პეევიდი და მისი თვისებები

ანტიწარმოებული ფუნქცია f(x) ინტერვალზე (a; b) არის ისეთი ფუნქცია F(x), რომ ტოლობა მოქმედებს ნებისმიერი x მოცემული ინტერვალიდან.

თუ გავითვალისწინებთ იმას, რომ C მუდმივის წარმოებული ნულის ტოლია, მაშინ ტოლობა . ამრიგად, f(x) ფუნქციას აქვს ანტიწარმოებულების ნაკრები F(x)+C, თვითნებური მუდმივი C-სთვის და ეს ანტიწარმოებულები განსხვავდებიან ერთმანეთისგან თვითნებური მუდმივი მნიშვნელობით.

პრიმიტივის თვისებები.

თუ ფუნქცია F(x) არის ანტიწარმოებული f(x) ფუნქციისთვის X ინტერვალზე, მაშინ ფუნქცია f(x) + C, სადაც C არის თვითნებური მუდმივი, ასევე იქნება f(x)-ის ანტიწარმოებული. ეს ინტერვალი.

თუ ფუნქცია F(x) არის გარკვეული ანტიწარმოებული f(x) ფუნქციისთვის X=(a,b) ინტერვალზე, მაშინ ნებისმიერი სხვა ანტიწარმოებული F1(x) შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც F1(x) = F(x) + C, სადაც C არის მუდმივი ფუნქცია X-ზე.

2 განუსაზღვრელი ინტეგრალის განმარტება.

f(x) ფუნქციის ანტიწარმოებულთა მთელ სიმრავლეს ამ ფუნქციის განუსაზღვრელი ინტეგრალი ეწოდება და აღინიშნება .

გამოსახულებას ეწოდება ინტეგრადი, ხოლო f(x) - ინტეგრანდს. ინტეგრანტი არის f(x) ფუნქციის დიფერენციალი.

უცნობი ფუნქციის პოვნის მოქმედებას მისი მოცემული დიფერენციალით ეწოდება განუსაზღვრელი ინტეგრაცია, რადგან ინტეგრაციის შედეგი არის არა ერთი ფუნქცია F(x), არამედ მისი ანტიწარმოებულების სიმრავლე F(x)+C.

განუსაზღვრელი ინტეგრალის თვისებები (ანტიწარმოებულის თვისებები).

ინტეგრაციის შედეგის წარმოებული უდრის ინტეგრანდს.

ფუნქციის დიფერენციალური განუსაზღვრელი ინტეგრალი უდრის თავად ფუნქციისა და თვითნებური მუდმივის ჯამს.

სადაც k არის თვითნებური მუდმივი. კოეფიციენტი შეიძლება ამოღებულ იქნას განუსაზღვრელი ინტეგრალის ნიშნიდან.

ფუნქციათა ჯამის/განსხვავების განუსაზღვრელი ინტეგრალი უდრის ფუნქციათა განუსაზღვრელი ინტეგრალების ჯამს/განსხვავებას.

ცვლადის ცვლილება განუსაზღვრელ ინტეგრალში

ცვლადი ჩანაცვლებაგანუსაზღვრელ ინტეგრალში ხორციელდება ორი ტიპის ჩანაცვლების გამოყენებით:

ა) სად არის ახალი t ცვლადის ერთფეროვანი, განუწყვეტლივ დიფერენცირებადი ფუნქცია. ცვლადი ჩანაცვლების ფორმულა ამ შემთხვევაში:

სადაც U არის ახალი ცვლადი. ცვლადი ჩანაცვლების ფორმულა ამ ჩანაცვლებისთვის:

ინტეგრაცია ნაწილების მიხედვით

ინტეგრალის პოვნა ფორმულით ეწოდება ინტეგრაცია ნაწილებით. აქ U=U(x), υ=υ(x) არის x-ის განუწყვეტლივ დიფერენცირებადი ფუნქციები. ამ ფორმულის დახმარებით, ინტეგრალის პოვნა მცირდება სხვა ინტეგრალის პოვნამდე; მისი გამოყენება მიზანშეწონილია იმ შემთხვევებში, როდესაც ბოლო ინტეგრალი ან უფრო მარტივია, ვიდრე ორიგინალი, ან მსგავსია.

ამ შემთხვევაში, υ მიიღება ისეთ ფუნქციად, რომელიც ამარტივებს დიფერენციაციისას, ხოლო dU არის ინტეგრანის ის ნაწილი, რომლის ინტეგრალი ცნობილია ან შეიძლება მოიძებნოს.

ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულა

განსაზღვრული ინტეგრალის უწყვეტობა ზედა ზღვრის ფუნქციით

თუ ფუნქცია y = f (x) ინტეგრირებადია სეგმენტზე, მაშინ, ცხადია, ის ასევე ინტეგრირებადია თვითნებურ სეგმენტზე [a, x] ჩაშენებული. ფუნქცია ,

სადაც x О , ეწოდება ინტეგრალი ცვლადი ზედა ზღვრით. ფუნქციის Ф (x) მნიშვნელობა x წერტილში უდრის S (x) ფართობს y \u003d f (x) მრუდის ქვეშ [a, x] სეგმენტზე. ეს არის ინტეგრალის გეომეტრიული მნიშვნელობა ცვლადი ზედა ზღვრით.

თეორემა. თუ ფუნქცია f(x) უწყვეტია ინტერვალზე, მაშინ ფუნქცია Φ(x) ასევე უწყვეტია [a, b]-ზე.

დავუშვათ Δх ისეთი, რომ x + Δ x О . Ჩვენ გვაქვს

საშუალო მნიშვნელობის თეორემაში არის ისეთი მნიშვნელობა н [ x, x + Δ x]-ით, რომ ვინაიდან н-ით და ფუნქცია f (x) არის შემოსაზღვრული, გადადის ზღვარზე Δ x → 0, მივიღებთ

ODR 1-ლი შეკვეთა

რა განსხვავებაა ჰომოგენურ დიფერენციალურ განტოლებებსა და DE-ს სხვა ტიპებს შორის? ამის ახსნა ყველაზე ადვილია მაშინვე კონკრეტული მაგალითით.

დიფერენციალური განტოლების ამოხსნა

რა უნდა გავაანალიზოთ პირველ რიგში ნებისმიერი პირველი რიგის დიფერენციალური განტოლების ამოხსნისას? უპირველეს ყოვლისა, აუცილებელია შემოწმდეს, შესაძლებელია თუ არა ცვლადების დაუყონებლივ გამოყოფა „სასკოლო“ მოქმედებების გამოყენებით? როგორც წესი, ასეთი ანალიზი ხორციელდება გონებრივად ან ცდილობს ცვლადების გამოყოფა მონახაზში.

