Hiperbola dan persamaan kanoniknya. Kurva orde kedua

Bab III. Kurva orde kedua

40. Hiperbola.

hiperbola disebut himpunan titik bidang, untuk masing-masing modulus perbedaan jarak ke dua titik tertentu pada bidang adalah konstan dan jarak kurang antara titik-titik ini.

Titik-titik ini disebut Trik hiperbola, dan jarak antara keduanya adalah fokus jarak.

Tunjukkan fokus hiperbola dengan huruf F 1 dan F 2 .
Biarlah Focal length| F 1 F 2 | = 2 dengan.

Jika M - titik sewenang-wenang hiperbola (Gbr. 112), maka, menurut definisi hiperbola, modulus perbedaan | F 1 M | - | F 2 M | konstan. Menunjukkannya melalui 2 sebuah, kita mendapatkan

| | F 1 M | - | F 2 M | | = 2 sebuah. (1)

Perhatikan bahwa menurut definisi hiperbola 2 sebuah< 2dengan, yaitu sebuah< с .

Persamaan (1) adalah persamaan hiperbola.

Kami memilih sistem koordinat sehingga sumbu absis melewati fokus hiperbola; tarik sumbu y melalui tengah segmen F 1 F 2 tegak lurus terhadapnya (Gbr. 113).

Maka fokus hiperbola adalah titik F 1 (- c; 0) dan F2 ( c; 0).

Biarkan M( X; pada) adalah sembarang titik hiperbola, maka

| F 1 M | = ( x+c) 2 + kamu 2 dan | F 2 M | = ( x-c) 2 + kamu 2 .

Mengganti nilai | F 1 M | dan | F 2 M | ke dalam persamaan (1), kita dapatkan

| √(x+c) 2 + kamu 2 - √(x-c) 2 + kamu 2 | = 2sebuah. (2)

Persamaan yang kita peroleh adalah persamaan hiperbola pada sistem koordinat yang dipilih. Persamaan ini dapat direduksi menjadi bentuk yang lebih sederhana.

Biarlah X > 0, maka persamaan (2) dapat ditulis tanpa tanda modulus sebagai berikut:

√(x+c) 2 + kamu 2 - √(x-c) 2 + kamu 2 = 2sebuah,

√(x+c) 2 + kamu 2 =2sebuah + √(x-c) 2 + kamu 2 (3)

Mari kita kuadratkan kedua sisi persamaan yang dihasilkan:

(x + c) 2 + pada 2 = 4sebuah 2 + 4sebuah √(x-c) 2 + kamu 2 + (x - c) 2 + pada 2 .

Setelah penyederhanaan dan transformasi yang sesuai:

√(x-c) 2 + kamu 2 = c / sebuah x - a, (4)

(x - c) 2 + pada 2 = (c / sebuah x - a) 2 ,

kita sampai pada persamaan

(5)

Menurut definisi hiperbola sebuah< dengan, Itu sebabnya dengan 2 - sebuah 2 - nomor positif. Mari kita tunjukkan dengan b 2 , yaitu put b 2 = dengan 2 - sebuah 2. Kemudian persamaan (5) mengambil bentuk

Dibagi istilah demi istilah menjadi b 2 , kita mendapatkan persamaan

Jika sebuah X < 0, то уравнение (2) переписывается без знака модуля следующим образом:

√(x-c) 2 + kamu 2 - √(x+c) 2 + kamu 2 = 2sebuah,

dan dengan cara yang sama seperti dalam kasus ini X > 0 diubah ke bentuk (6).

Persamaan (6) disebut persamaan kanonik hiperbola.

Komentar. Mengkuadratkan kedua bagian Persamaan (3) dan (4) tidak melanggar kesetaraan persamaan. Kedua bagian persamaan (3) jelas non-negatif untuk semua nilai X dan pada. Ruas kiri persamaan (4) juga selalu non-negatif. Pada X > sebuah bagian kanan persamaan (4) positif, karena

c / sebuah x - a > c / sebuah A A = c - a > 0

Jadi, poin asing hanya bisa muncul di bawah kondisi 0 < X< а , tetapi dari persamaan (6) maka x 2 /sebuah 2 > 1, yaitu | x | > sebuah.

Tugas 1. Menulis persamaan kanonik hiperbola melalui suatu titik
M (-5; 9/4) jika jarak fokus hiperbola adalah 10.

Karena |F 1 F 2 |= 10, maka dengan= 5. Mari kita tulis persamaan kanonik hiperbola

Dengan syarat, titik M (-5; 9/4) termasuk dalam hiperbola, oleh karena itu,

Persamaan kedua untuk menentukan sebuah 2 dan b 2 memberikan rasio

b 2 = dengan 2 -sebuah 2 = 25 -sebuah 2 .

