Pernyataan Masalah 2:

Diberikan suatu fungsi yang terdefinisi dan kontinu pada suatu interval . Diperlukan untuk menemukan nilai terbesar (terkecil) dari fungsi pada interval ini.

Landasan teori.
Teorema (Teorema Weierstrass Kedua):

Jika suatu fungsi didefinisikan dan kontinu dalam interval tertutup , maka ia mencapai nilai maksimum dan minimumnya dalam interval ini.

Fungsi dapat mencapai nilai maksimum dan minimumnya baik pada titik internal interval atau pada batasnya. Mari kita ilustrasikan semua opsi yang mungkin.

Penjelasan:
1) Fungsi mencapai nilai maksimumnya pada batas kiri interval pada titik , dan nilai minimumnya pada batas kanan interval pada titik .
2) Fungsi mencapai nilai maksimumnya pada titik (ini adalah titik maksimum), dan nilai minimumnya pada batas kanan interval pada titik tersebut.
3) Fungsi mencapai nilai maksimumnya pada batas kiri interval pada titik , dan nilai minimumnya pada titik (ini adalah titik minimum).
4) Fungsinya konstan pada interval, mis. itu mencapai nilai minimum dan maksimumnya pada titik mana pun dalam interval, dan nilai minimum dan maksimumnya sama satu sama lain.
5) Fungsi mencapai nilai maksimumnya pada titik , dan nilai minimumnya pada titik tersebut (terlepas dari kenyataan bahwa fungsi tersebut memiliki maksimum dan minimum pada interval ini).
6) Fungsi mencapai nilai maksimumnya pada suatu titik (ini adalah titik maksimum), dan nilai minimumnya pada suatu titik (ini adalah titik minimum).
Komentar:

"Maksimum" dan "nilai maksimum" adalah hal yang berbeda. Ini mengikuti dari definisi maksimum dan pemahaman intuitif dari frasa "nilai maksimum".

Algoritma untuk memecahkan masalah 2.



4) Pilih dari nilai yang diperoleh terbesar (terkecil) dan tuliskan jawabannya.

Contoh 4:

Tentukan nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi pada segmen.
Keputusan:
1) Tentukan turunan dari fungsi tersebut.

2) Temukan titik stasioner (dan titik yang mencurigakan dari ekstrem) dengan menyelesaikan persamaan . Perhatikan titik-titik di mana tidak ada turunan hingga dua sisi.

3) Hitung nilai fungsi pada titik stasioner dan pada batas interval.

4) Pilih dari nilai yang diperoleh terbesar (terkecil) dan tuliskan jawabannya.

Fungsi pada segmen ini mencapai nilai maksimumnya pada titik dengan koordinat .

Fungsi pada segmen ini mencapai nilai minimumnya pada titik dengan koordinat .

Anda dapat memverifikasi kebenaran perhitungan dengan melihat grafik fungsi yang dipelajari.


Komentar: Fungsi mencapai nilai maksimumnya pada titik maksimum, dan nilai minimum pada batas segmen.

Kasus spesial.

Misalkan Anda ingin mencari nilai maksimum dan minimum dari beberapa fungsi pada suatu segmen. Setelah eksekusi paragraf pertama dari algoritma, mis. perhitungan turunan, menjadi jelas bahwa, misalnya, hanya mengambil nilai negatif pada seluruh segmen yang dipertimbangkan. Ingat bahwa jika turunannya negatif, maka fungsinya menurun. Kami menemukan bahwa fungsi menurun pada seluruh interval. Situasi ini ditunjukkan pada grafik No. 1 di awal artikel.

Fungsi menurun pada interval, mis. tidak memiliki titik ekstrem. Dari gambar dapat dilihat bahwa fungsi akan mengambil nilai terkecil di batas kanan segmen, dan nilai terbesar di sebelah kiri. jika turunan pada interval di mana-mana positif, maka fungsinya meningkat. Nilai terkecil ada di batas kiri segmen, yang terbesar ada di kanan.

Biarkan fungsi $z=f(x,y)$ didefinisikan dan kontinu dalam beberapa domain tertutup terbatas $D$. Biarkan fungsi yang diberikan memiliki turunan parsial hingga dari orde pertama di wilayah ini (dengan kemungkinan pengecualian dari sejumlah titik yang terbatas). Untuk menemukan nilai terbesar dan terkecil dari fungsi dua variabel di daerah tertutup yang diberikan, diperlukan tiga langkah algoritma sederhana.

Algoritma untuk mencari nilai terbesar dan terkecil dari fungsi $z=f(x,y)$ dalam domain tertutup $D$.

1. Temukan titik kritis dari fungsi $z=f(x,y)$ yang termasuk dalam wilayah $D$. Hitung nilai fungsi pada titik kritis.
2. Selidiki perilaku fungsi $z=f(x,y)$ pada batas daerah $D$ dengan mencari titik-titik nilai maksimum dan minimum yang mungkin. Hitung nilai fungsi pada titik-titik yang diperoleh.
3. Dari nilai fungsi yang diperoleh pada dua paragraf sebelumnya, pilih yang terbesar dan terkecil.

