Dari eksponen bilangan bulat dari angka a, transisi ke eksponen rasional menunjukkan dirinya sendiri. Di bawah ini kami mendefinisikan derajat dengan eksponen rasional, dan kami akan melakukannya sedemikian rupa sehingga semua properti derajat dengan eksponen bilangan bulat dipertahankan. Ini diperlukan karena bilangan bulat adalah bagian dari bilangan rasional.

Diketahui bahwa himpunan bilangan rasional terdiri dari bilangan bulat dan bilangan pecahan, dan setiap bilangan pecahan dapat direpresentasikan sebagai pecahan biasa positif atau negatif. Kita mendefinisikan derajat dengan eksponen bilangan bulat pada paragraf sebelumnya, oleh karena itu, untuk melengkapi definisi derajat dengan eksponen rasional, kita perlu memberikan arti derajat dari bilangan tersebut. sebuah dengan pecahan M N, di mana m adalah bilangan bulat, dan n- alami. Ayo lakukan.

Pertimbangkan gelar dengan eksponen pecahan dari bentuk . Agar properti derajat dalam derajat tetap berlaku, kesetaraan harus berlaku . Jika kita memperhitungkan persamaan yang dihasilkan dan bagaimana kita menentukan akar derajat ke-n, maka logis untuk menerimanya, asalkan dengan data m, n dan sebuah ekspresinya masuk akal.

Sangat mudah untuk memverifikasi bahwa semua properti derajat dengan eksponen bilangan bulat valid untuk as (ini dilakukan di bagian properti derajat dengan eksponen rasional).

Alasan di atas memungkinkan kita untuk membuat yang berikut: kesimpulan: jika diberikan m, n dan sebuah ekspresi masuk akal, maka kekuatan angka sebuah dengan pecahan M N disebut akar n derajat sebuah sejauh m.

Pernyataan ini membawa kita mendekati definisi derajat dengan eksponen pecahan. Tetap hanya untuk menggambarkan di bawah apa m, n dan sebuah ekspresinya masuk akal. Tergantung pada batasan yang diterapkan m, n dan sebuah ada dua pendekatan utama.

1. Cara termudah adalah dengan memberlakukan pembatasan pada sebuah, menerima a≥0 untuk positif m dan a>0 untuk negatif m(karena pada m≤0 derajat 0 m tidak ditentukan). Kemudian kita mendapatkan definisi derajat berikut dengan eksponen pecahan.

Definisi.

Derajat bilangan positif sebuah dengan pecahan M N , di mana m adalah keseluruhan, dan n adalah bilangan asli, disebut akar n-th dari antara sebuah sejauh m, itu adalah, .

Derajat pecahan nol juga didefinisikan dengan satu-satunya peringatan bahwa eksponen harus positif.

Definisi.

Kekuatan nol dengan eksponen positif pecahan M N , di mana m adalah bilangan bulat positif, dan n adalah bilangan asli, didefinisikan sebagai .
Ketika derajat tidak didefinisikan, yaitu derajat angka nol dengan eksponen negatif pecahan tidak masuk akal.

Perlu dicatat bahwa dengan definisi derajat seperti itu dengan eksponen fraksional, ada satu nuansa: untuk beberapa negatif sebuah dan beberapa m dan n ekspresinya masuk akal, dan kami membuang kasus ini dengan memperkenalkan kondisinya a≥0. Misalnya, masuk akal untuk menulis atau , dan definisi yang diberikan di atas memaksa kita untuk mengatakan bahwa derajat dengan eksponen pecahan dari bentuk tidak ada artinya, karena basisnya tidak boleh negatif.

2. Pendekatan lain untuk menentukan derajat dengan pangkat pecahan M N terdiri dalam pertimbangan terpisah dari eksponen genap dan ganjil dari akar. Pendekatan ini membutuhkan kondisi tambahan: kekuatan angka sebuah, yang indikatornya merupakan pecahan biasa tereduksi, dianggap sebagai pangkat dari suatu bilangan sebuah, yang indikatornya adalah pecahan tak tereduksi yang sesuai (pentingnya kondisi ini akan dijelaskan di bawah). Artinya, jika M N adalah pecahan yang tidak dapat direduksi, maka untuk sembarang bilangan asli k derajat sebelumnya digantikan oleh .

untuk genap n dan positif m ekspresi masuk akal untuk semua non-negatif sebuah(akar derajat genap dari bilangan negatif tidak masuk akal), dengan negatif m nomor sebuah masih harus berbeda dari nol (jika tidak, pembagian dengan nol). Dan untuk ganjil n dan positif m nomor sebuah bisa apa saja (akar derajat ganjil didefinisikan untuk sembarang bilangan real), dan untuk negatif m nomor sebuah harus berbeda dari nol (sehingga tidak ada pembagian dengan nol).

Alasan di atas membawa kita ke definisi derajat dengan eksponen pecahan.

Definisi.

Membiarkan M N- pecahan tak tereduksi m adalah keseluruhan, dan n- bilangan asli. Untuk setiap pecahan biasa yang dapat direduksi, derajatnya diganti dengan . Derajat sebuah dengan eksponen pecahan tak tereduksi M N- ini untuk

o sembarang bilangan asli sebuah, bilangan bulat positif m dan aneh alami n, Misalnya, ;

o sembarang bilangan real bukan nol sebuah, bilangan bulat negatif m dan aneh n, Misalnya, ;

o bilangan non-negatif apa pun sebuah, bilangan bulat positif m dan bahkan n, Misalnya, ;

o positif apapun sebuah, bilangan bulat negatif m dan bahkan n, Misalnya, ;

o dalam kasus lain, derajat dengan eksponen pecahan tidak didefinisikan, seperti, misalnya, derajat tidak ditentukan .entri kami tidak melampirkan arti apa pun, kami mendefinisikan derajat nol untuk eksponen pecahan positif M N bagaimana , untuk eksponen pecahan negatif, derajat angka nol tidak didefinisikan.

