წილადების შემცირება აუცილებელია იმისათვის, რომ წილადი უფრო მარტივ ფორმამდე მივიყვანოთ, მაგალითად, გამოსახულების ამოხსნის შედეგად მიღებულ პასუხში.

წილადების შემცირება, განსაზღვრება და ფორმულა.

რა არის წილადის შემცირება? რას ნიშნავს წილადის შემცირება?

განმარტება:
ფრაქციების შემცირება- ეს არის წილადის მრიცხველისა და მნიშვნელის გაყოფა იმავე დადებით რიცხვზე, რომელიც არ უდრის ნულს და ერთს. შემცირების შედეგად მიიღება წილადი უფრო მცირე მრიცხველით და მნიშვნელით, ტოლი წინა წილადის მიხედვით.

ფრაქციების შემცირების ფორმულარაციონალური რიცხვების ძირითადი თვისება.

\(\frac(p \ჯერ n)(q \ჯერ n)=\frac(p)(q)\)

განვიხილოთ მაგალითი:
წილადის შემცირება \(\frac(9)(15)\)

გამოსავალი:
ჩვენ შეგვიძლია წილადის გამრავლება პირველ ფაქტორებად და შევამციროთ საერთო ფაქტორები.

\(\frac(9)(15)=\frac(3 \ჯერ 3)(5 \ჯერ 3)=\frac(3)(5) \ჯერ \color(წითელი) (\frac(3)(3) )=\frac(3)(5) \ჯერ 1=\frac(3)(5)\)

პასუხი: შემცირების შემდეგ მივიღეთ წილადი \(\frac(3)(5)\). რაციონალური რიცხვების ძირითადი თვისების მიხედვით, საწყისი და მიღებული წილადები ტოლია.

\(\frac(9)(15)=\frac(3)(5)\)

როგორ შევამციროთ წილადები? წილადის შემცირება შეუქცევად ფორმამდე.

იმისათვის, რომ შედეგად მივიღოთ შეუქცევადი წილადი, გვჭირდება იპოვეთ უდიდესი საერთო გამყოფი (gcd)წილადის მრიცხველისა და მნიშვნელისთვის.

GCD-ის პოვნის რამდენიმე გზა არსებობს, ჩვენ მაგალითში გამოვიყენებთ რიცხვების მარტივ ფაქტორებად დაშლას.

მიიღეთ შეუქცევადი წილადი \(\frac(48)(136)\).

გამოსავალი:
იპოვეთ GCD(48, 136). 48 და 136 რიცხვები ჩავწეროთ მარტივ ფაქტორებად.
48=2⋅2⋅2⋅2⋅3
136=2⋅2⋅2⋅17
GCD(48, 136)= 2⋅2⋅2=6

\(\frac(48)(136)=\frac(\color(წითელი) (2 \ჯერ 2 \ჯერ 2) \ჯერ 2 \ჯერ 3)(\color(წითელი) (2 \ჯერ 2 \ჯერ 2) \ჯერ 17)=\frac(\color(წითელი) (6) \ჯერ 2 \ჯერ 3)(\color(წითელი) (6) \ჯერ 17)=\frac(2 \ჯერ 3)(17)=\ ფრაკი(6)(17)\)

წილადის შეუქცევად ფორმამდე დაყვანის წესი.

1. იპოვნეთ მრიცხველისა და მნიშვნელის უდიდესი საერთო გამყოფი.
2. თქვენ უნდა გაყოთ მრიცხველი და მნიშვნელი უდიდეს საერთო გამყოფზე გაყოფის შედეგად, რომ მიიღოთ შეუქცევადი წილადი.

მაგალითი:
შეამცირეთ წილადი \(\frac(152)(168)\).

გამოსავალი:
იპოვეთ GCD(152, 168). 152 და 168 რიცხვები ჩავწეროთ მარტივ ფაქტორებად.
152=2⋅2⋅2⋅19
168=2⋅2⋅2⋅3⋅7
gcd(152, 168)= 2⋅2⋅2=6

\(\frac(152)(168)=\frac(\color(წითელი) (6) \ჯერ 19)(\color(წითელი) (6) \ჯერ 21)=\frac(19)(21)\)

პასუხი: \(\frac(19)(21)\) არის შეუქცევადი წილადი.

არასწორი წილადის აბრევიატურა.

როგორ შევამციროთ არასწორი ფრაქცია?
სწორი და არასწორი წილადებისთვის წილადების შემცირების წესები იგივეა.

განვიხილოთ მაგალითი:
შეამცირეთ არასწორი წილადი \(\frac(44)(32)\).

გამოსავალი:
მოდით ჩავწეროთ მრიცხველი და მნიშვნელი მარტივ ფაქტორებში. შემდეგ კი ჩვენ ვამცირებთ საერთო ფაქტორებს.

\(\frac(44)(32)=\frac(\color(წითელი) (2 \ჯერ 2) \ჯერ 11)(\color(წითელი) (2 \ჯერ 2) \ჯერ 2 \ჯერ 2 \ჯერ 2 )=\frac(11)(2 \ჯერ 2 \ჯერ 2)=\frac(11)(8)\)

შერეული ფრაქციების შემცირება.

შერეული წილადები იგივე წესებს იცავენ, როგორც ჩვეულებრივი წილადები. ერთადერთი განსხვავება ისაა, რომ ჩვენ შეგვიძლია არ შეეხოთ მთელ ნაწილს, მაგრამ შეამცირეთ წილადი ნაწილიან შერეული წილადის გადაქცევა არასწორ წილადად, შემცირება და უკან გადაქცევა სათანადო წილადად.

