Deret geometri adalah barisan bilangan jenis baru yang harus kita kenal. Untuk seorang kenalan yang sukses, tidak ada salahnya untuk setidaknya mengetahui dan memahami. Maka tidak akan ada masalah dengan deret geometri.)

Apa itu deret geometri? Konsep deret geometri.

Kami memulai tur, seperti biasa, dengan sekolah dasar. Saya menulis urutan angka yang belum selesai:

1, 10, 100, 1000, 10000, …

Bisakah Anda menangkap sebuah pola dan memberi tahu nomor mana yang selanjutnya? Ladanya jelas, angka 100000, 1000000 dan seterusnya akan lebih jauh. Bahkan tanpa banyak tekanan mental, semuanya jelas, kan?)

OKE. Contoh lain. Saya menulis urutan berikut:

1, 2, 4, 8, 16, …

Bisakah Anda memberi tahu nomor mana yang akan pergi selanjutnya, mengikuti nomor 16 dan nama? kedelapan anggota urutan? Jika Anda tahu bahwa itu akan menjadi nomor 128, maka sangat baik. Jadi, setengah pertempuran ada dalam pemahaman arti dan poin kunci deret geometri sudah selesai. Anda dapat tumbuh lebih jauh.)

Dan sekarang kita beralih lagi dari sensasi ke matematika yang ketat.

Momen kunci dari deret geometri.

Momen penting #1

Deret geometri adalah urutan angka. Seperti perkembangan. Tidak ada yang rumit. Hanya mengatur urutan ini berbeda. Makanya, tentu punya nama lain, ya...

Momen penting #2

Dengan poin kunci kedua, pertanyaannya akan lebih rumit. Mari kita kembali sedikit dan mengingat properti kunci dari deret aritmatika. Ini dia: setiap anggota berbeda dari yang sebelumnya dengan jumlah yang sama.

Apakah mungkin untuk merumuskan properti kunci serupa untuk deret geometri? Pikirkan sedikit... Lihatlah contoh yang diberikan. Tebak? Ya! Dalam deret geometri (apa saja!) masing-masing anggotanya berbeda dari yang sebelumnya dalam jumlah yang sama. Selalu!

Pada contoh pertama, angka ini adalah sepuluh. Suku mana pun dari barisan yang Anda ambil, itu lebih besar dari yang sebelumnya sepuluh kali.

Dalam contoh kedua, ini adalah dua: setiap anggota lebih besar dari yang sebelumnya. dua kali.

Di titik kunci inilah deret geometri berbeda dari deret aritmatika. Dalam deret aritmatika, setiap suku berikutnya diperoleh menambahkan bernilai sama dengan suku sebelumnya. Dan di sini - perkalian periode sebelumnya dengan jumlah yang sama. Itulah perbedaannya.)

Momen penting #3

Poin kunci ini benar-benar identik dengan deret aritmatika. Yaitu: setiap anggota deret geometri berada pada tempatnya. Semuanya persis sama seperti dalam perkembangan aritmatika dan komentar, saya pikir, tidak perlu. Ada suku pertama, ada seratus satu, dan seterusnya. Mari kita atur ulang setidaknya dua anggota - polanya (dan dengan itu deret geometris) akan hilang. Yang tersisa hanyalah urutan angka tanpa logika apapun.

Itu saja. Itulah inti dari kemajuan geometris.

Istilah dan sebutan.

Dan sekarang, setelah berurusan dengan makna dan poin-poin penting dari deret geometri, kita dapat beralih ke teori. Kalau tidak, apalah artinya teori tanpa memahami artinya, bukan?

Apa itu deret geometri?

Bagaimana deret geometri ditulis secara umum? Tidak masalah! Setiap anggota progresi juga ditulis sebagai huruf. Untuk deret aritmatika saja, huruf biasanya digunakan "sebuah", untuk geometris - huruf "b". Nomor anggota, seperti biasa, ditunjukkan indeks kanan bawah. Anggota perkembangan itu sendiri hanya terdaftar dipisahkan oleh koma atau titik koma.

Seperti ini:

b1,b 2 , b 3 , b 4 , b 5 , b 6 , …

Secara singkat, perkembangan tersebut ditulis sebagai berikut: (b n) .

Atau seperti ini, untuk progresi berhingga:

b 1 , b 2 , b 3 , b 4 , b 5 , b 6 .

b 1 , b 2 , ..., b 29 , b 30 .

Atau, singkatnya:

(b n), n=30 .

Itu, pada kenyataannya, adalah semua sebutan. Semuanya sama, hanya hurufnya saja yang berbeda ya.) Dan sekarang kita langsung ke definisinya.

Pengertian barisan geometri.

Deret geometri adalah barisan bilangan yang suku pertamanya bukan nol, dan setiap suku berikutnya sama dengan suku sebelumnya dikalikan dengan bilangan bukan nol yang sama.

Seperti itu penjelasan definisi sebenarnya dari kata. Sebagian besar kata dan frasa jelas dan familier bagi Anda. Kecuali, tentu saja, Anda memahami arti deret geometri "pada jari" dan secara umum. Tetapi ada juga beberapa frasa baru yang ingin saya tarik perhatian khusus.

Pertama, kata-kata: "istilah pertama yang berbeda dari nol".

Pembatasan pada istilah pertama ini tidak diperkenalkan secara kebetulan. Menurutmu apa yang akan terjadi jika suku pertama b 1 ternyata nol? Berapakah suku kedua jika setiap suku lebih besar dari suku sebelumnya? sama berapa kali? Katakanlah tiga kali? Mari kita lihat... Kalikan suku pertama (yaitu 0) dengan 3 dan dapatkan... nol! Dan anggota ketiga? Nol juga! Dan suku keempat juga nol! Dan seterusnya…

Kami hanya mendapatkan sekantong bagel urutan nol:

0, 0, 0, 0, …

Tentu saja, urutan seperti itu memiliki hak untuk hidup, tetapi tidak ada kepentingan praktis. Semuanya begitu jelas. Setiap anggotanya adalah nol. Jumlah dari sejumlah anggota juga nol ... Hal menarik apa yang dapat Anda lakukan dengannya? Tidak ada apa-apa…

Kata kunci berikut: "dikalikan dengan angka bukan nol yang sama".

Nomor yang sama ini juga memiliki nama khusus sendiri - penyebut barisan geometri. Mari kita mulai berkencan.)

Penyebut barisan geometri.

Semuanya sederhana.

Penyebut deret geometri adalah bilangan (atau nilai) bukan nol yang menunjukkan berapa kalisetiap anggota perkembangan lebih dari yang sebelumnya.

Sekali lagi, dengan analogi dengan deret aritmatika, kata kunci yang harus diperhatikan dalam definisi ini adalah kata "lagi". Artinya diperoleh setiap suku suatu deret geometri perkalian untuk penyebut ini anggota sebelumnya.

Aku jelaskan.

Untuk menghitung, katakanlah kedua anggota untuk mengambil pertama anggota dan berkembang biak itu ke penyebutnya. Untuk perhitungan kesepuluh anggota untuk mengambil kesembilan anggota dan berkembang biak itu ke penyebutnya.

Penyebut dari deret geometri itu sendiri bisa apa saja. Benar-benar siapa pun! Integer, pecahan, positif, negatif, irasional - semua orang. Kecuali nol. Inilah yang dikatakan kata "bukan nol" dalam definisi kepada kita. Mengapa kata ini diperlukan di sini - lebih lanjut tentang itu nanti.

Penyebut deret geometri biasanya dilambangkan dengan huruf q.

Bagaimana menemukan yang ini? q? Tidak masalah! Kita harus mengambil istilah perkembangan dan bagi dengan suku sebelumnya. Divisi adalah pecahan. Oleh karena itu namanya - "penyebut kemajuan." Penyebutnya, biasanya dalam pecahan, ya ...) Meskipun, secara logis, nilainya q harus dipanggil pribadi deret geometri, mirip dengan perbedaan untuk barisan aritmatika. Tapi setuju untuk menelepon penyebut. Dan kami juga tidak akan menemukan kembali rodanya.)