Sebagai penutup paragraf ini, mari kita perhatikan fakta bahwa eksponen pecahan dapat ditulis sebagai pecahan desimal atau bilangan campuran, misalnya, . Untuk menghitung nilai ekspresi semacam ini, Anda perlu menulis eksponen sebagai pecahan biasa, dan kemudian menggunakan definisi derajat dengan eksponen pecahan. Untuk contoh-contoh ini, kita memiliki dan

Derajat dengan eksponen rasional

Khasyanova T.G.,

guru matematika

Materi yang disajikan akan bermanfaat bagi guru matematika saat mempelajari topik “Gelar dengan indikator rasional”.

Tujuan materi yang disajikan: pengungkapan pengalaman saya dalam melakukan pelajaran dengan topik "Gelar dengan indikator rasional" dari program kerja disiplin "Matematika".

Metodologi pelajaran sesuai dengan jenisnya - pelajaran dalam studi dan konsolidasi utama pengetahuan baru. Pengetahuan dan keterampilan dasar diperbarui berdasarkan pengalaman yang diperoleh sebelumnya; menghafal utama, konsolidasi dan penerapan informasi baru. Konsolidasi dan penerapan materi baru berupa pemecahan masalah dengan berbagai kompleksitas yang saya uji, memberikan hasil positif dalam penguasaan topik.

Di awal pelajaran, saya menetapkan tujuan berikut untuk siswa: mendidik, mengembangkan, mendidik. Pada pelajaran, saya menggunakan berbagai metode kegiatan: frontal, individu, ruang uap, mandiri, tes. Tugas-tugas itu dibedakan dan memungkinkan untuk mengidentifikasi, pada setiap tahap pelajaran, tingkat asimilasi pengetahuan. Volume dan kompleksitas tugas sesuai dengan karakteristik usia siswa. Dari pengalaman saya, pekerjaan rumah, mirip dengan tugas yang diselesaikan di kelas, memungkinkan Anda untuk secara aman mengkonsolidasikan pengetahuan dan keterampilan yang diperoleh. Di akhir pelajaran, refleksi dilakukan dan pekerjaan individu siswa dievaluasi.

Tujuan telah tercapai. Para siswa mempelajari konsep dan sifat-sifat derajat dengan eksponen rasional, belajar bagaimana menggunakan sifat-sifat ini dalam memecahkan masalah praktis. Nilai untuk pekerjaan mandiri diumumkan pada pelajaran berikutnya.

Saya percaya bahwa metodologi yang saya gunakan untuk menyelenggarakan kelas matematika dapat diterapkan oleh guru matematika.

Topik pelajaran: Gelar dengan indikator rasional

Tujuan pelajaran:

Identifikasi tingkat penguasaan siswa atas pengetahuan dan keterampilan yang kompleks dan, atas dasar itu, penerapan solusi tertentu untuk meningkatkan proses pendidikan.

Tujuan pelajaran:

Tutorial: untuk membentuk pengetahuan baru di antara siswa tentang konsep dasar, aturan, hukum untuk menentukan derajat dengan indikator rasional, kemampuan untuk secara mandiri menerapkan pengetahuan dalam kondisi standar, dalam kondisi yang berubah dan tidak standar;

mengembangkan: berpikir logis dan menyadari kemampuan kreatif;

pendidik: untuk membentuk minat pada matematika, untuk mengisi kembali kosakata dengan istilah-istilah baru, untuk memperoleh informasi tambahan tentang dunia sekitar. Kembangkan kesabaran, ketekunan, kemampuan untuk mengatasi kesulitan.

Mengatur waktu

Memperbarui pengetahuan dasar

Saat mengalikan pangkat dengan basis yang sama, eksponen ditambahkan, dan basis tetap sama:

Sebagai contoh,

2. Saat membagi pangkat dengan basis yang sama, eksponennya dikurangi, dan basisnya tetap sama:

Sebagai contoh,

3. Saat menaikkan derajat ke pangkat, eksponen dikalikan, dan basisnya tetap sama:

Sebagai contoh,

4. Derajat hasil kali sama dengan hasil kali pangkat faktor-faktornya:

Sebagai contoh,

5. Derajat hasil bagi sama dengan hasil bagi pangkat dari dividen dan pembagi:

Sebagai contoh,

Latihan Solusi

Temukan nilai ekspresi:

Larutan:

Dalam hal ini, tidak satu pun sifat derajat dengan eksponen alami yang dapat diterapkan secara eksplisit, karena semua derajat memiliki basis yang berbeda. Mari kita menulis beberapa derajat dalam bentuk yang berbeda:

(derajat produk sama dengan produk derajat faktor);

(ketika mengalikan pangkat dengan basis yang sama, eksponen ditambahkan, dan basis tetap sama, saat menaikkan derajat ke pangkat, eksponen dikalikan, tetapi basis tetap sama).

Kemudian kita mendapatkan:

Dalam contoh ini, empat sifat pertama dari derajat dengan eksponen alami digunakan.

Akar kuadrat aritmatika
adalah bilangan non-negatif yang kuadratnyasebuah,
. Pada
- ekspresi
tidak ditentukan, karena tidak ada bilangan real yang kuadratnya sama dengan bilangan negatifsebuah.

