Pelajaran dan presentasi dengan topik: "logaritma natural. Dasar dari logaritma natural. Logaritma dari bilangan asli"

Bahan tambahan
Pengguna yang terhormat, jangan lupa untuk meninggalkan komentar, umpan balik, saran Anda! Semua bahan diperiksa oleh program antivirus.

Alat peraga dan simulator di toko online "Integral" untuk kelas 11
Manual interaktif untuk kelas 9-11 "Trigonometri"
Manual interaktif untuk kelas 10-11 "Logaritma"

Apa itu logaritma natural?

Kawan, dalam pelajaran terakhir kami mempelajari nomor khusus baru - e. Hari ini kami akan terus bekerja dengan nomor ini.
Kita telah mempelajari logaritma dan kita tahu bahwa basis logaritma dapat berupa himpunan bilangan yang lebih besar dari 0. Hari ini kita juga akan membahas logaritma, yang didasarkan pada bilangan e. Logaritma seperti ini biasanya disebut logaritma natural . Ia memiliki notasinya sendiri: $\ln(n)$ adalah logaritma natural. Notasi ini setara dengan: $\log_e(n)=\ln(n)$.
Fungsi eksponensial dan logaritma adalah invers, maka logaritma natural adalah invers dari fungsi: $y=e^x$.
Fungsi invers adalah simetris terhadap garis lurus $y=x$.
Mari kita plot logaritma natural dengan memplot fungsi eksponensial terhadap garis lurus $y=x$.

Perlu dicatat bahwa kemiringan garis singgung grafik fungsi $y=e^x$ pada titik (0;1) adalah 45°. Kemudian kemiringan garis singgung grafik logaritma natural di titik (1; 0) juga akan sama dengan 45°. Kedua garis singgung ini akan sejajar dengan garis $y=x$. Mari kita buat sketsa garis singgung:

Sifat-sifat fungsi $y=\ln(x)$

1. $D(f)=(0;+)$.
2. Tidak genap atau ganjil.
3. Meningkat di seluruh domain definisi.
4. Tidak dibatasi dari atas, tidak dibatasi dari bawah.
5. Tidak ada nilai maksimum, tidak ada nilai minimum.
6. Terus menerus.
7. $E(f)=(-∞; +∞)$.
8. Cembung ke atas.
9. Dapat dibedakan di mana-mana.

Dalam pelajaran matematika yang lebih tinggi terbukti bahwa turunan dari fungsi invers adalah kebalikan dari turunan dari fungsi yang diberikan.
Tidak masuk akal untuk menyelidiki buktinya, tulis saja rumusnya: $y"=(\ln(x))"=\frac(1)(x)$.

Contoh.
Hitung nilai turunan fungsi: $y=\ln(2x-7)$ pada titik $x=4$.
Larutan.
Secara umum, fungsi kita diwakili oleh fungsi $y=f(kx+m)$, kita dapat menghitung turunan dari fungsi tersebut.
$y"=(\ln((2x-7)))"=\frac(2)((2x-7))$.
Mari kita hitung nilai turunan pada titik yang diperlukan: $y"(4)=\frac(2)((2*4-7))=2$.
Jawaban: 2.

Contoh.
Gambarlah garis singgung grafik fungsi $y=ln(x)$ di titik $x=e$.
Larutan.
Persamaan garis singgung grafik fungsi, pada titik $x=a$, kita ingat dengan baik.
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
Mari kita menghitung nilai yang diperlukan secara berurutan.
$a=e$.
$f(a)=f(e)=\ln(e)=1$.
$f"(a)=\frac(1)(a)=\frac(1)(e)$.
$y=1+\frac(1)(e)(x-e)=1+\frac(x)(e)-\frac(e)(e)=\frac(x)(e)$.
Persamaan tangen di titik $x=e$ adalah fungsi $y=\frac(x)(e)$.
Mari kita plot logaritma natural dan tangen.

Contoh.
Selidiki fungsi monotonisitas dan ekstrem: $y=x^6-6*ln(x)$.
Larutan.
Domain dari fungsi $D(y)=(0;+∞)$.
Tentukan turunan dari fungsi yang diberikan:
$y"=6*x^5-\frac(6)(x)$.
Turunan ada untuk semua x dari domain, maka tidak ada titik kritis. Mari kita cari titik stasioner:
$6*x^5-\frac(6)(x)=0$.
$\frac(6*x^6-6)(x)=0$.
$6*x^6-6=0$.
$x^6-1=0$.
$x^6=1$.
$x=±1$.
Titik $х=-1$ tidak termasuk dalam domain definisi. Maka kita memiliki satu titik stasioner $х=1$. Temukan interval kenaikan dan penurunan:

Titik $x=1$ adalah titik minimum, maka $y_min=1-6*\ln(1)=1$.
Jawab: Fungsi menurun pada ruas (0;1], fungsi bertambah pada sinar $)