Contoh logaritma tanda tangan saat ini. Rumus log

Apa itu logaritma?

Perhatian!
Ada tambahan
materi dalam Bagian Khusus 555.
Bagi mereka yang sangat "tidak terlalu ..."
Dan bagi mereka yang "sangat banyak...")

Apa itu logaritma? Bagaimana cara menyelesaikan logaritma? Pertanyaan-pertanyaan ini membingungkan banyak lulusan. Secara tradisional, topik logaritma dianggap kompleks, tidak dapat dipahami, dan menakutkan. Terutama - persamaan dengan logaritma.

Ini sama sekali tidak benar. Sangat! Tidak percaya? Bagus. Sekarang, selama 10 - 20 menit Anda:

1. Pahami apa itu logaritma.

2. Belajar memecahkan seluruh kelas persamaan eksponensial. Bahkan jika Anda belum pernah mendengar tentang mereka.

3. Belajar menghitung logaritma sederhana.

Selain itu, untuk ini Anda hanya perlu mengetahui tabel perkalian, dan bagaimana suatu bilangan dipangkatkan ...

Saya merasa Anda ragu ... Yah, jaga waktu! Pergi!

Pertama, selesaikan persamaan berikut dalam pikiran Anda:

Jika Anda menyukai situs ini...

Omong-omong, saya punya beberapa situs yang lebih menarik untuk Anda.)

Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian dengan verifikasi instan. Belajar - dengan penuh minat!)

Anda bisa berkenalan dengan fungsi dan turunannya.

Berhubungan dengan

tugas menemukan salah satu dari tiga angka dari dua lainnya, diberikan, dapat diatur. Diberikan a dan kemudian N ditemukan dengan eksponensial. Jika N diberikan dan kemudian a ditemukan dengan mengekstrak akar pangkat x (atau eksponensial). Sekarang perhatikan kasus ketika, diberikan a dan N, diperlukan untuk menemukan x.

Biarkan angka N positif: angka a positif dan tidak sama dengan satu: .

Definisi. Logaritma dari angka N ke basis a adalah eksponen yang Anda perlukan untuk menaikkan a untuk mendapatkan angka N; logaritma dilambangkan dengan

Jadi, dalam persamaan (26.1), eksponen ditemukan sebagai logaritma dari N ke basis a. Entri

memiliki arti yang sama. Kesetaraan (26.1) kadang-kadang disebut identitas dasar teori logaritma; sebenarnya, itu mengungkapkan definisi konsep logaritma. Dengan definisi ini, basis logaritma a selalu positif dan berbeda dari satu; bilangan logaritma N adalah positif. Bilangan negatif dan nol tidak memiliki logaritma. Dapat dibuktikan bahwa setiap bilangan dengan basis tertentu memiliki logaritma yang terdefinisi dengan baik. Oleh karena itu kesetaraan memerlukan . Perhatikan bahwa kondisinya penting di sini, jika tidak, kesimpulannya tidak akan dibenarkan, karena persamaan berlaku untuk semua nilai x dan y.

Contoh 1. Temukan

Larutan. Untuk mendapatkan nomornya, Anda perlu menaikkan basis 2 ke pangkat Oleh karena itu.

Anda dapat merekam saat memecahkan contoh seperti itu dalam bentuk berikut:

Contoh 2. Temukan .

Larutan. Kita punya

Dalam contoh 1 dan 2, kita dengan mudah menemukan logaritma yang diinginkan dengan menyatakan bilangan logaritma sebagai derajat basis dengan eksponen rasional. Dalam kasus umum, misalnya, untuk dll., ini tidak dapat dilakukan, karena logaritma memiliki nilai irasional. Mari kita perhatikan satu pertanyaan yang berkaitan dengan pernyataan ini. Dalam 12 kami memberikan konsep kemungkinan menentukan kekuatan nyata dari bilangan positif yang diberikan. Ini diperlukan untuk pengenalan logaritma, yang, secara umum, dapat berupa bilangan irasional.

Pertimbangkan beberapa sifat logaritma.

Sifat 1. Jika bilangan dan basis sama, maka logaritma sama dengan satu, dan sebaliknya, jika logaritma sama dengan satu, maka bilangan dan basis sama.

Bukti. Biarkan Dengan definisi logaritma, kami memiliki dan dari mana

Sebaliknya, biarkan Kemudian menurut definisi

Properti 2. Logaritma kesatuan untuk setiap basis sama dengan nol.

Bukti. Dengan definisi logaritma (pangkat nol dari setiap basis positif sama dengan satu, lihat (10.1)). Dari sini

Q.E.D.

Pernyataan sebaliknya juga benar: jika , maka N = 1. Memang, kita memiliki .

Sebelum menyatakan sifat-sifat logaritma berikut, kita setuju untuk mengatakan bahwa dua bilangan a dan b terletak pada sisi yang sama dari bilangan ketiga c jika keduanya lebih besar dari c atau lebih kecil dari c. Jika salah satu bilangan tersebut lebih besar dari c dan bilangan lainnya lebih kecil dari c, maka kita katakan bahwa bilangan-bilangan tersebut terletak pada sisi yang berlawanan dari c.

Sifat 3. Jika bilangan dan basis terletak pada sisi yang sama, maka logaritmanya positif; jika bilangan dan alas terletak pada sisi yang berlawanan, maka logaritmanya negatif.

Pembuktian sifat 3 didasarkan pada kenyataan bahwa derajat a lebih besar dari satu jika basis lebih besar dari satu dan eksponennya positif, atau basisnya lebih kecil dari satu dan eksponennya negatif. Derajat kurang dari satu jika basis lebih besar dari satu dan eksponennya negatif, atau basisnya kurang dari satu dan eksponennya positif.

Ada empat kasus yang harus dipertimbangkan:

Kami membatasi diri pada analisis yang pertama, pembaca akan mempertimbangkan sisanya sendiri.

Biarkan eksponen dalam kesetaraan menjadi tidak negatif atau sama dengan nol, oleh karena itu, itu positif, yaitu, yang harus dibuktikan.

Contoh 3. Tentukan mana dari logaritma berikut yang positif dan mana yang negatif:

Penyelesaian, a) karena angka 15 dan alas 12 terletak pada sisi yang sama dari satuan;

b) , karena 1000 dan 2 terletak di sisi unit yang sama; pada saat yang sama, tidak penting bahwa basis lebih besar dari bilangan logaritmik;

c), karena 3.1 dan 0.8 terletak pada sisi yang berlawanan dari kesatuan;

G) ; mengapa?

e); mengapa?

Sifat-sifat berikut 4-6 sering disebut aturan logaritma: mereka memungkinkan, mengetahui logaritma dari beberapa angka, untuk menemukan logaritma dari produk mereka, hasil bagi, derajat masing-masing.

Properti 4 (aturan untuk logaritma produk). Logaritma produk dari beberapa bilangan positif dalam basis yang diberikan sama dengan jumlah logaritma dari angka-angka ini dalam basis yang sama.

Bukti. Biarkan angka positif diberikan.

Untuk logaritma produk mereka, kami menulis persamaan (26.1) mendefinisikan logaritma:

Dari sini kita menemukan

Membandingkan eksponen dari ekspresi pertama dan terakhir, kami memperoleh persamaan yang diperlukan:

Perhatikan bahwa kondisinya sangat penting; logaritma dari produk dari dua angka negatif masuk akal, tetapi dalam kasus ini kita mendapatkan

Secara umum, jika produk dari beberapa faktor positif, maka logaritmanya sama dengan jumlah logaritma modul dari faktor-faktor ini.

Properti 5 (aturan logaritma hasil bagi). Logaritma dari hasil bagi bilangan positif sama dengan perbedaan antara logaritma dari dividen dan pembagi, diambil dalam basis yang sama. Bukti. Temukan secara konsisten

Q.E.D.