Dikte matematika(8-10 menit)

Pilihan

II. Pilihan

1. Temukan nilai dari ekspresi

sebuah)

b)

1. Temukan nilai dari ekspresi

sebuah)

b)

2. Hitung

sebuah)

b)

PADA)

2. Hitung

sebuah)

b)

di)

Tes mandiri(di papan kerah):

Matriks Respons:

№ pilihan/tugas

Tugas 1

Tugas 2

Pilihan 1

a) 2

b) 2

a) 0,5

b)

di)

pilihan 2

a) 1,5

b)

sebuah)

b)

jam 4

II.Pembentukan pengetahuan baru

Pertimbangkan arti dari ekspresi, di mana - nomor positif– bilangan pecahan dan m-integer, n-natural (n>1)

Definisi: derajat bilangan a›0 dengan pangkat rasionalr = , m-utuh, n- alami ( n1) suatu bilangan disebut.

Jadi:

Sebagai contoh:

Catatan:

1. Untuk sembarang a positif dan r rasional apa pun, bilangan secara positif.

2. Kapan
pangkat rasional suatu bilangansebuahtidak terdefinisikan.

Ekspresi seperti
tidak masuk akal.

3.Jika bilangan positif pecahan
.

Jika sebuah pecahan bilangan negatif, maka -tidak masuk akal.

Sebagai contoh: - tidak masuk akal.

Pertimbangkan sifat-sifat derajat dengan eksponen rasional.

Misalkan a>0, >0; r, s - bilangan rasional apa pun. Kemudian gelar dengan eksponen rasional apa pun memiliki sifat-sifat berikut:

1.
2.
3.
4.
5.

AKU AKU AKU. Konsolidasi. Pembentukan keterampilan dan kemampuan baru.

Kartu tugas bekerja dalam kelompok kecil dalam bentuk tes.

Ekspresi, konversi ekspresi

Ekspresi kekuatan (ekspresi dengan kekuatan) dan transformasinya

Pada artikel ini, kita akan berbicara tentang mengubah ekspresi dengan kekuatan. Pertama, kita akan fokus pada transformasi yang dilakukan dengan ekspresi apa pun, termasuk ekspresi pangkat, seperti kurung buka, pengurangan suku yang serupa. Dan kemudian kami akan menganalisis transformasi yang melekat secara khusus dalam ekspresi dengan derajat: bekerja dengan basis dan eksponen, menggunakan properti derajat, dll.

Navigasi halaman.

Apa itu Ekspresi Daya?

Istilah "ekspresi kekuatan" praktis tidak ditemukan dalam buku pelajaran matematika sekolah, tetapi sering muncul dalam kumpulan tugas, yang dirancang khusus untuk mempersiapkan Ujian Negara Bersatu dan OGE, misalnya. Setelah menganalisis tugas di mana diperlukan untuk melakukan tindakan apa pun dengan ekspresi kekuatan, menjadi jelas bahwa ekspresi kekuatan dipahami sebagai ekspresi yang mengandung derajat dalam entri mereka. Oleh karena itu, untuk Anda sendiri, Anda dapat mengambil definisi berikut:

Definisi.

Ekspresi kekuatan adalah ekspresi yang mengandung kekuatan.

Ayo bawa contoh ekspresi kekuatan. Selain itu, kami akan merepresentasikan mereka sesuai dengan bagaimana perkembangan pandangan dari derajat dengan indikator alami ke derajat dengan indikator nyata berlangsung.

Seperti yang Anda ketahui, pertama ada kenalan dengan derajat suatu bilangan dengan eksponen alami, pada tahap ini ekspresi kekuatan paling sederhana pertama dari tipe 3 2 , 7 5 +1 , (2+1) 5 , (−0, 1) 4 , 3 a 2 a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 dst.

Beberapa saat kemudian, pangkat suatu bilangan dengan eksponen bilangan bulat dipelajari, yang mengarah pada munculnya ekspresi pangkat dengan pangkat bilangan bulat negatif, seperti berikut: 3 2, , a 2 +2 b 3 + c 2 .

Di kelas senior, mereka kembali ke gelar lagi. Di sana, gelar dengan eksponen rasional diperkenalkan, yang mengarah pada munculnya ekspresi kekuatan yang sesuai: , , dll. Akhirnya, derajat dengan eksponen irasional dan ekspresi yang mengandungnya dianggap: , .

Masalahnya tidak terbatas pada ekspresi pangkat yang terdaftar: selanjutnya variabel menembus ke dalam eksponen, dan ada, misalnya, ekspresi seperti itu 2 x 2 +1 atau . Dan setelah berkenalan, ekspresi dengan kekuatan dan logaritma mulai muncul, misalnya, x 2 lgx 5 x lgx.

Jadi, kami menemukan pertanyaan tentang apa itu ekspresi kekuatan. Selanjutnya, kita akan belajar bagaimana mengubahnya.

Jenis utama transformasi ekspresi kekuatan

Dengan ekspresi kekuatan, Anda dapat melakukan salah satu transformasi identitas dasar ekspresi. Misalnya, Anda dapat memperluas tanda kurung, mengganti ekspresi numerik dengan nilainya, menambahkan istilah serupa, dan seterusnya. Secara alami, dalam hal ini perlu untuk mengikuti prosedur yang diterima untuk melakukan tindakan. Mari kita beri contoh.

Contoh.

Hitung nilai dari ekspresi pangkat 2 3 ·(4 2 12) .

Larutan.

Menurut urutan tindakan, pertama-tama kita melakukan tindakan dalam tanda kurung. Di sana, pertama, kami mengganti pangkat 4 2 dengan nilainya 16 (lihat jika perlu), dan kedua, kami menghitung selisihnya 16−12=4 . Kita punya 2 3 (4 2 12)=2 3 (16−12)=2 3 4.

Dalam ekspresi yang dihasilkan, kami mengganti pangkat 2 3 dengan nilainya 8 , setelah itu kami menghitung produk 8·4=32 . Ini adalah nilai yang diinginkan.

Jadi, 2 3 (4 2 12)=2 3 (16−12)=2 3 4=8 4=32.

Menjawab:

2 3 (4 2 12)=32 .

