Suatu ketika penyelidik harus menginterogasi tiga saksi secara bersamaan: Claude, Jacques dan Dick. Kesaksian mereka saling bertentangan, dan masing-masing menuduh seseorang berbohong. Claude mengklaim bahwa Jacques berbohong, Jacques menuduh Dick berbohong, dan Dick membujuk penyelidik untuk tidak mempercayai Claude atau Jacques. Namun penyidik ​​segera membawa mereka ke air bersih tanpa menanyakan satu pertanyaan pun. Manakah dari para saksi yang mengatakan yang sebenarnya?

Ilya Muromets, Dobrynya Nikitich dan Alyosha Popovich diberi 6 koin untuk pelayanan setia mereka: 3 emas dan 3 perak. Masing-masing menerima dua koin. Ilya Muromets tidak tahu koin mana yang didapat Dobrynya dan mana yang didapat Alyosha, tapi dia tahu koin mana yang didapatnya sendiri. Pikirkan pertanyaan yang Ilya Muromets akan menjawab "ya", "tidak" atau "Saya tidak tahu", dan dengan jawabannya Anda dapat memahami koin apa yang dia dapatkan

Aturan silogisme 1. Dalam silogisme seharusnya hanya ada tiga pernyataan dan hanya tiga istilah. ZhG Semua pelancong melarikan diri ke arah yang berbeda, Petrov adalah seorang pelancong, yang berarti dia melarikan diri ke arah yang berbeda. 3. Jika kedua premis adalah pernyataan pribadi, maka tidak mungkin menarik kesimpulan. 2. Jika salah satu premis adalah pernyataan pribadi, maka kesimpulannya harus pribadi. 4. Jika salah satu premisnya adalah pernyataan negatif, maka kesimpulannya juga pernyataan negatif. 5. Jika kedua premis adalah pernyataan negatif, maka kesimpulan tidak dapat dibuat 6. Suku tengah harus didistribusikan setidaknya di salah satu premis. 7. Suatu term tidak dapat terdistribusi dalam suatu kesimpulan jika tidak terdistribusi dalam suatu premis.

Semua kucing memiliki empat kaki. Semua anjing memiliki empat kaki. Semua anjing adalah kucing. Semua orang fana. Semua anjing bukan manusia. Anjing itu abadi (tidak fana). Ukraina menempati wilayah yang luas. Krimea adalah bagian dari Ukraina. Krimea menempati wilayah yang luas

. 18 tahun.

Larutan

.

Cara pertama . Menurut kondisi masalah, Anda dapat menulis persamaan. Misal umur Dima adalah x tahun, maka umur saudara perempuan adalah x/3, dan umur saudara laki-laki adalah x/2; (x + x / 3 + x / 2): 3 \u003d 11. Setelah menyelesaikan persamaan ini, kita mendapatkan bahwa x = 18. Dima berusia 18 tahun. Akan berguna untuk memberikan solusi yang sedikit berbeda, "di bagian".

Cara kedua . Jika usia Dima, saudara laki-laki dan perempuannya diwakili oleh segmen, maka "segmen Dimin" terdiri dari dua "segmen saudara" atau tiga "segmen saudara". Kemudian, jika umur Dima dibagi menjadi 6 bagian, maka umur saudara perempuan adalah dua bagian, dan umur saudara laki-laki adalah tiga bagian. Maka jumlah umur mereka adalah 11 bagian tersebut. Sebaliknya, jika median umurnya 11 tahun, maka jumlah umurnya adalah 33 tahun. Dari mana maka dalam satu bagian - tiga tahun. Jadi Dima berumur 18 tahun.

Kriteria Verifikasi .

Selesaikan solusi yang benar 7 poin.

Persamaannya benar, tetapi kesalahan dibuat dalam solusi - 3 poin .

Jawaban yang benar diberikan dan verifikasi dilakukan - 2 poin .

0 poin .

Menjawab . Sam Grey.

Larutan .

Dari kondisi masalah terlihat jelas bahwa keterangan masing-masing saksi diucapkan dalam hubungannya dengan keterangan dua saksi lainnya. Perhatikan pernyataan Bob Black. Jika apa yang dia katakan itu benar, maka Sam Gray dan John White berbohong. Tetapi dari fakta bahwa John White berbohong, maka tidak semua kesaksian Sam Gray sepenuhnya bohong. Dan ini bertentangan dengan kata-kata Bob Black, yang kami putuskan untuk percaya dan yang mengklaim bahwa Sam Gray berbohong. Jadi kata-kata Bob Black tidak mungkin benar. Jadi dia berbohong, dan kita harus mengakui bahwa kata-kata Sam Gray benar, dan karena itu pernyataan John White salah. Jawaban: Sam Gray tidak berbohong.

Kriteria Verifikasi .

Sebuah analisis yang benar lengkap dari situasi masalah diberikan dan jawaban yang benar diberikan - 7 poin .

Analisis situasi yang benar dan lengkap diberikan, tetapi untuk beberapa alasan jawaban yang salah diberikan (misalnya, alih-alih orang yang TIDAK berbohong, jawabannya menunjukkan mereka yang berbohong) - 6 poin .

Analisis situasi yang benar diberikan, tetapi untuk beberapa alasan jawaban yang benar tidak diberikan (misalnya, terbukti bahwa Bob Black berbohong, tetapi tidak ada kesimpulan lebih lanjut yang ditarik) – 4 poin .

Jawaban yang benar diberikan dan ditunjukkan bahwa itu memenuhi kondisi masalah (tes dilakukan), tetapi tidak terbukti bahwa jawabannya adalah satu-satunya - 3 poin .

1 skor .

0 poin .

Menjawab . Satu nomor 175.