Properti 6 (aturan logaritma derajat). Logaritma pangkat dari sembarang bilangan positif sama dengan logaritma bilangan tersebut dikalikan eksponen.

Bukti. Kami menulis lagi identitas utama (26.1) untuk nomor:

Q.E.D.

Konsekuensi. Logaritma akar bilangan positif sama dengan logaritma bilangan akar dibagi eksponen akar:

Kita dapat membuktikan keabsahan akibat wajar ini dengan menyajikan bagaimana dan menggunakan properti 6.

Contoh 4. Logaritma ke basis a:

a) (diasumsikan bahwa semua nilai b, c, d, e positif);

b) (diasumsikan bahwa ).

Solusi, a) Lebih mudah untuk meneruskan ekspresi ini ke pangkat pecahan:

Berdasarkan persamaan (26.5)-(26.7) sekarang kita dapat menulis:

Kami memperhatikan bahwa operasi yang lebih sederhana dilakukan pada logaritma angka daripada pada angka itu sendiri: ketika mengalikan angka, logaritmanya ditambahkan, ketika dibagi, dikurangi, dll.

Itulah mengapa logaritma telah digunakan dalam praktik komputasi (lihat Bagian 29).

Tindakan kebalikan dari logaritma disebut potensiasi, yaitu: potensiasi adalah tindakan dengan mana bilangan itu sendiri ditemukan oleh logaritma yang diberikan dari suatu bilangan. Pada dasarnya, potensiasi bukanlah tindakan khusus: ia turun untuk menaikkan basis ke kekuatan (sama dengan logaritma angka). Istilah "potensiasi" dapat dianggap sinonim dengan istilah "eksponensial".

Saat mempotensiasi, perlu menggunakan aturan yang kebalikan dari aturan logaritma: ganti jumlah logaritma dengan logaritma produk, selisih logaritma dengan logaritma hasil bagi, dll. Secara khusus, jika ada faktor apa pun di depan tanda logaritma, maka selama potensiasi itu harus ditransfer ke derajat indikator di bawah tanda logaritma.

Contoh 5. Carilah N jika diketahui

Larutan. Sehubungan dengan aturan potensiasi yang baru saja disebutkan, faktor 2/3 dan 1/3, yang berada di depan tanda-tanda logaritma di sisi kanan persamaan ini, akan dipindahkan ke pangkat di bawah tanda-tanda logaritma ini; kita mendapatkan

Sekarang kita ganti selisih logaritma dengan logaritma hasil bagi:

untuk mendapatkan pecahan terakhir dalam rantai persamaan ini, kami membebaskan pecahan sebelumnya dari irasionalitas dalam penyebut (bagian 25).

Sifat 7. Jika alas lebih besar dari satu, maka bilangan yang lebih besar memiliki logaritma yang lebih besar (dan bilangan yang lebih kecil memiliki logaritma yang lebih kecil), jika bilangan yang lebih kecil memiliki logaritma yang lebih kecil (dan bilangan yang lebih kecil memiliki logaritma yang lebih kecil). satu memiliki yang lebih besar).

Sifat ini juga dirumuskan sebagai aturan untuk logaritma pertidaksamaan, yang keduanya positif:

Ketika mengambil logaritma pertidaksamaan ke basis lebih besar dari satu, tanda pertidaksamaan dipertahankan, dan ketika mengambil logaritma ke basis kurang dari satu, tanda pertidaksamaan dibalik (lihat juga item 80).

Pembuktian didasarkan pada sifat 5 dan 3. Perhatikan kasus ketika Jika , maka dan, dengan mengambil logaritma, kita peroleh

(a dan N/M terletak pada satu sisi yang sama). Dari sini

Kasus a berikut, pembaca akan mencari tahu sendiri.

Logaritma, seperti bilangan apa pun, dapat ditambahkan, dikurangi, dan dikonversi dengan segala cara yang memungkinkan. Tapi karena logaritma bukan bilangan biasa, ada aturan di sini, yang disebut sifat dasar.

Aturan-aturan ini harus diketahui - tidak ada masalah logaritma yang serius yang dapat diselesaikan tanpa aturan tersebut. Selain itu, jumlahnya sangat sedikit - semuanya bisa dipelajari dalam satu hari. Jadi mari kita mulai.

Penjumlahan dan pengurangan logaritma

Pertimbangkan dua logaritma dengan basis yang sama: log sebuah x dan log sebuah kamu. Kemudian mereka dapat ditambahkan dan dikurangkan, dan:

  1. catatan sebuah x+log sebuah kamu= log sebuah (x · kamu);
  2. catatan sebuah x log sebuah kamu= log sebuah (x : kamu).

Jadi, jumlah logaritma sama dengan logaritma hasil kali, dan selisihnya adalah logaritma hasil bagi. Harap dicatat: poin kuncinya di sini adalah - alasan yang sama. Jika basisnya berbeda, aturan ini tidak berfungsi!

Rumus-rumus ini akan membantu Anda menghitung ekspresi logaritma bahkan ketika bagian-bagian individualnya tidak dipertimbangkan (lihat pelajaran "Apa itu logaritma"). Lihatlah contoh dan lihat:

log 6 4 + log 6 9.

Karena basis logaritmanya sama, kami menggunakan rumus penjumlahan:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Sebuah tugas. Temukan nilai dari ekspresi: log 2 48 log 2 3.

Basisnya sama, kami menggunakan rumus perbedaan:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Sebuah tugas. Temukan nilai dari ekspresi: log 3 135 log 3 5.

Sekali lagi, basisnya sama, jadi kita punya:
log 3 135 log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Seperti yang Anda lihat, ekspresi asli terdiri dari logaritma "buruk", yang tidak dianggap terpisah. Tetapi setelah transformasi, angka-angka yang cukup normal ternyata. Banyak tes didasarkan pada fakta ini. Ya, kontrol - ekspresi serupa dalam semua keseriusan (kadang - hampir tidak ada perubahan) ditawarkan di ujian.

Menghapus eksponen dari logaritma

Sekarang mari kita sedikit memperumit tugas. Bagaimana jika ada gelar dalam basis atau argumen logaritma? Kemudian eksponen derajat ini dapat diambil dari tanda logaritma sesuai dengan aturan berikut:

Sangat mudah untuk melihat bahwa aturan terakhir mengikuti dua yang pertama. Tetapi lebih baik untuk mengingatnya - dalam beberapa kasus ini akan secara signifikan mengurangi jumlah perhitungan.

Tentu saja, semua aturan ini masuk akal jika logaritma ODZ diamati: sebuah > 0, sebuah ≠ 1, x> 0. Dan satu hal lagi: belajar menerapkan semua rumus tidak hanya dari kiri ke kanan, tetapi juga sebaliknya, mis. Anda dapat memasukkan angka sebelum tanda logaritma ke dalam logaritma itu sendiri. Ini yang paling sering dibutuhkan.

Sebuah tugas. Temukan nilai dari ekspresi: log 7 49 6 .

Mari kita singkirkan derajat dalam argumen sesuai dengan rumus pertama:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Sebuah tugas. Temukan nilai ekspresi:

[Keterangan gambar]

Perhatikan bahwa penyebutnya adalah logaritma yang basis dan argumennya adalah pangkat eksak: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Kita punya:

[Keterangan gambar]

Saya pikir contoh terakhir perlu klarifikasi. Ke mana perginya logaritma? Sampai saat terakhir, kami hanya bekerja dengan penyebut. Mereka mempresentasikan basis dan argumen logaritma yang berdiri di sana dalam bentuk derajat dan mengeluarkan indikator - mereka mendapat pecahan "tiga lantai".