Contoh.

Sederhanakan Ekspresi Daya 3 a 4 b 7 1+2 a 4 b 7.

Larutan.

Jelas, ekspresi ini mengandung istilah yang mirip 3 · a 4 · b 7 dan 2 · a 4 · b 7 , dan kita dapat menguranginya: .

Menjawab:

3 a 4 b 7 1+2 a 4 b 7 =5 a 4 b 7 1.

Contoh.

Ekspresikan ekspresi dengan kekuatan sebagai produk.

Larutan.

Untuk mengatasi tugas memungkinkan representasi angka 9 sebagai kekuatan 3 2 dan selanjutnya menggunakan rumus perkalian yang disingkat, perbedaan kuadrat:

Menjawab:

Ada juga sejumlah transformasi identik yang melekat dalam ekspresi kekuasaan. Selanjutnya, kami akan menganalisisnya.

Bekerja dengan basis dan eksponen

Ada derajat, dalam basis dan / atau indikator yang bukan hanya angka atau variabel, tetapi beberapa ekspresi. Sebagai contoh, mari kita tulis (2+0.3 7) 5−3.7 dan (a (a+1)−a 2) 2 (x+1) .

Saat bekerja dengan ekspresi seperti itu, dimungkinkan untuk mengganti ekspresi di basis derajat dan ekspresi dalam indikator dengan ekspresi yang sama identik pada DPV variabelnya. Dengan kata lain, menurut aturan yang kita ketahui, kita dapat secara terpisah mengonversi basis derajat, dan secara terpisah - indikatornya. Jelas bahwa sebagai hasil dari transformasi ini, diperoleh ekspresi yang identik sama dengan yang asli.

Transformasi tersebut memungkinkan kita untuk menyederhanakan ekspresi dengan kekuatan atau mencapai tujuan lain yang kita butuhkan. Misalnya, dalam ekspresi pangkat (2+0.3 7) 5−3.7 yang disebutkan di atas, Anda dapat melakukan operasi dengan angka dalam basis dan eksponen, yang memungkinkan Anda untuk beralih ke pangkat 4.1 1.3. Dan setelah membuka kurung dan membawa suku-suku serupa di dasar derajat (a (a+1)−a 2) 2 (x+1) kita mendapatkan ekspresi kekuatan dari bentuk yang lebih sederhana a 2 (x+1) .

Menggunakan Properti Daya

Salah satu alat utama untuk mengubah ekspresi dengan kekuatan adalah persamaan yang mencerminkan . Mari kita ingat yang utama. Untuk sembarang bilangan positif a dan b dan bilangan real sembarang r dan s, sifat-sifat daya berikut berlaku:

• a r a s =a r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (a b) r = a r b r ;
• (a:b) r =a r:b r ;
• (a r) s = a r s .

Perhatikan bahwa untuk eksponen natural, integer, dan positif, pembatasan pada bilangan a dan b mungkin tidak terlalu ketat. Misalnya, untuk bilangan asli m dan n, persamaan a m ·a n =a m+n benar tidak hanya untuk a positif , tetapi juga untuk negatif, dan untuk a=0 .

Di sekolah, perhatian utama dalam transformasi ekspresi kekuatan difokuskan tepat pada kemampuan untuk memilih properti yang sesuai dan menerapkannya dengan benar. Dalam hal ini, basis derajat biasanya positif, yang memungkinkan Anda untuk menggunakan properti derajat tanpa batasan. Hal yang sama berlaku untuk transformasi ekspresi yang mengandung variabel dalam basis derajat - rentang nilai variabel yang dapat diterima biasanya sedemikian rupa sehingga basis hanya mengambil nilai positif di atasnya, yang memungkinkan Anda untuk bebas menggunakan properti derajat. Secara umum, Anda perlu terus-menerus bertanya pada diri sendiri apakah mungkin untuk menerapkan properti derajat apa pun dalam kasus ini, karena penggunaan properti yang tidak akurat dapat menyebabkan penyempitan ODZ dan masalah lainnya. Poin-poin ini dibahas secara rinci dan dengan contoh dalam artikel transformasi ekspresi menggunakan properti derajat. Di sini kita membatasi diri pada beberapa contoh sederhana.

Contoh.

Nyatakan ekspresi a 2.5 ·(a 2) 3:a 5.5 sebagai pangkat dengan basis a .

Larutan.

Pertama, kita ubah faktor kedua (a 2) 3 dengan sifat menaikkan pangkat menjadi pangkat: (a 2) 3 =a 2 (−3) =a 6. Dalam hal ini, ekspresi pangkat awal akan berbentuk a 2.5 ·a 6:a 5.5 . Jelas, tetap menggunakan sifat perkalian dan pembagian kekuatan dengan basis yang sama, kita memiliki
a 2,5 a -6:a -5,5 =
a 2.5−6:a−5.5 =a−3.5:a−5.5 =
a 3.5−(−5.5) =a 2 .

Menjawab:

a 2.5 (a 2) -3:a -5.5 \u003d a 2.

Properti daya digunakan saat mengubah ekspresi daya baik dari kiri ke kanan maupun dari kanan ke kiri.

Contoh.

Temukan nilai dari ekspresi kekuatan.

Larutan.

Persamaan (a·b) r =a r ·b r , diterapkan dari kanan ke kiri, memungkinkan Anda beralih dari ekspresi asli ke produk bentuk dan selanjutnya. Dan ketika mengalikan kekuatan dengan basis yang sama, indikatornya bertambah: .

Dimungkinkan untuk melakukan transformasi ekspresi asli dengan cara lain:

Menjawab:

.

Contoh.

Diberikan ekspresi pangkat a 1,5 a 0,5 6 , masukkan variabel baru t=a 0,5 .

Larutan.