Larutan . Cara pertama . Komposisi angka yang digunakan untuk menulis angka tidak mengandung angka 0, jika tidak, kondisi masalah tidak dapat dipenuhi. Bilangan tiga angka ini diperoleh dengan mengalikan 5 hasil kali angka-angkanya, oleh karena itu habis dibagi 5. Oleh karena itu, entrinya diakhiri dengan angka 5. Kita peroleh bahwa hasil kali angka-angka dikalikan 5 harus habis dibagi 25 Perhatikan bahwa ada digit genap dalam entri nomor tidak bisa, jika tidak, produk dari digit akan menjadi nol. Jadi, bilangan tiga angka harus habis dibagi 25 dan tidak mengandung angka genap. Hanya ada lima angka seperti itu: 175, 375, 575, 775 dan 975. Produk dari angka-angka dari angka yang diinginkan harus kurang dari 200, jika tidak, dikalikan dengan 5, itu akan menghasilkan angka empat digit. Oleh karena itu, angka 775 dan 975 jelas tidak cocok. Di antara tiga angka yang tersisa, hanya 175 yang memenuhi kondisi soal. Cara kedua. Perhatikan (mirip dengan metode solusi pertama) bahwa digit terakhir dari angka yang diinginkan adalah 5. Marisebuah , b , 5 - digit berurutan dari nomor yang diinginkan. Menurut kondisi masalah, kami memiliki: 100sebuah + 10 b + 5 = sebuah · b 5 5. Membagi kedua ruas persamaan dengan 5, kita mendapatkan: 20sebuah + 2 b + 1 = 5 ab . Setelah mengurangkan persamaan 20a dari kedua ruas dan mengurung faktor persekutuan di ruas kanan, kita peroleh: 2b + 1 = 5 sebuah (b – 4 sebuah) (1 ). Mengingat bahwa sebuah dan b dapat mengambil nilai alami dari 1 hingga 9, kita mendapatkan bahwa nilai yang mungkin dari a hanya 1 atau 2. Tetapi a=2 tidak memenuhi persamaan (1 ), pada ruas kiri terdapat bilangan ganjil, dan ruas kanan bila a = 2 disubstitusikan, diperoleh bilangan genap. Jadi satu-satunya kemungkinan adalah a=1. Substitusikan nilai ini ke (1 ), kita peroleh: 2 b + 1 = 5 b- 20, dari mana b =7. Jawaban: satu-satunya angka yang diinginkan adalah 175.

Kriteria Verifikasi .

Selesaikan solusi yang benar 7 poin .

Jawaban yang benar diterima dan ada argumen yang secara signifikan mengurangi penghitungan opsi, tetapi tidak ada solusi lengkap - 4 poin .

Persamaan disusun dengan benar dan transformasi serta penalaran diberikan yang memungkinkan pemecahan masalah, tetapi solusinya tidak dibawa ke akhir - 4 poin .

Pencacahan opsi berkurang, tetapi tidak ada penjelasan mengapa, dan jawaban yang benar ditunjukkan - 3 poin .

Persamaannya benar, tetapi masalahnya tidak terpecahkan - 2 poin .

Ada argumen dalam solusi yang memungkinkan mengecualikan angka apa pun dari pertimbangan atau mempertimbangkan angka dengan properti tertentu (misalnya, diakhiri dengan angka 5), ​​tetapi tidak ada kemajuan signifikan lebih lanjut dalam solusi - 1 skor .

Hanya jawaban yang benar atau jawaban dengan verifikasi yang diberikan - 1 skor .

Menjawab . 75 ° .

Larutan . Perhatikan segitiga AOC, di mana O adalah pusat lingkaran. Segitiga ini adalah sama kaki, karena OS dan OA adalah jari-jari. Jadi, berdasarkan sifat segitiga sama kaki, sudut A dan C sama besar. Mari kita menggambar SM tegak lurus ke sisi AO dan mempertimbangkan segitiga siku-siku OMC. Menurut kondisi masalahnya, kaki SM adalah setengah dari sisi miring OS. Jadi, besar sudut COM adalah 30°. Kemudian, menurut teorema tentang jumlah sudut segitiga, kita memperoleh bahwa sudut CAO (atau CAB) adalah 75 °.

Kriteria Verifikasi .

Solusi yang benar dari masalah - 7 poin.

Alasan yang benar diberikan, yang merupakan solusi untuk masalah, tetapi untuk beberapa alasan jawaban yang salah diberikan (misalnya, sudut COA ditunjukkan alih-alih sudut CAO) - 6 poin.

Secara umum, penalaran yang benar diberikan, di mana kesalahan dibuat yang tidak memiliki sifat mendasar untuk esensi keputusan, dan jawaban yang benar diberikan - 5 poin.

Solusi yang benar dari masalah diberikan tanpa adanya pembenaran: semua kesimpulan antara ditunjukkan tanpa menunjukkan hubungan di antara mereka (referensi ke teorema atau definisi) - 4 poin.

Konstruksi dan penunjukan tambahan dibuat pada gambar, dari mana jalan keluarnya jelas, jawaban yang benar diberikan, tetapi alasannya sendiri tidak diberikan - 3 poin.

Jawaban yang benar diberikan dengan alasan yang salah - 0 poin.

Hanya jawaban yang benar yang diberikan 0 poin.

Menjawab . Lihat menggambar.

Larutan . Kami mengubah persamaan ini dengan menyorot persegi penuh di bawah tanda akar: . Ekspresi di ruas kanan hanya masuk akal jika x = 9. Substitusikan nilai ini ke dalam persamaan, kita dapatkan: 9 2 – kamu 4 = 0. Kami memfaktorkan ruas kiri: (3 –kamu)(3 + kamu)(9 + kamu 2 ) = 0. Dari mana kamu= 3 atau kamu = -3. Ini berarti bahwa koordinat hanya dua titik (9; 3) atau (9; -3) memenuhi persamaan ini. Grafik persamaan ditunjukkan pada gambar.

Kriteria verifikasi.

Transformasi dan penalaran yang benar telah dilakukan dan grafik telah dibuat dengan benar - 7 poin.

Transformasi yang benar dilakukan, tetapi maknanya hilang kamu = -3; satu titik ditunjukkan sebagai grafik -3 poin.

