« Fisika - Kelas 10 "

Mengapa skater meregangkan sepanjang sumbu rotasi untuk meningkatkan kecepatan sudut rotasi.
Haruskah helikopter berputar ketika baling-balingnya berputar?

Pertanyaan yang diajukan menyarankan bahwa jika gaya eksternal tidak bekerja pada tubuh atau aksinya dikompensasi dan satu bagian tubuh mulai berputar ke satu arah, maka bagian lain harus berputar ke arah lain, seperti ketika bahan bakar dikeluarkan dari roket, roket itu sendiri bergerak ke arah yang berlawanan.

momen impuls.

Jika kita mempertimbangkan piringan yang berputar, menjadi jelas bahwa momentum total piringan adalah nol, karena setiap partikel benda bersesuaian dengan partikel yang bergerak dengan kecepatan yang sama dalam nilai absolut, tetapi dalam arah yang berlawanan (Gbr. 6.9).

Tetapi piringan bergerak, kecepatan sudut rotasi semua partikel adalah sama. Namun, jelas bahwa semakin jauh partikel dari sumbu rotasi, semakin besar momentumnya. Oleh karena itu, untuk gerakan rotasi perlu untuk memperkenalkan satu karakteristik lagi, mirip dengan impuls, - momentum sudut.

Momentum sudut sebuah partikel yang bergerak dalam lingkaran adalah produk dari momentum partikel dan jarak darinya ke sumbu rotasi (Gbr. 6.10):

Kecepatan linier dan sudut dihubungkan oleh v = r, maka

Semua titik benda tegar bergerak relatif terhadap sumbu rotasi tetap dengan kecepatan sudut yang sama. Benda tegar dapat direpresentasikan sebagai kumpulan titik material.

Momentum sudut benda tegar sama dengan produk momen inersia dan kecepatan sudut rotasi:

Momentum sudut adalah besaran vektor, menurut rumus (6.3), momentum sudut diarahkan dengan cara yang sama seperti kecepatan sudut.

Persamaan dasar dinamika gerak rotasi dalam bentuk impulsif.

Percepatan sudut suatu benda sama dengan perubahan kecepatan sudut dibagi dengan interval waktu selama perubahan ini terjadi: Substitusikan persamaan ini ke dalam persamaan dasar untuk dinamika gerak rotasi maka I(ω 2 - 1) = MΔt, atau IΔω = MΔt.

Lewat sini,

L = M∆t. (6.4)

Perubahan momentum sudut sama dengan hasil kali momen total gaya-gaya yang bekerja pada benda atau sistem dan waktu kerja gaya-gaya tersebut.

Hukum kekekalan momentum sudut:

Jika momen total gaya yang bekerja pada benda atau sistem benda dengan sumbu rotasi tetap sama dengan nol, maka perubahan momentum sudut juga sama dengan nol, yaitu, momentum sudut sistem tetap konstan.

L=0, L=konst.

Perubahan momentum sistem sama dengan momentum total gaya-gaya yang bekerja pada sistem.

Skater yang berputar merentangkan tangannya ke samping, sehingga meningkatkan momen inersia untuk mengurangi kecepatan sudut rotasi.

Hukum kekekalan momentum sudut dapat ditunjukkan dengan menggunakan percobaan berikut, yang disebut "percobaan dengan bangku Zhukovsky." Seseorang berdiri di bangku dengan sumbu rotasi vertikal melewati pusatnya. Pria itu memegang dumbel di tangannya. Jika bangku dibuat berputar, maka seseorang dapat mengubah kecepatan rotasi dengan menekan dumbel ke dadanya atau menurunkan lengannya, dan kemudian merentangkannya. Dengan merentangkan lengannya, dia meningkatkan momen inersia, dan kecepatan sudut rotasi berkurang (Gbr. 6.11, a), menurunkan tangannya, dia mengurangi momen inersia, dan kecepatan sudut rotasi bangku meningkat (Gbr. 6.11, b).

Seseorang juga dapat membuat bangku berputar dengan berjalan di sepanjang tepinya. Dalam hal ini, bangku akan berputar ke arah yang berlawanan, karena momentum sudut total harus tetap sama dengan nol.

Prinsip pengoperasian perangkat yang disebut giroskop didasarkan pada hukum kekekalan momentum sudut. Properti utama giroskop adalah pelestarian arah sumbu rotasi, jika gaya eksternal tidak bekerja pada sumbu ini. Pada abad ke-19 giroskop digunakan oleh navigator untuk menavigasi laut.

Energi kinetik benda tegar yang berputar.

Energi kinetik benda padat yang berotasi sama dengan jumlah energi kinetik masing-masing partikel. Mari kita bagi tubuh menjadi elemen-elemen kecil, yang masing-masing dapat dianggap sebagai titik material. Maka energi kinetik tubuh sama dengan jumlah energi kinetik dari titik material yang terdiri dari:

Kecepatan sudut rotasi semua titik tubuh adalah sama, oleh karena itu,

Nilai dalam kurung, seperti yang sudah kita ketahui, adalah momen inersia benda tegar. Akhirnya, rumus energi kinetik benda tegar dengan sumbu rotasi tetap memiliki bentuk

Dalam kasus umum gerak benda tegar, ketika sumbu rotasi bebas, energi kinetiknya sama dengan jumlah energi gerak translasi dan rotasi. Jadi, energi kinetik sebuah roda, yang massanya terkonsentrasi di tepi, menggelinding di sepanjang jalan dengan kecepatan konstan, sama dengan

Tabel tersebut membandingkan rumus mekanika gerak translasi suatu titik material dengan rumus serupa untuk gerak rotasi benda tegar.

