Rencana belajar.
1. Momen organisasi.
2. Presentasi materi.
3. Pekerjaan rumah.
4. Menyimpulkan pelajaran.
Selama kelas
I. Momen organisasi.
II. Presentasi materi.
Motivasi.
Perluasan himpunan bilangan real terdiri dari fakta bahwa bilangan baru (imajiner) ditambahkan ke bilangan real. Pengenalan angka-angka ini terkait dengan ketidakmungkinan mengekstraksi akar dari angka negatif dalam himpunan bilangan real.
Pengenalan konsep bilangan kompleks.
Bilangan imajiner yang kita tambahkan dengan bilangan real ditulis sebagai: dua, di mana saya adalah satuan imajiner, dan saya 2 = - 1.
Berdasarkan ini, kita memperoleh definisi bilangan kompleks berikut.
Definisi. Bilangan kompleks adalah ekspresi dari bentuk a+bi, di mana sebuah dan b adalah bilangan real. Dalam hal ini, kondisi berikut terpenuhi:
a) Dua bilangan kompleks a 1 + b 1 i dan a 2 + b 2 i sama jika dan hanya jika a1 = a2, b1=b2.
b) Penjumlahan bilangan kompleks ditentukan oleh aturan:
(a 1 + b 1 i) + (a 2 + b 2 i) = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2) i.
c) Perkalian bilangan kompleks ditentukan oleh aturan:
(a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (a 1 b 2 - a 2 b 1) i.
Bentuk aljabar dari bilangan kompleks.
Menulis bilangan kompleks dalam bentuk a+bi disebut bentuk aljabar dari bilangan kompleks, di mana sebuah- bagian nyata dua adalah bagian imajiner, dan b adalah bilangan real.
Bilangan kompleks a+bi dianggap sama dengan nol jika bagian real dan imajinernya sama dengan nol: a=b=0
Bilangan kompleks a+bi pada b = 0 dianggap sebagai bilangan real sebuah: a + 0i = a.
Bilangan kompleks a+bi pada a = 0 disebut imajiner murni dan dilambangkan dua: 0 + bi = bi.
Dua bilangan kompleks z = a + bi dan = a – bi, yang hanya berbeda dalam tanda bagian imajiner, disebut konjugat.
Tindakan pada bilangan kompleks dalam bentuk aljabar.
Operasi berikut dapat dilakukan pada bilangan kompleks dalam bentuk aljabar.
1) Penambahan.
Definisi. Jumlah bilangan kompleks z 1 = a 1 + b 1 i dan z 2 = a 2 + b 2 i disebut bilangan kompleks z, yang bagian realnya sama dengan jumlah bagian realnya z1 dan z2, dan bagian imajiner adalah jumlah bagian imajiner dari angka z1 dan z2, itu adalah z = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2)i.
angka z1 dan z2 disebut istilah.
Penjumlahan bilangan kompleks memiliki sifat-sifat sebagai berikut:
1º. Komutatif: z1 + z2 = z2 + z1.
2º. Asosiatif: (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3).
3. Bilangan kompleks -a -bi disebut kebalikan dari bilangan kompleks z = a + bi. Bilangan kompleks kebalikan dari bilangan kompleks z, dilambangkan -z. Jumlah bilangan kompleks z dan -z sama dengan nol: z + (-z) = 0
Contoh 1: Tambahkan (3 - i) + (-1 + 2i).
(3 - i) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) i = 2 + 1i.
2) Pengurangan.
Definisi. Kurangi dari bilangan kompleks z1 bilangan kompleks z2 z, Apa z + z 2 = z 1.
Dalil. Perbedaan bilangan kompleks ada dan, terlebih lagi, unik.
Contoh 2: Kurangi (4 - 2i) - (-3 + 2i).
(4 - 2i) - (-3 + 2i) = (4 - (-3)) + (-2 - 2) i = 7 - 4i.
3) Perkalian.