განვიხილოთ მაგალითი:
შეამცირეთ შერეული ფრაქცია \(2\frac(30)(45)\).

გამოსავალი:
მოვაგვაროთ ორი გზით:
პირველი გზა:
წილადის ნაწილს ჩავწერთ მარტივ ფაქტორებად და არ შევეხებით მთელ ნაწილს.

\(2\frac(30)(45)=2\frac(2 \ჯერ \ფერი (წითელი) (5 \ჯერ 3))(3 \ჯერ \ფერი (წითელი) (5 \ჯერ 3))=2\ ფრაკი (2) (3)\)

მეორე გზა:
ჯერ ვთარგმნით არასწორ წილადად, შემდეგ კი ვწერთ პირველ ფაქტორებად და ვამცირებთ. მიღებული არასწორი წილადი გადააკეთეთ სწორ წილადში.

\(2\frac(30)(45)=\frac(45 \ჯერ 2 + 30)(45)=\frac(120)(45)=\frac(2 \ჯერ \ფერი (წითელი) (5 \ჯერ 3) \ჯერ 2 \ჯერ 2)(3 \ჯერ \ფერი (წითელი) (3 \ჯერ 5))=\frac(2 \ჯერ 2 \ჯერ 2)(3)=\frac(8)(3)= 2\frac(2)(3)\)

დაკავშირებული კითხვები:
შეიძლება თუ არა წილადების შემცირება შეკრების ან გამოკლებისას?
პასუხი: არა, ჯერ წესების მიხედვით უნდა დაამატოთ ან გამოკლოთ წილადები და მხოლოდ ამის შემდეგ შეამციროთ. განვიხილოთ მაგალითი:

შეაფასეთ გამოთქმა \(\frac(50+20-10)(20)\) .

გამოსავალი:
ისინი ხშირად უშვებენ შეცდომას, რომ ამცირებენ მრიცხველსა და მნიშვნელში ერთი და იგივე რიცხვებს ჩვენს შემთხვევაში, რიცხვში 20, მაგრამ მათი შემცირება არ შეიძლება, სანამ არ შეასრულებთ შეკრებას და გამოკლებას.

\(\frac(50+\color(წითელი) (20)-10)(\color(წითელი) (20))=\frac(60)(20)=\frac(3 \ჯერ 20)(20)= \frac(3)(1)=3\)

რა რიცხვით შეიძლება წილადის შემცირება?
პასუხი: შეგიძლიათ წილადის შემცირება უდიდესი საერთო გამყოფით ან მრიცხველისა და მნიშვნელის ჩვეულებრივი გამყოფით. მაგალითად, წილადი \(\frac(100)(150)\).

100 და 150 რიცხვები ჩავწეროთ მარტივ ფაქტორებად.
100=2⋅2⋅5⋅5
150=2⋅5⋅5⋅3
ყველაზე დიდი საერთო გამყოფი იქნება რიცხვი gcd(100, 150)= 2⋅5⋅5=50

\(\frac(100)(150)=\frac(2 \ჯერ 50)(3 \ჯერ 50)=\frac(2)(3)\)

მივიღეთ შეუქცევადი წილადი \(\frac(2)(3)\).

მაგრამ არ არის აუცილებელი ყოველთვის გავყოთ GCD-ზე, შეუქცევადი წილადი ყოველთვის არ არის საჭირო, შეგიძლიათ წილადის შემცირება მრიცხველისა და მნიშვნელის მარტივი გამყოფით. მაგალითად, 100 და 150 რიცხვს აქვთ საერთო გამყოფი 2. წილადი \(\frac(100)(150)\) შევამციროთ 2-ით.

\(\frac(100)(150)=\frac(2 \ჯერ 50)(2 \ჯერ 75)=\frac(50)(75)\)

მივიღეთ შემცირებული წილადი \(\frac(50)(75)\).

რა წილადები შეიძლება შემცირდეს?
პასუხი: შეგიძლიათ შეამციროთ წილადები, რომლებშიც მრიცხველსა და მნიშვნელს აქვთ საერთო გამყოფი. მაგალითად, წილადი \(\frac(4)(8)\). რიცხვ 4-ს და 8-ს აქვს რიცხვი, რომლითაც ორივე იყოფა ამ რიცხვზე 2. ამიტომ, ასეთი წილადი შეიძლება შემცირდეს 2-ით.

მაგალითი:
შეადარეთ ორი წილადი \(\frac(2)(3)\) და \(\frac(8)(12)\).

ეს ორი წილადი ტოლია. განვიხილოთ წილადი \(\frac(8)(12)\) დეტალურად:

\(\frac(8)(12)=\frac(2 \ჯერ 4)(3 \ჯერ 4)=\frac(2)(3) \ჯერ \frac(4)(4)=\frac(2) (3) \ჯერ 1=\frac(2)(3)\)

აქედან ვიღებთ \(\frac(8)(12)=\frac(2)(3)\)

ორი წილადი ტოლია, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ ერთი მათგანი მიიღება მეორე წილადის შემცირებით მრიცხველისა და მნიშვნელის საერთო კოეფიციენტით.

