Semakin sedikit waktu yang tersisa sebelum lulus ujian matematika. Situasi memanas, saraf anak sekolah, orang tua, guru, dan tutor semakin meregang. Kelas matematika mendalam setiap hari akan membantu Anda meredakan ketegangan saraf. Lagi pula, tidak ada, seperti yang Anda tahu, yang memberi energi dan membantu dalam lulus ujian seperti kepercayaan pada kemampuan dan pengetahuan seseorang. Hari ini, seorang tutor matematika akan memberi tahu Anda tentang memecahkan sistem pertidaksamaan logaritmik dan eksponensial, tugas-tugas yang secara tradisional menyebabkan kesulitan bagi banyak siswa sekolah menengah modern.

Untuk mempelajari cara menyelesaikan masalah C3 dari Unified State Examination dalam matematika, sebagai tutor matematika, saya sarankan Anda memperhatikan poin-poin penting berikut.

1. Sebelum melanjutkan untuk menyelesaikan sistem pertidaksamaan logaritma dan eksponensial, perlu dipelajari cara menyelesaikan masing-masing jenis pertidaksamaan ini secara terpisah. Secara khusus, untuk memahami bagaimana area nilai yang dapat diterima ditemukan, transformasi setara dari ekspresi logaritmik dan eksponensial dilakukan. Anda dapat memahami beberapa rahasia yang terkait dengan ini dengan mempelajari artikel "" dan "".

2. Pada saat yang sama, perlu disadari bahwa solusi dari sistem pertidaksamaan tidak selalu berarti menyelesaikan setiap pertidaksamaan secara terpisah dan melintasi kesenjangan yang dihasilkan. Terkadang, mengetahui solusi dari satu pertidaksamaan sistem, solusi yang kedua sangat disederhanakan. Sebagai tutor matematika yang mempersiapkan siswa untuk ujian akhir dalam format USE, saya akan mengungkapkan beberapa rahasia terkait hal ini dalam artikel ini.

3. Penting untuk memahami dengan jelas sendiri perbedaan antara persimpangan dan persatuan himpunan. Ini adalah salah satu pengetahuan matematika terpenting yang coba diberikan oleh tutor profesional yang berpengalaman kepada muridnya sejak pelajaran pertama. Representasi visual dari perpotongan dan penyatuan himpunan diberikan oleh apa yang disebut "lingkaran Euler".

Tetapkan persimpangan Himpunan disebut himpunan yang hanya berisi elemen-elemen yang dimiliki masing-masing himpunan tersebut.

persimpangan

Gambar perpotongan himpunan menggunakan "Lingkaran Euler"

Penjelasan jari. Diana memiliki "set" di dompetnya, yang terdiri dari ( pulpen, pensil, penguasa, buku catatan, sisir). Alice memiliki "set" di dompetnya, yang terdiri dari ( buku catatan, pensil, cermin, buku catatan, irisan daging Kiev). Perpotongan dari dua "set" ini akan menjadi "set" yang terdiri dari ( pensil, buku catatan), karena Diana dan Alice memiliki kedua "elemen" ini.

Penting untuk diingat! Jika solusi pertidaksamaan adalah interval dan solusi pertidaksamaan adalah interval, maka solusi sistem:

adalah intervalnya adalah persimpangan interval asli. Di sini dan di bawahsalah satu karakter title="(!LANG:Dirender oleh QuickLaTeX.com" height="17" width="93" style="vertical-align: -4px;">!} dan dibawah adalah tanda yang berlawanan.

Persatuan himpunan disebut himpunan yang terdiri dari semua anggota himpunan asal.

Dengan kata lain, jika dua himpunan diberikan dan kemudian asosiasi akan menjadi satu set bentuk berikut:

Gambar penyatuan himpunan menggunakan "lingkaran Euler"

Penjelasan jari. Gabungan "set" yang diambil pada contoh sebelumnya akan menjadi "set" yang terdiri dari ( pulpen, pensil, penguasa, buku catatan, sisir, buku catatan, cermin, irisan daging Kiev), karena terdiri dari semua elemen "set" asli. Satu klarifikasi yang mungkin tidak berlebihan. Banyak tidak bisa mengandung unsur yang sama.

Penting untuk diingat! Jika solusi pertidaksamaan adalah intervalnya dan solusi pertidaksamaan adalah intervalnya, maka solusi himpunannya adalah:

adalah intervalnya adalah sebuah asosiasi interval asli.

Langsung saja ke contoh-contohnya.

