Polihedra
Objek utama studi stereometri adalah benda tiga dimensi. Tubuh adalah bagian dari ruang yang dibatasi oleh suatu permukaan.
polihedron Benda yang permukaannya terdiri dari sejumlah poligon bidang yang terbatas disebut. Suatu polihedron disebut cembung jika terletak pada satu sisi bidang setiap poligon datar pada permukaannya. Bagian umum dari bidang seperti itu dan permukaan polihedron disebut tepian. Wajah polihedron cembung adalah poligon cembung datar. Sisi-sisi wajah disebut tepi polihedron, dan simpul simpul dari polihedron.
Sebagai contoh, sebuah kubus terdiri dari enam kotak yang wajahnya. Ini berisi 12 tepi (sisi bujur sangkar) dan 8 simpul (simpul bujur sangkar).
Polihedra paling sederhana adalah prisma dan piramida, yang akan kita pelajari lebih lanjut.
Prisma
Definisi dan sifat-sifat prisma
prisma disebut polihedron yang terdiri dari dua poligon datar yang terletak pada bidang paralel yang digabungkan dengan terjemahan paralel, dan semua segmen menghubungkan titik-titik yang sesuai dari poligon ini. Poligon disebut alas prisma, dan segmen yang menghubungkan simpul yang sesuai dari poligon adalah tepi samping prisma.
Tinggi prisma disebut jarak antara bidang alasnya (). Ruas yang menghubungkan dua simpul prisma yang tidak berhadap-hadapan disebut diagonal prisma(). Prisma disebut n-batubara jika basisnya adalah n-gon.
Setiap prisma memiliki sifat-sifat berikut, yang mengikuti dari fakta bahwa alas prisma digabungkan dengan terjemahan paralel:
1. alas prisma sama besar.
2. Sisi-sisi prisma sejajar dan sama panjang.
Permukaan prisma terdiri dari alas dan permukaan lateral. Permukaan lateral prisma terdiri dari jajaran genjang (ini mengikuti dari sifat-sifat prisma). Luas permukaan lateral prisma adalah jumlah dari luas permukaan lateral.
prisma lurus
Prisma disebut lurus jika sisi-sisinya tegak lurus dengan alasnya. Jika tidak, prisma disebut miring.
Wajah-wajah prisma lurus adalah persegi panjang. Tinggi prisma lurus sama dengan permukaan sisinya.
permukaan prisma penuh adalah jumlah dari luas permukaan lateral dan luas alas.
Prisma yang benar disebut prisma siku-siku dengan poligon beraturan di alasnya.
Teorema 13.1. Luas permukaan lateral prisma lurus sama dengan produk keliling dan tinggi prisma (atau, setara, dengan tepi lateral).
Bukti. Sisi sisi prisma lurus adalah persegi panjang yang alasnya adalah sisi-sisi poligon pada alas prisma, dan tingginya adalah sisi sisi prisma. Maka, menurut definisi, luas permukaan lateral adalah:
,
dimana adalah keliling alas prisma lurus.
Paralelipiped
Jika jajar genjang terletak pada alas prisma, maka disebut paralelipiped. Semua wajah paralelepiped adalah jajaran genjang. Dalam hal ini, wajah yang berlawanan dari parallelepiped sejajar dan sama.
Teorema 13.2. Diagonal dari parallelepiped berpotongan di satu titik dan titik potong dibagi dua.
Bukti. Pertimbangkan dua diagonal sewenang-wenang, misalnya, dan . Karena wajah parallelepiped adalah jajaran genjang, maka dan , yang berarti bahwa menurut T tentang dua garis lurus sejajar dengan yang ketiga . Selain itu, ini berarti bahwa garis dan terletak pada bidang yang sama (bidang). Bidang ini memotong bidang sejajar dan sepanjang garis sejajar dan . Jadi, segiempat adalah jajar genjang, dan dengan sifat jajar genjang, diagonal dan berpotongan dan titik persimpangan dibagi dua, yang harus dibuktikan.