Apa itu poin kritis? tunjukan Sembunyikan

Di bawah titik kritis menyiratkan poin di mana kedua turunan parsial orde pertama sama dengan nol (yaitu $\frac(\partial z)(\partial x)=0$ dan $\frac(\partial z)(\partial y)=0 $) atau setidaknya satu turunan parsial tidak ada.

Seringkali titik-titik di mana turunan parsial orde pertama sama dengan nol disebut titik stasioner. Dengan demikian, titik stasioner adalah bagian dari titik kritis.

Contoh 1

Temukan nilai maksimum dan minimum fungsi $z=x^2+2xy-y^2-4x$ pada daerah tertutup yang dibatasi oleh garis $x=3$, $y=0$ dan $y=x +1$.

Kita akan mengikuti langkah di atas, tetapi pertama-tama kita akan berurusan dengan menggambar area tertentu, yang akan kita tunjukkan dengan huruf $D$. Kami diberi persamaan tiga garis lurus, yang membatasi area ini. Garis lurus $x=3$ melalui titik $(3;0)$ yang sejajar dengan sumbu y (sumbu Oy). Garis lurus $y=0$ adalah persamaan sumbu absis (sumbu Ox). Nah, untuk membuat garis lurus $y=x+1$ mari kita cari dua titik yang melaluinya kita menggambar garis lurus ini. Anda tentu saja dapat mengganti beberapa nilai arbitrer alih-alih $x$. Misalnya, mengganti $x=10$, kita mendapatkan: $y=x+1=10+1=11$. Kami telah menemukan titik $(10;11)$ terletak pada garis $y=x+1$. Namun, lebih baik untuk menemukan titik-titik di mana garis $y=x+1$ berpotongan dengan garis $x=3$ dan $y=0$. Mengapa lebih baik? Karena kita akan meletakkan sepasang burung dengan satu batu: kita akan mendapatkan dua titik untuk membangun garis lurus $y=x+1$ dan pada saat yang sama mencari tahu di titik mana garis lurus ini memotong garis lain yang mengikat yang diberikan daerah. Garis $y=x+1$ memotong garis $x=3$ pada titik $(3;4)$, dan garis $y=0$ - pada titik $(-1;0)$. Agar tidak mengacaukan jalannya solusi dengan penjelasan tambahan, saya akan mengajukan pertanyaan untuk mendapatkan dua poin ini dalam sebuah catatan.

Bagaimana poin $(3;4)$ dan $(-1;0)$ diperoleh? tunjukan Sembunyikan

Mari kita mulai dari titik potong garis $y=x+1$ dan $x=3$. Koordinat titik yang diinginkan milik garis pertama dan kedua, jadi untuk menemukan koordinat yang tidak diketahui, Anda perlu menyelesaikan sistem persamaan:

$$ \left \( \begin(aligned) & y=x+1;\\ & x=3. \end(aligned) \right. $$

Solusi dari sistem seperti itu adalah sepele: mensubstitusikan $x=3$ ke dalam persamaan pertama kita akan mendapatkan: $y=3+1=4$. Titik $(3;4)$ adalah titik potong yang diinginkan dari garis $y=x+1$ dan $x=3$.

Sekarang mari kita cari titik potong garis $y=x+1$ dan $y=0$. Sekali lagi, kami membuat dan menyelesaikan sistem persamaan:

$$ \left \( \begin(aligned) & y=x+1;\\ & y=0. \end(aligned) \right. $$

Substitusikan $y=0$ ke persamaan pertama, kita dapatkan: $0=x+1$, $x=-1$. Titik $(-1;0)$ adalah titik potong yang diinginkan dari garis $y=x+1$ dan $y=0$ (sumbu absis).

Semuanya siap untuk membangun gambar yang akan terlihat seperti ini:

Soal uang kertas tampak jelas, karena semuanya bisa dilihat dari gambar. Namun, perlu diingat bahwa gambar tersebut tidak dapat dijadikan sebagai bukti. Angka tersebut hanya ilustrasi untuk kejelasan.

Area kami ditetapkan menggunakan persamaan garis yang membatasinya. Jelas bahwa garis-garis ini mendefinisikan segitiga, bukan? Atau tidak terlalu jelas? Atau mungkin kita diberikan area yang berbeda, dibatasi oleh garis yang sama:

Tentu saja kondisi mengatakan bahwa area tersebut tertutup, sehingga gambar yang ditampilkan salah. Tetapi untuk menghindari ambiguitas seperti itu, lebih baik mendefinisikan daerah dengan ketidaksetaraan. Kami tertarik pada bagian pesawat yang terletak di bawah garis $y=x+1$? Oke, jadi $y x+1$. Area kita harus berada di atas garis $y=0$? Bagus, jadi $y 0$. Omong-omong, dua pertidaksamaan terakhir dengan mudah digabungkan menjadi satu: $0 y x+1$.

$$ \left \( \begin(aligned) & 0 y ≤ x+1;\\ & x 3. \end(aligned) \right. $$

Ketidaksetaraan ini mendefinisikan domain $D$, dan mendefinisikannya secara unik, tanpa ambiguitas. Tetapi bagaimana ini membantu kita dalam pertanyaan di awal catatan kaki? Ini juga akan membantu :) Kita perlu memeriksa apakah titik $M_1(1;1)$ termasuk dalam wilayah $D$. Mari kita substitusikan $x=1$ dan $y=1$ ke dalam sistem pertidaksamaan yang mendefinisikan daerah ini. Jika kedua pertidaksamaan terpenuhi, maka titik terletak di dalam daerah. Jika setidaknya salah satu pertidaksamaan tidak terpenuhi, maka titik tersebut bukan milik daerah. Jadi:

$$ \left \( \begin(aligned) & 0 1 1+1;\\ & 1 3. \end(aligned) \right. \;\; \left \( \begin(aligned) & 0 1 2;\\ & 1 3. \end(aligned) \right.$$

Kedua ketidaksetaraan itu benar. Titik $M_1(1;1)$ termasuk dalam wilayah $D$.

