Rumusan sifat-sifat penjumlahan dan pengurangan. Notasi literal dari sifat-sifat penjumlahan dan pengurangan

Kami telah mendefinisikan penambahan, perkalian, pengurangan dan pembagian bilangan bulat. Tindakan (operasi) ini memiliki sejumlah hasil karakteristik, yang disebut properti. Dalam artikel ini, kita akan mempertimbangkan sifat dasar penjumlahan dan perkalian bilangan bulat, dari mana semua sifat lain dari operasi ini mengikuti, serta sifat pengurangan dan pembagian bilangan bulat.

Navigasi halaman.

Penjumlahan bilangan bulat memiliki beberapa sifat lain yang sangat penting.

Salah satunya terkait dengan keberadaan nol. Sifat penjumlahan bilangan bulat ini menyatakan bahwa menambahkan nol ke bilangan bulat apa pun tidak mengubah angka itu. Mari kita tulis sifat penjumlahan ini menggunakan huruf: a+0=a dan 0+a=a (persamaan ini berlaku karena sifat komutatif penjumlahan), a adalah bilangan bulat apa pun. Anda mungkin mendengar bahwa bilangan bulat nol disebut elemen netral sebagai tambahan. Mari kita berikan beberapa contoh. Jumlah bilangan bulat 78 dan nol adalah 78 ; jika kita menambahkan bilangan bulat positif 999 ke nol, maka kita mendapatkan angka 999 sebagai hasilnya.

Kami sekarang akan merumuskan properti lain dari penambahan bilangan bulat, yang terkait dengan keberadaan bilangan yang berlawanan untuk bilangan bulat apa pun. Jumlah setiap bilangan bulat dengan bilangan lawannya adalah nol. Berikut adalah bentuk literal dari properti ini: a+(−a)=0 , di mana a dan a adalah bilangan bulat yang berlawanan. Misalnya, jumlah 901+(−901) adalah nol; demikian pula, jumlah bilangan bulat yang berlawanan 97 dan 97 adalah nol.

Sifat dasar perkalian bilangan bulat

Perkalian bilangan bulat memiliki semua sifat perkalian bilangan asli. Kami membuat daftar utama dari properti ini.

Sama seperti nol adalah bilangan bulat netral sehubungan dengan penambahan, satu adalah bilangan bulat netral sehubungan dengan perkalian bilangan bulat. Itu adalah, mengalikan bilangan bulat apa pun dengan satu tidak mengubah bilangan yang dikalikan. Jadi 1·a=a , di mana a adalah sembarang bilangan bulat. Persamaan terakhir dapat ditulis ulang sebagai 1=a , ini memungkinkan kita untuk membuat sifat komutatif perkalian. Mari kita beri dua contoh. Hasil kali bilangan bulat 556 dengan 1 adalah 556; produk dari satu dan bilangan bulat negatif 78 adalah 78 .

Properti perkalian bilangan bulat berikutnya terkait dengan perkalian dengan nol. Hasil perkalian bilangan bulat a dengan nol adalah nol, yaitu, a 0=0 . Persamaan 0·a=0 juga benar karena sifat komutatif perkalian bilangan bulat. Dalam kasus tertentu, ketika a = 0, produk dari nol dan nol sama dengan nol.

Untuk perkalian bilangan bulat, sifat yang berlawanan dengan yang sebelumnya juga benar. Ia mengklaim bahwa produk dari dua bilangan bulat sama dengan nol jika setidaknya salah satu faktornya sama dengan nol. Dalam bentuk literal, sifat ini dapat ditulis sebagai berikut: a·b=0 , jika a=0 , atau b=0 , atau keduanya a dan b sama dengan nol pada waktu yang sama.

Sifat distributif perkalian bilangan bulat terhadap penjumlahan

Penjumlahan dan perkalian bilangan bulat secara simultan memungkinkan kita untuk mempertimbangkan sifat distributif perkalian sehubungan dengan penambahan, yang menghubungkan dua tindakan yang ditunjukkan. Menggunakan penjumlahan dan perkalian bersama-sama membuka kemungkinan tambahan yang akan kita lewatkan jika kita mempertimbangkan penjumlahan secara terpisah dari perkalian.

Jadi, sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan mengatakan bahwa produk suatu bilangan bulat a dan jumlah dua bilangan bulat a dan b sama dengan jumlah produk dari a b dan a c , yaitu, a (b+c)=a b+a c. Properti yang sama dapat ditulis dalam bentuk lain: (a+b) c=a c+b c .

Sifat distributif perkalian bilangan bulat terhadap penjumlahan, bersama dengan sifat asosiatif penjumlahan, memungkinkan untuk menentukan perkalian bilangan bulat dengan jumlah tiga bilangan bulat atau lebih, dan kemudian perkalian jumlah bilangan bulat dengan jumlah.

Perhatikan juga bahwa semua sifat lain dari penjumlahan dan perkalian bilangan bulat dapat diperoleh dari sifat-sifat yang telah kita tunjukkan, yaitu, mereka adalah konsekuensi dari sifat-sifat di atas.

