya grafik fungsi tersebut cekung pada seluruh domain definisi.

Hebat - dan Anda tidak perlu menggambar apa pun.

Tidak ada titik belok.

Kecekungan sesuai dengan Kesimpulan No. 3, terlebih lagi menunjukkan bahwa pada tak terhingga (baik disana maupun disana) grafik fungsinya berada lebih tinggi asimtot miringnya.

6) Kami akan dengan sungguh-sungguh menyematkan tugas dengan poin tambahan. Di sinilah kita harus bekerja keras, karena kita hanya mengetahui dua poin dari penelitian.

Dan gambaran yang mungkin sudah lama dibayangkan banyak orang:

Selama pelaksanaan tugas, Anda perlu memastikan dengan cermat bahwa tidak ada kontradiksi antar tahapan penelitian, namun terkadang situasinya mendesak atau bahkan sangat buntu. Analitiknya “tidak bertambah” - itu saja. Dalam hal ini, saya merekomendasikan teknik darurat: kita menemukan sebanyak mungkin titik yang termasuk dalam grafik (sebanyak kesabaran yang kita miliki), dan menandainya pada bidang koordinat. Analisis grafis dari nilai-nilai yang ditemukan dalam banyak kasus akan memberi tahu Anda mana yang benar dan mana yang salah. Selain itu, grafik dapat dibuat sebelumnya menggunakan beberapa program, misalnya di Excel (tentunya ini memerlukan keterampilan).

Contoh 4

Gunakan metode kalkulus diferensial untuk mempelajari suatu fungsi dan membuat grafiknya.

Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri. Di dalamnya, pengendalian diri ditingkatkan oleh paritas fungsi - grafiknya simetris terhadap sumbu, dan jika dalam penelitian Anda ada sesuatu yang bertentangan dengan fakta ini, carilah kesalahannya.

Fungsi genap atau ganjil hanya dapat dipelajari pada , dan kemudian menggunakan simetri grafiknya. Solusi ini optimal, tetapi menurut saya terlihat sangat tidak biasa. Secara pribadi, saya melihat keseluruhan garis bilangan, tetapi saya masih menemukan titik tambahan hanya di sebelah kanan:

Contoh 5

Lakukan studi lengkap tentang fungsi tersebut dan buat grafiknya.

Larutan: segalanya menjadi sulit:

1) Fungsi terdefinisi dan kontinu pada seluruh garis bilangan: .

Artinya fungsi ini ganjil, grafiknya simetris terhadap titik asal.

Jelas sekali bahwa fungsinya non-periodik.

2) Asimtot, perilaku suatu fungsi di tak terhingga.

Karena fungsinya kontinu pada , tidak ada asimtot vertikal

Untuk fungsi yang mengandung eksponen, ini tipikal memisahkan mempelajari "plus" dan "minus tak terhingga", namun, hidup kita menjadi lebih mudah dengan simetri grafik - baik ada asimtot di kiri dan kanan, atau tidak ada sama sekali. Oleh karena itu, kedua limit tak terhingga dapat dituliskan dalam satu entri. Selama solusi yang kami gunakan aturan L'Hopital:

Garis lurus (sumbu) merupakan asimtot mendatar dari grafik di .

Harap perhatikan bagaimana saya dengan cerdik menghindari algoritme lengkap untuk menemukan asimtot miring: limitnya sepenuhnya sah dan memperjelas perilaku fungsi di tak terhingga, dan asimtot horizontal ditemukan "seolah-olah pada waktu yang sama".

Dari kontinuitas dan adanya asimtot horizontal maka fungsi tersebut dibatasi di atas Dan dibatasi di bawah.

3) Titik potong grafik dengan sumbu koordinat, interval tanda konstan.

Di sini kami juga mempersingkat solusinya:
Grafik melewati titik asal.

Tidak ada titik potong lain dengan sumbu koordinat. Selain itu, interval keteguhan tanda sudah jelas, dan sumbu tidak perlu digambar: , yang berarti tanda fungsi hanya bergantung pada “x”:
, Jika ;
, Jika .

4) Menaikkan, menurunkan, fungsi ekstrem.


– titik kritis.

Titik-titiknya simetris terhadap nol, sebagaimana mestinya.

Mari kita tentukan tanda-tanda turunannya:


Fungsi tersebut bertambah pada suatu interval dan menurun pada suatu interval

Pada saat fungsi mencapai maksimum: .