Sekarang giliran untuk menyelidiki perilaku fungsi pada batas domain, yaitu. pergi ke. Mari kita mulai dengan garis lurus $y=0$.

Garis lurus $y=0$ (sumbu absis) membatasi daerah $D$ pada kondisi $-1 x 3$. Substitusikan $y=0$ ke dalam fungsi yang diberikan $z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x$. Fungsi substitusi yang dihasilkan dari satu variabel $x$ akan dinotasikan sebagai $f_1(x)$:

$$ f_1(x)=z(x,0)=x^2+2x\cdot 0-0^2-4x=x^2-4x. $$

Sekarang untuk fungsi $f_1(x)$ kita perlu mencari nilai terbesar dan terkecil pada interval $-1 x 3$. Temukan turunan dari fungsi ini dan samakan dengan nol:

$$ f_(1)^(")(x)=2x-4;\\ 2x-4=0; \; x=2. $$

Nilai $x=2$ termasuk dalam segmen $-1 x 3$, jadi kami juga menambahkan $M_2(2;0)$ ke daftar poin. Selain itu, kami menghitung nilai fungsi $z$ di ujung segmen $-1 x 3$, mis. pada titik $M_3(-1;0)$ dan $M_4(3;0)$. Omong-omong, jika titik $M_2$ tidak termasuk dalam segmen yang dipertimbangkan, maka, tentu saja, tidak perlu menghitung nilai fungsi $z$ di dalamnya.

Jadi, mari kita hitung nilai fungsi $z$ pada titik $M_2$, $M_3$, $M_4$. Anda tentu saja dapat mengganti koordinat titik-titik ini ke dalam ekspresi asli $z=x^2+2xy-y^2-4x$. Misalnya, untuk titik $M_2$ kita mendapatkan:

$$z_2=z(M_2)=2^2+2\cdot 2\cdot 0-0^2-4\cdot 2=-4.$$

Namun, perhitungannya dapat disederhanakan sedikit. Untuk melakukan ini, perlu diingat bahwa pada segmen $M_3M_4$ kita memiliki $z(x,y)=f_1(x)$. Saya akan menjelaskannya secara rinci:

\begin(sejajar) & z_2=z(M_2)=z(2,0)=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\\ & z_3=z(M_3)=z(- 1,0)=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\\ & z_4=z(M_4)=z(3,0)=f_1(3)= 3^2-4\cdot 3=-3. \end(selaras)

Tentu saja, entri terperinci seperti itu biasanya tidak diperlukan, dan di masa mendatang kami akan mulai menuliskan semua perhitungan dengan cara yang lebih singkat:

$$z_2=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\; z_3=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\; z_4=f_1(3)=3^2-4\cdot 3=-3.$$

Sekarang mari kita beralih ke garis lurus $x=3$. Baris ini membatasi domain $D$ dalam kondisi $0 y 4$. Substitusikan $x=3$ ke dalam fungsi yang diberikan $z$. Sebagai hasil dari substitusi tersebut, kita mendapatkan fungsi $f_2(y)$:

$$ f_2(y)=z(3,y)=3^2+2\cdot 3\cdot y-y^2-4\cdot 3=-y^2+6y-3. $$

Untuk fungsi $f_2(y)$, Anda perlu mencari nilai terbesar dan terkecil pada interval $0 y 4$. Temukan turunan dari fungsi ini dan samakan dengan nol:

$$ f_(2)^(")(y)=-2y+6;\\ -2y+6=0; \; y=3. $$

Nilai $y=3$ termasuk dalam segmen $0 y 4$, jadi kita tambahkan $M_5(3;3)$ ke poin yang ditemukan sebelumnya. Selain itu, perlu untuk menghitung nilai fungsi $z$ pada titik-titik di ujung segmen $0 y 4$, yaitu. pada titik $M_4(3;0)$ dan $M_6(3;4)$. Pada titik $M_4(3;0)$ kita telah menghitung nilai $z$. Mari kita hitung nilai fungsi $z$ pada titik $M_5$ dan $M_6$. Biarkan saya mengingatkan Anda bahwa pada segmen $M_4M_6$ kita memiliki $z(x,y)=f_2(y)$, oleh karena itu:

\begin(sejajar) & z_5=f_2(3)=-3^2+6\cdot 3-3=6; &z_6=f_2(4)=-4^2+6\cdot 4-3=5. \end(selaras)