Sekarang mari kita lihat pecahan utama. Pembilang dan penyebutnya sama: log 2 7. Karena log 2 7 0, kita dapat mengurangi pecahan - 2/4 akan tetap menjadi penyebut. Menurut aturan aritmatika, empat dapat ditransfer ke pembilang, yang dilakukan. Hasilnya adalah jawabannya: 2.

Transisi ke yayasan baru

Berbicara tentang aturan untuk menambah dan mengurangi logaritma, saya secara khusus menekankan bahwa mereka hanya bekerja dengan basis yang sama. Bagaimana jika basisnya berbeda? Bagaimana jika mereka bukan kekuatan eksak dari angka yang sama?

Formula untuk transisi ke pangkalan baru datang untuk menyelamatkan. Kami merumuskannya dalam bentuk teorema:

Biarkan logaritma log sebuah x. Kemudian untuk nomor berapa pun c seperti yang c> 0 dan c 1, persamaannya benar:

[Keterangan gambar]

Secara khusus, jika kita menempatkan c = x, kita mendapatkan:

[Keterangan gambar]

Dari rumus kedua berikut bahwa basis dan argumen logaritma dapat dipertukarkan, tetapi seluruh ekspresi "dibalik", mis. logaritma dalam penyebut.

Rumus ini jarang ditemukan dalam ekspresi numerik biasa. Dimungkinkan untuk mengevaluasi seberapa nyaman mereka hanya ketika menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan logaritmik.

Namun, ada tugas yang tidak bisa diselesaikan sama sekali kecuali dengan pindah ke yayasan baru. Mari kita pertimbangkan beberapa di antaranya:

Sebuah tugas. Temukan nilai dari ekspresi: log 5 16 log 2 25.

Perhatikan bahwa argumen dari kedua logaritma adalah eksponen eksak. Mari kita keluarkan indikatornya: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Sekarang mari kita membalik logaritma kedua:

[Keterangan gambar]

Karena produk tidak berubah dari permutasi faktor, kami dengan tenang mengalikan empat dan dua, dan kemudian menemukan logaritma.

Sebuah tugas. Temukan nilai dari ekspresi: log 9 100 lg 3.

Basis dan argumen dari logaritma pertama adalah pangkat eksak. Mari kita tuliskan dan singkirkan indikatornya:

[Keterangan gambar]

Sekarang mari kita singkirkan logaritma desimal dengan pindah ke basis baru:

[Keterangan gambar]

Identitas logaritma dasar

Seringkali dalam proses penyelesaian diperlukan untuk mewakili angka sebagai logaritma ke basis yang diberikan. Dalam hal ini, rumus akan membantu kita:

Dalam kasus pertama, nomor n menjadi eksponen argumen. Nomor n bisa benar-benar apa saja, karena itu hanya nilai logaritma.

Rumus kedua sebenarnya adalah definisi yang diparafrasekan. Ini disebut identitas logaritmik dasar.

Memang, apa yang akan terjadi jika nomor b naikkan ke kekuatan sehingga b sejauh ini memberikan nomor sebuah? Itu benar: ini adalah nomor yang sama sebuah. Baca paragraf ini dengan cermat lagi - banyak orang "menggantung" di atasnya.

Seperti rumus konversi basis baru, identitas logaritmik dasar terkadang merupakan satu-satunya solusi yang mungkin.

Sebuah tugas. Temukan nilai ekspresi:

[Keterangan gambar]

Perhatikan bahwa log 25 64 = log 5 8 - baru saja mengeluarkan kuadrat dari basis dan argumen logaritma. Mengingat aturan untuk mengalikan kekuatan dengan basis yang sama, kita mendapatkan:

[Keterangan gambar]

Jika seseorang tidak tahu, ini adalah tugas nyata dari ujian :)

Satuan logaritma dan nol logaritmik

Sebagai kesimpulan, saya akan memberikan dua identitas yang sulit untuk disebut properti - melainkan, ini adalah konsekuensi dari definisi logaritma. Mereka terus-menerus ditemukan dalam masalah dan, yang mengejutkan, menciptakan masalah bahkan untuk siswa "mahir".

  1. catatan sebuah sebuah= 1 adalah satuan logaritma. Ingat sekali dan untuk semua: logaritma ke basis apa pun sebuah dari dasar ini sendiri adalah sama dengan satu.
  2. catatan sebuah 1 = 0 adalah nol logaritmik. Basis sebuah bisa apa saja, tetapi jika argumennya satu, logaritmanya nol! karena sebuah 0 = 1 adalah konsekuensi langsung dari definisi.

Itu semua properti. Pastikan untuk berlatih mempraktikkannya! Unduh lembar contekan di awal pelajaran, cetak dan selesaikan masalahnya.

Definisi logaritma

Logaritma dari angka b ke basis a adalah eksponen yang Anda butuhkan untuk menaikkan a untuk mendapatkan b.

nomor e dalam matematika, merupakan kebiasaan untuk menunjukkan batas ekspresi yang cenderung

nomor e adalah bilangan irasional- angka yang tidak dapat dibandingkan dengan satu, tidak dapat dinyatakan secara tepat baik secara keseluruhan atau sebagai pecahan rasional nomor.

Surat e- huruf pertama dari kata Latin exonere- untuk memamerkan, maka nama dalam matematika eksponensial- Fungsi eksponensial.

Nomor e banyak digunakan dalam matematika, dan dalam semua ilmu pengetahuan, dengan satu atau lain cara menggunakan perhitungan matematis untuk kebutuhan mereka.

Logaritma. Sifat-sifat logaritma

Definisi: Logaritma dasar dari bilangan positif b adalah eksponen c di mana bilangan a harus dinaikkan untuk mendapatkan bilangan b.

Identitas logaritma dasar:

7) Rumus untuk transisi ke basis baru:

lna = log e a, e 2,718…

Tugas dan tes dengan topik “Logarithma. Sifat-sifat logaritma»

  • Logaritma - Topik penting untuk mengulang ujian dalam matematika

Untuk berhasil menyelesaikan tugas pada topik ini, Anda harus mengetahui definisi logaritma, sifat-sifat logaritma, identitas logaritma dasar, definisi desimal dan logaritma natural. Jenis tugas utama pada topik ini adalah tugas untuk menghitung dan mengubah ekspresi logaritmik. Mari kita pertimbangkan solusi mereka pada contoh berikut.

Larutan: Dengan menggunakan sifat-sifat logaritma, diperoleh

Larutan: menggunakan sifat-sifat derajat, kita dapatkan

1) (2 2) log 2 5 =(2 log 2 5) 2 =5 2 =25

Sifat logaritma, formulasi dan bukti.

Logaritma memiliki sejumlah sifat karakteristik. Pada artikel ini, kami akan menganalisis yang utama sifat-sifat logaritma. Berikut kami berikan rumus-rumusnya, tuliskan sifat-sifat logaritma dalam bentuk rumus, tunjukkan contoh penerapannya, dan juga berikan bukti sifat-sifat logaritma.

Navigasi halaman.

Sifat dasar logaritma, rumus

Untuk kemudahan mengingat dan menggunakan, kami hadirkan sifat dasar logaritma sebagai daftar formula. Pada bagian selanjutnya, kami memberikan formulasi, bukti, contoh penggunaan, dan penjelasan yang diperlukan.