Mari kita definisikan, misalnya, nilainya q untuk deret geometri ini:

2, 6, 18, 54, …

Semuanya dasar. Kami ambil setiap nomor urut. Apa yang kita inginkan adalah apa yang kita ambil. Kecuali yang paling pertama. Misalnya, 18. Dan bagi dengan nomor sebelumnya. Yaitu pada pukul 6.

Kita mendapatkan:

q = 18/6 = 3

Itu saja. Ini adalah jawaban yang benar. Untuk barisan geometri tertentu, penyebutnya adalah tiga.

Ayo cari penyebutnya q untuk deret geometri lainnya. Misalnya, seperti ini:

1, -2, 4, -8, 16, …

Semua sama. Apa pun tanda yang dimiliki anggota itu sendiri, kami tetap menerima setiap nomor urut (misalnya, 16) dan bagi dengan nomor sebelumnya(yaitu -8).

Kita mendapatkan:

d = 16/(-8) = -2

Dan hanya itu.) Kali ini penyebut dari progresi itu ternyata negatif. Kurang dua. Itu terjadi.)

Mari kita ikuti perkembangan ini:

1, 1/3, 1/9, 1/27, …

Dan lagi, terlepas dari jenis angka dalam urutan (genap bilangan bulat, genap pecahan, genap negatif, genap irasional), kami mengambil angka apa pun (misalnya, 1/9) dan membaginya dengan angka sebelumnya (1/3). Menurut aturan operasi dengan pecahan, tentu saja.

Kita mendapatkan:

Itu saja.) Di sini penyebutnya ternyata pecahan: q = 1/3.

Tapi seperti "kemajuan" seperti Anda?

3, 3, 3, 3, 3, …

Jelas disini q = 1 . Secara formal, ini juga merupakan deret ukur, hanya dengan anggota yang sama.) Tetapi perkembangan seperti itu tidak menarik untuk dipelajari dan diterapkan secara praktis. Sama seperti progresi dengan nol padat. Karena itu, kami tidak akan mempertimbangkan mereka.

Seperti yang Anda lihat, penyebut dari progresi dapat berupa apa saja - bilangan bulat, pecahan, positif, negatif - apa saja! Tidak bisa hanya nol. Tidak menebak mengapa?

Nah, mari kita gunakan beberapa contoh spesifik untuk melihat apa yang terjadi jika kita ambil sebagai penyebut q nol.) Mari kita, misalnya, memiliki b 1 = 2 , sebuah q = 0 . Apa yang akan menjadi istilah kedua?

Kami percaya:

b 2 = b 1 · q= 2 0 = 0

Dan anggota ketiga?

b 3 = b 2 · q= 0 0 = 0

Jenis dan perilaku deret geometri.

Dengan semuanya kurang lebih jelas: jika perbedaan dalam perkembangannya d positif, perkembangannya meningkat. Jika perbedaannya negatif, maka perkembangannya menurun. Hanya ada dua pilihan. Tidak ada yang ketiga.)

Tetapi dengan perilaku perkembangan geometris, semuanya akan jauh lebih menarik dan beragam!)

Segera setelah anggota berperilaku di sini: mereka bertambah dan berkurang, dan tanpa batas mendekati nol, dan bahkan mengubah tanda, secara bergantian bergegas ke "plus" atau ke "minus"! Dan dalam segala keragaman ini seseorang harus bisa memahami dengan baik, ya…

Kami mengerti?) Mari kita mulai dengan kasus yang paling sederhana.

penyebutnya positif ( q >0)

Dengan penyebut positif, pertama-tama anggota barisan geometri dapat masuk ke ditambah tak terhingga(yaitu meningkat tanpa batas) dan dapat masuk ke dikurangi tak terhingga(yaitu menurun tanpa batas). Kami sudah terbiasa dengan perilaku progresi seperti itu.

Sebagai contoh:

(b n): 1, 2, 4, 8, 16, …

Semuanya sederhana di sini. Setiap anggota progresi adalah lebih dari sebelumnya. Dan setiap anggota mendapat perkalian anggota sebelumnya aktif positif nomor +2 (mis. q = 2 ). Perilaku kemajuan seperti itu jelas: semua anggota perkembangan tumbuh tanpa batas, pergi ke luar angkasa. Ditambah tak terhingga...

Sekarang inilah perkembangannya:

(b n): -1, -2, -4, -8, -16, …

Di sini juga, setiap istilah perkembangan diperoleh perkalian anggota sebelumnya aktif positif nomor +2. Tetapi perilaku perkembangan seperti itu sudah berbanding terbalik: setiap anggota kemajuan diperoleh kurang dari sebelumnya, dan semua sukunya berkurang tanpa batas, menjadi minus tak terhingga.

Sekarang mari kita berpikir: apa persamaan dari kedua progresi ini? Itu benar, penyebut! Di sana-sini q = +2 . Nomor positif. Jus. Tetapi perilaku Kedua progresi ini pada dasarnya berbeda! Tidak menebak mengapa? Ya! Semua tentang anggota pertama! Dialah, seperti yang mereka katakan, yang memesan musik.) Lihat sendiri.

Dalam kasus pertama, suku pertama dari perkembangan positif(+1) dan, oleh karena itu, semua suku berikutnya diperoleh dengan mengalikan dengan positif penyebut q = +2 , juga akan positif.

Tetapi dalam kasus kedua, istilah pertama negatif(-satu). Oleh karena itu, semua anggota perkembangan selanjutnya diperoleh dengan mengalikan dengan positif q = +2 , juga akan diperoleh negatif. Untuk "minus" ke "plus" selalu memberikan "minus", ya.)

Seperti yang Anda lihat, tidak seperti deret aritmatika, deret geometri dapat berperilaku dengan cara yang sangat berbeda, tidak hanya tergantung dari penyebutnyaq, tapi juga tergantung dari anggota pertama, Ya.)

Ingat: perilaku deret geometri ditentukan secara unik oleh anggota pertamanya b 1 dan penyebutq .

Dan sekarang kita mulai menganalisis kasus-kasus yang kurang familiar, tetapi jauh lebih menarik!

Ambil, misalnya, urutan berikut:

(b n): 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, …

Barisan ini juga merupakan barisan geometri! Setiap anggota dari perkembangan ini juga diperoleh perkalian suku sebelumnya, dengan bilangan yang sama. Hanya nomornya pecahan: q = +1/2 . Atau +0,5 . Dan (penting!) nomor, yang lebih kecil:q = 1/2<1.

Apa yang menarik dari deret geometri ini? Kemana perginya para anggotanya? Ayo lihat:

1/2 = 0,5;

1/4 = 0,25;

1/8 = 0,125;

1/16 = 0,0625;

…….

Apa yang menarik di sini? Pertama, penurunan anggota progresi langsung mencolok: masing-masing anggotanya lebih sedikit sebelumnya persis 2 kali. Atau, menurut definisi deret geometri, setiap suku lagi sebelumnya 1/2 kali, karena penyebut kemajuan q = 1/2 . Dan dari mengalikan dengan bilangan positif kurang dari satu, hasilnya biasanya berkurang ya…

Apa belum dapat dilihat dalam perilaku perkembangan ini? Apakah anggotanya menghilang? tak terbatas, pergi ke minus tak terhingga? Bukan! Mereka menghilang dengan cara khusus. Pada awalnya mereka berkurang cukup cepat, dan kemudian semakin lama semakin lambat. Dan selama ini tinggal positif. Meskipun sangat, sangat kecil. Dan apa yang mereka perjuangkan? Tidak menebak? Ya! Mereka cenderung nol!) Dan, perhatikan, anggota perkembangan kami tidak pernah mencapai! Hanya sangat dekat dengannya. Ini sangat penting.)

Situasi serupa akan terjadi dalam perkembangan seperti itu:

(b n): -1, -1/2, -1/4, -1/8, -1/16, …

Di Sini b 1 = -1 , sebuah q = 1/2 . Semuanya sama, hanya sekarang para anggota akan mendekati nol dari sisi lain, dari bawah. Tinggal sepanjang waktu negatif.)

Deret geometri seperti itu, yang anggotanya mendekati nol tanpa batas.(tidak masalah, di sisi positif atau negatif), dalam matematika ia memiliki nama khusus - deret geometri menurun tak terhingga. Perkembangan ini sangat menarik dan tidak biasa bahkan akan pelajaran terpisah .)