Dan, akhirnya, pertimbangkan batas terakhir dari $D$, yaitu. baris $y=x+1$. Garis ini membatasi daerah $D$ dalam kondisi $-1 x 3$. Substitusikan $y=x+1$ ke dalam fungsi $z$, kita akan mendapatkan:

$$ f_3(x)=z(x,x+1)=x^2+2x\cdot (x+1)-(x+1)^2-4x=2x^2-4x-1. $$

Sekali lagi kita memiliki fungsi dari satu variabel $x$. Dan lagi, Anda perlu menemukan nilai terbesar dan terkecil dari fungsi ini pada segmen $-1 x 3$. Temukan turunan dari fungsi $f_(3)(x)$ dan samakan dengan nol:

$$ f_(3)^(")(x)=4x-4;\\ 4x-4=0; \; x=1. $$

Nilai $x=1$ termasuk ke dalam interval $-1 x 3$. Jika $x=1$, maka $y=x+1=2$. Mari tambahkan $M_7(1;2)$ ke daftar poin dan cari tahu apa nilai fungsi $z$ saat ini. Titik-titik di ujung segmen $-1 x 3$, mis. poin $M_3(-1;0)$ dan $M_6(3;4)$ dipertimbangkan sebelumnya, kami telah menemukan nilai fungsi di dalamnya.

$$z_7=f_3(1)=2\cdot 1^2-4\cdot 1-1=-3.$$

Langkah kedua dari solusi selesai. Kami mendapat tujuh nilai:

$$z_1=-2;\;z_2=-4;\;z_3=5;\;z_4=-3;\;z_5=6;\;z_6=5;\;z_7=-3.$$

Mari kita beralih ke. Memilih nilai terbesar dan terkecil dari angka-angka yang diperoleh di paragraf ketiga, kita akan mendapatkan:

$$z_(mnt)=-4; \; z_(maks)=6.$$

Masalahnya terpecahkan, tinggal menuliskan jawabannya.

Menjawab: $z_(mnt)=-4; \; z_(maks)=6$.

Contoh #2

Temukan nilai terbesar dan terkecil dari fungsi $z=x^2+y^2-12x+16y$ pada daerah $x^2+y^2 25$.

Mari kita membuat gambar terlebih dahulu. Persamaan $x^2+y^2=25$ (ini adalah garis batas dari area yang diberikan) mendefinisikan sebuah lingkaran dengan pusat di titik asal (yaitu pada titik $(0;0)$) dan jari-jari 5. Pertidaksamaan $x^2 +y^2 25$ memenuhi semua titik di dalam dan pada lingkaran tersebut.

Kami akan bertindak. Mari kita cari turunan parsial dan cari tahu titik kritisnya.

$$ \frac(\parsial z)(\parsial x)=2x-12; \frac(\parsial z)(\parsial y)=2y+16. $$

Tidak ada titik di mana turunan parsial yang ditemukan tidak ada. Mari kita cari tahu di titik mana kedua turunan parsial secara bersamaan sama dengan nol, mis. menemukan titik-titik stasioner.

$$ \left \( \begin(sejajar) & 2x-12=0;\\ & 2th+16=0. \end(aligned) \right. \;\; \left \( \begin(aligned) & x =6;\\ & y=-8.\end(aligned) \right.$$

Kami mendapat poin stasioner $(6;-8)$. Namun, titik yang ditemukan bukan milik wilayah $D$. Ini mudah ditunjukkan bahkan tanpa menggunakan gambar. Mari kita periksa apakah pertidaksamaan $x^2+y^2 25$, yang mendefinisikan domain kita $D$, berlaku. Jika $x=6$, $y=-8$, maka $x^2+y^2=36+64=100$, mis. pertidaksamaan $x^2+y^2 25$ tidak terpenuhi. Kesimpulan: titik $(6;-8)$ bukan milik region $D$.

Jadi, tidak ada titik kritis di dalam $D$. Mari kita lanjutkan, untuk. Kita perlu menyelidiki perilaku fungsi pada batas area yang diberikan, yaitu pada lingkaran $x^2+y^2=25$. Anda tentu saja dapat mengekspresikan $y$ dalam bentuk $x$, dan kemudian mengganti ekspresi yang dihasilkan ke dalam fungsi kita $z$. Dari persamaan lingkaran kita mendapatkan: $y=\sqrt(25-x^2)$ atau $y=-\sqrt(25-x^2)$. Mengganti, misalnya, $y=\sqrt(25-x^2)$ ke dalam fungsi yang diberikan, kita akan mendapatkan:

$$ z=x^2+y^2-12x+16y=x^2+25-x^2-12x+16\sqrt(25-x^2)=25-12x+16\sqrt(25-x ^2); \;\; -5≤ x 5. $$

Solusi selanjutnya akan benar-benar identik dengan studi tentang perilaku fungsi pada batas wilayah pada contoh sebelumnya No. 1. Namun, menurut saya lebih masuk akal dalam situasi ini untuk menerapkan metode Lagrange. Kami hanya tertarik pada bagian pertama dari metode ini. Setelah menerapkan bagian pertama dari metode Lagrange, kita akan mendapatkan titik di mana dan memeriksa fungsi $z$ untuk nilai minimum dan maksimum.