Definisi. Hasil kali bilangan kompleks z 1 =a 1 +b 1 i dan z 2 \u003d a 2 + b 2 i disebut bilangan kompleks z, ditentukan oleh persamaan: z = (a 1 a 2 – b 1 b 2) + (a 1 b 2 + a 2 b 1)i.
angka z1 dan z2 disebut faktor.
Perkalian bilangan kompleks memiliki sifat-sifat sebagai berikut:
1º. Komutatif: z 1 z 2 = z 2 z 1.
2º. Asosiatif: (z 1 z 2)z 3 = z 1 (z 2 z 3)
3. Distribusi perkalian terhadap penjumlahan:
(z 1 + z 2) z 3 \u003d z 1 z 3 + z 2 z 3.
4º. z \u003d (a + bi) (a - bi) \u003d a 2 + b 2 adalah bilangan real.
Dalam praktiknya, perkalian bilangan kompleks dilakukan sesuai dengan aturan mengalikan jumlah dengan jumlah dan memisahkan bagian nyata dan imajiner.
Dalam contoh berikut, pertimbangkan perkalian bilangan kompleks dengan dua cara: dengan aturan dan dengan mengalikan jumlah dengan jumlah.
Contoh 3: Kalikan (2 + 3i) (5 – 7i).
1 cara. (2 + 3i) (5 – 7i) = (2× 5 – 3× (- 7)) + (2× (- 7) + 3× 5)i = = (10 + 21) + (- 14 + 15 )i = 31 + i.
2 jalan. (2 + 3i) (5 - 7i) = 2× 5 + 2× (- 7i) + 3i× 5 + 3i× (- 7i) = = 10 - 14i + 15i + 21 = 31 + i.
4) Divisi.
Definisi. Membagi bilangan kompleks z1 ke bilangan kompleks z2, berarti menemukan bilangan kompleks seperti itu z, Apa z z 2 = z 1.
Dalil. Hasil bagi bilangan kompleks ada dan unik jika z2 0 + 0i.
Dalam praktiknya, hasil bagi bilangan kompleks ditemukan dengan mengalikan pembilang dan penyebut dengan konjugat penyebutnya.
Membiarkan z 1 = a 1 + b 1 i, z 2 = a 2 + b 2 i, kemudian
.
Dalam contoh berikut, kami melakukan pembagian dengan rumus dan aturan perkalian dengan konjugasi penyebut.
Contoh 4. Temukan hasil bagi 
.
5) Menaikkan pangkat bilangan bulat positif.
a) Kekuatan kesatuan imajiner.
Memanfaatkan kesetaraan saya 2 \u003d -1, mudah untuk menentukan pangkat bilangan bulat positif dari unit imajiner. Kita punya:
saya 3 \u003d saya 2 saya \u003d -i,
saya 4 \u003d saya 2 saya 2 \u003d 1,
saya 5 \u003d saya 4 saya \u003d saya,
saya 6 \u003d saya 4 saya 2 \u003d -1,
saya 7 \u003d saya 5 saya 2 \u003d -i,
i 8 = i 6 i 2 = 1 dll.
Hal ini menunjukkan bahwa nilai derajat di, di mana n- bilangan bulat positif, berulang secara berkala saat indikator bertambah 4 .
Karena itu, untuk menaikkan jumlahnya saya ke pangkat bilangan bulat positif, bagi eksponen dengan 4 dan tegak saya pangkat yang eksponennya adalah sisa pembagian.
Contoh 5 Hitung: (saya 36 + saya 17) saya 23.
i 36 = (i 4) 9 = 1 9 = 1,
i 17 = i 4 × 4+1 = (i 4) 4 × i = 1 i = i.
i 23 = i 4 × 5+3 = (i 4) 5 × i 3 = 1 i 3 = - i.
(i 36 + i 17) i 23 \u003d (1 + i) (- i) \u003d - i + 1 \u003d 1 - i.
b) Menaikkan bilangan kompleks ke pangkat bilangan bulat positif dilakukan sesuai dengan aturan menaikkan binomial ke pangkat yang sesuai, karena ini adalah kasus khusus untuk mengalikan faktor kompleks yang identik.
