Temukan nilai ekspresi untuk berbagai nilai rasional variabel x=2; 0; -3; -

Perhatikan, berapa pun angka yang kita ganti sebagai ganti variabel x, Anda selalu dapat menemukan nilai dari ekspresi ini. Jadi, kita mempertimbangkan fungsi eksponensial (y sama dengan tiga pangkat x), yang didefinisikan pada himpunan bilangan rasional: .

Mari kita buat grafik fungsi ini dengan membuat tabel nilainya.

Mari kita menggambar garis halus yang melewati titik-titik ini (Gbr. 1)

Dengan menggunakan grafik fungsi ini, pertimbangkan sifat-sifatnya:

3. Meningkat di seluruh area definisi.

1. berkisar dari nol hingga plus tak terhingga.

8. Fungsinya cembung ke bawah.

Jika dalam satu sistem koordinat untuk membangun grafik fungsi; y=(y sama dengan dua pangkat x, y sama dengan lima pangkat x, y sama dengan tujuh pangkat x), Anda dapat melihat bahwa mereka memiliki sifat yang sama dengan y=(y sama dengan tiga pangkat x) ( Gambar .2), yaitu, semua fungsi bentuk y = (y sama dengan a pangkat x, dengan lebih besar dari satu) akan memiliki sifat seperti itu

Mari kita plot fungsinya:

1. Menyusun tabel nilainya.

Kami menandai titik-titik yang diperoleh pada bidang koordinat.

Mari kita menggambar garis halus yang melewati titik-titik ini (Gbr. 3).

Menggunakan grafik fungsi ini, kami menunjukkan propertinya:

1. Domain definisi adalah himpunan semua bilangan real.

2. Tidak genap maupun ganjil.

3. Penurunan di seluruh domain definisi.

4. Tidak memiliki nilai terbesar maupun terkecil.

5. Terbatas dari bawah, tetapi tidak terbatas dari atas.

6. Berkelanjutan di seluruh domain definisi.

7. rentang nilai dari nol hingga plus tak terhingga.

8. Fungsinya cembung ke bawah.

Demikian pula jika dalam satu sistem koordinat membangun grafik fungsi; y=(y sama dengan satu detik pangkat x, y sama dengan seperlima pangkat x, y sama dengan sepertujuh pangkat x), Anda dapat melihat bahwa mereka memiliki sifat yang sama dengan y=(y sama dengan sepertiga pangkat pangkat x). x) (Gbr. 4), yaitu, semua fungsi bentuk y \u003d (y sama dengan satu dibagi dengan a pangkat x, dengan lebih besar dari nol tetapi kurang dari satu) akan memiliki sifat seperti itu

Mari kita buat grafik fungsi dalam satu sistem koordinat

ini berarti bahwa grafik fungsi y \u003d y \u003d (y sama dengan a pangkat x dan y sama dengan satu dibagi a pangkat x) juga akan simetris untuk nilai a yang sama .

Kami merangkum apa yang telah dikatakan dengan memberikan definisi fungsi eksponensial dan menunjukkan sifat utamanya:

Definisi: Fungsi bentuk y \u003d, di mana (y sama dengan a pangkat x, di mana a positif dan berbeda dari satu), disebut fungsi eksponensial.

Perlu diingat perbedaan antara fungsi eksponensial y= dan fungsi pangkat y=, a=2,3,4,…. baik secara aural maupun visual. fungsi eksponensial X adalah derajat, dan untuk fungsi daya X adalah dasar.

Contoh 1: Selesaikan persamaan (tiga pangkat x sama dengan sembilan)

(y sama dengan tiga pangkat x dan y sama dengan sembilan) gbr.7

Perhatikan bahwa mereka memiliki satu titik yang sama M (2; 9) (em dengan koordinat dua; sembilan), yang berarti bahwa absis titik tersebut akan menjadi akar dari persamaan ini. Artinya, persamaan memiliki akar tunggal x = 2.