Derajat a 1,5 dapat direpresentasikan sebagai 0,5 3 dan selanjutnya berdasarkan sifat derajat dalam derajat (a r) s =a r s diterapkan dari kanan ke kiri, ubahlah menjadi bentuk (a 0,5) 3 . Lewat sini, a 1,5 -a 0,5 -6=(a 0,5) 3 -a 0,5 -6. Sekarang mudah untuk memperkenalkan variabel baru t=a 0.5 , kita mendapatkan t 3 t−6 .

Menjawab:

t 3 t−6 .

Mengonversi pecahan yang mengandung kekuatan

Ekspresi pangkat dapat berisi pecahan dengan pangkat atau mewakili pecahan tersebut. Transformasi pecahan dasar apa pun yang melekat pada pecahan jenis apa pun sepenuhnya berlaku untuk pecahan tersebut. Artinya, pecahan yang mengandung derajat dapat direduksi, direduksi menjadi penyebut baru, bekerja secara terpisah dengan pembilangnya dan secara terpisah dengan penyebutnya, dll. Untuk mengilustrasikan kata-kata di atas, pertimbangkan solusi dari beberapa contoh.

Contoh.

Sederhanakan Ekspresi Daya .

Larutan.

Ekspresi kekuatan ini adalah pecahan. Mari kita bekerja dengan pembilang dan penyebutnya. Di pembilang, kami membuka tanda kurung dan menyederhanakan ekspresi yang diperoleh setelah itu menggunakan sifat-sifat pangkat, dan dalam penyebut kami menyajikan istilah yang serupa:

Dan kita juga mengubah tanda penyebut dengan menempatkan minus di depan pecahan: .

Menjawab:

.

Pengurangan pecahan yang mengandung pangkat ke penyebut baru dilakukan dengan cara yang sama seperti mereduksi pecahan rasional ke penyebut baru. Pada saat yang sama, faktor tambahan juga ditemukan dan pembilang dan penyebut pecahan dikalikan dengannya. Saat melakukan tindakan ini, perlu diingat bahwa pengurangan ke penyebut baru dapat menyebabkan penyempitan DPV. Untuk mencegah hal ini terjadi, perlu bahwa faktor tambahan tidak hilang untuk nilai variabel apa pun dari variabel ODZ untuk ekspresi asli.

Contoh.

Pindahkan pecahan ke penyebut baru: a) ke penyebut a, b) ke penyebutnya.

Larutan.

a) Dalam hal ini, cukup mudah untuk mengetahui faktor tambahan apa yang membantu mencapai hasil yang diinginkan. Ini adalah pengali a 0,3, karena 0,7 a 0,3 = a 0,7+0,3 = a . Perhatikan bahwa dalam kisaran nilai yang dapat diterima dari variabel a (ini adalah himpunan semua bilangan real positif), derajat a 0,3 tidak hilang, oleh karena itu, kami memiliki hak untuk mengalikan pembilang dan penyebut dari pecahan yang diberikan oleh faktor tambahan ini:

b) Melihat lebih dekat pada penyebut, kami menemukan bahwa

dan mengalikan ekspresi ini dengan akan memberikan jumlah kubus dan , yaitu . Dan ini adalah penyebut baru yang kita butuhkan untuk membawa pecahan aslinya.

Jadi kami menemukan faktor tambahan. Ekspresi tidak hilang pada rentang nilai yang dapat diterima dari variabel x dan y, oleh karena itu, kita dapat mengalikan pembilang dan penyebut pecahan dengannya:

Menjawab:

sebuah) , b) .

Juga tidak ada yang baru dalam pengurangan pecahan yang mengandung derajat: pembilang dan penyebut direpresentasikan sebagai sejumlah faktor, dan faktor pembilang dan penyebut yang sama dikurangi.

Contoh.

Kurangi pecahan: a) , b).

Larutan.

a) Pertama, pembilang dan penyebutnya dapat dikurangi dengan angka 30 dan 45, yang sama dengan 15. Juga, jelas, Anda dapat mengurangi x 0,5 +1 dan dengan . Inilah yang kami miliki:

b) Dalam hal ini, faktor pembilang dan penyebut yang sama tidak langsung terlihat. Untuk mendapatkannya, Anda harus melakukan transformasi awal. Dalam hal ini, mereka terdiri dari menguraikan penyebut menjadi faktor-faktor sesuai dengan perbedaan rumus kuadrat:

Menjawab:

sebuah)

b) .

Mengurangi pecahan ke penyebut baru dan mengurangi pecahan terutama digunakan untuk melakukan operasi pada pecahan. Tindakan dilakukan sesuai dengan aturan yang diketahui. Saat menambahkan (mengurangi) pecahan, mereka direduksi menjadi penyebut yang sama, setelah itu pembilangnya ditambahkan (dikurangi), dan penyebutnya tetap sama. Hasilnya adalah pecahan yang pembilangnya adalah hasil kali pembilangnya, dan penyebutnya adalah perkalian penyebutnya. Pembagian dengan pecahan adalah perkalian dengan kebalikannya.

Contoh.

Ikuti langkah-langkahnya .

Larutan.

Pertama, kita kurangi pecahan dalam kurung. Untuk melakukan ini, kami membawanya ke penyebut yang sama, yaitu , lalu kurangi pembilangnya:

Sekarang kita mengalikan pecahan:

Jelas, pengurangan dengan kekuatan x 1/2 dimungkinkan, setelah itu kita memiliki .

Anda juga dapat menyederhanakan ekspresi pangkat dalam penyebut dengan menggunakan rumus selisih kuadrat: .

Menjawab:

Contoh.

Sederhanakan Ekspresi Daya .

Larutan.

