Mengangkat ke pangkat negatif adalah salah satu elemen dasar matematika, yang sering ditemui dalam menyelesaikan masalah aljabar. Di bawah ini adalah instruksi terperinci.

Bagaimana menaikkan ke kekuatan negatif - teori

Saat kita mengambil angka dengan pangkat biasa, kita mengalikan nilainya beberapa kali. Misalnya, 3 3 \u003d 3 × 3 × 3 \u003d 27. Dengan pecahan negatif, kebalikannya benar. Bentuk umum menurut rumus adalah sebagai berikut: a -n = 1/a n . Jadi, untuk menaikkan angka menjadi pangkat negatif, Anda perlu membagi satu dengan angka yang diberikan, tetapi sudah menjadi pangkat positif.

Cara menaikkan pangkat negatif - contoh bilangan biasa

Dengan mengingat aturan di atas, mari kita selesaikan beberapa contoh.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Jawaban: 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Jawabannya adalah -4 -2 = 1/16.

Tetapi mengapa jawaban pada contoh pertama dan kedua sama? Faktanya adalah bahwa ketika angka negatif dinaikkan menjadi pangkat genap (2, 4, 6, dll.), tandanya menjadi positif. Jika derajatnya genap, maka minusnya dipertahankan:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

Cara menaikkan ke pangkat negatif - angka dari 0 hingga 1

Ingatlah bahwa ketika angka antara 0 dan 1 dinaikkan ke pangkat positif, nilainya menurun seiring dengan peningkatan daya. Jadi misalnya 0,5 2 = 0,25. 0,25

Contoh 3: Hitung 0,5 -2
Solusi: 0,5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1×4/1 = 4.
Jawaban: 0,5 -2 = 4

Parsing (urutan tindakan):

• Ubah desimal 0,5 menjadi pecahan 1/2. Hal ini lebih mudah.
  Naikkan 1/2 ke pangkat negatif. 1/(2) -2 . Bagi 1 dengan 1/(2) 2 , kita mendapatkan 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4

Contoh 4: Hitung 0,5 -3
Solusi: 0,5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8

Contoh 5: Hitung -0,5 -3
Solusi: -0,5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
Jawaban: -0,5 -3 = -8

Berdasarkan contoh ke-4 dan ke-5, kita akan menarik beberapa kesimpulan:

• Untuk bilangan positif dalam rentang 0 hingga 1 (contoh 4), dipangkatkan ke pangkat negatif, derajat genap atau ganjil tidak penting, nilai ekspresinya akan positif. Dalam hal ini, semakin besar derajatnya, semakin besar nilainya.
• Untuk bilangan negatif antara 0 dan 1 (contoh 5), dipangkatkan ke pangkat negatif, derajat genap atau ganjil tidak penting, nilai ekspresinya akan negatif. Dalam hal ini, semakin tinggi derajatnya, semakin rendah nilainya.

Cara menaikkan ke pangkat negatif - pangkat sebagai bilangan pecahan

Ekspresi jenis ini memiliki bentuk sebagai berikut: a -m/n , di mana a adalah bilangan biasa, m adalah pembilang derajat, n adalah penyebut derajat.

Pertimbangkan sebuah contoh:
Hitung: 8 -1/3

Solusi (urutan tindakan):

• Ingat aturan untuk menaikkan angka ke pangkat negatif. Kami mendapatkan: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3 .
• Perhatikan bahwa penyebutnya adalah 8 pangkat pecahan. Bentuk umum untuk menghitung derajat pecahan adalah sebagai berikut: a m/n = n 8 m .
• Jadi, 1/(8) 1/3 = 1/(3 8 1). Kita mendapatkan akar pangkat tiga dari delapan, yaitu 2. Berdasarkan ini, 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2.
• Jawaban: 8 -1/3 = 2

Dari sekolah, kita semua tahu aturan tentang menaikkan pangkat: bilangan apa pun dengan eksponen N sama dengan hasil mengalikan bilangan ini dengan dirinya sendiri N kali. Dengan kata lain, 7 pangkat 3 adalah 7 dikalikan dengan dirinya sendiri tiga kali, yaitu 343. Aturan lain - menaikkan nilai apa pun ke pangkat 0 menghasilkan satu, dan menaikkan nilai negatif adalah hasil dari eksponensial biasa, jika itu genap, dan hasilnya sama dengan tanda minus jika ganjil.