მაგალითი:
შეამცირეთ შემდეგი წილადები, თუ ეს შესაძლებელია: ა) \(\frac(90)(65)\) ბ) \(\frac(27)(63)\) გ) \(\frac(17)(100)\) d ) \(\frac(100)(250)\)

გამოსავალი:
ა) \(\frac(90)(65)=\frac(2 \ჯერ \ფერი (წითელი) (5) \ჯერ 3 \ჯერ 3)(\color(წითელი) (5) \ჯერ 13)=\frac (2 \ჯერ 3 \ჯერ 3)(13)=\frac(18)(13)\)
ბ) \(\frac(27)(63)=\frac(\color(წითელი) (3 \ჯერ 3) \ჯერ 3)(\color(წითელი) (3 \ჯერ 3) \ჯერ 7)=\frac (3)(7)\)
გ) \(\frac(17)(100)\) შეუქცევადი წილადი
დ) \(\frac(100)(250)=\frac(\color(წითელი) (2 \ჯერ 5 \ჯერ 5) \ჯერ 2)(\color(წითელი) (2 \ჯერ 5 \ჯერ 5) \ ჯერ 5)=\frac(2)(5)\)

ამ სტატიაში ჩვენ განვიხილავთ ძირითადი მოქმედებები ალგებრული წილადებით:

• წილადის შემცირება
• წილადების გამრავლება
• წილადების დაყოფა

დავიწყოთ იმით ალგებრული წილადების აბრევიატურები.

როგორც ჩანს, ალგორითმიაშკარა.

რომ ალგებრული წილადების შემცირება, საჭიროება

1. წილადის მრიცხველის და მნიშვნელის ფაქტორიზაცია.

2. შეამცირეთ იგივე მამრავლები.

თუმცა, სკოლის მოსწავლეები ხშირად უშვებენ შეცდომას და „ამცირებენ“ არა ფაქტორებს, არამედ ტერმინებს. მაგალითად, არიან მოყვარულები, რომლებიც წილადებით „ამცირებენ“ და შედეგად იღებენ, რაც, რა თქმა უნდა, სიმართლეს არ შეესაბამება.

განვიხილოთ მაგალითები:

1. წილადის შემცირება:

1. მრიცხველს ვანაწილებთ ჯამის კვადრატის ფორმულის მიხედვით, ხოლო მნიშვნელს კვადრატთა სხვაობის ფორმულის მიხედვით.

2. გაყავით მრიცხველი და მნიშვნელი

2. წილადის შემცირება:

1. მრიცხველის ფაქტორიზაცია. ვინაიდან მრიცხველი შეიცავს ოთხ ტერმინს, ჩვენ ვიყენებთ დაჯგუფებას.

2. მნიშვნელის ფაქტორი. იგივე ეხება დაჯგუფებას.

3. ჩამოვწეროთ ის წილადი, რომელიც მივიღეთ და შევამციროთ იგივე ფაქტორები:

ალგებრული წილადების გამრავლება.

ალგებრული წილადების გამრავლებისას მრიცხველს ვამრავლებთ მრიცხველზე, ხოლო მნიშვნელს ვამრავლებთ მნიშვნელზე.

Მნიშვნელოვანი!არ არის საჭირო აჩქარება წილადის მრიცხველში და მნიშვნელში გამრავლების შესასრულებლად. მას შემდეგ, რაც ჩვენ დავწერთ წილადების მრიცხველების ნამრავლს მრიცხველში და მნიშვნელთა ნამრავლს მნიშვნელში, ჩვენ უნდა გავზომოთ თითოეული ფაქტორი და შევამციროთ წილადი.

განვიხილოთ მაგალითები:

3. გამოთქმის გამარტივება:

1. წილადების ნამრავლი დავწეროთ: მრიცხველში მრიცხველთა ნამრავლი, ხოლო მნიშვნელში მნიშვნელთა ნამრავლი:

2. თითოეულ ფრჩხილს ვანაწილებთ:

ახლა ჩვენ უნდა შევამციროთ იგივე მულტიპლიკატორები. გაითვალისწინეთ, რომ გამონათქვამები და განსხვავდება მხოლოდ ნიშნით: ხოლო პირველი გამოხატვის მეორეზე გაყოფის შედეგად მივიღებთ -1.

Ისე,

ალგებრული წილადების დაყოფას ვასრულებთ შემდეგი წესით:

ანუ წილადზე გასაყოფად საჭიროა "შებრუნებულზე" გამრავლება.

ჩვენ ვხედავთ, რომ წილადების გაყოფა მცირდება გამრავლებამდე და გამრავლება საბოლოოდ მიდის წილადების შემცირებამდე.

განვიხილოთ მაგალითი:

4. გამოთქმის გამარტივება:

მათი ძირითადი თვისებიდან გამომდინარე: თუ წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი იყოფა იმავე არანულოვანი მრავალწევრებით, მაშინ მიიღება მისი ტოლი წილადი.

თქვენ შეგიძლიათ მხოლოდ მულტიპლიკატორების შემცირება!

მრავალწევრების წევრების შემცირება შეუძლებელია!

ალგებრული წილადის შესამცირებლად ჯერ მრიცხველსა და მნიშვნელში მყოფი პოლინომები უნდა გაანგარიშდეს.

განვიხილოთ წილადის შემცირების მაგალითები.

წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი მონომებია. ისინი წარმოადგენენ მუშაობა(რიცხვები, ცვლადები და მათი ხარისხი), მულტიპლიკატორებიშეგვიძლია შევამციროთ.

