Diferensial total kedua dari fungsi dua variabel. Diferensial fungsi

Turunan parsial fungsi dua variabel.
Konsep dan contoh solusi

Dalam pelajaran ini, kita akan melanjutkan pengenalan kita dengan fungsi dua variabel dan mempertimbangkan, mungkin, tugas tematik yang paling umum - menemukan turunan parsial dari orde pertama dan kedua, serta diferensial total dari fungsi. Siswa paruh waktu, sebagai suatu peraturan, menghadapi turunan parsial pada tahun pertama di semester kedua. Apalagi menurut pengamatan saya, tugas mencari turunan parsial hampir selalu ditemukan dalam ujian.

Untuk mempelajari materi berikut secara efektif, Anda diperlukan dapat lebih atau kurang percaya diri menemukan turunan "biasa" dari suatu fungsi dari satu variabel. Anda dapat mempelajari cara menangani turunan dengan benar dalam pelajaran Bagaimana cara mencari turunannya? dan Turunan dari fungsi majemuk. Kami juga membutuhkan tabel turunan dari fungsi dasar dan aturan diferensiasi, akan lebih mudah jika tersedia dalam bentuk cetak. Anda dapat menemukan bahan referensi di halaman Rumus dan tabel matematika.

Mari kita ulangi konsep fungsi dua variabel dengan cepat, saya akan mencoba membatasi diri saya seminimal mungkin. Sebuah fungsi dari dua variabel biasanya ditulis sebagai , dengan variabel yang disebut Variabel independen atau argumen.

Contoh: - fungsi dari dua variabel.

Kadang-kadang notasi digunakan. Ada juga tugas di mana surat itu digunakan sebagai pengganti surat.

Dari sudut pandang geometris, fungsi dua variabel paling sering merupakan permukaan ruang tiga dimensi (bidang, silinder, bola, paraboloid, hiperboloid, dll.). Tetapi, pada kenyataannya, ini sudah lebih merupakan geometri analitis, dan kami memiliki agenda analisis matematis, yang guru universitas saya tidak pernah biarkan saya tulis adalah "kuda" saya.

Kami beralih ke pertanyaan menemukan turunan parsial dari orde pertama dan kedua. Saya punya kabar baik bagi Anda yang telah minum beberapa cangkir kopi dan ingin materi yang sulit dibayangkan: turunan parsial hampir sama dengan turunan "biasa" dari fungsi satu variabel.

Untuk turunan parsial, semua aturan turunan dan tabel turunan fungsi dasar valid. Hanya ada beberapa perbedaan kecil yang akan kita ketahui sekarang:

... ya, omong-omong, untuk topik ini saya memang membuat buku pdf kecil, yang akan memungkinkan Anda untuk "mengisi tangan Anda" hanya dalam beberapa jam. Tetapi, dengan menggunakan situs ini, Anda, tentu saja, juga akan mendapatkan hasilnya - mungkin sedikit lebih lambat:

Contoh 1

Menemukan turunan parsial dari orde pertama dan kedua dari suatu fungsi

Pertama, kita cari turunan parsial dari orde pertama. Ada dua dari mereka.

Notasi:
atau - turunan parsial terhadap "x"
atau - turunan parsial terhadap "y"

Mari kita mulai dengan . Ketika kita menemukan turunan parsial terhadap "x", maka variabel tersebut dianggap konstan (bilangan konstan).

Komentar atas tindakan yang diambil:

(1) Hal pertama yang kita lakukan ketika mencari turunan parsial adalah menyimpulkan semua fungsi dalam tanda kurung di bawah tanda hubung dengan subskrip.

Perhatian penting! Langganan JANGAN KEHILANGAN dalam perjalanan solusi. Dalam hal ini, jika Anda menggambar "goresan" di suatu tempat di luar, maka guru, setidaknya, dapat meletakkannya di sebelah tugas (segera menggigit bagian dari skor karena kurangnya perhatian).