Contoh 2: Selesaikan persamaan

Dalam satu sistem koordinat, kita akan membangun dua grafik fungsi y \u003d (y sama dengan lima pangkat x dan y sama dengan satu dua puluh lima) Gbr.8. Grafik berpotongan pada satu titik T (-2; (te dengan koordinat dikurangi dua; satu dua puluh lima).Oleh karena itu, akar persamaannya adalah x \u003d -2 (angka dikurangi dua).

Contoh 3: Selesaikan pertidaksamaan

Dalam satu sistem koordinat, kami membuat dua grafik fungsi y \u003d

(y sama dengan tiga pangkat x dan y sama dengan dua puluh tujuh).

Gbr.9 Grafik fungsi terletak di atas grafik fungsi y=kapan

x Oleh karena itu, solusi pertidaksamaan adalah interval (dari minus tak terhingga ke tiga)

Contoh 4: Selesaikan pertidaksamaan

Dalam satu sistem koordinat, kita akan membuat dua grafik fungsi y \u003d (y sama dengan seperempat pangkat x dan y sama dengan enam belas). (Gbr. 10). Grafik berpotongan di satu titik K (-2;16). Ini berarti bahwa solusi pertidaksamaan adalah interval (-2; (dari minus dua hingga plus tak terhingga), karena grafik fungsi y \u003d terletak di bawah grafik fungsi di x

Alasan kami memungkinkan kami untuk memverifikasi validitas teorema berikut:

Terem 1 Jika benar jika dan hanya jika m=n.

Teorema 2: Jika benar jika dan hanya jika, maka pertidaksamaan benar jika dan hanya jika (Gbr. *)

Teorema 4: Jika benar jika dan hanya jika (Gbr.**), pertidaksamaan benar jika dan hanya jika Teorema 3: Jika benar jika dan hanya jika m=n.

Contoh 5: Gambarkan fungsi y=

Kami memodifikasi fungsi dengan menerapkan properti derajat y=

Mari kita bangun sistem koordinat tambahan dan dalam sistem koordinat baru kita akan memplot fungsi y= (y sama dengan dua pangkat x) Gbr.11.

Contoh 6: Selesaikan persamaan

Dalam satu sistem koordinat, kami membuat dua grafik fungsi y \u003d

(Y sama dengan tujuh pangkat x dan Y sama dengan delapan dikurangi x) Gbr.12.

Grafik-grafik tersebut berpotongan di satu titik E (1; (e dengan koordinat satu; tujuh), sehingga akar persamaannya adalah x = 1 (x sama dengan satu).

Contoh 7: Selesaikan pertidaksamaan

Dalam satu sistem koordinat, kami membuat dua grafik fungsi y \u003d

(Y sama dengan seperempat pangkat x dan Y sama dengan x ditambah lima). Grafik fungsi y= terletak di bawah grafik fungsi y=x+5 di, solusi pertidaksamaan adalah interval x (dari minus satu hingga plus tak terhingga).

Pengetahuan fungsi dasar dasar, sifat dan grafiknya tidak kalah pentingnya dengan mengetahui tabel perkalian. Mereka seperti sebuah yayasan, semuanya didasarkan pada mereka, semuanya dibangun dari mereka, dan semuanya bermuara pada mereka.

Dalam artikel ini, kami mencantumkan semua fungsi dasar utama, memberikan grafiknya dan memberikannya tanpa turunan dan bukti. sifat-sifat fungsi dasar dasar sesuai skema:

• perilaku fungsi pada batas-batas domain definisi, asimtot vertikal (jika perlu, lihat artikel klasifikasi break point suatu fungsi);
• genap dan ganjil;
• interval konveksitas (cembung ke atas) dan kecembungan (cembung ke bawah), titik belok (jika perlu, lihat artikel fungsi cembung, arah cembung, titik belok, kondisi cembung dan belok);
• asimtot miring dan horizontal;
• titik fungsi tunggal;
• sifat khusus dari beberapa fungsi (misalnya, periode positif terkecil untuk fungsi trigonometri).

Jika Anda tertarik atau, maka Anda dapat pergi ke bagian teori ini.

Fungsi dasar dasar adalah: fungsi konstanta (konstanta), akar derajat ke-n, fungsi pangkat, eksponensial, fungsi logaritma, trigonometri dan fungsi trigonometri terbalik.