Aturan juga memberikan jawaban tentang cara menaikkan angka ke kekuatan negatif. Untuk melakukan ini, Anda perlu menaikkan nilai yang diperlukan dengan modul indikator dengan cara biasa, dan kemudian membagi unit dengan hasilnya.

Dari aturan tersebut menjadi jelas bahwa pelaksanaan tugas nyata dengan jumlah besar akan membutuhkan ketersediaan sarana teknis. Secara manual dimungkinkan untuk mengalikan dengan sendirinya kisaran angka maksimum hingga dua puluh atau tiga puluh, dan kemudian tidak lebih dari tiga atau empat kali. Ini belum lagi fakta bahwa kemudian juga membagi unit dengan hasilnya. Karena itu, bagi mereka yang tidak memiliki kalkulator teknik khusus, kami akan memberi tahu Anda cara menaikkan angka ke pangkat negatif di Excel.

Memecahkan masalah di Excel

Untuk mengatasi masalah dengan eksponensial, Excel memungkinkan Anda menggunakan salah satu dari dua opsi.

Yang pertama adalah penggunaan rumus dengan simbol cap standar. Masukkan data berikut di sel lembar kerja:

Dengan cara yang sama, Anda dapat menaikkan nilai yang diinginkan ke pangkat apa pun - negatif, pecahan. Mari kita lakukan hal berikut dan jawab pertanyaan tentang cara menaikkan angka ke pangkat negatif. Contoh:

Dimungkinkan untuk mengoreksi secara langsung dalam rumus =B2^-C2.

Opsi kedua adalah menggunakan fungsi "Gelar" yang sudah jadi, yang membutuhkan dua argumen wajib - angka dan indikator. Untuk mulai menggunakannya, cukup beri tanda sama dengan (=) di sel bebas mana pun, yang menunjukkan awal rumus, dan masukkan kata-kata di atas. Tetap memilih dua sel yang akan berpartisipasi dalam operasi (atau menentukan nomor tertentu secara manual), dan tekan tombol Enter. Mari kita lihat beberapa contoh sederhana.

			Rumus	Hasil
			KEKUATAN(B2;C2)
			KEKUATAN(B3;C3)	0,002915

Seperti yang Anda lihat, tidak ada yang rumit tentang cara menaikkan angka ke pangkat negatif dan biasa menggunakan Excel. Lagi pula, untuk mengatasi masalah ini, Anda dapat menggunakan simbol "tutup" yang sudah dikenal dan fungsi bawaan program yang mudah diingat. Ini adalah nilai tambah yang pasti!

Mari kita beralih ke contoh yang lebih kompleks. Mari kita ingat aturan tentang cara menaikkan angka ke pangkat negatif dari karakter pecahan, dan kita akan melihat bahwa tugas ini diselesaikan dengan sangat sederhana di Excel.

Indikator pecahan

Singkatnya, algoritma untuk menghitung angka dengan eksponen pecahan adalah sebagai berikut.

1. Ubah eksponen pecahan menjadi pecahan biasa atau tidak wajar.
2. Naikkan nomor kami ke pembilang dari pecahan yang dikonversi yang dihasilkan.
3. Dari bilangan yang diperoleh pada paragraf sebelumnya, hitung akarnya, dengan syarat indikator akar akan menjadi penyebut pecahan yang diperoleh pada tahap pertama.

Setuju bahwa bahkan ketika beroperasi dengan bilangan kecil dan pecahan biasa, perhitungan seperti itu bisa memakan banyak waktu. Ada baiknya bahwa prosesor spreadsheet Excel tidak peduli berapa banyak dan sampai tingkat apa untuk dinaikkan. Coba selesaikan contoh berikut di lembar kerja Excel:

Dengan menggunakan aturan di atas, Anda dapat memeriksa dan memastikan bahwa perhitungannya benar.

Di akhir artikel kami, kami akan memberikan dalam bentuk tabel dengan rumus dan hasil beberapa contoh cara menaikkan bilangan ke pangkat negatif, serta beberapa contoh dengan bilangan pecahan dan pangkat.