Jadi, kami telah mempertimbangkan semua kemungkinan positif penyebutnya adalah besar dan kecil. Kami tidak menganggap satu itu sendiri sebagai penyebut karena alasan yang disebutkan di atas (ingat contoh dengan urutan tiga kali lipat ...)

Untuk meringkas:

positifdan lebih dari satu (q>1), maka anggota progresi:

sebuah) meningkat tanpa batas (jikab 1 >0);

b) berkurang tanpa batas (jikab 1 <0).

Jika penyebut suatu barisan geometri positif dan kurang dari satu (0< q<1), то члены прогрессии:

a) sangat dekat dengan nol di atas(jikab 1 >0);

b) sangat dekat dengan nol dari bawah(jikab 1 <0).

Sekarang tinggal mempertimbangkan kasusnya penyebut negatif.

Penyebutnya negatif ( q <0)

Kami tidak akan pergi jauh sebagai contoh. Mengapa, sebenarnya, nenek shaggy?!) Biarkan, misalnya, anggota pertama dari perkembangan menjadi b 1 = 1 , dan ambil penyebutnya q = -2.

Kami mendapatkan urutan berikut:

(b n): 1, -2, 4, -8, 16, …

Dan seterusnya.) Setiap suku kemajuan diperoleh perkalian anggota sebelumnya aktif bilangan negatif-2. Dalam hal ini, semua anggota di tempat ganjil (pertama, ketiga, kelima, dll.) akan menjadi positif, dan di tempat genap (kedua, keempat, dst.) - negatif. Tanda-tanda secara ketat disisipkan. Plus-minus-plus-minus ... Deret geometri semacam itu disebut - tanda naik secara bergantian.

Kemana perginya para anggotanya? Dan tidak kemana-mana.) Ya, dalam nilai absolut (yaitu modulo) persyaratan kemajuan kami meningkat tanpa batas (karenanya disebut "meningkat"). Tetapi pada saat yang sama, setiap anggota progresi secara bergantian melemparkannya ke panas, lalu ke dingin. Entah plus atau minus. Progresi kami berfluktuasi... Apalagi rentang fluktuasi tumbuh dengan cepat di setiap langkah, ya.) Oleh karena itu, aspirasi anggota progresi untuk pergi ke suatu tempat secara khusus di sini tidak. Baik untuk ditambah tak terhingga, atau dikurangi tak terhingga, atau nol - tidak ada tempat.

Pertimbangkan sekarang beberapa penyebut pecahan antara nol dan minus satu.

Misalnya, biarlah b 1 = 1 , sebuah q = -1/2.

Kemudian kita dapatkan progresnya:

(b n): 1, -1/2, 1/4, -1/8, 1/16, …

Dan sekali lagi kita memiliki pergantian tanda! Namun, tidak seperti contoh sebelumnya, di sini sudah ada kecenderungan yang jelas untuk suku-suku mendekati nol.) Hanya saja kali ini suku-suku kita mendekati nol tidak sepenuhnya dari atas atau bawah, tetapi sekali lagi ragu-ragu. Secara bergantian mengambil nilai positif atau negatif. Tetapi pada saat yang sama mereka modul semakin dekat dan dekat dengan nol yang dihargai.)

Deret geometri ini disebut tanda bolak-balik menurun tak terbatas.

Mengapa dua contoh ini menarik? Dan fakta bahwa dalam kedua kasus itu terjadi karakter bergantian! Chip seperti itu hanya khas untuk denominasi dengan penyebut negatif, ya.) Oleh karena itu, jika dalam beberapa tugas Anda melihat deret geometri dengan anggota bergantian, maka Anda akan mengetahui dengan pasti bahwa penyebutnya 100% negatif dan Anda tidak akan salah dalam tanda.)

Omong-omong, dalam kasus penyebut negatif, tanda suku pertama sama sekali tidak memengaruhi perilaku perkembangan itu sendiri. Apa pun tanda anggota pertama dari kemajuan itu, bagaimanapun, tanda pergantian anggota akan diamati. Seluruh pertanyaan hanya di tempat apa(genap atau ganjil) akan ada anggota dengan tanda-tanda tertentu.

Ingat:

Jika penyebut suatu barisan geometri negatif , maka tanda-tanda dari segi perkembangan selalu bergantian.

Pada saat yang sama, para anggota itu sendiri:

a) meningkat tanpa batasmodulo, jikaq<-1;

b) mendekati nol tak terhingga jika -1< q<0 (прогрессия бесконечно убывающая).

Itu saja. Semua kasus tipikal dianalisis.)

Dalam proses menguraikan berbagai contoh deret geometri, saya secara berkala menggunakan kata-kata: "cenderung nol", "cenderung ditambah tak terhingga", cenderung minus tak terhingga... Tidak apa-apa.) Pembicaraan ini (dan contoh spesifik) hanyalah perkenalan awal dengan perilaku berbagai urutan nomor. Contoh deret geometri.

Mengapa kita bahkan perlu mengetahui perilaku perkembangan? Apa bedanya ke mana dia pergi? Ke nol, ke plus infinity, ke minus infinity ... Apa yang kita pedulikan tentang ini?

Masalahnya adalah bahwa sudah di universitas, dalam kursus matematika yang lebih tinggi, Anda akan memerlukan kemampuan untuk bekerja dengan berbagai urutan numerik (dengan apa pun, bukan hanya progresi!) Dan kemampuan untuk membayangkan dengan tepat bagaimana urutan ini atau itu berperilaku - apakah itu meningkat tidak terbatas, apakah itu berkurang, apakah itu cenderung ke angka tertentu (dan tidak harus nol), atau bahkan tidak cenderung ke apa pun ... Seluruh bagian dikhususkan untuk topik ini selama analisis matematika - teori batas. Sedikit lebih spesifik, konsepnya batas urutan nomor. Topik yang sangat menarik! Masuk akal untuk pergi ke perguruan tinggi dan mencari tahu.)

Beberapa contoh dari bagian ini (urutan yang memiliki batas) dan khususnya, deret geometri yang semakin menurun mulai belajar di sekolah. Membiasakan.)

Selain itu, kemampuan untuk mempelajari perilaku urutan dengan baik di masa depan akan sangat berperan dan akan sangat berguna dalam penelitian fungsi. Paling bervariasi. Tetapi kemampuan untuk bekerja secara kompeten dengan fungsi (menghitung turunan, menjelajahinya secara penuh, membuat grafiknya) sudah secara dramatis meningkatkan level matematika Anda! Ragu? Tidak dibutuhkan. Juga ingat kata-kata saya.)

Mari kita lihat perkembangan geometris dalam kehidupan?

Dalam kehidupan di sekitar kita, kita sangat sering menghadapi perkembangan eksponensial. Tanpa menyadarinya.)

Misalnya, berbagai mikroorganisme yang mengelilingi kita di mana-mana dalam jumlah besar dan yang bahkan tidak dapat kita lihat tanpa mikroskop berkembang biak dengan tepat dalam deret geometri.

Katakanlah satu bakteri berkembang biak dengan membagi dua, memberikan keturunan dalam 2 bakteri. Pada gilirannya, masing-masing dari mereka, mengalikan, juga membelah menjadi dua, memberikan keturunan yang sama dari 4 bakteri. Generasi berikutnya akan memberikan 8 bakteri, kemudian 16 bakteri, 32, 64 dan seterusnya. Dengan setiap generasi berturut-turut, jumlah bakteri berlipat ganda. Contoh khas dari deret geometri.)

Juga, beberapa serangga - kutu daun, lalat - berkembang biak secara eksponensial. Dan terkadang kelinci juga.)

Contoh lain dari deret geometri, yang lebih dekat dengan kehidupan sehari-hari, adalah apa yang disebut bunga majemuk. Fenomena menarik seperti ini sering dijumpai pada deposito bank dan disebut kapitalisasi bunga. Apa itu?

Anda sendiri masih, tentu saja, muda. Anda belajar di sekolah, Anda tidak mendaftar ke bank. Tetapi orang tua Anda adalah orang dewasa dan orang yang mandiri. Mereka pergi bekerja, mencari uang untuk makanan sehari-hari, dan menyimpan sebagian uangnya di bank, menabung.)

