ჰიპოტენუზა იყოფა მიმდებარე ფეხით. თვითნებური კუთხის პოვნის მაგალითი

ინსტრუქცია

Მსგავსი ვიდეოები

შენიშვნა

მართკუთხა სამკუთხედის გვერდების გაანგარიშებისას, მისი მახასიათებლების ცოდნა შეიძლება ითამაშოს:
1) თუ მართი კუთხის ფეხი დევს 30 გრადუსიანი კუთხის საპირისპიროდ, მაშინ ის უდრის ჰიპოტენუზის ნახევარს;
2) ჰიპოტენუზა ყოველთვის გრძელია ვიდრე რომელიმე ფეხი;
3) თუ წრე შემოიფარგლება მართკუთხა სამკუთხედის ირგვლივ, მაშინ მისი ცენტრი უნდა იყოს ჰიპოტენუზის შუაში.

ჰიპოტენუზა არის მართკუთხა სამკუთხედის გვერდი, რომელიც მოპირდაპირეა 90 გრადუსიანი კუთხით. მისი სიგრძის გამოსათვლელად საკმარისია ვიცოდეთ ერთ-ერთი ფეხის სიგრძე და სამკუთხედის ერთ-ერთი მწვავე კუთხის მნიშვნელობა.

ინსტრუქცია

გვაცნობეთ ერთ-ერთი ფეხი და მის მიმდებარე კუთხე. დაზუსტებისთვის, ეს იყოს ფეხი |AB| და კუთხე α. შემდეგ ჩვენ შეგვიძლია გამოვიყენოთ ფორმულა მიმდებარე ფეხის ტრიგონომეტრიული კოსინუსი - კოსინუსის თანაფარდობისთვის. იმათ. ჩვენს აღნიშვნით cos α = |AB| / |AC|. აქედან ვიღებთ ჰიპოტენუზის სიგრძეს |AC| = |AB| / cosα.
თუ ვიცით ფეხი |ძვ.წ.| და კუთხე α, შემდეგ ვიყენებთ კუთხის სინუსის გამოსათვლელ ფორმულას - კუთხის სინუსი უდრის მოპირდაპირე ფეხის შეფარდებას ჰიპოტენუზასთან: sin α = |BC| / |AC|. ჩვენ ვიღებთ, რომ ჰიპოტენუზის სიგრძე გვხვდება როგორც |AC| = |ძვ.წ.| / cosα.

სიცხადისთვის, განიხილეთ მაგალითი. მოდით ფეხის სიგრძე |AB| = 15. და კუთხე α = 60°. ვიღებთ |AC| = 15 / cos 60 ° = 15 / 0.5 = 30.
იფიქრეთ იმაზე, თუ როგორ შეგიძლიათ შეამოწმოთ თქვენი შედეგი პითაგორას თეორემის გამოყენებით. ამისათვის ჩვენ უნდა გამოვთვალოთ მეორე ფეხის სიგრძე |BC|. tg α = |BC| კუთხის ტანგენტის ფორმულის გამოყენებით / |AC|, ვიღებთ |ძვ.წ.| = |AB| * tg α = 15 * tg 60 ° = 15 * √3. შემდეგი, ჩვენ ვიყენებთ პითაგორას თეორემას, ვიღებთ 15^2 + (15 * √3)^2 = 30^2 => 225 + 675 = 900. შემოწმება დასრულებულია.

სასარგებლო რჩევა

ჰიპოტენუზის გამოთვლის შემდეგ შეამოწმეთ, აკმაყოფილებს თუ არა მიღებული მნიშვნელობა პითაგორას თეორემას.

წყაროები:

მარტივი რიცხვების ცხრილი 1-დან 10000-მდე

ფეხებიდაასახელეთ მართკუთხა სამკუთხედის ორი მოკლე გვერდი, რომლებიც ქმნიან მის წვეროს, რომლის მნიშვნელობა არის 90 °. ასეთ სამკუთხედში მესამე გვერდს ჰიპოტენუზა ეწოდება. სამკუთხედის ყველა ეს გვერდი და კუთხე ერთმანეთთან არის დაკავშირებული გარკვეული ურთიერთობებით, რაც საშუალებას გაძლევთ გამოთვალოთ ფეხის სიგრძე, თუ ცნობილია რამდენიმე სხვა პარამეტრი.

ინსტრუქცია

გამოიყენეთ პითაგორას თეორემა ფეხისთვის (A), თუ იცით მართკუთხა სამკუთხედის დანარჩენი ორი გვერდის (B და C) სიგრძე. ამ თეორემაში ნათქვამია, რომ ფეხების სიგრძის კვადრატში ჯამი უდრის ჰიპოტენუზის კვადრატს. აქედან გამომდინარეობს, რომ თითოეული ფეხის სიგრძე უდრის ჰიპოტენუზისა და მეორე ფეხის სიგრძის კვადრატულ ფესვს: A=√(C²-B²).

გამოიყენეთ პირდაპირი ტრიგონომეტრიული ფუნქციის "სინუსი" განმარტება მწვავე კუთხისთვის, თუ იცით კუთხის (α) მნიშვნელობა გამოთვლილი ფეხის საპირისპიროდ და ჰიპოტენუზის სიგრძე (C). ეს ამბობს, რომ ამის ცნობილი სინუსი არის სასურველი ფეხის სიგრძის თანაფარდობა ჰიპოტენუზის სიგრძესთან. ეს არის ის, რომ სასურველი ფეხის სიგრძე უდრის ჰიპოტენუზის სიგრძისა და ცნობილი კუთხის სინუსის ნამრავლს: A=C∗sin(α). იგივე ცნობილი მნიშვნელობებისთვის შეგიძლიათ გამოიყენოთ კოსეკანტი და გამოთვალოთ სასურველი სიგრძე ჰიპოტენუზის სიგრძის გაყოფით ცნობილი კუთხის კოსეკანტზე A=C/cosec(α).

გამოიყენეთ პირდაპირი ტრიგონომეტრიული კოსინუსის ფუნქციის განმარტება, თუ ჰიპოტენუზის სიგრძის გარდა (C), ასევე ცნობილია საჭიროს მიმდებარე მახვილი კუთხის (β) მნიშვნელობა. ამ კუთხის კოსინუსი არის სასურველი ფეხისა და ჰიპოტენუზის სიგრძის თანაფარდობა და აქედან შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ ფეხის სიგრძე უდრის ჰიპოტენუზისა და ცნობილი კუთხის კოსინუსის სიგრძის ნამრავლს: A=C∗cos(β). შეგიძლიათ გამოიყენოთ სეკანტური ფუნქციის განსაზღვრება და გამოთვალოთ სასურველი მნიშვნელობა ჰიპოტენუზის სიგრძის გაყოფით ცნობილი კუთხის A=C/წმ(β) სეკანტზე.

გამოიტანეთ საჭირო ფორმულა მსგავსი განმარტებიდან ტრიგონომეტრიული ფუნქციის ტანგენტის წარმოებულისთვის, თუ სასურველი ფეხის (A) მოპირდაპირე მდებარე მწვავე კუთხის (α) მნიშვნელობის გარდა, მეორე ფეხის (B) სიგრძეა. ცნობილია. სასურველი ფეხის მოპირდაპირე კუთხის ტანგენსი არის ამ ფეხის სიგრძის თანაფარდობა მეორე ფეხის სიგრძესთან. ეს ნიშნავს, რომ სასურველი მნიშვნელობა ტოლი იქნება ცნობილი ფეხის სიგრძისა და ცნობილი კუთხის ტანგენტის ნამრავლის: A=B∗tg(α). ამ იგივე ცნობილი რაოდენობებიდან, სხვა ფორმულა შეიძლება გამოვიდეს კოტანგენტის ფუნქციის განსაზღვრის გამოყენებით. ამ შემთხვევაში ფეხის სიგრძის გამოსათვლელად საჭირო იქნება ცნობილი ფეხის სიგრძის შეფარდება ცნობილი კუთხის კოტანგენსთან: A=B/ctg(α).