Karena properti (keanehan fungsi) minimum tidak perlu dihitung:

Karena fungsinya menurun sepanjang interval, maka jelas grafiknya terletak di “minus tak terhingga” di bawah asimtotnya. Selama interval, fungsinya juga menurun, tetapi di sini yang terjadi adalah sebaliknya - setelah melewati titik maksimum, garis mendekati sumbu dari atas.

Dari persamaan di atas juga dapat disimpulkan bahwa grafik fungsinya adalah cembung di “minus tak terhingga” dan cekung di “plus tak terhingga”.

Setelah studi ini, rentang nilai fungsi digambar:

Jika Anda memiliki kesalahpahaman tentang poin apa pun, saya sekali lagi mendorong Anda untuk menggambar sumbu koordinat di buku catatan Anda dan, dengan pensil di tangan Anda, menganalisis kembali setiap kesimpulan tugas.

5) Konveksitas, cekungan, kekusutan grafik.

– titik kritis.

Simetri titik-titiknya dipertahankan, dan, kemungkinan besar, kita tidak salah.

Mari kita definisikan tanda-tandanya:


Grafik fungsinya cembung dan cekung .

Konveksitas/cekungan pada interval ekstrim telah dikonfirmasi.

Di semua titik kritis terdapat kekusutan pada grafik. Mari kita cari ordinat titik beloknya, dan sekali lagi kurangi jumlah perhitungan menggunakan keanehan fungsi:

Salah satu tugas terpenting kalkulus diferensial adalah pengembangan contoh umum mempelajari perilaku fungsi.

Jika fungsi y=f(x) kontinu pada interval , dan turunannya positif atau sama dengan 0 pada interval (a,b), maka y=f(x) bertambah (f"(x)0) Jika fungsi y=f (x) kontinu pada ruas tersebut, dan turunannya negatif atau sama dengan 0 pada interval (a,b), maka y=f(x) berkurang sebesar (f"(x)0 )

Interval dimana fungsi tidak berkurang atau bertambah disebut interval monotonisitas fungsi tersebut. Monotonisitas suatu fungsi hanya dapat berubah pada titik-titik domain definisinya di mana tanda turunan pertamanya berubah. Titik dimana turunan pertama suatu fungsi hilang atau mempunyai diskontinuitas disebut titik kritis.

Teorema 1 (kondisi cukup pertama untuk keberadaan ekstrem).

Misalkan fungsi y=f(x) terdefinisi di titik x 0 dan terdapat lingkungan δ>0 sehingga fungsi tersebut kontinu pada interval dan terdiferensiasi pada interval (x 0 -δ,x 0)u( x 0 , x 0 +δ) , dan turunannya mempunyai tanda konstan pada setiap interval tersebut. Lalu jika pada x 0 -δ,x 0) dan (x 0 , x 0 +δ) tanda turunannya berbeda, maka x 0 merupakan titik ekstrem, dan jika bertepatan maka x 0 bukan titik ekstrem . Apalagi jika melalui titik x0 turunannya berubah tanda dari plus ke minus (di sebelah kiri x 0 f"(x)>0 terpenuhi, maka x 0 adalah titik maksimum; jika turunannya berubah tanda dari minus ke plus (di sebelah kanan x 0 dieksekusi f"(x)<0, то х 0 - точка минимума.

Titik maksimum dan minimum suatu fungsi disebut titik ekstrem suatu fungsi, sedangkan titik maksimum dan minimum suatu fungsi disebut nilai ekstremnya.

Teorema 2 (tanda penting dari ekstrem lokal).

Jika fungsi y=f(x) mempunyai titik ekstrem pada arus x=x 0, maka f’(x 0)=0 atau f’(x 0) tidak ada.
Pada titik ekstrem fungsi terdiferensiasi, garis singgung grafiknya sejajar dengan sumbu Ox.

Algoritma untuk mempelajari fungsi ekstrem:

1) Temukan turunan dari fungsi tersebut.
2) Temukan titik kritis, mis. titik-titik yang fungsinya kontinu dan turunannya nol atau tidak ada.
3) Perhatikan lingkungan setiap titik, dan periksa tanda turunannya di kiri dan kanan titik tersebut.
4) Tentukan koordinat titik ekstrim, untuk ini substitusikan nilai titik kritis ke dalam fungsi ini. Dengan menggunakan kondisi ekstrem yang cukup, buatlah kesimpulan yang sesuai.

