თავიმე. შემთხვევითი მოვლენები. ალბათობა

1.1. კანონზომიერება და შემთხვევითობა, შემთხვევითი ცვალებადობა ზუსტ მეცნიერებებში, ბიოლოგიასა და მედიცინაში

ალბათობის თეორია არის მათემატიკის ფილიალი, რომელიც სწავლობს შაბლონებს შემთხვევით მოვლენებში. შემთხვევითი ფენომენი არის ფენომენი, რომელიც, ერთი და იგივე გამოცდილების განმეორებით რეპროდუცირებით, შეიძლება ყოველ ჯერზე ოდნავ განსხვავებული გზით მიმდინარეობდეს.

ცხადია, ბუნებაში არ არსებობს არც ერთი ფენომენი, რომელშიც შემთხვევითობის ელემენტები ამა თუ იმ ხარისხით არ არსებობდეს, მაგრამ სხვადასხვა სიტუაციებში მათ სხვადასხვანაირად ვითვალისწინებთ. ასე რომ, მთელ რიგ პრაქტიკულ პრობლემებში შეიძლება მათი უგულებელყოფა და რეალური ფენომენის ნაცვლად, მისი გამარტივებული სქემა - „მოდელი“ ჩაითვალოს, იმ ვარაუდით, რომ მოცემულ ექსპერიმენტულ პირობებში ფენომენი მიმდინარეობს სრულიად განსაზღვრული გზით. ამასთან, გამოიყოფა ფენომენის დამახასიათებელი ყველაზე მნიშვნელოვანი, გადამწყვეტი ფაქტორები. ფენომენების შესწავლის ეს სქემა ყველაზე ხშირად გამოიყენება ფიზიკაში, ტექნოლოგიასა და მექანიკაში; ასე ვლინდება მთავარი ნიმუში , მოცემული ფენომენისთვის დამახასიათებელი და შესაძლებელს ხდის ექსპერიმენტის შედეგის წინასწარმეტყველებას მოცემული საწყისი პირობების მიხედვით. და შემთხვევითი, მეორადი, ფაქტორების გავლენა ექსპერიმენტის შედეგზე აქ გათვალისწინებულია შემთხვევითი გაზომვის შეცდომებით (ქვემოთ განვიხილავთ მათი გამოთვლის მეთოდს).

თუმცა, ეგრეთ წოდებული ზუსტი მეცნიერებების აღწერილი კლასიკური სქემა ცუდად არის ადაპტირებული მრავალი პრობლემის გადასაჭრელად, რომლებშიც შესამჩნევი (ხშირად გადამწყვეტი) როლს თამაშობს მრავალი, მჭიდროდ გადახლართული შემთხვევითი ფაქტორი. აქ ფენომენის შემთხვევითი ბუნება გამოდის წინა პლანზე, რომლის უგულებელყოფა აღარ შეიძლება. ეს ფენომენი ზუსტად უნდა იქნას შესწავლილი მასში თანდაყოლილი კანონების, როგორც შემთხვევითი ფენომენის თვალსაზრისით. ფიზიკაში ასეთი ფენომენების მაგალითებია ბრაუნის მოძრაობა, რადიოაქტიური დაშლა, რიგი კვანტური მექანიკური პროცესები და ა.შ.

ბიოლოგებისა და ექიმების შესწავლის საგანია ცოცხალი ორგანიზმი, რომლის წარმოშობა, განვითარება და არსებობა განისაზღვრება ძალიან ბევრი და მრავალფეროვანი, ხშირად შემთხვევითი გარეგანი და შინაგანი ფაქტორებით. ამიტომ ცოცხალი სამყაროს ფენომენები და მოვლენებიც უმეტესწილად შემთხვევითი ხასიათისაა.

შემთხვევითი ფენომენების თანდაყოლილი გაურკვევლობის, სირთულის, მრავალმიზეზობრიობის ელემენტები მოითხოვს ამ ფენომენების შესასწავლად სპეციალური მათემატიკური მეთოდების შექმნას. ასეთი მეთოდების შემუშავება, შემთხვევითი ფენომენებისთვის დამახასიათებელი სპეციფიკური შაბლონების ჩამოყალიბება ალბათობის თეორიის მთავარი ამოცანებია. დამახასიათებელია, რომ ეს კანონზომიერებები სრულდება მხოლოდ მაშინ, როდესაც შემთხვევითი მოვლენები მასიურია. უფრო მეტიც, ცალკეული შემთხვევების ინდივიდუალური მახასიათებლები, როგორც ეს იყო, ანადგურებს ერთმანეთს და შემთხვევითი ფენომენების მასის საშუალო შედეგი აღმოჩნდება არა შემთხვევითი, არამედ საკმაოდ ბუნებრივი. . დიდწილად ეს გარემოება იყო ბიოლოგიასა და მედიცინაში ალბათური კვლევის მეთოდების ფართოდ გამოყენების მიზეზი.

განვიხილოთ ალბათობის თეორიის ძირითადი ცნებები.

1.2. შემთხვევითი მოვლენის ალბათობა

თითოეული მეცნიერება, რომელიც ავითარებს ფენომენთა გარკვეული დიაპაზონის ზოგად თეორიას, ეფუძნება უამრავ ძირითად კონცეფციას. მაგალითად, გეომეტრიაში ეს არის წერტილის, სწორი ხაზის ცნებები; მექანიკაში - ძალის, მასის, სიჩქარის ცნებები და ა.შ. ძირითადი ცნებები არსებობს ალბათობის თეორიაში, ერთ-ერთი მათგანია შემთხვევითი მოვლენა.

შემთხვევითი მოვლენა არის ნებისმიერი ფენომენი (ფაქტი), რომელიც გამოცდილების (ტესტირების) შედეგად შეიძლება მოხდეს ან არ მოხდეს.

შემთხვევითი მოვლენები ასოებით აღინიშნება A, B, C… და ა.შ. აქ მოცემულია შემთხვევითი მოვლენების რამდენიმე მაგალითი:

ა- არწივის (გერბის) დაკარგვა სტანდარტული მონეტის სროლისას;

IN- ამ ოჯახში გოგონას დაბადება;

თან- ბავშვის დაბადება წინასწარ განსაზღვრული სხეულის მასით;

დ- ეპიდემიური დაავადების გაჩენა მოცემულ რეგიონში დროის გარკვეულ პერიოდში და ა.შ.

შემთხვევითი მოვლენის მთავარი რაოდენობრივი მახასიათებელი მისი ალბათობაა. დაე არაღაც შემთხვევითი მოვლენა. შემთხვევითი მოვლენის ალბათობა A არის მათემატიკური მნიშვნელობა, რომელიც განსაზღვრავს მისი წარმოშობის შესაძლებლობას.იგი დანიშნულია რ(ა).

განვიხილოთ ორი ძირითადი მეთოდი ამ მნიშვნელობის დასადგენად.

შემთხვევითი მოვლენის ალბათობის კლასიკური განმარტებაროგორც წესი, ეფუძნება სპეკულაციური ექსპერიმენტების (ტესტების) ანალიზის შედეგებს, რომელთა არსი განისაზღვრება ამოცანის პირობით. ამ შემთხვევაში, შემთხვევითი მოვლენის ალბათობა P(A)უდრის:

სად მ- მოვლენის დადგომისთვის ხელსაყრელი შემთხვევების რაოდენობა ა; ნარის თანაბრად სავარაუდო შემთხვევების საერთო რაოდენობა.

მაგალითი 1 ლაბორატორიული ვირთხა მოთავსებულია ლაბირინთში, რომელშიც ოთხი შესაძლო ბილიკიდან მხოლოდ ერთს მივყავართ საკვების ჯილდომდე. დაადგინეთ ვირთხის ასეთი გზის არჩევის ალბათობა.

გამოსავალი: პრობლემის მდგომარეობის მიხედვით ოთხი თანაბრად შესაძლო შემთხვევიდან ( ნ=4) მოვლენა ა(ვირთხა პოულობს საკვებს)
ემხრობა მხოლოდ ერთს, ე.ი. მ= 1 შემდეგ რ(ა) = რ(ვირთხა პოულობს საკვებს) = = 0.25 = 25%.

მაგალითი 2. ურნაში არის 20 შავი და 80 თეთრი ბურთი. მისგან შემთხვევით იშლება ერთი ბურთი. დაადგინეთ ალბათობა იმისა, რომ ეს ბურთი შავია.

გამოსავალი: ურნაში ყველა ბურთის რაოდენობა არის თანაბრად სავარაუდო შემთხვევების საერთო რაოდენობა ნ, ე.ი. ნ = 20 + 80 = 100, აქედან მოვლენა ა(შავი ბურთის დახატვა) შესაძლებელია მხოლოდ 20-ზე, ე.ი. მ= 20. მაშინ რ(ა) = რ(H.W.) = = 0.2 = 20%.

ჩვენ ჩამოვთვლით ალბათობის თვისებებს მისი კლასიკური განმარტებიდან - ფორმულა (1):

1. შემთხვევითი მოვლენის ალბათობა არის განზომილებიანი სიდიდე.

2. შემთხვევითი მოვლენის ალბათობა ყოველთვის დადებითია და ერთზე ნაკლები, ანუ 0-ზე< პ (ა) < 1.

3. გარკვეული მოვლენის ალბათობა, ანუ მოვლენა, რომელიც აუცილებლად მოხდება გამოცდილების შედეგად ( მ = ნ) უდრის ერთს.

4. შეუძლებელი მოვლენის ალბათობა ( მ= 0) ნულის ტოლია.

5. რაიმე მოვლენის ალბათობა არ არის უარყოფითი და არ აღემატება ერთს:
0 £ პ (ა) 1 ფუნტი.

შემთხვევითი მოვლენის ალბათობის სტატისტიკური განსაზღვრაგამოიყენება მაშინ, როდესაც შეუძლებელია კლასიკური განმარტების (1) გამოყენება. ეს ხშირად ხდება ბიოლოგიასა და მედიცინაში. ამ შემთხვევაში ალბათობა რ(ა) განისაზღვრება რეალურად ჩატარებული ტესტების (ექსპერიმენტების) სერიის შედეგების შეჯამებით.

შემოვიღოთ შემთხვევითი მოვლენის წარმოშობის ფარდობითი სიხშირის კონცეფცია. დავუშვათ სერია ნგამოცდილება (ნომერი ნშეიძლება წინასწარ არჩეული იყოს) ღონისძიება, რომელიც ჩვენ გვაინტერესებს ამოხდა მმათგან ( მ < ნ). ექსპერიმენტების რაოდენობის თანაფარდობა მ, რომელშიც ეს მოვლენა მოხდა, ჩატარებული ექსპერიმენტების საერთო რაოდენობამდე ნშემთხვევითი მოვლენის წარმოშობის ფარდობითი სიხშირე ეწოდება აექსპერიმენტების ამ სერიაში რ* (ა)

R*(ა) = .

ექსპერიმენტულად დადგენილია, რომ თუ ტესტების (ექსპერიმენტების) სერია ტარდება იმავე პირობებში და თითოეულ მათგანში რაოდენობა ნსაკმარისად დიდია, მაშინ ფარდობითი სიხშირე აჩვენებს სტაბილურობის თვისებას : ის დიდად არ იცვლება ეპიზოდიდან ეპიზოდამდე. , მიახლოება ექსპერიმენტების რაოდენობის ზრდით გარკვეულ მუდმივ მნიშვნელობამდე . იგი აღებულია, როგორც შემთხვევითი მოვლენის სტატისტიკური ალბათობა ა:

რ(ა)= lim, როდესაც ნ , (2)

ასე რომ, სტატისტიკური ალბათობა რ(ა) შემთხვევითი მოვლენა ადავარქვათ ლიმიტი, რომლისკენაც მიდრეკილია ამ მოვლენის წარმოშობის ფარდობითი სიხშირე ცდების რაოდენობის შეუზღუდავი ზრდით ( ნ → ∞).

დაახლოებით, შემთხვევითი მოვლენის სტატისტიკური ალბათობა უდრის ამ მოვლენის დადგომის ფარდობით სიხშირეს ცდების დიდი რაოდენობით:

რ(ა)≈ R*(ა)= (დიდი ნ) (3)

მაგალითად, მონეტის სროლაზე ცდებში გერბის დაცემის ფარდობითი სიხშირე 12000 სროლაზე აღმოჩნდა 0,5016, ხოლო 24000 სროლისას - 0,5005. ფორმულის მიხედვით (1):

პ(გერბი) == 0,5 = 50%

მაგალითი . 500 ადამიანის სამედიცინო შემოწმებისას 5 მათგანს ფილტვების სიმსივნე (o.l.) დაუდგინდა. განსაზღვრეთ ამ დაავადების შედარებითი სიხშირე და ალბათობა.

გამოსავალი: პრობლემის მდგომარეობის მიხედვით მ = 5, ნ= 500, ფარდობითი სიხშირე რ*(o.l.) = მ/ნ= 5/500 = 0,01; იმიტომ რომ ნსაკმარისად დიდია, კარგი სიზუსტით შეიძლება ჩაითვალოს, რომ ფილტვებში სიმსივნის ალბათობა უდრის ამ მოვლენის ფარდობით სიხშირეს:

რ(o.l.) = რ* (o.l.) \u003d 0.01 \u003d 1%.

ადრე ჩამოთვლილი შემთხვევითი მოვლენის ალბათობის თვისებები ასევე შენარჩუნებულია ამ სიდიდის სტატისტიკურ განსაზღვრაში.

1.3. შემთხვევითი მოვლენების სახეები. ალბათობის თეორიის ძირითადი თეორემები

ყველა შემთხვევითი მოვლენა შეიძლება დაიყოს:

¾ შეუთავსებელი;

¾ დამოუკიდებელი;

¾ დამოკიდებული.

მოვლენათა თითოეულ ტიპს აქვს საკუთარი მახასიათებლები და ალბათობის თეორიის თეორემები.

1.3.1. შეუთავსებელი შემთხვევითი მოვლენები. მიმატების თეორემა

შემთხვევითი მოვლენები (A, B, C,დ…) უწოდებენ არათანმიმდევრულს , თუ ერთ-ერთი მათგანის დადგომა გამორიცხავს იმავე სასამართლო პროცესზე სხვა მოვლენების დადგომას.

მაგალითი 1 . მონეტა გადაყრილი. როდესაც ის ეცემა, "გერბის" გამოჩენა გამორიცხავს "კუდის" გამოჩენას (წარწერა, რომელიც განსაზღვრავს მონეტის ფასს). მოვლენები „გერბი ამოვარდა“ და „კუდები ამოვარდა“ შეუთავსებელია.

მაგალითი 2 . სტუდენტის მიერ ერთ გამოცდაზე „2“, ან „3“, ან „4“ ან „5“ ქულის მიღება არათანმიმდევრული მოვლენაა, რადგან ამ ქულებისგან ერთი გამორიცხავს მეორეს იმავე გამოცდაზე.

შეუთავსებელი შემთხვევითი მოვლენებისთვის, დამატების თეორემა: დადგომის ალბათობა ერთი, მაგრამ მაინც რომელი, რამდენიმე შეუთავსებელი მოვლენიდან A1, A2, A3 ... აკ უდრის მათი ალბათობების ჯამს:

P(A1 ან A2 ... ან Aკ) = Р(А1) + Р(А2) + …+ Р(Аკ). (4)

მაგალითი 3. ურნაში არის 50 ბურთი: 20 თეთრი, 20 შავი და 10 წითელი. იპოვეთ თეთრის გაჩენის ალბათობა (მოვლენა ა) ან წითელი ბურთი (მოვლენა IN) როდესაც ბურთი ურნადან შემთხვევით ამოღებულია.

გამოსავალი: პ(A ან B)= პ(ა)+ პ(IN);

რ(ა) = 20/50 = 0,4;

რ(IN) = 10/50 = 0,2;

რ(აან IN)= პ(ბ.შ. ან კ.შ.) = 0,4 + 0,2 = 0,6 = 60%.

მაგალითი 4 . კლასში 40 ბავშვია. აქედან 7-დან 7,5 წლამდე ასაკის 8 ბიჭი ( ა) და 10 გოგონა ( IN). იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ კლასში ამ ასაკის ბავშვები არიან.

გამოსავალი: პ(ა)= 8/40 = 0,2; რ(IN) = 10/40 = 0,25.

P(A ან B) = 0.2 + 0.25 = 0.45 = 45%

შემდეგი მნიშვნელოვანი კონცეფციაა მოვლენების სრული ჯგუფი: რამდენიმე შეუთავსებელი მოვლენა ქმნის მოვლენათა სრულ ჯგუფს, თუ ყოველი ცდა შეიძლება მოჰყვეს ამ ჯგუფის მხოლოდ ერთ მოვლენას და არა სხვას.

მაგალითი 5 . მსროლელმა მიზანში გაისროლა. აუცილებლად მოხდება ერთ-ერთი შემდეგი მოვლენა: დარტყმა "ათში", "ცხრა", "რვა", .., "ერთი" ან გამოტოვება. ეს 11 განსხვავებული მოვლენა ქმნის სრულ ჯგუფს.

მაგალითი 6 . უნივერსიტეტის გამოცდაზე სტუდენტს შეუძლია მიიღოს შემდეგი ოთხი ქულებიდან ერთ-ერთი: 2, 3, 4 ან 5. ეს ოთხი არაერთობლივი მოვლენა ასევე ქმნის სრულ ჯგუფს.

თუ შეუთავსებელი მოვლენები A1, A2 ... აკშექმენით სრული ჯგუფი, მაშინ ამ მოვლენების ალბათობების ჯამი ყოველთვის უდრის ერთს:

რ(A1)+ პ(A2)+ … პ(აკ) = 1, (5)

ეს განცხადება ხშირად გამოიყენება მრავალი პრობლემის გადაჭრისას.

თუ ორი მოვლენა უნიკალური და შეუთავსებელია, მაშინ მათ საპირისპირო და აღმნიშვნელი ეწოდება ადა . ასეთი მოვლენები ქმნიან სრულ ჯგუფს, ამიტომ მათი ალბათობების ჯამი ყოველთვის ერთის ტოლია:

რ(ა)+ პ() = 1. (6)

მაგალითი 7. მოდით რ(ა) არის გარკვეული დაავადების ლეტალური შედეგის ალბათობა; ცნობილია და უდრის 2%-ს. მაშინ ამ დაავადების წარმატებული შედეგის ალბათობა არის 98% ( რ() = 1 – რ(ა) = 0,98), ვინაიდან რ(ა) + რ() = 1.

1.3.2. დამოუკიდებელი შემთხვევითი მოვლენები. ალბათობის გამრავლების თეორემა

შემთხვევით მოვლენებს უწოდებენ დამოუკიდებელ მოვლენებს, თუ ერთ-ერთი მათგანის დადგომა გავლენას არ ახდენს სხვა მოვლენების დადგომის ალბათობაზე.

მაგალითი 1 . თუ არსებობს ორი ან მეტი ურნა ფერადი ბურთულებით, მაშინ ერთი ურნადან ნებისმიერი ბურთის დახატვა არ იმოქმედებს დარჩენილი ურნებიდან სხვა ბურთების დახატვის ალბათობაზე.

დამოუკიდებელი ღონისძიებებისთვის, ალბათობის გამრავლების თეორემა: ალბათობის ერთობლივი(ერთდროული)რამდენიმე დამოუკიდებელი შემთხვევითი მოვლენის წარმოშობა უდრის მათი ალბათობის ნამრავლს:

P(A1 და A2 და A3 ... და Aკ) = P(A1) ∙P(A2) ∙…∙P(Aკ). (7)

მოვლენების ერთობლივი (ერთდროული) დადგომა ნიშნავს იმას, რომ მოვლენები ხდება და A1,და A2,და A3… და აკ .

მაგალითი 2 . ორი ურნაა. ერთი შეიცავს 2 შავ და 8 თეთრ ბურთულას, მეორე შეიცავს 6 შავ და 4 თეთრს. დაე, ღონისძიება ა- თეთრი ბურთის შემთხვევითი შერჩევა პირველი ურნადან, IN- მეორედან. რა არის ამ ურნებიდან შემთხვევით არჩევის ალბათობა თეთრი ბურთი, ანუ რა არის რ (ადა IN)?

გამოსავალი:პირველი ურნადან თეთრი ბურთის დახატვის ალბათობა
რ(ა) = = 0.8 მეორედან - რ(IN) = = 0.4. ორივე ურნადან თეთრი ბურთის ერთდროულად მიღების ალბათობა არის
რ(ადა IN) = რ(ა)· რ(IN) = 0,8∙ 0,4 = 0,32 = 32%.

მაგალითი 3 შემცირებული იოდის დიეტა იწვევს ფარისებრი ჯირკვლის გაფართოებას დიდი პოპულაციის ცხოველთა 60%-ში. ექსპერიმენტისთვის საჭიროა 4 გადიდებული ჯირკვალი. იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ შემთხვევით შერჩეულ 4 ცხოველს ექნება გადიდებული ფარისებრი ჯირკვალი.

გამოსავალი: შემთხვევითი მოვლენა ა- გადიდებული ფარისებრი ჯირკვლის მქონე ცხოველის შემთხვევითი შერჩევა. პრობლემის მდგომარეობის მიხედვით, ამ მოვლენის ალბათობა რ(ა) = 0,6 = 60%. მაშინ ოთხი დამოუკიდებელი მოვლენის ერთობლივი წარმოშობის ალბათობა - შემთხვევითი არჩევა 4 ცხოველის გადიდებული ფარისებრი ჯირკვლის - იქნება ტოლი:

რ(ა 1 და ა 2 და ა 3 და ა 4) = 0,6 ∙ 0,6 ∙0,6 ∙ 0,6=(0,6)4 ≈ 0,13 = 13%.

1.3.3. დამოკიდებული მოვლენები. ალბათობის გამრავლების თეორემა დამოკიდებული მოვლენებისთვის

A და B შემთხვევით მოვლენებს დამოკიდებულს უწოდებენ, თუ ერთ-ერთი მათგანის, მაგალითად A-ს დადგომა ცვლის მეორე მოვლენის - B-ს დადგომის ალბათობას.ამიტომ, ორი ალბათობის მნიშვნელობა გამოიყენება დამოკიდებული მოვლენებისთვის: უპირობო და პირობითი ალბათობები .

თუ ადა INდამოკიდებული მოვლენები, შემდეგ მოვლენის დადგომის ალბათობა INპირველი (ე.ი. მოვლენამდე ა) ეწოდება უპირობო ალბათობაამ მოვლენის და დანიშნულია რ(IN). მოვლენის ალბათობა INიმ პირობით, რომ ღონისძიება აუკვე მოხდა, ჰქვია პირობითი ალბათობაივენთი INდა აღნიშნა რ(IN/ა) ან RA(IN).

უპირობო - რ(ა) და პირობითი - რ(A/B) მოვლენის ალბათობა ა.

ალბათობების გამრავლების თეორემა ორი დამოკიდებული მოვლენისთვის: ორი დამოკიდებული მოვლენის A და B ერთდროული წარმოშობის ალბათობა უდრის პირველი მოვლენის უპირობო ალბათობის ნამრავლს მეორის პირობითი ალბათობით:

რ(A და B)= პ(ა)∙P(B/A) , (8)

ა, ან

რ(A და B)= პ(IN)∙P(A/B), (9)

თუ მოვლენა პირველად მოხდა IN.

მაგალითი 1. ურნაში არის 3 შავი და 7 თეთრი ბურთი. იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ ამ ურნადან სათითაოდ ამოიღეს 2 თეთრი ბურთი (და პირველი ბურთი არ დაბრუნდება ურნაში).

გამოსავალი: პირველი თეთრი ბურთის დახატვის ალბათობა (მოვლენა ა) უდრის 7/10-ს. ამოღების შემდეგ ურნაში რჩება 9 ბურთი, აქედან 6 თეთრი. შემდეგ მეორე თეთრი ბურთის გამოჩენის ალბათობა (მოვლენა IN) უდრის რ(IN/ა) = 6/9 და ზედიზედ ორი თეთრი ბურთის მიღების ალბათობა არის

რ(ადა IN) = რ(ა)∙რ(IN/ა) = = 0,47 = 47%.

მოცემული ალბათობის გამრავლების თეორემა დამოკიდებული მოვლენებისთვის შეიძლება განზოგადდეს ნებისმიერი რაოდენობის მოვლენაზე. კერძოდ, ერთმანეთთან დაკავშირებული სამი მოვლენისთვის:

რ(ადა INდა თან)= პ(ა)∙ რ(B/A)∙ რ(ᲢᲐᲥᲡᲘ). (10)

მაგალითი 2. ორ საბავშვო ბაღში, სადაც თითოეულში 100 ბავშვი დადიოდა, დაფიქსირდა ინფექციური დაავადება. შემთხვევების წილი, შესაბამისად, 1/5 და 1/4, ხოლო პირველ დაწესებულებაში 70%, ხოლო მეორეში - 60% 3 წლამდე ასაკის ბავშვები არიან. ერთი ბავშვი შეირჩევა შემთხვევითობის პრინციპით. განსაზღვრეთ ალბათობა იმისა, რომ:

1) შერჩეული ბავშვი ეკუთვნის პირველ საბავშვო ბაღს (ღონისძიება ა) და ავადმყოფი (მოვლენა IN).

2) შეირჩევა ბავშვი მეორე საბავშვო ბაღიდან (ღონისძიება თან), ავადმყოფი (მოვლენა დ) და 3 წელზე უფროსი (მოვლენა ე).

გამოსავალი. 1) სასურველი ალბათობა -

რ(ადა IN) = რ(ა) ∙ რ(IN/ა) = = 0,1 = 10%.

2) სასურველი ალბათობა:

რ(თანდა დდა ე) = რ(თან) ∙ რ(დ/C) ∙ რ(ე/CD) = = 5%.

1.4. ბეიზის ფორმულა

თუ დამოკიდებული მოვლენების ერთობლივი წარმოშობის ალბათობა ადა INეს არ არის დამოკიდებული იმაზე, თუ რა თანმიმდევრობით ხდება ისინი რ(ადა IN)= პ(ა)∙P(B/A)= პ(IN) × რ(A/B). ამ შემთხვევაში, ერთ-ერთი მოვლენის პირობითი ალბათობის პოვნა შესაძლებელია ორივე მოვლენის და მეორის პირობითი ალბათობის ცოდნით:

რ(B/A) = (11)

მრავალი მოვლენის შემთხვევისთვის ამ ფორმულის განზოგადება არის ბეიესის ფორმულა.

დაე" ნ» შეუთავსებელი შემთხვევითი მოვლენები H1, H2,…, Hნ, შექმენით მოვლენების სრული ჯგუფი. ამ მოვლენების ალბათობაა რ(H1), რ(H2),…, რ(ჰნ) ცნობილია და რადგან ისინი ქმნიან სრულ ჯგუფს, მაშინ = 1.

რაღაც შემთხვევითი მოვლენა ამოვლენებთან დაკავშირებული H1, H2,…, Hნ, და ცნობილია მოვლენის დადგომის პირობითი ალბათობა აყოველ მოვლენასთან ერთად ჰმე, ანუ ცნობილი რ(A/H1), რ(A/H2),…, რ(A/Nნ). ამ შემთხვევაში პირობითი ალბათობების ჯამი რ(A/Nმე) შეიძლება არ იყოს ერთის ტოლი, ე.ი. ≠ 1.

მაშინ მოვლენის დადგომის პირობითი ალბათობა ჰმეროდესაც ღონისძიება განხორციელდება ა(ანუ იმ პირობით, რომ ღონისძიება ამოხდა) განისაზღვრება ბეიზის ფორმულით :

და ამ პირობითი ალბათობებისთვის .

ბეიზის ფორმულამ ჰპოვა ფართო გამოყენება არა მხოლოდ მათემატიკაში, არამედ მედიცინაშიც. მაგალითად, იგი გამოიყენება გარკვეული დაავადებების ალბათობის გამოსათვლელად. ასე რომ, თუ ჰ 1,…, ჰნ- სავარაუდო დიაგნოზი ამ პაციენტისთვის, ა- მათთან დაკავშირებული რაიმე ნიშანი (სიმპტომი, სისხლის ანალიზის გარკვეული მაჩვენებელი, შარდი, რენტგენოგრაფიის დეტალი და ა.შ.) და პირობითი ალბათობა. რ(A/Nმე) ამ სიმპტომის გამოვლინებები თითოეულ დიაგნოზში ჰმე (მე = 1,2,3,…ნ) წინასწარ არის ცნობილი, მაშინ ბეიზის ფორმულა (12) საშუალებას გვაძლევს გამოვთვალოთ დაავადების პირობითი ალბათობა (დიაგნოზები) რ(ჰმე/ა) მას შემდეგ რაც დადგინდება, რომ დამახასიათებელი თვისება აიმყოფება პაციენტში.

მაგალითი 1. პაციენტის პირველადი გასინჯვისას ვარაუდობენ 3 დიაგნოზს ჰ 1, ჰ 2, ჰ 3. მათი ალბათობა, ექიმის აზრით, ნაწილდება შემდეგნაირად: რ(ჰ 1) = 0,5; რ(ჰ 2) = 0,17; რ(ჰ 3) = 0.33. ამიტომ, პირველი დიაგნოზი სავარაუდოდ ყველაზე სავარაუდოა. ამის გასარკვევად, მაგალითად, ინიშნება სისხლის ტესტი, რომელშიც მოსალოდნელია ESR-ის მომატება (მოვლენა ა). წინასწარ ცნობილია (კვლევის შედეგებზე დაყრდნობით), რომ საეჭვო დაავადებებში ESR-ის გაზრდის ალბათობა უდრის:

რ(ა/ჰ 1) = 0,1; რ(ა/ჰ 2) = 0,2; რ(ა/ჰ 3) = 0,9.

მიღებულ ანალიზში დაფიქსირდა ESR-ის ზრდა (მოვლენა ამოხდა). შემდეგ გაანგარიშება ბეიზის ფორმულის მიხედვით (12) იძლევა სავარაუდო დაავადებების ალბათობის მნიშვნელობებს გაზრდილი ESR მნიშვნელობით: რ(ჰ 1/ა) = 0,13; რ(ჰ 2/ა) = 0,09;
რ(ჰ 3/ა) = 0,78. ეს მაჩვენებლები აჩვენებს, რომ ლაბორატორიული მონაცემების გათვალისწინებით, არა პირველი, არამედ მესამე დიაგნოზი, რომლის ალბათობაც ახლა საკმაოდ მაღალი აღმოჩნდა, ყველაზე რეალურია.

ზემოთ მოყვანილი მაგალითი არის უმარტივესი ილუსტრაცია იმისა, თუ როგორ შეიძლება ბეიზის ფორმულის გამოყენებით ექიმის ლოგიკის ფორმირება დიაგნოზის დასმისას და ამის წყალობით კომპიუტერული დიაგნოსტიკური მეთოდების შექმნა.

მაგალითი 2. განსაზღვრეთ ალბათობა, რომელიც აფასებს ბავშვის პერინატალური* სიკვდილის რისკის ხარისხს ანატომიურად ვიწრო მენჯის მქონე ქალებში.

გამოსავალი: ნება ღონისძიება ჰ 1 - უსაფრთხო მიწოდება. კლინიკური ცნობების მიხედვით, რ(ჰ 1) = 0,975 = 97,5%, მაშინ თუ H2- მაშინ პერინატალური სიკვდილიანობის ფაქტი რ(ჰ 2) = 1 – 0,975 = 0,025 = 2,5 %.

აღნიშნეთ ა- მშობიარობის ქალში ვიწრო მენჯის არსებობის ფაქტი. ჩატარებული კვლევებიდან ცნობილია: ა) რ(ა/ჰ 1) - ვიწრო მენჯის ალბათობა ხელსაყრელი მშობიარობით, რ(ა/ჰ 1) = 0.029, ბ) რ(ა/ჰ 2) - ვიწრო მენჯის ალბათობა პერინატალურ სიკვდილიანობაში,
რ(ა/ჰ 2) = 0.051. შემდეგ მშობიარობის ქალში ვიწრო მენჯში პერინატალური სიკვდილიანობის სასურველი ალბათობა გამოითვლება ბეისის ფორმულით (12) და უდრის:

ამრიგად, ანატომიურად ვიწრო მენჯის პერინატალური სიკვდილიანობის რისკი მნიშვნელოვნად მაღალია (თითქმის ორჯერ) ვიდრე საშუალო რისკი (4.4% v. 2.5%).

ასეთი გამოთვლები, როგორც წესი, შესრულებულია კომპიუტერის გამოყენებით, საფუძველს წარმოადგენს გაზრდილი რისკის მქონე პაციენტების ჯგუფების ფორმირების მეთოდებს, რომლებიც დაკავშირებულია ამა თუ იმ დამამძიმებელ ფაქტორთან.

ბეიზის ფორმულა ძალიან სასარგებლოა მრავალი სხვა ბიოსამედიცინო სიტუაციის შესაფასებლად, რაც აშკარა გახდება სახელმძღვანელოში მოცემული ამოცანების ამოხსნისას.

1.5. შემთხვევითი მოვლენების შესახებ 0 ან 1-თან ახლოს ალბათობით

ბევრი პრაქტიკული ამოცანის გადაჭრისას უნდა გაუმკლავდეთ მოვლენებს, რომელთა ალბათობაც ძალიან მცირეა, ანუ ახლოს არის ნულთან. მსგავსი მოვლენების გამოცდილებიდან გამომდინარე, მიღებულია შემდეგი პრინციპი. თუ შემთხვევით მოვლენას აქვს ძალიან მცირე ალბათობა, მაშინ პრაქტიკაში შეგვიძლია ვივარაუდოთ, რომ ის არ მოხდება ერთ ცდაში, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მისი დადგომის შესაძლებლობა შეიძლება უგულებელყო. პასუხი კითხვაზე, რამდენად მცირე უნდა იყოს ეს ალბათობა, განისაზღვრება მოგვარებული პრობლემების არსით, იმით, თუ რამდენად მნიშვნელოვანია ჩვენთვის პროგნოზის შედეგი. მაგალითად, თუ ნახტომის დროს პარაშუტის არ გახსნის ალბათობა არის 0,01, მაშინ ასეთი პარაშუტების გამოყენება მიუღებელია. თუმცა, იგივე 0,01 ალბათობა იმისა, რომ საქალაქთაშორისო მატარებელი დაგვიანებით ჩამოვა, თითქმის გვარწმუნებს, რომ ის დროულად მოვა.

საკმარისად მცირე ალბათობა, რომლის დროსაც (მოცემულ კონკრეტულ პრობლემაში) მოვლენა შეიძლება ჩაითვალოს პრაქტიკულად შეუძლებლად ეწოდება მნიშვნელობის დონე.პრაქტიკაში, მნიშვნელოვნების დონე ჩვეულებრივ მიიღება 0,01 (ერთი პროცენტიანი მნიშვნელოვნების დონე) ან 0,05 (ხუთი პროცენტიანი მნიშვნელოვნების დონე), გაცილებით ნაკლებად ხშირად აღებულია 0,001.

მნიშვნელოვნების დონის შემოღება საშუალებას გვაძლევს დავამტკიცოთ, რომ თუ რაიმე მოვლენა აპრაქტიკულად შეუძლებელია, მაშინ საპირისპირო მოვლენა - პრაქტიკულად საიმედო, ანუ მისთვის რ() » 1.

თავიII. შემთხვევითი ღირებულებები

2.1. შემთხვევითი ცვლადები, მათი ტიპები

მათემატიკაში რაოდენობა არის საერთო სახელწოდება ობიექტებისა და ფენომენების სხვადასხვა რაოდენობრივი მახასიათებლებისთვის. სიგრძე, ფართობი, ტემპერატურა, წნევა და ა.შ. სხვადასხვა სიდიდის მაგალითებია.

ღირებულება, რომელიც იღებს სხვადასხვა რიცხვითი მნიშვნელობები შემთხვევითი გარემოებების გავლენის ქვეშ, შემთხვევითი ცვლადი ეწოდება. შემთხვევითი ცვლადების მაგალითები: პაციენტთა რაოდენობა ექიმის კაბინეტში; ადამიანების შინაგანი ორგანოების ზუსტი ზომები და ა.შ.

განასხვავებენ დისკრეტულ და უწყვეტ შემთხვევით ცვლადებს .

შემთხვევით ცვლადს ეწოდება დისკრეტული, თუ ის იღებს მხოლოდ გარკვეულ მნიშვნელობებს ერთმანეთისგან გამოყოფილი, რომელთა დაყენება და ჩამოთვლა შესაძლებელია.

დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის მაგალითებია:

– მოსწავლეთა რაოდენობა აუდიტორიაში – შეიძლება იყოს მხოლოდ დადებითი მთელი რიცხვი: 0,1,2,3,4….. 20…..;

- რიცხვი, რომელიც გამოჩნდება ზედა სახეზე კამათლის სროლისას - შეუძლია მიიღოს მხოლოდ მთელი მნიშვნელობები 1-დან 6-მდე;

- მიზანზე 10 გასროლით დარტყმის ფარდობითი სიხშირე - მისი მნიშვნელობები: 0; 0.1; 0.2; 0.3 …1

- მოვლენების რაოდენობა, რომლებიც ხდება იმავე დროის ინტერვალებში: პულსის სიხშირე, სასწრაფო დახმარების გამოძახების რაოდენობა საათში, ოპერაციების რაოდენობა თვეში ფატალური შედეგით და ა.შ.

შემთხვევით ცვლადს ეწოდება უწყვეტი, თუ მას შეუძლია მიიღოს რაიმე მნიშვნელობა გარკვეული ინტერვალის ფარგლებში, რომელსაც ზოგჯერ აქვს მკვეთრად განსაზღვრული საზღვრები და ზოგჯერ არა.*. უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადები მოიცავს, მაგალითად, ზრდასრულთა სხეულის წონასა და სიმაღლეს, სხეულის წონასა და ტვინის მოცულობას, ფერმენტების რაოდენობრივ შემცველობას ჯანმრთელ ადამიანებში, სისხლის უჯრედების ზომას, რ H სისხლი და ა.შ.

შემთხვევითი ცვლადის კონცეფცია გადამწყვეტ როლს თამაშობს თანამედროვე ალბათობის თეორიაში, რომელმაც შეიმუშავა შემთხვევითი მოვლენებიდან შემთხვევით ცვლადებზე გადასვლის სპეციალური ტექნიკა.

თუ შემთხვევითი ცვლადი დამოკიდებულია დროზე, მაშინ შეგვიძლია ვისაუბროთ შემთხვევით პროცესზე.

2.2. დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი

დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის სრული აღწერილობის მისაცემად, აუცილებელია მიუთითოთ მისი ყველა შესაძლო მნიშვნელობა და მათი ალბათობა.

დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის შესაძლო მნიშვნელობებსა და მათ ალბათობებს შორის შესაბამისობას ამ ცვლადის განაწილების კანონი ეწოდება.

მიუთითეთ შემთხვევითი ცვლადის შესაძლო მნიშვნელობები Xმეშვეობით Xმე, და შესაბამისი ალბათობების მეშვეობით რმე *. მაშინ დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი შეიძლება განისაზღვროს სამი გზით: ცხრილის, გრაფიკის ან ფორმულის სახით.

ცხრილში, რომელსაც ეწოდება განაწილების სერია,ჩამოთვლილია დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის ყველა შესაძლო მნიშვნელობა Xდა ამ მნიშვნელობების შესაბამისი ალბათობები რ(X):

X

…..

…..

პ(X)

…..

…..

ამ შემთხვევაში, ყველა ალბათობის ჯამი რმეუნდა იყოს ერთის ტოლი (ნორმალიზების პირობა):

რმე = გვ1 + გვ2 + ... + pn = 1. (13)

გრაფიკულადკანონი წარმოდგენილია გატეხილი ხაზით, რომელსაც ჩვეულებრივ უწოდებენ განაწილების მრავალკუთხედს (ნახ. 1). აქ, ჰორიზონტალური ღერძის გასწვრივ, გამოსახულია შემთხვევითი ცვლადის ყველა შესაძლო მნიშვნელობა Xმე, , ხოლო ვერტიკალურ ღერძზე - შესაბამისი ალბათობები რმე

ანალიტიკურადკანონი გამოიხატება ფორმულით. მაგალითად, თუ სამიზნის ერთი გასროლით დარტყმის ალბათობა არის R,მაშინ მიზანში 1-ჯერ დარტყმის ალბათობა ნკადრები მოცემულია ფორმულით რ(ნ) = ნ qn-1 × გვ, სად ქ= 1 - გვ- ერთი გასროლით გაშვების ალბათობა.

2.3. უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი. ალბათობის სიმკვრივე

უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადებისთვის შეუძლებელია განაწილების კანონის გამოყენება ზემოთ მოცემულ ფორმებში, რადგან ასეთ ცვლადს აქვს შესაძლო მნიშვნელობების უთვალავი ("დაუთვლელი") ნაკრები, რომელიც მთლიანად ავსებს გარკვეულ ინტერვალს. აქედან გამომდინარე, შეუძლებელია ცხრილის გაკეთება, რომელშიც მისი ყველა შესაძლო მნიშვნელობა არის ჩამოთვლილი, ან განაწილების პოლიგონის აშენება. გარდა ამისა, რაიმე კონკრეტული მნიშვნელობის ალბათობა ძალიან მცირეა (0-თან ახლოს)*. ამავდროულად, უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის შესაძლო მნიშვნელობების სხვადასხვა სფეროები (ინტერვალები) თანაბრად სავარაუდო არ არის. ამრიგად, ამ შემთხვევაშიც მოქმედებს განაწილების გარკვეული კანონი, თუმცა არა წინა გაგებით.

განვიხილოთ უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადი X, რომელთა შესაძლო მნიშვნელობები მთლიანად ავსებს გარკვეულ ინტერვალს (ა, ბ)**. ასეთი მნიშვნელობის ალბათობის განაწილების კანონი საშუალებას მოგვცემს ვიპოვოთ ალბათობა, რომ მისი მნიშვნელობა მოხვდება მოცემულ ინტერვალში ( x1, x2) იწვა შიგნით ( A,ბ), სურ.2.

ეს ალბათობა არის რ(x1< Х < х2 ), ან
რ(x1£ X£ x2).

ჯერ განვიხილოთ მნიშვნელობების ძალიან მცირე დიაპაზონი X-დან Xადრე ( x +დX); იხილეთ ნახ.2. დაბალი ალბათობა დრრომ შემთხვევითი ცვლადი Xმიიღებს გარკვეულ მნიშვნელობას ინტერვალიდან ( x, x +დX), იქნება ამ ინტერვალის მნიშვნელობის პროპორციული დX:დრ~ დX, ან პროპორციულობის ფაქტორის შემოღებით ვ, რომელიც თავად შეიძლება იყოს დამოკიდებული X, ვიღებთ:

დP =ვ(X) × დ x =ვ(x) × dx (14)

ფუნქცია აქ არის წარმოდგენილი ვ(X) ეწოდება ალბათობის სიმკვრივეშემთხვევითი ცვლადი X,ან მოკლედ ალბათობის სიმკვრივე, განაწილების სიმკვრივე. განტოლება (13) არის დიფერენციალური განტოლება, რომლის ამოხსნა იძლევა მნიშვნელობის დარტყმის ალბათობას Xინტერვალში ( x1,x2):

რ(x1<X<x2) = ვ(X) დX. (15)

გრაფიკული ალბათობა რ(x1<X<x2) უდრის მრუდი ტრაპეციის ფართობს, რომელიც შემოიფარგლება აბსცისის ღერძით, მრუდით ვ(X) და პირდაპირი X = x1 და X = x2(ნახ. 3). ეს გამომდინარეობს განსაზღვრული ინტეგრალური (15) მრუდის გეომეტრიული მნიშვნელობიდან ვ(X) ეწოდება განაწილების მრუდი.

(15)-დან გამომდინარეობს, რომ თუ ფუნქცია ვ(X), შემდეგ, ინტეგრაციის საზღვრების შეცვლით, ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ ჩვენთვის საინტერესო ნებისმიერი ინტერვალების ალბათობა. ამიტომ, ეს არის ფუნქციის ამოცანა ვ(X) მთლიანად განსაზღვრავს განაწილების კანონს უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადებისთვის.

ალბათობის სიმკვრივისთვის ვ(X) ნორმალიზაციის პირობა უნდა დაკმაყოფილდეს სახით:

ვ(X) დx = 1, (16)

თუ ცნობილია, რომ ყველა ღირებულება Xდაწექი ინტერვალში ( A,ბ), ან ფორმით:

ვ(X) დx = 1, (17)

თუ ინტერვალის ლიმიტები მნიშვნელობებს Xზუსტად განუსაზღვრელი. ალბათობის სიმკვრივის (16) ან (17) ნორმალიზების პირობები იმის შედეგია, რომ შემთხვევითი ცვლადის მნიშვნელობები Xსაიმედოდ დაწექი შიგნით ( A,ბ) ან (-¥, +¥). (16) და (17)-დან გამომდინარეობს, რომ განაწილების მრუდით და x ღერძით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი ყოველთვის 1-ის ტოლია. .

2.4. შემთხვევითი ცვლადების ძირითადი რიცხვითი მახასიათებლები

2.2 და 2.3 სექციებში წარმოდგენილი შედეგები აჩვენებს, რომ დისკრეტული და უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადების სრული დახასიათება შესაძლებელია მათი განაწილების კანონების ცოდნით. თუმცა, ბევრ პრაქტიკულად მნიშვნელოვან სიტუაციაში გამოიყენება შემთხვევითი ცვლადების ეგრეთ წოდებული რიცხვითი მახასიათებლები, ამ მახასიათებლების მთავარი მიზანია შეკუმშული ფორმით გამოხატოს შემთხვევითი ცვლადების განაწილების ყველაზე მნიშვნელოვანი მახასიათებლები. მნიშვნელოვანია, რომ ეს პარამეტრები იყოს სპეციფიკური (მუდმივი) მნიშვნელობები, რომლებიც შეიძლება შეფასდეს ექსპერიმენტებში მიღებული მონაცემების გამოყენებით. ამ შეფასებებს ამუშავებს აღწერითი სტატისტიკა.

ალბათობის თეორიასა და მათემატიკურ სტატისტიკაში საკმაოდ ბევრი განსხვავებული მახასიათებელია გამოყენებული, მაგრამ ჩვენ განვიხილავთ მხოლოდ ყველაზე გამოყენებულს. და მხოლოდ ზოგიერთ მათგანს მივცემთ ფორმულებს, რომლითაც გამოითვლება მათი მნიშვნელობები, სხვა შემთხვევაში გამოთვლებს კომპიუტერს დავტოვებთ.

განვიხილოთ პოზიციის მახასიათებლები -მათემატიკური მოლოდინი, რეჟიმი, მედიანა.

ისინი ახასიათებენ შემთხვევითი ცვლადის პოზიციას რიცხვის ღერძზე , ანუ ისინი მიუთითებენ რაიმე სავარაუდო მნიშვნელობას, რომლის გარშემოც დაჯგუფებულია შემთხვევითი ცვლადის ყველა შესაძლო მნიშვნელობა. მათ შორის ყველაზე მნიშვნელოვან როლს მათემატიკური მოლოდინი თამაშობს. მ(X).

რუსეთის ეროვნული ეკონომიკის აკადემია და საჯარო სამსახური რუსეთის ფედერაციის პრეზიდენტის ქვეშ

OREL ფილიალი

სოციოლოგიისა და საინფორმაციო ტექნოლოგიების დეპარტამენტი

ტიპიური გაანგარიშება No1

დისციპლინაში "ალბათობის თეორია და მათემატიკური სტატისტიკა"

თემაზე "ალბათობის თეორიის საფუძვლები"

არწივი - 2016 წ.

სამუშაოს მიზანი:თეორიული ცოდნის კონსოლიდაცია ალბათობის თეორიის საფუძვლების თემაზე, ტიპიური ამოცანების გადაჭრით. შემთხვევითი მოვლენების ძირითადი ტიპების ცნებების დაუფლება და მოვლენებზე ალგებრული მოქმედებების უნარ-ჩვევების გამომუშავება.

სამუშაოს წარდგენის მოთხოვნები: ნამუშევარი შესრულებულია ხელნაწერი ფორმით, ნამუშევარი უნდა შეიცავდეს ყველა საჭირო ახსნა-განმარტებას და დასკვნას, ფორმულები უნდა შეიცავდეს მიღებული აღნიშვნების გაშიფვრას, გვერდები უნდა იყოს დანომრილი.

ვარიანტის ნომერი შეესაბამება მოსწავლის სერიულ ნომერს ჯგუფურ სიაში.

ძირითადი თეორიული ინფორმაცია

ალბათობის თეორია- მათემატიკის ფილიალი, რომელიც სწავლობს შემთხვევითი ფენომენების ნიმუშებს.

მოვლენის კონცეფცია. მოვლენის კლასიფიკაცია.

ალბათობის თეორიის ერთ-ერთი ძირითადი კონცეფცია არის მოვლენის კონცეფცია. მოვლენები მითითებულია დიდი ლათინური ასოებით. ა, IN, თან,…

ღონისძიება- ეს არის ტესტის ან გამოცდილების შესაძლო შედეგი (შედეგი).

ტესტირება გაგებულია, როგორც ნებისმიერი მიზანმიმართული მოქმედება.

მაგალითი : მსროლელი ისვრის მიზანს. გასროლა გამოცდაა, მიზანში დარტყმა მოვლენაა.

ღონისძიება ე.წ შემთხვევითი , თუ მოცემული ექსპერიმენტის პირობებში შეიძლება მოხდეს და არ მოხდეს.

მაგალითი : გასროლა იარაღიდან - ტესტი

Inc. ა- მიზანში დარტყმა

Inc. IN– გამოტოვება – შემთხვევითი მოვლენები.

ღონისძიება ე.წ საიმედო თუ ტესტის შედეგად ის აუცილებლად უნდა მოხდეს.

მაგალითი : კამათლის სროლისას ჩამოაგდეთ არაუმეტეს 6 ქულა.

ღონისძიება ე.წ შეუძლებელია თუ მოცემული ექსპერიმენტის პირობებში ეს საერთოდ არ შეიძლება მოხდეს.

მაგალითი : 6-ზე მეტი ქულა შემოვიდა ჯარისკაცის სროლისას.

მოვლენებს ე.წ შეუთავსებელი თუ რომელიმე მათგანის დადგომა გამორიცხავს რომელიმე მეორის წარმოშობას. წინააღმდეგ შემთხვევაში, მოვლენებს ერთობლივი ეწოდება.

მაგალითი : კამათელი იყრება. 5-იანი რულონი გამორიცხავს 6-ის რულონს. ეს შეუთავსებელი მოვლენებია. სტუდენტი, რომელიც ორ სხვადასხვა დისციპლინაში გამოცდებზე „კარგ“ და „შესანიშნავ“ ქულებს იღებს, ერთობლივი ღონისძიებაა.

ორი შეუთავსებელი მოვლენა, რომელთაგან ერთი აუცილებლად უნდა მოხდეს, ეწოდება საწინააღმდეგო . მოვლენა მოვლენის საპირისპირო ადანიშნოს Ā .

მაგალითი : მონეტის სროლისას „გერბის“ გამოჩენა და „კუდების“ გამოჩენა საპირისპირო მოვლენაა.

ამ გამოცდილებაში რამდენიმე მოვლენას უწოდებენ თანაბრად შესაძლებელია თუ არსებობს საფუძველი იმის დასაჯერებლად, რომ არც ერთი ეს მოვლენა არ არის უფრო შესაძლებელი ვიდრე სხვები.

მაგალითი : ტუზის, ათეულების, დედოფლების დახატვა ბანქოდან - მოვლენები თანაბრად სავარაუდოა.

რამდენიმე მოვლენა იქმნება სრული ჯგუფი თუ ტესტის შედეგად აუცილებლად უნდა მოხდეს ამ მოვლენათაგან ერთი და მხოლოდ ერთი.

მაგალითი : 1, 2, 3, 4, 5, 6 ქულების რაოდენობის ჩამოგდება მატერიის სროლისას.

მოვლენის ალბათობის კლასიკური განმარტება. ალბათობის თვისებები

პრაქტიკული საქმიანობისთვის მნიშვნელოვანია მოვლენების შედარება მათი წარმოშობის შესაძლებლობის ხარისხის მიხედვით.

ალბათობამოვლენა არის მოვლენის ობიექტური შესაძლებლობის ხარისხის რიცხვითი საზომი.

დავურეკოთ ელემენტარული შედეგი თითოეული თანაბრად სავარაუდო ტესტის შედეგი.

გამოსვლა ჰქვია ხელსაყრელი (ხელსაყრელი) მოვლენა ა, თუ მისი დადგომა იწვევს მოვლენის დადგომას ა.

კლასიკური განმარტება : მოვლენის ალბათობა აუდრის მოცემული მოვლენისთვის ხელსაყრელი შედეგების რაოდენობის თანაფარდობას შესაძლო შედეგების საერთო რაოდენობასთან.

(1) სად პ(ა) არის მოვლენის ალბათობა ა,

მ- ხელსაყრელი შედეგების რაოდენობა,

ნარის ყველა შესაძლო შედეგის რაოდენობა.

მაგალითი : ლატარიაში არის 1000 ბილეთი, საიდანაც 700 არ არის მოგებული. რა არის ერთ შეძენილ ბილეთზე მოგების ალბათობა.

ღონისძიება ა- იყიდა მომგებიანი ბილეთი

შესაძლო შედეგების რაოდენობა ნ=1000 არის ლატარიის ბილეთების საერთო რაოდენობა.

ღონისძიების სასარგებლო შედეგების რაოდენობა აარის მოგებული ბილეთების რაოდენობა, ე.ი. მ=1000-700=300.

ალბათობის კლასიკური განმარტების მიხედვით:

პასუხი:
.

შენიშვნა მოვლენის ალბათობის თვისებები:

1) ნებისმიერი მოვლენის ალბათობა არის ნულსა და ერთს შორის, ე.ი. 0≤ პ(ა)≤1.

2) გარკვეული მოვლენის ალბათობა არის 1.

3) შეუძლებელი მოვლენის ალბათობა არის 0.

გარდა კლასიკურისა, არსებობს ალბათობის გეომეტრიული და სტატისტიკური განმარტებებიც.

კომბინატორიკის ელემენტები.

კომბინატორიკის ფორმულები ფართოდ გამოიყენება მოცემული მოვლენისთვის ხელსაყრელი შედეგების ან შედეგების მთლიანი რაოდენობის გამოსათვლელად.

იყოს კომპლექტი ნსაწყისი ნსხვადასხვა ელემენტები.

განმარტება 1: კომბინაციები, რომელთაგან თითოეული მოიცავს ყველა ნელემენტები და რომლებიც ერთმანეთისგან განსხვავდებიან მხოლოდ ელემენტების თანმიმდევრობით ეწოდება პერმუტაციები საწყისი ნელემენტები.

პ ნ=ნ! (2), სადაც ნ! (ნ-ფაქტორული) - პროდუქტი ნნატურალური რიგის პირველი რიცხვები, ე.ი.

ნ! = 1∙2∙3∙…∙(ნ–1)∙ნ

ასე რომ, მაგალითად, 5!=1∙2∙3∙4∙5 = 120

განმარტება 2: მელემენტები ( მ≤ნ) და ერთმანეთისგან განსხვავებულნი ან ელემენტების შემადგენლობით ან მათი რიგითობით ეძახიან განთავსება საწყისი ნმიერ მელემენტები.

(3) 
განმარტება 3: კომბინაციები, თითოეული შეიცავს მელემენტები ( მ≤ნ) და ერთმანეთისგან განსხვავდებიან მხოლოდ ელემენტების შემადგენლობით ე.წ კომბინაციები საწყისი ნმიერ მელემენტები.

(4)
კომენტარი:ელემენტების თანმიმდევრობის შეცვლა იმავე კომბინაციის ფარგლებში არ იწვევს ახალ კომბინაციას.

ჩვენ ვაყალიბებთ ორ მნიშვნელოვან წესს, რომლებიც ხშირად გამოიყენება კომბინატორული ამოცანების გადაჭრისას

ჯამის წესი: თუ ობიექტი აშეიძლება შეირჩეს მგზები და ობიექტი IN – ნგზები, მაშინ არჩევანი არის ან აან INშეიძლება გაკეთდეს მ+ნგზები.

პროდუქტის წესი: თუ ობიექტი აშეიძლება შეირჩეს მგზები და ობიექტი INყოველი ასეთი არჩევანის შემდეგ, ადამიანს შეუძლია აირჩიოს ნგზები, შემდეგ წყვილი ობიექტი ადა INშეიძლება შეირჩეს ამ თანმიმდევრობით. მ ∙ ნგზები.

ნაკლებად სავარაუდოა, რომ ბევრმა იფიქროს იმაზე, არის თუ არა შესაძლებელი მოვლენების გამოთვლა, რომლებიც მეტ-ნაკლებად შემთხვევითია. მარტივი სიტყვებით, რეალურია თუ არა იმის ცოდნა, თუ რომელი მხარე დაეცემა სასიძოს შემდეგ. სწორედ ეს კითხვა დაუსვეს ორმა დიდმა მეცნიერმა, რომლებმაც საფუძველი ჩაუყარეს ისეთ მეცნიერებას, როგორიცაა ალბათობის თეორია, რომელშიც საკმაოდ ვრცლად არის შესწავლილი მოვლენის ალბათობა.

წარმოშობა

თუ თქვენ ცდილობთ განსაზღვროთ ისეთი კონცეფცია, როგორიცაა ალბათობის თეორია, მიიღებთ შემდეგს: ეს არის მათემატიკის ერთ-ერთი დარგი, რომელიც სწავლობს შემთხვევითი მოვლენების მუდმივობას. რა თქმა უნდა, ეს კონცეფცია მთელ არსს ნამდვილად არ ამჟღავნებს, ამიტომ საჭიროა მისი უფრო დეტალურად განხილვა.

მინდა დავიწყოთ თეორიის შემქმნელებით. როგორც ზემოთ აღვნიშნეთ, ორი მათგანი იყო და სწორედ ისინი იყვნენ პირველთა შორის, ვინც ცდილობდა გამოეთვალათ მოვლენის შედეგი ფორმულებისა და მათემატიკური გამოთვლების გამოყენებით. მთლიანობაში, ამ მეცნიერების დასაწყისი შუა საუკუნეებში გაჩნდა. იმ დროს, სხვადასხვა მოაზროვნე და მეცნიერი ცდილობდა გაანალიზებულიყო აზარტული თამაშები, როგორიცაა რულეტკა, კამათელი და ა.შ. საფუძველი ჩაეყარა XVII საუკუნეში ზემოხსენებულმა მეცნიერებმა.

თავდაპირველად, მათი ნამუშევარი არ შეიძლება მიეწეროს ამ სფეროში დიდ მიღწევებს, რადგან ყველაფერი, რაც მათ გააკეთეს, უბრალოდ ემპირიული ფაქტები იყო და ექსპერიმენტები ხდებოდა ვიზუალურად, ფორმულების გამოყენების გარეშე. დროთა განმავლობაში დიდი შედეგების მიღწევა აღმოჩნდა, რაც კამათლის სროლაზე დაკვირვების შედეგად გამოჩნდა. ეს იყო ეს ინსტრუმენტი, რომელიც დაეხმარა პირველი გასაგები ფორმულების გამომუშავებას.

თანამოაზრეები

შეუძლებელია არ ვახსენო ისეთი ადამიანი, როგორიც არის კრისტიან ჰაიგენსი, თემის შესწავლის პროცესში, სახელწოდებით „ალბათობის თეორია“ (მოვლენის ალბათობა სწორედ ამ მეცნიერებაშია გაშუქებული). ეს ადამიანი ძალიან საინტერესოა. ის, ისევე როგორც ზემოთ წარმოდგენილი მეცნიერები, ცდილობდა გამოეყვანა შემთხვევითი მოვლენების კანონზომიერება მათემატიკური ფორმულების სახით. აღსანიშნავია, რომ მას ეს არ გაუკეთებია პასკალთან და ფერმასთან ერთად, ანუ მისი ყველა ნამუშევარი არანაირად არ იკვეთება ამ გონებასთან. ჰაიგენსმა გამოიყვანა

საინტერესო ფაქტია, რომ მისი ნამუშევარი აღმომჩენთა მუშაობის შედეგებამდე დიდი ხნით ადრე გამოვიდა, უფრო სწორად, ოცი წლით ადრე. დანიშნულ ცნებებს შორის ყველაზე ცნობილია:

• ალბათობის ცნება, როგორც შემთხვევითობის სიდიდე;
• მათემატიკური მოლოდინი დისკრეტული შემთხვევებისთვის;
• გამრავლებისა და ალბათობების შეკრების თეორემები.

ასევე შეუძლებელია არ გვახსოვდეს, თუ ვინ შეიტანა ასევე მნიშვნელოვანი წვლილი პრობლემის შესწავლაში. საკუთარი ტესტების ჩატარებით, ვინმესგან დამოუკიდებლად, მან მოახერხა დიდი რიცხვების კანონის მტკიცებულების წარდგენა. თავის მხრივ, მეცნიერებმა პუასონმა და ლაპლასმა, რომლებიც მუშაობდნენ მეცხრამეტე საუკუნის დასაწყისში, შეძლეს ორიგინალური თეორემების დამტკიცება. სწორედ ამ მომენტიდან დაიწყო ალბათობის თეორიის გამოყენება დაკვირვების მსვლელობისას შეცდომების გასაანალიზებლად. რუსმა მეცნიერებმა, უფრო სწორად, მარკოვმა, ჩებიშევმა და დიაპუნოვმა ვერც ამ მეცნიერებას გვერდი აუარეს. დიდი გენიოსების მიერ შესრულებული სამუშაოს საფუძველზე მათ ეს საგანი მათემატიკის დარგად დააფიქსირეს. ეს ფიგურები მუშაობდნენ უკვე მეცხრამეტე საუკუნის ბოლოს და მათი წვლილის წყალობით, ისეთი ფენომენები, როგორიცაა:

• დიდი რიცხვების კანონი;
• მარკოვის ჯაჭვების თეორია;
• ცენტრალური ლიმიტის თეორემა.

ასე რომ, მეცნიერების დაბადების ისტორიითა და ძირითადი ადამიანებით, რომლებმაც მასზე გავლენა მოახდინეს, ყველაფერი მეტ-ნაკლებად ნათელია. ახლა დროა ყველა ფაქტის დაკონკრეტება.

Ძირითადი ცნებები

სანამ კანონებსა და თეორემებს შევეხებით, ღირს ალბათობის თეორიის ძირითადი ცნებების შესწავლა. ღონისძიება მასში წამყვან როლს იკავებს. ეს თემა საკმაოდ მოცულობითია, მაგრამ ამის გარეშე სხვა ყველაფრის გაგება შეუძლებელი იქნება.

მოვლენა ალბათობის თეორიაში არის ექსპერიმენტის შედეგების ნებისმიერი ნაკრები. ამ ფენომენის ამდენი კონცეფცია არ არსებობს. ასე რომ, მეცნიერმა ლოტმანმა, რომელიც მუშაობს ამ სფეროში, თქვა, რომ ამ შემთხვევაში ჩვენ ვსაუბრობთ იმაზე, რაც "მოხდა, თუმცა შეიძლება არ მომხდარიყო".

შემთხვევითი მოვლენები (ალბათობის თეორია მათ განსაკუთრებულ ყურადღებას აქცევს) არის ცნება, რომელიც გულისხმობს აბსოლუტურად ნებისმიერ ფენომენს, რომელსაც აქვს არსებობის უნარი. ან, პირიქით, ეს სცენარი შეიძლება არ მოხდეს, როცა ბევრი პირობა დაკმაყოფილებულია. ასევე ღირს იმის ცოდნა, რომ ეს არის შემთხვევითი მოვლენები, რომლებიც ასახავს მომხდარი ფენომენების მთელ მოცულობას. ალბათობის თეორია მიუთითებს, რომ ყველა პირობა შეიძლება მუდმივად განმეორდეს. სწორედ მათ ქცევას ეწოდა „ექსპერიმენტი“ ან „ტესტი“.

გარკვეული მოვლენა არის ის, რაც 100% მოხდება მოცემულ ტესტში. შესაბამისად, შეუძლებელი მოვლენა არის ის, რაც არ მოხდება.

მოქმედებათა წყვილის ერთობლიობა (პირობითად შემთხვევა A და შემთხვევა B) არის ფენომენი, რომელიც ერთდროულად ხდება. ისინი დანიშნულია როგორც AB.

A და B მოვლენების წყვილის ჯამი არის C, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თუ მათგან ერთი მაინც მოხდება (A ან B), მაშინ მიიღება C. აღწერილი ფენომენის ფორმულა იწერება შემდეგნაირად: C \u003d A. + B.

განცალკევებული მოვლენები ალბათობის თეორიაში გულისხმობს, რომ ეს ორი შემთხვევა ურთიერთგამომრიცხავია. ისინი არასოდეს შეიძლება მოხდეს ერთდროულად. ერთობლივი მოვლენები ალბათობის თეორიაში მათი ანტიპოდია. ეს ნიშნავს, რომ თუ A მოხდა, მაშინ ის არანაირად არ უშლის ხელს B-ს.

საპირისპირო მოვლენები (ალბათობის თეორია მათ დეტალურად ეხება) ადვილად გასაგებია. უმჯობესია მათთან შედარებით გაუმკლავდეთ. ისინი თითქმის იგივეა, რაც შეუთავსებელი მოვლენები ალბათობის თეორიაში. მაგრამ მათი განსხვავება მდგომარეობს იმაში, რომ ერთ-ერთი მრავალი ფენომენი ნებისმიერ შემთხვევაში უნდა მოხდეს.

თანაბრად სავარაუდო მოვლენები არის ის მოქმედებები, რომელთა განმეორების შესაძლებლობა თანაბარია. უფრო გასაგებად რომ ვთქვათ, ჩვენ შეგვიძლია წარმოვიდგინოთ მონეტის სროლა: მისი ერთ-ერთი მხარის დაკარგვა თანაბრად სავარაუდოა, რომ მეორისგან ჩამოვარდეს.

ხელსაყრელი მოვლენის დანახვა უფრო ადვილია მაგალითით. დავუშვათ, არის ეპიზოდი B და ეპიზოდი A. პირველი არის კენტი რიცხვის ფიგურა, ხოლო მეორე არის ხუთეულის გამოჩენა კვერზე. შემდეგ აღმოჩნდება, რომ A უპირატესობას ანიჭებს B-ს.

დამოუკიდებელი მოვლენები ალბათობის თეორიაში პროეცირებულია მხოლოდ ორ ან მეტ შემთხვევაზე და გულისხმობს ნებისმიერი მოქმედების დამოუკიდებლობას მეორისგან. მაგალითად, A - კუდების ვარდნა მონეტის სროლისას და B - ჯეკის მიღება გემბანიდან. ისინი დამოუკიდებელი მოვლენებია ალბათობის თეორიაში. ამ ეტაპზე უფრო ნათელი გახდა.

ალბათობის თეორიაში დამოკიდებული მოვლენები ასევე დასაშვებია მხოლოდ მათი სიმრავლისთვის. ისინი გულისხმობენ ერთის დამოკიდებულებას მეორეზე, ანუ B ფენომენი შეიძლება მოხდეს მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ A უკვე მოხდა ან, პირიქით, არ მომხდარა, როდესაც ეს არის B-სთვის მთავარი პირობა.

ერთი კომპონენტისგან შემდგარი შემთხვევითი ექსპერიმენტის შედეგი არის ელემენტარული მოვლენები. ალბათობის თეორია განმარტავს, რომ ეს არის ფენომენი, რომელიც მხოლოდ ერთხელ მოხდა.

ძირითადი ფორმულები

ასე რომ, ზემოთ განხილული იქნა "მოვლენის", "ალბათობის თეორიის" ცნებები, ასევე მოცემულია ამ მეცნიერების ძირითადი ტერმინების განმარტება. ახლა დროა უშუალოდ გაეცნოთ მნიშვნელოვან ფორმულებს. ეს გამონათქვამები მათემატიკურად ადასტურებენ ყველა ძირითად ცნებას ისეთ რთულ საგანში, როგორიცაა ალბათობის თეორია. მოვლენის ალბათობა აქაც დიდ როლს თამაშობს.

ჯობია მთავარით დავიწყოთ და სანამ მათზე გადავიდოდეთ, ღირს დაფიქრდეთ რა არის.

კომბინატორიკა, უპირველეს ყოვლისა, მათემატიკის ფილიალია, ის ეხება მთელი რიცხვების უზარმაზარი რაოდენობის შესწავლას, ასევე როგორც თავად რიცხვების, ასევე მათი ელემენტების სხვადასხვა პერმუტაციებს, სხვადასხვა მონაცემებს და ა.შ., რაც იწვევს მრავალი კომბინაციის გამოჩენას. გარდა ალბათობის თეორიისა, ეს დარგი მნიშვნელოვანია სტატისტიკის, კომპიუტერული მეცნიერებისა და კრიპტოგრაფიისთვის.

ასე რომ, ახლა თქვენ შეგიძლიათ გადახვიდეთ თავად ფორმულების პრეზენტაციაზე და მათ განმარტებაზე.

პირველი მათგანი იქნება გამოხატულება პერმუტაციების რაოდენობისთვის, ის ასე გამოიყურება:

P_n = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)…3 ⋅ 2 ⋅ 1 = n!

განტოლება მოქმედებს მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ელემენტები განსხვავდებიან მხოლოდ მათი თანმიმდევრობით.

ახლა განიხილება განთავსების ფორმულა, ასე გამოიყურება:

A_n^m = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n - m + 1) = n! : (ნ - მ)!

ეს გამოთქმა ეხება არა მხოლოდ ელემენტის წესრიგს, არამედ მის შემადგენლობას.

კომბინატორიკის მესამე განტოლებას, და ის ასევე ბოლოა, ეწოდება კომბინაციების რაოდენობის ფორმულა:

C_n^m = n! : ((ნ - მ))! :მ!

კომბინაციას უწოდებენ შერჩევას, რომელიც არ არის შეკვეთილი, შესაბამისად და ეს წესი მათზე ვრცელდება.

კომბინატორიკის ფორმულების გარკვევა ადვილი აღმოჩნდა, ახლა შეგვიძლია გადავიდეთ ალბათობის კლასიკურ განსაზღვრებაზე. ეს გამოთქმა ასე გამოიყურება:

ამ ფორმულაში m არის A მოვლენისთვის ხელსაყრელი პირობების რაოდენობა, ხოლო n არის აბსოლუტურად ყველა თანაბრად შესაძლო და ელემენტარული შედეგის რაოდენობა.

გამოთქმების დიდი რაოდენობაა, სტატია არ მოიცავს ყველა მათგანს, მაგრამ მათგან ყველაზე მნიშვნელოვანს შევეხებით, როგორიცაა, მაგალითად, მოვლენების ჯამის ალბათობა:

P(A + B) = P(A) + P(B) - ეს თეორემა არის მხოლოდ შეუთავსებელი მოვლენების დასამატებლად;

P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) - და ეს არის მხოლოდ თავსებადიების დასამატებლად.

მოვლენების წარმოქმნის ალბათობა:

P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B) - ეს თეორემა არის დამოუკიდებელი მოვლენებისთვის;

(P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B∣A); P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(A∣B)) - და ეს არის დამოკიდებულებისთვის.

ღონისძიების ფორმულა დაასრულებს სიას. ალბათობის თეორია გვეუბნება ბეიზის თეორემაზე, რომელიც ასე გამოიყურება:

P(H_m∣A) = (P(H_m)P(A∣H_m)) : (∑_(k=1)^n P(H_k)P(A∣H_k)),m = 1,..., ნ

ამ ფორმულაში H 1 , H 2 , ..., H n არის ჰიპოთეზების სრული ჯგუფი.

მაგალითები

თუ თქვენ ყურადღებით შეისწავლით მათემატიკის რომელიმე დარგს, ის არ არის სრულყოფილი სავარჯიშოებისა და ამონახსნების ნიმუშის გარეშე. ასეა ალბათობის თეორიაც: მოვლენები, მაგალითები აქ არის განუყოფელი კომპონენტი, რომელიც ადასტურებს მეცნიერულ გამოთვლებს.

პერმუტაციების რაოდენობის ფორმულა

ვთქვათ, არის ოცდაათი კარტი კარტების დასტაში, დაწყებული ნომინალური ღირებულებით ერთი. Შემდეგი შეკითხვა. რამდენი გზა არსებობს გემბანის დასაწყობად ისე, რომ ერთი და ორი ნომინალური ღირებულების ბარათები ერთმანეთის გვერდით არ იყოს?

ამოცანა დასახულია, ახლა გადავიდეთ მის გადაჭრაზე. ჯერ უნდა დაადგინოთ ოცდაათი ელემენტის პერმუტაციების რაოდენობა, ამისთვის ვიღებთ ზემოთ მოცემულ ფორმულას, გამოდის P_30 = 30!.

ამ წესიდან გამომდინარე, ჩვენ გავარკვევთ, რამდენი ვარიანტია გემბანის დასაკეცი სხვადასხვა გზით, მაგრამ მათ უნდა გამოვაკლოთ ის, რომლებშიც პირველი და მეორე კარტებია შემდეგი. ამისათვის დავიწყოთ იმ ვარიანტით, როდესაც პირველი მეორეზე მაღლა დგას. გამოდის, რომ პირველ კარტს შეუძლია ოცდაცხრა ადგილი დაიკავოს - პირველიდან ოცდამეცხრემდე, ხოლო მეორე კარტი მეორიდან ოცდამეათემდე, გამოდის მხოლოდ ოცდაცხრა ადგილი წყვილი კარტისთვის. თავის მხრივ, დანარჩენებს შეუძლიათ დაიკავონ ოცდარვა ადგილი და ნებისმიერი თანმიმდევრობით. ანუ, ოცდარვა კარტის პერმუტაციისთვის არის ოცდარვა ვარიანტი P_28 = 28!

შედეგად, გამოდის, რომ თუ განვიხილავთ გამოსავალს, როდესაც პირველი კარტი მეორეზე მაღლა დგას, არის 29 ⋅ 28 დამატებითი შესაძლებლობა! = 29!

იგივე მეთოდის გამოყენებით, თქვენ უნდა გამოთვალოთ ზედმეტი ვარიანტების რაოდენობა იმ შემთხვევისთვის, როდესაც პირველი ბარათი მეორეზეა. ისიც გამოდის 29 ⋅ 28! = 29!

აქედან გამომდინარეობს, რომ არის 2 ⋅ 29! დამატებითი ვარიანტი, ხოლო გემბანის ასაგებად 30 აუცილებელი გზა! - 2 ⋅ 29!. რჩება მხოლოდ დათვლა.

30! = 29! ⋅ 30; 30!- 2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28

ახლა თქვენ უნდა გაამრავლოთ ყველა რიცხვი ერთიდან ოცდაცხრამდე და ბოლოს ყველაფერი გაამრავლოთ 28-ზე. პასუხი არის 2.4757335 ⋅〖10〗^32

მაგალითი გადაწყვეტა. განთავსების ნომრის ფორმულა

ამ პრობლემაში, თქვენ უნდა გაარკვიოთ, რამდენი გზა არსებობს თხუთმეტი ტომის ერთ თაროზე დასადებად, მაგრამ იმ პირობით, რომ სულ ოცდაათი ტომია.

ამ პრობლემის გადაწყვეტა ოდნავ უფრო მარტივია, ვიდრე წინა. უკვე ცნობილი ფორმულის გამოყენებით, აუცილებელია გამოვთვალოთ შეთანხმებების საერთო რაოდენობა თხუთმეტი ოცდაათი ტომიდან.

A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 = 202 843 204 931 72003

პასუხი, შესაბამისად, უდრის 202,843,204,931,727,360,000.

ახლა ცოტა უფრო რთულად ავიღოთ დავალება. თქვენ უნდა გაარკვიოთ რამდენი გზა არსებობს ოცდაათი წიგნის ორ თაროზე მოსაწყობად, იმ პირობით, რომ მხოლოდ თხუთმეტი ტომი შეიძლება იყოს ერთ თაროზე.

გადაწყვეტის დაწყებამდე მინდა განვმარტო, რომ ზოგიერთი პრობლემა რამდენიმე გზით წყდება, ამიტომ ამ ერთში ორი გზაა, მაგრამ ორივეში ერთი და იგივე ფორმულა გამოიყენება.

ამ პრობლემაში შეგიძლიათ პასუხი აიღოთ წინადან, რადგან იქ ჩვენ გამოვთვალეთ რამდენჯერ შეგიძლიათ შეავსოთ თარო თხუთმეტი წიგნით სხვადასხვა გზით. აღმოჩნდა A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ...⋅ 16.

მეორე თაროს პერმუტაციის ფორმულის მიხედვით ვიანგარიშებთ, რადგან მასში თხუთმეტი წიგნია მოთავსებული, თხუთმეტი კი რჩება. ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას P_15 = 15!.

გამოდის, რომ საერთო ჯამში იქნება A_30^15 ⋅ P_15 გზები, მაგრამ, გარდა ამისა, ოცდაათიდან თექვსმეტამდე ყველა რიცხვის ნამრავლი უნდა გამრავლდეს რიცხვების ნამრავლზე ერთიდან თხუთმეტამდე, შედეგად, მიიღება ყველა რიცხვის ნამრავლი ერთიდან ოცდაათამდე, ანუ პასუხი უდრის 30-ს!

მაგრამ ეს პრობლემა შეიძლება მოგვარდეს სხვა გზით - უფრო ადვილია. ამისათვის თქვენ შეგიძლიათ წარმოიდგინოთ, რომ არის ერთი თარო ოცდაათი წიგნისთვის. ყველა მათგანი მოთავსებულია ამ თვითმფრინავზე, მაგრამ რადგან პირობა მოითხოვს, რომ იყოს ორი თარო, ერთი გრძელი დავჭრათ შუაზე, გამოდის ორი თხუთმეტი. აქედან გამოდის, რომ განთავსების ვარიანტები შეიძლება იყოს P_30 = 30!.

მაგალითი გადაწყვეტა. კომბინაციის ნომრის ფორმულა

ახლა განვიხილავთ მესამე პრობლემის ვარიანტს კომბინატორიკიდან. თქვენ უნდა გაარკვიოთ რამდენი გზა არსებობს თხუთმეტი წიგნის მოსაწყობად, იმ პირობით, რომ თქვენ უნდა აირჩიოთ ოცდაათი აბსოლუტურად იდენტური წიგნიდან.

ამოხსნისთვის, რა თქმა უნდა, გამოყენებული იქნება კომბინაციების რაოდენობის ფორმულა. მდგომარეობიდან ირკვევა, რომ იდენტური თხუთმეტი წიგნის თანმიმდევრობა არ არის მნიშვნელოვანი. ამიტომ, თავდაპირველად თქვენ უნდა გაარკვიოთ თხუთმეტი წიგნის ოცდაათი კომბინაციის საერთო რაოდენობა.

C_30^15 = 30! : ((30-15)) ! : 15 ! = 155 117 520

Სულ ეს არის. ამ ფორმულის გამოყენებით უმოკლეს დროში შესაძლებელი გახდა ასეთი პრობლემის გადაჭრა, პასუხი, შესაბამისად, არის 155 117 520.

მაგალითი გადაწყვეტა. ალბათობის კლასიკური განმარტება

ზემოთ მოყვანილი ფორმულის გამოყენებით შეგიძლიათ იპოვოთ პასუხი მარტივ პრობლემაში. მაგრამ ეს ხელს შეუწყობს მოქმედებების ვიზუალურად დანახვას და კვალს.

პრობლემა მოცემულია, რომ ურნაში არის ათი აბსოლუტურად იდენტური ბურთი. აქედან ოთხი ყვითელია, ექვსი კი ლურჯი. ერთი ბურთი ამოღებულია ურნიდან. თქვენ უნდა გაარკვიოთ ლურჯის მიღების ალბათობა.

პრობლემის გადასაჭრელად აუცილებელია ლურჯი ბურთის მიღება A მოვლენად დასახელდეს. ამ გამოცდილებას შეიძლება ჰქონდეს ათი შედეგი, რომლებიც, თავის მხრივ, ელემენტარული და თანაბრად სავარაუდოა. ამავდროულად, ათიდან ექვსი ხელსაყრელია A მოვლენისთვის. ჩვენ ამოვხსნით ფორმულის გამოყენებით:

P(A) = 6: 10 = 0.6

ამ ფორმულის გამოყენებით გავარკვიეთ, რომ ლურჯი ბურთის მიღების ალბათობა არის 0,6.

გამოსავლის მაგალითი. მოვლენათა ჯამის ალბათობა

ახლა წარმოდგენილი იქნება ვარიანტი, რომელიც იხსნება მოვლენათა ჯამის ალბათობის ფორმულის გამოყენებით. ამრიგად, იმ პირობით, რომ არის ორი ყუთი, პირველი შეიცავს ერთ ნაცრისფერ და ხუთ თეთრ ბურთულებს, ხოლო მეორე შეიცავს რვა ნაცრისფერ და ოთხ თეთრ ბურთულებს. შედეგად, ერთი მათგანი ამოიღეს პირველი და მეორე ყუთებიდან. აუცილებელია გაირკვეს, რა არის შანსი, რომ ამოღებული ბურთები იყოს ნაცრისფერი და თეთრი.

ამ პრობლემის გადასაჭრელად აუცილებელია მოვლენების დანიშვნა.

• ასე რომ, A - აიღეთ ნაცრისფერი ბურთი პირველი ყუთიდან: P(A) = 1/6.
• A '- მათ ასევე აიღეს თეთრი ბურთი პირველი ყუთიდან: P (A ") \u003d 5/6.
• B - ნაცრისფერი ბურთი ამოიღეს უკვე მეორე ყუთიდან: P(B) = 2/3.
• B' - აიღეს ნაცრისფერი ბურთი მეორე ყუთიდან: P(B") = 1/3.

პრობლემის მდგომარეობიდან გამომდინარე, აუცილებელია, რომ მოხდეს ერთ-ერთი ფენომენი: AB 'ან A'B. ფორმულის გამოყენებით ვიღებთ: P(AB") = 1/18, P(A"B) = 10/18.

ახლა გამოყენებულია ალბათობის გამრავლების ფორმულა. შემდეგი, პასუხის გასარკვევად, თქვენ უნდა გამოიყენოთ განტოლება მათი მიმატებისთვის:

P = P(AB" + A"B) = P(AB") + P(A"B) = 11/18.

ასე რომ, ფორმულის გამოყენებით, შეგიძლიათ გადაჭრათ მსგავსი პრობლემები.

შედეგი

სტატიაში მოცემულია ინფორმაცია თემაზე „ალბათობის თეორია“, რომელშიც გადამწყვეტ როლს თამაშობს მოვლენის ალბათობა. რა თქმა უნდა, ყველაფერი არ იყო გათვალისწინებული, მაგრამ, წარმოდგენილი ტექსტიდან გამომდინარე, თეორიულად შეიძლება მათემატიკის ამ მონაკვეთის გაცნობა. მოცემული მეცნიერება შეიძლება სასარგებლო იყოს არა მხოლოდ პროფესიულ საქმიანობაში, არამედ ყოველდღიურ ცხოვრებაშიც. მისი დახმარებით თქვენ შეგიძლიათ გამოთვალოთ ნებისმიერი მოვლენის შესაძლებლობა.

ტექსტი ასევე შეეხო მნიშვნელოვან თარიღებს ალბათობის თეორიის, როგორც მეცნიერების ჩამოყალიბების ისტორიაში და იმ ადამიანების სახელებს, რომელთა ნამუშევრებიც მასში იყო ჩადებული. ასე მიიყვანა ადამიანის ცნობისმოყვარეობამ, რომ ადამიანებმა ისწავლეს შემთხვევითი მოვლენების გამოთვლაც კი. ოდესღაც ისინი უბრალოდ დაინტერესდნენ, მაგრამ დღეს უკვე ყველამ იცის ამის შესახებ. და არავინ იტყვის, რა გველოდება მომავალში, კიდევ რა ბრწყინვალე აღმოჩენები იქნება განსახილველ თეორიასთან დაკავშირებული. მაგრამ ერთი რამ ცხადია - კვლევა არ დგას!

მოვლენის ალბათობა გაგებულია, როგორც ამ მოვლენის დადგომის შესაძლებლობის ზოგიერთი რიცხვითი მახასიათებელი. არსებობს რამდენიმე მიდგომა ალბათობის დასადგენად.

მოვლენის ალბათობა აარის ამ მოვლენისთვის ხელსაყრელი შედეგების რაოდენობის თანაფარდობა ყველა თანაბრად შესაძლო შეუთავსებელი ელემენტარული შედეგის საერთო რაოდენობასთან, რომლებიც ქმნიან სრულ ჯგუფს. ასე რომ, მოვლენის ალბათობა აგანისაზღვრება ფორმულით

სად მარის ხელშემწყობი ელემენტარული შედეგების რაოდენობა ა, ნ- ტესტის ყველა შესაძლო ელემენტარული შედეგის რაოდენობა.

მაგალითი 3.1.ექსპერიმენტში კამათლის სროლისას, ყველა შედეგის რაოდენობა ნარის 6 და ისინი ყველა თანაბრად შესაძლებელია. დაე, ღონისძიება ანიშნავს ლუწი რიცხვის გამოჩენას. შემდეგ ამ მოვლენისთვის ხელსაყრელი შედეგი იქნება 2, 4, 6 რიცხვების გამოჩენა. მათი რიცხვი არის 3. შესაბამისად, მოვლენის ალბათობა აუდრის

მაგალითი 3.2.რა არის იმის ალბათობა, რომ შემთხვევით არჩეულ ორნიშნა რიცხვში ციფრები ერთნაირი იყოს?

ორნიშნა რიცხვები 10-დან 99-მდე რიცხვებია, სულ 90 ასეთი რიცხვია, 9 რიცხვს აქვს იგივე რიცხვი (ეს არის რიცხვები 11, 22, ..., 99). ვინაიდან ამ შემთხვევაში მ=9, ნ= 90, მაშინ

სად ა- მოვლენა, "რიცხვი იგივე ციფრებით."

მაგალითი 3.3.არის 7 სტანდარტული ნაწილი 10 ნაწილში. იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ შემთხვევით შერჩეულ ექვს ნაწილს შორის არის 4 სტანდარტული ნაწილი.

ტესტის შესაძლო ელემენტარული შედეგების ჯამური რაოდენობა უდრის იმ გზების რაოდენობას, რომლითაც შესაძლებელია 10-დან 6 ნაწილის ამოღება, ანუ 6 ელემენტის 10 ელემენტის კომბინაციების რაოდენობა. განსაზღვრეთ იმ შედეგების რაოდენობა, რომლებიც ხელს უწყობს ჩვენთვის საინტერესო მოვლენას ა(აღღებულ ექვს ნაწილს შორის 4 სტანდარტულია). ოთხი სტანდარტული ნაწილის აღება შესაძლებელია შვიდი სტანდარტული ნაწილისგან სხვადასხვა გზით; ამავდროულად დარჩენილი 6-4=2 ნაწილი უნდა იყოს არასტანდარტული, მაგრამ შეგიძლიათ აიღოთ ორი არასტანდარტული ნაწილი 10-7=3 არასტანდარტული ნაწილიდან სხვადასხვა გზით. აქედან გამომდინარე, ხელსაყრელი შედეგების რაოდენობა არის .

მაშინ სასურველი ალბათობა უდრის

ალბათობის განმარტებიდან გამომდინარეობს შემდეგი თვისებები:

1. გარკვეული მოვლენის ალბათობა ერთის ტოლია.

მართლაც, თუ მოვლენა სანდოა, მაშინ ტესტის ყოველი ელემენტარული შედეგი ხელს უწყობს მოვლენას. ამ შემთხვევაში m=n, აქედან გამომდინარე

2. შეუძლებელი მოვლენის ალბათობა ნულის ტოლია.

მართლაც, თუ მოვლენა შეუძლებელია, მაშინ სასამართლო პროცესის არც ერთი ელემენტარული შედეგი არ ემხრობა მოვლენას. ამ შემთხვევაში ნიშნავს

3. შემთხვევითი მოვლენის ალბათობა არის დადებითი რიცხვი ნულსა და ერთს შორის.

მართლაც, ტესტის ელემენტარული შედეგების საერთო რაოდენობის მხოლოდ ნაწილი ხელს უწყობს შემთხვევით მოვლენას. Ამ შემთხვევაში< მ< n, ნიშნავს 0 < m/n < 1, ანუ 0< P(A) < 1. Итак, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству

ლოგიკურად სრული ალბათობის თეორიის აგება ეფუძნება შემთხვევითი მოვლენის აქსიომატიურ განსაზღვრებას და მის ალბათობას. ა.ნ.კოლმოგოროვის მიერ შემოთავაზებული აქსიომების სისტემაში, განუსაზღვრელი ცნებები არის ელემენტარული მოვლენა და ალბათობა. აქ არის აქსიომები, რომლებიც განსაზღვრავენ ალბათობას:

1. ყოველი ღონისძიება ამიენიჭა არაუარყოფითი რეალური რიცხვი P(A). ამ რიცხვს ეწოდება მოვლენის ალბათობა. ა.

2. გარკვეული მოვლენის ალბათობა ერთის ტოლია.

3. წყვილთაგან ერთის მაინც შეუთავსებელი მოვლენის დადგომის ალბათობა უდრის ამ მოვლენების ალბათობათა ჯამს.

ამ აქსიომებზე დაყრდნობით, ალბათობების თვისებები და მათ შორის დამოკიდებულებები გამოყვანილია თეორემებად.

კითხვები თვითშემოწმებისთვის

1. რა ჰქვია მოვლენის შესაძლებლობის რიცხვით მახასიათებელს?

2. რას ჰქვია მოვლენის ალბათობა?

3. რა არის გარკვეული მოვლენის ალბათობა?

4. რა არის შეუძლებელი მოვლენის ალბათობა?

5. რა არის შემთხვევითი მოვლენის ალბათობის საზღვრები?

6. რა არის რაიმე მოვლენის ალბათობის საზღვრები?

7. ალბათობის რომელ განმარტებას ეწოდება კლასიკური?

იმისათვის, რომ მოვლენები რაოდენობრივად შევადაროთ ერთმანეთს მათი შესაძლებლობის ხარისხის მიხედვით, ცხადია, აუცილებელია თითოეულ მოვლენასთან გარკვეული რიცხვის დაკავშირება, რაც უფრო დიდია, მით უფრო შესაძლებელია მოვლენა. ამ ნომერს მოვუწოდებთ მოვლენის ალბათობას. ამრიგად, მოვლენის ალბათობაარის ამ მოვლენის ობიექტური შესაძლებლობის ხარისხის რიცხვითი საზომი.

ალბათობის კლასიკური განმარტება, რომელიც წარმოიშვა აზარტული თამაშების ანალიზიდან და თავდაპირველად ინტუიციურად გამოიყენებოდა, ალბათობის პირველ განმარტებად უნდა ჩაითვალოს.

ალბათობის განსაზღვრის კლასიკური გზა ემყარება თანაბრად სავარაუდო და შეუთავსებელი მოვლენების კონცეფციას, რომლებიც წარმოადგენენ მოცემული გამოცდილების შედეგებს და ქმნიან შეუთავსებელი მოვლენების სრულ ჯგუფს.

თანაბრად შესაძლო და შეუთავსებელი მოვლენების უმარტივესი მაგალითი, რომლებიც ქმნიან სრულ ჯგუფს, არის ამა თუ იმ ბურთის გამოჩენა ურნიდან, რომელიც შეიცავს იმავე ზომის, წონის და სხვა მატერიალური მახასიათებლების რამდენიმე ბურთულას, რომლებიც განსხვავდება მხოლოდ ფერით, საფუძვლიანად შერეული ამოღებამდე. .

მაშასადამე, ტესტი, რომლის შედეგებიც ქმნის შეუთავსებელი და თანაბრად სავარაუდო მოვლენების სრულ ჯგუფს, ამბობენ, რომ დაყვანილია ურნების სქემამდე, ან შემთხვევების სქემამდე, ან ჯდება კლასიკურ სქემაში.

თანაბრად შესაძლო და შეუთავსებელ მოვლენებს, რომლებიც ქმნიან სრულ ჯგუფს, უბრალოდ შემთხვევებს ან შანსებს უწოდებენ. უფრო მეტიც, თითოეულ ექსპერიმენტში, შემთხვევებთან ერთად, შეიძლება მოხდეს უფრო რთული მოვლენები.

მაგალითი: კამათლის სროლისას, A i შემთხვევებთან ერთად - i-წერტილების დაცემა ზედა სახეზე, ისეთი მოვლენები, როგორიცაა B - ამოვარდნილი ქულების ლუწი რაოდენობა, C - ამოვარდნილი სამი ქულის ჯერადი...

თითოეულ მოვლენასთან დაკავშირებით, რომელიც შეიძლება მოხდეს ექსპერიმენტის განხორციელებისას, შემთხვევები იყოფა ხელსაყრელი, რომლის დროსაც ეს მოვლენა ხდება და არახელსაყრელი, სადაც მოვლენა არ ხდება. წინა მაგალითში B მოვლენას ხელს უწყობს შემთხვევები A 2 , A 4 , A 6 ; მოვლენა C - შემთხვევები A 3, A 6.

კლასიკური ალბათობაზოგიერთი მოვლენის დადგომა არის იმ შემთხვევების რაოდენობის თანაფარდობა, რომლებიც ხელს უწყობს ამ მოვლენის გამოჩენას თანაბრად შესაძლო, შეუთავსებელი შემთხვევების საერთო რაოდენობასთან, რომელიც წარმოადგენს სრულ ჯგუფს მოცემულ გამოცდილებაში:

სად P(A)- A მოვლენის დადგომის ალბათობა; მ- A მოვლენისთვის ხელსაყრელი შემთხვევების რაოდენობა; ნარის შემთხვევების საერთო რაოდენობა.

მაგალითები:

1) (იხ. მაგალითი ზემოთ) P(B)= , P(C) =.

2) ურნა შეიცავს 9 წითელ და 6 ლურჯ ბურთს. იპოვეთ ალბათობა, რომ შემთხვევით გამოყვანილი ერთი ან ორი ბურთი წითელი იყოს.

ა- შემთხვევით დახატული წითელი ბურთი:

მ= 9, ნ= 9 + 6 = 15, P(A)=

ბ- შემთხვევით შედგენილი ორი წითელი ბურთი:

შემდეგი თვისებები გამომდინარეობს ალბათობის კლასიკური განმარტებიდან (აჩვენე საკუთარი თავი):

1) შეუძლებელი მოვლენის ალბათობა არის 0;

2) გარკვეული მოვლენის ალბათობა არის 1;

3) ნებისმიერი მოვლენის ალბათობა 0-დან 1-მდეა;

4) A მოვლენის საპირისპირო მოვლენის ალბათობა,

ალბათობის კლასიკური განმარტება ვარაუდობს, რომ ცდის შედეგების რაოდენობა სასრულია. პრაქტიკაში, თუმცა, ძალიან ხშირად არის სასამართლო პროცესები, რომელთა შესაძლო შემთხვევების რაოდენობა უსასრულოა. გარდა ამისა, კლასიკური განმარტების სისუსტე არის ის, რომ ძალიან ხშირად შეუძლებელია ტესტის შედეგის წარმოდგენა ელემენტარული მოვლენების ერთობლიობაში. კიდევ უფრო რთულია ტესტის ელემენტარული შედეგების თანაბრად სავარაუდო მიჩნევის საფუძვლების მითითება. ჩვეულებრივ, ტესტის ელემენტარული შედეგების თანასწორობა დასკვნა ხდება სიმეტრიის გათვალისწინებით. თუმცა, ასეთი ამოცანები პრაქტიკაში ძალიან იშვიათია. ამ მიზეზების გამო, ალბათობის კლასიკურ განმარტებასთან ერთად, გამოიყენება ალბათობის სხვა განმარტებებიც.

სტატისტიკური ალბათობამოვლენა A არის ამ მოვლენის წარმოშობის ფარდობითი სიხშირე შესრულებულ ტესტებში:

სად არის A მოვლენის დადგომის ალბათობა;

A მოვლენის დადგომის შედარებითი სიხშირე;

ცდების რაოდენობა, რომლებშიც გამოჩნდა მოვლენა A;

საცდელების საერთო რაოდენობა.

კლასიკური ალბათობისგან განსხვავებით, სტატისტიკური ალბათობა ექსპერიმენტულის მახასიათებელია.

მაგალითი: პარტიიდან პროდუქციის ხარისხის გასაკონტროლებლად, შემთხვევით შეირჩა 100 პროდუქტი, რომელთა შორის 3 პროდუქტი აღმოჩნდა დეფექტური. განსაზღვრეთ ქორწინების ალბათობა.

ალბათობის განსაზღვრის სტატისტიკური მეთოდი გამოიყენება მხოლოდ იმ მოვლენებზე, რომლებსაც აქვთ შემდეგი თვისებები:

განსახილველი მოვლენები უნდა იყოს მხოლოდ იმ ცდების შედეგი, რომელთა რეპროდუცირება შესაძლებელია შეუზღუდავი რაოდენობით ერთი და იგივე პირობების პირობებში.

მოვლენებს უნდა ჰქონდეს სტატისტიკური სტაბილურობა (ან ფარდობითი სიხშირეების სტაბილურობა). ეს ნიშნავს, რომ ტესტების სხვადასხვა სერიაში მოვლენის ფარდობითი სიხშირე მნიშვნელოვნად არ იცვლება.

ცდების რაოდენობა, რომლებიც მოჰყვება A მოვლენას, საკმარისად დიდი უნდა იყოს.

ადვილი დასამოწმებელია, რომ ალბათობის თვისებები, რომლებიც მომდინარეობს კლასიკური განმარტებიდან, შენარჩუნებულია ალბათობის სტატისტიკურ განსაზღვრებაშიც.