ჩვენ ვამცირებთ რიცხვებს მათი უდიდესი საერთო გამყოფით, ანუ იმ უდიდესი რიცხვით, რომლითაც თითოეული მოცემული რიცხვი იყოფა. 24-ისთვის და 36-ისთვის ეს არის 12. 24-დან შემცირების შემდეგ რჩება 2, 36-დან - 3.

ჩვენ ვამცირებთ გრადუსებს უმცირესი მაჩვენებლით. წილადის შემცირება ნიშნავს მრიცხველისა და მნიშვნელის გაყოფას ერთიდაიმავე გამყოფზე და გამოვაკლოთ მაჩვენებლები.

a² და a⁷ მცირდება a²-ით. ამავდროულად, ერთი რჩება მრიცხველში a²-დან (1-ს ვწერთ მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ შემცირების შემდეგ სხვა ფაქტორები არ დარჩება. 24-დან რჩება 2, ამიტომ a²-დან დარჩენილ 1-ს არ ვწერთ). შემცირების შემდეგ a7-დან რჩება a5.

b და b შემოკლებით b, მიღებული ერთეულები არ იწერება.

c³º და c5 მცირდება c5-ით. c³º-დან რჩება c25, c5-დან - ერთეული (ჩვენ არ ვწერთ). Ამგვარად,

ამ ალგებრული წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი მრავალწევრია. მრავალწევრების პირობების შემცირება შეუძლებელია! (არ შეიძლება შემცირდეს, მაგალითად, 8x² და 2x!). ამ ფრაქციის შესამცირებლად აუცილებელია. მრიცხველს აქვს საერთო კოეფიციენტი 4x. ამოვიღოთ ფრჩხილებიდან:

მრიცხველსაც და მნიშვნელსაც ერთნაირი კოეფიციენტი აქვს (2x-3). ამ ფაქტორით ვამცირებთ წილადს. მრიცხველში მივიღეთ 4x, მნიშვნელში 1. ალგებრული წილადების 1 თვისების მიხედვით წილადი არის 4x.

თქვენ შეგიძლიათ მხოლოდ ფაქტორების შემცირება (თქვენ არ შეგიძლიათ შეამციროთ მოცემული წილადი 25x²-ით!). მაშასადამე, წილადის მრიცხველში და მნიშვნელში მრავალწევრები უნდა იყოს გათვლილი.

მრიცხველი არის ჯამის სრული კვადრატი, ხოლო მნიშვნელი არის კვადრატების სხვაობა. შემოკლებული გამრავლების ფორმულებით გაფართოების შემდეგ მივიღებთ:

წილადს ვამცირებთ (5x + 1)-ით (ამისთვის, მრიცხველში გადახაზეთ ორი მაჩვენებლის სახით, (5x + 1) ²-დან დატოვებს (5x + 1)):

მრიცხველს აქვს საერთო კოეფიციენტი 2, ამოვიღოთ იგი ფრჩხილებიდან. მნიშვნელში - კუბურების განსხვავების ფორმულა:

მრიცხველისა და მნიშვნელის გაფართოების შედეგად მივიღეთ იგივე ფაქტორი (9 + 3a + a²). ჩვენ ვამცირებთ წილადს მასზე:

მრიცხველში მრავალწევრი შედგება 4 წევრისაგან. პირველი წევრი მეორესთან, მესამე - მეოთხესთან და პირველი ფრჩხილებიდან ამოვიღებთ საერთო ფაქტორს x². ჩვენ ვხსნით მნიშვნელს კუბურების ჯამის ფორმულის მიხედვით:

მრიცხველში ფრჩხილებიდან ამოვიღებთ საერთო ფაქტორს (x + 2):

ჩვენ ვამცირებთ წილადს (x + 2):

წილადები და მათი შემცირება კიდევ ერთი თემაა, რომელიც მე-5 კლასში იწყება. აქ ყალიბდება ამ მოქმედების საფუძველი და შემდეგ ეს უნარები ძაფით იწევს უმაღლეს მათემატიკაში. თუ მოსწავლემ ვერ ისწავლა, მაშინ შეიძლება პრობლემები ჰქონდეს ალგებრაში. ამიტომ ჯობია ერთხელ და სამუდამოდ გავიგოთ რამდენიმე წესი. და გახსოვდეთ ერთი აკრძალვა და არასოდეს დაარღვიოთ იგი.

ფრაქცია და მისი შემცირება

რა არის ეს, ყველა სტუდენტმა იცის. ჰორიზონტალურ ზოლს შორის მდებარე ნებისმიერი ორი ციფრი მაშინვე აღიქმება წილადად. თუმცა, ყველას არ ესმის, რომ ნებისმიერი რიცხვი შეიძლება გახდეს იგი. თუ ეს არის მთელი რიცხვი, მაშინ ის ყოველთვის შეიძლება გაიყოს ერთზე, მაშინ მიიღებთ არასწორ წილადს. მაგრამ ამის შესახებ მოგვიანებით.

დასაწყისი ყოველთვის მარტივია. ჯერ უნდა გაარკვიოთ, როგორ შეამციროთ სწორი წილადი. ანუ ის, ვისი მრიცხველიც მნიშვნელზე ნაკლებია. ამისათვის თქვენ უნდა გახსოვდეთ წილადის ძირითადი თვისება. მასში ნათქვამია, რომ მისი მრიცხველისა და მნიშვნელის ერთსა და იმავე რიცხვზე ერთდროულად გამრავლების (ასევე გაყოფისას) მიიღება ეკვივალენტური ორიგინალური წილადი.