Contoh 6 Hitung: (4 + 2i) 3
(4 + 2i) 3 = 4 3 + 3× 4 2 × 2i + 3× 4× (2i) 2 + (2i) 3 = 64 + 96i – 48 – 8i = 16 + 88i.
halaman 2 dari 3
Bentuk aljabar dari bilangan kompleks.
Penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian bilangan kompleks.
Kami telah bertemu dengan bentuk aljabar dari bilangan kompleks - ini adalah bentuk aljabar dari bilangan kompleks. Mengapa kita berbicara tentang bentuk? Faktanya adalah bahwa ada juga bentuk trigonometri dan eksponensial dari bilangan kompleks, yang akan dibahas pada paragraf berikutnya.
Operasi dengan bilangan kompleks tidak terlalu sulit dan sedikit berbeda dari aljabar biasa.
Penjumlahan bilangan kompleks
Contoh 1
Tambahkan dua bilangan kompleks,
Untuk menjumlahkan dua bilangan kompleks, tambahkan bagian real dan imajinernya:
Sederhana, bukan? Tindakannya sangat jelas sehingga tidak perlu komentar tambahan.
Dengan cara yang begitu sederhana, Anda dapat menemukan jumlah dari sejumlah istilah: jumlahkan bagian nyata dan jumlahkan bagian imajiner.
Untuk bilangan kompleks, aturan kelas pertama benar: 
- dari penataan ulang persyaratan, jumlahnya tidak berubah.
Pengurangan bilangan kompleks
Contoh 2
Temukan perbedaan bilangan kompleks dan , jika ,
Tindakannya mirip dengan penambahan, satu-satunya fitur adalah bahwa pengurangan harus diambil dalam tanda kurung, dan kemudian, sebagai standar, buka tanda kurung ini dengan perubahan tanda:
Hasilnya tidak boleh membingungkan, angka yang dihasilkan memiliki dua, bukan tiga bagian. Hanya bagian nyata adalah komponen: . Untuk kejelasan, jawabannya dapat ditulis ulang sebagai berikut: .
Mari kita hitung perbedaan kedua:
Di sini bagian nyata juga merupakan komponen:
Untuk menghindari pernyataan yang meremehkan, saya akan memberikan contoh singkat dengan bagian imajiner "buruk": . Di sini Anda tidak dapat melakukannya tanpa tanda kurung.
Perkalian bilangan kompleks
Saatnya telah tiba untuk memperkenalkan Anda pada kesetaraan yang terkenal:
Contoh 3
Temukan produk dari bilangan kompleks,
Jelas, pekerjaan harus ditulis seperti ini:
Apa yang ditanyakan? Ini menyarankan dirinya untuk membuka tanda kurung sesuai dengan aturan perkalian polinomial. Begitulah seharusnya dilakukan! Semua operasi aljabar akrab bagi Anda, hal utama yang perlu diingat adalah bahwa dan hati-hati.
Mari kita ulangi, omg, aturan sekolah untuk mengalikan polinomial: Untuk mengalikan polinomial dengan polinomial, Anda perlu mengalikan setiap suku dari satu polinomial dengan setiap suku dari polinomial lainnya.
Saya akan menulis secara rinci:
Saya harap jelas bagi semua orang bahwa
Perhatian, dan sekali lagi perhatian, paling sering kesalahan dibuat dalam tanda.
Seperti jumlah, produk bilangan kompleks dapat diubah, yaitu persamaannya benar: .
Dalam literatur pendidikan dan di Web, mudah untuk menemukan formula khusus untuk menghitung produk bilangan kompleks. Gunakan jika Anda mau, tetapi menurut saya pendekatan dengan perkalian polinomial lebih universal dan lebih jelas. Saya tidak akan memberikan formula, saya pikir dalam hal ini menyumbat kepala dengan serbuk gergaji.
Pembagian bilangan kompleks
Contoh 4
Diberikan bilangan kompleks , . Cari pribadi.
