Tahukah kamu apa itu titik tengah sebuah garis? Tentu saja. Dan pusat lingkaran? Juga.

Berapakah titik tengah suatu sudut?

Anda dapat mengatakan bahwa ini tidak terjadi. Tapi kenapa, ruas bisa dibagi dua, tapi sudutnya tidak bisa? Sangat mungkin - hanya bukan titik, tapi .... garis.

Apakah Anda ingat lelucon: garis bagi adalah tikus yang berjalan di sekitar sudut dan membagi dua sudut. Jadi, definisi garis-bagi yang sebenarnya sangat mirip dengan lelucon ini:

Garis bagi segitiga adalah segmen dari garis bagi sudut segitiga, menghubungkan titik sudut ini dengan titik di sisi yang berlawanan.

Dahulu kala, para astronom dan matematikawan kuno menemukan banyak sifat menarik dari garis-bagi. Pengetahuan ini telah sangat menyederhanakan kehidupan orang-orang.

Pengetahuan pertama yang akan membantu dalam hal ini adalah ...

Omong-omong, apakah Anda ingat semua istilah ini? Apakah Anda ingat bagaimana mereka berbeda satu sama lain? Bukan? Tidak menakutkan. Sekarang mari kita cari tahu.

• Dasar segitiga sama kaki- ini adalah sisi yang tidak sama dengan yang lain. Coba lihat gambarnya, menurutmu itu sisi yang mana? Itu benar - itu adalah sisi.
• Median adalah garis yang ditarik dari titik sudut segitiga dan membagi dua sisi yang berlawanan (ini lagi). Perhatikan bahwa kita tidak mengatakan, "Median segitiga sama kaki." Apa kamu tahu kenapa? Karena median yang ditarik dari titik sudut segitiga membagi dua sisi yang berlawanan dalam segitiga APAPUN.
• Tinggi adalah garis yang ditarik dari atas dan tegak lurus dengan alas. Anda perhatikan? Kita kembali berbicara tentang segitiga apa pun, bukan hanya segitiga sama kaki. Tinggi dalam segitiga APAPUN selalu tegak lurus dengan alasnya.

Jadi, apakah Anda sudah mengetahuinya? Hampir.

Untuk lebih memahami dan mengingat selamanya apa itu garis bagi, median, dan tinggi, mereka membutuhkan membandingkan satu sama lain dan memahami bagaimana mereka serupa dan bagaimana mereka berbeda satu sama lain.

Pada saat yang sama, untuk lebih mengingat, lebih baik menggambarkan semuanya dalam "bahasa manusia".

Kemudian Anda akan dengan mudah mengoperasikan dengan bahasa matematika, tetapi pada awalnya Anda tidak mengerti bahasa ini dan Anda perlu memahami semuanya dalam bahasa Anda sendiri.

Jadi bagaimana mereka mirip?

Garis bagi, median dan tinggi - mereka semua "keluar" dari puncak segitiga dan berbatasan dengan arah yang berlawanan dan "melakukan sesuatu" baik dengan sudut dari mana mereka keluar, atau dengan sisi yang berlawanan.

Saya pikir itu sederhana, bukan?

Dan bagaimana mereka berbeda?

• Garis bagi membagi sudut dari mana ia keluar.
• Median membagi dua sisi yang berlawanan.
• Tingginya selalu tegak lurus dengan sisi yang berlawanan.

Itu dia. Untuk memahami itu mudah. Setelah Anda mengerti, Anda bisa mengingatnya.

Sekarang pertanyaan berikutnya.

Mengapa, kemudian, dalam kasus segitiga sama kaki, garis bagi menjadi median dan tinggi pada saat yang sama?

Anda hanya dapat melihat gambar dan memastikan bahwa median terbagi menjadi dua segitiga yang benar-benar sama.

Itu saja! Tapi matematikawan tidak suka mempercayai mata mereka. Mereka perlu membuktikan semuanya.

Kata menakutkan?

Tidak ada yang seperti itu - semuanya sederhana! Lihat: dan memiliki sisi yang sama dan, mereka memiliki sisi yang sama dan. (- garis bagi!) Jadi, ternyata dua segitiga memiliki dua sisi yang sama dan sebuah sudut di antara mereka.

Kami mengingat tanda pertama kesetaraan segitiga (Anda tidak ingat, lihat topiknya) dan menyimpulkan bahwa, yang berarti = dan.

Ini sudah bagus - ini berarti median.

Tapi apa itu?

Mari kita lihat gambar -. Dan kami mendapatkan itu. Begitu juga! Akhirnya, hore! dan.

Apakah Anda menemukan bukti ini sulit? Lihat gambar - dua segitiga identik berbicara sendiri.

Bagaimanapun, harap diingat:

Sekarang lebih sulit: kita akan menghitung sudut antara garis-bagi dalam segitiga apa pun! Jangan takut, itu tidak terlalu rumit. Lihat gambarnya:

Mari kita hitung. Apakah kamu ingat itu? jumlah sudut segitiga adalah?

Mari kita terapkan fakta menakjubkan ini.

Di satu sisi, dari:

Yaitu.

Sekarang mari kita lihat:

Tapi garis-bagi, garis-bagi!

Mari kita ingat tentang:

Sekarang melalui surat-surat

Bukankah itu mengejutkan?

Ternyata sudut antara garis-bagi dua sudut hanya bergantung pada sudut ketiga!

Nah, kami melihat dua garis-bagi. Bagaimana jika ada tiga??!! Akankah mereka semua berpotongan di titik yang sama?