Mari kita tentukan energi kinetik benda tegar yang berputar pada sumbu tetap. Mari kita bagi tubuh ini menjadi n titik material. Setiap titik bergerak dengan kecepatan linier i =ωr i , maka energi kinetik titik

atau

Energi kinetik total benda tegar yang berputar sama dengan jumlah energi kinetik semua titik materialnya:

(3.22)

(J - momen inersia benda terhadap sumbu rotasi)

Jika lintasan semua titik terletak pada bidang paralel (seperti silinder yang menggelinding ke bawah pada bidang miring, setiap titik bergerak pada bidangnya masing-masing, gambar). gerakan datar. Sesuai dengan prinsip Euler, gerak bidang selalu dapat diuraikan dalam banyak cara menjadi gerak translasi dan rotasi. Jika bola jatuh atau meluncur di sepanjang bidang miring, itu hanya bergerak maju; ketika bola menggelinding, itu juga berputar.

Jika suatu benda melakukan gerak translasi dan rotasi pada saat yang bersamaan, maka energi kinetik totalnya sama dengan

(3.23)

Dari perbandingan rumus energi kinetik untuk gerak translasi dan rotasi dapat diketahui bahwa besaran inersia selama gerak rotasi adalah momen inersia benda.

3.6 Kerja gaya eksternal selama rotasi benda tegar

Ketika benda tegar berputar, energi potensialnya tidak berubah, oleh karena itu, kerja dasar gaya eksternal sama dengan peningkatan energi kinetik benda:

dA = dE atau

Mempertimbangkan bahwa Jβ = M, dr = dφ, kita memiliki benda pada sudut terhingga sama dengan

(3.25)

Ketika sebuah benda tegar berputar di sekitar sumbu tetap, kerja gaya-gaya luar ditentukan oleh aksi momen gaya-gaya ini terhadap sumbu tertentu. Jika momen gaya-gaya terhadap sumbu sama dengan nol, maka gaya-gaya tersebut tidak menghasilkan kerja.

Contoh pemecahan masalah

Contoh 2.1. massa roda gilam= 5 kg dan jari-jarir= 0,2 m berputar pada sumbu mendatar dengan frekuensiν 0 = 720 menit -1 dan berhenti saat pengeremant= 20 detik Temukan torsi pengereman dan jumlah putaran sebelum berhenti.

Untuk menentukan torsi pengereman, kami menerapkan persamaan dasar untuk dinamika gerak rotasi

di mana I=mr 2 adalah momen inersia piringan; \u003d - 0, dan \u003d 0 adalah kecepatan sudut akhir, 0 \u003d 2πν 0 adalah yang awal. M adalah momen pengereman dari gaya-gaya yang bekerja pada piringan.

Mengetahui semua kuantitas, adalah mungkin untuk menentukan torsi pengereman

Tuan 2 2πν 0 = t (1)

(2)

Dari kinematika gerak rotasi, sudut rotasi selama rotasi piringan hingga berhenti dapat ditentukan dengan rumus

(3)

dimana adalah percepatan sudut.

Sesuai dengan kondisi soal: = 0 - t, karena =0, ​​0 = t

Maka ekspresi (2) dapat ditulis sebagai:

Contoh 2.2. Dua buah roda gila berbentuk piringan dengan jari-jari dan massa yang sama diputar hingga kecepatan putarannyan= 480 rpm dan dibiarkan sendiri. Di bawah aksi gaya gesekan poros pada bantalan, yang pertama berhenti setelaht\u003d 80 s, dan yang kedua berhasilN= 240 putaran untuk berhenti. Di roda gila mana momen gaya gesekan poros pada bantalan lebih besar dan berapa kali.

Kita akan mencari momen gaya-gaya duri M 1 dari roda gila pertama menggunakan persamaan dasar dinamika gerak rotasi

M 1 t \u003d Iω 2 - Iω 1

di mana t adalah waktu aksi momen gaya gesekan, I \u003d mr 2 - momen inersia roda gila, 1 \u003d 2πν dan 2 \u003d 0 adalah kecepatan sudut awal dan akhir roda gila

Kemudian

Momen gaya gesekan M 2 dari roda gila kedua dinyatakan melalui hubungan antara usaha A gaya gesekan dan perubahan energi kinetiknya E k:

di mana = 2πN adalah sudut rotasi, N adalah jumlah putaran roda gila.

Lalu dimana?

HAI rasio akan menjadi

Torsi gesekan roda gila kedua adalah 1,33 kali lebih besar.

