მოვლენის ალბათობა გაგებულია, როგორც ამ მოვლენის დადგომის შესაძლებლობის ზოგიერთი რიცხვითი მახასიათებელი. არსებობს რამდენიმე მიდგომა ალბათობის დასადგენად.

მოვლენის ალბათობა აარის ამ მოვლენისთვის ხელსაყრელი შედეგების რაოდენობის თანაფარდობა ყველა თანაბრად შესაძლო შეუთავსებელი ელემენტარული შედეგის საერთო რაოდენობასთან, რომლებიც ქმნიან სრულ ჯგუფს. ასე რომ, მოვლენის ალბათობა აგანისაზღვრება ფორმულით

სად მარის ხელშემწყობი ელემენტარული შედეგების რაოდენობა ა, ნ- ტესტის ყველა შესაძლო ელემენტარული შედეგის რაოდენობა.

მაგალითი 3.1.ექსპერიმენტში კამათლის სროლისას, ყველა შედეგის რაოდენობა ნარის 6 და ისინი ყველა თანაბრად შესაძლებელია. დაე, ღონისძიება ანიშნავს ლუწი რიცხვის გამოჩენას. შემდეგ ამ მოვლენისთვის ხელსაყრელი შედეგი იქნება 2, 4, 6 რიცხვების გამოჩენა. მათი რიცხვი არის 3. შესაბამისად, მოვლენის ალბათობა აუდრის

მაგალითი 3.2.რა არის იმის ალბათობა, რომ შემთხვევით არჩეულ ორნიშნა რიცხვში ციფრები ერთნაირი იყოს?

ორნიშნა რიცხვები 10-დან 99-მდე რიცხვებია, სულ 90 ასეთი რიცხვია, 9 რიცხვს აქვს იგივე რიცხვი (ეს არის რიცხვები 11, 22, ..., 99). ვინაიდან ამ შემთხვევაში მ=9, ნ= 90, მაშინ

სად ა- მოვლენა, "რიცხვი იგივე ციფრებით."

მაგალითი 3.3.არის 7 სტანდარტული ნაწილი 10 ნაწილში. იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ შემთხვევით შერჩეულ ექვს ნაწილს შორის არის 4 სტანდარტული ნაწილი.

ტესტის შესაძლო ელემენტარული შედეგების ჯამური რაოდენობა უდრის იმ გზების რაოდენობას, რომლითაც შესაძლებელია 10-დან 6 ნაწილის ამოღება, ანუ 6 ელემენტის 10 ელემენტის კომბინაციების რაოდენობა. განსაზღვრეთ იმ შედეგების რაოდენობა, რომლებიც ხელს უწყობს ჩვენთვის საინტერესო მოვლენას ა(აღღებულ ექვს ნაწილს შორის 4 სტანდარტულია). ოთხი სტანდარტული ნაწილის აღება შესაძლებელია შვიდი სტანდარტული ნაწილისგან სხვადასხვა გზით; ამავდროულად დარჩენილი 6-4=2 ნაწილი უნდა იყოს არასტანდარტული, მაგრამ შეგიძლიათ აიღოთ ორი არასტანდარტული ნაწილი 10-7=3 არასტანდარტული ნაწილიდან სხვადასხვა გზით. აქედან გამომდინარე, ხელსაყრელი შედეგების რაოდენობა არის .

მაშინ სასურველი ალბათობა უდრის

ალბათობის განმარტებიდან გამომდინარეობს შემდეგი თვისებები:

1. გარკვეული მოვლენის ალბათობა ერთის ტოლია.

მართლაც, თუ მოვლენა სანდოა, მაშინ ტესტის ყოველი ელემენტარული შედეგი ხელს უწყობს მოვლენას. ამ შემთხვევაში m=n, აქედან გამომდინარე

2. შეუძლებელი მოვლენის ალბათობა ნულის ტოლია.

მართლაც, თუ მოვლენა შეუძლებელია, მაშინ სასამართლო პროცესის არც ერთი ელემენტარული შედეგი არ ემხრობა მოვლენას. ამ შემთხვევაში ნიშნავს

3. შემთხვევითი მოვლენის ალბათობა არის დადებითი რიცხვი ნულსა და ერთს შორის.

მართლაც, ტესტის ელემენტარული შედეგების საერთო რაოდენობის მხოლოდ ნაწილი ხელს უწყობს შემთხვევით მოვლენას. Ამ შემთხვევაში< მ< n, ნიშნავს 0 < m/n < 1, ანუ 0< P(A) < 1. Итак, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству

ლოგიკურად სრული ალბათობის თეორიის აგება ეფუძნება შემთხვევითი მოვლენის აქსიომატიურ განსაზღვრებას და მის ალბათობას. ა.ნ.კოლმოგოროვის მიერ შემოთავაზებული აქსიომების სისტემაში, განუსაზღვრელი ცნებები არის ელემენტარული მოვლენა და ალბათობა. აქ არის აქსიომები, რომლებიც განსაზღვრავენ ალბათობას:

1. ყოველი ღონისძიება ამიენიჭა არაუარყოფითი რეალური რიცხვი P(A). ამ რიცხვს ეწოდება მოვლენის ალბათობა. ა.

2. გარკვეული მოვლენის ალბათობა ერთის ტოლია.

3. წყვილთაგან ერთის მაინც შეუთავსებელი მოვლენის დადგომის ალბათობა უდრის ამ მოვლენების ალბათობათა ჯამს.

ამ აქსიომებზე დაყრდნობით, ალბათობების თვისებები და მათ შორის დამოკიდებულებები გამოყვანილია თეორემებად.

კითხვები თვითშემოწმებისთვის

1. რა ჰქვია მოვლენის შესაძლებლობის რიცხვით მახასიათებელს?

2. რას ჰქვია მოვლენის ალბათობა?

3. რა არის გარკვეული მოვლენის ალბათობა?

4. რა არის შეუძლებელი მოვლენის ალბათობა?

5. რა არის შემთხვევითი მოვლენის ალბათობის საზღვრები?

6. რა არის რაიმე მოვლენის ალბათობის საზღვრები?

7. ალბათობის რომელ განმარტებას ეწოდება კლასიკური?

თავდაპირველად, როგორც მხოლოდ ინფორმაციის კრებული და კამათლის თამაშის ემპირიული დაკვირვებები, ალბათობის თეორია გახდა მყარი მეცნიერება. ფერმა და პასკალმა პირველებმა მისცეს მას მათემატიკური ჩარჩო.

მარადიულზე ფიქრებიდან ალბათობის თეორიამდე

ორი პიროვნება, რომელთაც ალბათობის თეორია ევალება მრავალი ფუნდამენტური ფორმულის, ბლეზ პასკალი და თომას ბეისი, ცნობილია, როგორც ღრმად რელიგიური ადამიანები, ეს უკანასკნელი იყო პრესვიტერიანი მინისტრი. როგორც ჩანს, ამ ორი მეცნიერის სურვილმა დაამტკიცონ აზრის მცდარი აზრი გარკვეული ფორტუნის შესახებ, წარმატებები მისცეს მის ფავორიტებს, ბიძგი მისცა ამ სფეროში კვლევებს. ფაქტობრივად, ნებისმიერი აზარტული თამაში, თავისი მოგებითა და წაგებით, მხოლოდ მათემატიკური პრინციპების სიმფონიაა.

შევალიე დე მერეს მღელვარების წყალობით, რომელიც თანაბრად აზარტული და მეცნიერების მიმართ გულგრილი არ იყო, პასკალი იძულებული გახდა ეპოვა ალბათობის გამოსათვლელი გზა. დე მერეს ეს კითხვა აინტერესებდა: "რამდენჯერ გჭირდებათ ორი კამათლის წყვილში გადაყრა, რომ 12 ქულის მიღების ალბათობა 50%-ს გადააჭარბოს?". მეორე კითხვა, რომელიც აინტერესებდა ჯენტლმენს: "როგორ გავყოთ ფსონი დაუმთავრებელ თამაშში მონაწილეებს შორის?" რა თქმა უნდა, პასკალმა წარმატებით უპასუხა დე მერეს ორივე კითხვას, რომელიც გახდა ალბათობის თეორიის განვითარების უნებლიე ინიციატორი. საინტერესოა, რომ დე მერეს პიროვნება ცნობილი დარჩა ამ სფეროში და არა ლიტერატურაში.