Contoh 18. Periksa fungsi y=x 3 -9x 2 +24x untuk mencari titik ekstrem

Larutan.
1) kamu"=3x 2 -18x+24=3(x-2)(x-4).
2) Menyamakan turunannya dengan nol, kita menemukan x 1 =2, x 2 =4. Dalam hal ini, turunannya didefinisikan di mana-mana; Artinya, selain dua titik yang ditemukan, tidak ada titik kritis lainnya.
3) Tanda turunan y"=3(x-2)(x-4) berubah tergantung intervalnya seperti terlihat pada Gambar 1. Ketika melewati titik x=2, turunannya berubah tanda dari plus ke minus, dan ketika melewati titik x=4 - dari minus ke plus.
4) Pada titik x=2 fungsi tersebut memiliki maksimum y max =20, dan pada titik x=4 - minimum y min =16.

Teorema 3. (kondisi cukup ke-2 untuk keberadaan ekstrem).

Misalkan f"(x 0) dan di titik x 0 terdapat f""(x 0). Maka jika f""(x 0)>0, maka x 0 adalah titik minimum, dan jika f""(x 0)<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

Pada suatu segmen, fungsi y=f(x) dapat mencapai nilai terkecil (y terkecil) atau terbesar (y tertinggi) baik pada titik kritis fungsi yang terletak pada interval (a;b), atau pada ujung segmen.

Algoritma untuk mencari nilai terbesar dan terkecil dari fungsi kontinu y=f(x) pada ruas:

1) Temukan f"(x).
2) Temukan titik-titik di mana f"(x)=0 atau f"(x) tidak ada, dan pilih titik-titik yang terletak di dalam segmen tersebut.
3) Hitung nilai fungsi y=f(x) pada titik-titik yang diperoleh pada langkah 2), serta di ujung-ujung segmen dan pilih yang terbesar dan terkecil: masing-masing adalah yang terbesar (y terbesar) dan nilai fungsi terkecil (y terkecil) pada interval tersebut.

Contoh 19. Tentukan nilai terbesar fungsi kontinu y=x 3 -3x 2 -45+225 pada ruas tersebut.

1) Kita mempunyai y"=3x 2 -6x-45 pada ruas tersebut
2) Turunan y" ada untuk semua x. Mari kita cari titik di mana y"=0; kita mendapatkan:
3x 2 -6x-45=0
x 2 -2x-15=0
x 1 =-3; x 2 =5
3) Hitung nilai fungsi di titik x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63
Ruas tersebut hanya memuat titik x=5. Nilai fungsi yang ditemukan terbesar adalah 225, dan yang terkecil adalah bilangan 50. Jadi, y max = 225, y min = 50.

Mempelajari suatu fungsi pada konveksitas

Gambar tersebut menunjukkan grafik dua fungsi. Yang pertama cembung ke atas, yang kedua cembung ke bawah.

Fungsi y=f(x) kontinu pada suatu interval dan terdiferensiasi dalam interval (a;b), disebut cembung ke atas (ke bawah) pada interval ini jika, untuk axb, grafiknya terletak tidak lebih tinggi (tidak lebih rendah) dari garis singgung ditarik di sembarang titik M 0 (x 0 ;f(x 0)), di mana axb.

Teorema 4. Misalkan fungsi y=f(x) mempunyai turunan kedua di sembarang titik dalam x pada segmen tersebut dan kontinu di ujung-ujung segmen tersebut. Maka jika pertidaksamaan f""(x)0 berada pada interval (a;b), maka fungsi tersebut cembung ke bawah pada interval ; jika pertidaksamaan f""(x)0 berada pada interval (a;b), maka fungsinya cembung ke atas pada .

Teorema 5. Jika fungsi y=f(x) mempunyai turunan kedua pada interval (a;b) dan berubah tanda ketika melewati titik x 0, maka M(x 0 ;f(x 0)) adalah sebuah titik belok.

Aturan untuk mencari titik belok:

1) Temukan titik di mana f""(x) tidak ada atau hilang.
2) Perhatikan tanda f""(x) di kiri dan kanan setiap titik yang ditemukan pada langkah pertama.
3) Berdasarkan Teorema 4, buatlah kesimpulan.

Contoh 20. Tentukan titik ekstrem dan titik belok grafik fungsi y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12.

Kita mempunyai f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2. Jelasnya, f"(x)=0 ketika x 1 =0, x 2 =1. Ketika melewati titik x=0 turunannya berubah tanda dari minus menjadi plus, namun ketika melewati titik x=1 tidak berubah tanda. Artinya x=0 adalah titik minimum (y min =12), dan tidak ada titik ekstrem di titik x=1. Selanjutnya, kita temukan . Turunan keduanya hilang di titik x 1 =1, x 2 =1/3. Tanda-tanda turunan keduanya berubah sebagai berikut: Pada sinar (-∞;) terdapat f""(x)>0, pada interval (;1) terdapat f""(x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. Oleh karena itu, x= adalah titik belok grafik fungsi (peralihan dari konveksitas ke bawah ke konveksitas ke atas) dan x=1 juga merupakan titik belok (peralihan dari konveksitas ke atas ke konveksitas ke bawah). Jika x=, maka y=; jika, maka x=1, y=13.