Contoh 1 Selesaikan sistem pertidaksamaan:

Solusi dari masalah C3.

1. Kami memecahkan ketidaksetaraan pertama terlebih dahulu. Dengan menggunakan substitusi, kami lolos ke pertidaksamaan:

2. Kami sekarang memecahkan ketidaksetaraan kedua. Kisaran nilai yang dapat diterima ditentukan oleh ketidaksetaraan:

Title="(!LANG:Dirender oleh QuickLaTeX.com">!}

Dalam rentang yang dapat diterima, mengingat bahwa basis dari logaritma title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="52" style="vertical-align: -4px;"> переходим к равносильному неравенству:!}

Mengecualikan solusi yang tidak berada dalam kisaran nilai yang dapat diterima, kami memperoleh interval

3. Jawaban untuk sistem ketidaksetaraan akan persimpangan

Kesenjangan yang dihasilkan pada garis bilangan. Solusinya adalah persimpangan mereka

Contoh 2 Selesaikan sistem pertidaksamaan:

Solusi dari masalah C3.

1. Kami memecahkan ketidaksetaraan pertama terlebih dahulu. Kalikan kedua bagian dengan title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="55" style="vertical-align: 0px;"> и делаем замену в результате чего приходим к неравенству:!}

Mari kita beralih ke substitusi terbalik:

2.

Title="(!LANG:Dirender oleh QuickLaTeX.com">!}

Representasi grafis dari rentang yang dihasilkan. Solusi dari sistem - persimpangan mereka

Contoh 3 Selesaikan sistem pertidaksamaan:

Solusi dari masalah C3.

1. Kami memecahkan ketidaksetaraan pertama terlebih dahulu. Kalikan kedua bagiannya dengan title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="61" style="vertical-align: -4px;"> после чего получаем неравенство:!}

Dengan menggunakan substitusi, kita lolos ke pertidaksamaan berikut:

Mari kita beralih ke substitusi terbalik:

2. Kami sekarang memecahkan ketidaksetaraan kedua. Mari kita tentukan terlebih dahulu kisaran nilai yang dapat diterima dari pertidaksamaan ini:

ql-kanan-eqno">

Harap dicatat bahwa

Kemudian, dengan mempertimbangkan kisaran nilai yang diizinkan, kami memperoleh:

3. Kami menemukan solusi umum dari ketidaksetaraan. Membandingkan nilai irasional yang diperoleh dari titik-titik nodal bukanlah tugas yang sepele dalam contoh ini. Ini dapat dilakukan dengan cara berikut. Karena

Title="(!LANG:Dirender oleh QuickLaTeX.com">!}

kemudian dan respon akhir dari sistem adalah:

Contoh 4 Selesaikan sistem pertidaksamaan:

Solusi masalah 3.

1. Mari selesaikan pertidaksamaan kedua terlebih dahulu:

2. Pertidaksamaan pertama dari sistem asli adalah pertidaksamaan basis variabel logaritmik. Cara mudah untuk menyelesaikan ketidaksetaraan seperti itu dijelaskan dalam artikel "Pertidaksamaan logaritma kompleks", ini didasarkan pada rumus sederhana:

Alih-alih tanda, tanda pertidaksamaan apa pun dapat diganti, yang utama adalah sama dalam kedua kasus. Menggunakan rumus ini sangat menyederhanakan solusi pertidaksamaan:

Sekarang mari kita tentukan kisaran nilai yang dapat diterima dari pertidaksamaan ini. Ini diberikan oleh sistem berikut:

Title="(!LANG:Dirender oleh QuickLaTeX.com">!}

Title="(!LANG:Dirender oleh QuickLaTeX.com">!}

Sangat mudah untuk melihat bahwa pada saat yang sama interval ini juga akan menjadi solusi dari pertidaksamaan kita.

3. Jawaban terakhir untuk yang asli sistem ketidaksetaraan akan persimpangan diperoleh interval, yaitu

Contoh 5 Selesaikan sistem pertidaksamaan:

Solusi masalah C3.

1. Kami memecahkan ketidaksetaraan pertama terlebih dahulu. Kami menggunakan substitusi Kami lolos ke pertidaksamaan kuadrat berikut:

2. Kami sekarang memecahkan ketidaksetaraan kedua. Kisaran nilai yang diizinkan ditentukan oleh sistem:

Title="(!LANG:Dirender oleh QuickLaTeX.com">!}

Pertidaksamaan ini ekuivalen dengan sistem campuran berikut:

Dalam rentang nilai yang valid, yaitu dengan title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="53" style="vertical-align: -4px;"> используя равносильные преобразования переходим к следующей смешанной системе:!}

Dengan mempertimbangkan kisaran nilai yang diizinkan, kami memperoleh:

3. Keputusan akhir dari yang asli sistem adalah

Solusi dari masalah C3.