Sejajar siku-siku yang alasnya berbentuk persegi panjang disebut berbentuk kubus. Semua permukaan balok adalah persegi panjang. Panjang tepi tidak sejajar dari paralelepiped persegi panjang disebut dimensi liniernya (pengukuran). Ada tiga ukuran (lebar, tinggi, panjang).
Teorema 13.3. Dalam sebuah balok, kuadrat dari sembarang diagonal sama dengan jumlah kuadrat dari tiga dimensinya 
(dibuktikan dengan menerapkan Pythagoras T dua kali).
Sejajar persegi panjang yang semua sisinya sama disebut kubus.
tugas
13.1 Berapa banyak diagonalnya? n- prisma karbon
13.2 Pada prisma segitiga miring, jarak antara sisi samping adalah 37, 13, dan 40. Hitung jarak antara sisi yang lebih besar dan sisi yang berlawanan.
13.3 Melalui sisi alas bawah prisma segitiga beraturan, sebuah bidang ditarik yang memotong sisi-sisinya sepanjang segmen, sudut di antaranya adalah . Temukan sudut kemiringan bidang ini ke dasar prisma.
Prisma yang berbeda berbeda satu sama lain. Pada saat yang sama, mereka memiliki banyak kesamaan. Untuk menemukan luas alas prisma, Anda perlu mencari tahu seperti apa bentuknya.
Teori umum
Prisma adalah setiap polihedron yang sisi-sisinya berbentuk jajar genjang. Selain itu, polihedron apa pun dapat berada di dasarnya - dari segitiga hingga n-gon. Selain itu, alas prisma selalu sama satu sama lain. Apa yang tidak berlaku untuk permukaan samping - ukurannya dapat sangat bervariasi.
Saat memecahkan masalah, bukan hanya luas alas prisma yang ditemui. Mungkin perlu untuk mengetahui permukaan lateral, yaitu semua permukaan yang bukan alas. Permukaan penuh sudah akan menjadi penyatuan semua wajah yang membentuk prisma.
Terkadang ketinggian muncul dalam tugas. Itu tegak lurus dengan pangkalan. Diagonal polihedron adalah segmen yang menghubungkan secara berpasangan dua simpul yang tidak memiliki wajah yang sama.
Perlu dicatat bahwa luas alas prisma lurus atau miring tidak tergantung pada sudut antara mereka dan permukaan samping. Jika mereka memiliki angka yang sama di wajah atas dan bawah, maka area mereka akan sama.
prisma segitiga
Pada dasarnya memiliki sosok dengan tiga simpul, yaitu segitiga. Hal ini diketahui berbeda. Jika maka cukup untuk mengingat bahwa luasnya ditentukan oleh setengah produk kaki.
Notasi matematika terlihat seperti ini: S = av.
Untuk mengetahui luas alas dalam bentuk umum, rumusnya berguna: Bangau dan yang setengah sisinya ditarik ke ketinggian yang ditarik ke sana.
Rumus pertama harus ditulis seperti ini: S \u003d (p (p-a) (p-in) (p-c)). Entri ini berisi setengah keliling (p), yaitu jumlah tiga sisi dibagi dua.
Kedua: S = n a * a.
Jika Anda ingin mengetahui luas alas prisma segitiga yang beraturan, maka segitiga tersebut ternyata sama sisi. Ini memiliki rumus sendiri: S = a 2 * 3.
prisma segi empat
Basisnya adalah salah satu segi empat yang diketahui. Ini bisa berupa persegi panjang atau bujur sangkar, parallelepiped atau belah ketupat. Dalam setiap kasus, untuk menghitung luas alas prisma, Anda memerlukan rumus Anda sendiri.
Jika alasnya adalah persegi panjang, maka luasnya ditentukan sebagai berikut: S = av, dengan a, b adalah sisi-sisi persegi panjang.
Untuk prisma segi empat, luas alas prisma beraturan dihitung menggunakan rumus persegi. Karena dialah yang terletak di pangkalan. S \u003d a 2.
Dalam kasus ketika alasnya paralel, persamaan berikut akan dibutuhkan: S \u003d a * n a. Itu terjadi bahwa sisi paralelepiped dan salah satu sudut diberikan. Kemudian, untuk menghitung tinggi, Anda perlu menggunakan rumus tambahan: na \u003d b * sin A. Selain itu, sudut A berbatasan dengan sisi "b", dan tingginya na berlawanan dengan sudut ini.