Algoritma untuk mencari asimtot suatu graf

I. Jika y=f(x) sebagai x → a, maka x=a adalah asimtot vertikal.
II. Jika y=f(x) sebagai x → ∞ atau x → -∞, maka y=A adalah asimtot horizontal.
AKU AKU AKU. Untuk mencari asimtot miring, kami menggunakan algoritma berikut:
1) Hitung. Jika limitnya ada dan sama dengan b, maka y=b adalah asimtot horizontal; jika , maka lanjutkan ke langkah kedua.
2) Hitung. Jika batasan ini tidak ada, maka tidak ada asimtot; jika ada dan sama dengan k, lanjutkan ke langkah ketiga.
3) Hitung. Jika batasan ini tidak ada, maka tidak ada asimtot; jika ada dan sama dengan b, lanjutkan ke langkah keempat.
4) Tuliskan persamaan asimtot miring y=kx+b.

Contoh 21: Temukan asimtot suatu fungsi

1)
2)
3)
4) Persamaan asimtot miring berbentuk

Skema untuk mempelajari suatu fungsi dan membuat grafiknya

I. Temukan domain definisi fungsi.
II. Temukan titik potong grafik fungsi dengan sumbu koordinat.
AKU AKU AKU. Temukan asimtotnya.
IV. Temukan kemungkinan titik ekstrem.
V. Temukan titik-titik kritis.
VI. Dengan menggunakan gambar bantu, jelajahi tanda turunan pertama dan kedua. Tentukan luas fungsi naik dan turun, tentukan arah konveksitas grafik, titik ekstrim dan titik belok.
VII. Buatlah grafik dengan memperhatikan penelitian yang dilakukan pada paragraf 1-6.

Contoh 22: Buatlah grafik fungsi sesuai diagram di atas

Larutan.
I. Domain suatu fungsi adalah himpunan semua bilangan real kecuali x=1.
II. Karena persamaan x 2 +1=0 tidak mempunyai akar real, maka grafik fungsi tersebut tidak mempunyai titik potong dengan sumbu Ox, tetapi memotong sumbu Oy di titik (0;-1).
AKU AKU AKU. Mari kita perjelas pertanyaan tentang keberadaan asimtot. Mari kita pelajari perilaku fungsi di dekat titik diskontinuitas x=1. Karena y → ∞ sebagai x → -∞, y → +∞ sebagai x → 1+, maka garis lurus x=1 adalah asimtot vertikal grafik fungsi tersebut.
Jika x → +∞(x → -∞), maka y → +∞(y → -∞); oleh karena itu, grafik tersebut tidak memiliki asimtot horizontal. Selanjutnya dari adanya batasan

Memecahkan persamaan x 2 -2x-1=0 kita memperoleh dua kemungkinan titik ekstrem:
x 1 =1-√2 dan x 2 =1+√2

V. Untuk mencari titik kritis, kita menghitung turunan kedua:

Karena f""(x) tidak hilang, maka tidak ada titik kritis.
VI. Mari kita periksa tanda turunan pertama dan kedua. Kemungkinan titik ekstrem yang perlu diperhatikan: x 1 =1-√2 dan x 2 =1+√2, bagilah domain keberadaan fungsi tersebut menjadi interval (-∞;1-√2),(1-√2;1 +√2) dan (1+√2;+∞).

Di setiap interval ini, turunannya mempertahankan tandanya: di interval pertama - plus, di interval kedua - minus, di interval ketiga - plus. Barisan tanda turunan pertamanya dituliskan sebagai berikut: +,-,+.
Kami menemukan bahwa fungsinya meningkat pada (-∞;1-√2), menurun pada (1-√2;1+√2), dan meningkat lagi pada (1+√2;+∞). Titik ekstrem: maksimum di x=1-√2, dan f(1-√2)=2-2√2 minimum di x=1+√2, dan f(1+√2)=2+2√2. Pada (-∞;1) grafiknya cembung ke atas, dan pada (1;+∞) grafiknya cembung ke bawah.
VII Mari kita buat tabel dari nilai yang diperoleh

VIII Berdasarkan data yang diperoleh, kita buat sketsa grafik fungsi tersebut