Satu atau dua titik yang cocok ditunjukkan, mungkin dengan verifikasi, tetapi tanpa penjelasan lain atau setelah transformasi yang salah -1 skor.

Transformasi yang benar dilakukan, tetapi dinyatakan bahwa ekspresi di bawah akar (atau di sisi kanan setelah kuadrat) adalah negatif dan grafik adalah himpunan titik kosong - 1 skor.

Penalaran telah dilakukan yang mengarah pada indikasi dua titik, tetapi titik-titik ini entah bagaimana terhubung (misalnya, dengan segmen) - 1 skor.

Dua poin ditunjukkan tanpa penjelasan, yang entah bagaimana terhubung - 0 poin.

Dalam kasus lain - 0 poin.

Jawaban untuk tugas tahap kedua Olimpiade

Menjawab . Mereka bisa.

Larutan . Jika a \u003d, b \u003d -, maka a \u003d b + 1 dan a 2 \u003d b 2

Anda juga dapat menyelesaikan sistem persamaan:

Kriteria verifikasi.

Jawaban yang benar dengan angka sebuah dan b – 7 poin .

Sistem persamaan telah disusun, tetapi kesalahan aritmatika dibuat dalam solusinya - 3 poin .

Jawabannya hanya 1 skor .

Menjawab . Dalam 12 detik .

Larutan . Ada 3 rentang antara lantai pertama dan keempat, dan 4 rentang antara lantai lima dan pertama.Menurut kondisi, Petya berjalan 4 rentang 2 detik lebih lama dari ibu naik lift, dan tiga rentang 2 detik lebih cepat dari ibu. Jadi, dalam 4 detik Petya berlari melalui satu rentang. Kemudian Petya berlari dari lantai empat ke lantai pertama (yaitu, 3 penerbangan) dalam 4*3=12 detik.

Kriteria verifikasi.

Jawaban yang benar dengan solusi lengkap - 7 poin .

Dijelaskan butuh 4 detik untuk satu rentang, jawabannya mengatakan 4 detik 5 poin .

Pembenaran yang benar dengan asumsi bahwa jalan dari lantai lima ke lantai pertama adalah 1,25 kali jarak dari lantai empat ke lantai pertama dan jawabannya adalah 16 detik - 3 poin .

Jawabannya hanya 0 poin .

Menjawab . Lihat menggambar.

Larutan . Karena X 2 =| X | 2 , kemudian =| X |, dengan x≠ 0.

Dimungkinkan juga, dengan menggunakan definisi modul, untuk memperoleh (untuk x = 0 fungsi tidak ditentukan).

Kriteria verifikasi.

Grafik yang benar dengan penjelasan - 7 poin .

Grafik yang benar tanpa penjelasan apa pun - 5 poin .

grafik fungsi y =|x| tanpa titik berlubang3 poin .

Menjawab . Ya .

Larutan . Mari kita bagi persegi dengan sisi 5 dengan garis lurus yang sejajar dengan sisi-sisinya menjadi 25 kotak dengan sisi 1 (lihat gambar). Jika tidak ada lebih dari 4 titik yang ditandai di setiap kotak tersebut, maka tidak lebih dari 25 * 4 = 100 titik yang akan ditandai, yang bertentangan dengan kondisi. Oleh karena itu, setidaknya salah satu kotak yang dihasilkan harus berisi 5 titik yang ditandai.

Kriteria verifikasi.

Keputusan yang tepat - 7 poin .

Jawabannya hanya 0 poin .

Menjawab . Delapan cara.

Larutan . Dari titik a) maka pewarnaan semua titik dengan koordinat bilangan bulat ditentukan secara unik oleh pewarnaan titik-titik yang bersesuaian dengan angka 0, 1, 2, 3, 4, 5 dan 6. Titik 0=14-2* 7 harus diwarnai dengan cara yang sama seperti 14, yaitu. merah. Demikian pula, titik 1=71-107 harus berwarna biru, titik 3=143-20*7 biru, dan 6=20-2*7 merah. Oleh karena itu, tinggal menghitung berapa banyak cara berbeda untuk mewarnai titik-titik yang sesuai dengan angka 2, 4 dan 5. Karena setiap titik dapat diwarnai dengan dua cara - merah atau biru - hanya ada 2 * 2 * 2 = 8 cara. Catatan. Saat menghitung jumlah cara untuk mewarnai titik 2, 4 dan 5, Anda cukup membuat daftar semua cara, misalnya, dalam bentuk tabel:

Kriteria Verifikasi .

Jawaban yang benar dengan alasan yang benar 7 poin .

Masalahnya dikurangi menjadi menghitung jumlah cara mewarnai 3 poin, tetapi jawabannya adalah 6 atau 7 - 4 poin .

Masalahnya dikurangi menjadi menghitung jumlah cara untuk mewarnai 3 poin, tetapi tidak ada hitungan jumlah cara atau jawabannya berbeda dari yang ditunjukkan di atas - 3 poin .

Jawaban (termasuk yang benar) tanpa pembenaran - 0 poin .

Menjawab . 4 kali.

Larutan .

Mari menggambar segmen MK dan AC . Segi empat MVKE terdiri dari:

segitiga MVK dan MKE , dan AEC segi empatD- dari segitiga

1 cara . Segitiga MVK dan ACD- persegi panjang dan kaki yang pertama 2 kali lebih kecil dari kaki yang kedua, oleh karena itu sama dan luas segitiga ACD 4 kali luas segitiga MBK. Karena M dan K – titik tengah AB dan BC berturut-turut, maka MK– , jadi MK || AS dan MK = 0.5AC . Dari paralelisme garis lurus MK dan AS mengikuti kesamaan

segitiga MKE dan AEC, dan sejak koefisien kesamaan adalah 0,5, maka luas segitiga AEC adalah 4 kali luas segitiga MKE. Sekarang: S AES D=SAEC+SACD= 4 SMKE+ 4 SMBK = 4 (SMKE+SMBK)= 4 SMKKE.