Jika sebuah belah ketupat terletak di dasar prisma, maka rumus yang sama akan diperlukan untuk menentukan luasnya seperti untuk jajaran genjang (karena merupakan kasus khusus). Tetapi Anda juga dapat menggunakan yang ini: S = d 1 d 2. Di sini d 1 dan d 2 adalah dua diagonal belah ketupat.
Prisma segi lima beraturan
Kasus ini melibatkan pemisahan poligon menjadi segitiga, yang areanya lebih mudah diketahui. Meskipun terjadi bahwa angka-angka tersebut dapat dengan jumlah simpul yang berbeda.
Karena alas prisma adalah segi lima beraturan, maka dapat dibagi menjadi lima segitiga sama sisi. Maka luas alas prisma sama dengan luas salah satu segitiga tersebut (rumus dapat dilihat di atas), dikalikan lima.
Prisma heksagonal beraturan
Menurut prinsip yang dijelaskan untuk prisma pentagonal, adalah mungkin untuk membagi segi enam alas menjadi 6 segitiga sama sisi. Rumus untuk luas alas prisma semacam itu mirip dengan yang sebelumnya. Hanya di dalamnya harus dikalikan enam.
Rumusnya akan terlihat seperti ini: S = 3/2 dan 2 * 3.
tugas
No 1. Sebuah garis lurus biasa diberikan. Diagonalnya adalah 22 cm, tinggi polihedron adalah 14 cm. Hitung luas alas prisma dan seluruh permukaan.
Larutan. Alas prisma adalah persegi, tetapi sisinya tidak diketahui. Anda dapat menemukan nilainya dari diagonal persegi (x), yang terkait dengan diagonal prisma (d) dan tingginya (n). x 2 \u003d d 2 - n 2. Di sisi lain, segmen "x" ini adalah sisi miring dalam segitiga yang kakinya sama dengan sisi bujur sangkar. Artinya, x 2 \u003d a 2 + a 2. Jadi, ternyata a 2 \u003d (d 2 - n 2) / 2.
Gantikan angka 22 alih-alih d, dan ganti "n" dengan nilainya - 14, ternyata sisi bujur sangkar adalah 12 cm Sekarang mudah untuk mengetahui luas alasnya: 12 * 12 \u003d 144 cm 2 .
Untuk mengetahui luas seluruh permukaan, Anda perlu menambahkan dua kali nilai luas alas dan empat kali lipat sisinya. Yang terakhir mudah ditemukan dengan rumus persegi panjang: kalikan tinggi polihedron dan sisi alasnya. Artinya, 14 dan 12, angka ini akan sama dengan 168 cm 2. Luas permukaan total prisma tersebut adalah 960 cm2.
Menjawab. Luas alas prisma tersebut adalah 144 cm2. Seluruh permukaan - 960 cm 2 .
2. Dana Pada alasnya terletak sebuah segitiga dengan panjang sisi 6 cm. Dalam hal ini diagonal sisi sisinya adalah 10 cm. Hitung luas alas dan permukaan sisinya.
Larutan. Karena prisma beraturan, alasnya adalah segitiga sama sisi. Oleh karena itu, luasnya ternyata sama dengan 6 kali kuadrat dan akar kuadrat dari 3. Perhitungan sederhana menghasilkan hasil: 9√3 cm 2. Ini adalah luas salah satu alas prisma.
Semua sisi sisinya sama dan berbentuk persegi panjang dengan sisi 6 dan 10 cm Untuk menghitung luasnya, cukup dengan mengalikan angka-angka ini. Kemudian kalikan dengan tiga, karena prisma memiliki banyak sisi. Maka luas permukaan samping dililit 180 cm 2 .
Menjawab. Luas: alas - 9√3 cm 2, permukaan samping prisma - 180 cm 2.