Contoh tabel

Periksa lembar kerja Excel untuk contoh berikut. Agar semuanya berfungsi dengan benar, Anda perlu menggunakan referensi campuran saat menyalin rumus. Perbaiki nomor kolom yang berisi nomor yang dibangkitkan, dan nomor baris yang berisi indikator. Rumus Anda akan terlihat seperti ini: "=$B4^C$3".

Nomor / Gelar

Harap dicatat bahwa angka positif (bahkan yang bukan bilangan bulat) dihitung tanpa masalah untuk eksponen apa pun. Tidak ada masalah dengan menaikkan angka apa pun ke bilangan bulat. Tetapi menaikkan angka negatif ke pangkat pecahan akan menjadi kesalahan bagi Anda, karena tidak mungkin mengikuti aturan yang ditunjukkan di awal artikel kami tentang menaikkan angka negatif, karena paritas adalah karakteristik dari angka INTEGER eksklusif.

Angka yang dinaikkan menjadi kekuatan memanggil nomor yang dikalikan dengan dirinya sendiri beberapa kali.

Kekuatan angka dengan nilai negatif (sebuah) dapat didefinisikan dengan cara yang sama seperti derajat bilangan yang sama dengan eksponen positif ditentukan (sebuah) . Namun, itu juga membutuhkan definisi tambahan. Rumusnya didefinisikan sebagai:

sebuah = (1 / n)

Sifat-sifat nilai negatif dari kekuatan angka mirip dengan kekuatan dengan eksponen positif. Persamaan yang Diwakili sebuah m / a n = sebuah m-n bisa adil seperti

« Tidak ada tempat, seperti dalam matematika, kejelasan dan keakuratan kesimpulan tidak memungkinkan seseorang untuk menjauh dari jawaban dengan membicarakan pertanyaannya.».

A. D. Alexandrov

pada n lagi m , sebaik m lagi n . Mari kita lihat sebuah contoh: 7 2 -7 5 =7 2-5 =7 -3 .

Pertama, Anda perlu menentukan angka yang bertindak sebagai definisi derajat. b=a(-n) . Dalam contoh ini -n merupakan penunjuk derajat b - nilai numerik yang diinginkan, sebuah - dasar derajat sebagai nilai numerik alami. Kemudian tentukan modulnya, yaitu nilai absolut dari bilangan negatif, yang bertindak sebagai eksponen. Hitung derajat angka yang diberikan relatif terhadap angka absolut sebagai indikator. Nilai derajat ditemukan dengan membagi satu dengan angka yang dihasilkan.

Beras. satu

Pertimbangkan kekuatan angka dengan eksponen pecahan negatif. Bayangkan bahwa angka a adalah angka positif apa pun, angka-angkanya n dan m - bilangan bulat. Menurut definisi sebuah , yang dipangkatkan - sama dengan satu dibagi dengan angka yang sama dengan derajat positif (Gbr. 1). Jika pangkat suatu bilangan adalah pecahan, maka dalam kasus seperti itu hanya bilangan dengan eksponen positif yang digunakan.

Layak untuk diingat bahwa nol tidak pernah bisa menjadi eksponen suatu bilangan (aturan pembagian dengan nol).

Penyebaran konsep seperti angka mulai manipulasi seperti perhitungan pengukuran, serta perkembangan matematika sebagai ilmu. Pengenalan nilai-nilai negatif disebabkan oleh perkembangan aljabar, yang memberikan solusi umum untuk masalah aritmatika, terlepas dari makna spesifiknya dan data numerik awal. Di India, pada abad ke-6-11, nilai negatif angka digunakan secara sistematis saat memecahkan masalah dan ditafsirkan dengan cara yang sama seperti saat ini. Dalam ilmu pengetahuan Eropa, bilangan negatif mulai banyak digunakan berkat R. Descartes, yang memberikan interpretasi geometris bilangan negatif sebagai arah segmen. Descartes-lah yang menyarankan agar angka yang dipangkatkan ditampilkan sebagai formula dua lantai sebuah .

Seperti yang Anda ketahui, dalam matematika tidak hanya ada angka positif, tetapi juga angka negatif. Jika kenalan dengan derajat positif dimulai dengan menentukan luas persegi, maka dengan yang negatif semuanya agak lebih rumit.

