Bab III. Kurva orde kedua

40. Hiperbola.

hiperbola disebut himpunan titik bidang, untuk masing-masing modulus perbedaan jarak ke dua titik tertentu pada bidang adalah konstan dan jarak kurang antara titik-titik ini.

Titik-titik ini disebut Trik hiperbola, dan jarak antara keduanya adalah fokus jarak.

Tunjukkan fokus hiperbola dengan huruf F 1 dan F 2 .
Biarlah Focal length| F 1 F 2 | = 2 dengan.

Jika M adalah titik sembarang hiperbola (Gbr. 112), maka menurut definisi hiperbola, modulus selisih | F 1 M | - | F 2 M | konstan. Menunjukkannya melalui 2 sebuah, kita mendapatkan

| | F 1 M | - | F 2 M | | = 2 sebuah. (1)

Perhatikan bahwa menurut definisi hiperbola 2 sebuah< 2dengan, yaitu sebuah< с .

Persamaan (1) adalah persamaan hiperbola.

Kami memilih sistem koordinat sehingga sumbu absis melewati fokus hiperbola; tarik sumbu y melalui tengah segmen F 1 F 2 tegak lurus terhadapnya (Gbr. 113).

Maka fokus hiperbola adalah titik F 1 (- c; 0) dan F2 ( c; 0).

Biarkan M( X; pada) adalah sembarang titik hiperbola, maka

| F 1 M | = ( x+c) 2 + kamu 2 dan | F 2 M | = ( x-c) 2 + kamu 2 .

Mengganti nilai | F 1 M | dan | F 2 M | ke dalam persamaan (1), kita dapatkan

| √(x+c) 2 + kamu 2 - √(x-c) 2 + kamu 2 | = 2sebuah. (2)

Persamaan yang kita peroleh adalah persamaan hiperbola pada sistem koordinat yang dipilih. Persamaan ini dapat direduksi menjadi bentuk yang lebih sederhana.

Biarlah X > 0, maka persamaan (2) dapat ditulis tanpa tanda modulus sebagai berikut:

√(x+c) 2 + kamu 2 - √(x-c) 2 + kamu 2 = 2sebuah,

√(x+c) 2 + kamu 2 =2sebuah + √(x-c) 2 + kamu 2 (3)

Mari kita kuadratkan kedua sisi persamaan yang dihasilkan:

(x + c) 2 + pada 2 = 4sebuah 2 + 4sebuah √(x-c) 2 + kamu 2 + (x - c) 2 + pada 2 .

Setelah penyederhanaan dan transformasi yang sesuai:

√(x-c) 2 + kamu 2 = c / sebuah x - a, (4)

(x - c) 2 + pada 2 = (c / sebuah x - a) 2 ,

kita sampai pada persamaan

(5)

Menurut definisi hiperbola sebuah< dengan, Itu sebabnya dengan 2 - sebuah 2 - nomor positif. Mari kita tunjukkan dengan b 2 , yaitu put b 2 = dengan 2 - sebuah 2. Kemudian persamaan (5) mengambil bentuk

Dibagi istilah demi istilah menjadi b 2 , kita mendapatkan persamaan

Jika sebuah X < 0, то уравнение (2) переписывается без знака модуля следующим образом:

√(x-c) 2 + kamu 2 - √(x+c) 2 + kamu 2 = 2sebuah,

dan dengan cara yang sama seperti dalam kasus ini X > 0 diubah ke bentuk (6).

Persamaan (6) disebut persamaan kanonik hiperbola.

Komentar. Mengkuadratkan kedua bagian Persamaan (3) dan (4) tidak melanggar kesetaraan persamaan. Kedua bagian persamaan (3) jelas non-negatif untuk semua nilai X dan pada. Ruas kiri persamaan (4) juga selalu non-negatif. Pada X > sebuah bagian kanan persamaan (4) positif, karena

c / sebuah x - a > c / sebuah A A = c - a > 0

Jadi, poin asing hanya bisa muncul di bawah kondisi 0 < X< а , tetapi dari persamaan (6) maka x 2 /sebuah 2 > 1, yaitu | x | > sebuah.