1. Kami memecahkan ketidaksetaraan pertama terlebih dahulu. Dengan transformasi yang setara, kami membawanya ke bentuk:

2. Kami sekarang memecahkan ketidaksetaraan kedua. Rentang nilai validnya ditentukan oleh rentang: title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="68" style="vertical-align: 0px;"> Используя замену переменной переходим к следующему квадратичному неравенству:!}

Jawaban ini sepenuhnya termasuk dalam kisaran nilai ketidaksetaraan yang dapat diterima.

3. Dengan melintasi interval yang diperoleh pada paragraf sebelumnya, kami memperoleh jawaban akhir untuk sistem pertidaksamaan:

Hari ini kita telah memecahkan sistem pertidaksamaan logaritma dan eksponensial. Tugas semacam ini ditawarkan dalam versi percobaan USE dalam matematika sepanjang tahun akademik saat ini. Namun, sebagai tutor matematika dengan pengalaman mempersiapkan USE, saya dapat mengatakan bahwa ini tidak berarti sama sekali bahwa tugas serupa akan ada di versi nyata USE dalam matematika pada bulan Juni.

Izinkan saya menyampaikan satu peringatan, yang ditujukan terutama kepada tutor dan guru sekolah yang terlibat dalam mempersiapkan siswa sekolah menengah untuk USE dalam matematika. Sangat berbahaya untuk mempersiapkan anak sekolah untuk ujian secara ketat pada topik yang diberikan, karena dalam hal ini ada risiko "mengisi" sepenuhnya bahkan dengan sedikit perubahan dalam format tugas yang disebutkan sebelumnya. Pendidikan matematika harus tuntas. Rekan-rekan yang terhormat, tolong jangan menyamakan siswa Anda dengan robot dengan apa yang disebut "pelatihan" untuk memecahkan jenis masalah tertentu. Lagi pula, tidak ada yang lebih buruk daripada formalisasi pemikiran manusia.

Semoga sukses untuk semua orang dan sukses kreatif!

Sergey Valerievich

Jika Anda mencoba, maka ada dua opsi: itu akan berhasil atau tidak akan berhasil. Jika Anda tidak mencoba, hanya ada satu.
© Kebijaksanaan rakyat

Solusi dari sebagian besar masalah matematika entah bagaimana terhubung dengan transformasi ekspresi numerik, aljabar, atau fungsional. Ini berlaku terutama untuk solusi. Dalam varian USE dalam matematika, jenis tugas ini mencakup, khususnya, tugas C3. Mempelajari cara menyelesaikan tugas-tugas C3 penting tidak hanya untuk keberhasilan ujian, tetapi juga karena keterampilan ini akan berguna ketika mempelajari kursus matematika di pendidikan tinggi.

Melakukan tugas C3, Anda harus menyelesaikan berbagai jenis persamaan dan pertidaksamaan. Diantaranya adalah rasional, irasional, eksponensial, logaritma, trigonometri, modul yang mengandung (nilai absolut), serta yang digabungkan. Artikel ini membahas jenis utama persamaan dan pertidaksamaan eksponensial, serta berbagai metode untuk menyelesaikannya. Baca tentang memecahkan jenis persamaan dan pertidaksamaan lainnya di judul "" dalam artikel yang dikhususkan untuk metode penyelesaian masalah C3 dari varian USE dalam matematika.

Sebelum melanjutkan ke analisis spesifik persamaan eksponensial dan pertidaksamaan, sebagai tutor matematika, saya sarankan Anda memoles beberapa materi teoretis yang kita perlukan.

Fungsi eksponensial

Apa itu fungsi eksponensial?

Lihat fungsi kamu = sebuah x, di mana sebuah> 0 dan sebuah 1, disebut Fungsi eksponensial.

Utama sifat fungsi eksponensial kamu = sebuah x:

Grafik fungsi eksponensial

Grafik fungsi eksponensial adalah eksponen:

Grafik fungsi eksponensial (eksponen)

Solusi persamaan eksponensial

indikatif disebut persamaan di mana variabel yang tidak diketahui hanya ditemukan dalam eksponen pangkat apa pun.

