Kuliah: "Metode untuk memecahkan persamaan eksponensial."
1 . persamaan eksponensial.
Persamaan yang mengandung faktor yang tidak diketahui dalam eksponen disebut persamaan eksponensial. Yang paling sederhana adalah persamaan ax = b, di mana a > 0 dan a 1.
1) Untuk b< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 показательной функции, не имеет решения.
2) Untuk b > 0, menggunakan kemonotonan fungsi dan teorema akar, persamaan memiliki akar tunggal. Untuk menemukannya, b harus direpresentasikan sebagai b = aс, ax = bс ó x = c atau x = logab.
Persamaan eksponensial, melalui transformasi aljabar, menghasilkan persamaan standar, yang diselesaikan dengan menggunakan metode berikut:
1) metode pengurangan menjadi satu basis;
2) metode penilaian;
3) metode grafik;
4) metode pengenalan variabel baru;
5) metode faktorisasi;
6) eksponensial - persamaan daya;
7) eksponensial dengan parameter.
2 . Metode pengurangan menjadi satu basis.
Metode ini didasarkan pada properti derajat berikut: jika dua derajat sama dan alasnya sama, maka eksponennya sama, yaitu, persamaan harus dicoba untuk direduksi menjadi bentuk
Contoh. Selesaikan persamaan:
1 . 3x=81;
Mari kita nyatakan ruas kanan persamaan dalam bentuk 81 = 34 dan tulis persamaan yang ekuivalen dengan 3 x = 34; x = 4. Jawaban: 4.
2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49"> dan pergi ke persamaan untuk eksponen 3x+1 = 3 – 5x; 8x = 4; x = 0,5 Jawaban: 0,5
3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" width="105" height="47">
Perhatikan bahwa angka 0,2, 0,04, 5, dan 25 adalah pangkat dari 5. Mari kita manfaatkan ini dan ubah persamaan aslinya sebagai berikut:
,
dari mana 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x - 1 = - 2x - 2, dari mana kita menemukan solusi x = -1. Jawaban 1.
5. 3x = 5. Menurut definisi logaritma, x = log35. Jawaban: log35.
6. 62x+4 = 33x. 2x+8.
Mari kita tulis ulang persamaannya menjadi 32x+4.22x+4 = 32x.2x+8, i.e..png" width="181" height="49 src="> Jadi x - 4 =0, x = 4. Jawaban: empat.
7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. Dengan menggunakan sifat-sifat pangkat, kita tulis persamaannya dalam bentuk e.x+1 = 2, x =1. Jawaban 1.
Bank tugas No. 1.
Selesaikan persamaan:
Tes nomor 1.
1) 0 2) 4 3) -2 4) -4 |
|
A2 32x-8 = 3. | 1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4 |
A3 | 1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) tanpa akar |
1) 7;1 2) tidak ada akar 3) -7;1 4) -1;-7 |
|
A5 | 1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0 |
A6 | 1) -1 2) 0 3) 2 4) 1 |
Tes #2
A1 | 1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1 |
A2 | 1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11 |
A3 | 1) 2;-1 2) tidak ada akar 3) 0 4) -2;1 |
A4 | 1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2 |
A5 | 1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3 |
3 Metode penilaian.
Teorema akar: jika fungsi f (x) bertambah (menurun) pada interval I, bilangan a adalah sembarang nilai yang diambil oleh f pada interval ini, maka persamaan f (x) = a memiliki akar tunggal pada interval I.
Saat memecahkan persamaan dengan metode estimasi, teorema ini dan sifat monoton dari fungsi digunakan.
Contoh. Selesaikan Persamaan: 1. 4x = 5 - x.
Larutan. Mari kita tulis ulang persamaannya menjadi 4x + x = 5.
1. jika x \u003d 1, maka 41 + 1 \u003d 5, 5 \u003d 5 benar, maka 1 adalah akar persamaan.
Fungsi f(x) = 4x meningkat pada R dan g(x) = x meningkat pada R => h(x)= f(x)+g(x) meningkat pada R sebagai jumlah dari fungsi yang meningkat, jadi x = 1 adalah satu-satunya akar persamaan 4x = 5 – x. Jawaban 1.
2.
Larutan. Kami menulis ulang persamaan dalam bentuk 
.
1. jika x = -1, maka 
, 3 = 3-benar, jadi x = -1 adalah akar persamaan.
2. buktikan bahwa itu unik.
3. Fungsi f(x) = - berkurang pada R, dan g(x) = - x - berkurang pada R => h(x) = f(x) + g(x) - berkurang pada R, sebagai jumlah dari fungsi menurun. Jadi dengan teorema akar, x = -1 adalah satu-satunya akar persamaan. Jawaban 1.
Bank tugas No. 2. selesaikan persamaannya
a) 4x + 1 = 6 - x;
b) 
c) 2x – 2 =1 – x;
4. Metode untuk memperkenalkan variabel baru.
Metode ini dijelaskan di bagian 2.1. Pengenalan variabel baru (substitusi) biasanya dilakukan setelah transformasi (penyederhanaan) dari suku-suku persamaan. Pertimbangkan contoh.
Contoh.
R persamaan makan: 1.
.
Mari kita tulis ulang persamaan secara berbeda: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> i.e..png" width="210" height = "45">
Larutan. Mari kita tulis ulang persamaan secara berbeda: 
Tunjukkan https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> - tidak cocok.
t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> adalah persamaan irasional. Perhatikan bahwa 
Solusi persamaan tersebut adalah x = 2,5 4, jadi 2,5 adalah akar persamaan. Jawaban: 2.5.
Larutan. Mari kita tulis ulang persamaan dalam bentuk dan bagi kedua sisi dengan 56x+6 0. Kita mendapatkan persamaan
2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, jadi..png" width="118" height="56">
Akar persamaan kuadrat - t1 = 1 dan t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.
Larutan . Kami menulis ulang persamaan dalam bentuk
dan perhatikan bahwa itu adalah persamaan homogen tingkat kedua.
Bagi persamaan dengan 42x, kita dapatkan 
Ganti https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> .
Jawaban: 0; 0,5.
Bank Tugas #3. selesaikan persamaannya
b) 
G) 
Tes # 3 dengan pilihan jawaban. Tingkat minimal.
A1 | 1) -0,2;2 2) log52 3) –log52 4) 2 |
2 0,52x – 3 0,5x +2 = 0. | 1) 2;1 2) -1;0 3) tidak ada akar 4) 0 |
1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5 |
|
A4 52x-5x - 600 = 0. | 1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2 |
1) tidak ada akar 2) 2;4 3) 3 4) -1;2 |
Tes #4 dengan pilihan jawaban. tingkat umum.
A1 | 1) 2;1 2) ;0 3)2;0 4) 0 |
2 2x – (0.5)2x – (0.5)x + 1 = 0 | 1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1 |
1) 64 2) -14 3) 3 4) 8 |
|
1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0 |
|
A5 | 1) 0 2) 1 3) 0;1 4) tidak ada akar |
5. Metode faktorisasi.
1. Selesaikan persamaan: 5x+1 - 5x-1 = 24.
Solusi..png" width="169" height="69"> , dari mana
2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.
