Pada artikel ini, kita akan melihat secara komprehensif. Identitas trigonometri dasar adalah persamaan yang membentuk hubungan antara sinus, kosinus, tangen, dan kotangen dari satu sudut, dan memungkinkan Anda menemukan salah satu fungsi trigonometri ini melalui yang lain yang diketahui.

Kami segera mencantumkan identitas trigonometri utama, yang akan kami analisis dalam artikel ini. Kami menuliskannya dalam tabel, dan di bawah ini kami memberikan turunan dari formula ini dan memberikan penjelasan yang diperlukan.

Navigasi halaman.

Hubungan antara sinus dan cosinus satu sudut

Kadang-kadang mereka tidak berbicara tentang identitas trigonometri utama yang tercantum dalam tabel di atas, tetapi tentang satu identitas trigonometri dasar jenis . Penjelasan untuk fakta ini cukup sederhana: persamaan diperoleh dari identitas trigonometri dasar setelah membagi kedua bagiannya dengan dan masing-masing, dan persamaan dan berikut dari definisi sinus, cosinus, tangen, dan kotangen. Kami akan membahas ini secara lebih rinci dalam paragraf berikut.

Artinya, persamaan itulah yang menjadi perhatian khusus, yang diberi nama identitas trigonometri utama.

Sebelum membuktikan identitas trigonometri dasar, kami memberikan rumusannya: jumlah kuadrat sinus dan kosinus dari satu sudut identik sama dengan satu. Sekarang mari kita buktikan.

Identitas trigonometri dasar sangat sering digunakan dalam transformasi ekspresi trigonometri. Ini memungkinkan jumlah kuadrat sinus dan kosinus dari satu sudut diganti dengan satu. Tidak jarang, identitas trigonometri dasar digunakan dalam urutan terbalik: unit diganti dengan jumlah kuadrat dari sinus dan kosinus dari setiap sudut.

Tangen dan kotangen melalui sinus dan cosinus

Identitas yang menghubungkan garis singgung dan kotangen dengan sinus dan kosinus salah satu sudut bentuk dan langsung ikuti dari definisi sinus, cosinus, tangen dan kotangen. Memang, menurut definisi, sinus adalah ordinat y, kosinus adalah absis dari x, tangen adalah rasio ordinat terhadap absis, yaitu, , dan kotangen adalah rasio absis terhadap ordinat, yaitu, .

Karena kejelasan identitas dan seringkali definisi tangen dan kotangen diberikan tidak melalui rasio absis dan ordinat, tetapi melalui rasio sinus dan kosinus. Jadi garis singgung suatu sudut adalah rasio sinus terhadap kosinus sudut ini, dan kotangen adalah rasio kosinus terhadap sinus.

Untuk menyimpulkan bagian ini, perlu dicatat bahwa identitas dan berlaku untuk semua sudut yang fungsi trigonometrinya masuk akal. Jadi rumusnya valid untuk selain (jika tidak, penyebutnya adalah nol, dan kami tidak mendefinisikan pembagian dengan nol), dan rumusnya - untuk semua , berbeda dari , di mana z adalah sembarang .

Hubungan antara tangen dan kotangen

Identitas trigonometri yang lebih jelas dari dua yang sebelumnya adalah identitas yang menghubungkan garis singgung dan kotangen dari salah satu sudut bentuk. . Jelas bahwa itu terjadi untuk setiap sudut selain , jika tidak, baik tangen atau kotangen tidak ditentukan.

Bukti rumusnya sangat sederhana. Menurut definisi dan dari mana . Pembuktian dapat dilakukan dengan cara yang sedikit berbeda. Sejak dan , kemudian .

Jadi, tangen dan kotangen dari satu sudut, di mana mereka masuk akal, adalah.