(2) Gunakan aturan diferensiasi , . Untuk contoh sederhana seperti ini, kedua aturan dapat diterapkan dalam langkah yang sama. Perhatikan suku pertama: karena dianggap sebagai konstanta, dan setiap konstanta dapat dikeluarkan dari tanda turunan, lalu kita keluarkan dari tanda kurung. Artinya, dalam situasi ini, itu tidak lebih baik dari nomor biasa. Sekarang mari kita lihat istilah ketiga: di sini, sebaliknya, tidak ada yang bisa diambil. Karena itu adalah konstanta, itu juga konstan, dan dalam pengertian ini tidak lebih baik daripada istilah terakhir - "tujuh".

(3) Kami menggunakan turunan tabular dan .

(4) Kami menyederhanakan, atau, seperti yang saya suka katakan, "menggabungkan" jawabannya.

Sekarang . Ketika kita menemukan turunan parsial terhadap "y", maka variabeldianggap sebagai konstanta (bilangan konstan).

(1) Kami menggunakan aturan diferensiasi yang sama , . Pada suku pertama kita keluarkan konstanta di luar tanda turunannya, pada suku kedua tidak ada yang bisa dihilangkan karena sudah merupakan konstanta.

(2) Kami menggunakan tabel turunan dari fungsi dasar. Ubah mental dalam tabel semua "X" menjadi "Y". Artinya, tabel ini sama-sama valid untuk (dan memang untuk hampir semua huruf). Secara khusus, rumus yang kami gunakan terlihat seperti ini: dan .

Apa yang dimaksud dengan turunan parsial?

Pada intinya, turunan parsial orde pertama menyerupai turunan "biasa":

- ini fungsi, yang mencirikan tingkat perubahan fungsi dalam arah sumbu dan masing-masing. Jadi, misalnya, fungsi mencirikan kecuraman "pendakian" dan "lereng" permukaan dalam arah sumbu absis, dan fungsi memberitahu kita tentang "relief" dari permukaan yang sama dalam arah sumbu ordinat.

! Catatan : di sini mengacu pada petunjuk yang sejajar sumbu koordinat.

Untuk pemahaman yang lebih baik, mari kita pertimbangkan titik tertentu dari bidang dan menghitung nilai fungsi ("tinggi") di dalamnya:
- dan sekarang bayangkan Anda ada di sini (DI SANGAT PERMUKAAN).

Kami menghitung turunan parsial sehubungan dengan "x" pada titik tertentu:

Tanda negatif dari turunan "X" memberitahu kita tentang menurun berfungsi pada suatu titik dalam arah sumbu-x. Dengan kata lain, jika kita membuat kecil-kecil (kecil sekali) langkah menuju ujung sumbu (sejajar dengan sumbu ini), kemudian menuruni kemiringan permukaan.

Sekarang kita mengetahui sifat "medan" dalam arah sumbu y:

Turunan terhadap "y" adalah positif, oleh karena itu, pada suatu titik di sepanjang sumbu, fungsi meningkat. Jika cukup sederhana, maka di sini kita menunggu pendakian yang menanjak.

Selain itu, turunan parsial pada suatu titik mencirikan tingkat perubahan fungsi ke arah yang relevan. Semakin besar nilai yang dihasilkan modulo- semakin curam permukaannya, dan sebaliknya, semakin dekat ke nol, semakin rata permukaannya. Jadi, dalam contoh kita, "kemiringan" pada arah sumbu absis lebih curam daripada "gunung" pada arah sumbu ordinat.

Tapi itu adalah dua jalur pribadi. Cukup jelas bahwa dari titik di mana kita berada, (dan secara umum dari titik mana pun dari permukaan yang diberikan) kita bisa bergerak ke arah lain. Dengan demikian, ada minat untuk menyusun "bagan navigasi" umum yang akan memberi tahu kita tentang "lanskap" permukaan. jika memungkinkan di setiap titik ruang lingkup fungsi ini dalam semua cara yang tersedia. Saya akan membicarakan ini dan hal-hal menarik lainnya di salah satu pelajaran berikutnya, tetapi untuk sekarang mari kita kembali ke sisi teknis dari masalah ini.