Jelas, pecahan ini dapat dikurangi dengan (x 2,7 +1) 2, ini memberikan pecahan . Jelas bahwa sesuatu yang lain perlu dilakukan dengan kekuatan x. Untuk melakukan ini, kami mengubah pecahan yang dihasilkan menjadi produk. Ini memberi kita kesempatan untuk menggunakan properti pembagian kekuatan dengan basis yang sama: . Dan di akhir proses, kita beralih dari produk terakhir ke pecahan.

Menjawab:

.

Dan kami menambahkan bahwa adalah mungkin dan dalam banyak kasus diinginkan untuk mentransfer faktor dengan eksponen negatif dari pembilang ke penyebut atau dari penyebut ke pembilang dengan mengubah tanda eksponen. Transformasi seperti itu sering menyederhanakan tindakan lebih lanjut. Misalnya, ekspresi kekuatan dapat diganti dengan .

Mengubah ekspresi dengan akar dan pangkat

Seringkali dalam ekspresi di mana beberapa transformasi diperlukan, bersama dengan derajat dengan eksponen pecahan, ada juga akar. Untuk mengonversi ekspresi seperti itu ke bentuk yang diinginkan, dalam banyak kasus cukup dengan hanya pergi ke akar atau hanya ke kekuatan. Tetapi karena lebih nyaman untuk bekerja dengan derajat, mereka biasanya berpindah dari akar ke derajat. Namun, disarankan untuk melakukan transisi seperti itu ketika ODZ variabel untuk ekspresi asli memungkinkan Anda untuk mengganti akar dengan derajat tanpa perlu mengakses modul atau membagi ODZ menjadi beberapa interval (kami membahas ini secara rinci di bagian artikel, transisi dari akar ke pangkat dan sebaliknya Setelah berkenalan dengan derajat dengan eksponen rasional, gelar dengan indikator irasional diperkenalkan, yang memungkinkan untuk berbicara tentang gelar dengan indikator nyata yang sewenang-wenang.Pada tahap ini, sekolah mulai belajar Fungsi eksponensial, yang secara analitis diberikan oleh derajat, dengan dasar yang ada angka, dan dalam indikator - variabel. Jadi kita dihadapkan dengan ekspresi eksponensial yang berisi angka dalam basis derajat, dan dalam eksponen - ekspresi dengan variabel, dan tentu saja muncul kebutuhan untuk melakukan transformasi ekspresi tersebut.

Harus dikatakan bahwa transformasi ekspresi dari tipe yang ditunjukkan biasanya harus dilakukan saat menyelesaikan persamaan eksponensial dan pertidaksamaan eksponensial, dan transformasi ini cukup sederhana. Dalam sebagian besar kasus, mereka didasarkan pada sifat-sifat derajat dan sebagian besar ditujukan untuk memperkenalkan variabel baru di masa depan. Persamaan akan memungkinkan kita untuk mendemonstrasikannya 5 2 x+1 3 5 x 7 x 14 7 2 x−1 =0.

Pertama, eksponen, di mana eksponen jumlah beberapa variabel (atau ekspresi dengan variabel) dan angka, ditemukan, diganti dengan produk. Ini berlaku untuk istilah pertama dan terakhir dari ekspresi di sisi kiri:
5 2 x 5 1 3 5 x 7 x 14 7 2 x 7 1 =0,
5 5 2 x 3 5 x 7 x 2 7 2 x =0.

Selanjutnya, kedua bagian persamaan dibagi dengan ekspresi 7 2 x , yang hanya mengambil nilai positif pada ODZ variabel x untuk persamaan asli (ini adalah teknik standar untuk menyelesaikan persamaan semacam ini, kami tidak membicarakannya sekarang, jadi fokuslah pada transformasi ekspresi selanjutnya dengan kekuatan ):

Sekarang pecahan dengan kekuatan dibatalkan, yang memberikan .

Akhirnya, rasio pangkat dengan eksponen yang sama diganti dengan pangkat rasio, yang mengarah ke persamaan , yang setara dengan . Transformasi yang dibuat memungkinkan kami untuk memperkenalkan variabel baru, yang mengurangi solusi persamaan eksponensial asli menjadi solusi persamaan kuadrat

I.V. Boikov, L.D. Romanova Kumpulan tugas untuk persiapan ujian. Bagian 1. Penza 2003.

Pada artikel ini, kita akan memahami apa itu derajat. Di sini kami akan memberikan definisi derajat suatu bilangan, sambil mempertimbangkan secara rinci semua kemungkinan eksponen derajat, dimulai dengan eksponen alami, diakhiri dengan eksponen irasional. Dalam materi Anda akan menemukan banyak contoh derajat yang mencakup semua seluk-beluk yang muncul.

Navigasi halaman.

Derajat dengan eksponen alami, kuadrat dari suatu bilangan, pangkat tiga dari suatu bilangan

Mari kita mulai dengan . Melihat ke depan, katakanlah definisi derajat a dengan eksponen alami n diberikan untuk a , yang akan kita sebut dasar derajat, dan n , yang akan kita sebut eksponen. Kami juga mencatat bahwa derajat dengan indikator alami ditentukan melalui produk, jadi untuk memahami materi di bawah ini, Anda harus memiliki gagasan tentang perkalian angka.

Definisi.

Kekuatan bilangan a dengan eksponen alami n adalah ekspresi dari bentuk a n , yang nilainya sama dengan produk dari n faktor, yang masing-masing sama dengan a , yaitu .
Secara khusus, derajat suatu bilangan a dengan eksponen 1 adalah bilangan a itu sendiri, yaitu a 1 =a.

Segera perlu disebutkan aturan untuk membaca derajat. Cara universal untuk membaca entri a n adalah: "a pangkat n". Dalam beberapa kasus, opsi seperti itu juga dapat diterima: "a pangkat ke-n" dan "pangkat ke-n dari angka a". Sebagai contoh, mari kita ambil derajat 8 12, ini adalah "delapan pangkat dua belas", atau "delapan pangkat dua belas", atau "kekuatan kedua belas dari delapan".

