Stereometri dikembangkan dari pengamatan dan pemecahan masalah yang muncul dalam proses aktivitas praktis manusia. Tidak diragukan lagi, bahkan manusia primitif, yang telah berubah dari kehidupan nomaden menjadi kehidupan menetap, setelah mengambil pertanian, berusaha memperkirakan, setidaknya dalam istilah yang paling kasar, ukuran panen yang telah dikumpulkannya dengan tumpukan roti yang ditumpuk. tumpukan, guncangan atau tumpukan. Pembangun bahkan bangunan primitif paling kuno pun harus memperhitungkan bahan yang dia miliki, dan dapat menghitung berapa banyak bahan yang dibutuhkan untuk membangun bangunan tertentu. Pemotongan batu di antara orang Mesir dan Kasdim kuno membutuhkan keakraban dengan sifat metrik dari setidaknya benda geometris yang paling sederhana: kubus, paralelepiped, prisma, silinder, dll. Kebutuhan pertanian, navigasi, orientasi waktu mendorong orang ke pengamatan astronomi, dan yang terakhir mempelajari sifat-sifat bola dan bagian-bagiannya, dan, akibatnya, hukum posisi relatif bidang dan garis di ruang angkasa.

Selama perkembangan ekonomi dan budaya Yunani kuno dan koloninya, geometri mencapai perkembangan teoretis yang tinggi. Dari ahli geometri Yunani yang luar biasa, Anaxagoras, Democritus, Hippocrates (abad ke-5 SM) tertarik pada stereometri. Hippocrates adalah orang pertama yang memecahkan masalah kuno yang terkenal - masalah Delhi menggandakan kubus. Di sekolah Plato, masalah stereometri berkembang pesat. Salah satu perwakilan dari sekolah Plato, Teetetus, dianggap segi delapan dan dua puluh satu dan untuk pertama kalinya memberikan teori beberapa sifat dari lima polihedra biasa. Murid Plato, Menechme, adalah orang pertama yang memberikan beberapa teori irisan kerucut. Kelebihan terbesar Euclid adalah dia mengumpulkan, memproses, dan membawa ke dalam sistem yang koheren, materi yang telah turun kepadanya. Dari 13 buku "Awal" stereometrinya, buku XI-XIII ditugaskan. Informasi tentang stereometri yang dikumpulkan oleh Euclid dilengkapi, diperdalam dan diperluas oleh ahli matematika terbesar dari zaman kuno Archimedes. Dia memberikan tiga belas padatan semi-reguler, yang masing-masing dibatasi oleh poligon biasa, tetapi tidak dari jenis yang sama, dan menghitung volume padatan revolusi. Berkat karya Archimedes, stereometri mencapai titik puncaknya, dan geometri dasar dalam pengertian modern akhirnya ditetapkan.

Setelah jatuhnya Yunani, ada stagnasi panjang dalam perkembangan matematika dan stereometri khususnya, yang berlangsung selama seribu tahun. Banyak yang telah dilakukan oleh Kepler untuk pengembangan stereometri di zaman modern ini. Dalam "Stereometry Baru" -nya "stereometry of barrels" - ia pertama kali menggunakan kuantitas yang sangat kecil dalam geometri. Penemuan kalkulus integral oleh Newton dan Leibniz akhirnya memecahkan masalah kuadratur dan kubatur.

Silinder- benda yang terdiri dari dua lingkaran yang tidak terletak pada bidang yang sama dan digabungkan dengan terjemahan paralel, dan semua segmen menghubungkan titik-titik yang sesuai dari lingkaran ini.

r adalah jari-jari silinder;
d adalah diameter silinder;
l adalah generatrix silinder;
h adalah tinggi silinder.

Catatan: pada silinder melingkar siku-siku, panjang generatrix sama dengan panjang tingginya.

Volume silinder melingkar dihitung dengan rumus:

V = r 2 jam, di mana

π – nilai konstan (≈3.1415 );
r adalah jari-jari dasar silinder;
h adalah tinggi silinder.

kubus adalah polihedron biasa, masing-masing wajah yang persegi. Semua rusuk kubus sama.

ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - kubus;

A, B, C, D, A 1 , B 1 , C 1 , D 1- simpul kubus;

a - panjang rusuk kubus.

volume kubus dihitung dengan rumus:

V kubus \u003d a 3, di mana

a adalah panjang rusuk kubus.

Segi empat adalah polihedron biasa yang wajahnya empat segitiga.

ABCD - tetrahedron;

A, B, C, D - simpul tetrahedron;

AD, BD, CD, AB, BC, AC - tepi tetrahedron;

ABD, BCD, ACD - wajah tetrahedron.

Volume tetrahedron dihitung dengan rumus:

sebuah adalah panjang setiap tepi tetrahedron.

Pedoman

Agar berhasil menyelesaikan tugas dalam kategori ini, Anda harus:

mengetahui definisi benda geometris dan sifat-sifatnya;

mampu melakukan tindakan dengan bentuk geometris, koordinat dan vektor;

dapat memecahkan masalah stereometrik untuk menemukan besaran geometris (panjang, sudut, luas, volume);

mengetahui rumus untuk menghitung luas dan volume benda geometris.

Tya Tidak. 8 Volume silinder Opsi 1.

1. Hitunglah volume tabung dengan tinggi 3 cm dan diameter alas 6 cm a) 27π cm 3; b) 9π cm 3; c) 36π cm 3; d) 18π cm 3; e) 54π cm 3.

2. Volume silinder adalah 27π. Hitunglah diameter alas silinder jika luas permukaan totalnya dua kali luas permukaan lateralnya.

a) 3; b) tidak dapat ditentukan pada 6; d) 2; e) 9.

3. Diagonal penampang silinder membentuk sudut 60 dengan bidang alas silinder. Temukan volume silinder jika luas penampang aksial adalah 16√3 cm2.

a) 16π ​​cm 3; b) 16√3 cm 3; c) 32π√3 cm 3; d) 8π√3 cm 3; e) 16π√3 cm3.

4. Sebuah bola berjari-jari 1 cm berada di dalam sebuah silinder, tentukan volume silinder tersebut.

a) 4π cm 3; b) 2π cm 3; c) 8π cm 3; d) cm3; d) tidak dapat ditentukan.

5. Volume tabung adalah 120. Tentukan tinggi tabung dengan ketelitian 0,01 jika jari-jari alasnya 3 kali lebih besar dari itu.

a) 1,62; b) 1,63; c) 1,61; d) 1.6; e) 1.60.

6. Luas bagian aksial silinder adalah 21 cm 2, luas alas adalah 18π cm 2. Cari volume silinder.

a) 9π cm 3; b) 31,5π√2 cm 3; c) 21π cm 3; d) 63π cm 3; e) 31,5π√3 cm3.

7. Pilih pernyataan yang benar.

a) Volume tabung adalah setengah produk dari luas alas dan tinggi.

b) Volume silinder dihitung dengan rumus V = S/2, di mana S adalah luas penampang silinder;

c) volume silinder sama sisi adalah V = 2πR 3 , di mana R adalah jari-jari alas silinder;

d) volume silinder dihitung dengan rumus V = Mh/2, di mana M adalah luas permukaan lateral silinder, dan h adalah tingginya;

8. Bagian yang sejajar dengan sumbu silinder memotong busur 120˚ dari keliling alas. Jari-jari alas silinder adalah R, sudut antara diagonal bagian dan sumbu silinder adalah 30˚. Tentukan volume tabung a) 3πR 2 ; b) R 3 3; c) 3πR 3 ; d) R 3 ; e) 3πR 3 3.

9. Dua bidang ditarik melalui generatrix silinder. Sudut antara keduanya adalah 120˚. Luas penampang yang dihasilkan adalah 1. Jari-jari alas silinder adalah 1. Tentukan volume silinder. a) 3/3; b) 2π; c) /2; d) pi; d) tidak dapat ditentukan.