2 cara . Diketahui luas persegi panjang ABCD adalah sama dengan S. Maka luas segitiga ACD adalah sama dengan ( diagonal persegi panjang membaginya menjadi dua segitiga yang sama), dan luas segitiga MVK sama dengan MV × VK \u003d T.k. M dan K – titik tengah segmen AB dan BC, lalu AK dan SM – median segitiga ABC, jadi E – titik potong median segitiga ABC, itu. jarak dari E ke AC adalahh, di mana h- tinggi segitiga ABC, ditarik dari titik B. Maka luas segitiga MEA adalah. Kemudian untuk luas segi empat MEAD, sama dengan jumlah luas segitiga AEC dan ACD, kita dapatkan: Selanjutnya, karena MK– garis tengah segitiga ABC, maka luas segitiga MKE sama dengan* h -* h ) = h )=(AC * h )== S . Oleh karena itu, untuk luas MVKE segi empat, sama dengan jumlah luas segitiga MVK dan MKE, kita mendapatkan: . Jadi, rasio luas segi empat AECD dan MVKE adalah sama.

Kriteria verifikasi.

Keputusan yang tepat dan jawaban yang benar7 poin .

Solusi yang benar, tetapi jawabannya salah karena kesalahan aritmatika -5 poin .

5. RINGKASAN DAN PENGHARGAAN PEMENANG

Indikator akhir dari tugas kompetitif yang diselesaikan ditentukan oleh juri disesuai dengan kriteria penilaian yang dikembangkan;

Untuk pemenang olimpiade, ditentukan dengan jumlah poin tertinggi,tiga hadiah ditetapkan;

Hasil kompetisi didokumentasikan oleh laporan penyelenggara Olimpiade.

Para pemenang diberikan diploma dan hadiah berharga.

Jika tidak setuju dengan skor yang diberikan oleh juri, peserta dapat mengajukanbanding tertulis dalam waktu satu jam setelah pengumuman hasil.

Publisitas kompetisi dipastikan - hasil kompetisi diumumkanpemenang hadiah.

Kita dapat memilih urutan langkah-langkah berikut dalam memecahkan masalah logis.

1. Pilih pernyataan dasar (sederhana) dari kondisi masalah dan tandai dengan huruf.

2. Tuliskan kondisi masalah dalam bahasa aljabar logika, gabungkan pernyataan sederhana menjadi kompleks dengan menggunakan operasi logika.

3. Tulis ekspresi logis tunggal untuk persyaratan tugas.

4. Dengan menggunakan hukum aljabar logika, coba sederhanakan ekspresi yang dihasilkan dan hitung semua nilainya, atau buat tabel kebenaran untuk ekspresi yang dimaksud.

5. Pilih solusi - nilai yang ditetapkan proposisi sederhana, di mana ekspresi logis yang dibangun adalah benar.

6. Periksa apakah solusi yang diperoleh memenuhi kondisi masalah.

Contoh:

Tugas 1:“Dalam upaya mengingat pemenang turnamen tahun lalu, lima mantan penonton turnamen menyatakan bahwa:

1. Anton kedua, dan Boris kelima.

2. Viktor berada di urutan kedua, dan Denis berada di urutan ketiga.

3. Gregory adalah yang pertama, dan Boris adalah yang ketiga.

4. Anton ketiga, dan Evgeny keenam.

5. Viktor ketiga dan Evgeny keempat.

Selanjutnya, ternyata setiap pemirsa salah dalam salah satu dari dua pernyataannya. Apa distribusi sebenarnya dari tempat di turnamen.

1) Dilambangkan dengan huruf pertama atas nama peserta turnamen, dan - nomor tempat yang dimilikinya, mis. kita punya.

2) 1. ; 3. ; 5. .

3) Ekspresi logis tunggal untuk semua persyaratan tugas: .

4) Dalam rumus L kami melakukan transformasi yang setara, kami mendapatkan: .

5) Dari ayat 4 berikut :,.

6) Distribusi tempat di turnamen: Anton ketiga, Boris kelima, Viktor kedua, Grigory pertama, dan Evgeny keempat.

Tugas 2:“Ivanov, Petrov, Sidorov muncul di hadapan pengadilan dengan tuduhan perampokan. Investigasi menemukan:

1. jika Ivanov tidak bersalah atau Petrov bersalah, maka Sidorov bersalah;

2. jika Ivanov tidak bersalah, maka Sidorov tidak bersalah.

Apakah Ivanov bersalah?

1) Perhatikan pernyataan:

TETAPI: "Ivanov bersalah", PADA: "Petrov bersalah", DARI: "Sidorov bersalah."

2) Fakta-fakta yang ditetapkan oleh investigasi :,.

3) Sebuah ekspresi logis tunggal: . Itu benar.

Mari kita buat tabel kebenarannya.

TETAPI	PADA	DARI	L

Memecahkan masalah berarti menunjukkan untuk berapa nilai A pernyataan kompleks yang dihasilkan L benar. Jika, tetapi, maka penyelidikan tidak memiliki cukup fakta untuk menuduh Ivanov melakukan kejahatan. Analisis tabel menunjukkan dan, mis. Ivanov bersalah atas perampokan.

Pertanyaan dan tugas.

1. Kompilasi RCS untuk rumus:

2. Sederhanakan RCS:

3. Berdasarkan rangkaian switching ini, buatlah rumus logika yang sesuai dengannya.

4. Periksa kesetaraan RCS:

5. Buatlah rangkaian tiga sakelar dan bola lampu sehingga lampu hanya menyala ketika tepat dua sakelar berada pada posisi "hidup".

6. Dengan menggunakan tabel konduktivitas ini, buat rangkaian elemen fungsional dengan tiga input dan satu output yang mengimplementasikan rumus.

x	kamu	z	F

7. Analisislah diagram yang ditunjukkan pada gambar dan tuliskan rumus untuk fungsi tersebut! F.

8. Tugas: “Suatu ketika penyidik ​​harus menginterogasi tiga orang saksi sekaligus: Claude, Jacques, Dick. Kesaksian mereka saling bertentangan, dan masing-masing menuduh seseorang berbohong.