  • Properti log unit: log a 1=0 untuk a>0 , a≠1 .
  • Logaritma dari angka yang sama dengan basis: log a a=1 untuk a>0 , a≠1 .
  • Properti logaritma derajat dasar: log a a p =p , di mana a>0 , a≠1 dan p adalah bilangan real apa pun.
  • Logaritma dari hasil kali dua bilangan positif: log a (x y)=log a x+log a y , a>0 , a≠1 , x>0 , y>0 ,
    dan properti logaritma produk n bilangan positif: log a (x 1 x 2 ... x n) \u003d log a x 1 + log a x 2 + ... + log a x n, a>0, a≠1 , x 1 >0, x 2 >0, …, xn >0 .
  • Properti logaritma pribadi: , di mana a>0 , a≠1 , x>0 , y>0 .
  • Logaritma pangkat suatu bilangan: log a b p =p log a |b| , di mana a>0 , a≠1 , b dan p adalah bilangan sedemikian rupa sehingga derajat b p masuk akal dan b p >0 .
  • Konsekuensi: , di mana a>0 , a≠1 , n adalah bilangan asli yang lebih besar dari satu, b>0 .
  • Akibat wajar 1: , a>0 , a≠1 , b>0 , b≠1 .
  • Konsekuensi 2: , a>0 , a≠1 , b>0 , p dan q adalah bilangan real, q≠0 , khususnya, untuk b=a kita miliki .

    • Pernyataan dan bukti properti

    Kami lolos ke formulasi dan bukti sifat logaritma yang tercatat. Semua sifat logaritma dibuktikan berdasarkan definisi logaritma dan identitas logaritma dasar yang mengikutinya, serta sifat derajat.

    Mari kita mulai dengan sifat-sifat logaritma kesatuan. Rumusannya adalah sebagai berikut: logaritma persatuan sama dengan nol, yaitu, log a 1=0 untuk setiap a>0 , a≠1 . Buktinya sederhana: karena a 0 =1 untuk setiap a yang memenuhi kondisi di atas a>0 dan a≠1 , maka log persamaan yang terbukti a 1=0 segera mengikuti dari definisi logaritma.

    Mari berikan contoh penerapan properti yang dipertimbangkan: log 3 1=0 , lg1=0 dan .

    Mari kita beralih ke properti berikutnya: logaritma suatu bilangan yang sama dengan alas sama dengan satu, itu adalah, log a = 1 untuk a>0 , a≠1 . Memang, karena a 1 =a untuk setiap a , maka dengan definisi logaritma log a a=1 .

    Contoh penggunaan properti logaritma ini adalah log 5 5=1 , log 5.6 5.6 dan lne=1 .

    Logaritma pangkat dari bilangan yang sama dengan basis logaritma sama dengan pangkat. Properti logaritma ini sesuai dengan rumus bentuk log a p = p, di mana a>0 , a≠1 dan p adalah sembarang bilangan real. Properti ini mengikuti langsung dari definisi logaritma. Perhatikan bahwa ini memungkinkan Anda untuk segera menentukan nilai logaritma, jika mungkin untuk mewakili angka di bawah tanda logaritma sebagai derajat basis, kami akan membicarakan lebih lanjut tentang ini di artikel menghitung logaritma.

    Misalnya, log 2 2 7 =7 , log10 -4 =-4 dan .

    Logaritma perkalian dua bilangan positif x dan y sama dengan produk dari logaritma dari angka-angka ini: log a (x y)=log a x+log a y, a>0 , a≠1 . Mari kita buktikan sifat logaritma hasil kali. Karena sifat-sifat derajat a log a x + log a y =a log a x a log a y , dan karena dengan identitas logaritma utama a log a x =x dan log a y =y , maka log a x a log a y =x y . Jadi, a log a x+log a y =x y , di mana persamaan yang diperlukan mengikuti definisi logaritma.

    Mari kita tunjukkan contoh penggunaan properti logaritma produk: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 dan .

    Properti logaritma produk dapat digeneralisasi ke produk dari bilangan terbatas n bilangan positif x 1 , x 2 , …, x n sebagai log a (x 1 x 2 ... x n)= log a x 1 +log a x 2 +...+log a x n. Persamaan ini dapat dengan mudah dibuktikan dengan metode induksi matematika.

    Misalnya, logaritma natural dari suatu produk dapat diganti dengan jumlah tiga logaritma natural dari angka 4 , e , dan .

    Logaritma hasil bagi dua bilangan positif x dan y sama dengan perbedaan antara logaritma dari angka-angka ini. Properti logaritma hasil bagi sesuai dengan rumus bentuk , di mana a>0 , a≠1 , x dan y adalah beberapa bilangan positif. Keabsahan rumus ini dibuktikan dengan rumus logaritma hasil kali: karena , maka dengan definisi logaritma .

    Berikut adalah contoh penggunaan properti logaritma ini: .

    Mari kita lanjutkan ke sifat logaritma derajat. Logaritma derajat sama dengan produk eksponen dan logaritma modulus basis derajat ini. Kami menulis properti logaritma derajat ini dalam bentuk rumus: log a b p =p log a |b|, di mana a>0 , a≠1 , b dan p adalah bilangan sedemikian rupa sehingga derajat b p masuk akal dan b p >0 .

    Kami pertama membuktikan properti ini untuk b positif . Identitas logaritma dasar memungkinkan kita untuk merepresentasikan bilangan b sebagai log a b , kemudian b p =(a log a b) p , dan ekspresi yang dihasilkan, karena sifat pangkat, sama dengan a p log a b . Jadi kita sampai pada persamaan b p =a p log a b , yang darinya, menurut definisi logaritma, kita menyimpulkan bahwa log a b p =p log a b .

    Tetap membuktikan sifat ini untuk b negatif. Di sini kita perhatikan bahwa ekspresi log a b p untuk b negatif masuk akal hanya untuk eksponen genap p (karena nilai derajat b p harus lebih besar dari nol, jika tidak, logaritma tidak akan masuk akal), dan dalam kasus ini b p =|b| p . Maka b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p log a |b| , dari mana log a b p =p log a |b| .

    Sebagai contoh, dan ln(-3) 4 =4 ln|-3|=4 ln3 .

    Ini mengikuti dari properti sebelumnya properti logaritma dari root: logaritma dari akar derajat ke-n sama dengan produk dari pecahan 1/n dan logaritma dari ekspresi akar, yaitu, di mana a>0, a≠1, n adalah bilangan asli lebih besar dari satu, b>0.

    Pembuktian didasarkan pada persamaan (lihat definisi eksponen dengan eksponen pecahan), yang berlaku untuk setiap b positif , dan sifat logaritma derajat: .

    Berikut adalah contoh penggunaan properti ini: .

    Sekarang mari kita buktikan rumus konversi ke basis baru logaritma jenis . Untuk melakukan ini, cukup membuktikan validitas persamaan log c b=log a b log c a . Identitas logaritma dasar memungkinkan kita untuk merepresentasikan bilangan b sebagai log a b , lalu log c b=log c a log a b . Tetap menggunakan properti logaritma derajat: log c a log a b = log a b log c a . Dengan demikian, persamaan log c b=log a b log c a terbukti, yang berarti bahwa rumus untuk transisi ke basis baru dari logaritma juga terbukti .

    Mari kita tunjukkan beberapa contoh penerapan sifat logaritma ini: dan .

    Rumus untuk pindah ke basis baru memungkinkan Anda untuk melanjutkan bekerja dengan logaritma yang memiliki basis "nyaman". Misalnya, ini dapat digunakan untuk beralih ke logaritma natural atau desimal sehingga Anda dapat menghitung nilai logaritma dari tabel logaritma. Rumus untuk transisi ke basis logaritma yang baru juga memungkinkan dalam beberapa kasus untuk menemukan nilai logaritma yang diberikan, ketika nilai beberapa logaritma dengan basis lain diketahui.

    Kasus khusus dari rumus transisi ke basis baru dari logaritma untuk c=b dari bentuk sering digunakan. Hal ini menunjukkan bahwa log a b dan log b a saling berbanding terbalik. Sebagai contoh, .