Tugas 1. Menulis persamaan kanonik hiperbola melalui suatu titik
M (-5; 9/4) jika jarak fokus hiperbola adalah 10.

Karena |F 1 F 2 |= 10, maka dengan= 5. Mari kita tulis persamaan kanonik hiperbola

Dengan syarat, titik M (-5; 9/4) termasuk dalam hiperbola, oleh karena itu,

Persamaan kedua untuk menentukan sebuah 2 dan b 2 memberikan rasio

b 2 = dengan 2 -sebuah 2 = 25 -sebuah 2 .

Setelah memecahkan sistem

Temukan sebuah 2 =16, b 2 = 9. Persamaan yang diinginkan akan menjadi persamaan

Tugas 2. Buktikan persamaan

20x 2 - 29kamu 2 = 580

adalah persamaan hiperbola. Temukan koordinat trik.

Membagi kedua ruas persamaan dengan 580, kita peroleh

Ini adalah persamaan hiperbolik yang sebuah 2 = 29, b 2 = 20.
Dari relasi c 2 = sebuah 2 + b 2 temukan c 2 = 29 + 20 = 49, dengan= 7. Oleh karena itu, fokus hiperbola berada di titik F 1 (-7; 0) dan F 2 (7; 0).

1. Persamaan umum kurva orde kedua.

Setiap persamaan derajat kedua sehubungan dengan x dan y, yaitu, persamaan bentuk

dimana - diberikan koefisien konstan, dan
, mendefinisikan garis pada bidang, yang biasanya disebut kurva orde kedua. Kebalikannya juga benar. Ada empat jenis kurva orde dua: lingkaran, elips, hiperbola, dan parabola. Semuanya dapat diperoleh dengan memotong kerucut dengan bidang dan oleh karena itu disebut juga kuda.

Persamaan kurva dapat diturunkan dari sifat geometris sebagai beberapa lokus poin yang memenuhi kondisi tertentu.

2. Lingkaran. Lingkaran disebut tempat geometris titik-titik bidang yang berjarak sama dari suatu titik tertentu, yang disebut pusat.

Jika r adalah jari-jari lingkaran, dan titik C () adalah pusatnya, maka persamaan lingkaran berbentuk:

. (12.2)

Jika pusat lingkaran bertepatan dengan titik asal, maka persamaan lingkaran memiliki bentuk kanonik paling sederhana: .

Contoh 14. Tuliskan persamaan lingkaran yang melalui titik-titik
A(5; 0) dan B(1; 4), jika pusatnya terletak pada garis x - y - 3 = 0.

Cari koordinat titik M - tengah tali AB:

, yaitu, M(3; 2).

Pusat lingkaran berada pada tegak lurus yang dipulihkan dari tengah segmen AB. Buatlah persamaan garis lurus AB:

, atau x + y - 5 = 0.

Kemiringan garis AB adalah -1, maka kemiringan garis tegak lurus . Persamaan tegak lurus

y - 2 \u003d 1 (x - 3), atau x - y - 1 \u003d 0.

Pusat lingkaran C terletak pada garis x + y - 3 = 0 sesuai dengan kondisi masalah, serta pada tegak lurus x - y - 1 = 0, yaitu, koordinat pusat memenuhi sistem dari persamaan:

x - y - 3 = 0

x - y - 1 \u003d 0.

Jadi x = 2, y = 1, dan titik C(2; 1).

Jari-jari lingkaran sama dengan panjang segmen CA:

Persamaan lingkaran: (x - 2) 2 + (y-1) 2 \u003d 10.

3. Elips. Elips adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang, jumlah jaraknya ke dua titik tertentu, yang disebut fokus, adalah nilai konstan yang sama dengan lebih besar dari jarak antara fokus. Persamaan kanonik elips adalah:

. (12.3)

Di Sini - sumbu semi-mayor elips, adalah semisumbu minor, dan jika jarak antara fokus adalah 2c, maka . Nilai disebut eksentrisitas elips dan mencirikan ukuran kompresi. Sejak dengan< , то < 1. Расстояния от некоторой точки М, расположенной на эллипсе, до фокусов называются фокальными радиус-векторами этой точки. Фокальные радиус-векторы выражаются через абсциссу точки эллипса по формулам: .