Atau akankah itu?

Bagaimana menurut Anda? Di sini matematikawan berpikir dan berpikir dan membuktikan:

Benar benar hebat?

Apakah Anda ingin tahu mengapa ini terjadi?

Pergi ke tingkat berikutnya - Anda siap untuk menaklukkan tingkat pengetahuan baru tentang garis-bagi!

BISEKTRIS. TINGKAT TENGAH

Apakah Anda ingat apa itu bisektor?

Garis bagi adalah garis yang membagi dua sudut.

Apakah Anda bertemu dengan bisektor dalam masalah? Cobalah untuk menerapkan satu (dan terkadang Anda bisa beberapa) dari sifat-sifat menakjubkan berikut.

1. Garis bagi dalam segitiga sama kaki.

Apakah Anda takut dengan kata "teorema"? Jika Anda takut, maka - sia-sia. Matematikawan terbiasa menyebut pernyataan apa pun yang entah bagaimana dapat disimpulkan dari pernyataan lain yang lebih sederhana, sebagai teorema matematika.

Jadi, perhatian, teorema!

Ayo buktikan teorema ini, yaitu, kita akan mengerti mengapa ini terjadi? Lihatlah sama kaki.

Mari kita lihat mereka dengan cermat. Dan kemudian kita akan melihat itu

1. - umum.

Dan ini berarti (lebih tepatnya, ingat tanda pertama persamaan segitiga!), Itu.

Terus? Apakah Anda ingin mengatakan demikian? Dan fakta bahwa kita belum melihat sisi ketiga dan sudut yang tersisa dari segitiga ini.

Dan sekarang mari kita lihat. Sekali, maka benar-benar tepat dan bahkan di samping itu,.

Jadi itu terjadi

1. membagi sisi menjadi dua, yaitu, menjadi median
2. , yang berarti keduanya aktif, karena (lihat lagi gambar).

Jadi ternyata menjadi garis-bagi dan tinggi juga!

Hore! Kami telah membuktikan teorema. Tapi coba tebak, bukan itu saja. Setia dan teorema kebalikan:

Bukti? Apakah kamu tertarik? Baca teori tingkat berikutnya!

Dan jika Anda tidak tertarik, maka ingat dengan tegas:

Mengapa sulit untuk diingat? Bagaimana itu bisa membantu? Bayangkan Anda memiliki tugas:

Diberikan: .

Mencari: .

Anda segera berpikir, garis-bagi dan, lihatlah, dia membagi sisi menjadi dua! (dengan syarat…). Jika Anda benar-benar ingat bahwa ini terjadi hanya dalam segitiga sama kaki, maka Anda menyimpulkan, yang artinya, tuliskan jawabannya:. Ini bagus, kan? Tentu saja, tidak semua tugas akan begitu mudah, tetapi pengetahuan pasti akan membantu!

Dan sekarang properti berikutnya. Siap?

2. Garis bagi suatu sudut adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama dari sisi-sisi sudut tersebut.

Takut? Sebenarnya, tidak ada yang perlu dikhawatirkan. Matematikawan malas menyembunyikan empat dalam dua baris. Jadi, apa artinya, "Bisector - tempat kedudukan titik"? Dan ini berarti mereka akan segera dieksekusi duapernyataan:

1. Jika sebuah titik terletak pada sebuah garis bagi, maka jarak dari titik tersebut ke sisi-sisi sudutnya adalah sama.
2. Jika pada suatu titik jarak ke sisi-sisi sudutnya sama, maka titik ini perlu terletak pada bisektor.

Apakah Anda melihat perbedaan antara pernyataan 1 dan 2? Jika tidak, maka ingatlah Hatter dari "Alice in Wonderland": "Jadi, Anda masih memiliki sesuatu yang baik untuk dikatakan, seolah-olah "Saya melihat apa yang saya makan" dan "Saya makan apa yang saya lihat" adalah hal yang sama!

Jadi, kita perlu membuktikan pernyataan 1 dan 2, dan kemudian pernyataan: "Bisektor adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama dari sisi-sisi sudut" akan dibuktikan!

Mengapa 1 benar?

Ambil titik mana pun pada garis-bagi dan sebut itu.

Mari kita turunkan tegak lurus dari titik ini ke sisi sudut.

Dan sekarang... bersiap-siaplah untuk mengingat tanda-tanda persamaan segitiga siku-siku! Jika Anda lupa, lihat bagian tersebut.

Jadi ... dua segitiga siku-siku: dan. Mereka memiliki:

• hipotenusa umum.
• (karena - garis-bagi!)

Jadi - berdasarkan sudut dan sisi miring. Oleh karena itu, kaki-kaki yang bersesuaian dari segitiga-segitiga ini adalah sama! Yaitu.

Kami membuktikan bahwa titik tersebut sama (atau sama) dihilangkan dari sisi sudut. Poin 1 telah ditangani. Sekarang mari kita beralih ke poin 2.

Mengapa 2 benar?

Dan hubungkan titik-titiknya.

Jadi, yaitu, terletak pada garis-bagi!

Itu saja!

Bagaimana semua ini dapat diterapkan pada pemecahan masalah? Misalnya, dalam tugas sering ada frasa seperti itu: "Lingkaran menyentuh sisi sudut ...". Nah, Anda perlu menemukan sesuatu.

Anda dengan cepat menyadari itu

Dan Anda dapat menggunakan kesetaraan.