Katakanlah ayahmu ingin menabung sejumlah uang untuk liburan keluarga di Turki dan menaruh 50.000 rubel di bank dengan bunga 10% per tahun untuk jangka waktu tiga tahun dengan kapitalisasi bunga tahunan. Selain itu, tidak ada yang dapat dilakukan dengan setoran selama periode ini. Anda tidak dapat mengisi kembali deposit atau menarik uang dari akun. Berapa keuntungan yang akan diperolehnya dalam tiga tahun ini?

Nah, pertama-tama, Anda perlu mencari tahu berapa 10% per tahun. Ini berarti bahwa dalam setahun 10% akan ditambahkan ke jumlah setoran awal oleh bank. Dari apa? Tentu saja, dari jumlah setoran awal.

Hitung jumlah akun dalam setahun. Jika jumlah setoran awal adalah 50.000 rubel (yaitu 100%), maka dalam setahun berapa banyak bunga yang akan ada di akun? Itu benar, 110%! Dari 50.000 rubel.

Jadi kami mempertimbangkan 110% dari 50.000 rubel:

50.000 1,1 \u003d 55.000 rubel.

Saya harap Anda mengerti bahwa menemukan 110% dari nilai berarti mengalikan nilai ini dengan angka 1.1? Jika Anda tidak mengerti mengapa demikian, ingatlah kelas lima dan enam. Yaitu - hubungan persentase dengan pecahan dan bagian.)

Dengan demikian, peningkatan untuk tahun pertama akan menjadi 5.000 rubel.

Berapa banyak uang yang akan ada di rekening setelah dua tahun? 60.000 rubel? Sayangnya (atau lebih tepatnya, untungnya), tidak sesederhana itu. Seluruh trik kapitalisasi bunga adalah bahwa dengan setiap akrual bunga baru, bunga yang sama ini sudah akan dipertimbangkan dari jumlah baru! Dari orang yang sudah ada di akun Saat ini. Dan bunga yang diperoleh untuk periode sebelumnya ditambahkan ke jumlah awal setoran dan, dengan demikian, mereka sendiri berpartisipasi dalam perhitungan bunga baru! Artinya, mereka menjadi bagian penuh dari total akun. atau umum modal. Maka nama - kapitalisasi bunga.

Itu dalam ekonomi. Dan dalam matematika, persentase seperti itu disebut bunga majemuk. Atau persen dari persen.) Trik mereka adalah bahwa dalam perhitungan berurutan, persentase dihitung setiap kali dari nilai baru. Bukan dari aslinya...

Oleh karena itu, untuk menghitung jumlah melalui dua tahun, kita perlu menghitung 110% dari jumlah yang akan ada di akun dalam setahun. Artinya, sudah dari 55.000 rubel.

Kami mempertimbangkan 110% dari 55.000 rubel:

55000 1,1 \u003d 60500 rubel.

Ini berarti bahwa persentase peningkatan untuk tahun kedua sudah menjadi 5.500 rubel, dan selama dua tahun - 10.500 rubel.

Sekarang Anda sudah dapat menebak bahwa dalam tiga tahun jumlah dalam akun akan menjadi 110% dari 60.500 rubel. Itu lagi 110% dari sebelumnya (tahun lalu) jumlah.

Di sini kami mempertimbangkan:

60500 1,1 \u003d 66550 rubel.

Dan sekarang kami membangun jumlah moneter kami berdasarkan tahun secara berurutan:

50000;

55000 = 50000 1,1;

60500 = 55000 1,1 = (50000 1,1) 1,1;

66550 = 60500 1.1 = ((50000 1.1) 1.1) 1.1

Jadi gimana? Mengapa bukan deret geometri? Anggota pertama b 1 = 50000 , dan penyebutnya q = 1,1 . Setiap istilah secara ketat 1,1 kali lebih besar dari yang sebelumnya. Semuanya sangat sesuai dengan definisi.)

Dan berapa banyak bonus persentase tambahan yang akan ayahmu "masukkan" sementara 50.000 rubelnya ada di rekening bank selama tiga tahun?

Kami percaya:

66550 - 50000 = 16550 rubel

Ini buruk, tentu saja. Tapi ini jika jumlah awal kontribusi kecil. Bagaimana jika ada lagi? Katakanlah, bukan 50, tetapi 200 ribu rubel? Maka kenaikannya selama tiga tahun sudah menjadi 66.200 rubel (jika Anda hitung). Mana yang sudah sangat bagus.) Dan jika kontribusinya lebih besar lagi? Itulah apa itu...

Kesimpulan: semakin tinggi kontribusi awal, semakin menguntungkan kapitalisasi bunga. Itu sebabnya simpanan dengan kapitalisasi bunga disediakan oleh bank untuk jangka waktu yang lama. Katakanlah lima tahun.

Juga, segala macam penyakit buruk seperti influenza, campak, dan bahkan penyakit yang lebih mengerikan (SARS yang sama di awal 2000-an atau wabah di Abad Pertengahan) suka menyebar secara eksponensial. Oleh karena itu skala epidemi, ya ...) Dan semua karena fakta bahwa deret geometri dengan seluruh penyebut positif (q>1) - sesuatu yang tumbuh sangat cepat! Ingat reproduksi bakteri: dari satu bakteri diperoleh dua, dari dua - empat, dari empat - delapan, dan seterusnya ... Dengan penyebaran infeksi apa pun, semuanya sama.)

Masalah paling sederhana dalam deret geometri.

Mari kita mulai, seperti biasa, dengan masalah sederhana. Murni untuk memahami artinya.

1. Diketahui suku kedua dari barisan geometri adalah 6, dan penyebutnya adalah -0,5. Tentukan suku pertama, ketiga dan keempat.

Jadi kita diberikan tak berujung deret geometri, dikenal anggota kedua perkembangan ini:

b2 = 6

Selain itu, kita juga tahu penyebut kemajuan:

q = -0,5

Dan Anda perlu menemukan pertama, ketiga dan keempat anggota kemajuan ini.

Di sini kita bertindak. Kami menuliskan urutannya sesuai dengan kondisi masalah. Secara langsung secara umum, di mana anggota kedua adalah enam:

b1,6,b 3 , b 4 , …

Sekarang mari kita mulai mencari. Kami mulai, seperti biasa, dengan yang paling sederhana. Anda dapat menghitung, misalnya, suku ketiga b 3? Bisa! Kita sudah tahu (secara langsung dalam arti deret geometri) bahwa suku ketiga (b 3) lebih dari satu detik (b 2 ) di "q" satu kali!

Jadi kami menulis:

b3 =b 2 · q

Kami mengganti enam dalam ekspresi ini alih-alih b 2 dan -0,5 sebagai gantinya q dan kami berpikir. Dan minusnya juga tidak di abaikan tentunya...

b 3 \u003d 6 (-0,5) \u003d -3

Seperti ini. Istilah ketiga ternyata negatif. Tidak heran: penyebut kami q- negatif. Dan ditambah dikalikan dengan minus, tentu saja akan menjadi minus.)

Kami sekarang mempertimbangkan berikutnya, istilah keempat dari perkembangan:

b 4 =b 3 · q

b 4 \u003d -3 (-0,5) \u003d 1,5

Istilah keempat lagi dengan plus. Suku kelima akan kembali dengan minus, keenam dengan plus, dan seterusnya. Tanda - alternatif!

Jadi, anggota ketiga dan keempat ditemukan. Hasilnya adalah urutan berikut:

b1; 6; -3; 1.5; …

Sekarang tinggal mencari suku pertama b 1 menurut detik terkenal. Untuk melakukan ini, kita melangkah ke arah lain, ke kiri. Ini berarti bahwa dalam kasus ini, kita tidak perlu mengalikan suku kedua dari deret dengan penyebut, tetapi Bagikan.

Kami membagi dan mendapatkan:

Itu saja.) Jawaban untuk masalah ini adalah sebagai berikut:

-12; 6; -3; 1,5; …

Seperti yang Anda lihat, prinsip penyelesaiannya sama seperti di . Kita tahu setiap anggota dan penyebut deret geometri - kita dapat menemukan istilah lain. Apa pun yang kita inginkan, kita akan menemukannya.) Satu-satunya perbedaan adalah bahwa penambahan / pengurangan diganti dengan perkalian / pembagian.