Langsung dan disebut directrix dari elips. Direktriks elips memiliki properti berikut: jika r adalah vektor radius fokus titik M, d adalah jarak dari titik ini ke direktriks satu sisi dengan fokus, maka .

Contoh15. Tulis persamaan untuk elips yang fokusnya terletak pada sumbu x, simetris terhadap titik asal, diketahui bahwa sumbu utamanya adalah 8 dan jarak antara garis lurus adalah 16.

Dengan kondisi masalah persamaan Directrix ; jarak direktriks , karena itu ; sebagai , kemudian , yaitu c = 2.

Sebagai , kemudian .

Persamaan elips: .

Catatan: jika dalam persamaan kanonik elips , maka fokus elips terletak pada sumbu y dan ; persamaan direktriks: ; vektor radius fokus ditentukan oleh rumus: .

Contoh 16 Tulis persamaan untuk elips yang fokusnya terletak simetris pada sumbu y terhadap titik asal, mengetahui bahwa jarak antara fokus adalah 2c = 24, eksentrisitas .

Persamaan kanonik elips adalah: .

Dengan kondisi masalah c = 12. karena , kemudian , yaitu .

Sebagai , kemudian .

Persamaan elips: .

4. Hiperbola. Hiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang yang nilai mutlak perbedaan jarak ke dua titik tetap pada bidang yang sama, yang disebut fokus, adalah nilai konstan yang sama dengan , kurang dari jarak antara fokus ( ).

Persamaan kanonik hiperbola memiliki bentuk:

, (12.4)

di mana .

Hiperbola terdiri dari dua cabang dan terletak simetris terhadap sumbu koordinat. poin dan disebut simpul hiperbola. Segmen garis disebut sumbu real hiperbola, dan ruas titik penghubung dan , - sumbu imajiner. Hiperbola memiliki dua asimtot yang persamaannya adalah . Sikap disebut eksentrisitas hiperbola. lurus, diberikan oleh persamaan disebut direktriks hiperbola. Vektor radius fokus dari cabang kanan hiperbola: .

Vektor radius fokus dari cabang kiri hiperbola: .

persamaan juga merupakan persamaan hiperbola, tetapi sumbu nyata hiperbola ini adalah segmen dari sumbu OY yang panjangnya . poin dan berfungsi sebagai simpul hiperbola. Cabang-cabang hiperbola terletak di bagian atas dan bawah bidang koordinat. Dua hiperbola dan disebut hiperbola konjugasi.

Contoh17. Eksentrisitas hiperbola adalah . Buatlah persamaan hiperbola paling sederhana yang melalui titik M( ).

Dengan definisi eksentrisitas, kita memiliki , atau .

Tetapi , karena itu . Sejak titik M( ) berada pada hiperbola, maka . Dari sini .

Dengan demikian, persamaan hiperbola yang diinginkan memiliki bentuk: .

Contoh 18. Sudut antara asimtot hiperbola adalah 60°. Hitung eksentrisitas hiperbola.

Kemiringan asimtot hiperbola
. Eksentrisitas hiperbola
.

Mengganti nilai lereng, kita mendapatkan

.

Contoh 19. Tuliskan persamaan hiperbola yang melalui suatu titik
M(9; 8) jika asimtot hiperbola diberikan oleh persamaan .

Dari persamaan asimtot kita dapatkan . Karena titik M(9; 8) termasuk dalam hiperbola, koordinatnya memenuhi persamaan hiperbola, yaitu. .

Untuk menemukan setengah sumbu hiperbola, kita memiliki sistem:

Memecahkan sistem, kita mendapatkan Persamaan hiperbola yang diinginkan memiliki bentuk: .

5. Parabola. Parabola adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang yang berjarak sama dari suatu titik tertentu, yang disebut fokus, dan dari garis tertentu, yang disebut direktriks. Jika directrix diberikan oleh persamaan , dan fokusnya berada di titik F(), maka persamaan parabola berbentuk:

. (12.5)

Parabola ini terletak simetris terhadap sumbu x.

persamaan adalah persamaan parabola simetris terhadap sumbu y.