3. Tiga garis bagi dalam sebuah segitiga berpotongan di satu titik

Dari sifat garis bagi menjadi tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama dari sisi-sisi sudut, pernyataan berikut:

Bagaimana tepatnya alirannya? Tapi lihat: dua garis bagi pasti akan berpotongan, kan?

Dan garis bagi ketiga bisa seperti ini:

Tetapi pada kenyataannya, semuanya jauh lebih baik!

Mari kita pertimbangkan titik persimpangan dua garis-bagi. Mari kita panggil dia.

Apa yang kami gunakan di sini dua kali? Ya paragraf 1, tentu saja! Jika suatu titik terletak pada garis bagi, maka titik tersebut sama jauhnya dari sisi sudut.

Dan begitulah yang terjadi.

Tapi perhatikan baik-baik kedua persamaan ini! Bagaimanapun, itu mengikuti dari mereka bahwa dan, oleh karena itu, .

Dan sekarang akan berhasil poin 2: jika jarak sisi-sisi sudut tersebut sama, maka titik tersebut terletak pada garis bagi ... berapa sudutnya? Lihat lagi gambarnya:

dan adalah jarak ke sisi-sisi sudut, dan mereka sama, yang berarti bahwa titik tersebut terletak pada garis-bagi sudut. Garis bagi ketiga melewati titik yang sama! Ketiga garis bagi berpotongan pada satu titik! Dan, sebagai hadiah tambahan -

radius tertulis lingkaran.

(Untuk kesetiaan, lihat topik lain).

Nah, sekarang Anda tidak akan pernah lupa:

Titik potong garis-bagi segitiga adalah pusat lingkaran yang tertulis di dalamnya.

Mari kita beralih ke properti berikutnya ... Wow, dan garis-bagi memiliki banyak properti, bukan? Dan ini bagus, karena semakin banyak properti, semakin banyak alat untuk memecahkan masalah tentang garis-bagi.

4. Garis-bagi dan paralelisme, garis-bagi dari sudut-sudut yang berdekatan

Fakta bahwa garis-bagi membagi sudut dalam beberapa kasus mengarah ke hasil yang sama sekali tidak terduga. Sebagai contoh,

Kasus 1

Ini bagus, kan? Mari kita mengerti mengapa.

Di satu sisi, kita menggambar garis bagi!

Tapi, di sisi lain, - seperti sudut berbaring melintang (ingat topiknya).

Dan sekarang ternyata; membuang tengah: ! - sama kaki!

Kasus 2

Bayangkan sebuah segitiga (atau lihat gambar)

Mari kita lanjutkan poin demi poin. Sekarang ada dua sudut:

• - sudut dalam
• - sudut luar - itu di luar, kan?

Jadi, dan sekarang seseorang ingin menggambar bukan hanya satu, tetapi dua garis bagi sekaligus: baik untuk dan untuk. Apa yang akan terjadi?

Dan itu akan berubah persegi panjang!

Anehnya, itulah yang sebenarnya.

Kami mengerti.

Menurut Anda, berapa jumlahnya?

Tentu saja karena mereka semua bersama-sama membuat sudut sedemikian rupa sehingga menjadi garis lurus.

Dan sekarang kita ingat itu dan adalah garis-bagi dan kita akan melihat bahwa di dalam sudut adalah tepat setengah dari jumlah keempat sudut: dan - - yaitu, persis. Dapat juga ditulis sebagai persamaan:

Jadi, tidak bisa dipercaya tapi benar:

Besar sudut antara garis bagi sudut dalam dan sudut luar segitiga adalah sama.

Kasus 3

Lihat bahwa semuanya sama di sini untuk sudut dalam dan luar?

Atau apakah kita berpikir lagi mengapa demikian?

Sekali lagi, untuk sudut yang berdekatan,

(sesuai dengan basis paralel).

Dan lagi, make up tepat setengah dari jumlah

Kesimpulan: Jika ada garis-bagi dalam masalah terkait sudut atau garis bagi masing-masing sudut jajar genjang atau trapesium, maka dalam masalah ini tentu segitiga siku-siku terlibat, dan mungkin bahkan seluruh persegi panjang.

5. Garis bagi dan sisi yang berlawanan

Ternyata garis bagi sudut segitiga tidak membagi sisi yang berlawanan, tetapi dengan cara yang khusus dan sangat menarik:

Yaitu:

Fakta yang menakjubkan, bukan?

Sekarang kita akan membuktikan fakta ini, tetapi bersiaplah: ini akan sedikit lebih sulit dari sebelumnya.

Sekali lagi - jalan keluar ke "ruang" - bangunan tambahan!

Mari kita lurus.

Untuk apa? Sekarang kita akan lihat.

Kami melanjutkan garis bagi ke persimpangan dengan garis.

Gambar yang akrab? Ya, ya, ya, sama persis seperti pada paragraf 4, kasus 1 - ternyata (- garis-bagi)

Seperti berbaring melintang

Jadi, ini juga.

Sekarang mari kita lihat segitiga dan.

Apa yang bisa dikatakan tentang mereka?

Mereka mirip. Ya, sudut mereka sama dengan vertikal. Jadi dua sudut.

Sekarang kami memiliki hak untuk menulis hubungan pihak-pihak terkait.

Dan sekarang dalam notasi singkat:

Aduh! Mengingatkanku pada sesuatu, kan? Bukankah itu yang ingin kami buktikan? Ya, ya, itu saja!