1) Claude mengklaim bahwa Jacques berbohong.

2) Jacques menuduh Dick berbohong.

3) Dick membujuk penyelidik untuk tidak mempercayai Claude atau Jacques.

Namun penyidik ​​segera membawa mereka ke air bersih tanpa menanyakan satu pertanyaan pun. Saksi mana yang mengatakan yang sebenarnya?

9. Tentukan mana dari keempat siswa yang lulus ujian, jika diketahui bahwa:

1) Jika yang pertama lulus, maka yang kedua lulus.

2) Jika yang kedua lulus, maka yang ketiga lulus atau yang pertama tidak lulus.

3) Jika yang keempat tidak lulus, maka yang pertama lulus, dan yang ketiga tidak lulus.

4) Jika yang keempat lulus, maka yang pertama lulus.

10. Ketika ditanya siapa dari ketiga siswa yang mempelajari logika, jawabannya diterima: jika dia mempelajari yang pertama, maka dia mempelajari yang ketiga, tetapi tidak benar jika dia mempelajari yang kedua, maka dia mempelajari yang ketiga. Siapa yang belajar logika?

1. a) ( komutatifitas disjungsi );

b)

(komutatif konjungsi );

2. a) ( asosiasi disjungsi );

b) ( asosiasi konjungsi );

3. a) ( distribusi disjungsi terhadap konjungsi );

b) ( distribusi konjungsi terhadap disjungsi );

4.

dan

–hukum de Morgan .

5.

;

;

;

6.

(atau

) (hukum tengah yang dikecualikan );

(atau

(hukum kontradiksi );

7.

(atau

);

(atau

);

(atau

);

(atau

).

Properti yang terdaftar biasanya digunakan untuk mengubah dan menyederhanakan rumus logika. Di sini sifat-sifat hanya tiga operasi logis (disjungsi, konjungsi, dan negasi) diberikan, tetapi nanti akan ditunjukkan bahwa semua operasi lain dapat diekspresikan melalui mereka.

Dengan bantuan penghubung logis, Anda dapat menyusun persamaan logis, dan memecahkan masalah logis dengan cara yang sama seperti masalah aritmatika diselesaikan menggunakan sistem persamaan biasa.

Contoh. Suatu ketika penyelidik harus menginterogasi tiga saksi secara bersamaan: Claude, Jacques dan Dick. Kesaksian mereka saling bertentangan, dan masing-masing menuduh seseorang berbohong. Claude mengklaim bahwa Jacques berbohong, Jacques menuduh Dick berbohong, dan Dick membujuk penyelidik untuk tidak mempercayai Claude atau Jacques. Namun penyidik ​​segera membawa mereka ke air bersih tanpa menanyakan satu pertanyaan pun. Saksi mana yang mengatakan yang sebenarnya?

Larutan. Pertimbangkan pernyataan:

(Claude mengatakan yang sebenarnya);

(Jacques mengatakan yang sebenarnya);

(Dick mengatakan yang sebenarnya).

Kami tidak tahu mana yang benar, tetapi kami tahu yang berikut:

1) baik Claude mengatakan yang sebenarnya, dan kemudian Jacques berbohong, atau Claude berbohong, dan kemudian Jacques mengatakan yang sebenarnya;

2) baik Jacques mengatakan yang sebenarnya, dan kemudian Dick berbohong, atau Jacques berbohong, dan kemudian Dick mengatakan yang sebenarnya;

3) baik Dick mengatakan yang sebenarnya, dan kemudian Claude dan Jacques berbohong, atau Dick berbohong, dan kemudian tidak benar bahwa kedua saksi lainnya berbohong (yaitu setidaknya satu dari saksi ini mengatakan yang sebenarnya).

Kami menyatakan pernyataan ini dalam bentuk sistem persamaan:

Kondisi masalah akan terpenuhi jika ketiga pernyataan ini benar pada saat yang bersamaan, yang berarti bahwa konjungsinya benar. Kami mengalikan persamaan ini (yaitu, mengambil konjungsinya)

Tetapi

jika dan hanya jika

, sebuah

. Karena itu, Jacques mengatakan yang sebenarnya, sementara Claude dan Dick berbohong.

Setiap -operasi jangka, dilambangkan, misalnya,

, akan sepenuhnya ditentukan jika ditetapkan untuk nilai pernyataan apa

hasilnya akan benar atau salah. Salah satu cara untuk menentukan operasi semacam itu adalah dengan mengisi tabel nilai:

Dalam tabel arti dari pernyataan yang dibentuk dari pernyataan paling sederhana

, tersedia garis. Kolom nilai juga memiliki posisi. Oleh karena itu, ada

berbagai opsi untuk mengisinya, dan, karenanya, jumlah semuanya -operasi jangka sama dengan

. Pada

jumlah operasi satu suku adalah 4, dengan

jumlah binomial - 16, dengan

jumlah yang beranggota tiga adalah 256, dst.

Pertimbangkan beberapa jenis formula khusus.

Rumusnya disebut konjungsi dasar jika itu adalah konjungsi variabel dan negasi variabel. Misalnya rumus ,

,

,

adalah konjungsi dasar.

Rumus yang merupakan disjungsi (mungkin satu suku) dari konjungsi dasar disebut bentuk normal disjungtif (D.Sc.). Misalnya rumus ,

,

.

Teorema 1(pada reduksi menjadi D.Sc.). Untuk rumus apapun , siapa d. f. .

Teorema ini dan Teorema 2 berikut ini akan dibuktikan pada subbab berikutnya. Dengan menerapkan teorema-teorema ini, seseorang dapat membakukan bentuk rumus-rumus logika.

Rumusnya disebut disjungsi dasar jika itu adalah disjungsi variabel dan negasi variabel. Misalnya rumus

,

,

dll.