Kekuatan kedua dari sebuah angka, serta kekuatan ketiga dari sebuah angka, memiliki nama mereka sendiri. pangkat dua suatu bilangan disebut kuadrat dari suatu bilangan, misalnya, 7 2 dibaca sebagai "kuadrat tujuh" atau "kuadrat dari angka tujuh". Kekuatan ketiga dari suatu bilangan disebut nomor kubus, misalnya, 5 3 dapat dibaca sebagai "lima pangkat tiga" atau ucapkan "kubus angka 5".

Saatnya membawa contoh derajat dengan indikator fisik. Mari kita mulai dengan pangkat 5 7 , di mana 5 adalah basis dari pangkat dan 7 adalah eksponen. Mari berikan contoh lain: 4,32 adalah basis, dan bilangan asli 9 adalah eksponen (4,32) 9 .

Harap dicatat bahwa dalam contoh terakhir, basis derajat 4.32 ditulis dalam tanda kurung: untuk menghindari perbedaan, kami akan mengambil dalam tanda kurung semua basis derajat yang berbeda dari bilangan asli. Sebagai contoh, kami memberikan derajat berikut dengan indikator alami , basisnya bukan bilangan asli, jadi ditulis dalam tanda kurung. Nah, untuk kejelasan lengkap pada titik ini, kami akan menunjukkan perbedaan yang terkandung dalam catatan bentuk (−2) 3 dan 2 3 . Ekspresi (−2) 3 adalah pangkat dari 2 dengan pangkat 3 alami, dan ekspresi 2 3 (dapat ditulis sebagai (2 3) ) sesuai dengan angka, nilai dari pangkat 2 3 .

Perhatikan bahwa ada notasi untuk derajat a dengan eksponen n dalam bentuk a^n . Selain itu, jika n adalah bilangan asli multinilai, maka eksponennya diambil dalam tanda kurung. Misalnya, 4^9 adalah notasi lain untuk pangkat 4 9 . Dan berikut adalah contoh penulisan derajat lainnya dengan menggunakan simbol “^”: 14^(21) , (−2,1)^(155) . Berikut ini, kita akan menggunakan notasi derajat dari bentuk a n .

Salah satu masalah, kebalikan dari eksponen dengan eksponen alami, adalah masalah menemukan basis derajat dari nilai derajat yang diketahui dan eksponen yang diketahui. Tugas ini mengarah ke.

Diketahui bahwa himpunan bilangan rasional terdiri dari bilangan bulat dan bilangan pecahan, dan setiap bilangan pecahan dapat direpresentasikan sebagai pecahan biasa positif atau negatif. Kami mendefinisikan derajat dengan eksponen bilangan bulat pada paragraf sebelumnya, oleh karena itu, untuk melengkapi definisi derajat dengan eksponen rasional, kami perlu memberikan arti derajat dari angka a dengan eksponen pecahan m / n, di mana m adalah bilangan bulat dan n adalah bilangan asli. Ayo lakukan.

Pertimbangkan gelar dengan eksponen pecahan dari bentuk . Agar properti derajat dalam derajat tetap berlaku, kesetaraan harus berlaku . Jika kita memperhitungkan persamaan yang dihasilkan dan bagaimana kita mendefinisikan , maka logis untuk menerimanya, asalkan untuk m, n dan a yang diberikan, ekspresinya masuk akal.

Sangat mudah untuk memverifikasi bahwa semua properti derajat dengan eksponen bilangan bulat valid untuk as (ini dilakukan di bagian properti derajat dengan eksponen rasional).

Alasan di atas memungkinkan kita untuk membuat yang berikut: kesimpulan: jika untuk m, n dan a yang diberikan ekspresi masuk akal, maka pangkat dari bilangan a dengan pangkat pecahan m / n disebut akar derajat ke-n dari a ke pangkat m.

Pernyataan ini membawa kita mendekati definisi derajat dengan eksponen pecahan. Tetap hanya untuk menggambarkan ekspresi m, n dan a yang masuk akal. Tergantung pada pembatasan yang dikenakan pada m , n dan a, ada dua pendekatan utama.

Cara termudah untuk membatasi a adalah dengan mengasumsikan a≥0 untuk m positif dan a>0 untuk m negatif (karena m≤0 tidak memiliki kekuatan 0 m). Kemudian kita mendapatkan definisi derajat berikut dengan eksponen pecahan.

Definisi.

Pangkat bilangan positif a dengan pangkat pecahan m/n, di mana m adalah bilangan bulat, dan n adalah bilangan asli, disebut akar ke-n dari bilangan a pangkat m, yaitu .

Derajat pecahan nol juga didefinisikan dengan satu-satunya peringatan bahwa eksponen harus positif.

Definisi.

Pangkat nol dengan eksponen positif pecahan m/n, di mana m adalah bilangan bulat positif dan n adalah bilangan asli, didefinisikan sebagai .
Ketika derajat tidak didefinisikan, yaitu derajat angka nol dengan eksponen negatif pecahan tidak masuk akal.

Perlu dicatat bahwa dengan definisi derajat seperti itu dengan eksponen pecahan, ada satu nuansa: untuk beberapa a negatif dan beberapa m dan n, ekspresi masuk akal, dan kami membuang kasus ini dengan memperkenalkan kondisi a≥0 . Misalnya, masuk akal untuk menulis atau , dan definisi yang diberikan di atas memaksa kita untuk mengatakan bahwa derajat dengan eksponen pecahan dari bentuk tidak ada artinya, karena basisnya tidak boleh negatif.