Anda lihat betapa hebatnya "perjalanan luar angkasa" itu - pembangunan garis lurus tambahan - tidak ada yang akan terjadi tanpanya! Jadi, kami membuktikannya

Sekarang Anda dapat menggunakannya dengan aman! Mari kita menganalisis satu lagi properti dari garis-bagi sudut segitiga - jangan takut, sekarang hal yang paling sulit sudah selesai - itu akan lebih mudah.

Kami mengerti

Teorema 1:

Teorema 2:

Teorema 3:

Teorema 4:

Teorema 5:

Teorema 6:

Nah, topiknya sudah berakhir. Jika Anda membaca baris-baris ini, maka Anda sangat keren.

Karena hanya 5% orang yang mampu menguasai sesuatu sendiri. Dan jika Anda telah membaca sampai akhir, maka Anda berada di 5%!

Sekarang hal yang paling penting.

Anda telah menemukan teori tentang topik ini. Dan, saya ulangi, itu ... itu luar biasa! Anda sudah lebih baik daripada sebagian besar rekan-rekan Anda.

Masalahnya adalah ini mungkin tidak cukup ...

Untuk apa?

Untuk kelulusan ujian yang berhasil, untuk masuk ke institut dengan anggaran terbatas dan, PALING PENTING, seumur hidup.

Saya tidak akan meyakinkan Anda tentang apa pun, saya hanya akan mengatakan satu hal ...

Orang-orang yang telah menerima pendidikan yang baik mendapatkan lebih banyak daripada mereka yang tidak menerimanya. Ini adalah statistik.

Tapi ini bukan hal utama.

Yang utama adalah mereka LEBIH BAHAGIA (ada penelitian seperti itu). Mungkin karena lebih banyak peluang terbuka di hadapan mereka dan hidup menjadi lebih cerah? Tidak tahu...

Tapi pikirkan sendiri...

Apa yang diperlukan untuk memastikan menjadi lebih baik daripada yang lain dalam ujian dan pada akhirnya ... lebih bahagia?

ISI TANGAN ANDA, MENYELESAIKAN MASALAH PADA TOPIK INI.

Pada ujian, Anda tidak akan ditanya teori.

Anda akan perlu menyelesaikan masalah tepat waktu.

Dan, jika Anda belum menyelesaikannya (BANYAK!), Anda pasti akan membuat kesalahan bodoh di suatu tempat atau tidak akan berhasil tepat waktu.

Ini seperti dalam olahraga - Anda harus mengulang berkali-kali untuk menang dengan pasti.

Temukan koleksi di mana pun Anda mau tentu dengan solusi, analisis terperinci dan putuskan, putuskan, putuskan!

Anda dapat menggunakan tugas kami (tidak perlu) dan kami pasti merekomendasikannya.

Untuk membantu tugas kami, Anda perlu membantu memperpanjang umur buku teks YouClever yang sedang Anda baca.

Bagaimana? Ada dua opsi:

1. Buka kunci akses ke semua tugas tersembunyi di artikel ini -
2. Buka kunci akses ke semua tugas tersembunyi di semua 99 artikel tutorial - Beli buku teks - 899 rubel

Ya, kami memiliki 99 artikel seperti itu di buku teks dan akses ke semua tugas dan semua teks tersembunyi di dalamnya dapat segera dibuka.

Akses ke semua tugas tersembunyi disediakan untuk seluruh masa pakai situs.

Kesimpulannya...

Jika Anda tidak menyukai tugas kami, cari yang lain. Hanya saja, jangan berhenti dengan teori.

"Dipahami" dan "Saya tahu bagaimana menyelesaikannya" adalah keterampilan yang sama sekali berbeda. Anda membutuhkan keduanya.

Temukan masalah dan selesaikan!

Dalam pelajaran ini, kita akan mempertimbangkan secara rinci sifat-sifat apa yang dimiliki titik-titik yang terletak pada garis-bagi sudut dan titik-titik yang terletak pada garis-bagi yang tegak lurus terhadap segmen.

Tema: Lingkaran

Pelajaran: Sifat-sifat garis-bagi sudut dan garis-bagi tegak lurus ruas garis

Pertimbangkan sifat-sifat titik yang terletak pada garis-bagi sudut (lihat Gambar 1).

Beras. satu

Diberikan sebuah sudut , garis-bagi AL, titik M terletak pada garis-bagi.

Dalil:

Jika titik M terletak pada garis bagi sudut, maka jaraknya sama dari sisi-sisi sudut, yaitu jarak dari titik M ke AC dan ke BC dari sisi-sisi sudut adalah sama.

Bukti:

Pertimbangkan segitiga dan . Ini adalah segitiga siku-siku, dan mereka sama, karena. memiliki sisi miring AM yang sama, dan sudut-sudutnya sama, karena AL adalah garis-bagi sudut . Jadi, segitiga siku-siku adalah sama di sisi miring dan sudut lancip, oleh karena itu , yang perlu dibuktikan. Jadi, suatu titik pada garis-bagi suatu sudut berjarak sama dari sisi-sisi sudut tersebut.

Teorema kebalikannya benar.

Jika suatu titik berjarak sama dari sisi-sisi sudut yang tidak melebar, maka titik itu terletak pada garis bagi.

Beras. 2

Sebuah sudut terbuka diberikan, titik M, sehingga jarak dari itu ke sisi sudut adalah sama (lihat Gambar 2).

Buktikan bahwa titik M terletak pada garis-bagi sudut.