Larutan. Mari kita ambil 6x di ruas kiri persamaan, dan 2x di ruas kanan. Kita dapatkan persamaan 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x.
Karena 2x >0 untuk semua x, kita dapat membagi kedua ruas persamaan ini dengan 2x tanpa takut kehilangan solusi. Kita dapatkan 3x = 1ó x = 0.
3. 
Larutan. Kami memecahkan persamaan dengan memfaktorkan.
Kami memilih kuadrat binomial 
4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" width="500" height="181">
x = -2 adalah akar persamaan.
Persamaan x + 1 = 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">
A1 5x-1 +5x -5x+1 = -19.
1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1
A2 3x+1 +3x-1 =270.
1) 2 2) -4 3) 0 4) 4
A3 32x + 32x+1 -108 = 0. x=1,5
1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3
1) 1 2) -3 3) -1 4) 0
A5 2x -2x-4 = 15.x=4
1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2
Tes #6 tingkat umum.
A1 (22x-1)(24x+22x+1)=7. | 1) 2) 2 3) -1;3 4) 0.2 |
A2 | 1) 2.5 2) 3.4 3) log43/2 4) 0 |
A3 2x-1-3x=3x-1-2x+2. | 1) 2 2) -1 3) 3 4) -3 |
A4 | 1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4 |
A5 | 1) 2 2) -2 3) 5 4) 0 |
6. Eksponensial - persamaan pangkat.
Persamaan eksponensial digabungkan dengan apa yang disebut persamaan pangkat eksponensial, yaitu persamaan bentuk (f(x))g(x) = (f(x))h(x).
Jika diketahui bahwa f(x)>0 dan f(x) 1, maka persamaan tersebut, seperti persamaan eksponensial, diselesaikan dengan menyamakan eksponen g(x) = f(x).
Jika kondisi tidak mengecualikan kemungkinan f(x)=0 dan f(x)=1, maka kita harus mempertimbangkan kasus-kasus ini ketika menyelesaikan persamaan pangkat eksponensial.
1..png" width="182" height="116 src=">
2. 
Larutan. x2 +2x-8 - masuk akal untuk setiap x, karena polinomial, jadi persamaannya setara dengan himpunan
https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" width="137" height="35">
b) 
7. Persamaan eksponensial dengan parameter.
1. Untuk nilai parameter p berapa persamaan 4 (5 – 3) 2 +4p2–3p = 0 (1) memiliki solusi unik?
Larutan. Mari kita perkenalkan perubahannya 2x = t, t > 0, maka persamaan (1) akan berbentuk t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0. (2)
Diskriminan dari persamaan (2) adalah D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2.
Persamaan (1) memiliki solusi unik jika persamaan (2) memiliki satu akar positif. Ini dimungkinkan dalam kasus berikut.
1. Jika D = 0, yaitu p = 1, maka persamaan (2) akan berbentuk t2 – 2t + 1 = 0, maka t = 1, oleh karena itu, persamaan (1) memiliki solusi unik x = 0.
2. Jika p1, maka 9(p – 1)2 > 0, maka persamaan (2) memiliki dua akar yang berbeda t1 = p, t2 = 4p – 3. Himpunan sistem memenuhi kondisi masalah
Substitusikan t1 dan t2 ke dalam sistem, kita dapatkan
https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="(!LANG:no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}
Larutan. Membiarkan 
maka persamaan (3) akan berbentuk t2 – 6t – a = 0. (4)
Mari kita cari nilai parameter a yang setidaknya satu akar persamaan (4) memenuhi kondisi t > 0.
Mari kita perkenalkan fungsi f(t) = t2 – 6t – a. Kasus-kasus berikut mungkin terjadi.
https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант квадратного трехчлена f(t);!}
https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}
Kasus 2. Persamaan (4) memiliki solusi positif unik jika
D = 0, jika a = – 9, maka persamaan (4) akan berbentuk (t – 3)2 = 0, t = 3, x = – 1.
Kasus 3. Persamaan (4) memiliki dua akar, tetapi salah satunya tidak memenuhi pertidaksamaan t > 0. Hal ini dimungkinkan jika
https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="(!LANG:no35_17" width="267" height="63">!}
Jadi, pada a 0 persamaan (4) memiliki akar positif tunggal 
. Maka persamaan (3) memiliki solusi unik 
Untuk sebuah< – 9 уравнение (3) корней не имеет.
jika sebuah< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
jika a = – 9, maka x = – 1;
jika 0, maka
Mari kita bandingkan metode untuk menyelesaikan persamaan (1) dan (3). Perhatikan bahwa ketika menyelesaikan persamaan (1) direduksi menjadi persamaan kuadrat, diskriminannya adalah persegi penuh; dengan demikian, akar-akar persamaan (2) segera dihitung dengan rumus akar-akar persamaan kuadrat, dan kemudian ditarik kesimpulan mengenai akar-akar tersebut. Persamaan (3) direduksi menjadi persamaan kuadrat (4), yang diskriminannya bukan kuadrat sempurna, oleh karena itu, ketika menyelesaikan persamaan (3), disarankan untuk menggunakan teorema pada lokasi akar trinomial kuadrat dan sebuah model grafis. Perhatikan bahwa persamaan (4) dapat diselesaikan dengan menggunakan teorema Vieta.
Mari selesaikan persamaan yang lebih kompleks.
Tugas 3. Memecahkan persamaan 
Larutan. ODZ: x1, x2.
Mari kita perkenalkan penggantinya. Misalkan 2x = t, t > 0, maka sebagai hasil transformasi persamaan akan berbentuk t2 + 2t – 13 – a = 0. (*) Mari kita cari nilai a yang paling sedikit satu akarnya persamaan (*) memenuhi kondisi t > 0.
https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}
https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}
https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}
Jawaban: jika a > - 13, a 11, a 5, maka jika a - 13,
a = 11, a = 5, maka tidak ada akar.
Bibliografi.
1. Dasar-dasar teknologi pendidikan Guzeev.
2. Teknologi Guzeev: dari penerimaan hingga filosofi.
M. "Kepala Sekolah" No. 4, 1996
3. Guzeev dan bentuk organisasi pendidikan.
4. Guzeev dan praktik teknologi pendidikan integral.
M. "Pendidikan Rakyat", 2001
5. Guzeev dari bentuk pelajaran - seminar.
Matematika di sekolah No. 2, 1987, hlm. 9 - 11.
6. Teknologi pendidikan Selevko.
M. "Pendidikan Rakyat", 1998
7. Anak sekolah Episheva belajar matematika.
M. "Pencerahan", 1990
8. Ivanov untuk mempersiapkan pelajaran - lokakarya.
Matematika di Sekolah No. 6 Tahun 1990, hlm. 37-40.
9. Model pengajaran matematika Smirnov.
Matematika di Sekolah No. 1 Tahun 1997, hlm. 32-36.
