Jadi, kami baru-baru ini belajar tentang. Bahwa ada sesuatu di tengah dunia, berbeda dengan "Kebenaran" dan "Kebohongan" yang dimutlakkan oleh digitalisasi. Kami bahkan belajar sedikit tentang operasi di mana keadaan ketiga ini ("Ukuran") diterjemahkan menjadi benar ("+") atau salah ("-"). Dan sebaliknya. Kami telah memahami bagaimana kebohongan dan kebenaran dapat "bersembunyi" dalam keadaan ketiga ini ("0").
Mari kita mulai mempelajari logika dunia ini, berbeda dengan dunia biner American Spectacle. Dari logika hitam-putih buruk/baik, yang dengannya media tersebut memberikan informasi dan melatih orang awam.
5. Operasi ganda.
Operasi dengan dua variabel disebut dobel("biner"). Jika kita memperhitungkan keadaan ketiga, dan dalam logika tiga nilai diperhitungkan, maka ada total 19683 operasi dua tempat. Puluhan ribu operasi sulit diuraikan dalam satu tabel, seperti yang kami lakukan dengan operasi unary di paragraf ketiga. Untuk memperhitungkan semuanya, diperlukan metode matematika yang berada di luar cakupan ulasan ini.Oleh karena itu, ada jauh lebih sedikit informasi di Web tentang operasi dua orang. Materi utama postingan ini diambil dari bab kedua (“logika bernilai k”) dari buku karya S.V. Yablonsky "Pengantar Matematika Diskrit", yang menurutnya kami diajarkan logika matematika di Fakultas Mekanika dan Matematika Universitas Negeri Moskow. Penerapannya pada logika tiga nilai memperhitungkan informasi tentang mesin Soviet "Setun", yang diberikan kepada saya oleh jorok dari sekolah acad. Brusentsov, pengembang mesin ini.
Peretasan tidak terbatas pada sains, karena mengarah pada pencerahan Zen, dan tidak berasal dari skolastik Katolik. Tapi studi ilmu komputer, seperti yang kita lihat, dapat membantu di jalur hacker.
Penafsiran logika tiga nilai, yang membantu untuk menguasainya lebih cepat, mencerminkan masa sulit "pendudukan digital" di negara tempat kita semua tinggal. Terima kasih untuk epigrafnya magenta_13 .
5.1. Konjungsi dan disjungsi.
Pemrogram mesin biner asing harus mengingat operasi logika sederhana AND, OR (AND, OR). Matematikawan menyebutnya konjungsi x&y (dalam beberapa karya Brusentsov ada notasi x∧y sebagai penghargaan untuk Lukashevich) dan pemisahan x∨y masing-masing. Dalam logika tiga nilai (jika Anda menggunakan notasi awalan) lebih mudah diingat, seperti operasi min(x,y) dan max(x,y) . Setiap fungsi tiga nilai (sejumlah argumen) dapat ditulis dengan cukup mudah menggunakan dua operasi ini dan operasi pemilihan (S + , S , S -) dari .Berikut adalah grafik Carnot ("tabel Pythagoras") untuk dua operasi ini. Mereka komutatif, sehingga Anda dapat mencari x dan y baik secara horizontal maupun vertikal (“hukum perpindahan”). Hasilnya akan berada di persimpangan:
|
|
Jika Anda telah mengajari mesin untuk melakukan negasi Lukashevich (~x=BUKAN x), maka salah satu dari fungsi ini adalah redundan, karena ~min(x,y)=max(~x,~y) . Sekarang mari kita masuk akal penafsiran dua operasi paling penting dari logika tiga nilai ini. Kami segera mencatat bahwa jika tidak ada "keadaan ketiga" pada input, maka kedua fungsi ini tidak dapat dibedakan dari fungsi yang sesuai dari Profesor Boole.
5.1.1. Logis AND (konjungsi).
Operasi A&B=min(A,B) sering disebut logis DAN(Logis DAN). Mengapa? Bayangkan bahwa proyek Anda bergantung pada beberapa orang lain. Dalam kasus paling sederhana, dari masing-masing dari dua proyek lainnya. Semuanya akan berhasil jika Vasya melakukan apa yang dia janjikan dan Masha juga akan berhasil.Misalkan A berarti "Vasya berhasil", B adalah "Masha berhasil", dan C adalah "Vasya dan Masha berhasil." Ternyata C=A&B . Rumus ini mudah dibuktikan, karena hanya ada tiga status dan Anda dapat menyortir semuanya dengan cukup cepat:
- Kasus ketika Vasya dan Masha mengatasinya (keduanya "+") dapat dimengerti. Proyek keseluruhan ternyata, hasil dari "logis DAN" juga "benar" ("+"). Ini adalah satu-satunya saat Anda benar-benar dapat mengklaim kesuksesan.
- Kasus ketika salah satu dari mereka gagal ("-") juga dapat dimengerti. Terlepas dari ketekunan pihak lain, proyek secara keseluruhan juga gagal ("-").
- Jika ada proyek yang belum selesai di antara proyek-proyek ("keadaan ketiga"), tetapi tidak ada kegagalan yang jelas, maka status proyek secara keseluruhan juga tidak diketahui ("0").
5.1.2. Logika OR (disjungsi).
Operasi kedua A∨B=max(A,B) disebut logis ATAU(Logis ATAU). Misalkan untuk keberhasilan proyek kita (C) keberhasilan hanya satu dari yang lain sudah cukup. Pada saat yang sama, tidak masalah siapa yang akan mencapai tujuannya - Vasya (A) atau Mas (B).Dalam hal ini C=A∨B . Mari kita lihat kemungkinan kasusnya:
- Seseorang telah berhasil (A="+" atau B="+"). Kemudian, terlepas dari status proyek lain, kami juga menang (C="+").
- Keduanya kalah (A="-" dan B="-" secara bersamaan). Ini adalah satu-satunya kasus ketika keberuntungan tidak berpihak pada kita (C="-").
- Tidak ada orang yang jelas sukses (A≠ +“ dan B≠ +“), tetapi ada harapan untuk orang lain (A=“0“ atau B=“0“). Dalam hal ini, proyek kita belum selesai (C="0").
5.2. Aljabar logika.
Seperti yang kami ingatkan jorok , logika tiga nilai bukan ring Boolean. Dia memiliki peralatan matematika sendiri. Hal ini berguna untuk mempelajarinya, karena akan membantu untuk merasakan logika tiga nilai dan beroperasi lebih berani di dalamnya. Semua hukum dan sifat ini mudah dibuktikan dengan menyortir semua nilai variabel yang ada di dalamnya.Pendekatan aljabar terdiri dalam mendefinisikan operasi dua tempat (&, ) dan satu tempat (", S, ~) pada himpunan ("-", "0", "+") dengan bantuan hukum, dan properti yang tersisa sudah diturunkan dari mereka secara aljabar, dan himpunan hukum ( sistem aksioma) mungkin berbeda. Hal utama adalah bahwa dari setiap set dimungkinkan untuk menurunkan semua properti yang tersisa (tidak termasuk dalam set) sebagai konsekuensi.
1. hukum perpindahan(hukum komutatif). Seperti yang sudah saya tulis, operasi a&b dan a∨b bersifat komutatif:
a&b = b&a
a∨b = b∨a
2. hukum asosiatif(hukum asosiatif).
a&(b&c) = (a&b)&c
a∨(b∨c) = (a∨b)∨c
3. hukum distributif(hukum distribusi). Seperti dalam aljabar Boolean, masing-masing dari dua operasi &, distributif relatif terhadap yang lain (omong-omong, operator & memiliki prioritas lebih tinggi daripada operator ):
a&(b∨c) = a&b a&c
a∨b&c = (a∨b)&(a∨c)
4. idempotensi konjungsi dan disjungsi berarti:
a&a = a
aa = a
5. Hukum negasi ganda (dan rangkap tiga). Negasi Lukashevich ~a dan negasi siklik dari a" mematuhi hukum berikut:
~~a = a ( ketidakberdayaan penolakan Lukashevich, yaitu kebalikan dari dirinya sendiri)
a""" = a
Di sini kita juga dapat memberikan definisi dari dua operasi seleksi "ekstrim". Identitas ini diberikan sebagai properti ketika kita mendefinisikan operasi seleksi menggunakan tabel kebenaran. Kami menganggap bahwa negasi siklik dari a" memiliki prioritas lebih tinggi daripada operasi seleksi:
S-a = Sa"
S + a = Sa""
6. Sifat konstan umumnya tradisional.
a & "+" = a
a & "-" = "-"
a "+" = "+"
a "-" = a
~ „-“ = „+“
~ „+“ = „-“
Kepada mereka ditambahkan sifat-sifat negasi siklik dari konstanta, sebenarnya definisi literalnya:
„-“ " = „0“
„0“ " = „+“
„+“ " = „-“
Juga, dua properti baru muncul, terkait dengan invarians keadaan ketiga ketika Lukashevich ditolak:
~ „0“ = „0“
~(a & "0") = ~a "0"
7. hukum De Morgan(hukum dualitas) menggunakan negasi Lukashevich. Salah satunya sudah saya sebutkan:
~(a&b) = ~a ~b
~(a∨b) = ~a & ~b
8. Hukum penyerapan:
a & (a∨b) = a
a a&b = a
9. Antiisotropi dari negasi Lukashevich menggunakan fakta bahwa nilai boolean diatur secara ketat ("-"< „0“ < „+“):
a≤b ~a ~b
Selain itu, jika kita menggunakan operasi perbandingan (lihat di bawah), maka pernyataan yang lebih kuat adalah benar:
a mag b ~b mag ~a
Namun, karena adanya ukuran (sebutkan "0"), beberapa hukum (misalnya hukum komplementaritas konjungsi dan disjungsi) salah. Tempat mereka diambil oleh hukum lain. Omong-omong, validitas beberapa hukum ini dipertanyakan oleh seluruh sekolah matematika.