Bukti:

Jarak suatu titik ke garis adalah panjang garis tegak lurus. Tarik dari titik M tegak lurus MK ke sisi AB dan MP ke sisi AC.

Pertimbangkan segitiga dan . Ini adalah segitiga siku-siku, dan mereka sama, karena. memiliki sisi miring AM yang sama, kaki MK dan MR sama dengan kondisi. Jadi, segitiga siku-siku adalah sama di sisi miring dan kaki. Dari persamaan segitiga mengikuti persamaan elemen yang bersesuaian, sudut yang sama terletak pada kaki yang sama, dengan demikian, , oleh karena itu, titik M terletak pada garis-bagi dari sudut yang diberikan.

Teorema langsung dan invers dapat digabungkan.

Dalil

Garis bagi suatu sudut tak-memperluas adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama dari sisi-sisi sudut tersebut.

Dalil

Garis bagi AA 1 , BB 1 , CC 1 dari segitiga berpotongan di satu titik O (lihat Gambar 3).

Beras. 3

Bukti:

Pertimbangkan dua bisektor pertama BB 1 dan 1 . Mereka berpotongan, titik perpotongan O ada. Untuk membuktikan ini, anggaplah sebaliknya - biarkan garis-bagi yang diberikan tidak berpotongan, dalam hal ini mereka sejajar. Maka garis BC adalah garis potong, dan jumlah sudut , ini bertentangan dengan fakta bahwa dalam keseluruhan segitiga jumlah sudutnya adalah .

Jadi, titik O dari perpotongan dua garis bagi ada. Pertimbangkan propertinya:

Titik O terletak pada garis bagi sudut , yang berarti jaraknya sama dari sisi BA dan BC. Jika OK tegak lurus BC, OL tegak lurus BA, maka panjang tegak lurus tersebut sama dengan -. Juga, titik O terletak pada garis-bagi sudut dan berjarak sama dari sisi-sisinya CB dan CA, tegak lurus OM dan OK adalah sama.

Kami mendapatkan persamaan berikut:

, yaitu, ketiga garis tegak lurus yang dijatuhkan dari titik O ke sisi-sisi segitiga sama besar satu sama lain.

Kami tertarik pada kesetaraan tegak lurus OL dan OM. Persamaan ini menyatakan bahwa titik O berjarak sama dari sisi-sisi sudut, oleh karena itu terletak pada garis bagi AA 1.

Dengan demikian, kami telah membuktikan bahwa ketiga garis bagi segitiga berpotongan di satu titik.

Mari kita beralih ke pertimbangan segmen, garis-bagi tegak lurus dan sifat-sifat titik yang terletak pada garis-bagi tegak lurus.

Segmen AB diberikan, p adalah garis bagi tegak lurus. Ini berarti bahwa garis p melalui titik tengah segmen AB dan tegak lurus terhadapnya.

Dalil

Beras. 4

Setiap titik yang terletak pada garis bagi tegak lurus berjarak sama dari ujung segmen (lihat Gambar 4).

Buktikan itu

Bukti:

Pertimbangkan segitiga dan . Mereka adalah persegi panjang dan sama, karena. memiliki kaki yang sama OM, dan kaki AO dan OB sama dengan syarat, jadi, kami memiliki dua segitiga siku-siku yang sama di dua kaki. Oleh karena itu, hipotenusa dari segitiga-segitiga itu juga sama, yaitu, yang harus dibuktikan.

Perhatikan bahwa segmen AB adalah akord umum untuk banyak lingkaran.

Misalnya lingkaran pertama berpusat di titik M dan berjari-jari MA dan MB; lingkaran kedua berpusat di titik N, jari-jari NA dan NB.

Dengan demikian, kami telah membuktikan bahwa jika sebuah titik terletak pada garis-bagi yang tegak lurus suatu segmen, titik tersebut berjarak sama dari ujung-ujung segmen tersebut (lihat Gambar 5).

Beras. 5

Teorema kebalikannya benar.

Dalil

Jika suatu titik M berjarak sama dari ujung suatu ruas, maka titik tersebut terletak pada garis bagi yang tegak lurus terhadap ruas tersebut.

Segmen AB diberikan, median tegak lurus terhadapnya p, titik M, berjarak sama dari ujung segmen (lihat Gambar 6).

Buktikan bahwa titik M terletak pada garis-bagi yang tegak lurus terhadap segmen tersebut.

Beras. 6

Bukti:

Mari kita pertimbangkan sebuah segitiga. Ini adalah sama kaki, seperti dengan kondisi. Pertimbangkan median segitiga: titik O adalah titik tengah alas AB, OM adalah median. Menurut sifat segitiga sama kaki, median yang ditarik ke alasnya adalah tinggi dan garis bagi. Oleh karena itu berikut bahwa . Tetapi garis p juga tegak lurus AB. Kita tahu bahwa satu garis tegak lurus terhadap segmen AB dapat ditarik ke titik O, yang berarti bahwa garis OM dan p bertepatan, oleh karena itu titik M termasuk dalam garis p, yang perlu dibuktikan.

Teorema langsung dan invers dapat digeneralisasikan.

Dalil

Garis bagi suatu segmen tegak lurus adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama dari ujung-ujungnya.

Segitiga, seperti yang Anda tahu, terdiri dari tiga segmen, yang berarti bahwa tiga garis bagi yang tegak lurus dapat ditarik di dalamnya. Ternyata mereka berpotongan di satu titik.

Garis bagi tegak lurus segitiga berpotongan di satu titik.