10. Tarasenko cara mengatur kerja praktek.
Matematika di Sekolah No. 1, 1993, hlm. 27 - 28.
11. Tentang salah satu jenis pekerjaan individu.
Matematika di Sekolah No. 2 1994, hlm. 63 - 64.
12. Khazankin kemampuan kreatif anak sekolah.
Matematika di Sekolah No. 2, 1989, hlm. sepuluh.
13. Scanavi. Penerbit, 1997
14. dkk Aljabar dan awal mula analisis. Materi didaktik untuk
15. Tugas Krivonogov dalam matematika.
M. "Pertama September", 2002
16. Cherkasov. Buku pegangan untuk siswa sekolah menengah dan
memasuki universitas. "A S T - sekolah pers", 2002
17. Zhevnyak untuk pelamar ke universitas.
Minsk dan RF "Ulasan", 1996
18. Tertulis D. Mempersiapkan ujian matematika. M.Rolf, 1999
19. dan lain-lain Belajar menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan.
M. "Akal - Pusat", 2003
20. dan lain-lain Materi pendidikan dan pelatihan untuk persiapan E G E.
M. "Intellect - Center", 2003 dan 2004
21 dan lainnya Varian CMM. Pusat Pengujian Kementerian Pertahanan Federasi Rusia, 2002, 2003
22. Persamaan Goldberg. "Kuantum" No. 3, 1971
23. Volovich M. Bagaimana berhasil mengajar matematika.
Matematika, 1997 No. 3.
24 Okunev untuk pelajarannya, anak-anak! M. Pencerahan, 1988
25. Yakimanskaya - pendidikan berorientasi di sekolah.
26. Batasan bekerja di pelajaran. M. Pengetahuan, 1975
Pada tahap persiapan ujian akhir, siswa SMA perlu meningkatkan pengetahuannya pada topik “Persamaan Eksponensial”. Pengalaman beberapa tahun terakhir menunjukkan bahwa tugas-tugas seperti itu menyebabkan kesulitan tertentu bagi anak sekolah. Oleh karena itu, siswa sekolah menengah, terlepas dari tingkat persiapannya, perlu menguasai teori dengan cermat, menghafal rumus, dan memahami prinsip penyelesaian persamaan tersebut. Setelah belajar mengatasi jenis tugas ini, lulusan akan dapat mengandalkan nilai tinggi ketika lulus ujian matematika.
Bersiaplah untuk ujian ujian bersama dengan Shkolkovo!
Ketika mengulang materi yang dibahas, banyak siswa dihadapkan pada masalah menemukan rumus yang diperlukan untuk menyelesaikan persamaan. Buku teks sekolah tidak selalu tersedia, dan pemilihan informasi yang diperlukan tentang suatu topik di Internet membutuhkan waktu lama.
Portal pendidikan Shkolkovo mengundang siswa untuk menggunakan basis pengetahuan kami. Kami menerapkan metode persiapan yang benar-benar baru untuk ujian akhir. Belajar di situs kami, Anda akan dapat mengidentifikasi kesenjangan dalam pengetahuan dan memperhatikan dengan tepat tugas-tugas yang menyebabkan kesulitan terbesar.
Guru "Shkolkovo" mengumpulkan, mensistematisasikan, dan mempresentasikan semua materi yang diperlukan untuk keberhasilan ujian dalam bentuk yang paling sederhana dan mudah diakses.
Definisi dan rumus utama disajikan di bagian "Referensi Teoretis".
Untuk asimilasi materi yang lebih baik, kami sarankan Anda berlatih tugas. Tinjau dengan cermat contoh persamaan eksponensial dengan solusi yang disajikan di halaman ini untuk memahami algoritme penghitungan. Setelah itu, lanjutkan dengan tugas di bagian "Katalog". Anda dapat memulai dengan tugas yang paling mudah atau langsung menyelesaikan persamaan eksponensial kompleks dengan beberapa yang tidak diketahui atau . Basis data latihan di situs web kami terus ditambah dan diperbarui.
Contoh-contoh dengan indikator yang menyebabkan Anda kesulitan dapat ditambahkan ke "Favorit". Sehingga Anda dapat dengan cepat menemukannya dan mendiskusikan solusinya dengan guru.
Agar berhasil lulus ujian, belajarlah di portal Shkolkovo setiap hari!
Universitas Negeri Belgorod
KURSI aljabar, teori bilangan dan geometri
Tema kerja: Persamaan dan pertidaksamaan pangkat eksponensial.
pekerjaan lulusan mahasiswa Fakultas Fisika dan Matematika
Penasihat ilmiah:
______________________________
Pengulas: _______________________________
________________________
Belgorod. 2006
| pengantar | 3 | ||
| Tema SAYA. | Analisis literatur tentang topik penelitian. | ||
| Tema II. | Fungsi dan sifat-sifatnya digunakan dalam menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan pangkat eksponensial. | ||
| I.1. | Fungsi daya dan sifat-sifatnya. | ||
| I.2. | Fungsi eksponensial dan sifat-sifatnya. | ||
| Tema AKU AKU AKU. | Solusi persamaan pangkat eksponensial, algoritma dan contoh. | ||
| Tema IV. | Memecahkan ketidaksetaraan pangkat eksponensial, rencana solusi dan contoh. | ||
| Tema v. | Pengalaman memimpin kelas dengan anak-anak sekolah dengan topik: "Solusi persamaan dan pertidaksamaan pangkat eksponensial." | ||
| v. 1. | bahan ajar. | ||
| v. 2. | Tugas untuk solusi independen. | ||
| Kesimpulan. | Kesimpulan dan penawaran. | ||
| Bibliografi. | |||
| Aplikasi | |||
Pengantar.
"... kegembiraan melihat dan memahami ..."
A.Einstein.
Dalam karya ini, saya mencoba untuk menyampaikan pengalaman saya sebagai guru matematika, untuk menyampaikan, setidaknya sampai batas tertentu, sikap saya untuk mengajar itu - masalah manusia di mana ilmu matematika, pedagogi, didaktik, psikologi, dan bahkan filsafat secara mengejutkan. terjalin.
Saya memiliki kesempatan untuk bekerja dengan anak-anak dan lulusan, dengan anak-anak berdiri di kutub perkembangan intelektual: mereka yang terdaftar di psikiater dan yang benar-benar tertarik pada matematika
Saya harus memecahkan banyak masalah metodologis. Saya akan mencoba berbicara tentang yang berhasil saya pecahkan. Tetapi bahkan lebih - itu tidak mungkin, dan pada mereka yang tampaknya terselesaikan, pertanyaan baru muncul.
Tetapi yang lebih penting daripada pengalaman itu sendiri adalah refleksi dan keraguan guru: mengapa persis seperti ini, pengalaman ini?
Dan musim panas sekarang berbeda, dan pergantian pendidikan menjadi lebih menarik. "Di Bawah Jupiters" hari ini bukanlah pencarian sistem optimal mitos untuk mengajar "semua orang dan segalanya", tetapi anak itu sendiri. Tapi kemudian - dengan kebutuhan - dan guru.