Ingat: jika kita mengetahui setidaknya satu anggota dan penyebut dari deret geometri, maka kita selalu dapat menemukan anggota lain dari deret ini.

Tugas berikut, menurut tradisi, berasal dari versi OGE yang sebenarnya:

2.

…; 150; X; 6; 1.2; …

Jadi gimana? Kali ini tidak ada suku pertama, tidak ada penyebut q, hanya urutan angka yang diberikan ... Sesuatu yang akrab sudah, kan? Ya! Masalah serupa telah ditangani dalam deret aritmatika!

Di sini kita tidak takut. Semua sama. Putar kepala Anda dan ingat arti dasar dari deret geometri. Kami melihat dengan cermat urutan kami dan mencari tahu parameter deret geometris mana dari tiga yang utama (anggota pertama, penyebut, nomor anggota) yang tersembunyi di dalamnya.

Nomor anggota? Tidak ada nomor anggota ya... Tapi ada empat berturut-turut angka. Apa arti kata ini, saya tidak melihat gunanya menjelaskan pada tahap ini.) Apakah ada dua nomor tetangga yang diketahui? Ada! Ini adalah 6 dan 1.2. Jadi kita bisa menemukan penyebut kemajuan. Jadi kita ambil angka 1.2 dan bagi ke nomor sebelumnya. Untuk enam.

Kita mendapatkan:

Kita mendapatkan:

x= 150 0,2 = 30

Menjawab: x = 30 .

Seperti yang Anda lihat, semuanya cukup sederhana. Kesulitan utama hanya terletak pada perhitungan. Ini sangat sulit dalam kasus penyebut negatif dan pecahan. Jadi mereka yang memiliki masalah, ulangi aritmatika! Bagaimana bekerja dengan pecahan, bagaimana bekerja dengan angka negatif, dan sebagainya... Jika tidak, Anda akan melambat tanpa ampun di sini.

Sekarang mari kita ubah sedikit masalahnya. Sekarang ini akan menjadi menarik! Mari kita hapus angka terakhir 1.2 di dalamnya. Mari selesaikan masalah ini sekarang:

3. Beberapa suku berurutan dari suatu barisan geometri dituliskan:

…; 150; X; 6; …

Tentukan suku dari progresi yang dilambangkan dengan huruf x.

Semuanya sama, hanya dua tetangga terkenal kami tidak lagi memiliki anggota perkembangan. Ini adalah masalah utama. Karena besarnya q melalui dua suku bertetangga, kita sudah dapat dengan mudah menentukan kita tidak bisa. Apakah kita punya kesempatan untuk menjawab tantangan itu? Tentu saja!

Mari kita tulis istilah yang tidak diketahui " x"Langsung dalam arti deret geometris! Secara umum.

Ya ya! Langsung dengan penyebut yang tidak diketahui!

Di satu sisi, untuk x kita dapat menulis rasio berikut:

x= 150q

Di sisi lain, kami memiliki hak untuk melukis X yang sama melalui Berikutnya anggota, melalui enam! Bagilah enam dengan penyebutnya.

Seperti ini:

x = 6/ q

Jelas, sekarang kita bisa menyamakan kedua rasio ini. Karena kami mengekspresikan sama nilai (x), tetapi dua cara yang berbeda.

Kami mendapatkan persamaan:

Mengalikan semuanya dengan q, menyederhanakan, mengurangi, kita mendapatkan persamaan:

q 2 \u003d 1/25

Kami memecahkan dan mendapatkan:

q = ±1/5 = ±0,2

Ups! Penyebutnya dua kali lipat! +0,2 dan -0,2. Dan yang mana yang harus dipilih? Jalan buntu?

Tenang! Ya, masalahnya benar-benar ada dua solusi! Tidak ada yang salah dengan itu. Itu terjadi.) Anda tidak terkejut ketika, misalnya, Anda mendapatkan dua akar dengan menyelesaikan yang biasa? Ini cerita yang sama di sini.)

Untuk q = +0.2 kita akan mendapatkan:

X \u003d 150 0,2 \u003d 30

Dan untuk q = -0,2 akan:

X = 150 (-0,2) = -30

Kami mendapatkan jawaban ganda: x = 30; x = -30.

Apa maksud dari fakta menarik ini? Dan apa yang ada dua kemajuan, memuaskan kondisi masalah!

Seperti yang ini:

…; 150; 30; 6; …

…; 150; -30; 6; …

Keduanya cocok.) Menurut Anda apa alasan bifurkasi jawaban? Hanya karena penghapusan anggota tertentu dari perkembangan (1,2), datang setelah enam. Dan hanya mengetahui anggota ke-n-1) dan berikutnya (n+1)-th dari barisan geometri, kita tidak bisa lagi dengan tegas mengatakan apa pun tentang anggota ke-n yang berdiri di antara mereka. Ada dua opsi - plus dan minus.

Tapi itu tidak masalah. Sebagai aturan, dalam tugas untuk deret geometri ada informasi tambahan yang memberikan jawaban yang tidak ambigu. Mari kita ucapkan kata-kata: "perkembangan tanda-bergantian" atau "kemajuan dengan penyebut positif" dan seterusnya... Kata-kata inilah yang seharusnya menjadi petunjuk, tanda mana, plus atau minus, yang harus dipilih saat membuat jawaban akhir. Jika tidak ada informasi seperti itu, maka - ya, tugas akan ada dua solusi.)

Dan sekarang kita putuskan sendiri.

4. Tentukan apakah bilangan 20 merupakan anggota barisan geometri:

4 ; 6; 9; …

5. Deret geometri bolak-balik diberikan:

…; 5; x ; 45; …

Tentukan suku kemajuan yang ditunjukkan oleh huruf x .

6. Tentukan suku positif keempat dari deret geometri:

625; -250; 100; …

7. Suku kedua barisan geometri adalah -360, dan suku kelimanya adalah 23,04. Temukan suku pertama dari perkembangan ini.

Jawaban (berantakan): -15; 900; Tidak; 2.56.

Selamat jika semuanya berhasil!

Ada yang tidak cocok? Apakah ada jawaban ganda di suatu tempat? Kami membaca ketentuan tugas dengan cermat!

Teka-teki terakhir tidak berfungsi? Tidak ada yang rumit di sana.) Kami bekerja secara langsung sesuai dengan arti deret geometri. Nah, Anda bisa menggambar. Itu membantu.)

Seperti yang Anda lihat, semuanya dasar. Jika perkembangannya pendek. Bagaimana jika panjang? Atau jumlah member yang diinginkan sangat banyak? Saya ingin, dengan analogi dengan perkembangan aritmatika, entah bagaimana mendapatkan formula nyaman yang membuatnya mudah ditemukan setiap anggota deret geometri apa pun oleh nomornya. Tanpa mengalikan banyak, berkali-kali dengan q. Dan ada formula seperti itu!) Detail - di pelajaran selanjutnya.

URUTAN NUMERIK VI

l48. Jumlah dari deret geometri yang semakin menurun

Sampai sekarang, berbicara tentang jumlah, kami selalu berasumsi bahwa jumlah istilah dalam jumlah ini terbatas (misalnya, 2, 15, 1000, dll.). Tetapi ketika memecahkan beberapa masalah (terutama matematika yang lebih tinggi), kita harus berurusan dengan jumlah dari sejumlah istilah yang tak terbatas

S = sebuah 1 + sebuah 2 + ... + sebuah n + ... . (1)

Berapa jumlah ini? Menurut definisi jumlah dari sejumlah istilah yang tak terbatas sebuah 1 , sebuah 2 , ..., sebuah n , ... disebut limit jumlah S n pertama P angka kapan P -> ∞ :

S=S n = (sebuah 1 + sebuah 2 + ... + sebuah n ). (2)

Batas (2), tentu saja, mungkin ada atau tidak ada. Dengan demikian, jumlah (1) dikatakan ada atau tidak ada.