Kami mensistematisasikan aturan dasar yang diterapkan:

1) Ketika kita membedakan dengan , maka variabel dianggap konstan.

2) Ketika diferensiasi dilakukan menurut, maka dianggap konstan.

3) Aturan dan tabel turunan dari fungsi dasar valid dan berlaku untuk variabel apa pun (atau variabel lainnya) yang berkaitan dengan diferensiasi yang dilakukan.

Langkah dua. Kami menemukan turunan parsial dari orde kedua. Ada empat dari mereka.

Notasi:
atau - turunan kedua terhadap "x"
atau - turunan kedua terhadap "y"
atau - Campuran turunan "x oleh y"
atau - Campuran turunan "Y dengan X"

Tidak ada masalah dengan turunan kedua. Secara sederhana, turunan kedua adalah turunan dari turunan pertama.

Untuk kenyamanan, saya akan menulis ulang turunan parsial orde pertama yang sudah ditemukan:

Pertama kita cari turunan campurannya:

Seperti yang Anda lihat, semuanya sederhana: kami mengambil turunan parsial dan membedakannya lagi, tetapi dalam kasus ini, sudah dengan "y".

Demikian pula:

Dalam contoh praktis, Anda dapat fokus pada persamaan berikut::

Jadi, melalui turunan campuran orde kedua, sangat mudah untuk memeriksa apakah kita telah menemukan turunan parsial orde pertama dengan benar.

Kami menemukan turunan kedua sehubungan dengan "x".
Tidak ada penemuan, kami mengambil dan bedakan dengan "X" lagi:

Demikian pula:

Perlu dicatat bahwa ketika menemukan , Anda perlu menunjukkan perhatian yang meningkat, karena tidak ada persamaan ajaib untuk mengujinya.

Turunan kedua juga menemukan aplikasi praktis yang luas, khususnya, mereka digunakan dalam masalah menemukan ekstrem dari fungsi dua variabel. Tapi semuanya ada waktunya:

Contoh 2

Hitung turunan parsial orde pertama dari fungsi di titik . Cari turunan dari orde kedua.

Ini adalah contoh untuk pemecahan diri (jawaban di akhir pelajaran). Jika Anda kesulitan membedakan akar, kembali ke pelajaran Bagaimana cara mencari turunannya? Secara umum, Anda akan segera belajar bagaimana menemukan turunan serupa dengan cepat.

Kami mengisi tangan kami dengan contoh yang lebih kompleks:

Contoh 3

Periksa itu . Tulislah diferensial total dari orde pertama.

Solusi: Kami menemukan turunan parsial dari orde pertama:

Perhatikan subskrip: di sebelah "x" tidak dilarang untuk menulis dalam tanda kurung bahwa itu adalah konstanta. Tanda ini bisa sangat berguna bagi pemula untuk mempermudah menavigasi solusi.

Komentar lebih lanjut:

(1) Kami mengambil semua konstanta di luar tanda turunan. Dalam hal ini, dan , dan, karenanya, produk mereka dianggap sebagai bilangan konstan.

(2) Jangan lupa bagaimana membedakan akar dengan benar.

(1) Kami mengambil semua konstanta dari tanda turunan, dalam hal ini konstanta adalah .

(2) Di bawah prima, kita memiliki produk dari dua fungsi, oleh karena itu, kita perlu menggunakan aturan diferensiasi produk .

(3) Jangan lupa bahwa itu adalah fungsi kompleks (walaupun yang paling sederhana dari yang kompleks). Kami menggunakan aturan yang sesuai: .

Sekarang kita temukan turunan campuran dari orde kedua:

Artinya semua perhitungan sudah benar.

Mari kita tuliskan diferensial totalnya. Dalam konteks tugas yang sedang dipertimbangkan, tidak masuk akal untuk mengatakan apa diferensial total dari fungsi dua variabel. Adalah penting bahwa perbedaan ini sangat sering perlu dituliskan dalam masalah-masalah praktis.