Contoh 2.3. Massa piringan padat homogen m, massa beban m 1 dan saya 2 (gbr.15). Tidak ada slip dan gesekan ulir pada sumbu silinder. Temukan percepatan massa dan rasio tegangan benangdalam proses pergerakan.

Tidak ada selip benang, oleh karena itu, ketika m 1 dan m 2 akan melakukan gerak translasi, silinder akan berputar pada sumbu yang melewati titik O. Mari kita asumsikan untuk kepastian bahwa m 2 > m 1.

Kemudian beban m2 diturunkan dan silinder berputar searah jarum jam. Mari kita tuliskan persamaan gerak benda-benda yang termasuk dalam sistem

Dua persamaan pertama ditulis untuk benda bermassa m 1 dan m 2 yang melakukan gerak translasi, dan persamaan ketiga untuk silinder yang berputar. Dalam persamaan ketiga, di sebelah kiri adalah momen total gaya yang bekerja pada silinder (momen gaya T 1 diambil dengan tanda minus, karena gaya T 1 cenderung memutar silinder berlawanan arah jarum jam). Di sebelah kanan, I adalah momen inersia silinder terhadap sumbu O, yang sama dengan

di mana R adalah jari-jari silinder; adalah percepatan sudut silinder.

Karena tidak ada slip benang,
. Dengan mempertimbangkan ekspresi untuk I dan , kita mendapatkan:

Menambahkan persamaan sistem, kita sampai pada persamaan

Dari sini kita menemukan percepatan sebuah muatan

Dapat dilihat dari persamaan yang dihasilkan bahwa tegangan benang akan sama, yaitu. =1 jika massa silinder jauh lebih kecil daripada massa beban.

Contoh 2.4. Sebuah bola berongga dengan massa m = 0,5 kg memiliki jari-jari luar R = 0,08m dan jari-jari dalam r = 0,06m. Bola berputar pada sumbu yang melalui pusatnya. Pada saat tertentu, sebuah gaya mulai bekerja pada bola, akibatnya sudut rotasi bola berubah sesuai dengan hukum
. Tentukan momen gaya yang diberikan.

Kami memecahkan masalah menggunakan persamaan dasar dinamika gerak rotasi
. Kesulitan utama adalah menentukan momen inersia bola berongga, dan percepatan sudut ditemukan sebagai
. Momen inersia I bola berongga sama dengan selisih momen inersia bola berjari-jari R dan bola berjari-jari r:

di mana adalah massa jenis bahan bola. Kami menemukan kepadatan, mengetahui massa bola berongga

Dari sini kita menentukan massa jenis bahan bola

Untuk momen gaya M kita peroleh ekspresi berikut:

Contoh 2.5. Sebuah batang tipis bermassa 300 g dan panjang 50 cm berputar dengan kecepatan sudut 10 s -1 pada bidang horizontal di sekitar sumbu vertikal yang melewati bagian tengah batang. Temukan kecepatan sudut jika, selama rotasi pada bidang yang sama, batang bergerak sehingga sumbu rotasi melewati ujung batang.

Kami menggunakan hukum kekekalan momentum sudut

(1)

(J i - momen inersia batang relatif terhadap sumbu rotasi).

Untuk sistem benda yang terisolasi, jumlah vektor momentum sudut tetap konstan. Karena distribusi massa batang relatif terhadap sumbu rotasi berubah, momen inersia batang juga berubah sesuai dengan (1):

J 0 1 = J 2 2 . (2)

Diketahui bahwa momen inersia batang terhadap sumbu yang melalui pusat massa dan tegak lurus batang sama dengan

J 0 \u003d mℓ 2 / 12. (3)

Menurut teorema Steiner

J = J 0 +m sebuah 2

(J adalah momen inersia batang terhadap sumbu rotasi yang berubah-ubah; J0 adalah momen inersia terhadap sumbu paralel yang melalui pusat massa; sebuah- jarak dari pusat massa ke sumbu rotasi yang dipilih).

Mari kita cari momen inersia terhadap sumbu yang melalui ujungnya dan tegak lurus batang:

J 2 \u003d J 0 +m sebuah 2 , J 2 = mℓ 2 /12 +m(ℓ/2) 2 = mℓ 2 /3. (empat)

Mari kita substitusikan rumus (3) dan (4) menjadi (2):

mℓ 2 1 /12 = mℓ 2 2 /3

2 \u003d 1 /4 2 \u003d 10s-1/4 \u003d 2.5s -1

Contoh 2.6 . orang massalm= 60 kg, berdiri di tepi platform dengan massa M = 120 kg, berputar dengan inersia di sekitar sumbu vertikal tetap dengan frekuensi 1 = 12 menit -1 , pergi ke pusatnya. Mempertimbangkan platform sebagai piringan homogen bundar, dan orang sebagai massa titik, tentukan dengan frekuensi berapa 2 platform kemudian akan berputar.

Diberikan: m=60kg, M=120kg, 1 =12min -1 = 0.2s -1 .