მანამდე არცერთ მათემატიკოსს ჯერ არ უცდია მოვლენების ალბათობების გამოთვლა, რადგან ითვლებოდა, რომ ეს მხოლოდ გამოცნობის გამოსავალი იყო. ბლეზ პასკალმა მოგვცა მოვლენის ალბათობის პირველი განმარტება და აჩვენა, რომ ეს არის კონკრეტული ფიგურა, რომელიც შეიძლება მათემატიკურად გამართლდეს. ალბათობის თეორია გახდა სტატისტიკის საფუძველი და ფართოდ გამოიყენება თანამედროვე მეცნიერებაში.

რა არის შემთხვევითობა

თუ განვიხილავთ ტესტს, რომელიც შეიძლება განმეორდეს უსასრულო რაოდენობით, მაშინ შეგვიძლია განვსაზღვროთ შემთხვევითი მოვლენა. ეს გამოცდილების ერთ-ერთი შესაძლო შედეგია.

გამოცდილება არის კონკრეტული ქმედებების განხორციელება მუდმივ პირობებში.

იმისათვის, რომ შეძლოთ გამოცდილების შედეგებთან მუშაობა, მოვლენები ჩვეულებრივ აღინიშნება ასოებით A, B, C, D, E ...

შემთხვევითი მოვლენის ალბათობა

ალბათობის მათემატიკური ნაწილის გასაგრძელებლად აუცილებელია მისი ყველა კომპონენტის განსაზღვრა.

მოვლენის ალბათობა არის გამოცდილების შედეგად რაიმე მოვლენის (A ან B) დადგომის შესაძლებლობის რიცხვითი საზომი. ალბათობა აღინიშნება როგორც P(A) ან P(B).

ალბათობის თეორია არის:

• საიმედომოვლენა გარანტირებულია რომ მოხდეს ექსპერიმენტის შედეგად Р(Ω) = 1;
• შეუძლებელიამოვლენა არასოდეს მოხდება Р(Ø) = 0;
• შემთხვევითიმოვლენა მდგომარეობს გარკვეულსა და შეუძლებელს შორის, ანუ მისი დადგომის ალბათობა შესაძლებელია, მაგრამ არა გარანტირებული (შემთხვევითი მოვლენის ალბათობა ყოველთვის არის 0≤P(A)≤1 ფარგლებში).

ურთიერთობები მოვლენებს შორის

როგორც ერთი, ასევე A + B მოვლენების ჯამი განიხილება, როდესაც მოვლენა ჩაითვლება მინიმუმ ერთი კომპონენტის, A ან B, ან ორივეს - A და B განხორციელებაში.

ერთმანეთთან მიმართებაში მოვლენები შეიძლება იყოს:

• თანაბრად შესაძლებელია.
• თავსებადი.
• შეუთავსებელი.
• საპირისპირო (ურთიერთგამომრიცხავი).
• დამოკიდებული.

თუ ორი მოვლენა შეიძლება მოხდეს თანაბარი ალბათობით, მაშინ ისინი თანაბრად შესაძლებელია.

თუ A მოვლენის დადგომა არ გააუქმებს B მოვლენის დადგომის ალბათობას, მაშინ ისინი თავსებადი.

თუ A და B მოვლენები ერთსა და იმავე ექსპერიმენტში არასოდეს ხდება ერთსა და იმავე დროს, მაშინ მათ უწოდებენ შეუთავსებელი. მონეტის გადაყრა კარგი მაგალითია: კუდების აწევა ავტომატურად არ ადგება თავებს.

ასეთი შეუთავსებელი მოვლენების ჯამის ალბათობა შედგება თითოეული მოვლენის ალბათობის ჯამისგან:

P(A+B)=P(A)+P(B)

თუ ერთი მოვლენის დადგომა შეუძლებელს ხდის მეორის დადგომას, მაშინ მათ საპირისპირო ეწოდება. შემდეგ ერთი მათგანი აღინიშნება როგორც A, ხოლო მეორე - Ā (იკითხება როგორც "არა A"). A მოვლენის დადგომა ნიშნავს, რომ Ā არ მომხდარა. ეს ორი მოვლენა ქმნის სრულ ჯგუფს, რომლის ალბათობათა ჯამი უდრის 1-ს.

დამოკიდებულ მოვლენებს აქვთ ორმხრივი გავლენა, ამცირებენ ან ზრდიან ერთმანეთის ალბათობას.

ურთიერთობები მოვლენებს შორის. მაგალითები

გაცილებით ადვილია ალბათობის თეორიის პრინციპების გაგება და მოვლენების გაერთიანება მაგალითების გამოყენებით.

ექსპერიმენტი, რომელიც ჩატარდება, არის ბურთების ამოღება ყუთიდან და თითოეული ექსპერიმენტის შედეგი არის ელემენტარული შედეგი.

მოვლენა არის გამოცდილების ერთ-ერთი შესაძლო შედეგი - წითელი ბურთი, ლურჯი ბურთი, ბურთი ექვსი ნომრით და ა.შ.

ტესტი ნომერი 1. არის 6 ბურთი, რომელთაგან სამი ლურჯია კენტი რიცხვებით, დანარჩენი სამი კი წითელი ლუწი რიცხვებით.

ტესტი ნომერი 2. არის 6 ლურჯი ბურთი, რომელთა რიცხვი ერთიდან ექვსამდეა.

ამ მაგალითზე დაყრდნობით შეგვიძლია დავასახელოთ კომბინაციები:

• სანდო მოვლენა.ესპანურად №2, მოვლენა „მიიღე ლურჯი ბურთი“ საიმედოა, რადგან მისი გაჩენის ალბათობა არის 1, რადგან ყველა ბურთი ლურჯია და არ შეიძლება გაცდენა. მაშინ როცა მოვლენა „მიიღე ბურთი 1-ით“ არის შემთხვევითი.
• შეუძლებელი მოვლენა.ესპანურად ნომერ 1 ლურჯი და წითელი ბურთებით მოვლენა „მიიღე იასამნისფერი ბურთი“ შეუძლებელია, ვინაიდან მისი გაჩენის ალბათობა 0-ია.
• ექვივალენტური მოვლენები.ესპანურად №1, მოვლენები „მიიღე ბურთი ნომრით 2“ და „მიიღე ბურთი ნომრით 3“ თანაბრად სავარაუდოა, და მოვლენები „მიიღე ბურთი ლუწი რიცხვით“ და „მიიღე ბურთი 2 ნომრით“. ”სხვადასხვა ალბათობა აქვთ.
• თავსებადი მოვლენები.ზედიზედ ორჯერ სროლის პროცესში ექვსის მიღება თავსებადი მოვლენებია.
• შეუთავსებელი მოვლენები.იგივე ესპანურად No1 მოვლენები "მიიღე წითელი ბურთი" და "მიიღე ბურთი კენტი რიცხვით" არ შეიძლება გაერთიანდეს იმავე გამოცდილებაში.
• საპირისპირო მოვლენები.ამის ყველაზე თვალსაჩინო მაგალითია მონეტების სროლა, სადაც თავების დახატვა იგივეა, რაც კუდების არ დახატვა და მათი ალბათობების ჯამი ყოველთვის არის 1 (სრული ჯგუფი).
• დამოკიდებული მოვლენები. ასე რომ, ესპანურად No 1, შეგიძლიათ საკუთარ თავს დაუსახოთ ზედიზედ ორჯერ წითელი ბურთის ამოღება. პირველად მისი ამოღება ან არ ამოღება გავლენას ახდენს მეორედ მოპოვების ალბათობაზე.

ჩანს, რომ პირველი მოვლენა მნიშვნელოვნად მოქმედებს მეორის ალბათობაზე (40% და 60%).