Setelah memecahkan sistem

Temukan sebuah 2 =16, b 2 = 9. Persamaan yang diinginkan akan menjadi persamaan

Tugas 2. Buktikan persamaan

20x 2 - 29kamu 2 = 580

adalah persamaan hiperbola. Temukan koordinat trik.

Membagi kedua ruas persamaan dengan 580, kita peroleh

Ini adalah persamaan hiperbolik yang sebuah 2 = 29, b 2 = 20.
Dari relasi c 2 = sebuah 2 + b 2 temukan c 2 = 29 + 20 = 49, dengan= 7. Oleh karena itu, fokus hiperbola berada di titik F 1 (-7; 0) dan F 2 (7; 0).

Diberikan persamaan elips.

Keputusan:

Kami menulis persamaan elips dalam bentuk kanonik:
.

Dari sini
. Menggunakan relasi
, kami menemukan
. Karena itu,
.

Menurut rumus Temukan .

persamaan direktriks
terlihat seperti
, jarak antara mereka
.

Menurut rumus
tentukan absis titik-titik tersebut, jarak dari titik tersebut ke titik sama dengan 12:

. Mengganti nilai x ke dalam persamaan elips, kita menemukan ordinat titik-titik ini:

Jadi, titik A(7;0) memenuhi kondisi masalah.

Soal 56.

Tulis persamaan untuk elips yang melalui titik-titik.

Keputusan:

Kami mencari persamaan elips dalam bentuk
.

Karena elips melewati titik
, maka koordinatnya memenuhi persamaan elips:
. Mengalikan persamaan kedua dengan (-4) dan menambahkan persamaan pertama, kita menemukan
.

Mengganti nilai yang ditemukan ke dalam persamaan pertama, kita temukan
. Jadi, persamaan yang diinginkan
.

Masalah 57.

;
.

Hiperbola

hiperbola sebuah garis disebut, yang terdiri dari semua titik bidang, modulus perbedaan jarak dari mana ke dua titik tertentu dan adalah nilai konstan (tidak sama dengan nol dan kurang dari jarak antara titik-titik dan ).

poin dan ditelepon Trik hiperbola. Biarkan jarak antara fokus menjadi
. Modul jarak dari titik hiperbola ke fokus dan dilambangkan dengan . Dengan syarat,
.

di mana
- koordinat titik sembarang hiperbola,

persamaan
ditelepon persamaan kanonik hiperbola.

Hiperbola memiliki dua asimtot
.

keanehan hiperbola disebut bilangan . Untuk hiperbola apapun
.

Jari-jari fokus titik hiperbola disebut segmen garis yang menghubungkan titik ini dengan fokus dan . panjang mereka dan diberikan oleh rumus:

Langsung
disebut direktriks hiperbola. Seperti dalam kasus elips, titik-titik hiperbola dicirikan oleh hubungan .

Masalah 58.

Tentukan jarak antara fokus dan eksentrisitas hiperbola
.

Menjawab:
.

Masalah 59.

Tuliskan persamaan kanonik hiperbola jika (
). Tentukan eksentrisitas hiperbola.

Menjawab:
.

Soal 60.

Tulis persamaan kanonik suatu hiperbola simetris terhadap sumbu-sumbu koordinat jika melalui suatu titik
, dan eksentrisitasnya adalah
.

Menjawab:
.

Tugas 61.

Tentukan persamaan hiperbola yang titik-titiknya berada di fokus dan titik-titik fokusnya di titik-titik elips
.

Menjawab:
.

Soal 62.

Mendefinisikan tempat geometris poin
, jarak dari mana ke garis lurus
setengah dari sebelum poin
.

Menjawab:
.

Soal 63.

Tuliskan persamaan simetris hiperbola terhadap sistem koordinat jika melalui titik
,
.

Menjawab:
.

Tugas 64.

Tulis persamaan untuk hiperbola jika asimtotnya diberikan oleh persamaan
, dan hiperbola melalui titik
.

Menjawab:
.

Soal 65.

Bagaimana titik-titik yang terletak di pesawat, yang koordinatnya memenuhi kondisi:

Parabola

parabola disebut garis yang terdiri dari semua titik pada bidang yang berjarak sama dari suatu titik tertentu
(fokus) dan garis yang diberikan (direktur).

Untuk menurunkan persamaan kanonik parabola, sumbu
melewati fokus
tegak lurus dengan direktriks dalam arah dari directrix ke fokus; asal koordinat diambil di tengah segmen antara fokus
dan titik
persimpangan sumbu
dengan kepala sekolah . Jika dilambangkan dengan jarak fokus dari direktriks, maka
dan persamaan directrix akan terlihat seperti
.

Dalam sistem koordinat yang dipilih, persamaan parabola memiliki bentuk:
. Persamaan ini disebut persamaan kanonik parabola.