Ini harus diketahui:

1. Mengangkat suatu bilangan ke pangkat alami adalah perkalian suatu bilangan (konsep bilangan dan angka dalam artikel akan dianggap setara) dengan sendirinya dalam jumlah seperti eksponen (selanjutnya kita akan menggunakan kata indikator dalam paralel dan sederhana). 6^3 = 6*6*6 = 36*6 =216. Secara umum, terlihat seperti ini: m^n = m*m*m*…*m (n kali).
2. Harus diingat bahwa ketika bilangan negatif dipangkatkan ke pangkat alami, itu akan menjadi positif jika eksponennya genap.
3. Menaikkan angka ke eksponen 0 memberikan satuan, asalkan tidak sama dengan nol. Nol pangkat nol dianggap tidak terdefinisi. 17^0 = 1.
4. Mengekstrak akar derajat tertentu dari suatu bilangan disebut menemukan bilangan yang, ketika dinaikkan ke indikator yang sesuai, akan memberikan nilai yang diinginkan. Jadi akar pangkat tiga dari 125 adalah 5 karena 5^3 = 125.
5. Jika Anda ingin menaikkan angka ke pangkat pecahan positif, maka Anda perlu menaikkan angka tersebut ke penyebut dan mengekstrak akar pembilang darinya. 6^5/7 = akar ke-7 dari 6*6*6*6*6.
6. Jika Anda ingin menaikkan angka ke eksponen negatif, maka Anda perlu menemukan kebalikan dari yang satu ini. x^-3 = 1/x^3. 8^-4 = 1/8^4 = 1/8*8*8*8 = 1/4096.

Menaikkan angka ke modulo daya negatif dari nol menjadi satu

Pertama, kita harus ingat apa itu modul?. Ini adalah jarak pada garis koordinat dari nilai yang telah kita pilih ke titik asal (nol dari garis koordinat). Menurut definisi, itu tidak pernah bisa negatif.

Nilai lebih besar dari nol

Dengan nilai suatu digit dalam rentang dari nol hingga satu, indikator negatif memberikan peningkatan pada digit itu sendiri. Ini terjadi karena penyebutnya berkurang, tetapi tetap positif.

Mari kita lihat contohnya:

• 1/7^-3 = 1/(1/7^3) = 1/(1/343) = 343;
• 0,2^-5 = 1/0,2^5 = 1/0,2*0,2*0,2*0,2*0,2 = 1/0,00032 = 3125.

Selain itu, semakin besar modul indikator, semakin aktif angka tersebut tumbuh. Karena penyebutnya cenderung nol, pecahan itu sendiri cenderung ditambah tak hingga.

Nilai kurang dari nol

Sekarang mari kita lihat bagaimana cara menaikkan ke pangkat negatif jika angkanya kurang dari nol. Prinsipnya sama seperti di bagian sebelumnya, tetapi tanda pangkatnya penting di sini.

Mari kita lihat lagi contohnya:

• -19 / 21^-4 = 1/(-19/21)^4 = 1/(-19)^4/21^4 = 21^4/(-19)^4 = 21*21*21*21/(-19)*(-19)*(-19)*(-19) = 194481/130321 = 1,4923228;
• -29/40^-5 = 1/(-29/40)^5 = 1/(-29)^5/40^5 = 40^5/(-29)^5 = 40*40*40*40*40/(-29)*(-29)*(-29)*(-29)*(-29) = 102400000/(-20511149) = -4,9924.

Dalam hal ini, kita melihat bahwa modul terus berkembang, tetapi tandanya tergantung pada apakah eksponennya genap atau ganjil.

Perlu dicatat bahwa jika kita membangun sebuah unit, itu akan selalu menjadi dirinya sendiri. Jika Anda perlu menaikkan angka minus satu, maka dengan eksponen genap itu akan berubah menjadi satu, dengan angka ganjil akan tetap minus satu.

Menaikkan ke pangkat bilangan bulat negatif jika modulus lebih besar dari satu

Untuk digit yang modulusnya lebih besar dari satu, memiliki karakteristik tindakan mereka sendiri. Pertama-tama, Anda perlu mengubah seluruh bagian pecahan menjadi pembilangnya, yaitu, mengubahnya menjadi pecahan biasa. Jika kita memiliki pecahan desimal, maka itu harus diubah menjadi pecahan biasa. Ini dilakukan sebagai berikut:

• 6 bilangan bulat 7/17 = 109/17;
• 2,54 = 254/100.

