Dalam pelajaran ini, kita akan mempelajari berbagai opsi untuk interaksi lingkaran dan garis lurus. Kami mengingat definisi yang banyak digunakan dalam kasus ini. Garis lurus adalah sosok geometris aksiomatik yang tidak dapat ditentukan, yang merupakan garis lurus lurus tanpa awal atau akhir. Lingkaran adalah himpunan titik-titik yang terletak sama jaraknya dari suatu pusat bersama (pusat lingkaran) yang dihubungkan oleh kurva yang sama. Dengan kata lain, lingkaran adalah kurva tertutup beraturan yang menguraikan luas maksimum yang mungkin.
Sebenarnya, ada tiga opsi untuk posisi relatif lingkaran dan garis. Dalam kasus pertama, garis lurus terletak sepenuhnya di luar lingkaran yang diberikan, tidak berpotongan atau menyentuhnya di mana pun. Jika garis menyentuh tepat satu titik tertentu dari himpunan pada lingkaran, maka garis ini disebut garis singgung terhadap lingkaran yang diberikan.
Garis singgung memiliki satu properti penting. Jari-jari yang ditarik ke titik kontak tegak lurus terhadap garis itu sendiri. Video menunjukkan sebuah lingkaran dengan pusat O, garis A dan titik singgung K. Karena titik ini dalam bentuk singular, garis A bersinggungan dengan lingkaran ini. Dan sudut di K, yang dibentuk oleh jari-jari dan bagian mana pun dari garis, adalah benar - sama dengan 90 derajat. Perlu juga dicatat fitur penting - garis singgung hanya memiliki satu titik kontak. Tidak mungkin menggambar garis lurus sehingga menyentuh dua titik pada garis singgung lingkaran.
Jika garis A kami melewati seluruh lingkaran, memengaruhi wilayah dalamnya, maka ini sudah menjadi kasus khusus ketiga dari interaksi angka-angka ini. Dalam hal ini, garis lurus melewati dua titik pada lingkaran - katakanlah, B dan C. Ini disebut garis potong lingkaran. Garis potong selalu hanya melewati dua titik dari himpunan pada kurva. Karena ada banyak titik dalam sebuah lingkaran, adalah mungkin untuk menggambar sejumlah garis potong (serta garis singgung) yang tak terbatas untuk lingkaran tertentu.
Bagian dalam dari garis potong, sebenarnya ruas BC, adalah tali busur lingkaran. Jika garis potong melewati pusat lingkaran, maka bagian dalamnya diwakili oleh tali busur terbesar - diameter. Dalam hal ini, titik potong B dan C berada pada jarak terjauh satu sama lain (menurut sifat diameter). Mudah dipahami bahwa kasus khusus yang berlawanan adalah garis potong yang membentuk akord dengan nilai yang sangat kecil, pada kenyataannya, ini sudah merupakan garis singgung.
Dalam masalah, segmen P sering ditemukan - segmen ini menghubungkan jalur terpendek ke titik yang sesuai pada garis lurus dan pusat lingkaran itu sendiri. Dengan kata lain, P adalah ruas TO, dimana T adalah titik pada garis BC. Segmen ini tegak lurus terhadap garis, kelanjutannya ke lingkaran itu sendiri adalah jari-jarinya. Nilai linier segmen ini dapat dihitung melalui kosinus sudut yang dibentuk oleh jari-jari dan garis potong, dengan titik di titik bagian.
Ingat definisi penting - definisi lingkaran]
Definisi:
Lingkaran berpusat di titik O dan berjari-jari R adalah himpunan semua titik pada bidang yang berjarak R dari titik O.
Mari kita perhatikan fakta bahwa himpunan itu disebut lingkaran. semua titik yang memenuhi kondisi yang dijelaskan. Pertimbangkan sebuah contoh:
Titik A, B, C, D dari bujur sangkar berjarak sama dari titik E, tetapi bukan lingkaran (Gbr. 1).
Beras. 1. Ilustrasi misalnya
Dalam hal ini, gambarnya adalah lingkaran, karena semuanya adalah kumpulan titik yang berjarak sama dari pusat.