Kuliah: Sinus, kosinus, tangen, kotangen dari sudut sembarang

Sinus, cosinus dari sudut sembarang

Untuk memahami apa itu fungsi trigonometri, mari kita beralih ke lingkaran dengan jari-jari satuan. Lingkaran ini berpusat di titik asal pada bidang koordinat. Untuk menentukan fungsi yang diberikan, kita akan menggunakan vektor radius ATAU, yang dimulai dari pusat lingkaran, dan titik R adalah titik pada lingkaran. Vektor radius ini membentuk sudut alfa dengan sumbu OH. Karena lingkaran memiliki jari-jari sama dengan satu, maka ATAU = R = 1.

Jika dari titik R jatuhkan tegak lurus pada sumbu OH, maka kita mendapatkan segitiga siku-siku dengan sisi miring sama dengan satu.

Jika vektor radius bergerak searah jarum jam, maka arah ini disebut negatif, tetapi jika bergerak berlawanan arah jarum jam - positif.

sinus suatu sudut ATAU, adalah ordinat titik R vektor pada lingkaran.

Artinya, untuk mendapatkan nilai sinus dari sudut alfa yang diberikan, perlu ditentukan koordinatnya Pada di permukaan.

Bagaimana nilai ini diperoleh? Karena kita tahu bahwa sinus sudut sembarang dalam segitiga siku-siku adalah rasio kaki yang berlawanan dengan sisi miring, kita mendapatkan bahwa

Dan sejak R=1, kemudian dosa(α) = y 0 .

Dalam lingkaran satuan, nilai ordinat tidak boleh kurang dari -1 dan lebih besar dari 1, yang berarti

Sinus positif di kuartal pertama dan kedua lingkaran satuan, dan negatif di kuartal ketiga dan keempat.

Cosinus suatu sudut diberikan lingkaran yang dibentuk oleh vektor jari-jari ATAU, adalah absis dari titik R vektor pada lingkaran.

Artinya, untuk mendapatkan nilai cosinus dari suatu sudut alfa yang diberikan, perlu ditentukan koordinatnya X di permukaan.

Kosinus suatu sudut sembarang dalam segitiga siku-siku adalah rasio kaki yang berdekatan dengan sisi miring, kita mendapatkan bahwa

Dan sejak R=1, kemudian cos(α) = x 0 .

Pada lingkaran satuan, nilai absis tidak boleh kurang dari -1 dan lebih besar dari 1, yang berarti

Kosinus positif di kuadran pertama dan keempat lingkaran satuan, dan negatif di kuadran kedua dan ketiga.

garis singgungsudut sewenang-wenang rasio sinus ke cosinus dihitung.

Jika kita mempertimbangkan segitiga siku-siku, maka ini adalah rasio kaki yang berlawanan dengan kaki yang berdekatan. Jika kita berbicara tentang lingkaran satuan, maka ini adalah rasio ordinat terhadap absis.

Dilihat dari hubungan ini, dapat dipahami bahwa garis singgung tidak dapat ada jika nilai absisnya nol, yaitu pada sudut 90 derajat. Garis singgung dapat mengambil semua nilai lainnya.

Garis singgung positif di kuartal pertama dan ketiga lingkaran satuan, dan negatif di kuartal kedua dan keempat.

Artikel ini telah mengumpulkan tabel sinus, cosinus, tangen dan kotangen. Pertama, kami memberikan tabel nilai dasar fungsi trigonometri, yaitu tabel sinus, cosinus, garis singgung dan kotangen sudut 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 derajat ( 0, /6, /4, /3, /2, …, 2π radian). Setelah itu, kami akan memberikan tabel sinus dan cosinus, serta tabel garis singgung dan kotatangen oleh V. M. Bradis, dan menunjukkan cara menggunakan tabel ini ketika menemukan nilai fungsi trigonometri.

Navigasi halaman.

Tabel sinus, cosinus, garis singgung dan kotangen untuk sudut 0, 30, 45, 60, 90, ... derajat

Bibliografi.