Definisi 1. Permukaan prismatik
Teorema 1. Pada bagian paralel dari permukaan prismatik
Definisi 2. Bagian tegak lurus dari permukaan prismatik
Definisi 3. Prisma
Definisi 4. Tinggi prisma
Definisi 5. Prisma langsung
Teorema 2. Luas permukaan lateral prisma
paralel:
Definisi 6. Paralelepiped
Teorema 3. Pada perpotongan diagonal-diagonal paralelepiped
Definisi 7. Paralelepiped kanan
Definisi 8. Paralelepiped persegi panjang
Definisi 9. Dimensi parallelepiped
Definisi 10. Kubus
Definisi 11. Belah Ketupat
Teorema 4. Pada diagonal dari parallelepiped persegi panjang
Teorema 5. Volume prisma
Teorema 6. Volume prisma lurus
Teorema 7. Volume paralelepiped persegi panjang
prisma disebut polihedron, di mana dua wajah (alas) terletak pada bidang paralel, dan tepi yang tidak terletak pada wajah ini sejajar satu sama lain.
Muka selain alas disebut lateral.
Sisi-sisi sisi muka dan alasnya disebut tepi prisma, ujung-ujungnya disebut bagian atas prisma. Iga samping disebut tepi yang tidak termasuk basis. Gabungan dari sisi-sisi wajah disebut permukaan samping prisma, dan penyatuan semua wajah disebut seluruh permukaan prisma. Tinggi prisma disebut tegak lurus dijatuhkan dari titik alas atas ke bidang alas bawah atau panjang tegak lurus ini. 
prisma lurus disebut prisma, di mana sisi-sisinya tegak lurus terhadap bidang alasnya. 
benar disebut prisma lurus (Gbr. 3), di dasarnya terletak poligon beraturan.
Sebutan:
l - rusuk samping;
P - perimeter dasar;
S o - area dasar;
H - tinggi;
P ^ - keliling bagian tegak lurus;
S b - luas permukaan samping;
V - volume;
S p - luas total permukaan prisma.
|
V=SH |
*Diasumsikan bahwa setiap dua bidang berurutan berpotongan dan bidang terakhir memotong bidang pertama.
Teorema 1 . Bagian dari permukaan prismatik dengan bidang yang sejajar satu sama lain (tetapi tidak sejajar dengan tepinya) adalah poligon yang sama.
Misalkan ABCDE dan A"B"C"D"E" adalah bagian dari permukaan prismatik oleh dua bidang sejajar. Untuk memastikan bahwa kedua poligon ini sama, cukup untuk menunjukkan bahwa segitiga ABC dan A"B"C" adalah sama dan memiliki arah putaran yang sama dan hal yang sama berlaku untuk segitiga ABD dan A"B"D", ABE dan A"B"E". Tetapi sisi-sisi yang bersesuaian dari segitiga-segitiga ini sejajar (misalnya, AC sejajar dengan A "C") sebagai garis perpotongan bidang tertentu dengan dua bidang paralel; maka sisi-sisi ini adalah sama (misalnya, AC sama dengan A"C") sebagai sisi-sisi yang berlawanan dari jajaran genjang, dan bahwa sudut-sudut yang dibentuk oleh sisi-sisi ini adalah sama dan memiliki arah yang sama.
Definisi 2 . Bagian tegak lurus dari permukaan prismatik adalah bagian dari permukaan ini oleh bidang yang tegak lurus dengan tepinya. Berdasarkan teorema sebelumnya, semua bagian tegak lurus dari permukaan prismatik yang sama akan menjadi poligon yang sama.
Definisi 3
. Prisma adalah polihedron yang dibatasi oleh permukaan prismatik dan dua bidang sejajar satu sama lain (tetapi tidak sejajar dengan tepi permukaan prismatik)
Wajah-wajah yang terletak di bidang terakhir ini disebut alas prisma; wajah milik permukaan prismatik - wajah samping; tepi permukaan prismatik - tepi samping prisma. Berdasarkan teorema sebelumnya, alas prisma adalah: poligon yang sama. Semua sisi sisi prisma jajaran genjang; semua sisi sisinya sama satu sama lain.