Mari kita buat hasil bagi:
Pembagian bilangan dilakukan dengan mengalikan penyebut dan pembilang dengan ekspresi konjugasi penyebutnya.
Kami mengingat rumus berjanggut dan melihat penyebut kami: . Penyebutnya sudah memiliki , sehingga ekspresi konjugasi dalam kasus ini adalah , yaitu
Menurut aturan, penyebut harus dikalikan dengan , dan agar tidak ada yang berubah, kalikan pembilang dengan angka yang sama:
Saya akan menulis secara rinci:
Saya mengambil contoh "baik", jika Anda mengambil dua angka "dari buldoser", maka sebagai hasil pembagian Anda hampir selalu mendapatkan pecahan, seperti.
Dalam beberapa kasus, sebelum membagi, disarankan untuk menyederhanakan pecahan, misalnya, pertimbangkan hasil bagi bilangan:. Sebelum membagi, kami menyingkirkan minus yang tidak perlu: di pembilang dan penyebut, kami mengambil minus dari tanda kurung dan mengurangi minus ini: 
. Bagi yang suka memecahkan, saya akan memberikan jawaban yang benar:
Jarang, tetapi ada tugas seperti itu:
Contoh 5
Anda diberi bilangan kompleks. Tulis angka yang diberikan dalam bentuk aljabar (yaitu dalam bentuk).
Penerimaannya sama - kita mengalikan penyebut dan pembilang dengan ekspresi konjugasi ke penyebut. Mari kita lihat lagi rumusnya. Penyebutnya sudah ada , jadi penyebut dan pembilangnya harus dikalikan dengan ekspresi konjugasinya, yaitu dengan:
Dalam praktiknya, mereka dapat dengan mudah menawarkan contoh bagus di mana Anda perlu melakukan banyak operasi dengan bilangan kompleks. Jangan panik: hati-hati, ikuti aturan aljabar, urutan operasi aljabar biasa, dan ingat bahwa .
Bentuk trigonometri dan eksponensial dari bilangan kompleks
Pada bagian ini, kita akan lebih fokus pada bentuk trigonometri dari bilangan kompleks. Bentuk eksponensial dalam tugas-tugas praktis jauh lebih jarang. Saya sarankan mengunduh dan, jika mungkin, mencetak tabel trigonometri, materi metodologis dapat ditemukan di halaman Rumus dan tabel matematika. Anda tidak bisa pergi jauh tanpa meja.
Setiap bilangan kompleks (kecuali nol) dapat ditulis dalam bentuk trigonometri: 
, dimana itu modulus bilangan kompleks, sebuah - argumen bilangan kompleks. Jangan lari, itu lebih mudah dari yang Anda pikirkan.
Gambarlah bilangan pada bidang kompleks. Untuk kejelasan dan kesederhanaan penjelasan, kami akan menempatkannya di kuartal koordinat pertama, yaitu. kami berpikir bahwa:
Modulus bilangan kompleks adalah jarak dari titik asal koordinat ke titik yang bersesuaian pada bidang kompleks. Sederhananya, modulus adalah panjang vektor radius, yang ditandai dengan warna merah pada gambar.
Modulus bilangan kompleks biasanya dilambangkan dengan: atau
Dengan menggunakan teorema Pythagoras, mudah untuk menurunkan rumus untuk menemukan modulus bilangan kompleks: . Rumus ini valid untuk apa saja berarti "a" dan "menjadi".
Catatan: modulus bilangan kompleks adalah generalisasi dari konsep modulus bilangan real, sebagai jarak dari titik ke titik asal.
Argumen bilangan kompleks ditelepon sudut di antara sumbu positif sumbu nyata dan vektor jari-jari yang ditarik dari titik asal ke titik yang sesuai. Argumen tidak didefinisikan untuk singular: .
Prinsip yang dipertimbangkan sebenarnya mirip dengan koordinat kutub, di mana jari-jari kutub dan sudut kutub secara unik menentukan suatu titik.