Menemukan: v 1

Larutan: Menurut kondisi masalah, platform dengan orang tersebut berputar dengan inersia, yaitu. momen yang dihasilkan dari semua gaya yang diterapkan pada sistem yang berputar adalah nol. Oleh karena itu, untuk sistem "platform-man", hukum kekekalan momentum terpenuhi

Saya 1 1 = Saya 2 2

di mana
- momen inersia sistem ketika seseorang berdiri di tepi platform (kami memperhitungkan bahwa momen inersia platform sama dengan (R adalah jari-jari p
platform), momen inersia seseorang di tepi platform adalah mR 2).

- momen inersia sistem ketika seseorang berdiri di tengah platform (kami memperhitungkan bahwa momen seseorang yang berdiri di tengah platform sama dengan nol). Kecepatan sudut 1 = 2π 1 dan 1 = 2π 2 .

Mengganti ekspresi tertulis ke dalam rumus (1), kami memperoleh

dari mana kecepatan rotasi yang diinginkan

Menjawab: v 2 =24 menit -1 .

Pertimbangkan benda yang benar-benar kaku yang berputar pada sumbu tetap. Mari kita secara mental memecah tubuh ini menjadi potongan-potongan kecil yang tak terhingga dengan ukuran dan massa yang tak terhingga kecilnya. m v t., t 3 ,... di kejauhan R v R 0, R 3 ,... dari sumbu. Energi kinetik benda yang berputar kita temukan sebagai jumlah energi kinetik dari bagian-bagian kecilnya:

- momen inersia benda tegar relatif terhadap sumbu yang diberikan 00,. Dari perbandingan rumus energi kinetik gerak translasi dan rotasi diketahui bahwa Momen inersia pada gerak rotasi analog dengan massa pada gerak translasi. Rumus (4.14) cocok untuk menghitung momen inersia sistem yang terdiri dari titik-titik material individual. Untuk menghitung momen inersia benda padat, menggunakan definisi integral, Anda dapat mengubahnya menjadi bentuk

Sangat mudah untuk melihat bahwa momen inersia bergantung pada pilihan sumbu dan perubahan dengan translasi dan rotasi paralelnya. Mari kita cari nilai momen inersia untuk beberapa benda homogen.

Dari rumus (4.14) jelas bahwa momen inersia suatu titik material sama dengan

di mana t - massa titik; R- jarak sumbu rotasi.

Sangat mudah untuk menghitung momen inersia untuk silinder berdinding tipis berongga(atau kasing khusus silinder dengan ketinggian kecil - cincin tipis) radius R tentang sumbu simetri. Jarak ke sumbu rotasi semua titik untuk benda seperti itu adalah sama, sama dengan jari-jari dan dapat diambil dari tanda penjumlahan (4.14):

Beras. 4,5

silinder padat(atau kasing khusus silinder dengan ketinggian kecil - cakram) radius R untuk menghitung momen inersia terhadap sumbu simetri diperlukan perhitungan integral (4.15). Dapat dipahami sebelumnya bahwa massa dalam kasus ini, rata-rata, terkonsentrasi agak lebih dekat ke sumbu daripada dalam kasus silinder berongga, dan rumusnya akan mirip dengan (4,17), tetapi koefisien kurang dari satu akan muncul di dalamnya. Mari kita cari koefisien ini. Misalkan sebuah silinder padat memiliki massa jenis p dan tinggi A. Mari kita bagi menjadi silinder berongga (permukaan silinder tipis) dengan ketebalan dr(Gbr. 4.5 menunjukkan proyeksi tegak lurus terhadap sumbu simetri). Volume silinder berongga dengan jari-jari r sama dengan luas permukaan dikalikan dengan ketebalan: dV = 2nrhdr, bobot: dm=2nphrdr, dan momen inersia sesuai dengan rumus (4.17): dj=

= r 2 dm = 2lr/?g Wr. Momen inersia total silinder padat diperoleh dengan mengintegrasikan (menjumlahkan) momen inersia silinder berongga:

Demikian pula dicari momen inersia batang tipis panjangnya L dan massa t, jika sumbu rotasi tegak lurus batang dan melewati bagian tengahnya. Mari kita hancurkan ini

Mempertimbangkan fakta bahwa massa silinder padat terkait dengan kerapatan dengan rumus t = nR 2 hp, kita akhirnya punya momen inersia silinder padat:

Beras. 4.6

batang sesuai dengan gambar. 4,6 buah tebal dll. Massa benda tersebut adalah dm = mdl/L, dan momen inersia sesuai dengan rumus (4.6): dj = l 2 dm = l 2 mdl/L. Momen inersia total batang tipis diperoleh dengan mengintegrasikan (menjumlahkan) momen inersia potongan:

Mengambil integral dasar memberikan momen inersia dari batang tipis yang panjangnya L dan massa t

Beras. 4.7

Integral diambil agak lebih rumit saat mencari momen inersia bola homogen radius R dan massa /77 terhadap sumbu simetri. Misalkan sebuah bola padat memiliki massa jenis p. Mari kita memecahnya seperti yang ditunjukkan pada Gambar. 4.7 untuk ketebalan silinder tipis berongga dr, yang sumbu simetrinya berimpit dengan sumbu rotasi bola. Volume silinder berongga dengan jari-jari G sama dengan luas permukaan dikalikan dengan ketebalan:

dimana tinggi silinder? h ditemukan menggunakan teorema Pythagoras:

Maka mudah untuk menemukan massa silinder berongga:

serta momen inersia sesuai dengan rumus (4.15):

Momen inersia total bola padat diperoleh dengan mengintegrasikan (menjumlahkan) momen inersia silinder berongga:

Mempertimbangkan fakta bahwa massa bola padat berhubungan dengan kerapatan bentuk - 4 .

loy t = -npR A y kami akhirnya memiliki momen inersia tentang sumbu

simetri bola homogen berjari-jari R massa t:

Mari kita mulai dengan mempertimbangkan rotasi benda di sekitar sumbu tetap, yang akan kita sebut sumbu z (Gbr. 41.1). Kelajuan linier massa dasar adalah di mana adalah jarak massa dari sumbu. Oleh karena itu, untuk energi kinetik massa elementer, persamaan diperoleh

Energi kinetik suatu benda terdiri dari energi kinetik bagian-bagiannya:

Jumlah di ruas kanan perbandingan ini adalah momen inersia benda 1 terhadap sumbu rotasi. Jadi, energi kinetik suatu benda yang berputar pada sumbu tetap adalah

Biarkan gaya internal dan gaya eksternal bekerja pada massa (lihat Gambar 41.1). Menurut (20.5), gaya-gaya ini akan bekerja selama waktu

Melakukan permutasi siklik dari faktor-faktor dalam produk campuran vektor (lihat (2.34)), kami memperoleh:

di mana N adalah momen gaya internal relatif terhadap titik O, N adalah momen analog dari gaya eksternal.

Menjumlahkan ekspresi (41.2) pada semua massa dasar, kami memperoleh pekerjaan dasar yang dilakukan pada tubuh selama waktu dt:

Jumlah momen gaya internal sama dengan nol (lihat (29.12)). Oleh karena itu, menunjukkan momen total gaya eksternal melalui N, kita sampai pada ekspresi

(kami menggunakan rumus (2.21)).

Akhirnya, dengan mempertimbangkan bahwa ada sudut yang melaluinya tubuh berputar dalam waktu, kita mendapatkan:

Tanda usaha bergantung pada tanda, yaitu pada tanda proyeksi vektor N ke arah vektor

Jadi, ketika benda berputar, gaya dalam tidak melakukan kerja, sedangkan kerja gaya luar ditentukan oleh rumus (41,4).

Rumus (41,4) dapat diperoleh dengan menggunakan fakta bahwa usaha yang dilakukan oleh semua gaya yang diterapkan pada benda digunakan untuk meningkatkan energi kinetiknya (lihat (19.11)). Mengambil diferensial dari kedua sisi persamaan (41,1), kita sampai pada relasi

Menurut persamaan (38.8) jadi, mengganti melalui kita akan sampai pada rumus (41,4).

Tabel 41.1

Di meja. 41.1, rumus mekanika gerak rotasi dibandingkan dengan rumus serupa dari mekanika gerak translasi (mekanika titik). Dari perbandingan ini mudah untuk menyimpulkan bahwa dalam semua kasus peran massa dimainkan oleh momen inersia, peran gaya adalah momen gaya, peran momentum dimainkan oleh momen momentum, dll.

Rumus. (41.1) kami peroleh untuk kasus ketika tubuh berputar di sekitar sumbu tetap yang dipasang di tubuh. Sekarang mari kita asumsikan bahwa benda berotasi sewenang-wenang di sekitar titik tetap yang bertepatan dengan pusat massanya.

Mari kita secara kaku menghubungkan sistem koordinat Cartesian dengan tubuh, yang asalnya akan ditempatkan di pusat massa tubuh. Kecepatan massa dasar ke-i Oleh karena itu, untuk energi kinetik tubuh, kita dapat menulis ekspresi

di mana sudut antara vektor Mengganti melalui dan memperhitungkan apa yang kita dapatkan:

Kami menulis produk skalar dalam hal proyeksi vektor pada sumbu sistem koordinat yang terkait dengan tubuh:

Akhirnya, dengan menggabungkan suku-suku dengan produk yang sama dari komponen kecepatan sudut dan mengeluarkan produk-produk ini dari tanda-tanda jumlah, kita mendapatkan: sehingga rumus (41.7) mengambil bentuk (bandingkan dengan (41.1)). Ketika benda sewenang-wenang berputar di sekitar salah satu sumbu utama inersia, katakanlah sumbu dan rumus (41.7) masuk ke (41.10.

Lewat sini. energi kinetik benda yang berputar sama dengan setengah produk momen inersia dan kuadrat kecepatan sudut dalam tiga kasus: 1) untuk benda yang berputar di sekitar sumbu tetap; 2) untuk benda yang berputar di sekitar salah satu sumbu utama inersia; 3) untuk bagian atas bola. Dalam kasus lain, energi kinetik ditentukan oleh rumus yang lebih kompleks (41,5) atau (41,7).

Pertimbangkan pertama benda tegar yang berputar di sekitar sumbu tetap OZ dengan kecepatan sudut ω (gbr.5.6). Mari kita pecahkan tubuh menjadi massa dasar. Kecepatan linier dari massa elementer adalah , di mana jaraknya dari sumbu rotasi. Energi kinetik saya-massa dasar itu akan sama dengan

.