Sifat pengurangan bilangan bulat

Dari persamaan yang diperoleh, serta dari sifat-sifat penjumlahan dan perkalian bilangan bulat, berikut adalah sifat-sifat pengurangan bilangan bulat (a, b dan c adalah bilangan bulat arbitrer):

Pengurangan bilangan bulat umumnya TIDAK memiliki sifat komutatif: a−b≠b−a .
Selisih bilangan bulat yang sama sama dengan nol: a−a=0 .
Sifat mengurangkan jumlah dua bilangan bulat dari bilangan bulat tertentu: a−(b+c)=(a−b)−c .
Sifat mengurangkan bilangan bulat dari jumlah dua bilangan bulat: (a+b)−c=(a−c)+b=a+(b−c) .
Sifat distributif perkalian terhadap pengurangan: a (b−c)=a b−a c dan (a−b) c=a c−b c.
Dan semua properti pengurangan bilangan bulat lainnya.

Sifat pembagian bilangan bulat

Berdebat tentang arti pembagian bilangan bulat, kami menemukan bahwa pembagian bilangan bulat adalah kebalikan dari perkalian. Kami memberikan definisi berikut: pembagian bilangan bulat adalah menemukan faktor yang tidak diketahui dengan produk yang diketahui dan faktor yang diketahui. Artinya, kita menyebut bilangan bulat c hasil bagi bilangan bulat a dibagi dengan bilangan bulat b ketika produk c·b sama dengan a .

Definisi ini, serta semua sifat operasi pada bilangan bulat yang dipertimbangkan di atas, memungkinkan kita untuk menetapkan validitas sifat-sifat pembagian bilangan bulat berikut:

Tidak ada bilangan bulat yang dapat dibagi dengan nol.
Properti membagi nol dengan bilangan bulat non-nol arbitrer a : 0:a=0 .
Properti membagi bilangan bulat yang sama: a:a=1 , di mana a adalah sembarang bilangan bulat bukan nol.
Properti membagi bilangan bulat arbitrer a dengan satu: a:1=a .
Secara umum, pembagian bilangan bulat TIDAK memiliki sifat komutatif: a:b≠b:a .
Sifat-sifat membagi jumlah dan selisih dua bilangan bulat dengan bilangan bulat adalah: (a+b):c=a:c+b:c dan (a−b):c=a:c−b:c , di mana a , b , dan c adalah bilangan bulat sehingga a dan b habis dibagi c , dan c bukan nol.
Sifat membagi hasil kali dua bilangan bulat a dan b dengan bilangan bulat bukan nol c : (a b):c=(a:c) b jika a habis dibagi c ; (a b):c=a (b:c) jika b habis dibagi c ; (a b):c=(a:c) b=a (b:c) jika a dan b habis dibagi c .
Sifat membagi bilangan bulat a dengan hasil kali dua bilangan bulat b dan c (bilangan a , b dan c sedemikian rupa sehingga dapat membagi a dengan b c): a:(b c)=(a:b) c=(a :c ) b .
Properti lain dari pembagian bilangan bulat.

Menambahkan satu nomor ke nomor lain cukup mudah. Perhatikan sebuah contoh, 4+3=7. Ekspresi ini berarti bahwa tiga unit ditambahkan ke empat unit, dan sebagai hasilnya, diperoleh tujuh unit.
Angka 3 dan 4 yang dijumlahkan disebut ketentuan. Dan hasil penjumlahan angka 7 disebut jumlah.

Jumlah adalah penambahan angka. Tanda tambah “+”.
Dalam bentuk literal, contoh ini akan terlihat seperti ini:

a+b=c

Komponen tambahan:
sebuah- ketentuan, b- ketentuan, c- jumlah.
Jika kita menambahkan 4 satuan menjadi 3 satuan, maka sebagai hasil penjumlahan kita akan mendapatkan hasil yang sama, yaitu sama dengan 7.

Dari contoh ini, kami menyimpulkan bahwa tidak peduli bagaimana kami menukar istilah, jawabannya tetap tidak berubah:

Sifat istilah ini disebut hukum komutatif penjumlahan.

Hukum penjumlahan komutatif.

Jumlahnya tidak berubah dari mengubah tempat istilah.

Dalam notasi literal, hukum komutatif terlihat seperti ini:

a+b=b+sebuah

Jika kami mempertimbangkan tiga istilah, misalnya, ambil angka 1, 2 dan 4. Dan kami melakukan penambahan dalam urutan ini, pertama kami menambahkan 1 + 2, dan kemudian kami menambahkan jumlah yang dihasilkan dari 4, kami mendapatkan ekspresi:

(1+2)+4=7

Kita bisa melakukan yang sebaliknya, pertama tambahkan 2 + 4, lalu tambahkan 1 ke jumlah yang dihasilkan.Contoh kita akan terlihat seperti ini:

1+(2+4)=7

Jawabannya tetap sama. Untuk kedua jenis penjumlahan contoh yang sama, jawabannya sama. Kami menyimpulkan:

(1+2)+4=1+(2+4)

Sifat penjumlahan ini disebut hukum asosiatif penjumlahan.