Panjang vektor jari-jari fokus parabola ditentukan oleh rumus .

Contoh 20. Buatlah persamaan parabola dengan sebuah titik di titik asal, simetris terhadap sumbu OY dan memotong tali busur dengan panjang 8 pada garis-bagi sudut koordinat pertama dan ketiga.

Persamaan parabola yang diinginkan memiliki bentuk .

Persamaan garis bagi y \u003d x. Mari kita tentukan titik potong parabola dan garis bagi:

Setelah memecahkan sistem, kita memperoleh O(0; 0) dan M(2p; 2p).

Panjang akord OM = .

Dengan syarat, kami memiliki: OM \u003d 8, dari mana 2p \u003d 8.

Persamaan parabola yang diinginkan .

persamaan bidang

PADA Koordinat Cartesius setiap bidang didefinisikan oleh persamaan derajat pertama dalam x, y, dan z yang tidak diketahui, dan setiap persamaan derajat pertama dalam tiga yang tidak diketahui mendefinisikan sebuah bidang.

Mari kita ambil vektor sewenang-wenang dengan awal di titik . Mari kita turunkan persamaan tempat kedudukan titik M(x, y, z), untuk masing-masing vektor tegak lurus terhadap vektor. Mari kita tuliskan kondisi tegak lurus vektor:

Persamaan yang dihasilkan linier dalam x, y, z, oleh karena itu, ini mendefinisikan sebuah bidang yang melalui titik yang tegak lurus terhadap vektor . vektor disebut vektor normal bidang. Memperluas tanda kurung dalam persamaan bidang yang dihasilkan dan menunjukkan angka
huruf D, kami nyatakan dalam bentuk:

Ax + By + Cz + D = 0. (13.2)

Persamaan ini disebut persamaan umum bidang. A, B, C dan D adalah koefisien persamaan, A 2 + B 2 + C 2 0.

1. Persamaan Tidak Lengkap pesawat.

Jika dalam persamaan umum bidang satu, dua atau tiga koefisien sama dengan nol, maka persamaan bidang tersebut disebut tidak lengkap. Boleh memperkenalkan diri kasus berikut:

1) D = 0 - pesawat melewati titik asal;

2) A = 0 - bidang sejajar dengan sumbu Ox;

3) B = 0 - bidang sejajar dengan sumbu Oy;

4) C = 0 - bidang sejajar dengan sumbu Oz;

5) A = B = 0 - bidang sejajar dengan bidang XOY;

6) A \u003d C \u003d 0 - bidang sejajar dengan bidang XOZ;

7) B = C = 0 - bidang sejajar dengan bidang YOZ;

8) A \u003d D \u003d 0 - pesawat melewati sumbu Ox;

9) B = D = 0 - bidang melewati sumbu Oy;

10) C \u003d D \u003d 0 - pesawat melewati sumbu Oz;

11) A = B = D = 0 - bidang bertepatan dengan bidang XOY;

12) A = C = D = 0 - bidang bertepatan dengan bidang XOZ;

13) C \u003d B \u003d D \u003d 0 - bidang bertepatan dengan bidang YOZ.

2. Persamaan bidang dalam segmen.

Jika dalam persamaan umum bidang D 0, maka dapat ditransformasikan ke bentuk

, (13.3)

yang disebut persamaan bidang dalam segmen. - tentukan panjang segmen yang dipotong oleh bidang pada sumbu koordinat.

3. Persamaan normal bidang.

persamaan

di mana adalah cosinus arah dari vektor normal bidang , ditelepon persamaan normal pesawat. Untuk membawa persamaan umum bidang ke bentuk normal, itu harus dikalikan dengan faktor normalisasi:
,

dalam hal ini, tanda di depan akar dipilih dari kondisi .

Jarak d dari titik ke pesawat ditentukan oleh rumus: .