Untuk solusi persamaan eksponensial Anda perlu mengetahui dan dapat menggunakan teorema sederhana berikut:

Teorema 1. persamaan eksponensial sebuah f(x) = sebuah g(x) (di mana sebuah > 0, sebuah 1) setara dengan persamaan f(x) = g(x).

Selain itu, berguna untuk mengingat rumus dasar dan tindakan dengan derajat:

Title="(!LANG:Dirender oleh QuickLaTeX.com">!}

Contoh 1 Selesaikan persamaan:

Larutan: gunakan rumus dan substitusi di atas:

Persamaannya kemudian menjadi:

Diskriminan dari persamaan kuadrat yang dihasilkan adalah positif:

Title="(!LANG:Dirender oleh QuickLaTeX.com">!}

Ini berarti bahwa persamaan ini memiliki dua akar. Kami menemukan mereka:

Kembali ke substitusi, kita mendapatkan:

Persamaan kedua tidak memiliki akar, karena fungsi eksponensial benar-benar positif di seluruh domain definisi. Mari kita selesaikan yang kedua:

Dengan mempertimbangkan apa yang dikatakan dalam Teorema 1, kami meneruskan ke persamaan yang setara: x= 3. Ini akan menjadi jawaban untuk tugas tersebut.

Menjawab: x = 3.

Contoh 2 Selesaikan persamaan:

Larutan: persamaan tidak memiliki batasan pada area nilai yang dapat diterima, karena ekspresi radikal masuk akal untuk nilai apa pun x(Fungsi eksponensial kamu = 9 4 -x positif dan tidak sama dengan nol).

Kami memecahkan persamaan dengan transformasi setara menggunakan aturan perkalian dan pembagian kekuasaan:

Transisi terakhir dilakukan sesuai dengan Teorema 1.

Menjawab:x= 6.

Contoh 3 Selesaikan persamaan:

Larutan: kedua sisi persamaan asli dapat dibagi dengan 0,2 x. Transisi ini akan setara, karena ekspresi ini lebih besar dari nol untuk nilai apa pun x(fungsi eksponensial sangat positif pada domainnya). Maka persamaan tersebut berbentuk:

Menjawab: x = 0.

Contoh 4 Selesaikan persamaan:

Larutan: kami menyederhanakan persamaan menjadi persamaan dasar dengan transformasi setara menggunakan aturan pembagian dan perkalian kekuatan yang diberikan di awal artikel:

Membagi kedua ruas persamaan dengan 4 x, seperti pada contoh sebelumnya, adalah transformasi yang setara, karena ekspresi ini tidak sama dengan nol untuk nilai apa pun x.

Menjawab: x = 0.

Contoh 5 Selesaikan persamaan:

Larutan: fungsi kamu = 3x, berdiri di sisi kiri persamaan, meningkat. Fungsi kamu = —x-2/3, berdiri di sisi kanan persamaan, berkurang. Artinya jika grafik fungsi-fungsi tersebut berpotongan, maka paling banyak di satu titik. Dalam hal ini, mudah untuk menebak bahwa grafik berpotongan di titik x= -1. Tidak akan ada akar lain.

Menjawab: x = -1.

Contoh 6 Selesaikan persamaan:

Larutan: kami menyederhanakan persamaan dengan transformasi yang setara, mengingat di mana-mana bahwa fungsi eksponensial benar-benar lebih besar dari nol untuk nilai apa pun x dan menggunakan aturan untuk menghitung produk dan kekuatan parsial yang diberikan di awal artikel:

Menjawab: x = 2.

Memecahkan pertidaksamaan eksponensial

indikatif disebut ketidaksetaraan di mana variabel yang tidak diketahui hanya terkandung dalam eksponen dari beberapa kekuatan.

Untuk solusi pertidaksamaan eksponensial pengetahuan tentang teorema berikut diperlukan:

Teorema 2. Jika sebuah sebuah> 1, maka pertidaksamaan sebuah f(x) > sebuah g(x) setara dengan pertidaksamaan dengan arti yang sama: f(x) > g(x). Jika 0< sebuah < 1, то показательное неравенство sebuah f(x) > sebuah g(x) setara dengan pertidaksamaan dengan arti yang berlawanan: f(x) < g(x).