10. Hukum inkonsistensi negara bagian datang untuk menggantikan hukum kontradiksi, yang salah dalam logika tiga nilai. Pernyataan a & ~a tidak selalu salah, tidak selalu "-". Tetapi identitas berikut berlaku:
Sa & Sa"" = "-"
Sa" & Sa"" = "-"
Sa" & Sa = "-"
Identitas ini berarti bahwa a tidak dapat mengasumsikan dua keadaan pada saat yang bersamaan. Mereka dapat ditulis menggunakan operasi S - dan S + :
Sa & S + a = "-"
S - a & S + a = "-"
S - a & Sa = "-"
11. Hukum kelengkapan negara salah ganti hukum tengah yang dikecualikan. Memang, pernyataan a ~a tidak selalu benar, tidak selalu "+". Yang ketiga diberikan, jadi pernyataan berikut ini benar (lagi-lagi perlu dikoreksi ketika jumlah status meningkat, misalnya, ketika beralih ke logika bernilai empat):
Sa" Sa Sa"" = +“, atau
S - a Sa S + a = "+"
Terkadang hukum ini dirumuskan sebagai hukum keempat yang dikecualikan:
a a" a"" = "+"
12. Hukum perekatan tiga suku salah ganti hukum ikatan. Dalam logika terner a&b a&~b a dan (a∨b) & (a∨~b) a , tetapi:
a&Sb" a&Sb a&Sb"" = a , atau
a&S - b a&Sb a&S + b = a
13. Hukum perekatan tiga suku umum salah ganti hukum perekatan umum (teorema konsensus). Dalam logika terner a&c b&~c a&b a&c ∨ b&~c dan (a∨b) & (~a∨c) & (b∨c) (a∨b) & (~a∨c) , tapi :
a&Sd" b&Sd c&Sd"" a&b&c = a&Sd" b&Sd c&Sd"" , atau
a&S - d b&Sd c&S + d a&b&c = a&S - d b&Sd c&S + d
14. Hukum Blake-Poretsky Tiga Suku salah ganti Hukum Blake-Poretsky. Memang, a ~a&b a∨b dan a & (~a∨b) a&b , tetapi:
a Sa"&b Sa&b = a∨b , atau
a S - a&b Sa&b = a∨b
5.3. Perkalian logis dan penambahan modulo tiga.
Anehnya, tidak ada konjungsi atau disjungsi di tabel perintah mesin Setun. Seiring dengan operasi aritmatika ada satu "fungsi 20", bitwise perkalian logis. Ini adalah perkalian yang biasa kita kenal sejak kecil:| x∧y= =x∙y | - | 0 | + |
|---|---|---|---|
| - | + | 0 | - |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| + | - | 0 | + |
Ini memungkinkan Anda untuk menyimpan, mengatur ulang, atau mengubah tanda trit. Jika kita menambahkan (secara aritmatika) satu atau kurang satu ke trit nol, kita mendapatkan semua variasi yang dibutuhkan programmer. Berdasarkan ini, operasi logis ini dipilih oleh Brusentsov untuk implementasi perangkat keras di Setun, karena ia menghemat ruang perintah.
Modulo tiga tambahan menyerupai XOR biner. Ini adalah tambahan biasa, hanya tanpa transfer: dalam kasus limpahan grid bit, ini hanya menghemat trit yang lebih rendah. Seperti XOR biner, penambahan modulo tiga membiarkan trit tidak berubah atau memodifikasinya (melakukan operasi INC / DEC, tergantung pada tanda trit yang sesuai).
| x⊕y | - | 0 | + |
|---|---|---|---|
| - | + | - | 0 |
| 0 | - | 0 | + |
| + | 0 | + | - |
Dua operasi penting dan berguna ini tidak ditemukan di Yablonsky. Sebaliknya, ilmuwan Rusia menganggap operasi serupa untuk sistem terner dengan dasar (0,1,2) - lebih sulit dalam implementasi perangkat keras, dan tidak diperlukan oleh siapa pun.
5.4. Fungsi Webb sebagai harapan revolusi Rusia.
Orang-orang yang sangat tertarik dengan logika Profesor Boole mengingat pukulan Schaeffer dan panah Pierce. Apakah ada operasi dua tempat yang serupa di sini? Ternyata ada. Operasi biner yang oleh matematikawan disebut fungsi webb(x|y=V 3 (x,y)=INC max(x,y)), memungkinkan Anda untuk mengimplementasikan semua fungsi bernilai tiga lainnya. Anda tidak salah dengar, itu saja. Baik tunggal (misalnya INC x=V 3 (x,x)), dan ganda (misalnya x∨y=INC INC V 3 (x,y)). Tentu saja, tabel kebenarannya menyerupai disjungsi:| x|y | - | 0 | + |
|---|---|---|---|
| - | 0 | + | - |
| 0 | + | + | - |
| + | - | - | - |
Sangat mungkin bahwa itu adalah elemen logis yang mengimplementasikan fungsi Webb yang harus memainkan peran ternary LA3 "mereka (elemen NAND). Dan efisiensi prosesor ternary domestik masa depan akan tergantung pada kualitas implementasi ini. fungsi, jumlah transistor.
Namun, fungsi DEC max(x,y) (dan mungkin INC min(x,y) , DEC min(x,y)) sama baiknya. Satu-satunya pertanyaan adalah yang mana yang dapat kita terapkan paling efektif.
6. Kebutuhan praktis.
Bagian ini sedang ditambahkan secara bertahap. Saya telah sepenuhnya menjelaskan logika tiga nilai. Tetapi selalu ada beberapa tambahan dan klarifikasi yang penting untuk bidang kegiatan tertentu.6.1. Fungsi penting untuk insinyur.
Ada beberapa fitur yang menurut Brusentsov berguna dalam desain perangkat ternary. Pertama, ini adalah fungsi aritmatika satu tempat pemisahan komponen biner- , ° dan + , yang mudah diperoleh dari operasi seleksi logis:Kedua, ini penambahan ambang batas x+y , yang, tidak seperti modulo 3, meluap untuk menghasilkan nilai terbesar (atau terkecil) yang cocok dengan trit. Ini tidak asosiatif, tetapi, menurut Brusentsov, ini jauh lebih sederhana dalam implementasi perangkat keras:
Steve Grubb mengusulkan dan mengimplementasikan tiga fungsi biner lagi. Pertama, ini maksimum eksklusif(Eksklusif Maks) x⇑y . Hasil fungsi fun ini sama dengan maksimal dua operan, atau "-" jika operan ini sama:
Fitur terakhir yang diusulkan oleh Steve Grubb disebut perbandingan(Magnitude) x≡y , membandingkan besaran dari dua argumen. Nilai fungsi ini adalah -“ jika x
| x≡y | - | 0 | + |
|---|---|---|---|
| - | 0 | + | + |
| 0 | - | 0 | + |
| + | - | - | 0 |
6.2. Fungsi penting bagi matematikawan.
Beberapa fungsi memiliki sedikit arti praktis bagi ilmuwan komputer, tetapi memainkan peran penting dalam logika matematika, sejarah atau ilmiah. Saya akan daftar mereka di sini demi kelengkapan. Siapa tahu, mungkin sesuatu dari warisan ini akan berkilau dengan warna baru di komputer ternary...Pelopor logika ternary adalah Kutub Lukashevich. Logika kami OR dia dilambangkan x∧y dan disebut konjungsi lemah, dan tanda x & y menunjukkan tanda yang sama sekali berbeda, konjungsi yang kuat, yang peta Karnotnya diberikan di bawah ini. Di sebelah kanan adalah implikasi dari Lukashevich x→ l y (x horizontal), yang penting dalam logika modal:
Kleene Amerika mengusulkan operasi konjungsi dan implikasinya. Dalam interpretasinya, keadaan ketiga berarti "tidak terdefinisi":
| 7. Hasil.Seperti yang telah saya catat, ada puluhan ribu operasi dua tempat. Meja penuh akan menjadi tak terbatas. Di bawah ini adalah tabel yang merangkum semua operasi yang dibahas.