Hukum penjumlahan komutatif dan asosiatif berlaku untuk semua bilangan non-negatif.

Hukum penjumlahan asosiatif.

Untuk menambahkan angka ketiga ke jumlah dua angka, Anda dapat menambahkan jumlah angka kedua dan ketiga ke angka pertama.

(a+b)+c=a+(b+c)

Hukum asosiatif bekerja untuk sejumlah istilah. Kami menggunakan hukum ini ketika kami perlu menambahkan angka dalam urutan yang nyaman. Misalnya, mari kita tambahkan tiga angka 12, 6, 8 dan 4. Akan lebih mudah untuk menjumlahkan 12 dan 8 terlebih dahulu, lalu menambahkan jumlah dua angka 6 dan 4 ke jumlah yang dihasilkan.
(12+8)+(6+4)=30

Penambahan properti dengan nol.

Ketika Anda menambahkan angka ke nol, hasilnya adalah angka yang sama.

3+0=3
0+3=3
3+0=0+3

Dalam ekspresi literal, penambahan dengan nol akan terlihat seperti ini:

a+0=sebuah
0+ a =sebuah

Soal tentang penjumlahan bilangan asli:
Tabel penjumlahan, kompilasi dan lihat bagaimana sifat-sifat hukum komutatif bekerja?
Tabel tambahan dari 1 hingga 10 mungkin terlihat seperti ini:

Versi kedua dari tabel tambahan.

Jika kita melihat tabel penjumlahan, kita dapat melihat cara kerja hukum komutatif.

Dalam ekspresi a + b \u003d c, berapa jumlahnya?
Jawab: Jumlahnya adalah jumlah suku-sukunya. a+b dan c.

Dalam ekspresi a + b \u003d c istilah, apa yang akan terjadi?
Jawab: a dan b. Istilah adalah angka yang kita tambahkan.

Apa yang terjadi pada sebuah angka jika Anda menambahkan 0 padanya?
Jawaban: tidak ada, nomor tidak akan berubah. Ketika ditambahkan ke nol, jumlahnya tetap sama karena nol adalah ketiadaan satu.

Berapa banyak istilah yang harus ada dalam contoh agar hukum asosiatif penjumlahan dapat diterapkan?
Jawaban: dari tiga istilah dan lebih.

Tuliskan hukum komutatif secara literal?
Jawab: a+b=b+a

Contoh untuk tugas.
Contoh 1:
Tuliskan jawaban untuk ekspresi yang disajikan: a) 15+7 b) 7+15
Jawaban: a) 22 b) 22

Contoh #2:
Terapkan hukum kombinasi pada suku-suku: 1+3+5+2+9
1+3+5+2+9=(1+9)+(5+2)+3=10+7+3=10+(7+3)=10+10=20
Jawaban: 20.

Contoh #3:
Selesaikan ekspresi:
a) 5921+0 b) 0+5921
Larutan:
a) 5921+0 = 5921
b) 0+5921=5921

Jadi, secara umum, pengurangan bilangan asli TIDAK memiliki sifat komutatif. Mari kita tulis pernyataan ini dalam huruf. Jika a dan b adalah bilangan asli yang tidak sama, maka a−b≠b−a. Misalnya, 45−21≠21−45 .

Sifat pengurangan jumlah dua bilangan dari bilangan asli.

Properti berikutnya terkait dengan pengurangan jumlah dua angka dari bilangan asli. Mari kita lihat contoh yang akan memberi kita pemahaman tentang properti ini.

Bayangkan kita memiliki 7 koin di tangan kita. Pertama-tama kami memutuskan untuk menyimpan 2 koin, tetapi berpikir bahwa ini tidak akan cukup, kami memutuskan untuk menyimpan satu koin lagi. Berdasarkan pengertian penjumlahan bilangan asli, dapat dikatakan bahwa dalam kasus ini kita memutuskan untuk menyimpan jumlah uang logam, yang ditentukan oleh jumlah 2 + 1. Jadi, kami mengambil dua koin, menambahkan satu koin lagi dan memasukkannya ke dalam celengan. Dalam hal ini, jumlah koin yang tersisa di tangan kita ditentukan oleh selisih 7−(2+1) .

Sekarang mari kita bayangkan bahwa kita memiliki 7 koin, dan kita menaruh 2 koin di celengan, dan setelah itu - koin lain. Secara matematis, proses ini digambarkan dengan ekspresi numerik berikut: (7−2)−1 .

Jika kita menghitung koin yang tersisa di tangan, maka dalam kasus pertama dan kedua kita memiliki 4 koin. Yaitu, 7−(2+1)=4 dan (7−2)−1=4 , jadi 7−(2+1)=(7−2)−1 .