Contoh 7 Selesaikan pertidaksamaan:

Larutan: mewakili ketidaksetaraan asli dalam bentuk:

Bagilah kedua ruas pertidaksamaan ini dengan 3 2 x, dan (karena kepositifan fungsi kamu= 3 2x) tanda pertidaksamaan tidak akan berubah:

Mari kita gunakan substitusi:

Maka pertidaksamaan tersebut berbentuk:

Jadi, penyelesaian pertidaksamaan tersebut adalah intervalnya:

melewati substitusi terbalik, kita mendapatkan:

Pertidaksamaan kiri, karena kepositifan fungsi eksponensial, terpenuhi secara otomatis. Menggunakan properti logaritma yang terkenal, kami meneruskan ke ketidaksetaraan yang setara:

Karena basis derajat adalah bilangan yang lebih besar dari satu, ekivalen (menurut Teorema 2) adalah transisi ke pertidaksamaan berikut:

Jadi kita akhirnya mendapatkan menjawab:

Contoh 8 Selesaikan pertidaksamaan:

Larutan: menggunakan sifat perkalian dan pembagian kekuasaan, kita tulis ulang pertidaksamaan dalam bentuk:

Mari kita perkenalkan variabel baru:

Dengan substitusi ini, pertidaksamaan berbentuk:

Kalikan pembilang dan penyebut pecahan dengan 7, kita mendapatkan pertidaksamaan setara berikut:

Jadi, pertidaksamaan dipenuhi oleh nilai-nilai variabel berikut: t:

Kemudian, kembali ke substitusi, kita mendapatkan:

Karena basis derajat di sini lebih besar dari satu, itu setara (menurut Teorema 2) untuk lolos ke ketidaksetaraan:

Akhirnya kita mendapatkan menjawab:

Contoh 9 Selesaikan pertidaksamaan:

Larutan:

Kami membagi kedua sisi pertidaksamaan dengan ekspresi:

Itu selalu lebih besar dari nol (karena fungsi eksponensialnya positif), sehingga tanda pertidaksamaan tidak perlu diubah. Kita mendapatkan:

t , yang berada dalam interval:

Melewati substitusi terbalik, kami menemukan bahwa pertidaksamaan asli terbagi menjadi dua kasus:

Pertidaksamaan pertama tidak memiliki solusi karena kepositifan fungsi eksponensial. Mari kita selesaikan yang kedua:

Contoh 10 Selesaikan pertidaksamaan:

Larutan:

Cabang parabola kamu = 2x+2-x 2 diarahkan ke bawah, oleh karena itu dibatasi dari atas oleh nilai yang dicapai pada puncaknya:

Cabang parabola kamu = x 2 -2x+2, yang ada di indikator, diarahkan ke atas, yang berarti dibatasi dari bawah oleh nilai yang dicapai di atasnya:

Pada saat yang sama, fungsinya ternyata dibatasi dari bawah kamu = 3 x 2 -2x+2 di sisi kanan persamaan. Ini mencapai nilai terkecilnya pada titik yang sama dengan parabola dalam indeks, dan nilai ini sama dengan 3 1 = 3. Jadi, pertidaksamaan asli hanya bisa benar jika fungsi di sebelah kiri dan fungsi di sebelah kanan mengambil nilai , sama dengan 3 (perpotongan rentang fungsi ini hanya angka ini). Kondisi ini terpenuhi pada satu titik x = 1.

Menjawab: x= 1.

Untuk mempelajari cara menyelesaikan persamaan eksponensial dan pertidaksamaan, Anda harus terus-menerus melatih solusi mereka. Berbagai manual metodologi, buku soal matematika dasar, kumpulan soal kompetitif, kelas matematika di sekolah, serta pelajaran individu dengan tutor profesional dapat membantu Anda dalam tugas yang sulit ini. Saya dengan tulus berharap Anda sukses dalam persiapan Anda dan hasil yang cemerlang dalam ujian.

Sergey Valerievich

P.S. Tamu yang terhormat! Tolong jangan menulis permintaan untuk menyelesaikan persamaan Anda di komentar. Sayangnya, saya tidak punya waktu untuk ini sama sekali. Pesan semacam itu akan dihapus. Silakan baca artikelnya. Mungkin di dalamnya Anda akan menemukan jawaban atas pertanyaan yang tidak memungkinkan Anda untuk menyelesaikan tugas Anda sendiri.