8. Dimensi keempat adalah keadaan.Pengembang telah lama memahami bahwa logika Profesor Boole tidak cukup untuk membangun komputer. Jadi jaringan komputer "dengan bus umum" (misalnya, Ethernet) memerlukan kombinasi semua input dan output kartu jaringan. Menggabungkan input dapat dimengerti, semua orang membaca informasi yang sama dari kabel yang sama. Tapi apakah penyatuan output itu? Jika satu komputer ingin output "1", dan komputer berikutnya ingin output "0", lalu apa yang akan terjadi di bus, apa yang akan dibaca input?Banyak sirkuit modern menggunakan "keadaan ketiga" (yang lebih administratif daripada logis) dan bekerja di persimpangan logika biner dan terner. Keadaan ini disebut impedansi tinggi("dengan disabilitas"). Secara khusus, situs Internet masuk ke dalamnya selama serangan DoS. :-) Dalam kasus bus umum, semua keluaran harus dapat berada dalam keadaan ketiga ini. Dan hanya satu dari mereka yang harus menghasilkan nol atau satu, "salah" atau "benar" ke bus umum. Demikian pula, jika kita ingin memanfaatkan sepenuhnya koneksi terner, kita harus menggunakan status keempat "impedansi tinggi". Namun, logika empat nilai dengan mudah direduksi menjadi biner. Hanya saja operasi dilakukan pada dua bit sekaligus, dan bukan pada satu bit. Satu-satunya perbedaan mendasar adalah bahwa operasi empat digit pada bit dapat mempengaruhi bit "berpasangan". Namun, "keadaan keempat" yang dijelaskan juga tidak akan menjalankan fungsi logis, tetapi "administratif". |
Tentunya sudah ada banyak posting tentang topik ini di Habré. Namun, saya akan mencoba menceritakan sudut pandang saya tentang semua ini ...
Suatu kali saya membaca di Internet tentang sistem nomor ternary dan menjadi tertarik. Saya tersiksa oleh pertanyaan itu, tetapi tidak mungkin menggunakan sistem bilangan terner simetris (SS) di jantung komputer, dan bahkan tiba-tiba ini akan meningkatkan kinerja komputer? Tampaknya bagi saya itu mungkin, dan saya sangat ingin mengujinya.
Informasi:
Sistem bilangan terner- Sistem bilangan posisi dengan basis bilangan bulat sama dengan 3. Ada dua versi: asimetris dan simetris.
Dalam sistem bilangan terner asimetris, angka (0,1,2) lebih sering digunakan, dan dalam sistem bilangan terner simetris, tanda (−,0,+), (−1,0,+1).
Beberapa orang menganggap logika ini sulit. Mereka mengatakan, misalnya, berikan contoh logika seperti itu dalam hidup.
Seseorang yang berpikir sedikit tentang logika ini akan mengerti bahwa itu lebih penting daripada biner. Contoh umum logika ternary dalam kehidupan terhubung dengan arus searah: arus bergerak ke satu arah, ke arah lain, itu tidak ada.
Ternyata sistem bilangan terner simetris sudah lama digunakan untuk menyelesaikan "masalah tentang bobot", digunakan di komputer setun dibangun pada 1950-an di Universitas Negeri Moskow. Sejak 2008, sistem komputer digital telah beroperasi di California Polytechnic State University of San Luis Obispo TCA2, berdasarkan sistem bilangan terner.
Apa kelebihan SS terner dibandingkan biner? Pertimbangkan manfaat ini: Lebih sedikit debit
(Ditulis dikunyah sehingga semua orang dapat memahami inti dari paragraf ini)
Mari kita ambil angka 10 dalam desimal SS dan terjemahkan ke dalam SS biner, kita dapatkan 1010, terjemahkan ke dalam SS simetris terner, kita dapatkan +0+, tetapi jika ke dalam SS asimetris terner, maka kita dapatkan 101. Dari sini kita melihat bahwa di beberapa angka dalam SS-ax simetris dan asimetris terner memiliki bit yang lebih sedikit daripada SS biner.
Mari kita ambil angka 5 dalam desimal SS dan menerjemahkannya ke dalam SS biner, kita mendapatkan 101, menerjemahkannya ke dalam SS simetris terner, kita mendapatkan +--, tetapi jika menjadi SS asimetris terner, kita mendapatkan 12. Dari sini kita melihat bahwa di beberapa angka dalam SS asimetris terner memiliki bit lebih sedikit daripada SS simetris biner dan terner. Kapasitas
SS ternary mengakomodasi rentang angka yang lebih besar, karena 3^n>2^n (di mana n adalah bilangan asli). Misalnya, jika n=9, maka 3^9=19683>2^9=512.
3.Ekonomi sistem bilangan
Ekonomi sistem bilangan adalah stok angka yang dapat ditulis dalam sistem tertentu menggunakan sejumlah karakter tertentu. Semakin besar margin, semakin ekonomis sistemnya. Dalam hal biaya jumlah karakter (dalam angka desimal tiga digit 3 * 10 \u003d 30 karakter), ini adalah yang paling ekonomis dari sistem angka asimetris eksponensial posisional. Biarkan p menunjukkan basis sistem bilangan, n jumlah karakter yang diperlukan. Kemudian kita mendapatkan n/p digit yang diperlukan untuk menulis kumpulan karakter ini dalam sistem bilangan yang diberikan, dan jumlah angka yang dapat ditulis dalam kasus ini akan sama dengan pn/p.
Kami melihat aritmatika ternary, sekarang mari kita sentuh logika:
Apa masalah dengan logika biner?
1. Kekuatan komputer berdasarkan logika biner tidak selalu cukup. Mari kita ambil contoh. Salah satu sistem keamanan yang paling kompleks adalah kriptosistem RSA. Memecah cipher RSA dengan panjang kunci 1024 bit (panjang ini sering digunakan dalam sistem informasi) akan memakan waktu paling lama - ketika melakukan komputasi terdistribusi pada ribuan PC yang kuat - setidaknya lima belas tahun, dan pada saat itu sistem enkripsi ini tidak akan lagi diminati.
Kami akan membuktikan secara matematis sistem bilangan mana yang terbaik untuk daya dan kapasitas memori maksimum. Untuk melakukannya, pertimbangkan fungsi f(p)=p^(n/p), di mana p adalah basis sistem bilangan, dan n adalah jumlah karakter yang diperlukan. Kemudian kita mendapatkan n/p digit yang diperlukan untuk menulis kumpulan karakter ini dalam sistem bilangan yang diberikan, dan jumlah angka yang dapat ditulis dalam hal ini akan sama dengan pn/p
F(p)=p^(n/p)
Untuk menentukan nilai maksimum suatu fungsi, kami menemukan turunannya:
log f = log p^(n/p)
log f =n/p* ln p
...(Saya tidak akan memberikan semua matematika di sini)
n*p^(n/p-2) tidak akan pernah sama dengan 0 => (1 - ln p)=0, ln p = 1, p = e
e = 2,71, dan bilangan bulat terdekat adalah tiga.
Jadi, dalam hal ini, sistem terbaik dengan basis bilangan bulat adalah ternary.
Yang paling enak - pertimbangkan operasi logis ternary:
1.Penyangkalan
2.Konjungsi - logika AND
3.Disjungsi - logika OR
4.Operasi Seleksi. Operasi ini hanya ada untuk logika ternary. Tabel kebenaran dari masing-masing tiga operasi ini berisi "-" di mana-mana, kecuali untuk nilai tunggal yang dapat dipilihnya. 
5.Modifikasi. Nama lengkap dari operasi tunggal ini adalah kenaikan satu modulo tiga (INC) dan penurunan satu modulo tiga (DEC). Peningkatan satu modulo tiga adalah penambahan siklik satu. 
Di sini Anda dapat melihat operasi logis yang sebelumnya dikenal dari logika biner, tetapi yang baru telah ditambahkan ...
komputer kuantum
Komputer kuantum adalah perangkat komputasi berdasarkan mekanika kuantum. Komputer kuantum pada dasarnya berbeda dari komputer klasik yang didasarkan pada mekanika klasik.Karena kecepatan dekomposisi yang sangat besar menjadi faktor utama, komputer kuantum akan memungkinkan dekripsi pesan yang dienkripsi menggunakan algoritma kriptografi asimetris RSA yang populer. Sampai saat ini, algoritma ini dianggap relatif dapat diandalkan, karena cara yang efektif untuk memfaktorkan bilangan menjadi faktor prima untuk komputer klasik saat ini belum diketahui. Agar, misalnya, untuk mendapatkan akses ke kartu kredit, Anda perlu menguraikan menjadi dua faktor prima sejumlah ratusan digit. Bahkan untuk komputer modern tercepat, menyelesaikan tugas ini akan memakan waktu ratusan kali lebih lama dari usia alam semesta. Berkat algoritma Shor, tugas ini menjadi cukup layak jika komputer kuantum dibangun.
Perusahaan Kanada D-Wave mengumumkan pada Februari 2007 bahwa mereka telah membuat sampel komputer kuantum yang terdiri dari 16 qubit. Perangkat ini bekerja pada qubit - analog kuantum bit.
Tetapi adalah mungkin untuk membangun komputer bukan pada bit, tetapi pada qutrit - analog trit dalam komputer kuantum.
Kutrit (quantum trit) adalah sel kuantum yang memiliki tiga kemungkinan keadaan.
Inovasi nyata dari metode Lanyon adalah bahwa dengan menggunakan qutrit alih-alih qubit di gerbang kuantum universal, peneliti dapat secara signifikan mengurangi jumlah gerbang yang dibutuhkan.
Lanyon berpendapat bahwa komputer yang biasanya menggunakan 50 gerbang kuantum tradisional bisa lolos hanya dengan sembilan jika didasarkan pada representasi ternary.
Juga, menurut beberapa penelitian, penggunaan qutrit daripada qubit akan menyederhanakan implementasi algoritma kuantum dan komputer.