ამ მაგალითში ცვლადების დაყოფა შეუძლებელია (შეგიძლიათ სცადოთ ტერმინების გადატანა ნაწილიდან ნაწილზე, ამოიღოთ ფაქტორები ფრჩხილებიდან და ა.შ.). სხვათა შორის, ამ მაგალითში, ის ფაქტი, რომ ცვლადები არ შეიძლება დაიყოს, საკმაოდ აშკარაა მულტიპლიკატორის არსებობის გამო.

ჩნდება კითხვა - როგორ მოვაგვაროთ ეს განსხვავება?

უნდა შეამოწმოთ არის თუ არა ეს განტოლება ერთგვაროვანი? გადამოწმება მარტივია და თავად გადამოწმების ალგორითმი შეიძლება ჩამოყალიბდეს შემდეგნაირად:

თავდაპირველ განტოლებამდე:

x-ის ნაცვლად, ჩაანაცვლეთ y-ის ნაცვლად, შეცვალეთ წარმოებული, არ შეეხოთ: ასო ლამბდა არის რაღაც აბსტრაქტული რიცხვითი პარამეტრი, წერტილი არ არის თავად ლამბდაში და არა მათ მნიშვნელობებში, მაგრამ საქმე ისაა:

თუ გარდაქმნების შედეგად შესაძლებელია ყველა "ლამბდას" შემცირება (ანუ ორიგინალური განტოლების მიღება), მაშინ ეს დიფერენციალური განტოლება ერთგვაროვანია.

ცხადია, ლამბდაები მაშინვე იშლება მაჩვენებელში: ახლა მარჯვენა მხარეს ვიღებთ ლამბდას ფრჩხილებიდან: განტოლების ორივე ნაწილი შეიძლება შემცირდეს იმავე ლამბდამდე: შედეგად, ყველა ლამბდა გაქრა სიზმარივით, დილის ნისლივით და მივიღეთ ორიგინალური განტოლება.

დასკვნა: ეს განტოლება ერთგვაროვანია

LOU.ხსნარების ზოგადი თვისებები

ანუ წრფივია უცნობი ფუნქციის მიმართ წდა მისი წარმოებულები და . ამ განტოლების კოეფიციენტები და მარჯვენა მხარე უწყვეტია.

თუ განტოლების მარჯვენა მხარეა, მაშინ განტოლებას წრფივი არაჰომოგენური ეწოდება. თუ , მაშინ განტოლებას აქვს ფორმა

(9)

და ეწოდება წრფივი ერთგვაროვანი.

მოდით და იყოს (9) განტოლების რაიმე კონკრეტული ამონახსნები, ანუ ისინი არ შეიცავენ თვითნებურ მუდმივებს.

თეორემა 1.თუ და არის მეორე რიგის წრფივი ერთგვაროვანი განტოლების ორი ნაწილობრივი ამონახსნები, მაშინ ის ასევე არის ამ განტოლების ამოხსნა.

ვინაიდან და არიან (9) განტოლების ამონახსნები, ისინი ამ განტოლებას იდენტურად აქცევენ, ანუ,

და

(10)

ჩაანაცვლეთ განტოლებაში (9). მაშინ გვაქვს:

(10) გამო. აქედან გამომდინარე, არის განტოლების ამონახსნი.

თეორემა 2.თუ არის მეორე რიგის წრფივი ერთგვაროვანი განტოლების ამონახსნი და Cარის მუდმივი, მაშინ ის ასევე არის ამ განტოლების ამოხსნა.

მტკიცებულება.ჩაანაცვლეთ განტოლებაში (9). ვიღებთ: ანუ განტოლების ამოხსნას.

შედეგი.თუ და არის (9) განტოლების ამონახსნები, მაშინ ასეა მისი ამონახსნები თეორემების (1) და (2) ძალით.

განმარტება.ორი ამონახსნი და განტოლება (9) ეწოდება წრფივად დამოკიდებულს (სეგმენტზე), თუ შესაძლებელია ისეთი რიცხვების არჩევა და, რომლებიც ერთდროულად არ არიან ნულის ტოლი, ისე, რომ ამ ამონახსნების წრფივი კომბინაცია იდენტურად უდრის ნულს, რომ არის, თუ .

თუ ასეთი რიცხვების არჩევა შეუძლებელია, მაშინ ამონახსნებს და უწოდებენ წრფივად დამოუკიდებელ (ინტერვალზე ).

ცხადია, ამონახსნები და იქნება წრფივად დამოკიდებული, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მათი თანაფარდობა მუდმივია, ანუ (ან პირიქით).

მართლაც, თუ და არიან წრფივად დამოკიდებულნი, მაშინ , სადაც სულ მცირე ერთი მუდმივი ან განსხვავდება ნულიდან. მოდით, მაგალითად,. მაშინ , , აღნიშვნა მივიღებთ , ანუ თანაფარდობა მუდმივია.

პირიქით, თუ . აქ კოეფიციენტი ზე, ანუ განსხვავდება ნულისაგან, რაც განსაზღვრებით ნიშნავს იმას და წრფივად არის დამოკიდებული.

კომენტარი.წრფივი დამოუკიდებელი ამონახსნების განსაზღვრებიდან და ზემოთ მოყვანილი მსჯელობიდან შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ თუ და არიან წრფივად დამოუკიდებელი, მაშინ მათი თანაფარდობა არ შეიძლება იყოს მუდმივი.

მაგალითად, ფუნქციები და for არის წრფივი დამოუკიდებელი, ვინაიდან , იმიტომ რომ. და აქ არის 5 ფუნქცია xდა xისინი წრფივად არიან დამოკიდებული, რადგან მათი თანაფარდობა არის .

თეორემა.თუ და არის მეორე რიგის წრფივი ერთგვაროვანი განტოლების წრფივი დამოუკიდებელი კონკრეტული ამონახსნები, მაშინ მათი წრფივი კომბინაცია, სადაც და არის თვითნებური მუდმივები, არის ამ განტოლების ზოგადი ამონახსნები.

მტკიცებულება. 1 და 2 თეორემების ძალით (და მათი დასკვნა) არის განტოლების (9) ამონახსნი მუდმივთა და .

თუ ამონახსნები და წრფივად დამოუკიდებელია, მაშინ ეს არის ზოგადი ამონახსნები, რადგან ეს ამონახსნი შეიცავს ორ თვითნებურ მუდმივებს, რომლებიც არ შეიძლება შემცირდეს ერთამდე.

ამავდროულად, მაშინაც კი, თუ ისინი სწორხაზოვნად დამოკიდებული გადაწყვეტილებები იყვნენ, ეს აღარ იქნებოდა ზოგადი ამონახსნები. ამ შემთხვევაში სადაც α - მუდმივი. მაშინ სად არის მუდმივი. არ შეიძლება იყოს მეორე რიგის დიფერენციალური განტოლების ზოგადი ამონახსნი, რადგან ის დამოკიდებულია მხოლოდ ერთ მუდმივზე.