Navigasi halaman.

Fungsi permanen.

Sebuah fungsi konstan diberikan pada himpunan semua bilangan real dengan rumus , di mana C adalah beberapa bilangan real. Fungsi konstanta menetapkan untuk setiap nilai riil variabel bebas x nilai yang sama dari variabel terikat y - nilai . Fungsi konstan disebut juga konstanta.

Grafik fungsi konstanta adalah garis lurus yang sejajar dengan sumbu x dan melalui suatu titik yang koordinatnya (0,C) . Sebagai contoh, mari kita tunjukkan grafik fungsi konstanta y=5 , y=-2 dan , yang pada gambar di bawah ini masing-masing sesuai dengan garis hitam, merah dan biru.

Sifat-sifat fungsi konstan.

• Domain definisi: seluruh himpunan bilangan real.
• Fungsi konstan adalah genap.
• Rentang nilai: set yang terdiri dari satu angka C .
• Fungsi konstan tidak bertambah dan tidak berkurang (itu sebabnya konstan).
• Tidak masuk akal untuk berbicara tentang kecembungan dan kecekungan konstanta.
• Tidak ada asimtot.
• Fungsi melewati titik (0,C) dari bidang koordinat.

Akar derajat ke-n.

Pertimbangkan fungsi dasar dasar, yang diberikan oleh rumus , di mana n adalah bilangan asli yang lebih besar dari satu.

Akar derajat ke-n, n adalah bilangan genap.

Mari kita mulai dengan fungsi root ke-n untuk nilai genap dari eksponen root n .

Misalnya, kami memberikan gambar dengan gambar grafik fungsi dan , mereka sesuai dengan garis hitam, merah dan biru.

Grafik fungsi akar derajat genap memiliki bentuk yang serupa untuk nilai indikator lainnya.

Sifat-sifat akar derajat ke-n genap n .

Akar derajat ke-n, n adalah bilangan ganjil.

Fungsi akar dari derajat ke-n dengan eksponen ganjil dari akar n didefinisikan pada seluruh himpunan bilangan real. Sebagai contoh, kami menyajikan grafik fungsi dan , kurva hitam, merah, dan biru sesuai dengan mereka.

Untuk nilai ganjil eksponen akar lainnya, grafik fungsi akan memiliki tampilan yang serupa.

Sifat-sifat akar derajat ke-n untuk n ganjil.

Fungsi daya.

Fungsi daya diberikan oleh rumus bentuk .

Pertimbangkan jenis grafik fungsi daya dan sifat-sifat fungsi daya tergantung pada nilai eksponen.

Mari kita mulai dengan fungsi pangkat dengan eksponen bilangan bulat a . Dalam hal ini, bentuk grafik fungsi pangkat dan sifat-sifat fungsi bergantung pada eksponen genap atau ganjil, serta pada tandanya. Oleh karena itu, pertama-tama kami mempertimbangkan fungsi pangkat untuk nilai positif ganjil dari eksponen a , kemudian untuk positif genap, kemudian untuk eksponen negatif ganjil, dan akhirnya, untuk genap negatif a .

Sifat-sifat fungsi pangkat dengan pangkat pecahan dan irasional (serta jenis grafik fungsi pangkat tersebut) bergantung pada nilai pangkat a. Kami akan mempertimbangkannya, pertama, ketika a dari nol ke satu, kedua, ketika a lebih besar dari satu, ketiga, ketika a dari minus satu ke nol, dan keempat, ketika a kurang dari minus satu.

Sebagai kesimpulan dari subbagian ini, demi kelengkapan, kami menggambarkan fungsi pangkat dengan eksponen nol.

Fungsi daya dengan eksponen positif ganjil.

Pertimbangkan fungsi pangkat dengan eksponen positif ganjil, yaitu dengan a=1,3,5,… .

Gambar di bawah menunjukkan grafik fungsi daya - garis hitam, - garis biru, - garis merah, - garis hijau. Untuk a = 1 kita memiliki fungsi linear y=x .