Rumus yang merupakan konjungsi (mungkin satu suku) dari disjungsi elementer disebut bentuk normal penghubung (PhD). Misalnya rumus

,

.

Teorema 2(pada pengurangan ke Ph.D.). Untuk rumus apapun seseorang dapat menemukan formula yang setara , yaitu Ph.D. f.

Suatu ketika penyelidik harus menginterogasi tiga saksi secara bersamaan: Claude, Jacques dan Dick. Kesaksian mereka saling bertentangan, dan masing-masing menuduh seseorang berbohong. Claude mengklaim bahwa Jacques berbohong, Jacques menuduh Dick berbohong, dan Dick membujuk penyelidik untuk tidak mempercayai Claude atau Jacques. Namun penyidik ​​segera membawa mereka ke air bersih tanpa menanyakan satu pertanyaan pun. Manakah dari para saksi yang mengatakan yang sebenarnya?

Ilya Muromets, Dobrynya Nikitich dan Alyosha Popovich diberi 6 koin untuk pelayanan setia mereka: 3 emas dan 3 perak. Masing-masing menerima dua koin. Ilya Muromets tidak tahu koin mana yang didapat Dobrynya dan mana yang didapat Alyosha, tapi dia tahu koin mana yang didapatnya sendiri. Pikirkan pertanyaan yang Ilya Muromets akan menjawab "ya", "tidak" atau "Saya tidak tahu", dan dengan jawabannya Anda dapat memahami koin apa yang dia dapatkan

Aturan silogisme 1. Dalam silogisme seharusnya hanya ada tiga pernyataan dan hanya tiga istilah. ZhG Semua pelancong melarikan diri ke arah yang berbeda, Petrov adalah seorang pelancong, yang berarti dia melarikan diri ke arah yang berbeda. 3. Jika kedua premis adalah pernyataan pribadi, maka tidak mungkin menarik kesimpulan. 2. Jika salah satu premis adalah pernyataan pribadi, maka kesimpulannya harus pribadi. 4. Jika salah satu premisnya adalah pernyataan negatif, maka kesimpulannya juga pernyataan negatif. 5. Jika kedua premis adalah pernyataan negatif, maka kesimpulan tidak dapat dibuat 6. Suku tengah harus didistribusikan setidaknya di salah satu premis. 7. Suatu term tidak dapat terdistribusi dalam suatu kesimpulan jika tidak terdistribusi dalam suatu premis.

Semua kucing memiliki empat kaki. Semua anjing memiliki empat kaki. Semua anjing adalah kucing. Semua orang fana. Semua anjing bukan manusia. Anjing itu abadi (tidak fana). Ukraina menempati wilayah yang luas. Krimea adalah bagian dari Ukraina. Krimea menempati wilayah yang luas

Soal 35

Seorang pria pergi bekerja dengan gaji $1.000 setahun. Selama pembahasan kondisi saat masuk, dia dijanjikan bahwa dalam hal pekerjaan yang baik, akan ada kenaikan gaji. Selain itu, jumlah kenaikan dapat dipilih dari dua opsi sesuai kebijaksanaan Anda: dalam satu kasus, peningkatan $ 50 setiap enam bulan, mulai dari paruh kedua, ditawarkan, di lain - $ 200 setiap tahun, mulai dari kedua. Mengingat kebebasan memilih, pengusaha ingin tidak hanya mencoba menghemat upah, tetapi juga memeriksa seberapa cepat karyawan baru berpikir. Setelah berpikir sejenak, dia dengan percaya diri menyebutkan kondisi untuk peningkatan tersebut.

Opsi mana yang lebih disukai?

Soal 36

Suatu ketika penyelidik harus menginterogasi tiga saksi secara bersamaan: Claude, Jacques dan Dick. Kesaksian mereka saling bertentangan, dan masing-masing menuduh seseorang berbohong. Claude mengklaim bahwa Jacques berbohong. Jacques menuduh Dick berbohong, dan Dick membujuk penyelidik untuk tidak mempercayai Claude atau Jacques. Namun penyelidik dengan cepat membawa mereka ke air bersih tanpa menanyakan satu pertanyaan pun.

Saksi mana yang mengatakan yang sebenarnya?

Soal 37

Kemalangan yang mengerikan, Inspektur, kata pejabat museum. - Anda tidak bisa membayangkan betapa senangnya saya. Saya akan memberi tahu Anda semuanya secara berurutan. Saya tinggal di museum hari ini untuk bekerja dan mengatur keuangan kami. Saya baru saja duduk di meja ini dan melihat-lihat akun, ketika tiba-tiba saya melihat bayangan di sisi kanan. Jendela itu terbuka.

Dan Anda tidak mendengar gemerisik? tanya inspektur.

Sama sekali tidak ada. Radio sedang memutar musik, dan selain itu, saya terlalu asyik dengan apa yang saya lakukan. Sambil mengalihkan pandangan dari panas, saya melihat seorang pria telah melompat keluar dari jendela. Saya segera menyalakan lampu di atas dan menemukan bahwa dua kotak dengan koleksi koin paling berharga, yang saya bawa ke kantor untuk bekerja, telah menghilang. Saya dalam keadaan yang mengerikan: lagi pula, koleksi ini bernilai 10.000 mark.

Apakah Anda percaya bahwa saya benar-benar melakukannya; apakah saya percaya pikiran Anda?

Inspektur kesal. - Belum ada yang berhasil menyesatkan saya, dan Anda tidak akan menjadi yang pertama.

Bagaimana inspektur itu menebak bahwa mereka mencoba menipunya?

Soal 38

Mayat orang hilang itu ditemukan terbungkus sehelai kain yang memiliki label nomor cucian di atasnya. Diketahui ada keluarga yang menggunakan tag tersebut, namun dalam proses verifikasi ternyata anggota keluarga tersebut tidak mengenal dan tidak memiliki kontak dengan almarhum dan kerabatnya. Tidak ada bukti lain tentang keterlibatan mereka dalam pembunuhan itu.