Diferensial Orde Pertama Total fungsi dari dua variabel memiliki bentuk:

Pada kasus ini:

Artinya, dalam rumus Anda hanya perlu dengan bodohnya mengganti turunan parsial yang sudah ditemukan dari orde pertama. Ikon diferensial dan dalam situasi ini dan yang serupa, jika memungkinkan, lebih baik menulis dalam pembilang:

Dan atas permintaan berulang dari pembaca, diferensial penuh dari orde kedua.

Ini terlihat seperti ini:

HATI-HATI cari turunan "satu huruf" dari orde ke-2:

dan tulis "monster", dengan hati-hati "melampirkan" kotak, produk dan tidak lupa menggandakan turunan campuran:

Tidak apa-apa jika sesuatu tampak sulit, Anda selalu dapat kembali ke turunan nanti, setelah Anda mengambil teknik diferensiasi:

Contoh 4

Temukan turunan parsial orde pertama dari suatu fungsi . Periksa itu . Tulislah diferensial total dari orde pertama.

Pertimbangkan serangkaian contoh dengan fungsi kompleks:

Contoh 5

Temukan turunan parsial dari fungsi orde pertama.

Larutan:

Contoh 6

Temukan turunan parsial orde pertama dari suatu fungsi .
Tuliskan diferensial totalnya.

Ini adalah contoh untuk pemecahan diri (jawaban di akhir pelajaran). Saya tidak akan memposting solusi lengkap karena cukup sederhana.

Cukup sering, semua aturan di atas diterapkan dalam kombinasi.

Contoh 7

Temukan turunan parsial orde pertama dari suatu fungsi .

(1) Kami menggunakan aturan untuk membedakan jumlah

(2) Suku pertama dalam hal ini dianggap konstan, karena tidak ada ekspresi yang bergantung pada "x" - hanya "y". Anda tahu, selalu menyenangkan ketika pecahan bisa diubah menjadi nol). Untuk suku kedua, kami menerapkan aturan diferensiasi produk. Omong-omong, dalam pengertian ini, tidak ada yang akan berubah jika sebuah fungsi diberikan sebagai gantinya - penting bahwa di sini hasil kali dua fungsi, yang masing-masing tergantung pada "X", dan oleh karena itu, Anda perlu menggunakan aturan diferensiasi produk. Untuk suku ketiga, kami menerapkan aturan diferensiasi fungsi kompleks.

(1) Pada suku pertama, baik pembilang dan penyebutnya mengandung "y", oleh karena itu, Anda perlu menggunakan aturan untuk membedakan hasil bagi: . Istilah kedua HANYA bergantung pada "x", yang berarti dianggap konstan dan berubah menjadi nol. Untuk suku ketiga, kami menggunakan aturan diferensiasi fungsi kompleks.

Bagi para pembaca yang dengan berani mencapai hampir akhir pelajaran, saya akan memberi tahu Anda sebuah anekdot Mekhmatov lama untuk detente:

Suatu kali turunan jahat muncul di ruang fungsi dan bagaimana ia membedakan semua orang. Semua fungsi tersebar ke segala arah, tidak ada yang mau berbelok! Dan hanya satu fungsi yang tidak luput dari manapun. Derivatif mendekatinya dan bertanya:

"Kenapa kamu tidak lari dariku?"

- Ha. Tapi saya tidak peduli, karena saya "e pangkat x", dan Anda tidak dapat melakukan apa pun untuk saya!

Di mana turunan jahat dengan senyum berbahaya menjawab:

- Di sinilah Anda salah, saya akan membedakan Anda dengan "y", jadi jadilah nol untuk Anda.

Siapa yang mengerti lelucon, dia menguasai turunan, setidaknya untuk "troika").

Contoh 8

Temukan turunan parsial orde pertama dari suatu fungsi .

Ini adalah contoh do-it-yourself. Solusi lengkap dan contoh desain masalah ada di akhir pelajaran.

Yah, itu hampir semuanya. Akhirnya, saya tidak bisa membantu tetapi tolong matematikawan dengan satu contoh lagi. Ini bahkan bukan tentang amatir, setiap orang memiliki tingkat pelatihan matematika yang berbeda - ada orang (dan tidak jarang) yang suka bersaing dengan tugas yang lebih sulit. Meskipun, contoh terakhir dalam pelajaran ini tidak terlalu rumit dan rumit dalam hal perhitungan.