Sifat-sifat fungsi pangkat dengan eksponen positif ganjil.

Fungsi daya bahkan dengan eksponen positif.

Pertimbangkan fungsi pangkat dengan eksponen positif genap, yaitu untuk a=2,4,6,… .

Sebagai contoh, mari kita ambil grafik fungsi daya - garis hitam, - garis biru, - garis merah. Untuk a=2 kita memiliki fungsi kuadrat yang grafiknya adalah parabola kuadrat.

Sifat-sifat fungsi pangkat dengan eksponen genap positif.

Fungsi daya dengan eksponen negatif ganjil.

Lihatlah grafik fungsi eksponensial untuk nilai negatif ganjil dari eksponen, yaitu untuk a \u003d -1, -3, -5, ....

Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi eksponensial sebagai contoh - garis hitam, - garis biru, - garis merah, - garis hijau. Untuk a = -1 kita memiliki proporsionalitas terbalik, yang grafiknya adalah hiperbola.

Sifat-sifat fungsi pangkat dengan eksponen negatif ganjil.

Fungsi daya dengan eksponen negatif genap.

Mari kita beralih ke fungsi daya di a=-2,-4,-6,….

Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi daya - garis hitam, - garis biru, - garis merah.

Sifat-sifat fungsi pangkat dengan pangkat genap negatif.

Fungsi pangkat dengan eksponen rasional atau irasional yang nilainya lebih besar dari nol dan kurang dari satu.

Catatan! Jika a adalah pecahan positif dengan penyebut ganjil, maka beberapa penulis menganggap interval sebagai domain dari fungsi pangkat. Pada saat yang sama, dinyatakan bahwa eksponen a adalah pecahan yang tidak dapat direduksi. Sekarang penulis banyak buku teks tentang aljabar dan awal analisis JANGAN MENDEFINISIKAN fungsi pangkat dengan eksponen dalam bentuk pecahan dengan penyebut ganjil untuk nilai negatif dari argumen. Kami akan mematuhi pandangan seperti itu, yaitu, kami akan mempertimbangkan domain fungsi pangkat dengan eksponen positif fraksional sebagai himpunan . Kami mendorong siswa untuk mendapatkan perspektif guru Anda tentang poin halus ini untuk menghindari perselisihan.

Pertimbangkan fungsi pangkat dengan eksponen rasional atau irasional a , dan .

Kami menyajikan grafik fungsi daya untuk a=11/12 (garis hitam), a=5/7 (garis merah), (garis biru), a=2/5 (garis hijau).

Fungsi pangkat dengan eksponen rasional atau irasional bukan bilangan bulat lebih besar dari satu.

Pertimbangkan fungsi pangkat dengan eksponen rasional atau irasional non-bilangan bulat a , dan .

Mari kita sajikan grafik fungsi pangkat yang diberikan oleh rumus (garis hitam, merah, biru dan hijau masing-masing).

>

Untuk nilai eksponen a lainnya, grafik fungsi akan memiliki tampilan yang serupa.

Sifat fungsi daya untuk .

Fungsi pangkat dengan eksponen nyata yang lebih besar dari minus satu dan kurang dari nol.

Catatan! Jika a adalah pecahan negatif dengan penyebut ganjil, maka beberapa penulis mempertimbangkan intervalnya . Pada saat yang sama, dinyatakan bahwa eksponen a adalah pecahan yang tidak dapat direduksi. Sekarang penulis banyak buku teks tentang aljabar dan awal analisis JANGAN MENDEFINISIKAN fungsi pangkat dengan eksponen dalam bentuk pecahan dengan penyebut ganjil untuk nilai negatif dari argumen. Kami akan mematuhi pandangan seperti itu, yaitu, kami akan mempertimbangkan domain fungsi pangkat dengan eksponen negatif pecahan sebagai himpunan, masing-masing. Kami mendorong siswa untuk mendapatkan perspektif guru Anda tentang poin halus ini untuk menghindari perselisihan.

Kami lolos ke fungsi daya , di mana .