• Aljabar: Prok. untuk 9 sel. rata-rata sekolah / Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.- M.: Pencerahan, 1990.- 272 hal.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
• Bashmakov M.I. Aljabar dan awal analisis: Proc. untuk 10-11 sel. rata-rata sekolah - edisi ke-3. - M.: Pencerahan, 1993. - 351 hal.: sakit. - ISBN 5-09-004617-4.
• Aljabar dan awal analisis: Proc. untuk 10-11 sel. pendidikan umum institusi / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn dan lainnya; Ed. A. N. Kolmogorova.- edisi ke-14.- M.: Enlightenment, 2004.- 384 hal.: sakit.- ISBN 5-09-013651-3.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (manual untuk pelamar ke sekolah teknik): Proc. tunjangan.- M.; Lebih tinggi sekolah, 1984.-351 hal., sakit.
• Bradis V.M. Tabel matematika empat digit: Untuk pendidikan umum. buku pelajaran pendirian. - edisi ke-2. - M.: Bustard, 1999.- 96 hal.: sakit. ISBN 5-7107-2667-2

|BD| - panjang busur lingkaran yang berpusat di titik A.
adalah sudut yang dinyatakan dalam radian.

garis singgung ( tgα) adalah fungsi trigonometri yang bergantung pada sudut antara sisi miring dan kaki segitiga siku-siku, sama dengan rasio panjang kaki di hadapannya |BC| dengan panjang kaki yang berdekatan |AB| .
Kotangen ( ctgα) adalah fungsi trigonometri tergantung pada sudut antara sisi miring dan kaki segitiga siku-siku, sama dengan rasio panjang kaki yang berdekatan |AB| dengan panjang kaki yang berlawanan |BC| .

Garis singgung

Di mana n- utuh.

Dalam literatur Barat, garis singgung dilambangkan sebagai berikut:
.
;
;
.

Grafik fungsi tangen, y = tg x

Kotangens

Di mana n- utuh.

Dalam literatur Barat, kotangen dilambangkan sebagai berikut:
.
Notasi berikut juga telah diadopsi:
;
;
.

Grafik fungsi kotangen, y = ctg x

Sifat-sifat tangen dan kotangen

Periodisitas

Fungsi y= tg x dan y= ctg x periodik dengan periode .

Keseimbangan

Fungsi tangen dan kotangen ganjil.

Domain definisi dan nilai, naik, turun

Fungsi tangen dan kotangen kontinu pada domain definisinya (lihat bukti kontinuitas). Sifat-sifat utama dari garis singgung dan kotangen disajikan dalam tabel ( n- bilangan bulat).

	y= tg x	y= ctg x
Cakupan dan kontinuitas
Jarak nilai	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
naik		-
Menurun	-
Ekstrem	-	-
Nol, y= 0
Titik potong dengan sumbu y, x = 0	y= 0	-

Rumus

Ekspresi dalam bentuk sinus dan cosinus

; ;
; ;
;

Rumus untuk tangen dan kotangen dari jumlah dan perbedaan

Rumus lainnya mudah didapat, misalnya

Produk dari garis singgung

Rumus jumlah dan selisih garis singgung

Tabel ini menunjukkan nilai tangen dan kotangen untuk beberapa nilai argumen.

Ekspresi dalam bilangan kompleks

Ekspresi dalam hal fungsi hiperbolik

;
;

Derivatif

; .

.
Turunan dari orde ke-n terhadap variabel x dari fungsi :
.
Turunan rumus untuk tangen > > > ; untuk kotangen > > >

integral

Ekspansi menjadi seri

Untuk mendapatkan pemuaian garis singgung dalam pangkat x, Anda perlu mengambil beberapa suku pemuaian dalam deret pangkat untuk fungsi dosa x dan cos x dan membagi polinomial ini menjadi satu sama lain , . Ini menghasilkan rumus berikut.