Მსგავსი ვიდეოები

სიტყვა "კატეტი" რუსულად ბერძნულიდან შემოვიდა. ზუსტი თარგმანით, ეს ნიშნავს ქლიავის ხაზს, ანუ დედამიწის ზედაპირზე პერპენდიკულარულს. მათემატიკაში ფეხებს უწოდებენ გვერდებს, რომლებიც ქმნიან მართკუთხა სამკუთხედის სწორ კუთხეს. ამ კუთხის მოპირდაპირე მხარეს ჰიპოტენუზა ეწოდება. ტერმინი "ფეხი" ასევე გამოიყენება არქიტექტურასა და შედუღების ტექნოლოგიაში.

ამ კუთხის სეკანტი მიიღება ჰიპოტენუზის მიმდებარე ფეხზე გაყოფით, ანუ secCAB=c/b. გამოდის კოსინუსის რეციპროკული, ანუ შეიძლება გამოისახოს ფორმულით secCAB=1/cosSAB.
კოსეკანტი უდრის ჰიპოტენუზის საპირისპირო ფეხზე გაყოფის კოეფიციენტს და არის სინუსის ორმხრივი. მისი გამოთვლა შესაძლებელია ფორმულის გამოყენებით cosecCAB=1/sinCAB

ორივე ფეხი ურთიერთდაკავშირებული და კოტანგენტურია. AT ამ საქმესტანგენსი იქნება a გვერდის თანაფარდობა b მხარესთან, ანუ მოპირდაპირე ფეხი მეზობელთან. ეს თანაფარდობა შეიძლება გამოიხატოს ფორმულით tgCAB=a/b. შესაბამისად, შებრუნებული თანაფარდობა იქნება კოტანგენსი: ctgCAB=b/a.

ჰიპოტენუზისა და ორივე ფეხის ზომებს შორის თანაფარდობა განისაზღვრა ძველი ბერძნული პითაგორას მიერ. თეორემა, მისი სახელი, ხალხი ჯერ კიდევ იყენებს. ნათქვამია, რომ ჰიპოტენუზის კვადრატი უდრის ფეხების კვადრატების ჯამს, ანუ c2 \u003d a2 + b2. შესაბამისად, თითოეული ფეხი ტოლი იქნება ჰიპოტენუზისა და მეორე ფეხის კვადრატებს შორის სხვაობის კვადრატული ფესვის. ეს ფორმულა შეიძლება დაიწეროს როგორც b=√(c2-a2).

ფეხის სიგრძე ასევე შეიძლება გამოხატული იყოს თქვენთვის ცნობილი ურთიერთობებით. სინუსებისა და კოსინუსების თეორემების მიხედვით, ფეხი ტოლია ჰიპოტენუზისა და ერთ-ერთი ამ ფუნქციის ნამრავლის. შეგიძლიათ გამოხატოთ ის და ან კოტანგენტი. ფეხი a შეიძლება მოიძებნოს, მაგალითად, ფორმულით a \u003d b * tan CAB. ზუსტად ანალოგიურად, მოცემული ტანგენტის ან , მეორე ფეხი განისაზღვრება.

არქიტექტურაში ასევე გამოიყენება ტერმინი „ფეხი“. იგი გამოიყენება იონურ კაპიტალზე და ზურგის შუაში. ანუ, ამ შემთხვევაში, ამ ვადით, მოცემული წრფის პერპენდიკულარულია.

შედუღების ტექნოლოგიაში არის "ფილე შედუღების ფეხი". როგორც სხვა შემთხვევებში, ეს არის უმოკლესი მანძილი. აქ საუბარია უფსკრულის შესახებ შედუღებამდე ერთ ნაწილს შორის მეორე ნაწილის ზედაპირზე მდებარე ნაკერის საზღვარზე.

Მსგავსი ვიდეოები

წყაროები:

რა არის ფეხი და ჰიპოტენუზა 2019 წელს

საშუალო დონე

მართკუთხა სამკუთხედი. სრული ილუსტრირებული სახელმძღვანელო (2019)

მართკუთხა სამკუთხედი. პირველი დონე.

პრობლემებში სწორი კუთხე საერთოდ არ არის საჭირო - ქვედა მარცხენა, ასე რომ თქვენ უნდა ისწავლოთ როგორ ამოიცნოთ მართკუთხა სამკუთხედი ამ ფორმით,

და ასეთებში

და ასეთებში

რა არის კარგი მართკუთხა სამკუთხედში? ჰოდა... პირველ რიგში მის წვეულებებს განსაკუთრებული ლამაზი სახელები აქვს.

ყურადღება ნახატს!

დაიმახსოვრე და არ აგერიო: ფეხები - ორი, ხოლო ჰიპოტენუზა - მხოლოდ ერთი(ერთადერთი, უნიკალური და ყველაზე გრძელი)!

ჩვენ განვიხილეთ სახელები, ახლა ყველაზე მნიშვნელოვანი: პითაგორას თეორემა.

Პითაგორას თეორემა.

ეს თეორემა არის გასაღები მართკუთხა სამკუთხედთან დაკავშირებული მრავალი პრობლემის გადასაჭრელად. ეს დაამტკიცა პითაგორამ სრულიად უხსოვარი დროიდან და მას შემდეგ მრავალი სარგებელი მოუტანა მათ, ვინც იცის. და ყველაზე კარგი ის არის, რომ ის უბრალოა.

Ისე, Პითაგორას თეორემა:

გახსოვთ ხუმრობა: „პითაგორას შარვალი ყველა მხრიდან თანაბარია!“?

მოდით დავხატოთ ეს პითაგორას შარვალი და შევხედოთ მათ.

მართლა ჰგავს შორტს? აბა, რომელ მხარეს და სად არიან ისინი ტოლები? რატომ და საიდან გაჩნდა ხუმრობა? და ეს ხუმრობა დაკავშირებულია ზუსტად პითაგორას თეორემასთან, უფრო ზუსტად იმასთან, თუ როგორ ჩამოაყალიბა თავად პითაგორამ თავისი თეორემა. და მან ასე ჩამოაყალიბა:

"ჯამ კვადრატების ფართობი, ფეხებზე აგებული, უდრის კვადრატული ფართობიჰიპოტენუზაზე აგებული.

ცოტა სხვანაირად ხომ არ ჟღერს, არა? ასე რომ, როდესაც პითაგორამ დახატა თავისი თეორემის განცხადება, სწორედ ასეთი სურათი აღმოჩნდა.

ამ სურათზე, პატარა კვადრატების ფართობების ჯამი უდრის დიდი კვადრატის ფართობს. და იმისათვის, რომ ბავშვებმა უკეთ დაიმახსოვრონ, რომ ფეხების კვადრატების ჯამი უდრის ჰიპოტენუზის კვადრატს, ვიღაც ჭკვიანმა გამოიგონა ეს ხუმრობა პითაგორას შარვალზე.

რატომ ვაყალიბებთ ახლა პითაგორას თეორემას?

იტანჯებოდა პითაგორა და ლაპარაკობდა კვადრატებზე?

ხედავთ, ძველ დროში არ არსებობდა ... ალგებრა! ნიშნები არ იყო და ა.შ. წარწერები არ იყო. წარმოგიდგენიათ რა საშინელება იყო საწყალი ძველი სტუდენტებისთვის ყველაფრის სიტყვებით დამახსოვრება??! და ჩვენ შეგვიძლია გვიხაროდეს, რომ გვაქვს პითაგორას თეორემის მარტივი ფორმულირება. კიდევ ერთხელ გავიმეოროთ, რომ უკეთ გავიხსენოთ:

ახლა ადვილი უნდა იყოს:

ჰიპოტენუზის კვადრატი უდრის ფეხების კვადრატების ჯამს.

განვიხილეთ ყველაზე მნიშვნელოვანი თეორემა მართკუთხა სამკუთხედის შესახებ. თუ გაინტერესებთ როგორ დადასტურდა ეს, წაიკითხეთ თეორიის შემდეგი დონეები და ახლა მოდით გადავიდეთ ... ტრიგონომეტრიის ბნელ ტყეში! საშინელ სიტყვებს სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი.

სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი, კოტანგენსი მართკუთხა სამკუთხედში.