Ketimpangan irasional

Pertidaksamaan irasional dipahami sebagai pertidaksamaan di mana jumlah yang tidak diketahui berada di bawah tanda radikal. Penyelesaian pertidaksamaan seperti itu biasanya terdiri dari fakta bahwa, dengan bantuan beberapa transformasi, mereka diganti dengan persamaan rasional yang setara, pertidaksamaan, atau sistem persamaan dan pertidaksamaan (seringkali sistem campuran, yaitu yang mencakup persamaan dan pertidaksamaan) , dan selanjutnya solusinya dapat mengikuti langkah-langkah yang telah diuraikan di atas. Transformasi tersebut selain perubahan variabel (introduksi variabel baru) dan faktorisasi, juga merupakan peninggian kedua bagian pertidaksamaan ke derajat yang sama. Namun, dalam hal ini perlu untuk memantau ekivalensi transisi dari satu pertidaksamaan ke pertidaksamaan lainnya. Dengan eksponensial tanpa berpikir, akar ketidaksetaraan dapat hilang dan diperoleh pada saat yang bersamaan. Misalnya, mengkuadratkan pertidaksamaan yang benar -1<2, мы получим верное неравенство 1<4; из верного неравенства -5<2 получается уже неверное неравенство 25<4;из неверного неравенства 1<-2 получим верное неравенство 1<4; наконец, из неверного неравенства 5<2 получим неверное неравенство 25<4. Вы видите, что возможны все комбинации верных и неверных неравенств!

Namun, pernyataan utama yang digunakan di sini adalah benar: jika kedua sisi pertidaksamaan nonnegatif, maka persamaan tersebut ekuivalen dengan pertidaksamaan yang diperoleh darinya dengan eksponensial termwise.

Ketika memecahkan ketidaksetaraan dengan cara ini, perhatian harus diberikan untuk tidak memperoleh solusi asing. Oleh karena itu, jika memungkinkan, akan berguna untuk menemukan domain definisi pertidaksamaan, serta domain nilai yang mungkin dari solusi.

Pertidaksamaan eksponensial dan logaritma

Penyelesaian pertidaksamaan eksponensial dan logaritma didahului dengan mempelajari sifat-sifat fungsi yang bersesuaian; melakukan banyak tugas pada transformasi ekspresi eksponensial dan logaritmik; solusi persamaan yang mengandung logaritma dan variabel dalam eksponen. Solusi dari pertidaksamaan paling sederhana, yang dianggap

di mana berarti salah satu pertidaksamaan<,>,.

Intinya adalah bahwa topik ini biasanya diperkenalkan sebagai topik yang benar-benar baru, hanya berdasarkan sifat-sifat yang dipelajari sebelumnya dari fungsi-fungsi ini. Adalah bijaksana, menurut pendapat saya, untuk menghubungkannya dengan solusi ketidaksetaraan secara umum (yaitu, dengan algoritma yang sudah dikenal). Perlu dicatat bahwa metode interval tidak dapat digunakan secara langsung. Tetapi solusi dari berbagai pertidaksamaan eksponensial dan logaritmik didasarkan pada aturan berikut:

Jika a>1, maka

Jika 0

Jika a>1, maka

Jika 0

Dimana tanda berarti kebalikan dalam arti tanda.

Dengan menggunakan which, pertidaksamaan eksponensial dan logaritmik biasanya direduksi menjadi pertidaksamaan rasional, yang sudah dapat diselesaikan dengan metode interval yang dijelaskan di atas.

Pertidaksamaan yang mengandung fungsi trigonometri

Topik ini kurang tercakup dalam literatur pendidikan, dan di beberapa buku teks umumnya diambil dari ruang lingkup kursus yang sedang dipelajari (sebagaimana telah disebutkan dalam Bab I karya ini). Dari pertidaksamaan trigonometri, sebagai suatu peraturan, hanya jenis yang paling sederhana yang dipertimbangkan.

Sedangkan tugas-tugas yang disajikan pada bagian praktikum yang berkaitan dengan paragraf ini terdapat pada kumpulan soal-soal persaingan, pada kumpulan pendaftar dan materi ujian masuk fakultas teknik perguruan tinggi. Itu. materi ini tidak termasuk dalam pelajaran wajib di sekolah dasar dan menengah, tetapi bermanfaat.

Metode interval sangat efektif dalam memecahkan pertidaksamaan yang mengandung fungsi trigonometri. Saat memecahkan pertidaksamaan trigonometri murni dengan metode ini, alih-alih sumbu angka, lebih mudah menggunakan lingkaran angka, yang dibagi dengan akar persamaan trigonometri yang sesuai (pembilang dan penyebut) menjadi busur yang memainkan peran yang sama dengan interval pada sumbu bilangan. Pada busur ini, ekspresi trigonometri yang sesuai dengan ketidaksetaraan yang diselesaikan memiliki tanda konstan, yang dapat ditentukan menggunakan aturan titik "nyaman" yang terpisah dan sifat multiplisitas akar. Seringkali, untuk menentukan busur itu sendiri, sama sekali tidak perlu menemukan seluruh himpunan akar (tak hingga) dari persamaan yang sesuai; cukup dari persamaan ini untuk menemukan nilai fungsi trigonometri utama (sinus, kosinus, tangen, kotangen) dan menandai titik-titik pada lingkaran angka yang sesuai dengan nilai-nilai ini.