Energi kinetik seluruh tubuh terdiri dari energi kinetik bagian-bagiannya, oleh karena itu

.

Mempertimbangkan bahwa jumlah di ruas kanan hubungan ini menyatakan momen inersia benda terhadap sumbu rotasi, akhirnya kita peroleh

. (5.30)

Rumus energi kinetik benda yang berputar (5.30) mirip dengan rumus yang sesuai untuk energi kinetik gerak translasi benda. Mereka diperoleh dari yang terakhir dengan substitusi formal .

Dalam kasus umum, gerakan benda tegar dapat direpresentasikan sebagai jumlah gerakan - translasi dengan kecepatan yang sama dengan kecepatan pusat massa tubuh, dan rotasi dengan kecepatan sudut di sekitar sumbu sesaat yang melewati Pusat massa. Dalam hal ini, ekspresi energi kinetik tubuh mengambil bentuk

.

Mari kita cari kerja yang dilakukan oleh momen gaya eksternal selama rotasi benda tegar. Kerja dasar gaya eksternal dalam waktu dt akan sama dengan perubahan energi kinetik tubuh

Mengambil diferensial dari energi kinetik gerak rotasi, kami menemukan kenaikannya

.

Sesuai dengan persamaan dasar dinamika untuk gerak rotasi

Dengan mempertimbangkan hubungan ini, kami mengurangi ekspresi untuk pekerjaan dasar menjadi bentuk

di mana proyeksi momen gaya luar yang dihasilkan pada arah sumbu rotasi OZ, adalah sudut rotasi benda untuk periode waktu yang dipertimbangkan.

Mengintegrasikan (5.31), kami memperoleh rumus untuk pekerjaan gaya eksternal yang bekerja pada benda yang berputar

Jika , maka rumus disederhanakan

Jadi, kerja gaya-gaya luar selama rotasi benda tegar terhadap sumbu tetap ditentukan oleh aksi proyeksi momen gaya-gaya ini pada sumbu tertentu.

Giroskop

Giroskop adalah benda simetris yang berputar cepat, sumbu rotasinya dapat mengubah arahnya di ruang angkasa. Agar sumbu giroskop dapat berputar bebas di ruang angkasa, giroskop ditempatkan dalam apa yang disebut suspensi gimbal (Gbr. 5.13). Roda gila giroskop berputar di dalam sangkar melingkar di sekitar sumbu C 1 C 2 yang melewati pusat gravitasinya. Sangkar dalam, pada gilirannya, dapat berputar di sangkar luar di sekitar sumbu B 1 B 2 tegak lurus terhadap C 1 C 2 . Akhirnya, outer race dapat dengan bebas berputar pada bantalan strut di sekitar sumbu A 1 A 2 tegak lurus terhadap sumbu C 1 C 2 dan B 1 B 2 . Ketiga sumbu berpotongan di suatu titik tetap O, yang disebut pusat suspensi atau titik tumpu giroskop. Giroskop di gimbal memiliki tiga derajat kebebasan dan, oleh karena itu, dapat membuat rotasi apa pun di sekitar pusat gimbal. Jika pusat suspensi giroskop bertepatan dengan pusat gravitasinya, maka momen gravitasi yang dihasilkan dari semua bagian giroskop relatif terhadap pusat suspensi sama dengan nol. Giroskop seperti itu disebut seimbang.

Sekarang mari kita pertimbangkan sifat terpenting dari giroskop, yang telah menemukan aplikasi luas untuk itu di berbagai bidang.

1) Keberlanjutan.

Dengan setiap rotasi rak giroskop seimbang, sumbu rotasinya tetap pada arah yang sama sehubungan dengan kerangka acuan laboratorium. Ini disebabkan oleh fakta bahwa momen semua gaya eksternal, sama dengan momen gaya gesekan, sangat kecil dan praktis tidak menyebabkan perubahan momentum sudut giroskop, mis.

Karena momentum sudut diarahkan sepanjang sumbu rotasi giroskop, orientasinya harus tetap tidak berubah.

Jika gaya luar bekerja untuk waktu yang singkat, maka integral yang menentukan kenaikan momentum sudut akan menjadi kecil

. (5.34)

Ini berarti bahwa di bawah pengaruh jangka pendek bahkan kekuatan besar, pergerakan giroskop seimbang berubah sedikit. Giroskop, seolah-olah, menolak semua upaya untuk mengubah besar dan arah momentum sudutnya. Terkait dengan ini adalah stabilitas luar biasa yang diperoleh gerakan giroskop setelah membawanya ke rotasi cepat. Properti giroskop ini banyak digunakan untuk secara otomatis mengontrol pergerakan pesawat, kapal, roket, dan kendaraan lainnya.