Kami menyusun fungsi Lagrange:

$$ F=z(x,y)+\lambda\cdot(x^2+y^2-25)=x^2+y^2-12x+16y+\lambda\cdot (x^2+y^2 -25). $$

Kami menemukan turunan parsial dari fungsi Lagrange dan menyusun sistem persamaan yang sesuai:

$$ F_(x)^(")=2x-12+2\lambda x; \;\; F_(y)^(")=2y+16+2\lambda y.\\ \left \( \begin (sejajar) & 2x-12+2\lambda x=0;\\ & 2y+16+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-25=0.\end(selaras) \ kanan. \;\; \kiri \( \begin(sejajar) & x+\lambda x=6;\\ & y+\lambda y=-8;\\ & x^2+y^2=25. \end( sejajar)\kanan.$$

Untuk mengatasi sistem ini, mari kita segera menunjukkan bahwa $\lambda\neq -1$. Mengapa $\lambda\neq -1$? Mari kita coba substitusikan $\lambda=-1$ ke persamaan pertama:

$$ x+(-1)\cdot x=6; \; x-x=6; \; 0=6. $$

Kontradiksi yang dihasilkan $0=6$ mengatakan bahwa nilai $\lambda=-1$ tidak valid. Keluaran: $\lambda\neq -1$. Mari kita nyatakan $x$ dan $y$ dalam bentuk $\lambda$:

\begin(sejajar) & x+\lambda x=6;\; x(1+\lambda)=6;\; x=\frac(6)(1+\lambda). \\ & y+\lambda y=-8;\; y(1+\lambda)=-8;\; y=\frac(-8)(1+\lambda). \end(selaras)

Saya percaya bahwa menjadi jelas di sini mengapa kami secara khusus menetapkan kondisi $\lambda\neq -1$. Ini dilakukan untuk menyesuaikan ekspresi $1+\lambda$ ke dalam penyebut tanpa gangguan. Yaitu, untuk memastikan bahwa penyebutnya adalah $1+\lambda\neq 0$.

Mari kita substitusikan ekspresi yang diperoleh untuk $x$ dan $y$ ke dalam persamaan ketiga dari sistem, yaitu. dalam $x^2+y^2=25$:

$$ \left(\frac(6)(1+\lambda) \right)^2+\left(\frac(-8)(1+\lambda) \right)^2=25;\\ \frac( 36)((1+\lambda)^2)+\frac(64)((1+\lambda)^2)=25;\\ \frac(100)((1+\lambda)^2)=25 ; \; (1+\lambda)^2=4. $$

Ini mengikuti dari persamaan yang dihasilkan bahwa $1+\lambda=2$ atau $1+\lambda=-2$. Oleh karena itu, kita memiliki dua nilai parameter $\lambda$, yaitu: $\lambda_1=1$, $\lambda_2=-3$. Dengan demikian, kami mendapatkan dua pasang nilai $x$ dan $y$:

\begin(sejajar) & x_1=\frac(6)(1+\lambda_1)=\frac(6)(2)=3; \; y_1=\frac(-8)(1+\lambda_1)=\frac(-8)(2)=-4. \\ & x_2=\frac(6)(1+\lambda_2)=\frac(6)(-2)=-3; \; y_2=\frac(-8)(1+\lambda_2)=\frac(-8)(-2)=4. \end(selaras)

Jadi, kami mendapat dua poin dari kemungkinan ekstrem bersyarat, yaitu. $M_1(3;-4)$ dan $M_2(-3;4)$. Temukan nilai fungsi $z$ pada titik $M_1$ dan $M_2$:

\begin(sejajar) & z_1=z(M_1)=3^2+(-4)^2-12\cdot 3+16\cdot (-4)=-75; \\ & z_2=z(M_2)=(-3)^2+4^2-12\cdot(-3)+16\cdot 4=125. \end(selaras)

Kita harus memilih nilai terbesar dan terkecil dari yang kita peroleh pada langkah pertama dan kedua. Tapi di kasus ini pilihannya kecil :) Kami memiliki:

$$z_(mnt)=-75; \; z_(maks)=125. $$

Menjawab: $z_(mnt)=-75; \; z_(maks)=125$.

Proses menemukan nilai terkecil dan terbesar dari suatu fungsi pada suatu segmen mengingatkan pada penerbangan menarik di sekitar suatu objek (grafik fungsi) pada helikopter dengan menembakkan meriam jarak jauh pada titik-titik tertentu dan memilih dari titik-titik ini merupakan titik yang sangat istimewa untuk tembakan kontrol. Poin dipilih dengan cara tertentu dan menurut aturan tertentu. Dengan aturan apa? Kami akan membicarakan ini lebih lanjut.

Jika fungsi kamu = f(x) kontinu pada interval [ sebuah, b] , lalu mencapai segmen ini paling sedikit dan nilai tertinggi . Ini bisa terjadi di titik ekstrim atau di ujung segmen. Oleh karena itu, untuk menemukan paling sedikit dan nilai terbesar dari fungsi , kontinu pada interval [ sebuah, b] , Anda perlu menghitung nilainya secara keseluruhan titik kritis dan di ujung segmen, lalu pilih yang terkecil dan terbesar.

Biarkan, misalnya, diperlukan untuk menentukan nilai maksimum fungsi f(x) pada segmen [ sebuah, b] . Untuk melakukan ini, temukan semua titik kritisnya terletak di [ sebuah, b] .

titik kritis disebut titik di mana fungsi didefinisikan, dan dia turunan adalah nol atau tidak ada. Maka Anda harus menghitung nilai fungsi pada titik-titik kritis. Dan, akhirnya, kita harus membandingkan nilai fungsi pada titik kritis dan di ujung segmen ( f(sebuah) dan f(b) ). Yang terbesar dari angka-angka ini adalah nilai terbesar dari fungsi pada segmen [sebuah, b] .