გაყოფის მოქმედებები, რომლებიც შესრულებულია ამ ქონებაზე, იწვევს შემცირებას. ანუ მისი მაქსიმალური გამარტივება. წილადი შეიძლება შემცირდეს მანამ, სანამ არის საერთო ფაქტორები ხაზის ზემოთ და ქვემოთ. როდესაც ისინი აღარ არსებობს, შემცირება შეუძლებელია. და ისინი ამბობენ, რომ ეს წილადი შეუქცევადია.

ორი გზა

1.ეტაპობრივად შემცირება.იგი იყენებს გამოცნობის მეთოდს, როდესაც ორივე რიცხვი იყოფა იმ მინიმალურ საერთო ფაქტორზე, რომელიც მოსწავლემ შენიშნა. თუ პირველი შემცირების შემდეგ გაირკვა, რომ ეს არ არის დასასრული, მაშინ დაყოფა გრძელდება. სანამ წილადი შეუქცევადი გახდება.

2. მრიცხველისა და მნიშვნელის უდიდესი საერთო გამყოფის პოვნა.ეს არის ყველაზე რაციონალური გზაროგორ შევამციროთ წილადები. იგი გულისხმობს მრიცხველისა და მნიშვნელის მარტივ ფაქტორებად დაყოფას. მათ შორის, მაშინ თქვენ უნდა აირჩიოთ ყველა იგივე. მათი პროდუქტი მისცემს ყველაზე დიდ საერთო ფაქტორს, რომლითაც ფრაქცია მცირდება.

ორივე ეს მეთოდი ექვივალენტურია. მოსწავლეს ეპატიჟება დაეუფლოს მათ და გამოიყენოს ის, რაც მას ყველაზე მეტად მოეწონა.

რა მოხდება, თუ არსებობს შეკრებისა და გამოკლების ასოები და მოქმედებები?

კითხვის პირველ ნაწილში ყველაფერი მეტ-ნაკლებად ნათელია. ასოები შეიძლება იყოს შემოკლებული, ისევე როგორც რიცხვები. მთავარი ის არის, რომ ისინი მოქმედებენ როგორც მულტიპლიკატორები. მაგრამ მეორესთან დაკავშირებით ბევრს აქვს პრობლემები.

მნიშვნელოვანია გახსოვდეთ! თქვენ შეგიძლიათ შეამციროთ მხოლოდ ფაქტორები. თუ ისინი ტერმინებია, შეუძლებელია.

იმისათვის, რომ გაიგოთ, თუ როგორ უნდა შეამციროთ წილადები, რომლებიც ალგებრულ გამოსახულებას ჰგავს, თქვენ უნდა ისწავლოთ წესი. პირველი, გამოთქვით მრიცხველი და მნიშვნელი ნამრავლის სახით. მაშინ შეგიძლიათ შეამციროთ, თუ არსებობს საერთო ფაქტორები. მულტიპლიკატორად წარმოდგენისთვის, შემდეგი ხრიკები სასარგებლოა:

• დაჯგუფება;
• ბრეკეტინგი;
• შემოკლებული გამრავლების იდენტობების გამოყენება.

უფრო მეტიც, ეს უკანასკნელი მეთოდი შესაძლებელს ხდის დაუყოვნებლივ მიიღოთ ტერმინები ფაქტორების სახით. ამიტომ, ის ყოველთვის უნდა იქნას გამოყენებული, თუ ცნობილი ნიმუში ჩანს.

მაგრამ ეს ჯერ კიდევ არ არის საშინელი, შემდეგ ჩნდება დავალებები გრადუსით და ფესვებით. სწორედ მაშინ უნდა მოიპოვო გამბედაობა და ისწავლო რამდენიმე ახალი წესი.

ძალის გამოხატვა

ფრაქცია. ნამრავლი მრიცხველში და მნიშვნელში. არის ასოები და რიცხვები. და ისინი ასევე ამაღლებულნი არიან ძალამდე, რომელიც ასევე შედგება ტერმინებისგან ან ფაქტორებისგან. რაღაცის ეშინია.

იმისათვის, რომ გაიგოთ, თუ როგორ უნდა შევამციროთ წილადები სიმძლავრეებით, თქვენ უნდა ისწავლოთ ორი წერტილი:

• თუ მაჩვენებელში არის ჯამი, მაშინ ის შეიძლება დაიშალოს ფაქტორებად, რომელთა უფლებამოსილებები იქნება თავდაპირველი ტერმინები;
• თუ სხვაობა, მაშინ დივიდენდში და გამყოფში, პირველს ხარისხით შემცირდება, მეორეს - გამოკლდება.

ამ ნაბიჯების დასრულების შემდეგ, საერთო მულტიპლიკატორები ხილული ხდება. ასეთ მაგალითებში არ არის აუცილებელი ყველა ძალაუფლების გამოთვლა. საკმარისია უბრალოდ შეამციროთ გრადუსები იგივე მაჩვენებლებითა და ბაზებით.

იმისათვის, რომ საბოლოოდ დაეუფლოთ წილადების შემცირებას ძალებით, საჭიროა ბევრი პრაქტიკა. იმავე ტიპის რამდენიმე მაგალითის შემდეგ, მოქმედებები შესრულდება ავტომატურად.