სინამდვილეში, ყველაფერი არც ისე საშინელია. რა თქმა უნდა, სტატიაში უნდა განიხილებოდეს სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენტის „რეალური“ განმარტება. მაგრამ შენ მართლა არ გინდა, არა? ჩვენ შეგვიძლია გავიხაროთ: მართკუთხა სამკუთხედის პრობლემების გადასაჭრელად, შეგიძლიათ უბრალოდ შეავსოთ შემდეგი მარტივი რამ:

რატომ არის ეს ყველაფერი კუთხეში? სად არის კუთხე? ამის გასაგებად, თქვენ უნდა იცოდეთ, როგორ იწერება სიტყვებით 1-4 განცხადებები. შეხედე, გაიგე და დაიმახსოვრე!

1.
სინამდვილეში ასე ჟღერს:

რაც შეეხება კუთხეს? არის ფეხი, რომელიც კუთხის მოპირდაპირეა, ანუ მოპირდაპირე ფეხი (კუთხისთვის)? რა თქმა უნდა აქვს! ეს კათეტერია!

მაგრამ რაც შეეხება კუთხეს? Ახლოდან დააკვირდი. რომელი ფეხი დგას კუთხესთან? რა თქმა უნდა, კატა. ასე რომ, კუთხისთვის, ფეხი მიმდებარეა და

ახლა კი ყურადღება! ნახეთ რა მივიღეთ:

ნახეთ, რა შესანიშნავია:

ახლა გადავიდეთ ტანგენტსა და კოტანგენსზე.

როგორ გადმოვწეროთ ახლა სიტყვებით? რა არის ფეხი კუთხესთან მიმართებაში? საპირისპირო, რა თქმა უნდა - კუთხის მოპირდაპირედ "წევს". და კათეტი? კუთხის მიმდებარედ. მაშ რა მივიღეთ?

ნახეთ, როგორ ხდება მრიცხველი და მნიშვნელი შებრუნებული?

ახლა კი ისევ კუთხეები და გავცვალეთ:

Შემაჯამებელი

მოკლედ ჩამოვწეროთ რაც ვისწავლეთ.

Პითაგორას თეორემა:

მთავარი მართკუთხა სამკუთხედის თეორემა არის პითაგორას თეორემა.

პითაგორას თეორემა

სხვათა შორის, კარგად გახსოვთ რა არის ფეხები და ჰიპოტენუზა? თუ არა, მაშინ შეხედეთ სურათს - განაახლეთ თქვენი ცოდნა

შესაძლებელია, რომ უკვე ბევრჯერ გამოგიყენებიათ პითაგორას თეორემა, მაგრამ ოდესმე გიფიქრიათ, რატომ არის ასეთი თეორემა ჭეშმარიტი. როგორ დაამტკიცებდი ამას? მოდი მოვიქცეთ როგორც ძველი ბერძნები. დავხატოთ კვადრატი გვერდით.

ხედავთ, რა ეშმაკურად დავყავით მისი გვერდები სიგრძის მონაკვეთებად და!

ახლა დავაკავშიროთ მონიშნული წერტილები

აქ ჩვენ, თუმცა, სხვა რამ აღვნიშნეთ, მაგრამ თქვენ თვითონ უყურებთ სურათს და ფიქრობთ რატომ.

რა არის უფრო დიდი კვადრატის ფართობი? სწორად,. რაც შეეხება უფრო მცირე ფართობს? Რა თქმა უნდა, . დარჩენილია ოთხი კუთხის საერთო ფართობი. წარმოიდგინეთ, რომ ორი მათგანი ავიღეთ და ჰიპოტენუზებით ვეყრდნობოდით ერთმანეთს. Რა მოხდა? ორი მართკუთხედი. ასე რომ, "კალმების" ფართობი ტოლია.

მოდი ახლავე გავაერთიანოთ ეს ყველაფერი.

მოდით გარდავქმნათ:

ასე რომ, ჩვენ ვესტუმრეთ პითაგორას - ჩვენ დავამტკიცეთ მისი თეორემა უძველესი გზით.

მართკუთხა სამკუთხედი და ტრიგონომეტრია

მართკუთხა სამკუთხედისთვის მოქმედებს შემდეგი მიმართებები:

მწვავე კუთხის სინუსი უდრის მოპირდაპირე ფეხის შეფარდებას ჰიპოტენუზასთან

მწვავე კუთხის კოსინუსი უდრის მიმდებარე ფეხის შეფარდებას ჰიპოტენუზასთან.

მახვილი კუთხის ტანგენსი უდრის მოპირდაპირე ფეხის შეფარდებას მეზობელ ფეხთან.

მწვავე კუთხის კოტანგენსი უდრის მიმდებარე ფეხის შეფარდებას მოპირდაპირე ფეხის მიმართ.

და კიდევ ერთხელ, ეს ყველაფერი ფირფიტის სახით:

ძალიან კომფორტულია!

მართკუთხა სამკუთხედების თანასწორობის ნიშნები

I. ორ ფეხზე

II. ფეხით და ჰიპოტენუზით

III. ჰიპოტენუზით და მწვავე კუთხით

IV. ფეხის გასწვრივ და მწვავე კუთხით

ა)

ბ)

ყურადღება! აქ ძალიან მნიშვნელოვანია, რომ ფეხები "შესაბამისად" იყოს. მაგალითად, თუ ეს ასე ხდება:

მაშინ სამკუთხედები არ არიან ტოლებიმიუხედავად იმისა, რომ მათ აქვთ ერთი იდენტური მწვავე კუთხე.

საჭიროა ორივე სამკუთხედში ფეხი მიმდებარე იყო, ან ორივეში - საპირისპირო.

შეგიმჩნევიათ, როგორ განსხვავდება მართკუთხა სამკუთხედების ტოლობის ნიშნები სამკუთხედების ტოლობის ჩვეულებრივი ნიშნებისგან? გადახედეთ თემას „და მიაქციეთ ყურადღება, რომ „ჩვეულებრივი“ სამკუთხედების ტოლობისთვის საჭიროა მათი სამი ელემენტის თანასწორობა: ორი გვერდი და კუთხე მათ შორის, ორი კუთხე და გვერდი მათ შორის, ან სამი გვერდი. მაგრამ მართკუთხა სამკუთხედების ტოლობისთვის საკმარისია მხოლოდ ორი შესაბამისი ელემენტი. მშვენიერია, არა?

დაახლოებით იგივე სიტუაციაა მართკუთხა სამკუთხედების მსგავსების ნიშნებით.

მართკუთხა სამკუთხედების მსგავსების ნიშნები

I. მწვავე კუთხე

II. ორ ფეხზე

III. ფეხით და ჰიპოტენუზით

მედიანა მართკუთხა სამკუთხედში

რატომ არის ასე?

მართკუთხა სამკუთხედის ნაცვლად განვიხილოთ მთელი მართკუთხედი.

დავხატოთ დიაგონალი და განვიხილოთ წერტილი - დიაგონალების გადაკვეთის წერტილი. რა იცით მართკუთხედის დიაგონალების შესახებ?

და რა გამოდის აქედან?

ასეც მოხდა

- მედიანა:

დაიმახსოვრეთ ეს ფაქტი! ძალიან ეხმარება!

რაც უფრო გასაკვირია ის არის, რომ საპირისპირო ასევე მართალია.

რა სარგებელი შეიძლება მივიღოთ იმ ფაქტით, რომ ჰიპოტენუზამდე მიყვანილი მედიანა უდრის ჰიპოტენუზის ნახევარს? მოდით შევხედოთ სურათს

Ახლოდან დააკვირდი. გვაქვს: , ანუ მანძილი წერტილიდან სამკუთხედის სამივე წვერომდე ტოლი აღმოჩნდა. მაგრამ სამკუთხედში არის მხოლოდ ერთი წერტილი, მანძილი, რომლიდანაც სამკუთხედის სამივე წვერო ტოლია და ეს არის აღწერილი წრის ცენტრი. მერე რა მოხდა?

მაშ, დავიწყოთ ამით "გარდა ამისა...".

მოდით შევხედოთ ი.

მაგრამ მსგავს სამკუთხედებში ყველა კუთხე ტოლია!

იგივე შეიძლება ითქვას და

ახლა ერთად დავხატოთ:

რა სარგებლობა შეიძლება მივიღოთ ამ „სამმაგი“ მსგავსებიდან.