4. Persamaan bidang yang melalui tiga titik

Mari kita ambil titik sembarang pada bidang M(x,y,z) dan hubungkan titik M1 dengan masing-masing dari tiga titik yang tersisa. Kami mendapatkan tiga vektor . Untuk tiga vektor milik bidang yang sama, perlu dan cukup bahwa mereka menjadi coplanar. Syarat kesepadanan tiga vektor adalah persamaan dengan nol dari produk campuran, yaitu .

Menulis persamaan ini dalam hal koordinat titik, kami memperoleh persamaan yang diinginkan:

. (13.5)

5. Sudut antar pesawat.

Pesawat dapat sejajar, bertepatan atau berpotongan, membentuk sudut dihedral. Biarkan dua pesawat diberikan persamaan umum dan . Agar bidang-bidang tersebut berhimpitan, koordinat titik mana pun yang memenuhi persamaan pertama harus memenuhi persamaan kedua.

Ini akan terjadi jika
.

Jika sebuah , maka bidang-bidang tersebut sejajar.

Sudut yang dibentuk oleh dua bidang yang berpotongan, sama dengan sudut dibentuk oleh vektor normalnya. Kosinus sudut antara vektor ditentukan oleh rumus:

Jika , maka bidang-bidang tersebut tegak lurus.

Contoh 21. Tulis persamaan untuk bidang yang melalui dua titik dan tegak lurus terhadap bidang.

Kami menulis persamaan yang diinginkan dalam pandangan umum: . Karena bidang harus melalui titik-titik dan , koordinat titik-titik harus memenuhi persamaan bidang. Mengganti koordinat titik dan , Kami memperoleh: dan .

Dari kondisi tegak lurus bidang yang kita miliki: . vektor terletak di bidang yang diinginkan dan, oleh karena itu, tegak lurus terhadap vektor normal: .

Menggabungkan persamaan yang diperoleh, kami memiliki:

Memecahkan sistem, kita mendapatkan: , , , .

Persamaan yang diinginkan memiliki bentuk: .

Cara kedua. vektor normal diberikan pesawat memiliki koordinat . vektor . Vektor normal dari bidang yang diperlukan tegak lurus terhadap vektor dan vektor , yaitu kolinear dengan produk vektor . Menghitung produk vektor:
.

vektor
. Mari kita tulis persamaan bidang yang melalui titik tegak lurus terhadap vektor:

Atau persamaan yang diinginkan.

Definisi . Hiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik, perbedaan dari masing-masing titik ke dua titik tertentu, yang disebut fokus, adalah nilai konstan

Mari kita ambil sistem koordinat sehingga fokusnya terletak pada sumbu absis, dan titik asal koordinat membagi segmen F 1 F 2 menjadi dua (Gbr. 30). Dilambangkan F 1 F 2 = 2c. Kemudian F 1 (c; 0); F2 (-c; 0)

MF 2 \u003d r 2, MF 1 \u003d r 1 - radius fokus hiperbola.

Menurut definisi hiperbola, r 1 - r 2 = konstanta.

Mari kita tunjukkan dengan 2a

Maka r 2 - r 1 = ±2a jadi:

=> persamaan kanonik hiperbola

Karena persamaan hiperbola x dan y pangkat genap, maka jika titik M 0 (x 0; y 0) terletak pada hiperbola, maka titik-titik M 1 (x 0; -y 0) M 2 (-x 0; -x 0; -y 0) M 3 (-x 0; -y 0).

Oleh karena itu, hiperbola simetris terhadap kedua sumbu koordinat.

Ketika y \u003d 0 x 2 \u003d a 2 x \u003d ± a. Titik-titik hiperbola adalah titik-titik A 1 (a; 0); A2 (-a; 0).

. Karena simetri, penelitian dilakukan pada kuartal pertama

1) di
y memiliki nilai imajiner, maka titik-titik hiperbola dengan absis
tidak ada

2) di x = a; y \u003d 0 A 1 (a; 0) termasuk dalam hiperbola

3) untuk x > a; y > 0. Selain itu, dengan peningkatan x yang tidak terbatas, cabang hiperbola menjadi tak terhingga.

Oleh karena itu, hiperbola adalah kurva yang terdiri dari dua cabang tak berhingga.