Dalam kursus aljabar sekolah dan awal analisis, kelas 10 - 11, ketika lulus ujian untuk kursus sekolah menengah dan pada ujian masuk ke universitas, ada persamaan dan pertidaksamaan yang mengandung basis dan eksponen yang tidak diketahui - ini eksponensial -persamaan dan pertidaksamaan pangkat.
Sedikit perhatian diberikan kepada mereka di sekolah, praktis tidak ada tugas tentang topik ini di buku pelajaran. Namun, menguasai metodologi untuk menyelesaikannya, menurut saya, sangat berguna: itu meningkatkan kemampuan mental dan kreatif siswa, cakrawala yang sama sekali baru terbuka di hadapan kita. Ketika memecahkan masalah, siswa memperoleh keterampilan pertama pekerjaan penelitian, budaya matematika mereka diperkaya, dan kemampuan berpikir logis berkembang. Anak-anak sekolah mengembangkan ciri-ciri kepribadian seperti tujuan, penetapan tujuan, kemandirian, yang akan berguna bagi mereka di kemudian hari. Dan juga terjadi pengulangan, perluasan dan asimilasi materi pendidikan yang mendalam.
Saya mulai mengerjakan topik penelitian tesis saya ini dengan menulis makalah. Dalam perjalanan saya mempelajari dan menganalisis literatur matematika tentang topik ini secara lebih mendalam, saya mengidentifikasi metode yang paling tepat untuk memecahkan persamaan dan ketidaksetaraan pangkat eksponensial.
Itu terletak pada kenyataan bahwa selain pendekatan yang diterima secara umum ketika memecahkan persamaan pangkat eksponensial (basis diambil lebih besar dari 0) dan ketika memecahkan pertidaksamaan yang sama (basis diambil lebih besar dari 1 atau lebih besar dari 0, tetapi kurang dari 1), kasus juga dipertimbangkan ketika basis negatif, adalah 0 dan 1.
Analisis terhadap makalah ujian tertulis siswa menunjukkan bahwa kurangnya cakupan masalah nilai negatif argumen fungsi pangkat eksponensial dalam buku teks sekolah menyebabkan sejumlah kesulitan bagi mereka dan menyebabkan kesalahan. Dan mereka juga memiliki masalah pada tahap sistematisasi hasil yang diperoleh, di mana, karena transisi ke persamaan - konsekuensi atau ketidaksetaraan - konsekuensi, akar asing dapat muncul. Untuk menghilangkan kesalahan, kami menggunakan pemeriksaan pada persamaan atau pertidaksamaan asli dan algoritme untuk menyelesaikan persamaan pangkat eksponensial, atau rencana untuk menyelesaikan pertidaksamaan pangkat eksponensial.
Agar siswa berhasil lulus ujian akhir dan ujian masuk, saya pikir perlu lebih memperhatikan penyelesaian persamaan dan ketidaksetaraan pangkat eksponensial di kelas, atau tambahan di pilihan dan lingkaran.
Lewat sini tema , tesis saya didefinisikan sebagai berikut: "Persamaan dan pertidaksamaan pangkat eksponensial."
Sasaran dari pekerjaan ini adalah:
1. Analisis literatur tentang topik ini.
2. Berikan analisis lengkap dari solusi persamaan dan pertidaksamaan pangkat eksponensial.
3. Berikan cukup banyak contoh tentang topik ini dari berbagai jenis.
4. Periksa di kelas, kelas opsional dan lingkaran bagaimana metode yang diusulkan untuk memecahkan persamaan dan ketidaksetaraan pangkat eksponensial akan dirasakan. Berikan rekomendasi yang sesuai untuk studi topik ini.
Subjek penelitian kami adalah mengembangkan teknik untuk memecahkan persamaan dan pertidaksamaan pangkat eksponensial.
Tujuan dan subjek penelitian membutuhkan solusi dari tugas-tugas berikut:
1. Pelajari literatur tentang topik: "Persamaan dan pertidaksamaan pangkat eksponensial."
2. Kuasai metode penyelesaian persamaan dan pertidaksamaan pangkat eksponensial.
3. Pilih materi pelatihan dan kembangkan sistem latihan pada tingkat yang berbeda dengan topik: "Memecahkan persamaan dan pertidaksamaan pangkat eksponensial."
Selama penelitian tesis, lebih dari 20 makalah yang ditujukan untuk penerapan berbagai metode untuk memecahkan persamaan dan pertidaksamaan pangkat eksponensial dianalisis. Dari sini kita dapatkan.
Rencana tesis:
Pengantar.
Bab I. Analisis kepustakaan tentang topik penelitian.
Bab II. Fungsi dan sifat-sifatnya digunakan dalam menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan pangkat eksponensial.
II.1. Fungsi daya dan sifat-sifatnya.
II.2. Fungsi eksponensial dan sifat-sifatnya.
Bab III. Solusi persamaan pangkat eksponensial, algoritma dan contoh.
Bab IV. Memecahkan ketidaksetaraan pangkat eksponensial, rencana solusi dan contoh.
Bab V. Pengalaman memimpin kelas dengan anak sekolah tentang topik ini.
1. Materi pendidikan.
2. Tugas untuk solusi independen.
Kesimpulan. Kesimpulan dan penawaran.
Daftar literatur yang digunakan.
Literatur dianalisis dalam Bab I
Pelajaran ini ditujukan bagi mereka yang baru mulai belajar persamaan eksponensial. Seperti biasa, mari kita mulai dengan definisi dan contoh sederhana.
Jika Anda membaca pelajaran ini, maka saya menduga Anda sudah memiliki setidaknya pemahaman minimal tentang persamaan paling sederhana - linier dan kuadrat: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$ dll. Untuk dapat menyelesaikan konstruksi semacam itu mutlak diperlukan agar tidak “menggantung” pada topik yang akan dibahas sekarang.
Jadi, persamaan eksponensial. Biarkan saya memberi Anda beberapa contoh:
\[((2)^(x))=4;\quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x))=- 3\]
Beberapa dari mereka mungkin tampak lebih rumit bagi Anda, beberapa di antaranya, sebaliknya, terlalu sederhana. Tapi semuanya disatukan oleh satu fitur penting: mereka berisi fungsi eksponensial $f\left(x \right)=((a)^(x))$. Jadi, kami memperkenalkan definisi:
Persamaan eksponensial adalah persamaan apa pun yang mengandung fungsi eksponensial, mis. ekspresi dari bentuk $((a)^(x))$. Selain fungsi yang ditentukan, persamaan tersebut dapat berisi konstruksi aljabar lainnya - polinomial, akar, trigonometri, logaritma, dll.
Oke kalau begitu. Dipahami definisinya. Sekarang pertanyaannya adalah: bagaimana menyelesaikan semua omong kosong ini? Jawabannya sederhana dan kompleks pada saat bersamaan.
Mari kita mulai dengan kabar baik: dari pengalaman saya dengan banyak siswa, saya dapat mengatakan bahwa bagi sebagian besar dari mereka, persamaan eksponensial jauh lebih mudah daripada logaritma yang sama, dan terlebih lagi trigonometri.