ისე, მაგალითად - მართკუთხა სამკუთხედის სიმაღლის ორი ფორმულა.

ჩვენ ვწერთ შესაბამისი მხარეების ურთიერთობებს:

სიმაღლის საპოვნელად ვხსნით პროპორციას და ვიღებთ პირველი ფორმულა "სიმაღლე მართკუთხა სამკუთხედში":

მაშ ასე, გამოვიყენოთ მსგავსება: .

რა მოხდება ახლა?

კვლავ ვხსნით პროპორციას და ვიღებთ მეორე ფორმულას:

ორივე ეს ფორმულა კარგად უნდა ახსოვდეს და ის, რაც უფრო მოსახერხებელია გამოსაყენებლად. მოდი ისევ ჩამოვწეროთ ისინი.

Პითაგორას თეორემა:

მართკუთხა სამკუთხედში, ჰიპოტენუზის კვადრატი უდრის ფეხების კვადრატების ჯამს:.

მართკუთხა სამკუთხედების თანასწორობის ნიშნები:

ორ ფეხზე:
ფეხისა და ჰიპოტენუზის გასწვრივ: ან
ფეხისა და მიმდებარე მწვავე კუთხის გასწვრივ: ან
ფეხის გასწვრივ და საპირისპირო მწვავე კუთხე: ან
ჰიპოტენუზისა და მწვავე კუთხით: ან.

მართკუთხა სამკუთხედების მსგავსების ნიშნები:

ერთი მკვეთრი კუთხე: ან
ორი ფეხის პროპორციულობიდან:
ფეხისა და ჰიპოტენუზის პროპორციულობიდან: ან.

სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი, კოტანგენსი მართკუთხა სამკუთხედში

მართკუთხა სამკუთხედის მწვავე კუთხის სინუსი არის მოპირდაპირე ფეხის თანაფარდობა ჰიპოტენუზასთან:
მართკუთხა სამკუთხედის მწვავე კუთხის კოსინუსი არის მიმდებარე ფეხის თანაფარდობა ჰიპოტენუზასთან:
მართკუთხა სამკუთხედის მახვილი კუთხის ტანგენსი არის მოპირდაპირე ფეხის შეფარდება მეზობელთან:
მართკუთხა სამკუთხედის მწვავე კუთხის კოტანგენსი არის მიმდებარე ფეხის შეფარდება საპირისპიროდ:.

მართკუთხა სამკუთხედის სიმაღლე: ან.

მართკუთხა სამკუთხედში მართი კუთხის წვეროდან გამოყვანილი მედიანა უდრის ჰიპოტენუზის ნახევარს: .

მართკუთხა სამკუთხედის ფართობი:

კათეტერების მეშვეობით:

მოპირდაპირე ფეხის შეფარდება ჰიპოტენუზას ე.წ მწვავე კუთხის სინუსიმართკუთხა სამკუთხედი.

\sin \alpha = \frac(a)(c)

მართკუთხა სამკუთხედის მახვილი კუთხის კოსინუსი

უახლოესი ფეხის შეფარდება ჰიპოტენუზას ეწოდება მწვავე კუთხის კოსინუსიმართკუთხა სამკუთხედი.

\cos \alpha = \frac(b)(c)

მართკუთხა სამკუთხედის მახვილი კუთხის ტანგენსი

მოპირდაპირე ფეხის შეფარდება მეზობელ ფეხთან ეწოდება მწვავე კუთხის ტანგენსიმართკუთხა სამკუთხედი.

tg \alpha = \frac(a)(b)

მართკუთხა სამკუთხედის მწვავე კუთხის კოტანგენსი

მიმდებარე ფეხის შეფარდება მოპირდაპირე ფეხის ე.წ მწვავე კუთხის კოტანგენსიმართკუთხა სამკუთხედი.

ctg \alpha = \frac(b)(a)

თვითნებური კუთხის სინუსი

იმ წერტილის ორდინატი ერთეულ წრეზე, რომელსაც შეესაბამება \alpha კუთხე, ეწოდება თვითნებური კუთხის სინუსიროტაცია \ალფა.

\sin \alpha=y

თვითნებური კუთხის კოსინუსი

წერტილის აბსციზა იმ ერთეულ წრეზე, რომელსაც შეესაბამება \alpha კუთხე, ეწოდება თვითნებური კუთხის კოსინუსიროტაცია \ალფა.

\cos \alpha=x

თვითნებური კუთხის ტანგენტი

თვითნებური ბრუნვის კუთხის \ალფას სინუსის შეფარდება მის კოსინუსთან ეწოდება თვითნებური კუთხის ტანგენსიროტაცია \ალფა.

tg \alpha = y_(A)

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

თვითნებური კუთხის კოტანგენსი

თვითნებური ბრუნვის კუთხის \ალფას კოსინუსის შეფარდება მის სინუსთან ეწოდება თვითნებური კუთხის კოტანგენსიროტაცია \ალფა.

ctg \alpha =x_(A)

ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

თვითნებური კუთხის პოვნის მაგალითი

თუ \alpha არის რაღაც AOM კუთხე, სადაც M არის წერტილი ერთეულ წრეზე, მაშინ

\sin \alpha=y_(M) , \cos \alpha=x_(M) , tg \alpha=\frac(y_(M))(x_(M)), ctg \alpha=\frac(x_(M))(y_(M)).

მაგალითად, თუ \კუთხე AOM = -\frac(\pi)(4), მაშინ: M წერტილის ორდინატი არის -\frac(\sqrt(2))(2), აბსციზა არის \frac(\sqrt(2))(2)და ამიტომ

\sin \left (-\frac(\pi)(4) \მარჯვნივ)=-\frac(\sqrt(2))(2);

\cos \left (\frac(\pi)(4) \მარჯვნივ)=\frac(\sqrt(2))(2);

ტგ;

ctg \მარცხნივ (-\frac(\pi)(4) \მარჯვნივ)=-1.

კოტანგენტების ტანგენტების კოსინუსების სიდიდეების ცხრილი

ძირითადი ხშირად შემხვედრი კუთხეების მნიშვნელობები მოცემულია ცხრილში:

	0^(\circ) (0)	30^(\circ)\left(\frac(\pi)(6)\მარჯვნივ)	45^(\circ)\left(\frac(\pi)(4)\მარჯვნივ)	60^(\circ)\left(\frac(\pi)(3)\მარჯვნივ)	90^(\circ)\left(\frac(\pi)(2)\მარჯვნივ)	180^(\circ)\მარცხნივ(\pi\მარჯვნივ)	270^(\circ)\left(\frac(3\pi)(2)\მარჯვნივ)	360^(\circ)\მარცხნივ(2\pi\მარჯვნივ)
\sin\ალფა	0	\frac12	\frac(\sqrt 2)(2)	\frac(\sqrt 3)(2)	1	0	−1	0
\cos\alpha	1	\frac(\sqrt 3)(2)	\frac(\sqrt 2)(2)	\frac12	0	−1	0	1
tg\alpha	0	\frac(\sqrt 3)(3)	1	\sqrt3	—	0	—	0
ctg\alpha	—	\sqrt3	1	\frac(\sqrt 3)(3)	0	—	0	—

ინსტრუქცია

სამკუთხედს მართკუთხა სამკუთხედს უწოდებენ, თუ მისი ერთ-ერთი კუთხე 90 გრადუსია. იგი შედგება ორი ფეხისა და ჰიპოტენუზისგან. ჰიპოტენუზა ამ სამკუთხედის ყველაზე გრძელი გვერდია. ის დევს სწორი კუთხით. ფეხებს, შესაბამისად, მის პატარა მხარეებს უწოდებენ. ისინი შეიძლება იყოს ერთმანეთის ტოლი ან განსხვავებული ზომები. მართკუთხა სამკუთხედით რომ მუშაობთ ფეხების ტოლობა. მისი სილამაზე იმაში მდგომარეობს, რომ აერთიანებს ორ ფიგურას: მართკუთხა და ტოლფერდა სამკუთხედს. თუ ფეხები არ არის თანაბარი, მაშინ სამკუთხედი თვითნებურია და ძირითადი კანონის მიხედვით: რაც უფრო დიდია კუთხე, მით უფრო ტრიალებს მის მოპირდაპირედ მყოფი.