Jelaslah bahwa jika alas prisma ABCDE dan salah satu rusuknya AA" diberikan besar dan arahnya, maka prisma dapat dibuat dengan menggambar rusuk-rusuk BB", CC", .., sama dan sejajar dengan tepi AA".
Definisi 4 . Tinggi prisma adalah jarak antara bidang alasnya (HH").
Definisi 5
. Sebuah prisma disebut garis lurus jika alasnya adalah bagian tegak lurus dari permukaan prismatik. Dalam hal ini, tinggi prisma tentu saja adalah rusuk samping; tepi samping akan persegi panjang.
Prisma dapat diklasifikasikan berdasarkan jumlah sisi sisinya, sama dengan jumlah sisi poligon yang menjadi alasnya. Dengan demikian, prisma bisa berbentuk segitiga, segi empat, segi lima, dll.
Teorema 2
. Luas permukaan lateral prisma sama dengan produk tepi lateral dan keliling bagian tegak lurus.
Misalkan ABCDEA"B"C"D"E" adalah prisma yang diberikan dan abcde adalah bagian tegak lurusnya, sehingga ruas-ruas ab, bc, .. tegak lurus dengan sisi-sisinya. Wajah ABA"B" adalah jajar genjang; luasnya sama dengan hasil kali alas AA " dengan ketinggian yang cocok dengan ab; luas permukaan BCV "C" sama dengan produk alas BB" dengan tinggi bc, dll. Oleh karena itu, permukaan samping (yaitu, jumlah luas permukaan samping) adalah sama dengan produk dari tepi samping, dengan kata lain, panjang total segmen AA", BB", .., dengan jumlah ab+bc+cd+de+ea.
Informasi umum tentang prisma lurus
Permukaan lateral prisma (lebih tepatnya, luas permukaan lateral) disebut jumlah daerah wajah samping. Total permukaan prisma sama dengan jumlah permukaan lateral dan luas alasnya.
Teorema 19.1. Permukaan sisi prisma lurus sama dengan produk keliling alas dan tinggi prisma, yaitu, panjang tepi samping.
Bukti. Sisi sisi prisma lurus adalah persegi panjang. Alas persegi panjang ini adalah sisi-sisi poligon yang terletak di dasar prisma, dan tingginya sama dengan panjang sisi-sisinya. Oleh karena itu, permukaan lateral prisma sama dengan
S = a 1 l + a 2 l + ... + a n l = pl,
di mana a 1 dan n adalah panjang rusuk alas, p adalah keliling alas prisma, dan I adalah panjang rusuk samping. Teorema telah terbukti.
tugas praktis
Tugas (22) . Pada prisma miring bagian, tegak lurus terhadap sisi sisi dan memotong semua sisi sisi. Temukan permukaan sisi prisma jika keliling bagian tersebut adalah p dan sisi-sisinya adalah l.
Larutan. Bidang bagian yang digambar membagi prisma menjadi dua bagian (Gbr. 411). Mari kita tundukkan salah satunya pada terjemahan paralel yang menggabungkan alas prisma. Dalam hal ini, kami memperoleh prisma lurus, di mana bagian prisma asli berfungsi sebagai alas, dan sisi-sisinya sama dengan l. Prisma ini memiliki permukaan sisi yang sama dengan yang asli. Jadi, permukaan sisi prisma asli sama dengan pl.
Generalisasi topik
Dan sekarang mari kita coba dengan Anda untuk meringkas topik prisma dan mengingat properti apa yang dimiliki prisma.
Properti Prisma
Pertama, untuk prisma, semua alasnya adalah poligon yang sama;
Kedua, untuk prisma, semua sisi sisinya adalah jajaran genjang;
Ketiga, dalam figur multifaset seperti prisma, semua sisi sisinya sama;
Juga, harus diingat bahwa polihedra seperti prisma bisa lurus dan miring.
Apa itu prisma lurus?
Jika sisi sisi prisma tegak lurus dengan bidang alasnya, maka prisma semacam itu disebut garis lurus.
Tidak akan berlebihan untuk mengingat bahwa sisi sisi prisma lurus adalah persegi panjang.
Apa itu prisma miring?