Tetapi ada juga berita buruk: kadang-kadang penyusun masalah untuk semua jenis buku teks dan ujian dikunjungi oleh "inspirasi", dan otak mereka yang meradang obat mulai menghasilkan persamaan brutal sehingga menjadi masalah tidak hanya bagi siswa untuk menyelesaikannya - bahkan banyak guru terjebak pada masalah seperti itu.
Namun, mari kita tidak membicarakan hal-hal yang menyedihkan. Dan mari kembali ke tiga persamaan yang diberikan di awal cerita. Mari kita coba selesaikan masing-masing.
Persamaan pertama: $((2)^(x))=4$. Nah, hingga angka 2 harus dipangkatkan untuk mendapatkan angka 4? Mungkin yang kedua? Bagaimanapun, $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ — dan kita telah memperoleh persamaan numerik yang benar, yaitu. memang $x=2$. Terima kasih, tutup, tetapi persamaan ini sangat sederhana sehingga bahkan kucing saya pun dapat menyelesaikannya. :)
Mari kita lihat persamaan berikut:
\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]
Tapi di sini sedikit lebih sulit. Banyak siswa yang tahu bahwa $((5)^(2))=25$ adalah tabel perkalian. Beberapa juga menduga bahwa $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ pada dasarnya adalah definisi eksponen negatif (mirip dengan rumus $((a)^(-n))= \ frac(1)(((a)^(n)))$).
Akhirnya, hanya beberapa tebakan terpilih bahwa fakta-fakta ini dapat digabungkan dan hasilnya adalah sebagai berikut:
\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]
Dengan demikian, persamaan awal kami akan ditulis ulang sebagai berikut:
\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\Panah kanan ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]
Dan sekarang ini sudah sepenuhnya terpecahkan! Di sisi kiri persamaan ada fungsi eksponensial, di sisi kanan persamaan ada fungsi eksponensial, tidak ada apa-apa selain mereka di tempat lain. Oleh karena itu, adalah mungkin untuk "membuang" pangkalan dan dengan bodoh menyamakan indikatornya:
Kami mendapatkan persamaan linier paling sederhana yang dapat diselesaikan oleh siswa mana pun hanya dalam beberapa baris. Oke, dalam empat baris:
\[\begin(align)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\end(align)\]
Jika Anda tidak mengerti apa yang terjadi di empat baris terakhir, pastikan untuk kembali ke topik "persamaan linier" dan ulangi. Karena tanpa asimilasi yang jelas dari topik ini, terlalu dini bagi Anda untuk mengambil persamaan eksponensial.
\[((9)^(x))=-3\]
Nah, bagaimana Anda memutuskan? Pikiran pertama: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, jadi persamaan aslinya dapat ditulis ulang seperti ini:
\[((\left(((3)^(2)) \kanan))^(x))=-3\]
Kemudian kita ingat bahwa ketika menaikkan derajat ke pangkat, indikatornya dikalikan:
\[((\left(((3)^(2)) \kanan))^(x))=((3)^(2x))\Panah kanan ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]
\[\begin(align)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end(align)\]
Dan untuk keputusan seperti itu, kami mendapatkan deuce yang benar-benar layak. Karena kami, dengan keseimbangan Pokemon, mengirim tanda minus di depan ketiganya ke pangkat tiga ini. Dan Anda tidak bisa melakukan itu. Dan itulah kenapa. Lihatlah kekuatan yang berbeda dari triple:
\[\begin(matriks) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(matriks)\]
Mengkompilasi tablet ini, saya tidak menyimpang segera setelah saya melakukannya: Saya menganggap derajat positif, dan yang negatif, dan bahkan yang pecahan ... yah, di mana setidaknya satu angka negatif di sini? Ia tidak! Dan tidak mungkin, karena fungsi eksponensial $y=((a)^(x))$, pertama, selalu hanya mengambil nilai positif (tidak peduli berapa banyak Anda mengalikan satu atau membagi dua, itu akan tetap menjadi bilangan positif), dan kedua, basis dari fungsi tersebut, bilangan $a$, menurut definisi adalah bilangan positif!
Nah, bagaimana cara menyelesaikan persamaan $((9)^(x))=-3$? Tidak, tidak ada akar. Dan dalam hal ini, persamaan eksponensial sangat mirip dengan persamaan kuadrat - mungkin juga tidak ada akar. Tetapi jika dalam persamaan kuadrat jumlah akar ditentukan oleh diskriminan (diskriminan adalah positif - 2 akar, negatif - tidak ada akar), maka dalam persamaan eksponensial semuanya tergantung pada apa yang ada di sebelah kanan tanda sama dengan.
Jadi, kami merumuskan kesimpulan kuncinya: persamaan eksponensial paling sederhana dari bentuk $((a)^(x))=b$ memiliki akar jika dan hanya jika $b>0$. Mengetahui fakta sederhana ini, Anda dapat dengan mudah menentukan apakah persamaan yang diajukan kepada Anda memiliki akar atau tidak. Itu. apakah layak untuk diselesaikan sama sekali atau segera tuliskan bahwa tidak ada akar.
Pengetahuan ini akan membantu kita berkali-kali ketika kita harus memecahkan masalah yang lebih kompleks. Sementara itu, cukup lirik - saatnya mempelajari algoritma dasar untuk menyelesaikan persamaan eksponensial.
Bagaimana menyelesaikan persamaan eksponensial
Jadi, mari kita rumuskan masalahnya. Persamaan eksponensial harus diselesaikan:
\[((a)^(x))=b,\quad a,b>0\]
Menurut algoritma "naif" yang kita gunakan sebelumnya, perlu untuk merepresentasikan bilangan $b$ sebagai pangkat dari bilangan $a$:
Selain itu, jika ada ekspresi selain variabel $x$, kita akan mendapatkan persamaan baru yang sudah dapat diselesaikan. Sebagai contoh:
\[\begin(align)& ((2)^(x))=8\Panah kanan ((2)^(x))=((2)^(3))\Panah kanan x=3; \\& ((3)^(-x))=81\Panah kanan ((3)^(-x))=((3)^(4))\Panah kanan -x=4\Panah kanan x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\Panah kanan ((5)^(2x))=((5)^(3))\Panah kanan 2x=3\Panah kanan x=\frac(3)( 2). \\\akhir(sejajarkan)\]
Dan anehnya, skema ini bekerja di sekitar 90% kasus. Lalu bagaimana dengan 10% lainnya? 10% sisanya adalah persamaan eksponensial "skizofrenia" dalam bentuk:
\[((2)^(x))=3;\quad ((5)^(x))=15;\quad ((4)^(2x))=11\]
Untuk kekuatan apa yang Anda butuhkan untuk meningkatkan 2 untuk mendapatkan 3? pertama? Tapi tidak: $((2)^(1))=2$ tidak cukup. Di kedua? Baik: $((2)^(2))=4$ terlalu banyak. Lalu bagaimana?