მოვლენის ალბათობის ფორმულა

მკითხაობიდან ზუსტ მონაცემებზე გადასვლა ხდება თემის მათემატიკური სიბრტყეში გადატანით. ანუ შემთხვევითი მოვლენის შესახებ განსჯა, როგორიცაა "მაღალი ალბათობა" ან "მინიმალური ალბათობა" შეიძლება გადაითარგმნოს კონკრეტულ ციფრულ მონაცემებზე. უკვე დასაშვებია ასეთი მასალის შეფასება, შედარება და უფრო რთულ გამოთვლებში შეტანა.

გაანგარიშების თვალსაზრისით, მოვლენის ალბათობის განმარტება არის ელემენტარული დადებითი შედეგების რაოდენობის თანაფარდობა გამოცდილების ყველა შესაძლო შედეგის რაოდენობასთან კონკრეტულ მოვლენასთან მიმართებაში. ალბათობა აღინიშნება P-ით (A), სადაც P ნიშნავს სიტყვას "ალბათობა", რომელიც ფრანგულიდან ითარგმნება როგორც "ალბათობა".

ასე რომ, მოვლენის ალბათობის ფორმულა არის:

სადაც m არის A მოვლენის ხელსაყრელი შედეგების რაოდენობა, n არის ამ გამოცდილების ყველა შესაძლო შედეგის ჯამი. მოვლენის ალბათობა ყოველთვის არის 0-დან 1-მდე:

0 ≤ P(A) ≤ 1.

მოვლენის ალბათობის გამოთვლა. მაგალითი

ავიღოთ ესპანური. No1 ბურთებით, რომელიც აღწერილია ადრე: 3 ლურჯი ბურთი 1/3/5 ნომრებით და 3 წითელი ბურთი 2/4/6 ნომრებით.

ამ ტესტის საფუძველზე შეიძლება განიხილებოდეს რამდენიმე განსხვავებული დავალება:

• A - წითელი ბურთის ვარდნა. არის 3 წითელი ბურთი და სულ 6 ვარიანტი ეს არის უმარტივესი მაგალითი, რომელშიც მოვლენის ალბათობაა P(A)=3/6=0.5.
• B - ლუწი რიცხვის ჩამოგდება. სულ არის 3 (2,4,6) ლუწი რიცხვი და შესაძლო რიცხვითი ვარიანტების საერთო რაოდენობაა 6. ამ მოვლენის ალბათობაა P(B)=3/6=0.5.
• C - 2-ზე მეტი რიცხვის დაკარგვა. არსებობს 4 ასეთი ვარიანტი (3,4,5,6) შესაძლო შედეგების საერთო რიცხვიდან 6. მოვლენის ალბათობა C არის P(C)=4/6=. 0.67.

როგორც გამოთვლებიდან ჩანს, C მოვლენას უფრო მაღალი ალბათობა აქვს, ვინაიდან შესაძლო დადებითი შედეგების რაოდენობა უფრო მეტია ვიდრე A და B-ში.

შეუთავსებელი მოვლენები

ასეთი მოვლენები არ შეიძლება ერთდროულად გამოჩნდეს იმავე გამოცდილებაში. როგორც ესპანურად No 1 შეუძლებელია ლურჯი და წითელი ბურთის ერთდროულად მიღება. ანუ შეგიძლიათ მიიღოთ ან ლურჯი ან წითელი ბურთი. ანალოგიურად, ლუწი და კენტი რიცხვი ერთსა და იმავე დროს არ შეიძლება გამოჩნდეს კვერში.

ორი მოვლენის ალბათობა განიხილება, როგორც მათი ჯამის ან ნამრავლის ალბათობა. ასეთი მოვლენების ჯამი A + B ითვლება მოვლენად, რომელიც შედგება A ან B მოვლენის გამოჩენაში, ხოლო მათი AB ნამრავლი - ორივეს გამოჩენაში. მაგალითად, ორი ექვსეულის გამოჩენა ერთდროულად ორი კამათლის სახეზე ერთ სროლაში.

რამდენიმე მოვლენის ჯამი არის მოვლენა, რომელიც გულისხმობს მინიმუმ ერთი მათგანის დადგომას. რამდენიმე მოვლენის პროდუქტი ყველა მათგანის ერთობლივი მოვლენაა.

ალბათობის თეორიაში, როგორც წესი, კავშირის "და" გამოყენება ნიშნავს ჯამს, კავშირი "ან" - გამრავლებას. ფორმულები მაგალითებით დაგეხმარებათ გაიგოთ შეკრების და გამრავლების ლოგიკა ალბათობის თეორიაში.

შეუთავსებელი მოვლენების ჯამის ალბათობა

თუ გათვალისწინებულია შეუთავსებელი მოვლენების ალბათობა, მაშინ მოვლენათა ჯამის ალბათობა უდრის მათი ალბათობების ჯამს:

P(A+B)=P(A)+P(B)

მაგალითად: ჩვენ ვითვლით ალბათობას, რომ ესპანურად. ნომერ 1 ლურჯი და წითელი ბურთებით ჩამოაგდებს რიცხვს 1-დან 4-მდე. ჩვენ გამოვთვლით არა ერთ მოქმედებაში, არამედ ელემენტარული კომპონენტების ალბათობების ჯამით. ასე რომ, ასეთ ექსპერიმენტში არის მხოლოდ 6 ბურთი ან 6 ყველა შესაძლო შედეგიდან. რიცხვები, რომლებიც აკმაყოფილებენ პირობას არის 2 და 3. 2-ის მიღების ალბათობა არის 1/6, რიცხვი 3-ის ალბათობა ასევე 1/6. 1-დან 4-მდე რიცხვის მიღების ალბათობაა:

სრული ჯგუფის შეუთავსებელი მოვლენების ჯამის ალბათობა არის 1.

ასე რომ, თუ კუბთან ექსპერიმენტში დავამატებთ ყველა რიცხვის მიღების ალბათობას, მაშინ მივიღებთ ერთს.

ეს ასევე ეხება საპირისპირო მოვლენებს, მაგალითად, მონეტის ექსპერიმენტში, სადაც მისი ერთი მხარე არის მოვლენა A, ხოლო მეორე არის საპირისპირო მოვლენა Ā, როგორც ცნობილია,

Р(А) + Р(Ā) = 1

შეუთავსებელი მოვლენების წარმოქმნის ალბათობა

ალბათობათა გამრავლება გამოიყენება ერთ დაკვირვებაში ორი ან მეტი შეუთავსებელი მოვლენის წარმოშობის განხილვისას. ალბათობა იმისა, რომ მოვლენები A და B მასში ერთდროულად გამოჩნდნენ, უდრის მათი ალბათობების ნამრავლს, ან:

P(A*B)=P(A)*P(B)

მაგალითად, იმის ალბათობა, რომ ქ No1 ორი მცდელობის შედეგად ლურჯი ბურთი ორჯერ გამოჩნდება, ტოლი

ანუ, მოვლენის მოვლენის ალბათობა, როდესაც ბურთების ამოღების ორი მცდელობის შედეგად, მხოლოდ ლურჯი ბურთულების ამოღება მოხდება, არის 25%. ძალიან ადვილია ამ პრობლემაზე პრაქტიკული ექსპერიმენტების ჩატარება და იმის დანახვა, არის თუ არა ეს სინამდვილეში.

ერთობლივი ღონისძიებები

მოვლენები განიხილება ერთობლივად, როდესაც ერთი მათგანის გამოჩენა შეიძლება ემთხვეოდეს მეორის გარეგნობას. მიუხედავად იმისა, რომ ისინი ერთობლივია, განიხილება დამოუკიდებელი მოვლენების ალბათობა. მაგალითად, ორი კამათლის სროლამ შეიძლება გამოიწვიოს შედეგი, როცა ორივეს რიცხვი 6 ეცემა. მართალია მოვლენები დაემთხვა და ერთდროულად გამოჩნდა, ისინი ერთმანეთისგან დამოუკიდებელნი არიან - მხოლოდ ერთი ექვსი შეიძლება ამოვარდეს, მეორე კამათელს არ აქვს. გავლენა მასზე.