Definisi: Diferensial total suatu fungsi beberapa variabel disebut jumlah semua diferensial parsialnya:

Contoh 1: .

Larutan:

Karena turunan parsial dari fungsi ini sama:

Kemudian kita dapat segera menulis diferensial parsial dari fungsi-fungsi ini:

, ,

Maka diferensial total fungsi akan terlihat seperti:

Contoh 2 Temukan diferensial penuh dari suatu fungsi

Larutan:

Fungsi ini kompleks, mis. dapat dibayangkan sebagai

Kami menemukan turunan parsial:

Diferensial Penuh:

Arti analitis dari diferensial total adalah bahwa diferensial total suatu fungsi dari beberapa variabel adalah bagian utama dari kenaikan total fungsi ini, yaitu, ada persamaan perkiraan: z≈dz.

Namun, harus diingat bahwa persamaan perkiraan ini hanya berlaku untuk diferensial kecil dx dan dy dari argumen fungsi z=f(x,y).

Penggunaan diferensial total dalam perhitungan perkiraan didasarkan pada penggunaan rumus z≈dz.

Memang, jika dalam rumus ini kenaikan z fungsi direpresentasikan sebagai , dan diferensial total sebagai , maka kita peroleh:

≈ ,

Rumus yang dihasilkan dapat digunakan untuk kira-kira menemukan nilai "baru" dari fungsi dua variabel, yang dibutuhkan dengan peningkatan yang cukup kecil dari kedua argumennya.

Contoh. Temukan nilai perkiraan suatu fungsi , dengan nilai argumen berikut: 1.01, .

Larutan.

Mengganti turunan parsial dari fungsi yang ditemukan sebelumnya dalam rumus, kita mendapatkan:

Saat mensubstitusi nilai x=1, x=0.01, y=2, y=0.02, kita peroleh:

medan skalar.

Jika pada setiap titik pada suatu daerah ruang D diberikan fungsi U(p)=U(x,y,z) maka dikatakan medan skalar diberikan pada daerah D.

Jika, misalnya, U(x, y, z) menyatakan suhu di titik M(x, y, z), maka kita katakan bahwa medan suhu skalar diberikan. Jika daerah D berisi cairan atau gas dan U(x,y,z) menyatakan tekanan, maka terdapat medan tekanan skalar. Jika susunan muatan atau benda masif diberikan di ruang angkasa, maka orang berbicara tentang medan potensial.

Medan skalar disebut Perlengkapan tulis, jika fungsi U(x,y,z) tidak berubah terhadap waktu: U(x,y,z) f(t).

Setiap bidang stasioner ditandai oleh:

1) permukaan datar dari medan skalar

2) laju perubahan medan dalam arah tertentu.

permukaan rata medan skalar adalah tempat kedudukan titik-titik di mana fungsi U(x,y,z) mengambil nilai konstan, yaitu, U(x,y,z) = const. Kumpulan titik-titik ini membentuk permukaan tertentu. Jika kita mengambil konstanta lain, kita mendapatkan permukaan lain.

Contoh: Biarkan medan skalar diberikan. Contoh medan semacam itu adalah medan potensial listrik dari muatan listrik titik (+q). Di sini, permukaan datar adalah permukaan ekuipotensial , yaitu, bola di tengahnya ada muatan yang menciptakan medan.

Arah kenaikan terbesar dari fungsi skalar diberikan oleh vektor yang disebut gradien dan dilambangkan dengan simbol (atau ).

Gradien suatu fungsi ditemukan dalam turunan parsial fungsi ini dan selalu tegak lurus terhadap permukaan bidang skalar pada titik tertentu:

, di mana

Vektor satuan masing-masing sepanjang sumbu OX, OY, OZ

Turunan dari fungsi U(x,y,z) dalam arah lain (λ) ditentukan oleh rumus:

, di mana

, , masing-masing adalah sudut antara sumbu koordinat OX, OY, OZ dan arah.