რა მოხდება, თუ გამოთქმა შეიცავს ფესვს?

მისი შემცირებაც შეიძლება. კიდევ ერთხელ, უბრალოდ დაიცავით წესები. უფრო მეტიც, ყველა ზემოთ აღწერილი სიმართლეა. ზოგადად, თუ კითხვაა, თუ როგორ უნდა შეამციროთ ფრაქცია ფესვებით, მაშინ უნდა გაყოთ.

ის ასევე შეიძლება დაიყოს ირაციონალურ გამონათქვამებად. ანუ, თუ მრიცხველსა და მნიშვნელს აქვთ იგივე ფაქტორები, რომლებიც ჩასმულია ფესვის ნიშნის ქვეშ, მაშინ მათი უსაფრთხოდ შემცირება შესაძლებელია. ეს გაამარტივებს გამოხატვას და დაასრულებს სამუშაოს.

თუ შემცირების შემდეგ ირაციონალურობა რჩება წილადის ხაზის ქვეშ, მაშინ თქვენ უნდა მოიცილოთ იგი. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, გავამრავლოთ მრიცხველი და მნიშვნელი მასზე. თუ ამ ოპერაციის შემდეგ გაჩნდა საერთო ფაქტორები, მაშინ ისინი კვლავ უნდა შემცირდეს.

ეს, ალბათ, ეხება წილადების შემცირებას. რამდენიმე წესი, მაგრამ ერთი აკრძალვა. არასოდეს შეამციროთ პირობები!

ეს სტატია აგრძელებს ალგებრული წილადების გარდაქმნის თემას: განიხილეთ ისეთი მოქმედება, როგორიცაა ალგებრული წილადების შემცირება. მოდით განვსაზღვროთ თავად ტერმინი, ჩამოვაყალიბოთ შემოკლების წესი და გავაანალიზოთ პრაქტიკული მაგალითები.

Yandex.RTB R-A-339285-1

ალგებრული წილადის შემოკლების მნიშვნელობა

ჩვეულებრივ წილადის მასალებში განვიხილეთ მისი შემცირება. ჩვენ განვსაზღვრეთ საერთო წილადის შემცირება, როგორც მისი მრიცხველისა და მნიშვნელის საერთო ფაქტორზე გაყოფა.

მსგავსი ოპერაციაა ალგებრული წილადის შემცირება.

განმარტება 1

ალგებრული წილადის შემცირებაარის მისი მრიცხველისა და მნიშვნელის გაყოფა საერთო ფაქტორზე. ამ შემთხვევაში, ჩვეულებრივი წილადის შემცირებისგან განსხვავებით (მხოლოდ რიცხვი შეიძლება იყოს საერთო მნიშვნელი), მრავალწევრი, კერძოდ, მონომი ან რიცხვი, შეიძლება იყოს საერთო ფაქტორი ალგებრული წილადის მრიცხველისა და მნიშვნელისთვის.

მაგალითად, ალგებრული წილადი 3 x 2 + 6 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 შეიძლება შემცირდეს 3 რიცხვით, შედეგად მივიღებთ: x 2 + 2 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y. 2 . ჩვენ შეგვიძლია შევამციროთ იგივე წილადი x ცვლადით და ეს მოგვცემს გამოსახულებას 3 x + 6 y 6 x 2 y + 12 x y 2 . ასევე შესაძლებელია მოცემული წილადის შემცირება მონომით 3 xან რომელიმე მრავალწევრი x + 2 y, 3 x + 6 y , x 2 + 2 x y ან 3 x 2 + 6 x წ.

ალგებრული წილადის შემცირების საბოლოო მიზანი არის უფრო მარტივი ფორმის წილადი, საუკეთესო შემთხვევაში შეუქცევადი წილადი.

ყველა ალგებრული წილადი ექვემდებარება შემცირებას?

ისევ ჩვეულებრივი წილადების მასალებიდან ვიცით, რომ არსებობს შემცირებადი და შეუქცევადი წილადები. შეუქცევადი - ეს არის წილადები, რომლებსაც არ აქვთ მრიცხველისა და მნიშვნელის საერთო ფაქტორები, გარდა 1-ისა.

ალგებრული წილადებით ყველაფერი ერთნაირია: მათ შეიძლება ჰქონდეთ ან არ ჰქონდეთ მრიცხველისა და მნიშვნელის საერთო ფაქტორები. საერთო ფაქტორების არსებობა საშუალებას გაძლევთ გაამარტივოთ საწყისი ფრაქცია შემცირების გზით. როდესაც არ არსებობს საერთო ფაქტორები, შეუძლებელია მოცემული წილადის ოპტიმიზაცია შემცირების მეთოდით.

ზოგადად, მოცემული ტიპის წილადისთვის საკმაოდ რთულია იმის გაგება, ექვემდებარება თუ არა შემცირებას. რა თქმა უნდა, ზოგიერთ შემთხვევაში აშკარაა მრიცხველისა და მნიშვნელის საერთო ფაქტორის არსებობა. მაგალითად, ალგებრულ წილადში 3 · x 2 3 · y სავსებით ნათელია, რომ საერთო ფაქტორია რიცხვი 3.

წილადში - x · y 5 · x · y · z 3 ასევე მაშინვე გვესმის, რომ შესაძლებელია მისი შემცირება x, ან y, ან x · y-ით. და მაინც, ალგებრული წილადების მაგალითები ბევრად უფრო ხშირია, როდესაც მრიცხველისა და მნიშვნელის საერთო კოეფიციენტი არც ისე ადვილი შესამჩნევია და უფრო ხშირად - ის უბრალოდ არ არსებობს.