Pada .

pada .
di mana B n- Nomor Bernoulli. Mereka ditentukan baik dari relasi perulangan:
;
;
di mana .
Atau menurut rumus Laplace:

Fungsi terbalik

Fungsi kebalikan dari tangen dan kotangen masing-masing adalah arctangent dan arccotangent.

Arctangent, arctg

, di mana n- utuh.

Tangen busur, arcctg

, di mana n- utuh.

Referensi:
DI. Bronstein, K.A. Semendyaev, Buku Pegangan Matematika untuk Insinyur dan Mahasiswa Perguruan Tinggi, Lan, 2009.
G. Korn, Buku Pegangan Matematika untuk Peneliti dan Insinyur, 2012.

Lihat juga:

Privasi Anda penting bagi kami. Untuk alasan ini, kami telah mengembangkan Kebijakan Privasi yang menjelaskan cara kami menggunakan dan menyimpan informasi Anda. Harap baca kebijakan privasi kami dan beri tahu kami jika Anda memiliki pertanyaan.

Pengumpulan dan penggunaan informasi pribadi

Informasi pribadi mengacu pada data yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi orang tertentu atau menghubunginya.

Anda mungkin diminta untuk memberikan informasi pribadi Anda kapan saja saat Anda menghubungi kami.

Berikut ini adalah beberapa contoh jenis informasi pribadi yang kami kumpulkan dan bagaimana kami dapat menggunakan informasi tersebut.

Informasi pribadi apa yang kami kumpulkan:

• Saat Anda mengajukan aplikasi di situs, kami dapat mengumpulkan berbagai informasi, termasuk nama, nomor telepon, alamat email, dll.

Bagaimana kami menggunakan informasi pribadi Anda:

• Informasi pribadi yang kami kumpulkan memungkinkan kami untuk menghubungi Anda dan memberi tahu Anda tentang penawaran unik, promosi, dan acara lainnya serta acara mendatang.
• Dari waktu ke waktu, kami dapat menggunakan informasi pribadi Anda untuk mengirimkan pemberitahuan dan pesan penting kepada Anda.
• Kami juga dapat menggunakan informasi pribadi untuk tujuan internal, seperti melakukan audit, analisis data, dan berbagai penelitian untuk meningkatkan layanan yang kami berikan dan memberi Anda rekomendasi terkait layanan kami.
• Jika Anda mengikuti undian berhadiah, kontes, atau insentif serupa, kami dapat menggunakan informasi yang Anda berikan untuk mengelola program tersebut.

Pengungkapan kepada pihak ketiga

Kami tidak mengungkapkan informasi yang diterima dari Anda kepada pihak ketiga.

Pengecualian:

• Jika perlu - sesuai dengan hukum, perintah pengadilan, dalam proses hukum, dan / atau berdasarkan permintaan publik atau permintaan dari badan-badan negara di wilayah Federasi Rusia - mengungkapkan informasi pribadi Anda. Kami juga dapat mengungkapkan informasi tentang Anda jika kami menentukan bahwa pengungkapan tersebut diperlukan atau sesuai untuk alasan keamanan, penegakan hukum, atau kepentingan publik lainnya.
• Jika terjadi reorganisasi, merger, atau penjualan, kami dapat mentransfer informasi pribadi yang kami kumpulkan kepada penerus pihak ketiga yang relevan.

Perlindungan informasi pribadi

Kami mengambil tindakan pencegahan - termasuk administratif, teknis, dan fisik - untuk melindungi informasi pribadi Anda dari kehilangan, pencurian, dan penyalahgunaan, serta dari akses, pengungkapan, perubahan, dan penghancuran yang tidak sah.

Menjaga privasi Anda di tingkat perusahaan

Untuk memastikan bahwa informasi pribadi Anda aman, kami mengomunikasikan praktik privasi dan keamanan kepada karyawan kami dan secara ketat menegakkan praktik privasi.