Sekarang pertimbangkan bagaimana menaikkan angka ke pangkat negatif di bawah kondisi ini. Sudah dari hal di atas, kita dapat mengasumsikan apa yang seharusnya kita harapkan dari hasil perhitungan. Karena pecahan ganda dibalik selama penyederhanaan, modulus digit akan berkurang lebih cepat, semakin besar modulus indikator.

Pertama, pertimbangkan situasi di mana bilangan yang diberikan positif.

Pertama-tama, menjadi jelas bahwa hasil akhir akan lebih besar dari nol, karena membagi dua positif selalu menghasilkan yang positif. Sekali lagi, mari kita lihat contoh bagaimana ini dilakukan:

• 6 bilangan bulat 1/20 pangkat lima dikurangi = 121/20^-5 = 1/(121/20)^5 = 1/121^5/20^5 = 20^5/121^5 = 3200000/25937424601 = 0 .0001234;
• 2,25^-6 = (225/100)^-6 = 1/(225/100)^6 = 1/225^6/100^6 = 100^6/225^6 = 100*100*100*100*100*100/225*225*225*225*225*225 = 0,007413.

Seperti yang Anda lihat, tindakan tersebut tidak menyebabkan kesulitan tertentu, dan semua asumsi awal kami ternyata benar.

Sekarang kita beralih ke kasus angka negatif.

Untuk memulainya, kita dapat berasumsi bahwa jika indikatornya genap, maka hasilnya akan positif, jika indikatornya ganjil, maka hasilnya akan negatif. Semua perhitungan kami sebelumnya di bagian ini akan dianggap valid sekarang. Mari kita lihat lagi contohnya:

• -3 bilangan bulat 1/2 pangkat enam minus = (-7/2)^-6 = 1/(-7/2)^6 = 1/(-7)^6/2^6 = 2*2* 2 *2*2*2/(-7)*(-7)*(-7)*(-7)*(-7)*(-7) = 64/117649 = 0,000544;
• -1,25^-5 = (-125/100)^-5 = 1/(-125/100)^5 = 1/(-125)^5/100^5 = 100^5/(-125)^5 = 100*100*100*100*100/(-125)*(-125)*(-125)*(-125)*(-125) = 10000000000/(-30517578125) = -0.32768.

Jadi, semua alasan kami ternyata benar.

Menaikkan dalam kasus eksponen pecahan negatif

Di sini Anda perlu ingat bahwa ereksi seperti itu ada mengekstrak akar derajat penyebut dari angka dalam derajat pembilang. Semua alasan kami sebelumnya tetap benar kali ini juga. Mari kita jelaskan tindakan kita dengan sebuah contoh:

• 4^-3/2 = 1/4^3/2 = 1/rad(4^3) = 1/rad64 = 1/8.

Dalam hal ini, Anda perlu mengingat bahwa mengekstraksi akar tingkat tinggi hanya dimungkinkan dalam bentuk yang dipilih secara khusus dan, kemungkinan besar, Anda tidak akan dapat menghilangkan tanda radikal (akar kuadrat, akar kubik, dll) dengan perhitungan yang akurat.

Namun demikian, setelah mempelajari bab-bab sebelumnya secara rinci, orang seharusnya tidak mengharapkan kesulitan dalam perhitungan sekolah.

Perlu dicatat bahwa deskripsi bab ini juga mencakup: ereksi dengan eksponen irasional yang disengaja, misalnya, jika indikatornya minus PI. Anda harus bertindak sesuai dengan prinsip-prinsip yang dijelaskan di atas. Namun, perhitungan dalam kasus seperti itu menjadi sangat rumit sehingga hanya komputer elektronik yang kuat yang dapat melakukannya.

Kesimpulan

Tindakan yang kami pelajari adalah salah satu masalah tersulit dalam matematika(terutama dalam kasus nilai rasional fraksional atau irasional). Namun, setelah mempelajari instruksi ini secara rinci dan langkah demi langkah, Anda dapat mempelajari bagaimana melakukannya sepenuhnya secara otomatis tanpa masalah.

Rumus kekuatan digunakan dalam proses pengurangan dan penyederhanaan ekspresi kompleks, dalam memecahkan persamaan dan pertidaksamaan.

Nomor c adalah n-kekuatan suatu bilangan sebuah Kapan:

Operasi dengan derajat.

1. Mengalikan derajat dengan basis yang sama, indikatornya bertambah:

sayaa n = a m + n .