Namun, jika giroskop bekerja untuk waktu yang lama oleh momen gaya eksternal yang arahnya konstan, maka sumbu giroskop akhirnya diatur ke arah momen gaya eksternal. Fenomena ini digunakan dalam gyrocompass. Perangkat ini adalah giroskop, yang sumbunya dapat berputar bebas di bidang horizontal. Karena rotasi harian Bumi dan aksi momen gaya sentrifugal, sumbu giroskop berputar sehingga sudut antara dan menjadi minimal (Gbr. 5.14). Ini sesuai dengan posisi sumbu giroskop di bidang meridian.

2). Efek giroskopik.

Jika sepasang gaya dan diterapkan pada giroskop yang berputar, cenderung memutarnya di sekitar sumbu yang tegak lurus terhadap sumbu rotasi, maka ia akan berputar di sekitar sumbu ketiga, tegak lurus terhadap dua yang pertama (Gbr. 5.15). Perilaku giroskop yang tidak biasa ini disebut efek giroskopik. Hal ini dijelaskan oleh fakta bahwa momen sepasang gaya diarahkan sepanjang sumbu O 1 O 1 dan perubahan vektor dengan nilai dari waktu ke waktu akan memiliki arah yang sama. Akibatnya, vektor baru akan berotasi terhadap sumbu O 2 O 2. Dengan demikian, perilaku giroskop yang tampaknya tidak wajar sepenuhnya sesuai dengan hukum dinamika gerak rotasi

3). Presesi giro.

Presesi giroskop adalah gerakan kerucut sumbunya. Itu terjadi ketika momen gaya eksternal, yang besarnya tetap konstan, berputar secara bersamaan dengan sumbu giroskop, membentuk sudut siku-siku dengannya sepanjang waktu. Untuk mendemonstrasikan presesi, roda sepeda dengan poros diperpanjang, dibawa ke rotasi cepat (Gbr. 5.16), dapat berfungsi.

Jika roda digantungkan pada ujung poros yang diperpanjang, maka porosnya akan mulai berpresesi di sekitar sumbu vertikal di bawah pengaruh beratnya sendiri. Bagian atas yang berputar cepat juga dapat berfungsi sebagai demonstrasi presesi.

Cari tahu alasan presesi giroskop. Pertimbangkan giroskop tidak seimbang yang sumbunya dapat berputar bebas di sekitar titik O tertentu (Gbr. 5.16). Momen gravitasi yang diterapkan pada giroskop sama besarnya

di mana massa giroskop, adalah jarak dari titik O ke pusat massa giroskop, adalah sudut yang dibentuk oleh sumbu giroskop dengan vertikal. Vektor diarahkan tegak lurus terhadap bidang vertikal yang melewati sumbu giroskop.

Di bawah pengaruh momen ini, momentum sudut giroskop (awalnya ditempatkan di titik O) akan menerima kenaikan waktu, dan bidang vertikal yang melewati sumbu giroskop akan berputar dengan sudut. Vektor selalu tegak lurus , oleh karena itu, tanpa mengubah besarnya, vektor hanya berubah arah. Dalam hal ini, setelah beberapa saat, posisi relatif dari vektor dan akan sama dengan pada saat awal. Akibatnya, sumbu giroskop akan terus berputar di sekitar vertikal, menggambarkan kerucut. Gerakan ini disebut presesi.

Mari kita tentukan kecepatan sudut presesi. Menurut Gbr.5.16, sudut rotasi bidang yang melalui sumbu kerucut dan sumbu giroskop sama dengan

di mana adalah momentum sudut giroskop, dan kenaikannya dari waktu ke waktu.

Membagi dengan , dengan mempertimbangkan hubungan dan transformasi di atas, kami memperoleh kecepatan sudut presesi

. (5.35)

Untuk giroskop yang digunakan dalam teknologi, kecepatan sudut presesi jutaan kali lebih kecil dari kecepatan rotasi giroskop.

Sebagai kesimpulan, kami mencatat bahwa fenomena presesi juga diamati pada atom karena gerakan orbital elektron.

Contoh penerapan hukum dinamika

Saat berputar

1. Pertimbangkan beberapa contoh hukum kekekalan momentum sudut, yang dapat diimplementasikan menggunakan bangku Zhukovsky. Dalam kasus yang paling sederhana, bangku Zhukovsky adalah platform berbentuk cakram (kursi) yang dapat dengan bebas berputar di sekitar sumbu vertikal pada bantalan bola (Gbr. 5.17). Demonstran duduk atau berdiri di bangku, setelah itu dibawa ke dalam gerakan rotasi. Karena kenyataan bahwa gaya gesekan akibat penggunaan bantalan sangat kecil, momentum sudut sistem yang terdiri dari bangku dan alat peraga tentang sumbu rotasi tidak dapat berubah dalam waktu jika sistem dibiarkan sendiri. Jika demonstran memegang dumbel berat di tangannya dan merentangkan tangannya ke samping, maka ia akan meningkatkan momen inersia sistem, dan oleh karena itu kecepatan sudut rotasi harus berkurang sehingga momentum sudut tetap tidak berubah.

Menurut hukum kekekalan momentum sudut, kami membuat persamaan untuk kasus ini

di mana adalah momen inersia orang dan bangku, dan momen inersia halter di posisi pertama dan kedua, dan adalah kecepatan sudut sistem.

Kecepatan sudut rotasi sistem saat membiakkan halter ke samping akan sama dengan

.