ასე რომ, განტოლების (9) ზოგადი ამონახვა:

19. ფუნქციების წრფივი დამოუკიდებელი სისტემის ცნება. ვრონსკის განმსაზღვრელი. საკმარისი პირობა წრფივი დამოუკიდებლობისთვის. ფუნქციის ფუნდამენტური სისტემის კონცეფცია. მაგალითები. აუცილებელი და საკმარისი პირობა ვრონსკის განმსაზღვრელი ნულიდან სხვაობისთვის ინტერვალზე [a, c]

ფუნქციების ხაზოვანი დამოუკიდებელი სისტემის კონცეფცია

ფუნქციები უწოდებენ წრფივად დამოკიდებულებს, თუ რომელიმე მათგანი არის სხვების წრფივი კომბინაცია. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ფუნქციები უწოდებენ წრფივად დამოკიდებულებს, თუ არსებობს რიცხვები, რომელთაგან ერთი მაინც არ არის ნულის ტოლი, ასე რომ

თუ იდენტურობა (4) მოქმედებს მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ყველა, მაშინ ფუნქციებს უწოდებენ წრფივად დამოუკიდებელ ზე.

ამონახსნების სისტემა წრფივად დამოუკიდებელია ინტერვალზე

მე-3 რიგის ერთგვაროვან დიფერენციალურ განტოლებას უწყვეტი კოეფიციენტებით ეწოდება ამ განტოლების ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემა.

უწყვეტი კოეფიციენტებით მე-3 რიგის წრფივი ერთგვაროვანი დიფერენციალური განტოლების ამოსახსნელად, ჩვენ უნდა ვიპოვოთ ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემა.

თეორემა 1-ის მიხედვით, ამონახსნების თვითნებური წრფივი კომბინაცია, ანუ ჯამი

, (5)

სადაც არის თვითნებური რიცხვები, თავის მხრივ არის (3) განტოლების ამოხსნა . მაგრამ ირკვევა, რომ პირიქით, დიფერენციალური განტოლების (3) ნებისმიერი ამონახსნი ინტერვალზე არის მისი მითითებული (ურთიერთდამოკიდებული) კონკრეტული ამონახსნების გარკვეული წრფივი კომბინაცია (იხ. თეორემა 4 ქვემოთ), რომლებიც ქმნიან ამონახსნების ფუნდამენტურ სისტემას.

ამრიგად, ერთგვაროვანი დიფერენციალური განტოლების (3) ზოგად ამონახსნებს აქვს ფორმა (5), სადაც არის თვითნებური მუდმივები და არის კონკრეტული ამონახსნები (3), რომლებიც ქმნიან ერთგვაროვანი განტოლების ამონახსნების ფუნდამენტურ სისტემას.

გაითვალისწინეთ, რომ არაჰომოგენური განტოლების (1) ზოგადი ამონახსნი არის მისი რომელიმე კონკრეტული ამონახსნის ჯამი და ერთგვაროვანი განტოლების ზოგადი ამონახსნები.

. (6)

Ნამდვილად,

.

მეორეს მხრივ, თუ არსებობს (1) განტოლების თვითნებური ამოხსნა, მაშინ

და, შესაბამისად, არის ერთგვაროვანი განტოლების ამონახსნი; მაგრამ შემდეგ არის ისეთი რიცხვები, რომ

,

ანუ, ტოლობა (6) მოქმედებს ამ რიცხვებზე.

ვრონსკის განმსაზღვრელი.

თეორემა 2. თუ ფუნქციები ისინი წრფივად არიან დამოკიდებულნი და აქვთ წარმოებულები მე-4 რიგის, შემდეგ დეტერმინანტზე

. (7)

მე

განმსაზღვრელს (7) ეწოდება ვრონსკის განმსაზღვრელი ან ვრონსკი და აღინიშნება სიმბოლოთი .

მტკიცებულება. ფუნქციებიდან გამომდინარე წრფივად არიან დამოკიდებულნი , მაშინ არის არა ნულოვანი რიცხვები ისეთი, რომ იდენტურობა (4) ინარჩუნებს . მისი ჯერების დიფერენცირებით, ჩვენ ვიღებთ განტოლებათა სისტემას

ამ ერთგვაროვან სისტემას, ვარაუდით, აქვს არატრივიალური გადაწყვეტა (ანუ მინიმუმ ერთი) . ეს უკანასკნელი შესაძლებელია, როდესაც სისტემის განმსაზღვრელი, რომელიც არის ვრონსკის განმსაზღვრელი, იდენტურად ნულის ტოლია. თეორემა დადასტურდა.

კომენტარი. თეორემა 2 გულისხმობს, რომ თუ ერთ წერტილში მაინც, მაშინ ფუნქციები წრფივად დამოუკიდებელია.

მაგალითი 2. ფუნქციები წრფივად დამოუკიდებელია ნებისმიერზე, რადგან

.

მაგალითი 3. ფუნქციები წრფივად დამოუკიდებელია ნებისმიერ , თუ - სხვადასხვა რიცხვზე (რეალური ან რთული).

Ნამდვილად.

,

რადგან ბოლო განმსაზღვრელი არის ვანდერმონდის განმსაზღვრელი, რომელიც არ არის ნულის ტოლი სხვადასხვასთვის.

მაგალითი 4 ფუნქციები წრფივად დამოუკიდებელნი არიან ნებისმიერზე.

მას შემდეგ, რაც და

მაშინ ამ ფუნქციების წრფივი დამოუკიდებლობა გამომდინარეობს მეორე მაგალითიდან.

თეორემა 3. ამონახსნების მიზნით წრფივი დიფერენციალური ერთგვაროვანი განტოლება უწყვეტი კოეფიციენტებით წრფივად დამოუკიდებელნი არიან, აუცილებელია და საკმარისია ყველასთვის.

მტკიცებულება. 1) თუ ჩართულია, მაშინ ფუნქციები ისინი წრფივად დამოუკიდებელნი არიან, იმისდა მიუხედავად, არის თუ არა ისინი განტოლების ამონახსნები (იხ. შენიშვნა).

2) მოდით იყოს წრფივი დამოუკიდებელი ფუნქციები და იყოს განტოლების ამონახსნები.