Contoh yang dipertimbangkan memungkinkan kita untuk merumuskan properti pengurangan jumlah dua angka dari bilangan asli yang diberikan. Untuk mengurangkan dari suatu bilangan asli, jumlah tertentu dari dua bilangan asli sama dengan mengurangkan suku pertama dari jumlah ini dari suatu bilangan asli, dan kemudian mengurangkan suku kedua dari selisih yang dihasilkan.

Ingatlah bahwa kami memberi arti pada pengurangan bilangan asli hanya untuk kasus ketika minuend lebih besar dari pengurangan, atau sama dengannya. Oleh karena itu, kita dapat mengurangkan suatu jumlah tertentu dari suatu bilangan asli yang diberikan hanya jika jumlah ini tidak lebih besar dari bilangan asli yang dikurangi. Perhatikan bahwa di bawah kondisi ini, masing-masing istilah tidak melebihi bilangan asli dari mana jumlahnya dikurangi.

Menggunakan huruf, sifat pengurangan jumlah dua angka dari bilangan asli yang diberikan ditulis sebagai persamaan a−(b+c)=(a−b)−c, di mana a , b dan c adalah beberapa bilangan asli, dan kondisi a>b+c atau a=b+c terpenuhi.

Properti yang dipertimbangkan, serta properti asosiatif dari penambahan bilangan asli, memungkinkan Anda untuk mengurangi jumlah tiga angka atau lebih dari bilangan asli yang diberikan.

Sifat mengurangkan bilangan asli dari jumlah dua bilangan.

Kami beralih ke properti berikutnya, yang terkait dengan pengurangan bilangan asli yang diberikan dari jumlah dua bilangan asli yang diberikan. Pertimbangkan contoh yang akan membantu kita "melihat" sifat pengurangan bilangan asli dari jumlah dua bilangan.

Misalkan kita memiliki 3 permen di kantong pertama, dan 5 permen di kantong kedua, dan mari kita berikan 2 permen. Kita bisa melakukan ini dengan cara yang berbeda. Mari kita bawa mereka secara bergantian.

Pertama, kita bisa memasukkan semua permen ke dalam satu saku, lalu mengeluarkan 2 permen dari sana dan memberikannya. Mari kita gambarkan tindakan ini secara matematis. Setelah kita memasukkan permen ke dalam satu kantong, jumlahnya akan ditentukan dengan jumlah 3 + 5. Nah, dari jumlah permen tersebut, kami akan membagikan 2 permen, sedangkan sisa permen yang kami miliki akan ditentukan oleh selisih berikut (3+5)−2 .

Kedua, kita bisa memberikan 2 permen dengan mengeluarkannya dari kantong pertama. Dalam hal ini, selisih 3−2 menentukan jumlah permen yang tersisa di kantong pertama, dan jumlah permen yang tersisa akan ditentukan oleh jumlah (3−2)+5 .

Ketiga, kita bisa memberikan 2 permen dari kantong kedua. Kemudian selisih 5−2 akan sesuai dengan jumlah permen yang tersisa di kantong kedua, dan jumlah total sisa permen akan ditentukan oleh jumlah 3+(5−2) .

Jelas bahwa dalam semua kasus kita akan memiliki jumlah permen yang sama. Oleh karena itu, persamaan (3+5)−2=(3−2)+5=3+(5−2) adalah benar.

Jika kita harus memberi bukan 2, tapi 4 permen, maka kita bisa melakukannya dengan dua cara. Pertama, berikan 4 permen, setelah sebelumnya dimasukkan ke dalam satu saku. Dalam hal ini, jumlah permen yang tersisa ditentukan oleh ekspresi seperti (3+5)−4 . Kedua, kita bisa memberikan 4 permen dari kantong kedua. Dalam hal ini, jumlah total permen memberikan jumlah berikut 3+(5−4) . Jelas bahwa dalam kasus pertama dan kedua kita akan memiliki jumlah permen yang sama, oleh karena itu, persamaan (3+5)−4=3+(5−4) adalah benar.

Setelah menganalisis hasil yang diperoleh dengan memecahkan contoh-contoh sebelumnya, kita dapat merumuskan sifat pengurangan bilangan asli yang diberikan dari jumlah dua bilangan yang diberikan. Mengurangkan bilangan asli tertentu dari jumlah dua bilangan tertentu sama dengan mengurangkan bilangan tertentu dari salah satu suku, dan kemudian menjumlahkan selisih yang dihasilkan dan suku lainnya. Perlu dicatat bahwa angka yang dikurangi TIDAK boleh lebih besar dari suku dari mana angka ini dikurangi.

Mari kita menulis properti mengurangkan bilangan asli dari jumlah menggunakan huruf. Biarkan a , b dan c beberapa bilangan asli. Kemudian, asalkan a lebih besar dari atau sama dengan c, maka persamaan (a+b)−c=(a−c)+b, dan di bawah kondisi bahwa b lebih besar dari atau sama dengan c , persamaan (a+b)−c=a+(b−c). Jika a dan b keduanya lebih besar dari atau sama dengan c , maka kedua persamaan terakhir benar, dan dapat ditulis sebagai berikut: (a+b)−c=(a−c)+b= a+(b−c) .