Argumen bilangan kompleks biasanya dilambangkan dengan: atau
Dari pertimbangan geometri, diperoleh rumus berikut untuk mencari argumen:
. Perhatian! Rumus ini hanya berfungsi di setengah bidang kanan! Jika bilangan kompleks tidak terletak di kuadran koordinat 1 atau 4, maka rumusnya akan sedikit berbeda. Kami juga akan mempertimbangkan kasus-kasus ini.
Tetapi pertama-tama, pertimbangkan contoh paling sederhana, ketika bilangan kompleks terletak pada sumbu koordinat.
Contoh 7
Mari kita jalankan gambarnya:
Padahal, tugas tersebut bersifat lisan. Untuk kejelasan, saya akan menulis ulang bentuk trigonometri dari bilangan kompleks: 
Mari kita ingat erat, modul - panjangnya(yang selalu non-negatif ), argumennya adalah sudut.
1) Mari kita nyatakan bilangan tersebut dalam bentuk trigonometri. Temukan modulus dan argumennya. Jelas bahwa. Perhitungan formal menurut rumus : .
Jelas bahwa (bilangan terletak langsung pada semisumbu positif nyata). Jadi bilangan dalam bentuk trigonometri adalah: 
.
Hapus seperti hari, tindakan pemeriksaan terbalik:
2) Mari kita nyatakan bilangan tersebut dalam bentuk trigonometri. Temukan modulus dan argumennya. Jelas bahwa. Perhitungan formal menurut rumus : .
Jelas (atau 90 derajat). Dalam gambar, sudut ditandai dengan warna merah. Jadi bilangan dalam bentuk trigonometri adalah: 
.
Menggunakan tabel nilai fungsi trigonometri, mudah untuk mendapatkan kembali bentuk aljabar suatu bilangan (sekaligus dengan memeriksa):
3) Mari kita nyatakan bilangan tersebut dalam bentuk trigonometri. Temukan modulus dan argumennya. Jelas bahwa. Perhitungan formal menurut rumus : .
Jelas (atau 180 derajat). Dalam gambar, sudut ditunjukkan dengan warna biru. Jadi bilangan dalam bentuk trigonometri adalah: 
.
Penyelidikan:
4) Dan kasus keempat yang menarik. Mari kita nyatakan bilangan dalam bentuk trigonometri. Temukan modulus dan argumennya. Jelas bahwa. Perhitungan formal menurut rumus : .
Argumen dapat ditulis dalam dua cara: Cara pertama: (270 derajat), dan, dengan demikian: 
. Penyelidikan:
Namun, aturan berikut ini lebih standar: Jika sudutnya lebih besar dari 180 derajat, maka ditulis dengan tanda minus dan arah berlawanan ("scrolling") dari sudut: (minus 90 derajat), pada gambar sudut ditandai dengan warna hijau. Sangat mudah untuk melihat itu dan merupakan sudut yang sama.
Dengan demikian, entri menjadi: 
Perhatian! Dalam kasus apa pun Anda tidak boleh menggunakan kemerataan cosinus, keanehan sinus dan melakukan "penyederhanaan" lebih lanjut dari catatan:
Omong-omong, berguna untuk mengingat penampilan dan sifat-sifat trigonometri dan fungsi trigonometri terbalik, bahan referensi ada di paragraf terakhir halaman Grafik dan sifat-sifat fungsi dasar dasar. Dan bilangan kompleks jauh lebih mudah dipelajari!
Dalam desain contoh paling sederhana, itu harus ditulis seperti ini: "jelas bahwa modul adalah ... jelas bahwa argumennya adalah ...". Ini sangat jelas dan mudah diselesaikan secara lisan.
Mari beralih ke kasus yang lebih umum. Seperti yang sudah saya catat, tidak ada masalah dengan modul, Anda harus selalu menggunakan rumus. Tetapi rumus untuk menemukan argumennya akan berbeda, itu tergantung pada kuartal koordinat mana angka itu berada. Dalam hal ini, tiga opsi dimungkinkan (berguna untuk menulis ulang di buku catatan Anda):
1) Jika (perempat koordinat 1 dan 4, atau setengah bidang kanan), maka argumen harus ditemukan menggunakan rumus.