ერთობლივი მოვლენების ალბათობა განიხილება, როგორც მათი ჯამის ალბათობა.

ერთობლივი მოვლენების ჯამის ალბათობა. მაგალითი

A და B მოვლენების ჯამის ალბათობა, რომლებიც ერთობლივია ერთმანეთთან მიმართებაში, უდრის მოვლენის ალბათობების ჯამს, გამოკლებული მათი პროდუქტის ალბათობა (ანუ მათი ერთობლივი განხორციელება):

R ერთობლივი. (A + B) \u003d P (A) + P (B) - P (AB)

დავუშვათ, რომ ერთი გასროლით მიზანში მოხვედრის ალბათობა არის 0,4. შემდეგ მოვლენა A - მიზანში დარტყმა პირველ ცდაში, B - მეორეში. ეს მოვლენები ერთობლივია, ვინაიდან შესაძლებელია სამიზნის დარტყმა როგორც პირველი, ასევე მეორე გასროლიდან. მაგრამ მოვლენები არ არის დამოკიდებული. რა არის სამიზნეზე ორი გასროლით (ერთი მაინც) დარტყმის მოვლენის ალბათობა? ფორმულის მიხედვით:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

კითხვაზე პასუხი ასეთია: „ორი გასროლით მიზანში მოხვედრის ალბათობა 64%-ია“.

მოვლენის ალბათობის ეს ფორმულა ასევე შეიძლება გამოვიყენოთ შეუთავსებელ მოვლენებზე, სადაც მოვლენის ერთობლივი მოვლენის ალბათობა P(AB) = 0. ეს ნიშნავს, რომ შეუთავსებელი მოვლენების ჯამის ალბათობა შეიძლება ჩაითვალოს სპეციალურ შემთხვევად. შემოთავაზებული ფორმულის.

ალბათობის გეომეტრია სიცხადისთვის

საინტერესოა, რომ ერთობლივი მოვლენების ჯამის ალბათობა შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც ორი A და B არე, რომლებიც ერთმანეთს კვეთენ. როგორც სურათზე ხედავთ, მათი გაერთიანების ფართობი უდრის მთლიან ფართობს გამოკლებული მათი გადაკვეთის ფართობი. ეს გეომეტრიული ახსნა უფრო გასაგებს ხდის ერთი შეხედვით ალოგიკურ ფორმულას. გაითვალისწინეთ, რომ გეომეტრიული ამონახსნები არ არის იშვიათი ალბათობის თეორიაში.

ერთობლივი მოვლენების ერთობლიობის (ორზე მეტი) ჯამის ალბათობის განსაზღვრა საკმაოდ რთულია. მის გამოსათვლელად, თქვენ უნდა გამოიყენოთ ფორმულები, რომლებიც მოცემულია ამ შემთხვევებისთვის.

დამოკიდებული მოვლენები

დამოკიდებულ მოვლენებს უწოდებენ, თუ მათგან ერთის (A) დადგომა გავლენას ახდენს მეორის (B) დადგომის ალბათობაზე. უფრო მეტიც, მხედველობაში მიიღება როგორც A მოვლენის დადგომის, ისე მისი არ მომხდარის გავლენა. მიუხედავად იმისა, რომ მოვლენებს განსაზღვრებით დამოკიდებულს უწოდებენ, მათგან მხოლოდ ერთია დამოკიდებული (B). ჩვეულებრივი ალბათობა აღინიშნა როგორც P(B) ან დამოუკიდებელი მოვლენების ალბათობა. დამოკიდებულების შემთხვევაში შემოდის ახალი ცნება - პირობითი ალბათობა P A (B), რომელიც არის B დამოკიდებული მოვლენის ალბათობა იმ პირობით, რომ მოხდა A მოვლენა (ჰიპოთეზა), რომელზეც იგი დამოკიდებულია.

მაგრამ მოვლენა A ასევე შემთხვევითია, ამიტომ მას ასევე აქვს ალბათობა, რომელიც უნდა იქნას გათვალისწინებული და შეიძლება იყოს გათვალისწინებული გამოთვლებში. შემდეგი მაგალითი გვიჩვენებს, თუ როგორ უნდა ვიმუშაოთ დამოკიდებულ მოვლენებთან და ჰიპოთეზებთან.

დამოკიდებული მოვლენების ალბათობის გამოთვლის მაგალითი

დამოკიდებული მოვლენების გამოსათვლელად კარგი მაგალითია ბარათების სტანდარტული გემბანი.

36 კარტიანი გემბანის მაგალითზე განიხილეთ დამოკიდებული მოვლენები. აუცილებელია განვსაზღვროთ ალბათობა იმისა, რომ გემბანიდან ამოღებული მეორე კარტი იქნება ბრილიანტის კოსტუმი, თუ პირველი გათამაშებული კარტი არის:

1. ტამბური.
2. კიდევ ერთი კოსტუმი.

ცხადია, მეორე B მოვლენის ალბათობა დამოკიდებულია პირველ A-ზე. ასე რომ, თუ პირველი ვარიანტი მართალია, რომელიც არის 1 კარტით (35) და 1 ბრილიანტით (8) ნაკლები გემბანზე, B მოვლენის ალბათობა:

P A (B) \u003d 8 / 35 \u003d 0.23

თუ მეორე ვარიანტი მართალია, მაშინ გემბანში არის 35 კარტი, ხოლო ტამბურების მთლიანი რაოდენობა (9) კვლავ შენარჩუნებულია, მაშინ შემდეგი მოვლენის ალბათობა არის B:

P A (B) \u003d 9/35 \u003d 0.26.

ჩანს, რომ თუ მოვლენა A არის პირობითი იმით, რომ პირველი კარტი არის ბრილიანტი, მაშინ B მოვლენის ალბათობა მცირდება და პირიქით.

დამოკიდებული მოვლენების გამრავლება

წინა თავიდან გამომდინარე, ჩვენ ვიღებთ პირველ მოვლენას (A), როგორც ფაქტს, მაგრამ არსებითად, მას აქვს შემთხვევითი ხასიათი. ამ მოვლენის ალბათობა, კერძოდ, ბანქოს დასტადან ტამბურის ამოღება, უდრის:

P(A) = 9/36=1/4

ვინაიდან თეორია თავისთავად არ არსებობს, მაგრამ მოწოდებულია ემსახუროს პრაქტიკულ მიზნებს, სამართლიანად უნდა აღინიშნოს, რომ ყველაზე ხშირად საჭიროა დამოკიდებული მოვლენების წარმოქმნის ალბათობა.

დამოკიდებული მოვლენების ალბათობათა ნამრავლის თეორემის მიხედვით, A და B ერთობლივად დამოკიდებული მოვლენების დადგომის ალბათობა უდრის ერთი მოვლენის ალბათობას A, გამრავლებული B მოვლენის პირობით ალბათობაზე (დამოკიდებულია A-ზე):

P (AB) \u003d P (A) * P A (B)

შემდეგ გემბანის მაგალითში, ბრილიანტის კოსტუმით ორი კარტის დახატვის ალბათობაა:

9/36*8/35=0.0571 ან 5.7%

და ჯერ ბრილიანტის, შემდეგ კი ბრილიანტების მოპოვების ალბათობა უდრის:

27/36*9/35=0.19 ან 19%

ჩანს, რომ B მოვლენის დადგომის ალბათობა უფრო დიდია, იმ პირობით, რომ ჯერ ალმასის გარდა სხვა სარჩელის ბარათი გათამაშდება. ეს შედეგი საკმაოდ ლოგიკური და გასაგებია.

მოვლენის სრული ალბათობა

როდესაც პირობითი ალბათობების პრობლემა მრავალმხრივი ხდება, მისი გამოთვლა შეუძლებელია ჩვეულებრივი მეთოდებით. როდესაც არსებობს ორზე მეტი ჰიპოთეზა, კერძოდ, A1, A2, ..., A n, .. ქმნის მოვლენათა სრულ ჯგუფს იმ პირობით:

• P(A i)>0, i=1,2,…
• A i ∩ A j =Ø,i≠j.
• Σ k A k =Ω.