Dengan analogi, seseorang dapat merumuskan sifat mengurangkan bilangan asli dari jumlah tiga bilangan atau lebih. Dalam hal ini, bilangan asli ini dapat dikurangkan dari suku apa pun (tentu saja, jika lebih besar dari atau sama dengan bilangan yang dikurangi), dan suku yang tersisa dapat ditambahkan ke selisih yang dihasilkan.

Untuk memvisualisasikan properti bersuara, kita dapat membayangkan bahwa kita memiliki banyak kantong, dan di dalamnya berisi permen. Misalkan kita perlu memberikan 1 permen. Jelas bahwa kita dapat memberikan 1 permen dari saku mana pun. Pada saat yang sama, tidak masalah dari kantong mana kita memberikannya, karena ini tidak mempengaruhi jumlah permen yang tersisa.

Mari kita ambil contoh. Biarkan a , b , c dan d beberapa bilangan asli. Jika a>d atau a=d , maka selisih (a+b+c)−d sama dengan jumlah (a−d)+b+c . Jika b>d atau b=d , maka (a+b+c)−d=a+(b−d)+c . Jika c>d atau c=d , maka persamaan (a+b+c)−d=a+b+(c−d) benar.

Perlu dicatat bahwa sifat mengurangkan bilangan asli dari jumlah tiga bilangan atau lebih bukanlah sifat baru, karena ia mengikuti sifat penjumlahan bilangan asli dan sifat mengurangkan suatu bilangan dari jumlah dua bilangan.

Bibliografi.

Matematika. Buku pelajaran apa saja untuk kelas 1, 2, 3, 4 lembaga pendidikan.
Matematika. Buku pelajaran apa saja untuk 5 kelas lembaga pendidikan.

bilangan bulat

Bilangan yang digunakan untuk menghitung disebut bilangan asli Nomor nol tidak berlaku untuk bilangan asli.

jelas angka: 1,2,3,4,5,6,7,8,9 dua digit: 24.56, dst. Tiga digit: 348.569 dst. berarti banyak: 23.562.456789 dst.

Pembagian suatu bilangan menjadi kelompok-kelompok yang terdiri dari 3 angka dimulai dari kanan disebut kelas: tiga digit pertama adalah kelas satuan, tiga digit berikutnya adalah kelas ribuan, lalu jutaan, dst.

segmen panggil garis yang ditarik dari titik A ke titik B. Sebut AB atau BA A B Panjang ruas AB disebut jarak antara titik A dan B

Satuan panjang:

1) 10 cm = 1 dm

2) 100 cm = 1 m

3) 1cm = 10mm

4) 1 km = 1000 m

Pesawat terbang adalah permukaan yang tidak memiliki tepi, memanjang tanpa batas ke segala arah. Lurus tidak memiliki awal dan akhir. Dua garis yang memiliki satu titik yang sama memotong. sinar- ini adalah bagian dari garis lurus yang memiliki awal dan tidak ada akhir (OA dan OB). Sinar-sinar yang menjadi garis bagi suatu titik disebut tambahan satu sama lain.

Balok koordinat:

0 1 2 3 4 5 6 O E A B X O(0), E(1), A(2), B(3) – koordinat titik. Dari dua bilangan asli, yang dipanggil lebih awal saat menghitung lebih kecil dan yang dipanggil belakangan saat menghitung lebih besar. Salah satunya adalah bilangan asli terkecil. Hasil perbandingan dua bilangan ditulis sebagai pertidaksamaan: 5< 8, 5670 >368. Angka 8 kurang dari 28 dan lebih dari 5 dapat ditulis sebagai pertidaksamaan ganda: 5< 8 < 28

Penjumlahan dan pengurangan bilangan asli

Tambahan

Bilangan yang dijumlahkan disebut suku. Hasil penjumlahan disebut penjumlahan.

Properti tambahan:

1. Properti perpindahan: Jumlah angka tidak berubah ketika istilah disusun ulang: a + b = b + a(a dan b adalah sembarang bilangan asli dan 0) 2. Sifat asosiatif: Untuk menjumlahkan jumlah dua bilangan ke suatu bilangan, pertama-tama Anda dapat menambahkan suku pertama, lalu suku kedua ke jumlah yang dihasilkan: a + (b + c) = (a + b) + c = a + b + c(a, b dan c adalah sembarang bilangan asli dan 0).

3. Penambahan dengan nol: Menambahkan nol tidak mengubah angka:

a + 0 = 0 + a = a(a adalah bilangan asli apa pun).

Jumlah panjang sisi-sisi suatu poligon disebut keliling poligon ini.

Pengurangan

Tindakan di mana jumlah dan salah satu istilah menemukan istilah lain disebut pengurangan.

Bilangan yang akan dikurangi disebut dikurangi, bilangan yang dikurang disebut dapat dikurangkan, hasil pengurangan disebut perbedaan. Selisih antara dua angka menunjukkan berapa banyak pertama nomor lagi detik atau berapa kedua nomor lebih sedikit pertama.

Sifat pengurangan:

1. Sifat mengurangkan suatu jumlah dari suatu bilangan: Untuk mengurangkan jumlah dari suatu bilangan, Anda dapat mengurangkan dulu suku pertama dari bilangan ini, lalu mengurangkan suku kedua dari selisih yang dihasilkan:

a - (b + c) = (a - b) -Dengan= a – b –Dengan(b + c > a atau b + c = a).

2. Sifat mengurangkan suatu bilangan dari suatu jumlah: Untuk mengurangi angka dari jumlah, Anda dapat menguranginya dari satu istilah, dan menambahkan istilah lain ke perbedaan yang dihasilkan

(a + b) - c \u003d a + (b - c), jika dengan< b или с = b

(a + b) - c \u003d (a - c) + b, jika dengan< a или с = a.

3. Properti pengurangan nol: Jika Anda mengurangi nol dari angka, maka itu tidak akan berubah:

a - 0 = a(a adalah bilangan asli apa saja)

4. Sifat pengurangan dari bilangan yang sama: Jika Anda mengurangi angka ini dari angka, Anda mendapatkan nol:

a - a = 0(a adalah bilangan asli apa pun).

Ekspresi numerik dan alfabet

Catatan tindakan disebut ekspresi numerik. Angka yang diperoleh sebagai hasil dari melakukan semua tindakan ini disebut nilai ekspresi.

Perkalian dan pembagian bilangan asli

Perkalian bilangan asli dan sifat-sifatnya

Mengalikan bilangan m dengan bilangan asli n berarti mencari jumlah n suku, yang masing-masing sama dengan m.

Ekspresi m · n dan nilai dari ekspresi ini disebut produk dari bilangan m dan n. Bilangan m dan n disebut faktor.

Properti Perkalian:

1. Sifat komutatif perkalian: Hasil kali dua bilangan tidak berubah jika faktor-faktornya disusun ulang:

a b = b

2. Sifat asosiatif perkalian: Untuk mengalikan suatu bilangan dengan perkalian dua bilangan, pertama-tama Anda dapat mengalikannya dengan faktor pertama, lalu mengalikan hasil perkaliannya dengan faktor kedua:

a (b c) = (a b) c.

3. Sifat perkalian satu: Jumlah n suku, yang masing-masing sama dengan 1, sama dengan n:

1 n = n

4. Sifat perkalian dengan nol: Jumlah n suku, yang masing-masing sama dengan nol, sama dengan nol:

0 n = 0

Tanda perkalian dapat dihilangkan: 8 x = 8x,

atau a b = ab,

atau a (b + c) = a(b + c)

Divisi

Tindakan dimana produk dan salah satu faktor menemukan faktor lain disebut pembagian.

Bilangan yang habis dibagi disebut terbagi; bilangan yang digunakan untuk membaginya disebut pembagi, hasil pembagian disebut pribadi.

Hasil bagi menunjukkan berapa kali dividen lebih besar dari pembagi.

Anda tidak dapat membagi dengan nol!

Sifat divisi:

1. Saat membagi angka apa pun dengan 1, angka yang sama diperoleh:

a.1 = a.

2. Saat membagi suatu bilangan dengan bilangan yang sama, diperoleh satuan:

a.a = 1.

3. Ketika Anda membagi nol dengan angka, Anda mendapatkan nol:

0: a = 0.

Untuk menemukan faktor yang tidak diketahui, Anda perlu membagi produk dengan faktor lain. 5x = 45 x = 45: 5 x = 9

Untuk menemukan dividen yang tidak diketahui, Anda perlu mengalikan hasil bagi dengan pembagi. x: 15 = 3 x = 3 15 x = 45

Untuk menemukan pembagi yang tidak diketahui, bagilah dividen dengan hasil bagi. 48: x = 4 x = 48: 4 x = 12

Pembagian dengan sisa

Sisanya selalu lebih kecil dari pembagi.

Jika sisanya adalah nol, maka kita katakan bahwa dividen itu habis dibagi oleh pembagi tanpa sisa atau, sebaliknya, habis. Untuk menemukan pembagian a saat membagi dengan sisa, Anda perlu mengalikan hasil bagi tidak lengkap c dengan pembagi b dan menambahkan sisa d ke produk yang dihasilkan.

a = c b + d

Penyederhanaan ekspresi

Sifat perkalian:

1. Sifat distributif perkalian sehubungan dengan penambahan: Untuk mengalikan jumlah dengan angka, Anda dapat mengalikan setiap istilah dengan angka ini dan menambahkan produk yang dihasilkan:

(a + b)c = ac + bc.

2. Sifat distributif perkalian terhadap pengurangan: Untuk mengalikan selisihnya dengan suatu angka, Anda dapat mengalikan minuend dan mengurangkan dengan angka ini dan mengurangkan yang kedua dari produk pertama:

(a - b)c \u003d ac - bc.

3a + 7a = (3 + 7)a = 10a

Urutan tindakan

Penjumlahan dan pengurangan bilangan disebut tindakan langkah pertama, dan perkalian dan pembagian angka adalah tindakan langkah kedua.

Aturan untuk urutan tindakan:

1. Jika tidak ada tanda kurung dalam ekspresi dan berisi tindakan hanya satu tahap, maka dilakukan secara berurutan dari kiri ke kanan.

2. Jika ekspresi berisi tindakan langkah pertama dan kedua dan tidak ada tanda kurung di dalamnya, maka tindakan langkah kedua dilakukan terlebih dahulu, baru tindakan langkah pertama.

3. Jika ekspresi berisi tanda kurung, maka pertama-tama lakukan tindakan dalam tanda kurung (dengan mempertimbangkan aturan 1 dan 2)

Setiap ekspresi menentukan program perhitungannya. Itu terdiri dari perintah.

Derajat. Bilangan persegi dan kubus

Perkalian yang semua faktornya sama satu sama lain ditulis lebih pendek: a · a · a · a · a · a = a6 Dibaca: a pangkat enam. Angka a disebut basis derajat, angka 6 adalah eksponen, dan ekspresi a6 disebut derajat.

Hasil kali n dan n disebut kuadrat dari n dan dilambangkan dengan n2 (en kuadrat):

n2 = n n

Hasil kali n n n disebut pangkat tiga dari bilangan n dan dilambangkan dengan n3 (en pangkat tiga): n3 = n n n

pangkat pertama suatu bilangan sama dengan bilangan itu sendiri. Jika ekspresi numerik mencakup kekuatan angka, maka nilainya dihitung sebelum melakukan tindakan lain.

Luas dan volume

Menulis aturan menggunakan huruf disebut rumus. Rumus jalur:

s = vt, di mana s adalah lintasan, v adalah kecepatan, t adalah waktu.

v=s:t

t=s:v

Kotak. Rumus luas persegi panjang.

Untuk mencari luas persegi panjang, kalikan panjangnya dengan lebarnya. S = ab, dimana S adalah luas, a adalah panjang, b adalah lebar

Dua bangun disebut sama jika salah satu dari mereka dapat ditumpangkan pada yang kedua sehingga angka-angka ini bertepatan. Luas daerah dari bangun yang sama adalah sama. Keliling bangun-bangun yang kongruen adalah sama.

Luas seluruh gambar sama dengan jumlah luas bagian-bagiannya. Luas setiap segitiga adalah setengah dari luas seluruh persegi panjang.

Kotak adalah persegi panjang dengan sisi yang sama panjang.

Luas persegi sama dengan kuadrat sisinya:

Satuan luas

Milimeter persegi - mm2

Centimeter persegi - cm2

Desimeter persegi - dm2

Meter persegi -m2

Kilometer persegi - km2

Luas lahan diukur dalam hektar (ha). Satu hektar adalah luas persegi dengan sisi 100 m.

Luas petak-petak kecil diukur dalam are (a).

Ar (tenun) - luas persegi dengan sisi 10 m.

1 ha = 10.000 m2

1 dm2 = 100 cm2

1 m2 = 100 dm2 = 10.000 cm2

Jika panjang dan lebar persegi panjang diukur dalam satuan yang berbeda, maka mereka harus dinyatakan dalam satuan yang sama untuk menghitung luas.

berbentuk kubus

Permukaan sebuah balok terdiri dari 6 persegi panjang, yang masing-masing disebut wajah.

Wajah-wajah yang berhadapan dari sebuah balok adalah sama.

Sisi-sisi wajah disebut tepi paralelepiped, dan simpul-simpul wajah simpul dari parallelepiped.

Sebuah balok memiliki 12 rusuk dan 8 simpul.

Sebuah balok memiliki tiga dimensi panjang, lebar dan tinggi

kubus adalah parallelepiped persegi panjang dengan dimensi yang sama. Permukaan kubus terdiri dari 6 persegi yang sama panjang.

Volume balok: Untuk mencari volume balok, kalikan panjangnya dengan lebarnya dengan tingginya.

V = abc, V – volume, panjang, b – lebar, c – tinggi

volume kubus:

Satuan volume:

Milimeter kubik - mm3

Sentimeter kubik - cm3

Desimeter kubik - dm3

Meter kubik - mm3

Kilometer kubik - km3

1 m3 = 1000 dm3 = 1000 l

1 l = 1 dm3 = 1000 cm3

1 cm3 = 1000 mm3 1 km3 = 1.000.000.000 m3

Lingkaran dan lingkaran

Garis tertutup yang berjarak sama dari suatu titik tertentu disebut lingkaran.

Bagian bidang yang terletak di dalam lingkaran disebut lingkaran.

Titik ini disebut pusat lingkaran dan lingkaran.