2) Jika (kuartal koordinat ke-2), maka argumen harus ditemukan dengan rumus 
.
3) Jika (kuartal koordinat ke-3), maka argumen harus ditemukan dengan rumus 
.
Contoh 8
Nyatakan bilangan kompleks dalam bentuk trigonometri: , , , .
Begitu ada formula yang sudah jadi, maka gambar itu tidak perlu. Tetapi ada satu hal: ketika Anda diminta untuk menyajikan angka dalam bentuk trigonometri, maka menggambar lebih baik dilakukan. Faktanya adalah bahwa guru sering menolak solusi tanpa gambar, tidak adanya gambar adalah alasan serius untuk minus dan kegagalan.
Eh, saya belum menggambar apa pun dengan tangan selama seratus tahun, tunggu:
Seperti biasa, berantakan ternyata =)
Saya akan menyajikan angka-angka dan dalam bentuk kompleks, angka pertama dan ketiga akan menjadi keputusan independen.
Mari kita nyatakan bilangan dalam bentuk trigonometri. Temukan modulus dan argumennya.
Bentuk aljabar penulisan bilangan kompleks .................................................. ... ................... | |||
Bidang bilangan kompleks ............................................................ .................... ................................................ ................... ... | |||
Bilangan konjugat kompleks ............................................................... ................................................................... ............... | |||
Operasi dengan bilangan kompleks dalam bentuk aljabar .................................................. ................... .... | |||
Penjumlahan bilangan kompleks ............................................................... .................... ................................................ ................... | |||
Pengurangan bilangan kompleks ................................................... ............................................................ .......... | |||
Perkalian bilangan kompleks ................................................................... ............................................................ ......... | |||
Pembagian bilangan kompleks ................................................... ................................................................... ............... ... | |||
Bentuk trigonometri bilangan kompleks ............................................ .................. .......... | |||
Operasi bilangan kompleks dalam bentuk trigonometri .................................................. ............ | |||
Perkalian bilangan kompleks dalam bentuk trigonometri............................................ ......................... | |||
Pembagian bilangan kompleks dalam bentuk trigonometri .................................................. ................... ... | |||
Menaikkan bilangan kompleks ke pangkat bilangan bulat positif | |||
Mengekstrak akar pangkat bilangan bulat positif dari bilangan kompleks | |||
Menaikkan bilangan kompleks ke pangkat rasional .................................................. ................................... | |||
Seri kompleks ................................................... ................................................................... ................................................... | |||
Deret bilangan kompleks ............................................................... ................................................................... ............... | |||
Deret daya pada bidang kompleks ............................................ ................................................................... | |||
Seri daya dua sisi pada bidang kompleks ......................................... ................... ... | |||
Fungsi dari variabel kompleks ............................................................ ................................................................... ................... | |||
Fungsi dasar dasar ............................................................... ................................................................... .......... | |||
Rumus Euler ................................................................ .. ................................................................ ................................... | |||
Bentuk eksponensial dari representasi bilangan kompleks ........................................ ...... . | |||
Hubungan antara fungsi trigonometri dan hiperbolik ........................................ | |||
Fungsi logaritma ................................................................... ................................................................... ................. ... | |||
Fungsi pangkat umum dan eksponensial umum .................................................. ................................................... | |||
Diferensiasi fungsi variabel kompleks .................................................. .................... ... | |||
Kondisi Cauchy-Riemann .............................................. ........................................................ ......... ............ | |||
Rumus untuk menghitung turunan .............................................. ................................................................... | |||