P 6. Asimtot hiperbola

Pertimbangkan bersama dengan persamaan
persamaan garis lurus

Ke kurva akan terletak di bawah garis lurus (Gbr. 31). Pertimbangkan titik N (x, Y) dan M (x, y) yang absisnya sama, dan Y - y \u003d MN. Pertimbangkan panjang segmen MN

Ayo temukan

Jadi, jika titik M, yang bergerak sepanjang hiperbola pada kuartal pertama, menjauh hingga tak terhingga, maka jaraknya dari garis lurus
menurun dan cenderung nol.

Karena simetri, garis lurus memiliki sifat yang sama.
.

Definisi. Jalur langsung ke mana
kurva mendekati tanpa batas disebut asimtot.

Dan
jadi persamaan asimtot hiperbola
.

Asimtot hiperbola terletak di sepanjang diagonal persegi panjang, satu sisinya sejajar dengan sumbu x dan sama dengan 2a, dan yang lainnya sejajar dengan sumbu y dan sama dengan 2b, dan pusatnya terletak di titik asal (Gbr. 32).

P 7. Eksentrisitas dan direktriks hiperbola

r 2 – r 1 = ± 2a tanda + mengacu pada cabang kanan hiperbola

tanda - mengacu pada cabang kiri hiperbola

Definisi. Eksentrisitas hiperbola adalah rasio jarak antara fokus hiperbola ini dengan jarak antara simpulnya.

. Karena c > a, > 1

Kami menyatakan jari-jari fokus hiperbola dalam hal eksentrisitas:

Definisi . Mari kita panggil garis
, tegak lurus terhadap sumbu fokus hiperbola dan terletak pada jarakdari pusatnya oleh direktriks hiperbola yang sesuai dengan fokus kanan dan kiri.

T
suka hiperbola
akibatnya, direktriks hiperbola terletak di antara simpulnya (Gbr. 33). Mari kita tunjukkan bahwa rasio jarak setiap titik hiperbola ke fokus dan direktriks yang sesuai adalah konstan dan sama dengan .

P.8 Parabola dan persamaannya

HAI
definisi. Parabola adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama dari suatu titik tertentu, yang disebut fokus, dan dari garis tertentu, yang disebut direktriks.

Untuk menyusun persamaan parabola, kita ambil sebagai sumbu x sebuah garis lurus yang melalui fokus F 1 tegak lurus terhadap direktriks dan kita akan mempertimbangkan sumbu x yang diarahkan dari direktris ke fokus. Untuk asal koordinat, kami mengambil titik tengah O segmen dari titik F ke garis lurus yang diberikan, yang panjangnya kami tunjukkan dengan p (Gbr. 34). Besaran p akan disebut parameter parabola. Titik koordinat fokus
.

Misalkan M(x,y) adalah titik sembarang dari parabola.

Menurut definisi

pada 2 = 2px adalah persamaan kanonik parabola

Untuk menentukan jenis parabola, kita mengubah persamaannya
ini menyiratkan. Oleh karena itu, titik puncak parabola berada di titik asal dan sumbu simetri parabola adalah x. Persamaan y 2 \u003d -2px dengan p positif direduksi menjadi persamaan y 2 \u003d 2px dengan mengganti x dengan -x dan grafiknya terlihat seperti (Gbr. 35).

Pada
persamaan x 2 \u003d 2py adalah persamaan parabola dengan simpul di titik O (0; 0) yang cabang-cabangnya mengarah ke atas.

X
2 \u003d -2ru - persamaan parabola yang berpusat di titik asal simetris terhadap sumbu y, cabang-cabangnya diarahkan ke bawah (Gbr. 36).

Parabola memiliki satu sumbu simetri.

Jika x pangkat satu dan y pangkat dua, maka sumbu simetrinya adalah x.

Jika x pangkat dua dan y pangkat satu, maka sumbu simetrinya adalah sumbu y.

Catatan 1. Persamaan direktriks parabola memiliki bentuk
.

Catatan 2. Karena untuk parabola , kemudianε parabola adalah 1.ε = 1 .

Diberikan persamaan elips.