Hasil:
Pada akhirnya, dapat dilihat bahwa sistem simetris terner lebih baik daripada sistem biner dalam beberapa hal, tetapi tidak menang banyak. Tetapi dengan munculnya komputer kuantum, komputasi terner telah diberikan kehidupan baru. Gerbang logika kuantum universal - landasan sistem komputasi kuantum yang baru lahir - membutuhkan ratusan gerbang untuk menyelesaikan satu operasi yang berguna. Komputer kuantum perusahaan Kanada D-Wave, yang diumumkan tahun lalu, hanya terdiri dari 16 bit kuantum - qubit - minimum yang diperlukan untuk gerbang "BUKAN" yang dikendalikan. Menggunakan qutrit dalam komputer kuantum akan membutuhkan lebih sedikit gerbang untuk menyelesaikan satu operasi. Saya pikir jika produksi dan pengujian komputer semacam itu dimulai, maka hasilnya akan lebih baik daripada komputer biasa, produksi massal mereka akan segera dimulai, dan semua orang akan melupakan komputer biner ...
Dengan dua nilai jelas dan satu fuzzy, selain "benar" dan "salah" juga termasuk nilai ketiga, yaitu kabur dan diperlakukan sebagai "tidak ditentukan" atau "tidak diketahui".
Implementasi fisik
Ketika diimplementasikan secara fisik, fungsi ternary dalam logika ternary sesuai dengan elemen logika ternary, dalam kasus umum, tidak harus elektronik.
Sirkuit dengan logika bernilai 3-4 memungkinkan untuk mengurangi jumlah elemen logis dan penyimpanan yang digunakan, serta interkoneksi. Sirkuit logika tiga nilai mudah diimplementasikan pada teknologi CMOS. Logika tiga nilai lebih ekspresif daripada logika dua nilai. Misalnya, hanya ada 16 kombinasi I/O dari gerbang biner dua input, sedangkan gerbang terner yang serupa memiliki 19683 kombinasi tersebut.
Atas dasar elemen terner - sel dioda ferit terner yang dikembangkan oleh Nikolai Brusentsov - pada tahun 1959, komputer kecil "Setun" dirancang di pusat komputer Universitas Negeri Moskow, dirilis dalam 46 salinan.
Logika
Logika Kleene dan Priest
Di bawah ini adalah tabel kebenaran untuk operasi logis dari "logika ketidakpastian yang kuat" Stephen Kleene dan "logika paradoks" Priest. Kedua logika memiliki tiga nilai logis - "benar", "salah" dan "ketidakpastian", yang dalam logika Kleene dilambangkan dengan huruf F (Salah), U (Tidak Diketahui), T (Benar), dan dalam logika Priest dengan angka -1, 0 dan satu.
| SEBUAH ∧ B | B | |||
|---|---|---|---|---|
| F | kamu | T | ||
| SEBUAH | F | F | F | F |
| kamu | F | kamu | kamu | |
| T | F | kamu | T | |
| SEBUAH ∨ B | B | |||
|---|---|---|---|---|
| F | kamu | T | ||
| SEBUAH | F | F | kamu | T |
| kamu | kamu | kamu | T | |
| T | T | T | T | |
| SEBUAH ∧ B | B | |||
|---|---|---|---|---|
| −1 | 0 | +1 | ||
| SEBUAH | −1 | −1 | −1 | −1 |
| 0 | −1 | 0 | 0 | |
| +1 | −1 | 0 | +1 | |
| SEBUAH ∨ B | B | |||
|---|---|---|---|---|
| −1 | 0 | +1 | ||
| SEBUAH | −1 | −1 | 0 | +1 |
| 0 | 0 | 0 | +1 | |
| +1 | +1 | +1 | +1 | |
Nilai U diberikan ke ekspresi yang sebenarnya memiliki nilai T atau F, tetapi saat ini nilai ini tidak diketahui karena alasan tertentu, yang mengakibatkan ambiguitas. Namun, hasil dari operasi logika dengan nilai U dapat ditentukan. Misalnya, karena T & F = F dan F & F = F, maka U & F = F. Lebih umum: jika beberapa operasi logika OPER memenuhi relasi OPER(F,F)=OPER(F,T), maka OPER (F,U)=OPER(F,F)=OPER(F,T). Demikian pula, jika OPER(T,F)=OPER(T,T), maka OPER(T,U)=OPER(T,F)=OPER(T,T).
Dengan penunjukan numerik nilai logis (-1, 0, 1), operasi logis setara dengan operasi numerik berikut:
teksvc tidak ditemukan; Lihat math/README untuk bantuan penyiapan.): \bar(X)=-X;
Tidak dapat mengurai ekspresi (file yang dapat dieksekusi teksvc tidak ditemukan; Lihat math/README untuk bantuan setup.): X \lor Y = max(X,Y);
Tidak dapat mengurai ekspresi (file yang dapat dieksekusi teksvc tidak ditemukan; Lihat math/README untuk bantuan penyiapan.): X \land Y = min(X,Y).
Operasi implikasi dalam logika Kleene dan Priest didefinisikan oleh rumus yang mirip dengan rumus logika biner:
Tidak dapat mengurai ekspresi (file yang dapat dieksekusiteksvc tidak ditemukan; Lihat math/README untuk bantuan setup.): X \rightarrow Y \ \overset(\underset(\mathrm(def))())(=) \bar(X) \lor Y
.
Tabel kebenaran untuknya
| SEBUAH → B | B | |||
|---|---|---|---|---|
| +1 | 0 | −1 | ||
| SEBUAH | +1 | +1 | 0 | −1 |
| 0 | +1 | 0 | 0 | |
| −1 | +1 | +1 | +1 | |
Definisi ini berbeda dengan definisi implikasi yang diadopsi dalam logika Lukasiewicz.
Lihat juga
Tulis ulasan pada artikel "Logika Trinitas"
Catatan
literatur
- Vasiliev N.I. logika imajiner. - M.: Nauka, 1989.
- Karpenko A.S. Logika multinilai // Logika dan komputer. Masalah. 4. - M.: Nauka, 1997.
- Carroll Lewis. Logika Simbolik // Lewis Carroll. Sejarah simpul. - L.: Mir, 1973.
- Lukasevich Ya. Silogistik Aristotelian dari sudut pandang logika formal modern. - M.: Sastra Asing, 1959.
- Slinin Ya. Logika modal modern. - L.: Rumah penerbitan Universitas Leningrad, 1976.
- Styazhkin N.I. Pembentukan logika matematika. - M.: Nauka, 1967.
- Getmanova A.D. Buku pelajaran logika. - M.: Vlados, 1995. - S. 259-268. - 303 hal. - ISBN 5-87065-009-7.
- Kamus Penjelasan Sistem Komputasi / Ed. V. Illingworth dan lain-lain - M.: Mashinostroenie, 1990. - 560 hal. - ISBN 5-217-00617-X.
Tautan
Kutipan yang mencirikan logika Trinitas
– Aku memanggilnya... Tapi gadisku mungkin tertidur, karena dia tidak menjawab... Dia lelah, kurasa. Aku tidak ingin mengganggu ketenangannya. Karena itu, bicaralah padaku, Sever.Dia menatap mataku dengan pengertian yang sedih dan dengan tenang bertanya:
Apa yang Anda ingin tahu, teman saya? Tanyakan - Saya akan mencoba menjawab semua yang membuat Anda khawatir.
- Svetodar, Sever... Apa yang terjadi padanya? Bagaimana putra Radomir dan Magdalena menjalani hidupnya di Bumi?..
Utara berpikir... Akhirnya, dengan menarik napas panjang, seolah membuang obsesi masa lalu, dia memulai cerita seru berikutnya...
- Setelah penyaliban dan kematian Radomir, Svetodar dibawa ke Spanyol oleh Knights of the Temple untuk menyelamatkannya dari cakar berdarah gereja "suci", yang, berapa pun biayanya, mencoba menemukan dan menghancurkannya, karena bocah itu adalah saksi hidup yang paling berbahaya, dan juga, penerus langsung dari Pohon Kehidupan Radomir, yang seharusnya mengubah dunia kita suatu hari nanti.
Svetodar tinggal dan belajar tentang lingkungannya dalam keluarga seorang bangsawan Spanyol, yang merupakan pengikut setia ajaran Radomir dan Magdalena. Mereka tidak memiliki anak sendiri, sangat sedih, sehingga "keluarga baru" menerima bocah itu dengan sangat ramah, berusaha menciptakan lingkungan rumah yang paling nyaman dan hangat untuknya. Mereka memanggilnya Amory di sana (yang berarti sayang, kekasih), karena berbahaya memanggil Svyatodar dengan nama aslinya. Kedengarannya terlalu tidak biasa untuk didengar orang lain, dan mempertaruhkan nyawa Svetodar karena ini lebih dari tidak masuk akal. Jadi Svetodar untuk semua orang menjadi bocah Amory, dan hanya teman-teman dan keluarganya yang memanggilnya dengan nama aslinya. Dan kemudian, hanya ketika tidak ada orang asing di dekatnya ...
Mengingat dengan sangat baik kematian ayah tercintanya, dan masih sangat menderita, Svetodar bersumpah dalam hati kekanak-kanakannya untuk "membuat kembali" dunia yang kejam dan tidak tahu berterima kasih ini. Dia bersumpah untuk mengabdikan kehidupan masa depannya kepada orang lain untuk menunjukkan betapa bersemangat dan tanpa pamrih dia mencintai Kehidupan, dan betapa kerasnya dia berjuang untuk Kebaikan dan Cahaya dan ayahnya yang telah meninggal...