Siswa yang berpengetahuan mungkin sudah menebak: dalam kasus seperti itu, ketika tidak mungkin untuk menyelesaikan "dengan indah", "artileri berat" terhubung ke kasing - logaritma. Biarkan saya mengingatkan Anda bahwa menggunakan logaritma, bilangan positif apa pun dapat direpresentasikan sebagai pangkat dari bilangan positif lainnya (dengan pengecualian satu):
Ingat rumus ini? Ketika saya memberi tahu siswa saya tentang logaritma, saya selalu memperingatkan Anda: rumus ini (juga merupakan identitas logaritma dasar atau, jika Anda suka, definisi logaritma) akan menghantui Anda untuk waktu yang sangat lama dan "muncul" di sebagian besar tempat-tempat yang tidak terduga. Yah, dia muncul. Mari kita lihat persamaan kita dan rumus ini:
\[\begin(align)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end(align) \]
Jika kita berasumsi bahwa $a=3$ adalah bilangan asli kita di sebelah kanan, dan $b=2$ adalah dasar dari fungsi eksponensial yang kita ingin kurangi ruas kanannya, kita mendapatkan yang berikut:
\[\begin(align)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\Rightarrow 3=((2)^(((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\Panah kanan ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\Panah kanan x=( (\log )_(2))3. \\\akhir(sejajarkan)\]
Kami mendapat jawaban yang agak aneh: $x=((\log )_(2))3$. Dalam beberapa tugas lain, dengan jawaban seperti itu, banyak yang akan ragu dan mulai memeriksa kembali solusi mereka: bagaimana jika ada kesalahan di suatu tempat? Saya segera menyenangkan Anda: tidak ada kesalahan di sini, dan logaritma di akar persamaan eksponensial adalah situasi yang cukup umum. Jadi biasakan. :)
Sekarang kita selesaikan dengan analogi dua persamaan yang tersisa:
\[\begin(align)& ((5)^(x))=15\Panah kanan ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \Panah kanan x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Panah kanan ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11))\Panah kanan 2x=( (\log )_(4))11\Panah kanan x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\akhir(sejajarkan)\]
Itu saja! Omong-omong, jawaban terakhir dapat ditulis secara berbeda:
Kamilah yang memperkenalkan pengganda ke dalam argumen logaritma. Tetapi tidak ada yang mencegah kami menambahkan faktor ini ke basis:
Selain itu, ketiga opsi itu benar - hanya berbeda bentuk penulisan angka yang sama. Yang mana yang harus dipilih dan ditulis dalam keputusan ini terserah Anda.
Jadi, kita telah belajar untuk menyelesaikan persamaan eksponensial dalam bentuk $((a)^(x))=b$, di mana bilangan $a$ dan $b$ benar-benar positif. Namun, kenyataan pahit dunia kita sedemikian rupa sehingga tugas-tugas sederhana seperti itu akan sangat jarang ditemui. Lebih sering Anda akan menemukan sesuatu seperti ini:
\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\akhir(sejajarkan)\]
Nah, bagaimana Anda memutuskan? Bisakah ini diselesaikan sama sekali? Dan jika demikian, bagaimana?
Jangan panik. Semua persamaan ini dengan cepat dan sederhana direduksi menjadi formula sederhana yang telah kita pertimbangkan. Anda hanya perlu tahu untuk mengingat beberapa trik dari kursus aljabar. Dan tentu saja, tidak ada aturan untuk bekerja dengan gelar di sini. Saya akan berbicara tentang semua ini sekarang. :)
Transformasi persamaan eksponensial
Hal pertama yang harus diingat adalah bahwa setiap persamaan eksponensial, tidak peduli betapa rumitnya itu, dengan satu atau lain cara harus direduksi menjadi persamaan yang paling sederhana - persamaan yang telah kita pertimbangkan dan yang kita tahu bagaimana menyelesaikannya. Dengan kata lain, skema untuk menyelesaikan persamaan eksponensial terlihat seperti ini:
- Tuliskan persamaan aslinya. Misalnya: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
- Lakukan hal bodoh. Atau bahkan omong kosong yang disebut "mengubah persamaan";
- Pada output, dapatkan ekspresi paling sederhana seperti $((4)^(x))=4$ atau yang lainnya seperti itu. Selain itu, satu persamaan awal dapat memberikan beberapa ekspresi seperti itu sekaligus.
Dengan poin pertama, semuanya jelas - bahkan kucing saya dapat menulis persamaan di atas daun. Dengan poin ketiga juga, tampaknya, kurang lebih jelas - kita telah memecahkan sejumlah besar persamaan di atas.
Tapi bagaimana dengan poin kedua? Apa saja transformasinya? Apa yang harus diubah menjadi apa? Dan bagaimana?
Nah, mari kita cari tahu. Pertama-tama, saya ingin menunjukkan hal berikut. Semua persamaan eksponensial dibagi menjadi dua jenis:
- Persamaan tersebut terdiri dari fungsi eksponensial dengan basis yang sama. Contoh: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
- Rumus berisi fungsi eksponensial dengan basis yang berbeda. Contoh: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ dan $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09$.
Mari kita mulai dengan persamaan tipe pertama - persamaan tersebut adalah yang paling mudah untuk dipecahkan. Dan dalam solusi mereka kami akan dibantu oleh teknik seperti pemilihan ekspresi stabil.
Menyoroti ekspresi yang stabil
Mari kita lihat persamaan ini lagi:
\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]
Apa yang kita lihat? Keempatnya dinaikkan ke derajat yang berbeda. Tetapi semua pangkat ini adalah jumlah sederhana dari variabel $x$ dengan angka lain. Karena itu, perlu diingat aturan untuk bekerja dengan gelar:
\[\begin(align)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))(((a )^(y))). \\\akhir(sejajarkan)\]
Sederhananya, penambahan eksponen dapat dikonversi menjadi produk kekuatan, dan pengurangan mudah diubah menjadi pembagian. Mari kita coba menerapkan rumus ini pada pangkat dari persamaan kita:
\[\begin(align)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\akhir(sejajarkan)\]
Kami menulis ulang persamaan asli dengan mempertimbangkan fakta ini, dan kemudian kami mengumpulkan semua istilah di sebelah kiri:
\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -sebelas; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\akhir(sejajarkan)\]
Empat suku pertama berisi elemen $((4)^(x))$ — mari kita keluarkan dari tanda kurung:
\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)=-11. \\\akhir(sejajarkan)\]
Tetap membagi kedua bagian persamaan dengan pecahan $-\frac(11)(4)$, mis. pada dasarnya kalikan dengan pecahan terbalik - $-\frac(4)(11)$. Kita mendapatkan:
\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \kanan); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\&x=1. \\\akhir(sejajarkan)\]
Itu saja! Kami mengurangi persamaan asli menjadi yang paling sederhana dan mendapatkan jawaban akhir.