Sebuah segitiga diberikan. Tegak lurus ke sisinya: P 1 ke sisi BC, P 2 ke sisi AC, P 3 ke sisi AB (lihat Gambar 7).

Buktikan bahwa garis tegak lurus 1 , 2 dan 3 berpotongan di titik O.

Hari ini akan menjadi pelajaran yang sangat mudah. Kami hanya akan mempertimbangkan satu objek - garis bagi sudut - dan membuktikan properti terpentingnya, yang akan sangat berguna bagi kami di masa depan.

Jangan santai saja: terkadang siswa yang ingin mendapatkan nilai tinggi pada OGE atau USE yang sama, pada pelajaran pertama, bahkan tidak dapat merumuskan definisi yang tepat dari garis bagi.

Dan alih-alih melakukan tugas yang sangat menarik, kami menghabiskan waktu untuk hal-hal sederhana seperti itu. Jadi baca, tonton - dan adopsi. :)

Untuk memulainya, pertanyaan yang agak aneh: apa itu sudut? Itu benar: sudut hanyalah dua sinar yang keluar dari titik yang sama. Sebagai contoh:

Contoh sudut: lancip, tumpul, dan siku-siku

Seperti yang Anda lihat dari gambar, sudutnya bisa tajam, tumpul, lurus - tidak masalah sekarang. Seringkali, untuk kenyamanan, titik tambahan ditandai pada setiap sinar dan mereka mengatakan, mereka mengatakan, kami memiliki sudut $AOB$ (ditulis sebagai $\angle AOB$).

Kapten tampaknya mengisyaratkan bahwa selain sinar $OA$ dan $OB$, seseorang selalu dapat menggambar banyak sinar dari titik $O$. Tetapi di antara mereka akan ada satu yang istimewa - itu disebut garis-bagi.

Definisi. Garis bagi suatu sudut adalah sinar yang keluar dari titik sudut tersebut dan membagi sudut tersebut.

Untuk sudut-sudut di atas, garis bagi akan terlihat seperti ini:

Contoh garis bagi sudut lancip, tumpul, dan siku-siku

Karena dalam gambar nyata jauh dari selalu jelas bahwa sinar tertentu (dalam kasus kami, ini adalah sinar $OM$) membagi sudut awal menjadi dua yang sama, biasanya dalam geometri untuk menandai sudut yang sama dengan jumlah sudut yang sama. busur (dalam gambar kami ini adalah 1 busur untuk sudut lancip, dua untuk tumpul, tiga untuk lurus).

Oke, kami menemukan definisinya. Sekarang Anda perlu memahami sifat-sifat yang dimiliki bisector.

Sifat dasar garis bagi sudut

Padahal, bisektor memiliki banyak sifat. Dan kami pasti akan mempertimbangkannya dalam pelajaran berikutnya. Tapi ada satu trik yang perlu Anda pahami sekarang:

Dalil. Garis bagi suatu sudut adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama dari sisi-sisi sudut yang ditentukan.

Diterjemahkan dari matematika ke dalam bahasa Rusia, ini berarti dua fakta sekaligus:

1. Setiap titik yang terletak pada garis bagi suatu sudut berada pada jarak yang sama dari sisi-sisi sudut tersebut.
2. Dan sebaliknya: jika suatu titik terletak pada jarak yang sama dari sisi-sisi suatu sudut tertentu, maka titik tersebut dijamin terletak pada garis-bagi sudut tersebut.

Sebelum membuktikan pernyataan-pernyataan ini, mari kita perjelas satu hal: apa sebenarnya yang disebut jarak dari suatu titik ke sisi suatu sudut? Definisi lama yang baik tentang jarak dari titik ke garis akan membantu kita di sini:

Definisi. Jarak suatu titik ke garis adalah panjang garis tegak lurus yang ditarik dari titik tersebut ke garis tersebut.

Sebagai contoh, perhatikan sebuah garis $l$ dan sebuah titik $A$ yang tidak terletak pada garis ini. Gambarkan $AH$ tegak lurus, di mana $H\di l$. Maka panjang tegak lurus ini adalah jarak dari titik $A$ ke garis $l$.

Representasi grafis dari jarak dari titik ke garis

Karena sebuah sudut hanyalah dua sinar, dan setiap sinar adalah sepotong garis, mudah untuk menentukan jarak dari suatu titik ke sisi-sisi sudut. Itu hanya dua tegak lurus:

Tentukan jarak dari suatu titik ke sisi-sisi suatu sudut

Itu saja! Sekarang kita tahu apa itu jarak dan apa itu garis bagi. Oleh karena itu, kita dapat membuktikan sifat utama.

Seperti yang dijanjikan, kami membagi bukti menjadi dua bagian:

1. Jarak suatu titik pada garis bagi ke sisi-sisi sudut adalah sama

Pertimbangkan sudut sewenang-wenang dengan simpul $O$ dan garis bagi $OM$:

Mari kita buktikan bahwa titik yang sama $M$ berada pada jarak yang sama dari sisi sudut.

Bukti. Mari kita menggambar garis tegak lurus dari titik $M$ ke sisi sudut. Sebut saja mereka $M((H)_(1))$ dan $M((H)_(2))$:

Gambarlah garis tegak lurus ke sisi sudut

Kami mendapatkan dua segitiga siku-siku: $\vartriangle OM((H)_(1))$ dan $\vartriangle OM((H)_(2))$. Mereka memiliki sisi miring $OM$ yang sama dan sudut yang sama:

1. $\angle MO((H)_(1))=\angle MO((H)_(2))$ dengan asumsi (karena $OM$ adalah garis bagi);
2. $\angle M((H)_(1))O=\angle M((H)_(2))O=90()^\circ $ menurut konstruksi;
3. $\angle OM((H)_(1))=\angle OM((H)_(2))=90()^\circ -\angle MO((H)_(1))$ karena jumlah sudut lancip segitiga siku-siku selalu sama dengan 90 derajat.