Definisi . Hiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik, perbedaan dari masing-masing titik ke dua titik tertentu, yang disebut fokus, adalah nilai konstan

Mari kita ambil sistem koordinat sehingga fokusnya terletak pada sumbu absis, dan titik asal koordinat membagi segmen F 1 F 2 menjadi dua (Gbr. 30). Dilambangkan F 1 F 2 = 2c. Kemudian F 1 (c; 0); F2 (-c; 0)

MF 2 \u003d r 2, MF 1 \u003d r 1 - radius fokus hiperbola.

Menurut definisi hiperbola, r 1 - r 2 = konstanta.

Mari kita tunjukkan dengan 2a

Maka r 2 - r 1 = ±2a jadi:

=> persamaan kanonik hiperbola

Karena persamaan hiperbola x dan y pangkat genap, maka jika titik M 0 (x 0; y 0) terletak pada hiperbola, maka titik-titik M 1 (x 0; -y 0) M 2 (-x 0; -y 0) M 3 (-x 0; -y 0).

Oleh karena itu, hiperbola simetris terhadap kedua sumbu koordinat.

Ketika y \u003d 0 x 2 \u003d a 2 x \u003d ± a. Titik-titik hiperbola adalah titik-titik A 1 (a; 0); A2 (-a; 0).

. Karena simetri, penelitian dilakukan pada kuartal pertama

1) di
y memiliki nilai imajiner, maka titik-titik hiperbola dengan absis
tidak ada

2) di x = a; y \u003d 0 A 1 (a; 0) termasuk dalam hiperbola

3) untuk x > a; y > 0. Selain itu, dengan peningkatan x yang tidak terbatas, cabang hiperbola menjadi tak terhingga.

Oleh karena itu, hiperbola adalah kurva yang terdiri dari dua cabang tak berhingga.

P 6. Asimtot hiperbola

Pertimbangkan bersama dengan persamaan
persamaan garis lurus

Ke kurva akan terletak di bawah garis lurus (Gbr. 31). Pertimbangkan titik N (x, Y) dan M (x, y) yang absisnya sama, dan Y - y \u003d MN. Pertimbangkan panjang segmen MN

Ayo temukan

Jadi, jika titik M, yang bergerak sepanjang hiperbola pada kuartal pertama, menjauh hingga tak terhingga, maka jaraknya dari garis lurus
menurun dan cenderung nol.

Karena simetri, garis lurus memiliki sifat yang sama.
.

Definisi. Jalur langsung ke mana
kurva mendekati tanpa batas disebut asimtot.

Dan
jadi persamaan asimtot hiperbola
.

Asimtot hiperbola terletak di sepanjang diagonal persegi panjang, satu sisinya sejajar dengan sumbu x dan sama dengan 2a, dan yang lainnya sejajar dengan sumbu y dan sama dengan 2b, dan pusatnya terletak di titik asal (Gbr. 32).

P 7. Eksentrisitas dan direktriks hiperbola

r 2 – r 1 = ± 2a tanda + mengacu pada cabang kanan hiperbola

tanda - mengacu pada cabang kiri hiperbola

Definisi. Eksentrisitas hiperbola adalah rasio jarak antara fokus hiperbola ini dengan jarak antara simpulnya.

. Karena c > a, > 1

Kami menyatakan jari-jari fokus hiperbola dalam hal eksentrisitas:

Definisi . Mari kita panggil garis
, tegak lurus terhadap sumbu fokus hiperbola dan terletak pada jarakdari pusatnya oleh direktriks hiperbola yang sesuai dengan fokus kanan dan kiri.

T
suka hiperbola
akibatnya, direktriks hiperbola terletak di antara simpulnya (Gbr. 33). Mari kita tunjukkan bahwa rasio jarak setiap titik hiperbola ke fokus dan direktriks yang sesuai adalah konstan dan sama dengan .

P.8 Parabola dan persamaannya

HAI
definisi. Parabola adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama dari suatu titik tertentu, yang disebut fokus, dan dari garis tertentu, yang disebut direktriks.

Untuk menyusun persamaan parabola, kita ambil sebagai sumbu x sebuah garis lurus yang melalui fokus F 1 tegak lurus terhadap direktriks dan kita akan mempertimbangkan sumbu x yang diarahkan dari direktris ke fokus. Untuk asal koordinat, kami mengambil titik tengah O segmen dari titik F ke garis lurus yang diberikan, yang panjangnya kami nyatakan dengan p (Gbr. 34). Besaran p akan disebut parameter parabola. Titik koordinat fokus
.

Misalkan M(x,y) adalah titik sembarang dari parabola.

Menurut definisi

pada 2 = 2px adalah persamaan kanonik parabola

Untuk menentukan jenis parabola, kita mengubah persamaannya
ini menyiratkan. Oleh karena itu, titik puncak parabola berada di titik asal dan sumbu simetri parabola adalah x. Persamaan y 2 \u003d -2px dengan p positif direduksi menjadi persamaan y 2 \u003d 2px dengan mengganti x dengan -x dan grafiknya terlihat seperti (Gbr. 35).