Jika kita menghubungkan dua titik lingkaran, kita mendapatkan akord. Tali busur yang melalui pusat disebut diameter.
MB - akord; AB - diameter; MnB - busur, dikontrak oleh akord MB;
Sudut disebut pusat.
Titik O adalah pusat lingkaran.
Beras. 2. Ilustrasi misalnya
Jadi, kami ingat apa itu lingkaran dan elemen utamanya. Sekarang mari kita beralih ke mempertimbangkan posisi relatif dari lingkaran dan garis.
Diketahui sebuah lingkaran dengan pusat O dan jari-jari r. Garis P, jarak dari pusat ke garis, yaitu tegak lurus OM, sama dengan d.
Kita asumsikan titik O tidak terletak pada garis P.
Mengingat lingkaran dan garis lurus, kita perlu menemukan jumlah titik yang sama.
Kasus 1 - jarak dari pusat lingkaran ke garis lurus kurang dari jari-jari lingkaran:
Dalam kasus pertama, ketika jarak d lebih kecil dari jari-jari lingkaran r, titik M terletak di dalam lingkaran. Dari titik ini kami akan menyisihkan dua segmen - MA dan MB, yang panjangnya akan menjadi. Kita tahu nilai r dan d, d lebih kecil dari r, yang berarti bahwa ekspresi ada dan titik A dan B ada. Kedua titik ini terletak pada garis lurus dengan konstruksi. Mari kita periksa apakah mereka terletak pada lingkaran. Hitung jarak antara OA dan OB menggunakan teorema Pythagoras:
Beras. 3. Ilustrasi Kasus 1
Jarak dari pusat ke dua titik sama dengan jari-jari lingkaran, jadi kami telah membuktikan bahwa titik A dan B termasuk dalam lingkaran.
Jadi, titik A dan B termasuk dalam garis dengan konstruksi, mereka termasuk dalam lingkaran dengan apa yang telah dibuktikan - lingkaran dan garis memiliki dua titik yang sama. Mari kita buktikan bahwa tidak ada titik lain (Gbr. 4).
Beras. 4. Ilustrasi buktinya
Untuk melakukan ini, ambil titik C sembarang pada garis lurus dan asumsikan itu terletak pada lingkaran - jarak OS = r. Dalam hal ini, segitiga adalah sama kaki dan median ON, yang tidak bertepatan dengan segmen OM, adalah tingginya. Kami telah memperoleh kontradiksi: dua tegak lurus dijatuhkan dari titik O ke garis.
Jadi, pada garis P tidak ada titik persekutuan lain dengan lingkaran. Kami telah membuktikan bahwa dalam kasus ketika jarak d lebih kecil dari jari-jari r lingkaran, garis dan lingkaran hanya memiliki dua titik yang sama.
Kasus dua - jarak dari pusat lingkaran ke garis lurus sama dengan jari-jari lingkaran (Gbr. 5):
Beras. 5. Ilustrasi kasus 2
Ingat bahwa jarak dari suatu titik ke garis adalah panjang tegak lurus, dalam hal ini OH adalah tegak lurus. Karena dengan syarat, panjang OH sama dengan jari-jari lingkaran, maka titik H termasuk dalam lingkaran, sehingga titik H sama dengan garis dan lingkaran.
Mari kita buktikan bahwa tidak ada poin umum lainnya. Sebaliknya: misalkan titik C pada garis milik lingkaran. Dalam hal ini, jarak OC adalah r, dan kemudian OC adalah OH. Namun pada segitiga siku-siku, OS sisi miring lebih besar dari kaki OH. Kami mendapat kontradiksi. Dengan demikian, asumsi tersebut salah dan tidak ada titik lain selain H yang sama pada garis dan lingkaran. Kami telah membuktikan bahwa dalam hal ini titik yang sama adalah unik.