    Rumus juga sering digunakan, yang nyaman saat menemukan nilai logaritma. Untuk mengkonfirmasi kata-kata kami, kami akan menunjukkan bagaimana nilai logaritma dari formulir dihitung dengan menggunakannya. Kita punya . Untuk membuktikan rumus, cukup menggunakan rumus transisi ke basis baru dari logaritma a: .

    Masih membuktikan sifat perbandingan logaritma.

    Mari kita gunakan cara sebaliknya. Misalkan untuk a 1 >1 , a 2 >1 dan a 1 2 dan untuk 0 1 log a 1 b≤log a 2 b benar. Dengan sifat-sifat logaritma, pertidaksamaan ini dapat ditulis ulang sebagai: dan masing-masing, dan dari mereka berikut bahwa log b a 1 log b a 2 dan log b a 1 log b a 2, masing-masing. Kemudian, dengan sifat-sifat pangkat dengan basis yang sama, persamaan b log b a 1 b log b a 2 dan b log b a 1 b log b a 2 harus dipenuhi, yaitu, a 1 a 2 . Dengan demikian, kita telah sampai pada suatu kontradiksi dengan kondisi a 1 2 . Ini melengkapi buktinya.

    Sifat dasar logaritma

    • Bahan untuk pelajaran
    • Unduh semua rumus

      • Logaritma, seperti bilangan apa pun, dapat ditambahkan, dikurangi, dan dikonversi dengan segala cara yang memungkinkan. Tapi karena logaritma bukan bilangan biasa, ada aturan di sini, yang disebut sifat dasar.

      Aturan-aturan ini harus diketahui - tidak ada masalah logaritma yang serius yang dapat diselesaikan tanpa aturan tersebut. Selain itu, jumlahnya sangat sedikit - semuanya bisa dipelajari dalam satu hari. Jadi mari kita mulai.

      Penjumlahan dan pengurangan logaritma

      Pertimbangkan dua logaritma dengan basis yang sama: log a x dan log a y . Kemudian mereka dapat ditambahkan dan dikurangkan, dan:

      Jadi, jumlah logaritma sama dengan logaritma hasil kali, dan selisihnya adalah logaritma hasil bagi. Harap dicatat: poin kuncinya di sini adalah - alasan yang sama. Jika basisnya berbeda, aturan ini tidak berfungsi!

      Rumus-rumus ini akan membantu menghitung ekspresi logaritma bahkan ketika bagian-bagian individualnya tidak dipertimbangkan (lihat pelajaran "Apa itu logaritma"). Lihatlah contoh - dan lihat:

      Sebuah tugas. Temukan nilai dari ekspresi: log 6 4 + log 6 9.

      Karena basis logaritmanya sama, kami menggunakan rumus penjumlahan:
      log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

      Sebuah tugas. Temukan nilai dari ekspresi: log 2 48 log 2 3.

      Basisnya sama, kami menggunakan rumus perbedaan:
      log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

      Sebuah tugas. Temukan nilai dari ekspresi: log 3 135 log 3 5.

      Sekali lagi, basisnya sama, jadi kita punya:
      log 3 135 log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

      Seperti yang Anda lihat, ekspresi asli terdiri dari logaritma "buruk", yang tidak dianggap terpisah. Tetapi setelah transformasi, angka-angka yang cukup normal ternyata. Banyak tes didasarkan pada fakta ini. Ya, kontrol - ekspresi serupa dalam semua keseriusan (kadang - hampir tidak ada perubahan) ditawarkan di ujian.

      Menghapus eksponen dari logaritma

      Sekarang mari kita sedikit memperumit tugas. Bagaimana jika ada gelar dalam basis atau argumen logaritma? Kemudian eksponen derajat ini dapat diambil dari tanda logaritma sesuai dengan aturan berikut:

    • log a x n = n log a x ;

      • Sangat mudah untuk melihat bahwa aturan terakhir mengikuti dua yang pertama. Tetapi lebih baik untuk mengingatnya - dalam beberapa kasus ini akan secara signifikan mengurangi jumlah perhitungan.

      Tentu saja, semua aturan ini masuk akal jika logaritma ODZ diamati: a > 0, a 1, x > 0. Dan satu hal lagi: belajar menerapkan semua rumus tidak hanya dari kiri ke kanan, tetapi juga sebaliknya, mis. Anda dapat memasukkan angka sebelum tanda logaritma ke dalam logaritma itu sendiri. Ini yang paling sering dibutuhkan.

      Sebuah tugas. Temukan nilai dari ekspresi: log 7 49 6 .

      Mari kita singkirkan derajat dalam argumen sesuai dengan rumus pertama:
      log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

      Sebuah tugas. Temukan nilai ekspresi:

      [Keterangan gambar]

      Perhatikan bahwa penyebutnya adalah logaritma yang basis dan argumennya adalah pangkat eksak: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Kita punya:

      [Keterangan gambar]

      Saya pikir contoh terakhir perlu klarifikasi. Ke mana perginya logaritma? Sampai saat terakhir, kami hanya bekerja dengan penyebut. Mereka mempresentasikan basis dan argumen logaritma yang berdiri di sana dalam bentuk derajat dan mengeluarkan indikator - mereka mendapat pecahan "tiga lantai".

      Sekarang mari kita lihat pecahan utama. Pembilang dan penyebutnya sama: log 2 7. Karena log 2 7 0, kita dapat mengurangi pecahan - 2/4 akan tetap menjadi penyebut. Menurut aturan aritmatika, empat dapat ditransfer ke pembilang, yang dilakukan. Hasilnya adalah jawabannya: 2.

      Transisi ke yayasan baru

      Berbicara tentang aturan untuk menambah dan mengurangi logaritma, saya secara khusus menekankan bahwa mereka hanya bekerja dengan basis yang sama. Bagaimana jika basisnya berbeda? Bagaimana jika mereka bukan kekuatan eksak dari angka yang sama?

      Formula untuk transisi ke pangkalan baru datang untuk menyelamatkan. Kami merumuskannya dalam bentuk teorema:

      Biarkan log logaritma a x diberikan. Maka untuk sembarang bilangan c sehingga c > 0 dan c 1, persamaannya benar:

      [Keterangan gambar]

      Secara khusus, jika kita menempatkan c = x , kita mendapatkan:

      [Keterangan gambar]

      Dari rumus kedua berikut bahwa basis dan argumen logaritma dapat dipertukarkan, tetapi seluruh ekspresi "dibalik", mis. logaritma dalam penyebut.

      Rumus ini jarang ditemukan dalam ekspresi numerik biasa. Dimungkinkan untuk mengevaluasi seberapa nyaman mereka hanya ketika menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan logaritmik.

      Namun, ada tugas yang tidak bisa diselesaikan sama sekali kecuali dengan pindah ke yayasan baru. Mari kita pertimbangkan beberapa di antaranya:

      Sebuah tugas. Temukan nilai dari ekspresi: log 5 16 log 2 25.

      Perhatikan bahwa argumen dari kedua logaritma adalah eksponen eksak. Mari kita keluarkan indikatornya: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

      Sekarang mari kita membalik logaritma kedua:

      [Keterangan gambar]

      Karena produk tidak berubah dari permutasi faktor, kami dengan tenang mengalikan empat dan dua, dan kemudian menemukan logaritma.

      Sebuah tugas. Temukan nilai dari ekspresi: log 9 100 lg 3.

      Basis dan argumen dari logaritma pertama adalah pangkat eksak. Mari kita tuliskan dan singkirkan indikatornya:

      [Keterangan gambar]

      Sekarang mari kita singkirkan logaritma desimal dengan pindah ke basis baru:

      [Keterangan gambar]

      Identitas logaritma dasar

      Seringkali dalam proses penyelesaian diperlukan untuk mewakili angka sebagai logaritma ke basis yang diberikan. Dalam hal ini, rumus akan membantu kita:

    1. n = log a a n

    2. Dalam kasus pertama, angka n menjadi eksponen dalam argumen. Angka n bisa berupa apa saja, karena itu hanya nilai logaritma.