10. Sebuah kawat aluminium dengan diameter 2 mm memiliki massa 3,4 kg. Hitunglah panjang kawat hingga 1 cm terdekat jika massa jenis aluminium adalah 2,6 g/cm3.

a) 41646; b) 43590; c) 41656; d) 41635; e) 41625.

Tya Tidak. 8 Volume silinder Opsi 2.

1. Hitunglah volume tabung dengan tinggi 6 cm dan diameter alas 3 cm a) 13,5π cm 3; b) 9π cm 3; c) 27π cm 3; d) 18π cm 3; e) 54π cm 3.

2. Volume silinder adalah 32π. Hitunglah tinggi silinder jika luas permukaan totalnya tiga kali luas permukaan lateralnya.

a) 3; b) tidak dapat ditentukan jam 4; d) 8; D 2.

3. Diagonal penampang silinder membentuk sudut 60 dengan bidang alas silinder. Cari luas penampang aksial jika volume silinder adalah 16 3 cm 2.

a) 16 cm2; b) 16√3 cm 2; c) 32√3 cm 2; d) 8√3 cm 2; e) 16π√3 cm2.

4. Sebuah bola berjari-jari 1 cm digambarkan di dekat silinder.Temukan volume silinder.

a) 4π√2 cm 3; b) 0,5π√2 cm 3; c) tidak dapat ditentukan d) cm3; e) 2 cm 3.

5. Volume tabung adalah 120. Tentukan tinggi tabung dengan ketelitian 0,01 jika jari-jari alasnya 3 kali lebih kecil darinya.

a) 2.3; b) 2.33; c) 2.35; d) 2.335; e) 2.34.

6. Luas bagian aksial silinder adalah 30 cm 2, luas alasnya adalah 9π cm 2. Cari volume silinder.

a) 45π cm 3; b) 22,5π cm 3; c) 23π cm 3; d) 9π cm 3; e) 30π cm 3.

7. Pilih pernyataan yang salah.

a) Volume tabung adalah hasil kali luas alas dan tinggi.

b) Volume silinder dihitung dengan rumus V = 1/2πrS, di mana S adalah luas penampang silinder, dan r adalah jari-jari silinder;

c) volume silinder sama sisi dihitung dengan rumus V = 1/4πh 3, di mana h adalah tinggi silinder;

d) volume silinder dihitung dengan rumus V = 1/2Mr, di mana M adalah luas permukaan lateral silinder, dan r adalah jari-jarinya;

e) volume silinder sama sisi dihitung dengan rumus V = h 3 /2, di mana h adalah tinggi silinder.

8. Bagian yang sejajar dengan sumbu silinder memotong busur 120 0 dari keliling alasnya. Bagian ini dihilangkan dari sumbu silinder dengan jarak yang sama dengan a. Diagonal bagian tersebut adalah 4a. Cari volume silinder. a) 8pa 2 ; b) 4pa 3 ; c) 2πa 3 ; d) 16 pa 3 ; e) 8πa 3 .

9. Dua bidang ditarik melalui generatrix silinder. Sudut antara keduanya adalah 120˚. Luas penampang yang dihasilkan adalah 1. Tinggi silinder adalah 1. Tentukan volume silinder. a) /4; b) /2; c) ; d) /3; d) tidak dapat ditentukan.

10. Sebuah kawat aluminium dengan diameter 2 mm memiliki massa 3,4 m. Tentukan massa kawat dengan ketelitian 1 g jika massa jenis aluminium adalah 2,6 g / cm3.

a) 278; b) 277; c) 29; d) 27; e) 28.

Jenis pekerjaan: 8
Tema: Silinder

Kondisi

Dalam sebuah bejana berbentuk silinder, ketinggian zat cair mencapai 20 cm. Pada ketinggian berapakah ketinggian zat cair itu jika dituangkan ke dalam bejana silinder kedua yang diameternya dua kali diameter bejana pertama? Nyatakan jawaban Anda dalam sentimeter.