Kasus 3 - jarak dari pusat lingkaran ke garis lurus lebih besar dari jari-jari lingkaran:
Jarak suatu titik ke garis adalah panjang garis tegak lurus. Kami menggambar tegak lurus dari titik O ke garis lurus P, kami mendapatkan titik H, yang tidak terletak pada lingkaran, karena OH, dengan syarat, lebih besar dari jari-jari lingkaran. Mari kita buktikan bahwa titik lain dari garis tidak terletak pada lingkaran. Ini jelas terlihat dari segitiga siku-siku, yang sisi miringnya OM lebih besar dari kaki OH, dan karenanya lebih besar dari jari-jari lingkaran, sehingga titik M tidak termasuk dalam lingkaran, seperti titik lain pada garis. Kami telah membuktikan bahwa dalam kasus ini lingkaran dan garis tidak memiliki titik yang sama (Gbr. 6).
Beras. 6. Ilustrasi Kasus 3
Mempertimbangkan dalil . Misalkan garis AB memiliki dua titik yang sama dengan lingkaran (Gbr. 7).
Beras. 7. Ilustrasi teorema
Kami memiliki akord AB. Titik H menurut syarat berada di tengah tali busur AB dan terletak pada diameter CD.
Diperlukan untuk membuktikan bahwa dalam kasus ini diameter tegak lurus terhadap tali busur.
Bukti:
Pertimbangkan sebuah segitiga sama kaki OAB, itu adalah sama kaki, karena .
Titik H, dengan syarat, adalah bagian tengah tali busur, yang berarti bagian tengah median AB dari segitiga sama kaki. Kita tahu bahwa median segitiga sama kaki tegak lurus dengan alasnya, yang berarti tingginya: maka, terbukti bahwa diameter yang melalui tengah tali busur tegak lurus dengannya.
adil dan teorema kebalikan : jika diameternya tegak lurus tali busur, maka tali melewati titik tengahnya.
Diketahui sebuah lingkaran dengan pusat O, diameternya CD dan tali busur AB. Diketahui bahwa diameter tegak lurus terhadap tali busur, perlu dibuktikan bahwa ia melewati bagian tengahnya (Gbr. 8).
Beras. 8. Ilustrasi teorema
Bukti:
Pertimbangkan sebuah segitiga sama kaki OAB, itu adalah sama kaki, karena . OH, dengan syarat, adalah tinggi segitiga, karena diameternya tegak lurus dengan tali busur. Tinggi pada segitiga sama kaki juga merupakan median, sehingga AH = HB yang berarti titik H adalah titik tengah tali busur AB, yang berarti dibuktikan bahwa diameter yang tegak lurus tali busur melalui titik tengahnya.
Teorema langsung dan teorema invers dapat digeneralisasikan sebagai berikut.
Dalil:
Suatu diameter tegak lurus tali busur jika dan hanya jika melalui titik tengahnya.
Jadi, kami telah mempertimbangkan semua kasus pengaturan timbal balik dari garis lurus dan lingkaran. Dalam pelajaran berikutnya, kita akan mempertimbangkan garis singgung lingkaran.
Bibliografi
- Alexander A.D. dll. Geometri Grade 8. - M.: Pendidikan, 2006.
- Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V. Geometri 8. - M.: Pencerahan, 2011.
- Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Geometri kelas 8. - M.: VENTANA-GRAF, 2009.
- edu.glavsprav.ru ().
- Webmath.exponenta.ru().
- Fmclass.ru ().
Pekerjaan rumah
Tugas 1. Tentukan panjang dua ruas tali busur, yang menjadi tempat bagi diameter lingkaran, jika panjang tali busur adalah 16 cm, dan diameternya tegak lurus.
Tugas 2. Tunjukkan jumlah titik persekutuan dari garis lurus dan lingkaran jika:
a) jarak dari garis lurus ke pusat lingkaran adalah 6 cm, dan jari-jari lingkaran adalah 6,05 cm;
b) jarak dari garis lurus ke pusat lingkaran adalah 6,05 cm, dan jari-jari lingkaran adalah 6 cm;
c) jarak dari garis lurus ke pusat lingkaran adalah 8 cm, dan jari-jari lingkaran adalah 16 cm.
Tugas 3. Tentukan panjang tali busur jika diameternya tegak lurus, dan salah satu ruas yang dipotong diameternya adalah 2 cm.
Lingkaran- sosok geometris yang terdiri dari semua titik bidang yang terletak pada jarak tertentu dari titik tertentu.
Titik (O) ini disebut pusat lingkaran.