Masalah menemukan nilai terkecil dari fungsi .

Kami mencari nilai terkecil dan terbesar dari fungsi bersama-sama

Contoh 1. Temukan nilai terkecil dan terbesar dari suatu fungsi pada segmen [-1, 2] .

Keputusan. Kami menemukan turunan dari fungsi ini. Samakan turunan dengan nol () dan dapatkan dua titik kritis: dan . Untuk menemukan nilai terkecil dan terbesar dari suatu fungsi pada segmen tertentu, cukup menghitung nilainya di ujung segmen dan di titik , karena titik bukan milik segmen [-1, 2] . Nilai fungsi tersebut adalah sebagai berikut: , , . Berikut ini nilai fungsi terkecil(ditandai dengan warna merah pada grafik di bawah), sama dengan -7, dicapai di ujung kanan segmen - di titik , dan terbesar(juga merah pada grafik), sama dengan 9, - pada titik kritis .

Jika fungsi kontinu dalam interval tertentu dan interval ini bukan segmen (tetapi, misalnya, interval; perbedaan antara interval dan segmen: titik batas interval tidak termasuk dalam interval, tetapi titik batas segmen termasuk dalam segmen), maka di antara nilai-nilai fungsi tidak boleh ada yang terkecil dan terbesar. Jadi, misalnya, fungsi yang digambarkan pada gambar di bawah ini kontinu pada ]-∞, +∞[ dan tidak memiliki nilai terbesar.

Namun, untuk interval apa pun (tertutup, terbuka, atau tak terbatas), properti fungsi kontinu berikut ini berlaku.

Contoh 4. Temukan nilai terkecil dan terbesar dari suatu fungsi pada segmen [-1, 3] .

Keputusan. Kami menemukan turunan dari fungsi ini sebagai turunan dari hasil bagi:

.

Kami menyamakan turunan dengan nol, yang memberi kami satu titik kritis: . Itu milik interval [-1, 3] . Untuk menemukan nilai terkecil dan terbesar dari suatu fungsi pada segmen tertentu, kami menemukan nilainya di ujung segmen dan pada titik kritis yang ditemukan:

Mari kita bandingkan nilai-nilai ini. Kesimpulan: sama dengan -5/13, pada titik dan nilai terbesar sama dengan 1 pada titik .

Kami terus mencari nilai terkecil dan terbesar dari fungsi bersama-sama

Ada guru yang, pada topik menemukan nilai terkecil dan terbesar dari suatu fungsi, tidak memberi siswa contoh yang lebih rumit dari yang baru saja dipertimbangkan, yaitu yang fungsinya adalah polinomial atau pecahan, pembilangnya dan penyebutnya adalah polinomial. Tetapi kami tidak akan membatasi diri pada contoh-contoh seperti itu, karena di kalangan guru ada pecinta membuat siswa berpikir secara utuh (tabel turunan). Oleh karena itu, logaritma dan fungsi trigonometri akan digunakan.

Contoh 6. Temukan nilai terkecil dan terbesar dari suatu fungsi pada segmen .

Keputusan. Kami menemukan turunan dari fungsi ini sebagai turunan produk :

Kami menyamakan turunan dengan nol, yang memberikan satu titik kritis: . Itu milik segmen. Untuk menemukan nilai terkecil dan terbesar dari suatu fungsi pada segmen tertentu, kami menemukan nilainya di ujung segmen dan pada titik kritis yang ditemukan:

Hasil dari semua tindakan: fungsi mencapai nilai minimumnya, sama dengan 0, pada suatu titik dan pada suatu titik dan nilai terbesar sama dengan e² , pada titik .

Contoh 7. Temukan nilai terkecil dan terbesar dari suatu fungsi pada segmen .

Keputusan. Kami menemukan turunan dari fungsi ini:

Samakan turunan dengan nol:

Satu-satunya titik kritis milik segmen. Untuk menemukan nilai terkecil dan terbesar dari suatu fungsi pada segmen tertentu, kami menemukan nilainya di ujung segmen dan pada titik kritis yang ditemukan:

Kesimpulan: fungsi mencapai nilai minimumnya, sama dengan , di titik dan nilai terbesar, sama dengan , pada titik .

Dalam masalah ekstrem yang diterapkan, menemukan nilai fungsi terkecil (terbesar), sebagai aturan, direduksi menjadi menemukan minimum (maksimum). Tetapi bukan minima atau maxima itu sendiri yang menjadi kepentingan praktis yang lebih besar, tetapi nilai-nilai argumen di mana mereka dicapai. Saat memecahkan masalah yang diterapkan, kesulitan tambahan muncul - kompilasi fungsi yang menggambarkan fenomena atau proses yang sedang dipertimbangkan.

Contoh 8 Tangki dengan kapasitas 4, berbentuk paralelepiped dengan dasar persegi dan terbuka di bagian atas, harus dikalengkan. Berapa dimensi tangki agar dapat menutupinya dengan bahan paling sedikit?