მოდით დავამტკიცოთ ეს ყველგან. დავუშვათ პირიქით, რომ არსებობს წერტილი, სადაც . ჩვენ ვირჩევთ რიცხვებს, რომლებიც ერთდროულად არ არიან ნულის ტოლი, რათა ისინი სისტემის ამონახსნები იყოს

(8)

ეს შეიძლება გაკეთდეს, რადგან სისტემის (8) განმსაზღვრელი არის . შემდეგ, თეორემა 1-ის ძალით, ფუნქცია იქნება ნულოვანი საწყისი პირობების მქონე განტოლების ამონახსნი (8-ით)

მაგრამ ტრივიალური გადაწყვეტა ასევე აკმაყოფილებს იმავე პირობებს. არსებობისა და უნიკალურობის თეორემის ძალით, შეიძლება არსებობდეს მხოლოდ ერთი გამოსავალი, რომელიც აკმაყოფილებს ამ საწყის პირობებს; ამიტომ, ზე, ანუ ფუნქციები წრფივად არის დამოკიდებული იმაზე, რაც არ იყო ნავარაუდევი. თეორემა დადასტურდა.

თუ არის წყვეტილი ფუნქციები იმ ინტერვალში, სადაც ჩვენ ვეძებთ ამონახსანს, მაშინ განტოლებას შეიძლება ჰქონდეს ერთზე მეტი ამონახსნი, რომელიც აკმაყოფილებს საწყის პირობებს და შემდეგ შესაძლებელია, რომ on.

მაგალითი 5. ფუნქციების შემოწმება ადვილია

არიან წრფივი დამოუკიდებელნი და მათთვის .

ეს არის იმის გამო, რომ ფუნქცია არის განტოლების ზოგადი ამონახსნი

,

სად წერტილში უწყვეტი. ამ განტოლებისთვის არსებობისა და უნიკალურობის თეორემა არ მოქმედებს (წერტილის სამეზობლოში). არა მხოლოდ ფუნქცია , არამედ ფუნქცია არის დიფერენციალური განტოლების ამონახსნი , რომელიც აკმაყოფილებს პირობებს და .

ზოგადი გადაწყვეტის სტრუქტურა.

მე ndex.Direct ყველა განცხადება განტოლებების ონლაინ ამოხსნა! კალკულატორი LoviOtvet - ამოხსენით განტოლებები ერთი დაწკაპუნებით! ჩამოტვირთეთ უფასოდ!loviotvet.ru ვინ არის იესო როგორ გავარკვიოთ ვინ არის სინამდვილეში იესო ქრისტე?godlovesrussia.com

თეორემა 4. თუ - წრფივად დამოუკიდებელი -მე რიგის წრფივი ერთგვაროვანი დიფერენციალური განტოლების ამონახსნები უწყვეტი კოეფიციენტებით , შემდეგ ფუნქცია

, (9)

სადაც არის თვითნებური მუდმივები, არის განტოლების ზოგადი ამონახსნი, ანუ ჯამი (9) ნებისმიერისთვის, არის ამ განტოლების ამონახსნი და, პირიქით, ამ განტოლების ნებისმიერი ამონახსნი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ჯამის სახით (9) შესაბამისი მნიშვნელობებისთვის. დან .

მტკიცებულება. ჩვენ უკვე ვიცით, რომ ჯამი (9) ნებისმიერისთვის არის განტოლების ამონახსნი. მოდით, პირიქით, იყოს ამ განტოლების თვითნებური ამოხსნა. დავაყენოთ

მიღებული ნომრებისთვის ჩვენ შევადგენთ განტოლებათა წრფივ სისტემას უცნობი რიცხვებისთვის: საკმარისია ვიპოვოთ რამდენიმე რეალური მუდმივი. განტოლების (8) ზოგადი ამოხსნის საპოვნელად ვაგრძელებთ შემდეგნაირად. ჩვენ ვადგენთ დამახასიათებელ განტოლებას (8) განტოლებისთვის: . საწყისი პირობების გამოყენებით, ჩვენ განვსაზღვრავთ

განვიხილოთ წრფივი დიფერენციალური განტოლება ნ- ბრძანება

წ (ნ) + a n -1 (x)წ (ნ- 1) + ... + ა 1 (x)წ" + ა 0 (x)წ = ვ(x).

უწყვეტი კოეფიციენტებით a n -1 (x), a n -2 (x), ..., ა 1 (x), ა 0 (x) და უწყვეტი მარჯვენა მხარე ვ(x).

სუპერპოზიციის პრინციპიშემდეგზე დაყრდნობით წრფივი დიფერენციალური განტოლებების ამონახსნების თვისებები.

1. თუ წ 1 (x) და წ 2 (x) არის წრფივი ერთგვაროვანი დიფერენციალური განტოლების ორი ამონახსნი

წ (ნ) + a n -1 (x)წ (ნ- 1) + ... + ა 1 (x)წ" + ა 0 (x)წ = 0

მაშინ მათი ნებისმიერი წრფივი კომბინაცია წ(x) = C 1 წ 1 (x) + C 2 წ 2 (x) არის ამ ერთგვაროვანი განტოლების ამონახსნი.

2. თუ წ 1 (x) და წ 2 (x) არის წრფივი არაერთგვაროვანი განტოლების ორი ამონახსნი ლ(წ) = ვ(x), შემდეგ მათი განსხვავება წ(x) = წ 1 (x) − წ 2 (x) არის ერთგვაროვანი განტოლების ამონახსნი ლ(წ) = 0 .

3. არაერთგვაროვანი წრფივი განტოლების ნებისმიერი ამონახსნი ლ(წ) = ვ(x) არის არაერთგვაროვანი განტოლების ნებისმიერი ფიქსირებული (განსაკუთრებული) ამოხსნის და ერთგვაროვანი განტოლების ზოგიერთი ამოხსნის ჯამი.

4. თუ წ 1 (x) და წ 2 (x) - წრფივი არაერთგვაროვანი განტოლებების ამონახსნები ლ(წ) = ვ 1 (x) და ლ(წ) = ვ 2 (x) შესაბამისად, შემდეგ მათი ჯამი წ(x) =წ 1 (x) + წ 2 (x) არის არაჰომოგენური განტოლების ამონახსნი ლ(წ) = ვ 1 (x) + ვ 2 (x).

ამ ბოლო განცხადებას ჩვეულებრივ უწოდებენ სუპერპოზიციის პრინციპი.

მუდმივი ვარიაციის მეთოდი

განვიხილოთ -მე რიგის არაერთგვაროვანი განტოლება

სადაც კოეფიციენტებს და მარჯვენა მხარეს მოცემულია უწყვეტი ფუნქციები ინტერვალზე .

დავუშვათ, რომ ჩვენ ვიცით გადაწყვეტილებების ფუნდამენტური სისტემა შესაბამისი ერთგვაროვანი განტოლება

როგორც § 1.15-ში ვაჩვენეთ (ფორმულა (6)), (1) განტოლების ზოგადი ამონახსნები უდრის (2) განტოლების ზოგადი ამონახსნის ჯამს და (1) განტოლების ნებისმიერი ამონახსნის.

არაჰომოგენური განტოლების (1) ამონახსნი შეიძლება იყოს

განუსაზღვრელ ინტეგრალში ცვლადის ცვლილება გამოიყენება ინტეგრალების მოსაძებნად, რომლებშიც ერთ-ერთი ფუნქცია სხვა ფუნქციის წარმოებულია. მოდით იყოს $ \int f(x) dx $ ინტეგრალი, მოდით შევცვალოთ $ x=\phi(t) $. გაითვალისწინეთ, რომ ფუნქცია $ \phi(t) $ დიფერენცირებადია, ამიტომ $ dx = \phi"(t) dt $ შეიძლება მოიძებნოს.

ახლა ჩვენ შევცვლით $ \begin(vmatrix) x = \phi(t) \\ dx = \phi"(t) dt \end(vmatrix) $ ინტეგრალში და მივიღებთ:

$$ \int f(x) dx = \int f(\phi(t)) \cdot \phi"(t) dt $$

ეს არის ცვლადის ცვლილების ფორმულა განუსაზღვრელი ინტეგრალში.

ცვლადის ჩანაცვლების მეთოდის ალგორითმი

ამრიგად, თუ პრობლემაში მოცემულია ფორმის ინტეგრალი: $$ \int f(\phi(x)) \cdot \phi"(x) dx $$ მიზანშეწონილია ცვლადის შეცვლა ახლით: $ $ t = \phi(x) $ $ $$ dt = \phi"(t) dt $$

ამის შემდეგ, ინტეგრალი წარმოდგენილი იქნება მარტივი სახით ინტეგრაციის ძირითადი მეთოდებით: $$ \int f(\phi(x)) \cdot \phi"(x) dx = \int f(t) dt $$

ასევე არ დაგავიწყდეთ შეცვლილი ცვლადის დაბრუნება $x$-ზე.

გადაწყვეტის მაგალითები

მაგალითი 1

იპოვეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი ცვლადის მეთოდის შეცვლით: $$ \int e^(3x) dx $$

გამოსავალი

ჩვენ ვცვლით ცვლადს ინტეგრალში $ t = 3x, dt = 3dx $: $$ \int e^(3x) dx = \int e^t \frac(dt)(3) = \frac(1)(3) \int e^t dt = $$ ექსპონენციალური ინტეგრალი კვლავ იგივეა ინტეგრაციის ცხრილის მიხედვით, თუმცა $ t $ იწერება $ x $-ის ნაცვლად: $$ = \frac(1)(3) e^t + C = \frac(1)(3) e^(3x) + C $$ თუ ვერ გადაჭრით პრობლემას, გამოგვიგზავნეთ. ჩვენ მოგაწვდით დეტალურ გადაწყვეტას. თქვენ შეძლებთ გაეცნოთ გაანგარიშების მიმდინარეობას და შეაგროვოთ ინფორმაცია. ეს დაგეხმარებათ მასწავლებლისგან დროულად მიიღოთ კრედიტი!

უპასუხე

$$ \int e^(3x) dx = \frac(1)(3) e^(3x) + C $$

ინტეგრაცია ჩანაცვლებით (ცვლადის შეცვლა). დაე, საჭირო გახდეს ინტეგრალის გამოთვლა, რომელიც არ არის ცხრილი. ჩანაცვლების მეთოდის არსი ის არის, რომ ინტეგრალში x ცვლადი იცვლება t ცვლადით x \u003d q (t) ფორმულის მიხედვით, საიდანაც dx \u003d q "(t) dt.

თეორემა. დაე, ფუნქცია x=u(t) იყოს განსაზღვრული და დიფერენცირებადი რომელიმე T სიმრავლეზე და მოდით X იყოს ამ ფუნქციის მნიშვნელობების სიმრავლე, რომელზეც არის განსაზღვრული ფუნქცია f(x). მაშინ თუ X სიმრავლეში f(x) ფუნქციას აქვს ანტიწარმოებული, მაშინ T სიმრავლეში ფორმულა მართალია:

ფორმულა (1) ეწოდება ცვლადის ფორმულის ცვლილებას განუსაზღვრელ ინტეგრალში.

ინტეგრაცია ნაწილების მიხედვით. ნაწილებით ინტეგრაციის მეთოდი გამომდინარეობს ორი ფუნქციის პროდუქტის დიფერენციალური ფორმულიდან. მოდით, u(x) და v(x) იყოს x-ის ორი დიფერენცირებადი ფუნქცია. შემდეგ:

d(uv)=udv+vdu. - (3)

თანასწორობის (3) ორივე ნაწილის ინტეგრირებით, მივიღებთ:

მაგრამ მას შემდეგ:

მიმართებას (4) ეწოდება ინტეგრაციის ნაწილების ფორმულა. ამ ფორმულის გამოყენებით იპოვნეთ ინტეგრალი. მისი გამოყენება მიზანშეწონილია, როდესაც (4) ფორმულის მარჯვენა მხარეს ინტეგრალი უფრო ადვილი გამოსათვლელია, ვიდრე ორიგინალი.

ფორმულაში (4) არ არსებობს თვითნებური მუდმივა C, რადგან ამ ფორმულის მარჯვენა მხარე შეიცავს განუსაზღვრელ ინტეგრალს, რომელიც შეიცავს თვითნებურ მუდმივას.

წარმოგიდგენთ ინტეგრალების რამდენიმე საერთო ტიპს, რომლებიც გამოითვლება ნაწილებით ინტეგრაციის მეთოდით.

I. ფორმის ინტეგრალები, (P n (x) არის n ხარისხის მრავალწევრი, k არის რაღაც რიცხვი). ამ ინტეგრალების საპოვნელად საკმარისია ჩასვათ u=P n (x) და გამოიყენოთ ფორმულა (4) n-ჯერ.

II. ფორმის ინტეგრალები, (Pn(x) არის n ხარისხის მრავალწევრი x მიმართ). ისინი შეიძლება მოიძებნოს ხშირი პირობით, აიღეთ ფუნქცია, რომელიც არის ფაქტორი P n (x).

ცვლადის ცვლილების დახმარებით შეგიძლიათ გამოთვალოთ მარტივი ინტეგრალები და, ზოგიერთ შემთხვევაში, გაამარტივოთ უფრო რთულის გამოთვლა.

ცვლადის ჩანაცვლების მეთოდი არის ის, რომ ჩვენ გადავდივართ თავდაპირველი ინტეგრაციის ცვლადიდან, მოდით იყოს x, სხვა ცვლადზე, რომელსაც აღვნიშნავთ როგორც t. ამავდროულად, ჩვენ ვვარაუდობთ, რომ x და t ცვლადები დაკავშირებულია x = x-ით (ტ), ან t = t (x). მაგალითად x = ჟურნალი ტ, x = ცოდვა თ, t = 2 x + 1, და ასე შემდეგ. ჩვენი ამოცანაა ავირჩიოთ ისეთი კავშირი x-სა და t-ს შორის ისე, რომ თავდაპირველი ინტეგრალი ან შემცირდეს ცხრილამდე ან გამარტივდეს.

ძირითადი ცვლადის ცვლილების ფორმულა

განვიხილოთ გამოხატულება, რომელიც არის ინტეგრალური ნიშნის ქვეშ. იგი შედგება ინტეგრანის ნამრავლისაგან, რომელსაც აღვნიშნავთ როგორც f (x)და დიფერენციალური dx : . მოდით გადავიდეთ ახალ t ცვლადზე x = x მიმართების არჩევით (ტ). მაშინ უნდა გამოვხატოთ ფუნქცია f (x)და დიფერენციალური dx t ცვლადის მიხედვით.

ინტეგრადის გამოსახატავად ვ (x) t ცვლადის მეშვეობით, თქვენ უბრალოდ უნდა ჩაანაცვლოთ არჩეული თანაფარდობა x = x ცვლადის x-ის ნაცვლად (ტ).

დიფერენციალური ტრანსფორმაცია ხდება შემდეგნაირად:
.
ანუ დიფერენციალური dx ტოლია x-ის წარმოებულის ნამრავლის t და დიფერენციალური dt-ის მიმართ.

მერე
.

პრაქტიკაში, ყველაზე გავრცელებული შემთხვევაა, როდესაც ჩანაცვლებას ვასრულებთ ახალი ცვლადის არჩევით, როგორც ძველის ფუნქცია: t = t. (x). თუ გამოვიცნობდით, რომ ინტეგრანტი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც
,
სად ტ (x)არის t-ის წარმოებული x-ის მიმართ, მაშინ
.

ამრიგად, ცვლადის ცვლილების ძირითადი ფორმულა შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ორი ფორმით.
(1) ,
სადაც x არის t-ის ფუნქცია.
(2) ,
სადაც t არის x-ის ფუნქცია.

Მნიშვნელოვანი ჩანაწერი

ინტეგრალების ცხრილებში ინტეგრაციის ცვლადი ყველაზე ხშირად აღინიშნება როგორც x. თუმცა, გასათვალისწინებელია, რომ ინტეგრაციის ცვლადი შეიძლება აღინიშნოს ნებისმიერი ასოთი. უფრო მეტიც, ნებისმიერი გამოხატულება შეიძლება გამოყენებულ იქნას როგორც ინტეგრაციის ცვლადი.

მაგალითად, განიხილეთ ცხრილი ინტეგრალური
.

აქ x შეიძლება შეიცვალოს ნებისმიერი სხვა ცვლადით ან ცვლადის ფუნქციით. აქ მოცემულია შესაძლო ვარიანტების მაგალითები:
;
;
.

ბოლო მაგალითში უნდა გაითვალისწინოთ, რომ ინტეგრაციის x ცვლადზე გადასვლისას დიფერენციალი შემდეგნაირად გარდაიქმნება:
.
მერე
.

ეს მაგალითი არის ჩანაცვლებითი ინტეგრაციის არსი. ანუ ეს უნდა გამოვიცნოთ
.
ამის შემდეგ, ინტეგრალი მცირდება ცხრილამდე.
.

თქვენ შეგიძლიათ შეაფასოთ ეს ინტეგრალი ცვლადის ცვლილების გამოყენებით, ფორმულის გამოყენებით (2) . მოდით t = x 2+x. მერე
;
;

.

ცვლადის ცვლილებით ინტეგრაციის მაგალითები

1) ჩვენ ვიანგარიშებთ ინტეგრალს
.
ჩვენ ამას ვამჩნევთ (sin x)′ = cos x. მერე

.
აქ ჩვენ გამოვიყენეთ ჩანაცვლება t = ცოდვა x.

2) ჩვენ ვიანგარიშებთ ინტეგრალს
.
ჩვენ ამას ვამჩნევთ. მერე

.
აქ ჩვენ შევასრულეთ ინტეგრაცია t = ცვლადის შეცვლით arctg x.

3) მოდით ინტეგრირება
.
ჩვენ ამას ვამჩნევთ. მერე

. აქ, ინტეგრაციის დროს, იცვლება t = x ცვლადი 2 + 1 .

ხაზოვანი ჩანაცვლებები

ალბათ ყველაზე გავრცელებული არის ხაზოვანი ჩანაცვლება. ეს არის ფორმის ცვლადის ჩანაცვლება
t = ცული + ბ
სადაც a და b მუდმივებია. ასეთი ცვლილებისას, დიფერენციაციები დაკავშირებულია მიმართებით
.

ხაზოვანი ჩანაცვლებით ინტეგრაციის მაგალითები

ა)გამოთვალეთ ინტეგრალი
.
გამოსავალი.
.

ბ)იპოვნეთ ინტეგრალი
.
გამოსავალი.
გამოვიყენოთ ექსპონენციალური ფუნქციის თვისებები.
.
2-ში- მუდმივია. ჩვენ ვიანგარიშებთ ინტეგრალს.

.

გ)გამოთვალეთ ინტეგრალი
.
გამოსავალი.
წილადის მნიშვნელში კვადრატულ მრავალწევრს მივყავართ კვადრატების ჯამამდე.
.
ჩვენ ვიანგარიშებთ ინტეგრალს.

.

დ)იპოვნეთ ინტეგრალი
.
გამოსავალი.
ჩვენ გარდაქმნით მრავალწევრს ფესვის ქვეშ.

.
ჩვენ ვაერთიანებთ ცვლადის მეთოდის ცვლილების გამოყენებით.

.
ჩვენ ადრე მივიღეთ ფორმულა
.
აქედან
.
ამ გამოთქმის ჩანაცვლებით მივიღებთ საბოლოო პასუხს.

ე)გამოთვალეთ ინტეგრალი
.
გამოსავალი.
გამოიყენეთ ფორმულა სინუსის და კოსინუსის პროდუქტისთვის.
;
.
ჩვენ ვაერთიანებთ და ვაკეთებთ ჩანაცვლებებს.


.

ცნობები:
ნ.მ. გიუნტერი, რ.ო. კუზმინი, პრობლემების კრებული უმაღლეს მათემატიკაში, ლან, 2003 წ.

ამ გაკვეთილზე გავეცნობით ერთ-ერთ ყველაზე მნიშვნელოვან და ყველაზე გავრცელებულ ხრიკს, რომელიც გამოიყენება განუსაზღვრელი ინტეგრალების ამოხსნისას - ცვლადის მეთოდის შეცვლა. მასალის წარმატებით ათვისებისთვის საჭიროა საწყისი ცოდნა და ინტეგრაციის უნარები. თუ ინტეგრალურ გამოთვლებში იგრძნობა ცარიელი სავსე ჩაიდანი, მაშინ ჯერ უნდა წაიკითხოთ მასალა, სადაც ხელმისაწვდომი სახით ავხსენი რა არის ინტეგრალი და დეტალურად გავაანალიზე დამწყებთათვის ძირითადი მაგალითები.

ტექნიკურად, განუსაზღვრელი ინტეგრალში ცვლადის შეცვლის მეთოდი ხორციელდება ორი გზით:

– ფუნქციის მოყვანა დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ;
– ცვლადის რეალური ცვლილება.

სინამდვილეში, ეს იგივეა, მაგრამ გადაწყვეტის დიზაინი განსხვავებულია.

დავიწყოთ უფრო მარტივი შემთხვევით.

ფუნქციის მოყვანა დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ

გაკვეთილზე განუსაზღვრელი ინტეგრალი. გადაწყვეტის მაგალითებიჩვენ ვისწავლეთ დიფერენციალის გახსნა, მახსოვს ის მაგალითი, რომელიც მოვიყვანე:

ანუ დიფერენციალის გახსნა ფორმალურად თითქმის იგივეა, რაც წარმოებულის პოვნა.

მაგალითი 1

შეასრულეთ შემოწმება.

ჩვენ ვუყურებთ ინტეგრალების ცხრილს და ვპოულობთ მსგავს ფორმულას: . მაგრამ პრობლემა ის არის, რომ სინუსის ქვეშ გვაქვს არა მხოლოდ ასო "x", არამედ რთული გამოხატულება. Რა უნდა ვქნა?

ფუნქციას ვატარებთ დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ:

დიფერენციალის გაფართოებისას ადვილია იმის შემოწმება, რომ:

ფაქტობრივად და არის იგივე ჩანაწერი.

მაგრამ, მიუხედავად ამისა, რჩება კითხვა, როგორ მივედით იმ აზრამდე, რომ პირველ ეტაპზე ჩვენი ინტეგრალი ზუსტად ასე უნდა დავწეროთ: ? რატომ ასე და არა სხვაგვარად?

ფორმულა (და ყველა სხვა ცხრილის ფორმულა) მოქმედებს და გამოიყენება არა მხოლოდ ცვლადისთვის, არამედ ნებისმიერი რთული გამოსახულებისთვის მხოლოდ ფუნქციის არგუმენტი(- ჩვენს მაგალითში) და გამოხატვა დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ იყო ᲘᲒᲘᲕᲔ .

მაშასადამე, ამოხსნისას გონებრივი მსჯელობა ასეთი უნდა იყოს: „ინტეგრალის ამოხსნა მჭირდება. მაგიდას დავხედე და მსგავსი ფორმულა აღმოვაჩინე . მაგრამ მე მაქვს რთული არგუმენტი და არ შემიძლია დაუყოვნებლივ გამოვიყენო ფორმულა. თუმცა, თუ მოვახერხებ დიფერენციალის ნიშნის ქვეშ მოხვედრას, მაშინ ყველაფერი კარგად იქნება. თუ დავწერ , მაშინ . მაგრამ თავდაპირველ ინტეგრალში არ არის სამმაგი ფაქტორი, ამიტომ, იმისათვის, რომ ინტეგრანტი არ შეიცვალოს, მე უნდა გავამრავლო იგი "-ზე. დაახლოებით ასეთი გონებრივი მსჯელობის დროს იბადება ჩანაწერი:

ახლა შეგიძლიათ გამოიყენოთ ელცხრილი :

მზადაა

ერთადერთი განსხვავება ისაა, რომ ჩვენ არ გვაქვს ასო "x", არამედ რთული გამოხატულება.

მოდით შევამოწმოთ. გახსენით წარმოებულების ცხრილი და განასხვავეთ პასუხი:

მიღებულია თავდაპირველი ინტეგრანი, რაც ნიშნავს, რომ ინტეგრალი სწორად იქნა ნაპოვნი.

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ გადამოწმებისას გამოვიყენეთ რთული ფუნქციის დიფერენციაციის წესი . ფაქტობრივად, ფუნქციის მოყვანა დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ და არის ორი ურთიერთშებრუნებული წესი.

მაგალითი 2

ჩვენ ვაანალიზებთ ინტეგრანდულ ფუნქციას. აქ გვაქვს წილადი, ხოლო მნიშვნელი არის წრფივი ფუნქცია (პირველ ხარისხში "x"-ით). ჩვენ ვუყურებთ ინტეგრალების ცხრილში და ვპოულობთ ყველაზე მსგავსს: .

ფუნქციას ვატარებთ დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ:

მათ, ვისაც უჭირს დაუყოვნებლივ გაერკვია, რომელ წილადზე გამრავლდეს, შეუძლიათ სწრაფად გამოავლინონ დიფერენციალი მონახაზზე:. ჰო, გამოდის, რომ არაფერი შეიცვალოს, ინტეგრალი უნდა გავამრავლო .
შემდეგი, ჩვენ ვიყენებთ ცხრილების ფორმულას :

გამოცდა:


მიღებულია თავდაპირველი ინტეგრანი, რაც ნიშნავს, რომ ინტეგრალი სწორად იქნა ნაპოვნი.

მაგალითი 3

იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი. შეასრულეთ შემოწმება.

მაგალითი 4

იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი. შეასრულეთ შემოწმება.

ეს არის საკუთარი თავის მაგალითი. უპასუხეთ გაკვეთილის ბოლოს.

ინტეგრალების ამოხსნის გარკვეული გამოცდილებით, ასეთი მაგალითები მარტივი მოგეჩვენებათ და თხილივით გაიბზარება:

ამ აბზაცის დასასრულს, მე ასევე მინდა შევჩერდე „თავისუფალ“ შემთხვევაზე, როდესაც ცვლადი შედის წრფივ ფუნქციაში ერთეულის კოეფიციენტით, მაგალითად:

მკაცრად რომ ვთქვათ, გამოსავალი ასე უნდა გამოიყურებოდეს:

როგორც ხედავთ, დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ ფუნქციის მოყვანა „უმტკივნეულოდ“ მიმდინარეობდა, ყოველგვარი გამრავლების გარეშე. ამიტომ, პრაქტიკაში, ასეთი გრძელი გადაწყვეტა ხშირად უგულებელყოფილია და დაუყოვნებლივ იწერება როგორც . მაგრამ მზად იყავით, საჭიროების შემთხვევაში, აუხსნათ მასწავლებელს, თუ როგორ გადაწყვიტეთ! ვინაიდან ცხრილში საერთოდ არ არის ინტეგრალი.

ცვლადი ცვლილების მეთოდი განუსაზღვრელი ინტეგრალში

ჩვენ მივმართავთ ზოგადი შემთხვევის განხილვას - განუსაზღვრელი ინტეგრალში ცვლადების შეცვლის მეთოდს.

მაგალითი 5

იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი.

მაგალითად ავიღე ინტეგრალი, რომელიც გაკვეთილის დასაწყისშივე განვიხილეთ. როგორც უკვე ვთქვით, ინტეგრალის ამოსახსნელად მოგვეწონა ცხრილის ფორმულა , და მე მინდა შევამცირო ყველაფერი მასზე.

ჩანაცვლების მეთოდის იდეა არის შეცვალეთ რთული გამოხატულება (ან რაიმე ფუნქცია) ერთი ასოთი.
ამ შემთხვევაში ის ითხოვს:
მეორე ყველაზე პოპულარული შემცვლელი წერილი არის წერილი.
პრინციპში, შეგიძლიათ გამოიყენოთ სხვა ასოები, მაგრამ ჩვენ მაინც ვიცავთ ტრადიციებს.

Ისე:
მაგრამ როდესაც ჩანაცვლება, ჩვენ დავტოვეთ! ალბათ, ბევრმა გამოიცნო, რომ თუ ახალ ცვლადზე გადასვლა ხდება, მაშინ ახალ ინტეგრალში ყველაფერი ასოებით უნდა იყოს გამოხატული და დიფერენციალისთვის ადგილი საერთოდ არ არის.
ეს ლოგიკურ დასკვნას მოჰყვება, რომ ეს აუცილებელია გადაიქცევა რაღაც გამოხატულებად, რომელიც დამოკიდებულია მხოლოდ.

მოქმედება შემდეგია. მას შემდეგ, რაც ჩვენ შევარჩიეთ ჩანაცვლება, ამ მაგალითში, ჩვენ უნდა ვიპოვოთ დიფერენციალი. განსხვავებებით, ვფიქრობ, მეგობრობა უკვე დამყარდა ყველასთვის.

Მას შემდეგ

დიფერენციალთან შეხვედრის შემდეგ, გირჩევთ გადაწეროთ საბოლოო შედეგი რაც შეიძლება მოკლედ:
ახლა, პროპორციის წესების მიხედვით, ჩვენ გამოვხატავთ იმას, რაც გვჭირდება:

საბოლოოდ:
ამრიგად:

და ეს არის ყველაზე ცხრილი ინტეგრალი (ინტეგრალების ცხრილი, რა თქმა უნდა, ასევე მოქმედებს ცვლადზე).

დასასრულს, რჩება საპირისპირო ჩანაცვლების განხორციელება. ჩვენ ეს გვახსოვს.

მზადაა.

ამ მაგალითის საბოლოო დიზაინი ასე უნდა გამოიყურებოდეს:

“

შევცვალოთ:

“

ხატს არავითარი მათემატიკური მნიშვნელობა არ აქვს, ეს ნიშნავს, რომ შუალედური ახსნა-განმარტებების ამოხსნა შევწყვიტეთ.

რვეულში მაგალითის გაკეთებისას უმჯობესია, საპირისპირო ჩანაცვლება მარტივი ფანქრით გადაიწეროთ.

ყურადღება!შემდეგ მაგალითებში, დიფერენციალის პოვნა დეტალურად არ იქნება აღწერილი.

და ახლა დროა გავიხსენოთ პირველი გამოსავალი:

Რა არის განსხვავება? ფუნდამენტური განსხვავება არ არის. ფაქტიურად იგივეა. მაგრამ დავალების დიზაინის თვალსაზრისით, ფუნქციის დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ მოყვანის მეთოდი გაცილებით მოკლეა..

ჩნდება კითხვა. თუ პირველი გზა უფრო მოკლეა, მაშინ რატომ გამოვიყენოთ ჩანაცვლების მეთოდი? ფაქტია, რომ მთელი რიგი ინტეგრალებისთვის არც ისე ადვილია ფუნქციის „მორგება“ დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ.

მაგალითი 6

იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი.

მოდით შევცვალოთ: (აქ სხვა შემცვლელის მოფიქრება რთულია)

როგორც ხედავთ, ჩანაცვლების შედეგად, ორიგინალური ინტეგრალი მნიშვნელოვნად გამარტივდა - შემცირდა ჩვეულებრივ დენის ფუნქციამდე. ეს არის ჩანაცვლების მიზანი - ინტეგრალის გამარტივება.

ზარმაცი მოწინავე ადამიანებს შეუძლიათ მარტივად ამოხსნან ეს ინტეგრალი ფუნქციის დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ მოყვანით:

სხვა საქმეა, რომ ასეთი გამოსავალი ყველა სტუდენტისთვის არ არის აშკარა. გარდა ამისა, უკვე ამ მაგალითში გამოიყენება დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ ფუნქციის მოყვანის მეთოდი მნიშვნელოვნად ზრდის გადაწყვეტილებაში დაბნეულობის რისკს.

მაგალითი 7

იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი. შეასრულეთ შემოწმება.

მაგალითი 8

იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი.

ჩანაცვლება:
რა იქნება, გასარკვევია

კარგი, გამოვხატეთ, მაგრამ რა ვუყოთ მრიცხველში დარჩენილი „X“?!
დროდადრო ინტეგრალების ამოხსნისას ჩნდება შემდეგი ხრიკი: გამოვხატავთ იგივე ჩანაცვლებიდან!

მაგალითი 9

იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი.

ეს არის საკუთარი თავის მაგალითი. უპასუხეთ გაკვეთილის ბოლოს.

მაგალითი 10

იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი.

რა თქმა უნდა, ზოგიერთმა შენიშნა, რომ ჩემს საცნობარო ცხრილში არ არის ცვლადის ჩანაცვლების წესი. ეს გაკეთდა შეგნებულად. ეს წესი აღრეული იქნება ახსნასა და გაგებაში, რადგან ის აშკარად არ ჩანს ზემოთ მოცემულ მაგალითებში.

დროა ვისაუბროთ ცვლადის ჩანაცვლების მეთოდის გამოყენების ძირითად წინაპირობაზე: ინტეგრანტი უნდა შეიცავდეს გარკვეულ ფუნქციას და მის წარმოებულს:(ფუნქციები შეიძლება არ იყოს პროდუქტში)

ამასთან დაკავშირებით, ინტეგრალების პოვნისას ხშირად უნდა ჩახედოთ წარმოებულების ცხრილს.

ამ მაგალითში შევნიშნავთ, რომ მრიცხველის ხარისხი ერთით ნაკლებია მნიშვნელის ხარისხზე. წარმოებულების ცხრილში ვპოულობთ ფორმულას, რომელიც უბრალოდ ამცირებს ხარისხს ერთით. და, მაშასადამე, თუ თქვენ დანიშნავთ მნიშვნელს, მაშინ დიდი შანსია, რომ მრიცხველი გადაიქცევა რაიმე კარგად.