Jari-jari lingkaran adalah ruas garis yang menghubungkan titik pusat dengan titik pada lingkaran. Semua jari-jari memiliki panjang yang sama (menurut definisi).
akord Ruas garis yang menghubungkan dua titik pada lingkaran. Tali busur yang melalui pusat lingkaran disebut diameter. Pusat lingkaran adalah titik tengah dari sembarang diameter.
Setiap dua titik pada lingkaran membaginya menjadi dua bagian. Masing-masing bagian ini disebut busur lingkaran. Busur disebut setengah lingkaran jika ruas yang menghubungkan ujung-ujungnya adalah diameter.
Panjang suatu satuan setengah lingkaran dilambangkan dengan π
.
Jumlah besaran derajat dua busur lingkaran yang ujungnya sama adalah 360.
Bagian bidang yang dibatasi oleh lingkaran disebut sekitar.
sektor melingkar- bagian dari lingkaran yang dibatasi oleh busur dan dua jari-jari yang menghubungkan ujung-ujung busur dengan pusat lingkaran. Busur yang membatasi sektor disebut busur sektor.
Dua lingkaran yang memiliki pusat bersama disebut konsentris.
Dua lingkaran yang berpotongan tegak lurus disebut ortogonal.
Susunan bersama antara garis lurus dan lingkaran
- Jika jarak dari pusat lingkaran ke garis lurus lebih kecil dari jari-jari lingkaran ( d), maka garis dan lingkaran memiliki dua titik yang sama. Dalam hal ini, garis disebut garis potong dalam kaitannya dengan lingkaran.
- Jika jarak pusat lingkaran ke garis sama dengan jari-jari lingkaran, maka garis dan lingkaran hanya mempunyai satu titik persekutuan. Garis seperti itu disebut garis singgung lingkaran, dan titik bersama mereka disebut titik kontak antara garis dan lingkaran.
- Jika jarak pusat lingkaran ke garis lebih besar dari jari-jari lingkaran, maka garis dan lingkaran tidak memiliki kesamaan poin .
Sudut pusat dan sudut tertulis
Sudut tengah adalah sudut dengan titik sudut di pusat lingkaran.
sudut tertulis Sudut yang titik sudutnya terletak pada lingkaran dan sisi-sisinya memotong lingkaran.
Teorema sudut tertulis
Sudut tertulis diukur dengan setengah busur yang dipotongnya.
- Konsekuensi 1.
Sudut-sudut bertulisan yang menghadap busur yang sama adalah sama besar. - Konsekuensi 2.
Sudut bertulisan yang memotong setengah lingkaran adalah sudut siku-siku.
Teorema pada produk segmen akord berpotongan.
Jika dua tali busur lingkaran berpotongan, maka hasil kali ruas tali busur yang satu sama dengan hasil kali ruas tali busur yang lain.
Rumus dasar
- Lingkar:
- Panjang busur:
- Diameter:
- Panjang busur:
di mana α - ukuran derajat panjang busur lingkaran)
- Luas lingkaran:
- Area sektor melingkar:
Persamaan lingkaran
- Dalam sistem koordinat persegi panjang, persamaan untuk lingkaran dengan jari-jari r berpusat pada satu titik C(x o; y o) memiliki bentuk:
- Persamaan lingkaran berjari-jari r yang berpusat di titik asal adalah:
Tujuan didaktik: pembentukan pengetahuan baru.
tujuan pelajaran.
Tutorial:
- untuk membentuk konsep matematika: garis singgung lingkaran, posisi relatif garis lurus dan lingkaran, untuk mencapai pemahaman dan reproduksi oleh siswa konsep-konsep ini melalui pelaksanaan kerja penelitian praktis.
Hemat kesehatan:
- menciptakan iklim psikologis yang menguntungkan di dalam kelas;
Mengembangkan:
- mengembangkan minat kognitif siswa, kemampuan menjelaskan, menggeneralisasi hasil, membandingkan, mengkontraskan, menarik kesimpulan.
Pendidikan:
- pendidikan melalui matematika budaya kepribadian.
Bentuk studi:
- konten - percakapan, kerja praktek;
- pada organisasi kegiatan - individu, frontal.