Bersama dengan Svetodar, pamannya sendiri, Radan, tetap tinggal di Spanyol, yang tidak meninggalkan bocah itu siang atau malam, dan tanpa henti mengkhawatirkan kehidupannya yang rapuh dan belum berbentuk.
Radan memanjakan keponakannya yang luar biasa! Dan dia tanpa henti ketakutan bahwa suatu hari seseorang pasti akan melacak mereka dan memotong kehidupan berharga Svetodar kecil, yang, bahkan saat itu, sejak tahun-tahun pertama keberadaannya, ditakdirkan oleh nasib buruk untuk membawa obor Cahaya. dan Pengetahuan bagi dunia duniawi kita yang kejam, tetapi begitu sayang dan akrab.
Delapan tahun yang penuh tekanan telah berlalu. Svetodar berubah menjadi pemuda yang luar biasa, sekarang lebih seperti ayahnya yang pemberani - Jesus-Radomir. Dia menjadi dewasa dan menjadi lebih kuat, dan di mata birunya yang jernih, warna baja yang sudah dikenalnya mulai muncul lebih sering, yang pernah bersinar begitu terang di mata ayahnya.
Svetodar hidup dan belajar dengan sangat rajin, dengan sepenuh hatinya berharap suatu hari nanti menjadi seperti Radomir. Kebijaksanaan dan Pengetahuan dia diajar oleh Magus Easten yang datang ke sana. Ya, ya, Isidora! – memperhatikan keterkejutanku, Seever tersenyum. - Easten yang sama yang kamu temui di Meteora. Istan, bersama dengan Radan, mencoba dengan segala cara yang mungkin untuk mengembangkan pemikiran hidup Svetodar, mencoba membuka Dunia Pengetahuan yang misterius untuknya seluas mungkin, sehingga (jika ada masalah) bocah itu tidak akan tetap tak berdaya dan bisa berdiri untuk dirinya sendiri, bertemu muka dengan musuh atau kerugian.
Setelah mengucapkan selamat tinggal kepada saudara perempuannya yang luar biasa dan Magdalena beberapa waktu lalu, Svetodar tidak pernah melihat mereka hidup lagi... Dan meskipun hampir setiap bulan seseorang membawakannya berita baru dari mereka, hatinya yang kesepian sangat merindukan ibu dan saudara perempuannya - dia satu-satunya yang nyata keluarga, selain Paman Radan. Tetapi, meskipun usianya masih muda, Svetodar telah belajar untuk tidak menunjukkan perasaannya, yang dianggapnya sebagai kelemahan pria sejati yang tak termaafkan. Dia bercita-cita untuk tumbuh sebagai Prajurit seperti ayahnya, dan tidak ingin menunjukkan kerentanannya kepada orang lain. Beginilah cara pamannya Radan mengajarinya... dan begitulah ibunya bertanya dalam pesannya... Golden Mary yang jauh dan terkasih.
Setelah kematian Magdalena yang tidak masuk akal dan mengerikan, seluruh dunia batin Svetodar berubah menjadi rasa sakit yang berkelanjutan ... Jiwanya yang terluka tidak mau menerima kehilangan yang tidak adil. Dan meskipun Paman Radan telah mempersiapkannya untuk kemungkinan seperti itu untuk waktu yang lama - kemalangan yang menimpa pemuda itu seperti badai siksaan yang tak tertahankan, dari mana tidak ada jalan keluar ... Jiwanya menderita, menggeliat dalam kemarahan yang tak tertahankan. , karena tidak ada yang bisa diubah... tidak ada yang bisa dikembalikan. Ibunya yang luar biasa dan lembut telah pergi ke dunia yang jauh dan asing, membawa adik perempuannya yang manis bersamanya...
Dia sekarang benar-benar sendirian dalam kenyataan yang kejam dan dingin ini, bahkan tidak punya waktu untuk menjadi pria dewasa sejati, dan tidak mampu memahami dengan baik bagaimana tetap hidup dalam semua kebencian dan permusuhan ini...
Tetapi darah Radomir dan Magdalena, tampaknya, tidak mengalir dengan sia-sia pada putra satu-satunya mereka - setelah menderita rasa sakitnya dan tetap gigih, Svetodar bahkan mengejutkan Radan, yang (tidak seperti orang lain!) Tahu betapa rapuhnya jiwa itu. menjadi, dan betapa sulitnya terkadang diberikan kembali, di mana tidak ada lagi orang-orang yang Anda cintai dan untuk siapa Anda begitu tulus dan sangat mendambakan ...
Svetodar tidak mau menyerah pada belas kasihan kesedihan dan rasa sakit ... Semakin kejam "mengalahkan" hidupnya, semakin keras dia mencoba untuk bertarung, mengetahui jalan menuju Cahaya, menuju Kebaikan, dan menuju keselamatan manusia. jiwa-jiwa tersesat dalam kegelapan... Orang-orang datang kepadanya di sungai memohon bantuan. Seseorang mendambakan untuk menyingkirkan penyakitnya, seseorang mendambakan untuk menyembuhkan hati mereka, yah, dan seseorang hanya bercita-cita untuk Cahaya, yang dibagikan Svetodar dengan sangat murah hati.
Kecemasan Radan bertambah. Ketenaran "keajaiban" yang dilakukan oleh keponakannya yang ceroboh telah menyebar ke luar Pyrenees... Semakin banyak orang yang menderita ingin beralih ke "pekerja ajaib" yang baru dicetak. Dan dia, seolah-olah tidak menyadari bahaya yang akan datang, tidak menolak siapa pun lebih jauh, dengan percaya diri berjalan di jejak almarhum Radomir ...
Beberapa tahun lagi yang penuh kecemasan berlalu. Svetodar matang, menjadi lebih kuat dan lebih tenang. Bersama Radan, mereka sudah lama pindah ke Occitania, di mana bahkan udara pun seolah menghirup ajaran ibunya, Magdalena yang meninggal sebelum waktunya. Knights of the Temple yang masih hidup menerima putranya dengan tangan terbuka, bersumpah untuk melindunginya dan membantunya sebanyak yang mereka bisa.
Dan kemudian suatu hari, hari itu tiba ketika Radan merasakan bahaya nyata yang mengancam secara terbuka... Itu adalah peringatan kedelapan kematian Golden Maria dan Vesta, ibu dan saudara perempuan tercinta Svetodar...
– Lihat, Isidora... – Sever berkata pelan. - Akan kutunjukkan jika kau mau.
Gambar hidup yang cerah, tetapi suram, segera muncul di depan saya ...
Gunung-gunung yang suram dan berkabut dengan murah hati ditaburi dengan hujan gerimis yang mendesak, meninggalkan perasaan tidak aman dan kesedihan dalam jiwa ... Kabut abu-abu yang tak tertembus membungkus kastil-kastil terdekat dalam kepompong kabut, mengubahnya menjadi percobaan kesepian yang menjaga kedamaian abadi di lembah ... Lembah Para Penyihir tampak suram pada gambar yang mendung dan tidak menyenangkan, mengingat hari-hari yang cerah dan menyenangkan, diterangi oleh sinar matahari musim panas yang terik ... Dan dari sini segala sesuatu di sekitarnya menjadi lebih suram dan bahkan lebih menyedihkan.
Seorang pemuda jangkung dan ramping berdiri sebagai "patung" beku di pintu masuk gua yang dikenalnya, tidak bergerak dan tidak menunjukkan tanda-tanda kehidupan, seolah-olah patung batu sedih yang diukir oleh tuan yang tidak dikenal tepat di batu batu dingin yang sama. .. Saya menyadari bahwa ini pasti Svetodar dewasa. Dia tampak dewasa dan kuat. Kuat dan pada saat yang sama - sangat baik ... Bangga, tegak, berbicara tentang keberanian dan kehormatan. Rambut pirang yang sangat panjang, diikat di dahi dengan pita merah, jatuh bergelombang besar di bahunya, membuatnya tampak seperti raja kuno ... keturunan yang bangga dari Meravingles. Bersandar pada batu lembab, Svetodar berdiri, tidak merasakan dingin atau lembab, atau lebih tepatnya, tidak merasakan apa-apa...
Di sini, tepat delapan tahun yang lalu, ibunya, Golden Mary, dan adik perempuannya, Vesta yang pemberani dan penyayang, meninggal... Mereka mati, dibunuh secara brutal dan keji oleh orang gila dan jahat... yang dikirim oleh "ayah" dari Gereja Suci. Magdalena tidak pernah hidup untuk memeluk putranya yang sudah dewasa, dengan berani dan setia seperti dia, berjalan di sepanjang jalan Cahaya dan Pengetahuan yang sudah dikenalnya.... Di sepanjang jalan kepahitan dan kehilangan duniawi yang kejam...
- Atas nama apa, Tn. Anderson?
Mengapa Anda bangun dan terus berjuang?
Anda harus mengerti bahwa Anda tidak bisa menang
perlawanan tidak ada gunanya.
Jadi mengapa Anda bertahan, mengapa???
Karena itu pilihanku.
Dari film "Matriks"
Pada 1950-an, sekelompok ilmuwan dan insinyur Soviet yang dipimpin oleh Nikolai Petrovich Brusentsov (1925-2014) menciptakan komputer elektronik berbasis logika ternary yang disebut Setun. Sekarang, setelah beberapa dekade, ketika biner dan komputer telah menjadi konsep hologram, ide pengembangan seperti itu tampak tidak biasa, tetapi lebih dari itu tetap disalahpahami. Tapi itu adalah penemuan yang bisa sangat mengubah (atau mempercepat?) jalannya sejarah seluruh umat manusia.