ჰიპოტენუზის კუთხით და კუთხით პოვნის რამდენიმე გზა არსებობს. მაგრამ სანამ რომელიმე მათგანს გამოიყენებთ, უნდა დაადგინოთ რომელი და კუთხე ცნობილია. კუთხის და მის მიმდებარე ფეხის გათვალისწინებით, უფრო ადვილია ჰიპოტენუზის პოვნა კუთხის კოსინუსით. მართკუთხა სამკუთხედში მწვავე კუთხის (cos a) კოსინუსი არის მიმდებარე ფეხის შეფარდება ჰიპოტენუზასთან. ეს გულისხმობს, რომ ჰიპოტენუზა (c) ტოლი იქნება მიმდებარე ფეხის (b) შეფარდება a (cos a) კუთხის კოსინუსთან. ეს შეიძლება დაიწეროს ასე: cos a=b/c => c=b/cos a.

თუ კუთხე და საპირისპირო ფეხია მოცემული, მაშინ მუშაობა უნდა გაკეთდეს. მართკუთხა სამკუთხედში მწვავე კუთხის (sin a) სინუსი არის მოპირდაპირე ფეხის (a) თანაფარდობა ჰიპოტენუზასთან (c). აქ პრინციპი იგივეა, რაც წინა მაგალითში, კოსინუს ფუნქციის ნაცვლად აღებულია მხოლოდ სინუსი. sin a=a/c => c=a/sin a.

თქვენ ასევე შეგიძლიათ გამოიყენოთ ტრიგონომეტრიული ფუნქცია, როგორიცაა . მაგრამ სასურველი მნიშვნელობის პოვნა ოდნავ უფრო რთულია. მართკუთხა სამკუთხედში მახვილი კუთხის (tg a) ტანგენსი არის მოპირდაპირე ფეხის (a) შეფარდება მეზობელზე (b). ორივე ფეხის პოვნის შემდეგ გამოიყენეთ პითაგორას თეორემა (ჰიპოტენუზის კვადრატი უდრის ფეხების კვადრატების ჯამს) და იპოვით უფრო დიდს.

შენიშვნა

პითაგორას თეორემასთან მუშაობისას არ დაგავიწყდეთ, რომ საქმე გაქვთ ხარისხთან. ფეხის კვადრატების ჯამის აღმოჩენის შემდეგ, საბოლოო პასუხის მისაღებად, თქვენ უნდა აიღოთ კვადრატული ფესვი.

წყაროები:

როგორ მოვძებნოთ ფეხი და ჰიპოტენუზა

ინსტრუქცია

ცნობილი და მწვავე მართი კუთხით, მაშინ ჰიპოტენუზის ზომა არის ფეხის თანაფარდობა ამ კუთხთან / ამ კუთხით, თუ მოცემული კუთხე არის საპირისპირო / მის გვერდით:

h = C1(ან C2)/sinα;

h = С1(ან С2)/cosα.

მაგალითი: მოდით ABC მოცემულია ჰიპოტენუზა AB და C. მოდით კუთხე B იყოს 60 გრადუსი და კუთხე A 30 გრადუსი BC ფეხის სიგრძე არის 8 სმ, გჭირდებათ AB ჰიპოტენუზის სიგრძე. ამისათვის შეგიძლიათ გამოიყენოთ ზემოთ შემოთავაზებული ნებისმიერი მეთოდი:

AB=BC/cos60=8 სმ.

AB = BC/sin30 = 8 სმ.

სიტყვა " ფეხი"მომდინარეობს ბერძნული სიტყვებიდან "პერპენდიკულარული" ან "ვერტიკალური" - ეს განმარტავს, თუ რატომ ეწოდა მართკუთხა სამკუთხედის ორივე გვერდი, რომლებიც ქმნიან მის ოთხმოცდაათ გრადუსიან კუთხეს. იპოვეთ რომელიმეს სიგრძე ფეხი ov არ არის რთული, თუ ცნობილია მის მიმდებარე კუთხის მნიშვნელობა და ერთ-ერთი სხვა პარამეტრი, რადგან ამ შემთხვევაში სამივე კუთხის მნიშვნელობები რეალურად გახდება ცნობილი.

ინსტრუქცია

თუ მიმდებარე კუთხის (β) მნიშვნელობის გარდა, მეორის სიგრძე ფეხი a (b), შემდეგ სიგრძე ფეხიდა (ა) შეიძლება განისაზღვროს, როგორც ცნობილის სიგრძის კოეფიციენტი ფეხიხოლო ცნობილი კუთხით: a=b/tg(β). ეს გამომდინარეობს ამ ტრიგონომეტრიის განმარტებიდან. შეგიძლიათ გააკეთოთ ტანგენტის გარეშე, თუ იყენებთ თეორემას. აქედან გამომდინარეობს, რომ სასურველის სიგრძე საპირისპირო კუთხის სინუსთან ცნობილ სიგრძის თანაფარდობასთან ფეხიმაგრამ ცნობილი კუთხის სინუსამდე. სასურველის საპირისპიროდ ფეხი y მწვავე კუთხე შეიძლება გამოისახოს ცნობილი კუთხით, როგორც 180°-90°-β = 90°-β, ვინაიდან ნებისმიერი სამკუთხედის ყველა კუთხის ჯამი უნდა იყოს 180°, ხოლო მისი ერთ-ერთი კუთხე უდრის 90-ს. °. ასე რომ, სასურველი სიგრძე ფეხიდა შეიძლება გამოითვალოს a=sin(90°-β)∗b/sin(β) ფორმულით.

თუ ცნობილია მიმდებარე კუთხის (β) სიდიდე და ჰიპოტენუზის (c) სიგრძე, მაშინ სიგრძე ფეხიდა (a) შეიძლება გამოითვალოს ჰიპოტენუზისა და ცნობილი კუთხის კოსინუსის სიგრძის ნამრავლად: a=c∗cos(β). ეს გამომდინარეობს კოსინუსის, როგორც ტრიგონომეტრიული ფუნქციის განმარტებიდან. მაგრამ თქვენ შეგიძლიათ გამოიყენოთ, როგორც წინა ეტაპზე, სინუსების თეორემა და შემდეგ სასურველის სიგრძე ფეხი a იქნება ტოლი სინუსის ნამრავლის 90°-სა და ცნობილ კუთხეზე გამრავლებული ჰიპოტენუზის სიგრძის თანაფარდობაზე მარჯვენა კუთხის სინუსთან. და რადგან 90°-ის სინუსი ერთის ტოლია, ის შეიძლება ჩაიწეროს შემდეგნაირად: a=sin(90°-β)∗c.

პრაქტიკული გამოთვლები შეიძლება განხორციელდეს, მაგალითად, Windows ოპერაციული სისტემაში შემავალი პროგრამული უზრუნველყოფის კალკულატორის გამოყენებით. მის გასაშვებად შეგიძლიათ მთავარ მენიუში „Start“ ღილაკზე აირჩიოთ „Run“ ელემენტი, აკრიფოთ calc ბრძანება და დააჭიროთ ღილაკს „OK“. ამ პროგრამის ინტერფეისის უმარტივესი ვერსია, რომელიც იხსნება ნაგულისხმევად, არ იძლევა ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებს, ასე რომ, მისი გაშვების შემდეგ, მენიუში უნდა დააჭიროთ განყოფილებას "ნახვა" და აირჩიეთ "სამეცნიერო" ან "საინჟინრო" ხაზი (დამოკიდებულია ოპერაციული სისტემის ვერსია, რომელსაც იყენებთ).

Მსგავსი ვიდეოები

დახაზეთ მართკუთხა სამკუთხედი ACB. მონიშნეთ მისი ფეხები a და b, და დაასახელეთ მისი ჰიპოტენუზა c. მართკუთხა სამკუთხედის ყველა გვერდი და კუთხე ერთმანეთის მიმართ არის განსაზღვრული. ერთ-ერთი მწვავე კუთხის მოპირდაპირე ფეხის თანაფარდობას ჰიპოტენუზასთან ეწოდება ამ კუთხის სინუსი. ამ სამკუთხედში sinCAB=a/c. კოსინუსი არის თანაფარდობა მიმდებარე ფეხის ჰიპოტენუზასთან, ანუ cosCAB=b/c. შებრუნებულ კავშირებს უწოდებენ სეკანტურ და კოსექსანტს.

ორივე ფეხი ურთიერთდაკავშირებული და კოტანგენტურია. ამ შემთხვევაში, ტანგენტი იქნება a მხარის თანაფარდობა b მხარესთან, ანუ მოპირდაპირე ფეხი მეზობელთან. ეს თანაფარდობა შეიძლება გამოიხატოს ფორმულით tgCAB=a/b. შესაბამისად, შებრუნებული თანაფარდობა იქნება კოტანგენსი: ctgCAB=b/a.

Მსგავსი ვიდეოები

წყაროები:

რა არის ფეხი და ჰიპოტენუზა 2019 წელს

ამ სტატიაში ჩვენ გაჩვენებთ როგორ კუთხისა და რიცხვის სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენსის განმარტება ტრიგონომეტრიაში. აქ ვისაუბრებთ აღნიშვნებაზე, მოვიყვანთ ჩანაწერების მაგალითებს, მოვიყვანთ გრაფიკულ ილუსტრაციებს. დასასრულს, ჩვენ ვავლებთ პარალელს სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენსის განმარტებებს შორის ტრიგონომეტრიასა და გეომეტრიაში.

გვერდის ნავიგაცია.

სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენტის განმარტება

მივყვეთ როგორ ყალიბდება სასკოლო მათემატიკის კურსში სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენსის ცნება. გეომეტრიის გაკვეთილებზე მოცემულია მართკუთხა სამკუთხედში მახვილი კუთხის სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენსის განმარტება. მოგვიანებით კი შესწავლილია ტრიგონომეტრია, რომელიც ეხება ბრუნვის კუთხისა და რიცხვის სინუსს, კოსინუსს, ტანგენტს და კოტანგენტს. ჩვენ ვაძლევთ ყველა ამ განმარტებას, ვაძლევთ მაგალითებს და ვაძლევთ საჭირო კომენტარებს.

მახვილი კუთხე მართკუთხა სამკუთხედში

გეომეტრიის კურსიდან ცნობილია მართკუთხა სამკუთხედში მახვილი კუთხის სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენსის განმარტებები. ისინი მოცემულია მართკუთხა სამკუთხედის გვერდების თანაფარდობით. წარმოგიდგენთ მათ ფორმულირებებს.

განმარტება.

მახვილი კუთხის სინუსი მართკუთხა სამკუთხედშიარის საპირისპირო ფეხის შეფარდება ჰიპოტენუზასთან.

განმარტება.

მართკუთხა სამკუთხედში მახვილი კუთხის კოსინუსიარის მიმდებარე ფეხის თანაფარდობა ჰიპოტენუზასთან.

განმარტება.

მართკუთხა სამკუთხედში მახვილი კუთხის ტანგენსიარის მოპირდაპირე ფეხის თანაფარდობა მეზობელ ფეხთან.

განმარტება.

მართკუთხა სამკუთხედში მწვავე კუთხის კოტანგენსიარის მიმდებარე ფეხის შეფარდება მოპირდაპირე ფეხის მიმართ.

იქვეა შემოტანილი სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენსის აღნიშვნაც - შესაბამისად sin, cos, tg და ctg.

მაგალითად, თუ ABC არის მართკუთხა სამკუთხედი C მართი კუთხით, მაშინ A მწვავე კუთხის სინუსი უდრის BC მოპირდაპირე ფეხის შეფარდებას AB ჰიპოტენუზასთან, ანუ sin∠A=BC/AB.

ეს განმარტებები საშუალებას გაძლევთ გამოთვალოთ მწვავე კუთხის სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენსის მნიშვნელობები მართკუთხა სამკუთხედის გვერდების ცნობილი სიგრძიდან, აგრეთვე სინუსის, კოსინუსის ცნობილი მნიშვნელობებიდან. ტანგენსი, კოტანგენსი და ერთი გვერდის სიგრძე, იპოვეთ მეორე გვერდის სიგრძე. მაგალითად, თუ ვიცოდით, რომ მართკუთხა სამკუთხედში AC წვერი არის 3 და ჰიპოტენუზა AB არის 7, მაშინ ჩვენ შეგვიძლია გამოვთვალოთ A მწვავე კუთხის კოსინუსი განმარტებით: cos∠A=AC/AB=3/7.

ბრუნვის კუთხე

ტრიგონომეტრიაში ისინი იწყებენ კუთხის უფრო ფართო თვალიერებას - შემოაქვთ ბრუნვის კუთხის კონცეფცია. ბრუნვის კუთხე, მწვავე კუთხისგან განსხვავებით, არ შემოიფარგლება ჩარჩოებით 0-დან 90 გრადუსამდე, ბრუნის კუთხე გრადუსებში (და რადიანებში) შეიძლება გამოისახოს ნებისმიერი რეალური რიცხვით −∞-დან +∞-მდე.

ამ კუთხით სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენტის განმარტებები აღარ არის მახვილი კუთხე, არამედ თვითნებური სიდიდის კუთხე - ბრუნვის კუთხე. ისინი მოცემულია A 1 წერტილის x და y კოორდინატებით, რომელშიც გადის ეგრეთ წოდებული საწყისი წერტილი A(1, 0) მას შემდეგ, რაც ბრუნავს α კუთხით O წერტილის გარშემო - მართკუთხა დეკარტის კოორდინატთა სისტემის დასაწყისი. და ერთეული წრის ცენტრი.

განმარტება.

ბრუნვის კუთხის სინუსიα არის A 1 წერტილის ორდინატი, ანუ sinα=y .

განმარტება.

ბრუნვის კუთხის კოსინუსიα ეწოდება A 1 წერტილის აბსცისა, ანუ cosα=x.

განმარტება.

ბრუნვის კუთხის ტანგენსიα არის A 1 წერტილის ორდინატის შეფარდება მის აბსცისასთან, ანუ tgα=y/x .

განმარტება.

ბრუნვის კუთხის კოტანგენსიα არის A 1 წერტილის აბსცისის შეფარდება მის ორდინატთან, ანუ ctgα=x/y .

სინუსი და კოსინუსი განისაზღვრება ნებისმიერი α კუთხისთვის, ვინაიდან ყოველთვის შეგვიძლია განვსაზღვროთ წერტილის აბსცისა და ორდინატი, რომელიც მიიღება საწყისი წერტილის α კუთხით ბრუნვით. და ტანგენსი და კოტანგენსი არ არის განსაზღვრული არცერთი კუთხისთვის. ტანგენსი არ არის განსაზღვრული α ისეთი კუთხისთვის, რომლებშიც საწყისი წერტილი მიდის წერტილამდე ნულოვანი აბსცისით (0, 1) ან (0, −1) , და ეს ხდება 90°+180° k , k∈Z კუთხით. (π /2+π კ რად). მართლაც, ბრუნის ასეთ კუთხით გამოხატვას tgα=y/x აზრი არ აქვს, რადგან ის შეიცავს გაყოფას ნულზე. რაც შეეხება კოტანგენტს, ის არ არის განსაზღვრული α კუთხეებისთვის, რომლებზეც საწყისი წერტილი მიდის ნულოვანი ორდინატით (1, 0) ან (−1, 0) წერტილამდე, და ეს ეხება 180° k, k კუთხეებს. ∈Z (π k rad).

ასე რომ, სინუსი და კოსინუსი განისაზღვრება ნებისმიერი ბრუნვის კუთხისთვის, ტანგენსი განისაზღვრება ყველა კუთხისთვის, გარდა 90°+180° k , k∈Z (π/2+π k rad), ხოლო კოტანგენსი არის ყველა კუთხისთვის, გარდა 180. ° ·k , k∈Z (π·k რად).

ჩვენთვის უკვე ცნობილი აღნიშვნები ჩნდება განმარტებებში sin, cos, tg და ctg, ისინი ასევე გამოიყენება ბრუნვის კუთხის სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენსის აღსანიშნავად (ზოგჯერ შეგიძლიათ იპოვოთ აღნიშვნა tan და cot, რომლებიც შეესაბამება ტანგენტს და კოტანგენსი). ასე რომ, 30 გრადუსიანი ბრუნვის კუთხის სინუსი შეიძლება დაიწეროს, როგორც sin30°, ჩანაწერები tg(−24°17′) და ctgα შეესაბამება ბრუნვის კუთხის ტანგენტს −24 გრადუსი 17 წუთი და კოტანგენსს ბრუნვის კუთხის α. . შეგახსენებთ, რომ კუთხის რადიანის ზომის დაწერისას ხშირად გამოტოვებენ აღნიშვნას „რად“. მაგალითად, სამი პი რადის ბრუნვის კუთხის კოსინუსი ჩვეულებრივ აღინიშნება cos3 π.

ამ აბზაცის დასასრულს, აღსანიშნავია, რომ ბრუნვის კუთხის სინუსზე, კოსინუსზე, ტანგენტსა და კოტანგენსზე საუბრისას ხშირად გამოტოვებულია ფრაზა „ბრუნის კუთხე“ ან სიტყვა „ბრუნვა“. ანუ ფრაზის ნაცვლად "ალფას ბრუნვის კუთხის სინუსი" ჩვეულებრივ გამოიყენება ფრაზა "ალფას კუთხის სინუსი" ან კიდევ უფრო მოკლე - "ალფას სინუსი". იგივე ეხება კოსინუსს, ტანგენტს და კოტანგენტს.

მოდით ასევე ვთქვათ, რომ მართკუთხა სამკუთხედში მახვილი კუთხის სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენსის განმარტებები შეესაბამება 0-დან 90-მდე ბრუნვის კუთხის სინუსს, კოსინუსს, ტანგენტს და კოტანგენტს. გრადუსი. ჩვენ ამას დავამტკიცებთ.

ნომრები

განმარტება.

რიცხვის სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი t არის რიცხვი, რომელიც ტოლია ბრუნვის კუთხის სინუსს, კოსინუსს, ტანგენტს და კოტანგენტს t რადიანებში, შესაბამისად.

მაგალითად, 8 π-ის კოსინუსი, განსაზღვრებით, არის რიცხვი, რომელიც უდრის 8 π rad კუთხის კოსინუსს. ხოლო კუთხის კოსინუსი 8 π rad-ში უდრის ერთს, შესაბამისად, 8 π რიცხვის კოსინუსი უდრის 1-ს.

არსებობს სხვა მიდგომა რიცხვის სინუსის, კოსინუსის, ტანგენტისა და კოტანგენსის განმარტებასთან დაკავშირებით. ის მდგომარეობს იმაში, რომ თითოეულ რეალურ რიცხვს t ენიჭება ერთეული წრის წერტილი, რომელიც ორიენტირებულია მართკუთხა კოორდინატთა სისტემის საწყისზე, ხოლო სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი განისაზღვრება ამ წერტილის კოორდინატებით. ამაზე უფრო დეტალურად ვისაუბროთ.

ვნახოთ, როგორ დგინდება შესაბამისობა ნამდვილ რიცხვებსა და წრის წერტილებს შორის:

რიცხვს 0 ენიჭება საწყისი წერტილი A(1, 0);
დადებითი რიცხვი t ასოცირდება ერთეულ წრეზე არსებულ წერტილთან, რომელსაც მივიღებთ, თუ წრეში ამოვალთ საწყისი წერტილიდან საათის ისრის საწინააღმდეგო მიმართულებით და გავივლით t სიგრძის გზას;
უარყოფითი რიცხვი t ასოცირდება ერთეული წრის წერტილთან, რომელსაც მივიღებთ, თუ წრეს ამოვავლებთ საწყისი წერტილიდან საათის ისრის მიმართულებით და გავივლით |t| სიგრძის ბილიკს. .

ახლა გადავიდეთ t რიცხვის სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენსის განმარტებებზე. დავუშვათ, რომ რიცხვი t შეესაბამება A 1 წრის წერტილს (x, y) (მაგალითად, რიცხვი &pi/2; შეესაბამება A 1 (0, 1) წერტილს).

განმარტება.

რიცხვის სინუსი t არის t რიცხვის შესაბამისი ერთეული წრის წერტილის ორდინატი, ანუ sint=y.

განმარტება.

რიცხვის კოსინუსი t ეწოდება t რიცხვის შესაბამისი ერთეული წრის წერტილის აბსცისა, ანუ ღირებულება=x.

განმარტება.

რიცხვის ტანგენტი t არის ორდინატისა და t რიცხვის შესაბამისი ერთეული წრის წერტილის აბსცისის შეფარდება, ანუ tgt=y/x. სხვა ეკვივალენტურ ფორმულირებაში, t რიცხვის ტანგენსი არის ამ რიცხვის სინუსის შეფარდება კოსინუსთან, ანუ tgt=sint/cost .

განმარტება.

რიცხვის კოტანგენსი t არის აბსცისის შეფარდება t რიცხვის შესაბამისი ერთეული წრის წერტილის ორდინატთან, ანუ ctgt=x/y. კიდევ ერთი ფორმულირება ასეთია: t რიცხვის ტანგენსი არის t რიცხვის კოსინუსის შეფარდება t რიცხვის სინუსთან: ctgt=cost/sint.

აქ ჩვენ აღვნიშნავთ, რომ ახლახან მოცემული განმარტებები ეთანხმება ამ ქვეგანყოფილების დასაწყისში მოცემულ განმარტებას. მართლაც, t რიცხვის შესაბამისი ერთეული წრის წერტილი ემთხვევა წერტილს, რომელიც მიღებულ იქნა საწყისი წერტილის ბრუნვით t რადიანების კუთხით.

ასევე ღირს ამ პუნქტის გარკვევა. ვთქვათ, გვაქვს sin3 ჩანაწერი. როგორ გავიგოთ არის თუ არა კითხვის ნიშნის ქვეშ 3 რიცხვის სინუსი თუ 3 რადიანის ბრუნვის კუთხის სინუსი? ეს, როგორც წესი, ნათელია კონტექსტიდან, წინააღმდეგ შემთხვევაში, ალბათ, ამას მნიშვნელობა არ აქვს.

კუთხოვანი და რიცხვითი არგუმენტის ტრიგონომეტრიული ფუნქციები

წინა აბზაცში მოცემული განმარტებების მიხედვით, ყოველი ბრუნვის კუთხე α შეესაბამება sinα-ს კარგად განსაზღვრულ მნიშვნელობას, ისევე როგორც cosα-ს მნიშვნელობას. გარდა ამისა, ბრუნვის ყველა კუთხე, გარდა 90°+180° k , k∈Z (π/2+π k rad) შეესაბამება tgα მნიშვნელობებს და გარდა 180° k , k∈Z (π k rad ) არის ctgα-ს მნიშვნელობები. ამიტომ sinα, cosα, tgα და ctgα არის α კუთხის ფუნქციები. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ეს არის კუთხური არგუმენტის ფუნქციები.

ანალოგიურად, შეგვიძლია ვისაუბროთ რიცხვითი არგუმენტის სინუსზე, კოსინუსზე, ტანგენტსა და კოტანგენსზე. მართლაც, თითოეული რეალური რიცხვი t შეესაბამება sint-ის კარგად განსაზღვრულ მნიშვნელობას, ისევე როგორც ღირებულებას. გარდა ამისა, ყველა რიცხვი, გარდა π/2+π·k, k∈Z შეესაბამება tgt მნიშვნელობებს, ხოლო რიცხვები π·k, k∈Z შეესაბამება ctgt მნიშვნელობებს.

ფუნქციებს სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი ეწოდება ძირითადი ტრიგონომეტრიული ფუნქციები.

როგორც წესი, კონტექსტიდან ირკვევა, რომ საქმე გვაქვს კუთხოვანი არგუმენტის ან რიცხვითი არგუმენტის ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებთან. წინააღმდეგ შემთხვევაში, დამოუკიდებელი ცვლადი შეგვიძლია მივიჩნიოთ როგორც კუთხის საზომად (კუთხის არგუმენტი) და როგორც რიცხვითი არგუმენტი.

თუმცა, სკოლა ძირითადად სწავლობს რიცხვით ფუნქციებს, ანუ ფუნქციებს, რომელთა არგუმენტები, ისევე როგორც მათი შესაბამისი ფუნქციის მნიშვნელობები, არის რიცხვები. ამიტომ, თუ ვსაუბრობთ ფუნქციებზე, მაშინ მიზანშეწონილია ტრიგონომეტრიული ფუნქციები განვიხილოთ რიცხვითი არგუმენტების ფუნქციებად.

განსაზღვრებების კავშირი გეომეტრიიდან და ტრიგონომეტრიიდან

თუ გავითვალისწინებთ α ბრუნვის კუთხეს 0-დან 90 გრადუსამდე, მაშინ მონაცემები ბრუნვის კუთხის სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენსის განმარტების ტრიგონომეტრიის კონტექსტში სრულად შეესაბამება სინუსის, კოსინუსის განმარტებებს. , მახვილი კუთხის ტანგენსი და კოტანგენსი მართკუთხა სამკუთხედში, რომლებიც მოცემულია გეომეტრიის კურსში. დავამტკიცოთ ეს.

დახაზეთ ერთეული წრე მართკუთხა დეკარტის კოორდინატულ სისტემაში Oxy. გაითვალისწინეთ საწყისი წერტილი A(1, 0). მოვატრიალოთ ის α კუთხით, რომელიც მერყეობს 0-დან 90 გრადუსამდე, მივიღებთ წერტილს A 1 (x, y) . მოდით, A 1 H პერპენდიკულარული A 1 წერტილიდან Ox ღერძზე დავტოვოთ.

ადვილი მისახვედრია, რომ მართკუთხა სამკუთხედში A 1 OH კუთხე უდრის α ბრუნვის კუთხეს, ამ კუთხის მიმდებარე ფეხის OH სიგრძე უდრის A 1 წერტილის აბსცისას, ანუ |OH. |=x, A 1 H კუთხის მოპირდაპირე ფეხის სიგრძე უდრის A 1 წერტილის ორდინატს, ანუ |A 1 H|=y და ჰიპოტენუზის OA 1 სიგრძე უდრის ერთს. , ვინაიდან ეს არის ერთეული წრის რადიუსი. შემდეგ, გეომეტრიის განმარტებით, მართკუთხა სამკუთხედში α მწვავე კუთხის სინუსი A 1 OH უდრის მოპირდაპირე ფეხის შეფარდებას ჰიპოტენუზასთან, ანუ sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y. ხოლო ტრიგონომეტრიის განმარტებით, α ბრუნვის კუთხის სინუსი უდრის A 1 წერტილის ორდინატს, ანუ sinα=y. ეს გვიჩვენებს, რომ მართკუთხა სამკუთხედში მახვილი კუთხის სინუსის განსაზღვრა უდრის α ბრუნვის კუთხის სინუსის განმარტებას α 0-დან 90 გრადუსამდე.

ანალოგიურად, შეიძლება აჩვენოს, რომ α მწვავე კუთხის კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენსის განმარტებები შეესაბამება α ბრუნვის კუთხის კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენსის განმარტებებს.

ბიბლიოგრაფია.

გეომეტრია. 7-9 კლასები: სწავლობს. ზოგადი განათლებისთვის დაწესებულებები / [ლ. ს. ატანასიანი, ვ.ფ.ბუტუზოვი, ს.ბ.კადომცევი და სხვები]. - მე-20 გამოცემა. მ.: განათლება, 2010. - 384გვ.: ავად. - ISBN 978-5-09-023915-8.
პოგორელოვი A.V.გეომეტრია: პროკ. 7-9 უჯრედისთვის. ზოგადი განათლება ინსტიტუტები / A.V. Pogorelov. - მე-2 გამოცემა - მ.: განმანათლებლობა, 2001. - 224 გვ.: ილ. - ISBN 5-09-010803-X.
ალგებრა და ელემენტარული ფუნქციები: სახელმძღვანელო საშუალო სკოლის მე-9 კლასის მოსწავლეებისთვის / E. S. Kochetkov, E. S. Kochetkova; ფიზიკა-მათემატიკის მეცნიერებათა დოქტორი O.N. Golovin-ის რედაქტირებულია - 4th ed. მოსკოვი: განათლება, 1969 წ.
Ალგებრა:პროკ. 9 უჯრედისთვის. საშ. სკოლა / იუ. ნ.მაკარიჩევი, ნ.გ.მინდიუკი, კ.ი.ნეშკოვი, ს.ბ.სუვოროვა; რედ. S. A. Telyakovsky.- M.: განმანათლებლობა, 1990.- 272 გვ.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
Ალგებრადა ანალიზის დასაწყისი: პროკ. 10-11 უჯრედისთვის. ზოგადი განათლება ინსტიტუტები / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn და სხვები; რედ. A. N. Kolmogorova.- 14th ed.- M.: განმანათლებლობა, 2004.- 384 გვ.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.
მორდკოვიჩი ა.გ.ალგებრა და ანალიზის დასაწყისი. მე-10 კლასი. 14 საათზე, ნაწილი 1: სახელმძღვანელო საგანმანათლებლო დაწესებულებებისთვის (პროფილის დონე) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - მე-4 გამოცემა, დაამატეთ. - M.: Mnemosyne, 2007. - 424გვ.: ილ. ISBN 978-5-346-00792-0.
Ალგებრადა მათემატიკური ანალიზის დასაწყისი. მე-10 კლასი: სახელმძღვანელო. ზოგადი განათლებისთვის ინსტიტუტები: ძირითადი და პროფილი. დონეები /[იუ. მ.კოლიაგინი, მ.ვ.ტკაჩევა, ნ.ე.ფედოროვა, მ.ი.შაბუნინი]; რედ. A.B. ჟიჟჩენკო. - მე-3 გამოცემა. - I .: განათლება, 2010. - 368გვ.: ავადმყოფი - ISBN 978-5-09-022771-1.
ბაშმაკოვი მ.ი.ალგებრა და ანალიზის დასაწყისი: პროკ. 10-11 უჯრედისთვის. საშ. სკოლა - მე-3 გამოცემა. - მ.: განმანათლებლობა, 1993. - 351გვ.: ილ. - ISBN 5-09-004617-4.
გუსევი V.A., Mordkovich A.G.მათემატიკა (სახელმძღვანელო ტექნიკური სასწავლებლების მსურველთათვის): პროკ. შემწეობა.- მ. უმაღლესი სკოლა, 1984.-351გვ., ილ.

პორტალი სტუდენტისთვის. თვითმმართველობის მომზადება

მართკუთხა სამკუთხედი. სრული ილუსტრირებული სახელმძღვანელო (2019)

მართკუთხა სამკუთხედი. პირველი დონე.

Პითაგორას თეორემა.

სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი, კოტანგენსი მართკუთხა სამკუთხედში.

Შემაჯამებელი

პითაგორას თეორემა

მართკუთხა სამკუთხედი და ტრიგონომეტრია

მართკუთხა სამკუთხედების თანასწორობის ნიშნები

მართკუთხა სამკუთხედების მსგავსების ნიშნები

მედიანა მართკუთხა სამკუთხედში

მართკუთხა სამკუთხედის მახვილი კუთხის კოსინუსი

მართკუთხა სამკუთხედის მახვილი კუთხის ტანგენსი

მართკუთხა სამკუთხედის მწვავე კუთხის კოტანგენსი

თვითნებური კუთხის სინუსი

თვითნებური კუთხის კოსინუსი

თვითნებური კუთხის ტანგენტი

თვითნებური კუთხის კოტანგენსი

თვითნებური კუთხის პოვნის მაგალითი

კოტანგენტების ტანგენტების კოსინუსების სიდიდეების ცხრილი

სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენტის განმარტება

მახვილი კუთხე მართკუთხა სამკუთხედში

ბრუნვის კუთხე

ნომრები

კუთხოვანი და რიცხვითი არგუმენტის ტრიგონომეტრიული ფუნქციები

განსაზღვრებების კავშირი გეომეტრიიდან და ტრიგონომეტრიიდან

ᲓᲐᲙᲐᲕᲨᲘᲠᲔᲑᲣᲚᲘ ᲡᲢᲐᲢᲘᲔᲑᲘ