Rencana belajar
| Blok | Tahapan pelajaran |
| 1 blok | Mengatur waktu. Persiapan untuk mempelajari materi baru melalui pengulangan dan pemutakhiran pengetahuan dasar. |
| 2 blok | Penetapan tujuan. |
| 3 blok | Pengenalan materi baru. Kerja riset praktis. |
| 4 blok | Konsolidasi materi baru melalui pemecahan masalah |
| 5 blok | Cerminan. Pelaksanaan pekerjaan sesuai dengan gambar yang sudah jadi. |
| 6 blok | Menyimpulkan pelajaran. Mengatur pekerjaan rumah. |
Peralatan:
- komputer, layar, proyektor;
- Selebaran.
Sumber Daya Pendidikan:
1. Matematika. Buku ajar untuk lembaga pendidikan kelas 6; / G.V. Dorofeev, M., Pencerahan, 2009
2. Markova V.I. Fitur pengajaran geometri dalam konteks penerapan standar pendidikan negara: pedoman, Kirov, 2010
3. Atanasyan L.S. Buku teks "Geometri 7-9".
Selama kelas
| 1. Momen organisasi. Persiapan untuk mempelajari materi baru melalui pengulangan dan pemutakhiran pengetahuan dasar. |
Salam siswa. Menunjukkan topik pelajaran. Cari tahu asosiasi apa yang muncul dengan kata "lingkaran" |
Tulis tanggal dan topik pelajaran di buku catatanmu. Jawab pertanyaan guru. |
| 2. Menetapkan tujuan pelajaran | Meringkas tujuan yang dirumuskan oleh siswa, menetapkan tujuan pelajaran | Merumuskan tujuan pelajaran. |
| 3. Berkenalan dengan materi baru. | Mengatur percakapan, meminta model untuk menunjukkan bagaimana lingkaran dan garis lurus dapat ditemukan. Mengatur kerja praktek. Mengatur pekerjaan dengan buku teks. |
Menjawab pertanyaan guru. Melakukan kerja praktek, menarik kesimpulan. Mereka bekerja dengan buku teks, menemukan kesimpulan dan membandingkannya dengan mereka sendiri. |
| 4. Pemahaman primer, konsolidasi melalui pemecahan masalah. | Mengatur pekerjaan sesuai dengan gambar yang sudah jadi. Bekerja dengan buku teks: p. 103 No. 498, No. 499. Penyelesaian masalah |
Memecahkan masalah secara lisan dan mengomentari solusinya. Lakukan pemecahan masalah dan komentar. |
| 5. Refleksi. Pelaksanaan pekerjaan sesuai dengan gambar yang sudah jadi | Menginstruksikan pekerjaan yang harus dilakukan. | Selesaikan tugas mereka sendiri. Tes diri. Menyimpulkan. |
| 6. Menyimpulkan. Mengatur pekerjaan rumah | Siswa diajak menganalisis klaster yang disusun pada awal pembelajaran, untuk menyempurnakannya dengan memperhatikan ilmu yang diperoleh. | Menyimpulkan. Siswa beralih ke tujuan yang telah ditetapkan, menganalisis hasilnya: apa yang baru mereka pelajari, apa yang mereka pelajari dalam pelajaran |
1. Momen organisasi. Pembaruan pengetahuan.
Guru menyampaikan topik pelajaran. Cari tahu asosiasi apa yang muncul dengan kata "lingkaran".
Berapa diameter lingkaran jika jari-jarinya 2,4 cm?
Berapa jari jari jika diameternya 6,8 cm?
2. Penetapan tujuan.
Siswa menetapkan tujuan mereka untuk pelajaran, guru merangkumnya dan menetapkan tujuan pelajaran.
Sebuah program kegiatan dalam pelajaran disusun.
3. Berkenalan dengan materi baru.
1) Bekerja dengan model: "Tunjukkan pada model bagaimana garis lurus dan lingkaran dapat ditempatkan pada bidang."
Berapa banyak poin yang mereka miliki bersama?
2) Pelaksanaan kerja praktek penelitian.
Target. Atur properti posisi relatif garis dan lingkaran.
Peralatan: lingkaran yang digambar di selembar kertas dan tongkat sebagai garis lurus, penggaris.