Bagaimana cara mengetahui apakah jumlah (1) ada dalam setiap kasus tertentu? Solusi umum untuk pertanyaan ini jauh melampaui cakupan program kami. Namun, ada satu kasus khusus penting yang harus kita pertimbangkan sekarang. Kita akan berbicara tentang penjumlahan suku-suku suatu barisan geometri yang menurun tak hingga.

Membiarkan sebuah 1 , sebuah 1 q , sebuah 1 q 2 , ... adalah deret geometri menurun tak terhingga. Ini berarti | q |< 1. Сумма первых P anggota perkembangan ini sama dengan

Dari teorema dasar tentang batas-batas variabel (lihat 136) kita peroleh:

Tapi 1 = 1, a q n = 0. Oleh karena itu

Jadi, jumlah dari barisan geometri yang menurun tak terhingga sama dengan suku pertama dari kemajuan ini dibagi dengan satu dikurangi penyebut dari barisan ini.

1) Jumlah barisan geometri 1, 1/3, 1/9, 1/27, ... adalah

dan jumlah suatu barisan geometri adalah 12; -6; 3; - 3 / 2 , ... sama dengan

2) Pecahan periodik sederhana 0,454545 ... berubah menjadi pecahan biasa.

Untuk memecahkan masalah ini, kami menyatakan pecahan ini sebagai jumlah tak terhingga:

Ruas kanan persamaan ini adalah jumlah dari barisan geometri yang menurun tak hingga, suku pertamanya adalah 45/100, dan penyebutnya adalah 1/100. Itu sebabnya

Dengan cara yang dijelaskan, aturan umum untuk mengubah pecahan periodik sederhana menjadi pecahan biasa juga dapat diperoleh (lihat Bab II, 38):

Untuk mengubah pecahan periodik sederhana menjadi pecahan biasa, Anda perlu melanjutkan sebagai berikut: masukkan periode pecahan desimal ke pembilang, dan penyebut - angka yang terdiri dari sembilan diambil sebanyak angka dalam periode dari pecahan desimal.

3) Pecahan periodik campuran 0,58333 .... berubah menjadi pecahan biasa.

Mari kita nyatakan pecahan ini sebagai jumlah tak terbatas:

Di ruas kanan persamaan ini, semua suku, mulai dari 3/1000, membentuk barisan geometri yang menurun tak hingga, suku pertamanya adalah 3/1000, dan penyebutnya 1/10. Itu sebabnya

Dengan cara yang dijelaskan, aturan umum untuk konversi pecahan periodik campuran menjadi pecahan biasa juga dapat diperoleh (lihat Bab II, 38). Kami sengaja tidak mencantumkannya di sini. Tidak perlu menghafal aturan yang rumit ini. Jauh lebih berguna untuk mengetahui bahwa setiap pecahan periodik campuran dapat direpresentasikan sebagai jumlah dari deret geometri yang menurun tak terhingga dan suatu bilangan. Dan rumusnya

untuk jumlah deret geometri yang menurun tak terhingga, tentu saja kita harus ingat.

Sebagai latihan, kami mengundang Anda, selain soal No. 995-1000 di bawah ini, untuk sekali lagi beralih ke soal No. 301 38.

Latihan

995. Apa yang disebut jumlah deret geometri yang menurun tak berhingga?

996. Temukan jumlah deret geometri yang menurun tak terhingga:

997. Untuk nilai apa? X kemajuan

berkurang tak terhingga? Temukan jumlah dari perkembangan seperti itu.

998. Dalam segitiga sama sisi dengan sisi sebuah segitiga baru ditulis dengan menghubungkan titik tengah sisi-sisinya; sebuah segitiga baru dituliskan dalam segitiga ini dengan cara yang sama, dan seterusnya tanpa batas.

a) jumlah keliling semua segitiga ini;

b) jumlah luasnya.

999. Dalam bujur sangkar dengan sisi sebuah sebuah bujur sangkar baru ditorehkan dengan menghubungkan titik tengah sisi-sisinya; sebuah bujur sangkar tertulis di bujur sangkar ini dengan cara yang sama, dan seterusnya ad infinitum. Tentukan jumlah keliling semua persegi tersebut dan jumlah luasnya.

1000. Buat barisan geometri yang menurun tak hingga, sehingga jumlahnya sama dengan 25 / 4, dan jumlah kuadrat dari suku-sukunya sama dengan 625 / 24.

Sebagai contoh, urutan \(3\); \(6\); \(12\); \(24\); \(48\)… adalah deret geometri, karena setiap elemen berikutnya berbeda dari yang sebelumnya dengan faktor dua (dengan kata lain, itu dapat diperoleh dari yang sebelumnya dengan mengalikannya dengan dua):

Seperti urutan apa pun, deret geometri dilambangkan dengan huruf Latin kecil. Bilangan yang membentuk deret disebut anggota(atau elemen). Mereka dilambangkan dengan huruf yang sama dengan deret geometri, tetapi dengan indeks numerik yang sama dengan nomor elemen secara berurutan.

Sebagai contoh, barisan geometri \(b_n = \(3; 6; 12; 24; 48…\)\) terdiri dari elemen \(b_1=3\); \(b_2=6\); \(b_3=12\) dan seterusnya. Dengan kata lain:

Jika Anda memahami informasi di atas, Anda sudah dapat menyelesaikan sebagian besar masalah tentang topik ini.

Contoh (OGE):
Larutan:

Menjawab : \(-686\).

Contoh (OGE): Diberikan tiga suku pertama dari progresi \(324\); \(-108\); \(36\)…. Temukan \(b_5\).
Larutan:

	Untuk melanjutkan barisan, kita perlu mengetahui penyebutnya. Mari kita cari dari dua elemen tetangga: apa yang harus \(324\) dikalikan untuk mendapatkan \(-108\)?
\(324 q=-108\)	Dari sini kita dapat dengan mudah menghitung penyebutnya.
\(q=-\) \(\frac(108)(324)\) \(=-\) \(\frac(1)(3)\)	Sekarang kita dapat dengan mudah menemukan elemen yang kita butuhkan.
	Jawaban siap.

Menjawab : \(4\).

Contoh: Kemajuan diberikan oleh kondisi \(b_n=0.8 5^n\). Nomor mana yang merupakan anggota dari perkembangan ini:

a) \(-5\) b) \(100\) c) \(25\) d) \(0.8\) ?

Larutan: Dari kata-kata tugas, jelas bahwa salah satu dari angka-angka ini pasti dalam perkembangan kami. Oleh karena itu, kita cukup menghitung anggotanya satu per satu sampai kita menemukan nilai yang kita butuhkan. Karena perkembangan kami diberikan oleh rumus , kami menghitung nilai elemen dengan mengganti \(n\):
\(n=1\); \(b_1=0.8 5^1=0.8 5=4\) – tidak ada nomor seperti itu dalam daftar. Kita lanjutkan.
\(n=2\); \(b_2=0,8 5^2=0,8 25=20\) - dan ini juga tidak ada.
\(n=3\); \(b_3=0.8 5^3=0.8 125=100\) – dan inilah juara kami!

Menjawab: \(100\).

Contoh (OGE): Beberapa anggota barisan geometri yang berurutan ...\(8\) diberikan; \(x\); \(lima puluh\); \(-125\)…. Tentukan nilai elemen yang dilambangkan dengan huruf \(x\).

Larutan:

Menjawab: \(-20\).

Contoh (OGE): Kemajuan diberikan oleh kondisi \(b_1=7\), \(b_(n+1)=2b_n\). Temukan jumlah suku \(4\) pertama dari deret ini.

Larutan:

Menjawab: \(105\).

Contoh (OGE): Diketahui bahwa secara eksponensial \(b_6=-11\),\(b_9=704\). Carilah penyebutnya \(q\).

Larutan:

	Dapat dilihat dari diagram di sebelah kiri bahwa untuk "mendapatkan" dari \ (b_6 \) ke \ (b_9 \) - kami mengambil tiga "langkah", yaitu, kami mengalikan \ (b_6 \) tiga kali dengan penyebut dari kemajuan. Dengan kata lain, \(b_9=b_6 q q q=b_6 q^3\).
\(b_9=b_6 q^3\)	Substitusikan nilai-nilai yang kita ketahui.
\(704=(-11)q^3\)	“Balikkan” persamaan dan bagi dengan \((-11)\).
\(q^3=\) \(\frac(704)(-11)\) \(\:\:\: \:\:\: \)\(q^3=-\) \(64 \)	Berapa angka pangkat tiga yang diberikan \(-64\)? Tentu saja, \(-4\)!
	Jawaban ditemukan. Itu dapat diperiksa dengan mengembalikan rantai angka dari \(-11\) ke \(704\).
	Semua setuju - jawabannya benar.