Apakah ada kesalahan dalam kelengkapan dan kebenaran memperoleh informasi selama pemeriksaan?

Soal 39

Potapov, Shchedrin, Semyonov bertugas di unit penerbangan. Konovalov dan Samoilov. Spesialisasi mereka adalah: pilot, navigator, mekanik penerbangan, operator radio dan peramal cuaca.

Tentukan spesialisasi apa yang dimiliki masing-masing dari mereka jika fakta-fakta berikut diketahui.

Shchedrin dan Konovalov tidak terbiasa dengan kontrol pesawat;

Potapov dan Konovalov sedang bersiap untuk menjadi navigator; Apartemen Shchedrin dan Samoilov terletak di sebelah apartemen operator radio;

Semyon, saat berada di rumah peristirahatan, bertemu Shchedrin dan saudara perempuan peramal: Potapov dan Shchedrin bermain catur dengan insinyur penerbangan dan pilot di waktu luang mereka; Konovalov, Semyonov, dan ahli cuaca menyukai tinju; Operator radio tidak suka tinju.

Soal 40

Bibi, yang sedang menunggu keponakannya, inspektur, bergegas menemuinya, tidak menyembunyikan ketidaksabarannya.

Beberapa wanita barusan; menyambar dompet saya dengan uang dan segera menghilang.

Kemungkinan besar dia menghilang ke bank tabungan tempat Anda berada, - inspektur mencatat. - Mari kita coba untuk menemukannya.

Memang, bibi segera melihat tasnya, yang berdiri di bangku di antara dua wanita. Dia terpapar. Ketika inspektur melihat tas itu dengan cermat, kedua wanita itu, menyadari hal ini, bangkit dan pergi ke ujung ruangan yang lain. Tas itu tetap di bangku.

Tapi saya tidak tahu siapa di antara mereka yang mencuri tas saya. Yana berhasil melihatnya, - kata bibi.

Yah, tidak apa-apa,- jawab keponakan. - Kami akan menginterogasi keduanya, tapi saya pikir tas itu dicuri dari Anda oleh orang yang ...

Yang?

Soal 41

Setelah menerima pesan bahwa Chevrolet abu-abu dengan nomor yang dimulai dengan enam menabrak seorang wanita dan melarikan diri, inspektur dan asistennya pergi ke vila pria itu, yang mobilnya sepertinya cocok dengan deskripsi. Kurang dari setengah jam kemudian mereka sampai.

Sebuah Chevrolet abu-abu berdiri di depan rumah. Melihat polisi, pemilik pergi ke mereka tepat di piyamanya.

Saya tidak pergi ke mana pun hari ini,” katanya setelah mendengarkan inspektur. - Ya, dan saya tidak bisa: kemarin saya kehilangan kunci kontak, dan yang baru akan siap hanya pada hari Jumat.

Asisten, setelah berhasil memeriksa mobil sementara itu, berbisik kepada inspektur:

Rupanya dia mengatakan yang sebenarnya. Tidak ada tanda-tanda tabrakan di mobil.

Inspektur, bersandar pada kap mobil, menjawab:

Ini tidak berarti apa-apa, pukulannya tidak kuat, karena korban masih hidup. Dan alibi Anda, Pak, tampaknya sangat mencurigakan bagi saya. Mengapa Anda mencoba bersembunyi dari saya bahwa Anda baru saja tiba di sini dengan mobil ini?

Apa yang memberi inspektur alasan untuk mencurigai pria itu berbohong?

Soal 42

Presiden perusahaan memberi tahu penyelidik tentang pencurian di rumahnya.

Sesampainya di tempat kerja, saya ingat bahwa saya lupa dokumen yang diperlukan di rumah. Saya memberikan kunci brankas rumah kepada asisten saya dan mengirimnya untuk folder file. Kami telah bekerja bersama untuk waktu yang lama, saya mempercayainya untuk waktu yang lama, dan sering mengirimnya pulang untuk mengambil sesuatu dari brankas. Kali ini, tak lama setelah pergi, dia menelepon saya di telepon dan mengatakan bahwa ketika dia memasuki ruangan, dia melihat pintu brankas dinding terbuka, dan kertas-kertas berserakan di seluruh kantor. Saya tiba di rumah dan menemukan bahwa, selain dokumen yang berserakan, perhiasan dan uang telah hilang dari brankas.

Pernyataan asisten: “Ketika saya tiba, kepala pelayan membiarkan saya masuk dan saya naik ke lantai dua apartemen. Memasuki kantor, ia menemukan kertas berserakan di lantai dan pintu brankas terbuka. Saya segera menelepon bos saya dan melaporkan apa yang saya lihat. Setelah itu, saya melompat ke arah tangga dan memanggil kepala pelayan. Mendengar teriakanku, seorang pelayan muncul dari ruang tamu di lantai bawah dan bertanya ada apa. Saya mengatakan kepadanya apa yang saya lihat. Atas panggilannya, kepala pelayan datang berlari dari halaman. Untuk pertanyaan saya, mereka mengatakan bahwa tidak ada yang datang ke apartemen setelah pemiliknya pergi dan mereka tidak mendengar suara apa pun di rumah.

Kepala pelayan menjelaskan: “Setelah pemiliknya pergi di pagi hari, saya melakukan pekerjaan saya yang biasa di lantai bawah dan tidak melihat siapa pun atau mendengar sesuatu yang tidak biasa. Pelayan tidak pernah meninggalkan dapur bersamaku. Ketika seorang karyawan tuan rumah kami, yang sudah lama saya kenal, tiba, dia pergi ke tangga ke lantai dua dan keluar ke halaman. Beberapa menit kemudian si juru masak memanggil saya dan saya memasuki rumah, di mana asisten itu menceritakan tentang pencurian dari kantor pemilik.