Tetapi jika tepi samping prisma tidak terletak tegak lurus dengan bidang alasnya, maka kita dapat dengan aman mengatakan bahwa ini adalah prisma miring.
Apa prisma yang benar?
Jika poligon beraturan terletak di dasar prisma lurus, maka prisma tersebut beraturan.
Sekarang mari kita mengingat kembali sifat-sifat yang dimiliki prisma beraturan.
Sifat-sifat prisma beraturan
Pertama, poligon beraturan selalu berfungsi sebagai alas prisma beraturan;
Kedua, jika kita mempertimbangkan sisi sisi prisma biasa, maka mereka selalu persegi panjang yang sama;
Ketiga, jika kita membandingkan ukuran rusuk samping, maka dalam prisma yang benar mereka selalu sama.
Keempat, prisma beraturan selalu lurus;
Kelima, jika pada prisma beraturan sisi mukanya berbentuk bujur sangkar, maka bangun seperti itu biasanya disebut poligon setengah beraturan.
bagian prisma
Sekarang mari kita lihat penampang prisma:
Pekerjaan rumah
Dan sekarang mari kita coba mengkonsolidasikan topik yang dipelajari dengan memecahkan masalah.
Mari kita menggambar prisma segitiga miring, di mana jarak antara ujung-ujungnya adalah: 3 cm, 4 cm dan 5 cm, dan permukaan sisi prisma ini akan sama dengan 60 cm2. Dengan parameter ini, temukan tepi lateral prisma yang diberikan.
Tahukah Anda bahwa sosok geometris terus-menerus mengelilingi kita tidak hanya dalam pelajaran geometri, tetapi juga dalam kehidupan sehari-hari ada benda-benda yang menyerupai sosok geometris satu atau lain.
Setiap rumah, sekolah atau tempat kerja memiliki komputer yang satuan sistemnya berbentuk prisma lurus.
Jika Anda mengambil pensil sederhana, Anda akan melihat bahwa bagian utama pensil adalah prisma.
Berjalan di sepanjang jalan utama kota, kita melihat bahwa di bawah kaki kita terletak ubin yang berbentuk prisma heksagonal.
A. V. Pogorelov, Geometri untuk kelas 7-11, Buku teks untuk institusi pendidikan
Kursus video "Dapatkan A" mencakup semua topik yang diperlukan untuk keberhasilan ujian matematika dengan 60-65 poin. Sepenuhnya semua tugas 1-13 dari Profil GUNAKAN dalam matematika. Juga cocok untuk lulus PENGGUNAAN Dasar dalam matematika. Jika Anda ingin lulus ujian dengan 90-100 poin, Anda harus menyelesaikan bagian 1 dalam 30 menit dan tanpa kesalahan!
Kursus persiapan untuk ujian untuk kelas 10-11, serta untuk guru. Semua yang Anda butuhkan untuk menyelesaikan bagian 1 ujian matematika (12 soal pertama) dan soal 13 (trigonometri). Dan ini lebih dari 70 poin pada Ujian Negara Bersatu, dan baik siswa seratus poin maupun seorang humanis tidak dapat melakukannya tanpa mereka.
Semua teori yang diperlukan. Solusi cepat, jebakan, dan rahasia ujian. Semua tugas yang relevan bagian 1 dari tugas Bank FIPI telah dianalisis. Kursus ini sepenuhnya sesuai dengan persyaratan USE-2018.
Kursus ini berisi 5 topik besar, masing-masing 2,5 jam. Setiap topik diberikan dari awal, sederhana dan jelas.
Ratusan tugas ujian. Masalah teks dan teori probabilitas. Algoritma pemecahan masalah yang sederhana dan mudah diingat. Geometri. Teori, bahan referensi, analisis semua jenis tugas USE. Stereometri. Trik licik untuk memecahkan, lembar contekan yang berguna, pengembangan imajinasi spasial. Trigonometri dari awal - ke tugas 13. Memahami alih-alih menjejalkan. Penjelasan visual dari konsep yang kompleks. Aljabar. Akar, pangkat dan logaritma, fungsi dan turunan. Dasar untuk memecahkan masalah kompleks dari bagian ke-2 ujian.