Untuk mengetahui jenis grafik fungsi pangkat, kami memberikan contoh grafik fungsi (kurva hitam, merah, biru, dan hijau, masing-masing).

Sifat-sifat fungsi pangkat dengan eksponen a , .

Fungsi pangkat dengan eksponen real non-bilangan bulat yang kurang dari minus satu.

Mari kita berikan contoh grafik fungsi daya untuk , masing-masing digambarkan dalam garis hitam, merah, biru, dan hijau.

Sifat-sifat fungsi pangkat dengan eksponen negatif bukan bilangan bulat kurang dari minus satu.

Ketika a=0 dan kami memiliki fungsi - ini adalah garis lurus dari mana titik (0; 1) dikecualikan (pernyataan 0 0 disepakati untuk tidak mementingkan apapun).

Fungsi eksponensial.

Salah satu fungsi dasar dasar adalah fungsi eksponensial.

Grafik fungsi eksponensial, di mana dan mengambil bentuk yang berbeda tergantung pada nilai basis a. Mari kita cari tahu.

Pertama, pertimbangkan kasus ketika basis fungsi eksponensial mengambil nilai dari nol hingga satu, yaitu .

Misalnya, kami menyajikan grafik fungsi eksponensial untuk a = 1/2 - garis biru, a = 5/6 - garis merah. Grafik fungsi eksponensial memiliki penampilan yang serupa untuk nilai-nilai basis lainnya dari interval .

Sifat-sifat fungsi eksponensial dengan basis kurang dari satu.

Kami beralih ke kasus ketika basis fungsi eksponensial lebih besar dari satu, yaitu .

Sebagai ilustrasi, kami menyajikan grafik fungsi eksponensial - garis biru dan - garis merah. Untuk nilai-nilai basis lainnya, lebih besar dari satu, grafik fungsi eksponensial akan memiliki tampilan yang serupa.

Sifat-sifat fungsi eksponensial dengan basis lebih dari satu.

fungsi logaritma.

Fungsi dasar dasar berikutnya adalah fungsi logaritma , Dimana , . Fungsi logaritma didefinisikan hanya untuk nilai positif dari argumen, yaitu untuk .

Grafik fungsi logaritma mengambil bentuk yang berbeda tergantung pada nilai basis a.

Konsentrasi perhatian:

Definisi. Fungsi spesies disebut Fungsi eksponensial .

Komentar. Pengecualian dasar sebuah angka 0; 1 dan nilai negatif sebuah dijelaskan oleh keadaan berikut:

Ekspresi analitik itu sendiri sebuah x dalam kasus ini, ia mempertahankan maknanya dan dapat ditemui dalam memecahkan masalah. Misalnya, untuk ekspresi x y dot x = 1; kamu = 1 memasuki kisaran nilai yang dapat diterima.

Buatlah grafik fungsi: dan .

Grafik fungsi eksponensial
y= sebuah x, a > 1	y= sebuah x , 0< a < 1

Sifat-sifat fungsi eksponensial

Sifat-sifat fungsi eksponensial	y= sebuah x, a > 1	y= sebuah x , 0< a < 1
Lingkup fungsi
2. Rentang nilai fungsi
3. Interval perbandingan dengan unit	pada x> 0, a x > 1	pada x > 0, 0< a x < 1
	pada x < 0, 0< a x < 1	pada x < 0, a x > 1
4. Genap, ganjil.	Fungsi tersebut bukan genap maupun ganjil (fungsi umum).
5. Monoton.	meningkat secara monoton sebesar R	berkurang secara monoton sebesar R
6. Ekstrem.	Fungsi eksponensial tidak memiliki ekstrem.
7. Asimtot	Sumbu O x adalah asimtot horizontal.
8. Untuk setiap nilai riil x dan kamu;

Saat tabel terisi, tugas diselesaikan secara paralel dengan pengisian.

Tugas nomor 1. (Untuk menemukan domain fungsi).

Nilai argumen apa yang valid untuk fungsi:

Tugas nomor 2. (Untuk menemukan rentang fungsi).

Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi. Tentukan ruang lingkup dan ruang lingkup fungsi:

Tugas nomor 3. (Untuk menunjukkan interval perbandingan dengan unit).