Jelas bahwa untuk pengoperasian komputer elektronik apa pun, perlu untuk menetapkan aturan yang akan digunakannya. Aturan-aturan ini, dalam pengertian yang paling umum, adalah logika yang mengarahkan sistem bilangan dan algoritma kerja yang sesuai. Kita semua akrab dengan ilmu Logika, juga Logika Formal. Meskipun disebut juga logika Aristotelian, sebenarnya tidak. Penyimpangan silogistik Aristoteles dan penggantiannya dengan logika formal dimulai, menurut N.P. Brusentsov, sejak Stoa Romawi. Rupanya kemudian umat manusia mulai memimpin secara global oleh hidung. Kebodohan terus berlanjut bahkan di zaman kita. Logika yang saat ini dianggap matematis didasarkan pada kesalahan. Dibuat oleh Gilbert. Dalam bukunya bersama Ackerman "Fundamentals of Theoretical Logic" dikatakan: " Kami menyimpang dari Aristoteles dalam menafsirkan proposisi "Semua A adalah B." Menurut Aristoteles, penilaian ini bisa benar, yaitu hanya benar jika ada beberapa A. Kami menganggap ini tidak pantas". Hasilnya adalah "Semua A adalah B" adalah benar, sedangkan "Beberapa A adalah B" tidak. Ini tidak masuk akal! Alih-alih pengikut Aristotelian, yang dalam semua bahasa alami diungkapkan dengan kata-kata "Semua A adalah B" - dan Aristoteles mereproduksi ini dengan sangat akurat dalam sistemnya - mereka menyelipkan apa yang disebut implikasi material. Faktanya adalah bahwa proposisi "Semua A adalah B" bernilai tiga oleh Aristoteles, dalam logika dua nilai itu tidak dapat diungkapkan. Berdasarkan logika "hukum" ini, logika telah kehilangan hubungan fundamentalnya - tindak lanjut esensial yang diperlukan, sebagai akibatnya ia menjadi "skolastisisme mati".
Akibatnya, apa yang disebut paradoks implikasi material muncul, yang sejauh ini tidak berhasil ditangani oleh para ahli logika.
Mari kita pertimbangkan secara detail.
Aristoteles mendefinisikan hubungan suksesi dalam First Analytics sebagai berikut:
“...ketika dua [objek] terkait satu sama lain sedemikian rupa sehingga jika ada satu, [maka] pasti ada yang kedua; kemudian, jika tidak ada yang kedua, [maka] tidak akan ada yang pertama; tetapi jika yang kedua, tidak perlu yang pertama. Tetapi tidak mungkin hal yang sama diperlukan baik ketika yang lain hadir maupun ketika tidak.”
Notasi: A dan lawannya (atau kekurangan) non-A
B dan lawannya (atau tidak adanya) non-B
Proposisi "Semua A adalah B" memiliki arti sebagai berikut:
Ketika A dan B - penilaiannya benar
Dengan A dan bukan-B, penilaiannya salah, karena bertentangan dengan situasi pertama. Lagi pula, tidak mungkin B dan bukan-B akan mengikuti dari A.
Dengan non-A dan non-B, penilaiannya benar
Dan yang paling menarik
Dengan non-A dan B, penilaian ... tidak dapat dengan tegas menerima kebenaran atau kepalsuan.
Jika kita berasumsi bahwa proposisi ini benar, maka ternyata B mengikuti baik dari A (substitusi pertama) dan dari bukan-A. Ini berarti bahwa kita bisa mendapatkan kesimpulan tertentu baik dari satu premis maupun dari antipodenya - dan ini bertentangan dengan akal sehat. Namun, jika proposisi salah, maka B tidak dapat mengikuti dari bukan-A. Tetapi bagaimana kita tahu bahwa ini tidak mungkin? Kami tidak mengetahui hal ini, dan karena itu kami tidak berhak mengatakannya.
Aristoteles mengatakannya seperti ini: jika yang kedua ada, makatidak perlu untuk menjadi yang pertama. Tidak perlu - ini adalah hasil dan artinya bahwa kita harus menulis kebalikan "bukan-A dan B" dalam proposisi "Semua A adalah B". Tetapi dalam logika dua nilai, kita hanya memiliki nilai Benar dan Salah (YA dan TIDAK; 1 dan 0), dan kita tidak dapat menyatakan "Tidak Perlu" dengan simbol-simbol ini. Ini adalah kontradiksi utama antara logika formal (biner) dan kehidupan nyata. Logika tiga nilai dengan mudah memecahkan masalah ini menggunakan simbol ketiga.
Dalam versi keempat dari penilaian, Aristoteles meninggalkan sel kosong dalam kesimpulannya, menyiratkan kemungkinan munculnya 0 atau 1 di sana, tetapi di bawah kondisi masalah yang ditentukan. Atau sel ini dapat dilambangkan dengan simbol Sigma – yang merupakan huruf pertama dari kata “masuk” atau dengan kata lain “kesempatan” dalam bahasa latin. Yang terkenal "tidak dikecualikan, yang berarti mungkin" - ini adalah "tidak perlu" kami dengan kata lain. Sekarang kita melihat bagaimana logika dua nilai bertentangan dengan kenyataan, dan oleh karena itu, menggunakannya sebagai alat untuk memahami dunia, itu akan memberikan hasil yang tidak memadai untuk kenyataan, sehingga mengurangi kemampuan kita untuk pengetahuan objektif tentang kenyataan.
Prinsip dialektis dari koeksistensi yang berlawanan mendasari silogistik Aristotelian dan diamati secara ketat di dalamnya, meskipun Aristoteles sendiri tidak mengatakan apa-apa tentang ini. Namun, prinsip ini tidak sesuai dengan hukum tengah yang dikecualikan, yang secara tepat mengecualikan koeksistensi yang berlawanan - "mungkin atau mungkin tidak."
Aristoteles tidak mengakui hukum tengah yang dikecualikan. Bahkan tidak ada sepatah kata pun tentang itu. Hilbert percaya bahwa pemahaman Aristoteles tentang proposisi "Semua A adalah B" tidak boleh diterima, karena tidak dapat diterima dari sudut pandang aplikasi matematika. Apakah absurditas dapat diterima? Semua sejarah menunjukkan bahwa absurditas ini ada.
Brusentsov mengatakan ini: jika kita ingin memperoleh pemikiran normal, kita harus meninggalkan dunia dua nilai dan menguasai logika tiga nilai dalam bentuk yang diciptakan Aristoteles. Tidak persis, tentu saja. Kami tidak membutuhkan sosoknya. Semua ini hari ini dengan bantuan aljabar dapat dinyatakan dengan elegan dan mudah dipahami. Tetapi penting untuk dipahami bahwa, selain YA dan TIDAK, ada juga TIDAK-YA dan TIDAK-TIDAK.
Sekarang dimungkinkan untuk memperkenalkan logika dua nilai ke sekolah dengan nama "ilmu komputer". Setelah itu, sekolah tidak akan lagi mendidik orang-orang seperti ilmuwan kita di abad lalu. Mengapa ada begitu banyak ilmuwan kreatif pada saat itu? Di suatu tempat pada tahun 1936, pendidikan hampir sama kacaunya dengan sekarang di Rusia. Kemudian, tampaknya, Stalin sendiri menarik perhatian pada hal ini. Omong-omong, Stalin adalah orang yang sangat pekerja keras dalam hal pelatihan. Suratnya kepada istrinya telah selamat, di mana dia, saat berlibur, memintanya untuk mengiriminya buku teks tentang teknik elektro. Dia mengerti bahwa segala sesuatu perlu diketahui "dalam bentuk", dan bukan dalam bentuk beberapa skema teoretis. Kemudian buku teks Kiselyov tentang aljabar dan geometri dikembalikan ke sekolah. Buku teks Kiselev adalah matematika Euclidean. Dan Euclid adalah seorang matematikawan dengan filosofi Aristoteles, dan, tampaknya, dia memahami Aristoteles dengan benar.
Jika kita tidak ingin mendidik orang di sekolah dengan refleks birokrat dan formalis, maka kita harus mengganti logika dua nilai dengan logika dialektika bernilai tiga Aristoteles.
Contoh logika ternary dalam kehidupan
Salah satu argumen paling jelas yang mendukung sistem terner adalah masalah logis menimbang dua beban, yang dikenal sejak zaman kuno.
Mari kita menimbang dua benda A dan B pada timbangan biasa. Timbangan akan memudahkan kita menentukan dua hal yang berlawanan: berat A > B atau berat A< В. Но ведь возможно также А = В! Следовательно, задача о весе А и В имеет три решения. А обозначения для такой ситуации в двузначной логике нет!
Demikian pula keputusan ketiga adalah hasil pertandingan sepak bola (imbang), netralitas (bukan dukungan atau oposisi) Swiss dan Finlandia selama konfrontasi antara NATO dan Pakta Warsawa.
Kami menyatakan keberadaan Matahari di langit sebagai 1, dan ketidakhadiran sebagai 0. Lalu, bagaimana menunjukkan matahari terbit di sana, ketika cakrawala sudah diterangi oleh sinar terang, tetapi piringan matahari belum muncul? Tetapi sama sekali, sesuai dengan logika biner, keadaan seperti itu tidak dapat ditentukan, dan karena itu tidak ada dalam kerangka kerjanya. Apakah kau mendengar? Matahari terbit yang terjadi setiap pagi tidak ada dalam model logika komputer biner.