მაგალითად, შეგვიძლია x 3 - 1 x 2 - 1 წილადი შევამციროთ x - 1-ით, მაშინ როცა მითითებული საერთო ფაქტორი არ არის ჩანაწერში. მაგრამ წილადი x 3 - x 2 + x - 1 x 3 + x 2 + 4 x + 4 არ შეიძლება შემცირდეს, რადგან მრიცხველსა და მნიშვნელს არ აქვთ საერთო კოეფიციენტი.

ამრიგად, ალგებრული წილადის შეკუმშვის გარკვევის საკითხი არც ისე მარტივია და ხშირად უფრო ადვილია მუშაობა მოცემული ფორმის წილადთან, ვიდრე იმის გარკვევა, არის თუ არა ის შეკუმშვადი. ამ შემთხვევაში ხდება ისეთი გარდაქმნები, რომლებიც კონკრეტულ შემთხვევებში საშუალებას გვაძლევს განვსაზღვროთ მრიცხველისა და მნიშვნელის საერთო კოეფიციენტი ან დავასკვნათ, რომ წილადი შეუქცევადია. ამ საკითხს დეტალურად გავაანალიზებთ სტატიის მომდევნო პუნქტში.

ალგებრული წილადის შემცირების წესი

ალგებრული წილადის შემცირების წესიშედგება ორი თანმიმდევრული ეტაპისგან:

• მრიცხველისა და მნიშვნელის საერთო ფაქტორების პოვნა;
• ასეთის აღმოჩენის შემთხვევაში წილადის შემცირების პირდაპირი მოქმედების განხორციელება.

საერთო მნიშვნელების საპოვნელად ყველაზე მოსახერხებელი მეთოდია მოცემული ალგებრული წილადის მრიცხველსა და მნიშვნელში არსებული მრავალწევრების ფაქტორიზირება. ეს საშუალებას გაძლევთ დაუყოვნებლივ ვიზუალურად ნახოთ საერთო ფაქტორების არსებობა ან არარსებობა.

თავად ალგებრული წილადის შემცირების მოქმედება ემყარება ალგებრული წილადის ძირითად თვისებას, რომელიც გამოიხატება განუსაზღვრელი ტოლობით, სადაც a , b , c არის რამდენიმე მრავალწევრი, ხოლო b და c არ არის ნულოვანი. პირველი ნაბიჯი არის წილადის შემცირება a c b c ფორმამდე, რომელშიც დაუყოვნებლივ ვამჩნევთ საერთო ფაქტორს c. მეორე ნაბიჯი არის შემცირების შესრულება, ე.ი. a b ფორმის წილადზე გადასვლა.

ტიპიური მაგალითები

მიუხედავად გარკვეული აშკარაობისა, განვმარტოთ განსაკუთრებული შემთხვევა, როდესაც ალგებრული წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი ტოლია. მსგავსი წილადები იდენტურად უდრის 1-ს ამ წილადის ცვლადების მთელ ODZ-ზე:

5 5 = 1; - 2 3 - 2 3 = 1; x x = 1; - 3, 2 x 3 - 3, 2 x 3 = 1; 1 2 x - x 2 y 1 2 x - x 2 y;

ვინაიდან ჩვეულებრივი წილადები ალგებრული წილადების განსაკუთრებული შემთხვევაა, გავიხსენოთ, როგორ მცირდება ისინი. მრიცხველში და მნიშვნელში ჩაწერილი ნატურალური რიცხვები იშლება მარტივ ფაქტორებად, შემდეგ საერთო ფაქტორები მცირდება (ასეთის არსებობის შემთხვევაში).

მაგალითად, 24 1260 = 2 2 2 3 2 2 3 3 5 7 = 2 3 5 7 = 2 105

მარტივი იდენტური ფაქტორების ნამრავლი შეიძლება დაიწეროს გრადუსებად, ხოლო წილადების შემცირების პროცესში გამოიყენეთ გრადუსების გაყოფის თვისება იმავე ფუძეებით. მაშინ ზემოაღნიშნული გამოსავალი იქნება:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 - 2 3 2 - 1 5 7 = 2 105

(მრიცხველი და მნიშვნელი იყოფა საერთო ფაქტორზე 2 2 3). ან, სიცხადისთვის, გამრავლებისა და გაყოფის თვისებებზე დაყრდნობით, ამონახსნებს მივცემთ შემდეგ ფორმას:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 2 2 3 3 2 1 5 7 = 2 1 1 3 1 35 = 2 105

ანალოგიით, ხორციელდება ალგებრული წილადების შემცირება, რომლებშიც მრიცხველსა და მნიშვნელს აქვთ მონომები მთელი რიცხვითი კოეფიციენტებით.

მაგალითი 1

მოცემულია ალგებრული წილადი - 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z . საჭიროა მისი შემცირება.