Bandingkan masing-masing kekuatan berikut dengan satu:

Tugas nomor 4. (Untuk mempelajari fungsi monotonisitas).

Bandingkan bilangan real berdasarkan besarnya m dan n jika:

Tugas nomor 5. (Untuk mempelajari fungsi monotonisitas).

Buatlah kesimpulan tentang dasar sebuah, jika:

y(x) = 10 x ; f(x) = 6 x ; z(x) - 4x

Bagaimana grafik fungsi eksponensial relatif satu sama lain untuk x > 0, x = 0, x< 0?

Dalam satu bidang koordinat, grafik fungsi diplot:

y(x) = (0,1) x ; f(x) = (0,5) x ; z(x) = (0.8) x .

Bagaimana grafik fungsi eksponensial relatif satu sama lain untuk x > 0, x = 0, x< 0?

Nomor salah satu konstanta terpenting dalam matematika. Menurut definisi, itu sama dengan limit barisan dengan tak terbatas meningkat n . Penamaan e diperkenalkan Leonhard Euler pada tahun 1736. Dia menghitung 23 digit pertama dari angka ini dalam notasi desimal, dan angka itu sendiri dinamai Napier "nomor non-peer." Nomor e memainkan peran khusus dalam analisis matematika. Fungsi eksponensial dengan dasar e, disebut eksponen dan dilambangkan y = e x. Tanda-tanda pertama angka e mudah diingat: dua, koma, tujuh, tahun kelahiran Leo Tolstoy - dua kali, empat puluh lima, sembilan puluh, empat puluh lima.

Pekerjaan rumah:

Kolmogorov hal.35; 445-447; 451; 453.

Ulangi algoritma untuk membuat grafik fungsi yang berisi variabel di bawah tanda modul.

1. Fungsi eksponensial adalah fungsi dalam bentuk y(x) \u003d a x, bergantung pada eksponen x, dengan nilai konstanta alas derajat a, di mana a > 0, a 0, xϵR (R adalah himpunan bilangan real).

Mempertimbangkan grafik fungsi jika basis tidak memenuhi kondisi: a>0
A A< 0
Jika sebuah< 0 – возможно возведение в целую степень или в рациональную степень с нечетным показателем.
a = -2

Jika a = 0 - fungsi y = didefinisikan dan memiliki nilai konstan 0

c) a \u003d 1
Jika a = 1 - fungsi y = didefinisikan dan memiliki nilai konstanta 1

2. Pertimbangkan fungsi eksponensial secara lebih rinci:

0

Domain fungsi (OOF)

Area nilai fungsi yang diizinkan (ODZ)

3. Nol dari fungsi (y = 0)

4. Titik potong dengan sumbu y (x = 0)

5. Fungsi meningkat, menurun

Jika , maka fungsi f(x) meningkat
Jika , maka fungsi f(x) berkurang
Fungsi y= , pada 0 Fungsi y \u003d, untuk a> 1, meningkat secara monoton
Ini mengikuti dari sifat monotonisitas derajat dengan eksponen nyata.

6. Fungsi genap, ganjil

Fungsi y = tidak simetris terhadap sumbu 0y dan titik asal, sehingga tidak genap maupun ganjil. (fungsi umum)

7. Fungsi y \u003d tidak memiliki ekstrem

8. Sifat-sifat derajat dengan eksponen riil:

Misalkan a > 0; a≠1
b > 0; b≠1

Kemudian untuk xϵR; kamu:

Sifat monotonitas derajat:

jika kemudian
Sebagai contoh:

Jika a > 0, maka .
Fungsi eksponensial kontinu di sembarang titik R.

9. Lokasi relatif dari fungsi

Semakin besar alas a, semakin dekat dengan sumbu x dan y

a > 1, a = 20

Jika a0, maka fungsi eksponensial berbentuk mendekati y = 0.
Jika a1, maka lebih jauh dari sumbu x dan y dan grafik mengambil bentuk yang dekat dengan fungsi y \u003d 1.

Contoh 1
petak y=