Pada saat yang sama, dalam proses penyelesaian, kami menemukan (dan bahkan mengeluarkan dari kurung) faktor persekutuan $((4)^(x))$ - ini adalah ekspresi stabil. Itu dapat ditunjuk sebagai variabel baru, atau Anda bisa mengekspresikannya secara akurat dan mendapatkan jawaban. Bagaimanapun, prinsip kunci dari solusi adalah sebagai berikut:
Temukan dalam persamaan asli ekspresi stabil yang berisi variabel yang mudah dibedakan dari semua fungsi eksponensial.
Kabar baiknya adalah bahwa hampir setiap persamaan eksponensial mengakui ekspresi yang begitu stabil.
Tapi ada juga kabar buruk: ekspresi seperti itu bisa sangat rumit, dan bisa sangat sulit untuk membedakannya. Jadi mari kita lihat masalah lain:
\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]
Mungkin seseorang sekarang akan memiliki pertanyaan: “Pasha, apakah kamu dirajam? Berikut adalah basis yang berbeda - 5 dan 0.2. Tapi mari kita coba untuk mengubah kekuatan dengan basis 0.2. Misalnya, mari kita singkirkan pecahan desimal, menjadikannya seperti biasa:
\[(((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\left(x+1 \right))))=((\left(\frac(2)(10 ) \kanan))^(-\kiri(x+1 \kanan)))=((\kiri(\frac(1)(5) \kanan))^(-\kiri(x+1 \kanan)) )\]
Seperti yang Anda lihat, angka 5 masih muncul, meskipun dalam penyebut. Pada saat yang sama, indikator ditulis ulang sebagai negatif. Dan sekarang kita mengingat salah satu aturan terpenting untuk bekerja dengan gelar:
\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\Panah kanan ((\left(\frac(1)(5) \kanan))^( -\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \right))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]
Di sini, tentu saja, saya sedikit curang. Karena untuk pemahaman yang lengkap, rumus menghilangkan indikator negatif harus ditulis sebagai berikut:
\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\left(\frac(1)(a) \kanan))^(n ))\Panah kanan ((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right))))=((\left(\frac(5)(1) \ kanan))^(x+1))=((5)^(x+1))\]
Di sisi lain, tidak ada yang menghalangi kami untuk bekerja hanya dengan satu fraksi:
\[((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right))))=((\left(((5)^(-1)) \ kanan))^(-\kiri(x+1 \kanan)))=((5)^(\kiri(-1 \kanan)\cdot \kiri(-\kiri(x+1 \kanan) \kanan) ))=((5)^(x+1))\]
Tetapi dalam hal ini, Anda harus dapat menaikkan gelar ke tingkat lain (saya ingatkan Anda: dalam hal ini, indikatornya ditambahkan). Tetapi saya tidak perlu "membalik" pecahan - mungkin bagi seseorang itu akan lebih mudah. :)
Bagaimanapun, persamaan eksponensial asli akan ditulis ulang sebagai:
\[\begin(align)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\akhir(sejajarkan)\]
Jadi ternyata persamaan aslinya bahkan lebih mudah untuk diselesaikan daripada yang sebelumnya dipertimbangkan: di sini Anda bahkan tidak perlu memilih ekspresi yang stabil - semuanya telah dikurangi dengan sendirinya. Tetap hanya untuk mengingat bahwa $1=((5)^(0))$, dari mana kita mendapatkan:
\[\begin(align)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\&x+2=0; \\&x=-2. \\\akhir(sejajarkan)\]
Itulah seluruh solusi! Kami mendapat jawaban akhir: $x=-2$. Pada saat yang sama, saya ingin mencatat satu trik yang sangat menyederhanakan semua perhitungan untuk kami:
Dalam persamaan eksponensial, pastikan untuk menyingkirkan pecahan desimal, terjemahkan menjadi pecahan biasa. Ini akan memungkinkan Anda untuk melihat basis derajat yang sama dan sangat menyederhanakan solusinya.
Sekarang mari kita beralih ke persamaan yang lebih kompleks di mana ada basis yang berbeda, yang umumnya tidak dapat direduksi satu sama lain menggunakan kekuatan.
Menggunakan properti eksponen
Biarkan saya mengingatkan Anda bahwa kami memiliki dua persamaan yang lebih keras:
\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\akhir(sejajarkan)\]
Kesulitan utama di sini adalah tidak jelas apa dan atas dasar apa untuk memimpin. Di mana ekspresi tetap? Di mana alasan umum? Tidak ada ini.
Tapi mari kita coba ke arah lain. Jika tidak ada basis identik yang siap pakai, Anda dapat mencoba mencarinya dengan memfaktorkan basis yang tersedia.
Mari kita mulai dengan persamaan pertama:
\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\Panah kanan ((21)^(3x))=((\kiri(7\cdot 3 \kanan))^(3x))=((7)^(3x))\ cdot ((3)^(3x)). \\\akhir(sejajarkan)\]
Tetapi Anda dapat melakukan yang sebaliknya - buat angka 21 dari angka 7 dan 3. Sangat mudah untuk melakukan ini di sebelah kiri, karena indikator kedua derajat sama:
\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \right))^(x+ 6 ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\&x+6=3x; \\& 2x=6; \\& x=3. \\\akhir(sejajarkan)\]
Itu saja! Anda mengeluarkan eksponen dari produk dan segera mendapatkan persamaan indah yang dapat diselesaikan dalam beberapa baris.
Sekarang mari kita berurusan dengan persamaan kedua. Di sini semuanya jauh lebih rumit:
\[((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09\]
\[((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(27)(10) \kanan))^(1-x))=\frac(9)(100)\]
Dalam hal ini, pecahan ternyata tidak dapat direduksi, tetapi jika sesuatu dapat dikurangi, pastikan untuk menguranginya. Ini akan sering menghasilkan alasan menarik yang sudah dapat Anda kerjakan.
Sayangnya, kami belum menemukan apa pun. Tetapi kita melihat bahwa eksponen di sebelah kiri produk adalah kebalikannya:
Biarkan saya mengingatkan Anda: untuk menghilangkan tanda minus pada eksponen, Anda hanya perlu "membalik" pecahan. Jadi mari kita tulis ulang persamaan aslinya:
\[\begin(align)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9 )(100); \\& ((\left(100\cdot \frac(10)(27) \kanan))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\left(\frac(1000)(27) \kanan))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\akhir(sejajarkan)\]
Pada baris kedua, kita hanya mengurung total dari hasil kali menurut aturan $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a\cdot b \right ))^ (x))$, dan yang terakhir mereka cukup mengalikan angka 100 dengan pecahan.