ასე რომ, B მოვლენის საერთო ალბათობის ფორმულა შემთხვევითი მოვლენების სრული ჯგუფით A1, A2, ..., A n არის:

ხედვა მომავალზე

შემთხვევითი მოვლენის ალბათობა არსებითია მეცნიერების ბევრ სფეროში: ეკონომიკა, სტატისტიკა, ფიზიკა და ა.შ. ვინაიდან ზოგიერთი პროცესის დეტერმინისტულად აღწერა შეუძლებელია, რადგან ისინი თავად არიან ალბათობითი, საჭიროა მუშაობის სპეციალური მეთოდები. მოვლენის თეორიის ალბათობა შეიძლება გამოყენებულ იქნას ნებისმიერ ტექნოლოგიურ სფეროში, როგორც შეცდომის ან გაუმართაობის შესაძლებლობის დასადგენად.

შეიძლება ითქვას, რომ ალბათობის ამოცნობით, ჩვენ რატომღაც თეორიულ ნაბიჯს ვდგამთ მომავლისკენ, მას ფორმულების პრიზმიდან ვუყურებთ.

რუსეთის ეროვნული ეკონომიკის აკადემია და საჯარო სამსახური რუსეთის ფედერაციის პრეზიდენტის ქვეშ

OREL ფილიალი

სოციოლოგიისა და საინფორმაციო ტექნოლოგიების დეპარტამენტი

ტიპიური გაანგარიშება No1

დისციპლინაში "ალბათობის თეორია და მათემატიკური სტატისტიკა"

თემაზე "ალბათობის თეორიის საფუძვლები"

არწივი - 2016 წ.

სამუშაოს მიზანი:თეორიული ცოდნის კონსოლიდაცია ალბათობის თეორიის საფუძვლების თემაზე, ტიპიური ამოცანების გადაჭრით. შემთხვევითი მოვლენების ძირითადი ტიპების ცნებების დაუფლება და მოვლენებზე ალგებრული მოქმედებების უნარ-ჩვევების გამომუშავება.

სამუშაოს წარდგენის მოთხოვნები: ნამუშევარი შესრულებულია ხელნაწერი ფორმით, ნამუშევარი უნდა შეიცავდეს ყველა საჭირო ახსნა-განმარტებას და დასკვნას, ფორმულები უნდა შეიცავდეს მიღებული აღნიშვნების გაშიფვრას, გვერდები უნდა იყოს დანომრილი.

ვარიანტის ნომერი შეესაბამება მოსწავლის სერიულ ნომერს ჯგუფურ სიაში.

ძირითადი თეორიული ინფორმაცია

ალბათობის თეორია- მათემატიკის ფილიალი, რომელიც სწავლობს შემთხვევითი ფენომენების ნიმუშებს.

მოვლენის კონცეფცია. მოვლენის კლასიფიკაცია.

ალბათობის თეორიის ერთ-ერთი ძირითადი კონცეფცია არის მოვლენის კონცეფცია. მოვლენები მითითებულია დიდი ლათინური ასოებით. ა, IN, თან,…

ღონისძიება- ეს არის ტესტის ან გამოცდილების შესაძლო შედეგი (შედეგი).

ტესტირება გაგებულია, როგორც ნებისმიერი მიზანმიმართული მოქმედება.

მაგალითი : მსროლელი ისვრის მიზანს. გასროლა გამოცდაა, მიზანში დარტყმა მოვლენაა.

ღონისძიება ე.წ შემთხვევითი , თუ მოცემული ექსპერიმენტის პირობებში შეიძლება მოხდეს და არ მოხდეს.

მაგალითი : გასროლა იარაღიდან - ტესტი

Inc. ა- მიზანში დარტყმა

Inc. IN– გამოტოვება – შემთხვევითი მოვლენები.

ღონისძიება ე.წ ავთენტური თუ ტესტის შედეგად ის აუცილებლად უნდა მოხდეს.

მაგალითი : კამათლის სროლისას ჩამოაგდეთ არაუმეტეს 6 ქულა.

ღონისძიება ე.წ შეუძლებელია თუ მოცემული ექსპერიმენტის პირობებში ეს საერთოდ არ შეიძლება მოხდეს.

მაგალითი : 6-ზე მეტი ქულა შემოვიდა ჯარისკაცის სროლისას.

მოვლენებს ე.წ შეუთავსებელი თუ რომელიმე მათგანის დადგომა გამორიცხავს რომელიმე მეორის წარმოშობას. წინააღმდეგ შემთხვევაში, მოვლენებს ერთობლივი ეწოდება.

მაგალითი : კამათელი იყრება. 5-იანი რულონი გამორიცხავს 6-ის რულონს. ეს შეუთავსებელი მოვლენებია. სტუდენტი, რომელიც ორ სხვადასხვა დისციპლინაში გამოცდებზე „კარგ“ და „შესანიშნავ“ ქულებს იღებს, ერთობლივი ღონისძიებაა.

ორი შეუთავსებელი მოვლენა, რომელთაგან ერთი აუცილებლად უნდა მოხდეს, ეწოდება საწინააღმდეგო . მოვლენა მოვლენის საპირისპირო ადანიშნოს Ā .

მაგალითი : მონეტის სროლისას „გერბის“ გამოჩენა და „კუდების“ გამოჩენა საპირისპირო მოვლენაა.

ამ გამოცდილებაში რამდენიმე მოვლენას უწოდებენ თანაბრად შესაძლებელია თუ არსებობს საფუძველი იმის დასაჯერებლად, რომ არც ერთი ეს მოვლენა არ არის უფრო შესაძლებელი ვიდრე სხვები.

მაგალითი : ტუზის, ათეულების, დედოფლების დახატვა ბანქოდან - მოვლენები თანაბრად სავარაუდოა.

რამდენიმე მოვლენა იქმნება სრული ჯგუფი თუ ტესტის შედეგად აუცილებლად უნდა მოხდეს ამ მოვლენათაგან ერთი და მხოლოდ ერთი.

მაგალითი : 1, 2, 3, 4, 5, 6 ქულების რაოდენობის ჩამოგდება მატერიის სროლისას.

მოვლენის ალბათობის კლასიკური განმარტება. ალბათობის თვისებები

პრაქტიკული საქმიანობისთვის მნიშვნელოვანია მოვლენების შედარება მათი წარმოშობის შესაძლებლობის ხარისხის მიხედვით.

ალბათობამოვლენა არის მოვლენის ობიექტური შესაძლებლობის ხარისხის რიცხვითი საზომი.

მოდით დავურეკოთ ელემენტარული შედეგი თითოეული თანაბრად სავარაუდო ტესტის შედეგი.

გამოსვლა ჰქვია ხელსაყრელი (ხელსაყრელი) მოვლენა ა, თუ მისი დადგომა იწვევს მოვლენის დადგომას ა.

კლასიკური განმარტება : მოვლენის ალბათობა აუდრის მოცემული მოვლენისთვის ხელსაყრელი შედეგების რაოდენობის თანაფარდობას შესაძლო შედეგების საერთო რაოდენობასთან.

(1) სად პ(ა) არის მოვლენის ალბათობა ა,

მ- ხელსაყრელი შედეგების რაოდენობა,

ნარის ყველა შესაძლო შედეგის რაოდენობა.

მაგალითი : ლატარიაში არის 1000 ბილეთი, საიდანაც 700 არ არის მოგებული. რა არის ერთ შეძენილ ბილეთზე მოგების ალბათობა.

ღონისძიება ა- იყიდა მომგებიანი ბილეთი

შესაძლო შედეგების რაოდენობა ნ=1000 არის ლატარიის ბილეთების საერთო რაოდენობა.

ღონისძიების სასარგებლო შედეგების რაოდენობა აარის მოგებული ბილეთების რაოდენობა, ე.ი. მ=1000-700=300.