Menjawab: \(-4\).

Rumus yang paling penting

Seperti yang Anda lihat, sebagian besar masalah perkembangan geometris dapat diselesaikan dengan logika murni, hanya dengan memahami esensi (ini umumnya karakteristik matematika). Namun terkadang pengetahuan tentang formula dan pola tertentu mempercepat dan sangat memudahkan penyelesaiannya. Kami akan mempelajari dua formula tersebut.

Rumus untuk anggota ke \(n\) adalah: \(b_n=b_1 q^(n-1)\), di mana \(b_1\) adalah anggota pertama dari perkembangan; \(n\) – jumlah elemen yang dibutuhkan; \(q\) adalah penyebut dari deret; \(b_n\) adalah anggota perkembangan dengan nomor \(n\).

Dengan menggunakan rumus ini, Anda dapat, misalnya, menyelesaikan masalah dari contoh pertama hanya dalam satu langkah.

Contoh (OGE): Deret geometri diberikan oleh kondisi \(b_1=-2\); \(q=7\). Temukan \(b_4\).
Larutan:

Menjawab: \(-686\).

Contoh ini sederhana, jadi rumusnya tidak terlalu memudahkan kita dalam menghitung. Mari kita lihat masalahnya sedikit lebih rumit.

Contoh: Deret geometri diberikan oleh kondisi \(b_1=20480\); \(q=\frac(1)(2)\). Temukan \(b_(12)\).
Larutan:

Menjawab: \(10\).

Tentu saja, menaikkan \(\frac(1)(2)\) ke pangkat \(11\)tidak terlalu menyenangkan, tetapi masih lebih mudah daripada \(11\) membagi \(20480\) menjadi dua.

Jumlah \(n\) suku pertama: \(S_n=\)\(\frac(b_1 (q^n-1))(q-1)\) , di mana \(b_1\) adalah suku pertama dari kemajuan; \(n\) – jumlah elemen yang dijumlahkan; \(q\) adalah penyebut dari deret; \(S_n\) adalah jumlah \(n\) dari anggota pertama perkembangan.

Contoh (OGE): Diketahui barisan geometri \(b_n\), yang penyebutnya adalah \(5\), dan suku pertamanya \(b_1=\frac(2)(5)\). Tentukan jumlah enam suku pertama dari deret ini.
Larutan:

Menjawab: \(1562,4\).

Dan sekali lagi, kita bisa memecahkan masalah "di dahi" - temukan keenam elemen secara bergantian, lalu tambahkan hasilnya. Namun, jumlah perhitungan, dan karenanya kemungkinan kesalahan acak, akan meningkat secara dramatis.

Untuk deret geometri, ada beberapa rumus lagi yang tidak kami pertimbangkan di sini karena penggunaan praktisnya yang rendah. Anda dapat menemukan formula ini.

Menaikkan dan menurunkan deret geometri

Perkembangan \(b_n = \(3; 6; 12; 24; 48…\)\) yang dianggap di awal artikel memiliki penyebut \(q\) lebih besar dari satu, dan oleh karena itu setiap suku berikutnya lebih besar dari yang sebelumnya. Perkembangan seperti itu disebut meningkat.

Jika \(q\) lebih kecil dari satu, tetapi positif (yaitu, terletak di antara nol dan satu), maka setiap elemen berikutnya akan lebih kecil dari elemen sebelumnya. Misalnya, dalam progresi \(4\); \(2\); \(satu\); \(0.5\); \(0.25\)… penyebut dari \(q\) adalah \(\frac(1)(2)\).

Perkembangan ini disebut menurun. Perhatikan bahwa tidak ada elemen dari perkembangan ini yang negatif, mereka hanya menjadi semakin kecil di setiap langkah. Artinya, kita secara bertahap akan mendekati nol, tetapi kita tidak akan pernah mencapainya dan kita tidak akan melampauinya. Matematikawan dalam kasus seperti itu mengatakan "cenderung nol."

Perhatikan bahwa dengan penyebut negatif, elemen deret geometri akan selalu berubah tanda. Sebagai contoh, perkembangan \(5\); \(-limabelas\); \(45\); \(-135\); \(675\)... penyebut dari \(q\) adalah \(-3\), dan karena ini, tanda-tanda elemen "berkedip".

Mari kita pertimbangkan sebuah seri.

7 28 112 448 1792...

Sangat jelas bahwa nilai salah satu elemennya tepat empat kali lebih besar dari yang sebelumnya. Jadi seri ini adalah perkembangan.

Deret geometri adalah urutan angka yang tak terbatas, fitur utamanya adalah bahwa angka berikutnya diperoleh dari yang sebelumnya dengan mengalikan dengan beberapa angka tertentu. Hal ini diungkapkan oleh rumus berikut.

a z +1 =a z q, di mana z adalah jumlah elemen yang dipilih.

Dengan demikian, z N.

Periode ketika deret geometri dipelajari di sekolah adalah kelas 9. Contoh akan membantu Anda memahami konsep:

0.25 0.125 0.0625...

Berdasarkan rumus ini, penyebut dari perkembangan dapat ditemukan sebagai berikut:

Baik q maupun b z tidak boleh nol. Juga, setiap elemen perkembangan tidak boleh sama dengan nol.

Oleh karena itu, untuk mengetahui angka berikutnya dalam deret tersebut, Anda perlu mengalikan angka terakhir dengan q.

Untuk menentukan perkembangan ini, Anda harus menentukan elemen dan penyebut pertamanya. Setelah itu, dimungkinkan untuk menemukan salah satu dari suku-suku berikutnya dan jumlah mereka.

Varietas

Tergantung pada q dan 1, perkembangan ini dibagi menjadi beberapa jenis:

• Jika a 1 dan q lebih besar dari satu, maka barisan tersebut merupakan barisan geometri yang meningkat dengan setiap elemen berikutnya. Contohnya disajikan di bawah ini.

Contoh: a 1 =3, q=2 - kedua parameter lebih besar dari satu.

Maka barisan numerik dapat ditulis seperti ini:

3 6 12 24 48 ...

• Jika |q| kurang dari satu, yaitu perkalian dengan itu sama dengan pembagian, maka suatu barisan dengan syarat yang sama adalah barisan geometri yang menurun. Contohnya disajikan di bawah ini.

Contoh: a 1 =6, q=1/3 - a 1 lebih besar dari satu, q lebih kecil.

Maka barisan bilangan tersebut dapat ditulis sebagai berikut:

6 2 2/3 ... - setiap elemen 3 kali lebih besar dari elemen yang mengikutinya.

• Variabel tanda. jika q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Contoh: a 1 = -3 , q = -2 - kedua parameter kurang dari nol.

Maka urutannya dapat ditulis seperti ini:

3, 6, -12, 24,...

Rumus

Untuk kemudahan penggunaan deret geometri, ada banyak rumus:

• Rumus anggota ke-z. Memungkinkan Anda menghitung elemen di bawah angka tertentu tanpa menghitung angka sebelumnya.

Contoh:q = 3, sebuah 1 = 4. Diperlukan untuk menghitung elemen keempat dari perkembangan.

Larutan:sebuah 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• Jumlah elemen pertama yang jumlahnya z. Memungkinkan Anda menghitung jumlah semua elemen barisan hinggasebuah zinklusif.

Sejak (1-q) dalam penyebut, maka (1 - q) 0, maka q tidak sama dengan 1.

Catatan: jika q=1, maka deret tersebut adalah deret bilangan berulang yang tak berhingga.

Jumlah barisan geometri, contoh:sebuah 1 = 2, q= -2. Hitung S5 .

Larutan:S 5 = 22 - perhitungan dengan rumus.

• Jumlah jika |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

Contoh:sebuah 1 = 2 , q= 0,5. Temukan jumlahnya.