Oleh karena itu, segitiga sama sisi dan dua sudut yang berdekatan (lihat tanda-tanda persamaan segitiga). Oleh karena itu, khususnya, $M((H)_(2))=M((H)_(1))$, mis. jarak dari titik $O$ ke sisi-sisi sudut memang sama. Q.E.D. :)

2. Jika jaraknya sama, maka titiknya terletak pada garis bagi

Sekarang situasinya terbalik. Biarkan sudut $O$ dan titik $M$ berjarak sama dari sisi sudut ini diberikan:

Mari kita buktikan bahwa sinar $OM$ adalah garis bagi, mis. $\angle MO((H)_(1))=\angle MO((H)_(2))$.

Bukti. Untuk memulainya, mari kita gambarkan sinar $OM$ ini, jika tidak, tidak akan ada yang perlu dibuktikan:

Menghabiskan balok $OM$ di dalam sudut

Kami mendapatkan dua segitiga siku-siku lagi: $\vartriangle OM((H)_(1))$ dan $\vartriangle OM((H)_(2))$. Jelas mereka setara karena:

1. Sisi miring $OM$ adalah umum;
2. Kaki $M((H)_(1))=M((H)_(2))$ dengan syarat (karena titik $M$ berjarak sama dari sisi sudut);
3. Kaki yang tersisa juga sama, karena dengan teorema Pythagoras $OH_(1)^(2)=OH_(2)^(2)=O((M)^(2))-MH_(1)^(2)$.

Oleh karena itu, segitiga $\vartriangle OM((H)_(1))$ dan $\vartriangle OM((H)_(2))$ pada tiga sisi. Secara khusus, sudutnya sama: $\angle MO((H)_(1))=\angle MO((H)_(2))$. Dan ini hanya berarti bahwa $OM$ adalah sebuah garis bagi.

Sebagai kesimpulan dari bukti, kami menandai sudut yang sama yang terbentuk dengan busur merah:

Garis bagi membagi sudut $\angle ((H)_(1))O((H)_(2))$ menjadi dua sama besar

Seperti yang Anda lihat, tidak ada yang rumit. Kami telah membuktikan bahwa garis bagi suatu sudut adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap sisi-sisi sudut tersebut. :)

Sekarang kita telah lebih atau kurang memutuskan terminologi, saatnya untuk pindah ke tingkat yang baru. Dalam pelajaran berikutnya, kita akan menganalisis sifat-sifat yang lebih kompleks dari garis-bagi dan belajar bagaimana menerapkannya untuk memecahkan masalah nyata.

Garis bagi segitiga - ruas garis bagi sudut segitiga, yang terletak di antara titik sudut segitiga dan sisi yang berhadapan dengannya.

Properti Bisektor

1. Garis bagi segitiga membagi dua sudut.

2. Garis bagi sudut segitiga membagi sisi yang berhadapan dengan perbandingan yang sama dengan perbandingan dua sisi yang berdekatan ()

3. Titik-titik garis bagi suatu sudut suatu segitiga berjarak sama dari sisi-sisi sudut tersebut.

4. Garis-bagi sudut dalam segitiga berpotongan di satu titik - pusat lingkaran yang tertulis dalam segitiga ini.

Beberapa rumus yang berkaitan dengan garis bagi segitiga

(bukti rumus - )
, di mana
- panjang garis bagi yang ditarik ke samping,
- sisi segitiga terhadap simpul, masing-masing,
- panjang segmen di mana garis bagi membagi sisi,

Saya mengundang Anda untuk menonton pelajaran video, yang menunjukkan penerapan semua properti garis-bagi di atas.

Tugas yang dibahas dalam video:
1. Pada segitiga ABC dengan sisi AB=2 cm, BC=3 cm, AC=3 cm, garis bagi BM digambar. Tentukan panjang segmen AM dan MC
2. Garis bagi sudut dalam di titik A dan garis bagi sudut luar di titik C segitiga ABC berpotongan di titik M. Tentukan sudut BMC, jika sudut B adalah 40, sudut C adalah 80 derajat
3. Temukan jari-jari lingkaran dalam segitiga, dengan mempertimbangkan sisi sel persegi sama dengan 1

Anda mungkin juga tertarik dengan video tutorial singkat di mana salah satu sifat garis bagi diterapkan

Dalam pelajaran ini, kita akan mengingat kembali konsep garis-bagi sudut, merumuskan dan membuktikan teorema-teorema langsung dan invers pada sifat-sifat garis-bagi, dan menggeneralisasikannya. Kami akan memecahkan masalah di mana, selain fakta tentang garis bagi, kami menerapkan fakta geometris lainnya.

Tema: Lingkaran

Pelajaran: Sifat-sifat garis bagi sudut. tugas

Segitiga adalah figur sentral dari semua geometri, dan dengan bercanda dikatakan bahwa itu tidak habis-habisnya, seperti atom. Propertinya banyak, menarik, menghibur. Kami mempertimbangkan beberapa properti ini.

Segitiga apa pun terutama terdiri dari tiga sudut dan tiga segmen (lihat Gambar 1).

