Definisi 7.2. Tempat kedudukan titik-titik pada bidang yang perbedaan jaraknya ke dua titik tetap adalah tetap disebut hiperbola.

Catatan 7.2. Berbicara tentang perbedaan jarak, itu berarti bahwa jarak yang lebih kecil dikurangi dari jarak yang lebih besar. Ini berarti bahwa sebenarnya, untuk hiperbola, modulus perbedaan jarak dari salah satu titiknya ke dua titik tetap adalah konstan. #

Definisi hiperbola mirip dengan definisi elips. Perbedaan di antara mereka hanya bahwa untuk hiperbola perbedaan jarak ke titik tetap adalah konstan, dan untuk elips - jumlah jarak yang sama. Oleh karena itu, wajar jika kurva-kurva ini memiliki banyak kesamaan baik dalam sifat maupun dalam terminologi yang digunakan.

Titik-titik tetap dalam definisi hiperbola (disimbolkan dengan F 1 dan F 2) disebut fokus hiperbola. Jarak antara keduanya (disimbolkan dengan 2s) disebut Focal length, dan segmen F 1 M dan F 2 M, menghubungkan titik sembarang M pada hiperbola dengan fokusnya, - radius fokus.

Bentuk hiperbola sepenuhnya ditentukan oleh panjang fokus |F 1 F 2 | = 2с dan nilai nilai konstanta 2а, sama dengan selisih jari-jari fokus, dan posisinya pada bidang - posisi fokus F 1 dan F 2 .

Dari definisi hiperbola, seperti elips, ia simetris terhadap garis lurus yang melalui fokus, serta terhadap garis lurus yang membagi segmen F 1 F 2 menjadi dua dan tegak lurus. untuk itu (Gbr. 7.7). Yang pertama dari sumbu simetri ini disebut sumbu nyata hiperbola, dan yang kedua - dia sumbu imajiner. Konstanta a yang terlibat dalam definisi hiperbola disebut setengah sumbu nyata dari hiperbola.

Bagian tengah ruas F 1 F 2 yang menghubungkan pusat-pusat hiperbola terletak pada perpotongan sumbu-sumbu simetrinya dan oleh karena itu merupakan pusat simetri hiperbola, yang secara sederhana disebut pusat hiperbola.

Untuk hiperbola, sumbu nyata 2a tidak boleh lebih besar dari jarak fokus 2c, karena untuk segitiga F 1 MF 2 (lihat Gambar 7.7) pertidaksamaan ||F 1 M| - |F 2 M| | |F 1 F 2 |. Persamaan a = c hanya berlaku untuk titik-titik M yang terletak pada sumbu simetri nyata hiperbola di luar interval F 1 F 2 . Membuang kasus yang merosot ini, kami selanjutnya mengasumsikan bahwa a

persamaan hiperbola. Mari kita perhatikan beberapa hiperbola pada bidang dengan fokus pada titik F 1 dan F 2 dan sumbu nyata 2a. Misal 2c adalah panjang fokus, 2c = |F 1 F 2 | > 2a. Menurut Catatan 7.2, hiperbola terdiri dari titik-titik M(x; y) dimana | |F 1 M| - - |F 2 M| | = 2a. Ayo pilih sistem koordinat persegi panjang Oksi sehingga pusat hiperbola berada di asal, dan fokusnya berada di absis(Gbr. 7.8). Sistem koordinat seperti itu untuk hiperbola yang dipertimbangkan disebut resmi, dan variabel yang sesuai - resmi.

Dalam sistem koordinat kanonik, fokus hiperbola memiliki: koordinat F 1 (c; 0) dan F 2 (-c; 0). Dengan menggunakan rumus jarak antara dua titik, kita tuliskan kondisinya ||F 1 M| - |F 2 M|| = 2a dalam koordinat |√((x - c) 2 + y 2) - ((x + c) 2 + y 2)| \u003d 2a, di mana (x; y) adalah koordinat titik M. Untuk menyederhanakan persamaan ini, kita menghilangkan tanda modulus: ((x - c) 2 + y 2) - ((x + c ) 2 + y 2) \u003d ±2a, pindahkan radikal kedua ke sisi kanan dan kuadratkan: (x - c) 2 + y 2 \u003d (x + c) 2 + y 2 ± 4a ((x + c) 2 + y 2) + 4a 2 . Setelah disederhanakan, kita mendapatkan -εx - a \u003d ± ((x + c) 2 + y 2), atau

((x + c) 2 + y 2) = |εx + a| (7.7)

dimana = c/a. Kami kuadratkan untuk kedua kalinya dan sekali lagi membawa istilah yang serupa: (ε 2 - 1) x 2 - y 2 \u003d c 2 - a 2, atau, dengan persamaan \u003d c / a dan pengaturan b 2 \u003d c 2 - sebuah 2,

x 2 / a 2 - y 2 / b 2 \u003d 1 (7.8)

Nilai b > 0 disebut semisumbu imajiner hiperbola.