Tunjukkan Solusi

Larutan

Misalkan R adalah jari-jari alas bejana pertama, maka 2 R adalah jari-jari alas bejana kedua. Dengan syarat, volume cairan V di bejana pertama dan kedua adalah sama. Dilambangkan dengan H - tingkat kenaikan cairan di bejana kedua. Kemudian

V=\pi R^2 \cdot 20, dan V=\pi (2R)^2H = 4\pi R^2H. Dari sini \pi R^2 \cdot 20 = 4\pi R^2H, 20=4H H = 5

Menjawab

Jenis pekerjaan: 8
Tema: Silinder

Kondisi

2000 cm3 air dituangkan ke dalam bejana silinder. Ketinggian cairan ternyata 15 cm, bagian itu benar-benar terendam air. Pada saat yang sama, permukaan cairan di dalam bejana naik 9 cm. Berapa volume bagian tersebut? Nyatakan jawaban Anda dalam cm3.

Tunjukkan Solusi

Larutan

Misalkan R adalah jari-jari alas silinder, dan h adalah ketinggian air yang dituangkan ke dalam bejana. Maka volume air yang dituangkan sama dengan volume tabung dengan jari-jari alas R dan tinggi h. V air \u003d S utama. · h = \pi R^2\cdot h. Berdasarkan kondisi tersebut, persamaan 2000=\pi R^2\cdot15 terpenuhi. Dari sini, \pi R^2=\frac(2000)(15)=\frac(400)(3).

Misalkan H adalah tinggi air di dalam bejana setelah benda dicelupkan ke dalamnya. Maka volume total air dan bagiannya sama dengan volume tabung dengan jari-jari alas R dan tinggi H. Dengan syarat H=h+9=15+9=24. Jadi V air + detail = \pi R^2\cdot H=\frac(400)(3)\cdot24=3200. Oleh karena itu, V bagian = V air + bagian V air = 3200-2000=1200.

Menjawab

Sumber: “Matematika. Persiapan ujian-2017. tingkat profil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Jenis pekerjaan: 8
Tema: Silinder

Kondisi

Hitunglah tinggi sebuah silinder jika jari-jari alasnya adalah 8 dan luas permukaan sisinya adalah 96\pi.

Tunjukkan Solusi

Larutan

S=2\pi rh,

96\pi=2\pi\cdot8h,

h=\frac(96\pi)(16\pi)=6.

Menjawab

Sumber: “Matematika. Persiapan menghadapi ujian-2016. tingkat profil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Jenis pekerjaan: 8
Tema: Silinder

Kondisi

500 meter kubik dituangkan ke dalam bejana silinder. melihat air. Tentukan volume bagian yang terendam air seluruhnya jika, setelah direndam, ketinggian cairan meningkat 1,2 kali. Nyatakan jawabanmu dalam kubus. cm.

Tunjukkan Solusi

Larutan

Biarkan V 1 menunjukkan volume awal cairan dalam silinder. Setelah bagian dicelupkan, volume cairan bertambah 1,2 kali, yang berarti volume akhir cairan adalah V 2 = 1,2 V 1. Volume bagian sama dengan selisih volume sebelum dan sesudah perendaman, yang berarti V = V_2-V_1=1.2\cdot 500-500=100 kubus cm.

Menjawab

Ketika cairan meluap, volume awalnya tidak berubah, yaitu: V 1 \u003d V 2, yang berarti persamaannya benar: \pi\left(\frac(d_1)(2)\right)^2h_1=\pi\left(\frac(3d_1)(2)\right)^2h_2

Substitusikan nilai dari kondisinya, sederhanakan ekspresinya dan temukan ketinggian cairan yang diinginkan dari bejana kedua h 2:

\pi \enspace\frac(d_1^(2))(4)\enspace 63=\pi \enspace\frac(9d_1^(2))(4)\enspace h_2

\frac(63)(4)=\frac(9)(4)h_2

h_2=\frac(63)(9)=7