Seperti yang Anda lihat, untuk menemukan diferensial, Anda perlu mengalikan turunannya dengan dx. Ini memungkinkan Anda untuk segera menulis tabel yang sesuai untuk diferensial dari tabel rumus untuk turunan.

Diferensial total untuk fungsi dua variabel:

Diferensial total untuk fungsi tiga variabel sama dengan jumlah diferensial parsial: d f(x,y,z)=d x f(x,y,z)dx+d y f(x,y,z)dy+d z f(x ,y,z)dz

Definisi . Suatu fungsi y=f(x) disebut terdiferensiasi pada titik x 0 jika kenaikannya pada titik ini dapat direpresentasikan sebagai y=A∆x + (∆x)∆x, di mana A adalah konstanta dan (∆ x) sangat kecil seperti x → 0.
Persyaratan bahwa suatu fungsi dapat terdiferensial di suatu titik ekuivalen dengan keberadaan turunan di titik ini, dan A=f’(x 0).

Misalkan f(x) terdiferensial pada titik x 0 dan f "(x 0)≠0 , maka y=f'(x 0)∆x + x, di mana = (∆x) →0 sebagai x → 0. Besaran y dan setiap suku di ruas kanan adalah nilai-nilai yang sangat kecil sebagai x→0. Mari kita bandingkan: , yaitu, (∆x)∆x adalah orde lebih tinggi yang sangat kecil dari f’(x 0)∆x.
, yaitu, y~f’(x 0)∆x. Oleh karena itu, f’(x 0)∆x adalah utama dan pada saat yang sama linier terhadap x bagian dari kenaikan y (linear berarti mengandung x ke tingkat pertama). Suku ini disebut diferensial dari fungsi y \u003d f (x) pada titik x 0 dan dilambangkan dy (x 0) atau df (x 0). Jadi, untuk arbitrer x
dy=f′(x)∆x. (satu)
Misalkan dx=∆x, maka
dy=f′(x)dx. (2)

Contoh. Temukan turunan dan diferensial dari fungsi-fungsi ini.
a) y=4tg2x
Larutan:

diferensial:
b)
Larutan:

diferensial:
c) y = arcsin 2 (lnx)
Larutan:

diferensial:
G)
Larutan:
=
diferensial:

Contoh. Untuk fungsi y=x 3 temukan ekspresi untuk y dan dy untuk beberapa nilai x dan x.
Larutan. y = (x+∆x) 3 – x 3 = x 3 + 3x 2 x +3x∆x 2 + x 3 – x 3 = 3x 2 x+3x∆x 2 +∆x 3 dy=3x 2 x (kami mengambil bagian linier utama dari y terhadap x). Dalam hal ini, (∆x)∆x = 3x∆x 2 + x 3 .

Keluaran koleksi:

PERBEDAAN ORDER KEDUA

Lovkov Ivan Yurievich

mahasiswa Teknologi Informasi Universitas Negeri Moskow, Teknik Radio dan Elektronika, RF, Serpukhov

E- surat: alkasardancer@ pengembara. id

Taperechkina Vera Alekseevna

cand. Fisika.-Matematika. Ilmu Pengetahuan, Associate Professor, Universitas Teknologi Informasi Universitas Negeri Moskow, Teknik Radio dan Elektronik, Federasi Rusia, Serpukhov

TENTANG PERBEDAAN ORDER KEDUA

Lovkov Ivan

mahasiswa Universitas Teknologi Informasi Universitas Negeri Moskow, Teknik Radio dan Elektronika, Rusia, Serpukhov

Vera Taperechkina

kandidat Ilmu Fisika dan Matematika, profesor di Universitas Teknologi Informasi Universitas Negeri Moskow, Teknik Radio dan Elektronik, Rusia, Serpukhov

ANOTASI

Makalah ini membahas metode untuk menemukan turunan dan diferensial dari orde pertama dan kedua untuk fungsi kompleks dari dua variabel.