Jadi, kita telah menetapkan bahwa sembarang titik pada hiperbola dengan fokus F 1 (c; 0) dan F 2 (-c; 0) dan sebuah semi-sumbu real memenuhi persamaan (7.8). Tetapi kita juga harus menunjukkan bahwa koordinat titik-titik di luar hiperbola tidak memenuhi persamaan ini. Untuk melakukan ini, kami mempertimbangkan keluarga semua hiperbola dengan fokus yang diberikan F 1 dan F 2 . Keluarga hiperbola ini memiliki sumbu simetri yang sama. Dari pertimbangan geometris, jelas bahwa setiap titik bidang (kecuali untuk titik yang terletak pada sumbu simetri nyata di luar interval F1F2 dan titik-titik yang terletak pada sumbu simetri imajiner) termasuk beberapa hiperbola keluarga, dan hanya satu, karena perbedaan jarak dari titik ke fokus F 1 dan F 2 berubah dari hiperbola ke hiperbola. Biarkan koordinat titik M(x; y) memenuhi persamaan (7.8), dan biarkan titik itu sendiri termasuk hiperbola dari keluarga dengan beberapa nilai dari semiaxis real. Kemudian, seperti yang telah kami tunjukkan, koordinatnya memenuhi persamaan Oleh karena itu, sistem dua persamaan dengan dua tidak diketahui

memiliki setidaknya satu solusi. Dengan verifikasi langsung, kami memastikan bahwa untuk a ini tidak mungkin. Memang, menghilangkan, misalnya, x dari persamaan pertama:

setelah transformasi, kita memperoleh persamaan

yang, untuk a, tidak memiliki solusi, karena . Jadi, (7.8) adalah persamaan hiperbola dengan semi-sumbu real a > 0 dan semi-sumbu imajiner b = (с 2 - a 2) > 0. Disebut persamaan kanonik hiperbola.

Jenis hiperbola. Dalam bentuknya, hiperbola (7.8) sangat berbeda dengan elips. Dengan mempertimbangkan keberadaan dua sumbu simetri hiperbola, cukup untuk membangun bagiannya yang berada di kuartal pertama sistem koordinat kanonik. Pada kuartal pertama, yaitu untuk x 0, y 0, persamaan kanonik hiperbola diselesaikan secara unik terhadap y:

y \u003d b / a (x 2 - a 2). (7.9)

Studi tentang fungsi ini y(x) memberikan hasil sebagai berikut.

Domain dari fungsi tersebut adalah (x: x a) dan pada domain ini kontinu sebagai fungsi kompleks, dan pada titik x = a kontinu di sebelah kanan. Satu-satunya nol dari fungsi tersebut adalah titik x = a.

Mari kita cari turunan dari fungsi y (x): y "(x) \u003d bx / a (x 2 - a 2). Dari sini kita simpulkan bahwa untuk x> a fungsi naik secara monoton. Selain itu, , yang berarti bahwa pada titik x = a dari perpotongan grafik fungsi dengan sumbu x terdapat garis singgung vertikal. Fungsi y (x) memiliki turunan kedua y "= -ab (x 2 - a 2) -3/2 untuk x> a, dan turunan ini negatif. Oleh karena itu, grafik fungsi cembung ke atas, dan ada tidak ada titik belok.

Fungsi ini memiliki asimtot miring, yang mengikuti dari keberadaan dua batas:

Asimtot miring dijelaskan oleh persamaan y = (b/a)x.

Studi tentang fungsi (7.9) memungkinkan kita untuk membuat grafiknya (Gbr. 7.9), yang bertepatan dengan bagian hiperbola (7.8) yang terdapat pada kuartal pertama.

Karena hiperbola simetris terhadap sumbunya, seluruh kurva memiliki bentuk yang ditunjukkan pada Gambar. 7.10. Hiperbola terdiri dari dua cabang simetris yang terletak di

sisi sumbu simetri imajinernya. Cabang-cabang ini tidak dibatasi pada kedua sisi, dan garis y = ±(b/a)x secara simultan asimtot dari kedua cabang kanan dan kiri hiperbola.

Sumbu simetri hiperbola berbeda karena sumbu nyata memotong hiperbola, dan sumbu imajiner, sebagai tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama dari fokus, tidak berpotongan (itulah sebabnya disebut imajiner). Dua titik perpotongan sumbu simetri nyata dengan hiperbola disebut simpul hiperbola (titik A (a; 0) dan B (-a; 0) pada Gambar 7.10).

Konstruksi hiperbola di sepanjang sumbu nyata (2a) dan imajiner (2b) harus dimulai dengan persegi panjang yang berpusat di titik asal dan sisi 2a dan 2b sejajar, masing-masing, dengan sumbu simetri nyata dan imajiner hiperbola (Gbr. 7.11 ). Asimtot hiperbola adalah kelanjutan dari diagonal persegi panjang ini, dan titik sudut hiperbola adalah titik potong sisi persegi panjang dengan sumbu simetri nyata. Perhatikan bahwa persegi panjang dan posisinya pada bidang secara unik menentukan bentuk dan posisi hiperbola. Rasio b/a dari sisi-sisi persegi panjang menentukan derajat kompresi hiperbola, tetapi alih-alih parameter ini, eksentrisitas hiperbola biasanya digunakan. Eksentrisitas hiperbola disebut rasio jarak fokusnya terhadap sumbu nyata. Eksentrisitas dilambangkan dengan . Untuk hiperbola yang dijelaskan oleh persamaan (7.8), = c/a. Perhatikan bahwa jika eksentrisitas elips dapat mengambil nilai dari setengah interval)