Sekarang perhatikan bahwa angka-angka di sebelah kiri (di dasar) dan di sebelah kanan agak mirip. Bagaimana? Ya, jelas: mereka adalah kekuatan dengan angka yang sama! Kita punya:
\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\left(\frac( 10)(3) \kanan))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=((\left(\frac(3)(10) \kanan))^(2)). \\\akhir(sejajarkan)\]
Dengan demikian, persamaan kita akan ditulis ulang sebagai berikut:
\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \kanan))^(3)) \kanan)))^(x-1))=((\left(\frac(3 )(10) \kanan))^(2))\]
\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \kanan))^(3)) \kanan)))^(x-1))=((\left(\frac(10 )(3) \kanan))^(3\kiri(x-1 \kanan)))=((\kiri(\frac(10)(3) \kanan))^(3x-3))\]
Pada saat yang sama, di sebelah kanan, Anda juga bisa mendapatkan gelar dengan basis yang sama, yang cukup untuk "membalik" pecahan:
\[((\left(\frac(3)(10) \kanan))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \kanan))^(-2))\]
Akhirnya, persamaan kita akan berbentuk:
\[\begin(align)& ((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \right)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\akhir(sejajarkan)\]
Itulah seluruh solusi. Ide utamanya bermuara pada fakta bahwa bahkan dengan alasan yang berbeda, kami mencoba dengan cara apa pun untuk mengurangi alasan ini menjadi alasan yang sama. Dalam hal ini kita dibantu oleh transformasi dasar persamaan dan aturan untuk bekerja dengan kekuatan.
Tapi aturan apa dan kapan harus digunakan? Bagaimana memahami bahwa dalam satu persamaan Anda perlu membagi kedua sisi dengan sesuatu, dan di yang lain - untuk memfaktorkan basis fungsi eksponensial?
Jawaban atas pertanyaan ini akan datang dengan pengalaman. Cobalah tangan Anda pada awalnya pada persamaan sederhana, dan kemudian secara bertahap memperumit tugas - dan segera keterampilan Anda akan cukup untuk menyelesaikan persamaan eksponensial apa pun dari USE yang sama atau pekerjaan independen / tes apa pun.
Dan untuk membantu Anda dalam tugas yang sulit ini, saya sarankan mengunduh satu set persamaan di situs web saya untuk solusi independen. Semua persamaan memiliki jawaban, jadi Anda selalu dapat memeriksanya sendiri.
Dalam pelajaran ini, kita akan mempertimbangkan solusi persamaan eksponensial yang lebih kompleks, mengingat ketentuan teoritis utama mengenai fungsi eksponensial.
1. Definisi dan sifat-sifat fungsi eksponensial, teknik untuk menyelesaikan persamaan eksponensial paling sederhana
Ingat definisi dan sifat utama dari fungsi eksponensial. Pada sifat-sifat inilah solusi dari semua persamaan dan pertidaksamaan eksponensial didasarkan.
Fungsi eksponensial adalah fungsi dari bentuk , di mana basis adalah derajat dan Di sini x adalah variabel independen, argumen; y - variabel dependen, fungsi.
Beras. 1. Grafik fungsi eksponensial
Grafik menunjukkan eksponen naik dan turun, yang menggambarkan fungsi eksponensial pada basis yang lebih besar dari satu dan kurang dari satu, tetapi lebih besar dari nol.
Kedua kurva melalui titik (0;1)
Sifat-sifat fungsi eksponensial:
Domain: ;
Jarak nilai: ;
Fungsinya monoton, bertambah , berkurang .
Fungsi monoton mengambil masing-masing nilainya dengan satu nilai argumen.
Ketika argumen meningkat dari minus ke plus tak terhingga, fungsi meningkat dari nol, inklusif, hingga plus tak terhingga. Sebaliknya, ketika argumen meningkat dari minus ke plus tak terhingga, fungsi menurun dari tak terhingga ke nol, inklusif.
2. Solusi persamaan eksponensial tipikal
Ingat bagaimana menyelesaikan persamaan eksponensial paling sederhana. Solusi mereka didasarkan pada monotonisitas fungsi eksponensial. Hampir semua persamaan eksponensial kompleks direduksi menjadi persamaan tersebut.
Persamaan eksponen dengan basis yang sama disebabkan oleh sifat fungsi eksponensial, yaitu monotonisitasnya.
Metode Solusi:
Menyamakan dasar derajat;
Persamaan eksponen.
Mari kita beralih ke persamaan eksponensial yang lebih kompleks, tujuan kami adalah untuk mengurangi masing-masing menjadi yang paling sederhana.
Mari kita singkirkan akar di sisi kiri dan kurangi derajat ke dasar yang sama:
Untuk mereduksi persamaan eksponensial kompleks menjadi persamaan sederhana, sering digunakan perubahan variabel.
Mari kita gunakan properti derajat:
Kami memperkenalkan pengganti. Biarkan kemudian 
Kami mengalikan persamaan yang dihasilkan dengan dua dan mentransfer semua istilah ke sisi kiri:
Akar pertama tidak memenuhi interval nilai y, kami membuangnya. Kita mendapatkan:
Mari kita bawa derajat ke indikator yang sama:
Kami memperkenalkan pengganti:
Biarkan kemudian 
. Dengan penggantian ini, jelas bahwa y mengambil nilai positif. Kita mendapatkan:
Kami tahu cara menyelesaikan persamaan kuadrat yang serupa, kami menulis jawabannya:
Untuk memastikan bahwa akar ditemukan dengan benar, Anda dapat memeriksa sesuai dengan teorema Vieta, yaitu, menemukan jumlah akar dan produknya dan memeriksa dengan koefisien persamaan yang sesuai.
Kita mendapatkan:
3. Teknik Penyelesaian Persamaan Eksponensial Homogen Derajat Kedua
Mari kita pelajari jenis persamaan eksponensial penting berikut ini:
Persamaan jenis ini disebut homogen derajat kedua terhadap fungsi f dan g. Di sisi kirinya ada trinomial persegi terhadap f dengan parameter g atau trinomial persegi terhadap g dengan parameter f.
Metode Solusi:
Persamaan ini dapat diselesaikan sebagai persamaan kuadrat, tetapi lebih mudah untuk melakukannya sebaliknya. Dua kasus harus dipertimbangkan:
Dalam kasus pertama, kita mendapatkan
Dalam kasus kedua, kami memiliki hak untuk membagi dengan tingkat tertinggi dan kami mendapatkan:
Anda harus memperkenalkan perubahan variabel , kita mendapatkan persamaan kuadrat untuk y:
Perhatikan bahwa fungsi f dan g dapat berubah-ubah, tetapi kami tertarik pada kasus ketika ini adalah fungsi eksponensial.
4. Contoh penyelesaian persamaan homogen
Mari kita pindahkan semua suku ke ruas kiri persamaan:
Karena fungsi eksponensial memperoleh nilai yang benar-benar positif, kami memiliki hak untuk segera membagi persamaan dengan , tanpa mempertimbangkan kasus ketika:
Kita mendapatkan:
Kami memperkenalkan pengganti: 
(menurut sifat-sifat fungsi eksponensial)
Kami mendapat persamaan kuadrat:
Kami menentukan akar sesuai dengan teorema Vieta:
Akar pertama tidak memenuhi interval nilai y, kami membuangnya, kami mendapatkan:
Mari kita gunakan properti derajat dan kurangi semua derajat menjadi basis sederhana:
Sangat mudah untuk memperhatikan fungsi f dan g:
Karena fungsi eksponensial memperoleh nilai positif, kami memiliki hak untuk segera membagi persamaan dengan , tanpa mempertimbangkan kasus ketika .