2. Dalam pembagian derajat dengan basis yang sama, indikatornya dikurangi:

3. Derajat perkalian 2 faktor atau lebih sama dengan perkalian derajat faktor-faktor ini:

(abc…) n = a n b n c n …

4. Derajat pecahan sama dengan rasio derajat pembagian dan pembagi:

(a/b) n = a n / b n .

5. Menaikkan pangkat ke pangkat, eksponen dikalikan:

(am) n = a m n .

Setiap rumus di atas benar dalam arah dari kiri ke kanan dan sebaliknya.

Sebagai contoh. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operasi dengan akar.

1. Akar perkalian beberapa faktor sama dengan hasil perkalian akar-akar faktor ini:

2. Akar rasio sama dengan rasio bagi hasil dan pembagi akar:

3. Saat menaikkan akar ke pangkat, cukup menaikkan nomor akar ke pangkat ini:

4. Jika kita meningkatkan derajat akar dalam n sekali dan pada saat yang sama naik ke n th power adalah nomor root, maka nilai root tidak akan berubah:

5. Jika kita menurunkan derajat akar dalam n root pada saat yang sama n derajat th dari bilangan akar, maka nilai akarnya tidak akan berubah:

Gelar dengan eksponen negatif. Derajat bilangan dengan eksponen non-positif (bilangan bulat) didefinisikan sebagai satu dibagi dengan derajat bilangan yang sama dengan eksponen yang sama dengan nilai absolut dari eksponen non-positif:

Rumus saya:a n = a m - n dapat digunakan tidak hanya untuk m> n, tetapi juga di m< n.

Sebagai contoh. sebuah4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Untuk merumuskan saya:a n = a m - n menjadi adil di m=n, Anda membutuhkan kehadiran derajat nol.

Gelar dengan eksponen nol. Pangkat bilangan bukan nol dengan eksponen nol sama dengan satu.

Sebagai contoh. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Derajat dengan eksponen pecahan. Untuk menaikkan bilangan asli sebuah sampai tingkat tertentu M N, Anda perlu mengekstrak root n derajat m kekuatan nomor ini sebuah.

Kalkulator membantu Anda dengan cepat menaikkan angka menjadi kekuatan online. Basis derajat dapat berupa bilangan apa saja (baik bilangan bulat maupun real). Eksponen juga bisa bilangan bulat atau nyata, dan juga positif dan negatif. Harus diingat bahwa untuk bilangan negatif, menaikkan ke pangkat non-bilangan bulat tidak ditentukan, dan oleh karena itu kalkulator akan melaporkan kesalahan jika Anda masih mencoba melakukan ini.

Kalkulator gelar

Naikkan ke kekuatan

Eksponen: 20880

Apa yang dimaksud dengan kekuatan alami suatu bilangan?

Angka p disebut pangkat ke-n dari angka a jika p sama dengan angka a dikalikan dengan dirinya sendiri n kali: p \u003d a n \u003d a ... a
n - disebut eksponen, dan bilangan a- dasar derajat.

Bagaimana cara menaikkan angka menjadi kekuatan alami?

Untuk memahami bagaimana menaikkan berbagai angka ke kekuatan alami, pertimbangkan beberapa contoh:

Contoh 1. Naikkan angka tiga ke kekuatan keempat. Artinya, perlu untuk menghitung 3 4
Larutan: seperti yang disebutkan di atas, 3 4 = 3 3 3 3 = 81 .
Menjawab: 3 4 = 81 .

Contoh 2. Naikkan angka lima ke kekuatan kelima. Artinya, perlu untuk menghitung 5 5
Larutan: sama, 5 5 = 5 5 5 5 5 = 3125 .
Menjawab: 5 5 = 3125 .

Jadi, untuk menaikkan angka ke kekuatan alami, cukup dengan mengalikannya dengan dirinya sendiri n kali.

Apa yang dimaksud dengan pangkat negatif suatu bilangan?

Pangkat negatif -n dari a dibagi dengan a pangkat n: a -n = .

Dalam kasus ini, eksponen negatif hanya ada untuk bilangan selain nol, karena jika tidak, pembagian dengan nol akan terjadi.

Bagaimana cara menaikkan angka menjadi bilangan bulat negatif?