      Rumus kedua sebenarnya adalah definisi yang diparafrasekan. Ini disebut identitas logaritmik dasar.

      Memang, apa yang akan terjadi jika angka b dipangkatkan sedemikian rupa sehingga angka b pangkat ini memberikan angka a? Itu benar: ini adalah nomor yang sama a . Baca lagi paragraf ini dengan cermat - banyak orang "menggantung" di atasnya.

      Seperti rumus konversi basis baru, identitas logaritmik dasar terkadang merupakan satu-satunya solusi yang mungkin.

      [Keterangan gambar]

      Perhatikan bahwa log 25 64 = log 5 8 - ambil saja kuadrat dari basis dan argumen dari logaritma. Mengingat aturan untuk mengalikan kekuatan dengan basis yang sama, kita mendapatkan:

      [Keterangan gambar]

      Jika seseorang tidak tahu, ini adalah tugas nyata dari Ujian Negara Bersatu

      Satuan logaritma dan nol logaritmik

      Sebagai kesimpulan, saya akan memberikan dua identitas yang sulit untuk disebut properti - melainkan, ini adalah konsekuensi dari definisi logaritma. Mereka terus-menerus ditemukan dalam masalah dan, yang mengejutkan, menciptakan masalah bahkan untuk siswa "mahir".

      1. log a a = 1 adalah satuan logaritma. Ingat sekali dan untuk semua: logaritma ke sembarang basis a dari basis itu sendiri sama dengan satu.
      2. log a 1 = 0 adalah nol logaritmik. Basis a bisa apa saja, tetapi jika argumennya satu - logaritmanya nol! Karena a 0 = 1 adalah konsekuensi langsung dari definisi.

      Itu semua properti. Pastikan untuk berlatih mempraktikkannya! Unduh lembar contekan di awal pelajaran, cetak - dan selesaikan masalahnya.

      Logaritma. Sifat-sifat logaritma (penjumlahan dan pengurangan).

      Sifat-sifat logaritma mengikuti dari definisinya. Dan jadi logaritma dari angka b dengan alasan sebuah didefinisikan sebagai eksponen yang angkanya harus dinaikkan sebuah untuk mendapatkan nomornya b(logaritma hanya ada untuk bilangan positif).

      Dari rumusan ini maka perhitungannya x = log a b, setara dengan menyelesaikan persamaan kapak = b. Sebagai contoh, log 2 8 = 3 karena 8 = 2 3 . Rumusan logaritma memungkinkan untuk membenarkan bahwa jika b=a c, maka logaritma dari bilangan tersebut b dengan alasan sebuah sama dengan Dengan. Jelas juga bahwa topik logaritma berkaitan erat dengan topik pangkat suatu bilangan.

      Dengan logaritma, seperti halnya angka apa pun, Anda dapat melakukan operasi penjumlahan, pengurangan dan mengubah dalam setiap cara yang mungkin. Tetapi mengingat fakta bahwa logaritma bukanlah bilangan biasa, aturan khusus mereka sendiri berlaku di sini, yang disebut sifat dasar.

      Penjumlahan dan pengurangan logaritma.

      Ambil dua logaritma dengan basis yang sama: log x dan log a y. Kemudian hapus dimungkinkan untuk melakukan operasi penambahan dan pengurangan:

      Seperti yang kita lihat, jumlah logaritma sama dengan logaritma produk, dan perbedaan logaritma- logaritma hasil bagi. Dan ini benar jika jumlahnya sebuah, X dan pada positif dan sebuah 1.

      Penting untuk dicatat bahwa aspek utama dalam formula ini adalah basis yang sama. Jika pangkalan berbeda satu sama lain, aturan ini tidak berlaku!

      Aturan penjumlahan dan pengurangan logaritma dengan basis yang sama dibaca tidak hanya dari kiri ke kanan, tetapi juga sebaliknya. Akibatnya, kami memiliki teorema untuk logaritma produk dan logaritma hasil bagi.

      Logaritma produk dua bilangan positif sama dengan jumlah logaritmanya ; memparafrasekan teorema ini, kita mendapatkan yang berikut, jika jumlahnya sebuah, x dan pada positif dan sebuah 1, kemudian:

      Logaritma hasil bagi dari dua bilangan positif sama dengan selisih antara logaritma dari dividen dan pembagi. Dengan kata lain, jika angka sebuah, X dan pada positif dan sebuah 1, kemudian:

      Kami menerapkan teorema di atas untuk menyelesaikan contoh:

      Jika angka x dan pada negatif, maka rumus logaritma produk menjadi tidak berarti. Jadi, dilarang menulis:

      karena ekspresi log 2 (-8) dan log 2 (-4) tidak terdefinisi sama sekali (fungsi logaritma pada= log 2 X didefinisikan hanya untuk nilai positif dari argumen X).

      teorema produk berlaku tidak hanya untuk dua, tetapi juga untuk jumlah faktor yang tidak terbatas. Ini berarti bahwa untuk setiap alam k dan bilangan positif apa pun x 1 , x 2 , . . . ,x n ada identitas:

      Dari teorema logaritma hasil bagi satu lagi properti logaritma dapat diperoleh. Diketahui bahwa log sebuah 1 = 0, oleh karena itu,

      Jadi ada persamaan:

      Logaritma dari dua bilangan yang saling berlawanan atas dasar yang sama akan berbeda satu sama lain hanya dalam tanda. Jadi:

      Logaritma. Sifat-sifat logaritma

      Logaritma. Sifat-sifat logaritma

      Pertimbangkan kesetaraan. Beri tahu kami nilai dan dan kami ingin mencari nilai .

      Artinya, kami mencari eksponen yang Anda butuhkan untuk mendapatkan .

      Membiarkan variabel dapat mengambil nilai riil apa pun, maka batasan berikut dikenakan pada variabel: o” title=”a>o”/> , 1″ title=”a1″/>, 0″ title=”b>0″/ >

      Jika kita mengetahui nilai dan , dan kita dihadapkan pada tugas menemukan yang tidak diketahui, maka untuk tujuan ini operasi matematika diperkenalkan, yang disebut logaritma.

      Untuk menemukan nilai yang kita ambil logaritma suatu bilangan pada dasar :

      Logaritma angka ke basis adalah eksponen yang Anda perlukan untuk mendapatkan .

      Itu adalah identitas logaritma dasar:

      o” title=”a>o”/> , 1″ title=”a1″/>, 0″ title=”b>0″/>

      pada dasarnya adalah notasi matematika definisi logaritma.

      Logaritma operasi matematika adalah kebalikan dari eksponensial, jadi sifat-sifat logaritma berkaitan erat dengan sifat-sifat derajat.

      Kami daftar utama sifat-sifat logaritma:

      (o” title=”a>o”/> , 1″ title=”a1″/>, 0″ title=”b>0″/>, 0,

      d>0″/>, 1″ judul=”d1″/>

      4.

      5.

      Grup properti berikut memungkinkan Anda untuk mewakili eksponen ekspresi di bawah tanda logaritma, atau berdiri di dasar logaritma sebagai koefisien sebelum tanda logaritma:

      6.

      7.

      8.

      9.

      Kelompok rumus berikutnya memungkinkan Anda beralih dari logaritma dengan basis tertentu ke logaritma dengan basis arbitrer, dan disebut rumus transisi ke basis baru:

      10.

      12. (akibat wajar dari properti 11)

      Tiga sifat berikut tidak diketahui dengan baik, tetapi sering digunakan ketika menyelesaikan persamaan logaritma, atau ketika menyederhanakan ekspresi yang mengandung logaritma:

      13.