Keputusan. Biarlah x- sisi dasar h- tinggi tangki, S- luas permukaannya tanpa penutup, V- volumenya. Luas permukaan tangki dinyatakan dengan rumus , mis. adalah fungsi dari dua variabel. Untuk mengekspresikan S sebagai fungsi dari satu variabel, kami menggunakan fakta bahwa , dari mana . Mengganti ekspresi yang ditemukan h ke dalam rumus untuk S:

Mari kita periksa fungsi ini untuk ekstrem. Itu didefinisikan dan terdiferensiasi di mana-mana di ]0, +∞[ , dan

.

Kami menyamakan turunannya dengan nol () dan menemukan titik kritisnya. Selain itu, pada , turunannya tidak ada, tetapi nilai ini tidak termasuk dalam domain definisi dan oleh karena itu tidak dapat menjadi titik ekstrem. Jadi, - satu-satunya titik kritis. Mari kita periksa keberadaan ekstrem menggunakan kriteria cukup kedua. Mari kita cari turunan kedua. Ketika turunan kedua lebih besar dari nol (). Ini berarti bahwa ketika fungsi mencapai minimum . Karena ini minimum - satu-satunya ekstrem dari fungsi ini, ini adalah nilai terkecilnya. Jadi, sisi alas tangki harus sama dengan 2 m, dan tingginya.

Contoh 9 Dari paragraf A, terletak di jalur kereta api, to the point Dengan, pada jarak dari itu aku, barang harus diangkut. Biaya pengangkutan satuan berat per satuan jarak dengan kereta api sama dengan , dan melalui jalan raya sama dengan . Untuk titik apa? M jalur kereta api harus diadakan jalan raya untuk mengangkut kargo dari TETAPI di Dengan adalah yang paling ekonomis AB kereta api diasumsikan lurus)?

Nilai terbesar (terkecil) dari fungsi adalah nilai terbesar (terkecil) yang diterima dari ordinat dalam interval yang dipertimbangkan.

Untuk menemukan nilai terbesar atau terkecil dari suatu fungsi, Anda perlu:

1. Periksa titik stasioner mana yang termasuk dalam segmen yang diberikan.
2. Hitung nilai fungsi di ujung segmen dan di titik stasioner dari langkah 3
3. Pilih dari hasil yang diperoleh nilai terbesar atau terkecil.

Untuk menemukan poin maksimum atau minimum, Anda perlu:

1. Tentukan turunan dari fungsi $f"(x)$
2. Temukan titik stasioner dengan menyelesaikan persamaan $f"(x)=0$
3. Memfaktorkan turunan dari suatu fungsi.
4. Gambarlah garis koordinat, tempatkan titik-titik stasioner di atasnya dan tentukan tanda-tanda turunan pada interval yang diperoleh, menggunakan notasi klausa 3.
5. Temukan poin maksimum atau minimum menurut aturan: jika pada suatu titik turunan berubah tanda dari plus ke minus, maka ini akan menjadi poin maksimum (jika dari minus ke plus, maka ini akan menjadi poin minimum). Dalam praktiknya, akan lebih mudah untuk menggunakan gambar panah pada interval: pada interval di mana turunannya positif, panah ditarik ke atas dan sebaliknya.

Tabel turunan dari beberapa fungsi dasar:

Fungsi	Turunan
$c$	$0$
$x$	$1$
$x^n, n∈N$	$nx^(n-1), n∈N$
$(1)/(x)$	$-(1)/(x^2)$
$(1)/x(^n), n∈N$	$-(n)/(x^(n+1)), n∈N$
$√^n(x), n∈N$	$(1)/(n√^n(x^(n-1)), n∈N$
$sinx$	$cox$
$cox$	$-sinx$
$tgx$	$(1)/(cos^2x)$
$ctgx$	$-(1)/(sin^2x)$
$cos^2x$	$-sin2x$
$sin^2x$	$sin2x$
$e^x$	$e^x$
$a^x$	$a^xlna$
$lnx$	$(1)/(x)$
$log_(a)x$	$(1)/(xlna)$

Aturan dasar diferensiasi

1. Turunan jumlah dan selisih sama dengan turunan setiap suku

$(f(x) ± g(x))′= f′(x)± g′(x)$

Tentukan turunan dari fungsi $f(x) = 3x^5 – cosx + (1)/(x)$

Turunan jumlah dan selisih sama dengan turunan setiap suku

$f′(x)=(3x^5)′–(cosx)′+((1)/(x))"=15x^4+sinx-(1)/(x^2)$

2. Turunan dari suatu produk.

$(f(x)∙g(x))′=f′(x)∙g(x)+f(x)∙g(x)′$

Cari turunan $f(x)=4x∙cosx$

$f′(x)=(4x)′∙cosx+4x∙(cosx)′=4∙cosx-4x∙sinx$

3. Turunan dari hasil bagi

$((f(x))/(g(x)))"=(f^"(x)∙g(x)-f(x)∙g(x)")/(g^2(x) )$

Cari turunan $f(x)=(5x^5)/(e^x)$

$f"(x)=((5x^5)"e^x-5x^5∙(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4∙e^x- 5x^5∙e^x)/((e^x)^2)$