Sifat-sifat operasi diferensiasi ............................................ ............... ................................... | |||
Sifat-sifat bagian real dan imajiner dari fungsi analitik ......................................... ....... | |||
Pemulihan fungsi variabel kompleks dari nyata atau imajiner |
|||
Metode nomor 1. Menggunakan Integral Kurvilinear .................................................. ............... | |||
Metode nomor 2. Aplikasi langsung dari kondisi Cauchy-Riemann.............................................. | |||
Metode nomor 3. Melalui turunan dari fungsi yang diinginkan ................................................... ................... ............ | |||
Integrasi fungsi variabel kompleks.................................................. ................................... ............ | |||
Rumus integral Cauchy .................................................. ........................................................ . .. | |||
Perluasan fungsi pada deret Taylor dan Laurent .................................................. .... ................................... | |||
Nol dan titik singular dari fungsi variabel kompleks .................................................. ...... ...... | |||
Nol dari fungsi variabel kompleks .................................................. ................................................... | |||
Titik Singular Terisolasi dari Fungsi Variabel Kompleks ........................................ ...... | |||
14.3 Titik di tak hingga sebagai titik tunggal dari fungsi variabel kompleks
Penarikan ................................................................... ........................................................ . ................................................... | |||
Pengurangan pada titik akhir ................................................... ................................................................... ............ ...... | |||
Residu suatu fungsi di titik tak terhingga ......................................... ..................... ................................ | |||
Perhitungan integral menggunakan residu .................................................. ................................................................... | |||
Pertanyaan untuk introspeksi diri .............................................. ................................................................... ................. ........ | |||
Literatur................................................. ........................................................ . ................................... | |||
Indeks subjek................................................................ ........................................................ . ............. | |||
Kata pengantar
Cukup sulit untuk mengalokasikan waktu dan tenaga dengan benar dalam mempersiapkan bagian teoritis dan praktis dari ujian atau sertifikasi modul, terutama karena selalu tidak ada cukup waktu selama sesi. Dan seperti yang ditunjukkan oleh latihan, tidak semua orang bisa mengatasi ini. Akibatnya, selama ujian, beberapa siswa menyelesaikan masalah dengan benar, tetapi merasa sulit untuk menjawab pertanyaan teoretis yang paling sederhana, sementara yang lain dapat merumuskan teorema, tetapi tidak dapat menerapkannya.
Rekomendasi metodologis untuk mempersiapkan ujian dalam kursus Teori Fungsi Variabel Kompleks (TFV) ini adalah upaya untuk menyelesaikan kontradiksi ini dan memastikan pengulangan simultan dari materi teoretis dan praktis kursus. Dipandu oleh prinsip "Teori tanpa praktik adalah mati, praktik tanpa teori adalah buta", keduanya berisi posisi teoritis kursus pada tingkat definisi dan formulasi, dan contoh yang menggambarkan penerapan setiap posisi teoretis yang diberikan, dan, dengan demikian, memfasilitasi hafalan dan pemahamannya.
Tujuan dari rekomendasi metodologi yang diusulkan adalah untuk membantu siswa mempersiapkan ujian di tingkat dasar. Dengan kata lain, panduan kerja yang diperluas telah disusun yang berisi poin-poin utama yang digunakan dalam kelas kursus TFKT dan diperlukan saat mengerjakan pekerjaan rumah dan mempersiapkan kegiatan kontrol. Selain karya mandiri siswa, publikasi pendidikan elektronik ini dapat digunakan saat menyelenggarakan kelas dalam bentuk interaktif menggunakan papan elektronik atau untuk penempatan dalam sistem pembelajaran jarak jauh.
Harap dicatat bahwa karya ini tidak menggantikan buku teks atau catatan kuliah. Untuk studi materi yang mendalam, disarankan untuk merujuk ke bagian yang relevan dari publikasi yang diterbitkan di Universitas Teknik Negeri Moskow. N.E. Buku ajar dasar Bauman.
Di akhir manual ada daftar literatur yang direkomendasikan dan indeks subjek, yang mencakup semua yang disorot dalam teks. tebal miring ketentuan. Indeks terdiri dari hyperlink ke bagian di mana istilah ini didefinisikan atau dijelaskan secara ketat dan di mana contoh diberikan untuk menggambarkan penggunaannya.
Manual ini ditujukan untuk mahasiswa tahun ke-2 dari semua fakultas di MSTU. N.E. Bauman.