      14.

      15.

      Kasus khusus:

      — logaritma desimal

      — logaritma natural

      Saat menyederhanakan ekspresi yang mengandung logaritma, pendekatan umum diterapkan:

      1. Kami mewakili pecahan desimal dalam bentuk pecahan biasa.

      2. Kami mewakili bilangan campuran sebagai pecahan biasa.

      3. Bilangan di dasar logaritma dan di bawah tanda logaritma dipecah menjadi faktor prima.

      4. Kami mencoba membawa semua logaritma ke basis yang sama.

      5. Menerapkan sifat-sifat logaritma.

      Mari kita lihat contoh penyederhanaan ekspresi yang mengandung logaritma.

      Contoh 1

      Menghitung:

      Mari kita sederhanakan semua eksponen: tugas kita adalah membawanya ke logaritma, yang basisnya sama dengan basis eksponen.

      =(menurut properti 7)=(menurut properti 6) =

      Gantikan indikator yang telah kita peroleh dalam ekspresi aslinya. Kita mendapatkan:

      Jawaban: 5.25

      Contoh 2 Hitung:

      Kami membawa semua logaritma ke basis 6 (dalam hal ini, logaritma dari penyebut pecahan akan "bermigrasi" ke pembilang):

      Mari kita uraikan bilangan di bawah tanda logaritma menjadi faktor prima:

      Terapkan properti 4 dan 6:

      Kami memperkenalkan penggantinya

      Kita mendapatkan:

      Jawaban 1

      Logaritma . Identitas logaritma dasar.

      Sifat-sifat logaritma. logaritma desimal. logaritma alami.

      logaritma bilangan positif N dalam basa (b > 0, b 1) disebut eksponen x yang Anda butuhkan untuk menaikkan b untuk mendapatkan N .

      Entri ini setara dengan yang berikut: bx = N .

      CONTOH: log 3 81 = 4 karena 3 4 = 81 ;

      log 1/3 27 = – 3 karena (1/3) - 3 = 3 3 = 27 .

      Definisi logaritma di atas dapat ditulis sebagai identitas:

      Sifat dasar logaritma.

      2) log 1 = 0 karena b 0 = 1 .

      3) Logaritma hasil kali sama dengan jumlah logaritma faktor-faktornya:

      4) Logaritma hasil bagi sama dengan selisih antara logaritma pembagian dan pembagi:

      5) Logaritma derajat sama dengan produk eksponen dan logaritma basisnya:

      Konsekuensi dari properti ini adalah sebagai berikut: akar log sama dengan logaritma dari nomor akar dibagi dengan kekuatan akar:

      6) Jika basis logaritma adalah pangkat, maka nilainya kebalikan dari eksponen dapat diambil dari tanda log sajak:

      Dua properti terakhir dapat digabungkan menjadi satu:

      7) Rumus untuk modulus transisi (yaitu transisi dari satu basis logaritma ke basis lain):

      Dalam kasus tertentu, ketika N = kita punya:

      logaritma desimal ditelepon logaritma dasar 10. Dilambangkan lg, mis. log 10 N= log N. Logaritma bilangan 10, 100, 1000, . p adalah 1, 2, 3, …, berturut-turut, yaitu. punya banyak hal positif

      unit, berapa banyak nol dalam nomor logaritma setelah satu. Logaritma bilangan 0.1, 0.01, 0.001, . p adalah -1, -2, -3, …, berturut-turut, mis. memiliki bilangan negatif sebanyak nol dalam bilangan logaritma sebelum bilangan tersebut (termasuk bilangan bulat nol). Logaritma dari bilangan yang tersisa memiliki bagian pecahan yang disebut mantissa. Bagian bilangan bulat dari logaritma disebut ciri. Untuk aplikasi praktis, logaritma desimal paling nyaman.

      logaritma natural ditelepon logaritma dasar e. Hal ini dilambangkan dengan ln, yaitu. catatan e N= ln N. Nomor e irasional, nilai perkiraannya adalah 2,718281828. Ini adalah batas ke arah mana angka (1 + 1 / n) n dengan peningkatan tak terbatas n(cm. batas indah pertama pada halaman Batas Urutan Angka).
      Kelihatannya aneh, logaritma natural ternyata sangat nyaman saat melakukan berbagai operasi yang berkaitan dengan analisis fungsi. Menghitung logaritma dasar e jauh lebih cepat daripada basis lainnya.

    • Apa yang Anda butuhkan hari ini untuk mengadopsi anak di Rusia? Adopsi di Rusia, selain keputusan pribadi yang bertanggung jawab, melibatkan sejumlah prosedur untuk verifikasi calon negara. Seleksi yang kaku pada tahap persiapan berkontribusi pada lebih banyak […]
    • Informasi gratis oleh TIN atau OGRN dari register pajak di seluruh Rusia - online Di Portal Layanan Pajak Terpadu, informasi tentang pendaftaran negara badan hukum, pengusaha perorangan, […]
    • Hukuman untuk mengemudi tanpa dokumen (SIM, asuransi, STS) Kadang-kadang, karena kelupaan, pengemudi berada di belakang kemudi tanpa SIM dan menerima denda untuk mengemudi tanpa dokumen. Ingatlah bahwa seorang pengendara mobil yang mengemudi bersamanya pasti […]
    • Bunga untuk pria. Jenis bunga apa yang bisa Anda berikan kepada seorang pria? Bunga apa yang bisa diberikan kepada seorang pria? Tidak banyak bunga "jantan", tetapi ada yang diberikan kepada pria. Sebuah daftar kecil bunga di depan Anda: Krisan. Mawar. Anyelir. […]
    • Memo adalah bentuk khusus dari dokumen yang digunakan di lingkungan internal perusahaan dan berfungsi untuk menyelesaikan masalah produksi saat ini dengan cepat. Biasanya dokumen ini dibuat dengan tujuan membuat beberapa […]
    • Kapan dan bagaimana cara mendapatkan bagian dana pensiun di Sberbank? Sberbank adalah bank mitra dana pensiun negara. Atas dasar ini, warga negara yang telah mengeluarkan dana pensiun dapat mentransfer dana […]
    • Tunjangan anak di Ulyanovsk dan wilayah Ulyanovsk pada tahun 2018 Selain itu, program yang disetujui oleh undang-undang federal beroperasi di semua wilayah. Mari kita lihat siapa dan manfaat apa yang dapat diandalkan. Sebagai pejabat daerah […]
    • Panduan lengkap tentang cara membuat surat kuasa untuk mewakili kepentingan seseorang di pengadilan Dalam gugatan perdata atau arbitrase, dalam kasus administrasi atau pidana, kepentingan penggugat dan tergugat dapat diwakili oleh seorang pengacara: […]

    \(a^(b)=c\) \(\Panah kanan kiri\) \(\log_(a)(c)=b\)

    Mari kita jelaskan lebih mudah. Misalnya, \(\log_(2)(8)\) sama dengan pangkat \(2\) harus dinaikkan untuk mendapatkan \(8\). Dari sini jelas bahwa \(\log_(2)(8)=3\).

    Contoh:

    \(\log_(5)(25)=2\)

    karena \(5^(2)=25\)

    \(\log_(3)(81)=4\)

    karena \(3^(4)=81\)

    \(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)

    karena \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

    Argumen dan basis logaritma

    Setiap logaritma memiliki "anatomi" berikut:

    Argumen logaritma biasanya ditulis pada levelnya, dan basis ditulis dalam subscript yang lebih dekat dengan tanda logaritma. Dan entri ini dibaca seperti ini: "logaritma dari dua puluh lima ke basis lima."

    Bagaimana cara menghitung logaritma?