Anda dapat menggunakan lingkaran bilangan secara langsung untuk menyelesaikan pertidaksamaan trigonometri asli menggunakan metode interval jika semua fungsi yang digunakan untuk menulis pertidaksamaan memiliki periode utama (positif terkecil) atau, di mana m adalah bilangan bulat positif. Jika periode utama dari fungsi-fungsi ini lebih besar dari atau, maka Anda harus terlebih dahulu mengubah variabel, dan kemudian menggunakan lingkaran angka.

Jika pertidaksamaan mengandung fungsi trigonometri dan fungsi lainnya, maka sumbu numerik harus digunakan untuk menyelesaikannya dengan metode interval.

Semua masalah B7 yang saya lihat telah dirumuskan dengan cara yang hampir sama: selesaikan persamaan. Dalam hal ini, persamaan itu sendiri termasuk dalam salah satu dari tiga jenis:

1. logaritma;
2. Demonstratif;
3. Irasional.

Secara umum, panduan lengkap untuk setiap jenis persamaan akan memakan waktu lebih dari selusin halaman, jauh melampaui cakupan ujian. Karena itu, kami hanya akan mempertimbangkan kasus-kasus paling sederhana yang membutuhkan penalaran dan perhitungan yang bersahaja. Pengetahuan ini akan cukup untuk memecahkan masalah B7.

Dalam matematika, istilah "memecahkan persamaan" berarti menemukan himpunan semua akar persamaan yang diberikan, atau membuktikan bahwa himpunan ini kosong. Tetapi hanya angka yang dapat dimasukkan dalam formulir USE - tidak ada set. Oleh karena itu, jika ada lebih dari satu root di tugas B7 (atau, sebaliknya, tidak ada) - ada kesalahan dalam solusi.

Persamaan Logaritma

Persamaan logaritma adalah setiap persamaan yang direduksi menjadi bentuk log sebuah f(x) = k, di mana sebuah > 0, sebuah 1 adalah basis logaritma, f(x) adalah fungsi arbitrer, k adalah beberapa konstan.

Persamaan tersebut diselesaikan dengan memasukkan konstanta k di bawah tanda logaritma: k= log sebuah sebuah k. Basis logaritma baru sama dengan basis aslinya. Kami mendapatkan log persamaan sebuah f(x) = log sebuah sebuah k, yang diselesaikan dengan membuang logaritma.

Perhatikan bahwa, dengan syarat sebuah> 0, jadi f(x) = sebuah k> 0, yaitu logaritma asli ada.

Sebuah tugas. Selesaikan persamaan: log 7 (8 x) = 2.

Larutan. log 7 (8 x) = 2 log 7 (8 x) = log 7 7 2 8 x = 49 ⇔ x = −41.

Sebuah tugas. Selesaikan persamaan: log 0,5 (6 x) = −2.

Larutan. log 0,5 (6 x) = 2 log 0,5 (6 x) = log 0,5 0,5 2 6 x = 4 ⇔ x = 2.

Tapi bagaimana jika persamaan aslinya ternyata lebih rumit dari log standar sebuah f(x) = k? Kemudian kami menguranginya menjadi yang standar, mengumpulkan semua logaritma dalam satu arah, dan angka-angka di arah lainnya.

Jika ada lebih dari satu logaritma dalam persamaan asli, Anda harus mencari luas nilai yang dapat diterima (ODV) dari setiap fungsi yang berdiri di bawah logaritma. Jika tidak, akar tambahan mungkin muncul.

Sebuah tugas. Selesaikan persamaan: log 5 ( x+ 1) + log 5 ( x + 5) = 1.

Karena ada dua logaritma dalam persamaan, kami menemukan ODZ:

1. x + 1 > 0 ⇔ x > −1
2. x + 5 > 0 ⇔ x > −5

Kami mendapatkan bahwa ODZ adalah interval (−1, +∞). Sekarang kita selesaikan persamaannya:

log 5 ( x+ 1) + log 5 ( x+ 5) = 1 log 5 ( x + 1)(x+ 5) = 1 log 5 ( x + 1)(x+ 5) = log 5 5 1 ( x + 1)(x + 5) = 5 ⇔ x 2 + 6x + 5 = 5 ⇔ x (x + 6) = 0 ⇔ x 1 = 0, x 2 = −6.