Masa lalu adalah apa yang ADA, dan masa depan adalah apa yang BELUM. Mana yang asli? Seperti yang Anda lihat, dalam logika biner tidak mungkin untuk menentukan masa kini, yaitu, dalam model logika biner, masa kini tidak ada. Tapi kita hidup di dalamnya! Atau tidak ada masa depan, jika 0 menunjukkan masa kini - tetapi ini terdengar tidak kalah absurdnya.
Dan contoh terakhir dari pepatah rakyat, seperti biasa, bertujuan sangat baik dan luas.
"Setiap ikan haring adalah ikan, tetapi tidak setiap ikan adalah ikan haring."
Di sini Anda dapat membayangkan banyak ikan (B) - lingkaran besar, dan banyak ikan haring (A) - lingkaran kecil yang digambar di dalam lingkaran besar ikan. Melihat lingkaran, kita melihat bahwa jika Anda mengambil ikan haring, maka itu pasti akan menjadi berbagai jenis ikan. Dan bagian kedua dari kalimat “tidak setiap ikan adalah ikan haring” dapat dirumuskan kembali menjadi pertanyaan seperti ini: Agar saya memiliki ikan di tangan saya, haruskah saya mengambil ikan haring atau tidak? Dan jawabannya: Anda bisa mengambilnya, atau Anda tidak bisa mengambilnya, karena ada ikan lain selain herring! Artinya, kumpulan ikan (B) lebih besar dari kumpulan ikan haring (A), dan oleh karena itu, selain ikan haring, ada ikan lain, yang tidak sedang kita bicarakan sekarang. Namun kita harus memahami dan memperhitungkan bahwa banyak ikan termasuk jenis ikan lainnya. Dalam logika dua nilai, ternyata karena kita tidak memperhitungkan bahwa himpunan ikan lebih besar dari himpunan ikan haring, dan kita menyamakan (mengidentifikasi) himpunan ini, maka ini analog dengan kesimpulan bahwa ikan apa pun adalah ikan haring, yang tidak masuk akal! Dengan demikian, tidak mungkin baik secara teoritis atau praktis untuk mendorong realitas objektif ke dalam gambaran hitam-putih tentang bivalensi, tetapi kami dengan keras kepala yakin bahwa ini bukan hanya bukan tidak mungkin, tetapi perlu dan satu-satunya yang benar.
Hanya pada pandangan pertama tampaknya biner adalah kategori filosofis atau matematika yang tidak berbahaya, model figuratif atau alat yang kita gunakan sesuka hati. Sama halnya dengan fisika di sini. Untuk kenyamanan representasi, kami mengambil beberapa model, tetapi dalam proses menggunakannya, kami mendapatkan begitu banyak rasa sehingga kami benar-benar melupakan non-identitasnya dengan dunia nyata. Bukan kebetulan bahwa logika biner atau yang disebut "bivalen" ya-tidak ditujukan untuk mencari "kebenaran mutlak" dan "benar mutlak" (atau "salah mutlak"), dan dibudidayakan oleh rezim totaliter. Selain itu, logika bivalen mendukung dasar pemikiran totaliter - fatalisme logis. Prinsip utama nya adalah prinsip pengecualian tengah, di mana setiap pernyataan benar atau salah. "Atau atau". Keadaan menengah atau sesuatu Ketiga - tidak diberikan! Hanya merobohkan, sehingga tidak mungkin untuk beberapa pengembangan masa depan sesuai dengan salah satu opsi kami, kami dibiarkan dengan opsi kedua sebagai yang diberikan - kebalikan dari kami dan dalam kerangka logika biner itu tidak dapat diterima, karena opsi lain tidak ada pada prinsipnya. Anda bisa membayangkan seseorang yang diletakkan di atas tebing, sebilah pisau ditusukkan ke dadanya dan seutas tali dililitkan di lehernya. Tetapi orang tersebut harus mengencangkan jerat atau melompat dari tebing sendiri. Dengan kata lain, pilihan tanpa pilihan. Ini adalah bagaimana kita didorong ke dalam perangkap mental, dari mana tidak ada jalan keluar dalam kerangka sistem yang dikenakan pada kita dan secara sukarela diadopsi oleh kita. Logika biner adalah alat yang membuat kita kehilangan pilihan, melemahkan dan menurunkan moral kita.
Itulah sebabnya Agen Smith sangat bingung, karena dia adalah program komputer biner yang tidak mengetahui keberadaan tiga nilai.
Logika tiga nilai adalah cabang logika di mana pernyataan dapat memiliki tiga nilai kebenaran: benar, salah, dan tidak terbatas.
Logika tiga nilai berlaku dalam situasi yang tidak tunduk pada hukum tengah yang dikecualikan.
Sistem logika tiga nilai pertama dikembangkan pada tahun 1920 oleh ahli logika Polandia Jan Lukasiewicz. Mari kita lihat ide-idenya.
Tiga nilai kebenaran diperkenalkan: 1 (benar), 1/2 (tak tentu), 0 (salah), dan operasi negasi, implikasi, disjungsi, dan konjungsi.
Fitur dari sistem Lukasiewicz adalah penggunaan notasi tanpa tanda kurung untuk pernyataan tersebut.
Mari kita beralih ke penentuan nilai kebenaran rumus dalam logika tiga nilai.
Nilai kebenaran negasi dari pernyataan a ditentukan dengan rumus: Na = 1-a.
Nilai kebenaran pernyataan konjungtif ditentukan dengan rumus: &ab = min (a, b).
Nilai kebenaran pernyataan disjungtif ditentukan dengan rumus: Vab = max (a,b), Nilai kebenaran pernyataan implikatif ditentukan oleh rumus:
→ab = min(1,1 -a+b).
Ternyata dengan menghilangkan baris di mana pernyataan a dan b memiliki nilai kebenaran 1/2, kita secara otomatis lolos ke logika dua nilai.
Dalam logika dua nilai biasa, ada identitas yang memungkinkan Anda untuk mengganti pernyataan dengan implikasi dengan pernyataan dengan disjungsi atau konjungsi, inilah yang disebut aturan untuk menghilangkan implikasi: a→b ~avb | a→b ~(a~b). Dalam logika tiga nilai Lukasiewicz, mereka harus sesuai dengan identitas: Cab ANab, Cab NKaNa. Mari kita lihat apakah identitas ini berlaku.
Membandingkan nilai rumus Cab, ANab, NKaNa baris demi baris, kami melihat bahwa mereka sama. Akibatnya, dalam logika tiga nilai Lukasiewicz juga terdapat identitas yang memungkinkan seseorang mengganti rumus dengan implikasi dengan rumus dengan konjungsi atau disjungsi.
Dalam logika tiga nilai Lukasiewicz, aturan de Morgan terpenuhi.
Dalam logika dua nilai, rumus a→(b→a), a→a, ~(a→~a), av~a adalah tautologi, yaitu. mereka benar untuk setiap nilai a dan b. Selain itu, hukum identitas, kontradiksi (non-kontradiksi) dan bagian tengah yang dikecualikan sesuai dengan tautologi kedua, ketiga dan keempat.
Dalam logika tiga nilai Lukasiewicz, hukum identitas terpenuhi. Hukum kontradiksi (non-kontradiksi) dan bagian tengah yang dikecualikan tidak terpenuhi dalam logika tiga nilai Lukasiewicz.
Belakangan, Lukasiewicz dan ahli logika lainnya (E. Post, S. Yaskovsky, E. Slupetskoy, D. Webb, J. Rosser) menciptakan berbagai varian logika multi-nilai, termasuk logika bernilai tak terbatas, di mana nilai kebenarannya adalah angka-angka yang termasuk dalam interval dari 0 hingga 1. Logika ini digunakan untuk memecahkan paradoks logis, masalah teori probabilitas, dalam pengembangan teori mesin informasi-logis, dll. Pada saat yang sama, harus ditekankan bahwa logika multi-nilai tidak menggantikan logika dua-nilai yang biasa, yang tetap diperlukan sebagai bahasa meta untuk menggambarkan sifat-sifat logika yang paling multi-nilai, termasuk tiga, logika.
Konsep logika yang relevan. Paradoks implikasi material dan konsekuensi logis. Berbagai jenis koneksi bersyarat dan konsep berikut yang relevan.
Logika relevan adalah cabang dari logika non klasik modern, yang mengeksplorasi konsep koneksi kondisional dan konsekuensi logis, bebas dari paradoks implikasi material dan konsekuensi klasik.
Paradoks implikasi material adalah ketidaksesuaian antara intuisi kita tentang kebenaran pernyataan bersyarat (kalimat) yang dirumuskan dalam bahasa alami dan definisi tabular implikasi material di atas.
Material - implikasi seperti itu, yang digunakan dalam logika klasik, ketika sesuatu mengikuti dari kebohongan, tetapi itu benar. (jika 2+2=4, maka Moskow adalah ibu kota Rusia)
Paradoks lain dari implikasi material: apa pun tersirat dari kontradiksi logis, ekspresi yang secara umum valid tersirat dari apa pun.