1. Bentuk aljabar penulisan bilangan kompleks
Rekaman bentuk z \u003d x + iy, di mana x, y adalah bilangan real, i adalah unit imajiner (yaitu i 2 = 1)
disebut bentuk aljabar dari bilangan kompleks z. Dalam hal ini, x disebut bagian real dari bilangan kompleks dan dilambangkan dengan Re z (x = Re z ), y disebut bagian imajiner dari bilangan kompleks dan dilambangkan dengan Im z (y = Im z ).
Contoh. Bilangan kompleks z = 4− 3i memiliki bagian real Rez = 4 , dan bagian imajiner Imz = 3 .
2. Bidang bilangan kompleks
PADA teori fungsi dari variabel kompleks pertimbangkanbidang bilangan kompleks, yang dilambangkan baik, atau huruf yang menunjukkan bilangan kompleks z, w, dll digunakan.
Sumbu horizontal bidang kompleks disebut sumbu nyata, bilangan real terletak di atasnya z \u003d x + 0i \u003d x.
Sumbu vertikal bidang kompleks disebut sumbu imajiner, memiliki
3. Bilangan konjugasi kompleks
Bilangan z = x + iy dan z = x iy disebut konjugasi kompleks. Pada bidang kompleks, mereka sesuai dengan titik-titik yang simetris terhadap sumbu nyata.
4. Operasi dengan bilangan kompleks dalam bentuk aljabar
4.1 Penjumlahan bilangan kompleks
Jumlah dua bilangan kompleks | z 1= x 1+ iy 1 | dan z 2 = x 2 + iy 2 disebut bilangan kompleks |
|||||||||||
z 1+ z 2 | = (x 1+ iy 1) + (x 2+ iy 2) = (x 1+ x 2) + i (y 1+ y 2) . | operasi | tambahan |
||||||||||
bilangan kompleks mirip dengan operasi penjumlahan binomial aljabar. | |||||||||||||
Contoh. Jumlah dua bilangan kompleks z 1 = 3+ 7i dan z 2 | = 1 +2 i | akan menjadi bilangan kompleks |
|||||||||||
z 1 +z 2 =(3 +7 i ) +(−1 +2 i ) =(3 1 ) +(7 +2 ) i =2 +9 i . | |||||||||||||
Jelas sekali, | jumlahkan dalam kompleks | terkonjugasi | adalah | sah | |||||||||
z + z = (x + iy) + (x iy) = 2 x= 2 Rez. | |||||||||||||
4.2 Pengurangan bilangan kompleks | |||||||||||||
Selisih dua bilangan kompleks z 1 = x 1 + iy 1 | X 2 + iy 2 | ditelepon | luas |
||||||||||
bilangan z 1− z 2= (x 1+ iy 1) (x 2+ iy 2) = (x 1− x 2) + i (y 1− y 2) . | |||||||||||||
Contoh. Selisih antara dua bilangan kompleks | z 1 =3 4 i | dan z2 | = 1 +2 i | akan ada yang komprehensif |
|||||||||
bilangan z 1 z 2 = (3− 4i ) (− 1+ 2i ) = (3− (− 1) ) + (− 4− 2) i = 4− 6i . | |||||||||||||
perbedaan | konjugasi kompleks | adalah | |||||||||||
z z = (x+ iy) (x iy) = 2 iy= 2 iIm z. | |||||||||||||
4.3 Perkalian bilangan kompleks | |||||||||||||
Produk dari dua bilangan kompleks | z 1= x 1+ iy 1 | dan z 2= x 2+ iy 2 | disebut kompleks |
||||||||||
z 1z 2= (x 1+ iy 1)(x 2+ iy 2) = x 1x 2+ iy 1x 2+ iy 2x 1+ i 2 y 1y 2 | = (x 1x 2− y 1y 2) + i (y 1x 2+ y 2x ) . | ||||||||||||
Jadi, operasi perkalian bilangan kompleks mirip dengan operasi perkalian binomial aljabar, dengan mempertimbangkan fakta bahwa i 2 = 1.