Tetapi x 2 = -6 tidak memenuhi syarat untuk ODZ. Tetap menjadi akar x 1 = 0.

persamaan eksponensial

Persamaan eksponensial adalah setiap persamaan yang direduksi menjadi bentuk sebuah f(x) = k, di mana sebuah > 0, sebuah 1 - dasar derajat, f(x) adalah fungsi arbitrer, k adalah beberapa konstan.

Definisi ini hampir verbatim mengulangi definisi persamaan logaritmik. Persamaan eksponensial diselesaikan bahkan lebih mudah daripada yang logaritmik, karena di sini tidak diperlukan fungsi f(x) adalah positif.

Untuk mengatasi ini, kami membuat substitusi k = sebuah t, di mana t Secara umum, logaritma ( t= log sebuah k), tetapi dalam GUNAKAN angkanya sebuah dan k akan dipilih sehingga untuk menemukan t akan mudah. Dalam persamaan yang dihasilkan sebuah f(x) = sebuah t basisnya sama, yang berarti eksponennya sama, mis. f(x) = t. Solusi dari persamaan terakhir, sebagai suatu peraturan, tidak menimbulkan masalah.

Sebuah tugas. Selesaikan Persamaan: 7 x − 2 = 49.

Larutan. 7 x − 2 = 49 ⇔ 7 x − 2 = 7 2 ⇔ x − 2 = 2 ⇔ x = 4.

Sebuah tugas. Selesaikan persamaan: 6 16 x = 1/36.

Larutan. 6 16 - x = 1/36 ⇔ 6 16 − x = 6 −2 ⇔ 16 − x = −2 ⇔ x = 18.

Sedikit tentang transformasi persamaan eksponensial. Jika persamaan awal berbeda dari sebuah f(x) = k , kami menerapkan aturan untuk bekerja dengan derajat:

1. sebuah n · sebuah m = sebuah n + m ,
2. sebuah n / sebuah m = sebuah n − m ,
3. (sebuah n) m = sebuah n · m .

Selain itu, Anda perlu mengetahui aturan untuk mengganti akar dan pecahan dengan derajat dengan eksponen rasional:

Persamaan seperti itu sangat jarang ditemukan di USE, tetapi tanpa persamaan tersebut, analisis masalah B7 tidak akan lengkap.

Sebuah tugas. Selesaikan Persamaan: (5/7) x 2 (7/5) 2 x − 1 = 125/343

Perhatikan itu:

1. (7/5) 2x − 1 = ((5/7) −1) 2x − 1 = (5/7) 1 − 2x ,
2. 125/343 = (5 3) /(7 3) = (5/7) 3 .

Kami memiliki: (5/7) x 2 (7/5) 2 x − 1 = 125/343 ⇔ (5/7) x 2 · (5/7) 1 2 x = (5/7) 3 ⇔ (5/7) x − 2 + 1 − 2x = (5/7) 3 ⇔ (5/7) −x − 1 = (5/7) 3 ⇔ −x − 1 = 3 ⇔ x = −4.

Persamaan irasional

Irasional dipahami sebagai persamaan apa pun yang mengandung tanda akar. Dari seluruh variasi persamaan irasional, kami hanya akan mempertimbangkan kasus yang paling sederhana, ketika persamaan memiliki bentuk:

Untuk menyelesaikan persamaan ini, kita kuadratkan kedua sisinya. Kami mendapatkan persamaan f(x) = sebuah 2. Dalam hal ini, persyaratan ODZ terpenuhi secara otomatis: f(x) 0, karena sebuah 2 0. Tetap menyelesaikan persamaan sederhana f(x) = sebuah 2 .

Sebuah tugas. Selesaikan persamaan:

Kami kuadratkan kedua sisi dan dapatkan: 5 x − 6 = 8 2 ⇔ 5x − 6 = 64 ⇔ 5x = 70 ⇔ x = 14.

Sebuah tugas. Selesaikan persamaan:

Pertama, seperti terakhir kali, kita kuadratkan kedua sisinya. Dan kemudian kita akan menambahkan tanda minus pada pembilangnya. Kita punya:

Perhatikan bahwa ketika x= 4 akan ada bilangan positif di bawah akar, mis. persyaratan ODZ telah terpenuhi.