Implikasi material memiliki sejumlah sifat yang tidak sesuai dengan intuisi kita, dan dalam pengertian ini "paradoks". Paradoks ini juga meluas ke konsep klasik konsekuensi logis, karena Kalimat konsekuensi logis berkaitan erat dengan kalimat implikatif melalui hubungan:
A => B setara dengan Jika A, maka B.
Mengingat hubungan ini, pernyataan berikut tentang konsekuensi logis, yang tidak sesuai dengan intuisi kita, dengan mudah direproduksi dalam logika klasik: segala sesuatu mengikuti dari kontradiksi; tautologi secara logis mengikuti dari apa pun.
Persyaratan:
1. Implikasi relevan dan implikasi relevan harus memenuhi semua sifat implikasi klasik.
2. Prinsip relevansi - anteseden dan konsekuen dari urutan yang relevan harus memiliki elemen deskriptif yang sama.
3. Paradoks implikasi material tidak boleh dibuktikan.
Konsekuensi yang relevan - mengikuti yang sesuai, hanya penilaian yang memiliki konten yang sama.
Jenis implikasi:
Implikasi ketat - implikasi material yang diperlukan (kebutuhan logis)
Implikasi kuat (disengaja)
Implikasi non-paradoks (sesuai dengan jika..maka)
Relevan
Bahan
28. Logika parakonsisten. Inkonsistensi relatif dan absolut.(TEMUKAN!!!)
Fondasi objektif dari penampilan mereka adalah fenomena keinginan untuk mencerminkan melalui logika kekhasan pemikiran manusia tentang keadaan transisi yang diamati di alam, masyarakat, dan kognisi. Perubahan terjadi di alam dan masyarakat, objek dan propertinya berubah menjadi kebalikannya, oleh karena itu keadaan transisi tidak jarang terjadi, transisi dari ketidaktahuan atau pengetahuan yang tidak lengkap menjadi lebih lengkap dan akurat. Tindakan hukum logika dua nilai - hukum tengah yang dikecualikan dan hukum non-kontradiksi - dalam situasi ini terbatas atau tidak berlaku sama sekali.
Dalam selang waktu tertentu, dalam logika parakonsisten, kebenaran pernyataan A dan bukan-A diperbolehkan. Logika parakonsisten adalah kalkuli logis yang dapat mendasari teori-teori formal yang tidak konsisten.
Logika harus memenuhi kondisi berikut:
1. Dari dua rumus yang kontradiktif A dan bukan-A, dalam kasus umum, tidak mungkin diturunkan rumus sembarang B.
2. Sarana deduktif logika klasik harus dipertahankan semaksimal mungkin, karena merupakan dasar dari semua penalaran biasa.
Hukum non-kontradiksi bukanlah rumus yang benar-benar identik (tautologi).
N.A. Vasilyeva .. hukum keempat yang dikecualikan: sebuah pemikiran bisa benar, salah, kontradiktif, tetapi yang keempat tidak diberikan.
Ketika membuat kalkuli, mereka berusaha untuk memastikan bahwa larangan kontradiksi tidak dibatalkan, tetapi hanya terbatas, sehingga pengakuan kontradiksi tidak berarti kemungkinan untuk menegaskan sesuatu dan menyangkal apa pun.
Konsistensi:
Dalam arti absolut - ada formula yang tidak dapat dibuktikan
Dalam arti relatif, A dan bukan-A tidak dapat dibuktikan
Logika parakonsisten:
1. Sistem harus konsisten dalam arti mutlak.
2. Sistem dapat menjadi tidak konsisten dalam arti relatif (Anda dapat membuktikan A dan bukan-A)
logika modal.
Logika non-klasik - seperangkat sistem logis yang berbeda dari yang biasa, yang disebut logika klasik karena mereka tidak memiliki hukum tertentu (misalnya, hukum tengah yang dikecualikan atau hukum kontradiksi), atau lebih dari dua ( benar dan salah) nilai kebenaran diperkenalkan , atau menurut beberapa kriteria lainnya. Di antara sistem seperti itu biasanya disebut intuisionistik, modal, temporal, multi-nilai, logika parakonsisten, logika konsep fuzzy, dll.
logika modal
penilaian terdiri dari subjek, predikat, copula, dan quantifier, dan copula dan quantifier sering dihilangkan tetapi berarti.
Mari kita buat tambahan. Dalam penilaian secara implisit, dan terkadang eksplisit, mungkin ada elemen lain. Itu diungkapkan dengan kata-kata "mungkin", "perlu", "tidak mungkin", "diketahui", "pasti", "saya harap", "terlarang", "diizinkan", "benar", "salah", dll. Ini adalah operator modal. Contoh:
Diketahui bahwa semua musketeer melayani raja Prancis.
Dilarang melintasi perempatan dengan warna merah.
Di masa depan, alih-alih kata "penghakiman" kita akan kembali menggunakan "pernyataan".
Bagian logika yang memeriksa sifat-sifat pernyataan dengan operator modal disebut logika modal.
Logika modal dirancang untuk membedakan penilaian. Dia tidak hanya berbicara tentang kebenaran penghakiman, tetapi juga tentang sifat makna yang menentukan.
1. Modalitas aletika (benar) mengungkapkan sifat hubungan antara subjek yang dapat dibayangkan, yaitu. antara S dan R
Kata modal: mungkin, mungkin, tepatnya, kebetulan, perlu, mungkin, tidak dikecualikan, "diizinkan", dll.
Pengandaian:
a) penilaian fakta. S adalah R
b) probabilitas penilaian atau probabilitas sesuatu: S mungkin P.
c) penilaian tentang perlunya sesuatu: S pasti R.
Biasanya ada 3 operator modal: perlu, mungkin, dan tidak disengaja.
2. MODALITAS EPISTEMIK. Jenis modalitas ini adalah informasi yang diungkapkan dalam penilaian tentang sifat penerimaan dan tingkat validitas pengetahuan. Inilah ciri-ciri pengetahuan kita. Modalitas ini dinyatakan dalam istilah "terbukti", "terbantah", "tidak terbukti dan tidak terbantahkan", "tahu", "percaya", "yakin", "ragu-ragu". Nama modalitas epistemik berasal dari bahasa Yunani "episteme", yang berarti dalam filsafat kuno jenis tertinggi dari pengetahuan yang tidak diragukan dan dapat diandalkan. Kita dapat menerima pengetahuan tanpa kritik, atas dasar iman ("Saya percaya ada kucing biru" atau "Saya menyangkal bahwa orang Mars datang ke Bumi"), atau menerimanya hanya atas dasar pengetahuan ("Terbukti bahwa semua orang fana" dan "Terbukti bahwa semua manusia tidak fana").
3. MODALITAS DEONTIK. Jenis modalitas ini adalah bujukan orang untuk tindakan tertentu yang diungkapkan dalam penilaian dalam bentuk nasihat, keinginan, perintah, aturan perilaku atau perintah. Dengan kata lain, ini adalah karakteristik dari tindakan dan perbuatan orang-orang dalam masyarakat. Modalitas ini dinyatakan dalam istilah "wajib", "diizinkan", "terlarang", "tidak peduli" (analog dengan modalitas aletik "secara tidak sengaja"). Pernyataan deontik termasuk pernyataan seperti "Dilarang menyeberang jalan di lampu merah", "Merokok di antara penonton tidak diperbolehkan." Deontik mencakup berbagai macam pernyataan normatif, termasuk aturan hukum, yaitu aturan perilaku yang mengikat secara universal yang mengatur hubungan hukum dalam lingkungan sosial yang diterima secara resmi.
4. MODALITAS WAKTU. Modalitas temporal penilaian adalah informasi yang diungkapkan dalam penilaian tentang urutan terjadinya peristiwa dan tentang sifat ekstensi yang konstan atau diskrit. Modalitas dinyatakan dalam istilah “selalu”, “tidak pernah”, “hanya kadang-kadang”, “lebih awal”, “nanti”, “pada saat yang sama” (“Siswa N selalu rapi”, “Siswa N selalu tidak rapi”, “Siswa N tidak pernah lusuh”, “Siswa N terkadang rapi”, “N menikah sebelum D”, “D menikah setelah N”).
5. MODALITAS AKSIOLOGIS. Jenis modalitas ini adalah informasi yang diungkapkan dalam penilaian tentang penilaian nilai suatu tindakan, fakta, peristiwa. Modalitas ini dinyatakan dalam istilah "baik", "buruk", "lebih baik", "lebih buruk", "tidak peduli", "setara". Satu set contoh penilaian (pernyataan) yang kuat secara aksiologis adalah puisi V. Mayakovsky "Apa yang baik dan apa yang buruk".
Perlu juga dikatakan di sini bahwa ada operator modal satu tempat (baik, mungkin lebih awal) dan dua tempat (lebih baik, mungkin lebih awal). Saya tidak dapat menemukan (Vitya I), apa lagi sebenarnya yang mereka sebut. Besok kami akan menambahkannya, atau jika Anda memilikinya, tambahkan sendiri.
Menurut tradisi pemikiran logis abad pertengahan, yang diberikan oleh Abelard, pernyataan modal harus dipertimbangkan dalam dua pengertian de dicto dan de re. Proposisi yang modalitasnya mengacu pada penghubung, "Socrates mungkin putih" adalah proposisi dalam arti de re, dan kondisi kebenarannya berbeda dari kalimat terhubung, di mana modus mengacu pada seluruh proposisi ( diktum), yaitu "Ada kemungkinan Socrates berkulit putih."