ABSTRAK

Metode perhitungan turunan dan diferensial pertama dan kedua untuk fungsi komposit dua variabel.

Kata kunci: turunan parsial; diferensial.

kata kunci: turunan parsial; diferensial.

1. Pengantar.

Mari kita rumuskan beberapa fakta dari teori fungsi beberapa variabel, yang akan kita butuhkan di bawah ini.

Definisi: Suatu fungsi z=f(u, v) disebut terdiferensiasi di suatu titik (u, v) jika kenaikannya z dapat dinyatakan sebagai:

Bagian linier dari kenaikan disebut diferensial total dan dilambangkan dz.

Teorema (kondisi yang cukup untuk diferensiasi) lih.

Jika di beberapa lingkungan m.(u, v) terdapat turunan parsial kontinu dan , maka fungsi f(u, v) terdiferensialkan pada titik ini dan

(du=Δu, dv=Δv). (satu)

Definisi: Diferensial kedua dari fungsi z=f(u, v) pada suatu titik tertentu (u, v) adalah diferensial pertama dari diferensial pertama dari fungsi f(u, v), yaitu.

Dari definisi diferensial kedua z=f(u, v), di mana u dan v adalah variabel bebas, berikut:

Jadi, rumusnya valid:

Saat menurunkan rumus, teorema Schwartz tentang persamaan turunan campuran digunakan. Persamaan ini berlaku asalkan didefinisikan dalam lingkungan m.(u, v) dan kontinu dalam m.(u, v). melihat

Rumus untuk menemukan diferensial ke-2 dapat ditulis secara simbolis dalam bentuk berikut: – kuadrat formal kurung dengan perkalian formal berikutnya di sebelah kanan dengan f(x y) memberikan rumus yang diperoleh sebelumnya . Demikian pula, rumus untuk diferensial ke-3 valid:

Dan secara umum:

Dimana kenaikan formal ke pangkat n dilakukan menurut rumus binomial Newton:

;

Perhatikan bahwa diferensial pertama dari fungsi dua variabel memiliki sifat invarians bentuk. Artinya, jika u dan v adalah variabel bebas, maka untuk fungsi z=f(u, v), sesuai dengan (1)

Misalkan u=u(x y), v=v(x y), maka z=f(u(x y), v(x y)), x dan y adalah variabel bebas, maka

Menggunakan rumus terkenal untuk turunan dari fungsi kompleks:

Kemudian dari (3) dan (4) kita peroleh:

Lewat sini,

(5)

di mana - diferensial pertama dari fungsi u, - diferensial pertama dari fungsi v.

Membandingkan (1) dan (5), kita melihat bahwa rumus formal untuk dz dipertahankan, tetapi jika pada (1) du=Δu, dv=Δv adalah inkremen variabel bebas, maka pada (5) du dan dv adalah diferensial dari fungsi u dan v

2. Diferensial kedua fungsi majemuk dua variabel.

Pertama-tama, kita tunjukkan bahwa diferensial kedua tidak memiliki sifat invarian bentuk.

Misalkan z=z(u, v) dalam kasus variabel bebas u dan v, diferensial kedua ditemukan dengan rumus (2)

Misalkan u=u(x y), v=v(x y), z=z(u(x y), v(x y)), di mana x dan y adalah variabel bebas. Kemudian

Jadi, kami akhirnya mendapatkan:

Rumus (2) dan (6) tidak bertepatan dalam bentuk, oleh karena itu, diferensial kedua tidak memiliki sifat invarian.

Sebelumnya, rumus turunan parsial orde 1 diturunkan untuk fungsi kompleks z=f(u, v), di mana u=u(x y), v=v(x y), di mana x dan y adalah variabel bebas, lihat .

Kami menurunkan rumus untuk menghitung turunan parsial dan diferensial orde kedua untuk fungsi z=f(u, v), u=u(x y), v=v(x y), di mana x dan y adalah variabel bebas.

Untuk fungsi u(x y), v(x y) dari variabel bebas x, y, kita memiliki rumus:

Mari kita substitusikan rumus (8) menjadi (6).