- Pada gambar (pada selembar kertas), atur posisi relatif lingkaran dan garis lurus.
- Ukur jari-jari lingkaran R dan jarak dari pusat lingkaran ke garis lurus d.
- Catatlah hasil belajar dalam sebuah tabel.
| Gambar | Pengaturan bersama | Jumlah poin umum | Jari-jari lingkaran R | Jarak dari pusat lingkaran ke garis d | Bandingkan R dan d |
4. Buatlah kesimpulan tentang kedudukan relatif garis lurus dan lingkaran, berdasarkan perbandingan R dan d.
Kesimpulan: Jika jarak dari pusat lingkaran ke garis sama dengan jari-jarinya, maka garis tersebut menyentuh lingkaran dan memiliki satu titik yang sama dengan lingkaran. Jika jarak dari pusat lingkaran ke garis lebih besar dari jari-jarinya, maka lingkaran dan garis tidak memiliki titik persekutuan. Jika jarak dari pusat lingkaran ke garis kurang dari jari-jarinya, garis memotong lingkaran dan memiliki dua titik yang sama dengannya.
5. Pemahaman primer, konsolidasi melalui pemecahan masalah.
1) Tugas Buku Ajar: No. 498, No. 499.
2) Tentukan posisi relatif garis dan lingkaran jika:
- 1. R=16cm, d=12cm
- 2. R=5cm, d=4.2cm
- 3. R=7.2dm, d=3.7dm
- 4. R=8 cm, d=1.2dm
- 5. R=5cm, d=50mm
a) garis dan lingkaran tidak memiliki titik yang sama;
b) garis bersinggungan dengan lingkaran;
c. garis memotong lingkaran
- d adalah jarak dari pusat lingkaran ke garis lurus, R adalah jari-jari lingkaran.
3) Apa yang dapat dikatakan tentang kedudukan relatif garis dan lingkaran, jika diameter lingkaran 10,3 cm, dan jarak dari pusat lingkaran ke garis adalah 4,15 cm; 2 dm; 103mm; 5,15 cm, 1 dm 3 cm.
4) Diketahui sebuah lingkaran dengan pusat O dan titik A. Dimanakah titik A jika jari-jari lingkaran 7 cm, dan panjang ruas OA adalah: a) 4 cm; b) 10 cm; c.70mm
6. Refleksi
Apa yang Anda pelajari dalam pelajaran?
Aturan apa yang telah ditetapkan?
Selesaikan tugas-tugas berikut pada kartu:
Tarik garis melalui setiap dua titik. Berapa banyak titik persekutuan yang dimiliki masing-masing garis dengan lingkaran.
Garis ______ dan lingkaran tidak memiliki titik yang sama.
Garis ______ dan lingkaran hanya memiliki satu titik ______.
Garis ______, _______, ________, _______ dan lingkaran memiliki dua titik yang sama.
7. Menyimpulkan. Mengatur pekerjaan rumah:
1) menganalisis klaster yang disusun di awal pelajaran, menyempurnakannya dengan mempertimbangkan pengetahuan yang diperoleh;
2) buku teks: No. 500;
3) mengisi tabel (pada kartu).
| Jari-jari lingkaran | 4 cm | 6,2 cm | 3,5 cm | 1,8 cm | ||
| Jarak dari pusat lingkaran ke garis | 7 cm | 5,12 cm | 3,5 cm | 9.3 cm | 8,25 m | |
| Kesimpulan tentang posisi relatif lingkaran dan garis | Lurus melintasi lingkaran |
Lurus menyentuh lingkaran |
Lurus tidak melewati lingkaran |
Ingat definisi penting - definisi lingkaran]
Definisi:
Lingkaran berpusat di titik O dan berjari-jari R adalah himpunan semua titik pada bidang yang berjarak R dari titik O.
Mari kita perhatikan fakta bahwa himpunan itu disebut lingkaran. semua titik yang memenuhi kondisi yang dijelaskan. Pertimbangkan sebuah contoh:
Titik A, B, C, D dari bujur sangkar berjarak sama dari titik E, tetapi bukan lingkaran (Gbr. 1).