4. Turunan fungsi kompleks sama dengan produk turunan fungsi eksternal dan turunan fungsi internal

$f(g(x))′=f′(g(x))∙g′(x)$

$f′(x)=cos′(5x)∙(5x)′= - sin(5x)∙5= -5sin(5x)$

Tentukan titik minimum dari fungsi $y=2x-ln⁡(x+11)+4$

1. Temukan ODZ dari fungsi: $x+11>0; x>-11$

2. Tentukan turunan dari fungsi $y"=2-(1)/(x+11)=(2x+22-1)/(x+11)=(2x+21)/(x+11)$

3. Temukan titik stasioner dengan menyamakan turunannya dengan nol

$(2x+21)/(x+11)=0$

Pecahan adalah nol jika pembilangnya nol dan penyebutnya bukan nol

$2x+21=0; x≠-11$

4. Gambarlah garis koordinat, tempatkan titik-titik stasioner di atasnya dan tentukan tanda-tanda turunan pada interval yang diperoleh. Untuk melakukan ini, kami mensubstitusikan ke dalam turunan angka apa pun dari wilayah paling kanan, misalnya, nol.

$y"(0)=(2∙0+21)/(0+11)=(21)/(11)>0$

5. Pada titik minimum, turunan berubah tanda dari minus menjadi plus, oleh karena itu, titik $-10,5$ adalah titik minimum.

Jawaban: $10.5$

Temukan nilai maksimum fungsi $y=6x^5-90x^3-5$ pada segmen $[-5;1]$

1. Tentukan turunan dari fungsi $y′=30x^4-270x^2$

2. Samakan turunan dengan nol dan temukan titik stasioner

$30x^4-270x^2=0$

Mari kita keluarkan faktor persekutuan $30x^2$ dari tanda kurung

$30x^2(x^2-9)=0$

$30x^2(x-3)(x+3)=0$

Tetapkan setiap faktor sama dengan nol

$x^2=0 ; x-3=0; x+3=0$

$x=0;x=3;x=-3$

3. Pilih titik stasioner yang termasuk dalam segmen tertentu $[-5;1]$

Poin stasioner $x=0$ dan $x=-3$ cocok untuk kita

4. Hitung nilai fungsi di ujung segmen dan di titik stasioner dari item 3

Dengan layanan ini, Anda dapat tentukan nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi satu variabel f(x) dengan desain solusi di Word. Jika fungsi f(x,y) diberikan, oleh karena itu, perlu untuk menemukan ekstrem dari fungsi dua variabel . Anda juga dapat menemukan interval kenaikan dan penurunan fungsi.

Tentukan nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi

y=

pada segmen [ ;]

Sertakan Teori

Aturan entri fungsi:

Kondisi yang diperlukan untuk ekstrem dari fungsi satu variabel

Persamaan f "0 (x *) \u003d 0 adalah kondisi yang diperlukan untuk ekstrem dari fungsi satu variabel, yaitu pada titik x * turunan pertama dari fungsi harus hilang. Ini memilih titik stasioner x c di mana fungsi tidak bertambah dan tidak berkurang.

Kondisi yang cukup untuk ekstrem dari fungsi satu variabel

Misal f 0 (x) terdiferensialkan dua kali terhadap x milik himpunan D . Jika pada titik x * kondisi terpenuhi:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

Maka titik x * adalah titik minimum lokal (global) dari fungsi tersebut.

Jika pada titik x * kondisi terpenuhi:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0

Titik x * itu adalah maksimum lokal (global).

Contoh 1. Temukan nilai terbesar dan terkecil dari fungsi: pada segmen .
Keputusan.

Titik kritisnya adalah satu x 1 = 2 (f'(x)=0). Titik ini milik segmen. (Titik x=0 tidak kritis, karena 0∉).
Kami menghitung nilai fungsi di ujung segmen dan di titik kritis.
f(1)=9, f(2)= 5 / 2 , f(3)=3 8 / 81
Jawaban: f min = 5 / 2 untuk x=2; f maks =9 pada x=1

Contoh #2. Dengan menggunakan turunan orde yang lebih tinggi, temukan ekstrem dari fungsi y=x-2sin(x) .
Keputusan.
Tentukan turunan dari fungsi: y’=1-2cos(x) . Mari kita cari titik kritisnya: 1-cos(x)=2, cos(x)=1, x=± / 3 +2πk, k∈Z. Kami menemukan y''=2sin(x), hitung , jadi x= / 3 +2πk, k∈Z adalah titik minimum dari fungsi; , jadi x=- / 3 +2πk, k∈Z adalah titik maksimum dari fungsi tersebut.

Contoh #3. Selidiki fungsi ekstrem di sekitar titik x=0.
Keputusan. Di sini perlu untuk menemukan ekstrem dari fungsi. Jika ekstrem x=0 , maka cari tahu jenisnya (minimum atau maksimum). Jika di antara titik-titik yang ditemukan tidak ada x = 0, maka hitunglah nilai fungsi f(x=0).
Perlu dicatat bahwa ketika turunan pada setiap sisi titik tertentu tidak mengubah tandanya, situasi yang mungkin tidak habis bahkan untuk fungsi terdiferensiasi: dapat terjadi bahwa untuk lingkungan kecil sewenang-wenang di satu sisi titik x 0 atau di kedua sisi, turunannya berubah tanda. Pada titik ini, seseorang harus menerapkan metode lain untuk mempelajari fungsi secara ekstrem.