Larutan:Sz = 2 · = 4

Sz = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Beberapa properti:

• properti karakteristik. Jika kondisi berikut dilakukan untuk apa sajaz, maka barisan bilangan yang diberikan adalah barisan geometri:

sebuah z 2 = sebuah z -1 · sebuahz+1

• Juga, kuadrat dari sembarang bilangan deret geometri ditemukan dengan menjumlahkan kuadrat dari dua bilangan lain dalam deret tertentu, jika jaraknya sama dari elemen ini.

sebuah z 2 = sebuah z - t 2 + sebuah z + t 2 , di manatadalah jarak antara angka-angka ini.

• Elemenberbeda dalam qsatu kali.
• Logaritma elemen deret juga membentuk deret, tetapi sudah aritmatika, yaitu, masing-masing lebih besar dari yang sebelumnya dengan angka tertentu.

Contoh beberapa masalah klasik

Untuk lebih memahami apa itu deret geometri, contoh dengan solusi untuk kelas 9 dapat membantu.

• Ketentuan:sebuah 1 = 3, sebuah 3 = 48. Temukanq.

Solusi: setiap elemen berikutnya lebih besar dari yang sebelumnya diq satu kali.Hal ini diperlukan untuk mengekspresikan beberapa elemen melalui orang lain menggunakan penyebut.

Akibatnya,sebuah 3 = q 2 · sebuah 1

Saat menggantiq= 4

• Ketentuan:sebuah 2 = 6, sebuah 3 = 12. Hitung S 6 .

Larutan:Untuk melakukan ini, cukup dengan menemukan q, elemen pertama dan menggantinya ke dalam rumus.

sebuah 3 = q· sebuah 2 , Akibatnya,q= 2

a2 = q sebuah 1 ,itu sebabnya a 1 = 3

S 6 = 189

• · sebuah 1 = 10, q= -2. Temukan elemen keempat dari progresi.

Solusi: untuk melakukan ini, cukup untuk mengekspresikan elemen keempat melalui yang pertama dan melalui penyebut.

a 4 = q 3· a 1 = -80

Contoh aplikasi:

• Klien bank melakukan setoran dalam jumlah 10.000 rubel, dengan ketentuan yang setiap tahun klien akan menambahkan 6% dari jumlah pokok. Berapa banyak uang yang akan berada di rekening setelah 4 tahun?

Solusi: Jumlah awal adalah 10 ribu rubel. Jadi, setahun setelah investasi, akun akan memiliki jumlah yang sama dengan 10.000 + 10.000 · 0,06 = 10000 1,06

Dengan demikian, jumlah dalam akun setelah satu tahun berikutnya akan dinyatakan sebagai berikut:

(10000 1,06) 0,06 + 10000 1,06 = 1,06 1,06 10000

Artinya, setiap tahun jumlahnya meningkat 1,06 kali lipat. Artinya, untuk mencari jumlah dana dalam rekening setelah 4 tahun, cukup mencari elemen keempat dari perkembangan, yang diberikan oleh elemen pertama sama dengan 10 ribu dan penyebutnya sama dengan 1,06.

S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10000 = 12625

Contoh tugas untuk menghitung jumlah:

Dalam berbagai masalah, deret geometri digunakan. Contoh untuk menemukan jumlah dapat diberikan sebagai berikut:

sebuah 1 = 4, q= 2, hitungS5.

Solusi: semua data yang diperlukan untuk perhitungan diketahui, Anda hanya perlu memasukkannya ke dalam rumus.

S 5 = 124

• sebuah 2 = 6, sebuah 3 = 18. Hitung jumlah enam elemen pertama.

Larutan:

Geometri. perkembangan, setiap elemen berikutnya adalah q kali lebih besar dari yang sebelumnya, yaitu, untuk menghitung jumlah, Anda perlu mengetahui elemensebuah 1 dan penyebutq.

sebuah 2 · q = sebuah 3

q = 3

Demikian pula, kita perlu menemukansebuah 1 , mengetahuisebuah 2 danq.

sebuah 1 · q = sebuah 2

a 1 =2

S 6 = 728.

Pertimbangkan sekarang pertanyaan penjumlahan deret geometri tak hingga. Mari kita sebut jumlah parsial dari perkembangan tak terbatas yang diberikan sebagai jumlah dari suku pertamanya. Tunjukkan jumlah parsial dengan simbol

Untuk setiap perkembangan tak terbatas

seseorang dapat menyusun urutan (juga tak terbatas) dari jumlah parsialnya

Biarkan urutan dengan peningkatan tak terbatas memiliki batas

Dalam hal ini, bilangan S, yaitu limit dari penjumlahan parsial dari suatu deret, disebut sebagai jumlah dari suatu deret yang tak hingga. Kami akan membuktikan bahwa deret geometri menurun tak hingga selalu memiliki jumlah, dan menurunkan rumus untuk jumlah ini (kita juga dapat menunjukkan bahwa untuk deret tak hingga tidak memiliki jumlah, tidak ada).

Kami menulis ekspresi untuk jumlah parsial sebagai jumlah anggota perkembangan menurut rumus (91.1) dan mempertimbangkan batas jumlah parsial di

Dari teorema butir 89 diketahui bahwa untuk suatu gerak turun ; oleh karena itu, dengan menerapkan teorema limit perbedaan, kami menemukan

(aturan ini juga digunakan di sini: faktor konstan dikeluarkan dari tanda limit). Keberadaannya terbukti, dan pada saat yang sama rumus untuk jumlah deret geometri yang menurun tak terhingga diperoleh:

Kesetaraan (92.1) juga dapat ditulis sebagai

Di sini mungkin tampak paradoks bahwa nilai hingga yang terdefinisi dengan baik diberikan ke jumlah dari serangkaian istilah yang tak terbatas.

Sebuah ilustrasi yang jelas dapat diberikan untuk menjelaskan situasi ini. Pertimbangkan sebuah persegi dengan sisi sama dengan satu (Gbr. 72). Kami membagi bujur sangkar ini dengan garis horizontal menjadi dua bagian yang sama dan menerapkan bagian atas ke bagian bawah sehingga terbentuk persegi panjang dengan sisi 2 dan . Setelah itu, kami membagi lagi bagian kanan persegi panjang ini menjadi dua dengan garis horizontal dan menempelkan bagian atas ke bagian bawah (seperti yang ditunjukkan pada Gambar. 72). Melanjutkan proses ini, kami terus-menerus mengubah persegi asli dengan luas sama dengan 1 menjadi gambar berukuran sama (mengambil bentuk tangga dengan langkah penipisan).

Dengan kelanjutan tak terhingga dari proses ini, seluruh luas bujur sangkar terurai menjadi jumlah suku tak terhingga - luas persegi panjang dengan alas sama dengan 1 dan tinggi. Luas persegi panjang hanya membentuk deret penurunan tak terhingga, jumlah nya

yaitu, seperti yang diharapkan, sama dengan luas persegi.

Contoh. Tentukan jumlah dari deret tak hingga berikut ini:

Solusi, a) Kami mencatat bahwa perkembangan ini Oleh karena itu, dengan rumus (92.2) kami menemukan

b) Ini berarti bahwa dengan rumus yang sama (92.2) kita memiliki

c) Kami menemukan bahwa perkembangan ini Oleh karena itu, perkembangan ini tidak memiliki jumlah.

Dalam Bagian 5, penerapan rumus jumlah suku-suku dari penurunan tak hingga ke konversi pecahan desimal periodik menjadi pecahan biasa ditunjukkan.

Latihan

1. Jumlah barisan geometri yang menurun tak terhingga adalah 3/5, dan jumlah empat suku pertamanya adalah 13/27. Tentukan suku pertama dan penyebut dari deret tersebut.

2. Temukan empat bilangan yang membentuk barisan geometri bolak-balik, di mana suku kedua lebih kecil dari yang pertama dengan 35, dan yang ketiga lebih besar dari yang keempat dengan 560.

3. Tunjukkan bagaimana jika urutannya

membentuk barisan geometri yang semakin menurun, maka barisan tersebut

untuk bentuk apa pun, perkembangan geometris yang semakin menurun. Apakah pernyataan ini berlaku untuk

Turunkan rumus untuk produk dari suku-suku deret geometri.