Beras. satu

Pertimbangkan sudut dengan titik sudut A dan sisi B dan C - sudut.

Di sudut mana pun, termasuk sudut segitiga, Anda dapat menggambar garis bagi - yaitu, garis lurus yang membagi sudut menjadi dua (lihat Gambar 2).

Beras. 2

Pertimbangkan sifat-sifat suatu titik yang terletak pada garis-bagi suatu sudut (lihat Gambar 3).

Perhatikan sebuah titik M yang terletak pada garis bagi suatu sudut.

Ingatlah bahwa jarak dari suatu titik ke garis adalah panjang garis tegak lurus yang dijatuhkan dari titik ini ke garis.

Beras. 3

Jelasnya, jika kita mengambil sebuah titik yang tidak terletak pada garis-bagi, maka jarak dari titik ini ke sisi-sisi sudut akan berbeda. Jarak dari titik M ke sisi sudut adalah sama.

Dalil

Setiap titik garis bagi suatu sudut yang tidak diperbesar memiliki jarak yang sama dari sisi-sisi sudut, yaitu, jarak dari titik M ke AC dan ke BC dari sisi-sisi sudut adalah sama.

Sebuah sudut diberikan, garis-baginya adalah AL, titik M terletak pada garis-bagi (lihat Gambar 4).

Buktikan itu.

Beras. 4

Bukti:

Pertimbangkan segitiga dan . Ini adalah segitiga siku-siku, dan mereka sama, karena mereka memiliki sisi miring AM yang sama, dan sudut-sudutnya sama, karena AL adalah garis-bagi sudut. Jadi, segitiga siku-siku adalah sama di sisi miring dan sudut lancip, oleh karena itu , yang perlu dibuktikan. Jadi, suatu titik pada garis-bagi suatu sudut berjarak sama dari sisi-sisi sudut tersebut.

Teorema kebalikannya benar.

Dalil

Jika suatu titik berjarak sama dari sisi-sisi sudut yang tidak melebar, maka titik itu terletak pada garis bagi.

Sebuah sudut yang tidak berkembang diberikan, titik M, sedemikian rupa sehingga jarak dari itu ke sisi-sisi sudut adalah sama.

Buktikan bahwa titik M terletak pada garis-bagi sudut (lihat Gambar 5).

Beras. 5

Bukti:

Jarak suatu titik ke garis adalah panjang garis tegak lurus. Tarik dari titik M tegak lurus MK ke sisi AB dan MP ke sisi AC.

Pertimbangkan segitiga dan . Ini adalah segitiga siku-siku, dan mereka sama, karena mereka memiliki sisi miring AM yang sama, kaki MK dan MR sama dengan kondisi. Jadi, segitiga siku-siku adalah sama di sisi miring dan kaki. Dari persamaan segitiga mengikuti persamaan elemen yang bersesuaian, sudut yang sama terletak pada kaki yang sama, dengan demikian, , oleh karena itu, titik M terletak pada garis-bagi dari sudut yang diberikan.

Terkadang teorema langsung dan invers digabungkan sebagai berikut:

Dalil

Suatu titik berjarak sama dari sisi-sisi suatu sudut jika dan hanya jika terletak pada garis bagi sudut tersebut.

Jarak yang sama dari titik-titik garis bagi dari sisi-sisi sudut banyak digunakan dalam berbagai masalah.

Soal #674 dari buku teks Atanasyan, geometri, kelas 7-9:

Dari titik M dari garis-bagi dari sudut yang tidak diperbesar, tegak lurus MA dan MB ditarik ke sisi sudut ini (lihat Gambar 6). Buktikan itu.

Diketahui: sudut, garis bagi OM, tegak lurus MA dan MB terhadap sisi-sisi sudut.

Beras. 6

Buktikan bahwa:

Bukti:

Menurut teorema langsung, titik M berjarak sama dari sisi-sisi sudut, karena dengan syarat ia terletak pada garis-baginya. .

Pertimbangkan segitiga siku-siku dan (lihat Gambar 7). Mereka memiliki OM sisi miring yang sama, kaki MA dan MB adalah sama, seperti yang kami buktikan sebelumnya. Jadi dua persegi panjang

Beras. 7

segitiga sama kaki dan sisi miring. Dari persamaan segitiga mengikuti persamaan unsur-unsur yang bersesuaian, maka persamaan sudut dan kesetaraan kaki lainnya.

Dari persamaan kaki OA dan OB diketahui bahwa segitiga tersebut sama kaki, dan AB adalah alasnya. Garis OM adalah garis bagi segitiga. Menurut sifat segitiga sama kaki, garis bagi ini juga merupakan tinggi, yang berarti bahwa garis OM dan AB berpotongan pada sudut siku-siku, yang harus dibuktikan.

Jadi, kami telah mempertimbangkan teorema langsung dan invers pada properti titik yang terletak pada garis-bagi suatu sudut, menggeneralisasikannya dan memecahkan masalah dengan menerapkan berbagai fakta geometris, termasuk teorema ini.

Bibliografi

1. Alexander A.D. dll. Geometri, kelas 8. - M.: Pendidikan, 2006.
2. Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V. Geometri, kelas 8. - M.: Pendidikan, 2011.
3. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Geometri, kelas 8. - M.: VENTANA-GRAF, 2009.

1. Bymath.net().
2. Oldskola1.narod.ru ().

Pekerjaan rumah

1. Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B. dkk.Geometri, 7-9, no.676-678, pasal. 180.