Untuk menaikkan angka bukan nol ke pangkat negatif, Anda perlu menghitung nilai bilangan ini ke pangkat positif yang sama dan membagi satu dengan hasilnya.

Contoh 1. Naikkan angka dua ke pangkat empat minus. Artinya, perlu untuk menghitung 2 -4

Larutan: seperti yang disebutkan di atas, 2 -4 = = = 0,0625 .

Menjawab: 2 -4 = 0.0625 .

Pelajaran dan presentasi dengan topik: "Gelar dengan indikator negatif. Definisi dan contoh pemecahan masalah"

Bahan tambahan
Pengguna yang terhormat, jangan lupa untuk meninggalkan komentar, umpan balik, saran Anda. Semua bahan diperiksa oleh program antivirus.

Alat peraga dan simulator di toko online "Integral" untuk kelas 8
Manual untuk buku teks Muravina G.K. Manual untuk buku teks Alimova Sh.A.

Menentukan derajat dengan eksponen negatif

Kawan, kami pandai menaikkan angka menjadi kekuatan.
Misalnya: $2^4=2*2*2*2=16$  $((-3))^3=(-3)*(-3)*(-3)=27$.

Kita tahu betul bahwa setiap angka pangkat nol sama dengan satu. $a^0=1$, $a≠0$.
Timbul pertanyaan, apa yang terjadi jika Anda menaikkan angka ke pangkat negatif? Misalnya, angka $2^(-2)$ sama dengan apa?
Matematikawan pertama yang mengajukan pertanyaan ini memutuskan bahwa tidak ada gunanya menemukan kembali roda, dan bagus bahwa semua sifat derajat tetap sama. Artinya, ketika mengalikan pangkat dengan basis yang sama, eksponennya dijumlahkan.
Mari kita pertimbangkan kasus ini: $2^3*2^(-3)=2^(3-3)=2^0=1$.
Kami mendapat bahwa produk dari angka-angka tersebut harus memberikan kesatuan. Satuan dalam produk diperoleh dengan mengalikan kebalikannya, yaitu $2^(-3)=\frac(1)(2^3)$.

Alasan seperti itu mengarah pada definisi berikut.
Definisi. Jika $n$ adalah bilangan asli dan $а≠0$, maka persamaan berikut berlaku: $a^(-n)=\frac(1)(a^n)$.

Identitas penting yang sering digunakan: $(\frac(a)(b))^(-n)=(\frac(b)(a))^n$.
Khususnya, $(\frac(1)(a))^(-n)=a^n$.

Contoh solusi

Contoh 1
Hitung: $2^(-3)+(\frac(2)(5))^(-2)-8^(-1)$.

Larutan.
Mari kita pertimbangkan setiap istilah secara terpisah.
1. $2^(-3)=\frac(1)(2^3)=\frac(1)(2*2*2)=\frac(1)(8)$.
2. $(\frac(2)(5))^(-2)=(\frac(5)(2))^2=\frac(5^2)(2^2)=\frac(25) (4)$.
3. $8^(-1)=\frac(1)(8)$.
Tetap melakukan operasi penjumlahan dan pengurangan: $\frac(1)(8)+\frac(25)(4)-\frac(1)(8)=\frac(25)(4)=6\frac( 1) (4) $.
Jawaban: $6\frac(1)(4)$.

Contoh 2
Nyatakan bilangan yang diberikan sebagai pangkat dari bilangan prima $\frac(1)(729)$.

Larutan.
Jelas $\frac(1)(729)=729^(-1)$.
Tetapi 729 bukanlah bilangan prima yang diakhiri dengan 9. Kita dapat berasumsi bahwa bilangan ini adalah pangkat tiga. Mari kita secara berurutan membagi 729 dengan 3.
1) $\frac(729)(3)=243$;
2) $\frac(243)(3)=81$;
3) $\frac(81)(3)=27$;
4) $\frac(27)(3)=9$;
5) $\frac(9)(3)=3$;
6) $\frac(3)(3)=1$.
Enam operasi telah selesai, yang berarti: $729=3^6$.
Untuk tugas kita:
$729^{-1}=(3^6)^{-1}=3^{-6}$.
Jawaban: $3^(-6)$.