გამოსავალი

შესაძლებელია მოცემული წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი დავწეროთ უბრალო ფაქტორებისა და ცვლადების ნამრავლად და შემდეგ შევამციროთ:

27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 3 3 3 a a a a a a b b c z 2 3 a b b c c c c c c c z = = - 3 3 a a 2 c c c c c c c = - 9 a 3 2 c 6

თუმცა, უფრო რაციონალური გზა იქნება ამოხსნის დაწერა, როგორც გამოხატვის ძალა:

27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 3 3 a 5 b 2 c z 2 3 a 2 b 2 c 7 z = - 3 3 2 3 a 5 a 2 b 2 b 2 c c 7 z z = = - 3 3 - 1 2 a 5 - 2 1 1 1 c 7 - 1 1 = - 3 2 a 3 2 c 6 = - 9 a 3 2 c 6 .

პასუხი:- 27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 9 a 3 2 c 6

როდესაც ალგებრული წილადის მრიცხველსა და მნიშვნელში არის წილადი რიცხვითი კოეფიციენტები, შემდგომი მოქმედების ორი გზა არსებობს: ან ცალ-ცალკე გავყოთ ეს წილადი კოეფიციენტები, ან ჯერ დავაღწიოთ წილადი კოეფიციენტები მრიცხველისა და მნიშვნელის გამრავლებით ბუნებრივ რიცხვზე. . ბოლო ტრანსფორმაცია ხორციელდება ალგებრული წილადის ძირითადი თვისების გამო (ამის შესახებ შეგიძლიათ წაიკითხოთ სტატიაში „ალგებრული წილადის ახალ მნიშვნელზე შემცირება“).

მაგალითი 2

მოცემულია წილადი 2 5 x 0, 3 x 3. საჭიროა მისი შემცირება.

გამოსავალი

წილადის შემცირება შესაძლებელია ამ გზით:

2 5 x 0, 3 x 3 = 2 5 3 10 x x 3 = 4 3 1 x 2 = 4 3 x 2

შევეცადოთ პრობლემის სხვაგვარად გადაჭრას, მანამდე რომ თავი დავაღწიოთ წილადის კოეფიციენტებს - ვამრავლებთ მრიცხველს და მნიშვნელს ამ კოეფიციენტების მნიშვნელების უმცირეს საერთო ჯერადზე, ე.ი. თითო LCM(5, 10) = 10. შემდეგ მივიღებთ:

2 5 x 0, 3 x 3 = 10 2 5 x 10 0, 3 x 3 = 4 x 3 x 3 = 4 3 x 2.

პასუხი: 2 5 x 0, 3 x 3 = 4 3 x 2

როდესაც ჩვენ ვამცირებთ ზოგად ალგებრულ წილადებს, რომლებშიც მრიცხველები და მნიშვნელები შეიძლება იყოს როგორც მონომები, ასევე პოლინომები, პრობლემა შესაძლებელია, როდესაც საერთო ფაქტორი ყოველთვის დაუყოვნებლივ არ ჩანს. ან უფრო მეტიც, ის უბრალოდ არ არსებობს. შემდეგ, საერთო კოეფიციენტის დასადგენად ან მისი არარსებობის ფაქტის დასაფიქსირებლად, ხდება ალგებრული წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი.

მაგალითი 3

მოცემულია რაციონალური წილადი 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3 . საჭიროა მისი შემცირება.

გამოსავალი

მოდი მრავალწევრები გავამრავლოთ მრიცხველსა და მნიშვნელში. მოდით გავაკეთოთ ფრჩხილები:

2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49)

ჩვენ ვხედავთ, რომ ფრჩხილებში გამოსახულებები შეიძლება გარდაიქმნას შემოკლებული გამრავლების ფორმულების გამოყენებით:

2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7)

აშკარად ჩანს, რომ შესაძლებელია წილადის შემცირება საერთო ფაქტორით b 2 (a + 7). მოდით გავაკეთოთ შემცირება:

2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b

ჩვენ ვწერთ მოკლე ამოხსნას ახსნის გარეშე, როგორც თანასწორობის ჯაჭვი:

2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b

პასუხი: 2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 a + 14 a b - 7 b.

ეს ხდება, რომ საერთო ფაქტორები იმალება რიცხვითი კოეფიციენტებით. შემდეგ, წილადების შემცირებისას, ოპტიმალურია რიცხვითი ფაქტორების ამოღება მრიცხველისა და მნიშვნელის უფრო მაღალი ხარისხებით.

მაგალითი 4

მოცემულია ალგებრული წილადი 1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 . თუ ეს შესაძლებელია, ის უნდა შემცირდეს.

გამოსავალი

ერთი შეხედვით მრიცხველსა და მნიშვნელს არ აქვთ საერთო მნიშვნელი. თუმცა ვცადოთ მოცემული წილადის გადაქცევა. ამოვიღოთ x ფაქტორი მრიცხველში:

1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2

ახლა თქვენ შეგიძლიათ ნახოთ გარკვეული მსგავსება ფრჩხილებში გამოსახულებასა და მნიშვნელში გამოსახულებას შორის x 2 y-ის გამო. . ავიღოთ რიცხვითი კოეფიციენტები ამ მრავალწევრების უფრო მაღალი ხარისხებით:

x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x - 2 7 - 7 2 1 5 + x 2 y 5 x 2 y - 1 5 3 1 2 = = - 2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10

ახლა საერთო მულტიპლიკატორი ხილული ხდება, ჩვენ ვახორციელებთ შემცირებას:

2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10 = - 2 7 x 5 = - 2 35 x

პასუხი: 1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = - 2 35 x .

ხაზგასმით აღვნიშნოთ, რომ რაციონალური წილადების შემცირების უნარი დამოკიდებულია მრავალწევრების ფაქტორიზაციის უნარზე.

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter