Rata-rata(dalam matematika dan statistik) kumpulan angka - jumlah semua angka dibagi dengan jumlahnya. Ini adalah salah satu ukuran tendensi sentral yang paling umum.
Itu diusulkan (bersama dengan rata-rata geometris dan rata-rata harmonik) oleh Pythagoras.
Kasus khusus dari mean aritmatika adalah mean (dari populasi umum) dan mean sampel (dari sampel).
pengantar
Tunjukkan kumpulan data X = (x 1 , x 2 , …, x n), maka mean sampel biasanya dilambangkan dengan bilah horizontal di atas variabel (x (\displaystyle (\bar (x))) , diucapkan " x dengan tanda hubung").
Huruf Yunani digunakan untuk menunjukkan mean aritmatika dari seluruh populasi. Untuk variabel acak yang nilai rata-ratanya ditentukan, adalah probabilitas berarti atau ekspektasi matematis dari variabel acak. Jika himpunan X adalah kumpulan bilangan acak dengan rata-rata probabilitas , maka untuk setiap sampel x saya dari koleksi ini = E( x saya) adalah harapan dari sampel ini.
Dalam praktiknya, perbedaan antara dan x (\displaystyle (\bar (x))) adalah bahwa adalah variabel tipikal karena Anda dapat melihat sampel daripada seluruh populasi. Oleh karena itu, jika sampel direpresentasikan secara acak (dalam istilah teori probabilitas), maka x (\displaystyle (\bar (x))) (tetapi bukan ) dapat diperlakukan sebagai variabel acak yang memiliki distribusi probabilitas pada sampel ( distribusi probabilitas rata-rata).
Kedua besaran ini dihitung dengan cara yang sama:
X = 1 n i = 1 n x i = 1 n (x 1 + + x n) . (\displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_ (1)+\cdots +x_(n)).)
Jika sebuah X adalah variabel acak, maka ekspektasi matematis X dapat dianggap sebagai rata-rata aritmatika dari nilai-nilai dalam pengukuran kuantitas yang berulang X. Ini adalah manifestasi dari hukum bilangan besar. Oleh karena itu, mean sampel digunakan untuk memperkirakan ekspektasi matematis yang tidak diketahui.
Dalam aljabar dasar, terbukti bahwa mean n+ 1 angka di atas rata-rata n angka jika dan hanya jika angka baru lebih besar dari rata-rata lama, kurang jika dan hanya jika angka baru lebih kecil dari rata-rata, dan tidak berubah jika dan hanya jika angka baru sama dengan rata-rata. Lebih n, semakin kecil perbedaan antara rata-rata baru dan lama.
Perhatikan bahwa ada beberapa "sarana" lain yang tersedia, termasuk mean hukum pangkat, mean Kolmogorov, mean harmonik, mean aritmatika-geometris, dan berbagai mean bobot (misalnya, mean bobot aritmatika, mean bobot geometrik, mean bobot harmonik) .
Contoh
- Untuk tiga angka, Anda perlu menambahkannya dan membaginya dengan 3:
- Untuk empat angka, Anda perlu menambahkannya dan membaginya dengan 4:
Atau lebih mudah 5+5=10, 10:2. Karena kita menambahkan 2 angka, artinya berapa banyak angka yang kita tambahkan, kita bagi sebanyak itu.
Variabel acak kontinu
Untuk nilai terdistribusi kontinu f (x) (\displaystyle f(x)) mean aritmatika pada interval [ a ; b ] (\displaystyle ) didefinisikan melalui integral tertentu:
F (x) [ a ; b ] = 1 b a a b f (x) d x (\displaystyle (\overline (f(x)))_()=(\frac (1)(b-a))\int _(a)^(b) f(x)dx)
Beberapa masalah menggunakan rata-rata
Kurangnya ketangguhan
Artikel utama: Ketangguhan dalam statistikMeskipun rata-rata aritmatika sering digunakan sebagai sarana atau tren sentral, konsep ini tidak berlaku untuk statistik yang kuat, yang berarti bahwa rata-rata aritmatika sangat dipengaruhi oleh "deviasi besar". Patut dicatat bahwa untuk distribusi dengan kemiringan besar, rata-rata aritmatika mungkin tidak sesuai dengan konsep "rata-rata", dan nilai rata-rata dari statistik yang kuat (misalnya, median) dapat menggambarkan tren pusat dengan lebih baik.
Contoh klasiknya adalah perhitungan pendapatan rata-rata. Rata-rata aritmatika dapat disalahartikan sebagai median, yang dapat mengarah pada kesimpulan bahwa ada lebih banyak orang dengan pendapatan lebih dari yang sebenarnya. Pendapatan "rata-rata" ditafsirkan sedemikian rupa sehingga pendapatan sebagian besar orang mendekati angka ini. Pendapatan "rata-rata" ini (dalam arti rata-rata aritmatika) lebih tinggi daripada pendapatan kebanyakan orang, karena pendapatan tinggi dengan penyimpangan besar dari rata-rata membuat rata-rata aritmatika sangat miring (sebaliknya, pendapatan median "menolak" kemiringan seperti itu). Namun, pendapatan "rata-rata" ini tidak mengatakan apa pun tentang jumlah orang yang mendekati pendapatan rata-rata (dan tidak mengatakan apa-apa tentang jumlah orang yang mendekati pendapatan modal). Namun, jika konsep "rata-rata" dan "mayoritas" dianggap enteng, maka orang bisa salah menyimpulkan bahwa kebanyakan orang memiliki pendapatan lebih tinggi dari yang sebenarnya. Misalnya, laporan tentang pendapatan bersih "rata-rata" di Medina, Washington, yang dihitung sebagai rata-rata aritmatika dari semua pendapatan bersih tahunan penduduk, akan memberikan angka yang sangat tinggi karena Bill Gates. Perhatikan sampel (1, 2, 2, 2, 3, 9). Rata-rata aritmatika adalah 3,17, tetapi lima dari enam nilai berada di bawah rata-rata ini.
Bunga majemuk
Artikel utama: ROIJika angka berkembang biak, tapi tidak melipat, Anda perlu menggunakan mean geometrik, bukan mean aritmatika. Paling sering, kejadian ini terjadi ketika menghitung laba atas investasi di bidang keuangan.
Misalnya, jika saham turun 10% di tahun pertama dan naik 30% di tahun kedua, maka salah menghitung kenaikan "rata-rata" selama dua tahun ini sebagai mean aritmatika (−10% + 30%) / 2 = 10%; rata-rata yang benar dalam hal ini diberikan oleh tingkat pertumbuhan tahunan majemuk, dari mana pertumbuhan tahunan hanya sekitar 8,16653826392% 8,2%.
Alasan untuk ini adalah bahwa persentase memiliki titik awal baru setiap kali: 30% adalah 30% dari angka yang kurang dari harga pada awal tahun pertama: jika saham mulai dari $30 dan turun 10%, nilainya $27 pada awal tahun kedua. Jika stok naik 30%, nilainya $35,1 pada akhir tahun kedua. Rata-rata aritmatika dari pertumbuhan ini adalah 10%, tetapi karena stok hanya tumbuh sebesar $5,1 dalam 2 tahun, peningkatan rata-rata 8,2% memberikan hasil akhir sebesar $35,1:
[$30 (1 - 0,1) (1 + 0,3) = $30 (1 + 0,082) (1 + 0,082) = $35,1]. Jika kita menggunakan rata-rata aritmatika 10% dengan cara yang sama, kita tidak akan mendapatkan nilai sebenarnya: [$30 (1 + 0,1) (1 + 0,1) = $36,3].
Bunga majemuk pada akhir tahun 2: 90% * 130% = 117% , yaitu total kenaikan 17%, dan rata-rata bunga majemuk tahunan adalah 117% 108,2% (\displaystyle (\sqrt (117\%)) \kira-kira 108,2\%) , yaitu, peningkatan tahunan rata-rata 8,2%.
Petunjuk arah
Artikel utama: Statistik tujuanSaat menghitung rata-rata aritmatika dari beberapa variabel yang berubah secara siklis (misalnya, fase atau sudut), perhatian khusus harus diberikan. Misalnya, rata-rata dari 1° dan 359° adalah 1 + 359 2 = (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+359^(\circ ))(2))=) 180°. Jumlah ini salah karena dua alasan.
- Pertama, ukuran sudut hanya ditentukan untuk rentang dari 0° hingga 360° (atau dari 0 hingga 2π bila diukur dalam radian). Jadi, pasangan bilangan yang sama dapat ditulis sebagai (1° dan 1°) atau sebagai (1° dan 719°). Rata-rata setiap pasangan akan berbeda: 1 + (− 1 ) 2 = 0 (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+(-1^(\circ )))(2))= 0 ^(\circ )) , 1 + 719 2 = 360 (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+719^(\circ ))(2))=360^(\circ )) .
- Kedua, dalam hal ini, nilai 0° (setara dengan 360°) akan menjadi rata-rata terbaik secara geometris, karena angka-angka tersebut menyimpang kurang dari 0° daripada nilai lainnya (nilai 0° memiliki varians terkecil). Membandingkan:
- angka 1° menyimpang dari 0° hanya sebesar 1°;
- angka 1° menyimpang dari rata-rata yang dihitung 180° sebesar 179°.
Nilai rata-rata untuk variabel siklik, dihitung menurut rumus di atas, akan digeser secara artifisial relatif terhadap rata-rata nyata ke tengah rentang numerik. Karena itu, rata-rata dihitung dengan cara yang berbeda, yaitu, angka dengan varians terkecil (titik tengah) dipilih sebagai nilai rata-rata. Juga, alih-alih mengurangkan, jarak modulo (yaitu, jarak keliling) digunakan. Misalnya, jarak modular antara 1° dan 359° adalah 2°, bukan 358° (pada lingkaran antara 359° dan 360°==0° - satu derajat, antara 0° dan 1° - juga 1°, secara total - 2 °).
Jenis nilai rata-rata dan metode perhitungannya
Pada tahap pemrosesan statistik, berbagai tugas penelitian dapat ditetapkan, untuk solusinya perlu memilih rata-rata yang sesuai. Dalam hal ini, perlu dipandu oleh aturan berikut: nilai-nilai yang mewakili pembilang dan penyebut rata-rata harus secara logis terkait satu sama lain.
- rata-rata daya;
- rata-rata struktural.
Mari kita perkenalkan notasi berikut:
Nilai yang rata-ratanya dihitung;
Rata-rata, di mana garis di atas menunjukkan bahwa rata-rata nilai individu terjadi;
Frekuensi (pengulangan nilai sifat individu).
Berbagai sarana diturunkan dari rumus daya rata-rata umum:
(5.1)
untuk k = 1 - rata-rata aritmatika; k = -1 - rata-rata harmonik; k = 0 - rata-rata geometrik; k = -2 - akar rata-rata kuadrat.
Rata-rata baik sederhana atau tertimbang. rata-rata tertimbang disebut besaran yang memperhitungkan bahwa beberapa varian nilai atribut mungkin memiliki angka yang berbeda, dan oleh karena itu setiap varian harus dikalikan dengan angka ini. Dengan kata lain, "bobot" adalah jumlah unit populasi dalam kelompok yang berbeda, mis. setiap opsi "ditimbang" berdasarkan frekuensinya. Frekuensi f disebut bobot statistik atau berat rata-rata.
Rata-rata aritmatika- jenis media yang paling umum. Ini digunakan ketika perhitungan dilakukan pada data statistik yang tidak dikelompokkan, di mana Anda ingin mendapatkan jumlah rata-rata. Rata-rata aritmatika adalah nilai rata-rata dari suatu fitur, setelah diterima di mana total volume fitur dalam populasi tetap tidak berubah.
Rumus rata-rata aritmatika ( sederhana) memiliki bentuk
dimana n adalah ukuran populasi.
Misalnya, gaji rata-rata karyawan suatu perusahaan dihitung sebagai rata-rata aritmatika:
Indikator penentu di sini adalah upah setiap karyawan dan jumlah karyawan perusahaan. Ketika menghitung rata-rata, jumlah total upah tetap sama, tetapi didistribusikan, seolah-olah, sama di antara semua pekerja. Misalnya, perlu untuk menghitung gaji rata-rata karyawan sebuah perusahaan kecil di mana 8 orang bekerja:
Saat menghitung rata-rata, nilai individu dari atribut yang dirata-ratakan dapat diulang, sehingga rata-rata dihitung menggunakan data yang dikelompokkan. Dalam hal ini, kita berbicara tentang menggunakan rata-rata aritmatika tertimbang, yang terlihat seperti
(5.3)
Jadi, kita perlu menghitung rata-rata harga saham perusahaan saham gabungan di bursa. Diketahui bahwa transaksi dilakukan dalam waktu 5 hari (5 transaksi), jumlah saham yang dijual dengan kurs penjualan dibagikan sebagai berikut:
1 - 800 ac. - 1010 rubel
2 - 650 ac. - 990 gosok.
3 - 700 k. - 1015 rubel.
4 - 550 ac. - 900 gosok.
5 - 850 ak. - 1150 rubel.
Rasio awal untuk menentukan harga saham rata-rata adalah rasio jumlah total transaksi (TCA) dengan jumlah saham yang dijual (KPA):
OSS = 1010 800+990 650+1015 700+900 550+1150 850= 3 634 500;
BPA = 800+650+700+550+850=3550.
Dalam hal ini, harga saham rata-rata adalah sama dengan
Penting untuk mengetahui sifat-sifat rata-rata aritmatika, yang sangat penting baik untuk penggunaannya maupun untuk perhitungannya. Ada tiga sifat utama yang sebagian besar menyebabkan meluasnya penggunaan rata-rata aritmatika dalam perhitungan statistik dan ekonomi.
Properti satu (nol): jumlah deviasi positif dari nilai individu suatu sifat dari nilai rata-ratanya sama dengan jumlah deviasi negatif. Ini adalah sifat yang sangat penting, karena menunjukkan bahwa setiap penyimpangan (baik dengan + dan dengan -) karena penyebab acak akan dibatalkan bersama.
Bukti:
Properti dua (minimum): jumlah deviasi kuadrat dari nilai-nilai individual sifat dari rata-rata aritmatika kurang dari dari angka lain (a), mis. adalah jumlah minimal.
Bukti.
Tulislah jumlah simpangan kuadrat dari variabel a:
(5.4)
Untuk menemukan ekstrem dari fungsi ini, perlu untuk menyamakan turunannya terhadap a ke nol:
Dari sini kita mendapatkan:
(5.5)
Oleh karena itu, ekstrem dari jumlah deviasi kuadrat dicapai di . Ekstrem ini adalah minimum, karena fungsi tidak dapat memiliki maksimum.
Properti tiga: rata-rata aritmatika dari suatu konstanta sama dengan konstanta ini: pada a = const.
Selain tiga sifat terpenting dari rata-rata aritmatika ini, ada yang disebut properti desain, yang secara bertahap kehilangan signifikansinya karena penggunaan komputer elektronik:
- jika nilai individu dari atribut setiap unit dikalikan atau dibagi dengan angka konstan, maka rata-rata aritmatika akan bertambah atau berkurang dengan jumlah yang sama;
- mean aritmatika tidak akan berubah jika bobot (frekuensi) dari setiap nilai fitur dibagi dengan angka konstan;
- jika nilai individu dari atribut setiap unit dikurangi atau ditingkatkan dengan jumlah yang sama, maka rata-rata aritmatika akan berkurang atau bertambah dengan jumlah yang sama.
Harmonik rata-rata. Rata-rata ini disebut rata-rata aritmatika timbal balik, karena nilai ini digunakan ketika k = -1.
Arti harmonik sederhana digunakan ketika bobot nilai karakteristiknya sama. Rumusnya dapat diturunkan dari rumus dasar dengan mensubstitusi k = -1:
Misalnya, kita perlu menghitung kecepatan rata-rata dua mobil yang menempuh jalan yang sama, tetapi dengan kecepatan yang berbeda: yang pertama dengan kecepatan 100 km/jam, yang kedua dengan kecepatan 90 km/jam. Menggunakan metode rata-rata harmonik, kami menghitung kecepatan rata-rata:
Dalam praktik statistik, pembobotan harmonik lebih sering digunakan, yang rumusnya berbentuk
Rumus ini digunakan dalam kasus di mana bobot (atau volume fenomena) untuk setiap atribut tidak sama. Dalam rasio asli, pembilangnya diketahui untuk menghitung rata-rata, tetapi penyebutnya tidak diketahui.
Misalnya, ketika menghitung harga rata-rata, kita harus menggunakan rasio jumlah yang terjual dengan jumlah unit yang terjual. Kita tidak tahu jumlah unit yang terjual (kita berbicara tentang barang yang berbeda), tetapi kita tahu jumlah penjualan barang yang berbeda ini. Misalkan Anda ingin mengetahui harga rata-rata barang yang dijual:
Kita mendapatkan
Rata-rata geometris. Paling sering, rata-rata geometris menemukan penerapannya dalam menentukan tingkat pertumbuhan rata-rata (tingkat pertumbuhan rata-rata), ketika nilai-nilai individu dari sifat tersebut disajikan sebagai nilai relatif. Ini juga digunakan jika perlu untuk menemukan rata-rata antara nilai minimum dan maksimum dari suatu karakteristik (misalnya, antara 100 dan 1000000). Ada rumus untuk mean geometrik sederhana dan tertimbang.
Untuk mean geometrik sederhana
Untuk rata-rata geometris tertimbang
RMS. Ruang lingkup utama penerapannya adalah pengukuran variasi suatu sifat dalam populasi (perhitungan standar deviasi).
Rumus kuadrat rata-rata akar sederhana
Rumus Kuadrat Rata-Rata Akar Tertimbang
(5.11)
Akibatnya, kita dapat mengatakan bahwa solusi yang berhasil dari masalah penelitian statistik tergantung pada pilihan yang tepat dari jenis nilai rata-rata dalam setiap kasus tertentu. Pilihan rata-rata mengasumsikan urutan berikut:
a) penetapan indikator generalisasi populasi;
b) penentuan rasio nilai matematis untuk indikator generalisasi yang diberikan;
c) penggantian nilai individu dengan nilai rata-rata;
d) perhitungan rata-rata menggunakan persamaan yang sesuai.
Nilai rata-rata dan variasi
nilai rata-rata- ini adalah indikator generalisasi yang mencirikan populasi yang homogen secara kualitatif sesuai dengan atribut kuantitatif tertentu. Misalnya, usia rata-rata orang yang dihukum karena pencurian.
Dalam statistik yudisial, rata-rata digunakan untuk mengkarakterisasi:
Rata-rata hal pertimbangan kasus kategori ini;
Klaim ukuran sedang;
Rata-rata jumlah terdakwa per kasus;
Rata-rata jumlah kerusakan;
Beban kerja rata-rata hakim, dll.
Nilai rata-rata selalu diberi nama dan memiliki dimensi yang sama dengan atribut unit populasi yang terpisah. Setiap nilai rata-rata mencirikan populasi yang diteliti menurut satu atribut yang bervariasi, oleh karena itu, di balik rata-rata apa pun, ada serangkaian distribusi unit populasi ini menurut atribut yang dipelajari. Pilihan jenis rata-rata ditentukan oleh isi indikator dan data awal untuk menghitung rata-rata.
Semua jenis rata-rata yang digunakan dalam studi statistik terbagi dalam dua kategori:
1) rata-rata daya;
2) rata-rata struktural.
Kategori rata-rata pertama meliputi: rata-rata aritmatika, rata-rata harmonik, rata-rata geometrik dan akar rata-rata kuadrat . Kategori kedua adalah mode dan median. Selain itu, masing-masing jenis rata-rata daya yang terdaftar dapat memiliki dua bentuk: sederhana dan tertimbang . Bentuk sederhana dari rata-rata digunakan untuk mendapatkan rata-rata dari sifat yang diteliti ketika perhitungan didasarkan pada statistik yang tidak dikelompokkan, atau ketika setiap varian hanya muncul satu kali dalam populasi. Rata-rata tertimbang adalah nilai yang memperhitungkan bahwa opsi untuk nilai fitur dapat memiliki angka yang berbeda, dan oleh karena itu setiap opsi harus dikalikan dengan frekuensi yang sesuai. Dengan kata lain, setiap opsi "ditimbang" berdasarkan frekuensinya. Frekuensi ini disebut bobot statistik.
rata-rata aritmatika sederhana- jenis media yang paling umum. Itu sama dengan jumlah nilai karakteristik individu dibagi dengan jumlah total nilai-nilai ini:
,
di mana x 1 ,x 2 , … ,x N adalah nilai individu dari sifat variabel (pilihan), dan N adalah jumlah unit populasi.
Rata-rata tertimbang aritmatika digunakan bila data disajikan dalam bentuk deret distribusi atau pengelompokan. Ini dihitung sebagai jumlah produk opsi dan frekuensi yang sesuai, dibagi dengan jumlah frekuensi semua opsi:
di mana x saya- arti saya– varian fitur; fi- frekuensi saya-pilihan.
Dengan demikian, setiap nilai varian diberi bobot oleh frekuensinya, itulah sebabnya frekuensi kadang-kadang disebut bobot statistik.
Komentar. Ketika datang ke mean aritmatika tanpa menentukan jenisnya, mean aritmatika sederhana yang dimaksud.
Tabel 12
Larutan. Untuk perhitungannya, kami menggunakan rumus rata-rata tertimbang aritmatika:
Jadi, rata-rata ada dua terdakwa per kasus pidana.
Jika perhitungan nilai rata-rata dilakukan menurut data yang dikelompokkan dalam bentuk deret distribusi interval, maka terlebih dahulu Anda perlu menentukan nilai median setiap interval x”i, kemudian menghitung nilai rata-ratanya menggunakan rumus rata-rata aritmatika berbobot, di mana x" i diganti dengan x i.
Contoh. Data usia pelaku tindak pidana pencurian disajikan dalam tabel:
Tabel 13
Tentukan usia rata-rata penjahat yang dihukum karena pencurian.
Larutan. Untuk menentukan usia rata-rata penjahat berdasarkan deret variasi interval, Anda harus terlebih dahulu mencari nilai median dari interval tersebut. Karena deret interval dengan interval pertama dan terakhir terbuka diberikan, nilai interval ini diambil sama dengan nilai interval tertutup yang berdekatan. Dalam kasus kami, nilai interval pertama dan terakhir adalah 10.
Sekarang kita temukan usia rata-rata penjahat menggunakan rumus rata-rata aritmatika tertimbang:
Dengan demikian, rata-rata usia pelaku tindak pidana pencurian adalah kurang lebih 27 tahun.
Rata-rata harmonik sederhana adalah kebalikan dari rata-rata aritmatika dari nilai timbal balik dari fitur:
dimana 1/ x saya adalah nilai kebalikan dari varian, dan N adalah jumlah unit populasi.
Contoh. Untuk menentukan rata-rata beban kerja tahunan hakim pengadilan negeri ketika mempertimbangkan kasus pidana, dilakukan survei terhadap beban kerja 5 hakim pengadilan ini. Rata-rata waktu yang dihabiskan untuk satu kasus pidana untuk masing-masing hakim yang disurvei ternyata sama (dalam hari): 6, 0, 5, 6, 6, 3, 4, 9, 5, 4. Temukan biaya rata-rata untuk satu kasus perkara pidana dan rata-rata beban kerja tahunan hakim pengadilan negeri ini dalam mempertimbangkan perkara pidana.
Larutan. Untuk menentukan rata-rata waktu yang dihabiskan untuk satu kasus pidana, kami menggunakan rumus sederhana harmonik:
Untuk menyederhanakan perhitungan dalam contoh, mari kita ambil jumlah hari dalam setahun sama dengan 365, termasuk akhir pekan (ini tidak mempengaruhi metode perhitungan, dan ketika menghitung indikator serupa dalam praktiknya, perlu untuk mengganti jumlah kerja hari dalam tahun tertentu, bukan 365 hari). Maka beban kerja rata-rata tahunan untuk hakim pengadilan negeri ini ketika mempertimbangkan kasus pidana adalah: 365 (hari): 5,56 65,6 (kasus).
Jika kita menggunakan rumus rata-rata aritmatika sederhana untuk menentukan waktu rata-rata yang dihabiskan untuk satu kasus kriminal, kita akan mendapatkan:
365 (hari): 5,64 64,7 (kasus), mis. rata-rata beban kerja hakim lebih sedikit.
Mari kita periksa validitas pendekatan ini. Untuk melakukan ini, kami menggunakan data waktu yang dihabiskan untuk satu kasus pidana untuk setiap hakim dan menghitung jumlah kasus pidana yang dipertimbangkan oleh masing-masing hakim per tahun.
Kami mendapatkan sesuai:
365(hari) : 6 61 (kasus), 365(hari) : 5,6 65,2 (kasus), 365(hari) : 6,3 58 (kasus),
365(hari) : 4,9 74,5 (kasus), 365(hari) : 5,4 68 (kasus).
Sekarang kami menghitung beban kerja tahunan rata-rata untuk hakim pengadilan negeri ini ketika mempertimbangkan kasus pidana:
Itu. beban tahunan rata-rata sama dengan ketika menggunakan rata-rata harmonik.
Dengan demikian, penggunaan mean aritmatika dalam kasus ini adalah ilegal.
Dalam kasus di mana varian fitur diketahui, nilai volumetriknya (produk dari varian dengan frekuensi), tetapi frekuensi itu sendiri tidak diketahui, rumus rata-rata tertimbang harmonik diterapkan:
,
di mana x saya adalah nilai varian sifat, dan wi adalah nilai volumetrik varian ( w i = x i f i).
Contoh. Data harga satuan barang sejenis yang diproduksi oleh berbagai lembaga pemasyarakatan, dan volume pelaksanaannya disajikan pada tabel 14.
Tabel 14
Temukan harga jual rata-rata produk tersebut.
Larutan. Saat menghitung harga rata-rata, kita harus menggunakan rasio jumlah yang terjual dengan jumlah unit yang terjual. Kita tidak tahu jumlah unit yang terjual, tetapi kita tahu jumlah penjualan barang. Oleh karena itu, untuk mencari harga rata-rata barang yang terjual, kita menggunakan rumus rata-rata tertimbang harmonik. Kita mendapatkan
Jika Anda menggunakan rumus rata-rata aritmatika di sini, Anda bisa mendapatkan harga rata-rata yang tidak realistis:
Rata-rata geometris dihitung dengan mengekstrak akar derajat N dari produk semua nilai varian fitur:
di mana x 1 ,x 2 , … ,x N adalah nilai individu dari sifat variabel (opsi), dan
N adalah jumlah unit populasi.
Jenis rata-rata ini digunakan untuk menghitung tingkat pertumbuhan rata-rata deret waktu.
akar rata-rata kuadrat digunakan untuk menghitung simpangan baku, yang merupakan indikator variasi, dan akan dibahas di bawah.
Untuk menentukan struktur populasi, digunakan rata-rata khusus, yang meliputi: median dan mode , atau yang disebut rata-rata struktural. Jika mean aritmatika dihitung berdasarkan penggunaan semua varian nilai atribut, maka median dan mode mencirikan nilai varian yang menempati posisi rata-rata tertentu dalam deret peringkat (terurut). Pengurutan satuan populasi statistik dapat dilakukan secara menaik atau menurun dari varian sifat yang diteliti.
Median (Saya) adalah nilai yang sesuai dengan varian di tengah rangkaian peringkat. Jadi, median adalah varian dari deret berperingkat tersebut, yang pada kedua sisi deret tersebut harus ada jumlah unit populasi yang sama.
Untuk mencari median, pertama-tama Anda harus menentukan nomor urutnya dalam deret peringkat menggunakan rumus:
di mana N adalah volume deret (jumlah unit populasi).
Jika deret tersebut terdiri dari jumlah anggota ganjil, maka median sama dengan varian dengan jumlah N Me . Jika deret tersebut terdiri dari sejumlah anggota genap, maka median didefinisikan sebagai rata-rata aritmatika dari dua opsi yang berdekatan yang terletak di tengah.
Contoh. Diberikan suatu deret berperingkat 1, 2, 3, 3, 6, 7, 9, 9, 10. Volume deret tersebut adalah N = 9 yang artinya N Me = (9 + 1) / 2 = 5. Oleh karena itu, Me = 6, yaitu . pilihan kelima. Jika sebuah baris diberikan 1, 5, 7, 9, 11, 14, 15, 16, mis. deret dengan jumlah anggota genap (N = 8), maka N Me = (8 + 1) / 2 = 4,5. Jadi median sama dengan setengah jumlah opsi keempat dan kelima, mis. Saya = (9 + 11) / 2 = 10.
Dalam deret variasi diskrit, median ditentukan oleh frekuensi yang terakumulasi. Frekuensi varian, dimulai dengan yang pertama, dijumlahkan sampai jumlah median terlampaui. Nilai dari opsi yang dijumlahkan terakhir akan menjadi median.
Contoh. Carilah median jumlah terdakwa per kasus pidana dengan menggunakan data pada Tabel 12.
Larutan. Dalam hal ini, volume deret variasi adalah N = 154, oleh karena itu, N Me = (154 + 1) / 2 = 77,5. Menjumlahkan frekuensi opsi pertama dan kedua, kami mendapatkan: 75 + 43 = 118, mis. kami telah melampaui jumlah median. Jadi Saya = 2.
Dalam deret variasi interval dari distribusi, pertama-tama tunjukkan interval di mana median akan ditempatkan. Dia dipanggil median . Ini adalah interval pertama yang frekuensi kumulatifnya melebihi setengah volume deret variasi interval. Kemudian nilai numerik median ditentukan dengan rumus:
di mana x saya adalah batas bawah interval median; i adalah nilai interval median; S Me-1 adalah frekuensi kumulatif dari interval yang mendahului median; f Saya adalah frekuensi interval median.
Contoh. Temukan usia rata-rata pelanggar yang dihukum karena pencurian, berdasarkan statistik yang disajikan pada Tabel 13.
Larutan. Data statistik direpresentasikan dengan deret variasi interval, artinya kita tentukan dulu median intervalnya. Volume populasi N = 162, oleh karena itu, interval median adalah interval 18-28, karena ini adalah interval pertama, frekuensi akumulasi yang (15 + 90 = 105) melebihi setengah volume (162: 2 = 81) dari seri variasi interval. Sekarang nilai numerik median ditentukan oleh rumus di atas:
Dengan demikian, setengah dari mereka yang dihukum karena pencurian berusia di bawah 25 tahun.
Mode (Mo) sebutkan nilai atributnya, yang paling sering ditemukan dalam satuan populasi. Fashion digunakan untuk mengidentifikasi nilai dari sifat yang memiliki distribusi terbesar. Untuk deret diskrit, mode akan menjadi varian dengan frekuensi tertinggi. Misalnya, untuk deret diskrit yang disajikan pada Tabel 3 mo= 1, karena nilai opsi ini sesuai dengan frekuensi tertinggi - 75. Untuk menentukan mode deret interval, tentukan terlebih dahulu modal interval (interval yang memiliki frekuensi tertinggi). Kemudian, dalam interval ini, nilai fitur ditemukan, yang dapat berupa mode.
Nilainya ditemukan dengan rumus:
di mana x Mo adalah batas bawah interval modal; i adalah nilai interval modal; f Mo adalah frekuensi interval modal; f Mo-1 adalah frekuensi interval sebelum modal; f Mo+1 adalah frekuensi interval yang mengikuti modal.
Contoh. Temukan modus usia penjahat yang dihukum karena pencurian, data yang disajikan dalam tabel 13.
Larutan. Frekuensi tertinggi sesuai dengan interval 18-28, oleh karena itu, mode harus dalam interval ini. Nilainya ditentukan oleh rumus di atas:
Dengan demikian, jumlah terbesar penjahat yang dihukum karena pencurian adalah 24 tahun.
Nilai rata-rata memberikan karakteristik generalisasi dari totalitas fenomena yang diteliti. Namun, dua populasi dengan nilai rata-rata yang sama dapat berbeda secara signifikan satu sama lain dalam hal tingkat fluktuasi (variasi) nilai sifat yang dipelajari. Misalnya, di satu pengadilan hukuman penjara berikut ditetapkan: 3, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 12, 12, 15 tahun, dan di pengadilan lain - 5, 5, 6, 6, 7, 7 , 7 , 8, 8, 8 tahun. Dalam kedua kasus, rata-rata aritmatika adalah 6,7 tahun. Namun, agregat ini berbeda secara signifikan satu sama lain dalam penyebaran nilai individu dari hukuman penjara yang ditetapkan relatif terhadap nilai rata-rata.
Dan untuk pengadilan pertama, di mana variasi ini cukup besar, rata-rata hukuman penjara tidak mencerminkan seluruh penduduk dengan baik. Jadi, jika nilai individu dari atribut sedikit berbeda satu sama lain, maka rata-rata aritmatika akan menjadi karakteristik indikatif yang cukup dari sifat-sifat populasi ini. Jika tidak, rata-rata aritmatika akan menjadi karakteristik yang tidak dapat diandalkan dari populasi ini dan penerapannya dalam praktik tidak efektif. Oleh karena itu, perlu memperhitungkan variasi nilai sifat yang dipelajari.
Variasi- ini adalah perbedaan nilai suatu sifat di unit yang berbeda dari populasi tertentu dalam periode atau titik waktu yang sama. Istilah "variasi" berasal dari bahasa Latin - variatio, yang berarti perbedaan, perubahan, fluktuasi. Itu muncul sebagai akibat dari fakta bahwa nilai-nilai individu dari atribut terbentuk di bawah pengaruh gabungan dari berbagai faktor (kondisi), yang digabungkan dengan cara yang berbeda dalam setiap kasus individu. Untuk mengukur variasi suatu sifat, digunakan berbagai indikator absolut dan relatif.
Indikator utama variasi meliputi hal-hal berikut:
1) rentang variasi;
2) deviasi linier rata-rata;
3) dispersi;
4) standar deviasi;
5) koefisien variasi.
Mari kita bahas secara singkat masing-masing.
Variasi rentang R adalah indikator absolut yang paling mudah diakses dalam hal kemudahan perhitungan, yang didefinisikan sebagai perbedaan antara nilai atribut terbesar dan terkecil untuk unit populasi ini:
Rentang variasi (range of fluktuasis) merupakan indikator penting dari variabilitas fitur, tetapi memungkinkan untuk melihat hanya penyimpangan ekstrim, yang membatasi ruang lingkupnya. Untuk karakterisasi yang lebih akurat dari variasi suatu sifat berdasarkan fluktuasinya, indikator lain digunakan.
Deviasi linier rata-rata mewakili rata-rata aritmatika dari nilai absolut dari penyimpangan nilai individu sifat dari rata-rata dan ditentukan oleh rumus:
1) untuk data yang tidak dikelompokkan
2) untuk seri variasi
Namun, ukuran variasi yang paling banyak digunakan adalah penyebaran . Ini mencirikan ukuran penyebaran nilai-nilai sifat yang dipelajari relatif terhadap nilai rata-ratanya. Varians didefinisikan sebagai rata-rata deviasi kuadrat.
varian sederhana untuk data yang tidak dikelompokkan:
.
Varian tertimbang untuk seri variasi:
Komentar. Dalam praktiknya, lebih baik menggunakan rumus berikut untuk menghitung varians:
Untuk varians sederhana
.
Untuk varian tertimbang
Standar deviasi adalah akar kuadrat dari varians:
Standar deviasi adalah ukuran keandalan mean. Semakin kecil simpangan baku, semakin homogen populasi dan semakin baik mean aritmatika mencerminkan seluruh populasi.
Ukuran dispersi yang dipertimbangkan di atas (rentang variasi, varians, standar deviasi) adalah indikator mutlak, yang tidak selalu memungkinkan untuk menilai tingkat fluktuasi suatu sifat. Dalam beberapa permasalahan perlu digunakan indeks hamburan relatif, salah satunya adalah koefisien variasi.
Koefisien variasi- dinyatakan sebagai persentase rasio simpangan baku terhadap rata-rata aritmatika:
Koefisien variasi digunakan tidak hanya untuk penilaian komparatif variasi sifat yang berbeda atau sifat yang sama dalam populasi yang berbeda, tetapi juga untuk mengkarakterisasi homogenitas populasi. Populasi statistik dianggap homogen secara kuantitatif jika koefisien variasi tidak melebihi 33% (untuk distribusi yang mendekati distribusi normal).
Contoh. Berikut data masa hukuman 50 terpidana yang diserahkan untuk menjalani hukuman yang dijatuhkan oleh pengadilan di lembaga pemasyarakatan sistem pemasyarakatan: 5, 4, 2, 1, 6, 3, 4, 3, 2, 2 , 5, 6, 4, 3, 10, 5, 4, 1, 2, 3, 3, 4, 1, 6, 5, 3, 4, 3, 5, 12, 4, 3, 2, 4, 6 , 4, 4, 3, 1, 5, 4, 3, 12, 6, 7, 3, 4, 5, 5, 3.
1. Buatlah deret distribusi dengan syarat hukuman penjara.
2. Cari mean, varians dan standar deviasi.
3. Menghitung koefisien variasi dan menarik kesimpulan tentang homogenitas atau heterogenitas populasi yang diteliti.
Larutan. Untuk menyusun deret distribusi diskrit, perlu ditentukan varian dan frekuensinya. Pilihan dalam soal ini adalah jangka waktu pidana penjara, dan frekuensinya adalah banyaknya pilihan individu. Setelah menghitung frekuensi, kami memperoleh deret distribusi diskrit berikut:
Cari mean dan variansnya. Karena data statistik diwakili oleh deret variasi diskrit, kami akan menggunakan rumus rata-rata tertimbang aritmatika dan varians untuk menghitungnya. Kita mendapatkan:
= 
= 4,1;
= 
5,21.
Sekarang kita hitung simpangan bakunya:
Kami menemukan koefisien variasi:
Akibatnya, populasi statistik secara kuantitatif heterogen.
rata-rata aritmatika sederhana
Nilai rata-rata
Nilai rata-rata banyak digunakan dalam statistik.
nilai rata-rata- ini adalah indikator generalisasi di mana ekspresi tindakan kondisi umum, pola perkembangan fenomena yang diteliti ditemukan.
Rata-rata statistik dihitung berdasarkan data massa dari pengamatan yang terorganisir secara statistik dengan benar (kontinu dan sampel). Namun, rata-rata statistik akan objektif dan khas jika dihitung dari data massa untuk populasi yang secara kualitatif homogen (fenomena massa). Misalnya, jika kita menghitung gaji rata-rata di perusahaan saham gabungan dan perusahaan milik negara, dan memperluas hasilnya ke seluruh populasi, maka rata-rata itu fiktif, karena dihitung pada populasi yang heterogen, dan rata-rata seperti itu kehilangan semua arti.
Dengan bantuan rata-rata, seolah-olah ada pemulusan perbedaan dalam besaran fitur yang muncul karena satu dan lain alasan dalam unit pengamatan individual.
Misalnya, output rata-rata penjual individu tergantung pada banyak faktor: kualifikasi, masa kerja, usia, bentuk layanan, kesehatan, dan sebagainya. Output rata-rata mencerminkan karakteristik umum dari seluruh populasi.
Nilai rata-rata diukur dalam unit yang sama dengan fitur itu sendiri.
Setiap nilai rata-rata mencirikan populasi yang diteliti menurut salah satu atribut. Untuk mendapatkan gambaran yang utuh dan menyeluruh tentang populasi yang diteliti ditinjau dari sejumlah ciri-ciri esensialnya, maka diperlukan suatu sistem nilai rata-rata yang dapat menggambarkan fenomena tersebut dari berbagai sudut pandang.
Ada berbagai jenis rata-rata:
rata-rata aritmatika;
harmonik rata-rata;
rata-rata geometris;
akar rata-rata kuadrat;
kubik rata-rata.
Rata-rata dari semua jenis yang tercantum di atas, pada gilirannya, dibagi menjadi sederhana (tidak berbobot) dan berbobot.
Pertimbangkan jenis rata-rata yang digunakan dalam statistik.
Rata-rata aritmatika sederhana (tidak berbobot) sama dengan jumlah nilai individu dari karakteristik, dibagi dengan jumlah nilai-nilai ini.
Nilai terpisah dari fitur disebut varian dan dilambangkan dengan i ( 
); jumlah unit populasi dilambangkan dengan n, nilai rata-rata fitur - oleh 
. Jadi, mean aritmatika sederhana adalah:
atau 
Contoh 1 Tabel 1
Data produksi produk A oleh pekerja per shift
Dalam contoh ini, atribut variabel adalah rilis produk per shift.
Nilai numerik atribut (16, 17, dll.) Disebut opsi. Mari kita tentukan output rata-rata produk oleh pekerja dari kelompok ini:
PCS.
Rata-rata aritmatika sederhana digunakan dalam kasus di mana ada nilai individu dari suatu karakteristik, mis. datanya tidak dikelompokkan. Jika data disajikan dalam bentuk deret distribusi atau pengelompokan, maka rata-ratanya dihitung secara berbeda.
Rata-rata tertimbang aritmatika
Rata-rata tertimbang aritmatika sama dengan jumlah produk dari setiap nilai individu atribut (opsi) dengan frekuensi yang sesuai, dibagi dengan jumlah semua frekuensi.
Banyaknya nilai ciri yang identik dalam deret distribusi disebut frekuensi atau bobot dan dilambangkan dengan f i .
Sesuai dengan ini, rata-rata tertimbang aritmatika terlihat seperti ini:
atau 
Dapat dilihat dari rumus bahwa rata-rata tidak hanya bergantung pada nilai atribut, tetapi juga pada frekuensinya, mis. pada komposisi penduduk, pada strukturnya.
Contoh 2 Meja 2
Data upah pekerja
Menurut data deret distribusi diskrit, dapat dilihat bahwa nilai atribut (opsi) yang sama diulang beberapa kali. Jadi, varian x 1 muncul secara agregat 2 kali, dan varian x 2 - 6 kali, dst.
Hitung upah rata-rata per pekerja:
Dana upah untuk setiap kelompok pekerja sama dengan produk opsi dan frekuensi ( 
), dan jumlah produk ini memberikan total dana upah semua pekerja ( 
).
Jika perhitungan dilakukan dengan menggunakan rumus rata-rata aritmatika sederhana, penghasilan rata-rata akan menjadi 3.000 rubel. (). Membandingkan hasil yang diperoleh dengan data awal, jelas bahwa upah rata-rata harus jauh lebih tinggi (lebih dari separuh pekerja menerima upah di atas 3.000 rubel). Oleh karena itu, perhitungan mean aritmatika sederhana dalam kasus seperti itu akan salah.
Materi statistik hasil pengolahan dapat disajikan tidak hanya dalam bentuk deret distribusi diskrit, tetapi juga dalam bentuk deret variasi interval dengan interval tertutup atau terbuka.
Pertimbangkan perhitungan mean aritmatika untuk deret tersebut.
Rata-ratanya adalah:
BerartiBerarti- karakteristik numerik dari serangkaian angka atau fungsi; - beberapa bilangan yang diapit antara nilai terkecil dan terbesarnya.
|
Informasi dasar
Titik awal untuk pembentukan teori rata-rata adalah studi tentang proporsi oleh sekolah Pythagoras. Pada saat yang sama, tidak ada perbedaan tegas yang dibuat antara konsep rata-rata dan proporsi. Dorongan yang signifikan untuk pengembangan teori proporsi dari sudut pandang aritmatika diberikan oleh matematikawan Yunani - Nicomachus dari Geras (akhir I - awal abad II M) dan Pappus dari Alexandria (abad III M). Tahap pertama dalam pengembangan konsep rata-rata adalah tahap ketika rata-rata mulai dianggap sebagai anggota pusat dari suatu proporsi yang berkesinambungan. Tetapi konsep mean sebagai nilai sentral dari perkembangan tidak memungkinkan untuk menurunkan konsep mean sehubungan dengan urutan n suku, terlepas dari urutan di mana mereka mengikuti satu sama lain. Untuk tujuan ini perlu untuk menggunakan generalisasi formal dari rata-rata. Tahap selanjutnya adalah transisi dari proporsi kontinu ke progresi - aritmatika, geometris, dan harmonik.
Dalam sejarah statistik, untuk pertama kalinya, penggunaan rata-rata secara luas dikaitkan dengan nama ilmuwan Inggris W. Petty. W. Petty adalah salah satu yang pertama yang mencoba memberikan nilai rata-rata makna statistik, menghubungkannya dengan kategori ekonomi. Namun Petty tidak menghasilkan gambaran tentang konsep nilai rata-rata, alokasinya. A. Quetelet dianggap sebagai pendiri teori rata-rata. Dia adalah salah satu orang pertama yang secara konsisten mengembangkan teori rata-rata, mencoba membawa dasar matematika untuk itu. A. Quetelet memilih dua jenis rata-rata - rata-rata aktual dan rata-rata aritmatika. Rata-rata yang benar mewakili sesuatu, angka, benar-benar ada. Sebenarnya rata-rata atau rata-rata statistik harus diturunkan dari fenomena dengan kualitas yang sama, identik dalam signifikansi internalnya. Rata-rata aritmatika adalah angka yang memberikan kemungkinan terdekat dari banyak angka, berbeda, meskipun homogen.
Setiap jenis rata-rata dapat berupa rata-rata sederhana atau rata-rata tertimbang. Ketepatan pilihan bentuk rata-rata mengikuti dari sifat material objek studi. Rumus rata-rata sederhana digunakan jika nilai individual dari fitur rata-rata tidak berulang. Apabila dalam praktikum nilai-nilai individu dari sifat yang diteliti terjadi beberapa kali dalam satuan populasi yang diteliti, maka frekuensi pengulangan nilai sifat individu tersebut terdapat dalam rumus-rumus perhitungan daya rata-rata. Dalam hal ini, mereka disebut rumus rata-rata tertimbang.
Yayasan Wikimedia. 2010.
Nilai rata-rata adalah indikator generalisasi yang mencirikan tingkat khas fenomena. Ini mengungkapkan nilai atribut, terkait dengan unit populasi.
Nilai rata-ratanya adalah:
1) nilai paling khas dari atribut untuk populasi;
2) volume tanda populasi, didistribusikan secara merata di antara unit-unit populasi.
Karakteristik yang nilai rata-ratanya dihitung disebut "rata-rata" dalam statistik.
Rata-rata selalu menggeneralisasikan variasi kuantitatif dari sifat tersebut, yaitu dalam nilai rata-rata, perbedaan individu dalam unit populasi karena keadaan acak dibatalkan. Berbeda dengan rata-rata, nilai absolut yang mencirikan tingkat fitur dari unit individu populasi tidak memungkinkan untuk membandingkan nilai fitur untuk unit milik populasi yang berbeda. Jadi, jika Anda perlu membandingkan tingkat remunerasi pekerja di dua perusahaan, maka Anda tidak dapat membandingkan dua karyawan dari perusahaan yang berbeda atas dasar ini. Upah pekerja yang dipilih untuk perbandingan mungkin tidak khas untuk perusahaan-perusahaan ini. Jika kita membandingkan ukuran dana upah di perusahaan yang dipertimbangkan, maka jumlah karyawan tidak diperhitungkan dan, oleh karena itu, tidak mungkin untuk menentukan di mana tingkat upah lebih tinggi. Pada akhirnya, hanya rata-rata yang dapat dibandingkan, mis. Berapa penghasilan rata-rata satu pekerja di setiap perusahaan? Oleh karena itu, perlu dilakukan penghitungan nilai rata-rata sebagai ciri umum populasi.
Penting untuk dicatat bahwa dalam proses rata-rata, nilai agregat dari tingkat atribut atau nilai akhirnya (dalam hal menghitung tingkat rata-rata dalam deret waktu) harus tetap tidak berubah. Dengan kata lain, saat menghitung nilai rata-rata, volume sifat yang diteliti tidak boleh terdistorsi, dan ekspresi yang dibuat saat menghitung rata-rata harus masuk akal.
Menghitung rata-rata adalah salah satu teknik generalisasi yang umum; Indikator rata-rata mengingkari yang bersifat umum (tipikal) untuk semua satuan populasi yang diteliti, sekaligus mengabaikan perbedaan antar satuan individu. Dalam setiap fenomena dan perkembangannya terdapat kombinasi antara kebetulan dan kebutuhan. Saat menghitung rata-rata, karena pengoperasian hukum bilangan besar, keacakan membatalkan satu sama lain, menyeimbangkan, sehingga Anda dapat mengabstraksi dari fitur-fitur yang tidak signifikan dari fenomena tersebut, dari nilai kuantitatif atribut dalam setiap kasus tertentu. Dalam kemampuan untuk mengabstraksi dari keacakan nilai individu, fluktuasi, terletak nilai ilmiah rata-rata sebagai karakteristik umum dari agregat.
Agar rata-rata benar-benar mencirikan, itu harus dihitung dengan mempertimbangkan prinsip-prinsip tertentu.
Mari kita membahas beberapa prinsip umum untuk penerapan rata-rata.
1. Rata-rata harus ditentukan untuk populasi yang terdiri dari unit-unit yang homogen secara kualitatif.
2. Rata-rata harus dihitung untuk populasi yang terdiri dari jumlah unit yang cukup besar.
3. Rata-rata harus dihitung untuk populasi, yang satuan-satuannya berada dalam keadaan normal dan alami.
4. Rata-rata harus dihitung dengan mempertimbangkan kandungan ekonomi dari indikator yang diteliti.
5.2. Jenis rata-rata dan metode untuk menghitungnya
Sekarang mari kita pertimbangkan jenis rata-rata, fitur perhitungannya dan area penerapannya. Nilai rata-rata dibagi menjadi dua kelas besar: rata-rata daya, rata-rata struktural.
Rata-rata hukum daya termasuk jenis yang paling terkenal dan umum digunakan, seperti rata-rata geometrik, rata-rata aritmatika, dan rata-rata kuadrat.
Modus dan median dianggap sebagai rata-rata struktural.
Mari kita memikirkan kekuatan rata-rata. Rata-rata daya, tergantung pada penyajian data awal, bisa sederhana dan berbobot. rata-rata sederhana dihitung dari data yang tidak dikelompokkan dan memiliki bentuk umum berikut:
,
di mana X i adalah varian (nilai) dari fitur rata-rata;
n adalah jumlah opsi.
Rata-rata tertimbang dihitung dengan data yang dikelompokkan dan memiliki bentuk umum
,
di mana X i adalah varian (nilai) fitur rata-rata atau nilai tengah interval di mana varian diukur;
m adalah eksponen dari mean;
f i - frekuensi yang menunjukkan berapa kali nilai i-e dari fitur rata-rata muncul.
Jika kita menghitung semua jenis rata-rata untuk data awal yang sama, maka nilainya tidak akan sama. Di sini aturan utama rata-rata berlaku: dengan peningkatan eksponen m, nilai rata-rata yang sesuai juga meningkat:
Dalam praktik statistik, lebih sering daripada jenis rata-rata tertimbang lainnya, rata-rata tertimbang aritmatika dan harmonik digunakan.
Jenis Sarana Daya
|
Jenis kekuatan |
Indeks |
Rumus perhitungan |
|
|
Sederhana |
tertimbang |
||
|
harmonis |
|||
|
Geometris |
|
|
|
|
Hitung |
|||
|
kuadrat |
|||
|
kubik |
|||
Rata-rata harmonik memiliki struktur yang lebih kompleks daripada rata-rata aritmatika. Rata-rata harmonik digunakan untuk perhitungan ketika bobot bukan unit populasi - pembawa sifat, tetapi produk dari unit-unit ini dan nilai sifat (yaitu m = Xf). Waktu henti harmonik rata-rata harus digunakan dalam kasus penentuan, misalnya, biaya rata-rata tenaga kerja, waktu, bahan per unit keluaran, per bagian untuk dua (tiga, empat, dll.) perusahaan, pekerja yang terlibat dalam pembuatan produk. jenis produk yang sama, bagian yang sama, produk.
Syarat utama formula untuk menghitung nilai rata-rata adalah bahwa semua tahapan perhitungan memiliki justifikasi yang benar-benar bermakna; nilai rata-rata yang dihasilkan harus menggantikan nilai individu dari atribut untuk setiap objek tanpa memutuskan hubungan antara indikator individu dan ringkasan. Dengan kata lain, nilai rata-rata harus dihitung sedemikian rupa sehingga ketika setiap nilai individu dari indikator rata-rata diganti dengan nilai rata-ratanya, beberapa indikator ringkasan akhir yang terhubung dengan satu atau lain cara dengan indikator rata-rata tetap tidak berubah. Hasil ini disebut menentukan karena sifat hubungannya dengan nilai individu menentukan formula khusus untuk menghitung nilai rata-rata. Mari kita tunjukkan aturan ini pada contoh mean geometrik.
Rumus rata-rata geometris
paling sering digunakan saat menghitung nilai rata-rata nilai relatif individu dari dinamika.
Rata-rata geometrik digunakan jika urutan nilai relatif rantai dinamika diberikan, yang menunjukkan, misalnya, peningkatan produksi dibandingkan dengan tingkat tahun sebelumnya: i 1 , i 2 , i 3 ,…, i n . Jelas, volume produksi pada tahun lalu ditentukan oleh tingkat awalnya (q 0) dan pertumbuhan selanjutnya selama bertahun-tahun:
q n =q 0 × i 1 × i 2 ×…×i n .
Mengambil q n sebagai indikator yang menentukan dan mengganti nilai individual dari indikator dinamika dengan yang rata-rata, kami sampai pada hubungan
Dari sini
Jenis nilai rata-rata khusus - rata-rata struktural - digunakan untuk mempelajari struktur internal dari rangkaian distribusi nilai atribut, serta untuk memperkirakan nilai rata-rata (tipe daya), jika, menurut data statistik yang tersedia, perhitungannya tidak dapat dilakukan (misalnya, jika tidak ada data dalam contoh yang dipertimbangkan) dan pada volume produksi, dan pada jumlah biaya oleh kelompok perusahaan).
Indikator paling sering digunakan sebagai rata-rata struktural. mode - nilai fitur yang paling sering diulang - dan median - nilai suatu ciri yang membagi urutan nilainya menjadi dua bagian yang sama jumlahnya. Akibatnya, di satu setengah dari unit populasi, nilai atribut tidak melebihi tingkat median, dan di setengah lainnya tidak kurang dari itu.
Jika fitur yang diteliti memiliki nilai diskrit, maka tidak ada kesulitan khusus dalam menghitung modus dan median. Jika data nilai atribut X disajikan dalam bentuk interval terurut perubahannya (deret interval), maka perhitungan modus dan median menjadi agak lebih rumit. Karena nilai median membagi seluruh populasi menjadi dua bagian yang sama jumlahnya, ia berakhir di salah satu interval fitur X. Menggunakan interpolasi, nilai median ditemukan dalam interval median ini:
,
di mana X Me adalah batas bawah interval median;
h Me adalah nilainya;
(Jumlah m) / 2 - setengah dari jumlah total pengamatan atau setengah dari volume indikator yang digunakan sebagai pembobotan dalam rumus untuk menghitung nilai rata-rata (secara absolut atau relatif);
S Me-1 adalah jumlah pengamatan (atau volume fitur pembobotan) yang diakumulasikan sebelum dimulainya interval median;
m Me adalah jumlah pengamatan atau volume fitur pembobotan dalam interval median (juga dalam istilah absolut atau relatif).
Saat menghitung nilai modal suatu fitur menurut data seri interval, perlu diperhatikan fakta bahwa intervalnya sama, karena indikator frekuensi nilai fitur X tergantung pada ini. deret interval dengan interval yang sama, nilai modus ditentukan sebagai
,
di mana X Mo adalah nilai yang lebih rendah dari interval modal;
m Mo adalah jumlah pengamatan atau volume fitur pembobotan dalam interval modal (secara absolut atau relatif);
m Mo-1 - sama untuk interval sebelum modal;
m Mo+1 - sama untuk interval setelah modal;
h adalah nilai selang waktu perubahan sifat dalam kelompok.
TUGAS 1
Data berikut tersedia untuk kelompok perusahaan industri untuk tahun pelaporan:
|
№ perusahaan |
Volume produksi, juta rubel |
Jumlah rata-rata karyawan, pers. |
Untung, ribuan rubel |
|
|
197,7 |
10,0 |
13,5 |
||
|
22,8 |
1500 |
136,2 |
||
|
465,5 |
18,4 |
1412 |
97,6 |
|
|
296,2 |
12,6 |
1200 |
44,4 |
|
|
584,1 |
22,0 |
1485 |
146,0 |
|
|
480,0 |
119,0 |
1420 |
110,4 |
|
|
57805 |
21,6 |
1390 |
138,7 |
|
|
204,7 |
30,6 |
|||
|
466,8 |
19,4 |
1375 |
111,8 |
|
|
292,2 |
113,6 |
1200 |
49,6 |
|
|
423,1 |
17,6 |
1365 |
105,8 |
|
|
192,6 |
30,7 |
|||
|
360,5 |
14,0 |
1290 |
64,8 |
|
|
280,3 |
10,2 |
33,3 |
Diperlukan untuk melakukan pengelompokan perusahaan untuk pertukaran produk, dengan interval berikut:
dari 400 hingga 600 juta rubel
Untuk setiap kelompok dan untuk semua bersama-sama, tentukan jumlah perusahaan, volume produksi, jumlah rata-rata karyawan, output rata-rata per karyawan. Hasil pengelompokan harus disajikan dalam bentuk tabel statistik. Merumuskan kesimpulan.
LARUTAN
Mari kita membuat pengelompokan perusahaan untuk pertukaran produk, perhitungan jumlah perusahaan, volume produksi, jumlah rata-rata karyawan sesuai dengan rumus rata-rata sederhana. Hasil pengelompokan dan perhitungan dirangkum dalam sebuah tabel.
Kelompokkan berdasarkan volume produksi
№
perusahaan
Volume produksi, juta rubel
Biaya tahunan rata-rata aset tetap, juta rubel
rata-rata tidur
jumlah karyawan yang menarik, pers.
Untung, ribuan rubel
Output rata-rata per pekerja
1 grup
hingga 200 juta rubel
1,8,12
197,7
204,7
192,6
10,0
9,4
8,8
900
817
13,5
30,6
30,7
28,2
2567
74,8
0,23
Level rata-rata
198,3
24,9
2 grup
dari 200 hingga 400 juta rubel
4,10,13,14
196,2
292,2
360,5
280,3
12,6
113,6
14,0
10,2
1200
1200
1290
44,4
49,6
64,8
33,3
1129,2
150,4
4590
192,1
0,25
Level rata-rata
282,3
37,6
1530
64,0
3 grup
dari 400 sampai
600 juta
2,3,5,6,7,9,11
592
465,5
584,1
480,0
578,5
466,8
423,1
22,8
18,4
22,0
119,0
21,6
19,4
17,6
1500
1412
1485
1420
1390
1375
1365
136,2
97,6
146,0
110,4
138,7
111,8
105,8
3590
240,8
9974
846,5
0,36
Level rata-rata
512,9
34,4
1421
120,9
Total secara agregat
5314,2
419,4
17131
1113,4
0,31
Rata-rata agregat
379,6
59,9
1223,6
79,5
Kesimpulan. Jadi, secara agregat yang dipertimbangkan, jumlah terbesar perusahaan dalam hal output jatuh ke dalam kelompok ketiga - tujuh, atau setengah dari perusahaan. Nilai rata-rata nilai tahunan aset tetap juga dalam kelompok ini, serta nilai besar dari jumlah rata-rata karyawan - 9974 orang, perusahaan dari kelompok pertama adalah yang paling tidak menguntungkan.
TUGAS 2
Kami memiliki data berikut tentang perusahaan perusahaan:
Jumlah perusahaan milik perusahaan
saya seperempat
kuartal II
Keluaran, ribuan rubel
Dikerjakan oleh working man-days
Output rata-rata per pekerja per hari, gosok.
59390,13
hingga 200 juta rubel
dari 200 hingga 400 juta rubel
Kebanyakan dari semua dalam persamaan. Dalam praktiknya, kita harus menggunakan rata-rata aritmatika, yang dapat dihitung sebagai rata-rata aritmatika sederhana dan berbobot.
Rata-rata aritmatika (CA)-n jenis media yang paling umum. Ini digunakan dalam kasus di mana volume atribut variabel untuk seluruh populasi adalah jumlah dari nilai atribut unit individualnya. Fenomena sosial dicirikan oleh penambahan (penjumlahan) volume atribut yang bervariasi, ini menentukan ruang lingkup SA dan menjelaskan prevalensinya sebagai indikator generalisasi, misalnya: dana gaji umum adalah jumlah gaji semua karyawan.
Untuk menghitung SA, Anda perlu membagi jumlah semua nilai fitur dengan jumlahnya. SA digunakan dalam 2 bentuk.
Pertimbangkan dulu mean aritmatika sederhana.
1-CA sederhana (awal, bentuk definisi) sama dengan jumlah sederhana dari nilai individual fitur rata-rata, dibagi dengan jumlah total nilai ini (digunakan ketika ada nilai indeks fitur yang tidak dikelompokkan):
Perhitungan yang dilakukan dapat diringkas dalam rumus berikut:
(1)
di mana 
- nilai rata-rata atribut variabel, yaitu mean aritmatika sederhana;
berarti penjumlahan, yaitu penambahan fitur individu;
x- nilai individu dari atribut variabel, yang disebut varian;
n - jumlah unit populasi
Contoh 1, diperlukan untuk mencari keluaran rata-rata seorang pekerja (tukang kunci), jika diketahui berapa suku cadang yang diproduksi masing-masing dari 15 pekerja, yaitu diberikan sejumlah ind. nilai sifat, pcs.: 21; dua puluh; dua puluh; 19; 21; 19; delapan belas; 22; 19; dua puluh; 21; dua puluh; delapan belas; 19; dua puluh.
SA sederhana dihitung dengan rumus (1), pcs.:
Contoh2. Mari kita hitung SA berdasarkan data bersyarat untuk 20 toko yang merupakan bagian dari perusahaan dagang (Tabel 1). Tabel 1
Distribusi toko-toko perusahaan perdagangan "Vesna" berdasarkan area perdagangan, sq. M
|
nomor toko |
nomor toko | ||
Untuk menghitung rata-rata luas toko ( 
) perlu untuk menjumlahkan area semua toko dan membagi hasilnya dengan jumlah toko:
Dengan demikian, rata-rata luas toko untuk kelompok usaha perdagangan ini adalah 71 sq.m.
Oleh karena itu, untuk menentukan SA sederhana, perlu untuk membagi jumlah semua nilai atribut yang diberikan dengan jumlah unit yang memiliki atribut ini.
2
di mana f 1
,
f 2
,
… ,f n
–
bobot (frekuensi pengulangan fitur yang sama); adalah jumlah produk dari besarnya fitur dan frekuensinya; adalah jumlah unit populasi.
(2)
Di mana X- pilihan;
f- frekuensi (berat).
Pembobotan SA adalah hasil bagi membagi jumlah produk varian dan frekuensi yang sesuai dengan jumlah semua frekuensi. Frekuensi ( f) yang muncul dalam rumus SA biasanya disebut timbangan, akibatnya SA dihitung dengan mempertimbangkan bobot disebut SA tertimbang.
Kami akan mengilustrasikan teknik untuk menghitung SA berbobot menggunakan contoh 1. Untuk melakukan ini, kami mengelompokkan data awal dan menempatkannya dalam Tabel.
Rata-rata dari data yang dikelompokkan ditentukan sebagai berikut: pertama, opsi dikalikan dengan frekuensi, kemudian produk ditambahkan dan jumlah yang dihasilkan dibagi dengan jumlah frekuensi.
Menurut rumus (2), SA tertimbang adalah, pcs.: 
P
Distribusi toko Vesna berdasarkan ruang ritel, sq. m
Dengan demikian, hasilnya sama. Namun, ini sudah akan menjadi rata-rata tertimbang aritmatika.
Dalam contoh sebelumnya, kami menghitung rata-rata aritmatika, asalkan frekuensi absolut (jumlah toko) diketahui. Namun, dalam beberapa kasus tidak ada frekuensi absolut, tetapi frekuensi relatif diketahui, atau, seperti yang biasa disebut, frekuensi yang menunjukkan proporsi atau proporsi frekuensi di seluruh populasi.
Saat menghitung penggunaan tertimbang SA frekuensi memungkinkan Anda untuk menyederhanakan perhitungan ketika frekuensi dinyatakan dalam angka multi-digit yang besar. Perhitungan dilakukan dengan cara yang sama, namun karena nilai rata-rata meningkat 100 kali lipat, hasilnya harus dibagi 100.
Maka rumus untuk rata-rata tertimbang aritmatika akan terlihat seperti:
di mana d- frekuensi, yaitu bagian dari setiap frekuensi dalam jumlah total semua frekuensi.
(3)Dalam contoh 2 kami, pertama-tama kami menentukan pangsa toko berdasarkan grup dalam jumlah total toko perusahaan "Musim Semi". Jadi, untuk kelompok pertama, berat jenis sesuai dengan 10% 
. Kami mendapatkan data berikut: Tabel3
Tanda-tanda satuan agregat statistik berbeda artinya, misalnya, upah pekerja dari satu profesi perusahaan tidak sama untuk jangka waktu yang sama, harga pasar untuk produk yang sama berbeda, hasil panen di pertanian dari daerah, dll. Oleh karena itu, untuk menentukan nilai suatu ciri ciri dari seluruh populasi unit yang diteliti, dihitung nilai rata-ratanya.
nilai rata-rata –
itu adalah karakteristik umum dari kumpulan nilai individu dari beberapa sifat kuantitatif.
Populasi yang diteliti dengan atribut kuantitatif terdiri dari nilai individu; mereka dipengaruhi oleh penyebab umum dan kondisi individu. Dalam nilai rata-rata, karakteristik penyimpangan dari nilai individu dibatalkan. Rata-rata, sebagai fungsi dari sekumpulan nilai individu, mewakili seluruh himpunan dengan satu nilai dan mencerminkan hal umum yang melekat pada semua unitnya.
Rata-rata yang dihitung untuk populasi yang terdiri dari unit-unit yang homogen secara kualitatif disebut rata-rata khas. Misalnya, Anda dapat menghitung gaji bulanan rata-rata seorang karyawan dari satu atau kelompok profesional lainnya (penambang, dokter, pustakawan). Tentu saja, tingkat upah bulanan para penambang, karena perbedaan kualifikasi, masa kerja, jam kerja per bulan dan banyak faktor lainnya, berbeda satu sama lain, dan dari tingkat upah rata-rata. Namun, tingkat rata-rata mencerminkan faktor utama yang mempengaruhi tingkat upah, dan saling mengimbangi perbedaan yang muncul karena karakteristik individu karyawan. Upah rata-rata mencerminkan tingkat upah tipikal untuk jenis pekerja ini. Memperoleh rata-rata tipikal harus didahului dengan analisis tentang bagaimana populasi ini secara kualitatif homogen. Jika populasi terdiri dari bagian-bagian yang terpisah, itu harus dibagi menjadi kelompok-kelompok yang khas (suhu rata-rata di rumah sakit).
Nilai rata-rata yang digunakan sebagai ciri-ciri populasi heterogen disebut rata-rata sistem. Misalnya, nilai rata-rata produk domestik bruto (PDB) per kapita, rata-rata konsumsi berbagai kelompok barang per orang dan nilai-nilai lain yang sejenis, yang merupakan ciri umum negara sebagai suatu sistem ekonomi tunggal.
Rata-rata harus dihitung untuk populasi yang terdiri dari jumlah unit yang cukup besar. Kepatuhan terhadap kondisi ini diperlukan agar hukum bilangan besar mulai berlaku, sebagai akibatnya penyimpangan acak dari jumlah individu dari tren umum membatalkan satu sama lain.
Jenis rata-rata dan metode untuk menghitungnya
Pilihan jenis rata-rata ditentukan oleh kandungan ekonomi dari indikator tertentu dan data awal. Namun, setiap nilai rata-rata harus dihitung sehingga ketika menggantikan setiap varian fitur rata-rata, final, generalisasi, atau, seperti yang biasa disebut, tidak berubah. indikator yang menentukan, yang berhubungan dengan rata-rata. Misalnya, saat mengganti kecepatan sebenarnya pada bagian jalur yang terpisah, kecepatan rata-ratanya tidak boleh mengubah total jarak yang ditempuh kendaraan dalam waktu yang sama; ketika mengganti upah aktual masing-masing karyawan perusahaan dengan upah rata-rata, dana upah tidak boleh berubah. Akibatnya, dalam setiap kasus tertentu, tergantung pada sifat data yang tersedia, hanya ada satu nilai rata-rata sebenarnya dari indikator yang memadai untuk sifat dan esensi dari fenomena sosial-ekonomi yang diteliti.
Yang paling umum digunakan adalah mean aritmatika, mean harmonik, mean geometrik, mean kuadrat, dan mean kubik.
Rata-rata yang terdaftar milik kelas kekuasaan rata-rata dan digabungkan dengan rumus umum:
,
di mana adalah nilai rata-rata dari sifat yang dipelajari;
m adalah eksponen dari mean;
– nilai saat ini (varian) dari fitur rata-rata;
n adalah jumlah fitur.
Bergantung pada nilai eksponen m, jenis rata-rata daya berikut dibedakan:
di m = -1 – rata-rata harmonik ;
di m = 0 – rata-rata geometrik ;
di m = 1 – rata-rata aritmatika;
di m = 2 – akar rata-rata kuadrat ;
pada m = 3 - rata-rata kubik.
Bila menggunakan data awal yang sama, semakin besar eksponen m pada rumus di atas, semakin besar nilai nilai rata-ratanya:
.
Properti hukum kekuasaan ini berarti meningkat dengan peningkatan eksponen dari fungsi yang mendefinisikan disebut aturan utama sarana.
Masing-masing dari rata-rata yang ditandai dapat mengambil dua bentuk: sederhana dan tertimbang.
Bentuk tengah yang sederhana berlaku ketika rata-rata dihitung pada data primer (tidak dikelompokkan). bentuk tertimbang– saat menghitung rata-rata untuk data sekunder (dikelompokkan).
Rata-rata aritmatika
Rata-rata aritmatika digunakan ketika volume populasi adalah jumlah dari semua nilai individu dari atribut yang bervariasi. Perlu dicatat bahwa jika jenis nilai rata-rata tidak ditentukan, rata-rata aritmatika diasumsikan. Rumus logikanya adalah: 
rata-rata aritmatika sederhana dihitung dengan data yang tidak dikelompokkan
menurut rumus: 
atau ,
di mana nilai-nilai individual dari fitur tersebut;
j adalah nomor urut unit pengamatan, yang ditandai dengan nilai ;
N adalah jumlah unit pengamatan (ukuran yang ditetapkan).
Contoh. Dalam kuliah “Ringkasan dan pengelompokan data statistik”, hasil mengamati pengalaman kerja tim yang terdiri dari 10 orang dipertimbangkan. Hitung rata-rata pengalaman kerja para pekerja brigade tersebut. 5, 3, 5, 4, 3, 4, 5, 4, 2, 4.
Menurut rumus rata-rata aritmatika sederhana, seseorang juga menghitung rata-rata kronologis, jika interval waktu di mana nilai karakteristik disajikan sama.
Contoh. Volume produk yang dijual untuk kuartal pertama sebesar 47 sarang. unit, untuk 54 kedua, untuk 65 ketiga dan untuk 58 ruang keempat. unit Omset triwulanan rata-rata adalah (47+54+65+58)/4 = 56 sarang. unit
Jika indikator sesaat diberikan dalam rangkaian kronologis, maka ketika menghitung rata-rata, mereka diganti dengan setengah jumlah nilai pada awal dan akhir periode.
Jika ada lebih dari dua momen dan interval antara keduanya sama, maka rata-rata dihitung dengan menggunakan rumus kronologis rata-rata.
,
di mana n adalah jumlah titik waktu
Ketika data dikelompokkan berdasarkan nilai atribut
(yaitu, deret distribusi variasi diskrit dibangun) dengan rata-rata aritmatika berbobot dihitung menggunakan frekuensi , atau frekuensi pengamatan nilai spesifik fitur , yang jumlahnya (k) secara signifikan lebih sedikit daripada jumlah pengamatan (N) .
,
,
di mana k adalah jumlah grup dari deret variasi,
i adalah jumlah grup dari deret variasi.
Sejak , dan , Kami memperoleh rumus yang digunakan untuk perhitungan praktis:
dan
Contoh. Mari kita hitung rata-rata masa kerja tim kerja untuk seri yang dikelompokkan.
a) menggunakan frekuensi:
b) menggunakan frekuensi:
Ketika data dikelompokkan berdasarkan interval
, yaitu disajikan dalam bentuk deret distribusi interval; ketika menghitung rata-rata aritmatika, pertengahan interval diambil sebagai nilai fitur, berdasarkan asumsi distribusi unit populasi yang seragam dalam interval ini. Perhitungan dilakukan sesuai dengan rumus:
dan
di mana adalah tengah interval: ,
di mana dan adalah batas bawah dan atas interval (asalkan batas atas interval ini bertepatan dengan batas bawah interval berikutnya).
Contoh. Mari kita hitung rata-rata aritmatika dari deret variasi interval yang dibangun dari hasil studi tentang upah tahunan 30 pekerja (lihat kuliah "Ringkasan dan pengelompokan data statistik").
Tabel 1 - Variasi interval deret distribusi.
Interval, UAH |
Frekuensi, pers. |
frekuensi, |
Pertengahan interval |
||
600-700 |
3 |
0,10 |
(600+700):2=650 |
1950 |
65 |
UAH atau 
UAH
Sarana aritmatika yang dihitung berdasarkan data awal dan seri variasi interval mungkin tidak bertepatan karena distribusi nilai atribut yang tidak merata dalam interval. Dalam hal ini, untuk perhitungan yang lebih akurat dari rata-rata tertimbang aritmatika, seseorang tidak boleh menggunakan bagian tengah interval, tetapi rata-rata sederhana aritmatika yang dihitung untuk setiap kelompok ( rata-rata grup). Rata-rata yang dihitung dari kelompok berarti menggunakan rumus perhitungan berbobot disebut Rata-rata umum.
Rata-rata aritmatika memiliki sejumlah sifat.
1. Jumlah deviasi varian dari mean adalah nol:
.
2. Jika semua nilai opsi bertambah atau berkurang sebesar nilai A, maka nilai rata-rata bertambah atau berkurang dengan nilai A yang sama: 
3. Jika setiap opsi bertambah atau berkurang sebanyak B kali, maka nilai rata-rata juga akan bertambah atau berkurang dengan jumlah yang sama:
atau 
4. Jumlah produk varian dengan frekuensi sama dengan produk nilai rata-rata dengan jumlah frekuensi: 
5. Jika semua frekuensi dibagi atau dikalikan dengan sembarang angka, maka rata-rata aritmatika tidak akan berubah: 
6) jika dalam semua interval frekuensinya sama satu sama lain, maka rata-rata aritmatika tertimbang sama dengan rata-rata aritmatika sederhana: 
,
di mana k adalah jumlah grup dalam deret variasi.
Menggunakan properti rata-rata memungkinkan Anda menyederhanakan perhitungannya.
Misalkan semua opsi (x) pertama-tama dikurangi dengan angka yang sama A, dan kemudian dikurangi dengan faktor B. Penyederhanaan terbesar dicapai ketika nilai tengah interval dengan frekuensi tertinggi dipilih sebagai A, dan nilai interval sebagai B (untuk baris dengan interval yang sama). Besaran A disebut asal, jadi cara menghitung rata-rata ini disebut cara b referensi ohm dari nol bersyarat atau cara saat.
Setelah transformasi seperti itu, kami memperoleh deret distribusi variasi baru, variannya sama dengan . Rata-rata aritmatika mereka, disebut momen orde pertama, dinyatakan oleh rumus dan menurut sifat kedua dan ketiga, rata-rata aritmatika sama dengan rata-rata versi aslinya, dikurangi pertama dengan A, dan kemudian B kali, yaitu .
Untuk mendapatkan rata-rata nyata(di tengah baris asli) Anda perlu mengalikan momen orde pertama dengan B dan menambahkan A: 
Perhitungan mean aritmatika dengan metode momen diilustrasikan oleh data pada Tabel. 2.
Tabel 2 - Distribusi karyawan toko perusahaan berdasarkan masa kerja
Pengalaman kerja, tahun |
jumlah pekerja |
Titik tengah interval |
|||
0 – 5 |
12 |
2,5 |
15 |
3 |
36 |
Menemukan momen orde pertama 
. Kemudian, mengetahui bahwa A = 17,5, dan B = 5, kami menghitung pengalaman kerja rata-rata pekerja toko:
bertahun-tahun
Harmonik rata-rata
Seperti ditunjukkan di atas, mean aritmatika digunakan untuk menghitung nilai rata-rata fitur dalam kasus di mana variannya x dan frekuensinya f diketahui.
Jika informasi statistik tidak mengandung frekuensi f untuk opsi individu x dari populasi, tetapi disajikan sebagai produknya , rumus diterapkan tertimbang harmonik rata-rata. Untuk menghitung rata-rata, tunjukkan , dari mana . Mengganti ekspresi ini ke dalam rumus rata-rata aritmatika tertimbang, kita memperoleh rumus rata-rata harmonik tertimbang: 
,
dimana adalah volume (berat) dari nilai atribut indikator pada interval dengan angka i (i=1,2, …, k).
Jadi, rata-rata harmonik digunakan dalam kasus di mana bukan opsi itu sendiri yang tunduk pada penjumlahan, tetapi kebalikannya: 
.
Dalam kasus di mana bobot setiap opsi sama dengan satu, mis. nilai individu dari fitur terbalik terjadi sekali, berlaku arti harmonik sederhana:
,
di mana varian individu dari sifat terbalik yang terjadi satu kali;
N adalah jumlah opsi.
Jika ada rata-rata harmonik untuk dua bagian populasi dengan jumlah dan, maka rata-rata total untuk seluruh populasi dihitung dengan rumus: 
dan disebut rata-rata harmonik tertimbang dari kelompok berarti.
Contoh. Tiga kesepakatan dibuat selama jam pertama perdagangan di bursa mata uang. Data jumlah penjualan hryvnia dan nilai tukar hryvnia terhadap dolar AS diberikan dalam Tabel. 3 (kolom 2 dan 3). Tentukan nilai tukar rata-rata hryvnia terhadap dolar AS untuk jam pertama perdagangan.
Tabel 3 - Data jalannya perdagangan di bursa mata uang
Nilai tukar dolar rata-rata ditentukan oleh rasio jumlah hryvnia yang dijual selama semua transaksi dengan jumlah dolar yang diperoleh sebagai hasil dari transaksi yang sama. Jumlah total penjualan hryvnia diketahui dari kolom 2 tabel, dan jumlah dolar yang dibeli dalam setiap transaksi ditentukan dengan membagi jumlah penjualan hryvnia dengan nilai tukarnya (kolom 4). Total $22 juta dibeli selama tiga transaksi. Ini berarti bahwa nilai tukar hryvnia rata-rata untuk satu dolar adalah 
.
Nilai yang dihasilkan adalah nyata, karena penggantian nilai tukar hryvnia yang sebenarnya dalam transaksi tidak akan mengubah jumlah total penjualan hryvnia, yang bertindak sebagai indikator yang menentukan: juta UAH
Jika mean aritmatika digunakan untuk perhitungan, mis. 
hryvnia, maka dengan nilai tukar untuk pembelian 22 juta dolar. UAH 110.660.000 harus dikeluarkan, yang tidak benar.
Rata-rata geometris
Rata-rata geometrik digunakan untuk menganalisis dinamika fenomena dan memungkinkan Anda untuk menentukan faktor pertumbuhan rata-rata. Saat menghitung rata-rata geometrik, nilai individu dari atribut adalah indikator relatif dari dinamika, dibangun dalam bentuk nilai rantai, sebagai rasio setiap level dengan yang sebelumnya.
Mean sederhana geometrik dihitung dengan rumus: 
,
di mana tanda produknya,
N adalah jumlah nilai rata-rata.
Contoh. Jumlah kejahatan terdaftar selama 4 tahun meningkat 1,57 kali, termasuk untuk yang pertama - sebesar 1,08 kali, untuk yang kedua - sebesar 1,1 kali, untuk yang ketiga - sebesar 1,18 dan yang keempat - 1,12 kali. Maka rata-rata tingkat pertumbuhan tahunan jumlah kejahatan adalah: , yaitu. Jumlah kejahatan terdaftar telah tumbuh rata-rata 12% setiap tahun.
1,8
-0,8
0,2
1,0
1,4
1
3
4
1
1
3,24
0,64
0,04
1
1,96
3,24
1,92
0,16
1
1,96
Untuk menghitung mean square weighted, kita tentukan dan masukkan dalam tabel dan. Maka nilai rata-rata penyimpangan panjang produk dari norma yang diberikan sama dengan: 
Rata-rata aritmatika dalam kasus ini tidak cocok, karena sebagai hasilnya, kita akan mendapatkan deviasi nol.
Penggunaan akar rata-rata kuadrat akan dibahas kemudian dalam eksponen variasi.
Dalam proses belajar matematika, siswa berkenalan dengan konsep mean aritmatika. Di masa depan, dalam statistik dan beberapa ilmu lainnya, siswa dihadapkan pada perhitungan yang lain, apa yang bisa mereka lakukan dan apa perbedaannya satu sama lain?
arti dan perbedaan
Tidak selalu indikator yang akurat memberikan pemahaman tentang situasi. Untuk menilai situasi ini atau itu, kadang-kadang perlu untuk menganalisis sejumlah besar angka. Dan kemudian rata-rata datang untuk menyelamatkan. Mereka memungkinkan Anda untuk menilai situasi secara umum.
Sejak masa sekolah, banyak orang dewasa mengingat keberadaan mean aritmatika. Sangat mudah untuk menghitung - jumlah barisan n suku habis dibagi n. Artinya, jika Anda perlu menghitung rata-rata aritmatika dalam urutan nilai 27, 22, 34 dan 37, maka Anda perlu menyelesaikan ekspresi (27 + 22 + 34 + 37) / 4, karena 4 nilai \u200b\u200bdigunakan dalam perhitungan. Dalam hal ini, nilai yang diinginkan akan sama dengan 30.
Seringkali, sebagai bagian dari kursus sekolah, rata-rata geometrik juga dipelajari. Perhitungan nilai ini didasarkan pada ekstraksi akar derajat ke-n dari hasil kali n suku. Jika kita mengambil angka yang sama: 27, 22, 34 dan 37, maka hasil perhitungannya adalah 29,4.
Rata-rata harmonik di sekolah pendidikan umum biasanya bukan subjek studi. Namun, itu cukup sering digunakan. Nilai ini adalah kebalikan dari mean aritmatika dan dihitung sebagai hasil bagi dari n - jumlah nilai dan jumlah 1/a 1 +1/a 2 +...+1/a n . Jika kita kembali mengambil hal yang sama untuk perhitungan, maka harmoniknya adalah 29,6.
Rata-rata Tertimbang: Fitur
Namun, semua nilai di atas mungkin tidak digunakan di mana-mana. Misalnya, dalam statistik, saat menghitung beberapa, "bobot" dari setiap angka yang digunakan dalam perhitungan memainkan peran penting. Hasilnya lebih terbuka dan benar karena memperhitungkan lebih banyak informasi. Kelompok nilai ini secara kolektif disebut sebagai "rata-rata tertimbang". Mereka tidak lulus di sekolah, jadi ada baiknya memikirkannya lebih detail.
Pertama-tama, perlu dijelaskan apa yang dimaksud dengan "bobot" dari suatu nilai tertentu. Cara termudah untuk menjelaskan ini adalah dengan contoh nyata. Suhu tubuh setiap pasien diukur dua kali sehari di rumah sakit. Dari 100 pasien di berbagai departemen rumah sakit, 44 akan memiliki suhu normal - 36,6 derajat. 30 lainnya akan memiliki nilai yang meningkat - 37,2, 14 - 38, 7 - 38,5, 3 - 39, dan dua sisanya - 40. Dan jika kita mengambil mean aritmatika, maka nilai ini secara umum untuk rumah sakit akan lebih dari 38 derajat ! Tetapi hampir setengah dari pasien benar-benar Dan di sini akan lebih tepat untuk menggunakan rata-rata tertimbang, dan "bobot" dari setiap nilai adalah jumlah orang. Dalam hal ini, hasil perhitungan akan menjadi 37,25 derajat. Perbedaannya jelas.
Dalam kasus perhitungan rata-rata tertimbang, "berat" dapat diambil sebagai jumlah pengiriman, jumlah orang yang bekerja pada hari tertentu, secara umum, apa pun yang dapat diukur dan mempengaruhi hasil akhir.
Varietas
Rata-rata tertimbang sesuai dengan rata-rata aritmatika yang dibahas di awal artikel. Namun, nilai pertama, seperti yang telah disebutkan, juga memperhitungkan bobot setiap angka yang digunakan dalam perhitungan. Selain itu juga terdapat nilai geometrik dan harmonik berbobot.
Ada lagi variasi menarik yang digunakan dalam rangkaian angka. Ini adalah rata-rata bergerak tertimbang. Atas dasar itulah tren dihitung. Selain nilai itu sendiri dan bobotnya, periodisitas juga digunakan di sana. Dan saat menghitung nilai rata-rata di beberapa titik waktu, nilai untuk periode waktu sebelumnya juga diperhitungkan.
Menghitung semua nilai ini tidak terlalu sulit, tetapi dalam praktiknya, hanya rata-rata tertimbang yang biasa digunakan.
Metode perhitungan
Di era komputerisasi, tidak perlu lagi menghitung rata-rata tertimbang secara manual. Namun, akan berguna untuk mengetahui rumus perhitungan sehingga Anda dapat memeriksa dan, jika perlu, mengoreksi hasil yang diperoleh.
Akan lebih mudah untuk mempertimbangkan perhitungan pada contoh tertentu.
Penting untuk mengetahui berapa upah rata-rata di perusahaan ini, dengan mempertimbangkan jumlah pekerja yang menerima gaji tertentu.
Jadi, perhitungan rata-rata tertimbang dilakukan dengan menggunakan rumus berikut:
x = (a 1 *w 1 +a 2 *w 2 +...+a n *w n)/(w 1 +w 2 +...+w n)
Misalnya, perhitungannya menjadi:
x = (32*20+33*35+34*14+40*6)/(20+35+14+6) = (640+1155+476+240)/75 = 33,48
Jelas, tidak ada kesulitan khusus dalam menghitung rata-rata tertimbang secara manual. Rumus untuk menghitung nilai ini di salah satu aplikasi paling populer dengan rumus - Excel - terlihat seperti fungsi SUMPRODUCT (rangkaian angka; rangkaian bobot) / SUM (rangkaian bobot).