Ruas garis yang menghubungkan pusat lingkaran dengan sembarang titik pada lingkaran disebut radius lingkaran.

Ruas garis yang menghubungkan dua titik pada lingkaran dan melalui pusatnya disebut diameter lingkaran.

Diameternya sama dengan dua jari-jari.

Sejumlah hasil yang melekat dalam tindakan ini dapat dicatat. Hasil ini disebut sifat-sifat penjumlahan bilangan asli. Pada artikel ini, kami akan menganalisis secara rinci sifat-sifat penambahan bilangan asli, menulisnya menggunakan huruf dan memberikan contoh penjelasan.

Navigasi halaman.

Sifat asosiatif penjumlahan bilangan asli.

Sekarang kami memberikan contoh yang menggambarkan sifat asosiatif penjumlahan bilangan asli.

Bayangkan sebuah situasi: 1 apel jatuh dari pohon apel pertama, dan 2 apel dan 4 apel lagi jatuh dari pohon apel kedua. Dan sekarang perhatikan situasi berikut: 1 apel dan 2 apel lagi jatuh dari pohon apel pertama, dan 4 apel jatuh dari pohon apel kedua. Jelas bahwa jumlah apel yang sama akan berada di tanah dalam kasus pertama dan kedua (yang dapat diverifikasi dengan perhitungan ulang). Artinya, hasil penjumlahan angka 1 dengan jumlah angka 2 dan 4 sama dengan hasil penjumlahan angka 1 dan 2 dengan angka 4.

Contoh yang dipertimbangkan memungkinkan kita untuk merumuskan properti asosiatif dari penambahan bilangan asli: untuk menambahkan jumlah tertentu dari dua angka ke nomor tertentu, Anda dapat menambahkan suku pertama dari jumlah ini ke nomor ini dan menambahkan suku kedua dari jumlah ini dengan hasil yang diperoleh. Properti ini dapat ditulis menggunakan huruf seperti ini: a+(b+c)=(a+b)+c, di mana a , b dan c adalah bilangan asli arbitrer.

Harap perhatikan bahwa dalam persamaan a+(b+c)=(a+b)+c ada tanda kurung "(" dan ")". Tanda kurung digunakan dalam ekspresi untuk menunjukkan urutan tindakan yang dilakukan - tindakan dalam tanda kurung dilakukan terlebih dahulu (lebih lanjut tentang ini di bagian). Dengan kata lain, tanda kurung mengapit ekspresi yang nilainya dievaluasi terlebih dahulu.

Sebagai kesimpulan dari paragraf ini, kami mencatat bahwa sifat asosiatif dari penambahan memungkinkan kami untuk secara unik menentukan penambahan tiga, empat, dan lebih banyak bilangan asli.

Properti menambahkan nol dan bilangan asli, properti menambahkan nol ke nol.

Kita tahu bahwa nol BUKAN bilangan asli. Jadi mengapa kami memutuskan untuk mempertimbangkan properti penjumlahan nol dan bilangan asli dalam artikel ini? Ada tiga alasan untuk ini. Pertama: properti ini digunakan saat menambahkan bilangan asli dalam kolom. Kedua: properti ini digunakan saat mengurangkan bilangan asli. Ketiga: jika kita menganggap bahwa nol berarti tidak adanya sesuatu, maka arti penjumlahan nol dan bilangan asli sama dengan arti penjumlahan dua bilangan asli.

Mari kita lakukan penalaran yang akan membantu kita merumuskan sifat penjumlahan nol dan bilangan asli. Bayangkan bahwa tidak ada item di dalam kotak (dengan kata lain, ada 0 item di dalam kotak), dan sebuah item ditempatkan di dalamnya, di mana a adalah bilangan asli apa pun. Artinya, ditambahkan 0 dan item. Jelas bahwa setelah tindakan ini ada item di dalam kotak. Oleh karena itu, persamaan 0+a=a adalah benar.

Demikian pula, jika sebuah kotak berisi item dan 0 item ditambahkan ke dalamnya (yaitu, tidak ada item yang ditambahkan), maka setelah tindakan ini, item akan berada di dalam kotak. Jadi a+0=a .

Sekarang kita dapat menyatakan sifat penjumlahan nol dan bilangan asli: jumlah dua angka, salah satunya adalah nol, sama dengan angka kedua. Secara matematis, sifat ini dapat dituliskan sebagai persamaan berikut: 0+a=a atau a+0=a, di mana a adalah bilangan asli arbitrer.

Secara terpisah, kami memperhatikan fakta bahwa ketika menambahkan bilangan asli dan nol, sifat komutatif dari penambahan tetap benar, yaitu, a+0=0+a .

Terakhir, mari kita rumuskan properti penjumlahan nol-nol (cukup jelas dan tidak memerlukan komentar tambahan): jumlah dua bilangan yang masing-masing nol adalah nol. Itu adalah, 0+0=0 .

Sekarang saatnya untuk mencari tahu bagaimana penambahan bilangan asli dilakukan.