ალბათობის კლასიკური განმარტების მიხედვით:

პასუხი:
.

შენიშვნა მოვლენის ალბათობის თვისებები:

1) ნებისმიერი მოვლენის ალბათობა არის ნულსა და ერთს შორის, ე.ი. 0≤ პ(ა)≤1.

2) გარკვეული მოვლენის ალბათობა არის 1.

3) შეუძლებელი მოვლენის ალბათობა არის 0.

გარდა კლასიკურისა, არსებობს ალბათობის გეომეტრიული და სტატისტიკური განმარტებებიც.

კომბინატორიკის ელემენტები.

კომბინატორიკის ფორმულები ფართოდ გამოიყენება მოცემული მოვლენისთვის ხელსაყრელი შედეგების ან შედეგების მთლიანი რაოდენობის გამოსათვლელად.

იყოს კომპლექტი ნსაწყისი ნსხვადასხვა ელემენტები.

განმარტება 1: კომბინაციები, რომელთაგან თითოეული მოიცავს ყველა ნელემენტები და რომლებიც ერთმანეთისგან განსხვავდებიან მხოლოდ ელემენტების თანმიმდევრობით ეწოდება პერმუტაციები საწყისი ნელემენტები.

პ ნ=ნ! (2), სადაც ნ! (ნ-ფაქტორული) - პროდუქტი ნნატურალური რიგის პირველი რიცხვები, ე.ი.

ნ! = 1∙2∙3∙…∙(ნ–1)∙ნ

ასე რომ, მაგალითად, 5!=1∙2∙3∙4∙5 = 120

განმარტება 2: მელემენტები ( მ≤ნ) და ერთმანეთისგან განსხვავებულნი ან ელემენტების შემადგენლობით ან მათი რიგითობით ეძახიან განთავსება საწყისი ნმიერ მელემენტები.

(3) 
განმარტება 3: კომბინაციები, თითოეული შეიცავს მელემენტები ( მ≤ნ) და ერთმანეთისგან განსხვავდებიან მხოლოდ ელემენტების შემადგენლობით ე.წ კომბინაციები საწყისი ნმიერ მელემენტები.

(4)
კომენტარი:ელემენტების თანმიმდევრობის შეცვლა იმავე კომბინაციის ფარგლებში არ იწვევს ახალ კომბინაციას.

ჩვენ ვაყალიბებთ ორ მნიშვნელოვან წესს, რომლებიც ხშირად გამოიყენება კომბინატორული ამოცანების გადაჭრისას

ჯამის წესი: თუ ობიექტი აშეიძლება შეირჩეს მგზები და ობიექტი IN – ნგზები, მაშინ არჩევანი არის ან აან INშეიძლება გაკეთდეს მ+ნგზები.

პროდუქტის წესი: თუ ობიექტი აშეიძლება შეირჩეს მგზები და ობიექტი INყოველი ასეთი არჩევანის შემდეგ, ადამიანს შეუძლია აირჩიოს ნგზები, შემდეგ წყვილი ობიექტი ადა INშეიძლება შეირჩეს ამ თანმიმდევრობით. მ ∙ ნგზები.

ალბათობა გვიჩვენებს მოვლენის შესაძლებლობას გარკვეული რაოდენობის გამეორებით. ეს არის შესაძლო შედეგების რაოდენობა ერთი ან მეტი შედეგით გაყოფილი შესაძლო მოვლენების საერთო რაოდენობაზე. რამდენიმე მოვლენის ალბათობა გამოითვლება პრობლემის ცალკეულ ალბათობებად დაყოფით და შემდეგ ამ ალბათობების გამრავლებით.

ნაბიჯები

ერთი შემთხვევითი მოვლენის ალბათობა

1. აირჩიეთ ღონისძიება ურთიერთგამომრიცხავი შედეგებით.ალბათობა შეიძლება გამოითვალოს მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ განსახილველი მოვლენა ან ხდება ან არ მოხდება. შეუძლებელია რაიმე მოვლენის და საპირისპირო შედეგის მიღება ერთდროულად. ასეთი მოვლენის მაგალითია 5-ის გადაგდება თამაში ან რბოლაში გარკვეული ცხენის მოგება. ხუთი ან ამოვა, ან არა; გარკვეული ცხენი ან პირველი მოვა, ან არა.

   • მაგალითად, შეუძლებელია ასეთი მოვლენის ალბათობის გამოთვლა: კვარცხლბეკის ერთ რულონში 5 და 6 ერთდროულად შემოვა.

2. იდენტიფიცირება ყველა შესაძლო მოვლენა და შედეგი, რომელიც შეიძლება მოხდეს.დავუშვათ, ჩვენ უნდა განვსაზღვროთ ალბათობა იმისა, რომ სამეული გამოვა 6 ნომრიანი კამათლის დაყრისას. „სამი ერთგვარი“ არის მოვლენა და რადგან ვიცით, რომ 6 რიცხვიდან რომელიმე შეიძლება გამოვიდეს, შესაძლო შედეგების რიცხვი არის ექვსი. ამრიგად, ჩვენ ვიცით, რომ ამ შემთხვევაში არის 6 შესაძლო შედეგი და ერთი მოვლენა, რომლის ალბათობის დადგენა გვინდა. ქვემოთ მოცემულია კიდევ ორი ​​მაგალითი.

   • მაგალითი 1. ამ შემთხვევაში, ღონისძიება არის "შერჩეული დღე, რომელიც მოდის შაბათ-კვირას" და შესაძლო შედეგების რაოდენობა უდრის კვირის დღეების რაოდენობას, ანუ შვიდს.
   • მაგალითი 2. ღონისძიება არის "წითელი ბურთის დახატვა" და შესაძლო შედეგების რაოდენობა უდრის ბურთების საერთო რაოდენობას, ანუ ოცი.

3. გაყავით მოვლენების რაოდენობა შესაძლო შედეგების რაოდენობაზე.ამ გზით თქვენ განსაზღვრავთ ერთი მოვლენის ალბათობას. თუ გავითვალისწინებთ 3-ის შემთხვევას გორგალზე, მოვლენების რიცხვი არის 1 (სამი არის კალმის მხოლოდ ერთ მხარეს), ხოლო შედეგების საერთო რაოდენობა არის 6. შედეგი არის თანაფარდობა 1/6, 0.166, ანუ 16.6%. მოვლენის ალბათობა ზემოთ მოყვანილი ორი მაგალითისთვის გვხვდება შემდეგნაირად:

   • მაგალითი 1. რა არის იმის ალბათობა, რომ შემთხვევით აირჩევთ დღეს, რომელიც მოდის შაბათ-კვირას?მოვლენების რაოდენობა არის 2, ვინაიდან ერთ კვირაში ორი დღეა დასვენება და შედეგების ჯამური რაოდენობა არის 7. ამრიგად, ალბათობა არის 2/7. მიღებული შედეგი ასევე შეიძლება დაიწეროს 0,285 ან 28,5%.
   • მაგალითი 2. ყუთში არის 4 ლურჯი, 5 წითელი და 11 თეთრი ბურთი. თუ კოლოფიდან შემთხვევით ბურთულას დახატავთ, რა არის იმის ალბათობა, რომ ის წითელი იყოს?მოვლენების რაოდენობა არის 5, რადგან ყუთში არის 5 წითელი ბურთი, ხოლო შედეგების საერთო რაოდენობა არის 20. იპოვეთ ალბათობა: 5/20 = 1/4. მიღებული შედეგი ასევე შეიძლება დაიწეროს 0,25 ან 25%.

4. შეაგროვეთ ყველა შესაძლო მოვლენის ალბათობა და ნახეთ, არის თუ არა ჯამი 1.ყველა შესაძლო მოვლენის საერთო ალბათობა უნდა იყოს 1, ან 100%. თუ არ მიიღებთ 100%-ს, დიდია შანსი, რომ შეცდომა დაუშვით და გამოტოვეთ ერთი ან მეტი შესაძლო მოვლენა. შეამოწმეთ თქვენი გამოთვლები და დარწმუნდით, რომ გაითვალისწინეთ ყველა შესაძლო შედეგი.