Pelayan itu mengatakan bahwa setelah sarapan dia berada di dapur, tidak pergi ke mana pun, dan hanya, mendengar teriakan asisten, pergi ke ruang tamu. Asisten menceritakan tentang pencurian di rumah dan meminta untuk mengenal kepala pelayan.

Ketika ditanya penyidik, asisten itu menjawab bahwa dia tidak menyentuh apapun di kantor, kecuali telepon, dan tidak mengatur ulang. Kepala pelayan dan pelayan mengatakan mereka tidak pergi ke kantor sama sekali.

Selama pemeriksaan di kantor, penyidik ​​tidak menemukan jejak jari di pintu kantor, pintu brankas, benda dan telepon di atas meja. Setelah memeriksa kunci pintu brankas, spesialis tidak menemukan jejak benda atau kunci asing apa pun pada detailnya.

Kita dapat memilih urutan langkah-langkah berikut dalam memecahkan masalah logis.

1. Pilih pernyataan dasar (sederhana) dari kondisi masalah dan tandai dengan huruf.

2. Tuliskan kondisi masalah dalam bahasa aljabar logika, gabungkan pernyataan sederhana menjadi kompleks dengan menggunakan operasi logika.

3. Tulis ekspresi logis tunggal untuk persyaratan tugas.

4. Dengan menggunakan hukum aljabar logika, coba sederhanakan ekspresi yang dihasilkan dan hitung semua nilainya, atau buat tabel kebenaran untuk ekspresi yang dimaksud.

5. Pilih solusi - nilai yang ditetapkan proposisi sederhana, di mana ekspresi logis yang dibangun adalah benar.

6. Periksa apakah solusi yang diperoleh memenuhi kondisi masalah.

Contoh:

Tugas 1:“Dalam upaya mengingat pemenang turnamen tahun lalu, lima mantan penonton turnamen menyatakan bahwa:

1. Anton kedua, dan Boris kelima.

2. Viktor berada di urutan kedua, dan Denis berada di urutan ketiga.

3. Gregory adalah yang pertama, dan Boris adalah yang ketiga.

4. Anton ketiga, dan Evgeny keenam.

5. Viktor ketiga dan Evgeny keempat.

Selanjutnya, ternyata setiap pemirsa salah dalam salah satu dari dua pernyataannya. Apa distribusi sebenarnya dari tempat di turnamen.

1) Dilambangkan dengan huruf pertama atas nama peserta turnamen, dan - nomor tempat yang dimilikinya, mis. kita punya .

2) 1. ; 3. ; 5. .

3) Ekspresi logis tunggal untuk semua persyaratan tugas: .

4) Dalam rumus L kami melakukan transformasi yang setara, kami mendapatkan: .

5) Dari ayat 4 berikut: , , , , .

6) Distribusi tempat di turnamen: Anton ketiga, Boris kelima, Viktor kedua, Grigory pertama, dan Evgeny keempat.

Tugas 2:“Ivanov, Petrov, Sidorov muncul di hadapan pengadilan dengan tuduhan perampokan. Investigasi menemukan:

1. jika Ivanov tidak bersalah atau Petrov bersalah, maka Sidorov bersalah;

2. jika Ivanov tidak bersalah, maka Sidorov tidak bersalah.

Apakah Ivanov bersalah?

1) Perhatikan pernyataan:

TETAPI: "Ivanov bersalah", PADA: "Petrov bersalah", DARI: "Sidorov bersalah."

2) Fakta-fakta yang ditetapkan oleh investigasi :,.

3) Sebuah ekspresi logis tunggal: . Itu benar.

Mari kita buat tabel kebenarannya.

TETAPI	PADA	DARI	L

Memecahkan masalah berarti menunjukkan untuk berapa nilai A pernyataan kompleks yang dihasilkan L benar. Jika , dan , maka penyelidikan tidak memiliki cukup fakta untuk menuduh Ivanov melakukan kejahatan. Analisis tabel menunjukkan dan , yaitu. Ivanov bersalah atas perampokan.

Pertanyaan dan tugas.

1. Kompilasi RCS untuk rumus:

2. Sederhanakan RCS:

3. Berdasarkan rangkaian switching ini, buatlah rumus logika yang sesuai dengannya.

4. Periksa kesetaraan RCS:

5. Buatlah rangkaian tiga sakelar dan bola lampu sehingga lampu hanya menyala ketika tepat dua sakelar berada pada posisi "hidup".

6. Berdasarkan tabel konduktivitas ini, buat rangkaian elemen fungsional dengan tiga input dan satu output yang mengimplementasikan rumus.

x	kamu	z	F

7. Analisislah diagram yang ditunjukkan pada gambar dan tuliskan rumus untuk fungsi tersebut! F.

8. Tugas: “Suatu ketika penyidik ​​harus menginterogasi tiga orang saksi sekaligus: Claude, Jacques, Dick. Kesaksian mereka saling bertentangan, dan masing-masing menuduh seseorang berbohong.

1) Claude mengklaim bahwa Jacques berbohong.

2) Jacques menuduh Dick berbohong.

3) Dick membujuk penyelidik untuk tidak mempercayai Claude atau Jacques.

Namun penyidik ​​segera membawa mereka ke air bersih tanpa menanyakan satu pertanyaan pun. Saksi mana yang mengatakan yang sebenarnya?

9. Tentukan mana dari keempat siswa yang lulus ujian, jika diketahui bahwa:

1) Jika yang pertama lulus, maka yang kedua lulus.

2) Jika yang kedua lulus, maka yang ketiga lulus atau yang pertama tidak lulus.

3) Jika yang keempat tidak lulus, maka yang pertama lulus, dan yang ketiga tidak lulus.

4) Jika yang keempat lulus, maka yang pertama lulus.

10. Ketika ditanya siapa dari ketiga siswa yang mempelajari logika, jawabannya diterima: jika dia mempelajari yang pertama, maka dia mempelajari yang ketiga, tetapi tidak benar jika dia mempelajari yang kedua, maka dia mempelajari yang ketiga. Siapa yang belajar logika?