Beras. 1. Ilustrasi misalnya
Dalam hal ini, gambarnya adalah lingkaran, karena semuanya adalah kumpulan titik yang berjarak sama dari pusat.
Jika kita menghubungkan dua titik lingkaran, kita mendapatkan akord. Tali busur yang melalui pusat disebut diameter.
MB - akord; AB - diameter; MnB - busur, dikontrak oleh akord MB;
Sudut disebut pusat.
Titik O adalah pusat lingkaran.
Beras. 2. Ilustrasi misalnya
Jadi, kami ingat apa itu lingkaran dan elemen utamanya. Sekarang mari kita beralih ke mempertimbangkan posisi relatif dari lingkaran dan garis.
Diketahui sebuah lingkaran dengan pusat O dan jari-jari r. Garis P, jarak dari pusat ke garis, yaitu tegak lurus OM, sama dengan d.
Kita asumsikan titik O tidak terletak pada garis P.
Mengingat lingkaran dan garis lurus, kita perlu menemukan jumlah titik yang sama.
Kasus 1 - jarak dari pusat lingkaran ke garis lurus kurang dari jari-jari lingkaran:
Dalam kasus pertama, ketika jarak d lebih kecil dari jari-jari lingkaran r, titik M terletak di dalam lingkaran. Dari titik ini kami akan menyisihkan dua segmen - MA dan MB, yang panjangnya akan menjadi. Kita tahu nilai r dan d, d lebih kecil dari r, yang berarti bahwa ekspresi ada dan titik A dan B ada. Kedua titik ini terletak pada garis lurus dengan konstruksi. Mari kita periksa apakah mereka terletak pada lingkaran. Hitung jarak antara OA dan OB menggunakan teorema Pythagoras:
Beras. 3. Ilustrasi Kasus 1
Jarak dari pusat ke dua titik sama dengan jari-jari lingkaran, jadi kami telah membuktikan bahwa titik A dan B termasuk dalam lingkaran.
Jadi, titik A dan B termasuk dalam garis dengan konstruksi, mereka termasuk dalam lingkaran dengan apa yang telah dibuktikan - lingkaran dan garis memiliki dua titik yang sama. Mari kita buktikan bahwa tidak ada titik lain (Gbr. 4).
Beras. 4. Ilustrasi buktinya
Untuk melakukan ini, ambil titik C sembarang pada garis lurus dan asumsikan itu terletak pada lingkaran - jarak OS = r. Dalam hal ini, segitiga adalah sama kaki dan median ON, yang tidak bertepatan dengan segmen OM, adalah tingginya. Kami telah memperoleh kontradiksi: dua tegak lurus dijatuhkan dari titik O ke garis.
Jadi, pada garis P tidak ada titik persekutuan lain dengan lingkaran. Kami telah membuktikan bahwa dalam kasus ketika jarak d lebih kecil dari jari-jari r lingkaran, garis dan lingkaran hanya memiliki dua titik yang sama.
Kasus dua - jarak dari pusat lingkaran ke garis lurus sama dengan jari-jari lingkaran (Gbr. 5):
Beras. 5. Ilustrasi kasus 2
Ingat bahwa jarak dari suatu titik ke garis adalah panjang tegak lurus, dalam hal ini OH adalah tegak lurus. Karena dengan syarat, panjang OH sama dengan jari-jari lingkaran, maka titik H termasuk dalam lingkaran, sehingga titik H sama dengan garis dan lingkaran.
Mari kita buktikan bahwa tidak ada poin umum lainnya. Sebaliknya: misalkan titik C pada garis milik lingkaran. Dalam hal ini, jarak OC adalah r, dan kemudian OC adalah OH. Namun pada segitiga siku-siku, OS sisi miring lebih besar dari kaki OH. Kami mendapat kontradiksi. Dengan demikian, asumsi tersebut salah dan tidak ada titik lain selain H yang sama pada garis dan lingkaran. Kami telah membuktikan bahwa dalam hal ini titik yang sama adalah unik.