   • მაგალითად, 3-ის გახვევის ალბათობა მაჯის გადაგდებისას არის 1/6. ამ შემთხვევაში დანარჩენი ხუთიდან ნებისმიერი სხვა რიცხვის გამოვარდნის ალბათობაც უდრის 1/6-ს. შედეგად, ვიღებთ 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 6/6, ანუ 100%.
   • თუ, მაგალითად, დაგავიწყდათ 4 რიცხვი კალთაზე, ალბათობების დამატება მოგცემთ მხოლოდ 5/6, ანუ 83%, რაც არ არის ერთის ტოლი და მიუთითებს შეცდომაზე.

5. გამოთქვით შეუძლებელი შედეგის ალბათობა 0-ით.ეს ნიშნავს, რომ მოცემული მოვლენა არ შეიძლება მოხდეს და მისი ალბათობა არის 0. ამ გზით თქვენ შეგიძლიათ აღრიცხოთ შეუძლებელი მოვლენები.

   • მაგალითად, თუ გამოთვლით ალბათობას, რომ აღდგომა მოდის 2020 წლის ორშაბათს, მიიღებთ 0-ს, რადგან აღდგომა ყოველთვის კვირას აღინიშნება.

   რამდენიმე შემთხვევითი მოვლენის ალბათობა

   1. დამოუკიდებელი მოვლენების განხილვისას გამოთვალეთ თითოეული ალბათობა ცალ-ცალკე.მას შემდეგ რაც დაადგენთ რა არის მოვლენების ალბათობა, მათი გამოთვლა შესაძლებელია ცალკე. დავუშვათ, გვინდა ვიცოდეთ 5-ით ზედიზედ ორჯერ დაგორების ალბათობა. ვიცით, რომ ერთი ხუთეულის გადაგორების ალბათობა არის 1/6, ხოლო მეორე ხუთეულის გადახვევის ალბათობა ასევე 1/6. პირველი შედეგი არ არის დაკავშირებული მეორესთან.

      • ხუთეულების რამდენიმე რულონს ეძახიან დამოუკიდებელი ღონისძიებები, რადგან ის, რაც პირველად ხდება, მეორე მოვლენაზე გავლენას არ ახდენს.

   2. დამოკიდებული მოვლენების ალბათობის გაანგარიშებისას გაითვალისწინეთ წინა შედეგების გავლენა.თუ პირველი მოვლენა გავლენას ახდენს მეორე შედეგის ალბათობაზე, ამბობენ, რომ გამოითვლება ალბათობა დამოკიდებული მოვლენები. მაგალითად, თუ თქვენ აირჩევთ ორ კარტს 52 კარტიანი დასტადან, პირველი კარტის გათამაშების შემდეგ იცვლება დაფის შემადგენლობა, რაც გავლენას ახდენს მეორე კარტის არჩევაზე. ორი დამოკიდებული მოვლენიდან მეორის ალბათობის გამოსათვლელად, მეორე მოვლენის ალბათობის გამოთვლისას გამოაკელით 1 შესაძლო შედეგების რაოდენობას.

      • მაგალითი 1. განვიხილოთ შემდეგი მოვლენა: გემბანიდან ერთი მეორის მიყოლებით შემთხვევით იშლება ორი კარტი. რა არის იმის ალბათობა, რომ ორივე კარტს კლუბური კოსტიუმი ჰქონდეს?ალბათობა იმისა, რომ პირველ კარტს კლუბური კოსტიუმი ექნება, არის 13/52, ან 1/4, ვინაიდან გემბანში ერთი და იგივე კოსტუმის 13 კარტია.
        • ამის შემდეგ, ალბათობა იმისა, რომ მეორე კარტი იქნება საკლუბო სარჩელი, არის 12/51, ვინაიდან ერთი საკლუბო ბარათი აღარ არის. ეს იმიტომ ხდება, რომ პირველი მოვლენა გავლენას ახდენს მეორეზე. თუ დახაზავთ 3 კლუბს და არ დააბრუნებთ, გემბანზე ერთი კარტი იქნება ნაკლები (51 ნაცვლად 52).
      • მაგალითი 2. ყუთში არის 4 ლურჯი, 5 წითელი და 11 თეთრი ბურთი. თუ შემთხვევით დახატულია სამი ბურთი, რა არის ალბათობა, რომ პირველი იყოს წითელი, მეორე ლურჯი და მესამე თეთრი?
        • ალბათობა იმისა, რომ პირველი ბურთი წითელი იქნება, არის 5/20, ანუ 1/4. ალბათობა იმისა, რომ მეორე ბურთი ლურჯი იქნება არის 4/19, რადგან ყუთში ერთი ბურთი ნაკლებია დარჩენილი, მაგრამ მაინც 4. ლურჯიბურთი. დაბოლოს, ალბათობა იმისა, რომ მესამე ბურთი იყოს თეთრი, არის 11/18, რადგან ჩვენ უკვე დავხატეთ ორი ბურთი.

   3. გაამრავლეთ თითოეული ცალკეული მოვლენის ალბათობა.იმისდა მიუხედავად, საქმე გაქვთ დამოუკიდებელ ან დამოკიდებულ მოვლენებთან, ასევე შედეგების რაოდენობასთან (შეიძლება იყოს 2, 3 ან თუნდაც 10), თქვენ შეგიძლიათ გამოთვალოთ საერთო ალბათობა ყველა განსახილველი მოვლენის ალბათობის ერთმანეთზე გამრავლებით. . შედეგად, თქვენ მიიღებთ რამდენიმე მოვლენის ალბათობას, შემდეგი სათითაოდ. მაგალითად, ამოცანაა იპოვეთ კამათლის ზედიზედ ორჯერ გაგორების ალბათობა 5-ით.. ეს არის ორი დამოუკიდებელი მოვლენა, რომელთაგან თითოეულის ალბათობა არის 1/6. ამრიგად, ორივე მოვლენის ალბათობა არის 1/6 x 1/6 = 1/36, ანუ 0,027, ანუ 2,7%.

      • მაგალითი 1. გემბანიდან შემთხვევით იშლება ორი კარტი, ერთმანეთის მიყოლებით. რა არის იმის ალბათობა, რომ ორივე კარტს კლუბური კოსტიუმი ჰქონდეს?პირველი მოვლენის ალბათობაა 13/52. მეორე მოვლენის ალბათობაა 12/51. ჩვენ ვპოულობთ საერთო ალბათობას: 13/52 x 12/51 = 12/204 = 1/17, ანუ 0,058, ანუ 5,8%.
      • მაგალითი 2. ყუთში არის 4 ლურჯი, 5 წითელი და 11 თეთრი ბურთი. თუ კოლოფიდან შემთხვევით გამოყვანილია სამი ბურთი, ერთმანეთის მიყოლებით, რა არის ალბათობა, რომ პირველი იყოს წითელი, მეორე ლურჯი და მესამე თეთრი?პირველი მოვლენის ალბათობაა 5/20. მეორე მოვლენის ალბათობაა 4/19. მესამე მოვლენის ალბათობაა 11/18. ასე რომ, საერთო ალბათობა არის 5/20 x 4/19 x 11/18 = 44/1368 = 0.032, ანუ 3.2%.

პრაქტიკული საქმიანობისთვის აუცილებელია მოვლენების შედარება მათი წარმოშობის შესაძლებლობის ხარისხის მიხედვით. განვიხილოთ კლასიკური შემთხვევა. ურნა შეიცავს 10 ბურთულას, რომელთაგან 8 თეთრია და 2 შავი. ცხადია, მოვლენას „ჭურჭლიდან აიღებენ თეთრ ბურთულას“ და მოვლენას „ურნადან გამოიღებენ შავ ბურთს“ აქვთ მათი წარმოშობის სხვადასხვა ხარისხის შესაძლებლობა. ამიტომ მოვლენების შესადარებლად საჭიროა გარკვეული რაოდენობრივი საზომი.