Pendekatan lain untuk menentukan derajat dengan pangkat pecahan m / n adalah dengan mempertimbangkan secara terpisah pangkat genap dan ganjil dari akar. Pendekatan ini memerlukan kondisi tambahan: derajat bilangan a, yang eksponennya , dianggap derajat bilangan a, eksponennya adalah pecahan tak tereduksi yang sesuai (pentingnya kondisi ini akan dijelaskan di bawah). Artinya, jika m/n adalah pecahan tak tereduksi, maka untuk sembarang bilangan asli k derajatnya terlebih dahulu diganti dengan .

Untuk n genap dan m positif, ekspresi masuk akal untuk sembarang a non-negatif (akar derajat genap dari bilangan negatif tidak masuk akal), untuk m negatif, bilangan a masih harus berbeda dari nol (jika tidak ada akan menjadi pembagian dengan nol). Dan untuk n ganjil dan m positif, bilangan a dapat berupa apa saja (akar derajat ganjil ditentukan untuk sembarang bilangan real), dan untuk m negatif, bilangan a harus berbeda dari nol (sehingga tidak ada pembagian dengan nol).

Alasan di atas membawa kita ke definisi derajat dengan eksponen pecahan.

Definisi.

Biarkan m/n menjadi pecahan tak tereduksi, m bilangan bulat, dan n bilangan asli. Untuk setiap pecahan biasa yang dapat direduksi, derajatnya diganti dengan . Pangkat a dengan pangkat pecahan tak tereduksi m / n adalah untuk



Mari kita jelaskan mengapa gelar dengan eksponen pecahan yang dapat direduksi pertama-tama diganti dengan gelar dengan eksponen yang tidak dapat direduksi. Jika kita hanya mendefinisikan derajat sebagai , dan tidak membuat reservasi tentang ireduksibilitas pecahan m / n , maka kita akan menghadapi situasi yang mirip dengan berikut: karena 6/10=3/5 , maka persamaan , tetapi , sebuah .

Ekspresi a n (pangkat dengan eksponen bilangan bulat) akan didefinisikan dalam semua kasus, kecuali untuk kasus ketika a = 0 dan n kurang dari atau sama dengan nol.

Properti gelar

Properti utama derajat dengan eksponen bilangan bulat:

a m *a n = a (m+n) ;

a m: a n \u003d a (m-n) (dengan sebuah tidak sama dengan nol);

(a m) n = a (m*n) ;

(a*b) n = a n * b n ;

(a/b) n = (a n)/(b n) (untuk b tidak sama dengan nol);

a 0 = 1 (ketika sebuah tidak sama dengan nol);

Properti ini akan berlaku untuk semua bilangan a, b dan bilangan bulat apa pun m dan n. Perlu juga diperhatikan properti berikut:

Jika m>n, maka a m > a n , untuk a>1 dan a m

Konsep derajat suatu bilangan dapat digeneralisasikan ke kasus-kasus di mana bilangan rasional bertindak sebagai eksponen. Pada saat yang sama, saya ingin semua properti di atas terpenuhi, atau setidaknya beberapa di antaranya.

Misalnya, jika properti (a m) n = a (m*n) dieksekusi, persamaan berikut akan benar:

(a (m/n)) n = a m .

Persamaan ini berarti bahwa bilangan a (m/n) harus merupakan akar ke-n dari bilangan a m .

Perpangkatan suatu bilangan a (lebih besar dari nol) dengan eksponen rasional r = (m/n), di mana m adalah bilangan bulat, n adalah bilangan asli yang lebih besar dari satu, disebut bilangan n√(a m). Berdasarkan definisi: a (m/n) = n√(a m).

Untuk semua r positif, pangkat nol akan ditentukan. Menurut definisi, 0 r = 0. Kami juga mencatat bahwa untuk sembarang bilangan bulat, sembarang m dan n alami, dan positif sebuah persamaan berikut ini benar: a (m/n) = a ((mk)/(nk)) .

Contoh: 134 (3/4) = 134 (6/8) = 134 (9/12) .

Definisi derajat dengan eksponen rasional secara langsung menyiratkan fakta bahwa untuk setiap positif a dan r rasional apa pun, bilangan a r akan menjadi positif.

Sifat dasar derajat dengan eksponen rasional

Untuk sembarang bilangan rasional p, q dan sembarang a>0 dan b>0, persamaan berikut adalah benar:

1. (a p)*(a q) = a (p+q) ;

2. (a p):(b q) = a (p-q) ;

3. (a p) q = a (p*q) ;

4. (a*b) p = (a p)*(b p);

5. (a/b) p = (a p)/(b p).

Sifat-sifat ini mengikuti sifat-sifat akar. Semua properti ini dibuktikan dengan cara yang sama, jadi kami membatasi diri untuk membuktikan hanya salah satunya, misalnya, yang pertama (a p)*(a q) = a (p + q) .

Misalkan p = m/n dan q = k/l, di mana n, l adalah bilangan asli dan m, k adalah bilangan bulat. Maka Anda perlu membuktikan bahwa:

(a (m/n))*(a (k/l)) = a ((m/n) + (k/l)) .

Pertama, kita bawa pecahan m/n k/l ke penyebut yang sama. Kami mendapatkan pecahan (m*l)/(n*l) dan (k*n)/(n*l). Kami menulis ulang sisi kiri persamaan menggunakan notasi ini dan mendapatkan:

(a (m/n))*(a (k/l)) = (a ((m*l)/(n*l)))*(a ((k*n)/(n*l)) ).

(a (m/n))*(a (k/l)) = (a ((m*l)/(n*l)))*(a ((k*n)/(n*l)) ) = (n*l)√(a (m*l))*(n*l)√(a (k*n)) = (n*l)√((a (m*l))*(a (k*n))) = (n*l)√(a (m*l+k*n)) = a ((m*l+k*n)/(n*l)) = a ((m /n)+(k/l)) .