Contoh 3. Nyatakan ekspresi sebagai pangkat: $\frac(a^6*(a^(-5))^2)((a^(-3)*a^8)^(-1))$.
Larutan. Operasi pertama selalu dilakukan di dalam tanda kurung, kemudian perkalian $\frac(a^6*(a^(-5))^2)((a^(-3)*a^8)^(-1) )=\frac (a^6*a^(-10))((a^5)^(-1))=\frac(a^((-4)))(a^((-5)) )=a^ (-4-(-5))=a^(-4+5)=a$.
Jawaban: $a$.

Contoh 4. Buktikan identitasnya:
$(\frac(y^2 (xy^(-1)-1)^2)(x(1+x^(-1)y)^2)*\frac(y^2(x^(-2 )+y^(-2)))(x(xy^(-1)+x^(-1)y))):\frac(1-x^(-1) y)(xy^(-1 )+1)=\frac(x-y)(x+y)$.

Larutan.
Di sisi kiri, pertimbangkan setiap faktor dalam tanda kurung secara terpisah.
1. $\frac(y^2(xy^(-1)-1)^2)(x(1+x^(-1)y)^2)=\frac(y^2(\frac(x )(y)-1)^2)(x(1+\frac(y)(x))^2) =\frac(y^2(\frac(x^2)(y^2)-2\ frac(x)(y)+1))(x(1+2\frac(y)(x)+\frac(y^2)(x^2)))=\frac(x^2-2xy+ y ^2)(x+2y+\frac(y^2)(x))=\frac(x^2-2xy+y^2)(\frac(x^2+2xy+y^2)(x) ) =\frac(x(x^2-2xy+y^2))((x^2+2xy+y^2))$.
2. $\frac(y^2(x^(-2)+y^(-2)))(x(xy^(-1)+x^(-1)y))=\frac(y^ 2(\frac(1)(x^2)+\frac(1)(y^2)))(x(\frac(x)(y)+\frac(y)(x))) =\frac(x)(y)+\frac(y)(x))) =\frac (\frac(y^2)(x^2)+1)(\frac(x^2)(y)+y)=\frac(\frac(y^2+x^2)(x^2) )((\frac(x^2+y^2)(y)))=\frac(y^2+x^2)(x^2) *\frac(y)(x^2+y^2 )=\frac(y)(x^2)$.
3. $\frac(x(x^2-2xy+y^2))((x^2+2xy+y^2))*\frac(y)(x^2)=\frac(y(x ^2-2xy+y^2))(x(x^2+2xy+y^2))=\frac(y(x-y)^2)(x(x+y)^2)$.
4. Mari kita beralih ke pecahan yang akan kita bagi.
$\frac(1-x^(-1)y)(xy^(-1)+1)=\frac(1-\frac(y)(x))(\frac(x)(y)+1 )=\frac(\frac(x-y)(x))(\frac(x+y)(y))=\frac(x-y)(x)*\frac(y)(x+y)=\frac( y(x-y))(x(x+y))$.
5. Ayo lakukan pembagian.
$\frac(y(x-y)^2)(x(x+y)^2):\frac(y(x-y))(x(x+y))=\frac(y(x-y)^2)( x(x+y)^2)*\frac(x(x+y))(y(x-y))=\frac(x-y)(x+y)$.
Kami memperoleh identitas yang benar, yang harus dibuktikan.

Di akhir pelajaran, kita akan menuliskan aturan untuk tindakan dengan derajat lagi, di sini eksponennya adalah bilangan bulat.
$a^s*a^t=a^(s+t)$.
$\frac(a^s)(a^t)=a^(s-t)$.
$(a^s)^t=a^(st)$.
$(ab)^s=a^s*b^s$.
$(\frac(a)(b))^s=\frac(a^s)(b^s)$.

Tugas untuk solusi independen

1. Hitung: $3^(-2)+(\frac(3)(4))^(-3)+9^(-1)$.
2. Nyatakan bilangan yang diberikan sebagai pangkat dari bilangan prima $\frac(1)(16384)$.
3. Nyatakan ekspresi sebagai derajat:
$\frac(b^(-8)*(b^3)^(-4))((b^2*b^(-7))^3)$.
4. Buktikan identitasnya:
$(\frac(b^(-m)-c^(-m))(b^(-m)+c^(-m))+\frac(b^(-m)+c^(-m ))(c^(-m)-b^(-m)))=\frac(4)(b^m c^(-m)-b^(-m)c^m) $.