Usaha yang dilakukan oleh seseorang saat menggerakkan dumbel dapat ditentukan melalui perubahan energi kinetik sistem

2. Mari kita beri satu percobaan lagi dengan bangku Zhukovsky. Demonstran duduk atau berdiri di bangku dan diberi roda yang berputar cepat dengan sumbu vertikal (Gbr. 5.18). Demonstran kemudian memutar roda 180 0 . Dalam hal ini, perubahan momentum sudut roda sepenuhnya ditransfer ke bangku dan demonstran. Akibatnya, bangku, bersama dengan demonstran, berputar dengan kecepatan sudut yang ditentukan berdasarkan hukum kekekalan momentum sudut.

Momentum sudut sistem pada keadaan awal hanya ditentukan oleh momentum sudut roda dan sama dengan

di mana adalah momen inersia roda, adalah kecepatan sudut rotasinya.

Setelah memutar roda pada sudut 180 0, momen momentum sistem akan ditentukan oleh jumlah momen momentum bangku dengan orang dan momen momentum roda. Mempertimbangkan fakta bahwa vektor momentum roda telah berubah arahnya ke arah yang berlawanan, dan proyeksinya pada sumbu vertikal menjadi negatif, kita peroleh

,

di mana adalah momen inersia sistem "platform manusia", adalah kecepatan sudut rotasi bangku dengan orang tersebut.

Menurut hukum kekekalan momentum sudut

dan .

Akibatnya, kami menemukan kecepatan rotasi bangku

3. Massa batang tipis m dan panjang aku berputar dengan kecepatan sudut =10 s -1 pada bidang horizontal mengelilingi sumbu vertikal yang melalui bagian tengah batang. Terus berputar pada bidang yang sama, batang bergerak sehingga sumbu rotasi sekarang melewati ujung batang. Temukan kecepatan sudut dalam kasus kedua.

Dalam masalah ini, karena distribusi massa batang relatif terhadap sumbu rotasi berubah, momen inersia batang juga berubah. Sesuai dengan hukum kekekalan momentum sudut dari suatu sistem terisolasi, kita memiliki

Di sini - momen inersia batang terhadap sumbu yang melewati bagian tengah batang; - momen inersia batang terhadap sumbu yang melalui ujungnya dan ditemukan oleh teorema Steiner.

Mensubstitusikan ekspresi ini ke dalam hukum kekekalan momentum sudut, kita memperoleh

,

.

4. Panjang batang L= 1,5 m dan berat m 1= 10 kg berengsel di ujung atas. Sebuah peluru mengenai pusat batang dengan massa m2=10 g, terbang mendatar dengan kecepatan =500 m/s, dan tersangkut di batang. Melalui sudut berapa batang akan menyimpang setelah tumbukan?

Mari kita bayangkan pada Gambar. 5.19. sistem tubuh berinteraksi "batang-peluru". Momen gaya luar (gravitasi, reaksi sumbu) pada saat tumbukan sama dengan nol, sehingga kita dapat menggunakan hukum kekekalan momentum sudut

Momentum sudut sistem sebelum tumbukan sama dengan momentum sudut peluru relatif terhadap titik suspensi

Momentum sudut sistem setelah tumbukan inelastis ditentukan oleh rumus

,

di mana adalah momen inersia batang relatif terhadap titik suspensi, adalah momen inersia peluru, adalah kecepatan sudut batang dengan peluru segera setelah tumbukan.

Memecahkan persamaan yang dihasilkan setelah substitusi, kami menemukan

.

Mari kita sekarang menggunakan hukum kekekalan energi mekanik. Mari kita samakan energi kinetik batang setelah peluru mengenainya dengan energi potensialnya pada titik pendakian tertinggi:

,

di mana adalah ketinggian pusat massa sistem yang diberikan.

Setelah melakukan transformasi yang diperlukan, kami memperoleh

Sudut defleksi batang terkait dengan nilai dengan rasio

.

Setelah melakukan perhitungan, kami memperoleh =0,1p=18 0 .

5. Tentukan percepatan benda dan tegangan benang pada mesin Atwood, dengan asumsi bahwa (Gbr. 5.20). Momen inersia balok terhadap sumbu rotasi adalah Saya, radius blok r. Abaikan massa benang.

Mari kita susun semua gaya yang bekerja pada beban dan balok, dan buat persamaan dinamikanya

Jika tidak ada selip benang di sepanjang balok, maka percepatan linier dan sudut dihubungkan oleh hubungan

Memecahkan persamaan ini, kita mendapatkan

Kemudian kami menemukan T 1 dan T 2 .

6. Sebuah ulir dipasang pada katrol salib Oberbeck (Gbr. 5.21), di mana beban massa M= 0,5kg Tentukan waktu yang dibutuhkan sebuah beban untuk jatuh dari ketinggian h=1 m ke posisi terbawah. Jari-jari katrol r\u003d 3 cm Empat berat massa m=250g masing-masing pada jarak R= 30 cm dari sumbunya. Abaikan momen inersia salib itu sendiri dan katrol dibandingkan dengan momen inersia beban.