Keputusan:

Kami menulis persamaan elips dalam bentuk kanonik:
.

Dari sini
. Menggunakan relasi
, kami menemukan
. Karena itu,
.

Menurut rumus Temukan .

persamaan direktriks
terlihat seperti
, jarak antara mereka
.

Menurut rumus
tentukan absis titik-titik tersebut, jarak dari titik tersebut ke titik sama dengan 12:

. Mengganti nilai x ke dalam persamaan elips, kita menemukan ordinat titik-titik ini:

Jadi, titik A(7;0) memenuhi kondisi masalah.

Soal 56.

Tulis persamaan untuk elips yang melalui titik-titik.

Keputusan:

Kami mencari persamaan elips dalam bentuk
.

Karena elips melewati titik
, maka koordinatnya memenuhi persamaan elips:
. Mengalikan persamaan kedua dengan (-4) dan menambahkan persamaan pertama, kita menemukan
.

Mengganti nilai yang ditemukan ke dalam persamaan pertama, kita menemukan
. Jadi, persamaan yang diinginkan
.

Masalah 57.

;
.

Hiperbola

hiperbola disebut garis yang terdiri dari semua titik bidang, modulus perbedaan jarak dari mana ke dua titik tertentu dan adalah nilai konstan (tidak sama dengan nol dan kurang dari jarak antara titik-titik dan ).

poin dan ditelepon Trik hiperbola. Biarkan jarak antara fokus menjadi
. Modul jarak dari titik hiperbola ke fokus dan dilambangkan dengan . Dengan syarat,
.

,

di mana
- koordinat titik sewenang-wenang hiperbola,

.

persamaan
ditelepon persamaan kanonik hiperbola.

Hiperbola memiliki dua asimtot
.

keanehan hiperbola disebut bilangan . Untuk hiperbola apapun
.

Jari-jari fokus titik hiperbola disebut segmen garis yang menghubungkan titik ini dengan fokus dan . panjang mereka dan diberikan oleh rumus:

Langsung
disebut direktriks hiperbola. Seperti dalam kasus elips, titik-titik hiperbola dicirikan oleh hubungan .

Masalah 58.

Tentukan jarak antara fokus dan eksentrisitas hiperbola
.

Menjawab:
.

Masalah 59.

Tuliskan persamaan kanonik hiperbola jika (
). Tentukan eksentrisitas hiperbola.

Menjawab:
.

Soal 60.

Tuliskan persamaan kanonik suatu hiperbola simetris terhadap sumbu-sumbu koordinat jika melalui suatu titik
, dan eksentrisitasnya adalah
.

Menjawab:
.

Tugas 61.

Tentukan persamaan hiperbola yang titik-titiknya berada di fokus dan titik-titik fokusnya di titik-titik elips
.

Menjawab:
.

Soal 62.

Tentukan tempat kedudukan titik
, jarak dari mana ke garis lurus
setengah dari sebelum poin
.

Menjawab:
.

Soal 63.

Tuliskan persamaan simetris hiperbola terhadap sistem koordinat jika melalui titik
,
.

Menjawab:
.

Tugas 64.

Tulis persamaan untuk hiperbola jika asimtotnya diberikan oleh persamaan
, dan hiperbola melalui titik
.

Menjawab:
.

Soal 65.

Bagaimana titik-titik yang terletak di pesawat, yang koordinatnya memenuhi kondisi:

.

Parabola

parabola disebut garis yang terdiri dari semua titik pada bidang yang berjarak sama dari suatu titik tertentu
(fokus) dan garis yang diberikan (direktur).

Untuk menurunkan persamaan kanonik parabola, sumbu
melewati fokus
tegak lurus dengan direktriks dalam arah dari directrix ke fokus; asal koordinat diambil di tengah segmen antara fokus
dan titik
persimpangan sumbu
dengan kepala sekolah . Jika dilambangkan dengan jarak fokus dari direktriks, maka
dan persamaan directrix akan terlihat seperti
.

Dalam sistem koordinat yang dipilih, persamaan parabola memiliki bentuk:
. Persamaan ini disebut persamaan kanonik parabola.