მოვლენის დადგომის შესაძლებლობის რაოდენობრივი საზომია ალბათობა . ყველაზე ფართოდ გამოიყენება მოვლენის ალბათობის ორი განმარტება: კლასიკური და სტატისტიკური.

კლასიკური განმარტებაალბათობა დაკავშირებულია ხელსაყრელი შედეგის ცნებასთან. ამაზე უფრო დეტალურად ვისაუბროთ.

დაე, რომელიმე ტესტის შედეგებმა შექმნას მოვლენათა სრული ჯგუფი და იყოს თანაბრად სავარაუდო, ე.ი. ისინი ცალსახად შესაძლებელია, არათანმიმდევრული და თანაბრად შესაძლებელია. ასეთ შედეგებს ე.წ ელემენტარული შედეგები, ან შემთხვევები. ამბობენ, რომ ტესტი მცირდება საქმის სქემაან " ურნის სქემა“, რადგან ასეთი ტესტის ნებისმიერი ალბათური პრობლემა შეიძლება შეიცვალოს ექვივალენტური ამოცანებით სხვადასხვა ფერის ურნებითა და ბურთულებით.

გამოსვლა ჰქვია ხელსაყრელიღონისძიება ათუ ამ შემთხვევის დადგომა იწვევს მოვლენის დადგომას ა.

კლასიკური განმარტებით მოვლენის ალბათობა A უდრის ამ მოვლენის სასარგებლო შედეგების რაოდენობის შეფარდებას შედეგების მთლიან რაოდენობასთან, ე.ი.

,

(1.1)

სად P(A)- მოვლენის ალბათობა ა; მ- ღონისძიებისთვის ხელსაყრელი შემთხვევების რაოდენობა ა; ნარის შემთხვევების საერთო რაოდენობა.

მაგალითი 1.1.კამათლის სროლისას შესაძლებელია ექვსი შედეგი - წაგება 1, 2, 3, 4, 5, 6 ქულით. რა არის ლუწი ქულების მიღების ალბათობა?

გამოსავალი. ყველა ნ= 6 შედეგი ქმნის მოვლენათა სრულ ჯგუფს და თანაბრად სავარაუდოა, ე.ი. ისინი ცალსახად შესაძლებელია, არათანმიმდევრული და თანაბრად შესაძლებელია. მოვლენა A - "ქულების ლუწი რაოდენობის გამოჩენა" - ხელს უწყობს 3 შედეგს (შემთხვევას) - 2, 4 ან 6 ქულის დაკარგვას. მოვლენის ალბათობის კლასიკური ფორმულის მიხედვით ვიღებთ

P(A) = = . ◄

მოვლენის ალბათობის კლასიკურ განმარტებაზე დაყრდნობით, ჩვენ აღვნიშნავთ მის თვისებებს:

1. რაიმე მოვლენის ალბათობა ნულსა და ერთს შორისაა, ე.ი.

0 ≤ რ(ა) ≤ 1.

2. გარკვეული მოვლენის ალბათობა ერთის ტოლია.

3. შეუძლებელი მოვლენის ალბათობა ნულის ტოლია.

როგორც უკვე აღვნიშნეთ, ალბათობის კლასიკური განმარტება გამოიყენება მხოლოდ იმ მოვლენებზე, რომლებიც შეიძლება გამოჩნდეს ცდების შედეგად, რომლებსაც აქვთ შესაძლო შედეგების სიმეტრია, ე.ი. საქმის სქემით შემცირებული. თუმცა, არსებობს მოვლენების დიდი კლასი, რომელთა ალბათობა არ შეიძლება გამოითვალოს კლასიკური განმარტებით.

მაგალითად, თუ ვივარაუდებთ, რომ მონეტა გაბრტყელებულია, მაშინ აშკარაა, რომ მოვლენები „გერბის გამოჩენა“ და „კუდის გამოჩენა“ ერთნაირად შესაძლებლად არ შეიძლება ჩაითვალოს. ამიტომ, კლასიკური სქემის მიხედვით ალბათობის განსაზღვრის ფორმულა ამ შემთხვევაში არ გამოიყენება.

თუმცა, არსებობს სხვა მიდგომა მოვლენების ალბათობის შესაფასებლად, იმის მიხედვით, თუ რამდენად ხშირად მოხდება მოცემული მოვლენა შესრულებულ ტესტებში. ამ შემთხვევაში გამოიყენება ალბათობის სტატისტიკური განმარტება.

სტატისტიკური ალბათობამოვლენა A არის ამ მოვლენის დადგომის ფარდობითი სიხშირე (სიხშირე) შესრულებულ n ტესტებში, ე.ი.

,

(1.2)

სად R * (A)არის მოვლენის სტატისტიკური ალბათობა ა; w(A)არის მოვლენის ფარდობითი სიხშირე ა; მარის ცდების რაოდენობა, რომელშიც მოხდა მოვლენა ა; ნარის ცდების საერთო რაოდენობა.

მათემატიკური ალბათობისგან განსხვავებით P(A)კლასიკურ განმარტებაში განიხილება სტატისტიკური ალბათობა R * (A)მახასიათებელია გამოცდილი, ექსპერიმენტული. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მოვლენის სტატისტიკური ალბათობა აიწოდება რიცხვი, რომლის მიმართაც ფარდობითი სიხშირე სტაბილიზებულია (დადგენილია) w(A)იგივე პირობების პირობებში ჩატარებული ტესტების რაოდენობის შეუზღუდავი ზრდით.

მაგალითად, როდესაც ამბობენ მსროლელზე, რომ ის ურტყამს მიზანს 0,95 ალბათობით, ეს ნიშნავს, რომ მის მიერ გასროლილი ასი გასროლიდან გარკვეულ პირობებში (იგივე სამიზნე იმავე მანძილზე, იგივე თოფი და ა.შ.). ), საშუალოდ დაახლოებით 95 წარმატებულია. ბუნებრივია, ყოველ ასეულს არ ექნება 95 წარმატებული გასროლა, ხან იქნება ნაკლები, ხან მეტი, მაგრამ საშუალოდ, იმავე პირობებში სროლის განმეორებით გამეორებით, დარტყმების ეს პროცენტი უცვლელი დარჩება. რიცხვი 0.95, რომელიც მსროლელის ოსტატობის ინდიკატორს წარმოადგენს, ჩვეულებრივ ძალიან სტაბილური, ე.ი. სროლების უმეტესობაში დარტყმების პროცენტი თითქმის იგივე იქნება მოცემული მსროლელისთვის, მხოლოდ იშვიათ შემთხვევებში რაიმე მნიშვნელოვანი გადახრის საშუალო მნიშვნელობიდან.

ალბათობის კლასიკური განმარტების კიდევ ერთი მინუსი ( 1.1 ), რაც ზღუდავს მის გამოყენებას, არის ის, რომ იგი ითვალისწინებს ტესტის შესაძლო შედეგების სასრულ რაოდენობას. ზოგიერთ შემთხვევაში, ეს ნაკლოვანება შეიძლება დაძლიოს ალბათობის გეომეტრიული განმარტების გამოყენებით, ე.ი. განსაზღვრულ ზონაში (სეგმენტი, თვითმფრინავის ნაწილი და ა.შ.) წერტილის დარტყმის ალბათობის პოვნა.

მოდით ბინა ფიგურა გწარმოადგენს ბრტყელი ფიგურის ნაწილს გ(ნახ. 1.1). ფიგურაზე გწერტილი იყრება შემთხვევით. ეს ნიშნავს, რომ ყველა პუნქტი ტერიტორიაზე გ"თანაბარი" მასზე დარტყმული შემთხვევითი წერტილით დარტყმასთან მიმართებაში. თუ ვივარაუდებთ, რომ მოვლენის ალბათობა ა- ფიგურაზე დაყრილ წერტილში დარტყმა გ- პროპორციულია ამ ფიგურის ფართობისა და არ არის დამოკიდებული მის მდებარეობაზე. გ, არც ფორმიდან გ, იპოვე