Kasus 3 - jarak dari pusat lingkaran ke garis lurus lebih besar dari jari-jari lingkaran:
Jarak suatu titik ke garis adalah panjang garis tegak lurus. Kami menggambar tegak lurus dari titik O ke garis lurus P, kami mendapatkan titik H, yang tidak terletak pada lingkaran, karena OH, dengan syarat, lebih besar dari jari-jari lingkaran. Mari kita buktikan bahwa titik lain dari garis tidak terletak pada lingkaran. Ini jelas terlihat dari segitiga siku-siku, yang sisi miringnya OM lebih besar dari kaki OH, dan karenanya lebih besar dari jari-jari lingkaran, sehingga titik M tidak termasuk dalam lingkaran, seperti titik lain pada garis. Kami telah membuktikan bahwa dalam kasus ini lingkaran dan garis tidak memiliki titik yang sama (Gbr. 6).
Beras. 6. Ilustrasi Kasus 3
Mempertimbangkan dalil . Misalkan garis AB memiliki dua titik yang sama dengan lingkaran (Gbr. 7).
Beras. 7. Ilustrasi teorema
Kami memiliki akord AB. Titik H menurut syarat berada di tengah tali busur AB dan terletak pada diameter CD.
Diperlukan untuk membuktikan bahwa dalam kasus ini diameter tegak lurus terhadap tali busur.
Bukti:
Pertimbangkan sebuah segitiga sama kaki OAB, itu adalah sama kaki, karena .
Titik H, dengan syarat, adalah bagian tengah tali busur, yang berarti bagian tengah median AB dari segitiga sama kaki. Kita tahu bahwa median segitiga sama kaki tegak lurus dengan alasnya, yang berarti tingginya: maka, terbukti bahwa diameter yang melalui tengah tali busur tegak lurus dengannya.
adil dan teorema kebalikan : jika diameternya tegak lurus tali busur, maka tali melewati titik tengahnya.
Diketahui sebuah lingkaran dengan pusat O, diameternya CD dan tali busur AB. Diketahui bahwa diameter tegak lurus terhadap tali busur, perlu dibuktikan bahwa ia melewati bagian tengahnya (Gbr. 8).
Beras. 8. Ilustrasi teorema
Bukti:
Pertimbangkan sebuah segitiga sama kaki OAB, itu adalah sama kaki, karena . OH, dengan syarat, adalah tinggi segitiga, karena diameternya tegak lurus dengan tali busur. Tinggi pada segitiga sama kaki juga merupakan median, sehingga AH = HB yang berarti titik H adalah titik tengah tali busur AB, yang berarti dibuktikan bahwa diameter yang tegak lurus tali busur melalui titik tengahnya.
Teorema langsung dan teorema invers dapat digeneralisasikan sebagai berikut.
Dalil:
Suatu diameter tegak lurus tali busur jika dan hanya jika melalui titik tengahnya.
Jadi, kami telah mempertimbangkan semua kasus pengaturan timbal balik dari garis lurus dan lingkaran. Dalam pelajaran berikutnya, kita akan mempertimbangkan garis singgung lingkaran.
Bibliografi
- Alexander A.D. dll. Geometri Grade 8. - M.: Pendidikan, 2006.
- Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V. Geometri 8. - M.: Pencerahan, 2011.
- Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Geometri kelas 8. - M.: VENTANA-GRAF, 2009.
- edu.glavsprav.ru ().
- Webmath.exponenta.ru().
- Fmclass.ru ().
Pekerjaan rumah
Tugas 1. Tentukan panjang dua ruas tali busur, yang menjadi tempat bagi diameter lingkaran, jika panjang tali busur adalah 16 cm, dan diameternya tegak lurus.
Tugas 2. Tunjukkan jumlah titik persekutuan dari garis lurus dan lingkaran jika:
a) jarak dari garis lurus ke pusat lingkaran adalah 6 cm, dan jari-jari lingkaran adalah 6,05 cm;
b) jarak dari garis lurus ke pusat lingkaran adalah 6,05 cm, dan jari-jari lingkaran adalah 6 cm;
c) jarak dari garis lurus ke pusat lingkaran adalah 8 cm, dan jari-jari lingkaran adalah 16 cm.
Tugas 3. Tentukan panjang tali busur jika diameternya tegak lurus, dan salah satu ruas yang dipotong diameternya adalah 2 cm.