    Untuk menghitung logaritma, Anda perlu menjawab pertanyaan: sejauh mana basis harus dinaikkan untuk mendapatkan argumen?

    Sebagai contoh, hitung logaritmanya: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ kuadrat (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

    a) Berapa pangkat \(4\) yang harus dinaikkan untuk mendapatkan \(16\)? Jelas yang kedua. Itu sebabnya:

    \(\log_(4)(16)=2\)

    \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

    c) Berapakah \(\sqrt(5)\) harus dinaikkan untuk mendapatkan \(1\)? Dan derajat apa yang membuat angka menjadi satu unit? Nol, tentu saja!

    \(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

    d) Berapakah \(\sqrt(7)\) harus dinaikkan untuk mendapatkan \(\sqrt(7)\)? Yang pertama - angka apa pun di tingkat pertama sama dengan dirinya sendiri.

    \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

    e) Ke pangkat berapa \(3\) harus dinaikkan untuk mendapatkan \(\sqrt(3)\)? Dari kita tahu bahwa itu adalah pangkat pecahan, dan karena itu akar kuadratnya adalah pangkat dari \(\frac(1)(2)\) .

    \(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

    Contoh : Hitung logaritma \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

    Larutan :

    \(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)

    Kita perlu mencari nilai logaritma, mari kita nyatakan sebagai x. Sekarang mari kita gunakan definisi logaritma:
    \(\log_(a)(c)=b\) \(\Panah kiri\) \(a^(b)=c\)

    \((4\sqrt(2))^(x)=8\)

    Apa tautan \(4\sqrt(2)\) dan \(8\)? Dua, karena kedua angka dapat diwakili oleh dua:
    \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)

    \(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)

    Di sebelah kiri, kita menggunakan properti derajat: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) dan \((a^(m))^(n)=a ^(m\cdot n)\)

    \(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)

    Basisnya sama, kami melanjutkan ke kesetaraan indikator

    \(\frac(5x)(2)\) \(=3\)

    Kalikan kedua ruas persamaan dengan \(\frac(2)(5)\)

    Akar yang dihasilkan adalah nilai logaritma

    Menjawab : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

    Mengapa logaritma ditemukan?

    Untuk memahaminya, mari selesaikan persamaan: \(3^(x)=9\). Cukup cocokkan \(x\) untuk membuat persamaan berfungsi. Tentu saja, \(x=2\).

    Sekarang selesaikan persamaannya: \(3^(x)=8\).Berapa x sama dengan? Itulah intinya.

    Yang paling cerdik akan berkata: "X sedikit kurang dari dua." Bagaimana tepatnya angka ini ditulis? Untuk menjawab pertanyaan ini, mereka datang dengan logaritma. Berkat dia, jawabannya di sini dapat ditulis sebagai \(x=\log_(3)(8)\).

    Saya ingin menekankan bahwa \(\log_(3)(8)\), serta logaritma apa pun hanyalah angka. Ya, kelihatannya tidak biasa, tapi pendek. Karena jika kita ingin menuliskannya dalam bentuk desimal, maka akan terlihat seperti ini: \(1.892789260714.....\)

    Contoh : Selesaikan persamaan \(4^(5x-4)=10\)

    Larutan :

    \(4^(5x-4)=10\)

    \(4^(5x-4)\) dan \(10\) tidak dapat direduksi menjadi basis yang sama. Jadi di sini Anda tidak dapat melakukannya tanpa logaritma.

    Mari kita gunakan definisi logaritma:
    \(a^(b)=c\) \(\Panah kanan kiri\) \(\log_(a)(c)=b\)

    \(\log_(4)(10)=5x-4\)

    Balikkan persamaan sehingga x di sebelah kiri

    \(5x-4=\log_(4)(10)\)

    Sebelum kita. Pindahkan \(4\) ke kanan.

    Dan jangan takut dengan logaritma, perlakukan itu seperti angka biasa.

    \(5x=\log_(4)(10)+4\)

    Bagi persamaan dengan 5

    \(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

    Berikut adalah akar kami. Ya, kelihatannya tidak biasa, tetapi jawabannya tidak dipilih.

    Menjawab : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

    Logaritma desimal dan natural

    Sebagaimana dinyatakan dalam definisi logaritma, basisnya dapat berupa bilangan positif apa pun kecuali satu \((a>0, a\neq1)\). Dan di antara semua basis yang mungkin, ada dua yang sering muncul sehingga notasi pendek khusus diciptakan untuk logaritma dengan mereka:

    Logaritma natural: logaritma yang basisnya adalah bilangan Euler \(e\) (sama dengan kira-kira \(2.7182818…\)), dan logaritmanya ditulis sebagai \(\ln(a)\).

    Itu adalah, \(\ln(a)\) sama dengan \(\log_(e)(a)\)

    Logaritma desimal: Logaritma yang basisnya 10 ditulis \(\lg(a)\).

    Itu adalah, \(\lg(a)\) sama dengan \(\log_(10)(a)\), di mana \(a\) adalah beberapa angka.

    Identitas logaritma dasar

    Logaritma memiliki banyak sifat. Salah satunya disebut "Identitas logaritma dasar" dan terlihat seperti ini:

    \(a^(\log_(a)(c))=c\)

    Properti ini mengikuti langsung dari definisi. Mari kita lihat bagaimana formula ini muncul.

    Ingat definisi singkat dari logaritma:

    jika \(a^(b)=c\), maka \(\log_(a)(c)=b\)

    Artinya, \(b\) sama dengan \(\log_(a)(c)\). Kemudian kita dapat menulis \(\log_(a)(c)\) sebagai ganti \(b\) dalam rumus \(a^(b)=c\) . Ternyata \(a^(\log_(a)(c))=c\) - identitas logaritma utama.

    Anda dapat menemukan sisa properti logaritma. Dengan bantuan mereka, Anda dapat menyederhanakan dan menghitung nilai ekspresi dengan logaritma, yang sulit untuk dihitung secara langsung.

    Contoh : Cari nilai dari ekspresi \(36^(\log_(6)(5))\)

    Larutan :

    Menjawab : \(25\)

    Bagaimana cara menulis angka sebagai logaritma?

    Seperti disebutkan di atas, logaritma apa pun hanyalah angka. Kebalikannya juga benar: bilangan apa pun dapat ditulis sebagai logaritma. Misalnya, kita tahu bahwa \(\log_(2)(4)\) sama dengan dua. Kemudian Anda dapat menulis \(\log_(2)(4)\) alih-alih dua.

    Tetapi \(\log_(3)(9)\) juga sama dengan \(2\), jadi Anda juga dapat menulis \(2=\log_(3)(9)\) . Demikian pula dengan \(\log_(5)(25)\), dan dengan \(\log_(9)(81)\), dll. Artinya, ternyata

    \(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

    Jadi, jika perlu, kita dapat menulis keduanya sebagai logaritma dengan basis apa pun di mana saja (bahkan dalam persamaan, bahkan dalam ekspresi, bahkan dalam pertidaksamaan) - kita hanya menulis basis kuadrat sebagai argumen.

    Ini sama dengan triple - dapat ditulis sebagai \(\log_(2)(8)\), atau sebagai \(\log_(3)(27)\), atau sebagai \(\log_(4)( 64) \) ... Di sini kita menulis basis dalam kubus sebagai argumen:

    \(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

    Dan dengan empat:

    \(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

    Dan dengan minus satu:

    \(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1 )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\)\(...\)

    Dan dengan sepertiga:

    \(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

    Setiap bilangan \(a\) dapat direpresentasikan sebagai logaritma dengan basis \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)

    Contoh : Temukan nilai ekspresi \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

    Larutan :

    Menjawab : \(1\)

    ARTIKEL TERKAIT